Métodos de Otimização Aplicados a Sistemas Elétricos de Potência_Kagan_CAP_1

1.1 Introduo

Este livro apresenta solues para diversos problemas de otimizao nor-

malmente encontrados em Sistemas Eltricos de Potncia, com particular des-

taque para os Sistemas de Distribuio de Energia Eltrica. O livro destina-se

a engenheiros eletricistas e pesquisadores da rea, e tambm a estudantes

de engenharia eltrica que estejam cursando o ltimo ano de graduao ou

desenvolvendo programa de ps-graduao. Conhecimentos bsicos de siste-

mas trifsicos e valores por-unidade (pu) so suficientes para acompanhar o

desenvolvimento dos tpicos.

O livro est organizado a partir dos mtodos de otimizao empregados (Progra-

mao Linear, Programao Dinmica, etc.), mas procura colocar a nfase nos

proble mas abordados atravs desses mtodos (aplicaes). Atravs da compreen-

so dos tpicos apresentados, o objetivo principal do livro incentivar o leitor a

formular e resolver outros problemas que sejam relevantes em sua vida profissional

ou acadmi ca.

Um aspecto fundamental do livro a ferramenta computacional que o acom-

pa nha, o software denominado OTIMIZA Esta ferramenta pode ser obtida livre-

mente na rede Internet (endereo http://www.blucher.com.br, opo down loads).

Desta forma, o leitor poder dispor sempre da verso mais atual do sistema. O

sistema apresenta uma interface homem-mquina bastante amig vel que torna o

processo de entrada de dados e anlise de resultados muito fcil, alm de contar

com um abrangente sistema de ajuda (help). O software tem por finalidade per-

mitir desenvolvimento rpido de casos de estudo, contribuin do de forma significa-

tiva para o aprendizado dos tpicos.

Cumpre destacar que o livro, pelo seu foco orientado s aplicaes em siste-

mas eltricos, no constitui uma referncia completa no tema geral de mtodos

1 tcnica para Soluo de Problema de otimizao

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Mtodos de Otimizao Aplicados a Sistemas Eltricos de Potncia2

de otimizao. Para aprofundar o estudo dos mtodos de otimizao em si, o leitor dever consultar as referncias listadas ao fim de cada captulo.

1.2 ModelageM doS ProbleMaS

Cada um dos problemas de otimizao tratados neste livro pode ser formu-

lado de diversas maneiras. Dependendo de como um problema modelado, uma

tcnica para o seu tratamento pode se mostrar mais ou menos adequada que as

demais, e os resultados obtidos tambm podem diferir significativamente.

A seguir so apresentadas algumas definies fundamentais no desenvolvimen-

to do livro.

a) Funes objetivo: os problemas podem ser tratados considerando-se a

otimizao de uma nica funo objetivo, ou ento duas ou mais funes. Ou

seja, possvel modelar um problema com um nico objetivo ou com mlti-

plos objetivos. Alguns exemplos de atributos de otimizao que podem ser

utilizados em problemas de sistemas de potncia:

Custosdeinvestimento,tambmchamadosdecustosdeinstalaooufixos.

Custos operacionais, geralmente representados pelos custos das perdaseltricas, tambm chamados de custos variveis.

ndice de confiabilidade, geralmente representado pelaEND energia no distribuda.

Nmerodechavesmanobradas.

b) Nmero de estgios: para a soluo de alguns problemas devem ser considera-

das suas condies em mltiplos estgios, enquanto que outros podem ser

modelados considerando-se um nico estgio. O problema de planejamento

da expanso de um sistema eltrico deve considerar vrios estgios (normal-

mente em anos), ou seja, preciso determinar a configurao do sistema,

com os reforos necessrios, a cada estgio (ano a ano). O problema de re-

configurao da rede numa condio de emergncia, por sua vez, pode ser

modelado como um problema de um nico estgio.

c) Restries: os problemas podem ser modelados considerando-se restries

tcni cas, econmicas, ou de outra natureza. Podem ser citadas, por exemplo:

1a lei de Kirchhoff ou balano de demanda.

2a lei de Kirchhoff.

Carregamentomximodecondutores,chavesetransformadores.

Quedadetensomximaaolongodarede.


tcnica para Soluo de Problema de otimizao 3

Radialidade da rede, ou seja, configurao do sistema com todos os alimen-tadores operando de forma radial, sem fechamento de malhas.

