Esercizi svolti e commentati

Equazioni differenziali

y

unf " ti

µFHI

" "

¥kFe

×

mi Htt pyltttkyltt = FHI

Yiusyye E gentile

Equazioni differenziali ordinarie del

primo ordine ( EDO E)

Sono equazioni differenziali della forma :

Metodi risolutivi :

µ'

= flyigki →

"

variabili separabili"

y ! alxiytbki →

"

variazione delle costanti "

i )"

Variabili Separabili"

Y= fiyi qui

e) Cerco le soluzioni costanti dell'eg.me

differenziale ossia i valori I di yte

.

fiyi= o.

In tal caso diremo che

4=5 è soluzione costantedella

equazione ,

2) Per y # I separo le variabili i

È = fiyigcxi ⇒ fa,= guida ⇒

| ft,=) guide ⇒ ftp.GKI te

dove Fly ) è una primitiva di fy )

e Glx ) è una primitiva di jki .

A questo punto ricavo la y :

y = F-i( GIN te )

.

il"

Variazione delle costanti"

y'

IN = aut y t bki

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione differenziale :

Y'

-3×4=0

° Svolgimento

y'

-3×4=0 ⇒ y'

= ¥27

1) Cerco le soluzioni costanti :

Y = o è soluzione costante dell'equazione ,

2) Pery # o separiamo le variabili

È = 3×4 ⇒ Ho=)sede ⇒ln 3¥ te ⇒

⇒

*È"

⇒

yiè:{ ⇒ y.ee"

avendo tolto il modulo dal momento che

la costante e è incognita .

Formule utilizzate :

| f- dy =

lnlyltelgba = e ⇒ be =

apologia=p

ab.ae =abte

Esercizio 14

Risolvere il seguente problema di Cauchy :

{ It I = È(6) = 1

° Svolgimento

Riscrivo l' equazione differenziale :

Y'

= - ÷ , y t ¥alx )

bk )

L' equazione differenziale è della forma

y'

= alxiy t bki i la soluzione dell' annesso

problema di Cauchy esiste unica.

Risolvo l' equazione differenziale .

La soluzione dell' equazione differenzialeè data da :

qui = la " ' [ Ct fbixièa " dx )

con

Andre di.

Calcoliamo i vari termini della soluzione :

Aei =/ dx = - ) dy = - luke - site , =

8= - ln (2×1-3) fui

Il modulo è stato eliminato dal momento

che la Condizione al contorno qui = 1 è

data per × > - E lx -

. r ).

| bei è" "

di =/ È ètlnlzxtsildx=

= ) È,

ehi " × » ) dx = ) Ie lzxtsidx =

= s ) dx= s ) de

Il denominatore ha due zeri di molteplicità

algebrica i :

= # + È :a '

=

=( AtB) xtz A - ZB

( x - 2) ( xtz )

Per il principio di identità dei polinomi :

{At B = a ⇒ A = 2 - B ⇒ A = 2- fa ⇒ A. È

2A - ZB =3 ⇒ 4 - 2 B - ZB =3 ⇒ - 4 D= -1 ⇒ D= È

Equazioni differenziali di Bernoulli

Un'equazione differenziale del I ordine è detta

di Bernoulli se è della forma :

Y'

IN = alxiyixitblxiycxi'

o, più brevemente

,

y'

= any t blu y'

.

Per risolvere tale equazione differenziale procediamo

nel seguente modo :

1) divido Tutto per y'

( assumendo y # o se ero )

%a= alxiy

' - atblx ,

2)pongo zlxi = = y

' - a

3) deriva Zlx ) :

Esercizio 5

Risolvere il seguente problema di Cauchy :

{Y

'= y -

zxy'

7111 = 1

° Svolgimento

Risolvo l'equazione differenziale .

E'

un'equazione differenziale di Bernoulli.

Assumendo y'

to ⇒ y # o,

divido Tutto per

ys :

y'

I= § - zx

Pongo Z IN = fa .

