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Matemáticas

3. La vuelta al mundo

Nos vamos de viaje

Sherlock Holmes tiene que investigar una desaparición en Nuuk. Loacompañaremos en su viaje y, mientras él se centra en su trabajo,nosotros estudiaremos todas las condiciones numéricas que hay asu alrededor.

¿Qué diferencia de temperatura hay entre unas ciudades y otras?¿Cambia la hora entre los países situados más al norte o más alsur? ¿Y entre este y oeste? ¿Cómo se calcula la hora en otro paísdel mundo?

El viaje da comienzo...

¿Cuáles son los números enteros? ¿En qué situaciones de nuestrasvidas aparecen? ¿Cómo podemos operar con ellos? ¡Vamos adescubrir todas estas respuestas a lo largo del tema!

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1. El conjunto de los números enteros

Sherlock Holmes, el detective más conocido de todos los tiempos, tiene que resolver el misterioso caso deuna desaparición.

Para ello, deberá desplazarse desde Londres (Reino Unido) hasta Nuuk (Groenlandia). No dispone demucho tiempo para preparar su equipaje, por lo que incluye un par de prendas que necesitará cuandollegue a dicha ciudad.

Si sabemos que la temperatura media de Londres durante esos días es de 11 grados y la temperaturamedia de Nuuk es de 20 grados bajo cero,

1. ¿qué prendas debería incluir en la maleta?,

2. ¿cuál de los siguientes termómetros representa la temperatura de Nuuk?

Al igual que Sherlock Holmes, en nuestra vida cotidiana nos encontramos a menudo con situaciones queno se pueden expresar únicamente con números naturales. Por ejemplo, utilizando solo números positivosno podemos expresar las temperaturas bajo cero. Es por ello que necesitamos ampliar el conjunto denúmeros naturales y así estudiaremos en esta unidad los números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:

• Los números enteros positivos {1, 2, 3, 4, ...}.

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• Los números enteros negativos {... –4, –3, –2, –1}.

• El 0.

¿Los números enteros positivos no te recuerdan a un conjunto que ya conoces? Efectivamente, losnúmeros enteros positivos ¡son los naturales!

Se dice que los números naturales son un subconjunto de los números enteros:

En muchas ocasiones verás que los números enteros positivos se representan con un signo ‘+’ delante.Este ‘+’ no es obligatorio y, por lo tanto, puede escribirse o no.

Estos números se denominan enteros porque representan unidades completas, no partes de una unidad.El conjunto de todos estos números se denota por y se representa como:

Actividades

3. El hotel en el que Sherlock Holmes se hospeda tiene ocho plantas aéreas y dos subterráneas, tal ycomo se muestra en la siguiente ilustración:

4——a. Numera cada una de las plantas del edificio.

b. ¿Cuál o cuáles de las siguientes botoneras corresponde al hotel del enunciado? Justifica turespuesta.

c. Numera las botoneras que has elegido, ¿de qué formas puedes hacerlo?, ¿cuál consideras que esla más correcta?

d. El director del hotel está convencido de que reformándolo y añadiendo un ascensor más, el tiempode espera de los huéspedes disminuirá. El conserje no opina lo mismo, considera que si se instalaotro ascensor que vaya a todos los pisos, entonces, los huéspedes tendrán que seguir esperando.Afirma que si se ponen 2 ascensores, estos deben ir a pisos distintos. ¿Quién crees que tienerazón?Realiza un informe para presentárselo al director del hotel en el que incluyas la decisión que hastomado y cuáles han sido los motivos. Para hacerlo te será útil tener en cuenta lo siguiente:

• Decide si los dos ascensores deben parar en todos los pisos o si es mejor repartir los pisos entrelos dos ascensores. Justifica tu respuesta en cualquiera de los dos casos.

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• Si los pisos se reparten entre los dos ascensores, ¿cómo los distribuirías?, ¿los más altos irán enun ascensor y los más bajos en otro?

• ¿Los sótanos irían colocados en el mismo ascensor o se repartirían?

• ¿Qué harías con la planta 0?, ¿en qué ascensor la colocarías?

4. Sherlock necesita la ayuda de su fiel amigo, el doctor Watson, al cual le reserva una habitación en elhotel Artic. Cuando el doctor Watson llega, el hotel está en obras por cambio de ascensores. La directivadel hotel no consigue llegar a un consenso sobre cómo distribuir las plantas en los dos ascensores y,aprovechando la presencia del prestigioso doctor, le piden ayuda. Los requisitos son los siguientes:

¿Cómo realizarías la distribución de las plantas en las botoneras? Represéntalas y argumenta la respuestaque le darías a la directiva.

2. Propiedades de los números enteros

Ordenación de los números enteros en la rectaAntes de partir hacia el lago Ice, el señor Holmes debe entrevistar a un testigo que se encuentra a 10 kmde Nuuk, en sentido contrario al lago. La representación de las posiciones del testigo, Sherlock y el lagoson las siguientes:

Si Sherlock se encuentra en la posición 0, ¿serías capaz de representar en el segmento anterior lasposiciones del testigo y del lago con respecto a Sherlock? Observa esta representación:

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Puedes ver que –10 y 100 tienen signos distintos. Con ellos queremos representar que se encuentranen sentidos opuestos con respecto a un punto que tomamos como origen de las mediciones, el 0. Losnúmeros enteros se representan en una recta denominada recta numérica. Para ello hacemos lo siguiente:

1. Trazamos una recta.

2. Situamos el número 0 procurando tener espacio para situar los enteros negativos y positivos a suizquierda y derecha, respectivamente.

3. A la derecha del 0 situamos el número 1. Presta especial atención a la distancia que dejas entreambos números, ya que esta distancia será la que tendrás que dejar entre el 1 y el 2, el 2 y el 3, etc.

4. Ahora representamos los números negativos. Dejamos la misma distancia entre el 0 y el 1 que entreel –1 y el 0, el –2 y el –1, etc.

