Matemàtiques Sèrie 3 - ToomatesS3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09 Matemàtiques Sèrie 3...

Prova d’accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d’esports i Ensenyaments d’arts plàstiques i disseny 2009

S3_13_1 MATEMATIQUES GS V.CAT 09

MatemàtiquesSèrie 3

Instruccions

• Trieu i resoleu CINC dels set exercicis que us proposem.

• Indiqueu clarament quins exercicis heu triat. Només se n’avaluaran cinc.

• Cada exercici val 2 punts.

Dades de la persona aspirant

Cognoms i nom

DNI

Qualificació

S3_13_1 MATEMATIQUES GS V.CAT 09.indd 1S3_13_1 MATEMATIQUES GS V.CAT 09.indd 1 25/03/09 17:1925/03/09 17:19

2

1. Calculeu de manera exacta i, si es pot, simplifiqueu el resultat:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) 2 5 − 3( ) −3 2 3 − 5( ) =

b) 52 ⋅ 2 − 18 =

c) 4 − 3( )

2

=

d)

73

−7

12=

2. Resoleu:[2 punts: 1 punt per cada apartat]

a)

x(x −3)5

=x +15

10

b)

x −3y = −2

3x −2y = 8

⎧ ⎨ ⎩


3

3. Volem calcular l’alçària d’un edifici que és a una certa distància d’on ens trobem nosaltres. Des d’on som, n’observem el punt més alt amb un angle de 35º. Si ens apropem 200 metres a l’edifici, aleshores l’angle és de 47º.[2 punts: 0,5 punts per l’apartat a i 1,5 punts per l’apartat b]

a) Feu un esquema del problema.b) Quant fa l’alçària de l’edifici?

4. Donats el punt del pla P = (3, –2) i la recta r: y =

34

x + 2, calculeu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Un punt qualsevol i el pendent de la recta r.b) Un vector director de la recta i un vector que sigui perpendicular al vector director.c) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per P.d) L’equació de la recta perpendicular a r que passa per P.


4

5. Feu un esbós d’una funció que tingui, simultàniament, totes les característiques següents:[2 punts: es descomptaran 0,5 punts per cada condició que no es verifiqui]

— No té cap asímptota vertical, ni horitzontal ni obliqua.— És creixent en (–∞, 0) i en (6, +∞).— És decreixent en (0, 6).— Té extrems relatius només en els punts (0, 1) i (6, –3).— Té un únic punt d’inflexió en (3, –1).

6. Determineu els punts de discontinuïtat de la funció següent i indiqueu de quin tipus són.[2 punts: 1 punt per trobar els punts de discontinuïtat i 1 punt per indicar el tipus de discontinuïtat de cada punt]

f (x) =

x2− 4x2− x −2


5

7. La taula de freqüències següent correspon a l’edat de la població d’una ciutat petita de Catalunya.[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

EdatFreqüència absoluta

Marca de classe

xi · ni

Freq. absol. acumulada

Graus

[0, 20) 3 400 10 34 000 3 400 61,2

[20, 40) 3 800 30 114 000 68,4

[40, 60) 5 500 50 12 700 99

[60, 80) 5 800 406 000 18 500 104,4

[80, 100) 90 135 000 20 000 27

Total 20 000 964 000 360

a) Completeu la taula.b) Calculeu la mitjana aritmètica.c) Indiqueu quines són la classe modal i la classe de la mediana.d) Dibuixeu un gràfic de sectors.


6


7


L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés



S3_13_2 MATEMATIQUES GS V.CAST 09

MatemáticasSerie 3

Instrucciones

• Elija y resuelva CINCO de los siete ejercicios propuestos.• Indique claramente cuáles ha elegido. Solo se evaluarán cinco ejercicios.• Cada ejercicio vale 2 puntos.

Datos de la persona aspirante

Apellidos y nombre

DNI

Calificación

S3_13_2 MATEMATIQUES GS V.CAST 09.indd 1S3_13_2 MATEMATIQUES GS V.CAST 09.indd 1 25/03/09 17:1825/03/09 17:18

2

1. Calcule de manera exacta y, si se puede, simplifique el resultado:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) 2 5 − 3( ) −3 2 3 − 5( ) =

b) 52 ⋅ 2 − 18 =

c) 4− 3( )

2

=

d)

73

−7

12=

2. Resuelva:[2 puntos: 1 punto por cada apartado]

a)

x(x −3)5

=x +15

10

b)

x −3y = −2

3x −2y = 8

⎧ ⎨ ⎩


3

3. Queremos calcular la altura de un edificio situado a una cierta distancia de donde nos encon-tramos nosotros. Desde donde estamos, observamos su punto más alto con un ángulo de 35º. Si nos acercamos 200 metros al edificio, entonces el ángulo es de 47º.[2 puntos: 0,5 puntos por el apartado a y 1,5 puntos por el apartado b]

a) Haga un esquema del problema.b) ¿Cuánto mide la altura del edificio?

