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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS
Curso de Engenharia Química
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Estática dos Fluidos e Balanços Integrais
para Engenharia Química
Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr.
Ribeirão Preto
2012
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 2
1 Introdução
1.1 Importância da Mecânica dos Fluidos para Engenharia Química
A técnica de transporte de fluido por escoamento é muito importante no âmbito
da Engenharia Química por ser costumeiramente mais econômica. O processamento de
líquidos é normalmente mais simples e barato que o de sólidos ou de gases.
Consequentemente, os engenheiros químicos tendem a optar por processos em via
líquida envolvendo líquidos puros, soluções e suspensões.
A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento do conhecimento que
estuda o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que
correspondem respectivamente à Estática dos Fluidos e à Dinâmica dos Fluidos. A
Mecânica dos Fluidos por sua vez faz parte da Mecânica do Contínuo que também
envolve o estudo da deformação e tensionamento dos sólidos. Fluido é um estado da
matéria que permite deformação contínua quando aplicada uma tensão de cisalhamento
(força tangencial distribuída em uma área de aplicação).
O Processo químico é o principal objeto de análise da Engenharia Química,
sendo este definido como uma sequência ordenada de transformações físicas (Operações
Unitárias) e químicas (Processos Unitários) com o intuito de converter matérias-primas
e energia em produtos e emissões, efluentes e resíduos. Cada uma das etapas
elementares de transformação constitui uma operação ou um processo unitário.
As técnicas de projeto de operações unitárias são baseadas em princípios
teóricos ou empíricos de transferência de massa, transferência de calor, transferência de
quantidade de movimento, termodinâmica, biotecnologia e cinética química. Desta
forma, os processos podem ser estudados de forma simples e unificada. Cada Operação
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Unitária é sempre a mesma operação, independente da natureza química dos
componentes envolvidos. Por exemplo, a filtração, separação de uma fase particulada de
uma fase fluida pela ação de uma barreira física (meio filtrante), é um caso particular do
escoamento em um meio poroso, independentemente se ocorre em uma indústria de
alimentos ou em uma petroquímica. O Quadro 1 mostra as principais operações e
processos unitários da Engenharia Química.
Quadro 1.1 Principais operações e processos unitários da Engenharia Química
Operações Unitárias Processos Unitários
Transporte de líquidos Combustão
Transporte de gases Oxidação
Transporte de sólidos Neutralização
Transmissão de calor e Trocadores de calor Eletrólise
Fragmentação e Moagem Calcinação
Agitação e Mistura Desidratação
Classificação e Peneiramento Nitração
Fluidização Esterificação
Extração líquido-líquido Redução
Lixiviação Halogenação
Sedimentação e Espessamento Sulfonação
Filtração Hidrólise
Centrifugação Hidrogenação
Evaporação Alquilação
Secagem Polimerização
Destilação Fermentação
Cristalização Pirólise
Absorção Aromatização
Adsorção Isomerização
Pervaporação
1.2 Conceitos Fundamentais
A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento que estuda o
comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que
correspondem respectivamente à Estática e à Dinâmica dos Fluidos.
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O fluido é um estado de agregação da matéria que se deforma continuamente
quando submetido a uma tensão de cisalhamento (força tangencial, com direção e
sentido, distribuída em uma área de atuação no fluido, ou seja, por unidade de área). De
maneira geral:
Fluido Gases, Líquidos, Vapores e Pastas
Nos estudos da Estática e da Dinâmica dos Fluidos, os fluidos são considerados
meios contínuos, infinitamente divisíveis de forma a não alterar suas propriedades
intensivas (massa específica, temperatura, viscosidade, pressão, etc.), deixa-se de lado
que sejam formados por átomos e moléculas. Dessa forma, o equacionamento aplicado
poderá envolver os conceitos de derivada e integral.
Considere duas placas horizontais e paralelas, conforme indica a Figura 1.1,
sendo o espaço entre elas preenchido com um fluido “bem comportado” em repouso.
Ft
y
x
Ft
y
x
Ft
y
x
t = 0
t ≈ 0
t >> 0
Ft
y
x Ft
y
x
Ft
y
x
Ft
y
x
t = 0
t ≈ 0
t >> 0
Figura 1.1 Esquema do escoamento entre placas horizontais no regime permanente
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Repentinamente, a placa superior é movimentada com velocidade constante pela
ação de uma força tangencial (Ft). Instantaneamente, a camada de fluido que está em
contato direto com esta placa adquiri a sua velocidade (não escorregamento na interface
sólido – fluido). Esta lâmina de fluido tende a deslizar sobre a lâmina de fluido inferior
adjacente, mas o atrito entre elas, devido ao comportamento elástico e viscoso do fluido,
imprime movimento a esta segunda camada e assim sucessivamente, até a placa inferior
que permanece fixa. Por outro lado, a interação cisalhante entre as camadas de fluido
implica na existência de transferência de quantidade de movimento entre as camadas
pelo atrito. A tensão de cisalhamento pode ser interpretada como um fluxo de
quantidade de movimento devido ao caráter viscoso do fluido.
A força tangencial aplicada na área de cada lâmina de fluido é um tensor
chamado tensão de cisalhamento () A nomenclatura para os índices da tensão de
cisalhamento obedece ao seguinte critério: o primeiro índice é a direção da transferência
e o segundo, corresponde a direção do escoamento. No exemplo da Figura 1.1, a tensão
de cisalhamento (yx) entre as lâminas do fluido “bem comportado” se relaciona com a
velocidade de cada lâmina para a maioria dos líquidos e gases através da relação de
Newton (fluido de Newton ou newtoniano):
dy
dVxyx (1.1)
,sendo a viscosidade do fluido (kg/m.s) e dVx/dy a taxa de deformação (1/s), diferença
de velocidade entre dois pontos na vertical no caso da Figura 1.1, e é a viscosidade do
fluido (kg/m.s).
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No caso em análise, tomando-se como ponto de partida a Equação 1.1 e o
sistema de coordenadas da Figura 1.1, o sinal apropriado é negativo, pois a velocidade
do fluido na direção x é decrescente com a variável y. Então, a Equação 1.1 ficaria na
forma da Equação 1.2:
dy
dVxyx (1.2)
A constante de proporcionalidade das equações 1.1 e 1.2 é a viscosidade
(viscosidade absoluta, viscosidade dinâmica ou viscosidade de Newton), está
relacionada à resistência do fluido ao escoamento (atrito entre as camadas adjacentes de
fluido no escoamento laminar) e é proveniente de interações intermoleculares das
espécies químicas que compõem o fluido. De maneira geral, a viscosidade dos líquidos
diminui com o aumento da temperatura, enquanto que para gases, aumenta com a
temperatura. É comum expressar os valores da viscosidade m em kg.m-1
.s-1
, o mesmo
que Pa.s, no Sistema Internacional ou em centpoise (cP, lê-se centpoase, 10-2
g.cm-1
.s-1
)
no Sistema CGS.
Os fluidos que não obedecem ao comportamento descrito pela Equação 1.1, na
qual a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional com a taxa de deformação,
são denominados fluidos não-newtonianos, como por exemplo, creme dental, tinta,
suspensão de amido em água, suspensão de argila em água, lamas de perfuração,
ketchup, maionese, chocolate, sangue e polímeros amolecidos. A relação entre a tensão
de cisalhamento e a taxa de deformação para diferentes condições, como a deformação
oscilatória ou o fluxo extensional, que são medidos em diferentes dispositivos
denominados reômetros. As propriedades reológicas são estudadas através do uso de
equações constitutivas.
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Os fluidos não-newtonianos cujas propriedades não são dependentes do tempo
são:
- Dilatante: a viscosidade aumenta com o aumento da tensão, partindo da
origem.
- Pseudoplástico: a viscosidade diminui com o aumento da tensão, partindo da
origem
- Binghamianos: fluidos que requerem a aplicação de uma tensão mínima para
que ocorra o escoamento (deformação). Se submetidos a pequenas tensões se
comportam como sólidos.
Os fluidos cujas propriedades reológicas são dependentes do tempo são:
- Reopético: a viscosidade aparente aumenta quando a taxa de deformação
aumenta. Por exemplo, o sangue.
- Tixotrópicos: a viscosidade aparente diminui com o tempo, após a taxa de
deformação ser aumentada. Por exemplo, tintas.
A Figura 1.2 contém o comportamento da tensão de cisalhamento em função da
taxa de deformação para fluidos não-newtonianos, cujas propriedades reológicas não
apresentam dependência temporal.
Tensão mínima
Taxa de deformação
pseudoplástico com tensão mínima
binghamiano
pseudoplástico
newtoniano
dilatante
dy
dV:
Figura 1.2 Diagrama reológico para fluidos não-newtonianos sem dependência temporal
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Um exemplo de um fluido não-newtoniano pode ser feito adicionando-se amido
de milho a uma xícara de água. Adicione o amido em porções pequenas e misture
devagar. Quando a suspensão estiver próxima da concentração crítica, com a
consistência de um creme de leite, a propriedade "dilatante" fica evidenciada.
