Materi Kalkulus-9.ppt
-
Upload
fauzi-wikantyoso -
Category
Documents
-
view
241 -
download
0
Transcript of Materi Kalkulus-9.ppt
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
1/36
INTEGRAL
Kalkulus
Teknik Informatika
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
2/36
PENDAHULUAN
INTEGRAL DIFERENSIAL
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
3/36
Contoh Integral
Temukan anti turunan dari
Dari teori derivarif kita tahu
34)( x x f =4)( x x F =
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
4/36
Teorema A : Aturan Pangkat
Jika r adalah sembaran bilanan rasional ke!uali
"#$%& maka '
Jika r ( ) *
+erhatikan bah,a untuk anti derivatif suatu -ankat
dari . kita tambah -ankatn/a denan $ dan
membain/a denan -ankat / baru0 Anti turunan serin disebut denan Interal Tak Tentu
Dalam notasi disebut tanda interal&
sedankan f(x) disebut interan
C xdx x r
r
r
+=∫
+
+
1
1
1
∫ ∫ ,)( dx x f
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
5/36
Teorema : !el"nearan "ntegral tak tentu
Andaikan f dan mem-un/ai anti turunan
"interal tak tentu% dan k adalah konstanta&
maka
1. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx 2. ∫ 1 f(x) + g(x) 2 dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 3. ∫ 1 f(x) - g(x) 2 dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
6/36
Teorema C Aturan #angkat $ang %"#erumum
C x g dx x g x g r r
r +=∫ ++ 111 )&(')()&('
Andaikan suatu funsi /an da-at didiferensialkan dan r suatu bil
rasional bukan "#$%& maka '
3ontoh ' 3arilah interal dari f".% sbb0
∫ ++ dx x x x )34()3( 334
∫ dx x x *o++"n3
1,11
1 ≠+=∫ ++ r C uduu r r r
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
7/36
Integral Tentu
Teorema Kalkulus yg penting
Jika funsi f(x) kontinu -ada interval
a ≤ x ≤ b, maka
dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x)
-ada a ≤ x ≤ b.
∫ −=
b
aa F b F dx x f )()()(
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
8/36
Contoh
Solusi
(
(
(
( )dx x x∫ +1
,
33
1
,
,4
,
3
4
+
x x
( )-4
3
4
1+−
+
4
1.−
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
9/36
Contoh
Solusi
(
( $4#$5 ( $$
( )dx x x∫ ++,
1
, 1,3
[ ]13 x x x ++
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
10/36
Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi
berikut ini
Solusi
( )∫ +=3
1
,1 dx x A
( )dx x∫ +3
1
1
3
1
3
3
+= x x
( )
+−−= 1
3
13/
3
41 −= -01=
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
11/36
Grafik
1)( , += x x f
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
12/36
Area diantara dua kurva
Area diantara 2 kurva f(! dan g(!
[ ]∫ −=b
a
dx x g x f A )()(
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
13/36
Contoh
3arilah area R /an berada diantara kurva dankurva
Solusi
3arilah titik -ertemuan antara 6 kurva
(7 (7 x ($ or x ()
(7 ( ( (
3 x y =, x y =
,3 x x = ( ) 1 =− x x
( )∫ −=1
3dx x x A
1
34
34
−=
x x A
−
3
1
4
1
1,
1−
1
1
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
14/36
Contoh
3arilah area /an dibatasi oleh aris dan kurva
Solusi
3arilah titik -ertemuan'
,3 3 x x y += x y 4=
x x x 43 ,3 =+
( ) 43, =−+ x x x( ) ( ) )14 =−+ x x x
1,4, =−== x x x
( ) ( )∫ ∫ −++−+=−
1
)
,3
)
4
,34343 dx x x xdx x x x A
1
)
,3
4)
4
,3
4
,
4
,
4
−++
−+=
−
x x x
x x x
A
( )
−++
−−−+−−= 1
4
1)4()4(4
4
1 3
4 A
4
33, −+−= A
4
33,= A
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
15/36
2"at+"at Integral Tentu
INTEGRAL
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
16/36
2"at+"at Integral Tentu
INTEGRAL
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
17/36
5olume en%a Putar
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
18/36
6eto%e Cakram
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
19/36
6eto%e Cakram
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
20/36
6eto%e Cakram
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
21/36
6eto%e Cakram
T8R8NAN DAN DIFERENSIAL
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
22/36
Contoh 1
T8R8NAN DAN DIFERENSIAL
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
23/36
Contoh
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
24/36
6eto%e !ul"t Ta7ung
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
25/36
6eto%e !ul"t Ta7ung
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
26/36
6eto%e !ul"t Ta7ung
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
27/36
6eto%e !ul"t Ta7ung
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
28/36
Contoh
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
29/36
Lat"han
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
30/36
Interal +arsial 5)
Integral Part"al
9erdasarkan -ada -eniteralan rumus
turunan hasil dua kali funsi '
Jika u dan v adalah funsi . /an da-atdideferensiasi '
d"uv% ( udv : vdu
udv ( d"uv% ; vdu
∫ ∫ −= vduuvudv
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
31/36
Interal +arsial 5$
Aturan $g hr+ %"#erhat"kan
$0 9aian funsi /an di-ilih sebaai dv harus
da-at seera diinterasikan
60 tidak boleh lebih sulit dari-ada∫ vdu ∫ udvContoh 1 :
∫ xdx x *o+a0
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
32/36
Interal +arsial 56
Rumus interaln/a '
∫ ∫ −= xdx x xdx x x +"n+"n*o+
= x sin x + cos x + c b. Misal diambil :
u = cos x dv = x dxdu = -sin x dx v = x2 /2
Rumus Integral Parsialna :
∫ ∫ −−= )+"n(,,)(*o+*o+
dx x x x xdx x x
Interaln/a lebih susah
u dv u v - v du
Penting !e"ali
#emilihan u dan v
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
33/36
Interal +arsial 55
Peng"ntegralan Par+"al erulang
Serinkali ditemui -eninteralan -arsial berulanbebera-a kali
∫ xdx x +"n,
Misal : u = x2 dv = sin x dx
du = 2x dx v = -cos x
Ma"a :
∫ ∫ +−= xdx x x x xdx x *o+,*o++"n
,,
# $am#a" bah%a #ang"at #ada x ber"urang
# Perlu #engintegralan #arsial lagi
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
34/36
Interal +arsial 54
Dar" *ontoh 1 :
∫ +++−= )*o++"n(,*o++"n ,, c x x x x x xdx x= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x
+ K
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
35/36
Interal +arsial 5=
Contoh 3 :
∫ xdxe x +"n
∫ ∫ +−= xdxe xe xdxe x x x *o+*o+*o+
Misal : u = ex dan dv = sinx dx
du = exdx dan v = - cosx
Ma"a :
Perlu #enera#an integral #arsial dalam integral "edua
∫ >−− xdxe x*o+ u = ex dv = cos x dx
du = exdx v = sin x
-
8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt
36/36
Interal +arsial 5>
2eh"ngga :
∫ ∫ −= xdxe xe xdxe x x x +"n+"n*o+&ila hasil ini disubstitusi"an #ada hasil #ertama
∫ ∫ −+= xdxe xe xe xdxe x x x x +"n+"n*o++"n
C xe xe xdxe x x x ++=∫ +"n*o++"n, K x xe xdxe x x ++=∫ )+"n(*o+,1+"n