Mestrado Profissional em Gestão Ambiental

Simulações Gráficas e Numéricas

Interativas Aplicadas ao Meio Ambiente

Marco Domingues

[email protected]

Mestrado Profissional em Gestão Ambiental

mailto:[email protected]

Conceitos teóricosPlanejamento de uma pesquisa

• Etapas usuais de uma pesquisa empírica

Metodologia da área de

estudo

Metodologia estatística

Definição do problema e objetivos

Planejamento da pesquisa

Execução da pesquisa

Dados (coletados/simulados)

Análise de dados

Resultados/Conclusões


• Questão de projeto da pesquisa– Observacional (levantamento)

• Censo demográfico, eleitorais, mercado, inspeção de qualidade de produtos, etc.

– Experimental• Eficácia de produtos, processos

químicos, métodos de produção, etc.


• Pesquisa de levantamento– Delimitação da população

• Censo ou amostragem

– Escolha das variáveis estudadas• Índice de desmatamento, inflação, taxa

de câmbio, selic, satisfação do cliente, etc.

– Instrumentos para mensuração de variáveis• Sensores (grandezas físicas) e

questionários

• Pesquisa de levantamento– Sensores

– Questionários• http://goo.gl/LvAe3s• Criando nosso próprio formulário de

pesquisa on-line


http://goo.gl/LvAe3s


• Pesquisa de levantamento– Sensores

– Questionários• http://goo.gl/LvAe3s e• Criando nosso próprio formulário de

pesquisa on-line - http://goo.gl/eSALsl

http://goo.gl/LvAe3s

http://goo.gl/eSALsl


• Tipos de amostragem

Inferência


• Tipos de amostragem

Amostragem não probabilística

• Amostra por conveniência• O pesquisador seleciona membros da

população mais acessíveis.

• Amostra por julgamento• O pesquisador usa o seu julgamento para

selecionar os membros da população que são fontes de informação precisa.

• Amostra por quota• O pesquisador entrevista um número

predefinido de pessoas em cada uma das várias categorias.

Amostragem probabilística

• Amostra aleatória simples– Cada membro da população tem uma

chance conhecida e igual de ser escolhido.

• Amostra estratificada– A população é dividida em grupos

(estratos) mutuamente excludentes (como grupos de idade) e amostras aleatórias são sorteadas para cada grupo.


• Amostra de agrupamento (área)– A população é dividida em grupos

mutuamente excludentes (como quarteirões) e o pesquisador sorteia uma amostra de grupos para ser entrevistada.


• Amostra sistemática– Calcula-se o intervalo de seleção –

I=N/n (despreza-se as decimais);– Sorteia-se o primeiro elemento do

conjunto {1,2,...,I};– Completa-se a amostra, extraindo-se

um elemento a cada I elementos


• Exemplos de amostras com o auxílio do R (exemplo com o Excel)– Instale o pacote Xlconnect

• Siga os passos do menu Package do R

– library(XLConnect)– setwd=(“c:/temp”)– Link para o arquivo de dados – dados.xlsx

(http://goo.gl/vu5Khm)– dados <-

readWorksheet(loadWorkbook(“dados.xlsx"),sheet=1)– dados


• Amostragem aleatória– sample (1:32,5)– dados$Nomes[sample (1:32,5)]

• Amostragem sistemática– Considere N=32 e n=5, então I=6– seq (1,32,by= 6) ou– dados$Nomes[seq (1,32,by=6)]


• Amostragem Estratificada (Idade)– (Até 20 anos)– X = dados$Nomes [(dados$Idade < 20)]– sample (X,4) – (Entre 20 e 30 anos)– X = dados$Nomes [(dados$Idade >=

20) & (dados$Idade < 30)]• Jogando moedas com reposição

– sample (c(“H”,”T”),10,replace=T)


• Exercício– Dado que foram criados 3 estratos de

pessoas separadas por idade (menores que 20 anos, entre 20 e 30 anos e maiores de 30 anos), faça:• A) selecione de forma aleatória simples

2 pessoas de cada estrato.

– Selecione os moradores de Iputinga.• Jogando moedas com reposição

– sample (c(“H”,”T”),10,replace=T)


• Tamanho da amostra– Depende da variabilidade da população

em termos da variável de estudo• Ex: quanto de sangue humano é

necessário para determinação da tipagem?

• Variabilidade da proporção

Planejamento de experimentos (cont.)

• Estudar os efeitos que alterações nas Variáveis independentes (fatores) causam nas variáveis dependentes (variáveis resposta)– Ex: Como o estresse afeta a freqüência

cardíaca em humanos". • A variável independente será o estresse

e a variável dependente será a freqüência cardíaca


• Estudar os efeitos que alterações nas Variáveis independentes (fatores) causam nas variáveis dependentes (variáveis resposta)– Ex:“Efeito da educação sobre a riqueza"

para medir o efeito do nível de escolaridade sobre a renda anual, a variável independente é o nível de escolaridade e a variável dependente é a renda anual.


