MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIEReprints.uny.ac.id/44675/10/siswa worksheet.pdf ·...

PROGRAM LINIER

Pendekatan Saintik

MATEMATIKA

LEMBAR KERJA SISWA

X

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

IBROHIM AJI KUSUMA

Nama

Kelas

No. AbsenBuku Siswa

Matematika Lembar Kerja Siswa Program Linier

Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP – Standar Isi 2006)

Berdasarkan Pendekatan Saintifik

untuk Siswa SMK Kelas X

Penulis : Ibrohim Aji Kusuma

Cover Designer : Ibrohim Aji Kusuma

Pembimbing : Drs. Sahid, M.Sc.

Penilai : Nur Insani, M.Sc.

Nur Hadi Waryanto, S.Si., M.Eng.

Anis Widiyanti, S.Si.

Ukuran buku: 21 x 29,7 cm (A4)

LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis

Dengan menggunakan Microsoft Office Word 2013

i

Tujuan Pembelajaran

• Siswa mampu membuat grafik himpunanpenyelesaian sistem pertidaksamaanlinier.

• Siswa mampu menentukan modelmatematika dari soal cerita (kalimatverbal).

• Siswa mampu menentukan nilai optimumdari permasalahan program liniermenggunakan titik pojok.

• Siswa mampu menentukan nilai optimumdari permasalahan program liniermenggunakan garis selidik.

• Menyelesaikan masalah program linier.

Standar Kompetensi

• Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.

• Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).

• Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier.

• Menerapkan garis selidik.

Kompetensi Dasar

ii

Kata Pengantar

Lembar Kegiatan Siswa (LKS) berbasis Pendekatan Saintifik pada materi Program Linier

ini dapat dijadikan sebagai acuan dalam pembelajaran bagi siswa Sekolah Menengah kejuruan

(SMK) dan Madrasah Aliyah (MA) kelas X. LKS ini dikemas untuk bisa digunakan sebagai

lembar kegiatan agar siswa dapat menemukan konsep-konsep pada materi Program Linier.

Agar mudah dipelajari, LKS ini disajikan secara sistematis dengan pendekatan saintifik

dan tampilan yang menarik. LKS ini menitikberatkan pada penemuan konsep-konsep dengan

kemampuan manipulasi aljabar dan penerapannya dalam persoalan-persoalan nyata di

kehidupan sehari-hari. Selain itu, LKS ini memfokuskan pada aktivitas siswa dalam

mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Masalah diberikan kepada siswa bertujuan untuk

mengetahui sejauh mana pemahaman siswa. Aktivitas kelas bertujuan agar siswa denga

aktivitas yang dilakukannya dapat memahami konsep dan mengkonstruksi sendiri

pengetahuannya. Latihan bertujuan agar siswa dapat berlatih soal-soal dari mengenai konsep

yang sedang dipelajari. Rangkuman berisi ringkasan dari materi yang sedang dipelajari dan

masih ada berbagi fitur yang terdapat pada LKS ini.

Penyusun meyadari bahwa LKS ini masih memiiki kekurangan. Namun, peyusun

berharap LKS ini dapat bermanfaat bagi siswa SMK yang menggunakannya. Kritik dan saran

sangat diharapkan guna mengembangkan LKS ini ke arah yang lebih baik lagi.

Penyusun,

Ibrohim Aji Kusuma

iii

FITUR LKS

D. NILAI OPTIMUM

Pembuka Pertemuan

Pembuka pertemuan berisi

topik pembelajaran,

kompetensi dasar, indikator,

tujuan pembelajaran,

petunjuk pembelajaran dan

identitas pembelajaran.

Judul Sub-Bab

Judul sub-bab menerangkan

tentang sub-bab yang akan

dipelajari dalam materi

program linier.

Masalah

Masalah digunakan sebagai

sarana untuk memfasilitasi

peserta didik dalam proses

menemukan konsep.

iv

Ingat Kembali

Ingat kembali berfungsi

sebagai apersepsi yang

membantu peserta didik

untuk mengingat materi yang

pernah dipelajari.

Catatan

Catatan bertujuan untuk

membantu peserta didik

untuk memahami materi yang

dipelajari.

