JU UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTETODSJEK MATEMATIKA

Amir Hasi

DIPLOMSKI RAD

Metode diferencijalne geometrije krivihu Euklidskom 3D prostoru u software-u

Mathematica

Tuzla, julpai 2010. godine

Mentor rada: Dr. sci. Vedad Pai, docentRad ima: 23 straneRedni broj diplomskog rada:

REZIME:

Cilj diplomskog rada sa ovom temom je upoznavanje sa software-om Mathe-matica i njegovom primjenom u diferencijalnoj geometriji.Diplomski rad se sastoji od dva poglavlja.Prvo poglavlje govori o osnovnim osobinama krivih u 3D Euklidskom pros-toru, sa stanovita diferencijalne geometrije.U drugom poglavlju se govori o primjeni software-skog paketa Mathematicau metodama diferencijalne geometrije krivih u Euklidskom 3D prostoru.Uz diplomski rad je dat dodatak, u kome su sadrani kodovi opisanih funkcija.

SUMMARY:

The goal of this work for certificate degree is to introduce the software Math-ematica and its use in differential geometry.This work for certificate degree consists of two chapters.The first chapter discusses the basic properties of curves in 3D Euclideanspace, from the standpoint of differential geometry.The second chapter discusses the application of the software Mathematica inmethods of differential geometry of curves in Euclidean 3D space.This work for certificate degree contains an appendix with all the code of thedescribed functions.

Sadraj1 Krive u Euklidskom 3D prostoru 2

1.1 Vektorski prostor R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Osnovna svojstva krivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Duina luka krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Krivina i torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Frenetove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Implementacija metoda diferencjalne geometrije uMathematica-i 142.1 Crtanje grafika krivih u 3D prostoru . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Duina luka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Krivina i torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Frenetov trobrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Literatura 24

UvodKrajem XVIII i poetkom XIX vijeka znatan broj matematiara razraujeinfintezimalni raun i primenjuje ga na razne probleme iz oblasti prirodnihnauka. Rezultat toga je pojava novih matematikih disciplina, kao to sudiferencijalna geometrija, diferencijalne jednaine, varijacioni raun.

Carl Gauss primenjuje diferencijalni raun na prouavanje krivih linija ipovrina, i na taj nain razrauje diferencijalnu geometriju. Diferencijalnageometrija bogati se radovima G. Lamea i A. Serea (1819-1885).Tada je bilo mogue prouavati kompliciranije geometrijske objekte, kao tosu na primjer proizvoljno zakrivljene krive i povri u 3D prostoru.

Mathematica je najmoniji svjetski globalni software-ski paket. Prva ve-rzija je izdana 1988. godine, i imala duboki uticaj na nain na koji se rau-nari koriste u tehnikim i drugim podrujima.

esto se kae da je pojava Mathematica-e oznaila poetak modernogtehnikog raunarstva. Jo od 1960-ih postojali su individualni paketi zaodreene numerike, algebarske, grafike i druge poslove. Ali vizionarski ko-nceptMathematica je bilo stvaranje paketa sve u jednom. RazvojMathema-tica-e je projekat tima Wolfram Research koji vodi od njegova nastankaStephen Wolfram. Danas se Mathematica koristi u prirodnim naukama,ekonomiji i td.

U ovom diplomskom radu ilustrovat emo kako Mathematica moe bitimoan aparat pri prouavanju krivih u Euklidskom 3D prostoru.

Prvi dio diplomskog rada bit e posveen uvoenju krivih u Euklidskom3D prostoru, sa gledita diferencijalne geometrije. U tom dijelu uvest emopojam krive, duine luka, krivine i torzije, kao i pojmove vektora tangente,normale i binormale. Na kraju prvog dijela navest emo Frenetove formule.

U drugom dijelu diplomskog rada bit e predstavljena primjena so-ftware-a Mathematica na crtanje krivih. Takoer emo ponuditi nekolikofunkcija, koje e bit od pomoi pri raunanju krivine, torzije, tangentnogvektora, vektora normale i binoramale i njihove vizualizacije, uz objanjenjekako koja funkcija radi, koji su ulazni parametri, a koji izalzni parametri.

Uz diplomski rad emo dati dodatak, koji e sadravati kodove svih novihfunkcija.

1

1 Krive u Euklidskom 3D prostoru

1.1 Vektorski prostor R3

Neka je R3 standardni vektorski prostor nad R dimenzije 3. Elemente od R3zovemo vektori, a elemente od R skalari.Ako su x, y R3, R pri emu je x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), onda suformulama

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

x = (x1, x2, x3)

date operacije sabiranja vektora i mnoenja vektora skalarom. Ako je e1 =(1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) i e3 = (0, 0, 1), onda je {e1, e2, e3} baza od R3 pa sesvaki x R3 moe napisati na jedinstven nain u obliku linearne kombinacijex = x1e1 + x2e2 + x3e3. Bazu {e1, e2, e3} zovemo standardna baza od R3.

