MATLAB2009_manual

8/18/2019 MATLAB2009_manual

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Matlab


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Índice Analítico

1.1 Matlab Básico ....................................................................................... 2 1.1.1 Introdução ......................................................................................... 2 1.1.2 Operações Matriciais ........................................................................ 8 1.1.3 Operações em Array ........................................................................ 10 1.1.4 Manipulação Matricial e Vetorial ................................................... 13 1.1.5 Análise de Dados ............................................................................ 18 1.1.6 Funções Matriciais .......................................................................... 20 1.1.7 Polinômios e Processamento de Sinais ........................................... 21 1.1.8 Funções de Funções ........................................................................ 24 1.1.9 Gráficos ........................................................................................... 28 1.1.10 Controles de Fluxo ...................................................................... 38 1.1.11 Arquivos M ................................................................................. 40 1.1.12 Arquivos de Disco ....................................................................... 47 1.1.13 O Depurador do Matlab .............................................................. 49


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1.1 Matlab Básico

MATLAB é um ambiente de computação técnica de visualização e processamento numérico de alto desempenho. Ele integra análise numérica,cálculo matricial, processamento de sinais, vários aplicativos e gráficos numambiente amigável onde problemas e soluções são expressos como eles sãorepresentados matematicamente sem a necessidade da programação tradicional.

O nome MATLAB é acrônimo de laboratório de matrizes. Ele foioriginalmente escrito para permitir um acesso fácil aos programas de cálculomatricial desenvolvidos pelos projetos LINSPACK e EISPACK, que juntos

representavam o estado da arte em programas de cálculo matricial.

MATLAB também contempla uma família de aplicativos específicoschamados “toolboxes” na forma de coleções de funções MATLAB (M-files),estendendo o ambiente MATLAB na solução de problemas particulares. Entreoutros, temos os seguintes toolboxes: Processamento de Sinais; ControleRobusto; Identificação de Sistemas; Redes Neurais; Otimização, e etc.

Provavelmente a característica mais importante do MATLAB é sua

ampliabilidade. Isto permite que qualquer um possa criar uma toolbox.Aplicativos matemáticos complexos são facilmente desenvolvidos em poucaslinhas no ambiente MATLAB sem a necessidade de programação de uma únicalinha de código C ou outro código de baixo nível.

1.1.1 Introdução

O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: Matrizretangular numérica (real ou complexa). Em algumas situações existesignificado especial agregado à matrizes de dimensão 1 (escalares) e matrizescom uma só linha ou coluna (vetores). A linguagem MATLAB não usadeclaração preliminar ou dimensionamento de variáveis. Isso é feito de formaautomática.

Matrizes podem ser adicionadas no ambiente de várias formas, contudo aforma mais simples para matrizes pequenas é entrando com a lista doselementos, seguindo a seguinte convenção:


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Tutorial do MATLAB 3

Separe os elementos com espaços ou vírgulas. Delimite os elementos com colchetes [ ].

Use ; (ponto-e-vírgula) para indicar o final da linha.

Exemplo:

» A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

Resulta: A =

1 2 34 5 67 8 9

Elementos de uma matriz podem ser quaisquer expressões MATLAB. Porexemplo:

» x = [ -1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5 ]

Resulta:x =

-1.3000 1.7321 4.8000

Elementos individuais podem ser referenciados pelo seu índice (linha,coluna).Veja o exemplo a seguir:

» x(5) = abs(x(1))

Resulta:x =

-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000

Ao atribuir um valor numérico à x(5), automaticamente x(4) é criado com valornulo. Você pode construir matrizes maiores usando matrizes menores como seuselementos. Por exemplo, vamos adicionar uma linha à matriz A:

» r = [ 10 11 12 ];


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» A = [ A; r ]

Isto resulta em:

A =1 2 34 5 67 8 9

10 11 12

Você pode extrair sub-matrizes de uma matriz maior usando “: ” (dois pontos).Por exemplo:

» A = A( 1:3 , : );

Remove as três primeiras linhas e todas as colunas da matriz atual A e coloca oresultado em A.

A =

1 2 34 5 67 8 9

Variáveis e Declarações do MATLAB

Declarações no MATLAB são freqüentemente feitas da seguinte forma:

» variável = expressão

ou simplesmente,

» expressão

Quando o nome da variável é omitido, o nome ans é usado como variáveldefault .


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Uma definição normalmente termina com ENTER. Se o último caracter éum ponto-e-vírgula, ele suprime a apresentação no vídeo, embora faça aatribuição da mesma forma. Isto é especialmente importante nas situações que o

resultado é muito grande, tal como uma matriz de 10 linhas e 10 colunas.

Se a expressão é muito grande e não cabe em uma linha, use (...) paracontinuar a definição na linha seguinte. Exemplo:

» s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -1/6 + 1/7 ...- 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;

Você pode formar uma variável ou nome de função com uma letraseguida de qualquer quantidade de letras (ou underscore). O MATLABdiferencia letras maiúsculas de minúsculas e usa somente os primeiros 19caracteres do nome.

Obtendo Informação da Área de Trabalho (workspace )

Para listar as variáveis ativas use o comando who . Para obter maisinformações sobre as variáveis como: nome, tamanho, número de elementos,etc., use o comando whos .

O Utilitário de HELP

O comando help produz informações resumidas sobre funçõesespecíficas ou sobre tópicos do MATLAB. Para listar um grupo de funções,digite help seguido do nome do grupo de funções. Exemplo:

» help matfun

Para obter auxílio sobre uma função específica digite help e o nome dafunção. Exemplo:


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» help inv

Para localizar palavras-chaves em todos os arquivos do MATLAB, use o

comando lookfor . Exemplo:

» lookfor inverse

invhilb - Inverse Hilbert matrix.ipermute - Inverse permute array dimensions.acos - Inverse cosine, result in radians.acosd - Inverse cosine, result in degrees.acosh - Inverse hyperbolic cosine.ACSCH

Salvando e Saindo

Para sair do MATLAB digite exit . Encerrando uma seção do MATLAB,apaga-se todas as variáveis da área de trabalho (workspace). Se for necessário,salve suas variáveis digitando save . Este comando salvará todas as variáveis emum arquivo chamado matlab.mat. Para recuperar as variáveis use o comando

load . Você também pode salvar somente algumas variáveis e usar o nome deum arquivo qualquer. O exemplo a seguir salva as variáveis x, y e z no arquivotemp.mat.