Aktivitas Kelas

Aktivitas kelas menuntun peserta

didik agar dapat memahami

penyelesaian masalah yang

disajikan dan mengkonstruksi

sendiri pengetahuannya melalui

langkah-langkah yang runtut dan

rinci.

Latihan Soal

Latihan soal bertujuan untuk

memberikan penguatan tentang

materi yang telah dipelajari serta

menambah pemahaman peserta

didik tentang materi tersebut.

v

Ringkasan

Ringkasan berisi kesimpulan

umum yang didapat setelah

menyelesaikan semua masalah

yang disajikan pada LKS

Uji Kompetensi

Uji kompetensi merupakan bagian

yang berisi soal terkait kompetensi

pengetahuan materi yang telah

dipelajari, hal ini berguna sebagai

evaluasi pembelajaran harian.

vi

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i

KATA PENGANTAR ..................................................................................................... ii

FITUR LKS ..................................................................................................................iii

DAFTAR ISI .................................................................................................................. vi

PETA KONSEP ............................................................................................................ vii

LKS 1 A PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................................ 1

LKS 2 B SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................. 13

LKS 3 C MODEL MATEMATIKA ................................................................................ 23

LKS 4 D NILAI OPTIMUM ......................................................................................... 53

LKS 5 E GARIS SELIDIK ............................................................................................. 83

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 94

DAFTAR ISI

vii

`

Peta Konsep

Dalam menjalankan aktivitas produksi dalam suatuperusahaan pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja,sarana produksi dan sebagainya. Seorang pengusaha harusmengkombinasikan semua faktor-faktor tersebut untukmenghasilkan suatu produk yang berkualitas namun palingmenguntungkan bagi perusahaannya. Pemahaman yangbaik tentang konsep program linier sangat membantunyauntuk menyelesaikan permasalahan-permasalahantersebut.

Model Matematika

Nilai Optimum:Titik Pojok

Nilai Optimum:Garis Selidik

MOTIVASI

Program Linier

Prasyarat:

Sistem Pertidaksamaan Linier

Program Linier | Matematika SMK

1

Pertidaksamaan Linier

Kompetensi Dasar

•Membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.

Indikator

•Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran

•Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier.

Petunjuk Pembelajaran

•Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.

•Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.

•Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.

A


2

Pada semester sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier baik yang

menggunakan satu variabel maupun dua variabel. Kali ini akan kita bahas kembali mengenai

pertidaksamaan linier secara lebih detail dengan ditambah grafik daerah penyelesaiannya.

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan

suatu hal. Contohnya, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus, lowogan

pekerjaan yang mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas kecepatan maksimal

kendaraan pada jalan raya dan sebagainya. Perhatikan masalah berikut!

Alternatif Penyelesaian:

Pertama, kamu dapat memisalkan variabel-variabelnya sebagai berikut:

Harga motor Andi = A Harga motor Doni = D

Harga motor Budi = B Harga motor Roni = R

Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.

a. Motor Andi lebih mahal dibanding motor Doni A > D atau D < A

b. Motor Andi lebih murah daripada motor Roni A < R atau R > A

c. Motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni B > D atau D < B

d. Motor Budi lebih murah daripada motor Andi B < A atau A > B

Dengan mengamati pola di atas, yaitu A > D, R > A, B > D, dan A > B atau D < A, A < R, D < B

dan B < A

Urutan harga motor mereka dari termahal ke termurah adalah R > A > B > D.

Jadi, kesimpulannya adalah motor Roni lebih mahal dibanding motor Andi, motor Andi lebih

mahal daripada motor Budi dan motor Budi lebih mahal dibanding motor Doni.

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER

Harga motor Andi lebih mahal daripada harga motor Doni, tetapi lebih murah dibanding

harga motor Roni. Harga motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni. Harga

motor Budi lebih murah daripada harga motor Andi.

Anton berencana mengurutkan harga motor Andi, Budi, Doni, dan Roni berdasarkan

harga motor yang lebih mahal.

Dapatkah kamu membantu Anton dalam mengatasi permasalahan tersebut?

Masalah 1.1

Diskusikan masalah urutan berikut menggunakan caramu sendiri!

Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di

sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung

banyak ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih

daripada banyak ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap

Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan

Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka

berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap?

