MỤC LỤC - stu.edu.vn · hiệu,tín hiệu âm thanh từ Mi-crô đi vào là tín hiệu...

- 1 -

Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

MỤC LỤC

MỤC LỤC ................................................................................................................................ 1

Chƣơng 1 .................................................................................................................................. 5

TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU ............................................................................ 5

1.1 Xử lý tương tự và xử lý số .................................................................................................. 5

1.2 Các thành phần cơ bản của hệ thống xử lý số tín hiệu ........................................................ 6

1.3 Phân loại các hoạt động xử lý tín hiệu số ............................................................................ 7

1.3.1Phân tích tín hiệu: ..................................................................................................... 7

1.3.2Lọc tín hiệu ................................................................................................................ 8

1.4 Ưu điểm của hệ thống xử lý số............................................................................................ 9

1.5 Một số ứng dụng của xử lý số tín hiệu. ............................................................................... 9

Chƣơng 2 ................................................................................................................................ 11

LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU............................................................................ 11

2.1Lấy mẫu tín hiệu ................................................................................................................. 11

2.1.1Nguyên lý lấy mẫu ................................................................................................... 11

2.1.2Mô tả quá trình lấy mẫu .......................................................................................... 12

2.1.3 Định lý lấy mẫu ....................................................................................................... 13

2.1.4 Hiện tượng chồng lấn phổ(Aliasing) ...................................................................... 14

2.2 Bộ tiền lọc(Pre-Filter) ....................................................................................................... 17

2.2.1 Bộ tiền lọc lý tưởng: ................................................................................................ 18

2.2.2 Bộ tiền lọc thực tế: .................................................................................................. 18

2.3Lượng tử hóa(Quantization) ............................................................................................... 21

2.4Khôi phục tín hiệu tương tự ............................................................................................... 24

2.4.1 Bộ khôi phục lý tưởng: ............................................................................................ 24

2.4.2 Bộ hậu lọc(Post-Filter) ........................................................................................... 26

2.5 ... Các bộ biến đổi ADC và DAC ........................................................................................ 27

2.5.1 Bộ chuyển đổi DAC B bit: ..................................................................................... 27

2.5.2Bộ chuyển đổi ADC ................................................................................................. 28

BÀI TẬP CHƢƠNG 2: ......................................................................................................... 34

LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU............................................................................ 34

Chƣơng 3 ................................................................................................................................ 36

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC ........................................................ 36

3.1 Tín hiệu rời rạc .................................................................................................................. 36

- 2 -



3.1.1 Khái niệm ............................................................................................................... 36

3.1.2 Các phương pháp biểu diễn tín hiệu rời rạc .......................................................... 37

3.1.3 Một số tín hiệu rời rạc cơ bản ............................................................................... 38

3.1.4 Phân loại tín hiệu rời rạc ....................................................................................... 40

3.2 Hệ thống rời rạc ................................................................................................................. 46

3.2.1 Khái niệm. .............................................................................................................. 46

3.2.2 Mô tả hệ thống rời rạc. .......................................................................................... 47

3.2.3 Phân loại hệ thống rời rạc ..................................................................................... 51

BÀI TẬP CHƢƠNG 3: ......................................................................................................... 54

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC. ....................................................... 54

Chƣơng 4 ................................................................................................................................ 56

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN .............................................................. 56

4.1 Đáp ứng xung của hệ thống rời rạc ................................................................................... 56

4.1.1 Đáp ứng xung(Impulse Response) ......................................................................... 56

4.1.2 Các phương pháp tích chập ................................................................................... 57

4.1.3 Đáp ứng xung các hệ thống ghép nối tiếp và ghép song song : ............................ 60

4.1.4 Sự ổn định của hệ thống : ...................................................................................... 61

4.2 Hệ thống FIR và IIR .......................................................................................................... 62

4.2.1 Khái niệm ............................................................................................................... 62

4.2.2 Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) ..................................................................................... 62

4.2.3 Hệ thống IIR ........................................................................................................... 63

4.3 Các phương pháp xử lý ..................................................................................................... 64

4.3.1 Phương pháp xử lý mẫu – Phương pháp xử lý khối: ............................................. 64

4.3.2 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc FIR : ............................................................... 65

4.3.3 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc IIR : ................................................................ 67

4.3.4Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc: .............................................................. 69

BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ........................................................................................................... 72

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN .............................................................. 72

Chƣơng 5 ................................................................................................................................ 76

BIẾN ĐỔI Z ........................................................................................................................... 76

5.1 BIẾN ĐỔI Z ...................................................................................................................... 76

5.1.1Khái niệm ................................................................................................................ 76

5.1.2Biến đổi z ................................................................................................................. 76

5.1.3Các tính chất của biến đổi z: .................................................................................. 80

- 3 -



5.1.4Giản đồ cực – không(Pole - Zero): ......................................................................... 83

5.2 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC ....................................................................................................... 84

5.2.1 Biến đổi z ngược: ................................................................................................... 84

5.2.2 Biến đổi z ngược dùng tích phân đường: ............................................................... 84

5.2.3 Phương pháp khai triển thành chuỗi luỹ thừa. ...................................................... 85

5.2.4 Phương pháp phân tích thành các phân thức sơ cấp: .......................................... 86

5.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z .............................................................. 88

5.3.1 Hàm truyền hệ thống LTI: ...................................................................................... 88

5.3.2 Giải phương trình I/O sử dụng biến đổi z: ............................................................ 89

5.3.3 Phân tích hệ thống LTI sử dụng biến đổi z: ........................................................... 90

5.3.4Tính ổn định và nhân quả của hệ thống LTI: ......................................................... 90

BÀI TẬP CHƢƠNG 5 ........................................................................................................... 93

BIẾN ĐỔI Z ........................................................................................................................... 93

Chƣơng 6 ................................................................................................................................ 96

PHÂN TÍCH TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................................................... 96

6.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn..................................................................... 96

6.2Biến đổi Fourier thời gian rời rạc ....................................................................................... 98

6.2.1 Định nghĩa: ............................................................................................................ 98

6.2.2 Các tính chất của DTFT: ..................................................................................... 101

6.2.3 Mối quan hệ giữa biến đổi z và DTFT: ................................................................ 102

6.3 Biểu diễn hệ thống LTI trong miền tần số ...................................................................... 103

6.3.1 Đáp ứng tần số: .................................................................................................... 103

6.3.2 Quan hệ trong miền tần số: ................................................................................. 105

BÀI TẬP CHƢƠNG 6 ......................................................................................................... 108

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ .................................................................... 108

Chƣơng 7 .............................................................................................................................. 110

PHÉP BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FOURIER NHANH .................................... 110

7.1 Biến đổi Fourier rời rạc-DFT .......................................................................................... 110

7.1.1Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn(DFS) ............................................ 110

7.1.2Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn ........ 111

7.1.3Lọc tuyến tính dựa vào DFT: ................................................................................ 115

7.1.4Phân tích phổ dựa vào DFT: ................................................................................ 116

7.2. Các giải thuật biến đổi Fourier nhanh – FFT ................................................................. 120

7.2.1Các tính chất của WN: ........................................................................................... 121

- 4 -



7.2.2Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian ( FFT – R2) ............................. 122

7.2.3Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ( FFT – R2) ................................. 127

7.2.4Tính DFT ngược bằng giải thuật FFT: ................................................................. 128

BÀI TẬP CHƢƠNG 7 ......................................................................................................... 130

BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT. .......................................................................... 130

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 133

- 5 -



Chƣơng 1

TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

Mục đích:

Phân biệt giữa xử lý tương tự và xử lý số tín hiệu.

Biết được các thành phần cơ bản trong hệ thống xử lý số tín hiệu.

Phân biệt được các hoạt động khác nhau trong xử lý số tín hiệu .

Các ưu và nhược điểm của hệ thống xử lý số tín hiệu so với hệ thống xử lý tương tự.

Các ứng dụng của xử lý số tín hiệu.

1.1 XỬ LÝ TƢƠNG TỰ VÀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

Xử lý tín hiệu: là quá trình dùng các mạch điện,mạch điện tử,máy tính…tác động lên tín

hiệu để tạo ra tín hiệu theo mong muốn(theo nhu cầu).

Có hai cách xử lý tín hiệu:

Xử lý tương tự (ASP: Analog Signal Processing):

Một hệ thống xử lý tương tự được mô tả theo Hình vẽ 1.1:tín hiệu vào cho hệ thống

xử lý là tín hiệu tương tự,bộ xử lý tín hiệu tương tự sau khi xử lý để tạo ra tín hiệu theo

như yêu cầu sẽ xuất ra tín hiệu ở ngõ ra cũng là tín hiệu tương tự.

Một ví dụ đơn giản cho hệ thống xử lý tương tự là Âm-li,đây là bộ khuếch đại tín

hiệu,tín hiệu âm thanh từ Mi-crô đi vào là tín hiệu tương tự,bộ Âm-li sẽ lọc bỏ những

thành phần tín hiệu dư thừa sau đó khuếch đại tín hiệu lên mức cần thiết và xuất tín hiệu

ra loa(tín hiệu tương tự).

Xử lý số (DSP:Digital Signal Processing):

Một hệ thống xử lý số được mô tả theo Hình vẽ 1.2:tín hiệu vào để xử lý trước khi

đưa vào bộ xử lý tín hiệu số sẽ được đưa qua khối chuyển đổi tương tự - số(Khối biến đổi

Hình vẽ 1.1

Hình vẽ 1.2

- 6 -



tín hiệu tương tự sang tín hiệu số).Tín hiệu sau khi được xử lý bởi bộ xử lý tín hiệu số sẽ

được đưa qua khối chuyển đổi số - tương tự(Khối biến đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương

tự) để có được tín hiệu theo nhu cầu(là tín hiệu tương tự).

Một ví dụ đơn giản cho hệ thống xử lý số là thành phần xử lý âm thanh trong máy

tính(Sound Card),Hình vẽ 1.3,tín hiệu vào và ra từ các ngõ vào và ra của Sound Card là

tín hiệu tương tự,trên Sound card có các vi mạch chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín

hiệu số cũng như chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự.Ngoài ra trên Sound Card

có thành phần xử lý chính là vi mạch xử lý tín hiệu số(DSP),thành phần này tiếp nhận tín

hiệu số từ bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số,xử lý tín hiệu số này theo yêu

cầu sau đó xuất tín hiệu ra(tín hiệu số) cho bộ chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương

tự.

1.2 CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA HỆ TỐNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

Sơ đồ khối tổng quát một hệ thống xứ lý số tín hiệu như Hình vẽ 1.4:

Hình vẽ 1.3

Hình vẽ 1.4

- 7 -



Bộ tiền lọc(Pre-Filter hay Anti-Alias-Flter):là bộ lọc thông thấp(LPF:Low Pass

Filter),dùng để giới hạn phổ tín hiệu trước khi đưa vào bộ biến đổi A/D(chuyển đổi tín

hiệu tương tự sang tín hiệu số),công dụng của bộ tiền lọc là lọc bỏ những thành phần tín

hiệu dư thừa,nhằm tránh hiện tượng chồng lấn phổ(Aliasing) của quá trình chuyển đổi tín

hiệu tương tự sang tín hiệu số.

Ví dụ trong quá trình xử lý thoại(khác với quá trình xử lý Audio),tần số lấy mẫu cho

quá trình số hóa tín hiệu thoại là 8Khz,do đó trước khi số hóa tín hiệu thoại được đưa qua

bộ tiền lọc là mạch lọc thông thấp có băng thông từ 0Khz đến 4Khz nhằm loại bỏ tất cả

các thành phần có tần số lớn hơn 4Khz(trong truyền thông thoại ta chỉ cần thành phần tần

số từ 0Khz đền 4Khz là nghe và hiểu,khác với xử lý Audio ta phải giữ nguyên thành phần

tần số âm thanh để âm thanh nghe được là trung thực).

Bộ hậu lọc(Post Filter hay Reconstruction Filter):cũng là bộ lọc thông thấp,nhưng

công dụng của bộ hậu lọc là lọc bỏ các thành phần phổ ảnh(Do quá trình lấy mẫu tạo

ra:khi biểu diễn trong miền tần số,phổ của tín hiệu sau quá trình lấy mẫu chính là phổ của

tín hiệu trước khi lấy mẫu được lặp tuần hoàn với chu kì lặp bằng với chu kì lấy mẫu).

ADC(Analog Digital Convert): khối chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số,gồm

có ba bước xử lý là lấy mẫu,lượng tử và mã hóa.

DAC(Digital Analog Convert):Khối chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự.

Sở dĩ trong hệ thống xử lý tín hiệu số có hai khối ADC và DAC là vì các nguồn tín hiệu

nguồn gốc ban đầu đều là tín hiệu tương tự.

Ví dụ như trong quá trình xử lý âm thanh,âm thanh sau khi qua thiết bị Mi-Crô sẽ

được tạo ra một tín hiệu tương ứng và tín hiệu này là tín hiệu tương tự.

Nhân(lõi) của hệ thống xử lý tín hiệu số là khối DSP,khối này tiếp nhận tín hiệu số từ

khối ADC(khối chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số) xử lý theo yêu cầu và xuất

ra tín hiệu số đến khối DAC để khôi phục lại tín hiệu tương tự theo mong muốn.

1.3 PHÂN LOẠI CÁC HOẠT ĐỘNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

1.3.1Phân tích tín hiệu:

Phân tích tín hiệu là quá trình xử lý tín hiệu liên quan đến các lĩnh vực như đo

lường,quan sát các tính chất của tín hiệu.

Ví dụ như ta muốn đo độ ẩm trong không khí,quá trình được tiến hành như sau:qua bộ

cảm biến độ ẩm,độ ẩm đươc cảm biến thành một tín hiệu điện tương ứng,bộ xử lý tín hiệu

sẽ phân tích tín hiệu điện tương ứng này và hiển thị ra màn hình số đo độ ẩm tương

ứng.Hoặc trong hoạt động dự báo thời tiết,trung tâm xử lý dữ liệu liên tục cập nhật các

hình ảnh gởi về từ vệ tinh,trung tâm này sẽ phân tích các tín hiệu hình ảnh này và dựa vào

kết quả phân tích này các trung tâm sẽ đưa ra các dư báo về thời tiết,bão…

Ngoài ra việc phân tích tín hiệu giúp chúng ta tiếp cận với việc xử lý tín hiệu trong

miền tần số,từ đó đưa ra các hướng xử lý tín hiệu một cách hiệu quả nhất.

Ngày nay việc phân tích tín hiệu là công cụ hổ trợ rất lớn cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật

khác nhau như y học,khoa học hình sự,viễn thông,điện tử,khai thác tài nguyên,giao thông

vận tải,đo lường…

Một ví dụ đơn giản cho việc phân tích tín hiệu trong hình vẽ 1.5:

- 8 -



Trong hình vẽ A là biểu diễn một tín hiệu điều hòa(Cosine) có tần số 1000Hz trong

miền thời gian,hình vẽ B là biểu diễn tín hiệu điều hòa 1000Hz trong miền tần số qua việc

phân tích phổ(Phân tích Fourier),hình vẽ C là biểu diễn một tín hiệu gồm hai thành phần

tần số 1000Hz và 3000Hz trong miền thời gian,nhìn vào hình vẽ C ta không phân biệt

được hai thành phần 1000Hz và 3000Hz,nhưng khi quan sát hình vẽ D ta sẽ phân biệt

được rõ ràng hai thành phần 1000Hz và 3000Hz.Hình vẽ D là biểu diễn của tín hiệu gồm

hai thành phần 1000Hz và 3000Hz trong miền tần số qua việc phân tích phổ của tín hiệu

này(Phân tích phổ chúng ta đã học trong môn học Lý thuyết tín hiệu).

1.3.2 Lọc tín hiệu

Lọc là một hoạt động xử lý tín hiệu nhằm loại bỏ những thành phần tín hiệu không

mong muốn.Những thành phần tín hiệu không mong muốn là các thành phần tín hiệu dư

thừa(Không cần sử dụng),các thành phần tín hiệu nhiễu hay là các thành phần tín hiệu

được phát sinh trong quá trình xử lý tín hiệu.Hoạt động xử lý tín hiệu để loại bỏ những tín

hiệu không mong muốn này là lọc(Filter).

Một ví dụ đơn giản là trong xử lý thoại,tín hiệu âm thanh do người phát ra có tần số từ

vài Hz đến vài chục Khz,tai người bình thường cũng nghe được các tín hiệu âm thanh từ

vài Hz đến vài chục Khz.Nhưng trong xử lý thoại chỉ cần các tín hiệu âm thanh từ vài Hz

đến vài Khz là tai người có thể nghe và hiểu được(Phân biệt được giữa các âm),do đó các

thành phần tín hiệu âm thanh có tần số lớn hơn vài Khz là các thành phần tín hiệu không

mong muốn(Dư thừa),trong xử lý thoại các thành phần này sẽ bị loại bỏ tông qua các xử

lý lọc(LPF:Lọc thông thấp).

Hình vẽ 1.6 cho chúng ta thấy rõ hoạt động lọc trong xử lý tín hiệu,phía trên là tín hiệu

cần thu lẫn tín hiệu nhiễu,để loại bỏ thành phần nhiễu,ta cho tín hiệu (có lẫn nhiễu) đi qua

một mạch lọc,qua mạch lọc tín hiệu mong muốn không bị suy hao(biên độ giữ

nguyên),thành phần tín hiệu nhiễu sẽ bị ngăn lại(Biên độ tín hiệu nhiễu bị giảm đi-suy

hao),kết quả tại ngõ ra mạch lọc ta chỉ thu được thành phần tín hiệu mong muốn(hình

dưới).

Hình vẽ 1.5

- 9 -



1.4 ƢU ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG XỬ LÝ SỐ

Ngày nay xử lý số tín hiệu đã trở thành một công nghệ tiên tiến,hổ trợ cho khoa

học và kỹ thuật của thế kỹ 21,thế kỹ của công nghệ thông tin số.Xử lý số tín hiệu đã và

đang làm thay đổi có tính chất cách mạng trong nhiều lĩnh vực như:viễn thông,y sinh

học,thiên văn học,công nghệ thăm dò và khai thác khoáng sản,khoa học hình sự…

Tại sao DSP(Digital Signal Processing) lại được áp dụng rộng rãi và sâu rộng trong

nhiều lĩnh vực kỹ thuật,công nghệ?Bởi vì xử lý số tín hiệu có nhiều ưu điểm hơn so

với xử lý tương tự.DSP là toán học,là thuật toán,là các kỹ thuật được sử dụng để biến

đổi tín hiệu,phân tích tín hiệu,xử lý tín hiệu…Vai trò DSP trong thế kỷ 21 giống như

cuộc cách mạng về điện tử ở những năm 80 của thế kỷ trước. Công nghệ phần cứng và

công nghệ phần mềm DSP đã phát triển vượt bậc,nó thỏa mãn nhu các nhu cầu xử lý

tín hiệu đa dạng và phức tạp. DSP là một công nghệ và là cầu nối nhiều lĩnh vực công

nghệ lại với nhau như công nghệ giải trí,thông tin liên lạc,khai thác thám hiểm không

gian,y học,khảo cổ học…

Các ưu điểm của phương pháp xử lý số tín hiệu so với phương pháp xử lý tương tự:

Đáp ứng được các yêu cầu xử lý phức tạp,linh hoạt,mềm dẻo.

Khả năng xử lý ổn định.

Có thể phát triển dùng các phần mềm chạy trên PC.

Dễ dàng hiệu chỉnh trong thời gian thực.

Tín hiệu số thuận lợi trong việc lưu trữ,truyền thông.

1.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

Các thuật toán và các phần cứng của công nghệ xử lý số tín hiệu ngày nay được sử dụng

trong rấc nhiều các hệ thống,từ các hệ thống cao cấp sử dụng chuyên dụng trong quân

Hình vẽ 1.6

- 10 -



sự,cho đến các hệ thống dân dụng sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực giải trí,truyền

thông,y học...Một vấn đề ta cần quan tâm là chất lượng của các hệ thống này lại phụ thuộc

nhiều vào phương pháp xử lý tín hiệu.

Các ứng dụng chính của phương pháp xử lý số tín hiệu:

Xử lý hình ảnh(ứng dụng cho y học,khai thác tài nguyên,khoa học hình sự,thiên

văn…)

Xử lý thoại(âm thanh).

Xử lý Audio(âm thanh).

Viễn thông(lọc nhiễu,ghép kênh,nén dữ liệu…).

Đo lường.

Điều khiển tự động.

- 11 -



Chƣơng 2

LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Mục đích:

Hiểu rõ nguyên lý và quy trình lấy mẫu tín hiệu.

Giới hạn tần số lấy mẫu và định lý lấy mẫu,tầm quan trọng trong việc chọn tần số lấy mẫu .

Hiện tượng chồng lấn phổ(Aliassing)và ảnh hưởng của nó trong quá trình khôi phục lại tín

hiệu tương tự.

Bộ tiền lọc và vai trò của nó trong quá trình lấy mẫu.

Quá trình lượng tử hóa và sai số lượng tử.

Quá trình khôi phục tín hiệu tương tự.

Bộ hậu lọc và vai trò bộ hậu lọc đối với quá trình khôi phục tín hiệu tương tự.

Các bộ biến đổi ADC và DAC

2.1 LẤY MẪU TÍN HIỆU

Lấy mẫu là quy trình đầu tiên trong ba công đoạn của quá trình biến đổi tín hiệu tương tự

sang tín hiệu số.Lấy mẫu là quá trình biến đổi tín hiệu liên tục thành các mẫu tín hiệu rời rạc

theo thời gian.Trong truyền thông số hoặc trong xử lý số tín hiệu ta không dùng nguyên vẹn

tín hiệu tương tự liên tục theo thời gian mà thay thế bằng một số biên độ của nó ở những

thời điểm cách đều nhau,đây là sự lấy mẫu.Các mẫu được biến đổi tương ứng thành các số

nhị phân(mã hóa)để lưu trữ,xử lý bởi mạch số,máy tính.Vấn đề đặt ra là lấy mẫu như thế nào

để tín hiệu sau khi được xử lý bởi các hệ thống số,từ các mẫu thu được ta khôi phục lại được

tín hiệu tương tự như mong muốn.

2.1.1 Nguyên lý lấy mẫu

Hình vẽ 2.1 trình bày nguyên lý lấy mẫu tín hiệu tương tự x(t):

Nguyên tắc lấy mẫu theo lý thuyết là nhân tín hiệu tương tự x(t) cần lấy mẫu với hàm lấy

mẫu s(t) (xung lấy mẫu),ta có được các mẫu của x(t) là xs(t):

Sự lấy mẫu xảy ra đều đặn ở khoảng cách thời gian Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu. fs = 1/Ts gọi

là tốc độ lấy mẫu hay là tần số lấy mẫu.Các mẫu phải tương đối gần nhau để có thể biểu diễn

Hình vẽ 2.1

( ) ( ) ( ) : 2.1sx t x t s t

- 12 -



đầy đủ(chính xác) tín hiệu tương tự,nhưng nếu các mẫu là quá gần nhau,tức là tần số lấy mẫu

quá cao sẽ tạo khó khăn cho mạch lấy mẫu(Đáp ứng phần cứng) cũng như làm tiêu tốn bộ

nhớ của hệ thống và giảm tốc độ xử lý của hệ thống(xử lý quá nhiều mẫu).Như vậy vấn đề

quan trọng của quá trình lấy mẫu là chọn lựa tần số lấy mẫu sao cho hợp lý.

2.1.2 Mô tả quá trình lấy mẫu

Hình vẽ 2.2 mô tả quá trình lấy mẫu:

Bên trái là quá trình được mô tả trong miền thời gian,x(t) là tín hiệu liên tục cần lấy

mẫu,s(t) là xung lấy mẫu và xs(t) là tín hiệu đã được lấy mẫu(các mẫu có được của x(t) sau

quá trình lầy mẫu).Chú ý tín hiệu x(t) cần lấy mẫu phải là tín

hiệu có phổ phân bố hữu hạn.

Bên phải là quá trình được mô tả trong miền tần số(Phổ),X(f)

là phổ của tín hiệu x(t),ta thấy phổ của nó phân bố giới hạn từ -fM

đến fM ,S(f) là phổ tương ứng của xung lấy mẫu s(t),Xs(f) là phổ

của tín hiệu sau khi lấy mẫu(Phổ của các mẫu).Như ta đã biết

phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu chính là phổ của tín hiệu tương

tự lặp tuần hoàn với chu kỳ lặp bằng chu kỳ lấy mẫu (Xs(f) (có

được bằng cách lấy X(f) lặp tuần hoàn với cu kỳ Ts).

Quan hệ giữa ngõ vào và ra của quá trình lấy mẫu: Xét trong miền thời gian:

Trong miền tần số:

Như vậy quá trình lấy mẫu tạo ra một tín hiệu có phổ rộng vô hạn từ tín hiệu có phổ hữu

hạn.

Hình vẽ 2.2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 2.2s s s

n

x t x t s t x nT t nT

1( ) ( ) ( ) ( ) : 2.3s s

ns

X f X f S f X f nfT

Hình vẽ 2.3

- 13 -



2.1.3 Định lý lấy mẫu

Xét một tín hiệu cần lấy mẫu là x(t) có phổ tương ứng là X(f) như hình vẽ 2.3,ta thấy phổ

của tín hiệu x(t) được phân bố hữu hạn từ -fM đến fM .Vấn đề đặt ra cho quá trình lấy mẫu là

làm sao tại đầu cuối ta khôi phục lại được tín hiệu ban đầu.Muốn khôi phục lại được x(t) quá

trình lấy mẫu phải chọn tần số lấy mẫu phù hợp.

Định lý lấy mẫu đưa ra câu trả lời mang tính định tính cho câu hỏi “Cách chọn tần số lấy

mẫu fs như thế nào cho phù hợp ?”.Định lý lấy mẫu cung cấp một tiêu chuẩn định lượng cho

quá trình lấy mẫu.Định lý Nyquits phát biểu:

Để có thể biểu diễn chính xác tín hiệu x(t) bởi các mẫu x(nTs) cần thỏa mãn hai điều kiện

sau:

Tín hiệu x(t) phải có băng thông hữu hạn(phổ phân bố hữu hạn:-fM đến fM).

Tần số lấy mẫu phải được chọn lớn hơn ít nhất hai lần tần số cao nhất fM của

x(t),tức là f s phải thỏa mãn điều kiện:

Hình vẽ 2.4 mô tả quá trình lấy mẫu tín hiệu x(t) với ba tần số lấy mẫu khác nhau:

Trường hợp a là tần số lấy mẫu được chọn lớn hơn 2fM (thỏa mãn định lý Nyquits),quan

sát ta thấy các phổ của x(t) lặp lại cách xa nhau(không chồng lấn:Alasing),do đó quá trình

khôi phục lại tín hiệu tương tự sẽ có được tín hiệu như mong muốn.Quá trình khôi phục lại

tín hiệu tương tự chính là dùng mạch lọc thông thấp (có đáp ứng tàn số tương ứng là

H(f)),việc khôi phục chính là dùng mạch lọc giữ lại thành phần phân bố từ -fs/2 đến fs/2.

Trường hợp b là tần số lấy mẫu được chọn đúng bằng 2fM,trương hợp này cũng không có

hiện tương chồng lấn phổ xảy ra,do đó quá trình khôi phục lại tín hiệu tương tự cũng có được

tín hiệu như mong muốn.

Trường hợp c là tần số lấy mẫu nhỏ hơn 2fM,quan sát phổ của nó ta thấy các phổ chồng lấn

lên nhau(hiện tượng chồng lấn phổ xảy ra:Aliasing),trong trường hợp này quá trình khôi

phục lại tín hiệu tương tự ta sẽ không có được tín hiệu như mong muốn.