Restriesfinanceiras/oramentrias.

Nmeromximodechavesquepodemsermanobradas.

d) Incertezas: com relao a este aspecto, os problemas podem ser modelados com trs enfoques:

Determinstico,quandonoseconsideramaspectosde incertezas,ouseconsideram simplesmente atravs da simulao do modelo determinstico com anlise de sensibilidade sobre alguns parmetros de interesse.

Probabilstico,quandoalgunsparmetrosdoproblema soconsideradoscomo variveis aleatrias.

Possibilstico, quando as incertezas so tratadas atravs da teoria dosconjun tos difusos.

1.3 tcnIcaS Para reSoluo doS ProbleMaS

As tcnicas utilizadas para o tratamento dos problemas tratados neste livro podem ser classificadas em trs grupos:

Tcnicasbaseadasnautilizaodemtodosdeotimizaoclssicos;

Modeloshbridos,queutilizammtodosdeotimizaoemconjuntocommtodosheursticos;

TcnicasqueutilizamconceitosouferramentasdareadeIntelignciaArti ficial.

Os mtodos de otimizao baseiam-se na utilizao de tcnicas de progra-mao matemtica, que tm por escopo a otimizao de alguma(s) funo(es) objetivosujeita(s)aumconjuntoderestries.Nestetrabalhosoconsideradasas seguintes definies:

Programao linear: tem por objetivo a maximizao ou minimizao de uma funo linear sujeita a restries representadas por equaes e ine-quaes lineares.

Programao inteira: utilizada em problemas de otimizao nos quais todas as variveis so inteiras. Um problema de programao linear em que todas as variveis so inteiras, tambm chamado de problema de programao linear inteira ou de programao linear inteira pura.

Programao linear inteira mista: utilizada em problemas de programao linear em que parte das variveis so inteiras e parte so contnuas.



Programao no linear: tem por objetivo a maximizao ou minimizao de uma funo no linear, sujeita a restries lineares ou no lineares.

Algoritmos de transporte: algoritmos de programao linear especficos para o tratamento de problemas de fluxo em redes.

Programao dinmica: tem por objetivo o tratamento de problemas de otimizao com mltiplos estgios.

Muitos dos modelos desenvolvidos para o tratamento de problemas de sistemas de potncia utilizam uma ou mais destas tcnicas. Outros, entretanto, utilizam uma combinao destes algoritmos com regras ou procedimentos heursticos, com duas finalidades bsicas:

Reduziroesforocomputacional,emtermosdetempodeprocessamento.

Possibilitaraconsideraodealgunsaspectosdifceisdeseremincorpora-dos nos modelos de otimizao.

Heurstica pode ser definida como uma tcnica que, baseada em informaes especficas do domnio de um problema, permite melhorar a eficincia de um pro-cesso de busca.

A utilizao adequada de heursticas em conjunto com tcnicas de otimizao possibilita a manuteno de um certo grau de preciso na soluo de um proble-ma, enquanto assegura convergncia e tempos de processamento aceitveis.

O uso de regras ou procedimentos heursticos pode apresentar vantagens e desvantagens quando se faz uma comparao com os mtodos de otimizao puros. A utilizao de heursticas adequadas ao problema possibilita que o espao de busca de solues seja convenientemente reduzido, permitindo assim que v-rios aspectos do problema sejam modelados simultaneamente, sem que o esforo computacional seja proibitivo. Alm disso, pode-se incorporar aspectos que so de difcil modelagem (ou mesmo que no podem ser modelados) quando se utili-zam somente algoritmos de programao matemtica.

Por outro lado, a utilizao de heursticas deve ser criteriosa pois, com a sua utili zao, geralmente no se pode mais garantir que a soluo tima seja en-contrada e, o que mais grave, a utilizao de heursticas inadequadas pode levar a solues errneas ou mesmo impossibilitar a resoluo do problema.

A aplicao prtica de tcnicas de Inteligncia Artificial (IA) na rea de sis-temas de potncia vem crescendo consideravelmente nos ltimos anos. Algumas tcni cas tm sido bastante utilizadas:

Sistemas especialistas: so sistemas dedicados baseados em regras, com uma arquitetura composta por uma base de dados, uma base de conhecimen-to e um mecanismo de inferncia. Baseiam-se na aquisio de conhecimento



de especialistas no assunto. A idia central de que o sistema ser capaz de fazer concluses similares s dos especialistas, utilizando as informa-es deles obtidas e transformadas em conjuntos de regras (geralmente do tipo if-then-else).