Diskusi 1


3

Kamu pasti sudah sering menjumpai soal di atas atau sejenisnya. Itulah yang disebut dengan

pertidaksamaan linier. Kerjakanlah aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2 supaya kamu

lebih memahami pertidaksamaan linier!

Aktivitas Kelas 1.1. Pertidaksamaan linier satu variabel.

Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.

Perhatikan gambar berikut ini!

Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-

pertanyaan mengenai permasalahan tersebut!

Jawab:

Jika panjang kawat yang digunakan untuk membuat kerangka balok tidak lebih dari 156

cm, tentukan nilai 𝑦 dan gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier

tersebut menggunakan garis bilangan!

Jawab:

Aktivitas Kelas 1.1

Tulislah panjang, lebar dan tinggi dari

kerangka balok tersebut!


4

Ingat Kembali

Pertidaksamaan Linier adalah kalimat terbuka yang

variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda

hubung " <, >, ≤, ≥ ".

Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari balok tersebut?

Jawab:

Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu

sendiri!

Jawab:

Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Catatan

Pertidaksamaan linier yang mengandungsatu variabel yang tidak diketahui disebutdengan pertidaksamaan linier satuvariabel. Sedangkan pertidaksamaan linierdua variabel adalah pertidaksamaan linieryang mengandung dua variabel yang tidakdiketahui.


5

Aktivitas Kelas 1.2. Pertidaksamaan linier satu variabel.


Perhatikan gambar berikut ini!



Jawab:

Jika keliling persegi panjang tidak lebih dari 50 cm, tentukan nilai 𝑥 dan gambarlah

himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis

bilangan!

Jawab:

Aktivitas Kelas 1.2

Tulislah panjang dan lebar persegi panjang

tersebut!


6

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2. Apa yang kamu ketahui

mengenai pertidaksamaan linier? Ada berapa variabel dalam aktivitas-aktivitas tersebut?

Nah, karena hanya ada satu variabel, maka disebut dengan pertidaksamaan linier satu

variabel. Mudah kan? Bagaimana jika pertidaksamaan liner memiliki dua variabel? Ya, kalian

tahu itu disebut dengan pertidaksamaan linier dua variabel.

Mari kita lanjutkan tentang pertidaksamaan linier dua variabel.

Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari persegi panjang tersebut?

Jawab:


sendiri!

Jawab:



7

Alternatif Penyelesaian:

Dengan memisalkan harga satu pensil = x rupiah dan harga satu buku = y rupiah, sehingga jika

Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku dan mendapatkan uang kembalian, maka permasalahan

di atas dapat dimodelkan menjadi 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000.

Kamu dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variable tersebut

menggunakan metode grafik, caranya adalah sebagai berikut.

1. Gambarlah terlebih dahulu garis 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menggunakan langkah-langkah

sebagai berikut.

a. Ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menjadi 2𝑥 + 5𝑦 = 13.000.

b. Carilah titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat kartesius,

kamu akan mendapatkan titik (6.500,0) dan (0,2.600). Hubungkan kedua titik

tersebut seperti pada gambar di bawah ini.

𝑥 0 2.600

𝑦 6.500 0

Sehingga, titik potongnya adalah

(0, 6.500) dan (2.600, 0)

Sandi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang dimiliknya sebesar Rp

13.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang

sehingga Sandi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup ia beli

dengan uang yang dimilikinya. Berdasarkan daftar harga, jika Sandi membeli 2 pensil dan

5 buku tulis maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan

harga belanjaan Sandi tersebut?

Masalah 1.2

6500

2600

Ingat Kembali

Titik potong dengan sumbu x, syaratnya adalah 𝑦 = 0.

Titik potong dengan sumbu 𝑦, syaratnya adalah 𝑥 = 0.


8

2. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Gunakan beberapa titik uji

untuk menentukannya. Daerah yang diarsir itulah daerah penyelesaiannya

Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua varibel tersebut seperti

terdapat pada gambar dibawah ini.

Kerjakanlah aktivitas kelas 1.3 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier dua

variabel!

Catatan

Akan lebih mudah jika kamu menggunakan 0,0 sebagai titik uji. Cobalah!

6500

2600

Subtitusikan titik (0,0) pada

pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000.