Derivando si ha Z'

IN =- ZY

-3. y

'= - 2% ,

da

cui ff,=

-

È¥ .

Sostituendo nell' equazione

differenziale si ha

- Z'

¥ = Zlx ) - 2 × ⇒ Z'

lx ) = - 2 Zlx ) t 4 X.

Risolvo tale equazione differenziale con

il metodo di variazione delle costanti :

2-'

I × ) = - 2 Z l × ) t 4 X- -

a lei blx )

Zlx ) : la " ' [ Ct fbcx, e-a ' " dx )

,con

Aki = falxidx

A KI = ) - 2 dx = - 2 x te

| bui e- " "

dx = ) 4x e"

dx ⇒ Risolvo per

parti :

figIi

4 × - ) 4 dx = zxe"

- 4 te =

Equazioni differenziali del I ordine a

coefficienti costanti

Sono equazioni differenziali delle forma

ay"

tby '

tey = fui ,a

,b. CEIR

Vediamo come si risolvono.

1) Risolvo l'equazione omogenea

associata

ay"

t by '

tey i o

La soluzione è un' esponenziale della forma

YKI - Cèx

Sostituendo Tale soluzione nell' equazione

omogeneaotteniamo un'equazione algebrica :

Esercizio 2

Risolvere la seguente equazione differenziale :

y"

vi ty LH = It 1

• Svolgimento1) Risolvo l' equazione omogenea

associata :

y"

t y= o yn

e"

I t 1 = o ⇒ d' = - i ⇒ Ì= il ⇒ i = I i

La soluzione dell' omogenea è data dai

Yak ) = Ci cose lei t la sink )

2) Cerco la soluzione particolare

fui = è te è un polinomio di è grado .

Poiche '

nell' equazione differenziale compareil termine

"

y"

,cerchiamo la particolare fui come un

polinomio di è grado :

[ lei = Lo t di X t 22 X?

Per determinare i coefficienti ao, ai ,

ar

sostituiamo fui nell' equazione differenziale .

[ lei = Lo t di X t 22 X?

]'

vi = di t 222 X

y"

lei = 2 a 2

Sostituendo nell' equazione differenziale di

partenza si ha :

2 22 t do t 21 X t RZX?

= Xl t 1

22 X?

t 21 X t ho t 222 = X?

t 1

Equazioni differenziali ordinarie di ordine

maggiore o uguale a z.

Ln Ylntlx , tanti" "

IN t. . .tazy

"kit di Y'

kit Roy IN = fu

1) Risolvo l' equazione omogenea

any"

tanti yn.it . . . t azy"

t di y'

t ao Y= o

Sappiamo che le soluzioni sono della

forma qui ~ e"

da cui i

an t anni In-

it. . . t ha It and t Lo = o

Risolvendo l' equazione trovo i valori di

li a

ognunodi tali i corrisponde una

soluzione dell' equazione differenziale .

• Se

diha molteplicità algebrica pari

a 1 la soluzione corrispondente èYilx) = Coeli ×

• se di ha molteplicità algebrica m

la soluzione associata è :

Yi le ) = ( Cit liti × t. . .

+ Citm. , ×

" ' ) ehi ×

-Sonom Termini

• Se di sono soluzioni complesse coniugate ,

cioè della forma di = µ

,

± in

←Parte Reale Parte

immaginaria

la soluzioneomogenea

associata è

Yi vi = µ"

( le cos lwxlt la sinlwx ) )

La soluzione omogenea Totale è

data dalla somma delle soluzioni

associate a Tutti i hi.

Esempio

Y"

tzyitty'

yrè"

ptZI

ti = o

III tanti ) :O

Aliti )?

(D= o mi a. =p

( htt ) ?-

- O ⇒ te -1 ma 2

You ) = lee' ×

t ( Cztlsx ) è" "

= Cetllztlsxle "

- -

Soluzione Soluzioneassociata associata

a D= o a D= -1