Bab II

Bab I

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Salah satu kompetensi guru yang perlu dikembangkan adalah menguasai bahan ajar yang akan disampaikan kepada siswa. Bahan ajar Kalkulus merupakan bagian dari Matematika yang didalam ruang lingkup nya berkaitan dengan limit fungsi, perhitungan diferensial, dan perhitungan integral.

Kalkulus pertama kali dikembangkan oleh Issac Newton pada abad 17 di Inggris dan pada waktu yang bersamaan juga dikembangkan oleh Leibniz ( 1646 1716 ) di Jerman. Penelitian mereka yang dilakukan secara terpisah tersebut menghasilkan kesimpulan yang sama. Hal-hal yang dipelajari berhubungan dengan laju perubahan dan luas daerah. Perhitungan ini kemudian dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk memecahkan permasalahan yang terdapat pada berbagai bidang disiplin ilmu, sehingga kalkulus banyak kegunaannya untuk menyelesaikan masalah-masalah didalam kehidupan sehari-hari, misalnya di bidang ekonomi, tehnik dan lain sebagainya.

Bahan ajar ini menyajikan kajian tentang konsep - konsep dasar materi / pokok bahasan Kalkulus, khususnya limit, diferensial dan integral yang merupakan materi yang harus dikuasai oleh Guru Matematika sehingga guru mampu mengembangkan ketrampilan siswa dalam menentukan dan menggunakan limit, diferensial dan integral. Oleh karena itu guru matematika SMK perlu memahami pembelajaran Kalkulus di sekolahnya.

B. Tujuan

Setelah mengikuti pendidikan dan pelatihan ( diklat ) ini peserta diharapkan mampu mengembangkan konsep limit, diferensial dan integral dari kehidupan nyata sehari-hari dan menjelaskannya dengan memberi contohnya.

C. Ruang Lingkup

Bahan ajar Pengantar Kalkulus dimaksudkan untuk meningkatkan kompetensi guru matematika SMK dalam menyelenggarakan proses belajar mengajar Kalkulus. Hal-hal yang akan dibahas meliputi : Pengertian Limit Fungsi, Teorema Limit suatu Fungsi, Kontinuitas Fungsi, Turunan suatu Fungsi, Beberapa Turunan Fungsi, Turunan Tingkat Tinggi, Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu.

Bab II

Limit Fungsi

A. Pengertian Limit Fungsi

Dalam kehidupan sehari-hari kita pernah mendengar kalimat-kalimat, misalnya : kendaraan itu hampir menabrak orang yang sedang berjalan. Kata-kata hampir, mendekati dan sebagainya dapat dijelaskan dengan pengertian limit dalam matematika. Pengertian limit fungsi merupakan konsep dasar yang banyak digunakan dalam kalkulus, khususnya dalam hitung diferensial. Pada suatu fungsi y = f (x ), bagaimana perilaku f (x ); jika x mendekati c, tetapi xc. Sebagai ilustrasi kita ambil fungsi f(x) = x+ 1 dan g(x) = dan kita cari berapa nilai fungsi jika x mendekati 1, untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk macam-macam nilai x sebagai berikut :xf(x) = x+1xg(x) =

0.91.90.91.9

0.951.950.951.95

0.991.990.991.99

0.9991.9990.9991.999

1.0012.0011.0012.001

1.012.011.012.01

1.12.11.12.1

Akan terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dikatakan limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 dan limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1 , masing-masing ditulis :

( x + 1) = 2 dan = 2

Dari dua contoh limit fungsi tersebut , secara umum dapat dinyatakan bahwa : f( x ) = L jika x mendekati c, maka f ( x ) mendekati L dan f (c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.

Jika ditulis f( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati dari dua arah yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri

Bentuk limit untuk x dinamai limit di tak berhingga. Mudah dipahami bahwa :

x = dan = 0

Definisi limit fungsi adalah sebagai berikut :

Fungsi f didefinisikan pada interval terbuka yang memuat c, mungkin pada c tidak ada harga definisi. Limit f(x) adalah L untuk setiap x mendekati c, ditulis : f( x ) = L Jika untuk setiap bilangan positif (, bagaimanapun kecilnya akan didapat bilangan positif ( sehingga ( ( dipenuhi oleh 0 ( ( (Contoh :

1. Buktikan bahwa ( 3x -7 ) = 5 dengan menggunakan definisi tentang limit.

Penyelesaian :

Pembuktian terdiri atas dua bagian yaitu pertama ditunjukkan bahwa bilangan 4 adalah anggota interval f(x) dan kedua ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan positif ( akan didapat bilangan positif ( sehingga ( ( dipenuhi oleh 0 ( ( (

a. f(x) = 3x - 7 mempunyai interval ( - ( , ( ). Jelaslah bahwa bilangan 4 anggota interval tersebut

b. Harus ditunjukkan bahwa untuk ((0 akan didapat bilangan ((0 sehingga ( ( dipenuhi oleh 0 ( ( (Misalkan ditetapkan bilangan positif ( dan ditetapkan juga bilangan ( yang 0 ( ( ( 1 sehingga 0 ( ( ( ( 1 Maka :

= = ( 3 (Berarti untuk ( = (/3 maka dipenuhi ( (. Jadi untuk bilangan positif ( yang telah ditetapkan didapat bilangan ( yaitu ( = (/3. Terbuktilah bahwa untuk ((0 yang ditetapkan didapat bilangan ( (0 sehingga ( ( dipenuhi oleh 0 ( ( (

2. Hitunglah :

Penyelesaian :

=

EMBED Equation.3 = = =

B. Teorema-teorema Limit Fungsi

Jika f(x) = L dan g(x) = M serta k, b adalah konstanta sembarang maka berlaku teorema-teorema sebagai berikut :

1. ( k x + b ) = k c + b

2. k f(x) = k f(x) = k.L

3. { f(x) ( g(x) } = f(x) ( g(x) = L ( M

4. f(x).g(x) = f(x) . g(x) = L.M

5.