A viscosidade cinemática (letra grega “ni”) é a relação entre a viscosidade de
Newton e a massa específica do fluido () (Equação 1.3):
(1.3)
A viscosidade cinemática é expressa em m2.s
-1 no SI, ou em centstokes (cSt,
equivalente a 10-2
cm2.s
-1) no CGS.
É importante ressaltar que a tensão de cisalhamento pode ser interpretada como
um fluxo de quantidade de movimento causado pelo atrito entre as camadas adjacentes
de fluido. Note que na situação apresentada na Figura 1.1 ocorre transferência de
quantidade de movimento da região de maior velocidade (próxima à placa superior)
para a região de menor velocidade (próxima à placa inferior). O mecanismo é análogo à
transferência de calor por condução, na qual o fluxo de calor (q/A) se dá da região de
maior temperatura (T) para a de menor temperatura (Equação 1.4). E o mesmo ocorre na
transferência de massa (transferência de soluto) por difusão, em que o fluxo de soluto
(JA) ocorre da região de maior para a de menor concentração (CA) (Equação 1.5):
dy
dTk
A
q (1.4)
na qual k é a condutividade térmica do material.
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dy
dCDJ A
ABA (1.5)
sendo que DAB é a difusividade mássica do soluto A no meio B.
Exercícios Propostos
Exercício 1.1 Comente, conceitue e dê exemplos com suas palavras: a) fluido; b) meio
contínuo; c) tensão de cisalhamento; d) quantidade de movimento; e) viscosidade; f)
fluido newtoniano e não-newtoniano; g) não escorregamento na parede.
Exercício 1.2 A viscosidade absoluta do ar atmosférico a 20oC e 1 atm é igual a 1,8.10
-5
Pa.s, sendo assim, calcule a viscosidade cinemática do ar nessas condições em m2.s
-1 e
em cSt. Dados: massa molar média do ar 29 g/mol. Constante universal dos gases igual
a 0,082 atm.L.mol-1
.K-1
.
Exercício 1.3 Faça uma pesquisa na rede mundial de computadores para identificar
fluidos não-newtonianos que são classificados como: dilatante, pseudoplástico,
binghamianos, reopéticos e tixotrópicos.
Referências
FOX, R. W., MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 1998. 504 p.
GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and separation process principles. 4. ed.
Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p.
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2 Estática dos Fluidos
Um fluido em repouso (sem movimento relativo e sem deformação angular)
implica na ausência de tensões cisalhantes, No entanto, em repouso, quanto em
movimento de corpo rígido (por exemplo, água sendo transportada em um balde), os
fluidos são capazes de suportar tensões normais.
A tensão normal é resultante da ação de uma força normal (perpendicular) à
superfície e distribuída na área do ponto de aplicação. Pode ser positiva ou negativa,
respectivamente a favor ou contra o sistema de eixos de referência (normalmente os
eixos cartesianos). A Figura 2.1 mostra uma força dF sendo aplicada em um ponto de
dA.
dA
dFn
dFt
dF
dA
dFn
dFt
dF
Figura 2.1 Esquema de aplicação de uma força dF em um meio contínuo de área dA
com suas componentes normal e tangencial
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Note que a força dF pode ser decomposta em uma componente normal (dFn) e
em uma componente tangencial (dFt). As tensões normal () e cisalhante () são
definidas respectivamente pelas equações 2.1 e 2.2.
dA
dFn (2.1)
dA
dFt (2.2)
Considere um volume de controle de dimensões x, y e z, conforme indica a
Figura 2.2. O fluido na condição estática preenche o volume de controle e contempla
toda a vizinhança, ou seja, o volume de controle está imerso e preenchido pelo fluido.
A condição estática do fluido no interior do volume de controle aliada à 2ª Lei
de Newton resulta em (Equação 2.3):
0. amR
(2.3)
em que, R
é a força resultante que atua no fluido, m é a massa de fluido presente no
volume de controle e a
é a aceleração da massa de fluido contida no volume de
controle.
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z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
y
z
x
Fluido
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
y
z
x
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
y
z
x
Fluido
Figura 2.2 Volume de controle infinitesimal fixo no espaço com dimensõesx, y e z,
com fluido estático nas vizinhanças
Nos casos de interesse da Engenharia Química, as forças que exercem influência
no fluido são a força proveniente do campo gravitacional (Fg) e a força oriunda da
diferença de pressão (Fp) nas faces do volume de controle. Não estão presentes forças
de atrito, pois não há solicitação ou tendência ao escoamento, uma vez que o fluido está
estático. Sendo assim, a Equação 2.3 pode ser escrita como (Equação 2.4):
0 pg FFR
(2.4)
A Equação 2.4 envolve uma soma vetorial, na qual é prática a decomposição das
forças nas três direções, x, y e z para coordenadas cartesianas:
0xpxgx FFR
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0ypygy FFR
0zpzgz FFR
O caso geral, em que há aceleração da gravidade nas três direções, corresponde
ao não alinhamento de um dos eixos coordenados com a direção vertical, uma vez que a
aceleração da gravidade é sempre vertical (direção) e voltada para baixo (sentido).
Nesse momento é necessário abstrair que o eixo z na Figura 2.2 esteja na vertical. Nessa
figura, o volume de controle está submerso no fluido e pode haver ação da pressão nas
seis faces, conforme indica a Figura 2.3.
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
xP
xxP
zzP
zP
yP
yyP
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
xP
xxP
zzP
zP
yP
yyP
Figura 2.3 Volume de controle infinitesimal com indicação das pressões nas direções x,
y e z
A força proveniente da ação da gravidade (força peso) na massa de fluido no
volume de controle é o produto de sua massa (mf) pela aceleração da gravidade (g),
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enquanto que a força de diferença de pressão atuante no fluido localizado nas faces
volume de controle é o produto da pressão na face pela área da face. Ou seja:
0..... xxxxfx PzyPzygmR
para a direção x.
0..... yyyyfy PzxPzxgmR
para a direção y.
0..... zzzzfz PyxPyxgmR
para a direção z.
Mas, a massa de fluido no volume de controle é o produto do volume (x.y.z)
pela sua massa específica (). Então:
0........ xxxxx PzyPzygzyxR
para a direção x.
0........ yyyyy PzxPzxgzyxR
para a direção y.
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0........ zzzzz PyxPyxgzyxR
para a direção z.
A definição de derivada parcial de uma função f(x,y,z) é dada por
x
ffLim
x
fxzyxxxzyx
x
zyx
,,,,
0
,,. Então, o próximo passa será dividir as equações
por x.y.z e posteriormente multiplicá-las por -1:
zyxzyx
Pzy
zyx
Pzy
zyx
gzyx xxxx
..
0
..
..
..
..
..
....
para a direção x.
zyxzyx
Pzx
zyx
Pzx
zyx
gzyx yyyy
..
0
..
..
..
..
..
....
para a direção y.
zyxzyx
Pyx
zyx
Pyx
zyx
gzyx zzzz
..
0
..
..
..
..
..
....
para a direção z.
Logo, multiplicando-se as equações por -1 e simplificando os termos presentes
nos numeradores e nos denominadores:
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0.
x
PPg xxx
x
para a direção x.
0.
y
PPg
yyy
y
para a direção y.
0.
z
PPg zzz
z
para a direção z.
A aplicação dos limites de x, y e z tendendo a zero fornece que:
0.
000
000
000
zyx
xxx
zyx
x
zyx
Limx
PPLimgLim
para a direção x.
0.
000
000
000
zyx
yyy
zyx
y
zyx
Limy
PPLimgLim
para a direção y.
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0.
000
000
000
zyx
zzz
zyx
z
zyx
Limz
PPLimgLim
para a direção z.
Mas, os primeiros termos das equações não são dependentes de x, y e z.
Lembre-se também que o limite de uma constante é o próprio valor da constante. E note
que os segundos termos são dependentes de x, y ou z:
0.0
x
PPLimg xxx
xx
para a direção x.
0.0
y
PPLimg
yyy
yy
para a direção y.
0.0
z
PPLimg zzz
zz
para a direção z.
O caso geral corresponde à pressão ser dependente (variar) das três direções
P(x,y,z). Portanto, aplicando-se a definição derivada parcial:
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0.
xg
x
P (2.5a)
para a direção x.
0.
yg
y
P (2.5b)
para a direção y.
0.
zg
z
P (2.5c)
para a direção z.
O conjunto de equações 2.5 pode ser representado pelo gradiente de pressão
(grad) e pela força peso (Equação 2.6):
0.
g
z
P
y
P
x
P (2.6)
0g.-P grad
(2.6)
A Equação 2.6, assim como o conjunto de equações 2.5, é denominada de
Equação Fundamental da Estática. Ela explicita que haverá diferença de pressão em
uma dada direção se houver ação do peso do fluido nessa direção.
Normalmente, é conveniente alinhar um dos eixos com a vertical (por exemplo,
o eixo z), pois assim g = ± gz = 9,8 m/s2 e gx=gy = 0 (Figura 2.4).