4. Dados el punto del plano P = (3, –2) y la recta r: y =

34

x + 2, calcule:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) Un punto cualquiera y la pendiente de la recta r.b) Un vector director de la recta y un vector que sea perpendicular al vector director.c) La ecuación de la recta paralela a r que pasa por P.d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por P.


4

5. Haga un esquema de una función que tenga, simultáneamente, todas las características siguientes:[2 puntos: se descontarán 0,5 puntos por cada condición que no se verifique]

— No tiene ninguna asíntota vertical, ni horizontal ni oblicua.— Es creciente en (–∞, 0) y en (6, +∞).— Es decreciente en (0, 6).— Tiene extremos relativos solo en los puntos (0, 1) y (6, –3).— Tiene un único punto de inflexión en (3, –1).

6. Determine los puntos de discontinuidad de la función siguiente e indique de qué tipo son.[2 puntos: 1 punto por determinar los puntos de discontinuidad y 1 punto por indicar el tipo de discontinuidad de

cada punto]

f (x) =

x2− 4x2− x −2


5

7. La siguiente tabla de frecuencias corresponde a la edad de la población de una pequeña ciudad de Catalunya.[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

EdadFrecuencia absoluta

Marca de clase

xi · ni

Frec. absol. acumulada

Grados

[0, 20) 3 400 10 34 000 3 400 61,2

[20, 40) 3 800 30 114 000 68,4

[40, 60) 5 500 50 12 700 99

[60, 80) 5 800 406 000 18 500 104,4

[80, 100) 90 135 000 20 000 27

Total 20 000 964 000 360

a) Complete la tabla.b) Calcule la media aritmética.c) Indique cuáles son la clase modal y la clase de la mediana.d) Dibuje un gráfico de sectores.


6


7



S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09


Instruccions




SOLUCIONS,

CRITERIS DE CORRECCIÓ

I PUNTUACIÓ

S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09.indd 1S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09.indd 1 25/03/09 17:1725/03/09 17:17

2

1. Calculeu de manera exacta i, si es pot, simplifiqueu el resultat:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) 2 5 − 3( ) −3 2 3 − 5( ) = 2 5 −2 3 −6 3 + 3 5 = 5 5 −8 3

b) 52 ⋅ 2 − 18 = 5 2 −3 2 = 2 2

c) 4 − 3( )

2

= 16 −8 3 + 3 = 19 −8 3

d)

73

−7

12=

4 7 − 712

=3 712

=74

2. Resoleu:[2 punts: 1 punt per cada apartat]

a)

x(x −3)5

=x +15

10; 2x2−6x = x +15; 2x2 −7x −15 = 0;

x = 5; x = −

32

b)

x −3y = −2

3x −2y = 8

⎧ ⎨ ⎩

; x = −2 + 3y ; 3(−2 + 3y )−2y = 8; −6 +7y = 8; y = 2; x = 4

Podeu admetre altres maneres de resoldre el sistema.


3

3. Volem calcular l’alçària d’un edifici que és a una certa distància d’on ens trobem nosaltres. Des d’on som, n’observem el punt més alt amb un angle de 35º. Si ens apropem 200 metres a l’edifici, aleshores l’angle és de 47º.[2 punts: 0,5 punts per l’apartat a i 1,5 punts per l’apartat b]

a) Feu un esquema del problema.

b) Quant fa l’alçària de l’edifici?

tg 47 =hx

tg 35 =h

200 + x

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

;h = x ⋅ tg 47

h = (200 + x) ⋅ tg 35

⎧ ⎨ ⎩

; x ⋅ tg 47 = (200 + x) ⋅ tg 35

x ⋅ tg 47 = 200 ⋅ tg 35 + x ⋅ tg 35 ; x ⋅ (tg 47 − tg 35) = 200 ⋅ tg 35

x =

200 ⋅ tg 35tg 47− tg 35

= 376,29 m; h = 376,29 ⋅ tg 47 = 403,52 m


4

4. Donats el punt del pla P = (3, –2) i la recta r: y =

34

x + 2, calculeu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Un punt qualsevol i el pendent de la recta r.

