Colegio José Hernández / Plan de Continuidad Pedagógica - SEGUNDA PARTE.

Matemática / 6° año A / Profesor Oscar Paes Rodriguez

Definición:

Los números complejos son expresiones ( a bi ), donde a y b son números Reales.

El número a se llama parte Real.

El número b se llama parte Imaginaria.

Casos especiales:

Real puro: son aquellos complejos cuya parte imaginaria es nula, es decir 0Z a i

Ejemplo: 𝑍 = 3 + 0𝑖, es lo mismo que decir 𝑍 = 3

Imaginario Puro: Cuando la parte nula es la Real, es decir 0Z bi , ejemplo: 𝑍 = 0 − 3𝑖, que es lo

mismo que decir 𝑍 = −3𝑖

Complejo cero: Son nulas ambas partes, es decir 0 0Z i

Conjugado de un número complejo: 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑧𝑎(�̅�)

Se llama conjugado de Z a bi al número definido por Z a bi (se cambia el signo a la unidad imaginaria)

Es decir, el conjugado de 3 4Z i es 3 4Z i

Opuesto de un número Complejo: Se define el opuesto de un complejo Z a bi como el número complejo

Z a bi se simboliza Z , ejemplo: 𝑍 = 2 + 5𝑖, el opuesto es 𝑍 = −2 − 5𝑖

La unidad imaginaria:

Llamamos unidad imaginaria ( i ) de un complejo al número 1

1i 2

2 1 1i

Con la unidad imaginaria se pueden realizar operaciones, como si se tratara de la variable x de los

polinomios.

Teniendo en cuenta que:

Modulo y argumento de un complejo:

El módulo de un complejo Z a bi es la longitud del vector posición, desde el origen hasta las

coordenadas del punto en cuestión.

Se designa entre barras z a bi y se calcula con el teorema de Pitágoras: 2 2Z a bi Z a b

El Argumento de un complejo Z a bi , es el ángulo que forma el eje X con el vector posición de Z.

Se calcula mediante la expresión:𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ (𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏

𝑎), se lee: arco tangente de b sobre a

Calcular el módulo y el argumento de 𝑍 = 3 + 2𝑖

Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2√32 + 22 = √13

Argumento (ángulo)

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2

3) en la calculadora apretar las

teclas de

𝛼 = 33,69006753 este resultado está en forma

decimal, entonces apretamos la tecla

𝛼 = 33°41´24,24´´

Operaciones Básicas:

Suma y resta de números complejos: Para sumar dos números complejos tenemos que sumar

por separado las partes reales y las partes Imaginarias.

Multiplicación: Para multiplicar Complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de

números Reales o expresiones algebraicas, teniendo en cuenta que 2 1i

División: Para dividir un número complejo por otro número complejo, se debe multiplicar al numerador y al

denominador del cociente por el conjugado del denominador

Ejemplos:

𝑍1 = 2 − 3𝑖 𝑍2 = 4 + 5𝑖 𝑍3 = −3 + 2𝑖

𝑍1 + 𝑍3 = (2 − 3𝑖) + (−3 + 2𝑖)

(2 − 3) + (−3𝑖 + 2𝑖) parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria

−1 − 1𝑖

𝑍2 − 𝑍1 = (4 + 5𝑖) − (2 − 3𝑖)

(4 − 2) − (5𝑖 − 3𝑖)

2 − (2𝑖)

2 − 2𝑖

𝑍3. 𝑍1 = (−3 + 2𝑖). (2 − 3𝑖) hacemos distributiva

(−3). 2 + (−3). (−3𝑖) + 2𝑖. 2 + 2𝑖. (−3𝑖)

−6 + 3𝑖 + 4𝑖 − 6𝑖2 recordar que 𝑖2 = −1

−6 + 7𝑖 − 6. (−1)

−6 + 7𝑖 + 6

0 + 7𝑖

𝑍1: 𝑍3 =𝑍1

𝑍3=

2−3𝑖

−3+2𝑖.

