Vibraciones forzadas sin amortiguamiento utilizando el mtodo integral de

Duhamel (mtodo de Simpson)

Oscar Ivan Gmez

E-mail: monosantafe48@hotmail.com Zuleidy Hernandez Lopez

E-mail: zuleidy10@hotmail.com Fabio Ramirez

E-mail: ramirezf.333@gmail.com 2014

Resumen: Para lograr estudiar y comprender

en su totalidad el comportamiento de una

estructura en todo momento, es necesario

conocer y aplicar las nociones de la dinmica

en el anlisis de la estructura resultante. La

dinmica es la parte de la fsica mecnica

que nos permite estudiar el comportamiento

de un objeto que se encuentra en

movimiento, y para el caso de muchas

estructuras, este "movimiento" del que

hablamos se trata por lo general de un

sismo. En la presente investigacin se

propone un modelo por el mtodo dinmico

para el diseo ssmico de edificios, el cual

considera las deformaciones por cortante,

que es una innovacin al mtodo tradicional,

el cual se utiliza para analizar toda clase de

estructuras que estn sujetas a movimientos

del suelo. Esta metodologa toma en cuenta

las deformaciones por cortante y se hace una

comparacin con el mtodo tradicional.

Abstract

In mathematics, and more specifically in

partial differential equations, Duhamel's

principle is a general method for obtaining

solutions to inhomogeneous linear evolution

equations like the heat equation, wave

equation, and vibrating plate equation. It is

named after Jean-Marie Duhamel who first

applied the principle to the inhomogeneous

heat equation that models, for instance, the

distribution of heat in a thin plate which is

heated from beneath. For linear evolution

equations without spatial dependency, such

as a harmonic oscillator, Duhamel's principle

reduces to the method of variation of

parameters technique for solving linear

inhomogeneous ordinary differential

equations.

1. INTRODUCCIN

En muchas situaciones las estructuras se

encuentran ante fuerzas de excitacin que no

son armnicas. Sino que podran adoptar

formas diversas. Por esta razn veremos la

respuesta que una estructura puede tener

ante la accin de fuerzas excitadoras de tipo

general. Para esto se hace uso de

procedimientos numricos de integracin,

fuerza de excitacin o impulso, esta ltima no

es ms que una fuerza aplicada durante un

corto intervalo de tiempo, se define como el

2

producto de la fuerza por el tiempo de su

duracin.

Para el anlisis ssmico de estructuras

pueden emplearse como mtodos dinmicos

el anlisis modal espectral y el anlisis paso

a paso o clculo de respuestas ante registros

de aceleracin, en este caso encontraremos

el desplazamiento producido por dichas

vibraciones. Para calcular el desplazamiento

fue necesario desarrollar mtodos numricos

en este caso se us la regla de Simpson 1/3.

)()(* wtSenw

vowtCosYoY

2. OBJETIVOS

2.1 General:

Hallar el desplazamiento de una estructura

sometida a un impacto utilizando el mtodo

de Duhamel (Simpson 1/3)

2.2 Especficos:

Implementar el uso de un aplicativo

(geogebra) para facilitar el anlisis del

mtodo a aplicar

Elaborar estrategias y mtodos utilizando

formulas y ecuaciones matemticas para

poder determinar el movimiento du una

estructura dependiendo del material.

Analizar el comportamiento de una estructura utilizando la integral de Duhamel y argumentando la ejecucin con el mtodo de Simpson 1/3.

3. Planteamiento del problema

La respuesta a la excitacin impulsiva

aplicando la identidad de Duhamel, en las

estructuras ocurre diversos sucesos que

alteran su permanencia entre ellos las

fuerzas exteriores producidas natural o

artificialmente para hallar el desplazamiento

de estas vibraciones aplicando la identidad

de Duhamel, dando el origen del mismo y

cmo influye realmente estas vibraciones en

las estructuras, para esto se mencionaran

dos fases importantes para poder hallar dicho

desplazamiento; que son el sistema con

amortiguamiento que consiste en mitigar una

fuerza tratando de minimizar la energa de la

carga inicial y para ello usamos la integral de

duhamel en funcin a este sistema

obteniendo una nueva ecuacin; en el caso

del sistema sin amortiguamiento es todo lo

contrario, no puede disminuir una fuerza o

mitigarla, ya que tenemos una funcin

desconocida y por tal usamos los mtodos

numricos, usando identidades

trigonomtricas obtenemos dos integrales

que luego agrupndolas, nos genera una

nueva ecuacin en funcin a la integral de

Duhamel y con ella nuestra solucin.

