1

Predmet: Mehanika 2 (06 - GG14) zimski semestar 2019/20

Mehanika 2 Zvonko Rakarić Predavanje 2 :. Kinematika krivolinijskog kretanja tačke. Primeri u građevinskom inženjerstvu

FTN Novi Sad

12/8/2019

Mehanika 2

Građevinarstvo FTN Novi Sad

2. nedelja

2 12/8/2019

Predmetni nastavnik: Zvonko Rakarić Kabinet 220 blok F (FTN Novi Sad) Konsultacije: Email: zvonko@uns.ac.rs zzvonkorr@gmail.com

3 12/8/2019

1 POLOŽAJ, POMERANJE, BRZINA I UBRZANJE TAČKE

1.6 Položaj, pomeranje, brzina i ubrzanje tačke pri krivolinijskom kretanju 1.6.1 O krivolinijskom kretanju 1.6.2 Vektor položaja i pomeranja tačke 1.6.3 Vektor srednje i trenutne brzine 1.6.4 Vektor elementarnog pomeranja 1.6.5 Vektor srednjeg i trenutnog ubrzanja 1.6.6 Razlaganje vektora ubrzanja na normalno I tangencijalno ubrzanje 1.6.7 Kinematika oscilatornog krivolinijskog kretanja tačke

1.7 Veza između brzina i ubrzanja za dve tačke 1.7.1 Veza između brzina 1-7-2 Veza između ubrzanja

I DEO: KRETANJE I MIROVANJE TAČKE

Sadržaj 2. nedelje

4 12/8/2019

5

Iz prethodne nedelje

• Razmatrano je pravolinijsko kretanje tačke • Jednostavan ali značajan način kretanja u inženjerstvu • U stvarnim sistemima:

1. neke tačke se zaista kreću pravolinijski 2. krivolinijska kretanja tačaka se aproksimiraju sa pravolinijskim kretanjem

12/8/2019

https://www.slideshare.net/javeduet/module-3-free-vibrations-in-sdof-systems

https://slideplayer.com/slide/9214014/

https://www.slideshare.net/javeduet/module-3-free-vibrations-in-sdof-systems

6 12/8/2019

7

• položaj, pomeranje, srednja brzina, trenutna brzina, elementarno pomeranje, srednje ubrzanje, trenutno ubrzanje

• položaj, pomeranje, srednja brzina, trenutna brzina, elementarno pomeranje, srednje ubrzanje, trenutno ubrzanje su VEKTORI

12/8/2019

1.6 Položaj, pomeranje, brzina i ubrzanje tačke pri krivolinijskom kretanju

1.6.1 O krivolinijskom kretanju tačke • Jedan od mogućeg načina kretanja tačke • Takvo kretanje kod kojeg UVEK postoji ubrzanje • SSK može biti 1, 2 ili 3.

8 12/8/2019

Precast Concrete Panel Training - Facelift https://www.youtube.com/watch?v=geLHscONhpo

Precast Concrete Panel Training - Rotation https://www.youtube.com/watch?v=ylcXOM8Vza4

9 12/8/2019

Podizanje tornja za procesnu industriju, dužine 118 m i mase 1679 tona (kompanija XCMG) https://www.youtube.com/watch?v=0-XRJXdU2zk

Precast Concrete Panel Training – Rotation

10 10 12/8/2019

11 12/8/2019

1.6.2 Vektor položaja i vektor pomeranja . Trajektorija. Koordinatni sistemi

• Tačka može da miruje ili da se kreće • • Posmatra se kretanje između dva položaja 1 i 2 • Vektor položaja:

• Vektor konačnog pomeranja • Koordinatni sistemi: Dekartov k.s Polarni k.s. Prirodni k.s.; • Linija putanje i trajektorija

12

2 1r r r

r t A/Or t

12/8/2019

13

i jr t x t y t

Vektor položaja u Dekartovom koordinatnom sistemu

12/8/2019

14

Vektor položaja u polarnom koordinatnom sistemu

0r r r

12/8/2019

15

Vektor položaja u prirodnom koordinatnom sistemu

12/8/2019

1.6.3 Vektor srednje i trenutne brzine

• Pravac vektora srednje i trenutne brzine se menja • Posmatra se kretanje između dva položaja 1 i 2 •Vektor srednje brzine •Vektor trenutne brzine: granična vrednost vektora srednje brzine kada t -> 0; • Vektor trenutne brzine leži na pravcu tangente

