Burling, Robbins Teorías de Maximización y El Estudio de La Antropología Económica
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Maximización de bene�cio, minimización de
coste y la función de coste
December 12, 2011
8.1
1.
f(λL, λK) = (λL)1/4
(λK)1/2
= λ1/4λ
1/2L1/4K
1/2︸ ︷︷ ︸f(K,L)
= λ3/4f(K,L) < λf(K,L)
La función de producción exhibe rendimientos decrecientes a escala.
2.
Min{L,K}CT = wL+ rK
s.a. L1/4K
1/2 = Y
Utilizaremos el método de sustitución (también se puede aplicar el métodolagrangiano). Primero despejamos en la restricción L en función de K :
L =(Y K−
12
)4= Y 4K−2
A continuación lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un prob-lema de maximización sin restricciones:
Min{L,K}CT = w(Y 4K−2
)+ rK
Entonces:
∂CT
∂K= 0
1
−2wY 4K−3 + r = 0
r = 2wY 4 1
K3
La demanada condicionada del capital es:
K(w, r, Y )=
(2wY 4
r
)1/3
Para encontrar la demanda condicionada del trabajo repetimos el procesodespejando la restricción K en función de L :
K =(Y L−
1/4)2
= Y 2L−1/2
lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maxi-mización sin restricciones:
Min{L,K}CT = wL+ rY 2L−1/2
Entonces:
∂CT
∂L= 0
w − 1
2rY 2L−
3/2 = 0
w =rY 2
2L3/2
La demanda condicionada del trabajo es:
L(w, r, Y )=
(rY 2
2w
)2/3
3.
CT = wL+ rK
Sustituimos las demandas encontradas en el apartado anterior:
CT = w
(rY 2
2w
)2/3
+ r
(2wY 4
r
)1/3
2
CT = 2−2/3w1w−
2/3︸ ︷︷ ︸w1/3
r2/3Y
4/3
+ r1r−1/3︸ ︷︷ ︸
r2/3
21/3w
1/3Y4/3
Sacamos factor común:
CT = r2/3Y
4/3
w1/3
(1
22/3+ 2
1/3
)︸ ︷︷ ︸
3
22/3
Coste medio:
CMe =CT
Y
CMe = Y1/3
w1/3r
2/3
(3
22/3
)Coste Marginal:
CMg =∂CT
∂Y
CMg =22
3Y
1/3
w1/3r
2/3
(3
22/3
)= 2
4/3Y1/3
w1/3r
2/3
8.2
1.
RTS(L,K) = − PMgL
PMgK= −
∂F/∂L∂F/∂K
Calculemos la RTS para f(L,K) = 3L1/3K1/3
RTS(L,K) = −13 3L−2/3K1/3
13 3L1/3K−2/3
= −L−2/3K1/3
L1/3K−2/3= −K
L
La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendráque sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la pro-ducción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de Kpara mantener constante la producción.
3
2.
f(λL, λK) = 3 (λL)1/3
(λK)1/3
= λ1/3λ
1/33L1/3K
1/3︸ ︷︷ ︸f(K,L)
= λ2/3f(K,L) < λf(K,L)
La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.
3.
Las funciones de productividad marginal de L y K son:
PMgL =∂F
∂L= L−
2/3K1/3
PMgK =∂F
∂K= L
1/3K−2/3
Las funciones de productividad media de L y K son:
PMeL =f(K,L)
L=
3L1/3K1/3
L= 3L−
2/3K1/3
PMeK =f(K,L)
K=
3L1/3K1/3
K= 3L
1/3K−2/3
4.
