Meccanica: Cinematica: Dinamica -...

Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 1

MOTI

Meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare

Cinematica: descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

Dinamica: è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate:

Caso Mono-dimensionale

• Coordinate Cartesiane

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con X

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con - X


Caso Bidimensionale

• Coordinate Polari

• Distanza Radiale r• Angolo θ

O

---> (r, θ)

rθ


• Ascissa X• Ordinata Y

O x

y

---> (X,Y)

E’ ovviamente possibile trasformare le coordinate cartesiane in polari e viceversa

( ))sin(

cosθθ

ryrx

==

=

+=

xyr

yxr

atan

22

θ


Caso Tridimensionale


• Coordinate Sferiche

• Coordinate Cilindriche

( ) ( )( ) ( )( )θ

ϕθϕθ

cossinsincossin

rzryrx

===

( )( )

zzryrx

===

θθ

sincos

yx

z

Coordinate Cartesiane


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificata la posizione del corpo, definire lo spostamento, la velocità e l’accelerazione.

Spostamento: Lo spostamento di un corpo è il vettore il cui modulo è la distanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moto misurata lungo la retta che li congiunge. La direzione è quella delle retta che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il verso è quello rivolto dalla posizione iniziale alla posizione finale

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore spostamento.

Per definire lo spostamento è necessario aver definito in precedenza sia l’origine del sistema di coordinate che il sistema di coordinate da usare. Altrimenti non sapremmo da dove far partire il vettore posizione.

01 pps −=

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine

Il vettore spostamento infinitesimo risulta quindi essere un segmentino della traiettoria.

La traiettoria risulta essere composta dall’inviluppo di tutti i vettori spostamento

ds

ds dsdsdsds


ATTENZIONE

La Traiettoria è il percorso del corpo nel piano xy (o xyz)

La Traiettoria viene visualizzata in un piano cartesiano con le coordinate (X,Y,Z ……. ) come assi


Il Diagramma Orario NON è la Traiettoria

Nel Diagramma orario l’asse delle X rappresenta il Tempo, quello delle Y la coordinata

Un moto mono-dimensionale si rappresenta in un Diagramma orario a 2DUn moto bi-dimensionale si rappresenta in un Diagramma orario a 3D


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento, definire quanto velocemente un corpo si muove

Velocità: La velocità di un corpo è, per definizione, il rapporto fra lo spazio percorso (cioè lo spostamento) e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo

Poiché ho bisogno del vettore spostamento, anche la velocità dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore spostamento| * 1/intervallo di tempoDirezione: quella del vettore spostamentoVerso: quella del vettore spostamento

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore velocità

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore velocità diventa sempre più vicino alla tangente alla traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore velocità istantaneav(t) che dà la velocità di un punto materiale nell’istante t. La velocità istantanea risulta essere tangente alla traiettoria

dtds

ttssv

ttssv

ttist ⇒−−

=⇒−−

=→

12

12

12

12

12

lim [ ] [ ][ ]smv =


Diagramma Orario

Curva di Velocità

dtdsvist =


dtds

ttbcv

ttbcv

bcttist

bc bc

⇒−−

=⇒−−

=→

lim

In un Diagramma Orario la velocità istantanea calcolata nel punto generico X rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la traiettoria nel

punto X

dtxdsxv )()( =x


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento e la velocità, definire quanto velocemente un corpo cambia la sua velocità

Accelerazione: L’accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporto fra il vettore velocità istantanea e l’intervallo di tempo associato

Poiché ho bisogno del vettore velocità, anche la accelerazione dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore velocità| * 1/intervallo di tempoDirezione: … dipende da caso a casoVerso: … dipende da caso a caso

Tanto più la velocità iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore accelerazione

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo è possibile definire il vettore accelerazione istantanea a(t) che dà la accelerazione di un punto materiale nell’istante t.

dtdv

ttvva

ttvva

ttist ⇒−−

=⇒−−

=→

12

12

12

12

12

lim [ ] [ ][ ]2sma =

Nota:

Lo spostamento infinitesimo è un segmentino di traiettoriaLa velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaL’accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria


kdtdva

ktdtdxv

ktx

2

2

2

==

==

=

k


• Spostamento infinitesimo

=−=−=−

=−=dzzzdyyydxxx

ssds

12

12

12

12

=

=

==

dtdzdtdydtdx

dtdsdtdsdtds

vvv

dtdstv

z

y

x

z

y

x

)(• Velocità istantanea

• Accelerazione istantanea

=

===

2

2

2

2

2

2

2

2

dtsd

dtsd

dtsd

dtsd

dtdvdt

dvdtdv

dtdva

z

y

x

z

y

x

==

==

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫dtta

dtta

dtta

dtta

dttv

dttv

dttv

dttvts

z

y

x

z

y

x

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

==

∫∫∫

∫dtta

dtta

dtta

dttatv

z

y

x

)(

)(

)(

)()(


Equazione Oraria

( )tt

s

ts

tempottfs

y

x

3log3753

)(

+−=

+=

==

t

sx

t2

s3

s2

s1

t3t1 tt2

s2

s1

t1

sy

L’equazione oraria permette di determinare le componenti del vettore posizione del corpo in studio in qualsiasi istante di tempo t


Analogamente una equazione del tipo

ttv

v

tempotdt

tfdtgv

y

x

1373

)()(

2 +=

=

===

Permette di conoscere le componenti della velocità di un corpo in qualsiasi tempo t

vy

Un discorso Analogo vale per l’accellerazione

vx

t t

Accellerazione, Velocita’ e Spostamento sono legate tra loro da relazioni matematiche


Esempi alla lavagna:

0 - Esercizi

1 - Calcolo della velocità e dell’accellerazionenoto lo spostamento

2 - Calcolo dello spostamento nota la velocità


Moto Circolare

Coordinate Cartesiane 2D

)/(

)/(

)/(

)/(

)(

22

2

22

2

smylelungooneaccelerazidt

yda

smxlelungooneaccelerazidt

xda

smylelungovelocitàdtdyv

smxlelungovelocitàdtdxv

metriylelungoospostamenty(metri)xlelungoospostamentx

y

x

y

x

==

==

==

==

==

v

x

y vrθ

Coordinate Polari 2D

)/(

)/(

)/(

)/(

)((

22

2

22

2

smradialeoneaccelerazidt

rda

sradangolareoneaccelerazidtda

smradialevelocitàdtdrv

sradangolarevelocitàdtdv

metriradialeospostamentrrad)angolareospostament

r

r

==

==

==

==

==

θ

θ

θ

θ

Ma in un moto circolarer = costantevr= 0 e ar = 0

Riduco il problema in 1D

θ

Nuove Osservabili

Periodo (T) : tempo necessario per fare un giro Frequenza (ν) : 1/T (Hz)


Moto Circolare

Coordinate Polari (1D)

vrθ

)(2

)()(

)()(

2)(

)(

1

22

2

−=

=

=

==

=

=

=

=

==

srtvt

stvrtT

ara

)(m/sdt

xddtdva

zialeone tangenaccelerazia

rv

(m/s)dtdxv

etangenzialvelocitàv

metangenzialospostamentxrx

t

t

t

tt

t

t

t

t

πν

π

ω

ϑ

θ

)(2

)()(

)()(

2)(

)/(

)(

1

22

2

−=

=

==

=

=

=

=

stt

st

tT

)(rad/sdtθd

dtda

angolareioneaccelleraza

sraddtdθ

angolarevelocità

rado angolarespostamentθ

θ

θ

πων

ωπ

ω

ω

ω

Nota:Quando ω è costante prende il nome di pulsazione


Esercizi sul moto circolare uniforme:

Velocità tangenziale/Velocità angolareCoordinate Radiali – Coordinate cartesiane

Forza e Moto - Capitolo 5 e 6 - HRW 1

ForzeIl termine forza nel senso comune indica una trazione od una spinta

Nell’indicare una forza si usa una freccia in quanto una trazione o spinta ha sempre una intensità (il modulo) una direzione ed un verso. Da un punto di vista fisico quindi la forza è un vettore.

Se la forza è una quantità reale deve poter essere misurabile, per essere misurabile deve indurre degli effetti che possono essere quantificati.

Prima legge di Newton

‘Un corpo rimane nel suo stato di quiete o nel suo stato di moto rettilineo a velocità costante se una forza risultante non nulla non lo costringe a variare il suo stato di moto’

oppure

‘Un corpo non soggetto a forze o la cui risultante di tutte le forze a lui applicate è nulla permane nel suo stato di quiete o nel suo stato di moto rettilineo uniforme’

L’assenza di forze (o il fatto che la loro somma vettoriale sia il vettore nullo) quindi implica l’assenza di una variazione di moto, cioè l’assenza di accelerazione.

Un corpo senza accelerazione si dice in equilibrio


Esempio

Incidente Stradale

Esempio

Le cinture di sicurezza nelle auto


Seconda legge di Newton

‘Se una forza risultante ΣF non nulla agisce su un corpo di massa m il modulo della conseguente accelerazione a è direttamente proporzionale al modulo della forza risultante ed inversamente proporzionale alla massa. La direzione ed il verso dell’accelerazione è uguale alla direzione e verso della forza risultante.’

amFmFa =Σ

Σ=

La massa (quello che noi quantifichiamo come la quantità di materia) risulta essere il termine di proporzionalità tra forza ed accelerazione.Maggiore è la massa di un corpo maggiore dovrà essere la forza necessaria per dare al corpo una data accelerazione.

Le dimensioni della forza sono:

L’equazione di newton è di natura vettoriale e quindi può essere scomposta nelle sue componenti (cartesiane, sferiche, cilindriche … )

Un corpo è quindi in equilibrio quando la somma di tutte le forze agenti è nulla

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] NewtonNsmKgForza ==⋅= 2

ammamama

FFF

F

z

y

x

z

y

x

=

=

ΣΣΣ

=Σ Poiché la massa è uno scalare compare tale e quale in tutte le tre equazioni


Composizione delle forze ⇒ Forza risultante

La macchina si muove con velocità costante. Quanto saràla forza totale ?

Il piede è fermo !Quanto saranno le tensionidei fili


Esempi alla lavagna

Calcolo legge del moto rettilineo uniformeCalcolo legge moto uniformemente accelerato

Nota:

Anche questi argomenti trattati esclusivamente in Aula sono argomento di esame


Forza Gravitazionale/Forza Peso

In prima approssimazione, per un osservatore sulla superficie terrestre, è la forza che attira qualsiasi corpo verso il suolo.

E’ una forza costante (non cambia nel tempo) ed uniforme (è la medesima in qualsiasi punto dello spazio)

F = - mg

F = - m g

Punta verso il basso

Accelerazione di gravità, 9.8 m/s2

Massa Inerziale


Esempio:

Caduta libera

Calcolare posizione, velocità ed accelerazione di un corpodi massa M in caduta libera dopo 1,2,3,4,5 secondi


Le equazioni di moto di un corpo in caduta libera NON dipendono dalla massa del corpo stesso. Quindi in assenza di attrito un sasso una piuma impiegano il medesimo tempo per arrivare a terra

C’e’ un bel filmato fatto dagli astronauti sulla Luna

Sito: http://vesuvius.jsc.nasa.gov/er/seh/feather.avi

- Alt – Invio -


Forza Peso

Il Peso di un corpo è il modulo della forza netta richiesta per evitare che il corpo cada, quindi per controbilanciare la forza di

gravità agente sul corpo

Applet: IP2000 – Forza peso


Forza Normale

La forza normale è la forza esercitata da una superficie quando,deformandosi, sostiene il corpo appoggiato.

