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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CEPA PLUS ULTRA

MATEMÁTICAS 2º ESPA/ESPAD

ÍNDICE TEMA1.-LOS NÚMEROS REALES. FRACCIONES .................................................................................... 4

1. Clasificación de los números ................................................................................................................ 4

1.1. Opuesto de un número. ................................................................................................................. 7

1.2. Valor absoluto. .............................................................................................................................. 8

2. Números enteros .................................................................................................................................. 8

2.1. Representación y ordenación de los números enteros: ................................................................ 8

2.2. Operaciones con enteros. ............................................................................................................. 8

3. Las Fracciones ................................................................................................................................... 11

3.1. Significado de fracción: ............................................................................................................... 12

3.2. Tipos de fracciones ..................................................................................................................... 15

3.3. Fracciones equivalentes .............................................................................................................. 17

3.4. Ordenación y comparación de fracciones ................................................................................... 19

3.5. Operaciones con fracciones ........................................................................................................ 20

4. Problemas aritméticos con números Fraccionarios ........................................................................... 25 TEMA 2.- POTENCIAS ............................................................................................................................... 28

1. Potencias de números enteros ........................................................................................................... 28

1.1. Propiedades de las potencias ..................................................................................................... 30

1.2. Operaciones con potencias ......................................................................................................... 30

2. Potencias de base 10. Notación científica. ......................................................................................... 32

3. Potencias de fracciones ..................................................................................................................... 33

4. Raíces cuadradas. Cuadrados perfectos ........................................................................................... 36

4.1. Raíces exactas ............................................................................................................................ 37

4.2. Raíces enteras ............................................................................................................................ 37 TEMA 3.- ALGEBRA .................................................................................................................................. 39

1. Letras en vez de números .................................................................................................................. 39

1.1. Representar números en clave ................................................................................................... 39

1.2. Expresar y operar números desconocidos .................................................................................. 39

2. Expresiones algebraicas .................................................................................................................... 39

2.1. Monomios .................................................................................................................................... 41

2.2. Operaciones con monomios ........................................................................................................ 42

3. Ecuaciones de primer grado ............................................................................................................... 43

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

3.1. Significado y utilidad. ................................................................................................................... 43

3.2. Elementos y nomenclatura .......................................................................................................... 43

3.3. Reglas de equivalencia. .............................................................................................................. 44 TEMA 4.- PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA .......................................................................................... 48

1. Razón. Proporción numérica .............................................................................................................. 48

2. Proporcionalidad directa ..................................................................................................................... 48

2.1. Regla de tres directa ................................................................................................................... 49

2.2. Repartos directamente proporcionales. ....................................................................................... 50

3. Proporcionalidad inversa .................................................................................................................... 51

3.1. Regla de tres inversa .................................................................................................................. 52

4. Proporcionalidad compuesta .............................................................................................................. 52

5. Porcentajes ........................................................................................................................................ 55

5.1. Proporpoción ............................................................................................................................... 55

5.2. Fracción ...................................................................................................................................... 56

5.3. Decimal ....................................................................................................................................... 56

6. Interés simple. Conceptos básicos. .................................................................................................... 58 TEMA 5.-GEOMETRÍA ............................................................................................................................... 61

1. Puntos y rectas ................................................................................................................................... 61

2. Ángulos .............................................................................................................................................. 61

2.1. Clasificación de ángulos .............................................................................................................. 62

2.2. Relación entre ángulos ................................................................................................................ 62

2.3. Ángulos iguales ........................................................................................................................... 63

2.4. Medida de ángulos. Operaciones ................................................................................................ 63

2.4.1. Operaciones ............................................................................................................................ 64

3. Polígonos ........................................................................................................................................... 65

3.1. Clasificación de los polígonos ..................................................................................................... 66

3.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono .......................................................................... 67

4. Triángulos y cuadriláteros .................................................................................................................. 68

4.1. Clasificación de los triángulos ..................................................................................................... 68

4.2. Clasificación de los cuadriláteros ................................................................................................ 68

5. Circunferencia y círculo ...................................................................................................................... 69

6. Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 69

7. Semejanza. ........................................................................................................................................ 70 Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.2 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

7.1. Teorema de Thales ..................................................................................................................... 71

7.2. Triángulos en posición de Thales ................................................................................................ 72

7.3. Criterios para determinar la semejanza de triángulos ................................................................. 72

7.4. Escalas. Mapas, planos y maquetas ........................................................................................... 73

8. Perímetros y áreas ............................................................................................................................. 74 TEMA 6.- FUNCIONES ............................................................................................................................... 78

1. Ejes cartesianos. Coordenadas en el plano. ...................................................................................... 78

1.1. Representación gráfica de puntos ............................................................................................... 78

2. Función ............................................................................................................................................... 79

2.1. Relaciones dadas por tablas ....................................................................................................... 80

2.2. Relaciones dadas por gráficas .................................................................................................... 81

2.3. Relaciones dadas por fórmulas ................................................................................................... 82

2.4. Representación gráfica de funciones .......................................................................................... 85

3. Función lineal ..................................................................................................................................... 85

3.1. Representación gráfica ............................................................................................................... 86

3.2. Pendiente de una recta ............................................................................................................... 87

3.3. Casos particulares de rectas ....................................................................................................... 90

4. Ejercicios resueltos ............................................................................................................................. 91


1. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Los números surgen de la necesidad de contar. Pero el hombre no se limitó sólo a contar, sino que acumulaba, intercambiaba o repartía bienes …. Estas actividades tan cotidianas tuvieron respuesta en operaciones tan sencillas como la suma, la resta, la multiplicación o la división. A medida que estos cálculos se complicaron fueron apareciendo distintas clases de números. El conjunto más amplio con el que vamos a trabajar durante esta etapa es el de los números reales, . El conjunto de números naturales, ,está formado por los números que utilizamos para contar.

{ }.......5,4,3,2,1=

Trabajando sólo con los números naturales no podríamos expresar numéricamente el segundo sótano o tres grados bajo cero o la situación económica de una persona que dispone de 200 € para pagar un deuda de 300 €. La introducción del signo –, es decir, de los números negativos permitió que las situaciones anteriores pudieran describirse como la planta –2, –3º y –100 € respectivamente. Surge un nuevo conjunto, el de los números enteros. El conjunto de los números enteros, , contiene a los naturales. Todo número natural es entero, pero

no todo número entero es natural. El número 3 es natural y entero, sin embargo, el número –12 es entero pero no es natural.

{ }.......5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5......., −−−−−=

Cuando vamos a una tienda podemos encontramos productos por valor de 3,25 € o podemos comprar una botella de litro y medio de agua o pedir tres cuartos de jamón serrano. Hemos utilizado números que no se encontraban en los ejemplos anteriores, son los números racionales. Los números racionales, cuyo conjunto se representa por son los números que se pueden expresar

como cociente de dos números enteros1.

} −−−

−−= .......,35555´0,4,3,

216,23´0,9,0,1,2,3,

34,5.......,

1El cociente de dos números enteros a y b, con b≠0, se puede expresar de la forma b

a. Esta nueva representación de

a:b se llama fracción. En el apartado de fracciones se explica más detalladamente.

LOS NÚMEROS REALES. FRACCIONES


Los números que se pueden representar de esta forma son:

• Números naturales y enteros: 5

12525441

2189

133 =

−=−

−=−=

• Números decimales, con un número finito de cifras decimales:

100012347347,12

4525,1

1003333,0

2155,7 ====

• Los números periódicos puros: Son números decimales en los que la parte decimal está

formada por una cifra o un grupo de cifras (periodo), que a partir de la coma, se repiten de forma ilimitada.

....148148148,0

274....585858,2

99256...66666,1

35

===

• Los números periódicos mixtos: Son números decimales en los que la parte decimal está

formada por un grupo de cifras (anteperiodo) al que le sigue otro (periodo) que se repite de forma ilimitada.

657,2....65757575,2

9902631419,1....1944444,1

364338,0...833333,0

65

======

Por lo tanto, los números naturales y enteros están dentro del conjunto de los números racionales y éstos dentro de los reales.

¿A quién no le suena el número “pi”, π = 3,1415….?. En realidad, su verdadero valor es 3,1415926…, que es un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto, no lo podemos representar mediante una fracción, tenemos un número irracional.

Los números irracionales, ,son los números reales que no pueden ser expresados mediante una

fracción. Estos números forman un conjunto aparte de los racionales

−−

π= ..,7,3

51,,2...,

En definitiva, los números reales están formados por la unión de los dos conjuntos que no tienen nada en común, la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales

Resumiendo, los números reales se clasifican según el cuadro que aparece a continuación:


NÚ

MER

OS

REA

LES

Números fraccionarios: 5,32; ...66666,135

= ;43− ; -3,527272727….

Los números decimales cuya parte decimal es exacta o tiene un grupo de cifras que se repite infinitamente

RACIONALES: Se pueden representar mediante fracciones

IRRACIONALES: ......25;;31;2 π+

No se pueden representar mediante fracciones. Son números en los que, en su expresión decimal, la parte decimal tiene infinitas cifras que no forman periodo, es decir, que no se repiten.

ENTEROS:

NATURALES: 1; 2; 23; 326;13169;5

315

=−−

==

Enteros negativos y el 0:

-1, -2, -23, 13169;53

15−=−−=−


Cuando nos pidan clasificar un número tendremos que especificar el nombre o nombres del o de los conjuntos en el o los que está incluido dicho número (sólo habrá que señalar a cuál o cuáles de los conjuntos, que en el esquema anterior aparecen en mayúsculas, pertenece el número dado).

Ejemplo 1.

Marca con una X la casilla o casillas que correspondan a cada número:

Número Natural Entero Racional Irracional Real -2,34

8

-5

25

23

-1,56565656…

520

32

4,23242526…

0,234343434…

π

1.1. Opuesto de un número. El opuesto de un número real x, es –x. Para calcular el opuesto de un número sólo hay que cambiarle el signo.

Ejemplo 2.

Número Opuesto 3 -3 -4 4

43

43

−

27

− 27

5− 5 3 4 3 4−

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 7 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

1.2. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se designa x y se define como:

≥<−

=0xsix0xsix

x

Para calcular el valor absoluto del número x sólo nos tendremos que fijar en su signo y cambiárselo a positivo o eliminarlo2 en el caso de que sea negativo.

Ejemplo 3.

55 = ; 33 =− ; 43

43

=− ; 35

35

= ; 55 =−

2. NÚMEROS ENTEROS

2.1. Representación y ordenación de los números enteros: Los números enteros se representan en una recta a uno de cuyos puntos se le ha asignado el cero; a la derecha de éste se sitúan los números enteros positivos, y a su izquierda, los números enteros negativos.

Así, los números enteros quedan ordenados en la recta numérica, de izquierda a derecha, de menor a mayor. Dados dos números enteros cualesquiera, el menor de ellos será el que se encuentre más a la izquierda. Por lo tanto, cualquier entero negativo es menor que el cero y que cualquier entero positivo.

Ejemplo 4.

-3 <4 , -5 < 0 , 6 < 10 , -7 < -2 , 0 < 3

2.2. Operaciones con enteros.

Suma y resta:

a) Sumas y restas sencillas

2Cuando un número aparece sin signo se entiende positivo, 5 = +5.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Números enteros positivosNúmeros enteros negativos Cero

Si tienen el mismo signo, sumamos los números y luego les ponemos el signo que tenían ambos.

3 + 4 = 7 –3 – 4 = – (3+4)=– 7


Ejemplo 5.

6 + 3 =

Ejemplo 6.

–13 + 7 =

Ejemplo 7.

5 – 21 =

Ejemplo 8.

– 5 – 10 =

b) Sumas y restas La operación (+3)– (–5) parece más complicada que las anteriores porque en ella aparecen muchos signos. Antes de calcularla nos interesa realizar alguna simplificación de signos teniendo en cuenta el cuadro que aparece en el margen derecho.