El problema de maximización de bene�cios de la empresa es:
Max{L,K}Π : p f(K,L)− wL− rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
∂L= 0→ p L−
2/3K1/3 = w
∂Π
∂K= 0→ p L
1/3K−2/3 = r
Cojo la segunda ecuación:
p L1/3K−
2/3 = r
4
L1/3 =
rK2/3
p
L2/3 =
r2K4/3
p2
lo sustituyo en la primera ecuación:
pK1/3(r2K4/3
p2
) = w
p3
r2K= w
K(w, r, p) =p3
r2w
Entonces:
L2/3 =
r2(p3
r2w
)4/3
p2
L(w, r, p) =r3(p3
r2w
)2p3
=r3p6
r4p3w2=
p3
rw2
5.
K(2, 1, 2) =23
122= 4
L(2, 1, 2) =23
22= 2
Cantidad ofrecida de producto:
f(2, 4) = 3 · (2)1/3(4)
1/3 = 6
5
8.3
1.
Calculemos la RTS para f(L,K) = 4L1/4K1/4
RTS(L,K) = −14 4L−3/4K1/4
14 4L1/4K−3/4
= −L−3/4K1/4
L1/4K−3/4= −K
L
La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendráque sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la pro-ducción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de Kpara mantener constante la producción.
2.
f(λL, λK) = 4 (λL)1/4
(λK)1/4
= λ1/4λ
1/44L1/4K
1/4︸ ︷︷ ︸f(K,L)
= λ1/2f(K,L) < λf(K,L)
La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.
3.
Las funciones de productividad marginal de L y K son:
PMgL =∂F
∂L= L
−3/4K1/4
PMgK =∂F
∂K= L
1/4K−3/4
Las funciones de productividad media de L y K son:
PMeL =f(K,L)
L=
4L1/4K1/4
L= 4L−
3/4K1/4
PMeK =f(K,L)
K=
4L1/4K1/4
K= 4L
1/4K−3/4
6
4.
El problema de maximización de bene�cios de la empresa es:
Max{L,K}Π : p f(K,L)− wL− rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
∂L= 0→ p L
−3/4K1/4 = w
∂Π
∂K= 0→ p L
1/4K−3/4 = r
Cojo la segunda ecuación:
p L1/4K
−3/4 = r
L1/4 =
rK3/4
p
L3/4 =
r3K9/4
p3
lo sustituyo en la primera ecuación:
pK1/4(r3K9/4
p3
) = w
p4
r3K2= w
K(w, r, p) =p2
r3/2w1/2
Entonces:
L3/4 =
r3(
p2
r3/2w1/2
)9/4
p3
L(w, r, p) =r4(
p2
r3/2w1/2
)3p4
=r4p6
r9/2p4w3/2=
p2
r1/2w3/2
7
5.
K(4, 4, 4) =42
43/241/2= 1
L(4, 4, 4) =42
41/243/2= 1
Cantidad ofrecida de producto:
f(1, 1) = 4 · (1)1/4(1)
1/4 = 4
8
8.4
(a)
1.
2.
Max{L,K}Π : pL1/4K
1/2 − wL− rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
∂L= 0→ p − 1
4L
−3/4K1/2 = w
∂Π
∂K= 0→ p − 1
2L
1/4K−1/2 = r
9
De la segunda ecuación saco:
pL1/4K−
1/2 = 2r
K−1/2 =
2r
pL1/4
K1/2 =
pL1/4
2r
Sustituyo en la primera ecuación:
p − 1
4L
−3/4
(pL1/4
2r
)= w
p2L−1/2
8r= w
L−1/2 =
8rw
p2
L1/2 =
p2
8rw
L(w, r, p) =p4
(8wr)2
Entonces:
K1/2 =
p(
p4
(8wr)2
)1/4
2r=p(
p
(8wr)1/2
)2r
=p2
2r(8wr)1/2
K(w, r, p) =p4
4r28rw=
p4
32r3w
Oferta de producto:
Y (w, r, p) =
(p4
(8wr)2
)1/4(p4
32r3w
)1/2
=p
(8rw)1/2· p2
321/2r3/2w1/2=
p3
81/232
1/2︸ ︷︷ ︸16
r2w
10
3.
