MecMatCap11 Metodos Energia

MECHANICS OF

MATERIALS

Third Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

11Mtodos Energa


MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer Johnston DeWolf

11 - 2

Energy Methods

Energa de Defornacin

Strain Energy Density

Elastic Strain Energy for Normal Stresses

Strain Energy For Shearing Stresses

Sample Problem 11.2

Strain Energy for a General State of Stress

Impact Loading

Example 11.06

Example 11.07

Design for Impact Loads

Work and Energy Under a Single Load

Deflection Under a Single Load

Sample Problem 11.4

Work and Energy Under Several Loads

Castiglianos Theorem

Deflections by Castiglianos Theorem

Sample Problem 11.5



Th

irdE

ditio

n


11 - 3

Una barra uniforme est sometida a una carga lentamente

creciente El diferencial de trabajo realizado por la carga P

como la barra se alarga por un pequeo dx es

que es igual al rea de la anchura dx bajo el diagrama

de carga-deformacin.

Trabajo de iferencial DdxPdU

El trabajo total realizado por la carga para una

deformacin x1,

que se traduce en un aumento de la energa de tensin

en la varilla.

nDeformaciEnergaTotalTrabajodxPU

x

1

0

11212

121

0

1

xPkxdxkxU

x

En el caso de una deformacin elstica lineal,

Energa de Deformacin



Th

irdE

ditio

n


11 - 4

Densidad de Energa de Deformacin.

Para eliminar los efectos de tamao, evaluar la energa

de deformacin por unidad de volumen,

ndeformaci de energa de densidad du

L

dx

A

P

V

U

x

x

1

1

0

0

Como el material no tiene carga, la tensin vuelve a

cero, pero hay una deformacin permanente. Se

recupera slo la energa de tensin representada por el

rea triangular.

El resto de la energa en deformar el material se disipa

como calor.

La densidad de energa de deformacin total resultante

de la deformacin es igual al rea bajo la curva a 1.



Th

irdE

ditio

n


11 - 5

Densidad Esfuerzo-Energa

El valor de la densidad de Energa de

deformacin obtenida hacienda 1 R esto es el modulo de tenacidad.

La energa por unidad de volumen necesaria

para producir el material a la ruptura est

relacionado con su ductilidad, as como su

fuerza ltima.

Si el esfuerzo remanente es proporcional al

lmite,

E

EdEu x

22

21

21

0

1

1

La densidad de energa de tensin

resultantes del ajuste de 1 Y is the modulo de resiliencia.

aresilienci de moduloE

u YY 2

2



Th

irdE

ditio

n


11 - 6

Energa de deformacin elstica para esfuerzos normales.

En un elemento con una distribucin no uniforme de la tensin,

tensinde totalEnerga lim0

dVuUdV

dU

V

Uu

V

Para valores de u < uY , i.e., por debajo del lmite

proporcional,

energy strainelasticdVE

U x 2

2

Bajo carga axial, dxAdVAPx

L

dxAE

PU

0

2

2

AE

LPU

2

2

Para una varilla de seccin transversal uniforme,



Th

irdE

ditio

n


11 - 7


Ejemplo 11.01

Una barra consta

de dos porciones

BC y CD hechas

del mismo material

y con longitud igual,

pero de secciones

diferentes.

Determine la energa de deformacin de la barra cuando se

somete a una carga axial cntrica P; exprese el resultado en

funcin de P, L, E, el rea A de la seccin transversal de la

porcin CD y la relacin n de los dos dimetros.



Th

irdE

ditio

n


11 - 8


Ejemplo 11.02

Dos barras del mismo material

y la misma seccin transversal

de rea A sostiene una carga P

en el punto B. Determine la

energa de deformacin del

sistema.



Th

irdE

ditio

n


11 - 9



Th

irdE

ditio

n


11 - 10

I

yMx

De una viga sometida a una carga de flexin,

dVEI

yMdV

EU x

2

222

22

Haciendo dV = dA dx,

dxEI

M

dxdAyEI

MdxdA

EI

yMU

L

L

A

L

A

0

2

0

22

2

02

22

2

22

Para una viga prismtica en voladizo,

EI

LPdx

EI

xPU

PxM

L

62

32

0

22

Energa de deformacin en flexin.



