MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ...AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 2.2. Tanım Bir matriste satır sayısı...

CebirLineer

Yazar:Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİNÖğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN

Editör: Prof.Dr. Orhan ÖZER

T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINLARI NO: 1074

AÇIKÖĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINLARI NO: 589

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

www.matematikce.com

Bu kitabın basım, yayım ve satış haklarıAnadolu Üniversitesine aittir.

"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya dabölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt

veya başka şekillerde çoğaltılamaz,basılamaz ve dağıtılamaz.

Copyright © 1998 by Anadolu University

All rights reserved

No part of this book may be reproducedor stored in a retrieval system, or transmitted

in any form or by any means mechanical, electronic,photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN

ISBN 975 - 492 - 829 - 0

www.matematikce.com

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

BaşlarkenAnadolu Üniversitesi Açık Öğretim Fakültesi'nin öğretmenlere kazandırdığı önli-sans diplomasından sonra, onlara lisans diploması alma hakkının tanınması ve bu-na olanak sağlayacak şekilde lisans tamamlama programları açması taktirle karşıla-nabilecek bir hizmettir. Değerli öğretmenlerimizin bu fırsatı en iyi şekilde değerlen-direbileceklerinden hiç şüphe yoktur. Bu yolla hem alan bilgilerini arttıracaklar hemde yeni haklar kazanacaklardır. Bunun sonucu olarak da okullarında daha nitelikli,daha çağdaş hizmet sunabileceklerdir. Bu kitabın da bu hizmete küçük bir katkısı-nın olacağını umarım.

Kitap, İlköğretim Öğretmenliği Lisans Tamamlama Programı Matematik Yan Alanderslerinden Lineer Cebir dersinin içeriğini kapsayacak şekilde hazırlanmıştır. Onüniteden oluşan bu kitapta, matrisler ve determinantlar, doğrusal denklem sistem-leri ve vektör uzayı konuları ele alınmıştır. Bu konular sadece matematik alanındadeğil, istatistik, işletme, iktisat, mühendislik hatta sosyal bilimler alanlarında araçolarak kullanılabilecek kavramlar ve yöntemler içermektedir. Bu nedenle de temelsayılabilecek tanımlar ve kavramlar üzerinde durulmuştur. Ünitelerde teorik anla-tımdan kaçınılarak, kavramlar daha çok örneklerle anlatılmaya çalışılmıştır; konu-lar fazla önbilgiye gereksinim duyulmadan anlaşılabilecek, kendi içinde bütünlüğüolacak şekilde verilmeye çalışılmıştır. Okuyucunun çalışırken örnekleri dikkatliceincelemesi, benzer örnekler oluşturması, metin içinde ve sonunda bırakılan sorularıçözmesi konuları kavrayıp pekiştirmesine yardımcı olacaktır. Kaynak kitaplarabaşvurulması her zaman yararlı olmuştur ve olacaktır.

Böyle bir programın açılmasında, düzenlenmesinde, bu kitap dahil kitaplarının ha-zırlanmasında, yazımında, basımında tüm emeği geçenlere teşekkürlerimi suna-rım; öğretmenlerimize yararlı olmasını dilerim.

Prof.Dr. Orhan ÖZEREditör

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Matris kavramını öğrenecek,• İki matrisin toplamı, bir matrisin skaler ile çarpımı, iki matrisin

çarpımı işlemlerini ve bu işlemlerin özelliklerini kavrayacak,• Bazı özel tip matrisleri tanıyacak,• Bir matrisin rankı hakkında fikir edinecek,• Bir matrisin tersinin ne olduğunu öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Matris Kavramı 3• Özel Tipte Matrisler 4• Bir Matrisin Transpozesi 8• Matris İşlemleri 8• İlkel Satır ve Sütun İşlemleri 18• Bir Matrisin Basamak Biçimi 21• Bir Matrisin Rankı 22• Blok Matrisler 23

ÜNİTE

1Matrisler

YazarYrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN

www.matematikce.com


• Bir Kare Matrisin Tersi 24• Değerlendirme Soruları 32

Çalışma Önerileri

• Bu üniteyi çalışırken tanımları iyice kavrayıp çözülmüş örnek-leri dikkatlice gözden geçiriniz.

• Okuyucuya bırakılan soruları çözünüz.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. Matris Kavramı

Günlük yaşantımızda, birden fazla veri aynı anda kullanılmak istenildiğinde bu ve-riler tablolar ile temsil edilir. Bu gösterim şekli pek çok alanda kullanılmaktadır. Ör-neğin, muhasebe işlemleri, okullardaki ders programlarının hazırlanması ve öğren-cilerin not durumlarının takibi, anket sonuçlarının değerlendirilmesi, bazı bilimdallarında yapılan deneylerin sonuçlarının değerlendirilmesi bunlardan bir kaç ta-nesidir. Aşağıda, tablo ile gösterime bir örnek verilmiştir.

1.1. Örnek

Bir mağazada satılan A, B, C ve D mallarının mağazaya giriş fiyatları, satış fiyatlarıve bu mallardan kaç adet alınıp, kaç adet satıldığını tablo ile gösterelim.

Tabloya göre, B malı 650.000 TL'ye alınıp, 975.000 TL'ye satılmış ve alınan 2500 adetmaldan 1500 tanesi satılmıştır.

Bu örnekler daha da çoğaltılabilir. İşte, elimizdeki verileri gösterdiğimiz, belli sayı-da satır ve belli sayıda sütundan oluşan tabloya, matris denir. Aşağıda matrisin ma-tematiksel tanımı verilmiştir.

1.2. Tanım

m x n tane sayının, m satır ve n sütuna yerleştirilmesiyle oluşturulan tabloya birmatris denir.

Genel olarak bir matris,

M A T R İ S L E R 3

Malın Alış Fiyatı Satış Fiyatı Alınan Miktar Satılan MiktarAdı (TL) (TL) (Adet) (Adet)A 500.000 750.000 1100 950

B 650.000 975.000 2500 1500

C 775.000 1.165.000 800 530

D 825.000 1.240.000 950 822

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n

a i1 a i2 a ij a in

am1 am2 amj amn m x n

www.matematikce.com


şeklinde gösterilir ve A, B, C, ... gibi harfler ile temsil edilir. m satır ve n sütundan oluşanbir matrise m x n tipinde bir matris ve aij sayılarına da matrisin öğeleri denir. m x ntipindeki bir matris, kısaca A = (aij)mxn şeklinde yazılır. Bir aij öğesindeki i indisi öğe-nin i. satırda olduğunu, j indisi ise j. sütunda olduğunu gösterir. Bundan dolayı aijöğesi, matrisin i. satır ile j. sütununun kesiştiği yerdedir. Örneğin,

matrisinde a23 öğesi, 2. satır ile 3. sütunun kesiştiği yerde olan 5'tir.

1.3. Tanım

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn matrisleri verilsin. Eğer i = 1, 2, ... , m ve j = 1, 2,... , n için aij = bij ise A ve B matrislerine eşit matrisler denir ve bu matrisler A =B şeklinde gösterilir.

İki matrisin eşit olabilmesi için aynı tipten matrisler olması gerektiğine dikkat edi-niz.

1.4. Örnek

matrisleri eşit matrisler ise b11 = a11 = 1, b12 = a12 = -1, b21 = a21 = 2, b22 = a22 = 1,b31 = a31 = 3 ve b32 = a32 = 0'dır.

2. Özel Tipte MatrislerBazı matrisler tipine göre ya da öğelerinin taşıdıkları kısmi özelliklere göre özel ad-lar alabilmektedirler. Bu bölümde, bu tür özel adlandırılan matrisler tanımlanıp ör-nekler sunulacaktır.

2.1. Tanım

A, mxn tipinde bir matris olsun. Eğer m = 1 ise, yani A 1xn tipinde bir matris ise Amatrisine satır matrisi; n = 1 ise, yani A mx1 tipinde bir matris ise A matrisine sütunmatrisi denir.

M A T R İ S L E R4

A = 2 3 1 6 0 4 5 2 1 0 2 3

→2. satır

↓

3. sütun

A = 1 -1 2 1 3 0

ve B = b11 b12b21 b22b31 b32

152

0 4 2


2.2. Tanım

Bir matriste satır sayısı ile sütun sayısı eşit ise bu matrise kare matris denir.

bir kare matristir. Çünkü A matrisinin satır sayısı ve sütun sayısı 3'tür.

nxn tipindeki bir kare matrise, n. mertebeden kare matris denir. Buna göre yukarı-da kare matrise örnek verilen A matrisi 3. mertebeden bir kare matristir. Ayrıca, n.mertebeden bir kare matriste, i = 1, 2, ..., n için aii öğelerine matrisin köşegenöğeleri denir. Örneğin,

kare matrisinin köşegen öğeleri 1, 0, -1 ve 5'tir.

2.3. Tanım

Bir matrisin tüm öğeleri sıfır ise, bu matrise sıfır matris denir ve mxn tipindeki bir sı-fır matrisi Omxn şeklinde gösterilir.

Aşağıda sıfır matrisine iki örnek verilmiştir:

2.4. Tanım

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Her i ≠ j için aij = 0 ise A matrisine kö-şegen matris denir.


A = (1 2 3 -5) matrisi satır matrisine, B = 0-1 5

matrisi de sütun matrisine bi-

rer örnektir.

A = 1 -1 1 0 1 2 2 1 3

A =

0 0 -1 0 2 3 1 2 4 2 3 4

1

0 -1

5

O2x3 = 0 0 00 0 0

, O4x4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


Örneğin,

matrisleri, sırasıyla 3. ve 4. mertebeden köşegen matrislerdir. Özel olarak, n. merte-beden bir sıfır matris de köşegen bir matristir.

2.5. Tanım

Bir köşegen matriste, köşegen üzerindeki öğelerin hepsi eşit ise bu matrise ska-ler matris denir.

2.6. Örnek

Çözüm

A matrisinde a11 = 2 dir. Diğer taraftan skaler matriste a11 = a22 = a33 olmasıgerektiğinden x = a22 = 2 ve y = a33 = 2 olmalıdır.

2.7. Tanım

Bir kare matrisin köşegeni üzerindeki tüm öğeleri 1 ve geriye kalan bütün öğeleri 0ise, bu matrise bir birim matris denir.

n. mertebeden birim matris In ile gösterilir ve

biçiminde de ifade edilir.

matrisleri sırasıyla 2. ve 5. mertebeden birim matrislerdir.

M A T R İ S L E R6

A = , B =

-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0

12

-1

-20

34

A = 2 0 0 0 x 0 0 0 y

matrisinin skaler matris olması için x ve y ne olmalıdır?

In = δij nxn , δij = 1 , i = j ise 0 , i ≠ j ise

I2 = 1 00 1

ve I5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1


2.8. Tanım

Bir A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eğer her i, j için aij = aji ise A matrisine simet-rik matris denir.

matrisinin simetrik olup olmadığını inceleyelim. A matrisinin simetrik olabilmesiiçin i, j = 1, 2, 3 ve i ≠ j için aij = aji olmalıdır. a12 = a21 = -1, a13 = a31 = 0, a23= a32 = 4 olduğundan A matrisi bir simetrik matristir.

2.9. Tanım

A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eğer her i, j için aij = - aji ise A matrisine terssimetrik matris denir.