Ako su x, y R3 onda definirajmo skalarni produkt (x, y) kao(x, y) = x1y1 + x2y2 + x3y3

i normu vektora x kao

x = (x, x) 12 = (x21 + x22 + x23)12 .

Ako je (x, y) = 0, onda kaemo da su x i y okomiti ili ortogonalni. Akoje x = 1, onda kaemo da je x normiran vektor. Primijetimo da su baznivektori e1, e2 i e3 meusobno okomiti i normirani pa kaemo da su ortonor-mirani, odnosno da ine ortonormiranu bazu od R3.Neka su x, y R3. Sada moemo definisati vektorski proizvod x y nasljedei nain

x y = (x2y3 x3y2, x3y1 x1y3, x1y2 x2y1),to se dalje moe napisati u obliku determinante

x y =e1 e2 e3x1 x2 x3y1 y2 y3

.Ako su x, y, z R3, tada za njih moemo definisati mjeoviti proizvod i tona sljedei nain:

[x, y, z] = (x y, z) =x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

.2

Navedimo sada nekoliko osobina skalarnog, vektorskog i mjeovitog proizvodavektora.

Skalarni proizvod vektora ima sljedee osobine:

1. Skalarni proizvod je linearan po obje varijable.

2. (x, y) = (y, x)

3. |(x, y)| xy.Za vektorski proizvod vektora vrijede sljedee osobine:

1. Vektorski proizvod je linearan po obje varijable.

2. x y = 0 akko su x i y linearno zavisni3. x y = x y i x x = 04. (a b, x y) = (a, x)(b, y) (a, y)(b, x)5. x y2 = x2y2 (x, y)2

6. x y je jednak povrini paralelograma sa stranicama x i y7. Vektorski proizvod vektora nije asocijativan.

Mjeoviti proizvod vektora ima sljedee osobine:

1. Mjeoviti proizvod je linearan po svakoj od varijabli.

2. [x, y, z] = 0 akko su x, y i z linearno zavisni vektori.

3. |[x, y, z]| jednak je zapremini paralelepipeda sa ivicama x, y i z.

3

1.2 Osnovna svojstva krivih

Kriva u prostoru se moe shvatiti na vie naina. Moemo je zamisliti kaoputanju koju pree takasto tijelo za odreeni vremenski interval, ili kaooblik koji predstavlja ica u prostoru.

Definicija 1.1 Kriva je slika jednog glatkog preslikavanja : I R3, gdjeje I neki interval.

Definicija 1.2 Kriva je regularna ako je (t) 6= 0 za svako t I.Krive moemo zadati na vie naina.

Jedan od njih je da krivu definiemo kao presjek dvije povri, tj. skup

C = {(x, y, z)|F1(x, y, z) = 0 F2(x, y, z) = 0}.Naravno, da bi koristili ovaj nain zadavanja krivih, moraju biti ispunjeniodreeni uslovi.

Pretpostavimo daF1y F2z F1

z F2y6= 0,

odnosno da je preslikavanje

(0, u, v) 7 d(x,y,z)(F1F2

)(0, u, v)

inverzno za (x, y, z) C. Tada po teoremu implicitnog preslikavanja lokalnomoemo rijeiti jednainu po x, odnosno

C U = {(x, g1(x), g2(x))| < x < }za neku okolinu U take (x, y, z).

Generalnije, C definie regularnu krivu ukoliko su gradijenti

F1 =(F1x

,F1y

,F1z

),

F2 =(F2x

,F2y

,F2z

)linearno nezavisni za sve (x, y, z) C.

4

Slika 1: Vivianijeva kriva

Primjer 1.1 Konini presjeci su dati jednainama:

x2 + y2 = z2,

x cos + z sin = d,

gdje su , d R, d 6= 0.

Primjer 1.2 Kriva koja nastaje presjekom lopte x2 + y2 + z2 = a2 i valjkax2 + y2 = ax naziva se Vivianijeva kriva i ona je predstavljena slikom (1).

Drugi nain zadavanja krivih je u parametarskom obliku.

Prava u prostoru je odreena njenom jednom takom P (a, b, c) i koefici-jentima , i . Posmatrajmo sada bilo koju drugu taku P (x, y, z) teprave.Tada koordinate take P moemo zapisati u obliku:

x = a+ t,y = b+ t,z = c+ t,

(1)

gdje t I. Vidimo sada da svaka vrijednost od t odreuje jednu taku natoj pravoj i da se koordinate bilo koje take mogu izraziti pomou jednaina(1).

Jednaine (1) zovemo parametarskim jednainama prave u prostoru, a brojt varijablom ili parametrom.