Th

irdE

ditio

n


11 - 11

Energa de deformacin elstica para esfuerzos cortantes

Para un material sujeto a esfuerzos cortante

plano, la densidad de energa de

deformacin

xy

xyxy du

0

Para valores de xy dentro del lmite proporcional

GGu

xyxyxyxy

2

2

212

21

La energa total de deformacin se encuentra

desde

dVG

dVuU

xy

2

2



Th

irdE

ditio

n


11 - 12

Energa de deformacin en la Torsin

J

Txy

dVGJ

TdV

GU

xy

2

222

22

Considere un eje sometido a una carga

torsional,

Haciendo dV = dA dx,

L

L

A

L

A

dxGJ

T

dxdAGJ

TdxdA

GJ

TU

0

2

0

22

2

02

22

2

22

En el caso de un eje de seccin transversal

uniforme,

GJ

LTU

2

2



Th

irdE

ditio

n


11 - 13

Problema Ejemplo 11.2

a) Teniendo en cuenta solamente las

tensiones normales debido a la flexin,

determinar la energa de deformacin de

la viga para la carga mostrada.

b) Evaluar la energa de tensin sabiendo

que la viga es un W10x45, P = 40 kips,

L = 12 pies, un = 3 ft, b = 9 ft y

= 29106 .

SOLUCIN:

Determine las reacciones en A y B

de un diagrama de cuerpo libre de

la viga completa.

Integrar sobre el volumen de la

viga para encontrar la energa de

tensin.

Aplicar las condiciones dadas

particulares para evaluar la energa

de deformacin

Desarrollar un diagrama de la

distribucin de momento flector.



Th

irdE

ditio

n


11 - 14


SOLUCIN:

Determinar las reacciones en el A y

B a partir de un diagrama de

cuerpo libre de la viga completa.

L

PaR

L

PbR BA

Desarrollar un diagrama de la

distribucin de momento flector.

vL

PaMx

L

PbM 21



Th

irdE

ditio

n


11 - 15


vL

PaM

xL

PbM

2

1

BD,prorcin la Sobre

AD,prorcin la Sobre

43 in 248ksi1029

in. 108in. 36a

in. 144kips45

IE

b

LP

Integrar sobre el volumen de la viga para

encontrar la energa de tensin.

baEIL

baPbaab

L

P

EI

dxxL

Pa

EIdxx

L

Pb

EI

dvEI

Mdx

EI

MU

ba

ba

2

2223232

2

2

0

2

0

2

0

22

0

21

6332

1

2

1

2

1

22

EIL

baPU

6

222

in 144in 248ksi 10296in 108in 36kips40

43

222

U

kipsin 89.3 U



Th

irdE

ditio

n


11 - 16

Energa de Deformacin para un estado general de esfuerzos

Se haban encontrado energa de tensin debido a la tensin uniaxial

y tensin de corte plano. Para un estado general de esfuerzos

zxzxyzyzxyxyzzyyxxu 21

Con respecto a los ejes principales de un cuerpo elstico, isotrpico,

distortion todue 12

1

change volume todue 6

21

22

1

222

2

222

accbbad

cbav

dv

accbbacba

Gu

E

vu

uu

Eu

Base para los criterios de fallo de energa de distorsin mxima,

specimen test tensileafor 6

2

Guu YYdd



Th

irdE

ditio

n


11 - 17

Cargas de impacto

Consideremos una varilla que se

ve afectada en su extremo con un

cuerpo de masa m en movimiento

con una velocidad v0.

La barra se deforme bajo impacto.

Las tensiones alcanzan un valor

mximo m y desaparece.

Para determinar la tensin mxima m

- Asumir que la energa cintica se

transfiere totalmente a la estructura,

202

1 mvUm

- Asumir que el diagrama de tensin-

deformacin Obtenido de una prueba esttica

es tambin vlido bajo carga de impacto.

dVEU mm

2

2

Valor mximo de la energa de deformacin,

Para el caso de una barra uniforme,

V

Emv

V

EUmm

202



Th

irdE

ditio

n


11 - 18

Example 11.06

Body of mass m with velocity v0 hits

the end of the nonuniform rod BCD.

Knowing that the diameter of the

portion BC is twice the diameter of

portion CD, determine the maximum

value of the normal stress in the rod.

SOLUTION:

Due to the change in diameter, the

normal stress distribution is nonuniform.

Find the static load Pm which produces

the same strain energy as the impact.

Evaluate the maximum stress

resulting from the static load Pm



Th

irdE

ditio

n


11 - 19

Example 11.06

SOLUTION:

Due to the change in diameter,

the normal stress distribution is

nonuniform.