Như vậy quá trình lấy mẫu phải tuân theo định lý lấy mẫu của Nyquist,định lý lấy mẫu đưa

ra giới hạn dưới của tần số lấy mẫu fs.

Ví dụ 2.1

2 : 2.4s Mf f

Hình vẽ 2.4

a.

b.

c.

- 14 -



Cho tín hiệu x(t) như sau,xác định giá trị tần số lấy mẫu hợp lý cho quá trình lấy mẫu tín

hiệu x(t):

Lời giải:

Ta xác định các thành phần tần số của x(t):

Thành phần tần số cao nhất của x(t) là:

Chọn tần số lấy mẫu fs thỏa mãn định lý lấy mẫu:

Như trình bày ở trên,định lý Nyquist đưa ra giới hạn dưới của tần số lấy mẫu,như vậy có

phải ta chọn tần số lấy mẫu càng lớn là càng tốt không?Không phải như thế.Tần số lấy mẫu

cũng có giới hạn trên,tần số giới hạn trên này phụ thuộc vào thời gian xử lý mỗi mẫu dữ

liệu(phụ thuộc vào tốc độ xử lý của phần cứng).Giới hạn trên của tần số lấy mẫu còn phụ

thuộc vào từng hệ thống,giả sử Tp là thời gian để hệ thống xử lý mỗi mẫu dữ liệu,fp = 1/Tp là

tốc độ xử lý mỗi mẫu,để cho giá trị các mẫu không chồng lên nhau thì giới hạn trên của tần

số lấy mẫu là:fP

Như vậy tầm tần số lấy mẫu cho quá trình lấy mẫu một tín hiệu x(t) có phổ giới hạn hữu

hạn trong khoảng [-fM đến fM] là :

Sau đây là tốc độ lấy mẫu đặc trưng cho một số ứng dụng thông dụng:

Ứng dụng fM fs

Thoại 4Khz 8Khz

Audio 20Khz 40Khz

Video 4Mhz 8Mhz

2.1.4 Hiện tượng chồng lấn phổ(Aliasing)

Khi tần số lấy mẫu không thỏa mãn định lý Nyquist,hiện tượng chồng lấn phổ sẽ xảy

ra,như trong trường hợp c ở hình vẽ 2.4,ta thấy thành phần tần số của phổ lặp ±fs chồng lấn

vào thành phần tần số trung tâm,như vậy tín hiệu tái lập sẽ không đúng.Xin giải thích thêm

cho hiện tượng này là các thành phần tần số khác nhau được biểu diễn bởi các mẫu giống

nhau,dẫn đến không phân biệt được và quá trình tái tạo tín hiệu tương tự từ các mẫu này sẽ bị

sai lệch.

Để hiểu rõ hơn ta xét ví dụ 2.2 dưới đây:

Ví dụ 2.2:

( ) 4 2 2 6 8 ;( )x t Cos t Cos t t ms

1 2 30 , 1 , 4f Khz f Khz f Khz

1 2 3, , 4Mf Max f f f Khz

2 4 8s Mf f Khz Khz

2 : 2.5M s pf f f

Hình vẽ 2.5

- 15 -



Cho hai tín hiệu có tần số lần lượt là 10Hz và 90 Hz được lấy mẫu với tần số lấy mẫu fs =

100Hz.Quá trình lấy mẫu sẽ cho tập mẫu như hình vẽ 2.5.

Quan sát tập mẫu có được ở trên ta thấy các giá trị mẫu của thành phần 10Hz và 90Hz là

trùng nhau,như vậy khi tái lập lại tín hiệu tương tự ta chỉ thu được thành phần 10Hz(thỏa

định lý lấy mẫu),còn thành phần 90Hz sẽ không tái tạo được(không thỏa định lý lấy mẫu) do

các mẫu của thành phần 90 Hz không phân biệt được với các mẫu của thành phần 10Hz.

Hiện tượng Aliase sẽ ảnh hưởng đến quá trình khôi phục lại tín hiệu tương tự.Ta xem xét

quá trình khôi phục lại tín hiệu tương tự với bộ khôi phục là mạch lọc thông thấp lý tưởng có

tần số cắt là fs/2(Hình vẽ 2.4),tần số khôi phục fai cho mỗi thành phần tần số fi nào đó là:

Giá trị m được chọn sao cho giá trị fai có được nằm trong khoảng Nyquist [-fs/2 đến fs/2].

Ví dụ 2.3:

Cho tín hiệu x(t) có hai thành phần tần số là f1 = 10Hz và f2 = 90Hz,tín hiệu này được lấy

mẫu với tần số là fs = 100Hz.

Hình vẽ 2.6 mô tả phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu:

Quan sát hình vẽ ta thấy khi dùng bộ lọc thông thấp có đáp ứng tần số lý tưởng từ [-fs/2

đến fs/2] làm bộ khôi phục tín hiệu tương tự,ta chỉ thu được thành phần tần số -10Hz và

10Hz. Theo công thức 2.6 ta có:

Ví dụ 2.4:

Cho tín hiệu x(t) = Sin200πt (t:giây).Xác định tín hiệu khôi phục cho hai trường hợp :

a. Tần số lấy mẫu fs = 100Hz.

b. Tần số lấy mẫu fs = 240Hz.

Giải:

a. Trường hợp này tần số lấy mẫu không thỏa định lý Nyquist:tần số tín hiệu x(t)

là 100Hz,để thỏa định lý Nyquist thì tần số lấy mẫu nhỏ nhất phải là 200Hz.

Ta có khoảng Nyquist là [-50Hz ÷ 50Hz]:

Tần số khôi phục(giả sử vấn đề khôi phục là lý tưởng):

Tín hiệu thu được sau khi khôi phục là:

mod ( 0, 1, 2, 3,....) : 2.6ai i s i sf f f f mf m

Hình vẽ 2.6

1 1 1mod 10mod100 10 0 100 10a s sf f f f mf Hz

2 2 2mod 90mod100 90 0 100 10a s sf f f f mf Hz

mod 100mod120 100 1 120 20a s sf f f f mf Hz

( ) in 2 40a ay t S f t Sin t

- 16 -



Như vậy tín hiệu khôi phục bị sai lệch do tần số lấy mẫu không thỏa định lý lấy mẫu.

b. Trường hợp này tần số lấy mẫu thỏa định lý Nyquist:

Ta có khoảng Nyquist là [-120Hz ÷ 120Hz]:

Tần số khôi phục:

Tín hiệu thu được sau khi khôi phục là:

Như vậy tín hiệu khôi phục đúng do tần số lấy mẫu thỏa định lý lấy mẫu. Ví dụ 2.5:

Cho tín hiệu âm thanh xa(t) như sau:

Tín hiệu được đưa qua hệ thống DSP như hình vẽ 2.7,bộ tiền lọc có đáp ứng biên độ-tần

số là |HPRE(f)|,bỏ qua ảnh hưởng của đáp ứng pha.

a. Xác định tín hiệu x(t).

b. Xác định tín hiệu khôi phục ya(t).

Giải:

Xác định tín hiệu x(t): Các thành phần tần số tín hiệu vào:

Tín hiệu ngõ ra bộ tiền lọc:

Xác định các suy hao biên độ tương ứng do bộ tiền lọc:

Vì f1,f2 < fs/2 = 20Khz nên:

240 2. 2 100 200sf Hz f Hz Hz

mod 100mod240 100 0 240 100a s sf f f f mf Hz

( ) in 2 200a ay t S f t Sin t

Hình vẽ 2.7

ya(t)

( ) 2 10 30 50 90 :ax t Cos t Cos t Cos t Cos t t ms

1 2 3 45 ; 15 ; 25 ; 45 ;f Khz f Khz f Khz f Khz

1 1 2 2 3 3 4 4( ) 2 ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 )x t H f Cos f t H f Cos f t H f Cos f t H f Cos f t

1 2( ) ( ) 1H f H f

- 17 -



Xác định |H(f3)| và |H(f4)|:

Khoảng cách từ f3 và f4 đến fs/2 theo Octave:

Từ công thức tính suy hao theo dB:

Mức suy hao so với dải thông (tính theo dB) tương ứng cho từng thành phần tần số:

Thay các giá trị tương ứng ta có được giá trị x(t):

Xác định tín hiệu khôi phục:

Khoảng Nyquist: [-20Khz÷20Khz]

Các thành phần tần số khôi phục tương ứng:

Thay giá trị vào ta có được tín hiệu khôi phục:

2.2 BỘ TIỀN LỌC(PRE-FILTER)

Mạch tiền lọc là một mạch lọc thông thấp được thêm vào trước mạch lấy mẫu nhằm lọc

bỏ các thành phần tần số tín hiệu dư thừa – những thành phần tần số lớn hơn fs/2 (giới hạn

phổ tín hiệu ngõ vào) để tránh hiện tượng chồng lấn phổ(Aliasing).

32 3 2 2 2

25log ( ) log ( / 2) log ( ) log ( ) 0.322

/ 2 20s

s

ff f octave

f

42 4 2 2 2

45log ( ) log ( / 2) log ( ) log ( ) 1.17

/ 2 20s

s

ff f octave

f

10

10

( )

20

20log ( ) ( )

( )log ( ) ;

20

( ) 10A dB

H f A dB

A dBH f

H f

19.3( )

203

70.3( )

4204

( ) 10 0.1084

( ) 10 3.09 10

dB

dB

H f

H f

4( ) 2 10 30 0.1084 50 3.09 10 90 :x t Cos t Cos t Cos t Cos t t ms

4

1 2 3 4( ) 2 2 2 0.1084 2 3.09 10 2 :a a a a ay t Cos f t Cos f t Cos f t Cos f t t ms

1 1

2 2

3 3

4 4

mod 5mod 40 5

mod 15mod 40 15

mod 52mod 40 15

mod 45mod 40 5

a s

a s

a s

a s

f f f Khz

f f f Khz

f f f Khz

f f f Khz

4( ) 2 10 30 0.1084 ( 30 ) 3.09 10 10 :

( ) 2.003 10 1.1084 30 :

a

a

y t Cos t Cos t Cos t Cos t t ms

y t Cos t Cos t t ms

- 18 -



2.2.1 Bộ tiền lọc lý tưởng:

Bộ tiền lọc lý tưởng là mạch lọc thông hấp lý tưởng có

tần số cắt là fs/2 (fs là tần số lấy mẫu),đáp ứng biên độ - tần

số của mạch lọc như hình vẽ 2.8.

Tín hiệu ngõ vào khi đi qua bộ tiền lọc,các thành phần tần

số lớn hơn fs/2 sẽ bị lọc bỏ hoàn toàn,các thành phần tần số

nhỏ hơn fs/2 được giữ nguyên, phổ của tín hiệu sau bộ lọc sẽ

được giới hạn trog khoảng Nyquist [-fs/2 ÷ fs/2].Như vậy tín

hiệu sau khi đi qua bộ tiền lọc được lấy mẫu với tần số

fs,phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu là phổ của tín hiệu sau bộ

tiền lọc lặp tuần hoàn với tần số fs và hiện tượng chồng lấn

phổ sẽ không xãy ra.

Hình vẽ 2.9 mô tả phổ của các tín hiệu trước khi và sau khi lấy mẫu(trước khi lấy mẫu được

lọc bởi bộ tiền lọc lý tưởng).

Quan sát hình vẽ ta thấy khi bộ tiền lọc là lý tưởng thì các thành phần tần số dư

thừa(không mong muốn) bị lọc bỏ hoàn toàn,phổ của tín hiệu trước khi lấy mẫu được giới

hạn theo đúng yêu cầu [-fs/2 ÷ fs/2],phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu không có chồng lấn.

2.2.2 Bộ tiền lọc thực tế:

Trong thực tế các đáp ứng của các bộ lọc không như lý tưởng,đáp ứng của bộ lọc thực tế

như hình vẽ 1.10.

Hình vẽ 2.8

Hình vẽ 2.9

- 19 -



Quan sát hình vẽ ta thấy đáp của bộ lọc thực tế khác so với đáp ứng của bộ lọc lý

tưởng,giữa dải thông và dải chặn có một vùng chuyển tiếp(bộ lọc lý tưởng không có vùng

chuyển tiếp này,giữa dải thông và dải chặn là dốc đứng).Như vậy khi bộ tiền lọc là bộ lọc

thực tế thì các thành phần tần số lớn hơn fs/2 không bị loại bỏ hoàn toàn mà chỉ bị làm suy

hao đi(mức độ suy hao phụ thuộc vào đáp ứng của bộ lọc:bộ lọc càng gần lý tưởng,tức có

vùng chuyển tiếp càng hẹp thì mức suy hao của thành phần tần số lớn hơn fs/2 càng

nhiều).Điều này có nghĩa khi dùng bộ tiền lọc là mạch lọc thông thấp thực tế thì hiện tượng

chồng lấn phổ vẫn xãy ra nhưng ở mức độ thấp.

Vấn đề đặt ra là chọn lựa các thông số của bộ lọc thực tế sao cho hiện tương chồng lấn

phổ được hạn chế ở mức thấp có thể chấp nhận được để có thể khôi phục lại được tín hiệu

tương tự.

Trước tiên ta chọn lựa tần số cắt dải thông fpass sao cho dải thông [-fpass ÷ fpass] chứa trong

tầm giá trị cần quan tâm(tầm tần số mong muốn)[-fM ÷ fM].

Tiếp theo chọn tần số cắt dải chặn fstop và suy hao dải chặn Astop sao cho tối thiểu ảnh

hưởng của hiện tượng aliasing:

Suy hao bộ lọc tính theo dB:

Trong đó f0 là tần số trung tâm của bộ lọc. Ví dụ 2.6:

Cho tín hiệu xa(t) có phổ như hình vẽ 2.11,tín hiệu được lấy mẫu ở tần số fs = 12Khz.Xác

định mức chồng lấn phổ cho các trường hợp:

a. Không dùng bộ tiền lọc.

b. Dùng bộ tiền lọc lý tưởng.

c. Dùng bộ tiền lọc thực tế có đáp ứng biên độ - tần số như hình vẽ 2.12.

d. Để mức chồng lấn phổ trong dải tần số quan tâm nhỏ hơn 50dB,ta chọn bộ tiền lọc

thực tế như thế nào?

Giải

: 2.7stop s passf f f

Hình vẽ 2.10

10

0

( )( ) 20log : 2.8

( )dB

H fA f

H f

- 20 -



a. Không dùng bộ tiền lọc:

Khi không dùng bộ tiền lọc phổ của tín hiệu xa(t) là Xa(f) được giữ nguyên và được lấy

mẫu,phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu là Xs(f),ta nhận thấy Xs(f) chính là Xa(f) lặp tuần hoàn

với tần số lặp là tần số lấy mẫu fs = 12Khz.

Hình vẽ 2.13 là phổ Xs(f):

Số Octave từ 8Khz đến vùng tần số quan tâm:

Mức chồng lấn phổ vào vùng tín hiệu quan tâm [-4Khz ÷ 4Khz] là:

b. Dùng bộ tiền lọc lý tưởng:

Bộ tiền lọc lý tưởng là mạch lọc thông thấp có

tần số cắt fcắt = fs/2 = 6Khz,như vậy khi qua bộ tiền

lọc tất cả các thành phần tần số của xa(t) lớn hơn

6Khz bị bộ tiền lọc lọc bỏ hoàn toàn,các thành phần

tần số nhỏ hơn 6Khz được giữ nguyên,phổ của tín

hiệu sau bộ tiền lọc như hình vẽ 2.14.

Tín hiệu sau khi qua bộ tiền lọc sẽ được lấy mẫu

với tần số 12Khz,phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu

được mô tả qua hình vẽ 2.15(Chính là phổ của tín

hiệu sau khi qua bộ tiền lọc lặp tuần hoàn với tần số lặp là 12Khz).

Hình vẽ 2.11 Hình vẽ 2.12

Hình vẽ 2.13

( 8 ) 1 ( 15 ) 15dB dB dBL A f Khz Octave A dB dB

2

8log ( ) 1

4

KhzOctave Octave

Khz

Hình vẽ 2.14

- 21 -



Quan sát hình vẽ 2.15 ta thấy không có hiện

tượng chồng lấn phổ,do đó mức chồng lấn phổ vào

vùng tín hiệu quan tâm [-4Khz ÷ 4Khz] là: LdB =

0dB.

c. Dùng bộ tiền lọc là bộ lọc thực tế:

Phổ của tín hiệu sau khi qua bộ tiền lọc là bộ lọc

thực tế có dạng như hình vẽ 2.17,phổ của tín hiệu

sau lấy mẫu như hình vẽ 2.18.

Mức chồng lấn phổ trong vùng tín hiệu quan tâm [-4Khz ÷ 4Khz] là:

d. Chọn bộ lọc cho mức suy hao nhỏ hơn 50dB:

Các thông số của mạch lọc:

Chọc tần số cắt dải thông: fpass = 4Khz.

Chọn tần số cắt dải chặn: fstop = fs – fpass = 12 – 4 =

8Khz

Chọn suy hao dải chặn Astop:

Ta có LdB = AdB(fstop) + Xa(fstop).

AdB(fstop) = LdB - Xa(fstop) =50dB – 15dB = 35dB.

Chọn bộ lọc có đáp ứng biên độ - tần số như hình vẽ 2.19.

2.3 LƢỢNG TỬ HÓA(QUANTIZATION)

Lượng tử hóa là quá trình xấp xĩ giá trị các mẫu(sau bộ lấy mẫu) thành các giá trị rời rạc

tương ứng theo một tỷ lệ.Mục đích là chuyển một tập các mẫu rời rạc có số giá trị rất lớn

thành một tập có số giá trị ít hơn.

Hình vẽ 2.18

Hình vẽ 2.15

Hình vẽ 2.17

( 8 ) 1 ( 55 ) 55dB dB dBL A f Khz Octave A dB dB

Hình vẽ 2.19

- 22 -



Trong hệ thống xử lý số tín hiệu,vị trí của khối lượng tử hóa trong quá trình biến đổi tín

hiệu tương tự sang tín hiệu số theo hình vẽ 2.20.Như vậy quá trình lượng tử nằm sau khối lấy

mẫu và trước khối mã hóa.

Có hai kiểu lượng tử hóa là kiểu làm tròn(Around) và kiểu cắt bớt(Truncation) như trong

hình vẽ 2.21.

Lượng tử hóa kiểu làm tròn:quá trình xấp xĩ giá trị lấy mẫu tương ứng về mức

lượng tử gần nhất(giá trị lượng tử có thể lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị lấy mẫu).

Lượng tử hóa kiểu cắt bớt:quá trình xấp xĩ giá

trị lấy mẫu về mức lượng tử nhỏ hơn gần

nhất(giá trị lượng tử luôn nhỏ hơn giá trị lấy

mẫu).

Đặc tính của bộ lượng tử hóa thể hiện qua quan hệ

giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ lượng tử.Quan hệ này có

thể là tuyến tính(bộ lượng tử tuyến tính) hay là phi

tuyến(bộ lượng tử phi tuyến).

Ví dụ 2.7:

Bộ lượng tử hóa đều(Uniform Quantizer),ba bit,quan hệ ngõ vào xs(t) và ra xsQ(t) trình

bày trong hình vẽ 2.22.

Bên trái là quá trình lượng tử lưỡng cực(tập giá trị lượng tử gồm các giá trị âm và giá trị

Hình vẽ 2.20

Hình vẽ 2.21

Dạng lưỡng cực Dạng đơn cực

Hình vẽ 2.22

- 23 -



dương).Bên phải là quá trình lượng tử đơn cực(tập giá trị lượng tử chỉ có giá trị dương hoặc

chỉ có giá trị âm).

Lượng tử đều là quá trình lượng tử mà khoãng cách giữa các mức lượng tử là như

nhau.Với bộ lượng tử hóa có tầm toàn thang R,biểu diễn B bit,quá trình lượng tử sẽ có 2B

mức lượng tử(Như ta thấy trong hình vẽ 2.22 là bộ lượng tử 3 bit thì có 23 = 8 mức lượng

tử).khoảng cách giữa hai mức lượng tử gọi là độ rộng lượng tử .Ngoài ra ta thấy giá trị

lượng tử thường sẽ sai khác so với giá trị mẫu tương ứng,sai lệch này gọi là sai số lượng tử

e(t),hay còn gọi là nhiễu lượng tử.

Ta có công thức tính độ rộng lượng tử:

Sai số lượng tử:

Hay :

Sai số lượng tử (Quantization Error) hay nhiễu lượng tử

(Quantization Noise) là biến ngẫu nhiên có phân bố

đều,được đặc trưng bằng sai số hiệu dụng:

Hình vẽ 2.24 thể hiện hàm xác suất sai số lượng tử p(e).Ta

có công thức thể hiện tỷ số tín hiệu trên nhiễu của bộ lượng tử như trong công thức 2.13.

Nhận xét:

Bộ ADC tăng một bit thì tỷ số SNR của bộ lượng tử tăng 6dB.

Số bit cho bộ ADC càng nhiều thì sai số cho nó càng nhỏ và ngược lại.

Tỷ số SNR không phụ thuộc vào biên độ tín hiệu. Ví dụ 2.8:

Hệ thống điện thoại số với tần số lấy mẫu cho thoại là fs = 8Khz,tín hiệu được mã hóa 8bit,giá trị

toàn thang R = 10.

Tính sai số lượng tử hiệu dụng và tốc độ bit của hệ thống.

Giải:

Sai số lượng tử hiệu dụng:

Tốc độ bit:

: 2.92B

R

( ) ( ) ( ) : 2.10sQ se t x t x t

: 2.11sQ se x x

2 : 2.1212

rmse e

Hình vẽ 2.24

6 ( ) : 2.13SNR B dB

2

8

/ 2 1011,3( )

12 12 2 12

B

rms

Re e mV

8( / ) 8( / sec) 64sBf bit sample sample kbps

- 24 -



2.4 KHÔI PHỤC TÍN HIỆU TƢƠNG TỰ

Quá trình khôi phục tín hiệu tương tự là quá trình chuyển dạng tín hiệu rời rạc sang dạng

tín hiệu tương tự tương ứng.Cách dễ hiểu nhất là nối các đỉnh của các mẫu rời rạc lại với

nhau ta nhận được tín hiệu hình bao là tín hiệu tương tự ở dạng thô.Thực tế là dùng mạch

lấy mẫu và giữ(sample and hold),mỗi mẫu được duy trì biên độ cho đến khi gặp mẫu kế

tiếp.Việc nối gần như ngang này (do sự xả điện của tụ điện)đường nối là hàm mũ giảm chậm

làm dạng sóng gồm các xung mẫu thành một hình bao có dạng gần giống với tín hiệu tương

tự biểu thị bởi x(nTs) tức là tín hiệu tương tự sau tiền lọc.Khi xem xét trong miền tần số là

loại bỏ bớt thành phần tần số cao do đó mạch khôi phục là mạch lọc thông thấp. Hình vẽ 2.25 trình bày quá trình khôi phục tín hiệu tương tự từ các mẫu rời rạc thu được:

Quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra:

Trong đó y(t) là tín hiệu rời rạc:

Thay vào ta có được:

2.4.1 Bộ khôi phục lý tưởng:

Mạch khôi phục là bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số HPOST(f) và đáp ứng xung

h(t) như hình vẽ 2.26.Như ta đã biết đáp ứng biên độ - tần số HPOST(f) của mạch lọc lý tưởng

Hình vẽ 2.25

' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 2.14ay t y t h t h t t y t dt

( ) ( )s s

n

y t y nT t nT

' ' '( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a s s

n

a s s

n

y t h t t y nT t nT dt

y t y nT h t nT

Hình vẽ 2.26

- 25 -



là một xung vuông nên đáp ứng xung h(t) tương ứng của mạch lọc là hàm sa. Quá trình khôi phục tín hiệu như sau:

Thể hiện trong miền thời gian:

Thể hiện trong miền tần số:

Hình vẽ 2.27 trình bày quá trình khôi phục tương ứng trong miền thời gian và miền tần số.

Trong thực tế một bộ khôi phục lý tưởng không thể tồn tại(không thể tạo ra mạch lọc thông thấp

có đáp ứng lý tưởng).Vì vậy trên thực tế người ta thay thế bộ khôi phục lý tưởng bằng bộ khôi phục

khác như bộ khôi phục bậc thang.

Bộ khôi phục bậc thang:

Bộ khôi phục bậc thang là bộ khôi phục tín hiệu tương tự đơn giản và thường được sử dụng trong

thực tế.Nó tạo ra tín hiệu hình bậc thang xấp xĩ với tín hiệu gốc.Đáp ứng xung và đáp ứng tần số

tương ứng của mạch khôi phục bậc thang như hình vẽ 2.28.

sin ( )( ) ( )

( )

s sa s

n s s

f t nTy t y nT

f t nT

( ) ( ) ( ) ( )a POSTY f H f Y f X f

Miền tần số Miền thời gian

Hình vẽ 2.27

Hình vẽ 2.28

Đáp ứng xung Đáp ứng tần số

- 26 -



Đáp ứng xung của bộ khôi phục bậc thang là xung h(t) có độ rộng tương ứng là Ts để lắp

đầy khoảng trống giữa hai mẫu tín hiệu rời rạc liên tiếp.

Ngõ ra của bộ khôi phục tuy có phẳng hơn tín hiệu lấy mẫu nhưng vẫn chứa các thành

phần tần số cao được tạo ra bởi sự thay đổi đột ngột giữa các bậc thang.Có thể thấy rõ điều

này khi biểu diễn tương ứng qua lại trong miền thời gian và miền tần số như trong hình vẽ

2.29.

Bên trái là tín hiệu bậc thang tại ngõ ra bộ khôi phục(biểu diễn trong miền thời gian),bên

phải là biễu diễn quá trình khôi phục thể hiện trong miền tần số.Phía trên là hình vẽ so sánh

đáp ứng tần số của bộ khôi phục lý tưởng và bộ khôi phục bậc thang.Với mạch khôi phục lý

tưởng,đáp ứng là xung vuông do đó ta giữ lại phổ trung tâm(không suy hao) và loại bỏ hết

thành phần tần số cao(các phổ lặp ở ±mfs bị lọc bỏ hoàn toàn).Ngược lại với bộ khôi phục

bậc thang có đáp ứng tần số là dạng hàm Sa do đó khi lọc thì ngoài việc giữ lại phổ trung

tâm(phổ chính,có suy hao) còn có thêm một phần các thành phần phổ lặp được giữ lại(tần số

càng cao thì biên độ càng giảm).Như vậy bộ khôi phục bậc thang không loại bỏ hoàn toàn

thành phần phổ lặp như bộ khôi phục lý tưởng.

2.4.2 Bộ hậu lọc(Post-Filter)

Khi dùng bộ khôi phục là bộ khôi phục bậc thang,một phần các thành phần phổ lặp chưa

được loại bỏ hoàn toàn,để loại bỏ các thành phần này phía sau bộ khôi phục bậc thang

thường có các bộ hậu lọc(là mạch lọc thông thấp) với tần số cắt là tần số Nyquist(fs/2).

Khi xem xét trong miền thời gian,tác dụng của bộ hậu lọc là các góc của tín hiệu y(t) dạng

bậc thang được nắn lại cho phẳng thành tín hiệu ya(t),như ta thấy trong hình vẽ 2.30.

Khi xem xét trong miền tần số bộ hậu lọc là mạch lọc thông thấp sẽ giữ lại thành phần

phổ trung tâm [-fs/2÷ fs/2],các thành phần tần số cao(các phổ lặp còn lại) sẽ bị lọc bỏ hoàn

toàn như ta quan sát trong hình vẽ 2.31.