16

sr

rv

t

0 0lim lim

srt t

rv v r

t

12/8/2019

17

Predstavljanje vektora brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu

i jv r t x t y t

2 2v x y

12/8/2019

18

Predstavljanje vektora brzine u polarnom koordinatnom sistemu

0

0

drdv r r r r r r

dt dt

0r r r

0 ?dr

dt

Brzina promene ugla – ugaona brzina

d

dt

12/8/2019

19

Predstavljanje izvoda vektora po vremenu koji se nalazi u obrtnom koordinatnom sistemu

/O /O

/O

/ x Oy / x O1 1

A A

A

y

dr drr

dt dt

0

0 0

Ox y

drr c

dt

12/8/2019

1.6.4 Vektor elementarnog pomeranjea

•Polazi se od izraza za vektor (konačnog) pomeranja tačke •, • Ptanje je šta je vektor dr=? • Koristi se izraz za diferencijal vektorske funkcije f(t) • Tada je:

srr v t

tdf f dt

dr v dtVektor elementarnog pomeranja

20

r - Vektor virtualnog pomeranja

12/8/2019

1.6.5 Vektor srednjeg ubrzanja. Vektor trenutnog ubrzanjea

1.6.5.1 Vektor srednjeg ubrzanja,

dr v dtVektor elementarnog pomeranja

21

r - Vektor virtualnog pomeranja

2 1

2 1

sr

v vva

t t t

12/8/2019

1.6.6 Razlaganje vektora ubrzanja na normalno i tangencijalno

•1.6.6.1 Uvođenje krivolinijske koordinate duž trajektorije. Predstavljanje vektora brzine preko krivolinijske koordinate

• srednje ubrzanje može biti 0 • kao i srednja brzina, i srednje ubrzanje može da da lošu procenu • potrebno je da t bude što manje 22

dr ds dr ds drv r s s t vt

dt ds ds dt ds

0lim

t

dr dr rt t t

ds ds t

12/8/2019

1.6.6 Razlaganje vektora ubrzanja na normalno i tangencijalno

2 1

2 1

sr

v v va

t t t

• srednje ubrzanje može biti 0 • kao i srednja brzina, i srednje ubrzanje može da da lošu procenu • potrebno je da t bude što manje 23

•1.6.6.2 Normalno i tangencijalno ubrzanje

12/8/2019

Kretanje po proizvoljnoj krivolinijskoj putanji

24 12/8/2019

25

Primeri za vežbu Primer 1.14 Tačka se kreće po kružnici radijusa 3 m i kreće se sa konstantnim intenzitetom brzine od 2 m/s. Neka je kretanje tačke po kružnici određeno uglom I neka je . Odrediti položaj tačke u trenutku t = 2 s. Odrediti ubrzanje tačke u trenutku t = 2 s..

Primer 1.15 Tačka započinje kretanje iz koordinatnog početka I kreće se tako da joj vektor brzine glasi m/s Odrediti vektor ubrzanja tačke u trenutku t = s. Odrediti položaj tačke u trenutku t = s.

12/8/2019

26

PRIMERI

12/8/2019

Primer 1.16 Kosi hitac. U početnom trenutku tačka se nalazi u položaju A. Intenzitet njene početne brzine iznosi , a pravac vektora početne brzine obrazuje ugao sa horizontalom. Početni položaj je u postavljenom Dekartovom koordinatnom sistemu definisan sa e i b, kako je prikazano. Poznato je da je tokom kretanja tačke, ubrzanje u pravcu x ose nula, dok ubrzanje u pravcu y ose iznosi , dok je smer tog ubrzanja u negativnom pravcu y ose. Odrediti maksimalnu visinu koju je tačka dostigla (H=?), brzinu u položaju B i domet d = ?