La representación de los números enteros en la recta numérica es:

Cabe destacar que los números enteros nos proporcionan una ventaja muy valiosa con respecto a losnúmeros naturales: podemos contar desde el cero en adelante y desde el cero hacia atrás (cuandomedimos distancias, el tiempo, etc.) o desde el cero hacia arriba y desde el cero hacia abajo (cuandomedimos la altura, las temperaturas, etc.).

Actividades1. Representa en tu cuaderno el siguiente segmento de recta numérica y sitúa los números que semuestran a continuación en su lugar correspondiente:

a. –1

b. 1

c. –12

d. –14

e. –9

f. 9

g. 19

2. Escribe los números que faltan en los puntos señalados de las siguientes rectas numéricas:

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Comparación de los números enterosAhora que ya sabes ordenar los números enteros en la recta numérica, es el momento de aprender acompararlos: ¿–5 es mayor que –3?, ¿o es menor?

Antes de empezar, recuerda lo siguiente:

• Utilizamos el símbolo ‘<’ para indicar que el número a la izquierda del símbolo es menor que elnúmero que está a la derecha. Por ejemplo, 3 < 5.

• Utilizamos el símbolo ‘>’ para indicar que el número a la izquierda del símbolo es mayor que elnúmero que está a la derecha. Por ejemplo, 5 > 3.

Cuando queremos comparar dos números enteros, podemos utilizar la recta numérica para averiguar si undeterminado número es mayor o menor que otro.

A partir de la recta numérica podemos extraer las siguientes afirmaciones:

1. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.Por ejemplo, –1 < 3, 1 > –10.

2. Si tenemos dos números enteros positivos, será mayor el que esté más a la derecha.Por ejemplo, 1 < 9 < 13 < 30.

3. Si tenemos dos números enteros negativos, será mayor el que esté más a la derecha.Por ejemplo, –10 < –8 < –1.

4. Todo número entero positivo es mayor que cero y todo número entero negativo es menor que 0. Por ejemplo, –3 < 0, 0 < 15.

8——

Valor absoluto de un número entero¿Qué tienen en común los números –1 y 1?, ¿y –2 y 2?, ¿y –9 y 9?

Fíjate en su situación en la recta:

Cada pareja de las anteriores está a la misma distancia del cero (son simétricos respecto del 0).

1 y –1 representan la misma cantidad, y esa cantidad, 1, es el valor absoluto de ambos números. Loescribimos como |–1| = |1| = 1.

Llamamos valor absoluto de un número entero a la distancia de ese número a cero.

Actividades

Opuesto de un número entero

En los números enteros podemos utilizar el concepto de opuesto de una forma similar.El opuesto del número 9 es –9 (y se escribe Op (9) = –9) porque 9 y –9 se encuentran a la misma distanciadel origen, es decir, son simétricos con respecto al 0. De forma análoga, el opuesto de –9 es 9.

Se llama opuesto de un número a su simétrico con respecto al 0 y se denota Op (a) = –a. De formaanáloga, Op (–a) = a.

Actividades

9——

3. Operaciones con números enterosDespués de llevar una semana en Nuuk, Sherlock Holmes compara las temperaturas mínimas y máximasde esa semana, que se muestran a continuación:

a. ¿Crees que las gráficas anteriores están bien realizadas? ¿Falta alguna información relevante? Encaso afirmativo, explica por qué. En caso negativo, complétalas en tu cuaderno.

b. Construye una tabla en la que indiques las temperaturas máxima y mínima de Nuuk para cada díade la semana.

c. ¿Cuál es la temperatura mínima de Nuuk esa semana? ¿Y la máxima?

d. ¿Qué día hizo más frío en Nuuk, el miércoles o el jueves?

Suma y resta de números enteros Observa la siguiente situación:

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Vives en el piso 6.º de un edificio y bajas cuatro pisos. ¿En qué piso estás ahora? ¿Qué operación hashecho para responder la pregunta?

Esta operación la podemos escribir de varias formas:

(+6) + (–4) Estamos en el 6º (+6) y avanzamos (+) cuatro pisos para abajo (–4).

(+6) – (+4) Estamos en el 6º piso (+6) y bajamos (–) cuatro pisos (+4).

Cualquiera de las dos anteriores expresiones también equivale a: 6 – 4 = 2. El resultado es que estaremosen el 2.º piso.

Observa ahora la siguiente situación:

Estás en el primer sótano de tu edificio y bajas un piso, ¿en qué piso estás? Seguro que rápidamentecontestarás que en el segundo sótano, pero, ¿sabes expresar la operación que se corresponde con estapregunta?

Podrías escribirla de dos formas:

a. (–1) – (+1) Estoy en el primer sótano (–1) y bajo (–) un piso (+1).

b. (–1) + (–1) Estoy en el primer sótano (–1) y avanzo (+) un piso hacia abajo (–1).

Practica tú ahora con los siguientes ejercicios.

11——

Actividades1. Escribe como suma o resta de números enteros las siguientes situaciones y calcula el resultado:

a. La garrafa de agua tenía 5 litros y nos hemos bebido 3 litros.

b. Mi sueldo era de 1500 euros y me han subido 150 euros.

c. La temperatura a las 5 de la tarde era de 12 ºC, y a las 5 de la madrugada, de 15 ºC menos.

d. Le debía 100 euros a un amigo y ahora le debo otros 200.

2. Enuncia una situación que dé sentido a estas operaciones:

a. (+8) – (+5) = +3

b. (–4) + (–5) = -9

c. (+8) + (–9) = –1

d. (+8) + (–5) = +3

Es importante que te des cuenta de que no siempre que aparece un signo + entre dos números enteros,la operación que hay que hacer es una suma, tal y como hacías hasta ahora. En las operaciones connúmeros enteros, además de la operación, debes tener en cuenta el signo de los números.