Aplicando lo anterior a nuestro caso particular, obtenemos: (+3)– (–5) = 3 + 5 = 8

Ejemplo 9.

(– 3) + (– 6) = – 3 – 6= – 9

(+ 5) – (– 7) = 5 + 7 =12

(– 4) + (+ 8) = – 4 + 8 = 4

–(–a) = a +(–a) =–a +(+a) = a –(+a) =–a

Si tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos y colocamos el signo del que tenía mayor valor absoluto.

5 – 2 = 3 –5 + 2 = – (5 – 2)=– 3

1. El signo de 3 y 6 es + 2. Sumamos 6 y 3 que son 9

6 + 3 = + 9 = 9

1. El signo de 13 y 7 es distinto 2. Calculamos 13 - 7, que es 6 3. 13 es mayor que 7, el signo del resultado será el signo que tenía 13, es decir, –

–13 + 7 = – 6

1. El signo de 5 y 21 es distinto 2. Calculamos 21 - 5, que es 16 3. 21 es mayor que 5, el signo del resultado será el signo que tenía 21, es decir, –

5 – 21 = – 16

1. El signo de 5 y 10 es – 2. Calculamos 5 + 10, que es 15

– 5 – 10 = – 15


Ejemplo 10.

(–3) + (+5) – (+7) – (–8) + (–12)= –3 + 5 – 7 + 8 – 12 = +5 + 8 – 3 – 7 – 12 = 13 – 22 = –9

Ejemplo 11.

12 + (– 64) + (– 17) + 4 = 12 – 64 – 17 + 4 = 12 + 4 – 64 – 17 = 16 – 81 = – 65

Multiplicación y división:

Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican o dividen como si se tratarán de números naturales y luego se decide el signo según la siguiente regla de los signos:

Multiplicación División

(+)∙(+) = (+) (+):(+) = (+) (+)∙(–) = (–) (+):(–) = (–) (–)∙(+) = (–) (–):(+) = (–) (–)∙(–) = (+) (–):(–) = (+)

Ejemplo 12.

(+ 5)∙(+ 3) =

Ejemplo 13.

(+12)∙(– 4) =

Ejemplo 14.

(–24):(–6) =

Reordenamos colocando juntos los positivos y los negativos.

1. Calculamos 12 ∙ 4, que es 48 2. El signo (+)∙(–) = (–)

(+12)∙( –4) = –48

1. Calculamos 24:6, que es 4 2. El signo (–)∙(–) = (+)

(–24):( –6) = 4

1. Calculamos 5 ∙ 3, que es 15 2. El signo (+)∙(+) = (+)

(+5)∙(+3) = 15 – 5 – 10 = – 15


Cálculo de expresiones con las cuatro operaciones: Reglas de prioridad:

Ejemplo 15.

3∙[– 3 + (– 3)] – 14 : (– 7) = 3∙[– 3 – 3] – 14 : (– 7) = 3∙[– 6] – 14 : (– 7) = – 18 – (– 2) = – 18 + 2 =-16

Ejemplo 16.

– 6 –5∙[5∙(–2) – 5] + (–5)∙ 4 = – 6 – 5∙[–10 – 5] + (–5)∙ 4 = – 6 – 5∙[–15] + (–5)∙ 4 =

– 6 – [–75] + (–20) = – 6 + 75 – 20 = – 6 – 20 + 75 = – 26 + 75 = 49

3. LAS FRACCIONES

La lectura de las fracciones se hace como sigue:

→ El numerador se lee con el nombre del número. → El denominador se lee:

• Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno, respectivamente.

• Si es 10, se lee décimos, y es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación

–avo.

Una fracción es una expresión de la forma ba , en la que a y b son números enteros, con b ≠ 0. En dicha

expresión llamaremos: a →numerador b →denominador

1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones. 3.- Se calculan las sumas y restas.

Realizamos la división 14 : (-7)

Efectuamos la multiplicación3 ∙ (-6)

Calculamos el corchete


Ejemplo 17.

Fracciones Numerador Denominador Lectura

31 1 3 Un tercio

52 2 5 Dos quintos

157 7 15 Siete quinceavos

103 3 10 Tres décimos

25 5 2 Cinco medios

3.1. Significado de fracción Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división. 1. La fracción como parte de la unidad

Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman.

En la fracción ba

sus términos representan

Ejemplo 18. En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que representa las partes coloreadas es

125 .

b → número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo a → número de partes que se toman de la unidad


Ejemplo 19.

Pinta los169 de este triángulo.

Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura.

Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños.

La parte coloreada representa los

169 de

2. La fracción como cociente

La fracciónba , expresa el cociente de dos números enteros a y b (a:b). Calculamos su valor dividiendo

el numerador entre el denominador.

Ejemplo 20.

Tenemos 28 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. El número de gominolas que le corresponde a cada niño es

428 →28 : 4 =7 gominolas le tocan a cada niño.

Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador.

Ejemplo 21.

188

= , 133

=−− ,

15151= ,

771

−−

=

3. La fracción como operador Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador).


Ejemplo 22.

43 de 24, se lee, los tres cuartos de veinticuatro.

Para calcularlo tenemos que dividir 24 en 4 partes, 24:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos 3 de esas partes, que harían un total de, 3 ⋅ 6, dieciocho.

43 de 24 = (24:4) ⋅ 3 =6 ⋅ 3 = 18

También

43 de 24 = (24 ⋅ 3):4 = 72 : 4 = 18

Ejemplo 23.

52 de 100 = (100 : 5) ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 = 40

Ejemplo 24.

Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los 32 del presupuesto. Si le hemos dado

1600 € . ¿A cuánto asciende la factura?

En el enunciado nos dicen que los 32 de la factura son 1600€, es decir, que tenemos que averiguar

de qué cantidad los32 son 1600€.

43 de 24 = 18

ba de c =

(c ⋅ a):b

(c:b) ⋅ a


3.2. Tipos de fracciones Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. Ej.:

52

Fracciones impropias: el numerador es igual o mayor que el denominador. Ej.: 27

Fracciones decimales: el denominador es la unidad seguida de ceros. Ej.: 1000

15

Números mixtos: son fracciones impropias que se expresan dando la parte entera y la parte fraccionaria, siendo esta última una fracción propia. Se denotan

cba .

NO significa que estamos haciendo el producto de a por la fracción

cb , es sólo una forma

de expresar este tipo de números, lo que significa es que tenemos a enteros y la parte fraccionaria

cb , es decir, tenemos

cba + . Mediante este último cálculo se obtiene la fracción

impropia a la que corresponde la expresión mixta, aunque no será necesario realizarlo, ya que las calculadoras científicas permiten la transformación de forma directa.

Ejemplo 25.

a) 211 significa que tenemos uno y medio

Escrito como fracción serían: 23

211 =+

Escrito como decimal sería: 5,15,01

5,021=

↑=+ (se convierte la parte fraccionaria en decimal y se

suma a la parte entera ya conocida)

b)

532 significa que tenemos 2 enteros y tres quintas partes

Escrito como fracción serían: 5

13532 =+

Escrito como decimal sería: 6,26,02

6,053=

↑=+

c) Transforma la fracción en número mixto.

Hacemos el cociente que nos indica dicha fracción:

5 19 3 4

cba

519


Entonces, tenemos como parte entera 3 y la parte fraccionaria saldría de continuar dividiendo 4

entre cinco, es decir, de hacer 4:5, o lo que es lo mismo 54 . Por tanto, como número mixto, se

trata del 543

(Como decimal sería el 3,8)

Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí.

Ejemplo 26.

La fracción 1812 no es irreducible,

12 y 18 son divisibles por 2 ⇒ 96

2:182:12

1812 ==

6 y 9 son divisibles por 3 ⇒32

3:93:6

96 ==

2 y 3 no tienen divisores comunes ⇒ 32 es la fracción irreducible de

1812 .

Podríamos haber llegado directamente a la fracción irreducible calculando previamente el máximo común divisor de 12 y 18 (el mayor divisor que tienen en común 12 y 18).

Por lo tanto, m.c.d.(12, 18) = 2 ∙3 = 6.

Dividimos numerador y denominador por 6 y obtenemos la fracción irreducible.

32

6:186:12

1812 ==

Fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, el numerador.

Fracción inversa de ba

⇒ ab


Ejemplo 27.

Fracción Fracción inversa

35

53

41 4

14

=

7 = 17

71

59

− - 95

3.3. Fracciones equivalentes Son fracciones que tienen el mismo valor.

CÓMO RECONOCER FRACCIONES EQUIVALENTES: Existen varias formas de reconocer si dos fracciones son o no equivalentes. Realizando los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que

obtenemos el mismo resultado. Por ejemplo:

812 y

23 (ambas valen 1,5)

Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto

de los extremos es igual al producto de los medios. cbdadc

ba

⋅=⋅⇔=

Por ejemplo:

23

812 ?

=

2012?

54

= ; 12·520·4?= ; ⇒≠ 6080 No son equivalentes

Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y

denominador de la otra por la misma cantidad.

Propiedad fundamental de las fracciones. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente.


· 3

· 3

Por ejemplo:

23

812 ⇒ Son equivalentes;

2012

54 ⇒ No son equivalentes

Cuando se conoce ya la operación de división de fracciones, para ver si son equivalentes dos

fracciones, basta realizar el cociente entre ellas y comprobar que el resultado es 1. En caso contrario, no serían equivalentes.

CÓMO OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES: Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación. Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un

mismo número

Ejemplo 28.

Calcula tres fracciones equivalentes a 23

69

3233

23

=⋅⋅

= 1015

5253

23

=⋅⋅

=1421

7273

23

=⋅⋅

=

Por lo tanto, 1421

1015

69

23

===

Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un divisor común a ambos.

Ejemplo 29.

Busca fracciones equivalentes a 2842 por simplificación.

Los divisores comunes a 42 y 28 son 2, 7 y 14, obtendremos fracciones equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 5.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 7.

: 4

: 4

· 3

· 4


: 2

: 2

1421

2:282:42

2842

==46

7:287:24

2842

==23

14:2841:24

2842

==

3.4. Ordenación y comparación de fracciones Para ordenar o comparar fracciones se puede seguir uno de estos métodos: Reduciendo a común denominador3 las fracciones y luego ordenándolas o comparándolas según el

valor de los numeradores.

Ejemplo 30.

Compara las fracciones 45 y

67

Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. (4, 6) = 322 ⋅ =12

Escribimos las fracciones equivalentes a las del enunciado pero con denominador 12

1215

45

=1214

67

=

Comparamos las fracciones equivalentes obtenidas

67

45

1214

1215

>⇒>

Ejemplo 31.

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones 125y

103,

187

3Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Dividimos el numerador y el denominador por 7.

Dividimos el numerador y el denominador por 14.


Tienen distinto denominador, buscamos el m.c.m.(18, 10, 12) = 180532 22 =⋅⋅

Las fracciones equivalentes a las dadas son:

18075

125

18054

103

18070

187

===

Ordenamos las fracciones equivalentes de mayor a menor

103

187

125

18054

18070

18075

>>⇒>>

Calculando el valor decimal de cada fracción y después ordenando o comparando las fracciones según su valor decimal.

Ejemplo 32.

Compara las fracciones 45 y

67

3.5. Operaciones con fracciones Suma y resta: Si los denominadores son iguales, la suma es una fracción que tiene el mismo denominador que

las anteriores y como numerador el resultado de operar los numeradores.

Ejemplo 33.

611

6175

61

67

65

=−+

=−+

Si los denominadores son distintos, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el

mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior.

45 = 5:4 = 1,25

67 = 7:6 = 1,166….

⇒ 1,25 > 1,166…. ⇒ 45 >

67


Ejemplo 34.

=−+91

37

25

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, m.c.m. (2, 3, 9)= 18.

Sustituimos las fracciones del ejercicio por otras equivalentes a las dadas y con denominador 18.

1845

25 =

1842

37 =

182

91 =

Por lo tanto,

1885

1824245

182

1842

1845

91

37

25

=−+

=−+=−+

Producto: “se multiplica en línea”dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅

Ejemplo 35.