Bir ters simetrik matriste, i = j olması durumunda aii = -aii koşulunun ancak aii= 0 iken sağlandığına dikkat edersek, ters simetrik matrisin köşegen öğelerinin sıfırolması gerektiğini söyleyebiliriz.

2.10. Örnek

matrisi 4. mertebeden ters simetrik bir matristir.

2.11. Tanım

A = (aij) nxn kare matrisinde her i < j için aij = 0 ise A matrisine altüçgenselmatris, her i > j için aij = 0 ise A matrisine üstüçgensel matris denir.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, altüçgensel matrisin köşegeninin üstünde kalan öğelerve üstüçgensel matrisin köşegeninin altında kalan öğeler sıfırdır. Aşağıda sırasıylaaltüçgensel ve üstüçgensel matrislere birer örnek verilmiştir:


A = 1 -1 0 -1 2 4 0 4 3

A =

0 -1 2 3 1 0 -4 5 -2 4 0 -1

-3 -5 1 0


n. mertebeden bir köşegen matrisin hem altüçgensel, hem de üstüçgensel olduğuaçıktır. Gerçekten de,

matrisinde, köşegenin üst kısmında kalan tüm öğeler sıfır olduğundan bu matris biraltüçgensel matris ve benzer şekilde köşegenin alt kısmında kalan tüm öğeler de sı-fır olduğundan bir üstüçgensel matristir.

3. Bir Matrisin Transpozesi

3.1. Tanım

Bir A matrisinin satırları ile sütunlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen yeni mat-rise, A matrisinin transpozesi denir ve bu matris At ile gösterilir.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, mxn tipindeki bir matrisin transpozesi nxm tipindedir.

3.2. Örnek

Bir A matrisi için (At)t = A olduğu açıktır.

4. Matris İşlemleriBu bölümde, matrisler arasında matris toplamı, matris farkı, matris çarpımı işlemle-rini ele alacağız. Önce bu işlemleri sırayla tanımlayıp, sonra özelliklerini sıralayıpörnekler vereceğiz.

M A T R İ S L E R8

, B = 00 0

A =

0 0 0 00 0 0

0 00

02

34

5

12 0

-4 1 11 -1 2 2

1-2

3

1 21

A =

a11 0 00 a22 0

0 0 ann

A = 1 2-3 4 5 6

matrisinin transpozesi At = 1 -3 52 4 6

matrisidir.


4.1. Tanım

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn aynı tipten iki matris olsun. Öğeleri,

cij = aij + bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan C = (cij)mxn matrisine A ve B matrislerinin toplamı denirve bu matris A + B şeklinde gösterilir.

Bu tanımın aşağıdaki gibi verilebileceği açıktır:

matrisleri için

dir.

İki matrisin toplanabilmesi için aynı tipten matrisler olduğuna dikkat ediniz.

4.2. Örnek

Aşağıda matris toplama işleminin özellikleri verilmiştir:

a) Aynı tipten matrisler (toplanabilir matrisler) arasında matris toplamının bir-leşme özelliği vardır. Gerçekten, A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve C = (cij)mxnmatrisleri için (A+B) + C matrisinin i. satır, j. sütunundaki


A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

, B =

b11 b12 b1nb21 b22 b2n

bm1 bm2 bmn

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n

am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

A = 2 -1 0 13 4 5 6

ve B = -1 0 7 1-2 1 1 2

matrisleri için

A + B = 2 + (-1) -1 + 0 0 + 7 1 + 13 + (-2) 4 + 1 5 + 1 6 + 2

= 1 -1 7 21 5 6 8

dir


(aij + bij) + cij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi, A + (B+C) nin aynı satır ve sütunundaki

aij + (bij + cij) (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n) öğesine eşittir. Çünkü sayılar arasında toplama işleminin birleşme özelliği

vardır. O halde

(A+B) + C = A + (B+C)

dir. Bu özelliğe parantez kaydırma özelliği de denir. Bu özelliğin sonucu ola-rak, ikiden fazla sayıda toplanabilir matrisin toplamını parantezsiz olarak ya-zabiliriz. A, B, C ve D toplanabilir matrisler ise, bunların toplamı A+B+C+D ola-rak yazılabilir.

b) Toplanabilir iki matris arasında matris toplamının değişme özelliği vardır.Yani A ve B toplanabilir iki matris ise A+B = B+A dır. Bu özelliğin kanıtını, bir-leşme özelliğinin kanıtına benzer şekilde kolaylıkla yapabilirsiniz.

c) A, mxn tipinde bir matris olmak üzere,

A + Omxn = Omxn + A = A

dır. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek oldukça kolaydır. A + Omxn matrisi-nin i. satır j. sütunundaki

aij + 0 (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi, sıfırın sayılardaki toplama işlemine göre etkisiz eleman olmasındandolayı,

aij , (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesine eşittir. Bu da A + Omxn = A demektir. Omxn + A = A olduğu dabenzer şekilde gösterilir.

4.3. Tanım

A = (aij)mxn ve r ∈ R olsun. Öğeleri,

bij = r aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan B = (bij)mxn matrisine A matrisinin r sayısı ile çarpımı de-nir ve bu matris rA şeklinde gösterilir.

M A T R İ S L E R10


matrisi ve r gerçel sayısı için

dir. Örneğin,

Aşağıda bir sayı ile matris çarpımı işleminin özellikleri verilmiştir:

a) A bir matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(r + s) A = rA + sA

dır. Gerçekten de, (r + s) A matrisinin i. satır ve j. sütunundaki

(r + s) aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesi rA + sA matrisinin aynı konumdaki,

raij + saij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

öğesine eşittir. Çünkü sayılarda çarpma işleminin, toplama işlemi üzerinedağılma özelliği vardır. Her i, j için (r + s) aij = raij + saij olduğundan ve mat-rislerin eşitliği tanımından (r + s) A = rA + sA olur.

b) A ve B toplanabilir iki matris ve r ∈ R olsun. Bu durumda,

r (A + B) = rA + rB

dir.

c) A bir matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(rs) A = r (sA)

dır.


A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

ra11 ra12 ra1nra21 ra22 ra2n

ram1 ram2 ramn

A =

2 -5 1 1 0 2 3 4 1 -2 6 2

ve r = 2 ise r A =

4 -10 2 2 0 4 6 8 2-4 12 4

dir.


(b) ve (c) özelliklerinin doğruluğunu, (a) şıkkına benzer şekilde gösterebilir-siniz.

d) mxn tipindeki bir A matrisi için,

1A = A ve 0A = Omxn

olduğu açıktır.

Bir A matrisi için (-1)A matrisi -A ile gösterilir ve bu matrise A matrisinintoplamsal tersi denir. Örneğin,

dir.

Açıktır ki, mxn tipindeki bir A matrisi için A + (-A) = 0mxn dir.

A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve r, s ∈ R olmak üzere, rA + sB matrisine Cmatrisi diyelim. C matrisinin öğeleri,

cij = raij + sbij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklindedir. Burada özel olarak r = 1 ve s = 1 alınırsa, C matrisinin öğeleri,

cij = 1aij + (-1)bij = aij - bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

dir. Bu şekilde elde edilen C matrisine, A ile B matrisinin farkı denir ve bumatris A - B şeklinde gösterilir. Bir başka ifadeyle A - B = A + (-B) dir.

4.4. Örnek

4.5. Tanım

A = (aij)mxp ve B = (bij)pxn olsun. Öğeleri,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

şeklinde oluşturulan C = (cij)mxn matrisine A ile B matrisinin çarpımı denir ve bumatris AB şeklinde gösterilir.


A = 3 -2 10 1 - 2

matrisinin toplamsal tersi -A = -3 2 -1 0 -1 2

A = 5 7 -4 20 3 6 3

ve B = 8 4 2 1-2 3 5 0

ise A - B matrisi -3 3 -6 1 2 0 1 3

dir.

cij = a ik bkj∑k = 1

p


A = (aij)mxp ile B = (bij)pxn matrisinin çarpımı olan AB matrisinin satır sayısı, Amatrisinin satır sayısına, sütun sayısı ise B matrisinin sütun sayısına eşittir. Ayrıca,iki matrisin çarpılabilmesi için birinci çarpan matrisinin sütun sayısı ile ikinci çar-pan matrisinin satır sayısının eşit olması gerektiğine dikkat edilmelidir. Aşağıda ikimatrisin çarpımına bir örnek verilmiştir.

4.6. Örnek

AB matrisi,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere, C = (cij)3x4 matrisidir. Bu durumda,

dir.

Şimdi de matris çarpımının bir uygulamasını vereceğiz:

4.7. Örnek

Kredili sistemde okuyan beş öğrencinin dönem sonu ortalamaları hesaplanmak is-tenmektedir. Öğrencilerin bu dönemdeki toplam dört dersten aldıkları harf notları,derslerin kredileri ve harf notlarının katsayıları aşağıdaki tablolarla verilmiş olsun.


A = 3 21 10 4

ve B = 2 -1 0 11 2 3 1

olsun.

cij = a ik bkj∑k = 1

p

C = AB = 3 2

1 1

0 4

2 -1 0 1

1 2 3 1

= 3.2 + 2.1 3.(-1) + 2.2 3.0 + 2.3 3.1 + 2.11.2 + 1.1 1.(-1) + 1.2 1.0 + 1.3 1.1 + 1.10.2 + 4.1 0.(-1) + 4.2 0.0 + 4.3 0.1 + 4.1

= 8 1 6 5 3 1 3 2 4 8 12 4


Bu tablolara göre III nolu öğrenci, dönem sonunda X1 dersinden B, X2, X3 veX4 derslerinden de C harf notu almıştır. Bu döneme ait toplam kredi 18 oldu-ğuna göre, bu öğrencinin dönem sonu ortalamasını hesaplamak için, aldığı herbirdersin kredisi ile harf notunun katsayısının çarpılıp, daha sonra bunlar toplanıp18'e bölünmesi gereklidir.

Yani, III nolu öğrencinin dönem sonu ortalaması,

dir. Şimdi bu beş öğrencinin ortalamalarını bir sütun matris olarak hesaplayalım.

ve


DERSÖĞRENCİ X1 X2 X3 X4

I A B B BII C C C DIII B C C CIV C D F DV A A B B

DERS KREDİX1 4X2 6X3 4

X4 4+

18

NOT KATSAYIA 4B 3C 2D 1F 0

Xi nin kredisi . Xi nin harf notunun katsayısı∑i=1

4

18

A =

4 3 3 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 0 1 4 4 3 3

↓ ↓ ↓ ↓

x1 x2 x3 x4

→ I. öğrencinin harf notları katsayıları→ II. " " " "→ III. " " " "→ IV. " " " "

→ V. " " " "

B =

4644

→ x1 in kredisi→ x2 nin kredisi→ x3 ün kredisi→ x4 ün kredisi


olmak üzere, matrisi öğrencilerin dönem sonu ortalamaları mat-

risi olacaktır. Buna göre,

olmak üzere,

4.7. Örnekte kısalık için öğrenci sayısı beş alınmıştır. Öğrenci sayısı ne olursa olsun(100, 1000, ..., n) matris çarpımı ile, bilgisayar kullanılarak öğrencilerin ortalamalarıhesaplanabilir.

