METODE ELEMEN HINGGA pengantar1.ppt -...

METODE ELEMEN HINGGA

Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS

Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

PENGANTARPENGANTAR

M t d El Hi d l h t d• Metode Elemen Hingga adalah metode numeris untuk penyelesaian masalah teknik dan fisika matematis.

• Masalah tersebut meliputi: p– Analisa struktur– Heat transferHeat transfer– Aliran fluida

Perpindahan massa– Perpindahan massa– Elektromagnetik


PENGANTAR (lanjt )PENGANTAR (lanjt.)U t k l h k l k d i t i• Untuk permasalahan kompleks dari geometri, pembebanan, dan sifat material, umumnya susah untuk menyelesaikannya secarasusah untuk menyelesaikannya secara matematis.

• Penyelesaian matematis adalah menggunakan• Penyelesaian matematis adalah menggunakan persamaan matematis yang menghasilkan persamaan untuk mendapatkanpersamaan untuk mendapatkan informasi/penyelesaian dari nilai yang tidak diketahui disetiap lokasi dibagian struktur/objek. p g jPenyelesaiannya umumnya menggunakan ODE & PDE.


PENGANTAR (Lanjt )PENGANTAR (Lanjt.)

• Penyelesaian Metode Elemen Hingga menghasilkan persamaan dari masalah yang dianalisa dalam sistem persamaan serentak yang harus diselesaikan.

• Penyelesaian ini memberikan hasil/penyelesaian pendekatan dari nilai yang tidak diketahui pada titik tertentu dalam sistem yang kontinyu.

• Sistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisiSistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisi struktur/objek yang sebenarnya.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)

• Dikritisasi (discretization) adalah proses pemodelan dari struktur/ objek dengan membaginya dalam elemen-2 kecil (finite elemen atau elemen hingga) yang terhubung oleh titik-2 (nodes) yang digunakan oleh elemen-2 tersebut dan sebagai batas dari struktur/ objek.

• Dalam metode elemen hingga persamaan dari seluruh sistem dibentuk dari penggabungan persamaan elemen-2nya.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)U t k l h t kt l i• Untuk masalah struktur: penyelesaian yang didapat adalah deformasi (displacement) pada setiap titik (nodes) yang selanjutnya digunakansetiap titik (nodes) yang selanjutnya digunakan untuk mendapatkan besaran-2 regangan (strain) dan tegangan (stress)dan tegangan (stress).

• Untuk masalah bukan struktur:– Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur– Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur.– Fluid flow: tekanan fluida akibat flux fluida.

• Metode elemen hingga (finite elemen method)• Metode elemen hingga (finite elemen method) telah berkembang selama 35 tahun bersamaan dengan perkembangan teknologi komputer.


de ga pe e ba ga e o og o pu e

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)P l i d i t d l hi (MEH)• Penyelesaian dari metode elemen hingga (MEH) umumnya menggunakan metode matriks.

• Penyelesaian MEH memerlukan perhitungan• Penyelesaian MEH memerlukan perhitungan yang sangat banyak dan berulang-ulang dari persaamaan yang sama, sehingga diperlukan y g ggsarana komputer dan bahasa pemrogramannya.

• Penyelesaian dari seluruh sistem umumnya merupakan penyelesaian persamaan serentakmerupakan penyelesaian persamaan serentak yang dinyatakan dalam bentuk matriks dan diselesaian menggunakan penyelesaiandiselesaian menggunakan penyelesaian persamaan serentak (Cholesky, Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel).



S j h i k t• Sejarah singkat:– Elemen satu dimensi dikembangkan oleh

Hrennikoff (1941) dan McHenry (1943) sebagai elemen rangka (truss) dan balok (b )(beam).

– Courant (1943) mengembangkan definisi t d l b t k f i ( i ti ltegangan dalam bentuk fungsi (variational form), shg. Sebagai awal penggunaan fungsi bentuk (shape function) yang diterapkanbentuk (shape function) yang diterapkan dalam elemen segitiga (elemen dua dimensi).



L (1947) b k t d• Levy (1947) mengembangkan metode fleksibilitas (flexibility method) atau metode gaya (force method). Pada tahun 1953, dia mengembangkan metode deformasi (displacement method) atau metode kekakuan (stiffness method). Pada masa itu usulannya sangat susah diterima oleh umum karena memerlukan banyak perhitungan sehingga diperlukan komputer sebagai sarana pendukung.


p g p g

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)A i d K l (1954) b k• Argyris dan Kelsey (1954) mengembangkan analisa struktur metode matriks menggunakan metode energi. Pengembangan ini menunjukkanmetode energi. Pengembangan ini menunjukkan pentingnya pendekatan prinsip energi dalam penyelesaian persamaan-2 metode elemen hinggahingga.