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 19
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
h
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
h
Figura 2.4 Eixo z alinhado com a vertical e vetor aceleração da gravidade na mesma
direção e sentido oposto
Nesse caso, a Equação 2.6 se reduz a (Equação 2.7):
0.
g
z
P (2.7)
Além disso, a derivada parcial de P coincide com sua derivada absoluta, pois:
z
P
dz
dz
z
P
dz
dy
y
P
dz
dx
x
P
dz
dP
Porém, 0
y
P
x
P
Então:
0. gdz
dP
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Mas, gg
0. gdz
dP
Separando-se as variáveis:
gdz
dP.
dzgdP ..
2
1
2
1
..
z
z
P
P
dzgdP
Nesse momento, é necessário verificar o comportamento do fluido em função da
coordenada z e da pressão. Caso o fluido seja incompressível ( = constante) e a
aceleração da gravidade também o seja (g = constante, fato bastante razoável em
Engenharia Química):
2
1
2
1
..
z
z
P
P
dzgdP
2
1
2
1
..z
z
P
PzgP
).(.)( 1212 zzgPP
Fazendo-se (z2 – z1) = h:
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hgP .. (2.8)
Caso o eixo de referência (eixo z estivesse alinhado para baixo), gg
e a
equação resultante seria:
hgP .. (2.9)
Portanto, é conveniente representar as equações 2.8 e 2.9 através da Equação 2.10:
hgP .. (2.10)
O sinal positivo deve ser utilizado quando P2 > P1 enquanto que o sinal negativo
deve ser empregado para P2 < P1. A Equação 2.10 é válida para fluidos estáticos,
incompressíveis e para sistemas com g constante em que os pontos de análise estão
localizados no mesmo fluido. Caso haja mais de um fluido envolvido, não se pode
escolher dois pontos localizados em pontos com diferentes.
Exemplo 1: Calcule a pressão manométrica e absoluta (em Pa e psi) no centro da
tubulação mostrada em corte (ponto A das Figuras 2.5 e 2.6) se h1 = 40 cm e h2 = 50
cm.
a)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 22
Ah1
h2
Mercúrio
=13.600 kg/m3
Água
=997 kg/m3
Ah1
h2
Mercúrio
=13.600 kg/m3
Água
=997 kg/m3
Figura 2.5 Esquema de manômetro de tubo em U do item a
b)
Ah1
h2
Mercúrio
=13.600 kg/m3
Água
=997 kg/m3
Ah1
h2
Mercúrio
=13.600 kg/m3
Água
=997 kg/m3
Figura 2.6 Esquema de manômetro de tubo em U do item b
Exemplo 2: Calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B (Figura 2.7). Dados: h1
= 5 pol; h2 = 6 pol; h3 = 12 pol; h4 = 9 pol; h5 = 4 pol; h6 = 6 pol.
Ah1
h2
Mercúrio
Hg =13.600 kg/m3
Água
água = 997 kg/m3
B
h4h3 h5
h6
Óleo
óleo = 919 kg/m3
Água
água = 997 kg/m3
Ah1
h2
Mercúrio
Hg =13.600 kg/m3
Água
água = 997 kg/m3
BB
h4h3 h5
h6
Óleo
óleo = 919 kg/m3
Água
água = 997 kg/m3
Figura 2.7 Manômetro de fluidos múltiplos do Exemplo 2
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 23
Exercício 1: Determine a altura total do nível de solução de soda cáustica no tanque de
estocagem indicado na Figura 2.8. A massa específica da solução de soda cáustica é de
1005 kg/m3.
1,00 m
Pm = 0,4 kgf/cm2
1,00 m
Pm = 0,4 kgf/cm2
Figura 2.8 Esquema de tanque com manômetro de Bourdon para indicação de nível no
tanque
Exercício 2: Determine a pressão manométrica na base do tanque de lavagem da Figura
2.9. O tanque é cilíndrico com diâmetro igual a 2,0 m. As massas específicas da solução
ácida de lavagem e do biodiesel são respectivamente 1000 kg/m3 e 900 kg/m
3.
Pm
2,4
0 msolução
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
Pm
2,4
0 msolução
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
2,4
0 msolução
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
Figura 2.9 Esquema do tanque de lavagem de biodiesel do Exercício 2
Exercício 3: Os manômetros de tubo inclinado são úteis para a medida de pressões ou
variações de pressão mais moderadas, quando comparados com os manômetros de tubo
em U. Considere o manômetro de tubo inclinado (figuras 2.10 e 2.11) para calcular a
pressão (manométrica e absoluta) no ponto de interesse (ponto A). O fluido
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 24
manométrico é água a 25oC ( = 997 kg/m
3) e o fluido em escoamento no ponto A
(visto em corte) é ar comprimido a 25oC e 2,0 atm.
a)
30o
A
ar 30 cm
água 30o
A
ar 30 cm
água
Figura 2.10 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item a
b)
3,5 cm 30o
A
ar
30 cm
água3,5 cm 30o
A
ar
30 cm
água
Figura 2.11 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item b
Exercício 4: Calcule a pressão manométrica no ar pressurizado nos sistemas indicados
nas figuras 2.12 e 2.13. As massas específicas do óleo e do glicerol a 25oC são
respectivamente 919 kg/m3 e 1126 kg/m
3.
a)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 25
1,60 m = h1h2 = 0,80 m
Ar
Óleo
tanque
1,60 m = h1h2 = 0,80 m
Ar
Óleo
tanque
Figura 2.12 Tanque fechado com manômetros referente ao item a
b)
0,80 m
2,0
m
Glicerol
ar
glicerol
0,80 móleo
0,80 m
2,0
m
Glicerol
ar
glicerol
0,80 móleo
Figura 2.13 Tanque fechado com manômetro referente ao item b
Exercício 5: Ar comprimido escoa através de um tubo horizontal (Figura 2.14), no qual
foi instalado um manômetro de tubo em U com água a 25oC no seu interior (massa
específica de 997 kg/m3). Nessas condições, determine:
a) O sentido do escoamento.
b) A queda de pressão entre os pontos A e B.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 26
1,0
m
A B
água
ar
1,0
m
A B
água
ar
Figura 2.14 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com água
Exercício 6: Água a 25oC (massa específica de 997 kg/m
3) escoa através de um tubo
horizontal (Figura 2.15), no qual foi instalado um manômetro de tubo em U com
mercúrio no seu interior (massa específica de 13600 kg/m3). Nessas condições,
determine a queda de pressão entre os pontos A e B.
1,0
m
A B
mercúrio
água
1,0
m
A B
mercúrio
água
Figura 2.15 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com mercúrio
A integração da Equação 2.6, para o caso de eixo z alinhado com a vertical
(conforme a Figura 2.4) e fluido com comportamento de gás ideal isotérmico
(temperatura uniforme), fornece que:
gdz
dP.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 27
Porém, a massa específica () de gases ideais é obtida pela Equação 2.11:
TR
MP
.
. (2.11)
na qual, P é a pressão, M é a massa molar média do gás ou mistura de gases ideais, R é
a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta. Então:
gTR
MP
dz
dP.
.
.
Mas, a separação das variáveis fornece que:
dzTR
gM
P
dP.
.
.
Integrando-se em relação à coordenada z, entre z1 e z2, com P variando entre P1 e P2
(Figura 2.4):
2
1
2
1
..
.z
z
P
P
dzTR
gM
P
dP
Mas, como M , g, R e T são constantes:
2
1
2
1
..
.z
z
P
P
dzTR
gM
P
dP
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 28
2
1
2
1
..
. z
z
P
Pz
TR
gMLnP
).(.
.1212 zz
TR
gMLnPLnP
).(.
.1221 zz
TR
gMLnPLnP
Portanto, fazendo (z2 – z1) = h (Equação 2.12):
TR
hgM
P
PLn
.
..
2
1
(2.12)
Na Equação 2.12, em função das condições estipuladas na Figura 2.4, P1 > P2.
Essa equação é válida para gases ideais estáticos presentes em sistemas com
temperaturas uniformes, nos quais a aceleração da gravidade (g) pode ser considerada
constante em relação à diferença de altitude dos pontos avaliados.
Exemplo 3: Sabe-se que a pressão atmosférica ao nível do mar é igual a 760
mmHg. Sendo assim, utilize a Equação 2.12 para estimar a pressão atmosférica em
Ribeirão Preto, que está a situada a 518 m acima do nível do mar e possui temperatura
média anual igual a 25oC. Compare o valor estimado com medidas experimentais que
forneceram o valor médio de 712 mmHg. Dados: constante universal dos gases = 0,082
atm.L/mol.K = 8,314 Pa.m3/mol.k. Resp.: 716 mmHg; desvio percentual de 0,6%.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 29
3 Dinâmica dos Fluidos
O transporte de fluidos por escoamento está presente na quase totalidade dos
processos industriais por ser normalmente mais econômico. No entanto, há a
preocupação em quantificar adequadamente a quantidade de energia gasta em máquinas
geratrizes (bombas, ventiladores e compressores) para que o fluido seja transportado
envolvendo condições de vazão, desnível, pressão e perdas por atrito devido á
movimentação do fluido.
A Dinâmica dos Fluidos é uma parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o
comportamento dos fluidos em escoamento. O escoamento é produto da ação de uma
tensão de cisalhamento atuante no fluido. Da mesma maneira que na Estática dos
Fluidos, utiliza-se a suposição que o fluido se comporte como um meio contínuo.