» save temp x y z

Números e Expressões Aritméticas

O MATLAB usa notação convencional com potência de dez ou unidadecomplexa como sufixo:

-4.534i1.760217e-11

O MATLAB usa 16 dígitos significativos e expressões aritméticas sãocalculadas com a seguinte prioridade, de cima para baixo

^ potenciação


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\ divisão à esquerda/ divisão à direita* multiplicação- subtração

+ adição

Algumas funções internas retornam valores especiais. A função pi retornao valor de , a função inf retorna , etc. O MATLAB dispões das funçõesmatemáticas elementares normalmente encontradas em calculadores científicas.Essas funções incluem, por exemplo: abs , sqrt , log , sin . Se uma operaçãoresultar em infinito isso não implica em erro, simplesmente aquela variável teráo valor infinito. O mesmo ocorre para operações inválidas como / ou 0/0. Oresultado é NaN ( Not a Number ).

Formato de Saída

Para alterar a formatação do número a ser apresentado na tela, utilize ocomando format . Exemplos:

» x = [ 4/3 1.2345e-6 ]

» format short

1.3333 0.0000

» format short e

1.3333e+00 1.2345e-06

Funções

Grande parte do poder do MATLAB vem do enorme conjunto de funções.Algumas das funções são internas ao processador MATLAB e outras sãodisponíveis como bibliotecas externas na forma de M-files. O conjunto defunções aplicadas a uma área específica é denominado toolbox. Cada usuário

pode criar suas próprias funções que se comportam como se fossem funçõesinternas. As seções adiante discutem cada uma das diferentes categorias defunções analíticas do MATLAB básico.


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É possível combinar funções de várias formas. Exemplo:

» x = sqrt( log(z) )

Algumas funções usam dois ou mais argumentos, e cada argumento podeser uma expressão. Exemplo:

» angulo = atan2(y,3*x)

Existem funções que retornam dois ou mais valores. Nestes casos, os

valores de saída devem estar entre colchetes [ ] e separados por vírgula.Exemplo:

» [ V, D ] = eig( A )

A função eig calcula os autovetores e os autovalores de A,respectivamente.

1.1.2

Operações Matriciais

Transposta de uma Matriz

O caracter ' (apóstrofe) denota transposta de uma matriz. Se z forcomplexo, z ' é o transposto conjugado complexo de z . Exemplo:

» A = [ 1 2; 3 4 ] A =

1 23 4

» B = A'B =

1 32 4

Adicionando e Subtraindo Matrizes


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Os símbolos + e - denotam adição e subtração de matrizes. Portanto, aoperação é definida se as matrizes têm a mesma dimensão. Exemplo:

» C = A + BC =

2 55 8

A adição e subtração é definida também para o caso que um dosoperandos é um escalar. Exemplo:

» D = C - 2D =

0 33 6

Multiplicação de Matrizes

O símbolo * denota multiplicação de matrizes e é válida sempre que

dimensões internas dos dois operandos for igual. Exemplo:

» E = A * BE =

5 1111 25

Naturalmente, um escalar (matriz de dimensão 1) pode multiplicar ou sermultiplicado por qualquer matriz. Exemplo:

» F = 2*EF =

10 2222 50

Divisão de Matrizes

Existe dois símbolos de divisão de matrizes: / e \. Os significados são:


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X = A\B é solução do sistema A*X = BX = B/A é solução do sistema X*A = B

Funções Elementares e Transcendentais

O MATLAB considera expressões como exp(A) e sqrt(A) como operaçãosobre cada um dos elementos de um vetor (linha ou coluna). Existem funções

para calculo de funções transcendentais de matrizes, quando essas sãoquadradas. Exemplos:

expm exponencial de uma matriz

logm logaritmo de uma matriz sqrtm raiz quadrada de uma matriz

Outras funções elementares sobre matrizes incluem:

poly polinômio caraterístico det determinante trace traço

1.1.3 Operações em Array

Refere-se às operações com array as operações aritméticas realizadas

elemento a elemento ao invés da operação matricial algébrica usual definida pelos símbolos * \ / ^ e '. Para indicar que a operação é elemento-a-elemento usa-se um ponto (.) antes do símbolo da operação.

Somando e Subtraindo Arrays

Para a adição e subtração, as operações de arrays e as de matrizes são asmesmas. Neste caso + e - podem ser usados sem o ponto.

Multiplicando e Dividindo Arrays


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O símbolo .* denota multiplicação elemento-a-elemento. Se A e B têmmesma dimensão, então A.*B resulta num array cujos elementos são o produtodos elementos individuais de A e de B. Exemplo:

» x = [1 2 3]; y = [4 5 6];» z = x.*y

z =4 10 18

A expressão A./B e A.\B resulta no quociente de cada elemento. Exemplo:

» z = x.\yz =

4.0000 2.5000 2.000

Usando Potenciação com Arrays

O símbolo .^ denota potenciação elemento-a-elemento. Exemplo:

» z = x.^yz =

1 32 729

Operadores Relacionais

Para se comparar matrizes de dimensões idênticas, existem operadores

relacionais:

< menor maior>= maior ou igual== igual~= diferente


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O MATLAB compara os pares de elementos correspondentes. Oresultado é uma matriz de "uns" e "zeros", onde "um" representa "verdadeiro" e"zero" representa "falso". Exemplo:

» 2 + 2 ~= 4ans =

0

O exemplo abaixo, ilustra como encontrar os elementos da matriz A quesão divisíveis por 3:

» A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];» G = rem(A,3);» P = (G == 0)

P =0 0 11 0 00 1 0

A função rem(A,3) retorna a matriz dos restos da divisão por 3. Cada umdos elementos de G informa se a operação relacional é falsa (0) ou verdadeira(1).

A função f ind é muito usada em conjunto com operadores relacionais. Oexemplo abaixo ilustra como localizar todos os elementos de Y que são maioresque 3 e substituí-los por 10.