2(0) + 5(0) < 13.000

0 < 13.000 (Benar)


9

Aktivitas Kelas 1.3. Pertidaksamaan linier dua variabel.


Perhatikan permasalahan berikut!



Jawab:

Buatlah bentuk pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalahan tersebut!

Aktivitas Kelas 1.3

Mencoba

Menanya

Mengamati

Gambar 1.5

Di sebuah toko, Ani membeli permen dan

lampu seperti gambar disamping. Ani

membayar dengan menyerahkan uang Rp

6.000,00 dan masih mendapatkan

kembalian.

Jumlah permen yang dibeli Ani adalah ...

Jumlah lampu yang dibeli Ani adalah ...

Rp? Rp?


10

Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

1. 4 − 2𝑥 > 5𝑥 − 3.

2. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12.

Jika harga satu permen adalah Rp500,00. Tentukan harga maksimum dari lampu

tersebut!

Jawab:

Dari aktivitas mencoba yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-

katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan linier!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi

Latihan 1


11

1. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat

dilakukan dengan cara menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

2. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, dapat

dilakukan menggunakan metode grafik.

3. Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua

variabel menggunakan metode grafik.

a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua

variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi

sama dengan “=”.

b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan

linear dua variabel.

c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua

variabel tersebut.

d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan linier dua variabel.

e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel

tersebut.

Ringkasan


12


13

Sistem Pertidaksamaan Linier

B

Kompetensi Dasar

• Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.

Indikator

• Sistem pertidaksamaan linier dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran

• Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel.


• Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.

• Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.

• Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.


14

Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier satu variable

dan pertidaksamaan linier dua variabel. Kali ini kita akan membahas sistem pertidaksamaan

linier dengan dua variabel serta menggambar daerah penyelesaiannya di bidang koordinat

kartesius. Perlu diingat, sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah gabungan dua atau

lebih pertidaksamaan linier dua variabel. Sebelum kamu mempelajari materi program linier,

kamu perlu untuk memahami sistem pertidaksamaan linier dua variable terlebih dahulu.

Alternatif penyelesaian:

Pertama, misalkan 𝑥 = banyaknya motor matik dan 𝑦 = banyaknya motor biasa.

Dari tabel di atas kamu dapat mengubah ongkos perbaikan kendaraan menjadi sistem

pertidaksamaan linier sebagai berikut.

100.000𝑥 + 50.000𝑦 ≤ 150.000 dan 50.000𝑥 + 100.000𝑦 ≤ 200.000, atau dapat

disederhanakan menjadi 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4.

Kedua, ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 menjadi 2𝑥 + 𝑦 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 menjadi

𝑥 + 2𝑦 = 4.

Selanjutnya, carilah titik potong kedua pertidaksamaan tersebut terhadap sumbu x dan

sumbu y.

2𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑥 0 3

2 𝑥 0 4

𝑦 3 0 𝑦 2 0

(3

2, 0) dan (0,3) dari 2𝑥 + 𝑦 = 3 serta titik (4,0) dan (0,2) dari 𝑥 + 2𝑦 = 4.

B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Perhatikan tabel ongkos perbaikan kendaraan berikut ini!

Jenis Motor Ongkos maksimal (Rp)

Bengkel Motor Matic (Rp) Motor Biasa (Rp)

A 100.000 50.000 150.000

B 50.000 100.000 200.000

Tentukanlah grafik daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!

Masalah 2.1


15

Ketiga, gambarlah grafik dari sistem pertidaksamaan linier menggunakan titik potong yang

kamu dapatkan.

Keempat, dengan menggunakan beberapa titik uji, tentukanlah daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linier dua variabel sebagai berikut.

Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variable ditunjukkan seperti

pada gambar di atas.

Kerjakanlah aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas kelas 2.2 supaya kamu lebih memahami

bagaimana menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.


16

Aktivitas Kelas 2.1. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah

penyelesaiannya.


Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin

membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus

Aberry dan jus Apstra. Komposisi pembuatan jus tersebut disajikan dalam bentuk tabel

sebagai berikut.

Jenis Jus Persediaan (Kg)

Buah Jus Aberry Jus Apstra

Apel (Kg) 1 2 12

Strawberry (Kg) 2 1 12

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:

Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah

... : ... .