Na análise do escoamento, defini-se uma região do espaço ocupado pelo fluido
como volume de controle, que é um espaço arbitrário através do qual o fluido escoa,
cuja fronteira geométrica (real ou imaginária, estática ou móvel) é chamada de
superfície de controle. A Figura 3.1 mostra esquemas de volumes e superfícies de
controle.
volume de controle
superfície de controle
volume de controle
superfície de controle
(a)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 30
10
m
DN = 4 in.
Válvula de
gaveta 100%
abertaVálvula de
gaveta 100%
aberta
Cotovelo 90º
de raio curto
volume de controle
superfície de controle
10
m
DN = 4 in.
Válvula de
gaveta 100%
abertaVálvula de
gaveta 100%
aberta
Cotovelo 90º
de raio curto
volume de controle
superfície de controle
(b)
Figura 3.1 Esquemas de volume e superfície de controle: a) escoamento no interior de
um tubo e b) transporte de líquido entre dois reservatórios em desnível interligados por
um tubo
Os princípios básicos úteis para a Dinâmica dos Fluidos são:
- Princípio de Conservação da Massa;
- Princípio de Conservação da Energia (1ª lei da Termodinâmica);
- Segunda Lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido em trabalho);
- Segunda Lei de Newton;
- Princípio de Conservação de Quantidade de Movimento.
Pode-se analisar um sistema aplicando os princípios supracitados (formulação) a
partir do enfoque integral (global) e do enfoque diferencial (ponto a ponto). Isto é,
aplicar os balanços de massa, energia e quantidade de movimento em volumes de
controle macroscópico (finito) e microscópico (infinitesimais), respectivamente.
Nos balanços integrais utilizam-se os valores médios representativos de uma
propriedade de interesse nas superfícies de controle que representam a entrada e saída
de fluido do sistema. Por exemplo, considere o escoamento de um fluido conforme
mostra a Figura 3.2:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 31
ub1
nível de referência (datum)
Z1
D1
P1
ub2
D2
P2
Z2
ub1
nível de referência (datum)
Z1
D1
P1
ub2
D2
P2
Z2
Figura 3.2 Esquema de escoamento de um fluido em uma expansão com indicação de
valores médios representativos de algumas propriedades de interesse
Note que P1 é a pressão que se adota representativa da seção 1 de diâmetro
interno D1, no entanto, existe a coluna de fluido que na realidade implica em uma
diferença de pressão estática entre o topo e a base da seção 1. As velocidade médias do
escoamento nas seções 1 e 2 (ub1 e ub2) são também ilustrativas desse comportamento,
pois sabe-se que as velocidades são nulas nas paredes e máximas nos centros das
tubulações. Portanto, como será demonstrado posteriormente, adotam-se valores médios
representativos das variáveis nas superfícies de controle.
O regime de escoamento pode ser classificado quanto à trajetória fluido presente
no escoamento. Se o escoamento ocorrer como o deslizamento de lâminas de fluido,
sem que ocorra mistura macroscópica das camadas adjacentes de fluido, o escoamento é
chamado laminar.
No escoamento turbulento, ocorre a formação de turbilhões (redemoinhos) que
provocam a mistura macroscópica das porções de fluido e a velocidade do fluido em
cada ponto oscila em torno de um valor médio. Ao se medir a velocidade local do fluido
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 32
no interior de um tubo com os dois tipos de escoamento no estado estacionário em
função do tempo, o comportamento esperado seria o descrito na Figura 3.3.
tempo (min)
Vel
oci
dad
e -
u (
m/s
)
__
u
u’
(média)
(oscilação)
u = + u’__
u
turbulento
laminaru
tempo (min)
Vel
oci
dad
e -
u (
m/s
)
__
u
u’
(média)
(oscilação)
u = + u’__
u
turbulento
laminaru
Figura 3.3 Velocidade instantânea de uma partícula de fluido em função do tempo no
escoamento: a) laminar e b) turbulento
O critério utilizado para se determinar o regime de escoamento entre laminar e
turbulento é o número adimensional de Reynolds (Re), que representa a relação entre os
efeitos de inércia e o efeito viscoso do escoamento do fluido. Para o escoamento de um
fluido newtoniano no interior de um tubo Re é definido por (Equação 3.1):
bbd
uDuD ...Re (3.1)
sendo que D é o diâmetro interno do tubo, ub é a velocidade média do escoamento, é a
massa específica do fluido, é a viscosidade do fluido e é a viscosidade cinemática
do fluido (/).
O limite convencionado para o escoamento em tubos é:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 33
2100...
Re
bbd
uDuD , laminar
2100...
Re
bbd
uDuD , turbulento
No escoamento externo de um fluido newtoniano sobre uma placa horizontal
(Figura 3.4), o número de Reynolds é definido por (Equação 3.2):
xuxux
...Re (3.2)
sendo que u∞ é a velocidade do fluido não perturbado pela placa e x é a posição sobre a
placa a partir da borda de ataque (Figura 3.4).
y
x
u
y
x
u∞laminar turbulento
y
x
u
y
x
u∞laminar turbulento
Figura 3.4 Escoamento sobre uma das faces de uma placa horizontal com indicação das
camadas limites laminar e turbulenta
A transição entre as camadas limites laminar para turbulenta normalmente
ocorre para:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 34
510.0,5...
Re
xuxux , camada limite laminar
510.0,5...
Re
xuxux , camada limite turbulenta
Na realidade existe uma região de transição entre os escoamentos laminar e
turbulento e os limites citados anteriormente podem variar de acordo com a rugosidade
da parede e o formato da região de entrada.
Nos itens que seguem serão utilizados os princípios que fundamentam a
Dinâmica dos Fluidos: conservação da massa, princípio de conservação da energia (1ª
lei da Termodinâmica), 2ª lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido
em trabalho) e 2ª lei de Newton; aplicados a um elemento macroscópico representativo
do sistema (volume de controle - VC).
Esse enfoque global é bastante útil, uma vez que permite a resolução de
problemas práticos de Engenharia sem, no entanto, conhecer minuciosamente o que
acontece com o fluido ponto a ponto no escoamento.
3.1 Balanço Global de Massa
Uma das leis (princípios) fundamentais das ciências que encerram a Engenharia
é a lei da Conservação da Massa. Esse princípio estabelece que a massa não pode ser
criada ou destruída. Então, o balanço material total das correntes envolvidas em um
sistema pode ser enunciado na forma da Equação 3.3, ou ainda na Equação 3.4:
Taxa de massa
que entra no VC
Taxa de massa
que sai do VC- =
Taxa de massa
que acumula no VC (3.3)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 35
Note que os termos ligados a reações químicas não devem estar presentes no
balanço material total e que esse princípio não é válido na ocorrência de reações
nucleares.
012 dt
dMww (3.4)
na qual w2 é a vazão mássica de saída, w1 é a vazão mássica de entrada, M é a massa no
interior do volume de controle e t é o tempo. Introduzindo a notação de variação, a
Equação 3.4 se transforma em:
0dt
dMw (3.5)
Exemplo 3.1 da página 29 de Bennett e Myers (1978)
Um tanque cilíndrico tem área de seção transversal de 0,372 m2 e está cheio com
água até a profundidade de 1,83 m. Uma válvula é aberta no fundo do tanque e a vazão
que sai é reduzida a medida que a altura do nível diminui, segundo a equação:
hw 44,16
sendo w a vazão mássica de água (kg/min) e h a altura do nível d’água no tanque (m).
Deseja-se conhecer qual o tempo necessário para a água atingir a altura de 0,61 m.
Caso exista mais de um componente no sistema (componente A), a equação do
balanço de massa para a ausência de reações químicas é (equações 3.6 e 3.7):
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 36
Taxa de massa de
A que entra no VC
Taxa de massa de
A que sai do VC- =
Taxa de massa de A
que acumula no VC (3.6)
012
dt
dMww A
AA (3.7)
na qual wA2 é a vazão mássica de A na saída, wA1 é a vazão mássica de A na entrada, MA
é a massa de A no interior do volume de controle. Essa equação expressa em função das
frações mássicas das correntes de entrada, saída e no interior do sistema (Equação 3.7):
0).(
..12 12
dt
xMdxwxw A
AA (3.8)
sendo que xA2 é a fração mássica de A na corrente de saída, xA1 é a fração mássica de A
na corrente de entrada e xA é a fração mássica de A acumulada no sistema. Utilizando a
notação de variação (Equação 3.9):
0).(
. dt
xMdxw A
A (3.9)
Exemplo 3.2 da página 31 de Bennett e Myers (1978)
Água e sal de cozinha entram em um tanque com agitação mecânica com as
vazões de 68,1 kg/min e 13,62 kg/h respectivamente. A solução resultante com a vazão
de 54,48 kg/h é retirada do tanque. Sabendo-se que no instante inicial havia 45,40 kg de
água no tanque, calcule a fração mássica de saída após 1 h do início da operação.
Assuma o modelo de mistura completa no tanque com agitação mecânica.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 37
Exemplo 3.3 da página 54 de Geankoplis (1993)
Inicialmente, um tanque contém 500 kg de uma solução 10% em massa de sal.