Như vậy quá trình khôi phục tín hiệu tương tự khi dùng bộ khôi phục lý tưởng là không

thực tế.Thực tế ta dùng bộ khôi phục bậc thang kết hợp với bộ hậu lọc thì tín hiệu tương tự

thu được gần giống như kết quả dùng bộ khôi phục lý tưởng.

( ) ( ) ( )sh t u t u t T

Hình vẽ 2.29

- 27 -



Trong một số ứng dụng để tăng chất lượng của các bộ ADC và DAC ta thường dùng thêm

các bộ cân bằng(Equalizer) như sơ đồ trong hình vẽ 2.32.

2.5 CÁC BỘ BIẾN ĐỔI ADC VÀ DAC

2.5.1 Bộ chuyển đổi DAC B bit:

Sơ đồ bộ chuyển đổi DAC B bit như trong hình vẽ 2.33:

Ngõ vào là B bit 0 hoặc 1 B =[b1(MSB),b2,……,bB(LSB)],bộ chuyển đổi cho ngõ ra có giá trị

xQ là một trong 2B mức lượng tử trong toàn thang R.Có các dạng chuyển đổi ngõ ra,nếu là

đơn cực thì xQ thuộc tầm [0†R],nếu là lưỡng cực thì xQ thuộc tầm [-R/2÷R/2].

Dạng nhị phân đơn cực(Unpolar Natural Binary): Ví dụ 2.8

Khi ngõ vào là [0,0,0,……,0] thì ngõ ra của bộ DAC là xQ = 0V(Voltage).

Khi ngõ vào là [0,0,0,….,0,1] thì ngõ ra của bộ DAC là xQ = R×2-B

= QV(Voltage).

Hình vẽ 2.33

Hình vẽ 2.30

Hình vẽ 2.31

Hình vẽ 2.32

- 28 -



Dạng nhị phân lưỡng cực(Polar Offset Binary):

Dạng bù 2(Two’scomplement:lấy bù bit có trọng số lớn nhất):

Ví dụ 2.9

Một bộ chuyển đổi DAC 4 Bit (B = 4),R = 10V,dữ liệu b = [1 0 0 1],xác định giá trị ngõ ra

xQ cho các dạng chuyển đổi DAC. Giải:

Dạng nhị phân đơn cực:

Dạng Offset lưỡng cực:

Dạng bù 2:

2.5.2 Bộ chuyển đổi ADC

Sơ đồ khối bộ chuyển đổi ADC B bit ngõ ra như hình vẽ 2.34:

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

[ 2 2 2 ...... 2 ]

10[1 2 0 2 0 2 1 2 ]

10[0.5 0 0 0.0625] 5.625

B

Q Bx R b b b b

V

1 2 3

1 2 3[ 2 2 2 ...... 2 0.5]B

Q Bx R b b b b

1 2 3

1 2 3[ 2 2 2 ...... 2 0.5]B

Q Bx R b b b b

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

[ 2 2 2 ...... 2 0.5]

10[1 2 0 2 0 2 1 2 0.5]

10[0.5 0 0 0.625 0.5] 0.625

B

Q Bx R b b b b

V

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

[ 2 2 2 ...... 2 0.5]

10[0 2 0 2 0 2 1 2 0.5]

10[0 0 0 0.625 0.5] 4.375

B

Q Bx R b b b b

V

Hình vẽ 2.34

Hình vẽ 2.35

- 29 -



Nguyên tắc của bộ ADC bên trong thường có các mạch so sánh,nguyên tắc mạch so sánh

xin được nhắc lại như trong hình vẽ 2.35:

Có nhiều dạng biến đổi ADC:

ADC kiểu so sánh song song:

Bộ ADC kiểu so sánh song song có sơ đồ như hình vẽ 2.36:

Ngõ vào bộ ADC là các mạch cầu phân áp tạo ra các ngưỡng điện áp so sánh,tiếp đến là

các bộ so sánh(các mạch Op-Amp),ngõ ra các bộ so sánh được đưa vào mạch mã hóa(2n ngõ

vào n ngõ ra),tương ứng một tổ hợp giá trị ngõ vào ngõ ra mạch tổ hợp cho ra một từ mã nhị

phân n bit tương ứng.Bảng sự thật cho mạch mã hóa như trong bảng 2.1.

ADC kiểu đếm:

Sơ đồ bộ ADC kiểu đếm như trong hình vẽ 2.37:

0: _1OutU U U U Logic

0: _ 0OutU U U U Logic

Hình vẽ 2.36

Bảng 2.1

- 30 -



ADC kiểu đếm gồm có bộ so sánh ngõ vào để so sánh giá trị điện áp tương tự ngõ vào với

điện áp ngõ ra của bộ DAC,bộ DAC có nhiệm vụ biến đổi giá trị số nhị phân tương ứng từ

mạch đếm thành một điện áp tương tự

tương ứng.Mạch đếm sẽ đếm liên tục khi

được cấp xung Clock,Xung Clock được

cấp khi ngõ ra bộ so sánh là mức Logic

0(Điện áp ngõ ra bộ DAC vẫn còn thấp hơn

điện áp tương tự ngõ vào).Mạch đếm sẽ

ngưng đếm(giá trị nhị phân tương ứng của

bộ đếm cũng chính là giá trị số được biến

đổi tương ứng từ điện áp tương tự ngõ vào)

khi ngõ ra bộ so sánh là Logic1(xung

Clock được ngưng cung cấp cho mạch

đếm),ngõ ra bộ so sánh cho ra mức Logic 1 khi điện áp ra của bộ DAC bằng hoặc lớn hơn

điện áp tương tự ngõ vào.Ngõ ra bộ DAC như trong hình vẽ 2.38. Ví dụ 2.10

Hình vẽ 2.37

Hình vẽ 2.38

- 31 -



Một bộ ADC 4 bit được thiết kế như trong hình vẽ 2.39.Ngõ vào là mạch so sánh dùng

Op_Amp,ngõ ra bộ so sánh được đưa vào RS-FF để tạo ra tín hiệu điều khiển mở xung Clock

tác động đến mạch đếm nhi phân 4 Bit(74LS93),ngõ ra mạch đếm là ngõ ra số tương ứng

Hình vẽ 2.39

Hình vẽ 2.40

- 32 -



đồng thời cũng được đưa vào mạch DAC 4 Bit để tạo ra một điện áp tương ứng so sánh với

điện áp tương tự ngõ vào.

ADC kiểu so sánh liên tục:

Sơ đồ mạch ADC kiểu so sánh liên tục như trong hình vẽ 2.40:

Mạch điều khiển có nhiệm vụ điều khiển để mạch đếm đếm thuận hay đếm nghịch,mạch đếm

thuận khi ngõ ra DAC nhỏ hơn điện áp tương tự đưa vào,ngược lại mạch đếm được điều

khiển đếm ngược khi ngõ ra bộ DAC lớn hơn giá trị điện áp tương tự đưa vào.Xung Clock

cung cấp liên tục cho bộ đếm.Ngõ ra của bộ đếm khi ngưng đếm là giá trị số xấp xĩ tương

ứng với điện áp tương tự ngõ vào.

Ví dụ một mạch ADC 4 Bit kiểu so sánh liên tục như trong hình vẽ 2.41.

Hình vẽ 2.41

Hình vẽ 2.42

- 33 -



Vi mạch 74LS193 là mạch đếm nhị phân,đếm thuận nghịch,khi xung Clock cấp vào CPU

và CPD = 1 thì đếm thuận,Xung Clock vào CPP và CPU = 1 thì đếm ngược.

ADC kiểu xấp xĩ liên tục:

Sơ đồ mạch ADC xấp xĩ liên tục như trong hình vẽ 2.42:

Tất cả các thanh ghi trong thanh ghi được khởi động giá trị [0,0,…..,0].Lần lượt các bit

được bật lên để kiểm tra bắt đầu từ b1(MSB) .Trong mỗi lần bật bit,thanh ghi gởi giá trị sang

bộ DAC để tạo ra một giá trị xQ.Bộ so sánh sẽ xác định ngõ ra c tương ứng là 0 hay 1,nếu c

=1 thì bit vừa bật được giữ nguyên,ngược lại bit trở về 0.Sau B lần kiểm tra thanh ghi giữ

giá trị đúng b=[b1,b2,…….,bB] gởi đến ngõ ra. Ví dụ 2.11

Bộ ADC xấp xĩ liên tiếp tầm toàn thang là R = 10V,mã hóa B = 4bit,lượng tử hóa kiểu cắt

bớt,DAC là dạng nhị phân Offset.Xác định giá trị ngõ ra khi mẫu vào là x = 3.5V. Giải:

Ta có bảng hoạt động như trong bảng 2.2:

Kiểu DAC nhị phân Offset:

Lần lượt bật và Test các bit:

giữ nguyên giá trị bit b1: b1 =1.

giữ nguyên giá trị bit b2: b2 =1.

bật giá trị bit b3 về 0: b3 =0.

giữ nguyên giá trị bit b4: b4 =1.Giá trị đúng là B = [1 1 0 1] được thanh ghi gởi đến ngõ

ra bộ ADC.

Bảng 2.2

1 2 3

1 2 3[ 2 2 2 ...... 2 0.5]B

Q Bx R b b b b

11000: 10[1 2 0 0 0 0.5] 0 3.5QB x

1 21100: 10[1 2 1 2 0 0 0.5] 2.5 3.5QB x

1 2 31110: 10[1 2 1 2 1 2 0 0.5] 3.75 3.5QB x

1 2 41110: 10[1 2 1 2 0 1 2 0.5] 3.125 3.5QB x

- 34 -



BÀI TẬP CHƢƠNG 2:

LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU.

2.1 Vẽ hai tín hiệu Sine tương tự có tần số 20Hz và 100Hz,tín hiệu được lấy mẫu với tần số là

120Hz.

a. Tín hiệu khôi phục từ các mẫu là tín hiệu gì?

b. Lặp lại câu hỏi a với tần số lấy mẫu là 220Hz.

2.2 Một mạch ADC lấy mẫu tín hiệu ở tốc độ một mẫu trên mỗi 10µs,Tìm tần số tín hiệu

tương tự cao nhất mà khi được lấy mẫu không có hiện tượng chồng lấn phổ xảy ra.

2.3 Xem sóng ngang âm thanh dao động theo hình Sine ở tốc độ 1000radian/m (biến thiên

theo không gian thay vì biến thiên theo thời gian).Tìm khoảng lấy mẫu tối đa để có thể khôi

phục lại dao động ban đầu từ các mẫu thu được tương ứng.

2.4 Các tín hiệu sau có gây ra hiện tương chồng lấn phổ không khi lấy mẫu với tốc độ tương

ứng là 100 mẫu /s: 10 ; 320 ; 400 ;Sin t Cos t Cos t

2.5 Tìm các tần số sẽ gây ra hiện tương chồng lấn phổ khi tần số lấy mẫu tương ứng là 10

mẫu/s:

a) 0.4Cos t

b) 0.6Sin t

c) 0.8Sin t

d) in1S t

2.6 Cho tín hiệu tương tự x(t) như sau: ( ) 4 2 4 6 2 12 ;( )x t Sin t Sin t Sin t t s

Được lấy mẫu ở tần số 5Hz,tìm tín hiệu khôi phục từ các mẫu thu được.

Lặp lại với tần số lấy mẫu là 10Hz.

2.7 Cho tín hiệu tương tự x(t) như sau: ( ) 3 8 2 4 6 ;( )x t Cos t Cos t Cos t t s

Được lấy mẫu ở tần số 5Hz,tìm tín hiệu khôi phục từ các mẫu thu được.

Lặp lại với tần số lấy mẫu là 9Hz.

2.8 Tín hiệu tương tự x(t) như sau: ( ) 6 [1 2 4 ];( )x t Sin t Cos t t ms

Tín hiệu được lấy mẫu với tần số 4Khz,Xác định tín hiệu khôi phục(Giả sử quá trình

khôi phục là lý tưởng).

2.9 Xem tín hiệu âm thanh như sau:

( ) 10 20 60 90 ;( )ax t Sin t Sin t Sin t Sin t t ms

Tín hiệu trên được đưa qua bộ tiền lọc có đáp ứng tần số là

H(f),sau đó được lấy mẫu với tần số tương ứng là

40Khz.Các mẫu sau đó được đưa qua mạch khôi phục lý

tưởng.Xác định tín hiệu khôi phục được cho các trường hợp:

a. Khi không dùng bộ tiền lọc( tức là H(f) = 1).

b. Khi bộ tiền lọc là mạch lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt là fs = 20Khz.

c. Khi bộ tiền lọc là mạch lọc thực tế có đáp ứng như hình vẽ 2.9.

Hình vẽ bài tập 2.9

- 35 -



2.10 Khoảng tần số quan tâm trong tín hiệu tiếng nói là [0; 3.4 Khz]. Bên ngoài khoảng

này tín hiệu suy giảm α dB/decade.Tín hiệu này được đưa qua bộ tiền lọc có đáp ứng phẳng

đến fM = 3.4khz, rồi suy giảm β dB/decade. Hãy chứng tỏ rằng, để mức chồng lấn phổ vào

dải tần quan tâm nhỏ hơn A dB thì tốc độ lấy mẫu tối thiểu là:

fs = fM+10A/(α+β)

fM. 2.11 Một tín hiệu tương tự có dải tần quan tâm [0,20Khz]. và có phổ được mô tả như sau :

Tín hiệu được lấy mẫu ở tốc độ fs. Người ta muốn mức chồng lấn phổ vào dải tần

quan tâm phải nhỏ hơn 60 dB. Hãy xác định giá trị của fs để thỏa mãn yêu cầu trên nếu không

dùng bộ tiền lọc.

2.12 Một tín hiệu tương tự sau khi qua bộ tiền lọc được lấy mẫu ở tốc độ fs = 8 Khz. Tín

hiệu số sau đó được lọc dùng bộ lọc số thông thấp lý tưởng fc = 1 Khz. Tín hiệu số ngõ ra

được đưa đến mạch khôi phục hình thang rồi đến bộ hậu lọc. Hãy xác định các thông số của

bộ hậu lọc để mức phổ ảnh được giảm ít hơn 40 dB.

8

1| ( ) | , :

1 0.1aX f f Khz

f

- 36 -



Chƣơng 3

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC Mục đích:

Các khái niệm cơ bản về tín hiệu.

Phân loại tín hiệu rời rạc.

Các phép toán cơ bản đối vói tín hiệu rời rạc.

Hệ thống xử lý thời gian rời rạc.

Phân loại hệ thống rời rạc.

Các phương pháp biểu diễn hệ thống thời gian rời rạc.

3.1 TÍN HIỆU RỜI RẠC

3.1.1 Khái niệm

Xét trong miền thời gian tín hiệu chia làm hai loại là tín hiệu liên tục(tín hiệu tương tự) và

tín hiệu rời rạc.

Tín hiệu liên tục:là tín hiệu có giá trị xác định tại mọi thời điểm và các giá trị của tín

hiệu là liên tục trong một khoảng thời gian [a,b].a và b có thể tiến đến ∞.

Ví dụ tín hiệu điều hòa x(t) = 220Cos100πt(s) là tín hiệu liên tục và có giá trị xác định trong

khoảng [-∞,+∞].

Tín hiệu rời rạc:tín hiệu rời rạc theo thời gian gọi tắt là tín hiệu rời rạc là tín hiệu chỉ có

giá trị tại những thời điểm thời gian rời rạc.Các khoảng thời gian này có thể không đều nhau

nhưng để thuận tiện cho việc biểu diễn cũng như việc tính toán thì các khoảng thời gian là

đế nhau.

Ví dụ3.1 : nt

n etx

)( ,víi n = 0, 1, 2,… là tín hiệu rời rạc theo thời gian.

Nếu ta sử dụng các chỉ số n tại các điểm rời rạc thời gian là các biến độc lập thì tín hiệu

rời rạc trở thành hàm của các biến nguyên (là một dãy các số). Vì vậy tín hiệu rời rạc theo

thời gian có thể được biểu diễn toán học bằng một dãy thực hoặc dãy số phức. Để nhấn

mạnh bản chất rời rạc theo thời gian của tín hiệu, có thể coi tín hiệu x(n) thay thế cho x(t).

Nếu các khoảng cách thời gian như nhau thì coi tn=nT

Ví dụ 3.2:

Hình vẽ 3.1

- 37 -



onkhi

onkhi

nx

n

0

8,0

)(

3.1.2 Các phương pháp biểu diễn tín hiệu rời rạc

Ta đã biết tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm của một biến số nguyên độc lập (biến thời

gian).

Biểu diễn bằng đồ thị

Trên đồ thị biểu diễn, tín hiệu không tồn tại ở các thời điểm giữa các mẫu (hình

3.2), tín hiệu x(n) luôn bằng không khi biến độc lập n không phải là số nguyên.

Các tín hiệu x(n) có được bằng cách lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t):

)()( nTxnx a với T là chu kỳ lấy mẫu (khoảng thời gian giữa các mẫu)

Giá trị của x(n) chính là giá trị của xa(t) tại các thời điểm t=nT

Biểu diễn bằng hàm số

Tín hiệu cho dưới dạng hàm x(n) nhận các giá trị tương ứng với các giá trị biến n

có dạng như ví dụ sau:

Biểu diễn bằng bảng

Tín hiệu x(n) cho dưới dạng bảng giá trị tương ứng với các giá trị biến n

Ví dụ 3.3:

Biểu diễn bằng dãy

Dãy tín hiệu thời gian vô hạn, có gốc thời gian n=0 được chỉ ra bằng ký hiệu

Ví dụ 3.4:

0

43

2,11

)( nkhi

nkhi

nx

Trong các trường hợp khác

Hình vẽ 3.2

- 38 -



Dãy có các giá trị x(n)=0 khi n<0:

Dãy thời gian hữu hạn

Ví dụ3.5:

Dãy thời gian hữu hạn có giá trị x(n)=0 khi n<0:

3.1.3 Một số tín hiệu rời rạc cơ bản

a) Tín hiệu xung đơn vị (n):

Là tín hiệu chỉ bằng 1 tại thời điểm n = 0 và bằng 0 tại mọi thời điểm n khác(còn gọi là

tín hiệu mẫu đơn vị).

Tín hiệu được biểu điễn bằng biểu thức toán và đồ thị như trong hình vẽ 3.3:

b) Tín hiệu bước nhảy đơn vị u(n):

Là tín hiệu có giá trị bằng 1 khi n ≥ 0,còn lại tín hiệu có giá trị bằng 0 khi n < 0.Tín hiệu

được biểu điễn bằng biểu thức toán và đồ thị như trong hình vẽ 3.4:

c) Tín hiệu xung chữ nhật recN(n):

Là tín hiệu có giá trị 1 khi 0 ≤ n ≤ N,còn lại tín hiệu có giá trị bằng 0. Tín hiệu được biểu

điễn bằng biểu thức toán và đồ thị như trong hình vẽ 3.5.

Hình vẽ 3.3

Hình vẽ 3.4

- 39 -



1: 0

( ) 00:

khi n N

x n nkhi

n N

d) Hàm dốc đơn vị r(n):

Là tín hiệu có giá trị bằng n khi n ≥ 0,hàm có giá trị bằng 0 khi n < 0.Tín hiệu được biểu

diễn bằng biểu thức toán học và đồ thị như trong hình vẽ 3.6.

e) Tín hiệu hàm mũ thực:

Tín hiệu được biểu diễn bằng công thức toán và đồ thị như trong hình vẽ 3.7.

Hình vẽ 3.5

1

3

2

3

Hình vẽ 3.6

Hình vẽ 3.7

( ) ,nx n a n

- 40 -



3.1.4 Phân loại tín hiệu rời rạc

a. Tín hiệu năng lượng:

Tín hiệu năng lượng là tín hiệu có năng lượng Ex hữu hạn(Xác định hữu hạn).Nghĩa

là:

2( )x

n

E x n

Chú ý |x(n)|2 là bình phương biên độ của tín hiệu x(n).

Ví dụ3.5: Cho tín hiệu x(n) theo công thức toán sau,cho biết tín hiệu này có phải là tín hiệu năng

lượng không:

1: 0;

( ) 3

2 : 0;

n

n

nx n

n

Giải: 2

21 122 2

0 0

2 21 02 2

0 0

2 2

0 0 0 0

1 1( ) 2 2

3 3

1 12 1 1 2 1

3 3

1 1 1 1 11 1

2 3 4 9 1 1 / 4

n n

n n

x

n n n n n

n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n

E x n

1 351

1 1 / 9 24

Như vậy tín hiệu x(n) là tín hiệu năng lượng vì có năng lượng tính được là 35/24 là môt

giá trị xác định hữu hạn.

b. Tín hiệu công suất:

Tín hiệu công suất là tín hiệu có công suất trung bình Px là một giá trị xác định hữu

hạn.Nghĩa là:

21( )

2 1lim

N

xN n N

P x nN


lượng không: 0( )j n

x n Ae

.

Giải:

022

2 2 2

1 1( )

2 1 2 1

1 2 1

2 1 2 1

lim lim

lim lim

N Nj n

xN Nn N n N

N

N Nn N

P x n AeN N

NA A A

N N

- 41 -



Vậy tín hiệu x(n) trên là tín hiệu công suất.


lượng không: ( ) ( )x n u n .

Giải:

2 2

0

2

0

1 1( ) ( )

2 1 2 1

1 1 11

2 1 2 1 2

lim lim

lim lim

N N

xN Nn N n

N

N Nn

P x n u nN N

N

N N

Vậy tín hiệu x(n) = u(n) là tín hiệu công suất.

Công suất và năng lượng một số tín hiệu cơ bản:

Tín hiệu Ex Px Loại tín hiệu

(n) 1 0 Năng lượng

U(n) ∞ 1/2 Công suất

Aejn ∞ A

2 Công suất

Xin cung cấp công thức tính tổng một số chuỗi thường gặp:

c. Tín hiệu tuần hoàn:

Tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn nếu x(n) thõa công thức sau:

( ) ( ) :x n x n N n

Có nghĩa là tín hiệu x(n) sẽ lặp lại sau mỗi N mẫu.Trong đó N gọi là chu kỳ lặp cơ bản

của tín hiệu x(n).Tín hiệu x(n) sẽ lặp lại tai 2N,3N,…..

Nếu không tồn tại một số N nguyên thõa điều kiện ( ) ( ) :x n x n N n thì tín hiệu

x(n) không phải là tín hiệu uần hoàn.

Ví dụ3.8: Cho tín hiệu x(n) = Cos(0.125πn),tín hiệu trên có phải là tín hiệu tuần hoàn không?

Giải: Ta có x(n) = Cos(0.125πn) = Cos(nπ/8) = Cos(nπ/8 + 2π) = Cos[π (n+16)/8]

Vậy N = 16,có nghĩa là tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 16.

d. Tín hiệu chẵn – lẻ:

- 42 -



Tín hiệu x(n) được gọi là tín hiệu chẵn nếu x(n) = x(-n) với mọi n.Ngược lại nếu x(n) = -x(-n)

thì x(n) là tín hiệu lẻ.

Tín hiệu chẵn khi biểu diễn bằng đồ thị sẽ đối xứng qua trục tung,tín hiệu lẻ sẽ đối xứng nhau

qua gốc tọa độ.

Ví dụ3.8:

Tín hiệu x(n) = (n) là tín hiệu chẵn vì (n) = (-n) với mọi n.

Tín hiệu x(n) = Sign(n) là tín hiệu lẻ vì Sign(n) = - Sign(-n).

3.1.5Các phép xử lý lý trên tín hiệu rời rạc

a) Phép dịch:

Phép dịch hay còn gọi là phép dời tín hiệu được định nghĩa như sau:

Cho một tín hiệu x(n),phép dịch tín hiệu x(n) đi n0 thời điểm là x(n – n0),trong đó nếu n0 <

0 thì phép dịch thực hiện về bên trái(làm sớm), nếu n0 > 0 thì phép dịch thực hiện về bên

phải(làm trễ).

Ví dụ3.9: Cho tín hiệu x(n) và phép dịch phải tín hiệu x(n) theo n0 = 2 > 0 là x(n-2) như hình vẽ 3.8

a:

Hình vẽ 3.8a

Tín hiệu lẻ

Tín hiệu chẵn

- 43 -



Ta có tín hiệu dịch trái hai thời điểm (n0 = -2 < 0) của x1(n) là x1(n+2) như trong hình vẽ

3.8b

b) Phép lập tỷ lệ thời gian.

Cho tín hiệu x(n),y(n) = x(Mn) là phép lập tỷ lệ thời gian đối với tín hiệu x(n),trong đó M

là một số dương.

Ví dụ3.9: Cho tín hiệu x(n) và phép lập tỷ lệ theo M = 2 và M = ½ đối với x(n) như trong hình vẽ

3.10:

c) Phép cộng.

Phép cộng hai tín hiệu là cộng từng mẫu tương ứng với nhau(cộng cùng thời điểm).

1 2( ) ( ) ( )x n x n x n

Ví dụ3.10: Cho hai tín hiệu x1(n) = [1,2,0,4

0,6,0,5 ] và x2(n) = [3,2,1

0,1,3,1,0 ],tìm tín hiệu x(n) là

tổng(cộng) của hai tín hiệu x1(n) và x2(n).

Giải: x(n) = x1(n) + x2(n) = [1,4,2,5

0,7,3,6,0 ].

Ví dụ3.11:

Hình vẽ 3.10

Hình vẽ 3.8b

- 44 -



Cho hai tín hiệu x1(n) = [0,1,20,3,4,0 ] và x2(n) = [0,2

0,3,4,5,],tìm tín hiệu x3(n) là

tổng(cộng) của hai tín hiệu x1(n) và x2(n).

Giải: Biểu diễn bằng đồ thị như trong hình vẽ 3.11 và 3.12:

Theo dạng dãy số như sau:

0 0

1 2

0

3 1 2

( ) 0,1,2 ,3,4,0& ( ) 0,2 ,3,4,5,0;

( ) ( ) ( ) 0,1,4 ,6,8,5,0;

x n x n

x n x n x n

d) Phép nhân.

Nhân tín hiệu với một hằng số:

Phép nhân một tín hiệu với một hằng số là lấy giá trị từng mẫu của tín hiệu nhân tương

ứng với hằng số.Như vậy ta thấy việc nhân một tín hiệu với một hằng số nào đó khi xét trong

lĩnh vực xử lý tín hiệu việc này tương đương với việc khuếch đại tín hiệu.

Ví dụ3.12: Cho hai tín hiệu x1(n) = [0,1,2

0,3,4,0 ] và x3(n) = 2.x1(n),tìm tín hiệu x3(n).

Giải: Ta có kết quả theo dạng chuỗi số:

Kết quả biểu diễn bằng đồ thị như hình vẽ 3.13:

Hình vẽ 3.11

Hình vẽ 3.12

0

1

0

3 1

( ) 0,1,2 ,3,4,0

( ) 2 ( ) 0,2,4 ,6,8,0;

x n

x n x n

- 45 -



Nhân hai tín hiệu:

Phép nhân hai tín hiệu là lấy từng mẫu tương ứng của hai tín hiệu nhân với nhau.

Ví dụ3.13: Cho hai tín hiệu x1(n) = [0,1,2

0,3,4,0 ] và x2(n) = [0,2

0 ,3,4,5],tìm tích x3(n) của hai tín

hiệu.

