ENS Cachan Bretagne Jeudi 15 dcembre 2011Cours Math1 (G. Vilmart) Info 1re anne

Examen. (lments de correction)

Dure: 2 heures (10h30-12h30)

Examen sans document ni calculatrice. Les exercices sont indpendants et peuventtre traits dans un ordre quelconque. La clart de la rdaction constituera un lment im-portant dans lapprciation des copies (notamment, indiquer soigneusement les hypothsesdes thormes et rsultats du cours utiliss).

Formulaire:a, b R, 2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a b).a, b R, 2 cos(a) sin(b) = sin(a + b) sin(a b).

Exercice 1

a) Soit a un paramtre rel non entier. Calculer la srie de Fourier de la fonction 2-priodiquedonne par

f(x) = cos(ax), pour tout < x .La srie de Fourier obtenue converge t-elle uniformment vers f sur lintervalle [, ] ?Sol.: La fonction est paire, donc les coefficients bn sont nuls. on calcule:

an =1

pipi

cos(ax) cos(nx)dx =1

pipi

1

2(cos((a+ n)x) + cos((a n)x))dx

=1

(sin((a+ n))

a+ n+

sin((a n))a n

)=

2a(1)n sin(a)(a2 n2)

La srie de Fourier de f est donc

sin(a)

a+

n=1

2a(1)n sin(a)(a2 n2) cos(nx).

Cette srie converge uniformment vers f car f est 2 priodique, continue (car f() =f(+) par parit de f) et de classe C1 par morceaux sur R (Thorme de Dirichlet).

b) Montrerx2

2= x

2

3+ 2

k=1

cos kx

k2pour tout 0 x 2.

En dduire les valeurs de

n=11n2

et

n=1(1)nn2

.

Sol.: On calcule les coefficients de Fourier de la fonction 2 priodique donne par g(x) =x2

2 x+ pi2

3 pour tout 0 < x 2. On trouve ak = 2/k2 et bk = 0 (car la fonction est paire)pour tout k 1, et a0 = 0. Comme g(2) = g(0+), g est continue et C1 par morceaux,donc sa srie de Fourier converge vers g uniformment, do le rsultat.

1

Exercice 2

a) Expliquer la diffrence entre les espaces L1(X) et L1(X) o X est un espace mesur.Sol.: L1(X) est lespace des fonctions intgrables, tandis que L1(X) est lespace quotientL1(X)/( p.p.) pour la relation dgalit presque partout.

Dans toute la suite de lexamen, on considrera toujours la mesure de Lebesgue.

b) Montrer linclusion L2(I) L1(I) o I est un intervalle born de R. Cette inclusion est-ellevraie si I = R ?

Sol.: Si I est un intervalle non born, soit I = [a, b]. Par lingalit de Cauchy-Schwarz,

si f L2(a, b), ba f(x)dx b

a f(x)2dx

ba 1

2dx. Ainsi f L1(a, b) et fL1(R) b afL2(R). Si I = R, cette inclusion est fausse. Par exemple 1/(1 + |x|) est dans

L2(R) mais pas dans L1(R) (critre de Riemann).

c) Donner un exemple dune suite de fonctions intgrables qui converge vers 0 presque partoutsur R mais pas dans L1(R). Sol.: Par exemple, fn(x) =

11+(xn)2 . La suite converge

partout vers 0, maisRfn(x)dx =

Rdx/(1 + x2) = ne converge pas vers 0. Autre

exemple: n1]0,1/n[.

d) Pour n N et x 0, on pose

fn(x) =nex

nx+ 2

sin(x).

Montrer que fn appartient L1(R+) pour tout n (on note R+ = [0,+[).

Sol.: On a |fn(x)| = | exx+2/n sin(x)| exx

qui est une fonction majorante intgrable au

voisinage de 0 (critre de Riemann) et intgrable sur R+ carex

x ex (intgrable) pour

tout x 1.e) Montrer que la suite an =

+0 fn(x)dx converge lorsque n tend vers linfini vers +

0f(x)dx.

On donnera une expression explicite de f sans chercher calculer lim an.

Sol.: La majoration de la question prcdente montre fn(x) f(x) avec f(x) = exx sin(x),intgrable. Par le thorme de convergence domine, on dduit le rsultat. Remarque:comme la suite fn(x) =

exx+2/n

sin(x) est croissante par rapport n, on pouvait aussi

invoquer le thorme de convergence monotone.

Exercice 3: lquation des tuyaux sonores

Soit f C2([0, ]) et g C1([0, ]) et a > 0 un paramtre rel. On considre le problmedquation aux drives partielles suivant:

2u

t2(x, t) = a2

2u

x2(x, t), pour 0 x , t > 0,

u(x, 0) = f(x),u

t(x, 0) = g(x), pour 0 x (conditions initiales),

u

x(0, t) = 0,

u

x(, t) = 0, pour t > 0 (conditions aux bords).

2

a) Montrer que

u(x, t) =1

2(f(x+ at) + f(x at)) + 1

2a

x+atxat

g(s)ds.

est solution du problme tant que [x at, x+ at] [0, ]. Sol.: Calcul direct. Commentfaut-il prolonger les fonctions f et g en dehors de lintervalle [0, ] pour que obtenir unesolution pour tout t 0?Sol.: On peut prolonger f et g comme fonctions paires et 2 priodiques. Ainsi, lesconditions aux bords sont vrifies. Voir la correction du dernier TD avec un exercicesimilaire.

b) On pose = . En dveloppant f et g en sries de Fourier, en dduire une reprsentationde la solution u(x, t) sous forme de srie. On justifiera la convergence uniforme de la srieobtenue.