95

1810

32

65

==⋅

Ejemplo 36.

Calculemos el producto de las fracciones del ejemplo 11.

1

1515

53

35

==⋅

144

41 4 ==⋅

1777

71

==⋅

14545

95-

59

==

⋅−

Cociente:“se divide multiplicando en cruz”

cbda

dc:

ba

⋅⋅

=

Ejemplo 37.

45

1215

32:

65

==

El producto de una fracción y su inversa es uno.


Operaciones combinadas con fracciones: Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad:

1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 3.- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha.

Ejemplo 38.

a) =

−⋅+65

27

52

43

Primero realizamos la operación entre paréntesis

38

52

43

616

52

43

65

621

52

43

65

27

52

43

⋅+=

⋅+=

−⋅+=

−⋅+

Segundo efectuamos la multiplicación

1516

43

38

52

43

+=⋅+

Tercero calculamos la suma

60109

6064

6045

1516

43

=+=+

Por lo tanto,

38

52

43

616

52

43

65

621

52

43

65

27

52

43

⋅+=

⋅+=

−⋅+=

−⋅+ =

60109

6024

6045

1516

43

=+=+

m.c.m. (2, 6)=6 Simplificamos, 38

616

=

m.c.m. (4, 15)=60


b) =+⋅+35:

532

21

64

=++

=++=++75

2775502591

32

259

22

32

75152

c)

=+⋅23:

43

53-

54

23

105612

21

53

56

126

53

1012 +−

=+−=+− = 1011

d) =−+⋅73:

43

31

34

54-

32:

53

6016974

60105206454

47

31

1516

109

1221

31

1516

109 −

=−+−

=−+−=−+−1219-

6095

=−

=

e) =

−⋅−

−

⋅=

−⋅−

−⋅

20415·

114

6310·

83

51

43

114

21

35

83

=−=

⋅−

⋅

22044

4821

2011·

114

67·

83

=

−=−

801635

51

167

8019

Simplificando

Simplificando

Simplificando


PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES SU

MA

Conmutativa Asociativa Neutro e identidad Distributiva Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía:

a + b = b + a Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10

Los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado:

(a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo:

629

25

37

37

25

=+=+

El 0 es el elemento neutro de la suma, pues, al sumarlo, el resultado no varía:

a + 0 = a Ejemplo: 0 + (-2) = -2

El producto de un número por una suma es la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c Ejemplo: 2 ⋅ (5 + 3) = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 Efectivamente, porque: 2 ⋅ (5 + 3) = 2 ⋅ 8 = 16

y 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 =10 + 6 = 16

MU

LTIP

LIC

ACIÓ

N

Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía:

a ⋅ b = b ⋅ a Ejemplo: 3 ⋅ (- 5) = (- 5) ⋅ 3 = -15

Los factores se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Ejemplo:

=

⋅⋅=⋅

⋅76

51

32

76

51

32

354

10512

=

El 1 es el elemento identidad de la multiplicación, pues, al multiplicar por él, el resultado no varía:

a ⋅ 1 = a Ejemplo:

431

43

=⋅


4. PROBLEMAS ARITMÉTICOS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

Fracción de una cantidad Problema 1. Cálculo de una fracción

En un maratón han tomado la salida 1155 participantes, pero durante la prueba han abandonado 210. ¿Qué fracción del total de los inscritos ha llegado al final? Solución:

Han llegado al final 119 del total

Problema 2. Cálculo de la parte

En un maratón han tomado la salida 1155 participantes. Durante la prueba han abandonado

112 de los corredores. ¿Cuántos han llegado a la meta?

Solución: Nº de abandonos →

112 de 1155 210

1111552

=⋅

=

Nº de los que terminan → 1155 - 210 = 945 participantes han llegado a la meta

Suma y resta de fracciones Problema 3. Cálculo de la fracción

Un hortelano siembra 31 de su huerta de melocotones y

52 de la huerta de peras. ¿Qué

parte del terreno queda aún libre?


Solución:

Libre →154

1511

1515

=−

Aún quedan libres

154 del terreno

Problema 4. Cálculo de la parte

Un agricultor siembra 31 de su huerta de melocotones y

52 de peras.

Si la huerta tiene 6000 m2, ¿qué superficie queda sin sembrar?

Solución: Sembrado →

1511

156

155

52

31

=+=+ Libre →154

1511

1515

=−

Superficie libre →

154 de 6000 = 2m1600

1546000

=⋅

Quedan 1600 m2 sin sembrar

Multiplicación y división de fracciones Problema5. Producto

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 203 de litro. ¿Cuántos litros se necesitan para

llenar 30 frascos? Solución:

litros54214

21

28

29

2090

2030330

203 .=+=+===

⋅=⋅

Para llenar 30 frascos, se necesitan cuatro litros y medio de perfume

Problema 6. Cociente

Con un bidón que contiene 2

15 litros de perfume, se han llenado 30 frascos iguales. ¿Cuál

es la capacidad de un frasco?


Solución: Capacidad de un frasco →

215 :30 = litro

41

6015

30215

==⋅

= 0.25 litros

La capacidad de un frasco es de 0,25 litros

Problema 7. Cociente

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 203 de litro. ¿Cuántos frascos se llenan con

un bidón que contiene siete litros y medio? Solución: Una forma es trabajar con números decimales y fracciones:

frasos503

1503

205720357 ==

⋅=

.:.

Otra forma, sería expresar el número decimal en forma de fracción:

215

21

214

21757medioylitrosSiete =+=+=→ .

cosFras506

3006

2015203:

215

==⋅

=

Pueden llenarse 50 frascos

Fracción de otra fracción Problema 8. Cálculo de la fracción

De un depósito de riego que estaba lleno, se han extraído, por la mañana,

32 de su contenido y, por la tarde,

53 de lo que

quedaba. ¿Qué fracción de depósito queda al final del día? Solución:

Al final del día quedan 152 del depósito


1. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.

Al utilizar las potencias ten en cuenta que:

Cualquier número puede expresarse mediante una potencia de exponente 1. Por ejemplo: 51= 5, 71= 7, ... Para efectuar una potencia debes multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. No confundas an con a·n. Por ejemplo: 4554 ⋅≠ 54= 5 · 5 · 5 · 5 = 625 que es distinto de 5·4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.

Ejemplo 1.

Expresar en forma de potencia:

3 · 3 · 3 · 3 = 34 ; 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 ; (-5) · (-5) · (-5) = (-5)3

Ejemplo 2.

Calcular:

53= 5 · 5 · 5 = 125 104= 10 · 10 · 10 · 10 = 10000

POTENCIAS


Ejemplo 3.

(+4)2 = (+4) · (+4) = +16

(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81

(–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

En las sucesivas potencias de un número negativo obtenemos, alternativamente, resultados positivos y negativos: (–3)1 = –3 (–3)2 = +9 (–3)3 = –27 (–3)4 = +81 Al elevar un número negativo a una potencia:

• Si el exponente es par, el resultado es positivo. (a es un número positivo)

• Si el exponente es impar, el resultado es negativo. (a es un número positivo)

positivoa)( (par)n →− egativona)( (impar) n →−

Ten cuidado con las potencias y el signo de la base. (-3)2

La base es -3, el exponente es 2 y debajo de él hay un paréntesis que encierra la base -3. (-3)2 = (-3)·(-3) = 9

-32

No es una potencia, se trata de una operación combinada, un producto y una potencia. La potencia es 32, luego la base es 3 y el exponente es 2.

-32 = (-1)·32 = (-1)·9 = -9

También podemos decir que -32 es el opuesto de 32, como 32 = 9 su opuesto es -9, luego-32 = -9

Ejemplo 4.

(-5)2 = 25 -52 = -25 (-2)3 = - 8 -23 = -8 (-3)4 = 81

-34 = -81

Cuando la base de una potencia queramos que sea negativa debe ir entre paréntesis.


1.1. Propiedades de las potencias ■Potencia de exponente cero: a0 = 1

Ejemplo 5.

50=1 150=1 (- 2)0=1 (- 7)0=1

Ejemplo 6.

- 20 = -1 - 70 = -1 - 50 = -1

¿Por qué no es 1? Porque se trata de un operación combinada, un producto y una potencia.

- 20 = (-1)·20= (-1)·1 = -1 - 70 = (-1)·70 = (-1)·1 = -1

- 50 = (-1)·50 = (-1)·1 = -1

■ Potencia de un producto: ( ) nnn baba ⋅=⋅

Ejemplo 7.

(2 · 3)3 = 23 · 33 = 8 · 27 = 216

(3 · 7)2 = 32 · 72 = 9 · 49 = 441

Ejemplo 8.

Calcular, por el camino más sencillo, 56 · 26.

56 · 26 = (5 · 2)6 = 106= 1000000

■ Potencia de un cociente: ( ) n

nnnnn

ba

bab:ab:a =

⇔=

Ejemplo 9.

203 :43= (20 : 4)3 = 53 = 125 1255420

420 3

3

3

3

==

=⇔

1.2. Operaciones con potencias ■Producto de potencias de la misma base mnmn aaa +=⋅ Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 30 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores. Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: a3 · a2 = a3 + 2 = a5

Ejemplo 10.

Reduce a una sola potencia: 127575 2222 ==⋅ + ; ( ) 4444 33:93:9 ==

■Cociente de potencias de la misma base mnm

nmnmn a

aaaa:a −− =⇔=

Al dividir dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.

57: 53 = 455555555

5555555=⋅⋅⋅=

/⋅/⋅/⋅⋅⋅⋅/⋅/⋅/

Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes. Por ejemplo: a8 : a6 = a8 – 6 = a2

Ejemplo 11. 63939 555:5 == −

■Potencia de otra potencia ( ) mnmn aa ⋅= Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base. (54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512

Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión inicial. Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo: (a2)4 = a2 · 4 = a8

Ejemplo 12.

( )[ ] ( )1234 22 −=−

Ejemplo 13.

a) ( ) ( ) ( ) 21012101252485248 555:55:55:55 ====⋅ −⋅+


b) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 144121212:1243:1243:12 2575757557 =−=−=−−=⋅−−=⋅−− −

2. POTENCIAS DE BASE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Ya has observado que el tamaño de un número con muchos ceros se percibe mejor si se expresa con una potencia de base 10: 100 000 000 000 000 = 1014

Ahora vamos a aprovechar este recurso para facilitar la expresión y la comprensión de números muy grandes.

Ejemplo 14.

Un año luz equivale, aproximadamente, a 9 500 000 000 000 kilómetros. Observa las transformaciones que proponemos para hacer esa cantidad más manejable:

• Descomposición en producto por la unidad seguida de ceros. 95·100 000 000 000

•Transformación del segundo factor en potencia de base 10. 95·1011

Diremos, entonces, que un año luz equivale a 95 · 1011 kilómetros. Esta cantidad es más fácil de leer, de escribir y de recordar.

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica. Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es más fácil entender con ejemplos:

Ejemplo 15.

750 = 7,50 • 100 = 7,50 •102

732,5051 =7,325051 • 100= 7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/PotenciasDe10.htm



−0,005612 = −5,612 •0,001= −5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Fíjate la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente. Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo.

Ejemplo 16.

Representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561 La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazadas indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 • 103

3. POTENCIAS DE FRACCIONES Las propiedades que has estudiado para las potencias de números enteros se conservan con los números fraccionarios. Estas propiedades se traducen en reglas de uso práctico; pero no te limites a memorizarlas, si comprendes su justificación, las usarás con mayor seguridad y eficacia. ■Potencia de una fracción La potencia de un número fraccionario se calcula de la misma forma que la potencia de un entero.

4

44

32

33332222

32

32

32

32

32

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅=

nn

ba

ba

≠


Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.

Ejemplo 17.

( )259

53

53

2

22=

−=

−

Observa que para que la base de una potencia sea una fracción ésta tiene que ir entre paréntesis.

Ejemplo 18.

■Potencia de un producto de fracciones La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

Ejemplo 19.