Giải: Kết quả theo dạng chuỗi số:

Kết quả theo dạng đồ thị như hình vẽ 3.14:

e) Phép gấp(đảo):

Phép toán thực hiện việc thay thế n bằng –n gọi là phép gấp hay phép đảo tín hiệu.Có

nghĩa la y(n) = x(-n) là phép gấp của tín hiệu x(n).

Hình vẽ 3.13

0 0

1 2

0

3 1 2

( ) 0,1,2 ,3,4,0& ( ) 0,2 ,3,4,5,0;

( ) ( ) ( ) 0,4 ,9,16,0;

x n x n

x n x n x n

Hình vẽ 3.14

- 46 -



Khi biểu diễn bằng đồ thị,phép gấp là việc lấy trục tung làm trục đối xứng,sau đó gấp

bên trái qua phải và bên phải gấp qua bên trái.

Ví dụ3.14: Cho tín hiệu x1(n) và x1(-n) gấp của x(n) như trong hình vẽ 3.15.Như vậy ta thấy x1(n)

cũng là gấp của x1(-n).

3.2 HỆ THỐNG RỜI RẠC

3.2.1 Khái niệm.

Hệ thống rời rạc thời gian thường được gọi là bộ xử lý tín hiệu số: quá trình xử lý có thể

là do phần cứng,phần mềm hoặc kết hợp cả hai.

Hệ thống thời gian rời rạc nhận tín hiệu vào là x(n), hệ thống tác động (xử lý) đưa ra

ngõ ra tín hiệu y(n)

Sơ đồ khối mô tả hệ thống xử lý thới gian rời rạc như trong hình vẽ 3.16.Tín hiệu vào

còn gọi là kích thích ngõ vào của hệ thống,tín hiệu ngõ ra còn gọi là đáp ứng ngõ ra của hệ

thống.

Hình vẽ 3.15

Hình vẽ 3.16

- 47 -



3.2.2 Mô tả hệ thống rời rạc.

Có nhiều phương pháp để mô tả hệ thống xử lý thời gian rời rạc:dùng phương trình

toán,dùng sơ đồ khối(thông qua các khối xử lý cơ bản)…

a) Biểu diễn hệ thống bằng phương trình tín hiệu vào-ra(phương trình I/O)

Một phương trình toán mô tả quan hệ giữa tín hiệu ngõ vào với tín hiệu ngõ ra gọi

phương trình tín hiệu vào ra của hệ thống(Phương trình I/O: Input - Output).Như vậy phương

trình I/O thể hiện quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống.Có nghĩa là khi một hệ thống

được biểu diễn bởi phương trình I/O thì dựa vào phương trình I/O này ta có thể xác định

được tín hiệu ra khi cho tín hiệu vào mà không cần quan tâm đến cấu trúc vật lý bên trong

của hệ thống.

Thường phương trình I/O được biểu diễn trong miền thời gian,nhưng dựa vào phương

trình trong miền thời gian này ta có thể đưa ra các phương trình quan hệ trong miền khác dựa

vào các phép biến đổi tương ứng.

Ví dụ3.15: Một số hệ thống nhân đôi được cho như trong hình vẽ 3.17:

Hệ thống H có xử lý là lấy tín hiệu ngõ vào nhân tương ứng cho hằng số “2”,phương trình

I/O mô tả hệ thống nhân đôi là:

Ví dụ3.16: Hệ thống xử lý rời rạc được mô tả như hình vẽ 3.18:

Hình vẽ 3.17

( ) 2 ( )y n x n

Hình vẽ 3.18

- 48 -



Quan sát hình vẽ ta thấy tín hiệu ngõ vào bị tác động bởi hệ thống làm dịch phải(dời phải)

2 thời điểm.Có nghĩa là tín hiệu ngõ ra dịch phải 2 thời điểm(làm trễ) so với tín hiệu ngõ vào.

Như vậy phương trình I/O mô tả hệ thống trên là:

Ví dụ3.15: Xử lý của một hệ thống được mô tả như trong hình vẽ 3.19:

Tín hiệu ngõ ra là tổng(phép cộng) của ba thành phần gồm:tín hiệu ngõ vào,tín hiệu ngõ

vào dịch phải hai thời điểm và tín hiệu ngõ vào dịch trái hai thời điểm.Vậy phương trình

I/O mô tả hệ thống trên là:

b) Mô tả hệ thống bằng sơ đồ khối.

Một phương pháp thông dụng để mô tả hệ thống xử lý rời rạc là dùng sơ đồ khối.Sơ đồ

khối mô tả một hệ thống được xây dựng từ các khối cơ bản(Các khối cơ bản là các mô hình -

Hình vẽ 3.19

( ) ( 2) ( ) ( 2)y n x n x n x n

- 49 -



hình vẽ mô tả các phép xử lý cơ bản như là cộng,nhân,dịch…).Qua sơ đồ khối mô ta hệ

thống ta có thể thấy được cấu trúc bên trong của hệ thống.

Trước tiên để biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối ta phải tìm hiểu các khối cơ bản mô

tả các phép xử lý cơ bản.

Bộ cộng hai tín hiệu:

Bộ cộng là khối chức năng cơ bản thể hiện phép cộng hai hay nhiều tín hiệu rời rạc với

nhau.Sơ đồ khối cộng như hình vẽ 3.20:

Bộ cộng có thể cộng hai hay nhiều hơn hai tín hiệu ngõ vào,ở đây phép cộng là bao gồm

cả phép trừ(phép trừ là cộng với thành phần đảo – Bù cơ số).Như vậy tại các ngõ vào của

khối cộng để phân biệt giữa cộng và trừ thì tại các ngõ vào trừ ta có ký hiệu dấu trừ,còn tại

các ngõ vào cộng ta không có ký hiệu dấu cộng,mà ta phải ngầm hiểu là tại đó là phép

cộng.Như trên hình vẽ 3.20,ngõ vào x1(n) là cộng,ngõ vào x2(n) là phép trừ.

Bộ nhân hai tín hiệu:

Bộ nhân có thể nhân hai hay nhiều hơn hai tín hiệu rời rạc với nhau.Khối nhân hai tín

hiệu được biểu diễn như hình vẽ 3.21:

Bộ trễ(dịch):

Bộ trễ(bộ dịch) thể hiện phép xử lý dịch tín hiệu trong miền thới gian.Xin trình bày trước

là phép dịch chuyển đi một khoảng D đối với một tín hiệu trong miền thời gian tương đương

với phép nhân với ZD trong miền z(học trong chương 5).Vì vậy khối dịch tín hiệu được biểu

điễn bằng khối ZD như trong hình vẽ 3.22.Phép dịch gồm có dịch phải và dịch trái.

Hình vẽ 3.20

Hình vẽ 3.21

Hình vẽ 3.22

- 50 -



Bộ khuếch đại(nhân tín hiệu với một hằng số):

Như trình bày ở phần trước,việc nhân một tín hiệu với một hằng số tương đương với việc

khuếch đại tín hiệu với độ lợi là hằng số tương ứng.Vì vậy khối nhân tín hiệu với hằng số

còn gọi là khối khuếch đại được biểu diễn như một khối khuếch đại tín hiệu.Khối khuếch đại

như trong hình vẽ 3.23.

Như vậy dựa vào các khối cơ bản trình bày ở trên ta có thể biểu diễn một hệ thống xử lý

rời rạc.Thông thường để thể hiện một hệ thống theo các khối cơ bản ta dựa vào phương trình

tín hiệu vào ra(phương trình I/O).

Ví dụ3.16: Cho hệ thống xử lý được mô tả bằng phương trình I/O như sau:

Hãy biểu diễn hệ thống trên ằng sơ đồ khối.

Giải: Sơ đồ khối thể hiện hệ thống:

Ví dụ3.17: Cho hệ thống xử lý được mô tả bằng phương trình I/O như sau:

Hãy biểu diễn hệ thống trên bằng sơ đồ khối.

Giải:

Hình vẽ 3.23

( ) ( ) ( 2) ( 4)y n x n x n x n

1 2 1 2( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 ( ) ( )y n x n x n x n x n

- 51 -



Ví dụ3.18: Cho hệ thống xử lý có hồi tiếp được mô tả bằng phương trình I/O như sau:

Hãy biểu diễn hệ thống trên bằng sơ đồ khối.

Giải:

3.2.3 Phân loại hệ thống rời rạc

a) Hệ thống tĩnh – hệ thống động.

Hệ thống tĩnh(Static) là hệ thống không nhớ (Memmoryless) nếu đáp ứng ngõ ra y(n)

tại thời điểm n0 chỉ phụ thuộc vào kích thích ngõ vào x(n) tại thời điểm tương ứng

n0.Ngược lại thì hệ thống gọi là hệ thống động(Dynamic).Như vậy một hệ thống tĩnh thì

trong phương trình I/O không có các chức năng dịch(trong sơ đồ không có khối lũy

thừa).Ngược lại trong hệ thống động thì phương trình I/O sẽ có chức năng dịch(trong sơ

đồ khối thể hiện hệ thống sẽ có khối lũy thừa).

Ví dụ3.19: Một hệ thống động được cho bởi phương trình I/O và sơ đồ khối như sau:

Ví dụ3.20: Một hệ thống tĩnh được cho bởi phương trình I/O và sơ đồ khối như sau:

b) Hệ thống nhân quả - hệ thống không nhân quả.

Để nói đến hệ thống nhân quả trước tiên ta nói đến tín hiệu nhân quả và tín hiệu phản

nhân quả:

( ) 5 ( ) 2 ( 2) 0.8 ( 1) 3 ( 2)y n x n x n y n y n

( ) 4 ( ) 3 ( 2) 0.8 ( 1) 2 ( 2)y n x n x n y n y n

2( ) 2 ( ) ( )y n x n x n

- 52 -



Tín hiệu x(n) được gọi là nhân quả khi tín hiệu chỉ tồn tại xác định trong khoảng thời

gian từ 0 đến dương vô cùng,còn khoảng thời gian nhỏ hơn 0 tín hiệu này bằng 0.

Tín hiệu x(n) là tín hiệu phi nhân quả khi tín hiệu tồn tại xác định trong khoảng thời

gian nhỏ hơn 0, khoảng thời gian còn lại tín hiệu bằng 0.

Hệ thống nhân quả là hệ thống có đáp ứng tại thời điểm n0 là y(n0) chỉ phụ thuộc vào

giá trị tín hiệu ngõ vào x(n) tại những thời điểm n ≥ n0.Ngược lại nếu không thỏa mản điều

này thì hệ thống đó là phi nhân quả(Hệ thống nhân quả có đáp ứng xung là tín hiệu nhân

quả).

Ví dụ3.21: y(n) = x(n) + 3x(n + 4) hệ thống không nhân quả

y(n) = x(n) - x(n -1) hệ thống nhân quả

y(n) = x(n2) hệ thống không nhân quả

c) Hệ thống bất biến – biến thiên theo thời gian.

Một hệ thống được cho là bất biến theo thời gian (Time Invariant) nếu đặc tính vào và ra

không thay đổi theo thời gian.

Điều đó có nghĩa là:

Nếu :

Thì:

Để kiểm tra một hệ thống có tính bất biến hay không ta làm như sau:

Đưa tín hiệu vào hệ thống sau đó lấy tín hiệu ngõ ra hệ thống là y(n) làm trễ đi k mẫu ta

thu được tín hiệu y(n-k ) như trong sơ đồ sau:

Mặt khác lấy tín hiệu ngõ vào là x(n) làm trễ đi k mẫu ta có được x(n-k) sau đó mới đưa

vào cho hệ thống xử lý ta thu được tín hiệu yk(n) như sơ đồ sau:

Sau đó so sánh y(n-k) và yk(n) nếu giống nhau thì hệ thống là bất biến,nếu khác nhau thì

hệ thống là biến thiên theo thời gian.

Ví dụ3.21: y(n) = x(n) - x(n -1) hệ bất biến

y(n) = x(n).cos(0n) hệ khả biến(biến thiên theo thời gian).

y(n) = x(-n) hệ khả biến(biến thiên theo thời gian).

d) Hệ thống tuyến tính – phi tuyến

Một hệ thống được gọi là tuyến tính (Linear) nếu đặc tính vào – ra thỏa mãn nguyên lý

chồng chập,nghĩa là:

Để khảo sát một hệ thống có tính tuyến tính hay không ta thực hiện theo sơ đồ sau:

( ) ( )Hx n y n

( ) ( ),Hx n k y n k k

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )],

( ), ( ), ,

H a x n a x n a H x n a H x n

x n x n a a

- 53 -



So sánh kết quả ngõ ra theo hai sơ đồ nếu giống nhau thì hệ thống là tuyến tính,nếu khác

nhau thì hệ thống là phi tuyến.

Ví dụ3.22:

y(n) = 3x(n) + 3 hệ phi tuyến

y(n) = nx(n) hệ tuyến tính

y(n) = ex(n)

hệ phi tuyến

- 54 -



BÀI TẬP CHƢƠNG 3:

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC. 3.1 Vẽ các tín hiệu sau:

a. ( ), ( ),2 ( 4), 6 ( 3),4 ( 2).n n n n n

b. ( ), ( ), ( 1), 6 ( 3),4 ( 2).u n u n u n u n u n

c. 2 ( ), ( ),2 ( ) ( 3),4 ( 2).r n r n n n r n

d. ( ) ( 1); ( 1) ( 5)u n u n u n u n

3.2 Vẽ các tín hiệu sau:

a.

3 : 3 3;( )

0 : ;

n nx n

b.

22 3 4 : 3 3;

( )0 : ;

n n nx n

c. 2 0( ) ( ); ( ) [1 ,2,1,0,0,2,0,0,...]y n x n x n .

3.3 Tìm các biểu thức cho các tín hiệu cho bởi hình vẽ sau:

n

0 1 4 -2 -1 n

xa(n)

1

2

3

4

….

1

0 4

-1

-1

xb(n)

-2

-1

-4

0 1 4 -2 -1 n

xc(n)

1

2 2

….

0 1 4 -2 -1 n

xd(n)

1

2

- 55 -



3.4 Tín hiệu vào của hệ thống là 0( ) [...0,1 ,2,1,0,0,2,0,...]x n

Tìm tín hiệu ra của hệ thống biết phương trình vào-ra của hệ thống cho bởi các

phương trình sau:

a. ( ) ( ) 2 ( 2).y n x n x n

b. 2( ) ( ) ( ).y n x n x n

c. ( ) ( 1);2 ( ); ( 1) .y n Min x n x n x n

d. ( ) 2 ( ) ( 2).y n x n x n

3.5 Cho các tín hiệu vào lần lượt như sau:

1

2 2

3

( ) ( );

( ) : 2 2 & ( ) 0 : ;

( ) 3 ( ) 5 ( 3);

x n u n

x n n n x n

x n n n

Tìm tín hiệu ra của hệ thống mô tả bởi phương trình sau:

a. 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ).y n x n x n x n

b. 1 2 3

1( ) ( ) ( ) ( ) .

2y n x n x n x n

c. 1 2 3( ) ( ), ( ), ( ) .y n Max x n x n x n

d. 1 2 3( ) ( ), ( ), ( ) .y n Min x n x n x n

3.6 Vẽ sơ đồ khối của hệ thống được mô tả bởi phương trình sau:

a. 2( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 1) 5 ( 1) ( 2).y n x n x n x n x n x n

b. 21

( ) ( 1) ( ) 2 ( 1)3

y n x n x n x n .

c. ( ) 1.23 ( 1) 0.54 ( 2) 1.34 ( 1) 5 ( 2)y n y n y n x n x n

3.7 Khảo sát tính chất tuyến tính và bất biến của hệ thống cho bởi các phương trình

sau:

a. ( ) ( ).y n x n

b. 2( ) ( ) 1.y n x n

c. ( ) 2 ( ) 3.y n x n

d. ( ) 3 ( 1) 4.y n x n

- 56 -



Chƣơng 4

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN Mục đích

Đáp ứng xung h(n) của hệ thống xử lý thời gian rời rạc.

Các phương pháp xử lý trong miền thời gian.

Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối tiếp và ghép song song.

Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR và hệ thống có đáp ứng xung vô hạn IIR.

Phương pháp xử lý mẫu và phương pháp xử lý khối.

4.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG RỜI RẠC

4.1.1 Đáp ứng xung(Impulse Response) Khi không để ý đến cấu trúc vật lý cụ thể của hệ thống ta mô tả hệ thống bằng phương

trình I/O(Phương trình tín hiệu vào ra: quan hệ của kích thích ngõ vào với đáp ứng ngõ

ra).Một phương pháp để mô tả hệ thống là dùng đáp ứng xung.

Đáp ứng xung h(n) của hệ thống là tín hiệu ngõ ra khi kích thích ngõ vào là xung đơn vị

(n).Đáp ứng xung h(n) thể hiện đặc tính thời gian của hệ thống rời rạc.

Ta quan sát sơ đồ trong hình vẽ 4.1:

Đáp ứng xung h(n) là đại lượng đặc trưng cho hệ thống trong miền thời gian,như vậy ta

phải xem xét quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống trong miền thời gian như

thế nào,để từ đó đưa ra các phương pháp xử lý tương ứng trong miền thời gian.

Quan hệ ngõ vào – ngõ ra trong miền thời gian:

Như vậy quan hệ ngõ vào và ra trong miền thời gian là tích chập,xin trình bày rõ hơn

là:tín hiệu ngõ ra y(n) bằng tích chập giữa tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung hệ thống

h(n).

Tích chập là một phép xử lý được kết hợp theo thứ tự các phép xử lý cơ

bản:gấp,dịch,nhân và lấy tổng(Xin chú ý phép lấy tổng là tương ứng cho tín hiệu rời rạc,tín

hiệu liên tục thì phép lấy tổng là phép lấy tích phân).

Phần kế tiếp là trình bày các phương pháp để thực hiện tích chập(phép xử lý trong miền

thời gian).

Hình vẽ 4.1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h n x n x n h n x k h n k

- 57 -



4.1.2 Các phương pháp tích chập

a. Tính trực tiếp

Tính trực tiếp tích chập là ta tính từ biểu thức định nghĩa của tích chập.Như trình bày ở

trên tích chập là kết hợp theo thứ tự các phép xử lý cơ bản:

Phép gấp(Phép đảo ngược).

Phép dịch(Phép dời).

Phép nhân.

Lấy tổng.

Tích chập là phép xử lý thực hiện trên hai tín hiệu,ở đây ta áp dụng để xác định tín hiệu

ngõ ra y(n) theo tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung h(n) của hệ thống.

Ví dụ 4.1:

Tìm đáp ứng ngõ ra y(n) khi biết tín hiệu ngõ vào x(n) = u(n) và đáp ứng xung của hệ

thống h(n) = anu(n) , a < 1.

Giải:

Ta có:

b. Dùng bảng tích chập:

Để tính tích chập theo phương pháp lập bảng ta tiến hành lập bảng:một thành phần biểu

diễn theo hàng,thành phần còn lại biểu diễn theo cột,giá trị mỗi ô trong bảng là tích của giá

trị hàng và cột tương ứng.

Giá trị ngõ ra y(n) được tính như sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h n x n x n h n x k h n k

1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) , | | 1; 0

1

( ) 0, 0

k k

nnk k

k k

y n h n x n x k h n k h k x n k

aa u k u n k a a n

a

y n n

- 58 -



y0 = h0x0;

y1 = h1x0+ h0x1;

y2 = h2x0 + h1x1+ h0x2, v.v… Chú ý khi tín hiệu ngõ vào có chiều dài L và đáp ứng xung của hệ thống có chiều dài M

thì chiều dài của đáp ứng ngõ ra y(n) là (L + M -1).

Ví dụ 4.2:

Tìm đáp ứng ngõ ra y(n) khi biết tín hiệu ngõ vào x(n) =[10,1,2,1,2,2,1,1] và đáp ứng

xung của hệ thống h(n) = [10,2,-1,1].

Giải:

Ta có bảng thực hiện tích chập như sau: x(n) biểu diễn theo cột và h(n) biểu diễn theo cột

Tín hiệu ngõ ra:

y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1] : Chiều dài L+M-1=8+4-1=11 c. Dạng khối cộng chồng lấp (Overlap-Add Block Form):

0 0 0 1 1 1;y h x

1 0 1 1 0 1 1 1 2 3;y h x h x

2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 1 ( 1) 3;y h x h x h x

3 0 3 1 2 2 1 3 0 1 1 2 2 1 ( 1) 1 1 5;y h x h x h x h x

4 0 4 1 3 2 2 3 1 2 1 1 2 2 ( 1) 1 1 3;y h x h x h x h x

5 0 5 1 4 2 3 3 2 2 1 2 2 1 ( 1) 2 1 7;y h x h x h x h x

6 0 6 1 5 2 4 3 3 1 1 2 2 2 ( 1) 1 1 4;y h x h x h x h x

7 0 7 1 6 2 5 3 4 1 1 1 2 2 ( 1) 2 1 3;y h x h x h x h x

8 1 7 2 6 3 5 1 2 1 ( 1) 2 1 3;y h x h x h x

9 2 7 3 6 1 ( 1) 1 1 0;y h x h x

10 3 7 1 1 1;y h x

- 59 -



Trường hợp chuỗi dữ liệu vào quá dài,ta chia khối dữ liệu vào thành các khối nhỏ hơn,các

khối phải bằng nhau(trường hợp khối cuối cùng nhỏ hơn thì thêm vào các bit 0),sau đó ta tiến

hành chập từng khối nhỏ của x(n) với h(n),kết quả chập từng khối nhỏ với h(n) được sắp xếp

lệch nhau(như trong hình vẽ 4.2),cộng chồng lắp các kết quả chập từng khối ta sẽ có kết quả

chập của x(n) và h(n).

Như hình vẽ 4.2,chuỗi vào x(n) được chia thành các khối nhỏ hơn có chiều dài là L,mỗi

khối nhỏ chập với h(n) có kết quả là:

y0 = h*x0; y1 = h*x1.; …. Sau đó các y0,y1,y2,…..sẽ được sắp xếp lệch nhau và được cộng chồng lấp(theo chiều từ trên

xuống) sẽ có được kết quả chập của y(n) = x(n)*h(n).

Ví dụ 4.3:

Tìm đáp ứng ngõ ra y(n) khi biết tín hiệu ngõ vào x(n) =[10,1,2,1,2,2,1,1] và đáp ứng

xung của hệ thống h(n) = [10 ,2,-1,1].

Giải:

Ta chia x(n) làm ba khối nhỏ hơn có chiều dài là L = 3 như sau:

x0 = [1,1,2]; x1 = [1,2,2]; x2 = [1,1,0];

Ta thấy x0 và x1 có chiều dài là 3,nhưng x2 chỉ có 2 mẫu do đó được chèn vào bit 0 ở phía sau

cho đủ chiều dài là 3.

Ta tiến hành lập bảng tích chập lần lượt x0,x1 và x2 với h(n):

Chập x0 với h(n) theo bảng sau:

Ta có y0 = h*x0 = [1,3,3,4,-1,2]; Tương tự như vậy ta có được y1 và y2:

Hình vẽ 4.2

- 60 -



y1 = h*x1 = [1,4,5,3,0,2];

y2 = h*x2 = [1,3,1,0,1,0]; Bước tiếp theo ta sắp xếp các y0,y1 và y2 theo bảng sau:

Cuối cùng cộng chồng lắp ta có được ngõ ra y(n):

y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1]

4.1.3 Đáp ứng xung các hệ thống ghép nối tiếp và ghép song song :

a. Hai hệ thống ghép nối tiếp:

Xét hai hệ thống được đặt trưng bởi đáp ứng xung tương ứng là h1(n) và h2(n) ghép nối

tiếp với nhau theo sơ đồ dưới đây:

Như vậy ta thấy khi hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau sẽ tạo ra một hệ thống mới có

đáp ứng xung tương ứng h(n) là tích chập hai đáp ứng xung của hai thành phần ghép nối

tiếp:

h(n) = h1(n)*h2(n) Đồng thời ta thấy việc h1(n) đứng trước hay h2(n) đứng trước đều cho một kết quả như

nhau,nghĩa là tích chập có tính chất giao hoán.

b. Hai hệ thống ghép song song:

Xét hai hệ thống được đặt trưng bởi đáp ứng xung tương ứng là h1(n) và h2(n) ghép song

song với nhau theo sơ đồ dưới đây:

- 61 -



Như vậy ta thấy khi hai hệ thống ghép song song với nhau sẽ tạo ra một hệ thống mới

có đáp ứng xung tương ứng h(n) là tổng hai đáp ứng xung của hai thành phần ghép nối tiếp:

h(n) = h1(n) + h2(n) Như trên ta chỉ mới xét trường hợp hai hệ thống ghép nối tiếp hoặc ghép song song,tổng

quát hơn là xét trường hợp nhiều hệ thống nối ghép với nhau:

Khi ta có N hệ thống ghép nối tiếp với nhau thì tạo ra một hệ thống mới có đáp ứng xung

tương ứng bằng tích chập tất cả các đáp ứng xung thành phần ghép nối tiếp.

h(n) = h1(n)*h2(n) )*h3(n) )*h4(n) )*…………*hN-1(n) )*hN(n). Khi ta có N hệ thống ghép song song với nhau thì tạo ra một hệ thống mới có đáp ứng

xung tương ứng bằng tổng tất cả các đáp ứng xung thành phần ghép song song:

h(n) = h1(n) + h2(n) + h3(n) + h4(n) +………….+ hN-1(n) + hN(n) Ví dụ 4.4:

Tìm đáp ứng xung của hệ thống được tạo ra bởi việc ghép nối các hệ thống với nhau theo

hình vẽ 4.3,các đáp ứng xung tương ứng được cho như sau:

h1(n) = [10 ,2,1];

h2(n) = h3(n) = (n+1)u(n);

h4(n) = (n-2)

Giải:

Theo sơ đồ ghép nối ta có đáp ứng xung của hệ thống mới tương ứng là h(n):

h(n) = h1(n)*[h2(n)-h3(n)*h4(n)] = h1(n)*h2(n)*[1-h4(n)]

= h1(n)*h2(n) - h1(n)*h2(n)* h4(n)

Xin nhắc lại kiến thức cũ:một tín hiệu bất kỳ khi nhân chập với xung (n-k) là tương ứng với

việc di chuyển(dịch) tín hiệu đi k thời điểm,có nghĩa là:

x(n)* (n-k) = x(n-k)

Do đó ta có:

h1(n)*h2(n) = [(n+1)u(n)]*[(n) + 2(n-1) + (n-2)]

= (n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2)

h1(n)*h2(n)*h4(n) = [(n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2)]*(n-2)

= (n-1)u(n-2) + 2(n-2)u(n-3) + (n-2)u(n-4) Thay vào biểu thức trên ta được:

h(n) = (n+1)u(n) + 2nu(n-1) -2(n-2)u(n-3) - (n-3)u(n-4)

4.1.4 Sự ổn định của hệ thống :

Hình vẽ 4.3

- 62 -



Hiện tại chúng ta đang xem xét hệ thống trong miền thời gian,tức là ta đang quan tâm đến

đáp ứng xung h(n) của hệ thống.Trong phần này ta quan tâm đến tính ổn định của hệ

thống,có nghĩa là khi xem xét trong miền thời gian thì dựa vào yếu tố nào để chúng ta biết

được hệ thống chúng ta có tính ổn định hay không.

Một hệ thống được cho là ổn định(Stable) khi hệ thống luôn có đáp ứng ngõ ra bị chặn

với mọi kích thích ngõ vào bị chặn,nghĩa là:

Nếu ta có :

Thì :

Xét về đáp ứng xung thì một hệ thống ổn định khi đáp ứng xung tương ứng h(n) là một tín

hiệu năng lượng (ổn định):

Ví dụ 4.5:

Cho hệ thống có đáp ứng xung tương ứng h(n) = an.u(n),tìm điều kiện của a để hệ thống trên

ổn định.