E

VdV

E

mvU

mm

m

22

22

202

1



L

AEUP

AE

LP

AE

LP

AE

LPU

mm

mmmm

5

16

16

5

4

22 222

Evaluate the maximum stress resulting

from the static load Pm

AL

Emv

AL

EU

A

P

m

mm

20

5

8

5

16



Th

irdE

ditio

n


11 - 20

Example 11.07

A block of weight W is dropped from a

height h onto the free end of the

cantilever beam. Determine the

maximum value of the stresses in the

beam.

SOLUTION:

The normal stress varies linearly along

the length of the beam as across a

transverse section.







Th

irdE

ditio

n


11 - 21

Example 11.07

SOLUTION:

The normal stress varies linearly

along the length of the beam as

across a transverse section.

E

VdV

E

WhU

mm

m

22

22



For an end-loaded cantilever beam,

3

32

6

6

L

EIUP

EI

LPU

mm

mm



2266

cIL

WhE

cIL

EU

I

LcP

I

cM

m

mmm



Th

irdE

ditio

n


11 - 22

Design for Impact Loads

For the case of a uniform rod,

V

EUmm

2

V

EU

VLcccLcIL

cIL

EU

mm

mm

24

//

6

412

4124

412

2

For the case of the cantilever beam

Maximum stress reduced by:

uniformity of stress

low modulus of elasticity with

high yield strength

high volume

For the case of the nonuniform rod,

V

EU

ALLALAV

AL

EU

mm

mm

8

2/52/2/4

5

16



Th

irdE

ditio

n


11 - 23

Trabajo y energa bajo una carga nica

Anteriormente, encontramos la energa

de deformacin mediante la integracin

de la densidad energtica sobre el

volumen. Para una varilla uniforme,

AE

LPdxA

E

AP

dVE

dVuU

L

22

2

21

0

21

2

Energa de deformacin tambin se puede

encontrar desde el trabajo de la carga individual P1,

1

0

x

dxPU

Para una deformacin elstica,

11212

121

00

11

xPxkdxkxdxPU

xx

Conocer la relacin entre fuerza y

desplazamiento,

AE

LP

AE

LPPU

AE

LPx

2

211

121

11



Th

irdE

ditio

n


11 - 24

Trabajo y energa bajo una carga nica

Energa de deformacin se puede encontrar desde el

trabajo de otros tipos de cargas concentradas solas.

EI

LP

EI

LPP

yPdyPU

y

63

321

31

121

1121

0

1

Carga transversal

EI

LM

EI

LMM

MdMU

2

211

121

1121

0

1

Par de flexin

JG

LT

JG

LTT

TdTU

2

211

121

1121

0

1

Par de torsin



Th

irdE

ditio

n


11 - 25

Deflexin Bajo una carga nica.

Si concentra la energa de deformacin de una

estructura debido a una sola carga es conocido,

entonces la igualdad entre el trabajo de la carga y

la energa puede usarse para encontrar la

deflexin.

lLlL BDBC 8.06.0

De esttica,

PFPF BDBC 8.06.0

A partir de la geometra dada,

Energa de deformacin de la estructura,

AE

lP

AE

lP

AE

LF

AE

LFU BDBDBCBC

2332

22

364.02

8.06.0

22

Comparacin de energa trabajo y tensin,

AE

Ply

yPAE

LPU

B

B

728.0

364.021

2



Th

irdE

ditio

n


11 - 26

Sample Problem 11.4

Members of the truss shown consist of

sections of aluminum pipe with the

cross-sectional areas indicated. Using

E = 73 GPa, determine the vertical

deflection of the point E caused by the

load P.

SOLUTION:

Find the reactions at A and B from a

free-body diagram of the entire truss.

Apply the method of joints to

determine the axial force in each

member.

Evaluate the strain energy of the

truss due to the load P.

Equate the strain energy to the work

of P and solve for the displacement.



Th

irdE

ditio

n


11 - 27

Sample Problem 11.4

SOLUTION:

Find the reactions at A and B from a free-body

diagram of the entire truss.

821821 PBPAPA yx

Apply the method of joints to determine the

axial force in each member.

PF

PF

CE

DE

815

817

0

815

CD

AC

F

PF

PF

PF

CE

DE

821

45

0ABF



Th

irdE

ditio

n


11 - 28

Sample Problem 11.4

Evaluate the strain energy of the

truss due to the load P.