La forza Normale è sempre perpendicolare alla superficie e di indica con la lettera N

Se il corpo ha massa M = 12 Kg quanto vale N ?

Che differenza c’e’ tra la Forza Normale e la Forza Peso ?Sono Sempre Uguali ?


N

30°Fg


Forza di Attrito Statico Fk

La forza di attrito statico è la forza necessaria per mettere inmoto un corpo di massa M su una superficie k

Il corpo è in quiete, non applico nessuna forza. Il corpo rimane fermo.

Inizio ad applicare una forza F < FkIl corpo rimane fermo.

Aumento F ma sempre F < FkIl corpo rimane fermo.

Ora F = FkIl corpo rimane fermo.

Se F > Fk il corpo acquisisce una accelerazione a .

µk < 1µk dipende dal materiale kFk = µk N


Forza di Attrito Dinamico Fd

La forza di attrito dinamico è la forza che si oppone a qualsiasi moto di un corpo m che striscia su un materiale K

N

Fd v

NFd

v

Fd = µd N

µd < 1

Fd agisce solo se il corpo è in motoFd è sempre opposta alla direzione di moto

µd dipende dal materiale Kµd < µk


Tensione

Quando un filo è fissato ad un corpo soggetto ad una forza, il filo è sotto tensione. Il filo esercita sul corpo una forza di trazione T

applicata al punto di fissaggio del filo e diretta lungo il filo

La tensione della corda è il modulo di tale forza

Quanto vale T nei tre casi (i tre corpi sono fermi) ?


Forza Elastica

Un materiale elastico è un materiale che ha la capacità di riacquistare la forma iniziale dopo essere stato compresso o deformato (p.es. la molla)

La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso 1D) è linearmente proporzionale all’allungamento stesso. La costante di proporzionalità k è detta costante elastica

)( 0xxkF −=

La osservabile x0 rappresenta l’estensione della molla quando non è soggetta a forze, l’osservabile x indica l’attuale estensione della molla

• Se comprimo la molla la forza che esercito è negativa

• Se estendo la molla la forza che esercito è positiva

Per motivi di semplicità si considera sempre la molla di estensione nulla, cioè x0 = 0. E’ facile correggere i calcoli in caso contrario

0)( 00 <−=< xxkFxx

0)( 00 >−=> xxkFxx


Forza Centrifuga

L’autista dell’automobile sente una forza che lo porta verso l’esterno.

Questa forza è detta forza centrifuga

La forza centrifuga è una forza ‘apparente’, una forza cioè che viene sentita solo se l’osservatore non è fermo o in moto rettilineo uniforme. Per un osservatore in moto circolare uniforme la forzacentrifuga può essere espressa come:

Dove ω è la velocità angolare ed r il raggio di curvatura

rmF 2ω=


Forza di Coulomb

Il modulo |F| della forza che una carica puntiforme q1 esercita su un’altra carica puntiforme q2 è direttamente proporzionale al prodotto delle due quantità di carica ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza

k è una costante di proporzionalità detta costante elettrostatica di Coulomb. La direzione della forza è quello della congiungente le due cariche puntiformi ed il verso è attrattivo per due cariche di segno opposto e repulsivo per due cariche dello stesso segno.

Due cariche puntiformi di 1 Coulomb poste ad 1 metro di distanza subiscono ciascuna una forza attrattiva/repulsiva pari a 8.99 109 N

221

rqqkF =

[ ][ ][ ]2

29

0

1099.84

1C

mN⋅=

πε

- q2

+ q2

- q1- q1


Forza di LorentzE’ data una particella di carica Q in moto rettilineo uniforme con velocità v che improvvisamente entra in un campo magnetico costante B ortogonale alla velocità v

La particella carica subisce la forza di Lorentz.

L’intensità della forza di Lorentz

Florentz

v x

z

B

y

BvqF ×=

è :

Nulla se v è parallela a BPerpendicolare al vettore velocità Perpendicolare al vettore Campo Magnetico

)sin( vBBvqF ϑ=

( )( )( )xyyxz

zxxzy

yzzyx

BvBvqF

BvBvqF

BvBvqF

−=

−=

−=


Forze in natura

In natura esistono 4 forze fondamentali, con cui è possibile descrivere tutti i fenomeni naturali noti:

• Forza Gravitazionale … è responsabile di tutti i fenomeni astronomici e ed è la forza che percepiamo nel modo più immediato

… Legge di gravitazione universale di Newton… Relatività Generale

• Forza Elettromagnetica … lega gli elettroni al nucleo ed è responsabile di tutti i fenomeni elettrici

… Equazioni di Maxwell

• Forza Nucleare forte …….lega i mattoni più elementari della materia stessa. Mantiene unite le particelle ed impedisce ai nuclei di disintegrarsi per la reciproca repulsione fra protoni.

… La forma esplicita completa è tuttora ignota

• Forza Nucleare debole …. Assicura la produzione di luce e calore per opera della fusione nucleare, è responsabile dei decadimenti radioattivi.

… La forma esplicita non è completamente nota

Qualsiasi altra forza deriva da queste quattro

Forza peso

Forza di attrito

Forza viscosa

Forza elettrostatica

Forza di Lorentz

∧

= rrmmGF 2

21

2/80.9 smgjmgF =−=∧

NkF =

vkF 0−=∧

= rrqqF 2

21

041πε

BvqF ∧=


Esempio – Composizione di Moti !