Punt: per exemple, (0, 2)

Pendent: m =

34

b) Un vector director de la recta i un vector que sigui perpendicular al vector director.

Vector director: m =

v2

v1

=34

; v = (4, 3)

Vector perpendicular: per exemple, v = (−3, 4)

c) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per P.

x −34

=y + 2

3o bé 3x − 4y −17 = 0 o bé y =

34

x −174

d) L’equació de la recta perpendicular a r que passa per P.

x−3−3

=y + 2

4o bé 4x−3y −6 = 0 o bé y = −

43

x + 2


5

5. Feu un esbós d’una funció que tingui, simultàniament, totes les característiques següents:[2 punts: es descomptaran 0,5 punts per cada condició que no es verifiqui]

— No té cap asímptota vertical, ni horitzontal ni obliqua.— És creixent en (–∞, 0) i en (6, +∞).— És decreixent en (0, 6).— Té extrems relatius només en els punts (0, 1) i (6, –3).— Té un únic punt d’inflexió en (3, –1).

6. Determineu els punts de discontinuïtat de la funció següent i indiqueu de quin tipus són.[2 punts: 1 punt per trobar els punts de discontinuïtat i 1 punt per indicar el tipus de discontinuïtat de cada punt]

f (x) =

x2− 4x2− x −2

x2− x −2 = 0; x =

1± 1+ 82

=2

−1

⎧ ⎨ ⎩

limx→2

x2− 4x2− x −2

=(x + 2) (x −2)(x −2) (x +1)

=43⇒ Discontinuïtat evitable en x = 2

limx→−1

x2− 4x2− x −2

=−30

= ∞

⇒ Discontinuïtat asimptòtica en x = –1


6

7. La taula de freqüències següent correspon a l’edat de la població d’una ciutat petita de Catalunya.[2 punts; 0,5 punts per cada apartat]

a) Completeu la taula.

EdatFreqüència absoluta

Marca de classe

xi · ni

Freq. absol. acumulada

Graus

[0, 20) 3 400 10 34 000 3 400 61,2

[20, 40) 3 800 30 114 000 7 200 68,4

[40, 60) 5 500 50 275 000 12 700 99

[60, 80) 5 800 70 406 000 18 500 104,4

[80, 100) 1 500 90 135 000 20 000 27

Total 20 000 964 000 360

b) Calculeu la mitjana aritmètica.

Mitjana =

964 00020 000

= 48,2 anys

c) Indiqueu quines són la classe modal i la classe de la mediana.

Classe modal = [60, 80)Classe de la mediana = [40, 60)

d) Dibuixeu un gràfic de sectors.

EDAT DE LES PERSONES

[0, 20)

[20, 40)

[40, 60)

[60, 80)

[80, 100)


7



S4_13_1 MATEMATIQUES GS V.CAT 09


Instruccions




Dades de la persona aspirant

Cognoms i nom

DNI

Qualificació


2

1. Digueu si és cert o fals i escriviu el perquè.[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) 81 ∈ Q (nombres racionals)

b) 3,515515551… ∈ Q (nombres racionals)

c) 32 + 42 = 5

d)

34

= 2 3


3

2. El perímetre d’un triangle rectangle fa 60 m, un dels catets, 10 m, i la superfície, 120 m2. Volem saber les mides dels altres costats del triangle. Per a això:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Feu un esquema del problema i assigneu les incògnites adients als tres costats.b) Plantegeu una equació (o un sistema d’equacions) adient per a resoldre el problema.c) Resoleu l’equació (o el sistema d’equacions) de l’apartat anterior.d) Quines són les mides dels altres costats del triangle?


4

3. Amb les dades de la figura adjunta, calculeu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) El costat a.b) L’angle B.c) L’angle C.d) L’angle D.

4. Donades les rectes r: 2x + y – 2 = 0 i s: 3x – 4y – 25 = 0. Determineu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) El punt de tall de les rectes r i s.b) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per l’origen de coordenades.c) La distància de la recta s a l’origen de coordenades.d) L’angle que formen les rectes r i s.