Giải:

Để hệ thống trên ổn định thì:

Để điều kiện trên thỏa mãn thì |a| < 1 khi đó a có:

(Theo công thức tính tổng chuỗi).

4.2 HỆ THỐNG FIR VÀ IIR

4.2.1 Khái niệm

Dựa vào đáp ứng xung h(n) của hệ thống người ta chia hệ thống rời rạc làm hai dạng:

Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR(Finite Impulse Response):hệ thống này có

đáp ứng xung h(n) là một tín hiệu xác định hữu hạn(Không xác định đến vô cùng).

Hệ thống có đáp ứng xung vô hạn IIR(Infinite Impulse Response): hệ thống này có

đáp ứng xung h(n) là một tín hiệu xác định đến vô cùng.

4.2.2 Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR)

Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) là hệ thống có đáp ứng xung h(n) có giá trị xác định trên

khoảng thời gian hữu hạn 0 ≤ n ≤ M.Nghĩa là đáp ứng xung h(n) như sau:

| ( ) | xx n M

| ( ) | ,yy n M n

| ( ) |n

h n

2

0

| ( ) | | | 1 | | | | ....n

n n

h n a a a

1| ( ) |

1 | |n

h na

0 1 2( ) [ , , ,..., ,0,0,...]Mh n h h h h

- 63 -



Trong đó M là bậc của bộ lọc và h0,h1,….,hM là các hệ số của bộ lọc (Filter Weights or

Filter taps).

Theo quan hệ ngõ vào và ra của hệ thống với đáp ứng xung ta có phương trình bộ lọc

FIR:

Phương trình I/O:

Ví dụ 4.6:

Cho hệ thống FIR có đáp ứng xung như sau:

h(n) = [10,2,1,-3].

Xác định phương trình I/O của hệ thống.

Giải:

Ta có phương trình I/O của hệ thống:

Cụ thể cho trường hợp M = 3:

Ví dụ 4.7:

Cho hệ thống FIR có phương trình I/O như sau:

Xác định đáp ứng xung h(n) của hệ thống.

Giải:

Ta có phương trình I/O:

Đáp ứng xung của bộ lọc h(n) = [10,0,0,0,-1].

4.2.3 Hệ thống IIR

Hệ thống IIR(Bộ lọc IIR)là hệ thống có đáp ứng xung h(n) xác định trên khoảng thời gian

vô hạn 0 ≤ n < ∞ .

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M

k

y n h n x n h k x n k

0 1 2( ) ( ) ( 1) ( 2) ... ( )My n h x n h x n h x n h x n M


0 1 2 3( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3)

( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) 3 ( 3)

y n h x n h x n h x n h x n

y n x n x n x n x n

( ) ( ) ( 4)y n x n x n

0 1 2 3 4( ) . ( ) . ( 1) . ( 2) . ( 3) ( 4)

1. ( ) 0. ( 1) 0. ( 2) 0. ( 3) ( 1) ( 4)

y n h x n h x n h x n h x n h x n

x n x n x n x n x n

- 64 -



Phương trình của bộ lọc IIR:

Phương trình I/O:

Ví dụ 4.8:

Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

Xác định đáp ứng xung h(n) của hệ thống.

Giải:

Theo định nghĩa của đáp ứng xung của hệ thống ta có đáp ứng xung:

h(n) = 0.25h(n-2) + (n) Giả sử hệ thống là nhân quả:

h(-∞) = ………………=h(-2) =h(-1) = 0

Dùng phương pháp lặp ta có:

h(0) = 0.25h(-2) + (0) = 1;

h(1) = 0.25h(-1) + (1) = 0;

h(2) = 0.25h(0) + (2) = 0.25 = (0.5)2;

h(3) = 0.25h(1) + (3) = 0;

h(4) = 0.25h(2) + (2) = (0.25)2= (0.5)

4, vv….

Cuối cùng ta suy ra biểu thức tổng quát của đáp ứng xung:

Ta thấy h(n) tồn tại trong khoảng thời gian vô hạn.

4.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ

4.3.1 Phương pháp xử lý mẫu – Phương pháp xử lý khối:

Tùy thuộc vào ứng dụng và phần cứng tương ứng mà một hoạt động xử lý của hệ thống

(Bao gồm FIR và IIR) có thể là xử lý khối(Block Processing) hay xử lý mẫu(Sample

Processing).

Xử lý khối: tín hiệu vào được lấy mẫu và lưu trữ thành một khối các mẫu(nhiều

mẫu),khối này được nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống để tạo ra khối dữ liệu ra

theo yêu cầu.Trong trường hợp dữ liệu vào là quá dài hoặc là vô hạn,khối dữ liệu vào sẽ

được phân chia thành các khối có độ dài vừa phải rồi nhân chập với đáp ứng xung để tạo

ra tín hiệu ra theo yêu cầu.Xử lý khối thường được ứng dụng trong các trường hợp hệ

thống không cần đáp ứng thời gian thực như xử lý ảnh,phân tích phổ dùng FFT…

Xử lý mẫu:Dữ liệu vào được hệ thống thu thập và xử lý từng mẫu ở từng thời điểm.Có

nghĩa là mỗi mẫu dữ liệu vào được hệ thống thu nhận và nhân chập với đáp ứng xung để

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k


1 0

( ) ( ) ( )M L

k l

k l

y n a y n k b x n l

1 2 0( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ... ( )M Ly n a y n a y n a y n M b x n b x n L

( ) 0.25 ( 2) ( )y n y n x n

0 :( )

(0.5) :n

n oddh n

n even

- 65 -



tạo ra dữ liệu ra theo mong muốn.Xử lý mẫu thường được ứng dụng trong các hệ thống

cần đáp ứng thời gian thực như xử lý tín hiệu thích nghi,điều khiển…

4.3.2 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc FIR :

Xét hệ thống FIR(bộ lọc FIR) bậc M có phương trình I/O tổng quát như sau:

Như đã trình bày ở chương 3,ta có thể biểu diễn hệ thống FIR trên bằng sơ đồ khối

thông qua các khối xử lý cơ bản như hình vẽ 4.4:

Từ sơ đồ khối thực thi của hệ thống,ta có giải thuật xử lý cho từng mẫu dữ liệu ngõ vào.

Chú ý:trước khi xử lý dữ liệu ngõ vào các giá trị trang thái nội i phải được gán về

không(zero).

Ví dụ 4.9:


Dữ liệu ngõ vào x(n) = [10,1,2,1,2,2,1,1]:

a) Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống và giải thuật xử lý mẫu tương ứng.

b) Xác định giá trị ra y(n) dựa vào thuật toán trên.

Giải:

a) Từ phương trình I/O ta có đáp ứng xung tương ứng của hệ thống:

h(n) = [10,0,0,0,-1].

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M

k



Hình vẽ 4.4

( ) ( ) ( 4)y n x n x n

- 66 -



Sơ đồ khối thực hiện hệ thống như hình vẽ 4.5:

Thuật toán xử lý mẫu tương ứng:

b) Xác định dữ liệu ra y(n):

Hình vẽ 4.5

- 67 -



Từ giải thuật xử lý mẫu ở trên ta có bảng tính toán giá trị ngõ ra y(n) cũng như giá trị

trạng thái nội của hệ thống i như sau:

Giá trị ngõ ra: y(n) = h(n)*x(n) = [10,1,2,1,1,-,1,0,-2,-2,-1,-1] .

4.3.3 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc IIR :

Cho hệ thống IIR có phương trình I/O tổng quát như sau:

Ta có sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.6:


Hình vẽ 4.6

- 68 -



Quan sát hình vẽ 4.6 ta thấy các giá trị nội được gán tương ứng cho ngõ vào và ra tương

ứng như sau:

Ta có giải thuật xử lý mẫu tương ứng như sau:

Ví dụ 4.10:


Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống và giải thuật xử lý mẫu tương ứng.

Giải:

Sơ đồ khối thực hiện hệ thống dạng trực tiếp như hình vẽ 4.7:

0 1 2

0 1 2

( ) ( ); ( ) ( 1); ( ) ( 2)....... ( ) ( );

( ) ( ); ( ) ( 1); ( ) ( 2)....... ( ) ( );

L

M

v n x n v n x n v n x n v n x n L

n y n n y n n y n n y n M

( ) ( 5) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)y n y n x n x n x n x n

Hình vẽ 4.7

- 69 -



Từ sơ đồ thực hiên hệ thống,gán các giá trị nội ngõ vào vi và ngõ ra i tương ứng ta có

giải thuật xử lý mẫu như sau:

4.3.4 Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc:

Các sơ đồ thực hiện ở trên là dạng trực tiếp,nhìn vào sơ đồ hệ thống ta thấy có rấc nhiều

khối dịch(Delay),đây là một khuyết điểm khi thực hiện theo dạng trực tiếp,nó làm cho hệ

thống tiêu tốn nhiều bộ nhớ,đồng thời làm tăng độ trễ của hệ thống,có nghĩa là tính đáp ứng

thời gian thực của hệ thống bị giảm đi.Để khắc phục khuyết điểm này người ta đưa ra dạng

sơ đồ thực hiện theo kiểu chính tắc,dạng chính tắc làm giảm tối thiểu khối dịch(Delay),từ đó

tăng tính đáp ứng thời gian thực của hệ thống và làm cho hệ thống tốn ít bộ nhớ hơn.

Phương pháp chính tắc được thực hiện bằng cách như sau: từ sơ đồ dạng trực tiếp,ta hoán

đổi các khối dịch giữa ngõ vào và ra cho nhau,điều này làm tốn thêm một khối cộng,sau đó

ghép chung các khối dịch(cùng độ dịch) lại với nhau ta có được sơ đồ dạng chính tắc.

Xét một hệ thống IIR có phương trình I/O tổng quát như sau:

Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.8:


Hình vẽ 4.8

- 70 -



Nhìn vào sơ đồ dạng chính tắc ta thấy các hệ số ngõ ra ai hoán đổi vị trí cho hệ số ngõ vào

bi tương ứng,các giá trị nội của hệ thống chỉ còn lại là i,số khối dịch (Delay)tối đa là

Max(M,L).Ta có giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho sơ đồ thực hiện dạng chính tắc:

Ví dụ 4.11:


Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống theo dạng chính tắc và giải thuật xử lý mẫu tương ứng.

Giải:

Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.9:

Số phần tử nhớ tối đa là Max(M,L) = Max(5,4) = 5(Khối dịch).Giải thuật xử lý mẫu

tưong ứng:

( ) ( 5) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)y n y n x n x n x n x n

Hình vẽ 4.9

- 71 -



- 72 -



BÀI TẬP CHƢƠNG 4

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN

4.1 Cho tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung tương ứng của hệ thống lần lượt là:

x(n) = [10,2,3,4].

h(n) = [20,0,2]

Tìm đáp ứng ngõ ra y(n) của hệ thống.

4.2 Cho tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung tương ứng của hệ thống lần lượt là:.

x(n) = [10,-1,1,-1,1,-1].

h(n) = [10,1,1]

Tìm đáp ứng ngõ ra y(n) của hệ thống.

4.3 Cho hai tín hiệu x(n) và h(n) như sau:

Tìm giá trị y(n) = x(n)*h(n)

4.4 Cho hệ thống được biểu diễn bởi sơ đồ:

+

z-1

0.5

y(n)x(n)

a) Tìm phương trình I/O của hệ thống.

b) Tìm và vẽ đáp ứng xung h(n) của hệ thống.

4.5 Cho hệ thống được biểu diễn bởi sơ đồ:

a) Tìm phương trình I/O của hệ thống.

b) Tìm và vẽ đáp ứng xung h(n) của hệ thống.

1: 0 6

( ) 3

0 :

n nx n

n

1: 2 2( )

0 :

nh n

n

- 73 -



( ) 0.8 ( 1) ( )h n h n n

( ) 0.25 ( 2) ( )h n h n n

1

: 0 4;( )

0 : ;

n nh n

n

2

1/ : 0 4;( )

0 : ;

n nh n

n

1 1 1

2 2 2 2

( ) ( ) ( 1);

( ) 2 ( 2) ( ) 2 ( 1);

y n x n x n

y n x n x n x n

4.6 Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống được mô tả bởi các phương trình I/O như sau:

a) ( ) ( 1) ( ) ( 1) y n x n x n x n

b) 2( ) 5 ( )y n x n

c) ( ) 0.5 ( 1) 0.5 ( )y n y n x n

d) ( ) 0.5 ( 1) 0.5 ( )y n y n x n

4.7 Xác định phương trình I/O của hệ thống cho bởi phương trình đáp ứng xung như sau:

4.8 Lặp lại bài 4.7 với phương trình I/O như sau:

4.9 Hai hệ thống có đáp ứng xung tương ứng như sau:

Hai hệ thống trên được ghép nối tiếp với nhau theo sơ đồ:

h1(n) h2(n)y(n)

h(n)

x(n)

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống mới được tạo ra từ việc ghép nối tiếp hai hệ thống trên.

4.10 Hai hệ thống được cho bởi hai phương trình I/O tương ứng như sau:

Hai hệ thống trên được ghép nối tiếp với nhau theo sơ đồ:

h2(n) h1(n)y(n)

h(n)

x(n)

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống mới từ việc ghép hai hệ thống trên.

4.11 Hai hệ thống được ghép song song theo sơ đồ sau:

y1(n) = x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)

y2(n) = 0.8y(n-1)+x(n)

+x(n) y(n)

Tìm đáp ứng xung của hệ thống được tạo ra từ việc ghép nối song song trên.

4.12 Một hệ thống được tạo ra từ việc ghép các hệ thống theo sơ đồ sau:

- 74 -



0

1

2 3

4

( ) [1 ,2,1];

( ) ( ) ( 1) ( )

( ) ( 2);

h n

h n h n n u n

h n n

( ) ( )nh n a u n

1 0( ) ( 1) ( )y n a y n b x n

( ) ( ) ( 4)y n x n x n

Trong đó các đáp ứng xung thành phần lần lượt được cho như sau:

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống trên.

4.13 Đáp ứng xung của hệ thống có biểu thức như sau:

Tìm điều kiện của a để hệ thống trên ổn định.

4.14 Hệ thống cho bởi sơ đồ như sau:

a) Viết phương trình I/O cho hệ thống trên.

b) Tìm đáp ứng xung của hệ thống.

c) Cho tín hiệu vào x(n) = [10,1,1 ],tìm đáp ứng ngõ ra y(n).

4.15 Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

a) Hệ thống trên là FIR hay IIR ?

b) Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống trong trường hợp: a1 = 0,5 và b0 = 1.

c) Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống trong trường hợp: a1 = 1,5 và b0 = 1.

4.16 Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

a) Hệ thống trên là FIR hay IIR ?

b) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống trên.

c) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng.

- 75 -



d) Cho tín hiệu vào là x(n) = [1,1,1,2,1,2,1,1],tìm đáp ứng ngõ ra tương ứng theo giải

thuật ở câu c.

4.17 Thuật toán xử lý mẫu của một hệ thống như sau:

a) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải

thuật xử lý mẫu trên.

b) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống trên.

c) Hệ thống trên là FIR hay IIR.

d) Vẽ lại sơ đồ thực hiện hệ thống trên theo dạng chính tắc.

e) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho sơ đồ dạng chính tắc.

f) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải

thuật xử lý mẫu dạng chính tắc.

4.18 Cho hệ thống được biểu diễn bằng sơ đồ như sau:

a) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho hệ thống trên theo sơ đồ.

b) Viết phương trình I/O của hệ thống.

c) Vẽ lại sơ đồ thực hiện hệ thống theo dạng trực tiếp.

d) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải

thuật xử lý mẫu dạng chính tắc.

- 76 -



Chƣơng 5

BIẾN ĐỔI Z

Mục đích

Biến đổi z

Biến đổi z ngược.

Ứng dụng biến đổi z trong phân tích và thiết kế hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc.

5.1 BIẾN ĐỔI Z

5.1.1Khái niệm

Chương 4 đã trình bày cách tính đáp ứng của một hệ thống trực tiếp từ đáp ứng xung của

nó, bằng cách tính tổng chập của kích thích với đáp ứng xung. Cách tính tổng chập trực tiếp

dựa vào công thức định nghĩa như đã làm tốn rất nhiều thời gian và công sức.Hơn nữa , trong

thực tế số mẫu khác không của kích thích và đáp ứng xung là rất nhiều nên ta không thể „tính

bằng tay‟.Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập bằng đồ thị như đã trình bày cho ta một

thuật toán của chương trình tính tổng chập bằng máy tính. Việc giải phương trình sai phân

tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp đệ qui cũng chỉ có ý nghĩa khi sử dụng máy tính.

Kỹ thuật biến đổi z là một công cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI. Biến đổi Z đối

với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến đổi Laplace đối với tín hiệu liên tục, và

chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng chập của hai dãy trong miền thời

gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z. Tính chất này

sẽ làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau. Phương

trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cũng được giải một cách dễ dàng hơn khi dùng công cụ

biến đổi Z.

Như ta sẽ thấy trong các chương sau, biến đổi Fourier giữ vai trò chìa khóa trong

việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc. Tuy nhiên,trong một số trường hợp cần

phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến đổi Fourier, đó là biến đổi Z.

5.1.2Biến đổi z

Định nghĩa: Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:

n

nznxzX ).()( (5.1)

Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau :

X(z) = ZT[x(n)]

Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của Z để X(z) hội tụ. Tập hợp

các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) kí hiệu là ROC[ X(z) ]

Ví dụ 5.1 Xác định biến đổi z của tín hiệu rời rạc sau:

a) x(n) = 1,2,50,7,0,1

b) x(n) = δ(n)

- 77 -



c) x(n) = δ(n - k), k > 0

d) x(n) = δ(n + k), k>0

Giải: a) x(n) = 1,2,5

0,7,0,1

Theo định nghĩa biến đổi z ta có: 3

( 2) ( 1) 0 1 2 3

2

2 1 3

( ) ( ). ( ). 1 2 5 7 0 1

( ) 2 5 7 ; : 0,

n n

n n

X z x n z x n z z z z z z z

X z z z z z ROC z z

b) x(n) = (n):

0( ) ( ). 1 1; :n

n

X z x n z z ROC z

c) x(n) = (n-k),k>0:

( ) ( ). 1 ; : 0n k k

n

X z x n z z z ROC z

d) x(n) = (n+k),k>0:

( ) ( ). 1 ; :n k k

n

X z x n z z z ROC z

Ví dụ 5.2 Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc sau:

)(2

1)( nunx

n

Giải: Từ biểu thức x(n) ta có thể biểu diễn như sau:

2 3 4

1 1 1 1( ) 1, , , , .............

2 2 2 2x n

Áp dụng công thức định nghĩa biến đổi z 5.1 ta có:

0

1

0 2

1

2

1).(.

2

1).()(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n zzznuznxzX

X(z) hội tụ khi 12

1 1

z khi đó ta có:

1

2

11

1)(

z

zX

Vậy ROC : 2

1z

Mặt phẳng z

Do z là biến phức nên: z = Re[z] + j Im[z], mặt phẳng z được tạo bởi trục tung Im[z] và trục

hoành Re[z]

- 78 -



Chú ý: z là biến phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

z = rejθ

n

njnj ernxreX ).()( , Nếu r =1 thì

n

njj enxeX ).()( có nghĩa là phép biến đổi z

lấy trên vòng tròn đơn vị sẽ trở thành biến đổi Fourier trên miền tần số.

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để xác định miền hội tụ của biến đổi z.

Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng

0

....)1()0()(n

xxnx hội tụ nếu điều kiện

sau thoả mãn: 1)(lim1

n

nnx

Áp dụng với biến đổi z ta có:

1

0

)()().()(n n

nn

n

n znxznxznxzX

Đặt X(z) = X1(z) + X2(z)

Trong đó: X1(z) =

0

)(n

nznx

X2(z) =

1

)(n

nznx

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho X1(z) ta có:

n

n

n

n

n

nn nxzznxznx1

111

)(lim1)(lim1)(lim đặt Rx-=

n

nnx1

)(lim

Vậy:với xRz thì X1(z) hội tụ. Tức là miền hội tụ của X1(z) nằm ngoài vòng tròn bán kính

R-x tâm gốc toạ độ trên mặt phẳng z. Đậy cũng là miền hội tụ của dãy nhân quả có chiều dài

vô hạn.

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy với X2(z). tương tự như với X1(z) ta cũng có miền hội tụ của

X2(z) là: xRz trong đó : Rx+=

n

nnx1

)(lim , nghĩa là miền hội tụ của X2(z) là miền nằm

trong đường tròn bán kính R+

x tâm gốc toạ đô trên mặt phẳng z, đây cũng là miền hội tụ của

dãy phản nhân quả có chiều dài vô hạn.

Kết luận vậy miền hội tụ của X(z) là: X1(z)∩X2(z).

Im[z]

Re[z]

r

- 79 -



Ví dụ 5.3

Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = anu(n)

Giải

1

0

1

0 1

1).(.).()(

azazzaznuaznxzX

n

nn

n

n

n

nn

n

n

nếu azhayaz 11

Vậy 11

1)(

azzX , ROC : az (3)

Ví dụ 5.4

Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = - anu(-n-1)

Giải

n

nn

n

n

nn

n

n zazazaznxzX

1

11

11

.).()(

11

1

10

1

1

1

11

111)(

azza

za

zazazX

n

n

Với azhayza 11

Vậy 11

1)(

azzX , ROC : az (4)

Từ ví dụ 5.3 và ví dụ 5.4 ta thấy: Hai tín hiệu khác nhau có cùng biến đổi z nhưng ROC

khác nhau. Do đó, tín hiệu rời rạc x(n) xác định duy nhất bằng biến đổi z và ROC của nó.

Một số cặp biện đổi z thông dụng và miền hội tự tương ứng được cho trong bảng sau:

- 80 -



5.1.3Các tính chất của biến đổi z:

a. Tính chất tuyến tính

Trong đó a1 , a2 là các hằng số thì:

ROC[X(z)] = ROC[X1(z)] ∩ ROC[X2(z)]

Ví dụ 5.5 Tìm biến đổi z của tín hiệ sau:

Giải:

b. Tính chất dịch thời gian

Ví dụ 5.6 Tìm biến đổi z của tín hiệu sau:

Giải: Ta viết lại tín hiệu x(n) như sau:

Ta có cặp biến đổi z như sau:

Áp dụng tính chất trên ta có biến đổi z của x(n):

1 1

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

( ) ( )

x n X zx n a x n a x n X z a X z a X z a a

x n X z

( ) 3(0.8) ( ) 5( 1.2) ( )n nx n u n u n

1 2

1 2

( ) (0.8) ( ) ( ) ( 1.2) ( )&

3 5

n nx n u n x n u n

a a

11

21

1(0.8) ( ) , :| | 0.8

1 0.8

1( 1.2) ( ) , :| | 1.2

1 1.2

n

n

u n ROC zz

u n ROC zz

1 1

3 5( ) , :| | 1.2

1 0.8 1 1.2X z ROC z

z z

0

0

0

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

n

n

x n n z X zx n X z

x n n z X z

1( ) ( 2)

2

n

x n u n

21 1

( ) ( 2) 4 ( 2)2 2

n n

x n u n u n

1

1 14 ( ) 4 ; : 0.5

2 1 0.5

n

u n ROC zz

- 81 -



c. Nhân với hàm mũ Giả sử có dãy x(n) có biến đổi z tương ứng là X(z),có miền hội tụ tương ứng là ROC :

21 RzR thì dãy :

y(n) = anx(n) có biến đổi a là Y(z) =

n

n

n

nn

a

zX

a

znxznxa ))(()(

và miền hội tụ tương ứng cho Y(z) là ROCY(z) : 21 RazRa

Ví dụ 5.7 Cho dãy x(n) = 2

nu(n) xác định X(z), ROC.

Giải Trước tiên ta tìm biến đổi z của dãy u(n):

10

1

1

1)()()(

zzznuzU

n

n

n

n với ROC: 11 Z hay 1Z

Vậy 11 21

1

21

1

2)(

zz

zUzX với ROC: 1 2 2Z

d. Vi phân trong miền z: Giả sử biến đổi z của x(n) là X(z) và có miền hội tụ tương ứng là ROCX,khi đó biến đổi z

của n.x(n) tương ứng là:

Điều này có nghĩa là khi nhân một tín hiệu trong miền thới gian thì tương đương với việc

lấy vi phân(Đạo hàm) biến đổi z tương ứng sau đó nhân với (-z),miến hội tụ không thay đổi.

Ví dụ 5.8: Cho dãy x(n) = na

nu(n) xác định X(z), ROC.

Giải: Ta viết lại biểu thức của x(n):

Ta có biến đổi z của x1(n):

Áp dụng tính chất trên ta có biến đổi z của x(n):

e. Tích chập: Giả sử ta có:

2

1

1( ) 4 , : | | 0.5

1 0.5X z z ROC z

z

( )( ) ( ); ( ) ;X X

dX zx n X z ROC nx n z ROC

dz

1 1( ) ( ), ( ) ( )nx n nx n x n a u n

1 1 11

1( ) ( ) ( ) , :| | | |

1

nx n a u n X z ROC z aaz

1

1

21 1

( ) 1( ) ; :| | | |

1 1

dX z d azX z z z ROC z a

dz dz az az

1 1 1 2 2 2( ) ( ) : ; ( ) ( ) : ;x n X z ROC x n X z ROC

- 82 -



Khi đó ta có biến đổi z của x(n) = x1(n)*x2(n) tương ứng như sau:

Như vậy phép xử lý tích chập trong miền thời gian được chuyển thành phép nhân thông

thường trong miền z.

Ví dụ 5.9:

Tính tích chập của hai tín hiệu sau:

Giải:

Ta có: X1(z) = 1- 2z-1

+ z-2

; ROC1 : z 0;

X2(z) = 1+ z-1

+ z-2

+ z-3

+ z-4

+ z-5

; ROC2 : z 0;

Áp dụng tính chất trên:

X(z) = X1(z)X2(z) = (1- 2z-1

+ z-2

)(1+ z-1

+ z-2

+ z-3

+ z-4

+ z-5

)

= 1- z-1

- z-6

+ z-7

Suy ra: x(n) = 1,-1,0,0,0,0,-1,1

f. Đảo trong miền thời gian:

Tính chất phát biểu như sau:

Điều này có thể hiểu như sau:trong miền thời gian khi thay thế n bằng –n,trong miền z

thay z bằng z-1

.