• Para sumar dos números positivos, sumamos las dos cantidades. El resultado será un númeropositivo.

• Ejemplo: (+3) + (+2) = 3 + 2 = +5 (Tengo 3 y tengo 2, así que en total tengo 5).

• Para sumar dos números negativos, sumamos los números sin el signo y le ponemos signonegativo al resultado. Lo que estamos haciendo es sumar ("juntar") el total de una deuda, así que elresultado también será una deuda.

• Ejemplo: (–3) + (–2) = –3 – 2 = –5 (Debo 3 y debo 2, en total debo 5).

• Para sumar dos números de signo distinto, restamos los números sin signo y ponemos el signodel mayor. Si tenemos y debemos, al final tendremos o deberemos dependiendo de cuál de las dossea la cantidad más grande.

• Ejemplo: (+3) + (–2) = 3 – 2 = +1 (Tengo 3 y debo 2, en total tengo 1).

• Ejemplo: (–3) + (+2) = –3 + 2 = –1 (Debo 3 y tengo 2, en total debo 1).

Para restar dos números enteros, se le suma al primero el opuesto del segundo.

• Ejemplo: (+3) – (+2) = (+3) + (–2) = 3 – 2 = +1 (Tengo 3 y pago 2, en total tengo 1).

• Ejemplo: (+2) – (+3) = (+2) + (–3) = 2 – 3 = –1 (Tengo 2 y debo 3, en total debo 1).

• Ejemplo: (–3) – (–2) = (–3) + (+2) = –3 + 2 = –1 (Debo 3 y dejo de deber 2, en total debo 1).

• Ejemplo: (+3) – (–2) = (+3) + (+2) = +3 + 2 = +5 (Tengo 3 y dejo de deber 2, en total tengo 5).

Para sumar dos números enteros nos fijamos en el signo de los números:

• Si los dos son positivos, se suman y se pone el signo “+”.

• Si los dos son negativos, se suman y se pone el signo “–”.

• Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del mayor de ellos.

Para restar dos números enteros:

12——

• Transformamos la resta en una suma, cambiando el signo del número que estárestando.

• Ahora que tenemos una suma, aplicamos las reglas de la suma de números enteros.

Para sumar (o restar) más de dos números enteros podemos hacerlo de dos maneras:

1. Sumar o restar de izquierda a derecha los dos primeros números enteros, anotar el resultadoarrastrando los otros sumandos, volver a sumar (o restar) los dos primeros sumandos, y asísucesivamente.

Ejemplo:

2. Sumar todos los positivos por un lado y sumar todos los negativos por otro para, finalmente, realizaruna resta. Veamos que, haciéndolo así, el resultado es el mismo que de la forma explicada en 1.

Ejemplo: (–2) + (–4) + 3 + 6 + (–5)

La suma de los positivos es: 3 + 6 = 9La suma de los negativos es: (–2) + (–4) + (–5) = –11

Por tanto: (–2) + (–4) + 3 + 6 + (–5)= –11 + 9 = –2

Actividades3. Calcula en tu cuaderno las siguientes sumas y restas de números enteros por el procedimiento queprefieras:

a. (+6) – (+5) + (–3) + (+7) =

b. (–1) + (–6) + (–5) + (+10) =

c. (–4) + (+6) – (+2) + (+5) =

Multiplicación de números enterosAl igual que vimos con la suma y la resta de números enteros, también hay situaciones en las que aparecela multiplicación de números enteros. Veamos el siguiente ejemplo:

José debía 200 euros del alquiler del mes pasado a su casero. Este mes va a pagar, pero adeuda dosmeses, es decir, ahora debe el doble:

José debía doscientos euros (–200) y ahora debe el doble, es decir, su deuda se multiplicó por 2:

2·(–200) = –400. Ahora debe 400 €.

Esta situación también la podríamos interpretar de la forma siguiente:

13——

José ha dejado de pagar (–) el mes pasado un gasto (–200) que tenía todos los meses, es decir, ahoratiene 200 euros más de los que debería tener:

– (–200) = +200

Para multiplicar dos números enteros necesitamos conocer la regla de los signos:

Regla de los signos

• El producto de dos números enteros positivos es un número entero positivo.

• El producto de dos números enteros negativos es un número entero positivo.

• El producto de un número positivo y un número negativo es un número negativo.

Actividades6. Escribe en tu cuaderno las siguientes situaciones como producto de enteros y calcula el resultado:

a. María le da a su hija 3 euros cada día de la semana.

b. Antonio va a natación 2 horas diarias los martes, los jueves y los viernes.

c. Marta ha adelgazado 2 kilos y Alberto ha adelgazado el triple.

d. Pedro, que gastaba 2 euros cada semana en un cómic, ha dejado de comprarlo 3 semanas.

División de números enterosMar, Andrés y Julia han ahorrado durante tres meses para comprar un videojuego entre los tres. Teresa,la madre de Mar, los ha acompañado a la tienda a comprarlo. Al ir a pagar, se han dado cuenta de que loque tenían ahorrado, 36 €, no les llegaba, ya que el videojuego costaba 54 €. Teresa les ha dicho que ellaponía la diferencia, 18 €, pero que tenían dos meses para devolvérselo.

¿Cuál es la deuda con Teresa de cada uno de los tres amigos?

Puedes comprobar que, para responder a esta pregunta, basta dividir la deuda entre tres:

–18 : 3 = –6

Cada uno de los amigos le debe 6 € a Teresa.

Para dividir dos números enteros, tienes que dividir los números y dividir los signos, siguiendo la regla delos signos.

Regla de los signos:

• El cociente de dos números enteros positivos es un número entero positivo.

• El cociente de dos números enteros negativos es un número entero positivo.

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• El cociente de un número positivo y un número negativo es un número negativo.