5

5. Calculeu els límits de funcions següents:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) limx→−2

(x3+ 2x2−3x −4) =

b) limx→−

32

(2x2−3x −13

) =

c) limx→+∞

2x2+ 5x + 26x2+ 3x −5

=

d) limx→3

x −3x2−9

=


6

6. La taula següent mostra la renda per capita (RPC) i l’índex de natalitat (IN) de dotze països:[2 punts: 1 punt pel núvol de punts i 0,5 punts per la recta de regressió, a l’apartat a, i 0,5 punts per l’apartat b]

PAÏSOS A B C D E F G H I J K LRPC 3 3 4 5 6 5 7 7 8 9 9 10IN 8 7 7 6 6 5 6 4 5 4 3 3

a) Representeu els resultats mitjançant un núvol de punts i traceu-ne aproximadament una recta de regressió.

IN

RPC

b) Digueu com és la correlació entre les dues variables (lineal o curvilínia, positiva o ne-gativa, forta o dèbil).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


7

7. En l’experiment aleatori de llançar dos daus, calculeu les probabilitats següents:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Treure dos cincs.b) Treure dues puntuacions iguals.c) Treure almenys un cinc.d) Treure una suma superior a tres.



S4_13_2 MATEMATIQUES GS V.CAST 09

MatemáticasSerie 4

Instrucciones

• Elija y resuelva CINCO de los siete ejercicios propuestos.• Indique claramente cuáles ha elegido. Solo se evaluarán cinco ejercicios.• Cada ejercicio vale 2 puntos.

Datos de la persona aspirante

Apellidos y nombre

DNI

Calificación


2

1. Diga si es cierto o falso y escriba el porqué.[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) 81∈ Q (números racionales)

b) 3,515515551… ∈ Q (números racionales)

c) 32 + 42 = 5

d)

34

= 2 3


3

2. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 60 m, uno de sus catetos, 10 m, y su superficie, 120 m2. Queremos saber las medidas de los otros lados del triángulo. Para ello:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) Haga un esquema del problema y asigne las incógnitas adecuadas a los tres lados.b) Plantee una ecuación (o un sistema de ecuaciones) adecuado para resolver el problema.c) Resuelva la ecuación (o el sistema de ecuaciones) del apartado anterior.d) ¿Cuáles son las medidas de los otros lados del triángulo?


4

3. Con los datos de la figura adjunta, calcule:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) El lado a.b) El ángulo B.c) El ángulo C.d) El ángulo D.

4. Dadas las rectas r: 2x + y – 2 = 0 y s: 3x – 4y – 25 = 0. Determine:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) El punto de corte de las rectas r y s.b) La ecuación de la recta paralela a r que pasa por el origen de coordenadas.c) La distancia de la recta s al origen de coordenadas.d) El ángulo que forman las rectas r y s.


5

5. Calcule los siguientes límites de funciones:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) limx→−2

(x3+ 2x2−3x − 4) =

b) limx→−

32

(2x2−3x −13

) =

c) limx→+∞

2x2+ 5x + 26x2+3x −5

=

d) limx→3

x −3x2−9

=


6

6. La tabla siguiente muestra la renta per cápita (RPC) y el índice de natalidad (IN) de doce países:[2 puntos: 1 punto por la nube de puntos y 0,5 puntos por la recta de regresión, en el apartado a, y 0,5 puntos por

el apartado b]

PAÍSES A B C D E F G H I J K LRPC 3 3 4 5 6 5 7 7 8 9 9 10IN 8 7 7 6 6 5 6 4 5 4 3 3

a) Represente los resultados mediante una nube de puntos y trace aproximadamente una recta de regresión.

IN

RPC

b) Diga cómo es la correlación entre las dos variables (lineal o curvilínea, positiva o negativa, fuerte o débil).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


7

7. En el experimento aleatorio de tirar dos dados, calcule las siguientes probabilidades:[2 puntos: 0,5 puntos por cada apartado]

a) Obtener dos cincos.b) Obtener dos puntuaciones iguales.c) Obtener por lo menos un cinco.d) Obtener una suma superior a tres.



S4_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09


Instruccions




SOLUCIONS,

CRITERIS DE CORRECCIÓ

I PUNTUACIÓ


2

1. Digueu si és cert o fals i escriviu el perquè.[2 punts: 0,5 punts per cada apartat: 0,25 per la resposta i 0,25 per la justificació]

a) 81 ∈ Q (nombres racionals)

CERT, ja que 81 = 9 és racional.

b) 3,515515551… ∈ Q (nombres racionals)

FALS, ja que és un decimal no periòdic.

c) 32 + 42 = 5

CERT, ja que 32 + 42 = 9 +16 = 25 = 5

d)

34

= 2 3

FALS, ja que

34

=12

3


3

2. El perímetre d’un triangle rectangle fa 60 m, un dels catets, 10 m, i la superfície, 120 m2. Volem saber les mides dels altres costats del triangle. Per a això:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Feu un esquema del problema i assigneu les incògnites adients als tres costats.

b) Plantegeu una equació (o un sistema d’equacions) adient per a resoldre el problema.