1621530

35

56

35

56 4

4444==

=

⋅=

⋅

■Potencia de un cociente de fracciones La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

Ejemplo 20.

81

21

3015

35

65

35

65 33333

=

=

=

=

::

■Producto de potencias de la misma base

≠ 62516

52

52

4

44

==

516

52222

524

=⋅⋅⋅

=

nnn

dc

ba

dc

ba

⋅

=

⋅

mnmn

ba

ba

ba +

=

⋅

nnn

dc

ba

dc

ba

=

::


Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.

Ejemplo 21.

641

21

21

21

21 63333

=

=

=

⋅

+

■Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias de la misma base, se restan los exponentes.

Ejemplo 22.

21

21

21

21

21 13434

=

=

=

−

:

■Potencias de exponente cero (a0)

El cociente de dos números iguales es igual a la unidad. 133

5

5=

Para dividir dos potencias de igual base, restamos los exponentes. 0555

533

33

== −

Entonces 130 = Y de la misma forma:

1ba

ba

ba

ba

1ba

ba

0

055

55

=

=

=

:

:

La potencia de exponente cero vale siempre uno (para cualquier base distinta de 0).

Ejemplo 23.

( )

51

57

1531

321615

0

0000

=

=

−=

=−=

!Cuidado¡

mnmn

ba

ba

ba −

=

:


■Potencia de otra potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.

Ejemplo 24.

72964

32

32

32 63232

=

=

=

⋅

4. RAÍCES CUADRADAS. CUADRADOS PERFECTOS Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.

baab2 ±=⇔=

Ejemplo 25.

15es225decuadradaraízLa)(

±

±=⇔

=−

=• 15225

22515

225152

2

mnmn

ba

ba ⋅

=

4es16decuadradaraízLa)(

±

±=⇔

=−

=• 416

164

1642

2


Si observas la definición de raíz cuadrada quizá te hayas dado cuenta que no existe la raíz cuadrada de números negativo. Si a 25 =− entonces el número a debería de cumplir que

a2 = - 25 Lo cual es imposible, porque al elevar un número a dos se obtiene otro número siempre positivo.

existe noa 0, a Si <

4.1. Raíces exactas Los números cuya raíz es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, son cuadrados perfectos 25, 100 ó 400.

4002010010255

4002010010255

0240010100525

222

222

−=−−=−−=−

===

±=±=±=

)()()(

4.2. Raíces enteras Para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras. Busquemos, por ejemplo, la raíz de 34:

634534366

342552

2<<→

>=

<= La raíz cuadrada de 34 está comprendida entre 5 y 6.

Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.

534 ≈ La raíz entera de 34 es 5.

Ejemplo 26.

17es289decuadradaraízLa289)17(

2891717289

2

2

±

→

=−

=→±=


60es3600decuadradaraízLa3600)60(

360060603600

2

2

±

→

=−

=→±=

Lo más habitual es que no nos sepamos los cuadrados perfectos. ¿Cómo podemos calcular sus raíces? Factorizando el número como puedes ver en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 27.

( ) 21737373441

339222

2

±=⋅±=⋅=⋅=

±==

( ) 15535353

2025)25(25400222

22242

±=⋅±=⋅=⋅

±=⋅±=⋅=⋅=

Ejemplo 28.

Teniendo en cuenta los datos del cuadro, calcular 158014441440 y,

enteraRaíz391580exactaRaíz381444enteraRaíz371440

→±≈

→±=

→±≈

160040

152139

144438

136937

2

2

2

2

=

=

=

=


1. LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor desconocido o indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras y se operan con las mismas leyes y propiedades que en las expresiones numéricas. Veamos algunos casos.

1.1. Representar números en clave

1.2. Expresar y operar números desconocidos Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos, operar con él y relacionarlo con otros números.

• Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a las operaciones y sus propiedades. • La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de las expresiones con letras y números se denomina álgebra.

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para representar cantidades generalmente utilizamos números. Sin embargo, hay ocasiones en que también podemos emplear letras. Una expresión algebraica es una combinación de números

ALGEBRA


y letras unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas. Estas letras reciben el nombre de incógnitas o indeterminadas. Este curso es una iniciación al algebra, las expresiones algebraicas con las que trabajaremos solo tendrán una indeterminada y de exponente uno.

Ejemplo 1.

Laura tiene tres hermanos: Pedro es dos años menor que ella; Ana es tres años mayor que ella, y Fermín, que le dobla la edad.

Para escribir una expresión algebraica, debemos tener en cuenta las siguientes normas:

Para leer una expresión algebraica podemos nombrar las letras y los signos en el orden en el que aparecen o construir una pequeña frase que la defina.

Ejemplo 2.

Di un número que al multiplicarlo por 2 y después sumarle 5 dé como resultado 15.

1. Un número → x


2. Multiplicarlo por 2 → 2·x

3. Sumarle 5 → 2·x + 5

4. Da como resultado 15 → 2·x + 5 = 15

Ejemplo 3.

■ El doble de un número menos su triple → 2x - 3x

■ Un número menos su cuarta parte → 4xx −

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que se obtiene al sustituir las letras por números y calcular la operación resultante. El valor numérico de 3xy + 4x para x = 2 e y = 5 es 38, ya que: 3·2·5 + 4·2 = 30 + 8 = 38 La expresión algebraica más sencilla es el monomio.

2.1. Monomios Un monomio es una expresión algebraica que únicamente contiene el producto de un número por una o varias indeterminadas.

Ejemplo 4.

Son monomios: 3x, 2, -b, 5xy2

No son monomios; x+3, x+y, 2x-5 Los elementos que caracterizan los monomios son:

Coeficiente: número incluido el signo del monomio Parte literal: producto de letras (indeterminadas o

incógnitas) junto con su exponente Grado: suma de los exponentes de cada una de las letras

de la parte literal

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo 5.

Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios:

a)

++ )231(6:Gradozab :literal Parte

8:eCoeficient

z8ab 2323


b)

−

3:Gradox:lliteraParte

1:eCoeficient

x- 33

c)

1:Gradox:literalParte1:eCoeficient

x

d) )1xcuerda(Re0:Grado

x:literalParte

7:eCoeficient

7 00 =

Este curso es una iniciación al algebra, solo trabajaremos con monomios de grado 1 o 0.

2.2. Operaciones con monomios Suma y resta de monomios semejantes: Se suman o restan sus coeficientes,

manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 6.

a) x4x +7 = x4)(7 + = x11 b) a7 – a4 = a4)-(7 = 3a

Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho número,

manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 7.

x3(-4) ⋅ = x3)((-4) ⋅ = x12-

Ejemplo 8.

Opera y simplifica:

a) x5x)4123(x4x12x3 −=+−=+− b) 3x874x)53(74x5x37x54x3 −=−++=−++=−++ c) axa)32(xa3a2x +=+−+=+− (Estos monomios no son semejantes y no se

pueden sumar) d) 5x65x32 −=−⋅


3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores de las letras.

Ejemplo 9.

2x + 2 = 6 + x

Esta igualdad entre dos expresiones algebraicas puede ser verdadera o falsa, según el valor numérico que se le asigne a la letra x.

Si sustituimos la x por 4 en la expresión anterior,

2∙4 + 2 = 6 + 4 10 = 10

Se obtiene una igualdad entre expresiones numéricas, que es cierta. Pero si sustituyéramos x por 7,

2∙7 + 2 = 6 + 7 16 = 13

La igualdad obtenida es falsa.

3.1. Significado y utilidad. Una ecuación expresa, en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades cuyo valor, de momento, no conocemos. Esas cantidades se representan con letras.

Ejemplo 10.

Cinco veces la edad de Laura coincide con la que tendrá dentro de 28 años.

Las ecuaciones permiten codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas matemáticamente. Eso, como comprobarás más adelante supone una potentísima herramienta para resolver problemas.

3.2. Elementos y nomenclatura Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad.


Ejemplo 11.

Términos:Son los sumandos que forman los miembros.

Ejemplo 12.

La ecuación anterior tiene cuatro términos. Los términos del miembro de la izquierda son 2x y -4, y los términos del miembro de la derecha son x y 3.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación. También puede referirse a las incógnitas como indeterminadas.

Ejemplo 13.

2x – 4 = x + 3 → Ecuación con una incógnita, x.

5x + 3y = y – 3 → Ecuación con dos incógnitas, x e y. Soluciones o raíces de una ecuación: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Cada solución de una ecuación está formada por tantos números como letras tenga. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.

3.3. Reglas de equivalencia. ■ Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente a la dada:

Ejemplo 14. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 44 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Ejemplo 15.

■ Si se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero a los dos miembros de la ecuación, es decir, a todos los términos de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada:

Ejemplo 16.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, debes despejar esta última, dejarla sola, aplicando las reglas de equivalencia. Fíjate en estos ejemplos:

En la resolución de una ecuación de primer grado conviene seguir un orden para facilitar la tarea y no cometer errores:


a) Trasponer todos los términos que tienen incógnita a uno de los miembros (se suelen llevar a la izquierda).

b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro (se suelen llevar a la derecha).

c) Reducir términos semejantes en los dos miembros. d) Despejar la incógnita. e) Comprobar la solución.

Ejemplo 17.

Resolver la ecuación: 64x5 =−

a) Trasponer los términos que no tienen incógnita al miembro de la derecha 46x5 +=

b) Reducir términos semejantes en los dos miembros. 10x5 =

c) Despejar la incógnita.

25

10x ==

d) Comprobar la solución. Sustituimos x por 2 en la ecuación inicial 66641064)2(5 =⇔=−⇔=−

Luego x=2 es la solución de la ecuación.

Ejemplo 18.

Resolver la ecuación: 2x – 4 = 3x

a) Trasponer los términos que tienen incógnita 0x34x2 =−−

b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro 4x3x2 =−

c) Reducir términos semejantes en los dos miembros. 4x =−

d) Despejar la incógnita.

41

4x −=−

=

e) Comprobar la solución. Sustituimos x por - 4 en la ecuación inicial 12121248)4(34)4(2 −=−⇔−=−−⇔−=−−

Luego x= - 4 es la solución de la ecuación.


Ejemplo 19.

Resolver la ecuación: 5x -3 + 2x + 4 = 5x + 5 - 2

a) Trasponer los términos que tienen incógnita 25x54x23x5 −=−++−

b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro 3425x5x2x5 +−−=−+

c) Reducir términos semejantes en los dos miembros. 2x2 =

d) Despejar la incógnita.

122x ==

e) Comprobar la solución. Sustituimos x por 1 en la ecuación inicial 88255423525)1(54)1(23)1(5 =⇔−+=++−⇔−+=++−

Luego x=1 es la solución de la ecuación.


1. RAZÓN. PROPORCIÓN NUMÉRICA

La razón de los números a y b es la fracción ba (o su irreducible)

Una proporción numérica es una igualdad entre dos razones numéricas. En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

cbdadc

ba

⋅=⋅⇔=

a y d se llaman extremos, b y c medios.

Una proporción se lee así: →=dc

ba a es a b como c es a d.

Para calcular el término desconocido en una proporción dc

ba

= , se aplica la propiedad de las

fracciones equivalentes.

Ejemplo 1.

Calcula el término desconocido de la proporción 1510

x4

=

61060xx1060x10154

1510

x4

==⇒=⇒⋅=⋅⇒= . El término desconocido es x = 6.

2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Magnitud es todo aquello que se puede cuantificar, expresar mediante un número, medir. Magnitudes directamente proporcionales. Si se multiplica (o divide) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.

MAGNITUD A a 2a 3a ........ ka

MAGNITUD B b 2b 3b ......... kb

Ejemplo 2.

Si 1 kilogramo de manzanas vale 1,80 euros, ¿cuál será el precio de la compra según el peso.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA


Si a un valor 1m de la primera magnitud le corresponde un valor 2m de la segunda magnitud, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante. A esta cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa.