Actividades8. Escribe las siguientes situaciones como cociente de enteros y calcula el resultado:

a. Sara comió quince chicles en tres días. ¿Cuántos comió al día?

b. Jesús está abonado a una revista mensual por la que paga 144 euros al año. ¿Cuánto gasta almes?

c. Marta estudia 28 horas a la semana. ¿Cuántas horas estudia al día?

d. Carlos compró su ordenador en tres plazos. En total pagó 450 €. ¿De cuánto era la factura de cadaplazo?

Practica lo aprendido10. Seguro que sabes que no todas las ciudades del mundo tienen la misma hora. Sin ir más lejos, enCanarias es una hora menos que en el resto de España. Busca en internet una imagen en la que sepuedan observar las ciudades y los husos horarios con claridad y contesta a las preguntas.

a. ¿Por qué crees que no se rigen por la misma hora en todo el mundo?

b. Teniendo en cuenta la siguiente imagen, ¿qué hora será en Madrid si en Pekín son las 23:15 h?

c. Vives en Brasil y quieres llamar por teléfono a un amigo tuyo que vive en Pontevedra, pero dudas sihacerlo cuando te levantas o antes de acostarte; ¿qué opción sería más razonable?, ¿por qué?

d. Sherlock Holmes tardó 3 horas en llegar en avión desde Londres a Nuuk. Si llega a la capital deGroenlandia a las 18:00 (hora local), ¿a qué hora salió de Londres?

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4. Técnicas de resolución de problemasSherlock y Watson casi tienen resuelto el caso de la misteriosa desaparición, pero necesitan entrevistarsecon un último testigo que se reunirá con ellos esta misma tarde. Mientras esperan, se entretienenlanzándose mutuamente problemas para que el otro los resuelva. Es una gran manera de estimular lamente, ¿no crees?

En este tema y a lo largo del curso, tú también deberás enfrentarte a los distintos retos y problemas que tepropondremos. Aunque al principio te puedan parecer complicados, existen estrategias que te ayudarána comenzar y, poco a poco, podrás resolverlos. En este apartado de la unidad veremos distintos tipos deproblemas y cómo “atacarlos” para no quedarse “atascado”. ¡Vamos a por el primero!

Problema 1Un tren de mercancías sale de Madrid con dirección Barcelona a 50 km/h y, a la misma hora, un Ave salede Barcelona hacia Madrid a 210 km/h. El tren de mercancías transporta coches deportivos y en el Aveva uno de los diseñadores de esos coches. ¿A qué hora se cruzará el diseñador con los coches que hadiseñado?

Problema 2Marta, Cristina y Lucía son tres amigas. Una es profesora, otra estudiante y otra abogada. La estudiante, lamás baja de las tres, es soltera. Marta, que es suegra de Cristina, es más alta que la profesora. ¿A qué sededica cada una?

Indicaciones:Lo primero que puedes hacer para aclararte con tanta información es clasificarla. Para esote será útil utilizar una tabla. Confecciónala distribuyendo los datos que te da el ejercicio encolumnas. Comprobarás que, al colocar cada uno en su lugar, el problema está casi resuelto.

Problema 3El producto de tres números consecutivos es 148 824. ¿Cuáles son esos números?

Indicaciones:Fíjate que es un problema que se enuncia en una única línea. ¿Cómo lo abordarías?¿Qué es lo primero que se te ocurre hacer? ¿Tienes la calculadora a mano? Prueba arealizar algunas operaciones. ¿Has obtenido la solución?

Seguramente lo primero que has decidido ha sido dividir entre tres, pero podrás comprobar que,multiplicando el número que te sale por su siguiente y por el siguiente del siguiente, no obtienes lasolución.¿Te resultaría más sencillo si, en lugar de tres números, el número que se diera fuese producto de dos? ¿Ysi el número que te diesen fuese más pequeño? Seguramente así resultaría más sencillo.

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Escoge tú dos números consecutivos, multiplícalos, anota el resultado y, una vez que lo tengas, busca laoperación que tienes que hacer para encontrar los dos números de partida. Utiliza la calculadora para tusaveriguaciones. ¿Sabes ya cómo encontrar los dos números?

Prueba ahora con tres números consecutivos, multiplícalos y anota el resultado. A partir de este número,¿cómo calculas los números que hay que multiplicar? ¿Sabes ya cómo calcular los tres números que tepide el problema original?

Reflexiona:¿Qué estrategias hemos usado para resolver el problema? Con este problema hemospraticado dos estrategias: resolución por tanteo y resolución de un ejercicio de las mismascaracterísticas, pero más sencillo.

Problema 4Al instituto llega una caja de rotuladores para pizarra de 52 unidades. En la caja se indica que losrotuladores vienen en bolsas de 3 y 7 unidades, pero no dice cuántas bolsas hay de cada tipo. ¿Podríasdecir cuáles son las posibilidades?Si sabemos que hay por lo menos una bolsa de cada uno de los tipos, ¿sigue siendo la solución la misma?

Indicaciones:Para resolver este problema te será de ayuda hacer una tabla con las distintas posibilidadespara el número de bolsas de 7 unidades y de 3 unidades.

Ahora fíjate en los siguientes problemas:

• Antonio tiene en su granja 57 animales entre gallinas y caballos. Si entre gallinas y caballos suman178 patas, ¿cuántas gallinas y cuántos caballos tiene Antonio?

¿Qué similitudes encuentras entre este problema y el que acabas de resolver? ¿Podrías resolverlo de lamisma forma? ¿Qué dificultad añadida encuentras?

• Fran se gastó 5,5 € para invitarnos por su cumpleaños; compró tres helados y una bolsa depipas. Al día siguiente la que nos invitó fue Marta, pero compró tres bolsas de pipas y un helado,gastándose 4,5 €. ¿Sabrías decir cuánto vale un helado y cuánto una bolsa de pipas? ¿Y si tedecimos que ninguna de las dos cosas vale más de 1,5 €?

