APPUNTIDELCORSODILABORATORIODICALCOLO

AVANZATOMetodiNumericiperleEquazioniDifferenziali

Ordinarie

MARCOLIMONGIIstitutoNazionalediAstrofisica OsservatorioAstronomicodiRoma

1

1. EQUAZIONIDIFFERENZIALIORDINARIE

Iproblemifisicicheandremoadaffrontareinquestocorsoimplicanolasoluzionedidi equazionio sistemidi equazionidifferenzialiordinarie (ODE).Nel caso in cui ilgrado dellODE siamaggiore di uno, questa si puo in generale ricondurre ad unsistemadiODEdelprimoordine.PeresempiolODEdelsecondoordine:

sipuoriscriverecomelinsiemedelledueequazionidelprimoordine

dove z(x) e una nuova variabile. Percio il generico problema che implica lasoluzionediunaODEeingeneralericondottoallostudiodiunsistemadiNODEdelprimoordinedellaforma:

, , . 1, ,

dovelefunzioni , , . sononote.

Un problema che implica la soluzione di una ODE non e completamente

determinato fino a quando non vengano definite le condizioni al contorno. Lecondizionialcontornosonocondizionialgebrichesuivaloridellefunzioni inpuntispecifici del dominio di integrazione. Tipicamente e la natura delle condizioni al

2

contornochedetermina ilmetodonumericodi integrazionepiuconsonoaltipodiproblema.Lecondizionialcontornodividonoiproblemiinduegrandicategorie.

Problemi aiValori Iniziali. In questo genere di problemi le condizioni al contornosonodateadunestremodeldominiodi integrazione.Tipicamente le sonodatenelpuntoiniziale deldominiodiintegrazioneelasoluzioneerappresentatadalladeterminazionedeivaloridellefunzioni nelpuntofinaledeldominio .

ProblemiaiValorialContorno. Inquestotipodiproblemi lecondizionialcontornosonodateagliestremideldominiodiintegrazione.Tipicamentealcunesonofornitenelpuntoiniziale ,mentelerestantialtrenelpuntofinale .

1.1. PROBLEMIAIVALORIINIZIALI.

1.1.1. MetododiEuleroEsplicito(oinavanti):

Il metodo di Eulero rappresenta lidea di base di tutti i metodi numerici per larisoluzionedeiproblemiaivaloriinizialiperODE:

,

IlmetododiEuleroesplicitosibasasullapprossimazionedelladerivataprimadella

12

funzione mediantelaformuladiTaylor(alsecondoordine)applicataalpunto :

laquantita e il restodella formuladi Taylor con unpunto

ellintornodi .D

2

opportunon efinendo siha:

dacuisiricavailvaloredelladerivata:

2

sostituendoquestaespressionenellODE , per siha:

3

2,

Trascurandoora il terminedel restodiTaylor nonabbiamopiu ivalori

dellasoluzioneesatta,maotterremoivaloridellasoluzioneapprossimata.

esiha:

Chiamando la soluzione approssimata eponendo e

,

DacuilaformuladiEuleroEsplicito:

,

Questa formula avanza la soluzione da a . Il metodo si dice esplicitopoicheilcalcolodellafunzionein sibasasuquantitacalcolatein chesono

valonzaedatada ,

Figura1:NelmetododiEulero

tuttenote(esplicite).

Daunpuntodivistageometricoil re eapprossimatoutilizzandoilvaloredellarettalacuipende

siapprossima,adognipasso,ilvaloredellasoluzione conilvalore

cheassumelarettatangenteperlostessonodo infattilaformula

)( ixy

),( ii yxfh ix 1 iiy +y=+

4

.1.2. MetododiEuleroImplicito(oallindietro):

mefattoinprecedenza,manelviceversa:

2

1

ApplichiamolaformuladiTaylornonalpunto copuntodiarrivo ,cioescambiando con e

1

dacui

2

Risolvendoperladerivataprimasiha:

2

SostituendonellaODEdipartenza,quindi,siha:

2,

Alsolito,trascurandoilrestoavremounasoluzioneapprossimata.Facendousodellanotazionedefinitasopra,avremo:

,

Ladifferenzarispettoalmetodoesplicitoechela nonepiuvalutatain doveranota,maalcontrario in doveeancora incognita,poichee incognita la

,di dipe

e.Poiche ingenerale la dipenderada asecondomembrocomparira

lincognita .Percio ilcalcolo nde implicitamenteda Perquestoilmetodosidiceimplicito.Seladipendenzadi da elineare,lavalutaz edi

.Se die nu

ridi

stesso.

ionedi siricondurraallarisoluzion unaequazionediprimogradoesaratriviale inveceladipendenza da saranonlinearelavalutazionedi

sarapiu laboriosaerichiedera lapplicazionediunm todo mericoper laricercadeglize unafunzione(es.metododiNewtonRaphson).

5

1.1.3

PartiamodallODE

,

eintegriamoamboimembrinellintervallo , :

. MetododiCrankNicolson:

,

,

dolintegraleconilmetododeitrapeziedutilizzandolasolitanotazioneperlasoluzioneapprossimatasiha:

, ,2

dacui:

Risolven

2

cioe:

, ,

LastessaformulasipotevaottenereprendendolamediaaritmeticadelleformulediEuleroimplicitoedesplicito:

,

edividendoperdue,otteniamo:

2

,

sommandoledueequazionie

, ,

Anche in questo caso ilmetodo e implicito poiche richiede la conoscenza dellafunzionenelpuntodiarrivocheeancoraincognita.