2

22

297002

1

2

1

2

PE

A

LF

EEA

LFU

i

ii

i

ii

Equate the strain energy to the work by P

and solve for the displacement.

9

33

2

21

1073

1040107.29

2

2970022

E

E

E

y

E

P

PP

Uy

UPy

mm27.16Ey



Th

irdE

ditio

n


11 - 29

Trabajo y energa bajo varias cargas

Deflexiones de una viga elstica sometida a

dos cargas concentradas,

22212122212

21211112111

PPxxx

PPxxx

Invirtiendo la secuencia.

21111221222221 2 PPPPU Expresiones de energa de tensin deben ser

equivalentes. Se sigue que 1221 (Teorema reciproco de Maxwell,). En honor al fsico

britnico James Clerk Maxwell (1831-1879)

22222112211121 2 PPPPU

Calculando la energa de deformacin de la viga

evaluando el trabajo hecho por la carga P1seguida por P2 aplicadas lentamente.



Th

irdE

ditio

n


Investigacin

11 - 30

Investigar sobre el teorema de Maxwell"Mtodo de las Distorsiones o Desplazamientos Recprocos

Si sobre un cuerpo elstico acta una causa en un punto A, la

deformacin que se produce en otro punto del sistema B es igual a la

que se producira en A si la causa actuase en B .

J. C. Maxwell.

Investigar sobre el Teorema de reciprocidad de Maxwell-BettiEn un slido elstico y lineal, siendo y dos sistemas de cargas

independientes, se establece que el "trabajo interno" realizado por el

sistema de cargas Pi , sobre el campo de desplazamientos producido

por el sistema , es igual al "trabajo interno" realizado por el

sistema , sobre los desplazamientos producidos por el sistema .,

Enrico Betti



Th

irdE

ditio

n


11 - 31

Teorema de Castigliano

22222112211121 2 PPPPU

Energa de deformacin para cualquier estructura

elstica sometida a dos cargas concentradas,

Diferenciando con respecto a las cargas,

22221122

12121111

xPPP

U

xPPP

U

Teorema Castigliano: Para una estructura elstica sujeta a n cargas, la

deflexin xj de un punto de aplicacin de Pj puede expresarse como

=

=

=



Th

irdE

ditio

n


11 - 32

Deflexiones por el teorema de Castigliano

Aplicacin del teorema de Castigliano se

simplifica si la diferenciacin con respecto a la

carga Pj se realiza antes de la integracin o

suma para obtener la energa de tensin U.

En el caso de una viga,

L

jjj

L

dxP

M

EI

M

P

Uxdx

EI

MU

00

2

2

Para una cercha,

j

in

i i

ii

jj

n

i i

ii

P

F

EA

LF

P

Ux

EA

LFU

11

2

2



Th

irdE

ditio

n


11 - 33

Sample Problem 11.5

Members of the truss shown

consist of sections of aluminum

pipe with the cross-sectional areas

indicated. Using E = 73 GPa,

determine the vertical deflection of

the joint C caused by the load P.

Apply the method of joints to determine

the axial force in each member due to Q.

Combine with the results of Sample

Problem 11.4 to evaluate the derivative

with respect to Q of the strain energy of

the truss due to the loads P and Q.

Setting Q = 0, evaluate the derivative

which is equivalent to the desired

displacement at C.

SOLUTION:

For application of Castiglianos theorem,

introduce a dummy vertical load Q at C.

Find the reactions at A and B due to the

dummy load from a free-body diagram of

the entire truss.



Th

irdE

ditio

n


11 - 34

Sample Problem 11.5

SOLUTION:

Find the reactions at A and B due to a dummy load Q

at C from a free-body diagram of the entire truss.

QBQAQA yx 43

43

Apply the method of joints to determine the axial

force in each member due to Q.

QFF

QFF

FF

BDAB

CDAC

DECE

43;0

;0

0



Th

irdE

ditio

n


11 - 35

Sample Problem 11.5

Combine with the results of Sample Problem 11.4 to evaluate the derivative

with respect to Q of the strain energy of the truss due to the loads P and Q.

QPEQ

F

EA

LFy i

i

iiC 42634306

1

Setting Q = 0, evaluate the derivative which is equivalent to the desired

displacement at C.

Pa1073

104043069

3

NyC mm 36.2Cy

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