Redesneuraisartificiais:baseiam-se na reproduo de alguns processos conhecidos do funcionamento do crebro humano. Seus elementos princi-pais so os neurnios e suas interligaes. O aprendizado ocorre pelo treinamento da rede, que o ponto chave para o seu bom funcionamento. Normalmenteotreinamentodaredeconsomeumtempoconsidervel,ealteraes no sistema em anlise podem requerer um novo processo de treinamento.Quandobemaplicadas,podemproduzirresultadosmuitor-pidos para problemas bastante complexos.

Mtodosdebuscaheurstica: so tcnicas utilizadas para direcionar o pro-cesso de busca em problemas combinatrios, e que formam o ncleo da maior parte dos sistemas de inteligncia artificial. Existem muitas destas tcnicas, e algumas delas sero detalhadas no Captulo 6.

Algoritmosgenticos: trata-se de uma tcnica que se baseia nos princpios evolucionrios de seleo natural de Darwin. Os elementos que definem um estado do problema formam uma populao, e so representados por cro mossomos, que por sua vez so constitudos por genes. Utilizando-se de analogias com mecanismos biolgicos como cruzamento, mutao e sobre-vivncia dos mais aptos, novas populaes vo sendo sucessivamente gera-das. Ou seja, cada populao representa um estado do problema, com a tendncia de que cada nova gerao seja melhor que as anteriores, cami-nhando em direo soluo tima procurada.

Recozimentosimulado(simulated annealing): uma estratgia de busca ba-seada numa analogia entre a minimizao de uma funo objetivo (por ex., minimizao do custo) e a obteno de um estado de mnima energia em sis-temasfsicos.Recozimento(annealing) um processo metalrgico pelo qual um material, a partir de sua temperatura de fuso (alto nvel de energia), lentamente resfriado at que seja obtida uma configurao cristalina estvel. O objetivo desse processo o de produzir um estado final de mnima energia.

1.4 organIzao do lIvro

Cada captulo organizado da mesma forma: inicialmente apresenta-se o m-todo de otimizao correspondente, seguido de uma aplicao no mbito de sis te-mas eltricos de potncia. A formulao do problema apresentada no maior grau



de detalhe possvel, pois considera-se que a etapa de formulao fundamental para o sucesso da soluo do problema. Finalmente apresenta-se a soluo de um problema exemplo utilizando o software OTIMIZA e discute-se os resultados alcanados. Alguns dos problemas abordados, como o caso da configurao de redes de distribuio com minimizao de perdas, so resolvidos atravs de vrios mtodos e por isso aparecem em vrios captulos.

OCaptulo2tratadaProgramaoLinear(PL),naqualsoabordadospro-blemas de otimizao onde tanto a funo objetivo como as restries so repre-sentadas por funes lineares nas variveis de deciso. O mtodo utilizado neste caso o conhecido Simplex, desenvolvido h mais de quarenta anos. Para ilustrar inicialmente a utilizao de programao linear, so apresentados dois exemplos ilustrativos bastante simples. O primeiro deles resolvido pelo mtodo SIMPLEX. O segundo, que trata do problema de minimizao de perdas em redes de distri-buio, mostra como a programao linear pode ser utilizada para modelar, de forma aproximada, este tipo de problema. Tambm, neste captulo, apresenta-se uma ferramenta disponvel no software Otimiza, que permite com que o estudio-so escreva as suas prprias formulaes de PL para o aplicativo achar a soluo tima. O software OTIMIZA conta tambm com duas aplicaes especficas para otimizao em redes de distribuio. A primeira aplicao trata da alocao de bancos de capacitores em redes de distribuio, tendo por objetivo minimizar o custo de capacitores para atender a um perfil de tenso, isto , com tenses nas barras dentro de faixa aceitvel. A segunda aplicao trata da avaliao de reas de influncia de subestaes de distribuio, apresentando um modelo bastante simples para definio de como as subestaes de uma regio devem atender os consumidores instalados em diversos centros de carga.