Instantaneamente, uma corrente de vazão mássica de 10 kg/h com 20% em massa de sal
entra e outra corrente de 5 kg/h sai do tanque. Ache uma equação que relacione a fração
mássica de sal que sai do tanque em função do tempo, considerando o sistema bem
homogeneizado por agitação.
3.1.1 Equação Geral para o Balanço Material
Imagine um volume do controle fixo no espaço, através do qual existe um
escoamento com velocidade
u em cada ponto de elemento de área
dA , cujo ângulo é
o ângulo entre o vetor normal
n (perpendicular a superfície em cada ponto e
direcionado para fora) e o vetor velocidade (Figura 3.5).
dAdA
n
u
dAdA
n
u
Figura 3.5 Volume de controle com indicação dos vetores velocidade e normal, o
ângulo a entre eles, aplicados em um elemento de área
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 38
A diferença entre as vazões mássicas que entram e que saem do volume de
controle é representada matematicamente por:
wdAuA
.cos..
Note que o produto .
u é o fluxo total de massa em cada ponto (vazão mássica por
unidade de área, kg.m-2
.s-1
).
A quantidade total de massa acumulada no interior do volume de controle,
originada pela diferença entre as vazões mássicas totais de saída e entrada, é:
dt
dMdV
dt
d
VC
.
Combinando-se as duas contribuições chega-se na Equação 3.10:
0..cos.. VCA
dVdt
ddAu (3.10)
Que é a equação geral do balanço total de massa.
Considere o escoamento em um bocal, conforme indicado na Figura 3.6
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 39
n2
u2
n1
u1
12
A1A2
n2
u2
n1
u1
12
A1A2
Figura 3.6 Bocal com indicação dos vetores velocidade e normal com o ângulo entre
eles em cada face
Na área de entrada (A1): o1801 e 1cos 1 . Já na área de saída (A2):
o02 e 1cos 2 . Então:
21
22221111 .cos...cos...cos..AAA
dAudAudAu
12
222111 ).1.(.).1.(..cos..AAA
dAudAudAu
12
111222 .....cos..AAA
dAudAudAu
Pode-se assumir que as massas específicas do fluido (1 e 2) sejam uniformes
nas áreas de entrada e saída. Logo:
12
111222 .....cos..AAA
dAudAudAu
O Teorema da Média do Cálculo Diferencial e Integral fornece que (Equação
3.11) as velocidades médias nas faces de entrada e saída (ub1 e ub2) são obtidas por:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 40
1
11
1
1..
1
A
b dAuA
u e
2
22
2
2..
1
A
b dAuA
u
Então:
1
1111...
A
b dAuAu e
2
2222...
A
b dAuAu
Portanto:
111222 .....cos.. AuAudAu bb
A
No caso do regime ser permanente:
0. dt
dMdV
dt
d
VC
Assim, o balanço material total se resume a:
111222 ......cos.. AuAudVdt
ddAu bb
VCA
Ou seja, a vazão mássica de entrada é igual a vazão mássica de saída:
111222 .... AuAu bb
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 41
Analogamente ao realizado para o balanço material total, a Equação 3.10 pode
ser adaptada para representar o balanço material de um componente para um sistema
não reacional (Equação 3.11):
0..cos.. VC
A
A
A dVdt
ddAu (3.11)
sendo que A é a concentração mássica do componente A na mistura.
No caso do sistema ser binário, formado pela mistura das substâncias A e B, e na
ausência de reações químicas, a Equação 3.11 fica na forma:
0..cos.. VC
A
A
A dVdt
ddAu
0..cos.. VC
B
A
B dVdt
ddAu
Pode-se então somar as duas equações para chegar na equação do balanço
material total:
0...cos...cos.. VC
B
VC
A
A
B
A
A dVdt
ddV
dt
ddAudAu
Como a integral da soma é a soma das integrais, assim como para as derivadas:
0).().cos..cos..( VC
BA
A
BA dVdt
ddAuu
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 42
Colocando-se u e cos em evidência:
0).()..(cos. VC
BA
A
BA dVdt
ddAu
Portanto, como a concentração mássica total é a soma das concentrações
mássicas das partes (A e B), pode-se retornar à Equação 3.10:
0...cos.).()..(cos. VCAVC
BA
A
BA dVdt
ddAudV
dt
ddAu
3.2 Balanço Global de Energia
A Primeira Lei da Termodinâmica enuncia o Princípio de Conservação da
Energia. Este princípio não é rigorosamente válido em sistemas com reações nucleares,
nos quais parte da massa se transforma em energia.
É comum a utilização da equação geral do balanço na forma da Equação 3.12
para representar o balanço global de energia, de maneira análoga à representação do
Princípio de Conservação da Massa pela Equação 3.10:
Taxe de energia
que sai do VC
Taxe de energia
que entra no VC- +
Taxe de energia
que acumula no VC
=
Taxe de calor
que entra no VC
proveniente das
vizinhanças
-
Taxe de trabalho
que sai do VC
para as vizinhanças
Taxe de energia
que sai do VC
Taxe de energia
que entra no VC- +
Taxe de energia
que acumula no VC
=
Taxe de calor
que entra no VC
proveniente das
vizinhanças
-
Taxe de trabalho
que sai do VC
para as vizinhanças (3.12)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 43
A convenção de sinais utilizadas na Equação 3.12 foi baseada no funcionamento
das máquinas a vapor: o calor que entra no volume de controle é positivo e o trabalho
que sai do volume de controle é positivo (Figura 3.7).
q > 0w > 0 q > 0w > 0
Figura 3.7 Esquema de máquina a vapor com a entrada de calor e saída de trabalho
A Equação 3.12 é representada matematicamente, introduzindo-se um termo de
energia total específica (E) no balanço global de massa (Equação 3.10) de forma a
resultar na Equação 3.13:
wq VCA
dVEdt
ddAEu ....cos.. (3.13)
O primeiro termo da Equação 3.13 representa a variação de energia no volume
de controle vinculada à entrada e à saída de massa (escoamento) no sistema. O segundo
termo, expressa o acúmulo de energia pelo acúmulo de massa no volume de controle. O
termo q é a quantidade de calor recebida por unidade de tempo pelo sistema
proveniente das vizinhanças. Enquanto que w é o trabalho por unidade de tempo que o
sistema realiza sobre as vizinhanças.
A energia E de um sistema contendo fluidos em escoamento pode ser subdivida
como sendo a soma das energias interna (U), cinética do escoamento (u2/2) e potencial
gravitacional (z.g). Não serão aqui abordadas as contribuições devido às ações de
campos elétricos e magnéticos (Equação 3.14):
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 44
gzu
UE .2
2
(3.14)
Em que E é energia específica total do fluido por unidade de massa ( J/kg no SI); U é a
energia interna por unidade de massa do fluido referente à energia de vibração, ligação e
rotação das espécies químicas que formam o fluido (J/kg no SI), é dependente da
quantidade de matéria e da temperatura; u é a velocidade do fluido em relação às
fronteiras do volume de controle para uma dada posição e u2/2 é a energia cinética do
fluido devido ao movimento da massa do fluido (J/kg no SI); z é a altura relativa a um
plano de referência arbitrário (datum) e o produto de z pela aceleração da gravidade (g)
representa a energia potencial devido à exposição da massa do fluido ao campo
gravitacional terrestre (J/kg no SI).
Na Equação 3.13 pode-se expressar o trabalho realizado pelo sistema sobre as
vizinhanças na forma de algumas contribuições:
a) ws, trabalho pela existência de um eixo (shaft) que atravessa a superfície do volume
de controle, geralmente eixo com movimento rotativo ou alternativo que pode adicionar
(como é o caso de máquinas geratrizes, isto é, bombas, compressores, ventiladores e
sopradores) ou retirar trabalho do sistema (para máquinas motoras, ou turbinas).
b) A
dAVPu .cos.... , trabalho ocasionado pelo deslocamento de um volume V ao
vencer uma pressão P quando uma massa de fluido escoa da entrada para a saída do
sistema.
c) As
s dAsPu .cos.. , trabalho transferido pela movimentação não cíclica da superfície
do volume de controle (expansão ou contração das paredes) a uma velocidade us com
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 45
inclinação e área dAs. Em geral, em Engenharia Química us é nula, pois as paredes são
rígidas.
Então, o balanço global de energia fica na forma (Equação 3.15):
As
s
A
VC
A
dAsPudAVPut
dVE
dAEu .cos...cos....
..
.cos...
swq (3.15)
Uma vez que gzu
UE .2
2
, logo a Equação 3.15 se transforma na Equação 3.16:
As
s
A
VC
A
dAsPudAVPu
t
dVE
dAgzu
Uu
.cos...cos....
..
.cos)..2
.(.2
swq
(3.16)
Rearranjando:
As
s
VC
AA
dAsPu
t
dVE
dAVPudAgzu
Uu
.cos..
..
.cos.....cos)..2
.(.2
swq
Como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.17):
As
s
VC
A
dAsPut
dVE
dAgzu
VPUu .cos..
..