» Y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];» i = find(Y > 3.0);» Y(i) = 10*ones(size(i));

Operadores Lógicos

Os operadores &, |, e ~ são os operadores lógicos "e", "ou" e "não"respectivamente. As funções any e al l são muito utilizadas em conjunto com

operadores lógicos. A função any(x) retorna "1" se qualquer elemento de x fornão nulo e retorna "0" caso contrário. A função all(x) retorna "1" somente se


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todos os elementos de x são não nulos. Essas funções são particularmente úteisna declaração de um comando i f .

if all(A < 0.5)faça alguma coisa

end

Funções Matemáticas

Um conjunto de funções matemáticas elementares são aplicáveiselemento-a-elemento. Exemplo:

» A = [ -1 2 -3; 4 -5 6];» B = abs(A)

B =1 2 34 5 6

1.1.4 Manipulação Matricial e Vetorial

A capacidade de indexação do MATLAB permite manipulação de linhase colunas, elementos individuais e submatrizes de matrizes. Os vetores são o

ponto central da indexação e eles são gerados com o uso de “: ” (dois pontos).

Gerando Vetores

A declaração abaixo ilustra a criação de um vetor usando (:) dois pontos:

» x = 1:5x =

1 2 3 4 5

Você pode também criar o vetor com incrementos diferentes da unidade. No exemplo a seguir o passo é de /4.


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» y = 0 : pi/4 : piy =

0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

» z = 6: -1 : 1z =

6 5 4 3 2 1

A uso de (:) permite a criação rápida de tabelas como ilustrado a seguir:

» x = (0 : 0.2 : 3)';» y = exp(-x) .* sin(x);» [x y]

ans =0 0

0.2000 0.16270.4000 0.26100.6000 0.30990.8000 0.32231.0000 0.30961.2000 0.28071.4000 0.2430

1.6000 0.20181.8000 0.16102.0000 0.12312.2000 0.08962.4000 0.06132.6000 0.03832.8000 0.02043.0000 0.0070

Existem outras funções para a geração de vetores tal como logspace que

gera um vetor espaçado logaritmicamente:

» w = logspace(-1,1,5)w =

0.1000 0.3162 1.0000 3.1623 10.0000

Indexando


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Elementos individuais de matrizes podem ser referenciados inserindoseus índices de linha e coluna entre parênteses. Se uma expressão for usadacomo índice, o índice é aproximado paro o inteiro mais próximo.

» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];» A(3,3) = A(1,3) + A(3,1)

A =1 2 34 5 67 8 10

Usando (:) dois pontos, podemos indexar todas as linhas ou colunas ou

uma parte:

» A(:,1) A =

147

» A(2:3,1:2)

A = 4 57 8

O exemplo a seguir mostra como fazer referência explícita a algumaslinhas ou colunas. Colocam-se os números das linhas e colunas dentro decolchetes:

» A( [1 3], [1 3] ) A =

1 37 10

Um outro uso para os dois pontos (:) é no empilhamento das colunas deuma matriz qualquer. No caso de vetores, obteremos sempre o vetor coluna:

» A = [1 2; 3 4; 5 6];

» B = A(:)B =


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Matrizes Especiais

Existe uma coleção de funções que geram matrizes que são normalmente

encontradas nos problemas de álgebra linear e processamento de sinais.Exemplos:

compan - gera a matriz a partir do polinômio caraterístico diag - matriz diagonal pascal - constrói o triângulo de Pascal zeros - matriz de "zeros" ones - matriz de "uns" eye - matriz identidade logspace - vetores espaçados logaritmicamente linspace - vetores espaçados linearmente rand - elementos randômicos uniformemente distribuídos randn - elementos randômicos normalmente distribuídos etc ...

Construindo Matrizes a partir de Matrizes

É possível formar matrizes maiores a partir de matrizes menores,envolvendo as matrizes menores entre colchetes. Por exemplo, se A é umamatriz quadrada,

» C = [ A A'; ones(size(A)) A.^2 ]

cria a matriz C com o dobro do tamanho de A. Note que na construção de

matrizes usando matrizes, as dimensões das matrizes menores devem sercompatíveis ou então aparecerá uma mensagem de erro.

Manipulando Matrizes

Várias funções estão disponíveis para a manipulação matricial como:rot90 (rotação anti-horária de 90º), tril (parte triangular superior), triu (partetriangular inferior), reshape (alteração da dimensão), etc.


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1.1.5 Análise de Dados

Esta seção apresenta uma introdução à análise de dados usando oMATLAB. Técnicas mais poderosas estão disponíveis usando funções deálgebra linear e funções de processamento de sinais na seção 1.1.7 (polinômiose processamento de sinais).

Convenção

Por convenção, as diferentes variáveis em um conjunto de dados sãocolocadas em colunas, permitindo observação vertical dos dados através das

linhas. Portanto, um conjunto de dados de 50 amostras de 13 variáveis éarmazenado numa matriz de dimensão 50-por-13.

O conjunto de dados armazenados na matriz count será usado para ilustraro uso de algumas funções

» count = [11 57 29143 178 101138 163 109561 420 240712 59 287 ]

Para esse exemplo temos 5 observações para 3 variáveis. Isso pode serobtido como segue:

» [n,p] = size(count)

n =5

p =3

Um grupo de funções (abaixo) confere a capacidade de análise de dados básica:

max - máximo valor min - mínimo valor mean - valor médio median - mediana


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std - desvio padrão sort - ordenação sum - soma dos elementos

prod - produto dos elementos cumsum - soma cumulativa dos elementos cumprod - Produto cumulativos dos elementos diff - Aproximação da derivada corrcoef - Coeficientes de correlação cov - Matriz de covariância var - Variância

Para argumentos vetoriais não faz diferença se o vetor é linha ou coluna.Para arrays as funções são orientadas por colunas.

Continuando com o exemplo anterior, as declarações abaixo

» mx = max(count);» mu = mean(count);» sigma = std(count);

resultam em:mx =

61 420 2407mu =

1.0e+003 *

0.0330 0.1754 1.0182sigma =

21.4126 147.9503 865.7639

Ajuste de Curvas

Uma das alternativas possíveis no MATLAB para encontrarmos oscoeficientes de p(x) a partir de dados tabelados é através da função polyfit ,onde n é o grau do polinômio.