5

Posmatrajmo sada:x = x(t),y = y(t),z = z(t),

(2)

gdje su x(t), y(t) i z(t) neke funkcije. Vidjeli smo ta jednaine (2) pred-stavljaju kada je u pitanju prava. Razmatrajmo sada opti sluaj kada sufunkcije x(t), y(t) i z(t) analitike za sve vrijednosti parametra t ili bara nakonkretnom domenu.

Geometrijsko mjesto taaka ije su koordinate date jednainama (2) je kriva.To emo zapisivati

(t) = (x(t), y(t), z(t)). (3)

Ako sve take te krive ne pripadaju istoj ravni, onda je rije o prostornojkrivoj, a u drugom sluaju je rije o krivoj u ravni.

Definicija 1.3 Neka je kriva parametrizirana sa (3) Tada se funkcije x(t),y(t), i z(t) zovu koordinatne funkcije.

Definicija 1.4 Za funkciju (3) rei emo da je neprekidna (diferencijabilna,glatka, integrabilana) ako je svaka od koordinatnih funkcija neprekidna (difer-encijabilna, glatka, integrabilana).

Definicija 1.5 Reparametrizacija krive (a, b) 3 t 7 (t) R3 je novaparametrizirana kriva

(s) = (u(s)),

gdje je u : (a, b) (a, b)sirjekcija i u 6= 0.

Primjer 1.3 Na slici (2), lijevo, je dat kruni heliks ija je parametrizacija

(t) = (r cos t, r sin t, at),

gdje je t R.

6

Slika 2: Heliks, lijevo, i sprala, desno

Primjer 1.4 Parametrizacija krive na slici (1) ja data sa:

(t) = a

(1 + cos t, sin t, 2 sin

t

2

).

Primjer 1.5 Parametarska jednaina spirale je :

(t) = (t cos t, t sin t, at),

a prikazana je slikom (2), desno.

7

1.3 Duina luka krive

Ako krivu posmatramo kao putanju koju pree takasto tijelo za odreenivremenski interval, onda se moe postaviti pitanja kolika je duina puta kojije tijelo prelo?

Definicija 1.6 Duina luka krive t 7 (t) na nekom segmentu [t0, t1] je

s(t) =

t1t0

|(t)|dt = t1t0

x2(t) + y2(t) + z2(t)dt. (4)

Duina luka krive ne zavisi od parametrizacije te krive.

Lema 1.1 Svaka regularna kriva t 7 (t) moe biti reparametrizirana po-mou duine luka, tj. tako da ima konstantnu brzinu 1.

Definicija 1.7 Reparametrizaciju iz prethodne leme zovemo parametrizaci-jom duinom luka krive i obino je oznaavamo sa s 7 (s)

Primjer 1.6 U primjeru 1.3 je data parametrizacija krunog heliksa. Sadaimamo da je duina luka izmeu take 0 i take t data sa

s(t) =

t0

r2 + a2dt =

r2 + a2 t,

a parametrizacija duinom luka je

x(s) = r coss

r2 + a2,

y(s) = r sins

r2 + a2,

z(s) =s ar2 + a2

.

Primjer 1.7 Neka treba nai duinu luka krive (t) = (sin2 t, sin t cos t, ln cos t)od take t = 0 do take t = t.Tada imamo da je

s(t) =

t0

sin2 2t+ cos2 2t+ tan2 tdt =

t0

1

cos tdt

= ln tan

(t

2+pi

4

).

8

1.4 Krivina i torzija

Ako posmatramo krivu kao putanju takastog tijela, koje se kree stalnombrzinom, onda je korisno da opiemo pravac kretanja, kao i poloaj tijela uprostoru.Neka ja = (s) parametrizovana kriva. Tada je

Definicija 1.8 VektorT (s) =

(s)| (s)| zove se jedinini vektor tangente.

Kako jeT (s) jedinini vektor, to je

T (s) T (s) = 1 za svako s. Iz toga

slijedi da je

d

ds

(T (s) T (s)

)= 2

d

ds

(T (s)

) T (s) = 0

pa zakljuujemo da su vektoriT (s) i

T (s) ortogonalni.

Definicija 1.9 VektorN (s) =

T (s)T (s)

naziva se jedinini vektor normale krive .

Za proizvoljnu vrijednost prirodnog parametra s moemo uvesti vektorB (s) =

T (s)N (s).

Budui da su vektoriT (s) i

N (s) jedinini i ortogonalni, to je i vektor

B (s)

jedinian i ortogonalan na vektoreT (s) i

N (s).

Definicija 1.10 VektorB (s) zovemo jedininim vektorom binormale.