Min{L,K}CT : wL+ rK
s.a. L1/4K
1/2 = Y
Usaremos el método lagrangiano:
L(L,K, λ) = wL+ rK − λ(L1/4K
1/2 − Y )
Las tres condiciones de primer orden son:∂L∂L = 0 → w − 1
4λL−3/4K1/2 = 0
∂L∂K = 0 → r − 1
2λL1/4K−1/2 = 0
∂L∂λ = 0 → L1/4K1/2 − Y = 0
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:
wL =1
4λL−
3/4L︸ ︷︷ ︸L1/4
K1/2
︸ ︷︷ ︸Y
=1
4λY
rK =1
2λL
1/4K−1/2K︸ ︷︷ ︸
K1/2︸ ︷︷ ︸Y
=1
2λY
Entonces:
L = λY
4w
K = λY
2r
Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:(λY
4w
)1/4(λY
2r
)1/2
= Y
λ(1/4+1/2)Y
1/4 (4w)−1/4Y
1/2 (2r)−1/2 = Y
λ3/4 =
Y
Y 1/4 (4w)−1/4Y 1/2 (2r)−1/2= Y Y −
1/4 (4w)1/4Y −
1/2 (2r)1/2 = Y
1/4 (4w)1/4 (2r)
1/2
11
λ =(Y
1/4 (4w)1/4 (2r)
1/2)4/3
= Y1/3 (4w)
1/3 (2r)2/3
Sustituyo λ en L y K :
L(w, r, Y ) =Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3Y
4w=Y 4/3 (2r) 2/3
(4w) 2/3=
(1
2
)2/3Y 4/3r2/3
w2/3
K(w, r, Y ) =Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3Y
2r=Y 4/3 (4w) 1/3
(2r) 1/3= 2
1/3Y4/3w1/3
r1/3
La función de costes a largo plazo será:
CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )
= w
(1
2
)2/3Y 4/3r2/3
w2/3+ r 2
1/3Y4/3w1/3
r1/3
=
(1
2
)2/3
Y4/3r
2/3w1/3 + 2
1/3Y4/3r
2/3w1/3
Sacamos factor común:
CTlp(w, r, Y ) =
((1
2
)2/3
+ 21/3
)Y
4/3r2/3w
1/3 =
(12/3 + 21/322/3
22/3
)Y
4/3r2/3w
1/3 =
(3
22/3
)Y
4/3r2/3w
1/3
4.
Función de oferta:
Max{L,K}Π : p Y −(
3
22/3
)Y
4/3r2/3w
1/3︸ ︷︷ ︸CT
c.p.o =∂Π
∂Y= 0
p− 4
3
3
22/3Y
1/3r2/3w
1/3 = 0
Y1/3 =
p4
22/3r2/3w1/3
12
Y (w, r, p) =p3
16 r2w
Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.
5.
Nos esta hablando de la elasticidad:
εCTlp,w =4CT/CT4w/w
=4CT4w
w
CT
εCTlp,w =
13
(3
22/3
)Y 4/3r2/3w−2/3w(
322/3
)Y 4/3r2/3w1/3
=1
3
Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidadesse incrementa en 1/3%.
6.
A corto plazo el capital es �jo:
MinCT = wL+ rK
s.a. L1/4K
1/2= Y
Aislamos L en la restricción:
L = K−2Y 4
la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste acorto plazo:
CTcp(w, r, Y ) = wY 4K−2
+ rK
7.
CTcp(1, 1, Y ) = CTlp(1, 1, Y )
1Y 41−2 + 1 =
(3
22/3
)Y
4/312/31
1/3
13
(b)
1)
2.
