Meccanica2017-2018

Dinamica del punto materialeMoti relativi

11

O

v�

r�

Dinamica del punto materiale

Momento di un vettore

“Momento” di un vettore (generico) rispetto a un punto O (“polo”): P

q�

O

OM�

sinO OPM r q α=�

( )r mv= � �

PO

p�

prL��

�

×=r�

L�

Momento angolare = Momento del vettore quantità di motorispetto a un polo O

Momento angolare

[N m s]=2 1[kg m s ]−=Unità di misura

O OPM r q≡ ×�

� �

Braccio del vettore

OHr q=H90°

q�

OPr� α

)( vrm��×=

Moto circolare:

L L mrv= =�

sinL L rp α= =�

Modulo del momento angolare:

mrv⊥=

P

v⊥�O

v�

r�

α

sinmrv α=

P

F�

O

FrM�

�

�

×=Momento del vettore forza (“momento”):

Se abbiamo più forze applicate al punto P ∑=i

iTOT FF��

∑×=i

iFr�

�

)(∑ ×=i

iFr�

�

][NmUnità di misura:

TOTTOT FrM�

�

�

×= ∑=i

iM� Il momento della

risultante è pari allasomma dei momentidelle componenti

Momento della forza

Modulo del momento della forza: sinM M rF α= =�

Momento della risultante

Braccio della forza

H90°

OHr F=

P

O

F�

r�

α

r�

M�

αF⊥

�

rF⊥=

Applico periodicamenteforza tangenzialedi intensità costante(quindi momento costante), fino a invertire il moto

F�

p�

L�

r�

rL p= �

� �

r�

M�

F�

rM F= �

�

�

Momento Angolare e Momento della ForzaMoto circolare

vdt

rd �

�

=

Dinamica del punto materiale

Teorema del momento angolare

Or�

L�

prL��

�

×=Momento angolare rispetto al polo O:

×+

×=dt

vdmrvm

dt

rd�

��

�

Variazione del momento angolare:

dt

Ld�

0=× vmv�� F

dt

vdm

�

�

=

dLr F

dt= �

�

� La variazione del momento angolare è pari al momento della forza (risultante)

Teorema del momento angolare

Se il momento della risultante è nullo il momento angolare si conserva

P

v�

F�

const=L�

Corollario:

0=M�

Se- forza risultante nulla - forza parallela a r

�

M=�

Punto materiale P, quantità di moto

soggetto alla forza

p mv=� �

F�

Dinamica del punto materiale

Teorema del momento dell’impulso

O Pr�

L�

Mdt

Ld �

�

=

∫∫ =)(

0 0

tL

L

tLddtM

�

�

��

0)( LtL��

−= L�

∆=Azione del momento della

forza nell’intervallo di tempo t

Variazione finita del momento angolare

0

tp J F dt∆ = = ∫� �

�

Analogo al teorema dell’impulso:

Jr�

�×=

L�

∆=

∫∫ ×=tt

dtFrdtM00

)( �

�

�

Esplicitiamo legame con l’impulso:

∫×=t

dtFr0

�

�

Se posso considerarecostante

r�

JrL�

�

�

×=∆La variazione del momento angolare è pari al momento dell’impulso

“Teorema del momento dell’impulso”

v�

F�dtMLd

��

=

Moti relativi

a) Per due sistemi di riferimento fissi, dopo traslazione/rotazione degli assi? � SI, se lo spazio è isotropo e uniforme

b) Per due sistemi in moto genericol’uno rispetto all’altro?

� Vedremo che in generale NON c’èinvarianza delle leggi

x

y

z

O

P

'x

'y

'z

'O

)(' tr�

)(tr�

� Relazione fra posizione, velocità, accelerazione del punto P misurato dai due sistemi di riferimento

Velocità di traslazione

Velocità angolare (cost.)'Ov�

ω�

Le leggi fisiche sono indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento?(Invarianza delle leggi fisiche)

Consideriamo sistemi di riferimentoxyz “fisso”

x’y’z’ “in moto”

“fisso”

“in moto”

Moti relativi

Posizione e velocità relative

Velocità (derivata della posizione) misurata nei due sistemi

Posizione di P misurata nei due sistemi di riferimento:

'' Or r r= +� � �

''( ') Odr dr dr

rdt dt dt

ω = + × +

� � �

� �

Velocità di O’ rispetto a O

Vettore velocità angolare per x’y’z’

Pura tralsazione'' Ovvv��� +=0=ω�

0' =Ov� )'(' rvv

���� ×+= ω Pura rotazione

)'(' ' rvvv O

����� ×++= ω

Caso generale: combinazione di un moto rotatorio e un moto traslatoriorotazione traslazione

'( )r t�

'x

'y

'z

'O

'Ov�

ω�

x

y

z

O

( )r t�

P

Relazione di Poisson:Sono dati due sistemi di riferimento, uno fisso e l'altro in rotazione rispetto al primo, con velocità angolare