Finalmente en una posible grfica,

introduciendo los datos iniciales en nuestro

programa podemos observar el

desplazamiento de estas vibraciones ya

sea por diferentes mtodos del punto medio,

mtodo del trapecio o mtodo de Simpson;

en este caso usaremos el mtodo de

Simpson 1/3 para nuestros clculos

posteriores.

Una excitacin aplicada durante un corto

intervalo de tiempo es una excitacin

impulsiva, correspondiendo el impulso al

producto de la fuerza por el tiempo de su

duracin. Cuando este impulso acta sobre

3

un cuerpo de masa m produce un cambio de

velocidad dv que, expresado mediante la ley

de newton es:

Resolviendo:

este incremento de velocidad dv, a su vez

puede ser considerado como la velocidad

inicial de la masa m en el instante t

experimentara un cambio de velocidad dv,

introducindose este cambio de velocidad vo

y el desplazamiento inicial uo como cero en

la ecuacin de respuesta al movimiento.

En el instante T se producir un

desplazamiento en el tiempo t.

Esto ser lo que produce un solo impulso,

pero si deseamos ver qu sucede ante la

excitacin total, debemos entonces

considerar la funcin de la oscilacin como

una serie de impulsos cortos, los cuales se

presentan a incrementos de tiempo dt, cada

uno de los cuales produce una respuesta

diferencial en el tiempo t.

De lo anterior podemos concluir que el

desplazamiento total en el instante t debido a

la accin continua, est dada por la suma o

la integral de los desplazamientos

diferenciales desde el instante t=0 al instante

t=1 esto es:

Esta integral es conocida como la integral de

Duhamel

De esta manera obtenemos el

desplazamiento total a lo largo del tiempo de

un sistema de un grado de libertad sin

amortiguamiento producido por una fuerza

arbitraria. Si la expresin analtica de esta

fuerza arbitraria no es conocida, la integral

puede ser calculada aproximadamente

usando un mtodo numrico apropiado.

Calculo numrico de la integral de Duhamel.

En algunos casos la integral de Duhamel no

es fcil de resolver analticamente, por lo cual

es aconsejable tomar la opcin de la solucin

numrica.

Sistema sin amortiguacin: la respuesta para

excitaciones cuyas funciones no permiten

una solucin numrica de la integral de

Duhamel debe ser calculada mediante

mtodos numricos. Es por esto que se

introducir en la integral la identidad

trigonomtrica.

A dems suponiendo ecuaciones iniciales

iguales a 0 tenemos

El clculo de la integral de Duhamel por

consiguiente, requiere el clculo numrico de

A(t) y B(t). Existen varios mtodos de

integracin numrica, y entre los ms

4

populares estn el mtodo de la regla del

trapecio y la regla de Simpson 1/3

EXCITACIN IMPULSIVA E INTEGRAL

DE DUHAMEL

t

P(t)

dt

Fuente: Paz Mario (2013, pg. 267)

Una excitacin impulsiva es una excitacin aplicada

durante un corto intervalo de tiempo. El impulso

correspondiente a este tipo de excitacin se define

como el producto de la fuerza por el tiempo de su

duracin. En la figura anterior el impulso de la fuerza

F (t) en el instante t durante el intervalo est

representado por el rea sombreada y es igual a F(t)

dt. Cuando este impulso acta sobre un cuerpo de

masa m produce un cambio de velocidad dv que

est dado por la ley de movimiento de Newton.