• Awal penggunaan elemen dua dimensi dilakukan oleh Turner Clough Martin dan Topdilakukan oleh Turner, Clough, Martin, dan Top (1956) dengan menurunkan persamaan untuk elemen rangka, balok, elemen segitiga dan persegi, pada pengembangan direct stiffness method untuk mendapatkan kekakuan sistem.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh• Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh Clough pada th. 1960 saat menggunakan elemen segitiga dan segi empat dalam analisa tegangan bidang ( l t l i )(plane stress analysis).

• Melosh (1961) mengembangkan elemen pelat lentur (plate bending).(p g)

• Grafton dan Strome (1963) mengembangkan elemen shell dan axisymmetric shell untuk pemodelan pressure vesselvessel.

• Martin (1961), Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962), Melosh (1963), dan Argyris (1964) mengembangkan l ti di i t t h d lelemen tiga dimensi tetrahedral.

• Clough, Rashid, dan Wilson (1965) mengembangkan elemen axisymmetric solid.


y

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)K b k d k t d t k il• Kebanyakan pendekatan regangan dan tegangan kecil dipakai dalam penyelesaian MEH ditahun 60-an.

• Turner Dill Martin dan Melosh (1960) mengembangkanTurner, Dill, Martin, dan Melosh (1960) mengembangkan penyelesaian dari Large deformation and thermal analysis.

• Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962) mengembangkan penyelesaian kasus material tidak linier (non-linear material)material).

• Gallagher dan Padlog (1963) mengembangkan penyelesaian dari masalah tekuk (buckling).p y ( g)

• Zienkiewicz, Watson, dan King (1968) mengembangkan penyelesaian dari kasus visco-elasticity.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)A h (1965) b k l i• Archer (1965) mengembangkan penyelesaian dari kasus analisa dinamis dalam pengembangan consistent mass matriks padapengembangan consistent mass matriks pada rangka dan balok.

• Melosh (1963) mengembangkan pendekatan ( ) g gpersamaan variational (vaiational formulation) dalam permulaan dari penyelesaian masalah bukan strukturbukan struktur.

• Zienkiewicz, dan Cheung (1965), Martin (1968), dan Wilson dan Nickel (1966) mengembangkandan Wilson dan Nickel (1966) mengembangkan penyelesaian dari masalah torsi dari poros, aliran fluida, dan konduksi panas.



P l i k i hi• Penyelesaian menggunakan weighing residual method dikembangkan oleh Szabo dan Lee (1969), dan diterapkan dalam penyelesaian masalah transient field problems oleh Zienkiewicz dan Parekh (1970). Studi tersebut memberikan alternatif penyelesaian bila kasus-2 yang tidak bisa diselesaiakan dengan gpendekatan direct formulation dan variational formulation.



• Belytscho (1976) mengembangkan penyelesaian yang efisien dari perilaku large displacement non-linear dynamic dengan memperbaiki penyelesaian numerisnya.

• Penerapan dari metode elemen hingga telah digunakan dalam bidang bioengineering. Kasus-2 dalam bidang ini masih banyak masalah dimaterial pada non-linear material, non-linear geometry, dan banyak hal lain yang masih menunggu penyelesaian.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)• Notasi matriks: dF

matriks gaya dinyatakan

y

x

y

x

ddd

FFF

1

1

1

1

dinyatakan dalam {F} = Fdan matriks

x

z

x

z

ddd

FFF

2

1

2

1

dan matriks displacement dalam {d} = d

yy d

dF

F .}{;.}{22

dalam {d} = datau

.

...

ny

nx

ny

nxdd

FF


nznz dF

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)• Matriks kekakuan elemen dinyatakan dalam [k]

dan matriks kekakuan global sistem struktur dinyatakan dalam [K]dinyatakan dalam [K].

KKKkkk 1121111211

n

n

n

n

KKKKKK

KKkkkkkk

kk......

][;......

][ 22221

11211

22221

11211

nnnnnnnn KKKkkk ...............

...............

2121

• Persamaan dari kesetimbangan sistem struktur dinyatakan dalam:

F = K dHandayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 17

F = K d


P K t d l MEH• Peran Komputer dalam MEH• Hingga th.1950-an, metode matriks dan metode

l hi tid k i di k d lelemen hingga tidak siap digunakan dalam penyelesaian-2 masalah kompleks karena besarnya persamaan yang harus diselesaikan, y p y g ,sehingga tidak praktis.