6

1.1.4. Accuratezza.

aalcunedefinizionipreliminari,estendibili,conopprtunemodifiche,ancheaadaltrimetodi.

Errore globale di discretizzazione: Si dice errore globale di discretizzazione nelenzatra lasoluzioneveraequellacalcolataapartiredalpunto

dice errore locale di troncamento, lerrorettuareilsingolopasso

rdinedelmetodo:Sidiceordinedelmetodo,ilpiugrandeinteropositivopperil

Convergenza:Unmetodosidiceconvergentese:

oequivalentementese

lim 0

Sullabaseditalidefinizioniandiamoadanalizzareivarimetodifinquidescritti.

MetododiEuleroesplicito

Conriferimentoametodidiquestotipo,daremoor

punto ladifferinizialedeldominiodiintegrazione:

Errore locale di troncamento: Siintrodottodalmetodonumericonelleffe

Oqualerisulti:

lim

:Inquestocasolerrorelocaleditroncamentoedatoda:

,

icordando che i valori veri e quelli approssimati coincidono per definizione nelrpuntoiniziale,sihache , ,dacui

7

sostituendoinquestaequazionele pansioneinseriediTaylor,siha:

2

s

dacui:

2

Questaespressione,inoltre,implicache

percioilmetodoedelprimoordineelerrorevaazerocome .

MetododiEulero plicitoim :Inquestocasolerrorelocaleditroncamentoedatoda:

,

Utilizzandolequazione(vedisopra)

2,

2

esostituendo,siha:

Ancheinquestocaso,quindi,comenelcasoesplicito,siha:

elprimoordineelerrorevaazerocome .

MetododiCrankNicolson

percioilmetodoed

:Inquestocasolerrorelocaleditroncamentoedatoda:

2, ,

Ricordandoche

,

echeapplicandoilmetododeitrapezi(conlerrore)abbiamo:

8

,, ,

2 12

do,semplificandoericordandoche echequindi

siha:

Quindi,sostituen

12

Inquestocasoquindi,

zero

1.1.5. AnalisidiStabilita.

Un algoritmo e sta ile se non amplifica gli errori che compaiono nel corso deludieremo ora la stabilita dei metodi di Eulero esplicito e

implicitoedelmetododiCrankNicolson.Perfarequestostudiamoilcasospecificodellequazione:

percioilmetodoedelsecondoordineelerrorevaa come .

bprocesso risolutivo. St

0 . La soluzione esatta di questa equazione e.

con condizione iniziale

Metodo di Eulero esplicito: Dobbiamo provare che lerrore si mantiene limitato.Applicandoilmetodoallequazionespecifica:

1 1

Poichelasoluzioneesattatendeazeropervaloricrescentidix,vogliamocheanchelasoluzio enumericatendaazeropervaloricrescentidin,inmododamantenere

onenumen,solose:

nlimitatolerrore.Lasoluzi rica,fissatoh,tendeazeropervaloricrestentidi

|1 | 1

cioeper

9

1 1 1 0

Euleroesplicitoestabilesottocondizione.

Metodo di implicito

2

essndohpositivoperdefinizionelacondizionedistabilitadelmetodoe:

2

Ilmetododi

Eulero : In questo caso la soluzione numerica dellequazionespecificae:

11

11

iasivaloredih.IlmetododiEuleroimplicitoeincondizionatamentestabile.Inquestocasolasoluzionetendeazeropervaloricrescentidinperquals

Metodo di CrankNicolson: In questo caso la soluzionspecificae:

e numerica dellequazione

222

22

Inquestocasolasoluzionetendeazeropervaloricrescentidinperqualsiasivaloredih.IlmetododiCrankNicolsoneincondizionatamentestabile.

1.1.6. MetodiRungeKutta:

geKuttasonometodi incui lapprossimazionedellasoluzione in dipende solo dai valori della funzione in . Sono quindimetodi espliciti ad unpasso. Il vantaggio rispetto al metodo esplicito di Eulero e che questi metodisimulanoglieffettidellederivatediordinesuperiorevalutando la funzione

etododiHeun:

semplicedeimetodiRungeKuttaedeunanalogodelmetodo di CrankNicolson, ma rimane esplicito poiche usa Eulero esplicito per

ula

ImetodiRun

inpiupuntidellintervallo , inmododa avereunerroredi troncamento

localechesiadiordinesuperioreauno.

M

IlmetododiHeune ilpiu

predireilvaloredi dausarein , .Consideriamo,quindi,laform diCrankNicolson:

10

2, ,

Approssimiamoora ilvalore chesitrova in , effettuandounpassodelmetododiEuleroesplicito.Abb

di iamoquindi:

2, , ,

,

, , , ,

SiottienelaformuladiHeun:

Ponendo

2

,

,

diHeuneunanalogodelmetododiCrankNicolson,perquestovarranotutteleconsiderazionifatteinprecedenzaperilmetododiCrankNicolson.Percio,tralealtrecose,ilmetododiHeuneunmetododelsecondoordine.