.cos)..2
..(.2
swq (3.17)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 46
Substituindo na Equação 3.17 a definição de entalpia (H), H = U + P.V, a equação do
balanço global de energia fica (Equação 3.18):
As
s
VC
A
dAsPut
dVE
dAgzu
Hu .cos..
..
.cos)..2
.(.2
swq (3.18)
No caso da superfície do volume de controle ser rígida, us é nula (Equação 3.19):
swq
t
dVE
dAgzu
Hu VC
A
..
.cos)..2
.(.2
(3.19)
Para processos em regime permanente, a Equação 3.19 se transforma na
Equação 3.20:
swqA
dAgzu
Hu .cos)..2
.(.2
(3.20)
O uso da Equação 3.20 é pouco prática e por isso, serão utilizados valores
médios representativos das propriedades através do Teorema da Média. Nesse sentido,
como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.21):
swq AAA
dAgzudAu
udAHu .cos.....cos.2
..cos...2
(3.21)
Se as correntes de entrada e saída de fluido forem perpendiculares às áreas de
entrada (A1) e saída (A2):
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 47
o1801 e 1cos 1
o02 e 1cos 2
Então:
swq
2
22222
1
11111
2
22
2
2
2
1
11
2
1
1
2
22222
1
11111
.cos.....cos.....cos.2
.
.cos.2
..cos....cos...
AAA
AAA
dAgzudAgzudAu
u
dAu
udAHudAHu
swq
2
2222
1
1111
2
2
2
2
22
1
1
2
1
11
2
2222
1
1111
).1.(...).1.(...).1.(2
.
).1.(2
.).1.(..).1.(..
AAA
AAA
dAgzudAgzudAu
u
dAu
udAHudAHu
swq
1
1111
2
2222
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22
1
1111
2
2222
........
.2
..2
.......
AA
AAAA
dAgzudAgzu
dAu
udAu
udAHudAHu
Se as massas específicas nas áreas de entrada e saída de fluido forem uniformes
(1 e 2) e se g for constante:
swq
1
1111
2
2222
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22
1
1111
2
2222
........
.2
...2
........
AA
AAAA
dAzugdAzug
dAu
udAu
udAHudAHu
O Teorema da Média fornece que:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 48
1
111
1
11 ...1
.A
meddAHu
AHu
med
A
HuAdAHu 111
1
111 ....
2
222
2
22 ...1
.A
meddAHu
AHu
med
A
HuAdAHu 222
2
222 ....
1
1
3
1
1
3
1.
2
1
2A
med dAu
A
u
2
..2
3
1
1
1
1
3
1 med
A
uAdA
u
2
2
3
2
2
3
2.
2
1
2A
med dAu
A
u
2
..2
3
2
2
2
2
3
2 med
A
uAdA
u
1
111
1
11 ..1
.A
meddAzu
Azu
med
A
zuAdAzu 111
1
111 ....
2
222
2
22 ..1
.A
meddAzu
Azu
med
A
zuAdAzu 222
2
222 ....
Então:
swq
medmed
medmed
medmed
zuAgzuAg
uA
uAHuAHuA
11112222
3
1
11
3
2
2211112222
........
2..
2........
Como o regime é permanente, o escoamento é perpendicular às superfícies de
entrada e saída e as massas específicas do fluido são uniformes, o balanço material se
resume a:
1111 .. Aubw 1
111.
ub
wA
1111 .. Aubw 2
222 .
ub
wA
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 49
Logo:
swq
1
111
2
222
1
3
11
2
3
22
1
111
2
222 ......
2.
.
2.
.....
ub
zuwg
ub
zuwg
ub
uw
ub
uw
ub
Huw
ub
Huwmedmedmedmedmedmed
Assumindo que as temperaturas, as pressões e a composições sejam uniformes
nas áreas de entrada e saída. E também que se possa representar as posições das regiões
de entrada e saída em relação a um plano de referência com base nos pontos médios (z1
e z2, respectivamente). Então:
swq
1
111
2
222
1
3
11
2
3
22
1
111
2
222 ....
2.
.
2.
....
ub
uzwg
ub
uzwg
ub
uw
ub
uw
ub
uHw
ub
uHwmedmedmedmedmedmed
Como 11 ubumed
e 22 ubumed
:
swq 1122
1
3
11
2
3
22
1122 ....2.
.
2.
... zwgzwg
ub
uw
ub
uwHwHw medmed
Nos termos de variação de energia cinética, há o valor médio de uma função ao
cubo, que não coincide com o valor médio ao cubo, ou seja: 31
3
1 ubumed
e
32
3
2 ubumed
. No entanto, pode-se introduzir um coeficiente de desvio () de
maneira que:
3
13
1
ubu
med e
3
23
2
ubu
med . Nos casos de escoamentos
laminares e turbulentos, os valores de são:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 50
- Escoamento laminar em tubos 2
1
- Escoamento turbulento em tubos 19,0
Portanto, introduzindo a notação de variação (), a equação do balanço global de
energia fica (Equação 3.22):
swq zwgubw
Hw ...2
..
2
(3.22)
No caso do sistema possuir apenas uma corrente de entrada e uma corrente de
saída:
21 www
pois o regime é permanente. Sendo assim, a Equação 3.22 se transforma na Equação
3.23:
swq zwgubw
Hw ...2
..
2
swq zgwub
wHw ...2
..2
Que dividida por w:
ww
zgw
wub
w
wH
w
w swq ..
.2..
2
Fazendo Qwq
e ss Ww
w
:
sWQ zgub
H ..2
2
(3.23)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 51
Muitos dos problemas de Engenharia Química empregam o vapor d’água
saturado (vapor condensante) como fonte de calor em sistemas de aquecimento. As
tabelas 3.1 e 3.2 mostram as propriedades da água saturada valores de entrada em
função da temperatura e de pressão respectivamente.
Ao utilizar as tabelas 3.1 e 3.12, cabe lembrar que a entalpia de líquido é pouco
dependente da pressão, assim a entalpia de água líquida insaturada possui praticamente
a mesma entalpia da água líquida na pressão de saturação para a mesma temperatura.
No caso do ponto de interesse nas tabelas cair entre duas linhas, pode-se realizar
a interpolação linear para obter valores intermediários.
Exemplo 3.3 Sabe-se que o calor específico da água líquida a 25°C é de 0,9989 cal/g°C.
Então utilize a Tabela 3.1 para calcular o desvio percentual entre a entalpia da água
líquida insaturada a 25°C e 1 atm com a da saturada na mesma temperatura. Identifique
também a pressão na qual a água a 25°C deveria estar para se encontra em equilíbrio
termodinâmico.
Exemplo 3.4 Utilize a interpolação linear para achar as entalpias da água líquida e vapor
a 1,0 kgf/cm2 de pressão manométrica para uma pressão atmosférica local de 712
mmHg.
Exemplo 3.5 Água a 85°C, armazenada em um tanque isolado termicamente e à pressão
atmosférica, é bombeada em regime permanente pela ação de uma bomba com a vazão
de 0,6 m3/min. A bomba fornece ao fluido a potência de 7,5 kW nas condições fixadas.
A água passa através de um trocador de calor que retira 1400 kW da água. A água
líquida resfriada é então armazenada em um segundo tanque aberto, cujo nível é
mantido constante e 20 m acima do nível do primeiro, também com nível constante.
Calcule a temperatura da água no tanque de descarga.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 52
Tabela 3.1 Propriedades da água saturada com entrada em temperatura
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 53
Tabela 3.2 Propriedades da água saturada com entrada em pressão absoluta
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 54
3.3 Balanço Global de Energia Mecânica
A equação do balanço global de energia mecânica, também conhecida como
equação de Bernoulli modificada, pode ser obtida tomando-se como ponto de partida a
equação do balanço global de energia (Equação 3.23):
sWQ zgub
H ..2
2
(3.23)
que foi obtida mediante a adoção das seguintes hipóteses:
- validade do Princípio de Conservação da Massa, ou seja ausência de reações nucleares
no sistema;
- inexistência de campos elétricos e magnéticos interferindo no escoamento;
- volume de controle rígido (us = 0);
- escoamento perpendicular à superfície do volume de controle nas regiões de entrada e
saída de fluido (cos = +1 e cos = -1);
- aceleração da gravidade constante;
- regime permanente;
- validade do Teorema da Média para representar a velocidade, posição em relação a um
plano de referência e entalpia das correntes nas regiões de entrada e saída de fluido do
sistema.
Nas aplicações de Engenharia é útil expressar os termos do balanço global de
energia em contribuições de energia mecânica, que estão explicitamente associadas às
variáveis velocidade média, posição e pressão das correntes de entrada e saída de fluido
do volume de controle. Para isso, serão utilizados o Princípio da Conservação da
Energia, a 2ª Lei da Termodinâmica e a definição de entalpia.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 55
Quando uma unidade de massa de fluido passa através do volume de controle
(da entrada para saída), o fluido vence uma pressão de oposição (P) e desloca um
volume correspondente (V), cujo trabalho realizado é 2
1
.