21

mmr:lidadproprcionadeRazón =

En el ejemplo anterior

40,53

60.32

80,11r ===

Comprueba que en el ejemplo 2 se cumple también:

20,760,3

32,

40,580,1

31,

60,380,1

21

===

Es decir que si comparamos dos valores de la misma magnitud con los dos que le corresponden de la segunda magnitud, los cocientes valen lo mismo. Pero este cociente no es la razón de proporcionalidad.

2.1. Regla de tres directa Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad directa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la razón o constante de proporcionalidad directa para calcular el cuarto término.

Ejemplo 3.

Si 8 kilos de manzanas valen 10,40 euros, ¿cuánto costarán 13 kilos?

Entre los kilos y los euros existe una relación de proporcionalidad directa ya que si compramos el doble de kilos hay que pagar el doble de dinero

90,168

1340,10x13x

840,10

=⋅

=⇒=

Solución: 16,90 euros cuestan 13 kg

Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por el valor de la primera magnitud se obtiene el mismo cociente.


Observa que la proporción anterior también se puede escribir

€90,168

1340,10x1340,10x8x40,10

138

=⋅

=⇒⋅=⋅⇒=

Obteniéndose el mismo resultado. Esta última forma es la que más se suele utilizar.

Si nos pidiesen la razón de proporcionalidad sería 3,1840,10

mmr

12 ===

2.2. Repartos directamente proporcionales. Se va a repartir una cantidad determinada en varias partes con unas condiciones determinadas. Cada una de las partes debe recibir una cantidad directamente proporcional a unos valores iniciales. A mayor valor inicial de una parte le corresponderá mayor cantidad en el reparto.

1. En primer lugar hay que sumar los valores iniciales de cada una de las partes. 2. A dicha suma le corresponde la cantidad a repartir, y mediante una regla de tres directa se

va calculando lo que corresponde a cada una de las partes.

Ejemplo 4.

Dos amigos juntan 1,20 € y 1,80€ que tenían para comprar un paquete de pegatinas de una serie de dibujos animados. El paquete contiene 120 pegatinas. ¿Cómo deben repartirse de forma justa?

Con 1,20 + 1,80 = 3 € se han comprado las 120 pegatinas.

Está claro que el que más ha pagado más pegatinas debe llevarse.

Escribimos la proporción:

==⇒=⋅⇒

⋅=⋅⇒=

483

144x144x3

20,1120x3x

12020,13

48 pegatinas se lleva el que puso 1,20€.

Calculamos los que lleva el que invirtió 1,80 €


Escribimos la proporción:

==⇒=⋅

⇒⋅=⋅⇒=

723

216x216x3

80,1120x3x

12080,13

72 pegatinas se lleva el que puso 1,80€.

Comprobamos además que 72 + 48=120.

En lugar de hacer esta segunda regla de tres, podríamos haber hecho la resta

120 – 48 =72, para calcular el segundo dato.

3. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Si a un valor 1m de la primera magnitud le corresponde un valor 2m de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. A este producto se le llama constante o razón de proporcionalidad inversa.

21 mmr:lidadproprcionadeRazón ⋅=

Ejemplo 5.

Una alumna compra un regalo de 72 euros para una compañera de la clase. ¿Cuánto tendrán que pagar según el número de compañeros que participen?

MAGNITUD A a 2a 3a ........ ka

MAGNITUD B b 2b

3b .........

kb

Al multiplicar los valores correspondientes a las dos magnitudes se obtiene el mismo producto.


Comprueba que también que en el ejemplo 5 se cumple:

3624

32,

7224

31,

7236

21

===

Es decir, que si comparamos dos valores de la primera magnitud con los dos que le corresponden de la segunda magnitud invirtiendo el orden, los cocientes valen lo mismo.

Si nos pidiesen la razón de proporcionalidad sería

725,412243362721mmr 21 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=

3.1. Regla de tres inversa Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad inversa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular el cuarto término.

Ejemplo 6.

18 alumnos han pagado 6 euros cada uno para comprar un regalo a una compañera, ¿cuánto tendrá que pagar cada uno si al final participan 24 alumnos?

Entre el número de personas y lo que tienen que pagar existe un relación de proporcionalidad inversa. Si se duplica el número de alumnos que van a participar en la compra del regalo, cada uno pondrá la mitad de dinero.

50,424

618xx24618 =⋅

=⇒⋅=⋅

Solución: 4,50 euros tienen que poner cada uno de las 24 personas

Observa que también podríamos calcular x, con la siguiente proporción

4. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Llamamos de proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones en las que intervienen más de dos magnitudes ligadas por la relación de proporcionalidad. Pasos a seguir para la resolución:

1. Iniciamos el planteamiento del problema colocando las magnitudes con sus unidades, de igual manera que en la regla de tres simple. Las cantidades que pertenecen a la misma magnitud hay que ponerlas con las mismas unidades.


2. Colocar los datos y la incógnita. Para facilitar el proceso conviene colocar en último lugar la magnitud que lleva la incógnita

3. Determinar la relación de proporcionalidad entre cada una de las magnitudes, dos a dos. 4. Formar la proporción, teniendo en cuenta la razón inversa o directa. La razón que contiene la

incógnita se deja aislada a un lado de la igualdad. Al otro lado del igual se coloca el resto de las razones multiplicadas entre sí.

5. Se opera el producto de las fracciones hasta reducirla a una sola. 6. Se despeja la incógnita.

Ejemplo 7.

Un granjero ha necesitado 294 kilos de pienso para alimentar a 15 vacas durante una semana. ¿Cuántos kilos de pienso se necesitarán para alimentar a 10 vacas durante 30 días?

840105

300294x300294x105x

294300105

x294

307

1015

=⋅

=⇒⋅=⋅⇒=⇒=⋅

Para alimentar a 10 vacas durante 30 días, el granjero necesita 840 kilos de pienso.

Ejemplo 8.

Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas diarias, construye 400 metros cuadrados de pared en 15 días. ¿Cuánto tardaría la misma cuadrilla en construir 600 metros cuadrados de pared, si deciden trabajar 10 horas al día?

Observa que la magnitud HORAS/DÍA es inversamente proporcional a la magnitud DÍAS.


Por eso, al formar la proporción, en lugar de la razón 108 tomamos su inversa ,

810 .

184000

480015x480015x4000x

1548004000

x15

810

600400

=⋅

=⇒⋅=⋅⇒=⇒=⋅

Para construir 600 m2de pared, trabajando 10 horas diarias, necesitan 18 días.

Ejemplo 9.

El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado 2600 €. ¿Cuánto costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la distancia de 220 km?

€1320x150650

2252202600xx

2600220650

225150

=⇒⋅

⋅⋅=⇒=⋅

Se necesitarán 1320€ para transportar 225 toneladas a una distancia de 220 km.

Ejemplo 10.

¿Cuánto tiempo empleará una persona en recorrer 750 km andando 8 horas diarias, sabiendo que en 15 días ha recorrido 400 km, andando 9 horas diarias?

días640625´31x8400159750x

x15

98

750400

=⇒⋅⋅⋅

=⇒=⋅


Expresamos 640625´31 días en días, horas, minutos y segundos.

Se estima que dicha persona empleará 31 días, 15 horas, 22 minutos y 30 segundos.

Ejemplo 11.

Ocho albañiles, en 15 días, trabajando 9 horas cada día, han levantado una pared. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles, para hacer lo mismo en 10 días?

día/horas6´21x105

9158xx9

1510

85

=⇒⋅

⋅⋅=⇒=⋅

Deberían haber trabajado 21 horas y 36 minutos al día.

5. PORCENTAJES Un porcentaje se puede contemplar como una proporción, como una fracción o como un número decimal.

5.1. Proporción Para calcular el a% de una cantidad C, podemos utilizar una regla de tres simple,

segundos30600´522minutosminutos22´5600´375

horas15horas15´375246406250´días31días´64062531

=⋅→=⋅

→=⋅→

minutos366060´horas21horas21´6

=⋅→


Ejemplo 12.

El 30% de los jóvenes chatea a través de Internet ¿Cuántos chatearán en un grupo de 250 jóvenes?

Se trata de una proporción directa, si hubiera el doble número de jóvenes se duplicaría el número de los que chatean.

5.2. Fracción Un porcentaje se puede calcular como la fracción de una cantidad. El a%, quiere decir que de cada 100 tomamos apartes.

100CaCde

100aCde%a ⋅

==

Ejemplo 13.


75100

2503025010030250 de 30% =

⋅=⋅=

Obteniéndose el mismo resultado que antes.

5.3. Decimal Para calcular un porcentaje, se multiplica por el tanto por ciento expresado en forma decimal.

Ejemplo 14.


7525030,030,010030%30 =⋅=→ jóvenes chatean por Internet.

El resultado es el mismo.

Cuando resuelvas un problema de porcentajes recuerda:

• Al calcular a% de una cantidad C se obtiene otra cantidad P

TOTAL PARTE 100 30 250 x

75100

30250x30250x100x

30250100

=⋅

=⇒⋅=⋅⇒=

En un grupo de 250 jóvenes, hay 75 que chatean en internet


Cuando en la última fórmula desconocemos algún dato, a, C ó P, basta con pasar dividiendo dicha letra al otro lado de la igualdad.

CP100a

aP100C

100aCP ⋅

=⋅

=⋅

=

• Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el (100 + a)% de dicha cantidad. Se obtiene la cantidad con el aumento, no el aumento.

• Disminuir una cantidad en un a% equivale a calcular el (100 - a)% de dicha cantidad. Se obtiene la cantidad con el descuento hecho, no el descuento.

• Cuando a una cantidad C se le aplica un porcentaje, b%, a la cantidad resultante se aplica un nuevo porcentaje, d%; a la cantidad resultante se aplica un nuevo porcentaje e%, basta con multiplicar todos porcentajes que se aplican para calcular la cantidad final

C100

e100

d100

b⋅⋅⋅

Ejemplo 15.

Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún defecto y se desechan. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabrica la máquina?

TOTAL PARTE 100 a 450 18

⇒=⋅

= 4450

18100a El 4% de las piezas fabricadas son defectuosas.

Ejemplo 16.

El 34% de las personas asistentes a un congreso son españoles. Sabiendo que hay 85 españoles, ¿cuántas personas asisten al congreso?

TOTAL PARTE 100 34 C 85

a% de C = P ⇓

TOTAL PARTE 100 a C P

⇓

aCP100Pa

C100

⋅=⋅⇒=


⇒=⋅

=⇒= 25034

85100C8534

C100 Al congreso asistieron 250 personas.

Ejemplo 17.

Al subir el precio de una bicicleta un 20%, el precio final es ahora de 360 euros. ¿Cuál era el precio inicial?

Los 360 € es lo que pagamos con el aumento ya incluido, es decir, corresponde al 100%+20%=120%


⇒=⋅

=⇒= 300120

360100C360120

C100 El precio inicial de la bicicleta era de 300€

Ejemplo 18.

Después de rebajar el precio de un ordenador un 2%, me ha costado 1196 euros. ¿Cuál era su precio inicial? Los 1196€ es lo que pagamos por el ordenador con el descuento ya hecho, el porcentaje que realmente pagamos es 100%-2%=98%


⇒=⋅

= 1300981196100C El precio inicial del ordenador era de 1300€

Ejemplo 19.

Un juguete vale en una juguetería 40 euros. Durante las fiestas navideñas sube un 22% y una vez que éstas han pasado, baja un 9%. Calcular su precio final.

Al subir el 22% yo pago el 122%. Si luego nos descuentan el 9% pagamos el 91%. El primer aumento se aplica al precio inicial del juguete, el segundo a la cantidad resultante después de la primera variación.

€41,44100100

911224010091

10012240 =

⋅⋅⋅

=⋅⋅ será el precio final del juguete.