O Captulo 3 aborda a Programao Linear Inteira (PLI), onde a funo ob-jetivo e as restries so tambm representadas por funes lineares e algumas das variveis de deciso (ou todas) podem ser do tipo binrio (assumindo valores 0ou1somente)oudotipointeiro(assumindovaloresinteiros).Paratratamentodo problema de programao linear inteira, so apresentados dois mtodos de soluo. O primeiro, trata de mtodo de enumerao implcita, que adequado para programao inteira binria, ou seja, na qual todas as variveis do proble-maassumemvalores0ou1.OsegundomtodotratadoalgoritmoBranch-and-Bound, que pode ser utilizado para quaisquer tipo de problemas de programao linear inteira, seja no caso de variveis binrias ou inteiras, seja para o caso no qual todas as variveis ou parte delas so inteiras, este segundo caso denominado de Programao Linear Inteira Mista (PLIM). Os exemplos ilustrativos tratam de duas aplicaes apresentadas de forma bastante simples. O primeiro exemplo relacionado ao planejamento de uma pequena rede eltrica e o segundo exemplo



relacionado a minimizao de investimentos em um pequeno sistema de distri-buio. Em ambos os casos, o procedimento de busca da soluo mostrado, de forma que o leitor tem um melhor entendimento dos mtodos em casos aplicados. Tambm mostrada ferramenta do software OTIMIZA que permi te com que o estudioso escreva as suas prprias formulaes PLIM para depois a soluo ser determinada pela utilizao do mtodo Branch-and-Bound.NosoftwareOtimi-za, so realizadas duas aplicaes de PLI. A primeira trata do problema de prio-rizao de obras, no qual deseja-se maximizar o benefcio global de um conjunto de obras a serem realizadas, com algumas restries, dentre elas o limite ora-mentrio. Este problema tratado com os dois mtodos, por poder ser formulado atravs de programao linear binria, isto , pode ser resolvido pelo mtodo de enumerao implcita e pelo algoritmo Branch-and-Bound. A segunda aplicao trata do problema de despacho da gerao, no qual a funo custo de cada uni-dadegeradoranolinear(funocncava).Nestecaso,umaformulaoPLIMpermite o tratamento do problema de forma adequada. Este mesmo problema tratado no Captulo 5, atravs da aplicao de programao dinmica.

O Captulo 4 trata do Problema de Transporte, o qual constitui uma especializa-odoproblemageraldeProgramaoLinear.NestecasooalgoritmoSimplex tambm aplicvel, porm isso no normalmente feito por consideraes de eficin cia computacional. Como o Problema de Transporte apresenta uma estru-tura especial na matriz dos coeficientes das restries, algoritmos especficos fo-ram desenvolvidos com a finalidade de explorar estas particularidades do proble-ma.NestecasoapresentadooalgoritmoconhecidoporOut-of-Kilter, bastante consagrado, que permite resolver o problema de transporte de forma bastante eficiente. Trs aplicaes foram implementadas no software OTIMIZA A primeira delas trata do problema de minimizao de perdas em sistemas de distribuio, apesar de no serem consideradas restries de radialidade da rede e tambm as perdas serem linearizadas, trata-se de uma aplicao interessante para a de-terminaodamelhorconfiguraoparaoperaodaredededistribuio;noslocais onde o fluxo de potncia resultante nulo, a aplicao automaticamente abre a chave correspondente, o que possibilita a determinao do estado das cha-ves existentes na rede. A segunda aplicao trata do problema de planejamento de sistemas de distribuio, que consiste em uma formulao PLIM que pode ser resolvida pelo mtodo de Out-of-Kilter de maneira integrada com o mtodo Branch-and-Bound.Nestaaplicao,dadoenfoqueparaoaspectodemlti-plos objetivos em problemas de otimizao, quando formulam-se duas funes objetivo, quais sejam o custo de investimento e perdas na rede e a energia no distri buda, que consistem dois objetivos, conflitantes, a serem minimizados. A terceira aplicao consiste no problema de planejamento de sistemas de distri-



buio atravs da aplicao dos mtodos de Branch-and-Bound e Out-of-Kilter. Todas as aplicaes fornecem relatrios texto com a formulao PL ou PLIM que permite com que o estudioso entenda em detalhes os modelos. Estas formulaes so escritas em formato compatvel que permite a utilizao da ferramenta de resoluo de problemas PL e PLIM existentes no software OTIMIZA