MetododiRunge:

passo con ilmetododiEuleroesplicito finoametadellintervallo / /2 per calcolare il valore della funzione / .Effettuiamopoiunpass completo incui laderivataecalcolata in / , / (cioeametadellintervallo).SiottienecosiilmetododiRunge:

/ 2

Poiche ilmetodo

Supponiamodieffettuareun

o

,

2

dacui:

/ , / , 2,

LaformuladiRunge,percio,sara:

,

2,

2

Figura2:NelmetododiEulero laderivatanelpunto inizialediogni intervalloe'estrapolatapertrovare ilsuccessivodellafunzione.Questometodohaun'accuratezzadelprimoordine

Figura3:NelmetododiRunge l'accuratezzadelsecondoordinevieneottenutautilizzando ilvaloredella

e il valore nel puntonale. Nella figura i cerchi pieni rappresentano i valori finali della funzione mentre i cerchi aperti

ivalordella funzionecheservonopercalcolare laderivatadautilizzarenelsingolopasso.Questivalorivengonoscartatiallafinedelpasso.

valore

derivatanelpuntoinizialeperdeterminareilvaloredellafunzionenelpuntointermediodell'intervalloepoiutilizzando questo valore per determinare la derivata da utilizzare per determinarfirappresentano

11

12

1.1.7. SuimetodidiRungeKutta:

I duemetodi che abbiamo fino ad ora (Heun e Runge) si possono vedere piu ingeneralenellaforma:

con

,

,

icientiripartiamodallosviluppo inseriediTaylordellafunzione :

12

Icoefficienti , , , sonosceltiinmodochelerrorelocaleditroncamentosia

cioeimetodisianodelsecondoordine.

Perricavare ivaloridiquesticoeff

16

dovealsolito:

16

eilrestodellaformuladiTaylorcon unpuntoopportunonellintornodi .

Ricordandoche:

,

,

eche,

, , , ,

siottiene

,2

, , ,

13

Trascuarandoilrestosihalaformulaapprossimata:

,2

, , , 1

confrontarequestaespressioneconquellageneraledataallinizio . Prima di fare questo, pero, convieneespandere inse ediTaylor.RicordandocheingeneralelaformuladiTaylorperunafunzioneaduevariabili , nellintornodi , edatada:

, , , , ,

sipuoespandere nellespressione:

, , ,

che , siha:

, , , ,

Sostituendoquestaespressioneinquellageneralesiha:

,, , , ,

,

112

Aquestopuntovorremo

ri

ricordando

Raccogliendoafattorcomunesiha:

, , ,

Confrontandoquestaespressionecon losviluppo inseriediTaylorapprossimatosihannoleseuqntiidentita:

12

Questo sistemadi tre equazioni in quattro incognitenon ammette una soluzioneunica.Ciosignificachenonesisteunsolometododelsecondoordine,maunintera

NelcasodelmetododiHeunsiha:

1

famiglia.

2

21 1 1

14

NelcasodelmetododiRungesiha:

0 112

12

Le considerazioni fin qui fattedimostrano che imetodi diHeun e diRunge sonoentrambemetodidelsecondoordine,poiche inentrambe icasinellepansione in

itipoicheperprocederedalpunto inizale alpuntofinale si richiede solo la conoscenza della soluzione nel punto iniziale percio il passo dovra soddisfare la condizione di stabilita. Evidentemente sipossonocostruiremetodidiRungeKuttadiqualsiasiordine,troncando losviluppo

ntasemprepiudifficiledaricavare.

u usato e quello del 4 ordine, definito dalleseguentirelazoni:

,

2

serie di Taylor della funzione si e trascurato il resto . Entrambe imetodi sonometodiesplic

inseriediTayloraterminiviaviadiordinepiuelevato.Allaumentaredellordineilprocedimentodiventaviaviapiucomplitatoeallostessotempolastimadeglierrorilocalidive

Tra i metodi di RungeKutta, il pi

,2

2,

2

,

6 3 3 6

15

Figura4:NelmetododiRungeKuttadelquartoordine laderivatavienecalcolataquattrovolteperognipasso:unavoltanelpunto iniziale(1),duevolteperunvalorediprovanelpunto intermedio(2,3),eunavoltaperunvalorediprovanelpuntofinale(4).Utilizzandoquestederivatesicalcolailvalorefinaledellanzione.

Datochefinoallordine4sonorichiestetantevalutazionidelsistemaODEquantoelordine stesso, mentre per ordini maggiori occorre effettuare un numero divalutazioni via via sempre piu grande dellordine delmetodo, il RungeKutta delquarto ordine rappresente un ottimo compromesso tra precisione, sforzocomputazionaleestabilita.

IproeicontrodeimetodiRungeKuttasonoiseguenti:

fu

PRO:

1. Sonoefficienteanchequando la soluzionenonvienebenapprossimata conpolinomi;

2. Sono di solito poco sensibili a eventuali discontinuita delle funzioni del

rse di calcolo, il tempo complessivo di integrazionerisultabasso.

sistema;3. Richiedonopocamemoria;4. Efacilecambiareilpassodiintegrazioniinunmomentoqualsiasi;5. Iltempodicalcolodellalgoritmononeelevato.QuindipersistemiODEche

richiedano poche riso

16

RO:CONT

altrealternative;

calenonfaciledacalcolare;problemiincuisianorichiestivaloridellevariabili

inferiori a

odiMultistep:

recedentiedeventualmentenelpunto finale. Inise dipende manondaivalori

ericometodomultistepa 1passi

dove , .Se 0 ilmetodoeESPLICITO.Se,alcontrario,0 ilmetodoeIMPLICITO.Alcuniesempidimetodimultistepsono:

Nelmetododelpuntomedioladerivata , siassume

Dacuiperivaloriapprossimatiavremo:

2

1. Il numero di calcoli del sistema ODE e generalmente maggiore rispettoaquellodi

2. Nonsonoadattiasistemistiff;3. Lerrorelo4. Nonsiprestanoarisolvere

dipendenti molto ravvicinati, ossia con valori di h decisamentequellirichiestidallaprecisionedellalgoritmo;

5. Non e possibile risolvere sistemi in cui le derivate siano presenti in formaimplicita.

1.1.8. Met

I metodi Multistep, utilizzano i valori della variabile dipendente e della suaderivata accumulatineipuntipgeneraleunmetodosidicea pass

precedenti 1 .Pertantoungenedellaforma:

Metododelpuntomedio:costantenellintervallo , edugualealvalorein , , .Pertantosiavra:

, 2 ,

17

al solito, . Confrongenerale si o delsecondoordineaduepassi,esplicito,incui

0,

MetododiSimpson:NelmetododiSimpson, lintegralevieneapprossimatocon laformuladiSimpson.Percioinquestocasosiavra:

,

2

dove, , tando questa espressione con quella deduce che 1 , e 0. Pertanto questo e un metod

1, 2, 0

64

imati o:

3

Dacuiperivaloriappross avrem

14

Anche inquestocaso,confrontandoquesta formulaconquellageneralesideducehe 1 e 1/3. Pertanto, questo e unmetodo del quarto ordine a due

1/3

MetodidiAdams:NeimetodidiAdamslafunzione , vienesostituitaconunpolinomiointerpolatorediLagrangedigrado , ,cheinterpolalafunzionein

1punti.Cioe:

,

didi msBashfe , nellintegrale con un polinomio interpolatore di

Lagrangedigrado cheinterpolalafunzione , nei 1nodi , , .

cpassi,implicito,incui:

0, 1, 4/3,

Meto Ada ort:UnmetododiAdamsBashforta 1passieottenutosostituendo la funzion

18

Figura5:NelmetododiAdamsBashfortaq+1passilafunzioney(t)=f(t,y(t))vienesostituitaconunpolinomiodiLagrangedigradoqcheinterpolaf(t,y(t))neinoditnq,...,tn.

UnmetododiAdamsBashforta passiediordine .

MetodidiAdamsMoulton:UnmetododiAdamsMoultona 1passieottenutosostituendo la funzione , nellintegrale con un polinomio interpolatore diLagrange di grado 1 che interpola la funzione , nei 2 nodi

, , .

19

igura6:NelmetododiAdamsMoultonaq+1passilafunzioney(t)=f(t,y(t))vienesostituitaconunolinomiodiLagrangedigradoq+1cheinterpolaf(t,y(t))neiq+2noditnq,...,tn+1.

UnmetododiAdamsMoultona passiediordine 1.

In generaleun Polinomio interpolatore di Lagrange chepassaper i 1 punti

, , , , , , , , , , cioe

, , , , , , , e un polinomio di grado ed e datodallespressione:

dove

Fp

Scrittoesplicitamentediventa:

20

lepressionegeneraleperimetodidiAdamsBashforta 1passisara:

LespressionegeneraleperimetodidiAdamsMoultona 1passisara:

FacciamooraalcuniesempideimetodidiAdamsBashfort:

Metodo a un passo, 0: in questo caso abbiamo solo un nodo , ,percioilmetodosaradelprimoordine:

dacui:

EuleroEsplicito

biam , ,, ,percioilmetodosaradelsecondoordine:

Quindi

Metodo a due passi, 1: in questo caso ab o due nodi

dacui:

23

21

Metodo a tre passi, 2: in questo caso abbiamo tre nodi , ,, , ,percioilmetodosaradelterzoordine:

12

,

23 16 5

Metodoaquattropassi, 3:inquestocasoabbiamoquattronodi , ,, , , , , , percio il metodo sara del quarto

ordine:

2455 59 37 9

Faccia alcuniesempideimetodidiAdamsMoulton:

Metodo a un passo, 0: in questo caso abbiamo due nodi , ,, ,percioilmetodosaradelsecondoordine:

moora

2

dacui:

CrankNicolson

, , ilmetodo

12

Metodo a due passi, 1: in questo caso abbiamo tre nodi , ,, percio saradelterzoordine:

5 8

Metodoatrepassi, 2:inquestocasoabbiamoquattronodi , ,saradelquartoordine:, , , , , ,percioilmetodo

249 19 5

22

Iproeicontrodeimetodimultistepsonoiseguenti:

PRO:

1. Fornisconosenzadifficoltaunastimadellerrorelocale;egra

CONTRO:

2. Richiedonounminornumerodicalcolidifunzioneperpassodiint zione

1. TuttiimetodiMultistepesplicitisonoinstabili,quindioccorreutilizzarequelliimpliciti;

2. Glialgoritmimultistepnonsonoautosufficienti.Occorrecioedisporredialtrialgoritmiperavviarelintegrazioneecalcolareipunticoinvoltinellaformula;

i mopasso integ nuovamentedeipuntinecessariallaformulastessa.

