Métodos Numéricos II

NODOS DE TCHEBYCHEV Edgar Moyotl-Hernández

FCFM-BUAP

FENÓMENO DE RUNGE

En general, el polinomio de interpolación se podría ver afectado por el conjunto depuntos {(𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)} y por la función 𝒇 𝒙 [3].

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FENÓMENO DE RUNGE

Fenomeno de Runge:

Con 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟏 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐, el polinomio interpolante presenta problemas de convergencia

si tomamos nodos igualmente espaciados en [-1, 1], es decir, si 𝒙𝒊 = −𝟏 + 𝒊𝒉 con𝒉 = 2/𝑛.

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FENÓMENO DE RUNGE

Las figuras muestran que la interpolación se ve afectado hacia los extremos delintervalo no así en el centro; esto parece ser una tendencia general [3].

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Interpolación de Lagrange con 11 puntos,

en el rango de -1 x 1.

Interpolación de Lagrange con 16 puntos,

en el rango de -1 x 1.

ELECCIÓN DE LOS NODOS

Regresando a la fórmula del error de Lagrange,

𝒇 𝒙 − 𝒑 𝒙 =𝒇 (𝑛+1) 𝜀

𝒏+𝟏 !𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)

Es natural considerar cuál es la mejor elección de los puntos 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, …, 𝒙𝒏, si esto esposible, para minimizar el error de interpolación,

𝒆 𝒙 =𝒇 (𝑛+1) 𝜀

𝒏+𝟏 !𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)

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ELECCIÓN DE LOS NODOS

Este problema se conoce como el problema de mínimax. Si se considera que elintervalo 𝒙𝟎, 𝒙𝒏 = −𝟏,+𝟏 , entonces el problema se puede formular como eldeterminar los puntos 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, …, 𝒙𝒏 que minimicen la expresión,

𝒎𝒂𝒙𝑥∈ −𝟏,+𝟏 | 𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)|

La solución al problema está ligada a los ceros de los polinomios de Tchebychev [4].

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NODOS DE TCHEBYCHEV

Las raíces de un polinomio de Tchebychev de orden 𝒏 están en el intervalo [−𝟏, +𝟏],y son

𝑢𝑖 = cos(2𝑖+1)π

2𝑛, 𝑖 = 0, 1, … , 𝒏 − 𝟏 [6]

Si el rango d interpolación es [−𝟏,+𝟏], las 𝒏 raíces 𝑢𝑖 , se pueden utilizar como lasabscisas de los nodos de interpolación de Lagrange, en vez de utilizar puntos conigual separación [1]. A diferencia de lo que podría suceder con nodos igualmenteespaciados, con estos nodos el polinomio interpolante ajusta bien si𝒇 ∈ 𝐶(1) −1,+1 [3].

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NODOS DE TCHEBYCHEV

La interpolación polinomial de Tchebychev se puede aplicar en cualquier intervalodistinto de [−𝟏,+𝟏], si se transforma al rango de interés [𝒂, 𝒃] mediante un cambio devariable. Si 𝒛𝜖[−𝟏,+𝟏] y 𝒙𝜖[𝒂, 𝒃] entonces la transformación estará dada por lafunción

𝒙 =(𝑧+1)(𝑏−𝑎)

2+ 𝑎 [4]

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NODOS DE TCHEBYCHEV

Por lo tanto, al sustituir los puntos de Tchebychev 𝑢𝑖 en [−𝟏,+𝟏] dados por la ecuación

𝑢𝑖 = cos(2𝑖 + 1)π

2𝑛

en la función anterior, los nodos de Tchebychev 𝒙𝒊 en [𝒂, 𝒃] son

𝒙𝒊 =(𝑢𝑖+1)(𝑏−𝑎)

2+ 𝑎, 𝑖 = 0, 1, … , 𝒏 − 𝟏 [2]

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NODOS DE TCHEBYCHEV

EJEMPLO: De la función 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟏 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐, obtener diez puntos de Tchebychev en

[−𝟏, +𝟏].

SOLUCIÓN: Al sustituir 𝒂 = −𝟏, 𝒃 = 𝟏 y 𝒏 = 𝟏𝟎 en la ecuación anterior, se encuentranlos nodos de Tchebychev.

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NODOS DE TCHEBYCHEV

Al utilizar puntos de Tchebychev en la interpolación de Lagrange, el error sedistribuye de manera más uniforme que con los puntos de igual separación [2].

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Interpolación de Lagrange con 10 nodos

de Tchebychev en el intervalo [-1, 1].Interpolación de Lagrange con 15 nodos

de Tchebychev en el intervalo [-1, 1].

NODOS DE TCHEBYCHEV

En las figuras siguientes, la línea continua representa la función por interpolar; lalínea punteada, el polinomio con puntos igualmente espaciados, y la línea punteadadoble, el polinomio basado en los ceros del polinomio de Tchebychev.

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Interpolación de Lagrange con 10 nodos. Interpolación de Lagrange con 15 nodos.

NODOS DE TCHEBYCHEV

Se puede observar que las oscilaciones dadas por el polinomio, con puntosigualmente espaciados, aumentan al aumentar el número de puntos, ya que laconvergencia es puntual; mientras que en el polinomio basado en los puntos deTchebychev, estas oscilaciones decrecen al aumentar el número de puntos [4].

TAREA 2. Describir la ecuación que permite calcular el error de una interpolaciónque utiliza raíces de Tchebychev.

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BIBLIOGRAFÍA

1. Nakamura S., Métodos numéricos aplicados con software, Prentice Hall, México(1992).

2. Burden R. L. & Faires J. D., Análisis numérico, Séptima Edición (2002).

3. Mora W., Introducción a los métodos numéricos, Revista digital matemática, CostaRica (2016).

4. Gutierrez J. A., Olmos M. A. & Casillas J. M., Análisis Numérico, McGrawHill(2010).

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