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p x c x c x cd d n

1 2

1

A sintaxe usada é a seguinte, onde x é a abscissa, p o valor da função para

cada x(i) e n o grau do polinômio.

» c = polifit(x,p,n)

1.1.6 Funções Matriciais

Autovalores e Autovetores

Se A é uma matriz n-por-n, os n números que satisfazem a equação Ax = x, são os autovalores de A. Eles são encontrados usando

» eig(A)

Se o comando for usado com dois parâmetros de saída, obteremos osautovalores em D e os autovetores em X :

» [X,D] = eig(A)

Norma, Posto e Condicionamento

As funções MATLAB que calculam a norma, posto e número decondicionamento de uma matriz são:

cond - número de condicionamento usando norma-2 norm - norma-1, norma-2, norma-F e norma- rank - posto da matriz rcond - estimativa do condicionamento


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1.1.7 Polinômios e Processamento de Sinais

O MATLAB possui funções para manipulação polinomial e para o processamento digital de sinais. Essas funções operam primordialmente comvetores.

Representação de Polinômios

O MATLAB representa polinômios como vetores linha contendo oscoeficientes ordenados em ordem decrescente dos expoentes. Por exemplo, o

polinômio característico de

A =1 2 34 5 67 8 0

é calculado com

» p = poly(A)p =

1 -6 -72 -27

Esta é a representação MATLAB do polinômio s s s3 26 72 27 . As raízes dessaequação são

» r = roots(p)

r = 12.1229-5.7345-0.3884

Essas raízes são os mesmos que os autovalores da matriz A. Você podereconstruir o polinômio original com a função poly

» p2 = poly(r)p2 =

1 -6 -72 -27


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Considere os polinômios a s s s( ) 2 2 3 e b s s s( ) 4 5 62 . O produtodos polinômios é a convolução dos seus coeficientes

» a = [1 2 3]; b = [4 5 6];» c = conv(a,b)

c =4 13 28 27 18

Você pode utilizar a convolução inversa para dividir dois polinômios, eno caso do exemplo, obter b novamente.

» [q,r] = deconv(c,a)q =

4 5 6r =

0 0 0 0 0

A lista de funções de polinômios inclui:

poly - polinômio característico roots - raízes de um polinômio polyval - cálculo do valor numérico do polinômio polyvalm - cálculo do polinômio de matrizes conv - multiplicação (convolução) deconv - divisão (deconvolução) residue - expansão em frações parciais polyder - derivada do polinômio polyfit - ajuste polinomial de curva

Processamento de Sinais

Vetores são usados para armazenar sinais de dados amostrados, ouseqüências, para o processamento dos sinais. Para sistemas com múltiplasentradas, cada linha da matriz corresponde a uma amostra. O MATLAB básicocontém as funções a seguir, enquanto que o Signal Processing Toolbox contémmuitas funções adicionais.


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abs - magnitude complexa angle - ângulo de fase conv - convolução

deconv - deconvolução fft - transformada rápida de Fourier ifft - transformada rápida inversa de Fourier fftshift - alterna quadrantes de matrizes fft2 - FFT de duas dimensões ifft2 - FFT inversa de duas dimensões fftshift - rearranja os resultados da FFT conv2 - convolução de duas dimensões

Filtragem de Dados

A função,

» y = filter(b,a,x)

filtra os dados do vetor x com o filtro descrito pelos vetores a e b, criando o

dado y filtrado.

x yH(z)

A estrutura do filtro é dada a seguir pela sua função de transferência detempo discreta

)1(1

)1(1

)()2(1)()2()1(

)()()(

na

nb

z naa z a z nbb z bb

z X z Y z H

A função freqz do Signal Processing Toolbox calcula a resposta emfreqüência de filtros digitais. Além dessa, exemplificada abaixo, esse Toolboxcontém inúmeras funções para o projeto de filtros digitais.

» [h,w] = freqz(b,a,n);

» mag = abs(h);» fase = angle(h);


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» semilogy(w,mag)» plot(w,fase)

1.1.8 Funções de Funções

A classe de funções MATLAB para cálculo que não é sobre matrizesnuméricas, mais sim com funções matemáticas é aqui designada por funções defunções ( funfun) e incluem:

Integração Numérica Equações não lineares e Otimização Solução de Equações Diferenciais etc

Para o uso das funções de funções, é usual representar as funfun atravésde arquivos-M (M-files). Por exemplo, a função

f x x x

( )( , ) , ( , ) ,

1

0 3 0 01

1

0 9 0 046

2 2

foi codificada num arquivo com extensão .m, por exemplo chamado humps.m,cuja listagem é mostrada a seguir:

% listagem do arquivo humps.mfunction y = humps(x)y = 1/.((x-.3).^2 + .01) + 1./((x-.9).^2 + .04) - 6;

O gráfico dessa função é obtido como segue

» x = -1:.01:2;» plot(x,humps(x))


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-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20

0

20

40

60

80

100

Integração Numérica

Uma função, tal como humps , pode ser integrada numericamente pelo processo chamado de quadratura que é uma funfun. Exemplo:

» q = quad('humps',0,1)q =

29.8583

O MATLAB oferece duas funções para o processo de quadratura:

quad - regra de Simpson adaptativa quad8 - regra de Newton adaptativa

Note que o primeiro argumento da função quad é uma string que contém onome de uma função. Isso mostra porque essa função é chamada função defunção (é uma função que opera com outras funções). Os outros doisargumentos são os limites de integração.