Donde F (t) es el impulso y dv el incremento de

velocidad. Este incremento puede ser considerado

como la velocidad inicial de la masa en el instante

consideremos ahora a este impulso F (t) dt actuando

en la estructura representada por el oscilador simple

sin amortiguacin, obteniendo la funcin de

excitacin puede entonces considerarse como una

serie de impulsos cortos que se presenta a

incrementos de tiempo dt. Por lo tanto se puede

concluir que el desplazamiento total en el instante t

debido a la accin continua de la fuerza F(t) est

dado por la integral delos desplazamientos

diferenciales dy (t) desde el instante t=0 al instante

t=t, esto es: Para el caso sin amortiguacin: Y para el

caso con amortiguacin.

Donde:

m= masa t=tiempo w=s*q*r*t (k/m)= frecuencia

circular del sistema k= constante de elasticidad

Y(t) = Desplazamiento ocasionado .F(t) = Fuerza en

funcin del tiempo, lo nico que har la diferencia

ser el exponencial (en el caso del sistema con

amortiguamiento), siendo esta una integral con

mayor grado de dificultad. Para ambos casos se

usara la regla de Simpson con un cierto nmero de

intervalos de tiempo, para la cual a ms intervalos

usemos ms precisa ser la respuesta.

3.1 INTEGRAL DE DUHAMEL

La integral de Duhamel es una de las tcnicas ms

usadas para anlisis dinmico lineal de estructuras

sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho

procedimiento se basa en el principio de

superposicin, es vlido nicamente para

estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas

propiedades permanecen constantes durante todo

el proceso dinmico (masa, rigidez, etc.)

3.1.1 Sistema sin amortiguamiento

Una estructura sin amortiguamiento viene a ser

aquella que no puede absorber, mitigar, ni dispersar

una fuerza, de forma que la carga inicial disminuya.

En muchos casos la funcin excitadora se conoce

slo por datos experimentales, como es el caso de

los registros de movimientos ssmicos. En tales

situaciones la respuesta debe ser calculada por un

mtodo numrico y uno de los mtodos de clculo

numrico es la integral de Duhamel. Introduciendo la

identidad trigonomtrica, usando esta identidad y

suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.

En este caso para desarrollar dichas integrales

aplicaremos la regla de simpson1/3 .Considerando

5

la integral de una funcin la operacin elemental en

la regla de Simpson.

Un mtodo alternativo es obtener la solucin

analtica exacta de la integral de Duhamel,

suponiendo que la funcin est compuesta por

segmentos lineal sucesivos. Este mtodo no

introduce aproximaciones numricas en la

integracin, aparte de las inherentes al error de

redondeo, por lo que se considera un mtodo

exacto. Se supone que la funcin de la fuerza

excitadora F puede ser representada

aproximadamente por una funcin de segmentos

lineales.

Fuente: Paz Mario (2013, pg. 267)

A(t)= t

dtCOSwttF0

**)(

B(t)= t

dtSENwttF0

**)(

3.1.2 Ejemplo de una estructura con un

grado de libertad que se somete a un

impulso

t

P(t)

96,6

Kips

0,025 0,050

Fuente: propia

Hallar el desplazamiento x(t) del siguiente prtico

x(t)

Fuente: propia

Solucin de la estructura est en el Anexo 1.

4. CONCLUSIONES

Se pudo conocer el funcionamiento de

la integral de duhamel y bsicamente

su uso, el cual nos permiti hallar el

desplazamiento a las excitaciones

impulsivas.

Al concluir el informe se obtuvo el

clculo del desplazamiento producido

por fuerzas impulsivas utilizando la

regla de Simpson 1/3.

Se demostr que efectivamente el

mtodo numrico (Duhamel) es

mucho ms fcil de utilizar para hallar

el desplazamiento de una placa luego

de ser afectada por una fuerza

cualquiera.

5. GLOSARIO

6

Amortiguamiento: se define como la

capacidad de un sistema o cuerpo para

disipar energa cintica en otro tipo de

energa. Tpicamente los amortiguados

disipan la energa cintica en energa

trmica y/o en energa plstica (e.g.

atenuador de impactos).