10 ⋅ x2

= 120

c) Resoleu l’equació (o el sistema d’equacions) de l’apartat anterior.

10x = 240; x =

24010

= 24

d) Quines són les mides dels altres costats del triangle?

50 – 24 = 26

Els altres costats fan 24 cm i 26 cm.

Considereu el problema també correcte si el resolen mitjançant un sistema de dues equacions amb dues incògnites.

50 – x10

x


4

3. Amb les dades de la figura adjunta, calculeu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) El costat a.

a = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 m

b) L’angle B.

tg B =

43

= 1,33; B = arctg 1,33 = 53,13o = 53o ʹ 7 4 ʹ ́ 8

c) L’angle C.

tg C =

45

= 0,8; C = arctg 0,8 = 38,66o = 38o 39ʹ 35ʹʹ

d) L’angle D.

Suplementari de B = 180º – 53,13º = 126,87ºD = 180º – 38,66º – 126,87º = 14,47º = 14º 28' 13''


5

4. Donades les rectes r: 2x + y – 2 = 0 i s: 3x – 4y – 25 = 0 . Determineu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) El punt de tall de les rectes r i s.

y = 2 −2x; 3x −4(2 −2x)−25 = 0; 11x = 25 + 8; x =

3311

= 3; x = 3; y = −4;

punt de tall: (3, – 4)

b) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per l’origen de coordenades.

2x + y + C = 0; (2 ⋅0) + 0 + C = 0; C = 0; 2x + y = 0

c) La distància de la recta s a l’origen de coordenades.

d =

(3 ⋅0)− (4 ⋅0)−25

32 + (−4)2=

0 −0 −25

9 +16=

255

= 5 u

d) L’angle que formen les rectes r i s.

v = (−1, 2);

u = (4, 3)

cosα =

(−1, 2) ⋅ (4, 3)

(−1)2 + 22 ⋅ 42 + 32=

−4 + 6

5 ⋅5=

2

5 5= 0,178885

α = arccos 0,178885 = 79,70º = 79º 41' 43''


6

5. Calculeu els límits de funcions següents:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a)

limx→−2

(x3+ 2x2−3x −4) = (−2)3 + 2(−2)2 −3(−2)−4 =

= −8 + 8 + 6−4 = 2

b)

limx→−

32

(2x2−3x −13

) = 2 −32

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

−3 −32

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

13

=

=184

+92−

13

=92

+92−

13

=27 + 27 −2

6=

526

=263

c) limx→+∞

2x2+ 5x + 26x2+ 3x −5

=∞∞

= Indet.

= limx→+∞

2x2

6x2= lim

x→+∞

26

=13

d) limx→3

x −3x2−9

=3−39−9

=00

= Indet.

= lim

x→3

x −3(x + 3)(x −3)

= limx→3

1x + 3

= limx→3

16

=16


7

6. La taula següent mostra la renda per capita (RPC) i l’índex de natalitat (IN) de dotze països:[2 punts: 1 punt pel núvol de punts i 0,5 punts per la recta de regressió, a l’apartat a, i 0,5 punts per l’apartat b]

PAÏSOS A B C D E F G H I J K LRPC 3 3 4 5 6 5 7 7 8 9 9 10IN 8 7 7 6 6 5 6 4 5 4 3 3

a) Representeu els resultats mitjançant un núvol de punts i traceu-ne aproximadament una recta de regressió.

b) Digueu com és la correlació entre les dues variables (lineal o curvilínia, positiva o ne-gativa, forta o dèbil).

La correlació que hi ha entre les dues variables és lineal, negativa i tirant a forta.


8

7. En l’experiment aleatori de llançar dos daus, calculeu les probabilitats següents:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Treure dos cincs.

P =

CFCP

=1

36

b) Treure dues puntuacions iguals.

P =

CFCP

=6

36=

16

c) Treure almenys un cinc.

P =

CFCP

=1136

d) Treure una suma superior a tres.

P(2 )+ P(3)=

136

+236

=3

36=

112

P(> 3)= 1−1

12=

1112


9


10


11


Matemàtiques Sèrie 3 - ToomatesS3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09 Matemàtiques Sèrie 3...

Documents

Transcript of Matemàtiques Sèrie 3 - ToomatesS3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09 Matemàtiques Sèrie 3...