6. INTERÉS SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS. Hablamos de interés simple cuando los beneficios producidos durante el tiempo que dura una inversión de dinero se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los


intereses son función únicamente del capital principal, el tipo de interés y el tiempo que dura la inversión. Ejemplo. Un plazo fijo a un año. Si al final de cada periodo de tiempo el interés se suma con el capital entonces estaríamos hablando de interés compuesto. Ejemplo. Préstamo hipotecario a 30 años. Los problemas de interés simple son un caso particular de regla de tres compuesta en la que intervienen tres magnitudes: Capital, interés y tiempo. Capital (C).- Es la cantidad de dinero que se deposita o se presta. Tiempo (t).- Es el número de años, meses o días que permanece el capital invertido. Interés (i).- Es el beneficio producido por el capital. Este beneficio es directamente proporcional al capital y al tiempo que dura la inversión. Rédito (r), tipo de interés o tasa de interés.- Es el interés que producen 100 € en un año. Se puede dar en % o en tanto por uno. En definitiva es el precio al que se presta el dinero

Ejemplo 20.

Un banco ofrece un beneficio anual del 4%. ¿Qué beneficio obtendremos si depositamos 750€ durante 3 años?

€90i1100

43750ii4

31

750100

=⇒⋅⋅⋅

=⇒=⋅

750€ colocados al 4% anual durante 3 años producen 90€.

Un capital, C, colocado al r% durante t años produce un beneficio i.


100trCirtCi100

ir

tC100

ir

t1

C100 ⋅⋅

=⇒⋅⋅=⋅⇒=⋅

⇒=⋅

De la expresión rtCi100 ⋅⋅=⋅ podemos despejar también el C, r o t, obteniéndose las siguientes fórmulas:

rCi100t

tCi100r

tri100C

⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

⋅=

Si en lugar de en años el tiempo se mide en meses las fórmulas serían:

rCi10012t

tCi10012r

tri10012C

10012trCi

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

En el caso de que el tiempo se mida en días las fórmulas serían:

rCi100360t

tCi100360r

tri100360C

100360trCi

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

El año comercial es de 360 días no de 365 días.


1. PUNTOS Y RECTAS Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C,… La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras minúsculas: r, s, t,… Un punto A de una recta la divide en dos semirrectas El trozo de recta comprendido entre dos puntos se

llama segmento

Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos.

Secantes Paralelas Coincidentes r P s

r s

r s

Tienen un solo punto en común

No tienen ningún punto en común

Tienen todos los puntos en común

2. ÁNGULOS Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones llamadas ángulos. El punto de intersección de las rectas es el vértice del ángulo, y los lados de este son las dos semirrectas que lo delimitan. Los ángulos se nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la letra, B,A , …

GEOMETRÍA


Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales, llamados rectos.

2.1. Clasificación de ángulos Recto Agudo Obtuso Llano

Menor que un ángulo recto

Mayor que un ángulo recto

Formado por dos rectos

Convexo Cóncavo

Menor que un ángulo llano Mayor que un ángulo llano

2.2. Relación entre ángulos Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios

Tienen el vértice en común, y los lados están sobre la misma recta.

Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo recto

Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo llano


2.3. Ángulos iguales Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Los ángulos ByC son suplementarios Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios

2.4. Medida de ángulos. Operaciones Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado se divide en otras unidades más pequeñas:

• Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo ‘. 1º = 60’

• Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el símbolo “. 1’ = 60”

Una medida de ángulos puede ser expresada en:

• Forma compleja: con más de una unidad.

Por ejemplo: ^A = 15º 13’ 27 “

• Forma incompleja: con una sola unidad.

Por ejemplo: ^B = 54,23º

El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir y medir ángulos.

Los ángulos son suplementarios


2.4.1. Operaciones Suma de ángulos Para sumar ángulos, sumamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si los minutos o segundos superan los 60, los transformamos en grados o minutos respectivamente.

Ejemplo 1.

Efectúa la suma 4º 25’ 45’’ + 15º 38’ 29’’

Ejemplo 2.

36º 54’ 45” + 2º 13’ 26”

36º 54’ 45” + 2º 13’ 26” 36º 54’ 45” + 2º 13’ 26” = 39º 8’ 11”

38º 67’71” 39º 8’ 11”

Resta de ángulos Para restar ángulos, restamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, empezando por los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, transformamos un minuto del minuendo en 60“, que añadimos a los que ya teníamos. Si es necesario haremos lo mismo con los grados. 38º 13’ 41” – 25º 47’ 6” = 12º 26’ 35” Multiplicación por un número natural Para multiplicar un ángulo por un número natural, multiplicamos por el número dado cada una de las unidades. Si el resultado de los segundos o los minutos es igual o superior a 60, hay que calcular a cuántas unidades superiores equivalen, para hacer la transformación. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 64 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Efectúa el siguiente producto (23º 21’ 19’’) · 4

27º 18’ 34” x 4

108º 72’ 136” 136” = 2’ 16” , 74’ = 1º 14’ 109º 14’ 16”

División por un número natural Para dividir un ángulo por un número natural: 1º Dividimos la unidad de mayor orden entre el número. 2º Multiplicamos el resto de la división por 60 para expresarlo en la unidad inmediatamente inferior y sumamos el resultado a la unidad siguiente. 3º Se repite el proceso con todas las unidades.

3. POLÍGONOS Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a que se llama poligonal. Si el origen del primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal cerrada, en caso contrario se llama línea poligonal abierta.


La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de los elementos de un polígono son:

• Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada.

• Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados • Ángulo interior: ángulo formado por dos lados • Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos

vértices no consecutivos.

3.1. Clasificación de los polígonos Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios: Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos

grandes grupos: • Convexos: todos sus ángulos interiores son

convexos. • Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo

Según el número de lados los polígonos se clasifican en:

Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en:

• Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales • Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los

polígonos regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los siguientes elementos:


Centro: punto que equidista de los vértices. Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice. Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: ángulo determinado por dos radios

consecutivos. El valor del ángulo central de un

polígono regular de n lados es n

º360 .

3.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

En los polígonos de más de tres lados, al trazar las diagonales desde uno de sus vértices queda dividido en triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores coincide con la suma de los ángulos de los triángulos en los que haya quedado dividido el polígono

Cuadrilátero Pentágono Hexágono n lados

Las diagonales trazadas desde un vértice dividen al polígono de n lados en n – 2 triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores es: 4 lados → 2 triángulos

S = 2 · 180º = 360º 5 lados → 3 triángulos

S = 3 · 180º = 540º 6 lados → 4 triángulos

S = 4 · 180º = 720º S = (n – 2) · 180º

180ºCBA =++


4. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

4.1. Clasificación de los triángulos Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos:

Según sus lados Equilátero Isósceles Escaleno

Todos los lados iguales Dos lados iguales y uno desigual

Todos los lados distintos

Según sus ángulos

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso

4.2. Clasificación de los cuadriláteros Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden clasificarse por el paralelismo y la igualdad de sus lados.

Paralelogramos 2 pares de lados paralelos

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

4 lados iguales 4 ángulos rectos

Lados paralelos iguales 4 ángulos rectos

4 lados iguales Ángulos iguales dos

a dos

Lados paralelos iguales

Ángulos iguales dos a dos

A

B

C

D


Trapecios 1 par de lados paralelos

Trapezoides Ningún lado paralelo

Isósceles Rectángulo Escaleno

Lados no paralelos iguales Dos ángulos rectos Lados y ángulos

distintos

5. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se llama círculo. Los elementos de la circunferencia son:

6. TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto y se llaman catetos. El lado mayor es el opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa. Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A

B C

D


Ejemplo 5. Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:

a)

a2 = 52 + 122 a2 = 25 + 144 a2 = 169 →a = 169 →a = 13 cm La raíz cuadrada es positiva y negativa. En estos ejercicios el valor de la raíz mide longitud, luego solo puede ser positiva

b)

102 = 82 + c2 100 = 64 + c2 100 – 64 = c2 c2 = 36 → c = 36 → c = 6 cm

Ejemplo 6.

Para sostener un poste de 1’5 m de alto, lo sujetamos con una cuerda atada a 2’6 m de la base del poste, como indica la figura. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

l2 = 1’52 + 2’62 l2 = 2’25 + 6’76 l2 = 9’01 → l = 9'01 → l = 3’002 m La cuerda mide 3’002 m

7. SEMEJANZA. Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. En figuras semejantes, los segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza r al cociente entre dos longitudes correspondientes. Una fotografía es una reproducción semejante a la realidad, si hacemos una fotocopia ampliada o reducida obtenemos figuras semejantes a la original, un mapa es una reproducción semejante a la realidad. Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados, proporcionales. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 70 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Ejemplo 7.

En una fotografía, María y Fernando miden 2’5 cm y 2’7 cm, respectivamente; en la realidad, María mide 1’67 m. Calcula la altura de Fernando

m1'80menteaproximadamideFernando

180'362'5

2'7·167FernandoderealAltura2'5167

2'7FernandoderealAltura

MaríadefotolaenAlturaMaríaderealAltura

FernandodefotolaenAlturaFernandoderealAltura

==⇒=

=

7.1. Teorema de Thales Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes determinados por las rectas paralelas sobre las secantes son proporcionales.

semejanza de razón C'A'

ACC'B'

BCB'A'

AB===

Ejemplo 8.

Halla la longitud del segmento BC de la figura

6'31

3·2'1BC3

BC12'1

==⇒=


7.2. Triángulos en posición de Thales Dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un vértice en común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes. Los triángulos ABC y AB’C’ están en posición de Thales, comparten el ángulo ,A y los lados BC y B’C’ son paralelos. Por tanto, los triángulos son semejantes: los ángulos son iguales y los lados proporcionales:

'CBCB

'ACAC

'ABAB

'CC'BBA

==

==

7.3. Criterios para determinar la semejanza de triángulos Para demostrar que dos triángulos son semejantes es suficiente comprobar que se verifica alguno de los siguientes criterios:

• 1ercriterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

• 2º criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales.

• 3ercriterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

Ejemplo 9.

Vamos a confirmar que los triángulos de cada pareja son semejantes entre sí aplicando los criterios de semejanza.

Primer criterio Segundo criterio Tercer criterio

Aquí, º59'BByº81'AA ==== Podemos deducir que:

'B'CCB

'C'AAC

'B'AABy'CC ===

Como: 0'6C'B'

BCB'A'

ABy74º'AA ====

Podemos deducir que:

6'0'C'A

ACy'CC;'BB ===

Al cumplirse que:

0`6B'C'

CBC'A'

ACB'A'

AB===

Podemos deducir que:

CC'BB'AA ===


ESCALA 1 : 100 000

Ejemplo 10.

Los siguientes triángulos se encuentran en posición de Tales. Calcula la medida del lado a.

cm34

12a12a426a4a6

24

==⇒=⇒⋅=⋅⇒=

El lado a mide 3 cm.

Ejemplo 11.

Averigua lo que mide la sombra del árbol pequeño, x, si el árbol grande mide 7,5 m y dista 8 m del pequeño.

Una forma sencilla de resolver este problema es construir un triángulo en la parte superior semejante al pequeño de la izquierda, según se muestra en la figura.

Aplicando la semejanza de triángulos

cm4520a20x5

5,28x5x8

5,25

==⇒=

⇒⋅=⋅⇒=

La sombra mide 4 cm

7.4. Escalas. Mapas, planos y maquetas Existen diferentes formas de representar la realidad mediante objetos semejantes a los reales, pero más pequeños. Con ellos podemos realizar cálculos y obtener medidas de forma más cómoda.

• Un mapa es la representación gráfica de una zona geográfica.

• Un plano es la representación gráfica de una vivienda o una ciudad.

• Una maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un coche, …


Para trasladar las medidas reales a las del mapa, plano o maqueta es necesario fijar una proporción, denominada escala. La escala es la relación que existe entre una dimensión medida sobre el plano y la misma dimensión medida sobre el terreno real.

realidad la en Distanciaciónrepresenta la en Distancia

E1

=

Es muy importante que las dimensiones en el plano y el terreno se expresen en la misma unidad de longitud al definir la escala. Normalmente la escala se suele indicar en los mapas con la notación: Escala plano : terreno, se denota 1 : E Por ejemplo, la escala 1 : 100 000 significa que a 1 cm en el plano le corresponden 100 000 cm en la realidad.

