METODO DE HARDY CROSS TUBERIAS

INTRODUCCIN

Una red cerrada de tuberas es aquella en la cual los conductos o tuberas que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados. Un circuito es cualquier trayectoria cerrada que puede recorrer una partcula fluida, partiendo desde un punto o nudo de la red, fluyendo por distintos tramos, hasta llegar al punto de partida.

Las redes urbanas de distribucin de agua potable, las redes de distribucin de gas para usuarios urbanos, las redes de distribucin de agua en distritos de riego, las redes de distribucin de gas en sistemas de refrigeracin, las redes de distribucin de aceite en sistemas de lubricacin y las redes de distribucin de aire en sistema de ventilacin, son ejemplos clsicos de conformacin de redes cerradas de tuberas. Sin embargo, en esta oportunidad, el anlisis se centrar en las redes de distribucin de agua, cuya aplicacin es de gran inters para los profesionales de las Ingenieras Hidrulica, Minas, Civil, Industrial, Agrcola y Sanitaria.

Las redes urbanas de distribucin de agua forman ramificaciones sucesivas de tuberas, siguiendo el trazado de las calles y vas de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de manera que el agua, en un nudo de la red, puede venir por dos o ms direcciones distintas, lo cual presenta la ventaja de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparacin o de mantenimiento.

El anlisis de una red cerrada de tuberas conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de solucin muy laboriosa, que solamente es posible resolver por mtodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el Mtodo de Hardy Cross.

RESUMEN

En este trabajo se presentan dos versiones del Mtodo de Hardy Cross para analizar redes cerradas de tuberas. Cada versin del mtodo consiste en un algoritmo matricial, programado en lenguaje BASIC, empleando una ecuacin particular de resistencia para el clculo de la prdida de carga en los tramos de la red.

El primer de los programas emplea la ecuacin de Hazen & Weisbach operando simultneamente, a travs de una subrutina, con la ecuacin de Colebrook & White, para el clculo del coeficiente de friccin, f.

Al final, se ilustra la aplicacin del Mtodo de Cross con un ejemplo de anlisis de una red de cuatro circuitos, empleando ambos programas de clculo.

EL MTODO DE HARDY CROSS

GENERALIDADES

El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservacin de la energa en los circuitos.

El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen & Williams o, bien, la ecuacin de Darcy & Weisbach.

La ecuacin de Hazen & Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el clculo de las "prdidas" de energa.

La ecuacin de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el nmero de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberas.

Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,DQ, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.

Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aqu se presenta, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS

El mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos:"La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"(1)

Donde,Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.qi: Caudal concentrado en el nudo im : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos:"La suma algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".(2)

Donde,hf ij:Prdida de carga por friccin en el tramo Tij.n : Nmero de tramos del circuito iECUACIONES BSICAS

La ecuacin de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)Donde,V : Velocidad del flujo, m/s.C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.D : Dimetro de la tubera, m.Sf: Prdida unitaria de carga (m/m).

(4)

Por continuidad,

Luego,(5)

De la cual resulta:(6)

Donde,Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.L : Longitud del tramo de tubera, m.hf: Prdida de carga, m.La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obtenindose la siguiente ecuacin.

(7)

Haciendo(8)

Resulta:(9)

La ecuacin de Darcy & Weisbach expresa, en trminos de velocidad del flujo, la siguiente:(10)

Donde; f es el coeficiente de friccin, de Darcy

Y en trminos del caudal, expresa:(11)

Haciendo;(12)Resulta:(13)

En general, la ecuacin de prdidas de carga por friccin expresa:(14)Donde,r: Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuacinempleada para el clculo.n: Exponente del caudal, que depende la ecuacin de resistencia empleada.n : 1.851, segn la ecuacin de Hazen & Williams.n : 2.0 segn la ecuacin de Darcy & Weisbach.

El Mtodo de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteracin tras iteracin, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuacin general:(15)

El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:(16)

Donde:k : El coeficiente de rugosidad de la tubera, mm.D : Dimetro de la tubera, mm.R : El nmero de Reynolds del flujo, adimensional.Ntese que la relacin k/D, en la ecuacin (16) debe ser adimensional.A su vez, el nmero de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuacin:(17)

Donde,v : Velocidad del flujo, m/s.r: Densidad del fluido (agua), kg/m3.m: Viscosidad dinmica del fluido, kg/m.s.n: Viscosidad cinemtica del fluido, m2/s.D : Dimetro del conducto, m.Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

La ecuacin (16) es una ecuacin implcita para f, y por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error (en la subrutina 400), aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese que, para acelerar el clculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente frmula:(18)

CONVENCIONES Los caudales Qijy sus correspondientes prdidas de carga, hfij, y velocidades, vijsern positivos si fluyen en sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario. La nomenclatura de los tramos Tijslo requiere que el primer subndice represente el nmero de circuito al cual pertenece. El subndice j es un nmero consecutivo que inicia en 1 y termina en el nmero de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el tramo T2.4es el cuarto tramo del circuito No.2 En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como tampoco un sentido horario o antihorario. Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un nico circuito, o a dos, simultneamente. En el primer caso, el nmero del circuito adyacente, solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrar el nmero del otro circuito que lo camparte con el actual.

LISTADOS DE LOS PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC

LISTADO No. 1 DEL PROGRAMA DE CLCULO5 PROGRAMA PARA EL CLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MTODO DE HARDY CROSS10 ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIN DE HAZEN & WILLIAMS15 INPUT "COEFICIENTE DE HAZEN & WILLIAMS = " ; C20 INPUT "NMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ; NC25 INPUT "NMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NMERO DE TRAMOS = " ; N30 NIT = 035 DIM L (NC, N), D (NC, N), Q (NC, N), A (NC, N), hf (NC, N), NT (NC) , DELTAQ (NC)40 FOR I = 1 TO NC45 PRINT "NMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRUITO No. N" ; I;50 INPUT NT (I)55 NEXT I60 FOR I = 1 TO NC65 FORJ = 1 TO NT (I)70 PRINT "L ( "; I;" , ", J; " ) " ; "m" ;75 INPUT L (I, J)80 PRINT "D (";I;" ; ";J;")"; "pulg" ;85 INPUT D (I, J)90 PRINT "ENTRE EL CAUDAL CON SIGNO (+/-)" ; "Q (";I;2;" , ";J;")" ; "1/s" ;95 INPUT Q (I, J)100 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL";105 INPUT A (I, J)110 NEXT J120 NEXT I125 NIT = NIT + 1130 BEEP: BEEP: BEEP 1: BEEP 1135 FOR I = 1 TO NC140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0145 FOR J = TO NT (I)150 Q = ABS (Q(I, J))1.851 * Q (I, J) /ABS (Q (I, J))155 hf(I, J) = ((56.23 / C1.851) * (L(I, J) / D (I, J)4.87) * Q160 SUMAPER = SUMAPER + hf (I, J)165 SUMARELQ = SUMARELQ+ hf (I, J) / Q (I, J)170 NEXT J175 DELTAQ (I) = - SUMAPER / (1.851* SUMARELQ)180 NEXT I185 FOR I = 1 TO NC190 FOR J = 1 TO NT (I)195 U = A (I, J)200 IF U = 0 THEN GO TO 210205 Q (I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I) DELTAQ (U): GO TO 215210 Q(I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I)215 NEXT J220 NEXT I225 FOR I = 1 TO NC230 FOR J = 1 NT (I)235 IF ABS (DELTAQ (I) / Q(I, J)