• Dengan hadirnya komputer, maka perhitungan dari l i d i i t t ktpenyelesaian persamaan dari sistem struktur

tersebut dapat diselesaikan dalam hitungan menit.• Perkembangan komputer menyebabkanPerkembangan komputer menyebabkan

perkembangan program-2 numeris untuk masalah struktur dan non-struktur.



• Langkah-2 umum MEH:– Langkah 1:Diskritisasi/meshing dan pemilihan jenis

elemenPemilihan jenis elemen berkait dengan idealisasi

i i dil k k t h d t ktyang ingin dilakukan terhadap struktur yang dimodelkan. Pilihan yang ada berkait dengan jenis elemen(1 dimensi 2 dimensi atau 3 dimensi) danelemen(1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi), dan berlanjut dengan tingkat kesulitan dari jenis elemen yang ditunjukkan oleh jumlah titik (nodes) dalam elemen beserta jumlah derajat kebebasan (degree of freedom atau DOF) dari masing-2 titik (node).



– Langkah 1 (Lanj.):Penentuan jumlah elemen berkait dengan j gukuran elemen yang penentuan dan penyebarannya berkenaan dengan y y gkonsentrasi dari deformasi, regangan, serta tegangan yang akan terjadi pada struktur yang dimodelkan yang disebabkan oleh bentuk geometri dari struktur serta penyebaran beban dan syarat batasnya.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)– Langkah 1:Jenis elemen


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)– Langkah 1:Jumlah

elemen

20-1019-1018-1114-1015-1116-10 13-10

12-10

17-1071

195197227

191192

193194

195196

197

205206207208

226233

X

Y

Z

198201

202

232


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)L k h 2 Pilih F i D f i• Langkah 2:Pilih Fungsi Deformasi (Displacement Function)– Penentuan fungsi deformasi adalah berkait denganPenentuan fungsi deformasi adalah berkait dengan

jumlah titik dalam satu elemen serta DOF yang dimodelkan pada tiap titik atau tingkat/derajat polinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalampolinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalam elemen tersebut.

• Langkah 3:Menentukan persamaan hubungan antara regangan {} dan deformasi {d} serta antara tegangan {} dan regangan {}.

Regangan: =du/dx ; =dv/dy ; =dw/dz– Regangan: x =du/dx ; Y =dv/dy ; Z =dw/dz– Tegangan: X = E x ; Y = E Y ; Z = E Z


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)L k h 4 M t k M t ik P d• Langkah 4:Menentukan Matrik Persamaan dan Kekakuan Elemen– Ada tiga metode dalam penentuan persamaanAda tiga metode dalam penentuan persamaan

kekakuan elemen:• Metode Kesetimbangan Langsung (Direct Equilibrium

Method)Method)• Metode Kerja atau Energi (Work or Energy Method)• Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa (Methods of

Weighted Residual)Weighted Residual)– Metode Kesetimbangan Langsung: Matrik persamaan

elemen yang menunjukkan hubungan antara gaya, kekakuan dan deformasi pada elemen ditentukankekakuan, dan deformasi pada elemen ditentukan berdasarkan pada prinsip kesetimbangan gaya.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah– Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah pendekatan yang dapat mencakup hampir semua tingkat kerumitan dari suatu model yang mencakup k t i l di i b b d tkomponen material, dimensi, beban, dan syarat batas.

– Metode yang menggunakan prinsip energi/kerja y g gg p p g jlainnya: Metode Castigliano dan Metode yang berdasarkan Prinsip Energi Potensial Minimum. Keduanya hanya berlaku untuk penurunan dengan edua ya a ya be a u u u pe u u a de gamaterial elastis.

– Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa: Metode ini yang terkenal adalah Metode GalerkinMetode ini yang terkenal adalah Metode Galerkin. Metode ini memberikan hasil yang sama untuk semua penyelesaian Metode Energi. Metode ini sebagai


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)– (lanj.) penyelesaian saat metode energi tidak bisa

digunakan.Metode ini dapat mengadopsi langsung persamaan diferensialpersamaan diferensial.

– Persamaan elemen yang dihasilkan secara umum adalah sebagai berikut:adalah sebagai berikut:

n dkkkkf ... 111312111

n

n

dd

kkkkkkkk

ff

...

...

3

2

3333231

2232221

3

2atau {f} = [k] {d}dimana:

nnnnnnn dkkkkf...

.....................