.1.9. MetodiPredictorCorrector.

metodi implici (qualunque essi siano) hanno una difficolta aggiuntiva legata algenerale in forma implicita. In

generalequindi,ognimetodoimplicito,portaadunaequazionedeltipo:

unequazionediquestotipo,quindi,deveessereeffettuatanellamaggiorpartedei

ricamente.Tra levariepossibilita (metododiNewtonRaphson,metodo

provadi conunmetodoesplicito.Correggere ilvaloreconun

3. Le formule sono adatte ad un passo costante. Ogniqualvolta s difica ildi razioneoccorrereinizializzare lintegrazioneperpoterdisporre

1

Ifattoche lequazioneper ilnuovovalore e in

dove la funzione puo essere anche molto complicata. La risoluzione di

casinumedel punto fisso) ce quella del PredictorCorrector. Lidea e quella di fornire unprimovaloredimetodo implicito ed eventualmente iterare il metodo implicito fino allaconvergenza.

Piuspecificatamentesihalaseguenteprocedura.

Datoungenericometodoesplicito

23

,p

nelnuovopunto , ),e , senzaricalcolarlo.

Quindiloschemageneralebaseedeltipo:

Predizione: (metodoesplicito)

(metodoimplicito)

Valutazione(Evaluation): ,

Tuttaviasipossonoutilizzareperunoschemapredictorcorrectorpiuvarianti:

PEC P(EC)k

mediante esso si determina un valore approssimato . Per migliorare

lapprossimazionesiusaquestovalore, ercalcolare , inmododacorreggere conunmetodoimplicito

Percio il metodo esplicito predice una approssimazione e quello implicito lacorregge.Laformulaimplicitapuoessereripetutauncertonumerodivolte

Dopo correzionisipuoricalcolare ilvaloredi

oppureutilizzareilvaloreprecedent

Valutazione(Evaluation): ,

Correzione:

PECE(quellobaseappenadescritto) P(EC)kE

24

apredictorediordine e lo schemacorrector e di ordine , allora ilmetodo predictorcorrector PECE si comporta

tododiordinemin , 1 .

correctorsonoiseguenti:

ctorCorrectorEE+CN:

predictor , (EuleroEsplicito,ordine 1)

corrector

Ordinedelpredictorcorrector:Se lo schem

comeunme

Esempidischemipredictor

MetodoPredi

, , (CrankNicolson, 2)

Inquestoesempioilmetodopredictorcorrectorediordine2.

MetodoPredictorCorrectorAB2+AM3:

predictor 3 , , (AdamsBashfortaduee 2)

corrector

passi,ordin

5 , 8 , , Moultonatrepassi, 3)

quandositrattaconODEdiordinesuperiorealprimo.UnsistemadiODEdelprimoordinesidicestiffquandoesistonodueopiu

idellavariabileindipend iledipendente.Peresempio,consideriamoilseguentesetdiODE:

998 1998

999 1999

concondizioniiniziali 0 1, 0 0.Effettuandolatrasformazione:

2

sihalasoluzioneanalitica:

(Adams

Inquestoesempioilmetodopredictorcorrectorediordine3.

1.1.10. SistemiStiff:

Isistemistiffsipossonopresentare

scaledifferent entesullequalicambialavarib

25

2

ione:

0

esiadeltipo:

0

con 0 lacondizionedistabilitaper ilmetododieuleroesplicitoe 2/ .Percioechiarochesesiintegrasseilsistemadipartenzaconunmetodoesplicito,questo rich derebbeunpasso 1/1000per garantire la stabilita.Daltronde,

e iltermine etrascurabilenonappenacisiallontanadallorigine.Quindi ilproblemagenerico legatoallapplicazionedimetodiespliciti per equazioni stiff e quello di dover seguire la soluzione sulle scale piupiccole,pergarantire lastabilitadelmetododi integrazione,anchese irequisitidiaccuratezzadellasoluzionepermettanounpassomoltomaggiore.Lunicomododi

egiavisto,ilmetododiEuleroimplicitoeunmetododelprimoordine.Sesivuoleottenereunamaggior accuratezzapersistemistiff,sipuoricorrereametodi implicitidiordinesuperiore lprimo.

Nellanalisidistablitaabbiamogiavistochenelcasodellequaz

con soluzione esatta i metodi impliciti erano incondizionatamentestabili,mentre ilmetododieuleroesplicitoerastabilesoloper 2.Ora,sipuofacilmentedimostrarechenelcasoincuilequazion

,

ieperdeterminareivaloridi

ovviareaquestoproblemaequellodiutilizzaremetodiimpliciti.Com

ea

26

stantequesto,pero,essadeterminalastabilitadellasoluzione(lineatratteggiataepuntinata)ancheperscalepiugrandi