Caduta libera

Applet: IP2000 Bomber


Esempio:

Moto Parabolico

Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo di 40° rispetto al suolo. Quale è la gittata del cannone e quale è la massima altezza raggiunta dal proiettile(trascurare l’attrito).

Quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata.

Altri esempi:


Applet: Tiro al Volo


Esempio

La velocità e l’accellerazione sono molto differenti


Applicazione delle leggi di Newton

Caduta libera con attritoSollevamento di un pesoSlitta con attrito

Nota:



Terza legge di Newton

‘Se un corpo esercita una forza su un secondo corpo, il secondo corpo esercita sul primo corpo una forza uguale in modulo e direzione ma opposta in verso.’

FF

2

2

/39.09236

/0033.011000

36

sma

sma

uomo

astronave

−=−

=

==

Le due forze sono identiche ma vengono esercitate su corpi diversi, con masse differenti. Quindi l’effetto indotto da queste due forze identiche può essere sensibilmente differente.

Esempio

F = 36 Nmastronave = 11000 kgmuomo = 92 kg


Esempio

Che forza devo applicare per avere la corda orizzontale


Esercizi con esempi di Forza.

Nota:



Moto Circolare

Coordinate Polari (1D)

vrθ

)(2

)()(

)()(

2)(

)(

1

22

2

−=

=

=

==

=

=

=

=

==

srtvt

stvrtT

ara

)(m/sdt

xddtdva

zialeone tangenaccelerazia

rv

(m/s)dtdxv

etangenzialvelocitàv

metangenzialospostamentxrx

t

t

t

tt

t

t

t

t

πν

π

ω

ϑ

θ

)(2

)()(

)()(

2)(

)/(

)(

1

22

2

−=

=

==

=

=

=

=

stt

st

tT

)(rad/sdtθd

dtda

angolareioneaccelleraza

sraddtdθ

angolarevelocità

rado angolarespostamentθ

θ

θ

πων

ωπ

ω

ω

ω

Nota:Quando ω è costante prende il nome di pulsazione


Moto circolare Uniforme

Moto in cui :

• vt costante ⇔ ω costante ⇔ ω = pulsazione• T costante ⇒ T = Periodo• ν costante ⇒ ν = frequenza

Un corpo che si muove in moto circolare uniforme subisce una forza non nulla (detta centripeta) SEMPRE diretta verso il centro

vF

rmrvmF t 2

2

ω==


Esempio alla lavagna

Le equazioni del moto rotatorio

Lavoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 1

Energia

A

Agisce solo la gravita, trascuriamo l’attrito

Per sapere la velocità nel punto A non mi è sufficiente sapere la velocità iniziale Vo ma anche conoscere accuratamente la curvatura della slitta. I conti inoltre sono estremamente complessi poiché la forza agente sul corpo cambia in ogni punto, cambiando la curvatura della rotaia.

Esiste una scorciatoia ?


Lavoro ed Energia

Il concetto di lavoro intuitivamente quantifica la fatica che una persona o una macchina devono fare per spostare un oggetto.

Maggiore è lo spostamento del corpo, maggiore è la forza impiegata per spingere, maggiore sarà la fatica e intuitivamente maggiore dovrà essere il

lavoro compiuto.

Intuitivamente il lavoro dovrà quindi essere legato sia allo spostamento che all’intensità della forza

E’ chiaro che la componente della forza che ‘lavora’ è quella che induce direttamente lo spostamento, cioè quella parallela alla spostamento

( )θcosdsFdLdsFdL =⋅=

Il lavoro infinitesimo dL fatto da una forza F per spostare un corpo di un tratto ds si definisce come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento


Il lavoro:

• E’ un numero, infatti non necessita di una direzione o di un verso• E’ nullo se la forza è nulla• E’ nullo se lo spostamento è nullo

• Spingere contro una cassa che rimane ferma non da lavoro • E’ nullo se lo spostamento è perpendicolare alla forza • La forza di Lorentz è a lavoro nullo• E’ positivo se la forza è parallela allo spostamento (lavoro motore)• E’ negativo se la forza è opposta allo spostamento (lavoro resistente)

Il lavoro si misura in Joule:

La definizione si può semplificare in alcuni casi particolari e solo in questi !!

Caso 1D ⇒ Non è più necessario il prodotto scalare dL = Fds

Spostamento Rettilineo + ⇒ Si può passare alla forma integrale L = F s cos(θ)

Forza costante

In tutti gli altri casi per calcolare il lavoro è necessario risolvere un integrale di linea

[ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] JouleJsmkgm

smkgsFLavoro ===== 2

2

2

∫ ⋅=),( BAldsFL

A

Bl


Il lavoro è la conseguenza dell’applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associato ad una variazione di velocità.

Il calcolo del lavoro secondo la definizione implica un processo di integrazione che è il più delle volte lungo e complesso

Tuttavia per una forza e parallela alla traiettoria (rettilinea):

2222

022

21

21

2)(

)0.(2

)rettilinea(atraiettoriallaparallelaecostanteForza

0

0

mvmvvv

mL

sedacceleratounifmotounperVeroasvvmassamFssFL

dsFdL

amF

−=−

=

=+=

=⋅==⋅=

⋅=

=

Il lavoro L fatto da una forza F costante per portare un corpo di massa m dal punto A al punto B può essere espresso dalla differenza dell’energia cinetica calcolata in B ed in A

AcinEAinCineticaEnergiaAmv ,2)(

21

⇒⇒


Il lavoro è la conseguenza dell’applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associato ad una variazione di velocità.