Cargas o excitaciones: son fuerzas cuya

magnitud, direccin o punto de aplicacin puede

variar en funcin del tiempo, Existen 2 tipos de

excitaciones:

Excitaciones peridicas: son aquellas que se

repiten por ciclos a lo largo del tiempo.

Excitaciones no peridicas: se identifican

segn su duracin como cortas medianas y de larga

duracin. Cargas de corta duracin, se aplican en

periodo de tiempos pequeos que se denominan

impulsos.

Impulso: una excitacin de impulso es una fuerza

aplicada durante un corto intervalo de tiempo. Se

define como el producto de la fuerza por el tiempo de

su duracin.

6. REFERENCIAS

[1] Paz Mario, dinmica

estructural"25/09/2013.

[2] Reyes Garca Luis Enrique, dinmica

aplicada al diseo ssmico, 30/11/1991.

7. AUTORES

Oscar Ivn Gmez Gantiva, Zuleidy

Alejandra Hernandez Lopez, Fabio Ramirez,

Estudiantes de Ing, mecnica, Ing de

produccin, Ing civil respectivamente, rea

de inters mtodos numricos.

Anexos 1. Integral de duhamel sin amortiguamiento solucionada por el mtodo de Simpson.

M1 4

M2 1

K 2700 Kips/pie

F 2,00E-05

W 30 r/s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 0,00 0,00 0,0000 1,0000 0,000 0,000 0,000 0 0 0 0,000 0,000 0,000

1 0,01 19,32 0,1494 0,9888 19,103 0,000 2,887 0,000

2 0,01 38,64 0,2955 0,9553 36,914 19,103 0,000 76,4122289 0 0 113,326 11,419 2,887 0,000 11,549 0,000 0 22,967 33,490 21,942 11,549 0,000 0,624

3 0,02 57,96 0,4350 0,9004 52,190 36,914 19,103 25,211 11,419 2,887 45,676

4 0,02 77,28 0,5646 0,8253 63,782 52,190 36,914 208,759656 150,2406328 113,326 422,782 43,636 25,211 11,419 100,842 34,386 22,967 178,864 238,721 147,623 91,098 0,002 4,919

5 0,03 96,60 0,6816 0,7317 70,681 63,782 52,190 65,846 43,636 25,211 174,542

6 0,03 77,28 0,7833 0,6216 48,038 70,681 63,782 282,724579 486,5641616 422,782 817,327 60,536 65,846 43,636 263,385 222,500 178,864 546,421 640,234 339,661 300,574 0,006 16,231

7 0,04 57,96 0,8674 0,4976 28,839 48,038 70,681 50,276 60,536 65,846 242,142

8 0,04 38,64 0,9320 0,3624 14,002 28,839 48,038 115,356872 865,3647773 817,327 994,723 36,014 50,276 60,536 201,103 606,956 546,421 844,074 927,121 305,857 621,264 0,012 33,548

9 0,05 19,32 0,9757 0,2190 4,231 14,002 28,839 18,851 36,014 50,276 144,056

10 0,05 0,00 0,9975 0,0707 0,000 4,231 14,002 16,9248368 1008,724656 994,723 1025,649 0,000 18,851 36,014 75,404 880,088 844,074 955,491 1023,080 67,589 955,491 0,019 51,597

X(t)= 0,019

YN-1 YN-2 (YN-1)*M1 ((YN-2)+(AN-2/F))*M2N tn PN Sen(Wtn) Cos(Wtn)

INTEGRAL DE DUHAMEL SIN AMORTIGUAMIENTO

(BN/F)Senwt(AN/F)Senwt -

(BN/F)SenwtX(t)=F*20 F=K*X(t)PN*Sen(Wtn)*M1 ((YN-2)+(BN-2/F))*M2 BN-2/F BN/F (AN/F)SenwtAN-2/F AN/F YN YN-1 YN-2YN=PN(CosWtn)