¿Podrías resolver este problema usando una tabla? ¿Encuentras algún parecido con el anterior problema?¿Sabrías decir si es más caro el helado o la bolsa de pipas?

5. Resolución de problemas con enterosAhora que ya sabes cómo se opera con números enteros, te presentamos unas cuantas cuestiones queseguro que eres capaz de resolver. Al final, te encontrarás con un problema de apuestas en el que tendrásque ayudar de nuevo a Sherlock y a Watson.

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Actividades

11. David dispone de 40 euros para organizar su cumpleaños.

Compra la tarta con el billete de 20 euros y le devuelven 3 euros. El coste de los sándwiches y bocadillosle supusieron gastar un billete de 10, sobrándole 1 euro. Por último, compró globos y confeti que le valieron4 euros. Expresa las operaciones del coste de la compra. ¿Cuánto dinero le sobró a David?

12. Como era de esperar, Sherlock Holmes y su ayudante Watson han resuelto el caso de la misteriosadesaparición. Como su vuelo de vuelta a Londres no sale hasta el día siguiente, deciden ir al bingo parapasar la tarde. Son buenos amigos, por lo que deciden apostar juntos y después repartir las gananciaso las pérdidas obtenidas al final del juego. Cada uno de ellos gasta 70 euros en cartones para el bingo.Sherlock consigue 20 euros en la primera partida, luego pierde 15 y, finalmente, consigue 65 eurosmás. Por su parte, Watson pierde 5 euros, gana 40 y, en su última partida, pierde 35 euros.

a. Elabora una tabla en la que se muestren las ganancias y las pérdidas de cada uno.

b. Expresa los resultados de cada uno de ellos mediante operaciones con números enteros. ¿Cuántodinero tiene ahora Sherlock? ¿Y Watson?

c. ¿Qué dinero tendrá cada uno si deciden repartir las ganacias o las pérdidas a partes iguales?

6. Cálculo mentalEn esta unidad aprovecharemos para repasar las estrategias que ya conocíamos y para practicar tanto laregla de los signos como las operaciones con enteros. ¿Estás preparado? ¡Pues vamos allá!

Comenzaremos haciendo un repaso de la tabla y de la regla de los signos al mismo tiempo. Para ello terecordamos lo siguiente:

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Si multiplicas dos números con el mismo signo, el resultado es positivo:

(+) · (+) = +

(–) · (–) = +

Si multiplicas dos números de signo distinto, el resultado es negativo:

(+) · (–) = –

(–) · (+) = –

Multiplica por un lado los números y por otro, los signos.

En esta unidad nos centraremos en estrategias que te ayudarán a dividir de forma rápida. Es útil recordarque siempre que tengas una división, esta tiene una multiplicación asociada. Observa lo siguiente:

Como 9 · 7 = 63, entonces, 63 : 9 = 7 y 63 : 7 = 9.

Por lo tanto, si sabes bien la tabla, además de multiplicar con rapidez, también podrás dividir a todavelocidad.

Otra estrategia para hacer las divisiones de forma rápida, cuando el dividendo es un número que acaba enuno o varios ceros, consiste en dividir la parte sin los ceros y, finalmente, añadirlos. Recuerda que es unaestrategia parecida a la que usábamos para hacer multiplicaciones por números que acababan en cero.Fíjate en el ejemplo siguiente:

1200 : 4 = 300

Hacemos 12 : 4 = 3 y le añadimos los ceros al número obtenido de la división.

Comprobarás, cuando tengas que hacer divisiones mentalmente, que utilizarás muchas veces lasdivisiones entre dos. Es importante que las practiques para poder ganar agilidad en otro tipo de divisiones.

Te recomendamos que para dividir entre dos, en lugar de dividir cifra a cifra, pienses en hacer dosmontones o en dividir esa cantidad de “dinero” entre un amigo y tú. Comprobarás cómo, al pensar endividir en dos partes iguales, la división entre dos se resuelve mucho más rápido.

Vamos a basarnos en la actividad anterior para resolver las siguientes divisiones de un número par entredos. Deberás utilizar la estrategia de hacer dos montones iguales y una parecida a la ya vista para lamultiplicación.

Observa:

62 : 2 = (60 + 2) : 2 = 60 : 2 + 2 : 2 = 30 + 1 = 31

Si te fijas, hay varias cosas importantes que debes tener en cuenta:

19——

• Debes separar el número que quieres dividir en decenas y centenas: 62 = 60 + 2.

• Ahora tienes que separar en dos montones cada una de las cantidades anteriores60 : 2 = 30 y 2 : 2 = 1.

• Tienes que ser capaz de recordar dos resultados que tendrás que sumar al final (30 y 1), para loque te resultarán útiles las estrategias aprendidas para sumas en las unidades anteriores.

¡A jugar!6. ¿Has resuelto rápidamente los ejercicios anteriores? En esta actividad tendrás que ser el más rápidopara proclamarte como el supercalculista de la clase. Las instrucciones del juego son las siguientes:

Parte 1:

a. Tendréis que poneros en parejas.

b. Cada pareja tendrá tres dados que construirá a partir del siguiente documento. Utilizando estosdados tendréis que calcular la operación que aparezca reflejada en el lanzamiento.

c. Uno de los participantes de cada pareja lanzará los dados, uno a uno, primero un dado de números,después el dado de operaciones y, por último, el otro dado numérico. Debe calcular la operaciónque salga (la anotará en su cuaderno siguiendo el orden de lanzamiento de los dados). Si hace bienla operación, se anota un punto, en caso contrario, no se lo anota.

d. A continuación, lanza los dados el otro miembro de la pareja.

e. El juego termina cuando uno de los dos llega a cinco puntos.

f. La persona que ha perdido queda descalificada.

Parte 2:

a. Entre todos los participantes que queden se formarán nuevas parejas.

b. Se realizará el procedimiento anterior hasta que quede un único alumno, que será el ganador.