Aşağıda matris çarpımı işleminin özellikleri verilmiştir:

a) A mxp tipinde, B pxq tipinde ve C qxn tipinde birer matris olsunlar. Budurumda,

(AB)C = A(BC)

dir. Bu özelliğe matris çarpma işleminin birleşme özelliği denir. Bu özelliğinkanıtı aşağıda verilmiştir.

Kanıt

AB = D ve BC = E diyelim. Bu durumda, iki matrisin çarpımı tanımından,

(i = 1, 2 , ..., m; k = 1, 2, ..., q)

olmak üzere D = (dik)mxq ve

(r = 1, 2 , ..., p; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere E = (erj)pxn dir.


C = 118

(AB)

AB =

4 3 3 32 2 2 13 2 2 22 1 0 14 4 3 3

4644

=

4.4 + 3.6 + 3.4 + 3.42.4 + 2.6 + 2.4 + 1.43.4 + 2.6 + 2.4 + 2.42.4 + 1.6 + 0.4 + 1.44.4 + 4.6 + 3.4 + 3.4

=

5832401864

C = 118

5832401864

=

3.221.772.22

13.55

→ I. öğrencinin dönem sonu ortalaması→ II. " " " "→ III. " " " "→ IV. " " " "→ V. " " " " dır.

dik = a ir brk∑r=1

p

erj = brk ckj∑k=1

q


Benzer şekilde, (AB)C = DC = F ve A(BC) = AE = G denilirse,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere F = (fij)mxn ve

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak üzere G = (gij)mxn dir. Böylece her i , j için fij = gij olduğugösterilirse F ile G matrisinin eşit olduğu, yani (AB)C = A(BC) eşitliği göste-rilmiş olur. fij = gij olduğunu görmek için her iki öğenin de eşitlerini yazalım:

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

ve

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

olur. Buradan da her i, j için fij = gij olduğu görülür. Dolayısıyla F = G dir.Yani (AB)C = A(BC) dir.

b) A mxp tipinde, B ve C de pxn tipinde matrisler olsunlar. Bu durumda,

A(B+C) = AB + AC

dir. Bu kural matris çarpımının matris toplamı üzerine dağılımı özelliği ola-rak adlandırılır.

c) A mxp tipinde ve B pxn tipinde iki matris ve r, s ∈ R olsun. Bu durumda,

(rA) (sB) = (rs) AB

dir.

(b) ve (c) özelliklerinin kanıtı okuyucuya bırakılıp bu özellikler ile ilgili bi-rer örnek verilmiştir.


fij = dik ckj∑k=1

q

gij = a ir erj∑r=1

p

fij = dik ckj∑k=1

q

= a ir brk∑r=1

p

ckj∑k=1

q

= ∑k=1

q

a ir brk ckj∑r=1

p

,

= ∑r=1

p

a ir brk ckj∑k=1

q

= ∑k=1

q

a ir brk ckj∑r=1

p

gij = a ir erj∑r=1

p

= a ir∑r=1

p

brk ckj∑k=1

q


4.8. Örnek

A(B+C) = AB + AC eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm

4.9. Örnek

(rA) (sB) = (rs)AB eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm


A = 1 2-1 1 0 1

, B = 1 02 1

ve C = 0 -11 3

ise

B + C = 1 -13 4

ise A(B + C) = 1 2-1 1 0 1

1 -13 4

= 7 72 53 4

dir.

AB = 1 2-1 1 0 1

1 02 1

= 5 21 12 1

ve AC = 1 2-1 1 0 1

0 -11 3

= 2 51 41 3

ise

AB + AC = 5 21 12 1

+ 2 51 41 3

= 7 72 53 4

dir. Buradan da

A(B + C) = AB + AC olduğu görülür.

A = 1 -1 32 1 4

, B = 0 1-1

ve r = 2 , s = -1 is

rA = 2 1 -1 32 1 4

= 2 -2 64 2 8

ve sB = (-1) 0 1 -1

= 0 -1 1

ise

rA sB = 2 -2 64 2 8

= 0 -1 1

= 86

dir. Diğer taraftan,


Buradan da (rA) (sB) = (rs)AB olduğu görülür.

d) A, n. mertebeden bir kare matris ise,

AIn = InA = A

dır. Gerçekten de, A = (aij)nxn ve In = (δij)nxn olmak üzere, AIn matrisinini. satır ve j. sütunundaki öğesi,

dir. Birim matrisin tanımından k ≠ j için sij = 0 ve k = j için sij = 1 oldu-ğundan,

olur. Bu eşitlik i, j = 1, 2, ..., n için doğru olduğundan AIn = A dır. InA =A olduğu da benzer şekilde görülebilir.

Not: A ve B matrisleri için hem AB hem de BA işlemleri tanımlı olsa bilegenel olarak AB ≠ BA dır. Örneğin,

O halde, çarpılabilir matrisler için matris çarpımının değişme özelliği yoktur,diyebiliriz.

5. İlkel Satır ve Sütun İşlemleri

5.1. Tanım

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin satırları (veya sütunları) üzerinde yapılan aşa-ğıdaki üç tip işleme ilkel satır (veya sütun) işlemleri denir.


a ik δij∑k=1

n

a ik δij∑k=1

n = a ij

A = -1 2 1 0

ve B = 3 12 4

olsun.

AB = -1 2

1 0 3 1

2 4 = 1 7

3 1 ve BA = 3 1

2 4 -1 2

1 0 = -2 6

2 4 olduğundan AB ≠ BA dır.

AB = 1 -1 32 1 4

0 1 -1

= -4-3

ise (rs)AB = (-2) -4-3

= 86

bulunur


I) A matrisinin herhangi iki satırını (veya sütununu) kendi aralarında yer de-ğiştirmek.

II) A matrisinin herhangi bir satırını (veya sütununu) sıfırdan farklı bir sayı ileçarpmak.

III) A matrisinin herhangi bir satırını (veya sütununu) sıfırdan farklı bir sayı ileçarpıp başka bir satırına (veya sütununa) eklemek.

5.2. Örnek

A matrisinde 1. satır ile 3. satırın yerleri değiştirildiğinde,

A1 matrisinde 2. satır 1/2 sayısı ile çarpılırsa,

A2 matrisinde 3. satır -1 ile çarpılıp 2. satıra eklenirse,

Bu işlemlere devam edilerek farklı matrisler elde edilebilir. Bu yeni matrisler Amatrisine eşit değildir; fakat, A matrisi ile aralarında aşağıda tanımlayacağımız birilişki vardır.

5.3. Tanım

A ve B matrisleri aynı tipten iki matris olsun. B matrisi, A matrisi üzerinde yapıla-cak ilkel satır işlemleri sonucu elde edilebiliyor ise A ile B matrisine denk matrislerdenir. Bu durum A ∼ B şeklinde gösterilir.


A = 1 2 3 -12 4 6 -20 1 1 2

matrisine ilkel satır işlemlerini uygulayalım.

A1 = 0 1 1 22 4 6 -21 2 3 -1

matrisi elde edilir.

A2 = 0 1 1 21 2 3 -11 2 3 -1


A3 = 0 1 1 20 0 0 01 2 3 -1



Örneğin, 5.2. Örnekte verilen

matrisi A1, A2 ve A3 matrislerinin herbirine denktir. Şimdi de

matrisinin I3 'e denk olduğunu görelim. A matrisinin 1. satırını -1 ile çarpıp3. satıra ekleyelim.

Elde edilen bu matrisin 2. satırını 2 ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.

Son matrisin 2. satırını (-1) ile çarpıp 2. satıra ekleyelim.

Bu matrisin 3. satırını (-1) ile çarpıp 1. satıra ekleyelim.

Son olarak bu matrisin 1. satırını 1/2 , 2. satırını (-1) ve 3. satırını 1/3 ile çarpalım.


2 -1 30 -1 02 1 6

~ 2 -1 30 -1 00 2 3

~ 2 -1 30 -1 00 0 3

~ 2 0 30 -1 00 0 3

~ 2 0 00 -1 00 0 3

~ 1 0 00 1 00 0 1

= I3 elde edilir. Bu nedenle A ~ I3 tür.

A = 2 -1 30 -1 02 1 6

A = 1 2 3 -1 2 4 6 -2 0 1 1 2


6. Bir Matrisin Basamak Biçimi

6.1. Tanım

Bir A matrisinin her bir satırında, sıfırdan farklı bir öğe, içinde bulunduğu satırdanönce gelen satırdaki sıfırdan farklı olan ilk öğenin daha sağında yer alıyorsa A mat-risine basamak matris denir.

matrisleri basamak matrislere birer örnektir.

Herhangi bir A matrisine ilkel satır işlemleri uygulanarak, A matrisine denk olanbasamak matris elde edilebilir. Bu şekilde elde edilen matrise A matrisinin ba-samak biçime dönüştürülmüş matrisi denir.

6.2. Örnek

A matrisinin 1. satırını -3 ile çarpıp 2. satırına ve yine 1. satırını -1 ile çarpıp 3. sa-tırına ekleyelim.

Elde edilen matrisin 2. satırını -1/2 ile çarpıp 3. satırına ekleyelim.


A = 1 -1 2 1 23 1 0 1 21 1 0 1 1

matrisini basamak biçime dönüştürelim.

A ~ 1 -1 3 4 4 0 4 -6 -2 -40 2 -2 0 -1

~ 1 -1 3 4 40 4 -6 -2 -40 0 1 1 1

matrisi A matrisinin basamak biçimidir.

A =

1 2 0 3 5 0 3 1 4 2 0 0 1 2 -1 0 0 0 3 0

ve B = 0 1 -1 10 0 0 20 0 0 0


7. Bir Matrisin Rankı

7.1. Tanım

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüşü olan matri-sin, sıfırdan farklı satırları sayısına A matrisinin rankı denir ve r(A) ile gösterilir.

Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir.

7.2. Örnek

A matrisinin 1. satırını 2 ile çarpıp 3. satırına ve 1. satırını -1 ile çarpıp 4. satırınaekleyelim.

Elde edilen matriste 3. satır ile 4. satırı yer değiştirelim.

Bu matriste 2. satırı 1/2 ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.

matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 3 olduğundan r(A) = 3tür.

n. mertebeden bir köşegen matris basamak biçiminde bir matris olacağından, böylebir matrisin rankı, köşegen üzerindeki sıfıra eşit olan öğelerin sayısı k ise n-k dır.Örneğin,


A ~

1 2 -1 0 0 2 1 20 0 0 00 -1 2 1

~

1 2 -1 0 0 2 1 2

0 -1 2 10 0 0 0

~

1 2 -1 00 2 1 20 0 5/2 20 0 0 0

A =

1 2 -1 0 0 2 1 2 -2 -4 2 0 1 1 1 1

kare matrisinin rankını bulalım.


matrisi 5. mertebeden bir köşegen matristir ve n = 5 , k = 1 olduğundan

rank (A) = 5-1 = 4 tür.

Rank tanımından anlaşılacağı gibi, denk matrislerin rankları aynı sayıdır.

Bir matrisin rankı, vektör uzayları ve vektörlerin lineer bağımsızlığı konuları veril-dikten sonra tekrar incelenecektir.

8. Blok MatrislerBlok matrisi tanımlamadan önce, bu tanımda gerekli olan alt matris kavramınıverelim. Bir A = (aij)mxn matrisinde, k tane satır ve l tane sütun çıkarıldığın-da elde edilen (m - k) x (n - l) tipindeki yeni matrise A matrisinin alt matrisi denir.Örneğin,

matrisinde, 3. satır ve 2. ile 4. sütunlar çıkarıldığında elde edilen

matrisi A nın bir alt matrisidir.