Max{L,K}Π : pL1/3K
2/3 − wL− rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
∂L= 0→ p − 1
3L
−2/3K2/3 = w
∂Π
∂K= 0→ p − 2
3L
1/3K−1/3 = r
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:
14
p1
3L
−2/3L︸ ︷︷ ︸L1/3
K2/3 = wL
p2
3L
1/3K−1/3K︸ ︷︷ ︸K2/3
= rK
Suponiendo que Y = L1/3K2/3 reformulamos estas expresiones:
p1
3Y = wL
p2
3Y = rK
Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:
L =pY
3w
K =2pY
3r
Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de produc-ción:
L1/3K
2/3 = Y
(pY
3w
)1/3(2pY
3r
)2/3
= Y
Sacamos factor común:
Y1/3+2/3
( p
3w
)1/3(
2p
3r
)2/3
= Y
( p
3w
)1/3(
2p
3r
)2/3
= 0
¾Que problema hay? Cuando la empresa tiene redimientos constantes deescala la función de oferta no está bien de�nida. Esta empresa es indeferente encuanto a su nivel de producción.
15
(c).
1.
2.
Max{L,K}Π : pL3/4K
3/4 − wL− rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
∂L= 0→ p − 3
4L
−1/4K3/4 = w
∂Π
∂K= 0→ p − 3
4L
3/4K−1/4 = r
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:
16
p3
4L
−1/4L︸ ︷︷ ︸L3/4
K3/4 = wL
p3
4L
3/4K−1/4K︸ ︷︷ ︸K3/4
= rK
Suponiendo que Y = L3/4K3/4 reformulamos estas expresiones:
p3
4Y = wL
p3
4Y = rK
Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:
L =3
4
pY
w
K =3
4
pY
r
Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de produc-ción:
L3/4K
3/4 = Y
(3
4
pY
w
)3/4(3
4
pY
r
)3/4
= Y
Y3/4+3/4
(3
4
p
w
)3/4(3
4
p
r
)3/4
= Y
Y −1/2 =
(3
4
p
w
)3/4(3
4
p
r
)3/4
Y1/2 =
(3
4
p
w
)−3/4(3
4
p
r
)−3/4
Y (w, r, p) =
(3
4
p
w
)−3/2(3
4
p
r
)−3/2
=(w r)
3/2(34 p)3
17
3.
Min{L,K}CT : wL+ rK
s.a. L3/4K
3/4 = Y
Usaremos el método lagrangiano:
L(L,K, λ) = wL+ rK − λ(L3/4K
3/4 − Y )
Las tres condiciones de primer orden son:∂L∂L = 0 → w − 3
4λL−1/4K3/4 = 0
∂L∂K = 0 → r − 3
4λL3/4K−1/4 = 0
∂L∂λ = 0 → L3/4K3/4 − Y = 0
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:
wL =3
4λL−
1/4L︸ ︷︷ ︸L3/4
K3/4
︸ ︷︷ ︸Y
=3
4λY
rK =3
4λL
3/4K−1/4K︸ ︷︷ ︸
K3/4︸ ︷︷ ︸Y
=3
4λY
Entonces:
L = λ3
4
Y
w
K = λ3
4
Y
r
Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:(λ
3Y
4w
)3/4(λ
3Y
4r
)3/4
= Y
λ3/2
(3
4
)3/2
Y3/2w−
3/4r−3/4 = Y
λ3/2 =
(3
4
)−3/2
Y −1/2w
3/4r3/4
18
λ =
(3
4
)−1Y −
1/3w1/2r
1/2
Sustituyo λ en L y K :
L(w, r, Y ) =
(3
4
)−1Y −
1/3w1/2r
1/2 3
4
Y
w= Y
2/3w−1/2r
1/2
K(w, r, Y ) =
(3
4
)−1Y −
1/3w1/2r
1/2 3
4
Y
r= Y
2/3w1/2r−
1/2
La función de costes a largo plazo será:
CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )
= w Y2/3w−
1/2r1/2 + r Y
2/3w1/2r−
1/2 = 2Y2/3w
1/2r1/2
4.
Función de oferta:
Max{L,K}Π : p Y − 2Y2/3w
1/2r1/2︸ ︷︷ ︸
CT
c.p.o =∂Π
∂Y= 0
p =4
3Y
−1/3w1/2r
1/2
Y1/3 =
4
3w
1/2r1/2p−1
Y (w, r, p) =(w r)
3/2(34 p)3
Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.