Equações Não Lineares e Funções de Otimização


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No MATLAB básico encontramos algumas funções para a manipulaçãode equações não lineares e para otimizações. Exemplos:

fminsearch - mínimo de uma função multivariável fzero - zero de uma função de uma variável

Continuando com o exemplo definido pela função humps.m, a localizaçãodo mínimo da função na região de 0.5 a 1 é calculada com fminsearch :

» xm = fminsearch('humps',0.5, 1)

xm =0.6370

e o seu valor no mínimo é

» y = humps(xm)y =

11.2528

A localização do zero da função que está próximo de x = 0 e de x = 1 é,

» xz1 = fzero('humps',0)xz1 =

-0.1316» xz2 = fzero('humps',1)

xz2 =1.2995

No Optimization Toolbox temos inúmeras outras funções como, porexemplo,

fgoalattain - consecução de metas fmincon - minimização com restrições fminsearch - minimização sem restrições fsolve - solução de equações não lineares

fzero - busca de zeros fminimax - solução do problema minimax


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linprog - programação linear quadprog - programação quadrática

Equações Diferenciais

Duas das funções disponíveis para a solução de equações diferenciaisordinárias são:

ode23 - método Runge-Kutta de ordem baixa ode45 - método Runge-Kutta de ordem média

Considere a equação diferencial de segunda ordem conhecida comoequação de Van der Pol.

( ) x x x x 2 1 0

Esta equação pode ser escrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem

( )

x x x x x x

1 1 2

2

2

2 1

1

O primeiro passo para simular este sistema é criar um arquivo que contem estesistema de equações diferenciais. Chamaremos este arquivo de vdpol.m

function xponto = vdpol(t,x)xponto(1,1) = x(1).*(1-x(2).^2)-x(2);xponto(2,1) = x(1);

Para simular a equação diferencial no intervalo 0 20 t , use a função ode23 .

» t0 = 0; tf = 20;» x0 = [0 0.25]'; % condicoes iniciais» [t,x] = ode23( 'vdpol', [t0 tf], x0 );» plot(t,x)


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0 5 10 15 20

-3

-2

-1

0

1

2

3

Para aqueles que trabalham com equações diferenciais recomenda-setambém o SIMULINK que é uma extensão gráfica do MATLAB para asimulação de equações diferenciais.

1.1.9 Gráficos

O sistema gráfico do MATLAB oferece uma variedade de técnicassofisticadas para representar e visualizar dados. São funções gráficas em 2-D e3-D.

Gráficos 2-D

O MATLAB fornece uma variedade de funções para a visualização dedados em duas dimensões (2-D).

Funções Gráficas Elementares

A lista abaixo sumariza as funções gráficas básicas. Elas diferem apenasna escala dos eixos. Cada entrada pode ser um vetor ou uma matriz e as escalassão ajustadas automaticamente para acomodar os dados de entrada.

plot - gráfico de vetores ou de colunas de matrizes loglog - escala logarítmica nos dois eixos

semilogx - escala logarítmica no eixo x e linear em y semilogy - escala logarítmica no eixo y e linear em x


30/50


title - adiciona um título ao gráfico xlabel - adiciona um nome ao eixo x ylabel - adiciona um nome ao eixo y

text - mostra um texto na posição especificada gtext - coloca o texto no gráfico usando o mouse grid - coloca linhas de grid

Criando um Gráfico

Se y é um vetor, plot(y) produz um gráfico linear dos elementos de y emfunção do indexador de y. Se você especificar dois vetores como argumentos,plot(x,y) produz um gráfico de y versus x. Você pode também especificar váriosconjuntos de dados e definir o estilo da linha e sua cor para cada conjunto dedados, tudo isso num mesmo comando:

» t = 0:pi/100:2*pi;» x = sin(t);» y1 = sin(t + 0.25);

» y2 = sin(t + 0.5);» plot(x,y1,'r-',x,y2,'g--')» title('Defasagem')» xlabel('x=sin(t)')» ylabel('y=sin(t+)')


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-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x=sin(t)

y=sin(t+)

Defasagem

Estilos de Linhas, Marcadores e Cores

Tal como se mostrou no exemplo anterior, você pode passar um caracterecomo um argumento à função plot para especificar um dos vários estilos delinha, símbolos e cores. Na declaração plot(X,Y,S), S é uma string de 1, 2 ou 3caracteres (delimitados por apóstrofes) com as funções definidas pela tabela aseguir. Se você não especificar uma cor, ele usa as cores da tabelaautomaticamente.


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Símbolo Cor Símbolo Linha

y

m

c

r

g

b

w

k

amarela

magenta

ciano

vermelha

verde

azul

branca

preta

.

o

x

+

*

-

:

-.

--

s

d

v

^

<

>

P

h

ponto

círculo

marca x

marca +

marca *

sólida

pontilhada

traço-ponto

tracejada

quadradodiamante

triângulo (p/ baixo)

triângulo (p/ cima)

triângulo (p/esquerda)

triângulo (p/diereita)

pentragrama

hexagrama

Adicionando Linhas num Gráfico Existente

Você pode adicionar outras curvas em um gráfico que já foi construídousando o comando hold . Quando você seleciona hold on , o MATLAB não

remove as linhas atuais, ao invés disso ele adiciona as linhas atuais ao gráficoatual.

O que ele pode fazer é mudar a escala dos eixos automaticamente se os novosdados não se acomodarem dentro da escala anterior. Exemplo:

» plot(x)» hold on» plot(y1,'--')» plot(y2,'-.')» hold off


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Resulta,

0 50 100 150 200 250-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dados Imaginários e Complexos

Quando os argumentos da função plot são complexos, isto é, eles têm parte imaginária diferente de zero, a parte imaginária é ignorada exceto quandoplot é usado com um único argumento. Nesta situação, o comando é umcomando gráfico resumido da parte real versus a parte imaginária. Portanto,plot(z), quando z é um vetor ou matriz complexa, é equivalente à,plot(real(z),imag(z)). Para ilustrar isso, o exemplo a seguir usa a distribuição dosautovalores de uma matriz 20-por-20 randômica:

» plot(eig(randn(20,20)),’x’)


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-4 -2 0 2 4 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Distribuição de Autovalores

Exibindo Gráficos de Matrizes

A função plot pode ter um único argumento, como plot(Y). Ela desenhauma curva para cada coluna de Y . O eixo x é formado pelo índice de cada linha.Se X e Y são matrizes, plot(X,Y) exibe o gráfico das colunas de X versus colunasde Y .

