MECHANIKA PŁYNÓW
description
Transcript of MECHANIKA PŁYNÓW
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Rozważmy wypływ gazu ze zbiornika, w którym panuje wysokie ciśnienie, do obszaru o niższym ciśnieniu.
v2
p1, T1
Zakładamy, że jest to ustalony wypływ adiabatyczny gazu doskonałego a więc bez wymiany ciepła (ec=0), pracy mechanicznej (lt=0) a przy małej gęstości gazu mogą być pominięte człony wyrażające energię potencjalną (g·z=0). Przy tych założeniach równanie bilansu energii sprowadza się do postaci:
2
v
2
v 22
2
21
1 ii
tc lezgizgi
1
21
12
22
2 2
v
2
v
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Różnicę entalpii i2 – i1 można zastąpić
wyrażeniem ,
za ciepło właściwe cp podstawiamy
zależność oraz , dzięki czemu:
Jest to równanie Bernoulliego dla gazów idealnych i przemian adiabatycznych wzdłuż strumienia.
) - ·( = - 12p12 TTcii
Rcp 1
TRp
2
v
12
v
1
22
2
221
1
1
pp
v2
p1, T1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Parametry nieruchomego gazu w zbiorniku przy v = 0, nazywamy parametrami spiętrzenia. W szczególności temperatura i ciśnienie odpowiadające temu stanowi nazywane są temperaturą spiętrzenia i ciśnieniem spiętrzenia i oznaczamy symbolami To i po.
v1
p0, T0
2
v
11
21
1
1
0
0
pp
Jeżeli parametry gazu na zewnątrz zbiornika oznaczamy indeksem”1”, to równanie przybiera postać:
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Prędkość wypływu gazu ze zbiornika możemy wyznaczyć:
v1
p0, T0
Korzystając z równania izentropy:
1
11 1
2v
pp
o
o
1
1
1
11 1
121
12v
o
oo
o
o
o
o
o
p
pp
p
pp
0
1
0
1
1
1
0
0
p
pppconst
p
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Otrzymamy wzór St. Venanta-Wantzela:
v1
p0, T0
1
11 1
12v
oo
o
p
pp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Wydatek masowy wypływu gazu przez otwór obliczamy z zależności:v1
p0, T0
Podstawiając w powyższym równaniu zależność na prędkość gazu v1 otrzymujemy:
11
1
0
10111 vvv A
p
pAAM
1
0
1
2
0
1001 1
2p
p
p
ppAM
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
v1
p0, T0
Z analizy wzoru St. Venanta-Wantzela wynika, że maksymalna prędkość gazu vmax teoretycznie może wystąpić przy jego rozprężeniu do próżni absolutnej, gdzie i = 0 a więc także p1 = 0:
00
0max 1
2
1
2v TR
p
1
11 1
12v
oo
o
p
pp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 1. Jak zmienia się masowe natężenie masowego natężenia wypływu gazu w funkcji ilorazu ciśnień p1/p0 = x dla stałych parametrów gazu w zbiorniku?Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze
= 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 2 MPa
12
001 12 xxpAM
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Ze spadkiem ciśnienia p1, wielkość M(x) początkowo rośnie, a po osiągnięciu wartości maksymalnej Mmax dla x = β, maleje do zera.
Badania doświadczalne wskazują, że dla p1/p0 < β masowe natężenie nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. Przedstawiona rozbieżność nazywana jest „paradoksem Saint Venanta-Wantzela”.
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Wielkość β można wyznaczyć z warunku na ekstremum funkcji M(x):
czyli
stąd ekstremum funkcji występuje gdy x = p1/p0 = β:
0
122
12
12
1/2
00
12
00
1
xxp
xxp
Adx
dM
012 12
xx
1
1
2
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
5283,04,2
2
14,1
2
1
2 4,0
4,1
14,1
4,1
1
Przykład 2. Określ wartość x = p1/p0 = β przy, której obserwowany maksymalny wypływ powietrza ze zbiornika. Dla powietrza = 1,4
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Jeśli do równania
za iloraz p0/p1 podstawimy wielkość β otrzymamy:
Wstawiając prędkość maksymalną wprost do wzoru na masowe natężenie wypływu otrzymamy:
0
0max 1
2v
p
00
1
1
1max 1
2
1
2
pAM
1
11 1
12v
oo
o
p
pp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Kryterium do obliczania prędkości i wydatku przy wypływie gazu przez otwory i dysze zbieżne stanowi stosunek ciśnienia zewnętrznego p1 do ciśnienia w zbiorniku p0 a mianowicie:gdy p1/p0 > β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów
gdy p1/p0 < β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów
1
0
1
2
0
1
0
01 1
2p
p
p
ppAM
0
0max 1
2v
p
00
1
1
1max 1
2
1
2
pAM
1
11 1
12v
oo
o
p
pp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 3. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku.Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze
= = 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 0,2 MPa T0 = 300 Kp1 = pa = 0,1013 MPa
dla masowe natężenie przepływu nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej.