8.1. Tanım

Bir

matrisini,


A =

-1 2 3 4 7 8 0 1 2 3 -4 -5

1610 1 0 1 2

B = 1 2 4 6 8 1 0 0 2

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

1 0 0 0 00 2 0 0 00 0 0 0 00 0 0 -1 00 0 0 0 3


r1 + r2 + ... + rp = m , s1 + s2 + ... + sq = n ve

(k = 1, 2, ..., p ; l = 1, 2, ..., q)

ler A nın alt matrisleri olmak üzere

şeklinde yazabiliriz. Bu yazım şekline A matrisinin bloklara ayrılması denir.

8.2. Örnek

olmak üzere

Burada, p = 2 , q = 3 , r1 = r2 = 2 , s1 = 2 , s2 = 3 , s3 = 1 dir.

9. Bir Kare Matrisin Tersi

9.1. Tanım

A, n. mertebeden bir kare matris olsun. Eğer,

AB = In ve BA = In

olacak şekilde n. mertebeden bir B kare matrisi var ise, B matrisine A matrisinin tersidenir.


A =

1 0 -1 3

3 6 0 6

2 2 2 1

-1

2

5

1

0 1 0 2

4

5

2

-3

matrisini

A11 = 1 23 5

, A12 = 0 -1 36 0 6

, A13 = 45

A21 = 2 1-1 0

, A22 = 2 2 11 0 2

, A23 = 2-3

A = A11 A12 A13A21 A22 A23

şeklinde yazabiliriz.

Akl = (a ij)rkxsk

A11 A12 A1qA21 A22 A2q

Ap1 Ap2 Apq


A kare matrisinin tersinin olabilmesi için AB = In ve BA = In koşullarındanyalnızca birinin sağlanması yeterlidir. Ayrıca, A nın tersi var ise bu tektir ve ters mat-ris A-1 ile gösterilir. Bir kare matrisin tersi var ise tek olduğunu aşağıdaki şekildegösterebiliriz:

A, n. mertebeden bir kare matris ve B ile C matrisleri de A matrisinin ters matrisiolsunlar. B ile C nin eşit matrisler olduğunu göstermeliyiz.

AB = In ve CA = In dir. (Ters matris tanımından)

Diğer taraftan,

(CA) B = C (AB) dir. (Çarpma işleminin birleşme özelliğinden)In B = CIn

B = C

elde edilir.

Aşağıda matris tersi ile ilgili iki örnek verilmiştir:

9.2. Örnek

olduğundan B = A-1 dir.

9.3. Örnek

Çözüm

AB = I2 olacak şekilde bir matrisinin olup olmadığını araştıracağız.


A = 3 21 1

matrisi verilsin. B = 1 -2-1 3

matrisinin, A'nın tersi olduğunu

gösterelim. Gerçekten,

AB = 3 21 1

1 -2-1 3

= 1 00 1

= I2

ve BA = 1 -2

-1 3 3 2

1 1 = 1 0

0 1 = I2

A = 1 -1-1 1

olsun. A matrisinin tersi var mıdır?

B = x yz t


İki matrisin eşitliği tanımından,

x-z = 1 y-t = 0-x+z = 0 -y+t = 1

olmalıdır. Fakat bu eşitlikleri sağlayan x, y, z ve t sayıları olmadığından AB = I2koşulunu sağlayacak B matrisi bulunamaz. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.

Not: Eğer A = (a) ise a ≠ 0 iken A-1 vardır ve

Aşağıda, bir kare matrisin tersini, ilkel satır işlemleri yardımıyla elde edebileceği-miz bir yöntem vereceğiz. Önce yöntemde kullanılacak olan ilkel matrisi kavramınıtanımlayalım.

9.4. Tanım

In birim matrisine, ilkel satır işlemlerinin herhangi bir tipi uygulandığında eldeedilen matrise bir ilkel matris denir.

n. mertebeden bir A kare matrisine birinci tip ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen matrise A1 , In birim matrisine aynı ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen ilkel matrise de E1 dersek A1 = E1 A dır.

Örneğin,

matrisinin 1. satırı ile 3. satırını yer değiştirelim.

Bu durumda

dir. Diğer taraftan I3'e aynı ilkel satır işlemini uygularsak


A-1 = 1a dir.

A = 1 2 -1 3 1 1 0 2 4

A1 = 0 2 4 3 1 1 1 2 -1

Eğer böyle bir B matrisi varsa, AB = I2 eşitliğinden, 1 -1-1 1

x yz t

= 1 00 1

ol-

malıdır. Çarpma işlemini yaparsak, x-z y-t

-x+z -y+t = 1 0

0 1 elde edilir.

ve


olur. Buradan,

olduğu görülür.

Benzer şekilde bir A kare matrisine ikinci tip ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen matris A2 ve In'e aynı ilkel satır işlemi uygulandığında elde edilen mat-ris E2 ise E2 A = A2 dir. Yine A matrisine üçüncü tip ilkel satır işlemi uygulandı-ğında elde edilen matris A3 ve In'e aynı ilkel satır işlemi uygulandığında eldeedilen ilkel matris E3 ise E3 A = A3 dür.

Şimdi yöntemi verelim:

A, n. mertebeden bir kare matris olmak üzere, A matrisinin yanına In birim matri-sini ekleyerek nx2n tipinde bir B matrisi oluşturalım.

dir. B matrisine ilkel satır işlemleri uygulayarak, A matrisinin yerinde In birimmatrisini elde edelim. Bu işlemler sonucunda In nin yerinde oluşan yeni matris,A matrisinin tersidir. Aşağıda bu yöntem açıklanmıştır:

A matrisine, ard arda sonlu sayıda ilkel satır işlemlerini uygulayarak, In birim matri-sini elde edelim. Bu durumda,

Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek A = In (1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 3 , 1 ≤ k ≤ 3)

olur. Diğer taraftan In A = A olduğundan yukarıdaki eşitlikte A yerine In A yaza-lım.

Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek In A = In

dir. Ei Ej Ek ... Ei Ej Ek In = C dersek,

CA = In


B =

a11 a12 a1n 1 0 0a21 a22 a2n 0 1 0

an1 an2 ann 0 0 1

E1 A = 0 0 10 1 01 0 0

1 2 -1 3 1 1 0 2 4

= 0 2 4 3 1 1 1 2 -1

= A1

E1 = 0 0 10 1 01 0 0


eşitliğinden A-1 = C olur. C matrisine dikkat edecek olursak, bu matris, In birimmatrisine, A matrisine uygulanan ilkel satır işlemlerinin aynı sırada uygulanmasıile elde edilen matristir. Dolayısıyla B = (A , In) matrisinde, A matrisine ilkel sa-tır işlemleri uygulayarak birim matrisi elde ettiğimizde, In 'e de aynı işlemleri uygu-layarak elde ettiğimiz matris, A nın tersi olan A-1 matrisidir.

9.5. Örnek

matrisinde 1. satırın -1/2 katını 2. satıra ekleyelim.

dir. Bu matrisin 2. satırını -2/3 ile çarpalım.

olur. Elde edilen bu matriste 2. satırın 2 katını 3. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste 2. satırının -3 katını 1. satıra ekleyelim, 3. satırını -1/3 ile çarpa-lım.


B = 2 3 -4 1 0 01 0 1 0 1 00 -2 1 0 0 1

B ~

2

3

-4

1

0

0

0

-3/2

3

-1/2

1

0

0

-2

1

0

0

1

~ 2 3 -4 1 0 00 1 -2 1/3 -2/3 0

0 -2 1 0 0 1

~ 2 3 -4 1 0 00 1 -2 1/3 -2/3 00 0 -3 2/3 -4/3 1

A = 2 3 -4 1 0 1 0 -2 1

matrisinin tersini ilkel satır işlemleri ile bulalım.

~ 2 0 2 0 2 00 1 -2 1/3 -2/3 00 0 1 -2/9 4/9 -1/3


elde edilir. Son elde edilen matrisin 3. satırın -2 katını 1. satıra, 3. satırın 2 katını 2.satıra ekleyelim.

bulunur. Son olarak, 1. satırı 1/2 ile çarpalım.

olur. Bu son matriste A matrisinin yerinde I3 elde edilmiştir. Dolayısıyla I3 ün ye-rinde elde edilen

matrisi A nın ters matrisidir.

9.6. Örnek

Çözüm

dir. B matrisinde, 1. satır ile 2. satırı toplayıp 2. satıra, 1. satır ile 3. satırı toplayıp 3. sa-tıra, 1. satır ile 4. satırı toplayıp 4. satıra ekleyelim.


~ 1 0 0 2/9 5/9 1/30 1 0 -1/9 2/9 -2/30 0 1 -2/9 4/9 -1/3

2/9 5/9 1/3 -1/9 2/9 -2/3 -2/9 4/9 -1/3

A =

-1 1 1 1

1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

ise A-1 = ?

~ 2 0 0 4/9 10/9 2/3 0 1 0 -1/9 2/9 -2/30 0 1 -2/9 4/9 -1/3

B =

-1 1 1 1 1 0 0 0 1 -1 1 1 0 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 0 1 1 1 -1 0 0 0 1


olur. Bu matrisin 2. satırı ile 3. satırını yer değiştirelim.

dir. Elde edilen bu matrisin 2. satırının -1 katını 4. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matrisin 3. satırının -1 katını 4. satıra ekleyelim.

elde edilir. Elde edilen bu son matriste 3. satırın -1/2 katını 1. satıra, 4. satırın 1/2katını 2. satıra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste, 4. satırın 1/2 katını 3. satıra, 2. satırın -1/2 katını 1. satıra ekle-yelim.


~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 2 -2 0 0 -1 1

~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

-1 1 0 0 1/2 -1/2 0 0 0 2 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

B ~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1

~

-1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 2 2 1 0 0 1


dir. Son olarak 1. satırı -1 ile, 2. satırı 1/2 ile, 3. satırı 1/2 ile ve 4. satırı -1/4 ileçarpalım.

bulunur. O halde,

matrisidir.

9.7. Örnek

matrisinde 1. satırın -1/2 katını 2. satıra ekleyelim ve 1. satır ile 3. satırı toplayıp3. satıra yazalım.


A = 2 -1 2

1 1 1 -2 1 -2

matrisinin tersini bulmaya çalışalım.

B = 2 -1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 0 -2 1 -2 0 0 1

B ~ 2 -1 2 1 0 00 3/2 0 -1/2 1 00 0 0 1 0 1

~

-1 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 0 2 0 0 1/2 -1/2 1/2 1/2 0 0 2 0 1/2 1/2 -1/2 1/2 0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

1 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 1/40 1 0 0 1/4 -1/4 1/4 1/40 0 1 0 1/4 1/4 -1/4 1/40 0 0 1 1/4 1/4 1/4 -1/4

A-1 = 14

-1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1


Bu matrise göre rank (A) = 2 dir. Diğer taraftan rank (I3) = 3 olduğuna göre, Amatrisinden hareketle ilkel satır işlemleri ile I3 matrisi elde edilemez. Çünkü Amatrisi ile I3 birim matrisinin rankları farklı olduğu için denk matrisler değiller-dir. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.