VektoriT (s),

N (s) i

B (s) ine desnu ortonormiranu bazu u svakoj taki

krive, no kako idemo po krivoj, tako i ova baza rotira. Ovi vektori suprikazani na slici(3), lijevo. Pravce odreene ovim vektorima zovemo tan-gentom, normalom i binormalom krive. Njihove jednaine su date sljedecimformulama:

Tangenta na krivu je data jednainom xx0x0

= yy0y0

= zz0z0

Normala na krivu je data jednainom xx0x0

= yy0y0

= zz0z0

Binormala je data jednainom xx0y0 z

0

y0 z0

= yy0z

0 x

0

z0 x0

= zz0x

0 y

0

x0 y0

9

Kao to smo ve naveli, ovi vektori ine desnu ortnormiranu bazu. Ravni(prikazane na slici(3), desno) koje oni razapinju su vane za krivu i date su:

Normalna ravan razapeta nad vektorima N (s) i B (s)(vektor normalejeT (s)) i njena jednaina je x0(x x0) + y0(y y0) + z0(z z0) = 0

Retifikaciona ravan je razapeta nad vektorima B (s) i T (s)(vektor no-rmale je

N (s)) i njena jednaina je x0(xx0)+y0(yy0)+z0 (zz0) = 0

Oskulatorna ravan koja je razapeta nad vektorima T (s) i N (s)(a ve-

ktor normale jeB (s)) i njena jednaina je

x x0 y y2 z z0x0 y

0 z

0

x0 y0 z

0

= 0

Slika 3: Vektori tangente, normale i binormale (lijevo) i normalna, oskula-torna i retifikaciona ravan(desno)

Mislei ponovo o krivoj kao putanji takastog tijela, koje se kree sta-lnom brzinom, njeno ubrzanje bit e povezano sa zakrivljenosti puta: toje vea zakrivljenost, to je vee i ubrzanje. Gledajui geometrijski,s drugestrane, krivina krive je povezana sa krunicom kroz tri beskonano blisketake, tj. ako je vei poluprenik ove krunice, kriva je manje zakrivljena.

10

Definicija 1.11 Neka je : I R3 kriva zadana sa = (s)

gdje je s prirodni parametar. Realnu funkciju : I R definisanu formulom

(s) =

d2ds2

zovemo krivinom ili fleksijom ili prvom zakrivljenou krive .

Geometrijski je krivina mjera zaokreta tangentnog vektora. Tanije, krivinau taki (s0) je granina vrijednost kolinika zaokreta tangentnog vektoradu nekog luka i duine tog luka.

Definicija 1.12 Broj R(s) = 1(s)

naziva se poluprenik krivine.

Ve smo uoili da prirodni parametar ima samo teorijsku vanost, i da upraktinom raunanju moe biti veoma komplicirano raditi s njim. Zatosu nam potrebne formule koje e koristiti bilo koju parametrizaciju. Takvaformula je

=| (t) (t)|| (t)|3 (5)

Primjer 1.8 Naimo krivinu krunog heliksa, koji je parametriziran dui-nom luka. Njegova jendaina je tada

(s) = (r cos as, r sin as, ahs),

gdje je a = 1r2+h2

. Za heliks vrijedi

(s) = (ra sin as, ra cos as, ha) = a(r sin as, r cos as, h),pa je tada:

T (s) = a(r sin as, r cos as, h).Iz formule (s) =

T (s) lako izraunavamo da je(s) =

r

r2 + h2.

Ve smo vidjeli ta predstavlja krivina u geometrijskom smislu. Torzija ebiti mjera promjene oskulatorne ravni, tj. kako ona brzo rotira oko tangentnelinije.

11

Definicija 1.13 Torzija ili druga zakrivljenost krive u prostoru R3 je skalarnafunkcija (s) definisana sa

(s) = B (s) N (s). (6)Meutim, kao i kod krivine, ova formula vrijedi samo u sluaju da je rijeo prirodnom parametru. Ponovo nam je potrebna formula koja e koristitiproizvoljan parametar.Neka je = (t), gdje je t proizvoljan parametar. Tada emo torziju raunatipo formuli

=[, , ]

| |2 . (7)

Primjer 1.9 Neka je dat heliks parametrizacijom kao u primjeru (1.3). Tadaza njega vrijedi

(t) = (r sin t, r cos t, h),(t) = (r cos t,r sin t, 0),(t) = (r sin t,r cos t, 0).

Sada izraunajmo krivinu i torziju po formulama 5 i 7. Iz toga slijedi da je

(t) =|(r2,rh cos t, rh sin t)||(r sin t, r cos t, h)|3 =

r

r2 + h2,

(t) =hr2

r2(r2 + h2)=

h

r2 + h2.

Iz prethodnog primjera vidimo da je krivina i torzija heliksa konstantna.Navedimo sada nekoliko osobina krivine i torzije u vidu teorema ije emodokaze izostavit.