» X = 0:pi/50:2*pi;» Y = sin(X); Z = cos(X); W = log(X);» A = [Y' Z' W'];» plot(A)

Resulta,


35/50


0 20 40 60 80 100 120-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Importando Dados

Você pode importar e exibir o gráfico de dados gerados fora doMATLAB. Suponha você tenha um arquivo chamado dados.dat contentovalores de duas funções e da variável independente.

dados.dat

2.3 1.0 1.03.1 1.9 2.04.5 2.2 3.05.6 2.6 4.04.8 3.5 5.04.7 4.7 6.04.4 5.3 7.04.0 6.0 8.04.2 7.1 9.0

O comando load dados.dat produz uma matriz chamada dados, 9-por-3. Aseguir, mostra-se como renomear cada uma das variáveis e como exibir ográfico de cada função separadamente.

» load dados.dat» F1 = dados(:,1);» F2 = dados(:,2);

» X = dados(:,3);» subplot(211), plot(X,F1)


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» subplot(212), plot(X,F2)

Resulta,

0 2 4 6 8 102

3

4

5

6

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

Funções Gráficas Especializadas em 2-D

O MATLAB inclui uma variedade de funções especializadas, conformedescrito resumidamente a seguir.

bar - gráfico de barras compass - gráfico de ângulos com setas errorbar - gráfico de barras de erros

feather - gráfico de ângulos fplot - calcula e exibe o gráfico de uma função hist - cria um histograma polar - gráfico em coordenadas polares quiver - cria um gráfico de um gradiente rose - histograma em ângulo stairs - gráfico similar ao de barras sem linhas internas fill - desenha um polígono e preenche o interior


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Gráfico de Funções Matemáticas

Você pode exibir o gráfico de uma função, y f x ( ). A solução pela força

bruta é calcular a função para algumas centenas de pontos no intervalo deinteresse. Por exemplo, a função a seguir oscila com freqüência tendendo parainfinito quando x 0 5, .

» x = (0:1/2000:1)';» plot(x,cos(tan(pi*x)))

Resulta,

. . . .- 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 y = c o s ( t a n ( p i* x ) )

No exemplo, a função é exibida no intervalo [0,1]. Neste caso, a funçãofplot é mais efetiva para obtermos a representação gráfica da função, pois elaescolhe automaticamente uma quantidade maior de pontos na faixa que énecessário maior resolução gráfica. Para usar a função fplot , primeiro crie umarquivo que conterá a função a ser exibida por meio de um gráfico, por exemplocom o nome fofx.m


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function y = fofx(x)y = cos(tan(pi*x));

Agora basta passar o nome da função como argumento de fplot.

» fplot('fofx',[0 1], 25,20,10)

Resulta,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1y = cos(tan(pi*x))

Gráficos 3-D

O MATLAB oferece uma variedade de funções para a visualização dedados em 3-D, conforme sumarizado pelas funções a seguir. Contudo, nãofaremos um detalhamento, visto que o assunto é muito longo e poucointeressante para os nossos objetivos.

plot3 - desenha linhas e pontos em 3-D. contour, contour3 - gráficos de contornos

pcolor - desenha uma matriz retangular de células cujas coressão determinadas pelos elementos da matriz.


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image - mostra uma matriz como uma imagem mapeando oselementos da matriz para o mapa de cores atuais.

mesh, meshc, meshz - cria uma perspectiva em 3-D dos

elementos da matriz. fill3 - cria um polígono 3-D e preenche com uma cor sólida ou

interpola cores. zlabel - cria um label para o eixo z. clabel - adiciona um label ao gráfico de contorno. view - determina o ponto de visualização atual. viewmtx - calcula uma transformação 4x4.

1.1.10 Controles de Fluxo

O MATLAB possui declarações para controle de fluxo tal como aquelesencontrados na maioria das linguagens de computador. O controle de fluxotorna o MATLAB mais do que uma calculadora científica, permitindo que sejausado como uma linguagem de programação de alto nível completa.

FOR

O MATLAB possui a sua versão própria dos loops DO ou FOR. Com issoé possível repetir um grupo de declarações por um número predeterminado devezes. Por exemplo,

» for i = 1:n, x(i) = 0, end

impõe o valor "0" para todos os primeiros n elementos de x. Se n é menor que"1", a construção ainda é permitida, mas as declarações internas ao loop não são

executadas. Se x não existe ou tem menos elementos que x, então espaçosadicionais são alocados automaticamente.

Você pode criar loops dentro de loops e pode fazer as declaraçõesdiretamente no prompt do MATLAB, embora o uso de um M-fi le sejarecomendado nestes casos.

» for i = 1:1:m

» for j = 1:1:n» A(i,j) = 1/(i+j-1);


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» end» end» A

A expressão do for é usualmente do tipo m : i : n, onde m é o valor inicial,n o final e i o incremento, sendo que esse pode ser negativo.

WHILE

Tal como o for , a declaração while também é para realizar um grupo dedeclarações um certo número de vezes. A diferença básica é que no while , ocontrole do loop é feito por uma condição lógica. Para ilustrar, vamos resolverum problema: Qual é o primeiro inteiro n para o qual n! (fatorial de n) é umnúmero de 100 dígitos ?

» n = 1;

» while prod(1:n) < 1.e100, n = n+1; end» n

A função prod realiza os produtos dos elementos do argumento. Logo, prod(1:n) é o fatorial de n.

Declarações IF e BREAK

Os exemplos a seguir ilustram a utilização da declaração i f . O primeiro

exemplo mostra como um cálculo pode ser dividido em três casos dependendodo sinal e da paridade de n.

if n < 0 A = -1;

elseif rem(n,2) == 0 A = 0

else A = 1

end


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O segundo exemplo envolve um problema não resolvido da teoria dos números:

"Pegue um número inteiro. Se ele for par, divida por dois; se for impar,

multiplique ele por 3 e some 1. Repita esse processo até que o inteiro seja iguala um. O problema é saber se existe algum inteiro para o qual o processo nunca

termina".

Este programa MATLAB ilustra as declarações while e i f . Também é mostradoo uso da função input que interrompe a execução para a entrada de dados e dadeclaração break que permite interromper um loop.