Ejemplo 12.

En un mapa cuya escala es 1 : 20 000, dos ciudades están separadas 7cm, ¿cuál es la distancia real entre las dos ciudades?

km 1'4 cm 000 140 000 20 · 7 real distanciareal distancia

7000201

====

La distancia entre las dos ciudades es de 1’4 km

Ejemplo 13.

En el mapa de una zona montañosa se indica que la escala es 1 : 50 000. Calcula la distancia que separa dos refugios en el mapa si en la realidad están a 1’75 km

cm3'5000 50000 75 1 mapa el en distancia

000 75 1mapa el en distancia

000501

===

La distancia en el mapa de los dos refugios será de 3’5 cm.

8. PERÍMETROS Y ÁREAS El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma representa una medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos. El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades utilizadas para medirla son el m2 (metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 74 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Polígono Perímetro (P) Área (S)

Triángulo

P = a + b + c 2hbS ⋅

=

Cuadrado

P = 4∙L S = L2

Rectángulo

P = 2∙(a+b) S = a∙b

Romboide

P = 2∙(b+c) S = b∙h

Rombo

P = 4∙L 2

dDS ⋅=

Trapecio

P = B + b + 2·L ( ) h

2bBS ⋅

+=

Polígono regular

de n lados

P= n·L 2apPS ⋅

=


L

ba

h c

b

h c

b

a

dD

L

Bh

bL

ap

L

Figuras circulares Longitud (L) Área (S)

Circunferencia y círculo

L = 2πr S = πr2

Arco y sector

L = 360º

rnº2π 360º

nºπrS2

=

Segmento circular

L = Longitud del arco + Longitud

de la cuerda

S = Área del sector- Área del triángulo

Corona circular

L = Long.

cir.exterior + Long. cir. interior

S = π(R2− r2)

Ejemplo 14.

Hallar el área de un romboide que mide 5 cm. de base y 2 cm. de alto.

S = b ∙ h b = 5 cm. h = 2 cm. S = 5 ∙ 2 → A =10 cm2El área es 10 cm2

Ejemplo 15.

Hallar el área del siguiente romboide.

S = b ∙ h b = 3 + 5 = 8 cm h = ? Por Pitágoras se calcula la altura h. 52=32 + h2⇒25 = 9 +h2⇒h2 =25 - 9 h2 =16⇒h= 416 = ⇒ La altura h = 4 cm

h


r

nºr

r

R

r

S = 8 ∙ 4 = 32 cm2El área es 32 cm2

Ejemplo 16.

Hallar el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 12 cm y la diagonal menor 7 cm.

2dDS ⋅

= D = 12 cm d = 7cm

2cm422

712S =⋅

= El área es 42 cm2

Ejemplo 17.

Hallar el área de un hexágono regular de lado 6 cm.

P= 6 ∙ 6 = 36 cm ap= ?

No conocemos la apotema. Se halla por Pitágoras. 62 = 32 + ap2⇒ 36 = 9 + ap2⇒ap2 =36 - 9 ap2 = 27 ⇒ap= cm19,527 = ⇒ap =5,19 cm

2cm6,932

19,563S =⋅

=

El área es 93,6 cm2


1. EJES CARTESIANOS. COORDENADAS EN EL PLANO. Un sistema de referencia cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares, llamados ejes de coordenadas, que dividen el plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

• El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

• El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

• El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

El eje X puede tomar valores muy pequeños ∞− , o valores muy grandes ∞+ . Los valores negativos están a la izquierda del punto O y los positivos a la derecha de dicho punto. El eje Y puede tomar valores muy pequeños ∞− , o valores muy grandes ∞+ . Los valores negativos están debajo del punto O y los positivos encima de dicho punto. Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y). La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto. El origen de coordenadas es el punto O(0, 0).

1.1. Representación gráfica de puntos Como hemos dicho antes los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. En el siguiente gráfico se observa cómo se nombran los cuadrantes, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y el signo de las coordenadas de un punto dependiendo del cuadrante en el que esté.

FUNCIONES


Ejemplo 1.

Observa los puntos que aparecen en la ilustración y escribe sus coordenadas.

Solución: Las coordenadas de los puntos son:

A(-2, 3) D(1, -4)

B(-2, 0) E(3, 2)

C(-3, -2) F(0, 1)

Ejemplo 2.

Indica en que cuadrante se encuentra los siguientes puntos y luego represéntalos:

P(-1, 4), Q(-4, -2), R(2, 5) y S(5, -3)

El punto P se halla en el segundo cuadrante ya que su abscisa es negativa, -1, y su ordenada es positiva, 4.

El punto Q se halla en el tercer cuadrante ya que su abscisa es negativa, -4, y su ordenada es negativa, -2.

El punto R se halla en el primer cuadrante ya que su abscisa es positiva, 2, y su ordenada es positiva, 4.

El punto S se halla en el cuarto cuadrante ya que su abscisa es positiva, 5, y su ordenada es negativa, 4.

2. FUNCIÓN Una función es una relación que asocia a cada valor de una magnitud(o conjunto inicial) un único valor de la otra magnitud (o conjunto final). A estas magnitudes se llaman variables. La primera magnitud, x, es la variable independiente, y la segunda, y, es la variable dependiente (es la que se deduce de la variable independiente). Las funciones sirven para expresar relaciones matemáticas, para describir fenómenos económicos, físicos, biológicos, sociológicos y también para predecir qué sucede con esos fenómenos si cambian las condiciones.


Ejemplo 3.

La relación que a cada número natural le hace corresponder su siguiente, ¿es función?

Esta relación es una función porque a cada valor del conjunto inicial, un número natural, se le asocia un único valor del conjunto final, el siguiente número. Cada número solo tiene un siguiente.

Esta relación también la podemos escribir como pares de valores ordenadores:

(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); ….

donde el primer número de cada pareja pertenece a la magnitud inicial (variable independiente, x) y el segundo número es el que le corresponde por la función (variable dependiente, y). Si representamos estos pares de valores en unos ejes de coordenadas obtenemos la representación gráfica de la función.

Ejemplo 4.

La relación que a cada día del mes de agosto del 2011 le hace corresponder la temperatura mínima y la máxima registrada en la ciudad de Logroño, ¿es función?

Esta relación no es una función porque la temperatura mínima y máxima no coinciden. Por ejemplo, el 10 de agosto, la mínima fue de 12º y la máxima de 26º.

A continuación desarrollaremos tres formas en las que se puede expresar la relación entre dos magnitudes y como distinguir si esa relación es una función:

• Relación dada por una tabla. • Relación dada por una gráfica. • Relación dada por una fórmula.

2.1. Relaciones dadas por tablas

Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones. Cuando una tabla corresponda a una función, consideraremos la primera magnitud que aparece como la variable independiente, x, y la segunda como la variable dependiente, y, salvo que en el enunciado nos indiquen otra cosa. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 80 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Para que una tabla represente una función, debe cumplirse que todos los datos de la primera fila sean distintos

Ejemplo 5.

Doña Francisca, la churrera del barrio, cobra 0,30 € por cada churro. Para no tener que andar haciendo cuentas ha elaborado esta tabla:

Fíjate que a cada cantidad de churros le corresponde un único precio, por lo que esta relación es una función. El precio de los churros depende del número de churros comprados o es función del número de churros.

Ejemplo 6.

En esta tabla se asocia a cada valor de la primera fila su correspondiente valor de la segunda. ¿Es esta relación una función?

Esta tabla no representa una función ya que x = 1 (aparece dos veces) tiene dos imágenes 1 y -1. Esta relación también asocia a x = 4 dos valores 2 y -2.

2.2. Relaciones dadas por gráficas Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos magnitudes. Cuando un gráfico corresponda a una función consideraremos la variable independiente la que se indica en el eje de abscisa y la dependiente la que se especifica en el eje de ordenadas. Cuando los valores que toma una de las magnitudes de la tabla son demasiado grandes, para representar sus puntos sobre los ejes se hace de esta forma: Esto significa que en el eje Y, por debajo de 40, hay una parte de eje de la que hemos prescindido, se llama romper el eje.

Ejemplo 7.

Una ciudad dispone de un aparato que registra constantemente la temperatura ambiental, en forma de gráfica.


En el eje X se ha colocado el tiempo (variable independiente) medido en horas y en el eje Y se mide la temperatura (variable dependiente) en grados centígrados. A cada hora del día le corresponde una determinada temperatura. La temperatura depende de la hora del día. La temperatura es función de la hora del día.

Ejemplo 8.

¿Cuáles de las gráficas siguientes corresponden a una función?:

La gráfica a) no corresponde a la gráfica de una función ya que hay valores de x que tiene más de una imagen. Como se muestra en este dibujo al trazar una línea perpendicular al eje X, se observa que corta varias veces a la gráfica (puntos A, B y C). Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa, pero distintas ordenada, distintas imágenes.

La gráfica b) si corresponde a una función porque a cada valor de x sólo le corresponde un valor de y. Si trazáramos líneas verticales sólo cortarían una vez a la gráfica.

2.3. Relaciones dadas por fórmulas En ocasiones podemos escribir la relación entre dos magnitudes mediante una expresión algebraica

y = f (x) Cuando mediante esta expresión a un valor de x le corresponde un único valor de y, diremos que dicha expresión define una función. Fijando un valor de la variable independiente, x, y sustituyendo Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. 82 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

en la ecuación de la función, podemos calcular el valor de la variable dependiente, y. En la definición de una función, para referirse a la imagen de x, se pude utilizar y o f(x). La función y = 4x+1, podríamos escribirla como f(x) = 4x+1. Cuando en un ejercicio se hace referencia a más de una función, para distinguirlas además de f(x) se les puede llamar g(x), h(x).

Ejemplo 9.

Dadas las funciones f(x) = 3x; h(x) = 5. Calcula f(2), h(2), h(3) y h(-11).

Para la función f(x) = 3x, nos pide cuánto vale cuando x = 2. Para calcular su valor sustituimos en la definición de la función la variable x por 2 y realizamos la operación u operaciones que en dicha definición aparezcan, siempre teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con números reales.

La función h(x) = 5 quiere decir que a cualquier valor de x siempre le va hacer corresponder el valor 5. En la definición de h(x) no aparece la variable x, luego solo podremos escribir el número aparece que en la definición de la función.

h(x) = 5 ⇒h(2) =5

⇒h(3) = 5

⇒h(-11) = 5

Ejemplo 10.

Dada la función f(x) = 4x+1. Se pide:

a. f(-3)

b. La imagen del 2

c. La ordenada de la abscisa -1

d. La abscisa de un punto de la función cuya ordenada es 6.

e. El valor de la variable independiente si la dependiente vale 5.

f. ¿Pertenecen los puntos (1, 6) y (-3 , 11) a esta función?

Las respuestas a estos apartados son:


a. En la definición de la función tenemos que cambiar la x por -3:

f(-3) = 4∙(-3) + 1 = -12 + 1 = -11

b. La imagen del 2, nos dicen que la x = 2:

f(2) = 4∙2 + 1 = 8 + 1 = 9

c. Nos piden la ordenada, es decir, la y o la imagen cuando la abscisa vale -1, x= -1:

f(-1) = 4∙(-1) + 1 = -4 + 1 = -3

d. Nos dan la ordenada 6, y = 6, buscamos la abscisa x:

25.145xx45x4161x46 ==⇒=⇒=−⇒+=

e. La variable independiente es y, luego nos dicen que y = 5:

144xx44x4151x45 ==⇒=⇒=−⇒+=

f. Vamos a comprobar si (1, 6) es un punto de la función dada. Este punto nos dice que x

= 1 e y = 6. Sustituyamos en la definición de la función la x por 1 y comprobemos si se obtiene el valor de la ordenada, en este caso 6.

f(1) = 4∙1 + 1 = 4 + 1 = 5 ≠ 6

Cuando x =1, el valor de la función es 5 y no 6 por lo tanto, el punto (1, 6) no pertenece a esta función.