Değerlendirme SorularıAşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1.

A. -1 B. 1C. 2 D. 5E. 7

2.

A. x= -y B. x= yC. y= 1-x D. y= 1+xE. x≠ y

3.

A. B.

C. D.

E.


2 -2 1 3 2 1 0 1 0

- 3 1 0 2 -10 1 2 2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

-1 2 12 1 2 3 8 6

-7 2 0 7 2 -3 -4 -6

-1 1 5 1 1 1 3 2

-1 2 12 1 2 3 7 6

-7 2 0 7 2 3 8 6

A =

-1 0 0 0 1 0 x+y 0 3 4 5 0

x-y 6 7 -5

A = -1 2 3 5 6 2 0 1 -1 2 1 5 7 -2 1

matrisi, x ve y nin hangi değerleri için altüç-gensel bir matristir?

matrisinin a23 öğesi aşağıdakilerdenhangisidir?


4.

A. (1) B. (0)

C. D.

E.

5. Aşağıdaki matrislerden hangisi transpozesine eşittir?

A. B.

C. D.

E.

6.

A. 0 B. 1C. 2 D. 3E. 4


A =

1 1 1 21 1 2 11 2 1 12 2 4 2

1 -1 2 0 2 -2 4 0 1 -1 2 0

-1 1 -2 0

1 0 0 -2 1 1 0 2 1

5 0 1 0 5 2 1 -2 5

1 2 3 -2 1 3 -3 -3 1

5 4 -6 4 0 1

-6 1 2

4 5 6 -5 2 4 6 4 4

1-1 2 0

1 2 1 -1 matrisi aşağıdaki lerden hangisidir?

1 2 1 -1 -1 -2 -1 1 2 4 2 -2 0 0 0 0

1 2 1 -1 -1 -2 -1 1 2 4 2 -2 -1 2 1 -1

matrisinin rankı aşağıdaki sayılardanhangisidir?


7. Aşağıdaki matrislerden hangisi I4'e denktir?

A. B.

C. D.

E.

8.

A. B.

C. D.

E.

9.

A. (6) B. (9)

C. D. (0 -2 8)

E.


0 2 4 3-1 2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

0 0 0 6 -2 412 -4 8

0-2 8

A = 1 10 -1

matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

-1 0-1 1

1 01 -1

-1 1 0 1

-1 -10 1

1 10 -1

1 2 1 20 1 1 12 4 2 41 0 0 0

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 0 0

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 0

-1 0 0 1 3 1 2 -3 1 1 1 -1 1 1 3 -1

1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1


10.

A. B.

C. D.

E.

11. A bir kare matris olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğ-rudur?

A. AAt simetrik bir matristir. B. A - At simetrik bir matristir.C. A + At ters simetrik bir matristir. D. A At skaler bir matristir.E. A - At alt üçgensel bir matristir.

12.

16

A. 12 B. 9C. 7 D. 5E. 2

13.

A. -2 B. -1C. 0 D. 1E. 2

14. A, 5x7 tipinde bir matris olmak üzere, AB - 2I5 işleminin yapılabilmesi için,B hangi tipte bir matris olmalıdır?

A. 5x5 B. 7x7C. 7x5 D. 5x7E. Hiçbiri


A =

3 1 -2 7 2 4 -1 3 0 0 2 -1

1 0 00 1+x 0

2-x 0 0

matrisinin köşegen matris olması için x ne olmalıdır?

A = 1 12 1

, B = 0 11 0

matrisleri veriliyor.

A = BX matris eşitliğini sağlayan X matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

0 11 0

1 00 1

1 12 1

1 -12 1

2 11 1

matrisinin öğeleri kullanılarak yapılan a12 - a13 +2a42 + 2a43 işleminin sonucu nedir?


15.

A. a = 1 B. a = -1b = -1 b = 1

C. D.

E.

16.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.


A =

1 1 2 12 1 1 11 2 1 11 1 2 1

matrisinin tersi varsa, aşağıdakilerden hangisidir?

1 1 0 0 -1 -1 0 -3 0 -1 -2 0

1 0 2 3

1/2

1 1 0 0 -1 -1 0 -3 0 -1 -2 0 1 0 2 3

0 1 0 0 -2 -1 0 -3 2 -1 -2 0 -1 0 2 3

1/4

-1 -1 2 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1

12

1 -2 0 4 6 1 6 8 0 0 0 1

-2

0 1 -1 2 1 1 3 0 a-b 2 a+b 0

=

1/2 -3 2-2 1 -3/2-3 4 0-4 2 1/2

ise

a ve b nin değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

a = -1/2 b = -1/2

a = 1/2 b = 1/2

a = -1/2 b = 1/2


17.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. B 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A 10. E11. A 12. D 13. E 14. C 15. C 16. E 17. B


2 1 -3 1 1 0 -1 2 1 2 0 0 1 2 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 2

matrisinin tersi varsa, aşağıdakilerden hangisidir?

1 1 1 -1 10 -2 4 -3/2 20 0 2 -1 10 0 0 1/2 -20 0 0 0 1

1/2

1 1 1 -1 10 -2 4 -3/2 20 0 2 -1 10 0 0 1/2 -20 0 0 0 1

1 0 0 0 01 -2 0 0 01 4 2 0 0-1 -3/2 -1 1/2 01 2 1 -2 1

1/2

1 0 0 0 01 -2 0 0 01 4 2 0 0-1 -3/2 -1 1/2 01 2 1 -2 1

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• determinant kavramını tanıyacak,• determinant ile ilgili bazı özellikleri öğrenip, bir kare matrisin

determinantını daha kolay hesaplayabilecek, • bir kare matrisin tersinin olup olmadığına karar verebilecek bir

kriter görecek,• bir kare matrisin tersinin determinantını ve ek matris yardı-

mıyla tersinin bulunmasını öğreneceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 41• Minör ve Kofaktör 41• Saruss Kuralı 46• Determinantın Özellikleri 48• Ek Matris ve Ters Matris 50• Değerlendirme Soruları 55

ÜNİTE

2Determinantlar

YazarYrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN



• Bu üniteyi çalışmadan önce Matrisler konusunu gözden geçiri-niz.

• Bu üniteyi çalışırken tanımlar ve özellikleri çok iyi kavrayınız.• Ünitede ki çözülmüş örnekleri, çözümlerine bakmadan kendi-

niz çözüp, sonuçları karşılaştırınız.• Ünite içinde size bırakılan soruları ve değerlendirme sorularını

çözünüz.


1. GirişHer kare matrise, adına o matrisin determinatı denilen bir gerçel sayı karşılık getiri-lir. Bir başka deyişle, kare matrislerin kümesinden gerçel sayılar kümesine determi-nat fonksiyonu denilen bir fonksiyon tanımlanabilir. Bu fonksiyon altında bir A karematrisinin görüntüsü, det(A) ya da |A| simgelerinden biriyle gösterilen bir sayıdır.Determinat fonksiyonunun nasıl tanımlandığı ayrıntı gerektiren bir konudur. Bunedenle, bu ayrıntıya girmeden, basit kurallar ile bir A kare matrisinin determinantıdenilen |A| sayısının nasıl bulunabileceği konusu üzerinde duracağız.

Eğer A = (a) ise, yani 1. mertebeden bir kare matris ise, det(A) = a dır.

Şimdi n ≥ 3 için n. mertebeden bir kare matrisin determinantının 2. mertebeden altmatrislerin determinantlarına indirgenerek nasıl hesaplanabileceğini görmek içingerekli olacak bazı kavramlar tanımlayacağız.

2. Minör ve Kofaktör

2.1. Tanım

A = (aij)nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤ i ≤ , 1 ≤ j ≤ n) öğesinin bulunduğu i. satırile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determi-nantına, A matrisinin aij öğesinin minörü denir ve aij öğesinin minörü Mij ile gös-terilir.

Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, aij öğesinin minörünüşöyle gösterebiliriz:

D E T E R M İ N A N T L A R 41

Eğer A = a bc d

ise, yani 2. mertebeden bir kare matris ise

det(A) = a b c d

+

- = ad - bc

olarak tanımlanır. Örneğin A= 3 2

-1 5 için det(A) = 3.5 - (-1) . 2 = 17 dir.


olmak üzere,

2.2. Örnek

2.3. Tanım

A = (aij)nxn matrisinde, bir aij öğesinin minörü olan Mij nin (-1)i+j ile çarpılmasıy-la elde edilen sayıya, aij öğesinin kofaktörü (eş çarpanı) denir ve aij nin kofaktörüAij ile gösterilir. Örneğin, yukarıda örnek olarak verilen A matrisinde,

a11 = 1 öğesinin kofaktörü A11 = (-1)1+1 . M11 = 1 . 4 = 5,a32 = -2 öğesinin kofaktörü A32 = (-1)3+2 . M32 = (-1) . 1 = -1 dir.

D E T E R M İ N A N T L A R42

A =

a11 a12 a1 j-1 a1j a1 j+1 a1na21 a22 a2 j-1 a2j a2 j+1 a2n

a i-1 1 a i-1 2 a i-1 j-1 a i-1 j a i-1 j+1 a i-1 na i1 a i2 a i j-1 a ij a i j+1 a in

a i+1 1 a i+1 2 a i+1 j-1 a i+1 j a i+1 j+1 a i+1 n

an1 an2 an j-1 anj an j+1 ann

→ i. satır

↓

j. sütun

Mij =

a11 a12 a1 j-1 a1 j+1 a1na21 a22 a2 j-1 a2 j+1 a2n

a i-1 1 a i-1 2 a i-1 j-1 a i-1 j+1 a i-1 na i+1 1 a i+1 2 a i+1 j-1 a i+1 j+1 a i+1 n

an1 an2 an j-1 an j+1 ann

dir.

matrisinde, a11 = 1 öğesinin minörü M11 = 2 1-2 1

= 2 . 1 - -2 . 1 = 4,

a32 = -2 öğesinin minörü M32 = 1 2

0 1 = 1 . 1 - 0 . 2 = 1 dir

A = 1 -1 20 2 14 -2 1

a i 1 a i 2 . . . a i (j-1)

a 1 ja 2 j

a (i -1)ja i j

a (i +1)ja nj

a i (j+1) . . . a i n


Şimdi herhangi bir kanıtlama yapmadan, n ≥ 2 için kofaktörler yardımıyla, n. merte-beden bir matrisin determinantının (n-1). mertebeden kare matrislerin determi-nantları türünden hesaplanışına ilişkin bir kuralı aşağıdaki gibi bir formülle verece-ğiz:

n ≥ 2, A = (aij)nxn matrisi için, 1 ≤ i≤ n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalanbir i için

olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i.yinci satıra göre açılı-mı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de he-saplanabilir. 1 ≤ j ≤ n olmak üzere, j.yinci sütuna göre açılım

formülüyle verilir.

A matrisinin determinantı, bu matrisin herhangi bir satırındaki (veya sütunundaki)öğelerin kofaktörleriyle çarpılıp, toplanmasıyla elde edilmektedir. Bu yöntemi ardarda uygulayarak n. mertebeden bir kare matrisin determinantını 2. mertebeden ka-re matrislerin determinantlarına indirgeyebilmekteyiz.

2.4. Örnek

matrisinin determinantını kofaktörler yardımıyla hesaplayalım. A nın determinan-tını hesaplamak için herhangi bir satır veya sütunu seçebiliriz. Biz bu örnekte 2. sü-tunu seçelim. Bu durumda,

det(A) = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 dir.