• Estratégias no planejamento de experimentos (simplificada)– Delimitar o problema;– Identificar os fatores que podem afetar

o problema em estudo;– Identificar, para cada fator, o intervalo

de variação e os níveis que serão estudados

– Escolher os fatores e resposta adequada

– Planejar a análise dos dados


• Estratégias no planejamento de experimentos (simplificada)


• Estratégias no planejamento de experimentos (simplificada)– Uso de blocos

• Lotes, conjunto de indívíduos, etc.

– Definição de Fatores• Controláveis e não controláveis• Ex. Produção de TV´s

– Umidade, tempo de operação, inclinação;– Níveis de tensão, faltas, etc.

– Tratamentos• Seleção de fatores


• Estratégias no planejamento de experimentos (simplificada)– Replicações

• Avaliar o erro experimental (causado por fatores não controláveis ou que não foram incluídos no estudo)

– Aleatorização


• Estratégias no planejamento de experimentos

– É importantíssimo que o aluno encontre o escopo do problema a ser tratado no mestrado.

Análise exploratória dos dados

• Objetivos– Trabalhar com dados quantitativos

contínuos:– Especificar intervalos de classe; – Construir histogramas;– Construir ramo-e-folhas.– Construir outros tipos de gráficos

Exemplo 1: Tipo sangüíneo, peso (em Kg) e altura (em cm).

A 62 164AB 83 163AB 62 176AB 64 177AB 75 166

. . .

. . .

. . .O 70 182O 72 170AB 94 189AB 75 175AB 80 154B 78 172B 71 171B 76 166B 82 143B 78 169

Forma dos dados na planilhacom 100 linhas e três colunas.

A base de dados que será trabalhada hoje contém a informaçao de 100 indivíduossobre tipo sangüíneo, peso (kg)e altura (cm).

arquivo: dados1.txt

Fonte: dados fictícios.

Análise exploratória dos dados

Os dados deste exemplo podem ser obtidos como:

dados=read.table(“http://goo.gl/qofEPw”)

• Observe que aqui, não usamos o argumento header=T, pois os nomes das variáveis não estão no arquivo de dados.

• Mas, se preferirmos, podemos definir os nomes das variáveis em dados.

names(dados)<-c(“tsangue”,”peso”,”altura”)

Análise exploratória dos dados• VARIÁVEIS QUALITATIVAS

– GRÁFICO DE SETORES

pie(table(dados[,1]),main=”Distribuição de freqüências do tipo sangüíneo", col=c("blue",”blue4",”green",”green4"))

A

AB

BO

Distribuição de freqüências do tipo sangüíneo

VARIÁVEIS QUALITATIVAS: GRÁFICO DE BARRAS

barplot(table(dados$tsangue),col="red",main="Distribuição de freqüências de tipo sangüíneo")

VARIÁVEIS QUALITATIVAS: GRÁFICO DE BARRAS

barplot(table(dados$tsangue),col="red",main="Distribuição de freqüências de tipo sangüíneo”,ylim=c(0,40))

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS (1)

• Veremos agora como construir a distribuição de freqüências de uma variável quantitativa.

• Para isso usaremos os dados do exemplo referentes ao peso e à altura dos indivíduos.


• Vimos que no caso de dados contínuos, há a necessidade de se definir primeiro intervalos de classe para depois, construir a tabela de freqüências e, então, usá-la para construir o histograma.

• O R possui uma função que pode gerar esta distribuição de forma automática.


• Esta função também tem a flexibilidade de nos permitir fixar os intervalos ou sugerir o número de intervalos.

• Esta mesma função também gera o histograma dos dados e seu nome no R é hist.

Uso da função hist (2)

Para começar peça a função hist apenas com o argumento obrigatório que é um vetor contendo os valores para os quaisqueremos construir o histograma, isto é, peça hist(dados$peso).

Exemplo: argumentos breaks e freq

hist(dados$peso,breaks=c(50,60,70,80,90,100),right=F,freq=F)

Exemplo (continuação)

Para melhorar o gráfico podemos definir o título e os rótulos para os eixos ox e oy.

hist(dados$peso,breaks=c(50,60,70,80,90,100),freq=F,right=F,main=“Histograma dos pesos”,xlab=“kg”,ylab=“dens.freq.rel”,density=6,col=“blue”)

Ramo e folhas de peso

• Para estudarmos outras possibilidades de intervalos para o histograma de pesos, será útil construir um ramo-e-folhas dos pesos: stem(dados$peso).