Primer 1.17 Teška materijalna tačka je okačena za kraj užeta ili lakog štapa. (Klatno). Poznato je da intenzitet ubrzanja tačke A u pravcu tangente (tangencijalno ubrzanje) iznosi , gde je ugaona koordinata koja opisuje položaj pravca OA u odnosu na vertikalni pravac. Odrediti kako se u funkciji od ugla menja intenzitet brzine, ako je u početnom trenutku tačka A bila u najnižem položaju, a klatno je imalo početnu vrednost brzine intemziteta usmerenu udesno. Odrediti maksimalnu vrednost ugla koji će klatno postići? Razmotriti na kojim delovima kretanja klatna tokom jednog ciklusa je kretanje ubrzano, odnosno usporeno

27

Primer Primer 1.18 Materijalna tačka u položaju prikazanom na slici I ma početnu brzinu . Pravac početne brzine je normalan na strmu ravan ugla nagiba α. Kretanje se odvija u vertikalnoj ravni, u homogenom polju sile zemljine teže. Poznato je da je tokom kretanja tačke, ubrzanje u horizontalnom pravcu nula, dok ubrzanje u vertikalnom pravcu iznosi , dok je smer tog ubrzanja nadole. Odrediti veličinu D.

Primer 1.19 Štap AB dužine L = 4 m se kreće u ravni tako da mu krajevi klize po nepokretnoj horizontalnoj, odnosno vertikalnoj ravni. Položaj štapa je definisan uglom kojeg štap gradi sa horizontalom. Ugao se menja sa vremenom po sledećem zakonu . Usvojiti da se vrednosti ugla nalaze u intervalu . Definisati položaje tačaka A, B, C i D u zadatom Dekartovom koordinatnom sistemu čije su ose vezane za nepokretne ravni. Tačka C je središte štapa, a tačka D se nalazi na rastojanju L/4 od kraja B. Odrediti zakone kretanja ovih tačaka; Odrediti linje putanja (trajektorije) kretanja ovih tačaka; Odrediti brzine navedenih tačaka u proizvoljnom trenutku tokom kretanja, kao i u trenutku kada štap dođe u vertikalni položaj. Skicirati grafike intenziteta brzine; Odrediti ubrzanja navedenih tačaka u proizvoljnom trenutku tokom kretanja, kao i u trenutku kada štap dođe u vertikalni položaj. Skicirati grafike intenziteta ubrzanja:

28

1.7 APSOLUTNO, PRENOSNO I RELATIVNO KRETANJE

12/8/2019

1.7.1 Apsolutna, prenosna i relativna brzina

/O

A/O

/ x Oy

aps Adr

vdt

apsolutna brzina tačke A u odnosu na tačku O

/O

/ / x O1 1/ x O1 1

rel A

A O yy

drv

dt

relativna brzina tačke A u odnosu na tačku posmatrana i predstavljen u pokretnom koordinatnom sistemu ;

/ /O

pren

A O Av r - prenosna brzina tačke A u odnosu na tačku O

A/O / // x O1 1

aps rel pren

A O A Oyv v v

Vektor apsolutne brzine tačke je jednak zbiru vektora relativne I prenosne brzine.

29 12/8/2019

aps rel prenv v v

Primer 2.50 Telo I se kreće po horizontalnoj nepokretnoj podlozi. Takođe, po njemu se može kretati telo II. Na ovim telima su uočene tačke A i B. Izmereni su intenziteti brzina tačaka A i B i oni iznose: i prikazanih smerova. Odrediti koliko iznosi brzina tela II u odnosu na telo I? Rešenje

30 12/8/2019

1.7.2 Apsolutno, prenosno i relativno ubrzanje

2 2

/O /O /O

/O2 2

/ x O/ x Oy / x O 1 11 1

/O

/O

/ x O1 1

2

/O /O

/O /O2

/ x O/ x O 1 11 1

2

A A A

A

yy

A

A

y

A A

A A

yy

d r d r dr dr

dt dt dt dt

drr

dt

d r dr dr r

dt dt dt

31 12/8/2019

2

/O

/ 2

/ x O1 1

rel A

A O

y

d ra

dt vektor relativnog ubrzanja

/ /O /O

pren

A O A A

da r r

dt

vektor prenosnog ubtzanja

/O

/

/ x O1 1

2cor A

A O

y

dra

dt

vektor koriolisovog ubrzanja

Komponente vektora apsolutnog ubrzanja

32

Primer 2.51 Jedan kraj grede je fiksiran za klizač koji se kreće po vertikalnoj vođici. Po gredi se može kretati klizač za koji je vezano uže i prebačeno preko kotura na kraju grede. Drugi kraj užeta ima brzinu . Odrediti brzinu klizača u odnosu na gredu. Na Slici b) jr prikazan početak mogućeg rešavanja ovog zadatka.

12/8/2019

33

Primer 2.53 Odrediti ubrzanje tela 1, ukoliko je poznato ubrzanje tela 2 kao i relativno kretanje po telu I.