v1
p0, T0
5065,02,0
1013,0
0
1 p
p5283,0
114
2
1
2 14,1
4,11
0
1
p
p
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 3.
m/s31730028714,14,12
v
sm
kg1
smkg
KKkg
J]v[,
12
12
v
1
2
2
100
01
RT
p
00
0 RTp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 4. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć temperaturę wypływającego strumienia, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane jak w przykładzie 3.
- z rów. bilansu energii dla dwóch przekrojów
otrzymujemy zależność na temperaturę wypływającego strumienia gazu
1
2
v
11
21
10
RTRT
RRTRT
1
2
v21
01
1
2
v1 21
01
RTT
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 4.
K
s
m
J
KkgK][,
1
2
v12
2
1
21
01 TR
TT
K2504,1
14,1
2
317
287
1300
2
1
T
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 5. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku.Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze
= = 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 0,15 MPa T0 = 300 Kp1 = pa = 0,1013 MPa
dla masowe natężenie przepływu obliczamy z równania Saint Venanta-Wantzela.
v1
p0, T0
675,015,0
1013,0
0
1 pp
5283,0114
2
1
2 14,1
4,11
0
1
pp
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 5.
m/s9,252675,0130028714,14,12
v
sm
kg1
smkg
PaPa
-1KKkg
J]v[
4,1
14,1
1
2
2
1
00
0 RTp
1
10
1
11 1
121
12v
ooo
o
p
pTR
p
pp
675,00
1 p
p
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 6. Obliczyć gęstość gazu w zbiorniku Dane jak w przykładzie 5.
00
0 RTp
322
2
00
0 mkg
mkg
m1
mNkg
mN
KKkgmNmN
, RT
po
3
6
0 mkg
742,13002871015,0
Parametry krytyczne gazu
Zauważmy, że w wyjściowym równaniu izentropy
po lewej i po prawej stronie występuje wyrażenie określające kwadrat prędkości dźwięku:
2
v
11
21
1
1
0
0
pp
0
02
p
a TRp
a
Parametry krytyczne gazu
Wstawiając te wielkości do równania otrzymamy:
gdzie a0 jest prędkością dźwięku w warunkach spiętrzenia (stagnation), gdy v = 0, przy tzw. parametrach spiętrzenia gazu w zbiorniku p0, ρ0, T0.
2
v
11
21
21
20
aa
Parametry krytyczne gazu
Z równania wynika, że przy wypływie gazu ze zbiornika gdy wzrasta prędkość gazu v1 maleje prędkość dźwięku a1. Parametry gazu, przy których prędkość przepływu gazu równa jest lokalnej prędkości dźwięku tj. v1 = a1, nazywane są parametrami krytycznymi: p ρ, T, v, a.
2
v
11
21
21
20
aa
Parametry krytyczne gazu
Z równania tego można wyznaczyć prędkość krytyczną gazu (v1 = v), równą krytycznej prędkości dźwięku (a1 = a).
211
2*
2*
0
0 aap
2
v
11
21
21
20
aa
12
12
12
*0
0
a
p
0
02* 112
12
p
a
0
02* 1
2
p
a
Parametry krytyczne gazu
Warto zwrócić uwagę, że prędkość krytyczna gazu określona wzorami równa jest maksymalnej prędkości występującej przy wypływie gazu przez otwór a więc jest to prędkość krytyczna.
0
02* 1
2
p
a
00
0** 1
2
1
2v TR
pa
0
0max 1
2v
p