Pasemos a estudiar si el segundo punto está en la función dada. En el apartado a) de este ejemplo se ha comprobado que para x = -3, la función toma el valor -11, f(-3) = -11. Así que el punto (-3, -11) pertenece a esta función.

Ejemplo 11.

Sea la relación que a cada número le asocia su doble menos 1 ¿Cuál será la fórmula general de esta relación?

Esta relación es una función porque un número solo tiene un doble y si le restamos uno se sigue obteniendo un único resultado.

Llamemos x al número e y al valor que le asocia esta relación, es decir, la imagen de x. Calculemos algunos valores de esta relación.

Si x = 3, el doble de tres es 6, si ahora le restamos 1, se obtiene 5

x = 3 ⇒ y = 2 ∙ 3 - 1 = 6 -1 = 5 ⇒ la imagen (la ordenada) del 3 es 5

Si x = - 5 ⇒ y = 2 ∙ (-5) - 1 = -10 - 1 = -11 ⇒ la imagen (la ordenada) -5 es -11

Para x = 2 ⇒ y = 2 ∙ 2 - 1 = 4 -1 = 3 ⇒ la imagen (la ordenada) del 2 es 3.

En general, a cada valor de x le asocia una y que viene definida por la siguiente fórmula:


Una RECTA viene dada por una ecuación de la forma: y = mx + n

y = 2x -1

2.4. Representación gráfica de funciones Para representar gráficamente una función se forma una tabla de valores y se representan los pares de valores de la tabla como puntos sobre el plano cartesiano. Los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de abscisas. Los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de ordenadas. Es importante observar si tiene sentido unir los puntos obtenidos.

Ejemplo 12.

El precio de revelado de un carrete de 36 fotos es 1,30 € y por cada foto cobran 0,25 €. Representa la gráfica de esta función. Si llamamos x al número de fotos e y al coste del revelado, la expresión que nos da el coste en función del número de fotos.

y = 0,25x + 1,30

El número de fotos sería la variable independiente y el coste la variable dependiente. Formamos una tabla de valores.

Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica.

Para poder apreciar con más detalle la variación de la función hemos elegido distinta unidad en cada eje

En este caso no tiene sentido unir los puntos obtenidos, pues no se revelan fracciones de foto.

El conjunto de los puntos es la gráfica de la función

3. FUNCIÓN LINEAL Recordamos que una función se expresa analíticamente mediante una relación de la forma y =f(x), donde “y” es la variable dependiente y “x” la variable independiente.

Se trata de una función lineal, ya que la relación entre las variables es de tipo lineal, el máximo exponente con el que aparece cada una de ellas es 1.


Su gráfica es una línea recta:

3.1. Representación gráfica Por dos puntos dados pasa una única recta, por tanto, para dibujarla bastará conocer dos puntos por los que pasa, representar éstos en el plano y trazar la línea que los une.

Ejemplo 13.

a) Conocidos dos puntos: Representa la recta que pasa por los puntos (1, – 5) y (– 3,2)

b) Conocida la ecuación: Representa la recta de ecuación y = 2x – 1 Conseguimos los dos puntos necesarios a partir de la ecuación creando una tabla de valores de la forma siguiente: damos dos valores cualesquiera a la “x” y hallamos el valor de “y” que corresponde a cada uno de ellos sustituyendo el valor de “x” en la ecuación y realizando el


cálculo resultante. Otra opción es dar valores a “y” y calcular sus correspondientes “x” de la manera que acaba de indicarse. También se puede dar un valor a “x” para calcular su “y” y un valor a “y” y hallar su “x”. En este ejemplo, una tabla podría ser:

3.2. Pendiente de una recta La pendiente de una recta viene determinada por la variación que sufre la y al variar la x, es decir, la razón que hay entre el desplazamiento en vertical y el desplazamiento en horizontal al movernos de un punto a otro de la recta. Veámoslo con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 14.

Calcula la pendiente de la recta y = – 2x + 1

Primero la dibujamos. Luego elegimos dos puntos de dicha recta. Supongamos que nos desplazamos sobre la recta entre los dos puntos marcados que corresponden al

(– 2,5) y al (0,1).

La lectura se hará siempre de izquierda a derecha y los movimientos en vertical hacia abajo se considerarán negativos. (En horizontal serán positivos, ya que nos movemos siempre hacia la derecha).

Desplaz. vertical: 4 unidades hacia abajo → – 4

Desplaz. horizontal: 2 unidades hacia la derecha → 2

Pendiente: el cociente entre el vertical y el horizontal

incluido el signo, es decir, pendiente: m = 2 24

−=− . La

pendiente de esta recta es m = – 2.

x y

0 -1 ← y = 2·0 – 1 = – 1

2 3 ← y = 2·2 – 1 = 3


Este valor no depende de los puntos de desplazamiento elegidos. La razón se mantiene para dos puntos cualesquiera de la recta:

(-2,5) y (1, -1)

En vertical: 6 hacia abajo → – 6

En horizontal: 3 hacia la derecha → 3

Pendiente m = 236

−=−

(-1,3) y (0, 1)

En vertical: 2 hacia abajo → – 2

En horizontal: 1 hacia la derecha → 1

Pendiente m = 212 −=−

Observa que -2 es el coeficiente de x en la expresión de la recta, y = – 2x + 1

Veamos otro ejemplo en el que también se cumple.

Ejemplo 15.

La pendiente de la recta y = 3x + 1 debería ser 3 según hemos dicho antes. Vamos a comprobarlo. Elegimos para desplazarnos (de izquierda a derecha) sobre esta recta los dos puntos marcados que son el (–1, –2) y el (1,4). Desplaz. en horizontal: 2 unidades hacia la derecha → 2 Desplaz. en vertical: 6 hacia arriba → 6 Pendiente =

horizontal .desplazvertical .desplaz = 3

26

=

La pendiente de esta recta es 3. Comprueba que con los puntos de la recta (–1, –2) y (2,7) se obtiene el mismo resultado.


Si nos fijamos en los dos ejemplos anteriores, podemos hacer las siguientes observaciones: El valor de la pendiente que hemos obtenido coincide con el coeficiente de x en la

ecuación dada:

Ejemplo 2.: y = – 2x + 1 pendiente = – 2 Ejemplo 3.: y = 3x + 1 pendiente = 3

Ambas gráficas cortan al eje Y en el punto (0,1), cuya segunda coordenada es 1, que

coincide con el valor del término independiente de la ecuación dada para cada una de ellas:

y = – 2x + 1 y = 3x + 1

Si desconocemos la expresión de la recta, ¿cómo calcularíamos la pendiente de la recta que pasa por dos puntos?

Ejemplo 16.

Pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, – 5) y (– 3,2).

Pendiente =horizontal .desplaz

vertical .desplaz =47

47

−=−

Sin necesidad de dibujar los puntos podemos calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos, A (x

1, y

1) y B (x

2, y

2), mediante la fórmula:

Para cualquier recta de ecuación y = mx + n el coeficiente m de x es el valor de la pendiente de la recta. El término independiente n es la ordenada en el origen, es decir, el valor de la “y” en el que la recta corta al eje de ordenadas (al eje Y).


Si aplicamos esta fórmula al ejemplo 16, veamos que coincide con el valor hallado gráficamente. Pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, – 5) y B(– 3,2).

47

47

13)5(2m −=

−=

−−−−

= o también ( ) 47

47

3125m −=

−=

−−−−

=

3.3. Casos particulares de rectas

Paralela al eje X (recta horizontal): En este caso, como la pendiente es nula, se tendrá y = 0 · x + n = n, por tanto su ecuación es de la forma:

y = n Es decir, que el valor que toma la función, sea cual sea el valor de x, es el valor dado por y (función constante). Todos los puntos de la recta tienen su segunda coordenada igual.

Ejemplo 17.

La ecuación de la recta de esta gráfica sería: y = – 3

x y 0 -3 -1 -3 3 -3

Paralela al eje Y (recta vertical): Ahora todos los puntos de la recta tienen la primera coordenada (la x) igual, mientras que la y puede tomar cualquier valor. Su ecuación es de la forma:

x = k con k un número real.


Ejemplo 18.

La ecuación de la recta de esta gráfica sería:

x = 2

4. EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, -5) y (-2,7). Solución:

Representamos la recta y hallamos la pendiente: m = 412− = -3

OBSERVACIÓN: Una recta vertical NO es una función, ya que a un valor de x le corresponden más de un valor de y.


2.- Representa las siguientes funciones:

a) 2x23y −−=

b)

y = - 2

Solución: a) b)

3.-Obtén la pendiente de cada una de estas rectas: Solución:

a) 212m −=

−= (desplazándonos, por ejemplo, del punto (-1,2) al (0,0))

b) m = 0 (desplazándonos, por ejemplo, del punto (-1,2) al (3, 2)) 4.-Indica cuáles de estos puntos pertenecen a la recta y=2x-3:


A(1,4), B(-1, -5), C(2, 1), D(0, 1) Solución: Pertenecerán a la recta aquellos puntos que su ordenada (y) se obtenga a partir de su abscisa (x) según la relación dada. Punto A(1, 4), su ordenada vale 4 y su abscisa 1. En la expresión y=2x-3 , cambiamos la x por 1 y comprobamos si obtenemos 4. y=2·(1) - 3= 2 - 3 = -1 ≠ 4 ⇒ El punto A(1, 4) no pertenece a la recta ya que si la abscisa es 1 la ordenada debería de valer -1 y no 4. Punto B(-1, -5), su ordenada vale -5 y su abscisa -1. En la expresión y=2x-3 , cambiamos la x por -1 y comprobamos si obtenemos -5. y=2·(-1) - 3= -2 - 3 = -5 ⇒ El punto B(-1, -5) sí pertenece a la recta ya que si la abscisa es -1 la ordenada vale -5. Punto C(2, 1), su ordenada vale 1 y su abscisa 2. En la expresión y=2x-3 , cambiamos la x por 2 y comprobamos si obtenemos 1. y=2·(2) - 3= 4 - 3 =1 ⇒ El punto C(2, 1) sí pertenece a la recta ya que si la abscisa es 2 la ordenada vale 1. Punto D(0, 1), su ordenada vale 1 y su abscisa 0. En la expresión y=2x-3 , cambiamos la x por 0 y comprobamos si obtenemos 1. y=2·(0) - 3= 0 - 3 =-3 ⇒ El punto C(0, 1) no pertenece a la recta ya que si la abscisa es 0 la ordenada debería de valer -3 y no 1. 4.-El coste de la energía eléctrica en una casa viene dado por el precio de la potencia contratada, que es 12 €, y el preciodel kilovatio hora, que vale 0’15 €.

a) ¿Cuánto pagará una familia si su consumo ha sido de 200 kilovatios hora?¿Y por 100 kilovatios hora?

b) ¿Cuál es la función que da el coste conociendo el consumo? Represéntala gráficamente. c) Si una familia paga 66'9 €, ¿cuántos kwh ha consumido?

Solución:

a) 0'15 · 200 + 12 =30 + 12 = 42€ 42 € tendrá que pagar la familia por 200 kilovatios hora 0'15 · 100 + 12 =15 + 12 = 27€ 27 € tendrá que pagar la familia por 100 kilovatios hora

b) Se trata de generalizar los cálculos hechos en el apartado a). Llamemos x a los kilovatios hora consumidos e y el coste del consumo.

y = 0`15 · x + 12


Para dibujar la función hacemos primero una tabla de valores. Luego representamos los puntos de la tabla de valores.

c) Descontamos a los 66,9€ los 12€ de gastos fijos por la potencia contratada y así obtenemos lo que realmente pagamos por lo consumido

consumidohemoskwh366xx15'0

9'54 x0`15 9 ' 54

que tenemos entonces ,consumidos kwhlos xSea€ 9 ' 54=12-9'66

=⇒=⇒⋅=


MATEMÁTICAS 2º ESPA...derecha de éste se sitúan los números enteros positivos, y a su...

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