Persediaan Apel sebanyak … kg.

Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra

adalah

… : ... .

Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg.

Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu

mengenai permasalahan tersebut!

Jawab:

Aktivitas Kelas 2.1

Menanya

Mengamati


17

Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan!

Jawab:

Mencoba


18

Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu

sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel!

Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


19

Aktivitas Kelas 2.2. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah

penyelesaiannya.


Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3

unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin

B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan

17 unit vitamin C.

Jenis Tablet Kebutuhan (unit)

Vitamin I (unit) II (unit)

B 3 2 18

C 2 3 17


Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah … : … .

Kebutuhan vitamin B sebanyak … unit.

Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah … : … .

Kebutuhan vitamin C sebanyak … unit.



Jawab:

Aktivitas Kelas 2.2

Menanya

Mengamati


20

Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan?

Jawab:

Mencoba


21

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas 2.2. Apa yang kamu ketahui

tentang sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Bagaimana langkah-langkah menentukan

daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel?

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut dengan baik dan

benar.

1. 4𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 2. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 + 5𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.


sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Latihan 2

Mengasosiasi


22

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut!

a. 𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. c. 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. d. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. e. 6𝑥 + 5𝑦 ≥ 30; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

Sistem pertidaksamaan linear adalah himpunan pertidaksamaan linear yang

saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-bilangan real.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem

pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel dengan koefisien bilangan

real.

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel.

a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan

mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.

b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari

sistem persamaan linear.

c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan

tersebut.

d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linier.

e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel

tersebut.

Ringkasan


23

Model Matematika

Kompetensi Dasar

•Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).

Indikator

•Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika.

•Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran

•Siswa mampu membuat model matematika dari soal cerita (kalimat verbal) dan menentukan grafik daerah penyelesaiannya.


•Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.

•Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.

•Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.

C


24

Setelah kalian memahami cara menentukan daerah penyeleseian dari sistem pertidaksamaan

linier, sekarang kita akan memasuki materi utama yaitu program linier.

Sering kita jumpai banyak sekali permasalahan sehari-hari dalam bidang industri,

perdagangan, pertanian dan sejenisnya yang memiliki hubungan yang sangat erat dengan

sistem pertidaksamaan linier. Kita dapat menggunakan penerapan dari sistem

pertidaksamaan linier untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Penerapan dari

penyelesaian sistem pertidaksamaan linier inilah yang disebut dengan program linier.

Sebagai contoh permasalahan program linier adalah, dalam produksi, suatu perusahan

dengan jumlah bahan yang terbatas dapat menentukan variasi produk apa saja yang akan

diproduksi untuk menghasilkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Batasan-batasan yang

terdapat dalam permasalahan program linier diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam bentuk

bahasa matematika yang disebut model matematika. Dengan model matematika, kita dapat

menentukan penyelesaian dengan mencari nilai optimum (maksimum/minimum) dari

permasalahan program linier tersebut.

Oleh karena itu, pada LKS ini kamu akan belajar membuat model matematika dari

permasalahan program linier.

Agar lebih memahami cara membuat model matematika, perhatikan masalah 3.1 kemudian

kerjakanlah aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8!

Definisi

Program linier adalah suatu program untuk menyeleseikan permasalahan yangbatasan-batasannya berbentuk pertidaksamaan linier.

C. MODEL MATEMATIKA

Suatu mesin produksi A menghasilkan 100 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan

150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih

dari 2.600 unit barang. Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih

dari 20 jam. Misalkan x = jam kerja mesin A dan y = jam kerja mesin B. Buatlah model

matematika dari permasalahan tersebut!

Masalah 3.1


25


Persoalan di atas dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut.

Jenis Mesin Jam kerja (jam) Produksi (unit)

Mesin A x 100x

Mesin B y 150y

≤ 20 ≤ 2.600

Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, kamu harus merubah data tersebut

menjadi bentuk pertidaksamaan, sebagaimana berikut.