Teorema 1.1 Krivina i torzija krive ne zavise od reparametrizacije.

Teorema 1.2 Neka je kriva ija je krivina i torzija . Tada vrijedi:

1. Ako je = 0 onda je kriva dio nekog pravca u R3.

2. Ako je 6= 0 i = 0, onda je kriva sadrana u nekoj ravnini u R3.3. Ako je = const 6= 0 i = 0 onda je kriva dio neke krunice u R3.4. Ako je = const 6= 0 i = const 6= 0 onda je dio nekog heliksa.5. Ako je 6= 0 i

= const onda je heliks.

12

1.5 Frenetove formule

Definicija 1.14 Preslikavanje sa matrinim vrijednostima

t F (t) := (T (t), N(t), B(t))

zove se principalnim okvirom krive.

Posmatrajmo krivu kao putanju tijela. Pokuajmo da opiemo kretanje ko-ristei kreui referentni sistem F = (T,N,B). Naprimjer, ako posmatramoputanju aviona, onda nas zanima kako sam pilot moe uticati na krivinu itorziju?

Teorema 1.3 Kretanje principalnog okvira F = (T,N,B) duinom lukaparametrizirane krive s (s) je opisano pomou Frenetovih jednaina:

T (s)N (s)B (s)

= 0 (s) 0(s) 0 (s)

0 (s) 0

T (s)N (s)B (s)

(8)Teorema 1.4 (Fundamentalni teorem prostornih krivih) Neka su s 7 (s)i s 7 (s) dvije funkcije.Onda postoji kriva parametriziranana duinom luka s 7 (s) gdje su i njena krivina i torzija. Ova kriva je jedinstvena do izbora rigidnog kretanja.

Primjedba 1.1 Transformacija koja se sastoji od rotacije i translacije i kojaostavlja dati argument nepromijenjenim zove se rigidno kretanje.

13

2 Implementacija metoda diferencjalne geometrijeu Mathematica-i

2.1 Crtanje grafika krivih u 3D prostoru

Kao to smo vidjeli u dijelu (1.2), krive moemo zadati na dva naina. Istotako, i u Mathematici ih moemo crtati na dva naina i to:

Kao presjek dvije povri Kao grafik parametarski zadane funkcije.

Osnovana naredba za crtanje u Mathematici je Plot. Krive emo crtatipomou ve ugraenih funkcija, i to:

ContourPlot3D, ParametricPlot3D.

Funkcija ContourPlot3D slui za crtanje krivih koje su zadate kao presjekdvije povri. Ona ima oblik

ContourPlot3D[f,{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,z1,z2}],

gdje su x1 i x2 granice po x, y1 i y2 granice po y, z1 i z2 po z.Naravno, ako zadamo Mathematici funkciju na gore navedeni nain, kaorezultat emo dobiti povr. Zato, za crtanje krivih emo koristiti izmijenjenioblik ove funkcije i to

ContourPlot3D[{f,g},{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,z1,z2}],

gdje e naa kriva biti presjek povri zadatih sa f(x, y, z) = 0 i g(x, y, z) = 0.Ova fukcija ima mnogo opcija, pa navedimo neke od njih:

Axes Nudi opciju da li elimo da nam prikae ose ili neAxesLabel Daje nam mogunost da imenujemo ose po naoj eljiBoxRatios Odreujemo u kojim emo granicama crtati okvir slikeBoundaryStyle Odreujemo boju krajeva grafaColourFunction Pomou ove opcije biramo boju naeg grafaMesh opcija koja odreuje da li e biti crtana mreaPlotRange Odreujemo domen crtanjaPlotLabel Daje mogunost imenovanja grafa po elji

Primjer 2.1 Neka treba nacrtati krivu koja nastaje presjekom povri x3 +y2 z2 = 0 i x+ y 1

8z = 0. U Mathematici tada moramo unijeti:

14

Slika 4: Implicitno zadata kriva sa x3 + y2 z2 = 0 i x+ y 18z = 0

ContourPlot3D[{x^3 + y^2 - z^2 == 0, x + y - 1/8*z == 0}, {x, -2,2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}, BoundaryStyle -> Red, Mesh -> None,ContourStyle -> {Blue, Yellow}],

a kao rezultat dobijamo sliku (4).

Za crtanje parametarski zadatih krivih slui nam funkcija ParametricPlot3Di njen oblik je

ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,t1,t2}],

gdje su x, y, z funkcije od parametra t, a brojevi t1 i t2 su granice za t.