% Problema classico "3n+1" da teoria dos números

while 1n = input('Entre com n [negativo aborta] = ');if n 1if rem(n,2) == 0

n = n/2else

n = 3*n+1

endendend

1.1.11 Arquivos M

A maneira mais simples de se usar o MATLAB é no modo de comando.

Quando você entra com uma linha de comando, ele processa e imediatamentemostra o resultado. O MATLAB também pode executar uma seqüência decomandos que está armazenada num arquivo. Estes dois modos formam umambiente interpretativo. Os arquivos que contém declarações MATLAB sãochamados M-files porque usam a extensão “.m”. Por exemplo, o arquivobessel.m contém declarações MATLAB para o cálculo de funções Bessel.

Um M-file consiste de uma seqüência de declarações MATLAB normais, podendo incluir referencias a outros M-files. Um M-file pode chamar ele

próprio de forma recursiva. Você pode criar um M-file usando um editor detexto tal como o Notepad do Windows, ou outro qualquer. Dois tipos de M-


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files podem ser usadas: lotes ( scripts) e funções ( functions). Arquivos scripts automatizam uma seqüência de comandos. Arquivos de função permitem criarnovas funções às existentes. Ambos, scripts e funções são arquivos texto tipo

ASCII.

Arquivos Scripts

O exemplo a seguir ilustra como calcular os primeiros 16 números deFibonacci usando um arquivo script . Suponha que o nome do arquivo sejafibno.m. Digitando fibno (sem a extensão) no prompt do MATLAB, faz com oscomandos contidos no arquivo sejam executados. Note que depois da execuçãodo programa as variáveis f e i permanecem na área de trabalho (workspace) do

MATLAB. Verifique isso com who . Isso acontece porque os scripts operamglobalmente com dados no workspace. Os demos fornecidos junto comoMATLAB são bons exemplos de como usar scripts para realizar tarefas maiscomplexas. Para chamar os demos digite demo no prompt do MATLAB.

% M-file (script) para calcular números de Fibonacci

f = [ 1 1]; i = 1;

while f(i) + f(i+1) < 1000f(i+2) = f(i) + f(i+1);i = i + 1;

end

plot(f)

Arquivos de Funções

Um M-file que contém a palavra function no início da primeira linha é umarquivo de função. Uma função difere de um script no fato de que argumentos

podem ser passados; variáveis definidas e manipuladas no arquivo são locais àfunção e não operam globalmente no workspace. A função listada à seguir temo nome media1.m.


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function y = media1(x)% calculo da media% soma / m

% inico do programa[m,n] = size(x);if m == 1

m = n;endy = sum(x) / m;

Por exemplo, se z é um vetor de inteiros de 1 à 99, sua média pode ser calculadacomo segue:

» z = 1:99;» media1(z)

ans =50

A seguir, descreve-se alguns detalhes de mean.m:

A primeira linha declara o nome da função, os argumentos de

entrada e os de saída. Sem esta linha, o arquivo é um script aoinvés de função;

O símbolo % indica que o resto da linha é um comentário edeve ser ignorado;

As primeiras linhas documentam um M-file e são mostradasquando pedimos help media1;

As variáveis m, n e y são locais à função e não existem noworkspace depois que do término da função. (Caso a variável

já existisse antes da chamada de media1, ela continuariaexistindo depois e inalterada);

Não foi necessário colocar os inteiros de 1 a 99 numa variávelchamada x. De fato, nós usamos media1 com uma variávelchamada z. O vetor z foi passado ou copiado dentro da funçãoonde ela tornou-se uma variável local chamada x.

Você pode criar uma função um pouco mais complexa que media1,chamada stat, que também calcula o desvio padrão. Neste exemplo ilustramos ouso de múltiplos argumentos de saída.


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function [mean,stdev] = stat(x)

[m,n] = size(x);

if m == 1m = n;

endmean = sum(x) / m;stdev = sqrt(sum(x.^2)/m - mean.^2);

Uma função que calcula o posto de uma matriz usa múltiplos argumentosde entrada: No caso geral teríamos múltiplos argumentos de entrada e de saída.

function r = rank(x,tol)% rank (posto em Portugues) da matrix

s = svd(x);if (nargin == 1)

tol = max(size(x)) * s(1) * eps;endr = sum(s > tol);

Este exemplo também mostra o uso da variável permanente nargin paraencontrar o número de argumentos de entrada. A variável nargout, embora nãousada neste exemplo, contém o número de argumentos de saída.

Criando um Help para Seus Arquivos Pessoais

você pode criar um help online para os seus M-files pessoais entrando otexto em uma ou mais linhas de comentário, começando sempre pela segundalinha do arquivo. Por exemplo, o arquivo da função angle,

function p = angle(h)

% ANGLE Phase angle.% ANGLE(H) returns the phase angles, in radians, of a% matrix with complex elements.%% See also ABS, UNWRAP.

p = atan2(imag(h), real(h));

têm 5 linhas contíguas de comentário a partir da segunda linha. Quandodigitamos help angle, todo esse bloco é mostrado. O mecanismo de help ignora


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linhas de comentário que aparecem mais a frente, depois de uma declaração oumesmo uma linha em branco.

Informações Úteis

Quando você chama uma função pela primeira vez, o MATLAB compilaa função e a coloca na memória. Ela estará então disponível para os usossubseqüentes sem a necessidade de ser compilada. Permanecerá na memória atéo final da seção ou até que você fique com pouca memória, acarretando na suaeliminação automática.

O comando what mostra uma listagem dos M-files no diretório atual do

disco. O comando type lista os M-files.

De uma maneira geral, quando você digita um nome de algo noMATLAB, por exemplo, whoopie , o interpretador do MATLAB executa osseguintes passos:

1. Procura por whoopie como variável;2. Verifica se whoopie é uma função interna;3. Procura um o arquivo whoopie.m no diretório atual;4. Procura um o arquivo whoopie.m nos diretórios especificados

pelo path do MATLAB.

INPUT, KEYBOARD, PAUSE

A função input permite obter dados do usuário. por exemplo,

n = input('Entre com o valor de n = ')

interrompe a execução, mostra a frase na tela, espera, e então atribui o valor ouexpressão digitada para a variável n.