Kapasitas produksi barang tidak lebih dari 2.600 unit sementara Mesin A dan mesin B

masing-masing dapat memproduksi barang sebesar 100 unit dan 150 unit, maka dapat

dinyatakan menjadi 100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600. … . (1)

Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam, maka

dapat dinyatakan menjadi 𝑥 + 𝑦 ≤ 20. … . (2)

x dan y menyatakan banyaknya mesin, sehingga nilainya tidak mungkin negatif, maka

dapat dinyatakan menjadi 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. … . (3)

Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di

atas adalah:

100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600; 𝑥 + 𝑦 ≤ 20; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.


26

Aktivitas Kelas 3.1. Model Matematika.

Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model

matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.


Seorang pedagang sepatu berencana membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu

wanita. Tiap sepatu terdiri atas 2 merk, merk A dan merk B. Harga beli sepatu ditampilkan

pada tabel berikut. Ia akan membelanjakan uangnya paling banyak Rp2.000.000,00 untuk

sepatu merk A dan Rp1.800.000,00 untuk sepatu merk B.

Harga (Rp) Modal (Rp)

Merk Sepatu Pria Sepatu Wanita

A 200.000 160.000 2.000.000

B 150.000 200.000 1.800.000

Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:

Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk A adalah … : … .

Modal untuk membeli sepatu merk A paling banyak adalah …

Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk B adalah … : … .

Modal untuk membeli sepatu merk B paling banyak adalah …



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.1

Menanya

Mengamati


27

Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!

Jawab:

Mencoba


28


sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata

menjadi model matematika!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


29




Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis mesin diesel, mesin A dan mesin B. Dalam

membuat mesin A dibutuhkan 1 kg besi super dan 2 kg besi biasa. Sedangkan untuk

membuat mesin B dibutuhkan 2 kg besi super dan 1 kg besi biasa seperti yang tertera

pada tabel berikut. Persediaan masing-masing besi super dan besi biasa adalah 12 Kg

dan 8 Kg.

Jenis Besi (Kg) Jenis Mesin Persediaan

(kg) A B

Super 1 2 12

Biasa 2 1 8 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:

Perbandingan besi super yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah

… : … .

Persediaan besi super sebesar … kg

Perbandingan besi biasa yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah

… : … .

Persediaan besi biasa sebesar … kg



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.2

Menanya

Mengamati


30


Jawab:


Jawab:

Mencoba


31




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


32





Sekolah akan menerima kiriman buku dari Pemkot Semarang sebanyak 900 buku. Buku

yang nantinya diterima memiliki ukuran yang sama. Buku-buku tersebut rencananya akan

ditaruh di rak buku besar dan rak buku kecil. Satu rak buku besar mampu menampung

buku sebanyak 300 buku, sedangkan rak buku kecil mampu menampung buku sebanyak

100 buku. Perpustakaan tidak akan memuat lebih dari 5 rak buku besar dan kecil karena

alasan kenyamanan pengunjung perpustakaan.

Jenis Rak

Kapasitas Rak Besar Rak Kecil

Buku (buah) 300 100 900

Rak (buah) x y 5


Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah … : … .

Kiriman buku sebanyak … buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil.

Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah … : … .

Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari ... rak buku.



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.3

Menanya

Mengamati


33


Jawab:


Jawab:

Mencoba


34




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


35




Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan

campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru

dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan

2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat

merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt.

Bahan cat (kg)

Jenis Campuran Persediaan (kg) A B

Merah 1 2 8

Biru 2 2 10

Hijau 3 2 12


Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B

adalah

… : … .

Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah

… : … .

Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah

… : … .

Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah … : … : … .



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.4

Menanya

Mengamati


36


Jawab:


Jawab:

Mencoba


37




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


38








17 unit vitamin C.



B 3 2 18

C 2 3 17



Kebutuhan vitamin B sebanyak … unit.


Kebutuhan vitamin C sebanyak … unit.



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.5

Menanya

Mengamati


39


Jawab:


Jawab:

Mencoba


40




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


41





Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt dengan

jumlah yang diangkut minimum 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan colt

8 karung. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut.

Jenis

kendaraan

Jumlah kendaraan

(unit)

Kapasitas

muatan (karung)

Truk x 14x

Colt y 8y

≥ 25 ≥ 224


Perbandingan permisalan jumlah Truk dan Colt adalah … : … .

Jumlah minimal kendaraan yang dibutuhkan … unit.


Jumlah minimal barang yang perlu diangkut … karung.