Primjer 2.2 Ako elimo u Mathematici da crtamo heliks koji je zadat para-metarskom jednainom (t) = (4 sin t, 4 cos t, t) gdje je t [20, 20] tada bitrebali unijeti sljedee:

Animate[ParametricPlot3D[{4 Sin[t], 4 Cos[t], t}, {t, -20, x},PlotRange -> 22, PlotStyle -> {Thickness[0.02]}], {x, -20, 20}],

a kao rezultat dobijamo sliku 5.

15

Slika 5: Helikx (t) = (4 sin t, 4 cos t, t)

Kao i kod ContourPlot3D, i ParametricPlot3D ima opcije koje nam dop-utaju manipulaciju sa grafom. Neke osnovne opcije su: Axes, AxesLabel,Boxed, ColourFunction, PlotStyle i druge.

2.2 Duina luka

Iz diferencijalne geometrije znamo kako emo izraunati duinu luka krivepo formuli (4). Za raunanje duine luka krive u Mathematici ne postoji veugraena funkcija. Meutim, lako se napravi funkcija koja kao ulazne po-datke uzima krivu u parametarskomn obliku, parametar i vrijednosti granicau kojima elimo da izraunamo duinu krive. Takva funkcija je DuzinaLukaiji je format dat sa DuzinaLuka[{x, y, z}, {t, t1, t2}], gdje su x, y iz koordinatne funkcije krive, t je parametar te krive, a t1 i t2 su granice ukojima elimo da izraunamo duinu luka. Kod ove funkcije je dat u file-uDuzinaLuka.nb u dodatku uz diplomski rad.

Primjer 2.3 U primjeru (1.6) smo vidjeli kako emo izraunati duinu lukaheliksa od take 0 do take t. U Mathematici emo to postii na sljedeinain

In[60]:= DuzinaLuka[{r Sin[t], r Cos[t], a t}, {t, 0, t}]Out[60]= Sqrt[a^2 + r^2] t.

U sluaju da elimo izraunati duinu heliksa, gdje je a = 5 i r = 2, od taket0 = 1 do take t1 = 4, imamo

In[61]:= DuzinaLuka[{2 Sin[t], 2 Cos[t], 5 t}, {t, 1, 4}]Out[61]=3 Sqrt[29].

16

2.3 Krivina i torzija

U dijelu (1.4) smo vidjeli ta predstavljaju krivina i torzija u geometrijskomsmislu i kako se raunaju. Kao i kod duine luka, ne postoje ve ugraenefunkcije koje ih raunaju. Meutim, ponudit emo dvije funkcije koje e barmalo olakati to raunanje.

Za raunajuje krivine krive nudino funkciju Krivina koja ima dva oblika,i to:

Krivina[{x,y,z},t], Krivina[{x,y,z},{t,t0}].

Kod oba oblika funkcije ulazni podaci su kriva(u velike zagrade navodimo ko-ordinatne funkcije krive) i parametar po kojem je ona definisana. U dodatku,u file-u Krivina.nb, je naveden cjelokupan kod ove funkcije. Navedimo sadaprimjer:

Primjer 2.4 Izraunajmo krivinu heliksa datog parametarski kao u primjeru(1.3) u proizvoljnoj taki t. Tada emo imati

In[2]:= Krivina[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[2]= Sqrt[r^2 (h^2 + r^2)]/(h^2 + r^2)^(3/2).

Vdimo da je i ovdje krivina heliksa konstantna. U sluaju da traimo krivinuheliksa za konkretne vrijednosti r i h, imati emo:

In[2]:= Krivina[{6 Sin[t], 6 Cos[t], 5 t}, t]Out[2]= 6/61.

Navedimo sad primjer kada traimo krivinu krive u konkretnoj taki.

Primjer 2.5 Izraunajmo krivinu zavojnice

(t) = (t sin t, t cos t, 4t) (9)

u taki T (0, 0, 0). Vidimo da je vrijednost parametra t u ovoj taki t0 = 0.Tada emo imati

In[36]:= Krivina[{t Cos[t], t Sin[t], 4 t}, {t, 0}]Out[36]= 2/17.

17

Slika 6: Krive r1 i r2, gdje je r1 "ua kriva "

Torziju emo raunati pomou funkcije Torzija(iji je kod dat u dodatkuu file-u Torzija.nb). Ova funkcija ima dva oblika, koja daju mogunostraunanja torzije u proizvoljnoj taki i mogunost raunanja iste za konkretnuvrijednost parametra t, i to:

Torzija[{x,y,z},t] Torzija[{x,y,z},{t,t0}].

Navedimo sada primjer u kojem emo iskoristiti ove funkcije.

Primjer 2.6 Izraunajmo torziju heliksa ija je parametrizacija data u prim-jeru (1.3). Tada je:

In[4]:= Torzija[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[4]= -(h/(h^2 + r^2)).