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 5 | 79 6 | 12223344 6 | 56678888899 7 | 00000011111222222233333444 7 | 5555555666777788888889999 8 | 000111111111122223334 8 | 56667 9 | 4 9 | 6

Construindo 9 intervalos de classe

A amplitude amostral é aproximadamente 96-57=39

Observe que ficaremos com uma amplitude total igual à 9x4,5=40,5, que equivale quase 2 a mais. Podemos então repartir o excesso igualmente para cima e para baixo, começando com 56 e terminando em 97:

hist(dados$peso,breaks=c(56,60.5,65,69.5,74,78.5,83,87.5,92,96.5),col=“palegreen”,main=“Histograma dos pesos”,xlab=“kg”,ylab=“dens.freq.rel.”,freq=F)

Para 9 intervalos podemos calcular 39/9 que é 4.333..., e arredondando para 4,5 temos as amplitudes das classes.

Numa distribuiçãode freqüências, não deve

haver classes intermediárias

vazias!

Portanto, essa distribuição deve ser refeita.

Possibilidades: sugerir 8 intervalos ou juntar as duas classes finais, passando a ter classes de amplitudes desiguais.

Construa o histograma usando 8 intervalos de classe.

Sugestão:breaks=c(56,60.5,65,69.5,74,78.5,83,87.5,96.5)

Argumentos da função hist

Argumentos:x (obrigatório): vetor de valores para os quais deseja-seconstruir o histograma.

breaks (opcional): um entre * vetor fornecendo os limites dos intervalos de classe, * número fornecendo o número de intervalos (é apenas uma sugestão).

right (opcional): lógica; se `right=T‘(default), as classes são fechadas à direita e abertas à esquerda. Se ‘ right=F´, as classes são fechadas à esquerda e abertas à direita.

Argumentos da função hist

• freq (opcional): lógica; se `freq=T', o histograma é uma representação da distribuição na escala das freqüências absolutas, se `freq=F', é uma representação na escala da densidade de freqüência relativa, que é definida como a razão entre freqüência relativa e a amplitude da classe.

• Observação: O Default da versão atual do R é usar freq=T, quando as classes têm amplitudes iguais e freq=F, quando as classes têm amplitudes desiguais.

O que mudou?

freq=F freq=T

Exemplo (continuação)

Para melhorar o gráfico podemos definir o título e os rótulos para os eixos ox e oy.

hist(dados$peso,breaks=c(50,60,70,80,90,100),freq=F,right=F,main=“Histograma dos pesos”,xlab=“kg”,ylab=“dens.freq.rel”,density=6,col=“blue”)

Argumento density

Inserindo o argumento density=4, obtemos

Mudando a escala dos eixos

Comandos xlim e ylim. Para visualizar o eixo 0x de 40 até

110kg, inclua o argumento xlim=c(40,110).

Para visualizar o eixo 0y de 0 até 0.06, quando freq=F, inclua o argumento ylim=c(0,0.06).

ATIVIDADE

1) Construa agora o histograma das alturas com 7 intervalos de classe.

2) calcule a média das alturas nesta amostra e localize-a no histograma obtido no item 2.

Comando par(mfrow=c(l,n))

• É possível construir vários histogramas numa única janela de gráfico.

• Por exemplo, se quisermos apresentar o histograma das alturas e o histograma dos pesos numa mesma janela, antes de pedir os histogramas, devemos informar que a janela conterá dois gráficos.

• Podemos configurar a janela com dois gráficos numa única linha ou dois gráficos numa única coluna.

Comando par(mfrow=c(l,n))

• par(mfrow=c(1,2)) # uma linha duas colunas ou• par(mfrow=c(2,1)) # duas linhas uma coluna.

• Depois é só pedir os respectivos histogramas.

par(mfrow=c(1,2)) hist(dados$peso, main="Histograma dos pesos",xlab="Kg",freq=F,ylab="densidade de freq. rel.",ylim=c(0,0.07),xlim=c(50,110))

hist(dados$altura, main="Histograma das alturas",xlab="cm",freq=F,ylab="densidade de freq. rel.",ylim=c(0,0.06),xlim=c(130,200))

Para fechar uma janela de gráfico, usa-se o comando: dev.off()

Para abrir uma NOVA janela de gráfico, usa-se o comando: win.graph()

Janelas de gráfico simultâneas:

Densidades

• Densidade da distribuição normal– x = seq(-4,4,0.1)– plot (x,dnorm(x), type=“l”)

• Ou ainda– curve (dnorm(x), from=-4, to = 4)

• Gráfico com a distribuição binomial – (pin diagram)– X=0:50– plot (x,dbinom(x,size=50,prob=.33),type="h“))