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.6

Menanya

Mengamati


42


Jawab:


Jawab:

Mencoba


43




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


44




Seorang peternak mengahadapi suatu masalah sebagai berikut.

Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan

30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan N dan M

diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan N mengandung unsur nutrisi jenis

A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan

M mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan.

Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.

Nutrisi Jenis Makanan Kebutuhan

(satuan) N (satuan) M (satuan)

A 3 1 27

B 1 1 21

C 1 2 30


Perbandingan nutrisi A pada makanan N dan M adalah … : … .

Kandungan vitamin A yang dibutuhkan paling sedikit … satuan.

Perbandingan nutrisi B pada makanan N dan M adalah … : … .

Kandungan vitamin B yang dibutuhkan paling sedikit … satuan.

Perbandingan nutrisi C pada makanan N dan M adalah … : … .

Kandungan vitamin C yang dibutuhkan paling sedikit … satuan.



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.7

Menanya

Mengamati


45


Jawab:


Jawab:

Mencoba


46




Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


47





Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya

membutuhkan paling sedikit 12 kg unsur A, 1 kg unsur B dan 40 gram unsur C. Bila di

pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 0,6 kg unsur A, 0,02

kg unsur B, dan 0,001 kg unsur C. Sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya

mengandung 0,2 kg unsur A, 0,05 unsur B, dan 0,005 kg unsur C. Buatlah model

matematika dari permasalahan tersebut.

Unsur Jenis Makanan Kebutuhan

(gram) I (gram) II (gram)

A 600 200 12000

B 20 50 1000

C 1 5 40


Perbandingan unsur A pada makanan I dan II adalah … : … .

Kandungan unsur A yang dibutuhkan paling sedikit … gram.

Perbandingan unsur B pada makanan I dan II adalah … : … .

Kandungan unsur B yang dibutuhkan paling sedikit … gram.

Perbandingan unsur C pada makanan I dan II adalah … : … .

Kandungan unsur C yang dibutuhkan paling sedikit … gram.



Jawab:

Aktivitas Kelas 3.8

Menanya

Mengamati


48


Jawab:


Jawab:

Mencoba


49




Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


50

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8. Apa yang kamu

ketahui mengenai model matematika? Bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita

atau permasalahan nyata menjadi model matematika?

Buatlah model matematika dan grafik daerah penyelesaian dari permasalahan berikut.

1. Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang.

Harga pembelian apel sebesar Rp10.000,00 per Kg dan pisang sebesar Rp4.000,00 per Kg.

Modal yang tersedia tidak lebih dari Rp2.500.000,00. Sedangkan muatan gerobaknya

tidak lebih dari 400 Kg.

2. Suatu mesin produksi A menghasilkan 120 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan

150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih

dari 3.300 unit barang, sedangkan jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin

itu tidak lebih dari 25 jam.

Latihan 3

Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi

model matematika.

a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.

b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah

dipahami.

c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.

d. Tentukanlah model matematikanya.

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari permasalahan

program linier.

a. Buatlah model matematika/ sistem pertidaksamaan linier dari

permasalahan program linier

b. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan

mengubah tanda peridaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.

c. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari

sistem persamaan linear.

d. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan

tersebut.

e. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linier.

f. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut.

Ringkasan


51

Kerjakanlah soal-soal berikut ini!

1. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp1.600.000,00 dan 360 lembar papan

kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah

lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 8 lembar papan.

Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-

masing adalah Rp80.000,00 dan Rp40.000,00. Buatlah model matematika dari

permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya!

2. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 300 kendaraan yang

terdiri dari sedan dan bus. Jika luas rata-rata Sedan 5 m2 dan Bus 15 m2, sedangkan luas

tempat parkir adalah 3.750 m2. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut

dan tentukan daerah penyelesaiannya!


52


53

Nilai Optimum

Kompetensi Dasar

• Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.

Indikator

• Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal

• Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.

Tujuan Pembelajaran

• Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui titik pojok.




• Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.

D


54

Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari secara rinci tentang daerah

penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dan menentukan model matematika dari

permasalahan program linier. Hal ini merupakan syarat mutlak dalam penentuan nilai

optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier. Menentukan nilai optimum fungsi

objektif secara grafik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode titik pojok dan metode

garis selidik. Sekarang, kamu akan belajar menentukan nilai optimum fungsi objektif dari

permasalahan program linier menggunakan metode titik pojok.