A = 2 1 3 -1 0 2 3 5 1

105

A12 = -1 1+2 M12 = -1 -1 2 3 1

= 7

A22 = -1 2+2 M22 = 1 2 3

3 1 = -7

det A = a ijAij = a i1Ai1 + a12Ai2 + ... + a inAin∑j=1

n

det A = a ijAij = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj∑i

n


2.5. Örnek

Çözüm

A matrisinin determinantını 3. satıra göre açalım. Buna göre,

det(A) = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 tür. Burada,

A31 = (-1)3+1 M31 , A32 = (-1)3+2 M32 , A33 = (-1)3+3 M33 ve A34 = (-1)3+4 M34

olduğundan dört tane 3. mertebeden kare matrisin determinantını hesaplamamızgerekmektedir. Bu determinantlar için de aynı yöntemi uygularsak, A matrisinindeterminantını 2. mertebeden kare matrislerin determinantlarına indirgemiş olu-ruz. O halde,

(1)

eşitliğinde, bu dört determinantın herbirini 1. satıra göre açalım. (Aslında herbir de-terminant farklı satır veya sütuna göre açılıp hesaplanabilir.)


A32 = -1 3+2 M32 = -1 2 3-1 2

= -7 ise

det(A) = 1 . 7 + 0 . (-7) + 5 . (-7) = -28 bulunur.

A =

1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1

ise det A nedir?1 1 2 2

det A = 1 . -1 3+1 2 3 4 3 2 1 2 1 1

+ 1 . -1 3+2 1 3 4 4 2 1 2 1 1

+ 2 . -1 3+3 1 2 4 4 3 1 2 2 1

+ 2 . -1 3+4 1 2 3 4 3 2 2 2 1

2 3 4

3 2 1

2 1 1

= 2 . -1 1+1 2 1

1 1 + 3 . -1 1+2 3 1

2 1 + 4 . -1 1 +3 3 2

2 1 = - 5 ,


olduğundan, bulunan sonuçlar (1) eşitliğinde yazılarak

det(A) = 1 . (-5) + (-1) . (-5) + 2 . 5 + (-2) . 5 = 0 bulunur.

Not: Kofaktörler ile determinant hesaplarken, sıfır sayısının çok bulunduğu satırveya sütunlardan biri seçildiğinde, daha az işlem yaparak, determinantı hesaplaya-bileceğinize dikkat ediniz.

2.6. Örnek

Çözüm

A matrisinin 3. sütunundaki beş öğeden dördü sıfır olduğundan, determinantı 3.sütuna göre açarsak daha az işlem yapmış oluruz. Yani,


1 3 4 4 2 1 2 1 1

= 1 . -1 1+1 2 1 1 1

+ 3 . -1 1+2 4 1 2 1

+ 4 . -1 1 +3 4 2 2 1

= -5 ,

1 2 4 4 3 1 2 2 1

= 1 . -1 1+1 3 1 2 1

+ 2 . -1 1+2 4 1 2 1

+ 4 . -1 1 +3 4 3 2 2

= 5,

1 2 3 4 3 2 2 2 1

= 1 . -1 1+1 3 2 2 1

+ 2 . -1 1+2 4 2 2 1

+ 3 . 1 1 +3 4 3 2 2

= 5

A =

2 0 0 -1 0 0 1 1 0 -1 4 0 0 -2 0 1 5 0 1 0

0 1 0 5 -3

ise det A nedir?

01000

det(A) = -1 1+3 . 0 .

0 1 0 -1 4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 2+3 . 1 .

2 0 -1 0 4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 3+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1

1 5 1 0

0 1 5 -3

+ -1 4+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1

4 0 -2 0

0 1 5 -3

+ -1 5+3 . 0 .

2 0 -1 0

0 1 0 -1 4 0 -2 0

1 5 1 0


3. Saruss Kuralı3. mertebeden bir kare matrisin determinantını kofaktörler ile hesaplama formülü-nü kolay bir kurala dönüştürebiliriz. Bu kuralı bulmak için önce 3. mertebeden birkare matrisin 1. satıra göre determinant açılımını yazalım.

= a11 (a22 a33 - a32 a23) - a12 (a21 a33 - a31 a23) + a13 (a21 a32 - a31 a22)= (a11 a22 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a32) - (a11 a32 a23 + a12 a21 a33 + a13 a31 a22)

elde edilir. Şimdi A matrisine aşağıdaki işlemleri uygulayalım. Önce matrisin 1. ve2. satırlarını sırasıyla 4. ve 5. satır olarak aşağıdaki şekilde yazalım.


= -1

2 0 -1 0

4 0 -2 0

1 5 1 0

0 1 5 -3

elde edilir. Bu determinantı hesaplamak

içinde 4. sütuna göre açarsak,

det(A) = -1 . -1 4+4 . -3 . 2 0 -1

4 0 -2

1 5 1

= 3 . 2 0 -1

4 0 -2

1 5 1

olur. Bu determinantı da 2. sütuna göre açarsak,

det(A) = 3 . -1 3+2 . 5 . 2 -1

4 -2 = 3 . -5 . 2 -1

4 -2

= -15 . 2 . -2 - 4 . -1 = -15 -4 + 4 = 0 bulunur.

000-3

005

A =

a 11 a 12 a13 a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33

ise,

,

det A = -1 1+1 a11

a 22 a 23a 32 a 33

+ -1 1+2 a12 a 21 a 23a 31 a 33

+ -1 1+3 a13

a 21 a 22 a 31 a 32

A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23

-

+


Düz çizgili çarpımların toplamından, kesikli çizgili çarpımların toplamı çıkarılırsaaşağıdaki ifade elde edilir:

(a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23) - (a31 a22 a13 + a11 a32 a23 + a21 a12 a33)

Bu ifade ile det(A) karşılaştırıldığında eşit olduğu görülür. Yani, yukarıda verilenkural ile A matrisinin determinantı daha kolay bir şekilde hesaplanmış olur. İşte bukurala Saruss kuralı denir. Aynı kuralı, A matrisinin sütunları ile işlem yaparak daelde edebiliriz. A matrisinin 1. ve 2. sütunlarını sırasıyla 4. ve 5. sütun olarak yaza-lım.

Yine, düz çizgili çarpımların toplamından, kesikli çizgili çarpımların toplamı çıkarı-lırsa elde edilen,

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)

ifadesinin det(A) 'ya eşit olduğu açıktır.

Not: Saruss kuralının yalnızca 3. mertebeden kare matrisler için geçerli olduğunuunutmayınız.

3.1. Örnek

Önce, A matrisinin 1. ve 2. satırlarını sırasıyla 4. ve 5. satır olarak yazalım.


A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32

-

+

A = 1 -1 20 3 41 1 5

matrisinin determinantını hesaplayalım.

A = 1 -1 2 0 3 4 1 1 5

1 -1 2

0 3 4

-

+


det(A) = (1 . 3 . 5 + 0 . 1 . 2 + 1 . (-1) . 4) - (1 . 3 . 2 + 1 . 1 . 4 + 0 . (-1) . 5) = 1 bu-lunur.

Aynı matrisin determinantını sütunlar ile bulalım. Bunun için önce 1. ve 2. sütunlarısırasıyla 4. ve 5. sütun olarak yazalım.

det(A) = (1 . 3 . 5 + (-1) . 4 . 1 + 2 . 0 . 1) - (1 . 3 . 2 + 1 . 4 . 1 + 5 . 0 . (-1) ) = 1

bulunur.

4. Determinantın ÖzellikleriBu bölümde kare matrislerin determinantlarının hesaplanmasını kolaylaştıracakbazı özellikler verilecektir.

a) A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yerdeğiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(B) = -det(A) dır.

b) A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındakitüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(B) = r det(A)dır.Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (aij)nxn olmak üzere, det(r A) = rn det(A)dır.

c) Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(A) = 0 dır.d) Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(A) = 0

dır.e) Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı r gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir

satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(B) = det(A) dır.f) Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki

öğelerin çarpımına eşittir.g) Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-

nantına eşittir. Yani det(A) = det(At) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun ya-zıldığında sonuçlar yine doğru olur.

h) A ve B n. mertebeden iki matris ise det(AB) = det(A) det(B) dir.

Aşağıda determinantın özellikleriyle ilgili örnekler verilmiştir:


A = 1 -1 2 0 3 4 1 1 5

1 -1 0 3 1 1

-

+


4.1. Örnek

matrisinde, 2. satır 1. satırın (-3) katıdır. Yani 1. satır ile 2. satır orantılıdır. O haldedet(A) = 0 dır. Gerçekten,

det(A) = (1 . 3 . 4 + (-1) . (-3) . 2 + 1 . (-3) . 1) - (2 . 3 . 1 + 1 . (-3) . 1 + 4 . (-3) . (-1)) = 0 dır.

4.2. Örnek

eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz.

Çözüm

dir.


A = 1 -1 1-3 3 -3 2 1 4

A = 1 -1 1 -3 3 -3 2 1 4

1 -1-3 3 2 1

olmak üzere,

A = 1 2-1 3

ve B = 0 21 -1

ise det(AB) = det(A) det(B)

AB = 1 2

-1 3 0 2

1 -1 = 2 0

3 -5 ise,

det(AB) = 2 0

3 -5 = 2. (-5) - 3 . 0 = -10 dur. Diğer taraftan

det(A) = 1 2

-1 3 = 3 - -1 . 2 = 5 ve

det(B) = 0 2

1 -1 = 0 . -1 -1 . 2 = -2 olduğundan

det(A) det(B) = 5 (-2) = -10 dur. Dolayısıyla det(AB) = det(A) det(B)


4.3. Örnek

2. satır ile 3. satır yer değiştirildiğinde elde edilen matris,

det(B) = (1 . (-1) . 2 + (-1) . 3 . 0 + 1 . 1 . 1) - (0 . (-1) . 1 + 1 . 3 . 1 + 2 . 1 . (-1) = -2dir.

Buradan da det(B) = -det(A) olduğu görülür.

5. Ek Matris ve Ters MatrisBu bölümde, bir kare matrisin ters matrisinin varlığı ile ilgili bir teorem ve ters mat-ris bulmak için yeni bir yöntem verilecektir.

5.1. Tanım

A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin öğelerinin kofaktörlerindenoluşan n. mertebeden kare matrisin transpozesine, A matrisinin ek matrisi denirve ek matris A* ile gösterilir.

n. mertebeden bir kare matrisin ek matrisini açık olarak gösterelim:


A = 1 -1 10 1 2 1 -1 3

olsun. A matrisinde

B = 1 -1 10 -1 30 1 2

ise det(B) = - det(A) olduğunu gösterelim.