Primjer 2.7 Posmatrajmo sada dva heliksa koji su dati prametarski sar1(t) = (6 sin t, 6 cos t, 5t) i r2(t) = (2 sin t, 2 cos t, 4t). Tada su torzije krivihr1 i r2 izracunate pomou:

In[62]:= r1[t_] := {10 Sin[t], 10 Cos[t], 5 t}r2[t_] := {20 Sin[t], 20 Cos[t], 5 t}

18

In[64]:= t1 = Torzija[r1[t], t]Out[64]= -(1/25)In[65]:= t2 = Torzija[r2[t], t]Out[65]= -(1/85).

Sa slike (6) vidim da kriva koja r1 ima "vei uspon", ali je i njena torzijavea.

Za sluaj da trebamo izraunati torziju u datoj taki, koristit emo drugioblik funkcije Torzija. Navedimo primjer:

Primjer 2.8 Izraunajmo torziju zavonice date formulom (9) u taki T (0, 0, 0).Ponovo, vidimo da je vrijednost parametra t u ovoj taki t0 = 0. Imat emo:

In[9]:= Torzija[{t Sin[t], t Cos[t], 4 t}, {t, 0}]Out[9]= -(6/17).

2.4 Frenetov trobrid

U dijelu (1.5) smo vidjeli vanost prateeg trobrida za krivu. U Mathematicine postoje funkcije koje raunaju vektore tangente, normale i binormale.Iz diferencijalne geometrije znamo postupak njihovog izraunavanja. Da biolakali taj posao, nudimo nekoliko funkcija u Mathematici, koje e rijeititaj posao za nas.

Za raunanje tangentnog vektora krive nam moe posluiti funkcija Tangentai kod ove funkcije je predstavljen u dodatku diplomskog rada, u file-u Tvektor.nb.Ova funkcija ima dva oblika:

Tangenta[kriva,t], Tangenta[kriva,{t,t0}].

Prvi oblik funkcije Tangenta daje nam mogunost da izraunamo jedininitangentni vektor krive u proizvoljnoj taki.

Primjer 2.9 Izraunajmo jedinini tangentni vektor heliksa parametrizovanogkao u primjeru (1.3). Tada emo imati:

In[67]:= Tangenta[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[67]= {(r Cos[t])/Sqrt[h^2 + r^2], -((r Sin[t])/Sqrt[h^2 + r^2]), h/Sqrt[h^2 + r^2]}.

Drugi oblik funkcije Tangenta slui za raunanje tangentnog vektora u el-jenoj taki.

19

Primjer 2.10 Izraunajmo jedinini tangentni vektor heliksa parametrizo-vanog kao u primjeru (1.3). Pa imamo:

In[67]:= Tangenta[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[67]= {(r Cos[t])/Sqrt[h^2 + r^2], -((r Sin[t])/Sqrt[h^2 + r^2]), h/Sqrt[h^2 + r^2]}.

Primjer 2.11 U ovom primjeru posmatrajmo trolisni vor ija je param-etarska jednaina

x = (2 + cos 3t) cos t,

y = (2 + cos 3t) sin t,

z = sin 3t.

Pomou funkcije Tangenta moemo izraunati njegov tangentni vektor:

In[71]:= Tangenta[{(2 + Cos[3*t])*Cos[t], (2 + Cos[3*t])*Sin[t],Sin[3*t]}, {t, Pi}]

Out[71]= {0, -(1/Sqrt[10]), -(3/Sqrt[10])}.

Trolisni vor i njegov tangentni vektor u taki t = pi je dat slikom (7), a zaitav kod ovog primjera dovoljno je pogledati file TangentniVektorCvora.nb.

Slika 7: Trolisni vor i njegovi vektori tangente(lijevo), normale(srednja slika)i binormale(desno) u taki t = pi.

Pri izraunavanju jedininog vektora normale, koristit emo funkciju Normala.Ona, kao i funkcija Tangenta, ima dva oblika:

Normala[kriva,t],

20

Normala[kriva,{t,t0}].Kod ove funkcije je dat u file-u Nvektor.nb iz dodatka diplomskog rada.

Primjer 2.12 Neka je dat heliks kao u primjeru (1.3). tada je njegov vektornormale:

In[80]:= Normala[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[80]= {(h Cos[t])/(r (h^2 + r^2)), -((h Sin[t])/(r (h^2 + r^2))), -(1/(h^2 + r^2))}.

Ako elimo izrunati vektor normale trolisnog vora u taki t = pi, imat emo:

In[81]:= Normala[{(2 + Cos[3*t])*Cos[t], (2 + Cos[3*t])*Sin[t],Sin[3*t]}, {t, Pi}]

Out[81]= {0, 3/80, -(1/80)}.

On je prikazan na slici (7), a kod je dat u file-u VektorNormaleCvora.nb izdodatka.