1.2. PROBLEMIAIVALORIALCONTORNO.

1.2.1. Introduzione

QuandounaODEdevesoddisfaredellecondizionialcontornochecorrispondonoapiudiunvaloreperlavariabiledipendentesihaunproblemaaivalorialcontorno.Tipicamente, le condizioni che devono essere soddisfatte vengono speficicate nelpunto iniziale e nel punto finale dellintervallo di integrazione. La distinzioneprincipale traproblemiaivalori inizialieproblemiaivalorial contornoe chenel

alo caso,

to inizialenondeterminanounasoluzionenicaconcuipartire,cioeunasoluzionechesoddisfi lecondizionialcontornonel

punto inizialenon verifichera in generale le rimanenti condizioni al contornoneluntofinale.Nelcasodeiproblemiaivalorialcontorno,quindi,saranecessariauna

proceduraiterativaattraversolaqualetratuttelesoluzionipossibilichesoddisfano

Figura7:Esempiodiinstabilitaincontrataintegrandounequazionestiff.Quisisupponechelequazioneabbiaduesoluzioni(lineasolidaelineatratteggiata).Laseconda,varapidamenteazerononappenacisidiscostadallorigine.Nono

primocasolasoluzione,notanelpuntoiniziale,siaggiornapassodopopassofinopunto iniziale attraverso integrazioni numeriche successive; nel secondinvece, lecondizionialcontornonelpunu

p

27

lezioniquellachesoddisfianchelecondizioni al contorno nel punto finale. Questo, in generale, richiederalintegrazionedelleODEsututtolintervallodiintegrazione,ovverolapplicazionedi

lassamento(vedisotto),percertounnumerodiiterazioni.Per

lecondizionialcontornonelpuntoinizialesise

unaproceduradiriquestomotivolasoluzionedeiproblemiaivalorialcontornorichiedonounosforzomaggiore sia in terminidiprogrammazionedellalgoritmo, sia in terminidi tempocalcolo.

Unproblemaaivalorialcontornostandardha laseguente forma:sivuolecheundato set di equazione differenziali ordinarie del primo ordine, soddisfi condizioni al contorno nel punto iniziale e un rimenente set di condizionialcontornonelpuntofinale .

PerciopotremoscrivereilsetdiODEcome:

, , , , 1,2, ,

Nelpuntoiniziale ,lasoluzionedovrasoddisfarele condizionialcontorno:

, , , , 0 1,

mentrenelpuntofinale dovrasoddisfarelerimanenti condizioni

, , , , 0 1,

Esistono due classi distinte dimetodi numerici per risolvere problemi ai valori al

un lee le equazion

imetodinumericiperproblemiaivalorivalori di tutte le variabili dipendenti

nellaltro estremo dellintervallo di integrazione. In generale questi valori nonsaranno consistenti con le condizioni al contorno per questo estremo, percio sidovraoperare inmodotaledaaggiustareopportuname te ivalorifornitialpunto

i alcontornovolute.

contorno.Nelmetodo di shooting vengono scelti dei valori per tutte le variabilidipendentiin estremo;talivaloriovviamentedovrannoessereconsistenticon condizioni al contorno relative a quell stremo. Fatto questo, idifferenzialivengono integrateconuno deiniziali. In questo modo si determinano i

niniziale per ottenere nel punto finale dei valori consistenti con le condizion

28

hem prova

navariantediquestometodoe ilmetododel fitting. Inquestocasosiscelgonodei valori di prova per tutte le variabili dipendenti in entrambe gli estremi diintegrazione (echesianoconsistenticon lecondizionialcontornoaidueestremi).Fattoquestosiintegranoleequazionipartendodallinternoepartendodallesterno,con uno deimetodi per i problemi ai valori iniziali, fino ad un punto intermediodettopuntodi fitting.Lediscrepanze tra ivaloridellevaribialidipendentiottenuticon lintegrazione dallinterno e con quella dallesterno vengono utilizzate percorreggereivaloridiprovainmododaazzerarelediscrepanzestesse.

Ilmetodo del rilassamento, invece, utilizza un approccio differente. Le equazionidifferenziali sono rimpiazzate da equazioni alle differenze finite su una griglia dipunti(meshpoints)checopretuttolintervallodiintegrazione.Siforniscequindiuna

rilassamento,consistenellaggiustaretutti ivaloriditutte levariabilidipendenti inodo taleottenere la verificadelleequazioni in tutti imesh,entroun tolleranza

Figura 8: Sc atizzazione del metodo di shooting. I valori di della soluzione che soddisfano lecondizionialcontornonelpuntoinizialevengonolanciatialpuntofinale.Lediscrepanzetraivaloricosiottenutie lecondizionialcontornonelpuntofinalevengonoutilizzateperaggiustare ivaloridiprovanelpuntoiniziale.Ilprocessoiterativoavraterminesoloquandolediscrepanzesarannoinferioriadunacertatolleranzafissataapriori.

U

prima soluzione di prova che consiste nellinsieme dei valori di tutte le variabilidipendenti corrispondentiadognimeshpoint.Questi valorinon soddisferanno ingenerale leequazionialledifferenzefiniteperognicoppiadimesh,netantomenole condizioni al contorno ai due estremi. Literazione, detta comunemente

mdata,nonchedellecondizionialcontornoaidueestremi.

29

c

metodo del rilassamento e piu efficiente del metodo di shooting quando leequazioni sono tali che i valori della soluzione agli estremi dellintervallo diintegrazionesonomoltosensibili.Percio,piccolevariazionideivaloridiprovadellasoluzione ad un estremo determinano grandi variazioni dei valori ottenutiallestremoopposto.Inquestocaso,quindi,edifficilemodificareivaloriinizialiperottenereivalorifinalicompatibiliconlecondizionialcontornovolute.