V
V
dVP (trabalho reversível e
positivo, pois sai do sistema). No entanto, a 2ª Lei da Termodinâmica determina que o
atrito dissipa uma quantidade de energia na forma de calor (lw), quantidade de energia
mecânica irreversivelmente perdida na forma de calor, que no seu estado final entra no
fluido.Logo:
lwdVPW
V
V
2
1
. (3.24)
Por outro lado, o Princípio da Conservação de Energia enuncia que:
WQU (3.25)
Ou seja, substituindo a Equação 3.24 na Equação 3.25, tem-se que:
lwdVPQU
V
V
2
1
. (3.26)
lwdVPQU
V
V
2
1
. (3.26)
Mas, as definições de entalpia (H) e de variação de entalpia fornecem que:
VPUH . (3.27)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 56
VPUH . (3.28)
A Equação 3.28 expressa na integral do produto fornece que:
2
1
2
1
..
P
P
V
V
dPVdVPUH (3.29)
A junção das equações 3.26 e 3.29 resulta em:
2
1
2
1
2
1
...
P
P
V
V
V
V
dPVdVPlwdVPQH
2
1
.
P
P
dPVlwQH (3.30)
que substituída na equação do balanço global de energia (Equação 3.23) fornece que:
sWQ zgub
dPVlwQ
P
P
..2
.22
1
0...2
2
1
2
sWP
P
dPVlwzgub
(3.31)
O volume por unidade de massa do fluido (V) que percorreu o volume de
controle é o inverso da massa específica (1/). Então:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 57
0..2
2
1
2
sWP
P
dPlwzg
ub
(3.32)
Note que o termo 2
1
.
P
P
dPV também tem a dimensão de energia por unidade de
massa. Ou seja, no SI:
kg
J
kg
mN
m
N
kg
mdPV
P
P
.
..2
32
1
Nesse momento, é preciso verificar o comportamento da massa específica do
fluido em relação à diferença de pressão ao longo do sistema. No caso de fluido
incompressível ( constante), hipótese realística para líquido com temperatura uniforme
e para gases com temperatura constante e velocidade de escoamento bastante inferior à
velocidade do som, isto é, para quedas de pressão da ordem de mmH2O a cmH2O.
Nesses casos, a Equação 3.32 se transforma em:
01
..2
2
1
2
sWP
P
dPlwzgub
(3.33)
Então:
0..2
2
1
2
sW
P
PP
lwzgub
0.
.2
122
sW
PPlwzg
ub
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 58
0..2
2
sWlwP
zgub
(3.34)
É importante notar que na obtenção da Equação 3.34 não foi prevista à variação
de entalpia devido à existência de reação química.
Como visto anteriormente, nas aplicações do balanço global de energia, o termo
Ws está vinculado à existência de trabalho de eixo proveniente de máquinas geratrizes
ou motoras:
Bombas,
Ventiladores,
Sopradores e
Compressores
Adicionam
trabalho aos
fluidos
Ws < 0
Bombas,
Ventiladores,
Sopradores e
Compressores
Adicionam
trabalho aos
fluidos
Ws < 0
Turbinas Retiram
trabalho dos
fluidos Ws > 0Turbinas
Retiram
trabalho dos
fluidos Ws > 0
A energia que o eixo transfere ao fluido, decorrente de movimentos rotativos ou
alternativos, não é totalmente recebida pelo fluido. Defini-se então uma eficiência de
troca (), uma vez que há perdas decorrentes da vibração, liberação de som e calor
quando o fluido passa através da máquina.
Pode-se também separar a perda de energia por atrito (lw) devido ao escoamento
através da tubulação (lwf), na bomba (lwp) ou na turbina (lwt). Então:
lwplwflw (3.35)
lwtlwflw (3.36)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 59
Que substituídas na Equação 3.34 fornecem que:
0..2
2
sWlwplwfP
zgub
(3.37)
para bombas.
0..2
2
sWlwtlwfP
zgub
(3.38)
para turbinas.
Uma vez que a eficiência deve expressar uma fração entre 0 e 100% e da forma
da transferência de energia no interior das máquinas, é definida diferentemente para
máquinas geratrizes (p)e motoras (t):
s
s
pW
lwpW
eixo doenergia
fluido pelorecebida energia (3.39)
e
lwtW
W
s
s
t
turbinapela fluido doretirada energia
eixo peloabsorvida energia (3.40)
Logo:
lwpWW ssp . (3.41)
e
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 60
lwtWW
s
t
s
(3.42)
As equações 3.41 e 3.42 respectivamente substituídas nas equações 3.37 e 3.38
fornecem que:
0...2
2
sWplwfP
zgub
(3.43)
para máquinas geratrizes.
0..2
2
t
lwfP
zgub
sW (3.44)
para máquinas motoras.
As equações 3.43 e 3.44 são as duas principais formas das equações do balanço
global de energia mecânica.
A utilização das equações 3.43 e 3.44 aplicadas a situações práticas requer a
quantificação da perda de carga do fluido ao escoar por trechos retos (perda de carga
distribuída), por conexões e acessórios (perda de carga localizada) do sistema contendo
tubulações.
O fator de atrito (f) é um parâmetro definido para a determinação da perda de
carga em dutos e acessórios. Essa relação é estabelecida segundo a equação de Darcy-
Weisbach, proposta em 1845, também conhecida por fórmula racional ou equação
universal:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 61
2..
2V
D
Lflwf T (3.45)
sendo, LT o comprimento total retilíneo da tubulação, incluindo o comprimento
equivalente em trecho reto de tubo de cada acessório e conexão presente na tubulação,
D o diâmetro interno do tubo e V a velocidade média do escoamento no duto.
É possível prever teoricamente a equação do fator de atrito de Darcy para o
escoamento laminar (Equação 3.46). Essa demonstração será realizada na disciplina de
balanços diferenciais de massa e quantidade de movimento (Fenômenos de Transporte
1).
..
.64
Re
64
VDf
d
(3.46)
sendo que D é o diâmetro interno do tubo, V é a velocidade média do escoamento, é a
massa específica do fluido, é a viscosidade do fluido. A Equação 3.46 é válida para o
escoamento laminar de fluidos newtonianos (Red < 2100), tanto pata tubo de parede lisa
quanto rugosa.
A rugosidade do tubo é caracterizada pela altura média das protuberâncias,
chamada de rugosidade absoluta ou equivalente (), que é função do tipo de material
construtivo e do acabamento dado à peça. A rugosidade relativa é a relação entre a
rugosidade absoluta e o diâmetro do tubo (/D).
O fator de atrito para o escoamento turbulento não é dependente somente do
número de Reynolds, mas também da rugosidade da superfície da parede interna do
duto. Historicamente, a determinação de f em função da rugosidade () tem sido feita
empiricamente e representada na forma de gráficos ou de correlações (explícitas ou
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 62
implícitas em f). O Diagrama de Moody de 1939 a 1944 foi baseado nos resultados de
Nikuradse de 1933, obtidos com escoamento de fluido newtoniano em dutos de seção
circular revestidos internamente com grãos de areia, de forma a variar artificialmente a
rugosidade da parede interna exposta ao fluido em escoamento. No Diagrama de
Mooody (Figura 3.8) pode-se obter f no eixo das ordenadas em função do número de
Reynolds do escoamento de um fluido newtoniano em tubos (eixo das abscissas) e da
rugosidade relativa (/D) (diferentes curvas do gráfico).
No escoamento laminar, o efeito da rugosidade é desprezível pela formação de
uma camada de estagnação sobre à superfície rugosa de modo que as “lâminas” de
fluido deslizam uma sobre as outras no interior de um tubo de diâmetro interno real
igual a D-2..
A rugosidade relativa de tubos pode ser obtida através da Figura 3.9, que
relaciona o diâmetro interno do tubo ou nominal de um tubo padronizado 40S (no eixo
das abscissas) com o material e com o acabamento de sua confecção nas diversas linhas
do gráfico.
Foi visto até o momento que a perda de carga em trechos retos da tubulação
pode ser calculada através da equação de Darcy e do fator de atrito. No entanto, se a
velocidade do escoamento mudar de módulo ou de direção, uma perda de energia
adicional deve acontecer (perda de carga localizada).
A perda de carga em expansões, contrações, curvas, cotovelos, válvulas,
entradas, saídas e demais acessórios pode ser computada na forma de comprimentos
adicionais de trechos retos do tubo em questão para cada tipo de acidente. Atribui-se
assim, a perda de carga a um trecho reto imaginário de comprimento LT de forma que:
LeqLLrealretoT (3.47)
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 63
Uma das maneiras de se determinar os comprimentos equivalentes de cada
acessório é através do Ábaco da Crane Co. (Figura 3.10). Deve-se unir o ponto referente
ao acessório no eixo da esquerda ao diâmetro interno da tubulação na escala da direita
do eixo também à direita através de um segmento de reta. O comprimento equivalente
da peça, em pés, é lido no eixo central. No caso da tubulação ser do tipo “Schedule 40”
(40S), a escala a ser utilizada é a da esquerda no eixo da direita.