Estatísticas descritivas

• x=rnomr(50)• mean(x) # média• sd(x) # desvio padrão• var(x) # variância• median(x) # mediana• quantile(x)


• library (ISwr) # carrega pacote• data (juul) # carrega dados hospitalares• attach(jull) # disponibiliza os dados• mean(igf1) # gera um erro• mean(igf1, na.rm=T)• length(ifg1) # conta todos os valores• opção

– sum(!is.na(igf1)) # TRUE = 1 e FALSE = 0


• summary (igf1)• n=length (x)• plot(sort(x),(1:n)/n,type="s",ylim=c(0,1))• Onde:

– “s” = step function– (1:n)/n divide o intervalo 1:n em n valores

Novos assuntos teóricos

• Outras distribuições• Aproximação da normal pela

binomial• Intervalo de confiança• Testes de hipótese

– Unicaldal– Bicaldal

• Testes de hipótese de duas amostras– Testes de hipótese de amostras

emparelhadas

Testes para uma amostra• t-teste – uma amostra

– (n<30 e σ desconhecido)– suposições

• dados vem de uma distribuição normal• X~N(µ,σ2)

– Deseja-se testar a hipótese nula• h0: µ = µ0

– Pode-se estimar os parâmetros µ e σ pela média empirica e pelo desvio padrão amostral s.

x

Testes para uma amostra

• t-teste – uma amostra

• onde SEM = standard error of the mean

• Se o experimento for repetido (x) vezes e forem tiradas (x) médias, então essas médias seguirão a distribuição que gerou a amostra

nSEM

n

samostralSEM

Testes para uma amostra

• Para dados normalmente distribuídos há 95% de chance de µ ± 2σ

• Espera-se que se µ0 for a verdadeira média, então deveria estar a 2 SEM dela.

x

Range Proporção

µ ± 1σ 68,3%

µ ± 2σ 95,5%

µ ± 2σ 99,7%

Testes para uma amostra• formalmente

– ou

• para ver se t está no limite da região de aceitação, cujo nível de significância é 5%

• Se t está fora da região de aceitação, então devemos rejeitar a hipótese nula para aquele nível de significância.

• A região de aceitação está próximo de -2 e 2

SEM

xt 0

nsx

t 0

Testes para uma amostra• A região de aceitação está próximo de

-2 e 2

Testes para uma amostra• Pode-se também calcular o p-value

que é a probabilidade de se obter um valor tão grande ou maior que o valor t observado.

• Não se deve rejeitar h0 se o p-value está próximo do nível de significância α

• Rejeita-se h0 se o p-value é muito pequeno em relação ao nível de significância α

Testes para uma amostra• daily.intake =

c(5260,5470,5640,6180,6390,6515,6805,7515,7515,8230,8770)

• # energia ingerida em kJ por 11 mulheres• mean(daily.intake)• sd(daily.intake)• quantile(daily.intake)• Os dados amostrais (com média = 6753,639 kJ)

constituem evidência suficiente para rejeitar a afirmação de que as mulheres ingerem 7725kJ em média?

Testes para uma amostra• Supondo que os dados vieram de

uma distribuição normal, o objetivo é testar se essa distribuição pode ter média

µ = 7725

• t.test (daily.intake, mu=7725)

Testes para uma amostra• t.test (daily.intake, mu=7725)

One Sample t-test

data: daily.intake t = -2.8208, df = 10, p-value = 0.01814alternative hypothesis: true mean is not equal to

7725 95 percent confidence interval: 5986.348 7520.925 # sample estimates:mean of x 6753.636

Testes t para dados emparelhados• Usado para duas medidas no

mesmo experimento• Trata as diferenças entre as

medidas, reduzindo o problema para teste t – uma amostra

• Deseja-se investigar o grau de ingestão de calorias por mulheres antes e depois da menstruação

Testes t para dados emparelhados• data(intake)• attach(intake)• intake• post – pre # diferença antes e depois

h0: (post - pre) = 0h1: (post - pre) ≠ 0

• Todos os valores na amostra foram negativos, dando indícios que as mulheres têm baixa ingestão de calorias depois da menstruação.

Conselhos úteis

• Ler os manuais no site do projeto CRAN • Usar a página wiki do projeto CRAN

– http://wiki.r-project.org/ • Usar http://www.rseek.org/ ao invés do google• Aprender com os errros• ?lm dá uma ajuda sobre a função lm. Ler arquivos

de help pode ajudar bastante• Assine a lista do R

– (https://stat.ethz.ch/mailman/listinfo/r-help)• Crie seu script personalizado de bibliotecas

http://wiki.r-project.org/

http://www.rseek.org/

https://stat.ethz.ch/mailman/listinfo/r-help

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