Il calcolo del lavoro secondo la definizione implica un processo di integrazione che è il più delle volte lungo e complesso

Piu in generale:

( ) ( )

( )

22

2

22

21

21)(

21

21

21

21

AB

B

A

B

A

mvmvBAL

vdmdL

vdmdtvdtdmdL

dtvvdtdmdtv

dtdvmdtvFdt

dtdsFdL

dsFdL

−=⇒

=

==

⋅=⋅=⋅=⋅=

⋅=

∫∫

Il lavoro L fatto da una qualsiasi forza F o somma di queste per portare un corpo di massa m dal punto A al punto B può essere espresso dalla differenza dell’energia cinetica calcolata in B ed in A

Teorema del lavoro e dell’energia cinetica

Quando una forza risultante non-nulla compie un lavoro L su un corpo, l’energia cinetica del corpo varia dal suo valore iniziale Ecin,0 al valore finale Ecin,f e la differenza fra l’energia cinetica finale e quella iniziale è uguale al lavoro compiuto dalla forza.

AcinA EAinCineticaEnergiamv ,2

21

⇒⇒

L’unità di misura dell’energia cinetica è ovviamente il Joule


Esempi alla lavagna:

Calcolo del lavoro da forze differenti

Gravitazionale

mediante la definizionemediante il teorema L-Ecin

Etc. Etc.

Nota:



ESEMPIO

Ragioniamo sulla Forza di Gravita sulla superficie terrestre

F = - mg


Nel caso di una forza semplice come la forza peso F=- mg j il lavoro risulta essere

• indipendente dalla traiettoria• legato solo alla quota iniziale e finale

Noti cioè due punti A e B qualsiasi è possibile conoscere il lavoro necessario per andare da A a B semplicemente con la formula mg(hB-hA)

Energia Potenziale –(Forza Peso) -

Per la forza peso e’ quindi possibile costruire, in ogni punto dello spazio una funzione, Energia potenziale U(P). L’Energia potenziale di una massa m in un punto P è definita come il lavoro necessario per portare la massa m dal punto P ad un punto di riferimento precedentemente determinato.

Poiché per la forza peso il lavoro non dipende dalla traiettoria ma unicamente dalla posizione di partenza e da quella di arrivo allora l’Energia Potenziale è univocamente definita in ogni punto dello spazio

Prif

Prif

mghmghPUrifPLPU

mghmghrifPL

jmgF

+−=−=

+−=−

−=∧

)()()(

)(

P

rifhrif

hP

rif

Forze Conservative

Se il lavoro compiuto da una forza nello spostare un corpo da una posizione ad un altra è indipendente dal cammino percorso, la forza è detta conservativa


( ) ( )( )( ) ( )

( ))()()()(

)()()(

AUPUPUAUhhmghhmg

hhhhmgPrifLrifALPAL

rifPArif

rifPArif

−−=−+=

−−−−=

−+−−=→+→=→

Poiché in un campo conservativo il lavoro fatto per andare dal punto A al punto B non dipende dal percorso fatto è possibile immaginare una traiettoria che va punto A al punto di riferimento per il calcolo del potenziale e da questo al punto P.

Quindi la differenza del valore dell’energia potenziale calcolata nel punto A e nel punto P fornisce il lavoro necessario per portare un corpo dal punto P al punto A.

Per calcolare il lavoro quindi la fisica ha a disposizione tre differenti tecniche:

• La prima mediante, la definizione, implica una processo di integrazione in più dimensioni che spesso può essere complesso o non risolvibile analiticamente.

• La seconda per mezzo del teorema del Lavoro e dell’Energia Cinetica, banale se si conoscono le velocità iniziale e finale.

• La terza, nell’ipotesi di forza conservativa, per mezzo dell’energia potenziale.

In questa ultima tecnica è necessario sapere SOLO ed ESCLUSIVAMNTE il valore dell’energia potenziale nei due punti A e B.

∫ ⋅=),( BAldsFL

22

21

21

AB mvmvL −=

))()(( AUBUL −−=


AcinPcin

AcinPcin

AcinPcinAP

EAUPUEPUAUEE

PUAUPAL

EEmvmvPAL

,,

,,

,,22

)()()()(

)()()(21

21)(

+=+

−=−

−=→

−=−=→

L’energia cinetica e l’energia potenziale sono quindi due quantità molto legate tra loro infatti entrambe esprimono il lavoro fatto per andare tra due punti A e P

Un corpo in caduta a mano a mano che diminuisce di quota aumenta di velocità ma diminuisce di energia Potenziale

In altre parole è come se l’energia potenziale si trasformasse in energia cinetica

Principio di conservazione dell’energia (meccanica)

La somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica possedute da un corpo in un punto P si dice Energia Meccanica.

L’Energia Meccanica di un corpo, in un sistema isolato, si conserva in ogni punto della sua traiettoria


Più in Generale

Forze Conservative

Se il lavoro compiuto da una forza nello spostare un corpo da una posizione ad un altra è indipendente dal cammino percorso, la forza è detta conservativa

Per una forza conservativa è quindi possibile definire la funzione Energia Potenziale

Energia Potenziale per una forza generica

Per una forza conservativa e’ quindi possibile costruire, in ogni punto dello spazio una funzione, Energia potenziale U(P). L’Energia potenziale in un punto P è definita come il lavoro necessario per portare il corpo dal punto P ad un punto di riferimento precedentemente determinato.