Essendo, in generale, il metodo del rilassamento piu robusto del metodo dishooting,questoepreferitoquandolefunzioninonvarianolentamentemahannovariazioniripideinfunzionedellavariabileindipendente.

va iniziali di tutte le variabili dipendenti nel punto inizialeintervallo di integrazione compatibili con le condizioni al contorno.

Pertanto ci saranno valori iniziali di prova che potranno essere

Figura9:Schematizzazionedelmetododelrilassamento.Inizialmentesifornisceunasoluzionediprovachesoddisfainmodoapprossimatosialeequazioni helecondizionialcontorno.Inunprocessoiterativo,poi,lasoluzionediprovavieneviaviamodificatainmododaottenerelamigliorverificadelleequazioniedellecondizionialcontorno.

Il

1.2.2. IlMetododiShooting

Ilprimopassocheoccorreeffettuarenelmetododishootingequellodispecificaregli valori di prodell

assegnatiliberamentesenzacondizioni.Supponiamochequestivaloriliberisianocontenuti in un vettore di dimensioni . Quindi, ad ogni particolare

30

. Ingeneralele no il

, 1, ,

trovareunvettoredivalori cheportiazerotutti i

er g

corrispondera un particolare , cioe il vettore dei valori di prova iniziali.Lintegrazionedelsistemadi ODEconunodeimetodinumericiper iproblemiaivalori iniziali portera ad un particolare , cioe il vettore dei valori dellasoluzione corrispondentialpunto finaledellintervallodi integrazione

non verifichera condizioni al contor date per punto finale.Supponiamochelediscrepanzetralecondizionialcontornodateequelleottenutecon lintegrazione appena effettuata siano contenute in un vettore , anchessoovviamentedidimensioni ,perciorisultera:

Ilproblemaquindiequellodivalori del vettore . Dobbiamo quindi studiare come varia al variare di . Ildiff enzialetotaledellagenericacomponentedi saradatoin eneraleda:

Percioperazzerare esu icientevariare modoche:

1, ,

Cioe:

ff in

1, ,

chescrittoinformacompattarisulta:

essendo lamatriceJacobiana la cuigenericacomponenteedatada:

Unavolta risoltoquestosistemaavremo lecorrezioni daapportareaivaloridi

provadi ,chechiameremoora .Percioavremoche inuovivaloriliberidiprovasaranno:

31

Ora se le equazioni differenziali sono lineari, allora questa procedura portadirettamente alla soluzione finale. Se invece le equazioni sono non lineari, allora

ecessario iterare linteraprocedura finoa che lediscrepanze saranno tutteinferioriadunacertatolleranzasceltaapriori.

E importantenotare che ingeneralenon sara facile calcolare lederivateparzialichecompaiononellamatriceJacobianainmodoanalitico.Sidovraquindiricorrere

merica effettuando integrazioni separatedelledi ODE,incuiognivaloredelvettore vieneincrementatodiunaquantitasceltaapriori,seguitedalcalcolodelladerivataparzialedatoda:

,

saran

alla valutazione di queste per via nu

, , , , , ,

1.2.3. MetododelFitting

otingassumeimplicitamentecheilancisianosempreingradodiattraversare il dominio di integrazione, dal punto iniziale al punto finale, econvergere ad una soluzione corretta, anche nelle prima fase del processo di

m

fanno semplicemente morire ilprogramma. Inoltre in alcuni casi lalta non linearita delle equazioni implica una

dei

fitting e tale che

, epoiuna integrazionedellesterno,da a . Se, come abbiamo

dettoinprecedenza,ilnumerodicondizionialcontornodaimporrein sono edilnumeroda imporre in sono ,alloracisaranno valoriliberi in ed aloriliberi in dellevariabilidipendentidaassegnare.Supponiamoche ivaloriliberiin sianocontenutiinunvettore didimensioni echeivaloriliberiin

di dimensioni . Allora ad ogni scelta di corrisponderaun vettoredi valori iniziali in , ed analogamente adogni

Ilmetododisho

convergenza. In realta, in alcuni casi, se i valori di prova sono olto lontani daivalori corretti, la soluzione non e in grado di essere lanciata da a senzaincontrare espressioni incalcolabili o catastrofiche, come, ad esempio, radici dinumeri negativi o divisioni per zero, che

diffoltadiconvergenzadovutaallelevatasensibilitadellecondizioniin daquellein . In questi casi si puo superare questa difficolta attraverso ilmetodo delloshootingtoafittingpointopiu semplicemente ilmetodo lfitting.Lideaecheinvece d integrare dal punto al punto , si effettua prima una integrazionedallinterno, da fino ad un certo punto , detto punto di

v

siano contenuti in un vettore

32

i

an ,m

eiv

differenziale

cioe:

sceltadi corrisponderaunvettoredivalori iniziali in , .Lintegrazionedelsistemad ODEda a ,conunodeimetodinumericiperiproblemiaivalori

iniziali,permetteradidefiniretuttiivaloridituttelevariabiliindipendentealpuntodi fitting, . Analogamente lintegrazione dallesterno da a portera a

definireilvettore .Ingeneralequestiduevettorinoncoincider no aanzi

sipotraunvettoredidiscrepanzealpuntodifitting,didimensioni

dovelagenericacomponentee:

1, ,

Questediscrepanzedipenderannoingeneral daivaloridi e ,perciosidovraoperaresuquest aloriaffinche lediscrepanzealpuntodifittingvadanoazero.Il

totaledi saradatoingeneraleda:

1, ,

co e sa

1, ,

Perciola ndizionesullevariazionideivaloriliberiin in ra:

1, ,

La soluzione di ques ema fornira, quindi, le correzioni e daapportareaivaloridiprovadi edi ,percioavremocheinuovivalori

to sistliberidi

provasaranno:

Comenelcasoprecedente,se leequazionidifferenzialisono lineari,allora,questaproceduraportadirettamenteallasoluzionefinale.Seinveceleequazionisononon

33

ch

occorrera, allavalutazionenumerciadellederivateparzialicomedescrittoinprecedenza.