A Programao Dinmica abordada no Captulo 5. O texto trata da progra-mao dinmica, apresentando esta tcnica que permite o tratamento de proble-mas com mltiplos estgios, como o caso de vrias situaes reais da engenharia que devem ser resolvidas por tcnicas de otimizao. interessante notar que, quando esta tcnica pode ser aplicada, podem ser utilizadas funes objetivo e restries no lineares. O software OTIMIZA conta com duas aplicaes para esta tcnica. A primeira aplicao consiste no problema de despacho da gerao, mes-mo problema tratado no Captulo 3, por formulao PLIM. A segunda aplicao trata do problema de polti ca tima de transformadores de distribuio, quando deseja-se avaliar quais so os transformadores que devem ser utilizados, em um dado horizonte de planejamento, num determinado local com crescimento de car-ga pr-definido, de modo que o custo operacional seja mnimo. As aplicaes so ilustradas atravs de rvores de deciso utilizadas no processo de soluo por PD, o que facilita o entendimento.

OCaptulo6tratadaBuscaHeurstica.Nestecaptulosotratadasdiferentestcnicas de busca (busca em profundidade, busca em amplitude, etc.), bem como diferentes estratgias para a soluo de problemas. Um primeiro exemplo ilustra-tivo mostra como busca heurstica pode ser utilizada para o planejamento de um pequeno sistema de distribuio de energia eltrica, o que permite mostrar como diferentes tcnicas de busca permitem a determinao de solues de formas distintas, afetando principalmente na eficincia do processo. O software OTIMIZA tambmcontacomaplicaoutilizandotcnicasdebuscaheurstica;oproblemaconsiderado consiste na reconfigurao de sistemas de distribuio, quando um defeito ocorre em dado ponto do sistema. A aplicao conta com recursos para isolar o bloco defeituoso a partir de abertura de chaves e determinao da melhor configurao para atendimen to dos blocos que resultaram desenergizados.

O Captulo 7 aborda a tcnica de Algoritmos Evolutivos, a qual possui a importan te vantagem de ser muito flexvel em sua adaptao a problemas de oti-mizao em geral, o que explica seu grande sucesso nas aplicaes em engenharia eltrica. A base de algoritmos evolutivos explicada neste captulo, sendo basi-camente considerados os algoritmos genticos e as estratgias evolutivas. Trs exemplos ilustrativos permitem uma maior familiaridade com os algoritmos evolu-tivos: a minimizao de perdas de uma rede com duas alternativas de suprimento, a minimizao de investimentos no planejamento de um pequeno sistema de dis-



tribuio e o despacho econmico de uma unidade de gerao distribuda em rede de distribuio. O software OTIMIZA conta com duas aplicaes. A primeira trata do problema de alocao de unidades de gerao distribuda em redes de distribui-o, e a segunda trata do problema de reconfigurao de redes, onde se determina o estado das chaves para que as perdas no sistema sejam mnimas e os critrios tcnicos de carregamento dos componentes do sistema sejam atendi dos.

Finalmente, o Captulo 8 aborda alguns aspectos especficos da Programao No-Linear(PNL).Devidosdificuldadesprpriasdosproblemasnolineares,aPNLumarearelativamentemenosdesenvolvidaqueareadeProgramaoLinear.Conseqentemente,naPNLhmenosopesouentoopesmenosro-bustasdealgoritmosdestinadossoluodeproblemas.NoCaptuloabordadooMtododeNewtoncomDerivadasSegundas(MatrizHessiana),cujaaplicaoparticularmen te atraente em problemas quadrticos (problemas nos quais a fun-o objetivo no-linear representada por uma funo quadrtica). Inicialmente considera-se o problema de obter a distribuio de correntes em uma rede el-trica de forma a minimizar a perda total e respeitando restries da Primeira Lei deKirchhoffedecarregamentomximodas ligaes.Nestecasoconsidera-se que a rede pode operar em malha, porm com configurao fixa (as chaves existentesnaredenotmseuestadoaberto/fechadoalterado).Posteriormenteinclui-se o estado das chaves no conjunto de variveis de deciso do problema, e o objetivo passa a ser reconfigurar a rede (isto , determinar o estado das chaves) para minimizar a perda total, respeitando as restries anteriores e ainda a res-trio de radialidade da rede, a qual ocupa um papel fundamental em sistemas de distribuio. Os dois problemas tratados neste captulo foram formulados como problemasquadrticosconvexoseresolvidosatravsdoMtododeNewtoncomDerivadas Segundas. Ambas aplicaes foram incorporadas no software Otimiza, cuja utilizao nos dois casos ilustrada atravs de exemplos.


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