Ví dụ 5.10:

Tính biến đổi z của tín hiệu sau: 1

( ) ( ) ( )3

nx n u n

Giải:

Áp dụng tính chất trên ta có: 1

:

1( ) ( ) ; | | 1/ 3

1 3XX z Y z ROC z

z

Ta có bảng tóm tắt các tính chất biến đổi z và miền hội tụ tương ứng:

1 2 1 2 1 2( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ); Xx n x n x n x z X z X z ROC ROC ROC

1 2( ) 1, 2,1; ( ) ( ) ( 6)x n x n u n u n

1( ) ( ) ( ) ( )x n X z x n X z

1( ) ( ) ( ) 3 ( )

3

n

ny n x n u n u n

1

1( ) ( ) , :| | 3

1 3Yy n Y z ROC z

z

- 83 -



5.1.4 Giản đồ cực – không(Pole - Zero):

Biến đổi z của các tín hiệu thực và các hệ thống LTI thường là một hàm hữu tỉ,nghĩa là

biến đổi z của các tín hiệu này có thể biểu diễn như sau:

0

( )( )

( )

Mr

r

r o

Nk

k

k

b zN z

X zD z

a z

Các khái niệm cực và không:

+ Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞, kí hiệu là zck, khi đó D(zck) = 0

+ Điểm không của X(z) là các điểm tại đó X(z) = 0, kí hiệu là zor, khi đó N(zor) = 0

Biểu diễn X(z) dưới dạng cực và không

Giả sử N(z) là đa thức bậc M của z khi đó:

N(z) = bM(z- zo1) (z- zo2) (z- zo3).... (z- zoM)=

M

r

orM zzb1

)(

Giả sử D(z) là đa thức bậc N của z khi đó:

D(z) = aN(z- zc1) (z- zc2) (z- zc3).... (z- zcN)=

N

k

ckN zza1

)(

Khi đó X(z) được viết lại như sau:

N

k

ck

M

r

or

N

M

zz

zz

a

bzX

0

1

)(

)(

)( hay ta có thể viết dưới dảng hàm của z-1

như sau:

N

k

ck

M

r

or

NM

N

k

ck

M

r

or

N

M

zz

zz

cz

zz

zz

z

zczX

1

1

1

1

)(

0

1

1

1

)1(

)1(

)1(

)1(

)(

Với c = bM/aN X(z) có M điểm không và N điểm cực. Để biểu diễn trên đồ thị các

điểm cực được đánh dấu bằng (*) và các điểm không được đánh dấu bằng (o)

Ví dụ 5.11:

Vẽ giản đồ cực – không của biến đổi z cho bởi tín hiệu sau: ( ) ( )x n u n

Giải:

Ta có:

Từ đó ta có:

1

1( ) ( ) ( )

1 1

zx n u n X z

z z

1

1

0( );

1( )

z zero

p Pole

- 84 -



5.2 BIẾN ĐỔI Z NGƢỢC

Định lí Cauchy:

Định lí Cauchy là một định lí quan trọng trong lí thuyết biến số phức, nó là cơ sở để

chúng ta xây dựng công thức của biến đổi z ngược.

Định lí Cauchy được phát biểu như sau:

C

kn

nk

nkdzz

j 0

1

2

1 1

Trong đó C là một đường cong kín bất kì,thông thường chọn đường cong C sao cho phép

lấy tích phân được dễ dàng.

5.2.1 Biến đổi z ngược:

Phép biến đổi một hàm X(z) trong miền z sang một hàm x(n) trong miền thời gian rời rạc

gọi là phép biến đổi z ngược,ký hiệu như sau:

Có nhiều phương pháp để thực hiện biến đổi z ngược như:

Dùng tích phân đường(Định lý Cauchy).

Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa(Dựa vào định nghĩa).

Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp(Dựa vào các biến đổi cơ bản).

5.2.2 Biến đổi z ngược dùng tích phân đường:

Từ biểu thức

n

nznxzX ).()( ta có:

n

nkk znxzzX 11 ).()( lấy tích phân trên miền hội tụ ROC của nó ta có :

n n ROC

knnk

ROC

k

ROC

dzznxdzznxdzzzX 111 )().()(

Áp dụng định lí Cauchy ta có:

n

k

ROC

nxdzzzXj

)()(2

1 1

với k = n

Hay )()()(2

1 1 kxkxdzzzXj n

k

ROC

vậy: dzzzXj

kx k

ROC

1)(2

1)(

hoặc ta có thể viết:

dzzzXj

kx k

ROC

1)(2

1)(

(5.2)

Biểu thức (5.2) được gọi là biểu thức của biến đổi Z ngược ( IZT – Invert Z Transform ).

Từ biểu thức (5.2) trong thực tế có nhiều phương pháp tìm biến đổi z ngược thuận tiện hơn

thực hiện bằng biểu thức (5.2).

Nội dung của phương pháp là dùng lí thuyết thặng dư để thực hiện biểu thức (5.2).

1( ) ( )x n Z X z

- 85 -



5.2.3 Phương pháp khai triển thành chuỗi luỹ thừa.

Do X(z) là hàm của một chuỗi luỹ thừa theo z vì vậy trên miền hội tụ của nó ta có thể khai

triển X(z) dưới dạng:

n

n

n zazX )( mà theo định nghĩa của biến đổi z ta có:

n

nznxzX )()(

Do vậy x(n) = an với -∞ < n < ∞

Có nghĩa là các hệ số của z-n

chính là các giá trị của x(n). Ví dụ 5.12:

Hãy xác định x(n) biết: X(z) = z +2 + 2.z-1

+ 3.z-2

– 4.z-4

Giải:

Từ định nghĩa của biến đổi z ta có: x(n) =1,2,2,3,0,-4 hay ta có thể viết:

x(n) = δ(n+1) + 2δ(n) + 2δ(n-1) +3δ(n-2) - 4δ(n-4) Ví dụ 5.13:

Cho 2

)(

z

zzX hãy xác định x(n) với:

a. ROC[X(z)] là: 2z

b. ROC[X(z)] là: 2z

Giải:

a. Đây là tín hiệu nhân quả có chiều dài vô hạn vậy ta có:

121

1

2)(

zz

zzX ta thực hiện phép chia tử số cho mẫu số(chia đa thức)ta sẽ có:

X(z) =

0

)2(n

nn z suy ra: x(n) = (-2)nu(n)

b. Đây là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn:

Ta có: 12

1

2)(

1

zz

zzX

Tương tự như trên cuối cùng ta có:

X(z) =

1

)2(n

nn z vậy x(n) = -(-2)nu(-n-1)

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có nếu X(z) có dạng: ckzz

zzX

)( thì ta có biến đổi z ngược

IZT[X(z)]= x(n) =

ck

n

ck

ck

n

ck

zznuz

zznuz

)1()(

)()(

Ví dụ 5.14:

Tìm biến đổi z ngược của X(z) sau:

Giải:

Dùng phương pháp chia đa thức(chia tử số cho mẫu số)ta có biểu thức X(z) được biến đổi

như sau:

1 2

1( ) , :| | 1

1 1.5 0.5X z ROC z

z z

- 86 -



ta có chuỗi x(n) như sau(dựa vào định nghĩa biến đổi z):

5.2.4 Phương pháp phân tích thành các phân thức sơ cấp:

Trường hợp biểu thức X(z) cần biến đổi là một hàm hữu tỉ:

Giả sử X(z) là hàm hữu tỷ với a0 = 1

N

k

k

k

M

or

r

r

za

zb

zD

zNzX

1

1)(

)()(

Nếu M ≥ N thì ta có thể biểu diễn X(z) như sau:

NM

k

k

kN

k

k

k

M

or

r

r

zD

zNzc

za

zb

zD

zNzX

0

1

1

)(

)(

1)(

)()( đa thức

NM

k

k

k zc0

dễ dàng xác định được biến

đổi z ngược của nó nhờ tính chất dịch trễ trong miền thời gian.

Còn đa thức N1(z)/D(z) là đa thúc có bậc của D(z) lớn hơn bậc của N1(z).

Bây giờ ta xét trường hợp M<N.

N

k

k

k

M

or

r

r

za

zb

zD

zNzX

1

1)(

)()( , M<N và aN ≠ 0 ta sẽ khai triển đa thức này thành các phân thức

tối giản.

Nếu X(z) chỉ có các cực đơn thì ta có:

N

k ck

k

zz

A

zD

zNzX

1 )()(

)()( trong đó zck là các cực của X(z), Ak được xác định như sau:

ckzzckkzD

zNzzA

)(

)()(

- Nếu X(z) có 1 cực bội, giả sử cực bội bậc s là zci các cực còn lại là các cực đơn thì ta có:

sN

ik

k

s

jj

cj

j

ck

k

zz

c

zz

AzX

1 1 )()()( trong đó :

ckzzckkzD

zNzzA

)(

)()( ;

cizzcijs

js

jzD

zNzz

dz

d

jsc

)(

)()(

)!(

1

Nếu X(z) có nhiều hơn một cực bội thì ta làm tương tự như trên.

Sau khi khai triển xong X(z) ta sẽ tìm biến đổi z ngược của X(z) của các phân thức tối giản

bởi các công thức sau:

1 2

1 2

1 3 7( ) 1 .....

1 1.5 0.5 2 4X z z z

z z

- 87 -



)()( nuzzz

zIZT n

ck

ck

(dãy nhân quả)

)1()(1 1

nuzzz

IZT n

ck

ck

(dãy phản nhân quả)

Tổng quát ta có: )(!

)1).....(1(

)( 1nuz

m

mnnn

zz

zIZT mn

ckm

ck

với dãy nhân quả.

)1(!

)1).....(1(

)( 1

nuz

m

mnnn

zz

zIZT mn

ckm

ck

với dãy phản nhân quả.

Ví dụ 5.15:

Tìm biến đổi ngược của X(z) như sau: Giải:

Biến đổi X(z) về dạng phân thức sơ cấp:

Áp dụng những công thức biến đổi z cơ bản ta có:

Suy ra:

Ví dụ 5.16:

Tìm biến đổi ngược của X(z) như sau:

Giải:

Biểu diễn X(z) thành các phân thức sơ cấp(X(z) có hai nghiệm thực đơn):

Tính A1 và A2 như sau:

1 2

1( ) , :| | 1

1 1.5 0.5X z ROC z

z z

1 2 1 1

1 1

1 1( )

1 1.5 0.5 (1 )(1 0.5 )

2 1

1 1 0.5

X zz z z z

z z

1

1

1

1( ) ,| | 1

1 1( ) , | | | |

11(0.5) ( ) ,| | 0.5

1 0.5

n

n

u n Zz

a u n z aaz

u n zz

( ) 2 ( ) (0.5) ( )nx n u n u n

1 2

1( ) , :| | 1

1 1.5 0.5X z ROC z

z z

1

1 2

2 2.05( )

1 2.05

zX z

z z

1 1

1 2

1 2 1 1 1 1

2 2.05 2 2.05( )

1 2.05 (1 0.8 )(1 1.25 ) (1 0.8 ) (1 1.25 )

A Az zX z

z z z z z z

11

1 0.8 1

0.8

2 2.05(1 0.8 ) ( ) 1

1 1.25z

z

zA z X z

z

- 88 -



Các chuỗi x(n) có thể:

Ví dụ 5.17:

Tìm biến đổi ngược của X(z) như sau:

Giải:

Biểu diễn X(z) thành các phân thức sơ cấp:

Tính các hệ số Ai:

Như vậy ta có:

Chuỗi tín hiệu x(n) trong miền thời gian có thể:

5.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z

5.3.1 Hàm truyền hệ thống LTI:

Chúng ta đã biết trên miền thời gian n một hệ thống tuyến tính và bất biến (LTI) được đặc

trưng bởi đáp ứng xung hoặc phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng(Phương trình I/O).

Nhưng việc phân tích hệ thống nhiều khi gặp phải sự khó khăn của việc tính tích chập, giải

phương trình sai phân.... Trong phần trước chúng ta đã biểu diễn tín hiệu sang miền biến số z,

bây giờ ta sẽ phân tích hệ thống LTI trên miền z, trước tiên ta tìm hiểu khái niệm hàm truyền

đạt(Hàm truyền) của hệ thống. Xét một hệ thống xử lý H,quan hệ ngõ vào và ra của hệ thống:

11

2 1.25 1

1.25

2 2.05(1 1.25 ) ( ) 1

1 0.8z

z

zA z X z

z

(0.8) ( ) (1.25) ( ), | | 1.25

( ) (0.8) ( ) (1.25) ( 1), 1.25 | | 0.8

(0.8) ( 1) (1.25) ( 1), | | 0.8

n n

n n

n n

u n u n z

x n u n u n z

u n u n z

2

2

1 10( )

0.25

z zX z

z

2 1 2

1 202 2 1 1

1 10 10( )

0.25 1 0.25 1 0.5 1 0.5

A Az z z zX z A

z z z z

1 2

0 0 2

0

10( ) 4

0.25z

z

z zA X z

z

1

1 0.5(1 0.5 ) ( ) 4zA z X z

1

2 0.5(1 0.5 ) ( ) 2zA z X z

1 1

4 2( ) 4

1 0.5 1 0.5X z

z z

4 ( ) 4(0.5) ( ) 2( 0.5) ( ); | | 0.5( )

4 ( ) 4(0.5) ( 1) 2( 0.5) ( 1); | | 0.5

n n

n n

n u n u n zx n

n u n u n z

- 89 -



Như vậy hàm truyền đạt của hệ thống LTI chính là biến đổi z của đáp ứng xung h(n) của

nó. Hàm truyền đạt được kí hiệu là H(z) và nó cũng đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trên

miền z.Nghĩa là khi chuyển sang miền z việc phân tích hay thiết kế hệ thống hoàn toàn dựa

vào hàm truyền H(z) của hệ thống.

Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bởi phương trình I/O.Quan hệ giữa đầu vào và

đầu ra của một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sau:

N

k

M

r

rk rnxbknya0 0

)()( ;

Lấy biến đổi Z hai vế phương trình trên ta có:

nN

k

M

r

r

n

n

k

n

zrnxbzknya

0 0

)()(

Áp dụng tính chất trễ và tuyến tính ta có:

rrn

n n

M

r

r

kknN

k

k zzrnxbzzknya

)(

0

)(

0

)()(

Suy ra : )(

0

)(

0

)()( rn

n n

M

r

r

r

knN

k

k

k zrnxzbzknyza

N

k

k

k

M

r

r

r

M

r

r

r

N

k

k

k

za

zb

zX

zYzH

zXzbzYza

0

0

00

)(

)()(

)(.)(.

Nếu a0 = 1 thì ta có:

N

k

k

k

M

r

r

r

za

zb

zH

1

0

1

)(

Chú ý:

Ta cũng có thể biểu diễn H(z) dưới dạng hàm của z-1

, hoặc các cực và không của nó.

5.3.2 Giải phương trình I/O sử dụng biến đổi z:

Để giải phương trình I/O ta tìm hiểu khái niệm biến đổi z đơn hướng.

Biến đổi z đơn hướng(một bên)

Biến đổi z đơn hướng được định nghĩa như sau:

- 90 -



0

)()(n

nznxzX

Các tính chất của biến đổi z đơn hướng cũng giống như tính chất của biến đổi z từ tính

chất dịch thời gian như sau:

Nếu ZT+

[x(n) ] = X+(z) thì

ZT+ [x(n-k)] = z

-k

k

n

nznxzX1

)()( với k > 0

ZT+ [x(n+k)] = z

k

1

1

)()(k

n

nznxzX với k < 0

5.3.3 Phân tích hệ thống LTI sử dụng biến đổi z:

Các phần tử thực hiện hệ thống trên miền z cũng giống như trên miền n, chỉ khác kí hiệu

của phần tử dịch ta thay D = Z-D

Nguyên tắc phân tích hệ thống

Phân tích hệ tổng quát thành các hệ nhỏ hơn ( các khối nhỏ hơn )

Tìm mối quan hệ giữa các khối nhỏ hơn này.

Xác định hàm truyền đạt Hi(z) cua các khối nhỏ.

Tổng hợp hàm truyền đạt từ cách phân tích ở trên.

Một số quy tắc biến đổi sơ đồ khối

Hệ gồm các khối mắc nối tiếp

H(z) = H1(z).H2(z)...Hn(z)

Vậy hệ gồm các khối mắc nối tiếp sẽ tương đương với hệ thống có hàm truyền đạt là tích của

các hàm truyền đạt thành phần.

Hệ gồm các khối mắc song song.

H(z) = H1(z) + H2(z) + ...+ Hn(z) Vậy hệ thống gồm các khối mắc song song với nhau sẽ tương đương với hệ thống có hàm

truyền đạt là tổng của các hàm truyền đạt thành phần.

Hệ có hồi tiếp

5.3.4 Tính ổn định và nhân quả của hệ thống LTI:

Đối với một hệ thống tuyến tính bất biến, nếu tín hiệu ở đầu vào không có nhưng ở đầu ra

của hệ thống vẫn xuất hiện tín hiệu thì hệ thống đó là hệ thống không ổn định.

Trong chương trước chúng ta đã xét độ ổn định của hệ thống LTI nó được đặc trưng bởi

các tính chất của đáp ứng xung h(n) của nó, cụ thể: Một hệ thống LTI là ổn định nếu điều

kiện sau đây thoả mãn:

n

nhS )(

Trong miền z thì ta có:

n

nznhzH )()( với miền hội tụ của nó: hh RzR

- 91 -



So sánh với điều kiện hội tụ trên miền n thì ta thấy để điều kiện ổn định trên miền n thoả

mãn thì H(z) phải hội tụ với 1z nghĩa là nó hội tụ trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z,

vì thế miền hội tụ của H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị.

Vậy ta có thể phát biểu điều kiện ổn định của một hệ thống LTI trên miền z như sau: Một

hệ thống LTI là ổn định khi và chỉ khi vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z nằm trong miền hội

tụ của hàm truyền đạt của hệ thống.

Sự ổn định của hệ thống nhân quả Trong thực tế chúng ta chỉ gặp các hệ thống nhân quả ổn định, vì vậy ta sẽ xét sự ổn định

của các hệ thống này.

Do hàm truyền đạt của hệ thống nhân quả được viết như sau:

h

on

n RznhzH z:ROC)()( trong đó

n

h nhR )(lim ( Cauchy)

Từ đây ta có một số nhận xét sau :

- Một hệ thống là nhân quả nếu miền hội tụ của hàm truyền đạt nằm ngoài vòng tròn

đường kính R-h

- Đối với LTI điều kiện nhân quả và ổn định là độc lập với nhau,nghĩa là hệ thống ổn

định chưa chắc đã nhân quả và ngược lại.

- Trong thực tế chúng ta chỉ xét các hệ thống thực hiện được về mặt vật lý đó là các hệ

thống ổn định và nhân quả.

- Vậy điều kiện để hệ thống LTI nhân quả và ổn định là : Miền hội tụ của hàm truyền đạt

H(z) của nó phải thoả mãn :

1

h

h

R

Rz

Rõ ràng miền hội tụ của H(z) không chứa bất cứ điểm cực zck nào do đó ta có thể nói :

Một hệ thống LTI nhân quả và ổn định khi và chỉ khi tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt

nằm trong vòng tròn đơn vị(vòng tròn trên mặt phẳng phức có bán kính bằng 1).

Ngoài ra ta có thể xem xét tính ổn định của hệ thống LTI thông qua các điểm cực của

hàm truyền H(z) của hệ thống :Một hệ thống LTI nân quả có tính ổn định khi các điểm cực

của hệ thống có biên độ nhỏ hơn 1(nằm trong vòng tròn đơn vị).

Ví dụ 5.18:

Hệ thống LTI được cho Bởi phương trình I/O như sau:

y(n) = a.y(n-1) + x(n)

- 92 -



Tìm H(z), h(n)

Xét sự ổn định của hệ nhân quả

Giải:

- Lấy biến đổi z hai vế của pt ta có:

Y(z) = a.z-1

Y(z) + X(z)

Suy ra 11

1

)(

)()(

azzX

zYzH

H(z) có 1 điểm cực là zc =a

Nếu H(z) là hàm truyền đạt của hệ nhân quả thì ta có ROC : az thì ta có:

h(n) = IZT[H(z)] = anu(n)

Nếu H(z) là hàm truyền đạt của hệ phản nhân quả thì ta có ROC : az thì ta có:

h(n) = IZT[H(z)] = -anu(-n-1)

- Sự ổn định của hệ nhân quả: Theo điều kiện của hệ nhân quả ổn định thì ta phải có a< 1

thì hệ nhân quả trên sẽ ổn định

Ví dụ 19:

Xét sự ổn định của hệ thống LTI nhân quả có hàm truyền đạt sau:

2

1

12)(

2

2

zz

zzzH

Giải:

Tìm các zck, hệ có zc1=1/2 + j1/2, zc1=1/2- j1/2

Đây là 2 điểm cực nằm trong vòng tròn đơn vị vậy hệ thống nhân quả đã cho là ổn định.

Ví dụ 20:

Hệ thống LTI có hàm truyền như sau:

Tìm đáp ứng xung nhân quả của hệ thống và xét tính nhân quả tương ứng của hệ thống .

Giải:

Phân tích hàm truyền H(z) ta có:

H(z) có hai cực tại z = 1/2 và z = 3. Do đó, để thỏa điều kiện nhân quả thì ROC: |z|>3.

Đáp ứng xung của hệ thống:

Lúc này, hệ thống sẽ không ổn định do ROC không chứa vòng tròn đơn vị.

1

1 2

3 4( )

1 3.5 1.5

zH z

z z

1

1 2 1 1

3 4 1 3( )

1 3.5 1.5 1 0.5 1 3

zH z

z z z z

1( ) ( ) 2.3 ( )

2

n

nh n u n u n

- 93 -




BIẾN ĐỔI Z

5.1. Tìm biến đổi Z và miền hội tụ của các dãy:

a) )(3

1)( nunx

n

d) )2(

2

1)(

nunnx

n

b) )1(3)2(2

1)(

nununx n

n

e)

n

nnx

2

1)(

c)

n

nx

4

3)( f)

)1(

2)(

nun

nx

n

.

5.2. Tìm biến đổi Z ngược của các hàm sau:

a) zzzzX 0:)(34)( 22 d) 5.0:)5.01ln()( 1 zzzX

b) 2:231

1)(

21

z

zzzX e) zezX

1

)( , biết x(n) nhân quả.

c) 1:)1)(1(

1)(

21

z

zzzX

5.3. Cho )(3)( nunx n và )()5.0()( nunh n . Tìm y(n) = x(n)*h(n) thông qua phép

biến đổi Z.

5.4. Cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả đặc trưng bởi phương trình I/O sau:

y(n) + 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n), biết y(n) = 0: n<0

a) Tìm hàm truyền đạt và xét tính ổn định của hệ thống

b) Tìm đáp ứng xung của hệ thống

c) Tìm đáp ứng ra y(n), biết x(n) = 3n u(n).

5.5. Cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả được mô tả bởi sơ đồ:

Với giá trị nào của k thì hệ thống ổn định.

5.6. Cho hệ thống tuyến tính bất biến có hàm truyền đạt:

252

54)(

2

2

zz

zzzH

a) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là nhân quả.

b) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là phản nhân quả.

c) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là ổn định.

k/3

y(n

) x(n) + +

z-1

k/2

z-1

- 94 -



5.7. Tìm tín hiệu ngõ ra của các hệ thống sau được cho bởi phương trình I/O và tín hiệu ngõ

vào được cho tương ứng:

a) y(n) - 2

1y(n – 1) = x(n), biết: )(

3

1)( nunx

n

và y(-1) = 1.

b) y(n) +4

3y(n – 1) +

8

1 y(n – 2) = x(n), biết và y(-1) = -1, y(-2) = 1.

c) y(n) - 2y(n-1) + y(n-2) = 0.5x(n) + 0.5x(n-1), biết )(5.0)( nunxn

và y(-1) = 0.75, y(-2) = 0.25.

d) y(n) – 3y(n-1) – 4y(n-2) = x(n) + 2 x(n-1), biết: y(-1) =1; y(-2) = 3 và x(n) = 4nu(n)

5.8.Cho hai tín hiệu như sau:

1x (n) (n) 2 (n 2) (n 3) .

2x (n) 2 (n 1) (n 2) (n 4) .

Tìm x(n) = x(n)1*x(n)2 thông qua biến đổi z,kiểm chứng lại bằng phương pháp tích chập

trong miền thời gian.

5.8.Cho biết đáp ứng xung tương ứng như sau:

n

1

n

2

h (n) 0.25 u(n).

h (n) 0.5 u(n).

Dùng biến đổi z tìm đáp ứng xung của hệ thống cho bởi sơ đồ sau:

h2(n) h1(n)y(n)

h(n)

x(n)


n

1

n

2

n

3 4

1h (n) u(n).

3

1h (n) u(n).

2

1h (n) u(n) h (n).

5

.


h1(n) +x(n) y(n)

h2(n)

h4(n) h3(n) -

- 95 -




n

1

n

2

n

3

1h (n) u(n).

3

1h (n) u(n).

2

1h (n) u(n)

5

.


5.11.Hệ thống FIR cho bởi sơ đồ sau,tìm đáp ứng xung tương ứng của hệ thống:

5.12.Hệ thống IIR cho bởi sơ đồ sau,tìm hàm truyền và đáp ứng xung tương ứng của hệ

thống:

5.13.Hệ thống cho bởi sơ đồ sau,tìm hàm truyền và đáp ứng xung tương ứng của hệ thống:

h1(n) +x(n) y(n)

h1(n)

h3(n) h2(n) -+

z-1

+x(n) y(n)

z-1

0.5

- 96 -



Chƣơng 6

PHÂN TÍCH TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ

Mục đích

Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc trong miền thời gian.

Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z.

Biểu diễn hệ thống LTI trong miền tần số.

Phân tích tín hiệu trong miền tần số.

6.1 CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HOÀN

Xét một tín hiệu x(n) là tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N,nghĩa là ta có:

x(n) = x(n+N),n Ta có khai triển Fourier cho tín hiệu x(n) như sau:

Trong đó các hệ số ck của x(n) được tính như sau:

Qua việc phân tích trên ta thấy từ một tín hiệu x(n) rời rạc trong miền thời gian,tín hiệu

được biểu diễn trong miền tần số thông qua các hệ số ck.Chú ý các hệ số ck cũng tuần hoàn

với chu kỳ N.

Ví dụ 6.1:

Cho tín hiệu x(n) = 10,1,0,0 tuần hoàn với chu kỳ N = 4.

Hãy xác định các hệ số ck,biểu diễn x(n) theo ck,vẽ ck.

Giải:

Ta có các hệ số ck được tính như sau:

12 /

0

( )N

j kn N

k

k

x n c e

12 /

0

1( ) , 0,..., 1

Nj kn N

k

n

c x n e k NN

- 97 -



1 32 / 2 /4

0 0

3

0

0

32 /4 0 /2

1

0

30

2

0

3

1 1( ) ( ) ; 0,1,2,3

4

1 1 1* 0 : ( ) (1 1 0 0)

4 4 2

1 1 1* 1: ( ) (1 1 ) (1 )

4 4 4

1 1* 2 : ( ) (1 1 ) 0

4 4

1* 3: ( )

4

Nj kn N j kn

k

n n

n

j n j

n

j n j

n

c x n e x n e kN

k c x n

k c x n e e e j

k c x n e e e

k c x n e

3

3 /2 0 3 /2

0

1 1(1 1 ) (1 )

4 4

j n j

n

e e j

Ta thấy ck là các giá trị phức,vì vậy ta phân tích các hệ số ck ra các thành phần biên độ và

góc pha tương ứng như sau:

Các hệ số ck là các biểu diễn của x(n) trong miền tần số(Biến đổi DTFT),vì vậy các biên độ và

các góc pha tương ứng là phổ biên độ và phổ pha của x(n).

Ta có biểu diễn phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau:

Khi đã có phổ biên độ và phổ pha ta có thể tính toán được công suất trung bình của tín

hiệu cũng như biểu diễn mật độ phổ của tín hiệu thông qua các hệ số ck này.

Công suất trung bình tín hiệu tính toán trong miền thời gian:

Công suất được tính theo ck như sau:

Như vậy công suất trung bình của tín hiệu rời rạc tuần hoàn có thể được tính toán như sau:

Ví dụ 6.2:

Cho tín hiệu x(n) = 10,1,0,0 tuần hoàn với chu kỳ N = 4.