EMBED Equation.3 = = ( M ( 0 )

6.

EMBED Equation.3 = = untuk n bilangan bulat positif sembarang

7. = berlaku jika L positif maka n harus bilangan bulat positif dan jika L negatif maka n harus bilangan bulat positif ganjil

Contoh :

a). Hitung ( 2 3x + 4x2 x3 )

Penyelesaian :

( 2 3x + 4x2 x3 ) = 2 - 3x + 4 x2 - x3= 2 (-3) +4(-1)2 ( -1)3 = 10

b). Hitung

Penyelesaian :

= .

= Maka = =

C. Limit Fungsi Trigonometri

1. Perhatikan limit fungsi . Akan dicari berapa nilai dari

EMBED Equation.3 Perhatikan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari satu satuan berikut ini :

Maka didapat :

Luas ( OPR ( luas sektor OPQ ( luas ( OSQ

atau : cos x . sin x ( . x. 12 ( tan x

Karena 0 ( x ( ( maka sin x ( 0. Dengan demikian jika dikalikan dengan maka didapat :

cos x (

EMBED Equation.3 (

1 (

EMBED Equation.3 ( 1 atau

= 1

Dengan cara sama di dapat rumus :

2. = 1

3. = 1 4. = 1

Contoh :

= . .

= . .

= . 1. 1 =

D. Kontinuitas Fungsi

Andaikan domain dari fungsi f(x) memuat suatu interval terbuka yang memuat c maka : f(x) disebut kontinu di c jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi yaitu :

1. f (c) ada

2. f(x) ada

3. f(x) = f ( c )

Selanjutnya f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka ( a,b ) jika kontinu pada setiap titik dalam interval tersebut.

Jika suatu fungsi f(x) tidak memenuhi syarat kontinu disebut fungsi diskontinu.

Contoh 1:

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 2

Penyelesaian :

Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) =

1. f(2) = suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada

Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2

Dapat digambarkan sebagai berikut :

Contoh 2 :

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 1

Penyelesaian :

1. f (1) = = = = 0 , ada

2. f(x) = = = = 0 , ada

3. f(x) = f ( 1 ) = 0

Jadi f(x) kontinu di x = 1

Latihan 1 :

1. Buktikanlah ( x2 + 2x 1 ) = 7

2. Hitunglah

EMBED Equation.3 3. Hitunglah :

EMBED Equation.3 4. Hitunglah :

5. Hitunglah :

6. Hitunglah :

7. Hitunglah :

8. Selidiki kekontinuan fungsi berikut di x = 2

untuk x ( 2

f(x) =

2 untuk x = 2

Besar sudut pusat QOP adalah x radisn. Ruas garis PR dan QS tegak lurus sumbu x .

Koordinat titik-titik pada gambar adalah: P(cos x,sin x), S(1,tan x) , R(cos x, 0) dan Q(1, 0)

O

R

P

S

Q

Y

X

x

Y

X

2

PAGE 6

_1132484552.unknown

_1144270058.unknown

_1144270665.unknown

_1144270707.unknown

_1144753081.unknown

_1145026519.unknown

_1145042495.unknown

_1144753137.unknown

_1144696495.unknown

_1144270691.unknown

_1144270519.unknown

_1144270541.unknown

_1144270265.unknown

_1144267507.unknown

_1144268918.unknown

_1144269846.unknown

_1144269955.unknown

_1144270025.unknown

_1144269925.unknown

_1144269879.unknown

_1144269709.unknown

_1144269777.unknown

_1144269599.unknown

_1144269658.unknown

_1144269513.unknown

_1144268437.unknown

_1144268485.unknown

_1144267808.unknown

_1132484881.unknown

_1132485395.unknown

_1143955321.unknown

_1143955657.unknown

_1143955706.unknown

_1132485593.unknown

_1143955284.unknown

_1132485037.unknown

_1132484726.unknown

_1132484791.unknown

_1132484854.unknown

_1132484748.unknown

_1132484569.unknown

_1132483095.unknown

_1132483481.unknown

_1132484461.unknown

_1132483397.unknown

_1132483375.unknown

_1132481185.unknown

_1132482313.unknown

_1132482563.unknown

_1132483065.unknown

_1132482639.unknown

_1132482452.unknown

_1132482102.unknown

_1129947432.unknown

_1132480849.unknown

_1129953952.unknown

_1129954788.unknown

_1132480831.unknown

_1129955132.unknown

_1132480808.unknown

_1129955092.unknown

_1129954161.unknown

_1129954416.unknown

_1129954085.unknown

_1129951403.unknown

_1129953683.unknown

_1129953821.unknown

_1129951360.unknown

_1129951023.unknown

_1129951078.unknown

_1129950904.unknown

_1129807324.unknown

_1129945971.unknown

_1129807378.unknown

_1129945047.unknown

_1129806459.unknown