−3−2𝑖

−3−2𝑖 multiplicamos por el conjugado de denominador 𝑍3 = −3 + 2𝑖 |𝑍3| = −3 − 2𝑖

hacemos distributiva

−6−4𝑖+9𝑖+6𝑖2

9+6𝑖−6𝑖+4𝑖2 =−6+5𝑖+6.(−1)

9+4.(−1)=

−6+5𝑖−6

9−4=

−12+5𝑖

5= −

12

5+

5

5𝑖 = −

12

5+ 1𝑖

shift tan 23⁄

° ´ "

Formas de expresar un complejo:

Forma Binómica: Z a bi

Forma Vectorial o cartesiana: ( ; )Z a b

Forma Polar: Z Z

Forma Trigonométrica: . .Z Z Cos i Sen

Ejemplo:

Forma binómica: 𝑍 = 4 + 3𝑖

Forma vectorial o cartesiana: 𝑍 = (4; 3) sin la letra 𝑖

Para las siguientes dos formas precisamos saber el módulo y el argumento del complejo

Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2

|𝑍| = √42 + 32 = √25 = 5

Argumento 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏

𝑎)

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (3

4)

𝛼 = 36.86989765

𝛼 = 36°52´11,63´´

una vez que tenemos estos dos datos procedemos a expresar al complejo en las otras dos formas que faltan

Forma polar:536°52´11,63´´

Forma trigonométrica: 5. [cos(36°52´11,63´´) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(36°52´11,63´´)]

Bloque Temático: NÚMEROS COMPLEJOS

Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro;

ACTIVIDAD 001

Hallar el valor de cada una de las siguientes raíces.

a. 9 b. 100 10𝑖 c. 1 b. 3 8

ACTIVIDAD 002

Unan con una flecha cada número complejo con su expresión binómica.

(−1; 1) −𝑖

(−1; 0) 1 + 𝑖

(1; −1) −1 − 𝑖

(1; 1) −1

(0; −1) 1 − 𝑖

−1 + 𝑖

ACTIVIDAD 003

Completar la siguiente tabla.

Número

Complejo

Expresión

Binómica

Expresión

Cartes iana

Expresión

Binómica del

Opuesto

Expresión

Binómica del

Conjugado

Z 14 41i (14; −41) −14 + 41𝑖 14 + 14𝑖

W 6 2i

U 4 i

V 123i

T 15;0

S 3

A 2. 1i

B 11; 13

C 2 445i

D 12i

ACTIVIDAD 004

Escriba la expresión binómica correspondiente a cada uno de los siguientes

números complejos

𝑧1 = −2 + 5𝑖

𝑧2=

𝑧3=

𝑧4=

𝑧5=

𝑧6 = 0 − 2𝑖

𝑧7=

𝑧8=

ACTIVIDAD 005

Escriba la expresión cartesiana correspondiente a cada uno de los siguientes

números complejos.

𝑧1=

𝑧2=

𝑧3=

𝑧4 = (1; −1)

𝑧5=

𝑧6=

𝑧7=

𝑧8 = (0; 5)

ACTIVIDAD 006 Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk;

https://www.youtube.com/watch?v=dhqYIyCD7rQ

Dados los siguientes números complejos…

...calcular:

a. 1 10Z Z b. 9 2 4Z Z Z c. 9 8Z Z

d. 5 1Z Z e. 3 4.Z Z f. 3 5 82. 3 6.Z Z Z

g. 2 110.Z Z h. 5 5Z Z i. 1 2 3.Z Z Z

i2Z1

i210Z2

523 3Z i )5(Z

4 5 1 10Z i

i612Z6

i2Z7

i15Z8 i26Z

9 i311Z

10

j. 8 3 4Z Z Z k. 82. 4Z i l. 9 92. 2.Z Z

m. 3 5

1. 5.

5Z Z n. 9 1 72. 2. 2.Z Z Z o. 4 8 1. .Z Z Z

ACTIVIDAD 007 Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=C_VQmF6sc08;

https://www.youtube.com/watch?v=NEVNJ3ryQ7U

Resuelva los siguientes productos notables.

a. 2 13 . 2 13i i b. 2

2 6i c. 2

1 29i

d.2

15

2i

e.

32 i f.

2 4 2 4.

3 7 3 7i i

g. 3

3 2i h. 11 2 . 11 2i i i. 2

10 10i

j. 3

5 2i k. 2

4 3i l.2

5

2i

ACTIVIDAD 008 Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU

Resolver las siguientes divisiones.

a.

i24

i24 b.

i23

i2 c.

i41

i35

d. 2

5 2

i

i

e.

i5

i7 f.

2 3

2 3

i

i

g. 10 2

1

i

i

h.

12

2 3i

i

i.

5 32 2

4 6i

i

j. 7

1 2

i

i

k.

i24

i21

21

l. i210

1

m. 10

4 5

i

i

n.

10

4 5i

o.

100 20

5

i

i

FECHA DE ENTREGA

VIERNES 10 DE ABRIL josue14_paes@hotmail.com