A = 1 -1 10 1 21 -1 3

1 -1 0 1 1 -1

olmak üzere,

det(A) = (1 . 1 . 3 + (-1) . 2 . 1 + 1 . 0 . (-1) - (1 . 1 . 1 + (-1) . 2 . 1 + 3 . 0 . (-1)) = 2 ve

B = 1 -1 11 -1 30 1 2

1 -1 1 -1 0 1

olmak üzere,

A =

a 11 a 12 a 1n

a 21 a 22 a 2n

a n1 a n2 a nn

ise, A matrisinin


kofaktörlerinden oluşan matris,

5.2. Örnek

Çözüm

A11 = (-1)2 M11 = 13 , A12 = (-1)3 M12 = -10 , A13 = (-1)4 M13 = -2 ,A21 = (-1)3 M21 = 12 , A22 = (-1)4 M22 = -3 , A23 = (-1)5 M23 = -6 ,A31 = (-1)4 M31 = -17 , A32 = (-1)5 M32 = 11 , ve A33 = (-1)6 M33 = 13 ise,

kofaktörlerden oluşan matris,

matrisidir. Bu matrisin transpozesini alırsak,

A matrisi ile bu matrisin ek matrisi olan A* ı çarpalım.


A11 A12 A1nA21 A22 A2n

An1 An2 Ann

dir. Bu durumda A nın ek matrisi

A* =

A11 A21 An1A12 A22 An2

A1n A2n Ann

dir.

A = 1 -2 3 4 5 1 2 2 3

matrisinin ek matrisini bulalım.

13 -10 -212 -3 -6-17 11 13

A* = 13 12 -17-10 -3 11-2 -6 13

bulunur.

AA* = 1 -2 34 5 12 2 3

13 12 -17-10 -3 11-2 -6 13

= 27 0 00 27 00 0 27


elde edilir. Görüldüğü gibi, AA* matrisi bir skaler matristir. Ayrıca, det(A) = 27 dir.Buradan,

elde edilir. Bu durumu n. mertebeden kare matrislere, aşağıdaki şekilde genelleye-biliriz.

5.3. Özellik

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(A)In dir.

Bu özellik yardımıyla, bir kare matrisin, varsa ters matrisini elde etmenin bir yönte-mini vereceğiz. Fakat daha önce, ters matrisin varlığı ile ilgili bir kriter sunalım.

5.4. Tanım

A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) ≠ 0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A yasingüler matris denir.

5.5. Teorem

A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regülermatris olmasıdır.

Kanıt: Bu kanıtı iki yönlü yapacağız. Önce, A nın n. mertebeden bir regüler matrisolduğunu kabul edelim. Bu durumda, AB = BA= In olacak şekilde n. mertebeden birB matrisinin varlığını göstermeliyiz. Ek matris özelliğinden,

AA* = det(A) In (1)

yazabiliriz. A regüler matris olduğundan det(A) ≠ 0 dır. O halde (1) eşitliğinden

eşitliği elde edilir. Buradan olur.

dersek AB = In olacak şekildeki B matrisi bulunmuş olur. Ben-


AA* = 27 0 00 27 00 0 27

= 27 1 0 00 1 00 0 1

= det(A) I3

1det(A)

AA* = In

A 1det(A)

A* = In

B = 1det(A)

A*


zer şekilde, A*A = det(A) In eşitliğinden BA = In koşulunu sağlayan B matrisinin

Şimdi, AB = BA = In olacak şekildeki B matrisinin varolduğunu kabul edelim. Bu du-rumda A nın regüler matris olduğunu göstermeliyiz.

AB = In ise det(AB) = det( In ) dir. Determinant özelliklerinden det(AB) = det(A) det(B) ve ayrıca det( In ) =1 olduğundandet(A) det(B) =1 olur.

Dolayısıyla det(A) ≠ 0 ve det(B) ≠ 0 dır. O halde A matrisi regüler matristir.

Aşağıda bu teoremden elde edilen bir sonuç verilmiştir.

5.6. Sonuç

A bir kare matris olsun. Eğer det(A) ≠ 0 ise A-1 vardır ve

5.7. Örnek

Çözüm

A altüçgensel bir matris olduğundan, determinantı köşegeni üzerindeki öğelerinçarpımına eşittir.

Bu durumda det(A) = 1 . 2 . 3 . 1= 6 ≠ 0 dır ve dolayısıyla A-1 vardır. Şimdi A-1'i bulalım.

A11 = (-1)2. M11 = 6, A12 = (-1)3. M12 = -6, A13 = (-1)4. M13 = 2, A14 = (-1)5. M14 = 4, A21 = (-1)3. M21 = 0, A22 = (-1)4. M22 = 3, A23 = (-1)5. M23 = 0, A24 = (-1)6. M24 = -3, A31 = (-1)4. M31 = 0, A32 = (-1)5. M32 = 0, A33 = (-1)6. M33 = 2, A34 = (-1)7. M34 = -2,A41 = (-1)5. M41 = 0, A42 = (-1)6. M42 = 0, A43 = (-1)7. M43 = 0, A44 = (-1)8. M44 = 6,

olmak üzere,


1det(A)

A* olduğu görülür

A-1 = 1det(A)

A* dır.

A =

1 0 0 0 2 2 0 0-1 0 3 00 1 1 1

matrisinin varsa tersini bulunuz


dir. Böylece,

dir.

Sizde AA-1 = In olduğunu doğrulayınız.

5.8. Sonuç

A kare matrisinin tersi var ise, (A-1)-1 = A dır ve

Aşağıda ters matris ile ilgili bazı özellikler verilmiştir.

a) A bir kare matris olsun. A nın tersi var ise At nin de tersi vardır ve (At)-1 =(A-1)t dir.

Kanıt: At nin tersinin olabilmesi için det (At) ≠ 0 olduğunu göstermeliyiz. Deter-minant özelliklerinden, det(At) = det(A) dır. det(A) ≠ 0 olduğundan det(At) ≠ 0olur. O halde At nin tersi vardır.

Şimdi At nin tersinin, A nın tersinin transpozesi olduğunu gösterelim.

At (A-1)t = (A-1A)t (Transpoze özelliğinden)= (In)t= In

ise At nin tersi (A-1)t dir. Yani (At)-1 = (A-1)t dir.

b) A ve B n. mertebeden iki kare matris olsunlar. A ve B matrislerinin tersi varise AB nin de tersi vardır ve (AB)-1 = B-1 A-1 dir. Çünkü, A ve B nin tersi varise,det(A) ≠ 0 ve det(B) ≠ 0 dır. O halde det(A) det(B) ≠ 0 dır. Yani AB nin tersi vardır ve

(AB) (B-1A-1) = A (BB-1)A-1 = AInA-1 =AA-1 =In

dir. Bu nedenle (AB)-1 = B-1A-1 dir.


A* =

6 0 0 0 -6 3 0 0 2 0 2 0 4 -3 -2 6

A-1 = 1/6

6 0 0 0 -6 3 0 0 2 0 2 0 4 -3 -2 6

=

1 0 0 0-1 1/2 0 0

1/3 0 1/3 02/3 -1/2 -1/3 1

det A-1 = 1det(A)

dır.


Değerlendirme SorularıAşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1.

matrisi verilsin. M21 M13 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A. -36 B. -48C. 36 D. 48E. 64

2.

ise det(A) aşağıdakilerden hangisidir?

A. -10 B. -5C. -2 D. 0E. 10

3.

ise a44 ün kofaktörü A44 aşağıdakilerden hangisidir?

A. -2 B. -1C. 0 D. 1E. 2

4.

olması için x ne olmalıdır?

A. 1/2 B. 1C. 3/2 D. 2E. 5/2


A = 1 2 3 -1 1 0 2 4 2

A =

1 2 0 0 -2 1 0 0 1 0 1 0

-3 1 1 2

A =

1 2 1 0 2 4 2 1 -1 3 3 2 1 1 0 -2

det2 -2 30 x-2 10 0 -1

= 1


5.

ise det (A) aşağıdakilerden hangisidir?

A. -216 B. -12C. 12 D. 72E. 216

6.

matrisinin ek matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

7. Aşağıdaki matrislerden hangisinin ters matrisi yoktur?

8. A 5. dereceden bir kare matris ve det (A) =2 olduğuna göre det (2A) aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A. 8 B. 16C. 32 D. 64E. 128


A =

2 -1 0 -2 4 1 0 3 -1 -2 3 1 0 -3 0 5

A = 1 0 1 0 1 0 0 1 1

A. 1 0 0 0 1 1 1 0 1

C. 1 0 0 1 1 -1 -1 0 1

E. 1 0 0 -1 1 0 -1 0 1

B. 1 1 -1 0 1 0 0 -1 1

D. 1 -1 -1 0 1 0 0 1 1

A. 1 1-1 0

C. -2 2

2 -2 E. -1 1

1 1

B. 2 11 2

D. 0 1

1 0


9.

matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

10.

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A. -24 B. -12C. 0 D. 12E. 24

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1.D 2.E 3.C 4.C 5.E 6.B 7.C 8.D 9.B 10.E


A = 1 2 1 1 1 2 2 1 1

A. A-1 = -1 -1 3 3 -1 -1 -1 3 -1

C. A-1 = -1 -1 6 6 -1 -1 -1 6 -1

E. A-1 = 1 1 -6 -6 -1 -1

1 1 -6

B. A-1 = -1/4 -1/4 3/43/4 -1/4 -1/4-1/4 3/4 -1/4

D. A-1 = -1/4 -1/4 3/23/2 -1/4 -1/4-1/4 3/2 -1/4

1 2 3 4 5 0 3 1 2 6 0 0 -2 2 8 0 0 0 4 -5

0 0 0 0 -1

= 24 ise

0 3 1 2 6 1 2 3 4 5 0 0 0 4 -5 0 0 -2 2 8

0 0 0 0 -1

determinantının

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını

öğrenecek,• Lineer Denklem Sistemlerinin çözümlerinin varlığını tartışabi-

lecek,• Lineer Denklem Sistemlerinin çözüm yöntemlerini öğrenecek-

siniz.

İçindekiler

• Giriş 61• Lineer Denklem Sistemleri 62• Cramer Yöntemi 79• Değerlendirme Soruları 83

ÜNİTE

3Lineer Denklem SistemleriYazarYrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN



• Bu üniteyi çalışmadan önce, matris, rank ve determinant kav-ramlarını tekrarlayınız.

• Ünitedeki çözülmüş örnekleri kendiniz tekrar çözüp, sonuçlarıkarşılaştırınız.

• Değerlendirme sorularını çözünüz.


1. GirişDüzlemdeki bir d doğrusunun denkleminin ax + bx + c = 0 şeklinde olduğunu bili-yoruz. Bu denkleme aynı zamanda iki bilinmeyenli bir lineer denklem denir. ddoğrusu üzerindeki her (x, y) noktası bu denklemi sağlar. Tersine bu denklemi sağ-layan her (x, y) sıralı ikilisine karşılık gelen nokta da d doğrusu üzerindedir. Şimdi,düzlemde denklemleri, sırasıyla, a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 olan d1ve d2 doğrularını gözönüne alalım. Bu doğruların düzlemdeki konumlarına göreaşağıdaki üç durum söz konusu olabilir:

I. Durum: d1 ve d2 doğruları bir noktada kesişirler. Böyle bir durumda

a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0

denklemini birlikte sağlayan tek bir (x, y) sıralı ikilisi vardır. Bu (x, y) sıralı ikilisinekarşılık gelen nokta d1 ve d2 doğrularının kesim noktasıdır. Başka bir deyişle, bu ikilineer denklemin bir tek çözümü vardır.