Ogni forza conservativa ha la proprietà che il lavoro che essa compie su un corpo lungo un cammino chiuso è nullo

∫−

⋅=)(

)(rifPl

dsFPU


Esempi di forze conservative

Forza Peso:

Forza Elastica:

Forza Gravitazionale:

Forza Elettrostatica:

PmghPUjmgF =−=∧

)(

2

21)( pkxPUikxF =−=

∧

prqqPUr

rqqF 21

02

21

0 41)(

41

πεπε==

∧

prmmGPUr

rmmGF 212

21 )( ==∧

Non tutte le forze sono conservative, una forza è non conservativa se il lavoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso (p.es. la forza di attrito)

PotenzaLa potenza è la rapidità con cui viene compiuto il lavoro L ed è definita

come la derivata del lavoro rispetto al tempo

[ ] [ ][ ][ ]3

2

smkgWattP

dtdLP ===


Curve di Potenziale

E’ possibile mettere in grafico l’andamento del potenziale di una data forza

Forza Pesom = 1 kg g = 9.8 m/s2

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-4 -2 0 2 4 6

Altezza

Ener

gia

Pote

nzia

le

mghhU =)(

L’Energia Potenziale della forza peso è una funzione lineare dell’altezza. Maggiore è l’altezza maggiore è l’energia potenziale.Ovviamente la forza peso non ha punti di equilibrio


Curve di Potenziale

E’ possibile mettere in grafico l’andamento del potenziale di una data forza

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-4 -2 0 2 4 6

Allungamento

Ener

gia

Pote

nzia

le

Forza ElasticaK = 3.5 N/m 2

21)( kxxU =

L’Energia potenziale della forza elastica è una parabola con un minimo nel punto ad allungamento zero. Un minimo di potenziale (anche relativo) indica un punto di equilibrio stabile del sistema. Un punto cioè dove il corpo non è soggetto a forze.


Esempi alla lavagna

Corpo in caduta libera + EnergieUso del principio di conservazione energia

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Nota:


Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW 1

Moto Armonico

Un materiale elastico è un materiale che ha la capacità di riacquistare la forma iniziale dopo essere stato compresso o deformato (p.es. la molla)

La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso 1D) è linearmente proporzionale all’allungamento stesso. La costante di proporzionalità k è detta costante elastica

)( 0xxkF −=

La osservabile x0 rappresenta l’estensione della molla quando non è soggetta a forze, l’osservabile x indica l’attuale estensione della molla

• Se comprimo la molla la forza che esercito è negativa

• Se estendo la molla la forza che esercito è positiva

Per motivi di semplicità si considera sempre la molla di estensione nulla, cioè x0 = 0. E’ facile correggere i calcoli in caso contrario

0)( 00 <−=< xxkFxx

0)( 00 >−=> xxkFxx


Per il principio di azione e reazione la forza che esercita la molla è di modulo e direzione uguale ma opposta in verso

Che per semplicità viene scritta con x0 = 0

Il moto associato ad una forza del tipo F = -kx è detto moto armonico semplice e l’andamento della coordinata x in funzione del tempi è rappresentato da una sinusoide

)( 0xxkF −−=

kxF −=


L’escursione massima dalla posizione di equilibrio A è detta ampiezza del moto.

L’intervallo di tempo T impiegato per

compiere un ciclo è detto Periodo.

T1

=ν

Tw π2=

Frequenza

Pulsazione oVelocità angolare

kxdtxdmkxmakxF −=−=−=2

2


Equazione Oraria del moto armonico

( )( )

( )( )φω

φ

φωωφω

ω

ω

cos)0(sin)0(

inizialicondizionidalledipendonochecostantiduesonoφexcos

costantiduesonoφexsin

'

o

o

22

222

2

22

o

o

o

o

xtvxtx

txvtxx

tipodelsoluzioneunahaequazioneL

ArmonicaEquanzionexdtxd

mkx

mk

dtxdkx

dtxdm

kxmakxF

====

+=+=

−=

=−=−=

−=−=


Esempio

( )( )

)2/40(sin80002/40cos200

2/40sin5

16001601.01601.016

05001.0/16

22

22

ππ

π

+−=+=

+=

−=−=−=−=

=====

tatv

tx

xdtxdx

dtxdxaxF

vextperinizialiCondizioniKgmMNKSia

Diagramma Orario

-10

0

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

tempo (secondi)

X (m

etri)

Diagramma di Velocità

-500

0

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40

tempo (secondi)

velo

cita

(m

/s)

Diagramma di Accelerazione

-10000

0

10000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

tempo (secondi)

acc.

(m/s

2)


La forza elastica, che induce una oscillazione armonica, è una forza conservativa con potenziale

ARif.

F ds

F

ds

2

22

21)(

0

21

21

21)(

)()(

2

A

rif

rifA

X

X

X

X

X

X

Rif

A

KXAU

XSe

KXKXKxAU

KxdxdsKxdsFRifALAU

rif

A

Rif

A

Rif

A

=

=

−+=

−=

−=⋅−=⋅=→= ∫∫∫


La forza elastica o il potenziale armonico sono gli stereotipi di un gran numero di sistemi fisici, in pratica di tutti i fenomeni in cui è

presente una oscillazione come ad esempio il pendolo

Pendolo


Pendolo

( )( )

( )( )θτ

θ

θτθ

τ

cossin

0cossin

mgmgma

mgFmgF

jmgmaF

x

y

x

=−=

=−=−=

+−==∧

-mg

τX

θ

θ

Y

Lo spostamento su una circonferenza può essere scritto come

se l’angolo θ è sufficientemente piccolo allora

l’equazione che descrive dal pendolo

θrx =

θθ ≈)sin(

( )2

2

2

2

2

2

dtdmr

dtrdm

dtxdmmaF xx

θθ====

θθ mgdtdmr −≈2

2

( ) θθ mgmgFx −≈−= sin

( )ttrg ωθθθ sinsin 00 =

=


Legge di Gravitazione Universale

Ogni oggetto nell’universo con massa esercita una forza di attrazione gravitazionale verso qualsiasi altro oggetto massivo e subisce l’attrazione gravitazionale di tutti gli altri oggetti massivi dell’universo

