KELOMPOK DUOGIRLBety Prastiwi(10308066) Debby Rahmawati(10308067)

Hal yang akan kami bahas.. Pengertian Metode Cholesky .. Ciri-ciri Metode Cholesky .. Jenis PenyelesaianMatriks Positif Definitif Contoh Soal Positif Definitif Matriks Tidak Positif Definitif Contoh Soal Tidak Positif Definitif

Metode CholeskySebuah metode penyelesaian persamaan linear simultan yang diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris.

Ciri Ciri Metode Cholesky Matriks yang diselesaikan harus matriks yang ber-ordo sama atau yang biasa disebut matriks simetris. Contoh : A2x2 =2 4 7 1

Unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom yang sama. aij = aji i j ; i = 1,2,3, .., n ; j = 1,2,3, .., n

Ciri Ciri Metode Cholesky Nilai di dalam tanda akar harus bertanda positif, oleh karena itu nilai amn harus bernilai positif. 4 2 10 2 5 7 10 7 70

Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai yang sama 4 2 10 2 5 10 7 7 70

Penyelesaian Metode Cholesky Ada 2 jenis cara penyelesaian persoalan dengan menggunakan Metode Cholesky : 1. Matriks memenuhi nilai positif definitif [ A ] ! [U ] T [U ] 2. Matriks tidak bernilai positif definitif [ A] ! [U ]T [ D][U ]

Matriks Positif DefinitCiri-ciri : Semua nilai pada diagonal utamanya adalah 2 10 positif. 4 Jika ada yang bernilai negatif, maka nilai determinannya haruslah positif4 6 7 6 9 14 7 14 10 2 10 5 7 7 70

det = 113

Matriks Bernilai Positif Definitif Rumusan Umum:[ A] ! [U ]T [U ]

=Ket. [U] = matriks segitiga atas[U ]T

= tranpose dari [U]

Contoh Matriks Bernilai Positif Definitif

Langkah-langkah penyelesaian soal :

1. Cari [U] u11 = u12 = u13 = u22 = = =2 = =1 = = -5 = = =2

Matriks Bernilai Positif Definitifu 23 ! a23 u12u13 7 (1)( 5) 12 ! ! !6 2 2 u 22

u33 ! a33 (u13 ) 2 (u23 ) 2 ! 70 (5) 2 (6) 2 ! 9 ! 3

Nilai u21 , u31 , u32 bernilai 0 karena i > j 2 1 5 [U] ! 0 2 6 0 0 3

Matriks Bernilai Positif Definitif2. Cari nilai[U]T

2 0 0 [U]T ! 1 2 0 5 6 3

3. Buktikan

[ A] ! [U ]T .[U ]

2 10 2 1 5 2 0 0 4 2 5 7 ! 0 2 6 1 2 0 10 7 70 0 0 3 5 6 3 2 10 4 2 10 4 2 5 7 ! 2 5 7 10 7 70 10 7 70

(terbukti)

Matriks Tidak Bernilai Positif DefinitifCiri-ciri : 1. Nilai pada diagonal utamanya ada yang bernilai negatif 2. Mempunyai nilai determinan negatif6 7 [ A] ! 6 9 14 7 14 10

Det. [A] = -2239

Contoh Matriks Tidak Bernilai Positif Definitif3 2 5 [ A] ! 5 6 7 3 7 10

Langkah-Langkah Penyelesaian : 1. Cari nilai matriks [U]d11 ! a11 ! 2u 12 ! 5 a 12 ! 2 d 11 d 22 ! a 22 d 11 ( u 12 ) 2 ! 6 2 ( 37 5 2 ) ! 2 2

u23 !

1 a23 d11u12u13 ! 2 7 2( 5 )( 3 ) ! 1 d22 37 2 2 37

u 13

3 a 13 ! ! 2 d 11

Matriks Tidak Bernilai Positif DefinitifJadi nilai [U] = 1 0 0

5 2 1 0

3 2 1 37 1

2. Cari nilai [U ]T 1 5 [U ]T ! 2 3 2

0 1 1 37

0 0 1

Matriks Tidak Bernilai Positif Definitif3. Cari nilai [D]d11 ! a11 ! 2d 22 ! a 22 d 11 (ud33 ! a 332

12

) ! 6 (2)(22

5 2 37 ) ! 2 21 2 204 ) ! 37 37

3 2 37 (u (u d11 13 ) d22 23 ) ! 10 2( ) ( )( 2 20 37 2 0 0 0 204 37

2 [D] ! 0 0

Matriks Tidak Bernilai Positif Definitif4. Buktikan [A] T [A] = ?U A [D] [U]1 1 37

2 5 3

3 6 7 7 10 5

=

1 5 2 3 2

0

0 0 1

2 0 0

0 37 2 0

0 0 204 37

1 0 0

5 2 1 0

3 2 1 37 1

Matriks Bernilai Positif Definitif Rumusan Umum:[ A] ! [U ]T [U ]

=a 2 n u 12 .u 1 n ! u 222

u11 ! a11u1n ! a1n u 11

u2n

2 2 u33 ! a33 u13 u23

u22 ! a22 u21

Nilai unsur uij ! 0 jika i > j

Matriks Tidak Bernilai Positif Definitif Rumusan Umum :[ A] ! [U ] [ D][U ]T

=Cara mendapatkan matriks [D]

d11 ! a11

2 d 22 ! a22 d11.u12

2 2 d 33 ! a33 d11.u13 d 22u 23

dnn !ann d .u d .u ...d

2 11 1n

2 22 2n

2 (n1)(n1) (n1)n

.u

Matriks Tidak Bernilai Positif DefinitifCara mendapatkan unsur matriks [U] :u11 ! 1u 2n 1 a2 n d11.u12 .u14 ! d 22i 1 aij d kk .u ki .u kj k !1

a12 u12 ! d11

a1n u1n ! d11

1 uij ! d ii

uij ! 0, i " j

Kelebihan Metode CholeskyDapat mengetahui faktor-faktor dari suatumatriks

Untuk mencari matriks triangulasi atas dantriangulasi bawah

Membuktikan proses terbentuknya matriksawal dari faktor-faktor tersebut

Kekurangan Metode Cholesky Tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan metode Cholesky Terlalu banyak persyaratan dalam penyelesaiannya