↑ [1] El algoritmo de la cajaEl algoritmo habitual de dividir, en el que el divisor se coloca en una "caja".

7. Al cierre

¿Qué has aprendido?¿Qué relación existe entre los números naturalesy los enteros?

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¿Qué diferencia hay entre comparar númerospositivos y números negativos?

¿Qué has aprendido sobre las operaciones connúmeros enteros y sus reglas?

Pon un ejemplo de una situación donde tengasentido la operación (–100) + (–200) y resuélvela.

Pon un ejemplo de una situación donde tengasentido la operación 5·(–4) y resuélvela.

¿Qué técnicas de resolución de problemas hasaprendido?

¿Qué técnicas de cálculo mental has aprendido?

EvalúateTe mostramos a continuación algunas actividades para evaluarte. Dispones de tres intentos para superarcada actividad.

Refuerza

AmplíaSi os preguntan cuál es la temperatura media del planeta Tierra, ¿qué diríais? Seguro que vuestrarespuesta está bastante próxima a la real, a nadie se le ocurre decir que en la Tierra tenemos unatemperatura media de 50 ºC. Sin embargo, si después os piden que digáis cuál es la temperatura media deMarte, ¿podríais dar un valor que se aproxime al real?

21——A continuación, vamos a trabajar con las temperaturas de los planetas de nuestro sistema solar pero, paraempezar, ¿podríais enumerar los planetas que lo componen?

Mercurio, Venus, la Tierra y Marte se denominan planetas interiores porque son los que están máspróximos al Sol. Por el contrario, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno se conocen como planetasexteriores porque son los que están más alejados del Sol.

Planetas interiores

MERCURIOMercurio es el planeta que más cerca está del Sol (su distancia oscila entre 46 y 70 millones de km) y elmás pequeño en tamaño. No tiene atmósfera, por lo que la luz no se puede dispersar y veríamos siempreel cielo negro. Además, el hecho de no tener atmósfera implica que el calor no se mantenga y sufracambios de temperatura extremos. Mercurio tiene una superficie similar a la de la Luna, está plagado decráteres y grietas.

Datos principales

22——

Distancia media al Sol: 0,3871 UAPeriodo de rotación: 58,646 díasDiámetro en el ecuador: 4879,4 kmDensidad: 5,427 g/cm³Gravedad: 0,378 m/s²Temperaturas mínima/máxima: –183/467 ºC

*UA = Unidades Astronómicas

VENUSVenus es el planeta más semejante a la Tierra por su tamaño y composición. Sin embargo, es diferente, yaque no tiene océanos y su atmósfera provoca un efecto invernadero que eleva la temperatura hasta límitesinimaginables. Las temperaturas que alcanza son tan altas que, aunque está situado más lejos del Sol queMercurio, posee una atmósfera más caliente que la del primero. Las sondas que se han enviado a esteplaneta no han durado más de dos horas sobre su superficie.

Datos principales

Distancia media al Sol: 0,7233 UA*Periodo de rotación: 243 días Diámetro en el ecuador: 12 103,6 kmDensidad: 5,24 g/cm³Gravedad: 0,91 m/s²Temperaturas mínima/máxima: 120/470 °C

*UA = Unidades Astronómicas

TIERRAEs el planeta más denso y el quinto según su tamaño. Además, como ya sabes, se cree que es el únicoplaneta de nuestro sistema en el que existe vida compleja. Se estima que la Tierra será capaz de sustentarvida durante los próximos 500 millones de años.

23——Datos principales

Distancia media al Sol: 149 597 890 kmPeriodo de rotación: 24 horasDiámetro en el ecuador: 12 756,28 kmDensidad: 5,515 g/cm³Gravedad: 9,766 m/s²Temperaturas mínima/máxima: –88/58 ºC

MARTEMarte está siendo actualmente investigado, ya que se cree que en un pasado pudo albergar vida. Indiciosde esto son la existencia de valles fluviales donde pudieron fluir ríos, agua helada en los polos y volcanesextinguidos. Este planeta tiene una atmósfera muy delgada y, por lo tanto, no es capaz de conservar elcalor, por lo que las temperaturas que alcanza son extremas.

24——

Datos principalesDistancia media al Sol: 1,5237 UA*Periodo de rotación: 24,62 horasDiámetro en el ecuador: 6 794 kmDensidad: 3,94 g/cm³Gravedad: 0,38 m/s²Temperaturas mínima/máxima: –87/20 °C

*UA = Unidades Astronómicas

Planetas exteriores

JÚPITEREs el planeta más grande del sistema solar y el segundo cuerpo celeste más grande después del Sol,su masa es 310 veces mayor que la de la Tierra. A diferencia de los planetas anteriores, que eran denaturaleza rocosa, Júpiter está formado por helio e hidrógeno. Este planeta es conocido por la GranMancha Roja, un ciclón que se cree que existe desde hace más de 300 años. Júpiter también destaca portener un gran número de satélites a su alrededor, hoy en día se conocen un total de 67.

Datos principalesDistancia media al Sol: 5,2034 UA*Periodo de rotación: 9,925 horasDiámetro en el ecuador: 142 984 kmDensidad: 1,33 g/cm³Gravedad: 2,14 m/s²Temperatura efectiva: –148 °C

*UA = Unidades Astronómicas

SATURNOEra el planeta más alejado del Sol que se conocía en la antigüedad. Su anillo es el más célebre y el únicoque se puede ver desde la Tierra. Fue observado por primera vez por Galileo. La atmósfera de Saturnoestá compuesta principalmente de hidrógeno y es bastante fría; no obstante, de su núcleo se escapamucho calor por lo que se generan tormentas muy extremas.