In realtà anche gli oggetti senza massa (i fotoni, …. ) subiscono ed esercitano l’attrazione gravitazione gravitazionale

La mela attira la TerraLa Terra attira la mela

La Luna attira la TerraLa Terra attira la Luna

E’ un tipico esempio della III legge di Newton (legge di azione e reazione)


Legge di Gravitazione Universale

Una particella puntiforme di massa M1 attira gravitazionalmente (ed è attratta gravitazionalmente) una massa puntiforme M2 con una forza di modulo:

E direzione lungo la retta congiungente le due masse

221

rMMGF =

Questa legge è valida per una particella dell’atmosfera terrestre, per una particella puntiforme della famosa mela, della luna, delle stelle o di qualsiasi altro corpo presente nell’universo

G = 6.67 10-11 m3/(Kg s2) Costante di gravitazione universale


Nota:

La legge è vera per particelle puntiformi, cosa succede per un corpo come la Terra che ha una forma ….. ?

Principio di Sovrapposizione:

Dato un insieme di particelle puntiformi, la forza gravitazionale netta esercitata su ciascuna di esse è data dalla somma dei singoli effetti.

∑=

− =n

iiNet FF

211

Un corpo con una forma ed un volume può essere quindi scomposto in volumetti infinitesimi a cui applicare il principio di sovrapposizione

∫∑ ⇒⇒= ∞→=

− Voln

n

iiNet dFFF

211


Nota:

Si può dimostrare che una sfera di materiale uniforme di massa M da un punto di vista gravitazionale è perfettamente equivalente ad un punto materiale della medesima massa posto al suo centro. Quindi una sfera di materiale uniforme attira una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse concentrata nel suo centro.

Nota:

Sulla Superficie terrestre la forza di gravità vale:

Nota:

La forza gravitazionale è una forza conservativa e quindi ammette un potenziale

( )MgMF

MgMMRMG

rMMGF

T

T

==

=⋅

⋅=== −

8.96370000

1098.51067.6 2

2411

2221


L’energia potenziale di una massa puntiforme nel punto generico A si può calcolare a partire dalla definizione stessa di energia potenziale.

L’energia potenziale posseduta da una massa puntiforme m0 nel punto A (xA,yA,zA) immersa in un campo gravitazionale generato dalla massa puntiforme M è dato dal lavoro necessario portare la carica da A ad un punto di riferimento P

dsrrMmGdsFAU

ll

⋅=⋅= ∫∫ 20)(

Se considero il punto di riferimento all’infinito l’energia potenziale di una massa puntiforme m0 posta nel punto A all’interno del campo gravitazionale generato dalla massa M distante da m0 rA è dato da:

−=

ArMmGAU 0)(

Poiché il lavoro non dipende dalla traiettoria posso scegliere una traiettoria ‘facile’ per andare da A a P

1) Mi muovo su un arco di circonferenza di centro in M da A al punto B Poiché lo spostamento è ortogonale alla forza (radiale) il lavoro è nullo

2) Mi muovo in direzione radiale da B a P

Mm0

A(xA,yA,zA)

m0

P(xrif,yrif,zrif)B dr

rMmGAU

PA∫>−

⋅= 20)(

−−=

−=

−=

=−=⋅= ∫∫

>−>−

rifAAP

BP

P

BPBPA

rrGMm

rrGMmAU

rrGMm

rGMmdr

rGMmds

rMmGAU

1111)(

1111)(

00

002020 Notare che la forza è

antiparallela allo spostmento


Le tre leggi di Keplero per il moto planetario sono delle conseguenze della legge di gravitazione universale

1° LeggeTutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei fuochi

2° Legge

Il segmento che collega un pianeta al sole descrive aree uguali in tempi uguali

3° Legge

Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita

3

2

3

2

3

2

3

2

D

D

C

C

B

B

A

A

RT

RT

RT

RT

===


Gli astronauti sullo Space-Shuttle sentono la forza di gravità terrestre ?

Filmato

Calcoliamola

( ) ( ) AstAstT

Ast

orbT

Torbita

AstAstT

TAstTSuperficie

MMMGMRRMGF

MMRMG

rMMGF

3.710000006370000

8.9

22

22

=+

=+

=

===

Se la forza di gravità è 2/3 quella sulla superficie terrestre perché lo shuttle non precipita ?

Lo stesso vale per la Luna !

Perché la Luna non colpisce la terra


Come faccio a mandare in orbita un satellite ?


Lo Space Shuttle come qualsiasi altro satellite in orbita (Luna compresa) ruota attorno alla terra

Poichè il suo moto NON è rettilineo uniforme allora sentirà una forza centrifuga

T

ω

FgFcent

Un satellite ‘entra in orbita’ quando Fg=FCent

23

22 ωω ==

rMGrM

rMMG T

satsatT


Nota sull’energia meccanica

Forza Elastica

( ) ( )

( )

( )( ) tesanonmollaafermoècorpoilAEse

sempreAE

sempremvAE

semprexkAU

AUAEAE

m

m

k

km

A

A

00

021)(

021

)(

2

2

=>

>=

>=

+=

Forza Gravitazionale

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) confinatoèmotoil:morale

0)(0vovepuntoilAsiainfatti

mdaRdipiusiallontanarpuònonAmassalaallora0nullaonegativapositiva,esserepuò

021)(

0

)(

1

1

2

1

AEmGmR

AUAEvseAUAEAE

AEseAE

sempremvAE

semprermmGAU

AUAEAE

m

A

mkm

m

m

k

A

km

A

=

==+==

<

>=

<−=

+=


( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) assurdo00ma

0)(0voveAassurdopersia

0vovepuntounesistenoninfatti

malegataènonmallora0nullaonegativapositiva,esserepuò

021)(

0

)(

1A

2

1

<>==+=

==

>

>=

<−=

+=

AUeAEAUAEvseAUAEAE

AEseAE

sempremvAE

semprermmGAU

AUAEAE

m

mkm

m

m

k

A

km

A

Urti - Cap. 10 HRW 1

Conservazione della quantità di moto

Le leggi della dinamica sono in grado di prevedere come un corpo risponde alle forze.A volte però sono necessari calcoli estremamente complessi.