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Similar à input é a função keyboard . Esta função torna o teclado docomputador um script . Quando colocada dentro de M-files, torna ágil adepuração e permite a modificação de variáveis durante a execução.

O comando pause interrompe a execução até que o usuário pressionauma tecla qualquer. pause(n) interrompe por n segundos antes de continuar.

Variáveis Globais

Cada função MATLAB possui suas próprias variáveis locais que sãoseparadas daquelas de outras funções e daquelas que estão no workspace.Contudo, se você declarar uma variável como global, todas as funções e oworkspace vão enxergar a mesma variável. Para diferenciar das demaisvariáveis, costuma-se identificar uma variável global declarando-a com umnome longo e em letras maiúsculas, embora isso não seja uma imposição.

Suponha que você queira estudar o comportamento dos coeficientes e no problema do modelo predador-vítima de Latka-Volterra.

y y y y

y y y y

1 1 2 1

2 2 2 1

Crie o arquivo lotka.m:

function yp = lotka(t,y)% modelo Votka-Volteraglobal ALFA BETAyp = [y(1) - ALFA*y(1)*y(2); -y(2) + BETA*y(1)*y(2)];

Interativamente, entre como as seguintes declarações:

» global ALFA BETA» ALFA = 0.01;» BETA = 0.02;» [t,y] = ode23( 'lotka', [0 10], [1; 1] );» plot(t,y)


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Uma vez que ALFA e BETA são globais você pode alterá-las interativamente enovas soluções podem ser obtidas sem ter que editar nenhum arquivo e sem

passar os valores como argumentos.

Variáveis Alfanuméricas

Variáveis do tipo texto são introduzidas no MATLAB envolvendo o textocom quotas simples (apóstrofos). Por exemplo,

» s = 'Ola's =

Ola

O texto é armazenado num vetor, um caracter por elemento. Desejandoconcatenar textos, use colchetes:

» s = [s, ' Pessoal']s =

Ola Pessoal

Valores numéricos são convertidos em variáveis do tipo texto viasprintf , num2str e int2str . Exemplo,

» c = 23;» title(['A temperatura é ',num2str(c),' graus C'])

A Função EVAL

A função eval é usada com variáveis do tipo texto para implementarrecursos de macros de texto. A função eval(t) força que o texto contido navariável t seja "resolvido". O exemplo a seguir mostra como usar o comandoload para carregar 10 arquivos seqüencialmente numerados: dados1.mat,dados2.mat, ...

» fname = ‘dados’;» for i = 1:10» eval( [ 'load ', fname, int2str(i) ] )» end


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A função eval é especialmente útil na passagem de argumentos defunções cujo parâmetro é um nome de outra função. Um exemplo típico é ofunção fplot que passa como argumento o nome da função a ser exibida,

exemplo:

» fplot( 'sin', [0 10] )

1.1.12 Arquivos de Disco

Os comandos load e save recuperam e armazenam dados do workspace

no disco.

Manipulação de Arquivos de Disco

Os comandos dir , type , delete e cd servem à manipulação de arquivos.Para a maioria desses comandos devemos especificar o path, wildcards e odrive de destino como normalmente se faz no DOS.

O comando type difere do comando type usual de uma forma importante.

Se nenhuma extensão é especificada, o MATLAB considera a extensão “.m” como default . Portanto, esse comando é normalmente usado para obtermos umarápida listagem de um M-file na teta do computador.

O comando diary cria um diário (log ) da sua seção MATLAB na formade um arquivo ASCII. Todos os comandos e resultados, exceto gráficos, sãoautomaticamente acrescentados ao arquivo de diário.

Transferência de Dados

Você pode introduzir dados de outros programas dentro do MATLAB.Similarmente, você pode exportar dados do MATLAB para outros programas.Também é possível usar o formato que o MATLAB usa para armazenar dados:MAT-files.

Importando Dados

O melhor método de importar dados depende de quantos dados existem,qual o seu formato, etc. A seguir, listamos algumas opções:


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Entre com os dados como uma lista explícita dos elementos. Seo número de elementos for pequeno (10-15 elementos) é mais

simples digitar os dados explicitamente usando colchetes.

Crie um M-file e escreva os dados de forma explícita usandoum editor de texto.

Carregue os dados de um arquivo ASCII.

Escreva um programa em C ou FORTRAN para converter seusdados no formato dos MAT-files e então use o comando load .

Importe os dados do Excel.

Exportando dados do MATLAB

Para exportar dados também existem várias opções, das quais algumassão listadas a seguir:

Para matrizes pequenas use o comando diary para criar umaarquivo de diário e então liste as variáveis neste arquivo. Você

pode, mais tarde, usar um editor de texto para manipular osdados.

Salve os dados num formato ASCII usando o comando save com a opção -ascii. Por exemplo,

» A = rand(4,3);» save temp.dat A -ascii

cria um arquivo ASCII chamado temp.dat

Salve os dados como MAT-files usando o comando save eentão escreva um programa em C ou FORTRAN parareformatar os dados conforme necessário para a aplicação.


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Exporte os dados para o Execl.

1.1.13 O Depurador do Matlab

Embora o MATLAB seja uma linguagem menos complexa que outraslinguagens de programação, ele tem sua sintaxe própria e você pode precisarcorrigir alguns erros. O MATLAB encontra erros de sintaxe durante a fase decompilação e esses erros, em geral, são simples de corrigir. O MATLABtambém encontra erros na fase de execução do programa; esses erros tendem aser mais difíceis de solucionar por causa do workspace local às funções ser

perdido quando um erro interrompe a execução. Quando isto ocorre, retornamosao workspace base do MATLAB. Se você usou ponto-e-vírgula para suprimir osresultados intermediários da tela, não terá como saber onde o erro ocorreu.

Para mostrar os resultados intermediários, você pode usar um dosmétodos a seguir:

Remova os ponto-e-vírgula de interesse; Use a declaração keyboard para permitir que o workspace seja

examinado no ponto da declaração; Torne a primeira linha da função uma linha de comentário, de

tal forma que a função possa ser executada como um script ,fazendo com que os resultados intermediários sejam acessíveisno workspace base do MATLAB;

Use o depurador do MATLAB.

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