25——Datos principalesDistancia al Sol: 9,5371 UA*Periodo de rotación: 10,66 horasDiámetro: 116 464 kmDensidad: 0,70 g/cm³Gravedad: 0,74 m/s²Temperatura efectiva: –178 ºC

*UA = Unidades Astronómicas

URANOFue el primer planeta descubierto mediante el uso del telescopio. Este planeta posee la superficie másuniforme y la atmósfera más fría de entre todos los del sistema solar. Urano se caracteriza por tener untono azulado, debido a la composición de su atmósfera, y 27 lunas conocidas.

26——

Datos principalesDistancia media al Sol: 19,191 UA*Periodo de rotación: 17,24 horasDiámetro en el ecuador: 51 118 kmDensidad: 1,30 g/cm³Gravedad: 0,86 m/s²Temperatura efectiva: –210 °C

*UA = Unidades Astronómicas

NEPTUNOEs el planeta más alejado del Sol y también es el que tiene el viento más violento de todo el sistema solar,¡puede alcanzar velocidades de 2414 km/h! Su composición es parecida a la de Júpiter, Saturno y Urano.Además, con este último comparte color y tamaño.

Datos principales

Distancia media al Sol: 30,069 UA*Periodo de rotación: 16,11 horasDiámetro en el ecuador: 49 528 kmDensidad: 1,76 g/cm³Gravedad: 1,10 m/s²Temperatura efectiva: –216 °C

*UA = Unidades Astronómicas

1. Lee la descripción de cada uno de los planetas y responde a las siguientes cuestiones.

1. ¿Cuál es el planeta más parecido a la Tierra?, ¿por qué?

2. ¿Qué planeta tiene 27 lunas conocidas?

3. ¿Cuál es el planeta más cercano al sol?, ¿cuál es su distancia?

4. ¿En qué planeta se cree que pudo haber vida?

5. En tiempos antiguos, ¿cuál era el planeta que estaba más lejos del Sol?, ¿a qué distancia?

27——

6. ¿Cuál es el planeta conocido que está más lejos del Sol en la actualidad?

7. ¿Cuál es el planeta más grande del sistema solar?, ¿cuánto mide su diámetro?

Observa que en las descripciones dadas anteriormente de los planetas interiores se ofrecen lastemperaturas máximas y mínimas, mientras que de los planetas exteriores se da la temperatura efectiva.

La temperatura efectiva de un planeta es la temperatura que alcanza dicho planeta en su superficievisible, la cual solo depende de la distancia del planeta al Sol, sin tener en cuenta ni la existencia deatmósfera ni otro tipo de factores. Esta temperatura se utiliza a menudo como una estimación de latemperatura real. Por ejemplo, la temperatura efectiva de la Tierra es de –18 ºC.

2. Completa las tablas que se muestran a continuación, teniendo en cuenta que 1 UA (UnidadAstrónómica) = 150 000 000 km:

PLANETA TEMPERATURAMÍNIMA (ºC)

TEMPERATURAMÁXIMA (ºC)

DISTANCIA MEDIAAL SOL (en km)

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

PLANETA TEMPERATURA EFECTIVA (ºC) DISTANCIA MEDIAAL SOL (en km)

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

3. Responde las siguientes preguntas sobre los planetas interiores:

28——

a. Observa con detenimiento las temperaturas extremas de los planetas interiores, ¿te sorprendealgún dato?

b. ¿Qué planeta interior alcanza las temperaturas más altas?, ¿y las más bajas?

c. ¿Cuáles son las diferencias térmicas que se producen en los planetas interiores?, ¿en cuál ladiferencia es mayor?

d. A continuación se presenta una tabla con las temperaturas medias de Mercurio, Venus, la Tierray Marte. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre el planeta Tierra y el resto de los planetasinteriores?

PLANETA TEMPERATURA MEDIA

Mercurio 179

Venus 460

Tierra 15

Marte –63

4. Responde ahora a las siguientes cuestiones sobre los planetas exteriores:

a. ¿Por qué todos los planetas exteriores tienen temperaturas bajo cero?

b. Si la temperatura efectiva de la Tierra es de –18 ºC, ¿cuál es la diferencia entre la temperaturaefectiva de la Tierra y la de los otros planetas exteriores?

5. Analicemos ahora la distancia entre los planetas y el Sol.

a. Observa la distancia media de todos los planetas al Sol. Si has hecho bien los cálculos, ladistancia de cada planeta al Sol debe ser menor que la del planeta que está justo después de él.Reescríbelas en tu cuaderno por orden, utilizando los signos ‘>’ o ‘<’.

b. ¿Cuál es la distancia entre el planeta Tierra y el resto de los planetas del sistema solar?

29——

8. Nuestro proyecto

Tarjetas rotasEn la primera unidad aprendiste a realizar cuatro trucos de magia como un auténtico profesional. Acontinuación, te explicaremos cómo llevar a cabo dos trucos más. Tendrás que practicarlos junto con uncompañero y entender cómo se hacen perfectamente, ya que en el tercer trimestre los expondréis juntocon el resto de las actividades que preparasteis en las unidades anteriores.

Los dos trucos que se muestran a continuación están basados en dos trucos presentados porPedro Alegría en El rincón matemágico de DivulgaMat (http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?

option=com_alphacontent&section=11&category=63&Itemid=67).

Rompiendo tarjetas

Para realizar esta actividad necesitaréis cartulinas, lápices de colores, una regla y tijeras.Antes de comenzar el truco tenéis que hacer cinco tarjetas rectangulares y en cada una deellas debe aparecer un dibujo diferente. El dibujo debe ocupar la parte central de la tarjeta.

¿Tenéis las tarjetas preparadas? Pues vamos allá con el truco:

Procedimiento:

1. Coge las cinco tarjetas, haz un mazo con ellas de tal forma que los dibujos quedenhacia abajo y rómpelas por la mitad dejando cada mitad en una mano.