Esempio

Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce partendo dal valore zero fino ad un valore massimo (quando la palla entra in pieno contatto con la mazza) fino a ritornare a zero quando la palla si allontana dalla mazza. Il comportamento preciso della forza è estremamente complicato e il più delle volte ignoto

Se quello che interessa studiare è il moto della pallina è sufficiente conoscere la velocità

iniziale e finale della palla, ciò che è accaduto durante l’urto non serve

Impulso = Prodotto tra la forza F per l’intervallo di tempo durante il quale agisce

∫∫∫∫∫∫

∫

==

====

=

pdvmdimpulso

vmdvdmdtdtvdmdtamimpulso

dtFimpulso

)(

)(

Quantità di moto = Prodotto tra la massa e la velocità

Impulso e quantità di moto sono vettori


Teorema impulso - quantità di moto

Se su un corpo agisce una forza risultante F, l’impulso della forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo

Dati due corpi che urtano tra loro

Forze interne:

Forze che I corpi all’interno del sistema esercitano l’uno sull’altro (urto)

Forze esterne:

Forze esercitate sui corpi del sistema da agenti esterni al sistema (p.es. Gravità)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) 0int

2,021,012,21,1int

2,02,21,01,121122,1,

2,02,2212,1,01,1121,

ppdtFF

vmvmvmvmdtFF

vvmvvmdtFFFF

vvmdtFFvvmdtFF

fext

ffext

ffextext

fextfext

−=Σ+Σ

−−+=Σ+Σ

−+−=+++

−=+−=+

∫∫∫

∫∫

Per il principio di azione e reazione la somma delle forze interne è nulla

( ) 0ppdtF fext −=Σ∫Se la somma delle forze esterne è nulla

00 0 pppp ff ==−


Principio di conservazione della quantità di moto

La quantità di moto totale (la risultante della somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi) di un sistema ove la risultatnte delle forze esterne è nulla rimane

costante (si conserva).

1

221

22110

mvm

v

vmvmpp

ff

ff

fo

−=

+=

=

Esempio

22112,021,01

22,

21,

22,0

21,0

.,,,

21

21

21

21

ff

ff

fo

fcinocinfMoM

vmvmvmvm

mvmvmvmv

pp

EEEE

+=+

+=+

=

=⇒=

Esempio

( )( )( )

1,021

12,1,0

21

211,

2,21,1,0122111,01

22,21,1,01,1,01

22,

21,

21,0

2

21

21

21

vmm

mvvmmmmv

vmvvmvmvmvm

vmvvvvmmvmvmv

ff

ffff

fffff

+

=

+−

=

=−⇒+=

=+−⇒+=


Applet


Nota: L è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla velocità ed al

vettore posizione

Momento Angolare

Si definisce momento angolare di un corpo di massa m, velocità v rispetto ad punto P il vettore L:

ω2mrprvmrL =∧=∧=

Nota: Il momento angolare è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

v

r

LP

Un corpo che si muove radialmente rispetto al punto P ha momento angolare nullo

v

rL=0

P

( ) 00sin ==∧= mvrvmrL

Un corpo che si muove di moto circolare uniforme con centro nel punto P ha momento angolare costantev

r

LP

( ) mvrmvrvmrL ==∧= 90sin


Un corpo con momento angolare non nullo non è detto che abbia una traiettoria cruva

Un corpo che si muove in moto rettilineo uniforme può avere momento angolare non nullo

( ))(sin)()( tmvtrvmtrL ϑ=∧=vr

L

P

θ

Momento della forza M

Si definisce momento della forza M di un corpo rispetto ad punto P il prodotto vettoriale tra la forza che agisce sul corpo e il vettore che

congiunge P al corpo:

FrM ∧=

Nota: M è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla Forza ed al

vettore posizione

Nota: Il momento della forza è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

F

r

M

P


A partire dalle definizione di momento angolare e momento della forza è possibile riscrivere la seconda equazione di Newton in termini di M ed L

( )dtLd

dtvmrdM

dtvdmrFr

dtvdamF

=∧

=

∧=∧

== Il momento della forza è pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare


Principio di conservazione del Momento Angolare:

Se il momento delle forze esterne agenti su un sistema è nullo, allora il Momento Angolare Totale Ltot si conserva.

Vale sia vettorialmente che per una sola componente

In un sistema composto da un corpo:

Quando si conserva Lz il corpo si muove con velocità angolare costanteQuando si conserva L allora il moto avviene su un piano

Forza Centrale

Una forza si dice centrale quando la sua intensità dipende solo ed esclusivamente dalla distanza della sorgente ed il verso è radiale

• La forza di gravità è una forza centrale

• La forza elettrostatica è una forza centrale

L’esempio tipico sulla conservazione del momento angolare è la ballerina che ruotando su se stessa ritrae le braccia. La sua velocità angolare aumenta

ω2mrmvrL ==

Meccanica: Cinematica: Dinamica -...

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