No caso do duto não ser de seção circular, pode-se utilizar as mesmas equações
descritas, porém substituindo o diâmetro interno do tubo pelo diâmetro hidráulico do
duto (Dh). A definição de Dh é:
ADh
.4 (3.48)
em que A é a área da seção transversal formada pelo fluido no duto e é o perímetro
molhado do duto (soma dos comprimentos da seção transversal da parede do duto).
fluido
a
afluido
a
a
fluido
a
bfluido
a
b
a
fluido b
a
fluido b
aaaaa
aDh
)(
.4 2
).2.2(
..4
ba
baDh
).2(
..4
ba
baDh
O número de Reynolds tem de ser então calculado por:
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 64
..Re
VDh
d (3.49)
A velocidade média do escoamento no duto V deve ser calculada com base na
área de seção transversal obtida com o diâmetro hidráulico do duto:
2.
.4
h
V
D
qV
(3.50)
sendo que Vq é a vazão volumétrica do escoamento.
A perda de carga no duto de seção não circular é obtida por:
2..
2
V
D
Lflwf
h
T (3.51)
Figura 3.8 Diagrama de Moody para escoamento de fluido newtoniano em tubos
Ru
go
sid
ade
rela
tiv
a–/
D
Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)
Ru
go
sid
ade
rela
tiv
a–/
D
Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)
Figura 3.9 Rugosidade relativa em função do diâmetro do tubo
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 67
Figura 3.10 Ábaco da Crane Co. para determinação do comprimento equivalente dos
principais acessórios
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 68
Exercícios Propostos
Exercício 3.1: Um tanque de estocagem (sem corrente de saída) tem a capacidade total
de armazenamento de 15.352 kg. Inicialmente, existe no interior do tanque 1.537 kg de
uma solução 7 % em massa de ácido acético. Repentinamente, são alimentadas ao
tanque uma corrente de 2.355 kg/h de água e outra de 1.177,5 kg/h de ácido acético. A
agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é igual em
qualquer ponto. Nestas condições, determine:
a) O tempo de preencher o tanque;
b) A equação que relaciona a composição de saída com o tempo de operação;
c) A composição para o tempo equivalente a metade do tempo de enchimento e a
composição no instante final.
Exercício 3.2: Um tanque com agitação mecânica, contendo 3,8 m3 de uma solução de
95% em massa de etanol, opera em regime permanente com um escoamento contínuo de
entrada e saída de 0,38 m3/min de álcool 95% em massa (massa específica de 0,804
g/ml). O escoamento de álcool é repentinamente interrompido e substituído por um de
água com a mesma vazão (massa específica de 997 kg/m3). Se a massa total de material
no tanque permanece constante, qual o tempo necessário para a porcentagem de álcool
cair a 50%.
Exercício 3.3: Um tanque de volume total igual a 20 m3 possui no seu interior 1000 kg
de uma solução de salmoura a 10% em massa. Repentinamente, uma vazão de 1000
kg/h de água pura entra no tanque e uma vazão de 500 k/h sai do mesmo. Calcule o
tempo necessário para preencher completamente o tanque e obtenha a equação que
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 69
relaciona a composição da salmoura no seu interior em função do tempo. Assuma que a
massa específica da salmoura no tanque seja constante e igual a 1100 kg/m3.
Exercício 3.4: Deseja-se preparar uma solução de soda cáustica 25% em massa a partir
de uma corrente de NaOH sólida (100%) e uma corrente de água, ambas com vazão de
1750 kg/h. No instante inicial, o tanque contém 1.000 kg de solução 5% de soda. O
sistema de agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é
igual a composição de saída. Nestas condições, determine:
a) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se não houver corrente de
saída enquanto se procede a diluição;
b) A massa de solução final produzida nas condições do item a;
c) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se houver uma corrente
de saída de vazão constante igual a 800 kg/h enquanto se procede a diluição;
d) A massa de solução final produzida nas condições do item c.
Exercício 3.5: Liste as hipóteses assumidas na obtenção da relação
111222 .... AuAu bb .
Exercício 3.6: Mostre que as equações 3.14 e 3.15 são dimensionalmente homogêneas.
Exercício 3.7 Uma caldeira opera com a pressão de 313,0 kPa (absoluta) para a geração
de vapor saturado. A vazão mássica de vapor saturado desejado é de 10,0 t/h para
atender as necessidades de processo. A alimentação é feita com água a 25°C. Não estão
disponíveis informações dos pontos de entrada e saída das tubulações. Calcule a troca
de calor necessária e comente sobre a validade do valor obtido.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 70
Exercício 3.8 Uma caldeira é alimentada com duas correntes de água com as vazões de
5.000 kg/h a 40°C e 450 kg/h a 80oC. A temperatura estipulada para o vapor saturado
produzido é de 152oC. Nestas condições, determine:
a) A pressão de operação da caldeira;
b) A vazão volumétrica o vapor produzido;
c) O calor trocado por unidade de massa de vapor;
d) A potência da caldeira.
Exercício 3.9 Água está armazenada em um vazo de pressão igual a 1.000 kPa. A
temperatura indicada é de 250oC. Pede-se:
a) Qual o estado físico da água, justifique sua resposta com base nas temperaturas e
pressão no interior do vazo e de saturação;
b) A entalpia do vapor saturado;
c) A capacidade calorífica média do vapor;
d) A entalpia do vapor superaquecido.
Exercício 3.10 Uma caldeira é utilizada para gerar vapor a pressão absoluta de 3,7 bar e
temperatura de 160ºC, a partir da alimentação de duas correntes de água líquida, uma de
3000 kg/h a 25°C e outra de 1000 kg/h a 80°C. Não estão disponíveis informações sobre
as tubulações de entrada e saída das correntes. Nestas condições, pede-se:
a) Identifique se o vapor gerado é saturado ou superaquecido e explique por quê;
b) A potência da caldeira em kW.
Dados: capacidade calorífica média do vapor d’água no intervalo de temperatura em
questão = 0,45 kcal/kg.ºC.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 71
Exercício 3.11 Uma caldeira é alimentada com duas correntes de água com as vazões de
5.000 kg/h e 450 kg/h a 28oC. A temperatura estipulada para o vapor saturado
produzido é de 152oC. Nestas condições, determine:
a) A pressão de operação da caldeira;
b) A vazão volumétrica o vapor produzido;
c) O calor trocado por unidade de massa de vapor;
d) A potência da caldeira.
Exercício 3.12 A instalação de bombeamento esquematizada a seguir é utilizada para o
transporte de água a 25oC. A tubulação de sucção e de recalque são de aço comercial
(40S) com diâmetro de 2 in. As curvas indicadas no esquema é de raio longo e a entrada
e a saída são normais. Sabe-se que a vazão de projeto é de 15,6 m3/h. Determine a perda
de carga na linha, o trabalho absorvido pelo fluido e a potências do motor se a eficiência
da bomba for de 62%.
3m
7m9,5m
5,5m
15m
3m
7m
5,5m
3m
7m9,5m
5,5m
15m
3m
7m
5,5m
Exercício 3.13 Repita o problema anterior, porém para o transporte de óleo com
densidade e viscosidade iguais a 20cP e 919 kg/m3.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 72
Exercício 3.14 A instalação de bombeamento esquematizada deve ser projetada para o
transporte de água a 40oC com a vazão de 170 m
3/h. A tubulação de sucção possui um
cotovelo 90o e a entrada. Estão acoplados na tubulação de descarga um cotovelo padrão
de 90o, um registro de globo totalmente aberto e a saída. Ambas as tubulações são de
aço comercial 40 S com diâmetro nominal de 8 in. Adote a pressão atmosférica local
como sendo 712 mmHg para calcular:
10m
5,35 kgf/cm2
man
3m
7m9,5m
5,5m
10m
5,35 kgf/cm2
man
3m
7m9,5m
5,5m
Figura 1 Esquema da condição de projeto da instalação de bombeamento projetada
a) A perda de carga na tubulação de sucção;
b) A perda de carga na tubulação de descarga;
c) O trabalho de eixo por unidade de massa de água transportada;
d) A potência útil da bomba
Exerecício 3.15 Um duto de seção retangular com 100 cm de largura e 50 cm de altura
comporta o escoamento de ar com a vazão de 20.000 m3/h a 25°C e 1 atm. Deve-se
avaliar a queda de pressão em um trecho de 80 m de comprimento retilíneo. Nessas
condições, pede-se:
a) O diâmetro hidráulico do duto;
b) A velocidade média do escoamento;
c) O número de Reynolds do escoamento;
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 73
d) A perda de carga no segmento reto do duto;
e) A queda de pressão no trecho de duto em Pa e em mmH2O;
f) A nova perda de carga no duto de fossem instalados 2 cotovelos de 90° (padrão).
Bibliografia
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de transporte. 1. ed.
New York: John Wiley and Sons, 1960. 780 p.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de transporte. 2. ed.
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004. 856 p.
GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and unit operations. 3. ed. Englewood Cliffs:
Prentice Hall PTR, 1993. 921 p.
GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and separation process principles. 4. ed.
Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p.
WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E. Fundamentals of momentum, heat, and
mass transfer. 3. ed. New York: John Wiley and Sons, 1984. 803 p.
WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E.; RORRER, G. L. Fundamentals of
momentum, heat, and mass transfer. 4. ed. New York: John Wiley and Sons, 2001. 759
p.
Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2012) 74
PERRY, R. H.; GREEN, D. Perry’s chemical engineering handbook. 6. ed. New York:
McGraw-Hill, 1984.