Za raunavanje vektora binormale slui funkcija Binormala, a njen kod jesadrzan u file-u VektoriTNB.nb. Kao i prethodne dvije, i ona ima dva oblika:

Binormala[kriva,t]- koja rauna vektor binormale u proizvoljnoj taki Binormala[kriva,{t,t0}]- rauna vektor binormale za odreenu vri-

jednost parametra t = t0.

U sljedeem primjeru je ilustrovan upotreba date funkcije.

Primjer 2.13 Ponovo emo posmatrati heliks parametriziran na nain kaou primjeru (1.3). Tada je:

In[84]:= Binormala[{r Sin[t], r Cos[t], h t}, t]Out[84]= {-((h^2 Sin[t])/(r (h^2 + r^2)^(3/2))) - (r Sin[t])/(h^2 + r^2)^(3/2), -((h^2 Cos[t])/(r (h^2 + r^2)^(3/2))) - (r Cos[t])/(h^2 + r^2)^(3/2), 0}.

Posmatrajmo sada trolisni vor. Njegov vektor binormale u taki t = pi je:

In[86]:= Binormala[{(2 + Cos[3*t])*Cos[t], (2 + Cos[3*t])*Sin[t],Sin[3*t]}, {t, Pi}]

Out[86]= {-(1/(8 Sqrt[10])), 0, 0},

a prikazan je na slici (7). Kod za ovaj vektor je dat u file-u VektoBinormaleCvora.nb.

21

Slika 8: Frenetov pratei trobrid krive (t) = (sin t, cos t, t)

Na slici (8) je prikazan pratei trobrid za krivu (t) = (sin t, cos t, t). Kodovog primjera, kao i prethodnih, je sadran u dodatku diplomskog rada, ufile-u Heliksipratecitrobrid.nb.

Prikaz ravni koje odreuju vektori tangente, normale i binormale nije la-gan posao. Zato, u sljedeemo zadatku bit e dat nain kako se to moelijepo prikazati u Mathematici.

Zadatak 2.1 Posmatrajmo heliks r(t) = (sin t, cos t, t) na [0, 2pi]. Tada eslikom (9) biti prikazani njegovi vektori tangente, normale i binormale, kao inormalna, ratifikaciona i oskulatorna ravan. Sa lijeve strane slike su izrau-nati jedinini vektori tangente, normale i binormale, kao i jednaine nor-malne, retifikacione i oskulatorne ravni u taki u kojoj je prikazan trobrid(kodpogledati u dodatku u file-u Frenetovtrobrid.nb).

Zadatak 2.2 U ovom zadatku je ilustrovano kako Mathematica moe po-moi pri izuavanje krivih. Dato nam je da biramo neku od krivih iz palete, aMathematica izrauna krivinu i torziju za nas, i omogui nam da to prikaemoslikom (10). Za uvid u kod dovoljno je pogledati dodatak diplomskog rada, fileKrivina i torzija nekih krivih.nb.

22

Slika 9: Heliks r(t) = (sin t, cos t, t), pratei trobrid i normalna, oskulatornai retifikaciona ravan.

Slika 10: Na slici je prikazan Frenetov trobrid sa lijeve strane i njegovoponaanje u zavisnosti od krivine i torzije sa desne.

23

Literatura[1] Wolfram Stephan, The Mathematica Book, Wolfram Media, Cambridge

University Press, 2003.

[2] http://demonstrations.wolfram.com

[3] Luther Pfahler Eisenhart, Diferential Geometry of Curves and Surfaces,Dover Publications, USA, 2004.

[4] R. Stojanovi, Osnovi diferencijalne geometrije, Beograd, 1963.

[5] Alfred Gray, Modern Diferential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica, CRC Press, USA, 1999.

24

Dodatak:

Dodatak sadri sljedee file-ove:

Contourplot.nb Crtanjegrafika.nb DuzinaLuka.nb Duzinalukaheliksa.nb Frenetovtrobrid.nb Heliksipratecitrobrid.nb Krivina.nb Krivina heliksa.nb Krivina i torzija nekih krivih.nb Kruzne stepenice.nb Nvektor.nb Opruga.nb parametricplot3d.nb racunanje.nb Tangentni vektor cvora racun.nb TangentniVektorCvora.nb Torzija.nb Torzija heliksa.nb Tvektor.nb VektoBinormaleCvora.nb vektor binormale cvora racun.nb VektoriTNB.nb VektorNormaleCvora.nb

Za sadraj ovih file-ova pogledati priloeni CD.

Krive u Euklidskom 3D prostoruVektorski prostor R3Osnovna svojstva krivihDuina luka kriveKrivina i torzijaFrenetove formule

Implementacija metoda diferencjalne geometrije u Mathematica-iCrtanje grafika krivih u 3D prostoruDuina lukaKrivina i torzijaFrenetov trobrid

Literatura