0 1 2 3

1 2 2| | ;| | ;| | 0;| | ;

2 4 4c c c c 0 1 2 30; ; 0; ;

4 4c c c c

Phổ biên độ

12

0

1| ( ) |

N

x

n

P x nN

1 1 1* * 2 /

0 0 0

1 1 1* 2 / 2

0 0 0

1 1( ) ( ) ( )

1( ) | |

N N Nj kn N

x k

n n k

N N Nj kn N

k k

k n k

P x n x n x n c eN N

c x n e cN

1 12 2

0 0

1| ( ) | | |

N N

x k

n k

P x n cN

- 98 -



Hãy xác định và vẽ mật độ phổ,xác định công suất trung bình của tín hiệu.

Giải:

Theo kết quả ví dụ 6.1 ta có công suất trung bình của tín hiệu như sau:

Mật độ phổ của tín hiệu x(n): 2 2 2 2

0 1 2 3

1 1 1| | ;| | ;| | 0;| | ;

4 8 8c c c c

Đồ thị biểu diễn hàm mật độ phổ của tín hiệu:

6.2 BIẾN ĐỔI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC

6.2.1 Định nghĩa:

Như trình bày ở phần trên là biến đổi DTFT của tín hiệu rời rạc tuần hoàn,phần này là

trình bày phép biến đổi DTFT(Discrete Time Fourier Transform) cho tín hiệu rời rạc không

tuần hoàn.

Ta có biến đổi DTFT(Biến đổi thuận) của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn như sau:

Biến đổi ngược DTFT như sau:

Phổ của tín hiệu rời rạc x(n) không tuần hoàn là một hàm liên tục theo tần số Ω và tổng

quát là một hàm phức.Do đó để dễ phân tích thường ta phân tích phổ thành phổ thực và phổ

ảo hoặc thành phổ biên độ và phổ pha.

Ta có các tính chất cho phổ biên độ và phổ pha(nếu x(n) là tín hiệu thực):

1 32 2

1 1

1 1 1 10

4 8 8 2

N

x k k

k k

P c c

Mật độ phổ

( ) ( ) j n

n

X x n e

1( ) ( )

2

j nx n X e d

- 99 -



Có nghĩa là phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha là hàm lẻ.

Chú ý không phải bất kỳ tín hiệu nào cũng tồn tại biến đổi DTFT,chỉ những tín hiệu năng

lượng mới tồn tại phép biến đổi DTFT.Điều kiện để một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn tồn

tại phép biến đổi DTFT là:

Ví dụ 6.3:

Cho tín hiệu x(n) =(0.5)nu(n). Hãy xác định phổ X() ?

Giải:

Trước tiên ta xem xét x(n) có tồn tại phép biến đổi DTFT hay không:

Như vậy tín hiệu x(n) tồn tại phép biến đổi DTFT.

Ta có biến đổi DTFT(phổ của x(n)) của x(n) như sau:

Ví dụ 6.4:

Cho tín hiệu x(n) = anu(n), |a|<1.

Hãy vẽ các thành phần phổ thực / phổ ảo, phổ biên độ/ phổ pha của tín hiệu x(n)?

Giải:

Với điều kiện |a|<1 nên x(n) tồn tại biến đổi DTFT.

Phổ của tín hiệu: 0

1( ) ( ) ( )

1

j n j n

jn n

X x n e aeae

Phân tích phổ thành phổ thực và phổ ảo:

Đồ thị biểu diễn phổ thực và ảo của x(n) như trong hình vẽ 6.1:

Tương tự ta có thể phân tích phổ của tín hiệu ra phổ biên độ và phổ pha:

| ( ) | ( ) |

( ) ( )

X X

X X

| ( ) |n

x n

0

1( ) (0.5) 2

1 0.5

n

n n

x n

0 0

1( ) ( ) (0.5) (0.5 )

1 0.5

j n n j n j n

jn n n

X x n e e ee

Hình vẽ 6.1

2 2 2

1 1 cos sin 1 cos sin( ) ( ) ; ( )

(1 )(1 ) 1 2 cos 1 2 cos 1 2 cos

j

R Ij j

ae a ja a aX X X

ae ae a a a a a a

- 100 -



Đồ thị biểu diễn phổ biên độ và phổ pha như trong hình vẽ 6.2:

Ví dụ 6.4:

Cho tín hiệu x(n) có phổ như hình vẽ 6.3,tìm x(n)

Giải:

Áp dụng công thức biến đổi DTFT ngược ta có:

Tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn lại như sau:

Đồ thị biểu diễn x(n) như hình vẽ 6.4:

Khi có được phổ của tín hiệu ta có thể tính năng lương của tín hiệu thông qua mật độ phổ

của tín hiệu:

Hình vẽ 6.2

Hình vẽ 6.3

0

0

0

0

sin, 0

1 1( ) ( )

2 2, 0

j n j n

nn

nx n X e d e d

n

00( )x n Sa n

Hình vẽ 6.4

- 101 -



6.2.2 Các tính chất của DTFT:

Các tính chất của phép biếnđổi DTFT được trình bày trong bảng sau:

Số

thứ

tự

Tính chất Miền thời gian (n) Miền tần số (Ω)

1

Giả sử ta có:

x(n) X(Ω)

2 x1(n) X1(Ω)

3 x2(n) X2(Ω)

4 Tuyến tính

5 Dịch trong miền

thời gian x(n-k) e

jΩk X(Ω)

6 Đảo trong miền

thời gian x(-n) X(-Ω)

7 Tích chập(trong

miền thời gian)

8 Dịch trong miền

tần số

9 Điều chế

10 Nhân trong miền

thời gian

11 Vi phân trong

miền tần số nx(n)

12 Conjugation

Ví dụ 6.5:

Cho các tín hiệu x1(n) = x2(n) = 1,10,1. Tính x(n) = x1(n)*x2(n) ?

2 21| ( ) | | ( ) |

2x

n

E x n X d

1 2( ) ( )x n x n

0( )x n Cos n

0 ( )j n

e x n

1 2( ) ( )x n x n 1 2( ) ( )X X

1 1 2 2( ) ( )a x n a x n1 1 2 2( ) ( )a X a X

0( )X

0 0

1( ) ( )

2X X

1 2

1( ) ( )

2X X

( )dXj

d

( )x n ( )X

- 102 -



Giải:

Như trong chương 4 giải quyết trong miền thời gian là bài toán tích chập:

Hoặc như trong chương 5 ta có hướng giải quyết như sau:

Sau đó ta dùng phép biến đổi z ngược đối với X(z) ta có được x(n).

Trong chương này bài toán được giải quyết trong miền tần số như sau:

Sau đó dùng biến đổi DTFT ngược đối với X(Ω) ta có được x(n).

Ta có:

Từ đó suy ra:

Dựa vào định nghĩa phép biến đổi DTFT ta có được x(n):

x(n) = 1,2,30,2,1.

6.2.3 Mối quan hệ giữa biến đổi z và DTFT:

Trong phần này ta tìm hiểu mối liên quan giữa phép biến đổi DTFT và phép biến đổi

z.Cho một tín hiệu x(n) trong miền thời gian ta có biến đổi DTFT và biến đổi z tương ứng

như sau:

Từ hai định nghĩa của hai phép biến đổi trên ta có phép thay thế tương đương cho hai phép

biến đổi này như sau:

Ví dụ 6.6:

( ) ( )

( ) ( )

n

n

jn

n

X z x n z

X x n e

1 2( ) ( ) ( )x n x n x n

1 2( ) ( ) ( )X X X

0

2 1 1( ) ( ) ( ) 1 2cosj n j j

n

X X x n e e e e

0 0

2 1

2 2

2 2

2 2

( ). ( )

1 2cos 1 2cos 1 2cos 1 4cos 4cos

1 4cos 2 2cos 2 3 4cos 2cos 2

3 2( ) ( )

2 3 2

j j j j

j j j j

j j j j

X X e e e e e e

e e e e

e e e e

( ) ( ) ( ) ( )j je z z eX z X hayX X z

- 103 -



Tìm biến đổi z và biến đổi DTFT của tín hiệu sau: ( ) 0.5 ( )n

x n u n

Giải:

Ta có biến đổi z của x(n) như sau:

1

1( ) ; : 0.5

1 0.5X z ROC z

z

Ta có biến đổi DTFT của x(n) tương ứng như sau:

1

1 1( ) ( ) ;

1 0.5 1 0.5j

jjz e

z e

X X zz e

6.3 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ

6.3.1 Đáp ứng tần số:

Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung tương ứng là h(n),biến đổi DTFT tương ứng của h(n) ta

có được H(Ω) gọi là đáp ứng tần số của hệ thống LTI này.

( ) ( ) j n

n

H h n e

H(Ω) đặc trưng đầy đủ các tính chất của hệ thống trong miền tần số,tổng quát H(Ω) là một

hàm phức theo Ω,do đó ta thường phân tích H(Ω) ra thành thành phần biên độ và pha(hay là

thành phần thực và ảo):

( )( ) ( )

j HH H e

Trong đó:

( )H : gọi là đáp ứng biên độ theo tần số(thường gọi tắc là đáp ứng biên độ của hệ

thống).

( )H : gọi là đáp ứng pha theo tần số(thường gọi là đáp ứng pha của hệ thống).

Một hệ thống muốn tồn tại đáp ứng tần số thì hệ thống đó phải ổn định,nghĩa là đáp ứng

xung của hệ thống phải thỏa: ( )

n

h n

(hữu hạn)

- 104 -



Ví dụ 6.6:

Cho hệ thống LTI thể hiện bởi phương trình I/O như sau:

( ) 0.9 ( 1) 0.1 ( )y n y n x n

Xác định đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống trên.

Giải:

Như trong chương 4 ta có đáp ứng xung của hệ thống được tính như sau:

h(n) = 0.9h(n-1) + 0.1(n)

n = 0: h(0) = 0.9h(-1) + 0.1(0) = 0.1

n = 1: h(1) = 0.9h(0) + 0.1(1) =0.9*0.1

n = 2: h(2) = 0.9h(1) + 0.1(2) = 0.92*0.1;

……………

h(n) = 0.1 (0.9)n.u(n)

Dựa vào đáp ứng xung có được ta nhận xét hệ thống trên là ổn định,có nghĩa là hệ thống

trên tồn tại DTFT.Ta có biến đổi DTFT của h(n) như sau:

Từ biểu thức của H(Ω) ta có thành phần biên độ và pha tương ứng:

Từ đáp ứng biên độ và pha ta có đồ thị biểu diễn cho đáp ứng biên độ - tần số và đáp ứng

0

( ) ( ) 0.1 (0.9)

1 0.10.1

1 0.9 1 0.9cos 0.9sin

j n n j n

n n

j

H h n e e

e j

0.1 0.9sin| ( ) | ; ( )

1 0.9cos1.81 1.8cosH H arctg

Hình vẽ 6.5

Đáp ứng biên độ - tần số Đáp ứng pha - tần số

- 105 -



pha – tần số như hình vẽ 6.5:

6.3.2 Quan hệ trong miền tần số:

Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung tương ứng là h(n),đáp ứng tần số H(Ω),ta có quan hệ

giữa ngõ vào và ra với hệ thống như sau:

Mặt khác khi ghép các hệ thống LTI với nhau ta xem xét quan hệ của các hệ thống khi

ghép với nhau như thế nào.

Xét hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau:

Như vậy khi ghép nối tiếp với nhau sẽ tạo ra một hệ thống mới có đáp ứng tần số bằng tích

hai đáp ứng tần số hai hệ thống thành phần.

Tương tự như vậy ta có đáp ứng tần số của hai hệ thống ghép song song với nhau:

Ví dụ 6.7:

Cho hệ thống LTI có đáp ứng xung như sau:

( ) 0.5 ( )n

h n u n

Xác định đáp ứng ngõ ra y(n) của hệ thống khi tín hiệu ngõ vào là x(n):

( ) 0.25 ( )n

x n u n

Giải:

Ta có đáp ứng tần số tương ứng của hệ thống:

1( )

1 0.5 jH

e

Phổ của tín hiệu ngõ vào:

- 106 -



1( )

1 0.25 jX

e

Phổ của tín hiệu ngõ ra:

1 1( ) ( ) ( )

1 0.25 1 0.5

2 1

1 0.5 1 0.25

j j

j j

Y X He e

e e

Dùng phép biến đổi DTFT ngược ta có:

( ) 2(0.5) ( ) 0.25 ( )nny n u n u n

Ví dụ 6.8:

Cho hệ thống LTI có đáp ứng xung như sau:

( ) 0.5 ( )n

h n u n

Xác định đáp ứng ngõ ra y(n) của hệ thống khi tín hiệu ngõ vào là x(n):

( ) 5 12sin( ) 20cos( )2 4

nx n n

Giải:

Ta có đáp ứng tần số của hệ thống:

Ta phải xác định ngõ ra tương ứng thành phần tần số: 0; /2; .

1| ( ) |

1 1.25 cos( )

1 / 2 0.5sin( )

1 0.5cos

j

H

He

H arctg

- 107 -



Ta biết rằng quan hệ tín hiệu vào và ra khi hệ thống là LTI,tín hiệu vào là các tín hiệu điều

hòa.

Thay lần lượt vào đáp ứng biên độ và đáp ứng pha ta có:

1 1* 0 : | (0) | 2

0.51.25 1

(0) 0 0

1 1* / 2 : | ( ) | 0.89

2 1.121.25 0

( ) 0.5 0.152

1 1* : | ( ) | 0.67

1.51.25 1

( ) 0 0

( ) 5 | (0) | 12 | ( ) | sin ( )2 2 2

20 | ( ) | sin

H

H arctg

H

H arctg

H

H arctg

y n H H n H

H n H

( )

10 10.7sin( / 2 0.15 ) 13.4cos( )4

n n

- 108 -




XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ

6.1. Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:

a. ( ) ( ) 2 ( 1) 3 ( 2) x n n n n .

b. ( ) ( 2) ( 5) x n u n u n

6.2. Hệ thống LTI có đáp ứng xung như sau,tìm đáp ứng tần số tương ứng:

a. ( ) 4 ( ) 3 ( 1) 2 ( 2) h n n n n .

b. ( ) 0.8 ( 1) ( ) ( 2) h n h n n n .

6.3. Hệ thống có đáp ứng xung :

( ) 0.5 ( )n

h n u n

Tìm tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu ngõ vào là 2( ) 5jn

x n e

6.4. Cho hệ thống có đáp ứng xung là:

( ) 0.5 ( )n

h n u n

Tìm tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu vào là: ( ) 10 5sin( ) 20cos( )2

n

x n n

6.5. Hệ thống được mô tả bởi phương trình I/O:

( ) 0.5 ( 1) ( ) 0.5 ( 1) y n y n x n x n

a. Tìm đáp ứng xung tương ứng của hệ thống.

b. Xác định đáp ứng tần số tương ứng của hệ thống.

c. Xác định tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu vào là: ( ) 10 20cos( )2 2

n

x n

6.6. Lọc FIR cho bởi sơ đồ sau:

z-1

+x(n) y(n)

z-1

0.5

a. Viết phương trình I/O của hệ thống.

- 109 -



b. Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống.

c. Tìm và vẽ đáp ứng tần số của hệ thống.

d. Tìm tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu vào là: ( ) 5cos( )2

n

x n

6.7. Hệ thống cho bởi sơ đồ sau:

z-1 +

x(n) y(n)z

-1

0.5

a. Viết phương trình I/O của hệ thống.

b. Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống.

c. Tìm và vẽ đáp ứng tần số của hệ thống.

d. Tìm tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu vào là: ( ) 5cos( )2 4

n

x n

6.8. Hệ thống được cho bởi phương trình I/O:

( ) ( 1) ( ) : 0 1; y n ay n bx n a

a. Xét tính ổn định của hệ thống.

b. Tìm đáp ứng tần số của hệ thống.

c. Cho a = 0.9 ,chọn b sao cho ( ) 1 H .

d. Tìm tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu vào là: ( ) 3 12sin( )5 20cos( )2 4

n

x n n

- 110 -



Chƣơng 7

PHÉP BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FOURIER NHANH Mục đích

Biến đổi Fourier rời rạc:DFT thuận.

DFT ngược(IDFT).

Các ứng dụng dựa vào DFT.

Các giải thuật biến đổi Fourier nhanh:FFT

7.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC-DFT

Trong các chương trước chúng ta đã tìm hiểu tín hiệu và hệ thống rời rạc trên miền n, Z,

Ω… trên miền tần số chúng ta đã sử dụng DTFT để biểu diễn tín hiệu trên miền tần số liên

tục. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu phép biến đổi Fourier rời rạc để biểu diễn tín

hiệu trên miền tần số rời rạc k, với các chuỗi có chiều dài hữu hạn, cách biểu diễn này rất có

ích cho các máy tính số cũng như cho việc thực hiện phần cứng số.

7.1.1Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn(DFS)

Định nghĩa:

Gọi xp(n) là dãy tuần hoàn có chu kì là N: xp(n) =xp(n + N) chuỗi xp(n) có thể được

biểu diễn bằng một chuỗi Fourier rời rạc sau:

1

0

.2

)(1

)(N

k

knN

j

pp ekXN

nx

(7.1)

Trong đó Xp(k) là dãy tuần hoàn chu kì N, bây giờ ta đi tìm Xp(k):

Nhân cả 2 vế với mn

Nj

e.

2

ta có:

1

0

).(2

.2

)(1

).(N

k

mknN

j

p

mnN

j

p ekXN

enx

Lấy tổng theo n từ: 0 đến N-1 ta có:

1

0

).(21

0

.21

0

)(1

).(N

k

mknN

j

p

N

n

mnN

j

p

N

n

ekXN

enx

1

0

).(21

0

.21

0

1)().(

N

n

mknN

jN

k

p

mnN

j

p

N

n

eN

kXenx

Nhận xét :

mk

mkNe

N

n

mkN

j

0

1

0

)(2

Vậy với k = m thì ta có:

)(.1

)().(1

0

1

0

.21

0

mXmXNN

mXenx p

N

k

p

N

k

p

mnN

j

p

N

n

Vậy ta có: mn

Nj

p

N

n

p enxmX.

21

0

).()(

hoặc ta có: kn

Nj

p

N

n

p enxkX.

21

0

).()(

(7.2)

Từ (7.1) và (7.2) ta có: xp(n) Xp(k) DFS

- 111 -



Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc :

a. Tính chất tuyến tính:

DFS[ x1p(n) ] = X1p(k)


x3p(n) = a.x1(n) + b.x2(n)

DFS[ x3p(n) ] = X3p(k) = a.X1p(k) + b.X2p(k)

b. Tính chất trễ


x2p(n) = x1(n – n0)

DFS[ x2p(n) ] = X2p(k) = )(1

.2

0

kXe p

nkN

j

c. Tổng chập tuần hoàn



x3p(n) = x1(n)(*)x2(n)

DFS[ x3p(n) ] = X3p(k) = X1p(k).X2p(k)

7.1.2 Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn

Mối quan hệ giữa dãy không tuần hoàn có chiều dài hữư hạn và dãy tuần hoàn.

Giả sử có một dãy rời rạc không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn là M: x(n)M và một đãy

rời rạc tuần hoàn chu kì N: xp(n).

- Nếu M =N thì dãy x(n)M chính là một chu kì của dãy xp(n) ( Vẽ 2 tín hiệu )

- Nếu M < N thì ta thấy dãy có chiều dài hữu hạn x(n)M có thể là một chu kì của dãy

xp(n) bằng cách khi chúng ta coi dãy x(n) là dãy có chiều dài là N bằng cách thên vào (N-

M) mẫu có giá trị bằng 0. Ví dụ ( vẽ hình)

Như vậy từ một dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn x(n)M ta có thể lập 1 dãy tuần

hoàn xp(n) có chu kì N>= M với mỗi chu kì của dãy tuần hoàn xp(n) sẽ chính là dãy x(n)M.

- Trường hợp M > N ta không thể làm được như trên.

Chú ý:Để nhận được dãy x(n) có chiều dài hữu hạn chúng ta có thể sử dụng một dãy chữ

nhật: rectN(n):

x(n)M = xp(n).rectN(n) =

conlain

Nnnx p

0

10)(

Trên miền k thì ta sẽ có: ( ) : 0 1

( ) ( ). ( )0 :

p

p N

X k k NX k X k rect k

k

Nhận xét:

Chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn được tính trong một chu kì rồi lấy tuần hoàn từ -∞

đến +∞ với chu kì là N. Vì vậy ta có thể lấy định nghĩa của chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần

hoàn làm định nghĩa cho chuỗi có chiều dài hữu hạn nhưng không được lấy tuần hoàn, nó chỉ

xác định trong miền giá trị cuả nó, ngoài miền giá trị bằng 0.

Định nghĩa

Cặp biến đổi Furier rời rạc (Discrete Fourier Transform )của dãy có chiều dài hữu hạn là N

được định nghĩa như sau:

- 112 -



conlaik

NkenxkX

N

n

nkn

j

0

10).()(

1

0

.2

conlain

NnekXNnx

N

n

knn

j

0

10).(1

)(

1

0

.2

Đặt N

2

W

Nj

e

ta có:

conlaik

NknxkX

N

n

nk

0

10W).()(

1

0

.

N

conlain

NnkXNnx

N

n

nk

0

10W).(1

)(

1

0

.

N

Kí hiệu : DFT[ x(n) ] = X(k)

IDFT[ X(k) ] = x(n) )()()( kjekXkX

)(kX gọi là phổ biên độ

)(k gọi là phổ pha

Ví dụ 7.1:

Tìm X(k) biết:

a. x(n) = ∂(n)

b. x(n) = rect4(n)

Giải:

a. Chọn chiều dài của dãy là M, vậy ta có:

conlaik

MknxkX

M

n

nk

0

10W).()(

1

0

.

M

conlaik

MkkX

0

101)(

b. Chọn chiều dài của dãy là N = 4

conlaik

knxkX

n

nk

0

140W).()(

14

0

.

M

conlaik

kkX

n

nk

0

30W)(

3

0

.

4

jej

4

2

4W

nên ta có:

X(0) = 1 + (-j) + (-j)2 + (-j)

3 = 0

- 113 -



Tương tự với X(1), X(2), X(3).

Ví dụ 7.2:

Cho tín hiệu x(n) như sau: 1: 0 1

( )0 :

n Lx n

n

a. Xác định và vẽ phổ của x(n).

b. Xác định và vẽ DFT N điểm(N≥L).

Giải:

a) Dùng biến đổi DTFT ta có được X(Ω) :

( 1)1

2

0

sin1 2

( ) ( ) ( )1

sin( )2

LjnLL jjn jn

jnn n

L

eX x n e x n e e

e

Từ biểu thức trên ta suy ra đáp ứng biên độ và đáp ứng pha :

Đồ thị biểu diễn cho phổ biên độ và phổ pha như trong hình vẽ 7.1 :

b) Dùng công thức biến đổi DFT N điểm ta có chuỗi Fourier rời rạc của x(n) :

Đồ thị biểu diễn X(k) cho hai trường hợp N = 50 và N = 100 như trong hình vẽ 7.2 a&b:

sin / 2| ( ) | ; ( ) ( 1) / 2

sin / 2

LX X L

Hình vẽ 7.1

2 /1 12 / 2 / ( 1)/

2 /0 0

1 sin /( ) ( )

1 sin /

j kL NN Lj kn N j kn N j k L N

j k Nn n

e kL NX k x n e e e

e k N

Hình vẽ 7.2a

Pha Biên độ

- 114 -



Các tính chất của DFT

a. Tính chất tuyến tính:

DFT[ x1(n) ] = X1(k)

DFT[ x2(n) ] = X2(k)

x3(n) = a.x1(n) + b.x2(n)

DFS[ x3(n) ] = X3p(k) = a.X1(k) + b.X2(k)

b. Tính chất dịch vòng

Dịch vòng của một dãy x(n) được định nghĩa như sau:

x(n-n0)N.rectN(n) = xp(n-n0).rectN(n)

Phép dịch vòng của một dãy là phép dịch trong đó các mẫu đi ra khỏi đoạn [0, N-1] sẽ

quay trở lại đầu kia.

DFT[ x(n) ] = X(k)

DFT[ x(n-n0) ] = Y(k) =Wk.n

X(k).

Khái niệm dịch vòng có thể được thể hiện qua hình vẽ 7.3 sau:

Từ khái niệm dịch vòng ta có tính khái niệm tích chập vòng cho biến đổi DFT:

Giả sử ta có: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

DFT

DFT

DFT

x n X kz n x n y n Z k X k Y k

y n Y k

Ta có thể thực hiện tích chập vòng trong miền thời gian thông qua các biến đổi DFT tương

ứng như sơ đồ sau:

Hình vẽ 7.2b

Biên độ

Pha

Hình vẽ 7.3

- 115 -



Ngoài việc biểu diễn DFT cho x(n) bằng công thức,ta có thể biểu diễn DFT của x(n) theo

dạng ma trận.

Ta có định nghĩa DFT thuận và DFT ngược như sau:

Đặt WN = e-j2/N

ta có:

Từ đó ta có công thức DFT thuận và DFT ngược theo dạng ma trận:

Ví dụ 7.3:

Cho tín hiệu x(n) như sau: 0( ) 0 ,1,2,3x n

Xác định DFT 4 điểm.

Giải:

Ta có:

Chú ý:

7.1.3Lọc tuyến tính dựa vào DFT:

DFT - FFT là phương phát hiện tín hiệu bị lẫn trong nền nhiễu(nhiễu trắng).Qua phép phân

tích FFT,năng lượng tín hiệu tập trung ở một số vạch còn nhiễu thì trải rộng,nhờ đó mà ta

1

0

( ) ( ) ; 0,..., 1N

kn

N

n

X k x n W k N

1

0

1( ) ( ) ; 0,..., 1

Nkn

N

k

x n X k W n NN

:N N NX W x DFT * 11:N N Nx W X DFT

N

/2

k N k

N N

k N k

N N

W W

W W

- 116 -



phát hiện được tín hiệu.Vấn đề này khi xem xét trong miền thời gian thì các mẫu tín hiệu và

nhiễu đan xen nhau nên rất khó phát hiện ra tín hiệu trong nền nhiễu.

Bài toán lọc khi xử lý trong miền thời gian là giải quyết bài toán tích chập:Tín hiệu ngõ ra

bằng tín hiệu vào nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống(Lọc: vấn đề liên quan giữa tín

hiệu vào và ra).

Nhưng khi xem xét trong miền tần số rời rạc(DFT),quan hệ ngõ vào và ra theo hệ thống

tích hai thành phần(phép chập được thay thế bằng phép nhân).

Xét hệ thống có đáp ứng xung h(n) có chiều dài M,tín hiệu ngõ vào x(n) có chiều dài L,khi

đó chiều dài tín hiệu ngõ ra y(n) là M + L -1.

Ta có sơ đồ quan hệ ngõ vào – ngõ ra với hệ thống như hình vẽ 7.3:

Như đã học ở chương 4 và 5,ta có thể giải quyết bài toán lọc(xác định tín hiệu ngõ ra)trong

miền thời gian hoặc trong miền tần số Ω.

Ở đây ta có thể giải quyết bài toán lọc bằng biến đổi DFT,sơ đồ thực hiện như trong hình

vẽ 7.4:

Như trong hình vẽ 7.3,số mẫu cần thiết để biểu diễn phổ Y(Ω) là N ≥ M + L -1,vì vậy

muốn dùng DFT để xác định tín hiệu ngõ ra y(n) ta cần khai triển DFT N điểm cho chuỗi tín

hiệu ngõ vào x(n) cũng như chuỗi đáp ứng xung h(n).Nhưng hai chuỗi x(n) và h(n) chỉ có

chiều dài tương ứng là L và M,do đó trước khi tiến hành khai triển DFT ta phải chèn vào các

bit 0 sao cho hai chuỗi x(n) và h(n) có cùng chiều dài N.