Primer 2.52 Zakon kretanja tela 1 koje se može kretati po horizontalnoj ravni je poznat i glasi: . Koordinata se meri od vertikalne nepokretne ravni, kako je prikazano na slici. Po telu 1 se može kretati drugo telo 2. Dat je zakon kretanja tela 2 po telu 1, . Koordinata se meri od leve ivice tela 1, kako je prikazano. Odrediti brzinu i ubrzanje tela 2 u odnosu na vertikalnu nepokretnu ravan. Skicirati navedene vektore.

12/8/2019

Primer 2.54 Trougaona prizma može da se kreće po horizontalnoj ravni tako što jednom stranom klizi po njoj. Po jednoj stranici prizme se može kretati telo 2. Poznato je da je u trenutku kada se telo 2 nađe u najvišoj tački prizme (tačka A), brzina ploče je i ubrzanje , usmereni ulevo. Takođe je poznata brzina i ubrzanje tela 2 u odnosu na telo 1 u tom položaju, i usmereni udesno. Odrediti apsolutnu brzinu i ubrzanje tela 2 u tom trenutku

34

Primer:Neka imamo gredu koja je za podlogu u tački A vezana pomoću pokretnog cilindričnog zgloba. Greda se kreće tako da se kraj A kreće u horizontalnom pravcu i istovremeno se greda obrće u prikazanom smeru. Na gredi se nalazi element B koji : a) može slobodno da klizi po gredi; b) je fiksiran za gredu.

12/8/2019

35

Primer 2.52 Zakon kretanja tela 1 koje se može kretati po horizontalnoj ravni je poznat i glasi: . Koordinata se meri od vertikalne nepokretne ravni, kako je prikazano na slici. Po telu 1 se može kretati drugo telo 2. Dat je zakon kretanja tela 2 po telu 1, . Koordinata se meri od leve ivice tela 1, kako je prikazano. Odrediti brzinu i ubrzanje tela 2 u odnosu na vertikalnu nepokretnu ravan. Skicirati navedene vektore.

2

12x t t mm 1

x

2

21/ 2x t t 2

x

12/8/2019

36

Primer 2.54 Trougaona prizma može da se kreće po horizontalnoj ravni tako što jednom stranom klizi po njoj. Po jednoj stranici prizme se može kretati telo 2. Poznato je da je u trenutku kada se telo 2 nađe u najvišoj tački prizme (tačka A), brzina ploče je i ubrzanje , usmereni ulevo. Takođe je poznata brzina i ubrzanje tela 2 u odnosu na telo 1 u tom položaju, i usmereni uz strmu ravan. Odrediti apsolutnu brzinu i ubrzanje tela 2 u tom trenutku.

12 /v m s

11 /a m s

2/12 /v m s

2/12m/sa

p r

p r

p r cor

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t x t x t

v t v t v t

a t a t a t a

12/8/2019

37

2.32. Klizač K se može kretati po štapu dužine koji se može obrtati oko cilindričnog zgloba Osa ugaonom brzinom koja se menja sa vremenom po sledećem zakonu . Kretanje klizača po štapu je definisano koordinatom . Odrediti apsolutnu brzinu i ubrzanje klizača u trenutku kada dođe do sredine štapa. Štap započinje kretanje iz horizontalnog položaja.

12/8/2019

2.33. Клизач К се може кретати по кружној вођици полупречника . Кретање клизача у односу на вођицу је дефинисано законом . Вођица је круто везана за клизач који се креће по хоризонталној вођици по закону . Вредност параметра . ХОдредити апсолутну брзину и убрзање у тренутку од почетка кретања.

38 12/8/2019

2.35. Zatega koja je održavala prikazani sistem u ravnoteži, iznenada je pukla. Sistem kojeg čine štap OA i telo M započinje kretanje tako da kraj A štapa klizi po jednoj strani tela M i gura ga udesno, kako je prikazano na slici. Poznato je da u početnom trenutku, neposredno nakon pucanja zatege, štap ima ugaono ubrzanje . Koliko u tom početnom trenutku iznosi ubrzanje tela M. Rezultat izraziti u funkciji od i ugla kojeg u početnom trenutku štap gradi sa horizontalom. Kakav je uticaj porasta početnog ugla , na početno ubrzanje tela. Usvojiti da je dužina štapa L.

39

2cosx t t

2sinx t t

2cosx t t

12/8/2019