Sol.: Par le thorme de Dirichlet, les sries de Fourier de f et g convergent uniformment.Voir la correction du dernier TD.

Exercice 4: sur le thorme dchantillonnage de Schannon

On rappelle que le support suppu dune fonction u mesurable sur R est la plus petite partieferme telle que u soit nulle presque partout en dehors de suppu. On rappelle que la transformede Fourier agit comme une isomtrie bijective de L2(R) dans lui-mme (rappel: une isomtrie estune application qui conserve la norme).

On considre lespace de Hilbert L2(R) muni du produit scalaire usuel

f, g =R

f(x)g(x)dx

et les deux sous-espaces de Hilbert

E = {u L2(R) ; suppu ] 12,1

2[)}, BL2 = {u L2(R) ; u E},

o u dsigne la transforme de Fourier de u.

a) Expliquer pourquoi la formule dfinissant la transforme de Fourier

u L1(R), u(x) =R

u()e2ipixd,

nest pas rigoureuse pour u L2(R). Comment dfinir u si u L2(R)?Sol.: Si u L2(R), la fonction 7 u()e2ipix nest pas intgrable en gnral car L2(R)nest pas inclus dans L1(R). On peut nanmoins dfinir u par densit de L1(R) L2(R)dans L2(R). Voir le cours: Pour un u dans L2(R) avec un L1(R) L2(R), on poseu = limn un (Cette limite existe car la transforme de Fourier prserve la norme deL2(R) et donc transforme la suite (un) qui est de Cauchy dans L

2(R) en suite de Cauchydans L2(R) donc en suite convergente par compltude de L2(R)).

b) Justifier que le sous-espace E peut sidentifier lespace de Hilbert L2(] 12 , 12 [) (On prciseraune isomtrie entre ces deux espaces).

Sol.: On considre lisomtrie qui u E associe la restriction lintervalle ] 12 , 12 [.Montrer que la suite (en)nZ dfinie par

en(x) = e2ipinx1] 1

2, 1

2[(x)

3

est un systme orthonorm complet de lespace E (cest--dire une base hilbertienne).

Sol.: Daprs le cours, les fonctions 7 ein n Z constituent une base hilbertienne deL2(, ) muni de la norme f 7

1

2pi

pipi |f(x)|2dx (base de Fourier standard). En faisant

le changement de variable = 2x les fonctions e2ipinx constitue une base hilbertienne deL2(1/2, 1/2), qui sidentifie E.

c) Calculer la transforme de Fourier en des fonctions en, n Z.Sol.: Comme en L1(R), la formule de la transforme de Fourier est bien dfinie:

en(x) =

R

en()e2ipixd =

12

12

e2ipi(nx)d = sinc (xn).

d) On rappelle que la transforme de Fourier est une isomtrie bijective de L2(R) dans lui-mme. Montrer que (en)nZ est une base hilbertienne de BL2.

Sol.: Comme (en)nZ est une base hilbertienne de E et la transforme de Fourier est uneisomtrie, on dduit le rsultat.

e) En utilisant la transforme de Fourier inverse, montrer que toute fonction de BL2 est con-tinue.

Sol.: Soit u BL2. Comme u L2(R) est support compact, on a u L1(R) L2(R).La formule dinversion de Fourier sapplique donc (cours),

u(x) =

R

u()e2ipixd.

Comme |u()e2ipix| |u()| avec u() L1(R), par convergence domine, lintgrale dpendcontinument du paramtre x: la fonction u est continue.

En dduire que la srie de fonctions

x 7kZ

u(k)sinc (x k)

converge vers u dans L2(R), o on considre la notation sincx = sin(pix)pix .

Sol.: Daprs la question d, les fonctions en(x) = sinc (x k), k Z constituent une basehilbertienne de BL2. Ainsi, la srie

x 7kZ

u, ek ek ()

converge pour la norme de L2(R) vers u. De plus, pour tout v E, par lingalit deCauchy-Schwarz, on a

|v(x)| 1/21/2

|v(x)|dx vL2(1/2,1/2) = vL2(R)

o on utilise que la transforme de Fourier est une isomtrie. Ceci implique que la conver-gence () est uniforme. En posant x = k, on obtient lgalit u, ek = u(k).

f) Un CD audio contient typiquement des donnes musicales chantillonnes au moins44,1 kHz (44 100 chantillons par seconde de musique) alors que la plus grande frquenceaudible par loreille humaine se situe en moyenne aux alentours de 20 kHz. Pouvez-vousinterprter ces chiffres la lumire du rsultat prcdent?

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Sol.: Le rsultat prcdent montre quun signal u avec une frquence maximale 1/2 (voir lesupport de u) peut tre constitu en chantillonnant le signal avec une frquence 1, cest--direle double: u(k), k Z. On retrouve ce facteur deux entre la frquence maximale audible et lafrquence dchantillonnage du CD.

Barme examen: 1) a) 4pt+2pt, b) 3pt+2pt 2) 2)a) 2pt b) 2pt+2pt c) 3pt d) 2pt e) 2pt 3) a) 4ptb) 4pt 4) a) 3pt+2pt b) 2pt+2pt c) 3pt. TP:5 pt. Note sur 20 = 0.6(examen + tp).

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