Sau khi có được hai chuỗi X(k) và H(k) ta lấy hai chuỗi này nhân với nhau ta có được

Y(k) là biến đổi DFT của tín hiệu ngõ ra,dùng biến đổi DFT ngược(IDFT) ta sẽ có được tín

hiệu ngõ ra tương ứng y(n).

7.1.4 Phân tích phổ dựa vào DFT:

Việc phân tích phổ(thể hiện tín hiệu trong miền tần số) được ứng dụng trong rấc nhiều lĩnh

vực kỹ thuật.Trước đây việc phân tích phổ được thực hiện bằng các phương pháp tương

Hình vẽ 7.3

Hình vẽ 7.4

- 117 -



tự(Analog),ngày nay thường được thực hiện bằng phương pháp số(Digital),ứng dụng phép

biến đổi DFT trong phân tích phổ tín hiệu là một phương pháp số.

Xét chuỗi tín hiệu cần phân tích x(n) - n ,quan sát tín hiệu trong khoảng L

mẫu(Nghĩa là 0 n L-1),khi đó tín hiệu quan sát là xx(n):

Ta thấy việc áp dụng DFT cho việc phân tích phổ là một phương pháp gần đúng,nghĩa là

phổ quan sát được thông qua phép biến đổi DFT là phổ gần đúng của x(n),như vậy giữa phổ

thực tế và phổ quan sát được có sự sai khác.Một vấn đề khác trong phương pháp phân tích

phổ dùng DFT là hiện tượng hai thành phần tần số khác nhau ta không phân biệt được phổ

của hai thành phần này.Hai vấn đề trên gọi là hiện tượng rò phổ và độ phân giải của phép

phân tích phổ.

a. Hiện tượng rò phổ:

Để dễ dàng hiểu vấn đề hiện tượng rò phổ ta xét một tín hiệu rời rạc như sau:

x(n) = cos 0n, - n .

Lúc đó tín hiệu quan sát được là:

xx(n) = cos 0n, 0 n L-1.

Dùng phép biến đổi DTFT ta có được phổ của tín hiệu quan sát được là:

0 0

0 0

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

2

X

XX W W

Trong đó W(Ω) là: ( 1)/2sin / 2( )

sin / 2

j LLW e được biểu diễn như trong hình vẽ 7.5:

Theo như trong phép phân tích Fourier thì phổ của x(n) là hai xung Dirac(phổ vạch) như

trong hình vẽ 7.6:

1 ,0 1( ) ( ) ( ), ( )

0 ,

n Lxx n x n w n w n

otherwise

Hình vẽ 7.5

Hình vẽ 7.6

- 118 -



Nhưng khi dùng DFT để phân tích phổ ta có phổ của x(n) quan sát được như trong hình vẽ

7.7:

Như vậy quan sát giữa phổ thực tế và phổ quan sát được thông qua phép biến đổi DFT thì

có sự sai khác,cụ thể phổ thực tế thì năng lương chủ yếu tập trung tại tần số Ω0 ,còn phổ quan

sát được từ DFT là một hàm Sa do đó một phần năng lượng bị phân bố ra ngoài tần số Ω0

(không còn tập trung tại Ω0),hiện tượng trên gọi là hiện tương rò phổ.

b. Độ phân giải của phép phân tích phổ:

Xét một tín hiệu x(n) gồm hai thành phần tần số như sau:

x(n) = cos 1n + cos 2n, - n .

Tín hiệu quan sát được tương ứng khi dùng DFT là:

xx(n) = x(n)w(n) = cos 1n + cos 2n, 0 n L-1.

Phổ tương ứng của tín hiệu quan sát được là:

Phổ thực tế của x(n) như trong hình vẽ 7.8:

Phổ tín hiệu quan sát được tương ứng với phép phân tích DFT L điểm trong hình vẽ 7.9:

Nhìn vào phổ dùng DFT như trong hình vẽ 7.9,khi phổ của hai thành phần Ω1 và Ω2 chồng

lấn lên nhau(không còn tách biệt nhau),khi đó ta sẽ không quan sát được phổ của hai thành

Hình vẽ 7.7

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

X

XX W W W W

Hình vẽ 7.8

Hình vẽ 7.9

- 119 -



phần tần số này,hiện tượng này liên quan đến độ phân giải trong phép phân tích phổ dùng

DFT.

Nếu: 1 2

2| |

L

: W( - 1) và W( - 2) sẽ chồng lấn lên nhau không

phân biệt được 2 vạch phổ.

Nếu: 1 2

2| |

L

: W( - 1) và W( - 2) được hiển thị tách biệt nhau phân

biệt được 2 vạch phổ.

Như vậy độ phân giải của phép phân tích phổ dùng DFT liên quan đến số mẫu quan sát L

và thành phân tần số tín hiệu cần quan sát phổ.

Giá trị : 2

L

được gọi là độ phân giải phổ. Như vậy, hàm cửa sổ có chiều dài L chỉ

phân biệt được các thành phần tần số cách nhau một đoạn ít nhất là: 2

L

.

Ví dụ 7.4:

Phổ hai thành phần tần số Ω1 = 0.2π và Ω2 = 0.22π bằng phương pháp DFT như trong

hình vẽ 7.10.

Hai vấn đề hiện tượng rò phổ và độ phân giải trong phép phân tích phổ liên quan đến chiều

dài L và loại cửa sổ w(n) W(Ω),cụ thể như sau :

Độ cao búp phụ: ảnh hưởng đến mức rò phổ. Muốn giảm rò phổ, chọn loại của sổ có

búp phụ thấp.

Độ rộng búp chính: ảnh hưởng đến độ phân giải. Muốn tăng độ phân giải, chọn loại của

sổ có độ rộng búp chính hẹp.

c. Quan hệ giữa tần số tương tự và tần số số:

Tín hiệu tương tự x(t) được lấy mẫu ở tốc độ fs trong khoảng thời gian T0 và số mẫu thu

được là N,lúc đó:

Quan hệ tần số:

Xét tín hiệu tương tự: x(t) = Acos t = Acos 2ft

Lấy mẫu tín hiệu này: x(nTs)= Acos nTs = Acos n/Ts

Dạng tín hiệu rời rạc: x(n) = Acosn = Acos2Fn

Hình vẽ 7.10

1S

S

fT

0 S

S

NT N T

f0 SN T f

- 120 -



Đồng nhất hai biểu thức, ta được: ST

Hay ta có được biểu thức tương đương:

Ví dụ7.5:

Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin3t + sin5t + sin5.5t (t:ms)

Tín hiệu này được lấy mẫu ở tốc độ fs = 10Khz. Để việc phân tích phổ dùng DFT cho 4

đỉnh tách biệt thì thời gian lấy mẫu là bao lâu T0?

Lời giải:

Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =1.5 Khz; f3 =2.5 Khz; f4 =2.75 Khz.

Khoảng cách tần số nhỏ nhất cần được phân biệt:

f = 2.75 – 2.5 = 0.25 Khz

Số mẫu tối thiểu cần phải lấy: 10

400.25

Sf KhzN

f Khz

Thời gian lấy mẫu: 0

404 ( )

10000 S

S

NT N T ms

f

Chú ý:

Ví dụ 7.6:

Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin4t + sin2f3t ; 1Khz f3 3Khz (t:ms)

Tín hiệu này được lấy mẫu ở tốc độ fs = 10Khz trong khoảng thời gian 20 ms. Tín hiệu

sau đó được phân tích phổ dùng DFT. Xác định tầm giá trị của f3 để kết quả cho ba đỉnh tách

biệt?

Lời giải:

Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =2 Khz; f3 Khz

Số mẫu dữ liệu thu được: 3 3

0 10 10 20 10 200 SN f T

Khoảng cách tần số nhỏ nhất có thể phân biệt được: 10

0.05200

Sf Khzf Khz

N

Tầm giá trị f3 : 3 1 2[ ; ] [1 0.05;2 0.05] [1.05 ;1.95 ] f f f f f Khz Khz

7.2. CÁC GIẢI THUẬT BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH – FFT

Trong lĩnh vực xử lí số tín hiệu, biến đổi Fourier có vai trò rất quan trọng, vì vậy nó tồn tại

các thuật toán tính toán DFT hiệu quả hơn. Từ khi Cooley phát hiện ra thuật toán tìm nhanh

biến đổi DFT, các thuật toán ngày càng được phát triển và ứng dụng nhiều trong xử lí số tín

hiệu.

- 121 -



Độ phức tạp tính toán của DFT:

Trong phần trước chúng ta đã tìm hiểu biến đổi Fourier rời rạc như sau:

conlaik

NknxkX

N

n

nk

0

10W).()(

1

0

.

M (7.3)

conlain

NnkXNnx

N

n

nk

0

10W).(1

)(

1

0

.

N (7.4)

Nhận xét: Từ (7.3) và (7.4) ta thấy: X(k) và x(n) chỉ khác nhau hệ số tỉ lệ (1/N) và dấu của WN.

Như vậy DFT và IDFT(Biến đổi DFT ngược) gần như là giống nhau, do đó các thuật

toán FFT được sử dụng cho cả DFT và IDFT, nghĩa là các thuật toán tính nhanh FFT

cũng áp dụng cho IFFT.

Từ (7.3) ta thấy do x(n) có thể có giá trị thực hoặc phức vì thế để tìm X(k) yêu cầu

thực hiện N phép nhân phức và N phép cộng phức với 1 giá trị của k. Với N giá trị k

việc tính DFT- N điểm yêu cầu N2 phép toán nhân phức và N

2 phép toán cộng phức.

Do đó khi N lớn số lượng phép toán sẽ rất lớn vì vậy cần thuật toán tìm X(k),(x(n) hiệu

quả hơn.

Giải thuật cơ bản của thuật toán tính nhanh FFT là việc phân giải DFT-N điểm thành

các DFT-Ni nhỏ hơn (Ni<N) khi đó số lượng phép toán sẽ giảm đi rất nhiều (cỡ i.Ni2).

Các thuật toán tính nhanh biến đổi Fourier đều dựa vào tính chất của WN.

7.2.1Các tính chất của WN:

a. Tính tuần hoàn

WNk.n

= WN(k‟.n‟ + iN)

=WNk‟.n‟

Do n [0, N-1]

k [0, N-1]

Nên k.n [0, (N-1).(N-1) ] và k.n = k‟.n‟ + iN

Ví dụ 7.7: Cho DFT – N=8 hãy dùng tính chất tuần hoàn để tính X(7)

Từ (7.3) Ta có:

X(7) = x(0). W87.0

+ x(1). W87.1

+ x(2). W87.2

+ x(3). W87.3

+ x(4). W87.4

+ x(5).W87.5

+

x(6). W87.6

+ x(7). W87.7

X(7) = x(0). W80 + x(1). W8

7+ x(2). W8

14+ x(3). W8

21 + x(4). W8

28 + x(5).W8

35 +

x(6). W842

+ x(7). W849

Do tính chất tuần hoàn của WN nên ta có:

W0

8= W80

W7

8= W87

W14

8= W8(6+1.8)

= W6

8 W42

8= W8(2+5.8)

= W2

8

W21

8= W8(5+2.8)

= W5

8 W49

8= W8(1+6.8)

= W1

8

W28

8= W8(4+3.8)

= W4

8

W35

8= W8(3+4.8)

= W3

8

- 122 -



Vậy: X(7) = x(0). W80 + x(1). W8

7+ x(2). W8

6+ x(3). W8

5 + x(4).W8

4 + x(5).W8

3 +

x(6). W82 + x(7). W8

1

b. Tính chất đối xứng.

Wk’n’

N = WN(N-k’’n’’)

= WNN

. WN-k’’.n’’

= WN-k”.n”

do WN

N= 1

Ví dụ:

W7

8= W8(8-1)

= W-1

8 ......

Dựa vào các tính chất này người ta có các giải thuật phân chia theo thời gian và phân chia

theo tần số.

7.2.2Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian ( FFT – R2)

Nội dung của giải thuật này là phân chia dãy x(n) thành các dãy có chiều dài nhỏ hơn và

tìm X(k) từ các DFT của chuỗi đã được chia nhỏ.

Thuật toán:

Gọi x(n) là dãy có chiều dài là N = 2m

, giả sử x(n) được chia thành 2 dãy con x(2n) và

x(2n+1), mỗi dãy có chiều dài là N/2

+ Dãy x(2n) là dãy chứa các mẫu chẵn của x(n).

+ Dãy x(2n+1) là dãy chứa các mẫu chẵn của x(n).

Ví dụ 7.8:

Do:

conlaik

NknxkX

N

n

nk

0

10W).()(

1

0

.

N nên với 10 Nk ta có:

n

x0(n)

x2(n) x3(n)

x4(n)

x6(n)

n

x1(n)

x7(n)

x2(n)

x4(n)

x(2n)

n

x0(n)

x6(n)

x3(n) x5(n) x7(n)

x(2n+1)

x1(n)

- 123 -



12

N

0n

1).k(2n

N

12

N

0n

2n.k

N W)12(W)2()( nxnxkX do 2

N2

2

2.2

2

N WW

N

j

Nj

ee

nên

k

N

12

N

0n

n.k

2

N

12

N

0n

n.k

2

N W.W)12(W)2()(

nxnxkX do Wk

N không phụ thuộc vào n nên:

12

N

0n

n.k

2

N

k

N

12

N

0n

n.k

2

N W)12(WW)2()( nxnxkX

Đặt

12

N

0n

n.k

2

N0 W)2()( nxkX là DFT – N/2 điểm chẵn của x(n)

12

N

0n

n.k

2

N1 W)12()( nxkX là DFT – N/2 điểm lẻ của x(n)

ta có: X(k) = X0(k) + WNk.X1(k) (7.5)

Nhận xét:

Các phép toán tìm X0(k) và X1(k) chỉ thực hiện trong khoảng từ: 0 đến( N/2 –1). Do vậy

thực chất ta đã phân chia DFT – N điểm thành 2 DFT – N/2 điểm. X0(k) và X1(k) tuần hoàn

chu kì N/2.

Ví dụ7.8: Thực hiện DFT – N=8

Từ (3.5) ta có: X(k) = X0(k) + WNk.X1(k)

Suy ra: X(0) = X0(0) + W80.X1(0) X(4) = X0(4) + W8

4.X1(4)

X(1) = X0(1) + W81.X1(1) X(5) = X0(5) + W8

5.X1(5)

X(2) = X0(2) + W82.X1(2) X(6) = X0(6) + W8

6.X1(6)

X(3) = X0(3) + W83.X1(3) X(7) = X0(7) + W8

7.X1(7)

Do X0(k) và X1(k) tuần hoàn chu kì N/2 = 8/2 =4 do đó:

X(0) = X0(0) + W80.X1(0) X(4) = X0(0) + W8

4.X1(0)

X(1) = X0(1) + W81.X1(1) X(5) = X0(1) + W8

5.X1(1)

X(2) = X0(2) + W82.X1(2) X(6) = X0(2) + W8

6.X1(2)

X(3) = X0(3) + W83.X1(3) X(7) = X0(3) + W8

7.X1(3)

Từ đây ta có thể xây dựng lưu đồ cho DFT.

Quy tắc xây dựng lưu đồ:

Giá trị của một nút bằng tổng các nhánh đi vào nút đó.

Giá trị của một nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân với hệ số truyền của nhánh.

Hệ số truyền của nhánh ghi ở mũi tên, nếu không ghi thì hệ số truyền bằng 1.

- 124 -



Lưu đồ DFT N=8 sau 1 lần phân chia:

Tiếp tục ta lại chia 2 dãy x(2n) và x(2n+1) mỗi dãy thành 2 dãy con giống như trên. Giải

thuật tiếp tục sau (m-1) lần chia thì chỉ còn là DFT – 2 khi đó các hệ số truyền Wk

N chỉ mang

2 giá trị là: W0

2 = 1 và W1

2 = -1. Ta sẽ dừng phép chia tại đây.

Ví dụ:

N=8 sau 2 lần phân chia ta có:

Và ta có:

Đây được gọi là dạng cánh bướm của FFT –R2. Kết hợp lại ta có lưu đồ sau: N=8

DFT

N/4

x(0)

x(4)

X00(0)

X00(1)

x(0)

x(4)

X00(0)=x(0) + x(4)

X00(1)=x(0) – x(4)

W20=1

W21=-1

- 125 -



Hiệu quả thuật toán: Do N=2m

nên suy ra có m tầng tính toán, mỗi tầng gồm N/2 phép

nhân số phức với Wk

N và N phép cộng số phức. Vậy ta cần có (1/2).N.m phép nhân

phức và (1/2)N.m phép cộng. Số lượng phép toán giảm đi đáng kể.

Ví dụ 7.9:

N=8 sử dụng công thức của DFT thì cỡ: N2=64

Sử dụng FFT-R2 số lượng phép toán cỡ: N.m = 8.3=24.

Cải thiện thuật toán:

Xét giữa 2 tầng của thuật toán liền kề : i và i+1

Theo hình vẽ ta thấy giữa 2 tầng i và (i+1) ta có:

Xi+1(p) = Xi(p) + WNr.Xi(q)

Xi+1(q) = Xi(p) + WN(r+N/2)

.Xi(q)

Ta lại thấy: r

N2

N

N

r

N

)2

N(r

WW.WW

N vậy ta có:

Xi+1(p) = Xi(p) + WNr.Xi(q)

Xi+1(q) = Xi(p) - WNr.Xi(q)\

Sơ đồ được vẽ lại:

Xi+1(q)

Xi(p)

Xi(q)

Xi+1(p)

WN(r+N/2)

WNr

- 126 -



Vậy với một phép nhân WN

r.Xi(q) ta có thể tính 2 giá trị Xi+1(p) và Xi+1(q). Do đó số lượng

phép nhân sẽ giảm đi 2 lần còn số lượng phép cộng vẫn giữ nguyên. Vậy để tính được X(k)N

thì cần:

N.log2N phép cộng phức

(½)N.log2N phép nhân phức.

Vậy ta có thể xây dựng lưu đồ thuật toán FFT – R2 (ví dụ N=8 ) như sau:

Các khối thực hiện cơ bản :

0 2 0/8

8

1 2 1/8

8

2 2 2/8

8

3 2 3/8

8

1

2 2

2 2

2 2

2 2

j

j

j

j

W e

W e j

W e j

W e j

Việc phân chia theo giải thuật trên là biến từ một bài toán phức tạp của phép biến

đổi DFT N điểm thành một bài toán đơn giản DFT 2 điểm(làm nhiều lần)với một

nhân thức và hai cộng thức :

Xi+1(q)

Xi(p)

Xi(q)

Xi+1(p)

WN-r

WNr

Xi+1(q)

Xi(p)

Xi(q)

Xi+1(p)

WNr

-1

- 127 -



Chú ý:

Khi thực hiện trên máy tính hoặc thiết kế dãy vào x(n) thường được xắp xếp theo

mã nhị phân đảo còn X(k) được xắp xếp theo mã nhị phân thường.

x(n) Mã nhị phân đảo Mã nhị phân thƣờng X(k)

x(0) 000 000 X(0)

x(4) 100 001 X(1)

x(2) 010 010 X(2)

x(6) 110 011 X(3)

x(1) 001 100 X(4)

x(5) 101 101 X(5)

x(3) 011 110 X(6)

x(7) 111 111 X(7)

Trục đảo Trục đảo

7.2.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ( FFT – R2)

Cũng chứng minh tương tự như trong giải thuật phân chia trong miền thời gian,ta sẽ có

được giải thuật FFT theo cơ số 2 phân chia trong miền tần số.Vấn đề khác nhau là ở chỗ ta

tiền hành phân chia từ ngõ ra X(k):miền tần số(thứ tự sắp xếp ngõ vào và ra khác nhau so với

giải thuật phân chia trong miền thời gian).

Để dễ hiểu ta có sơ đồ phân chia theo miền tần số cho phép biến đổi DFT 8 điểm như sau:

Khối thực hiện cơ bản:

- 128 -



Nhận xét:

Số lượng phép nhân phức và phép cộng phức giống như FFT phân chia theo thời gian.

Sự khác nhau cơ bản giữa hai giải thuật là ở thứ tự sắp xếp dữ liệu ngõ vào, ngõ ra.

7.2.4 Tính DFT ngược bằng giải thuật FFT:

Từ công thức định nghĩa tính DFT ngược:

Như vậy ta có tín hiệu tương ứng trong miền thời gian từ X(k) theo giải thuật FFT:

Ví dụ 7.10:

Cho tín hiệu: x(n)=4, 2, 0, -2, -4, 2, 0, -2

Tìm phổ X(k) dùng giải thuật FFT 8 điểm phân chia theo thời gian

Lời giải:

X(k) = 0, 8, -j8, 8, 0, 8, j8, 8

Sơ đồ phân chia giải thuật phân chia theo thời gian:

Ví dụ 5:

Cho tín hiệu: x(n)=4, 2, 0, -2, -4, 2, 0, -2

Tìm phổ X(k) dùng giải thuật FFT 8 điểm phân chia theo tần số

Lời giải:

X(k) = 0, 8, -j8, 8, 0, 8, j8, 8

Sơ đồ phân chia giải thuật theo miền tần số:

*1

** *

0

1 1( ) ( ) ( ( ))

N

kn

N

k

x n X k W DFT X kN N

**1

( ) ( ( )) x n FFT X kN

- 129 -



- 130 -




BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT.

7.1. Hãy xác định DFT N điểm của các dãy sau :

a. L

j(2 L)nL Ne rect (n) : c. )(.cos

2nrectn

NN

b. )(.1 nrectn

NN

d. )(.sin

2nrectn

NN

7.2 Hãy xác định N L N

nX k L N( ) DFT[a rect (n) ] : . Tính

NkX )( với a = 0,8 ; L = 2 ; N = 4 , vẽ các

đồ thị N

kX )( và N

kXArg )( .

7.3 Hãy tính trực tiếp 5)(kX , với

2,1,0,1,2)(nx . Vẽ các đồ thị 5)(kX và 5)(kXArg .

7.4 Hãy tính 8)(kX , với

2,1,0,1,2)(nx Vẽ các đồ thị 8)(kX và 8)(kXArg . So sánh kết

quả nhận được với kết quả của 7.4.

7.5 Cho dãy ])([)(1 NNnxDFTkX , hãy xác định biểu thức của dãy ])()[()( 12 NN

nxDFT nkX theo

NkX )(1 .

7.6 Hãy tìm IDFT của các DFT N điểm sau :

a. )(.2 kN

rectk c.

k

Nk

Nrect

.2cos).(

b. )(.1 kN

kN

rect

d.

k

Nk

Nrect

.2sin).(

7.7 Cho dãy thực hữu hạn với NN

nxnx N )()( 1 và N lẻ. Hãy tìm N

kX )( tại các điểm k = N/2 ;

3N/2 ; 5N/2 ; 7N/2 .

7.8 Hãy tính DFT 8 điểm của các dãy sau :

a. )(.sincos)( 814

.34

.2 nrectnnnx

b. )()()( 452 32 nrectnrectnx nn

c.

nnx

8.4

23 cos)(

d. 854 )4()()( 32 nnrectnx n

7.9 Cho dãy hữu hạn

0,1,2,3)(nx .

a. Hãy xác định 4)(kX và 8)(kX .

b. Tìm )]([)( 241 nxDFTkY khi )( 2nx là dịch tuyến tính.

c. Tìm ])([)( 442 2 nxDFTkY khi 4)( 2nx là dịch vòng.

7.10 Cho ])([)(NN

nxDFTkX , hãy tìm DFT N điểm của các dãy sau :

a. NNN

nxnxny )()()( 321 c. NNN

nxnxny )(*)()( 36

b. NNNnxnxny )()()( *

2 2 d. NNN

nxnxny N )(.)()( 15


2,1,0,3)(nx , hãy điền giá trị các mẫu vào bảng 7.21 dưới đây :

- 131 -



Bảng 7.21

Dịch tuyến tính Dịch vòng

n -1 -2 0 1 2 3 4 n 0 1 2 3

)(nx 4)(nx

)( 3nx 4)( 3nx

)( 3nx 4)( 3nx

)( 5nx 4)( 5nx

)( nx 4)( nx

)(3 nx 4)(3 nx

7.12 Hãy xác định năng lượng của các tín hiệu số có DFT sau :

a.

1,2,0,1,2,36)(kX b.

k

NkX

N

.22cos)(

7.13 Tính trực tiếp các tích chập sau và so sánh kết quả của chúng :

a. Tích chập tuyến tính : )(*)()( 43 32 nrectnrectny nn

b. Tích chập vòng 6 điểm : )(*)()( 436 32 nrectnrectny nn

7.14 Hãy tính các tích chập vòng sau :

a. )(.sin*)(.cos)( 4344

2

4

2nrectnnrectnny

b. )(.cos*)()( 6363

2 nrectnnrectny n

7.15 Cho ])([)(NN

nxDFTkX , hãy tìm DFT N điểm của các dãy sau :

1.

nnxny

NNN

2cos.)()(1 3.

nnxny

NNN

2sin.)()(3

2. NNN

nxnxny )(.)()( .22 4. NNN

nxnxny N )(.)()( 24

7.16 Cho DFT 8 điểm

3,2,1,0,0,1,2,38)(kX , hãy tìm hàm )(zX bằng phương pháp

nội suy.

7.17 Cho DFT N điểm )(cos)(.2

krectkkNN

NX

, hãy tìm )( jeX bằng phương pháp nội suy.

7.18 Hãy tính trực tiếp DFT của cửa sổ Hanning wHn(n)8 . 7.19 Hãy tính trực tiếp DFT của cửa sổ cosin wC(n)7 . 7.20 Hãy tính trực tiếp IDFT của dãy X(k)5 có :

kk5

4

2)(

và

3,5,1,5,1,3,05)(kA

7.21 Hãy tính trực tiếp DFT của dãy x(n)6 = rect3(n) - rect3(n - 3) .

7.22 Hãy tính trực tiếp IDFT của dãy X(k)6 có :

- 132 -



kk6

5)(

và

5,1,5,0,0,5,0,5,1,36)(kA


0,5,0,1,5,1,2,5,2,37)(nx

Hãy tính DFT 8 điểm của dãy trên theo hai cách sau :

a. Bằng thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian.

b. Bằng thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số.

7.24 Hãy xấp xỉ phổ bằng cửa sổ chữ nhật )( 25 nrect đối với tín hiệu số hữu hạn:

2,0,1,0,0,1,0,2,0,1,2,3,2,1,2,0,012)(nx .

Hãy giải thích tại sao chọn độ dài và vị trí cửa sổ như vậy ?

7.25 Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung )()( 32 nrectnh n và tác động :

05,0,15,0,1,0,0,1,0,2,0,1,5,1,2,3,2,6,2,8,2,3,3,3,316)(nx .

Hãy tìm phản ứng của hệ bằng phương pháp cộng xếp chồng DFT, khi chia x(n) thành hai

phân đoạn.

- 133 -



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] PGS.TS.Nguyễn Hữu Phương,Xử lý tín hiệu số,Nhà xuất bản thống kê,2003.

[2] PGS.TS.Lê Tiến Thường,Xử lý số tín hiệu & Wavelets,Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.

[3] TS.Hồ Văn Sung,Xử lý số tín hiệu ,Nhà xuất bản giáo dục,2000. [4] Paul A.Lynn & Wolgang Fuerst,Introductory Digital Signal Processing with

Computer Application,revised edition, John Wiley & Sons 1994.

MỤC LỤC - stu.edu.vn · hiệu,tín hiệu âm thanh từ Mi-crô đi vào là tín hiệu...

Documents

Transcript of MỤC LỤC - stu.edu.vn · hiệu,tín hiệu âm thanh từ Mi-crô đi vào là tín hiệu...