321

{f} = matrik gaya

[k] = matrik kekakuan

{d} t ik d f i


{d} = matrik deformasi

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen• Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen pembentuk persamaan global/ total dari sistem dan menentukan syarat batas.– Penggabungan persamaan elemen dilakukan dengan prinsip

superposisi dengan mempergunakan prinsip kontunyuitas dan kompatibilitas.Kontin itas tiap elemen saling berh b ngan sehingga dapat– Kontinyuitas: tiap elemen saling berhubungan sehingga dapat menyalurkan beban berupa tegangan keelemen disekitarnya. Sehingga terlihat pada bentuk deformasinya yang kontinyu.

– Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan– Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan jumlah dan sifat DOF tertentu, kesamaan DOF dari titik dalam tiap elemen yang digunakan merupakan syarat kompatibilitas dari tiap titik dalam tiap elemen dan tiap elemen menggunakan titik-2 tersebut sesuai dengan tingkat kesulitan dari tiap elemen yang digunakan.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)L k h 5 (l j ) B t k l b l d i i t• Langkah 5 (lanj.):Bentuk persamaan global dari sistem struktur secara matrik adalah sebagai berikut:

{F} = [K] {d}{F} = [K] {d}Dimana:{F} = adalah vektor gaya global pada titik baik yang{F} adalah vektor gaya global pada titik baik yang

diketahui maupun yang tidak diketahui[K] = adalah matrik kekakuan global dari sistem [ ] g

struktur; sifatnya singular atau det[K] = 0{d} = adalah vektor deformasi yang diketahui dan

yang tidak diketahui



• Langkah 6:Penyelesaian dari DOF yang takdiketahui, setelah syarat batas diberikan.Persamaan dari sistem menjadi:

Dimana:n = jumlah DOF yang

n

dd

KKKKKKKKF ... 111312111

n = jumlah DOF yangtak diketahui.

Matrik [K] bersifat non-

n

n

dd

KKKKKKKK

FF

...

...

3

2

3333231

2232221

3

2

[ ]singular (det[K] ≠ 0). Penyelesaiannyaumumnya

nnnnnnn dKKKKF...

.....................

321

umumnyamenggunakan antaralain: metode eliminasiGauss Iterasi Gauss


Gauss, Iterasi Gauss-seidel, dst.


• Langkah 7:Penyelesaian Regangan dan Tegangan Elemen.– Hasil regangan dan tegangan adalah output yang

umum digunakan untuk menentukan kualitas dari d i t kt dil k kdesain struktur yang dilakukan.

• Langkah 8:Interpretasi Hasil– Output yang berupa: deformasi, tegangan, dan

regangan adalah sebagai acuan dalam menilai desain yang dimodelkan Dari analisis yangdesain yang dimodelkan. Dari analisis yang dilakukan, maka dapat ditentukan perubahan-2 untuk perbaikan desain maupun kualitas model.


perbaikan desain maupun kualitas model.

PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)A lik i d i M t d El Hi• Aplikasi dari Metode Elemen Hingga.– Pada masalah struktur:

A li T d t kt k b l k d f• Analisa Tegangan: pada struktur rangka, balok dan frame; pada struktur pelat berlubang, dst.

• Kejadian Tekuk (Buckling): pada kolom dan shell.• Analisa Getaran.

– Pada masalah non-struktur:• Kejadian Transfer panas (Heat Transfer)• Kejadian Transfer panas (Heat Transfer).• Aliran Fluida (Fluid Flow), termasuk aliran dalam media

berpori (tanah).• Distribusi dari potensi magnetik atau elektrik.

– Aplikasi pada Bioengineering.


PENGANTAR (Lanj )PENGANTAR (Lanj.)K t d i M t d El Hi• Keuntungan dari Metode Elemen Hingga.– Memodelkan bentuk yang kompleks– Menyelesaikan kondisi pembebanan umum– Menyelesaikan kondisi pembebanan umum– Memodelkan objek/struktur dengan jenis material

yang banyak (krn. Pers. Pada tingkat elemen)– Memodelkan banyak macam syarat batas– Dengan mudah menggunakan bermacam ukuran

elemen dalam meshing/diskritisasielemen dalam meshing/diskritisasi– Menyelesaikan model dengan mudah dan murah– Dapat memodelkan efek dimanis– Menyelesaikan kelakuan tidak linier dari geometri dan

material



• Program komersial dari MEH:– GT STRUDL – CATIA– StruCAD– SAP2000

CATIA– ABAQUS– FLUENT

– ALGOR– IDEAS

– CFX– ANSYS

ADINA– FEMAP– MSC NASTRAN

– ADINA– MSC PATRAN– ROBOT (AUTODESK)

– MSC DYTRAN– MSC MARC

ROBOT (AUTODESK)– SACS– MICRO SAS


METODE ELEMEN HINGGA pengantar1.ppt -...

Documents

Transcript of METODE ELEMEN HINGGA pengantar1.ppt -...