19
5.
Nos esta hablando de la elasticidad:
εCTlp,w =12 2Y 2/3w−1/2r1/2w
2Y 2/3w1/2r1/2=
1
2
Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidadesse incrementa en 1/2%.
6.
A corto plazo el capital es �jo:
MinCT = wL+ rK
s.a. L3/4K
3/4= Y
Aislamos L en la restricción:
L = K−1Y
4/3
la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste acorto plazo:
CTcp(w, r, Y ) = wK−1Y
4/3 + rK
7.
CTcp(1, 1, Y ) = CTlp(1, 1, Y )
Y4/3 + 1 = 2Y
2/3
Y4/3 − 2Y
2/3 + 1 = 0
Tenemos una ecuación de segundo grado:
Y ∗ =2±
√4− 4(1)(1)
2= 1
20
(d)
1.
2.
La empresa tiene rendimientos constantes de escala.
21
(e)
1.
2.
La empresa tiene rendimientos constantes de escala.
8.5
Max{L}Π : pL1/2K
1/2 − wL− rK
c.p.o :∂Π
∂L= 0
1/2 pL−1/2K
1/2 − w = 0
22
L−1/2 =
2w
pK1/2
L1/2 =
pK1/2
2w
L(w, p) =p2K
(2w)2
Función de oferta:
Y (w, p) =
(p2K
(2w)2
)1/2 (K)1/2
=pK
1/2K
1/2
2w=pK
2w
• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del factor trabajo w en la oferta ?
∂Y
∂w= −pK
2
p y K son positivos por lo tanto un aumento de w disminuye la producción.
• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del producto p en la oferta ?
∂Y
∂p=
K
2w
w y K son positivos por lo tanto un aumento de p aumenta la producción.
8.6
Max{Y }Π : pY − Y 3 + 7Y 2 − 17Y − 66
c.p.o :∂Π
∂Y= 0
Entonces:
p− 3Y 2 + 14Y − 17 = 0
Reescribimos:
23
−3Y 2 + 14Y − (17− p) = 0
Tenemos una ecuación de segundo grado:
Y =−14±
√142 − 4(−3)(−17 + p)
2(−3)=
14 +√
12p− 8
6, para p ≥ 2/3
Grá�co:
8.7
1.
f(λL) = (λL)α = λαLα
Es una función homogénea de grado α.
2.
Y = Lα
24
L = Y1/α
CT = wY1/α
3.
CMg =1
αw Y
(1−α)/α
4.
CMe =wY 1/α
Y= wY
(1−α)/α
Sí es cierto.
8.8
1.
Min{L,K}2L+K
s.a. 27L2K = Y
Utilizamos el lagrangiano:
L(L,K, λ) = 2L+K − λ(27L2K − Y )
Condiciones de primer orden:
2− 2λ27LK = 0→ 27LK =1
λ
1− λ27L2 = 0→ 27L2 =1
λ
27L2K − Y = 0→ 27L2K = Y
Igualamos la primera y segunda ecuación:
27LK = 27L2
25
K = L
Sustituimos en la tercera ecuación:
27L2L = Y
L =
(Y
27
)1/3
K =
(Y
27
)1/3
Costes Totales:
CT = 2
(Y
27
)1/3
+
(Y
27
)1/3
= 3
(Y
27
)1/3
26
2.
CMe = 3
(1
27
)1/3
Y −2/3
CMg =
(1
27
)1/3
Y −2/3
3.
Min{L,K}2L+K
s.a. 27L2K = Y
Aislamos K en la restricción:
K =Y
27L2
27
y lo sustituimos en la función objetivo:
2L+Y
27L2
Derivamos con respecto a L e igualamos a zero:
2− 2Y
27L= 0
L =Y
27
Costes Totales:
CT =2
27Y + 1
4.
CMe =2
27+
1
Y
28
CMg =2
27
29