'( ')

dk dkk

dt dtω= + ×

� �

�

�

Generico vettore nei due sistemi:

ω�

sistema rotante'k�

k�

sistema fisso,

'( )Or t�

v�

Moti relativi

Accelerazione relativa

Accelerazione (derivata della velocità) misurata nei due sistemi di riferimento

'2)'(' ' vraaa O

�������� ×+××++= ωωω

x

y

z

O

P

'x

'y

'z

'O

'( )r t�

( )r t�

'( )Or t�

v�

Accelerazione di Coriolis'2 vaC

��� ×≡ ω

)'(' ' rvvv O

����� ×++= ω

×+× )'('

rdt

rd ��

�

� ωω

)'('

kdt

kd

dt

kd �

�

��

×+= ωRelazione di Poisson

Ct aaaa���� ++= '

Possiamo scrivere l’accelerazione come somma di tre componenti:

)'(' raa Ot

����� ××+≡ ωω Accelerazione di trascinamento

0=ω� '' Oaaa��� +=Se x’y’z’ non è in rotazione:

'( ')

dv dvv

dt dtω= + × +

� �

� � +dt

vd O '

�

'' ( ') ( ') ( ')Oa a v a v rω ω ω ω= + × + + × + × ×� � � �� � � � � �

Moti relativi

Sistemi di riferimento inerziali

'2)'(' ' vraaa O

�������� ×+××++= ωωω 'a�=

Se l’accelerazione di P è nulla in S0, lo sarà anche in S1

� Anche S1 è inerzialeIdentificato un sistema inerziale S0, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a S0 sono inerziali

Non è possibile stabilire con misure dinamiche se uno di essi è in quiete o in moto

Relatività Galileiana

“Sistema inerziale”

Consideriamo un altro sistema di riferimento S1 in moto rettilineo uniforme rispetto a S0, non rotante

S0 = Sistema di riferimento in cui valga la legge d’inerzia

x

y

z

O

S0

v�

P

Per ogni punto materiale P non soggetto a forze: costantev =�

'x

'O

'y

'zS1

'Ov�

0=ω�0' =Oa�

' cost.Ov =�

0ta =� 0Ca =�

La legge della dinamica si applica con gli stessi valori di forza e accelerazione amF

�

�

=

' 'a a ma ma= ⇒ =� � � �

Dico dunque che se, delle due parti del mondo suddette, quella superiore fosse oggi mossa di moto diurno, come è, e quella inferiore no, e domani avvenisse, al contrario, che a muoversi di moto diurno fosse quella inferiore, e l'altra, ossia il cielo, no, (…) noi non potremmo affatto percepire questo mutamento, ma tutto sembrerebbe essere a modo, per quanto riguarda ciò, oggi e domani (…).

E similmente se un uomo fosse in cielo, supposto che esso fosse moto di moto diurno, e se quest'uomo, portato in volta dal cielo, vedesse chiaramente la terra e percepisse distintamente i monti, le valli, i fiumi, le città e i castelli, gli sembrerebbe che la terra fosse mossa di moto diurno, così come sembra del cielo a noi che siamo in terra... »

Moto relativo« … Se un uomo si trova su una nave chiamata A, la quale sia mossa di moto regolare, velocemente o lentamente, e se quest'uomo non vede altro che un'altra nave chiamata B, la quale si muova con moto esattamente uguale a quello di A, nella quale egli si trova, dico che sembrerà a quest'uomo che nessuna delle due navi si muova. E se A è immobile e B si muove, gli sembrerà che a muoversi sia B; e se A si muove e B è immobile, ancora gli sembrerà che A sia immobile e che B si muova...

Nicola d’Oresme (1323 – 1382)

Traité o Le livre du ciel et du monde

« Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti.

Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, rattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d’incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte.

Relatività Galileiana

Galileo Galilei (1564 - 1642)

“Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano”

E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione l’esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all’aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell’aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati… »

Moti relativi

Sistemi di riferimento inerzialiSe il sistema S1 non è inerziale?

0≠ω�0' ≠Oa�

e/oIn S0 vale amF

�

�

=

Ct aaaa���� ++= '

'2)'(' ' vraaa O

�������� ×+××++= ωωω

' t Cma ma ma ma= − −� � � �

Ct FFF���

−−=

“Forza vera” “Forze apparenti”Non corrispondono a interazioni fisiche reali (4 forze fondamentali)

La forza effettivamente applicata al punto non è proporzionale all’accelerazione osservata

In sistemi non-inerziali la legge di Newton non è più valida

La descrizione del moto di P in un sistema non-inerziale risulta complicata dalla presenza di forza apparenti

Ca�

ta�

In un sistema inerziale le forze apparenti sono nulle

O’ misura l’accelerazione a cui fa corrispondere la forza' t Ca a a a= − −� � � �