2. Coloca una de las mitades sobre la otra.

3. Dado que antes tenías cinco tarjetas, después de romperlas por la mitad y juntarlasobtienes diez mitades.

4. Corta el montón de tarjetas por donde prefieras y pon el montón de arriba bajo el queestaba debajo inicialmente.

5. Coloca sobre la mesa, por orden, las cinco primeras mitades, una sobre otra, haciendoun montón. Deja el montón restante en la mesa.

6. A continuación tendrás que deletrear la frase encuentra los pares rotos, pero ¡tencuidado!, tienes que hacerlo del siguiente modo:

1. Escoge uno de los dos montones y cógelo en la mano.

b. Deletrea la palabra encuentra y por cada letra que deletrees tendrás que cogerla primera “media tarjeta” del montón y ponerla debajo. Así con las nueve letras.

c. Deja el mazo que escogiste encima de la mesa.

d. Retira la primera “media tarjeta” de cada uno de los dos montones que tienes.

e. Repite este proceso de nuevo con las palabras los, pares, rotos (escoge unmazo, pasa para abajo tantas cartas como letras tenga la palabra, devuelve elmazo a la mesa y retira las dos medias cartas superiores de ambos mazos).Recuerda que puedes escoger cualquiera de los dos montones de cada vez, notiene por qué ser siempre el mismo.

30——

7. Dado que el anterior proceso se realizará cuatro veces, tendremos que retirar cuatro“medias tarjetas” de cada montón. Por lo tanto, al final nos quedaremos con solo una“media tarjeta” en cada montón.

8. Dale la vuelta a las dos “medias tarjetas”; ¿qué ha ocurrido?

Tarjetas y planetas

Para llevar a cabo este truco, podréis utilizar las tarjetas ya creadas para el truco anterior.Para ello, debéis ordenar los pares de “medias tarjetas”, uniendo “cada oveja con su pareja”,y dejándolas boca abajo en la mesa. Poned cuidadosamente una sobre otra con los dibujoshacia abajo haciendo un mazo y, dado que el corte ya está hecho, las separamos dejandocada mitad en una mano. Colocamos una de las mitades sobre la otra y ya podemoscomenzar el nuevo truco.

Procedimiento:

1. Una vez tienes un único mazo, córtalo por donde quieras y pon el montón de arribabajo el que estaba debajo inicialmente.

2. Saca la primera carta del mazo, ¡no puedes mirarla!

3. Extiende las nueve cartas restantes sobre la mesa, formando un cuadrado, y siguiendoel orden indicado:

4. Una vez hecho este proceso, ¡vamos a adivinar cuál es la pareja de la carta quehemos separado del mazo! Para ello deberás situar las tarjetas, sin variar su posición,en un folio y nombrándolas de la siguiente forma:

31——Las nombraremos como algunos de los astros del sistema solar.

5. Para obtener la mitad secreta, tendremos que viajar a través de nuestro sistema. Paraello, solo podremos movernos a través de las tarjetas de forma vertical u horizontal(nunca en diagonal), además, solo se puede efectuar un paso cada vez.

Viaje por el Sistema Solar:

1. Sitúate sobre uno de los planetas/astros y realiza el mismo número de movimientoscomo letras tiene dicho planeta/astro. Por ejemplo, si escoges la Luna tendrás quedesplazarte 4 posiciones.

2. ¿A que no has llegado ni a Júpiter ni a Marte? Retira las medias tarjetas asociadas aambos planetas.

3. Ahora, estando en la tarjeta a la que llegaste, desplázate cinco posiciones, queequivalen al número de letras que tiene Urano.

4. ¿A que no estás ni en la Tierra ni en la Luna? Retira sus medias tarjetas asociadas.

5. De nuevo, estando en la tarjeta a la que llegaste, desplázate siete posiciones, queequivalen al número de letras que tiene Neptuno.

6. ¿A que no estás ni en Venus ni en Saturno? Retira sus medias tarjetas asociadas.

7. Por último, estando en la tarjeta a la que llegaste, desplázate tres posiciones, queequivalen al número de letras que tiene el Sol. ¿A qué posición has llegado? ¡Gira lamedia tarjeta correspondiente!

Como ya os habíamos comentado en la primera unidad, en el tercer trimestre expondréis una serie detrucos y juegos a vuestros compañeros. Por este motivo, debéis completar una ficha similar a la que sepresenta a continuación para cada uno de los dos trucos que acabáis de hacer. De esta forma podréisrecordar rápidamente cómo llevarlos a cabo:

32——

33——

GlosarioConsensoAcuerdo que se realiza entre todas las personas que componen un grupo por un tema enconcreto.

DobleResultado de multiplicar un número por dos.

IndicioSeñal que puede ser de diversos tipos y que nos permite intuir la existencia de algo de loque no se tiene absoluta constancia.

Números enterosNúmeros que representan unidades completas. El conjunto de los números enteros estáformado por los números enteros positivos (naturales), los números enteros negativos yel 0.

Opuesto de un númeroEs el número simétrico del número inicial con respecto al 0.

RecabarBuscar, obtener.

Recta numéricaRecta en la que se colocan de forma ordenada los números enteros. Siempre ha deindicarse dónde está el cero y marcar la distancia del cero al uno (unidad).

RegirGuiar.

SendosAdjetivo distributivo que significa ‘uno para cada uno’.

SubconjuntoConjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto mayor.

SumandoEn una suma, cada una de las cantidades que se suman.

TripleResultado de multiplicar un número por tres.

34——

Valor absolutoEl valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número a cero. Porejemplo, el valor absoluto de -3 es 3, y se representa como |-3| = 3

EnlacesNúmeros enteros (https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1286787808/contido/Descates2/1_eso/enterosdesp/index.htm)

Sumas y restas con números enteros (https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1414414304/contido/index.html)

Multiplicación y división con números enteros (https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1414414957/contido/index.html)

Operaciones combinadas con números enteros (https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1414415397/contido/index.html)

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