metode numerik 2
-
Upload
amuthiwahyu7257 -
Category
Documents
-
view
192 -
download
2
Transcript of metode numerik 2
Outline
Metode Numerik
Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D.
Universitas Jember
Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Jember
PS Pend. Matematika
Dafik Metode Numerik
Outline
Outline
1 Norm
2 Sistem Persamaan Linear
3 Sistem PDB
Dafik Metode Numerik
Outline
Outline
1 Norm
2 Sistem Persamaan Linear
3 Sistem PDB
Dafik Metode Numerik
Outline
Outline
1 Norm
2 Sistem Persamaan Linear
3 Sistem PDB
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Soal
Norm x
x = [2 3 4 − 1 0 2]
Tentukan ||x || ||x ||2?
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Contoh Norm
Contoh Soal
1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akxk−1|.
Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.
||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Penyelesaian Sistem Linear
Metode Langsung
Ax = b
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Solusi Iteratif
Metode Jacobi
Ax = b
(D − L − U)x = b; D=diag Mat, L=-Seg Baw, U=-Seg At
Dx − (L + U)x = b
Dx = (L + U)x + b
x = D−1(L + U)x + D−1b
xn+1 = D−1(L + U)xn + D−1b.
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
Persamaan Diferensial Biasa
dydx
= f (x , y) atau y ′ = f (x , y).
Contoh: dydx = 3xy
Solusi:
dydx
= 3xy
dy = 3xy dx∫dy =
∫3xy dx∫
1y
dy =
∫3x dx
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
Persamaan Diferensial Biasa∫1y
dy =
∫3x dx
ln y =32
x2 + c
y = e32 x2+c
y = e32 x2 · ec
y = Ke32 x2
Solusi Analitik
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
Metode Euler
y(xn+1) = y(xn) +h1!
y ′(xn)
yn+1 = yn + hf (xn, yn) (1)
Contoh
Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaandifrensial berikut{ dy
dt = f (t , y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1y(0) = 0.5
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
Metode Euler
y(xn+1) = y(xn) +h1!
y ′(xn)
yn+1 = yn + hf (xn, yn) (1)
Contoh
Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaandifrensial berikut{ dy
dt = f (t , y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1y(0) = 0.5
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
Metode Euler
Solusi analitik dari persamaan ini adalah y(t) = t + 1 − 0.5et .Selanjutnya dengan menetapkan h = 0.1 dapat dihitung solusinumeris sebagai berikut.
n = 0 → t0 = 0 dany0 = 0.5;
y1 = y0 + hf (x0, y0) = 0.5 + 0.1f (0, 0.5) = 0.5500
n = 1 → t1 = 0 + 1 ∗ 0.1 dany1 = 0.55;
y2 = y1 + hf (x1, y1) = 0.55 + 0.1f (0.1, 0.55) = 0.59,
dan seterusnya. Lakukan dengan cara yang sama sehinggadiperoleh tabel berikut ini:
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
n tn yn y(tn) en
1 0.0 0.5000 0.5000 0.00002 0.1 0.5500 0.5474 0.00263 0.2 0.5950 0.5893 0.00574 0.3 0.6345 0.6251 0.00945 0.4 0.6679 0.6541 0.01386 0.5 0.6947 0.6756 0.01917 0.6 0.7142 0.6889 0.02538 0.7 0.7256 0.6931 0.03259 0.8 0.7282 0.6872 0.0410
10 0.9 0.7210 0.6702 0.050811 1.0 0.7031 0.6409 0.0622
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Metode Numerik untuk Sistem PDB
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
__ : Solusi numeris y_n
oo : Solusi analitik y(x)
Figure 1. The illustration of definition
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Sistem PDB Order Satu
Contoh Sistem PDB
Dalam fenomena riel, banyak masalah muncul dalam sebuahsistem. Bagaimana cara menyelesaikan dengan metodenumerik?
u′′′ + u′′v ′ = xv
v ′ + v +u
1 + x= cos x
dimana u(0) = −1, u′(0) = 1, u′′(0) = 1, v(0) = 1
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Transformasi Sistem PDB
Solusi
Misal y1 = u, y2 = u′, y3 = u′′ dan y4 = v , maka
y ′1 = u′ = y2,
y ′2 = u′′ = y3,
y ′3 = u′′′ = xy4 − y3(cos x − y4 −y1
1 + x),
y ′4 = v ′ = cos x − y4 −y1
1 + x.
Nilai awal seakarang adalahy1(0) = −1, y2(0) = 1, y3(0) = 1, y4(0) = 1.
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Transformasi Sistem PDB
Solusi
Dalam vektor dapat ditulis sebagai berikut:
y =
y ′1y ′2y ′3y ′4
=
y2
y3
xy4 − y3(cos x − y4 − y11+x )
cos x − y4 − y11+x
Nilai awalnya berubah menjadi
y0(0) ==
y ′1y ′2y ′3y ′4
=
−1
111
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Transformasi Sistem PDB
Metode Euler
yn+1 = yn + hf(xn, yn) (2)
Hitunglah Nilai yn+1 ini
Dafik Metode Numerik
NormSistem Persamaan Linear
Sistem PDB
Transformasi Sistem PDB
Metode Euler
yn+1 = yn + hf(xn, yn) (2)
Hitunglah Nilai yn+1 ini
Dafik Metode Numerik