1.2.4. MetododelRilassamento

Ilmetododelrilassamentohaunapproccioalproblemacompletamentedifferentetrovare la

combinazionedivaloriliberiper levariabilidipendentiagliestremidellintervallodiintegrazione,cheminimizzagliscarti(oalpuntodifittingoaunodeidueestremidi integrazione), in questo caso lidea e quello di fornire una intera soluzione diprovasututtolintervallodiintegrazione,suddivisoinunagrigliadimeshpoints,e

soluzi ro nerrt o

glioilmetodo.

Consideriamoilgenericosistemadi ODEs:

lineari, allora saranecessario iterare linteraprocedura fino a e lediscrepanzesarannotutteinferioriadunacertatolleranzasceltaapriori.

Anche inquestocaso ingenerale,procedere

da quello dei metodi di shooting e di fitting. Infatti, invece di

variare inmanieraopportuna le onidiprovaneisingolimeshpe tte e laverifica delle equazioni di pa enza, pportunamente linarizzate. Andiamo ora aspiegarepiuindetta

, , , 1, ,

primo passo suddividiamo lintervallo di integrazione in punti cheComechiameremomeshpoints(opiusemplicementemesh)etrasformiamoleequazionidifferenziali in equazioni algebriche alle differenze finite. Percio per la genericacoppiadimesh , 1 eperlagenericaequazione esimarisultera:

, , , , ,, ,

, , ,

/ 2

/ , / , /

dove

erasoluzionediprovacheconsistenegli

valori , , , , , 1, , .IngeneraleleequazionilinearizzateSupponiamodifornireoraunint

34

,, ,

, ,/ , , / , , , / 1, . . ; 1, , 1

nonsarannoverificate,cioerisultera:

, , 0 1, . . ; 1, , 1

dove , elanonverificadellequazione esimaperlacoppiadimesh , 1 .Poiche , dipenderadallasoluzionediprova,studiandoda lasuadipendenzada

questa,sipotraoperaresuivaloridiprovaperminimizzaregliscarti.Ildifferenzialetotaledi edatoda:,

,,

,,

,

,,

e

,

Ovviamente , dipenderadalle variabili in in 1.Percioper azzerareglierrori si dovra imporre che le correzioni ai valori iniziali di prova soddisfino ilseguentesistemadiequazioni:

,,

, ,

,,

,, 1, . . 1, , 1

Si ha quindi un sistema di 1 equazioni nelle incognite, , , , 1, , , che rappresentano le correzioni da apportare ai

valoridiprovaperazzerarelenonverifiche.

Le restanti equa oni derivano dalle condizioni al contorno. Supponiamo al:

, , ,

echenelsecondoestremosianodatelerimanenti condizioni

, , , , , 0 1, ,

questeequazionilinearizzatenonsarannoingeneraleverificate,percioancheinquesto analogamenteasopraavremo:

,

zisolitochenelprimoestremosianodate condizionialcontornonellforma

, , 0 1, ,

Datiivaloridiprovadellasoluzioneanchecaso,

, , , , , 1, ,

e

35

Percioancheinquestocaso,analogamenteaquantofattosopra,dovremoimporreche:

1, ,

tano:

,

, , , , , 1, ,

e

1, ,

chescritteesplicitamentediven

,,

1, ,

,,

,

1, ,

che sono appunto le chemancanoperportare il sistema a equazioni

nelle incognite , , , , , 1, , echerendonopercioilsistemainlineadiprincipiorisolubile.

i mesh , de dallevariabili in , 1 , la matrice dei coefficienti di questo grande sistema saraevidentemente unamatrice con una ba da sulla diagonale principale (vedi figura

isistemidiequazioni,soprattuttoattraversotecnichespecificheper larisoluzionedimatricisparse.

Poiche ogni equazione per la generica coppia d 1 dipen

n10). La soluzione di questo sistema, quindi, potra essere effettuata oltre cheattraverso letecnichestandard(gaussjordan,decomposizioneLU)dirisoluzioned

36

te ,cioelecorrezionidaapportareaivaloridiprovadituttelevariabiliintuttiimesh,mentre leB indicano i termininoti,cioe lenonverifichedellevarieequazioni.Glispazivuotippresentanoglizeri.

omediconsueto,seleequazionisonononlineari,questaproceduradovraessere fino a raggiungere lazzeramento delle non verifiche e percio la

versolasoluzione.

Figura10:Strutturadellamatricedeicoefficientidelsistemadi equazionidifferenzialitrasormateinequazionialledifferenzefinite,concondizionialcontornoaidueestremidellintervallodiintegrazione.LeXrappresentano lederivatedellagenericaequazione (righe)rispettoallavaribile (colonne).LeVrappresentanoleincogni

ra

Citerataconvergenza