II. Durum: d1 ve d2 doğruları çakışıktır. Bu durumda d1 doğrusu üzerindeki hernokta d2 doğrusu üzerinde ve d2 doğrusu üzerindeki her nokta da d1 doğrusu üze-rindedir. Diğer taraftan d1 doğrusu üzerindeki her (x, y) noktası a1x + b1y + c1= 0 lineer denkleminin, dolayısıyla a2x + b2y + c2 = 0 lineer denkleminin bir çö-zümü olduğuna göre, bu iki lineer denklemin sonsuz sayıda ortak çözümü vardır.

III. Durum: d1 ve d2 doğruları paraleldir. Bu durumda bu iki doğrunun hiç bir ortaknoktası yoktur. Dolayısıyla bu iki doğruya karşılık gelen a1x + b1y + c1 = 0 vea2x + b2y + c2 = 0 lineer denklemlerinin ortak çözümleri yoktur.

Doğrular için yapılan bu tartışma, uzayda verilen üç düzlem için de yapılabilir.Uzayda verilen bir P düzleminin denklemi ax + by + cz + d = 0 şeklindedir. Bu denk-leme üç bilinmeyenli bir lineer denklem denir. P düzlemi üzerindeki her (x, y, z)noktası bu denklemi sağlar. Tersine bu denklemi sağlayan her (x, y, z) sıralı üçlüsü-ne karşılık gelen nokta da P düzlemi üzerindedir. Şimdi denklemleri sırasıyla

a1x + b1y + c1 z + d1 = 0, a2x + b2y + c2 z + d2 = 0, a3x + b3y + c3 z + d3 = 0

olan P1, P2 ve P3 düzlemlerini gözönüne alalım. P1, P2 ve P3 düzlemleri bir tek nokta-da kesişebilirler. Bu durumda yukarıda verilen lineer denklemlerin bir tek ortak çö-zümü vardır. Ya da P1, P2 ve P3 düzlemleri bir doğru boyunca kesişebilirler. Bu du-rumda da denklemlerin sonsuz sayıda ortak çözümleri vardır. En son olarak, P1,P2 ve P3 düzlemleri birbirlerine paralel ya da bu düzlemlerden ikisi birbirine pa-ralel, üçüncüsü de bunları paralel iki doğru boyunca kesiyor olabilir. Bu son durum-da ise sözkonusu lineer denklemlerin ortak çözümü yoktur.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R İ 61


P1, P2 ve P3 düzlemlerinden ikisi, diyelim ki P1, P2 nin birbirine göre konumlarıgözönüne alınacak olursa, bu iki düzlemin bir doğru boyunca kesişeceği ya da bir-birlerine paralel olacağı açıktır. Bu durumda, sırasıyla ya a1x + b1y + c1 z + d1 =0 ve a2x + b2y + c2 z + d2 = 0 lineer denklemlerinin sonsuz sayıda ortak çözü-mü vardır ya da hiç bir ortak çözümleri yoktur. Yani böyle bir durumda tek bir çö-züm mümkün olamaz. Bu durum denklem sayısının, bilinmeyen sayısından az olu-şundan kaynaklanabilir mi? Şimdi bu tartışmayı daha büyük boyutlara taşıyarak busorunun yanıtını arayalım ve n-tane bilinmeyen ve m-tane denklemden oluşan line-er denklem sistemini tanımlayıp çözümün varlığını tartışalım.

2. Lineer Denklem Sistemleri

2.1. Tanım

a1 , a2 , . . . , an∈ R ve x1 , x2 , . . . , xn bilinmeyenler olmak üzere,

a1x + a2x2 + . . . + anxn = b

denklemine n- bilinmeyenli bir lineer denklem denir.

Bir lineer denklemde a1, a2, . . . , an sayılarına denklemin katsayıları, b sayısınada denklemin sabiti denir. Örneğin 2x - y + z = 1 lineer denkleminde, 2, -1 ve 1denklemin katsayıları, 1 de denklemin sabitidir.

2.2. Tanım

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2

(1)

am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm

şeklindeki n tane bilinmeyen ve m- tane lineer denklemden oluşan sisteme bir li-neer denklem sistemi denir.

(1) lineer denklem sisteminde a11, a12 , . . . , amn ∈ R sayılarına sistemin katsayıla-rı, b1, b2 , . . . , bm ∈ R sayılarına da sistemin sabitleri denir.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R62

...


2.3. Örnek

x1 - 2x2 + x3 = 12x1 - x2 - 3x3 = 0

lineer denklem sistemi üç bilinmeyenli, iki denklemden oluşmuştur ve sırasıyla1, -2, 1, 2, 1, -3 sayıları sistemin katsayıları, 1, 0 sayıları da sistemin sabitleridir.

2.4. Tanım


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (s1, s2, ..., sn ) sıralı n-lisi tüm denk-lemleri aynı anda sağlar ise (s1, s2, ..., sn ) sıralı n-lisine lineer denklem sistemininbir çözümü ve sistemi sağlayan tüm sıralı n-lilerin kümesine de lineer denklem sis-teminin çözüm kümesi denir.

Bir lineer denklem sisteminde,

i) İki denklemin yerlerini değiştirmek,ii) Denklemlerden herhangi birini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmakiii) Denklemlerden herhangi birisinin bir katını diğer bir denkleme eklemek

lineer denklem sisteminin çözümünü değiştirmez. Bu işlemlerden bir ya da bir kaçıarka arkaya uygulandıktan sonra elde edilen yeni sistem ile eski sisteme denk sis-temler denir.

Şimdi bunu bir örnek ile açıklayalım.

2.5. Örnek

x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2x2 + x3 - x4 = 5

x1 - x3 + x4 = 0- x1 - x2 + x3 =- 4

lineer denklem sisteminin çözümünü yukarıda verilen (i), (ii) ve (iii) türündeki iş-lemler yardımıyla bulalım. Sistemde 1. denklemin -1 katını 3. denkleme ve yine 1.denklemi 4. denkleme ekleyelim.

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R 63

...


x1 + x2 - x3 + x4 = 22 x2 + x3 - x4 = 5- x2 =- 2

x4 = 2

bulunur. Burada 2. denklem ile 3. denklemin yerlerini değiştirelim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 3- x2 =- 22 x2 + x3 - x4 = 5

x4 =- 2

olur. Son elde edilen denklem sisteminde 2. denklemin 2 katını 3. denkleme ekleye-lim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 2- x2 =- 2

x3 - x4 = 1x4 =- 2

elde edilir. Bu son elde edilen lineer denklem sisteminin çözümü ile başlangıçtakisistemimizin çözümü aynıdır. O halde, son elde edilen denklem sisteminde,

x4 =-2 x3 = 1 + x4 = 1 - 2 = - 1,x2 = 2 vex1 = 2 - x2 + x3 - x4 = 2 - 2 - 1 + 2 = 1

dir. Öyleyse verilen denklem sistemin çözümü (1, 2, -1, -2) sıralı 4-lüsüdür.

Yukarıdaki 2.5. Örnekte olduğu gibi, bir lineer denklem sisteminin çözümünü (i),(ii) ve (iii) işlemlerini uygulayarak bulma yöntemine Gauss Yok etme Yöntemidenir.

2.6. Tanım


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, b1= b2 = ... = bm =0 ise bu sisteme homojen lineer denk-lem sistemi denir.


...


lineer denklem sistemleri birer homojen lineer denklem sistemidir.

Bilinmeyen sayısı n olan bir homojen lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (0, 0, ...,0) her zaman bir çözümdür. Bu çözüme homojen siste-min aşikar çözümü veya sıfır çözümü denir. Ayrıca, homojen bir sistemin sıfır çö-zümünden farklı çözümleri de olabilir. Bu çözümler ikinci bölümde incelenecektir.

Bir lineer denklem sistemini matris yardımıyla da temsil edebiliriz. Yani,

a11x1 + a12x2 +. . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 +. . . + a2n xn = b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sistemini,

olmak üzer AX = B şeklinde gösterebiliriz. Bu gösterim şekline, bir lineer denklemsisteminin matris ile gösterimi denir.

Bir lineer denklem sisteminin matris ile gösterimindeki A matrisine sistemin katsa-yılar matrisi, B matrisine sabitler matrisi ve X matrisine de bilinmeyenler matrisi de-nir. Burada A matrisinin satır sayısı olan m nin sistemin denklem sayısı, sütun sayısıolan n nin de sistemin bilinmeyen sayısı olduğuna dikkat ediniz.

2.7. Örnek

belirlediği lineer denklem sistemini yazalım. A, 4 x 3 tipinde matris olduğuna göresistem üç bilinmeyen ve dört denklemden oluşmaktadır. Böylece,

L İ N E E R D E N K L E M S İ S T E M L E R 65

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1x2

xn

nx1

ve B =

b1b2

bm

mx1

...

x1 + x2 - 3x3 = 04x1 - 2x2 + 5x3 = 0ve

Örneğin, 2x1 + x2 = 0x1 - x2 = 0

A =

-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

ve B =

-1 0 1 2

matrislerinin


eşitliğinden, denklem sistemimiz,

- x1 + x2 - 2x3 = -12x1 + x2 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 = 1 x1 - 2x3 = 2

şeklindeki lineer denklem sistemidir.

2.8. Tanım

olmak üzere, AX = B lineer denklem sisteminde, A katsayılar matrisine, (n + 1) incisütun olarak B sabitler matrisinin ilave edilmesiyle elde edilen m x (n + 1) tipindekiyeni matrise sistemin genişletilmiş matrisi denir ve genişletilmiş matris [A, B] şek-linde gösterilir.

Genel olarak, AX = B lineer denklem sisteminin genişletilmiş matrisi,

şeklindedir ve genişletilmiş matris verildiğinde, lineer denklem sistemi verilmişolur.

n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluşan AX = B lineer denklem sistemine,herhangi bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak, herhangi iki denklemi yerdeğiştirmek veya herhangi bir denklemin bir katını diğer bir denkleme ilave etmekişlemleri uygulandığında elde edilen sistem A'X = B' ise, ilk sistemin genişletilmişmatrisi [A, B] ile yeni sistemin genişletilmiş matrisi [A', B'] denk matrislerdir. Dola-yısıyla bir lineer denklem sistemi çözmek için, sistemin genişletilmiş matrisine ilkelsatır işlemleri uygulayarak basamak biçime getirip bu matrise karşılık gelen lineer


-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

x1 x2 x3

=

-1 0 1 2

a11 a12 a1n a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1 x2

xn

ve B =

b1 b2

bm

A, B =

a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2

am1 am2 amn bm

mx (n+1)


denklem sisteminde, çözüm kolaylıkla bulunur. Aslında bu yöntem, Gauss yok et-me yönteminden başka bir şey değildir.

Aşağıda matrisler ile denklem sisteminin çözümüne bir örnek verilmiştir.

2.9. Örnek

x1 + x2 + x3 +x4 + x5 = 3x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = -8

2x1 + 3x2 - 3x3 +x4 + x5 = 11 (1)x1 + 2x3 - x5 = 2

- x1 + 2x2 +3x4 +4x5 = 1

lineer denklem sistemini çözünüz.

Çözüm

Verilen sistemin genişletilmiş matrisi,

dir. Şimdi bu matrisi basamak biçime dönüştürelim. [A, B] matrisinde 1. satırın -2katını 3. satıra, 1. satırın -1 katını 4. satıra ve 1. satırı 5. satıra ekleyelim.

dir. Bu matriste 2.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ...AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 2.2. Tanım Bir matriste satır sayısı...

Documents

Transcript of MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ...AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 2.2. Tanım Bir matriste satır sayısı...