Pertama, ingatlah kembali tentang permodelan matematika yang sudah kamu pelajari.

Misal x = banyaknya melon dan y = banyaknya jeruk, permasalahan tersebut dapat

dinyatakan dalam tabel sebagai berikut.

Melon (kg) Jeruk (kg) Kapasitas/Jumlah

Jumlah pembelian (kg) x y 400

Harga (Rp) 10.000 4.000 2.500.000

Keuntungan (Rp) 2.000 1.000

Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

𝑥 + 𝑦 ≤ 400 10.000𝑥 + 4.000𝑦 ≤ 2.500.000 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0.

Kedua, fungsi objektif dari permasalahan di atas dapat ditentukan dari keuntungan yang

diperoleh pedagang tersebut, sehingga fungsi objektif dari permasalahan diatas adalah

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦.

Definisi

Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier.

D. NILAI OPTIMUM

Seorang pedagang membeli melon dan jeruk dari seorang petani dengan harga Rp

10.000,00 untuk 1 kg melon dan Rp 4.000,00 untuk 1 kg jeruk. Modal yang dimiliki

pedagang tersebut tidak lebih dari Rp 2.500.000,00. Buah tersebut akan diletakkan di toko

yang hanya dapat menampung tidak lebih dari 400 Kg. Jika keuntungan yang didapatkan

dari menjual melon dan jeruk masing-masing adalah Rp2.000,00 tiap kg dan Rp1.000,00

tiap kg, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut?

Masalah 4.1


55

Ketiga, tentukanlah daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut seperti pada gambar

di bawah ini.

Keempat, carilah titik-titik pojok dari

daerah penyelesaian permasalahan

tersebut.

Titik pojok:

𝐴(0,400); 𝐵(0,0); 𝐶(250,0).

Karena titik pojok D merupakan titik

potong antara persamaan garis

𝑥 + 𝑦 = 400 dan

10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000

maka kamu dapat menggunakan cara

eliminasi dan subtitusi.

Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 400 dan 10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000

{10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 400000 10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000

→→

10.000𝑥 + 10.000𝑦 = 4.000.00010.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000

6.000𝑦 = 1.500.000 𝑦 = 250

Subtitusikan 𝑦 = 250 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 400. Kamu dapatkan

𝑥 = 150. Jadi 𝐷(150,250).

Kelima, subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =

2.000𝑥 + 1.000𝑦.

Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦. Optimum

𝐴(0,400) 2.000(0) + 1.000(400) 400.000

𝐵(0,0) 2.000(0) + 1.000(0) 0

𝐶(250,0) 2.000(250) + 1.000(0) 500.000

𝐷(150,250) 2.000(150) + 1.000(250) 550.000

Nilai optimum (maksimum) dari permasalahan tersebut adalah Rp 550.000,00 pada titik

𝐷(150,250).

Jadi, keuntungan maksimum dari permasalahan tersebut adalah sebesar Rp 550.000,00 dari

penjualan 150 kg melon dan 250 kg jeruk.

Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu

menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Kerjakanlah aktivitas kelas 4.1

sampai aktivitas kelas 4.8 supaya kamu lebih memahami mengenai fungsi objektif dan

langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan program linier.


56

Aktivitas Kelas 4.1. Nilai optimum.

Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum

dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.

Perhatikan permasalahan berikut:

Jenis Minuman Jumlah pembelian (buah) Harga Beli (Rp) Harga Jual (Rp)

Minuman A 𝑥 600 750

Minuman B 𝑦 300 400

Seorang pedagang memiliki uang sebesar RP60.000,00 dan ia bermaksud membeli kedua

jenis minuman kotak tersebut, tetapi ia tidak mampu membeli lebih dari 150 buah karena

keterbatasan tempat yang dimilikinya. Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan,

tentukan:

Perbandingan harga beli minuman A dan minuman B adalah … : … .

Modal yang dimiliki sebesar …

Perbandingan permisalan jumlah minuman A dan minuman B yang dibeli adalah … : … .

Kapasitas tempatnya adalah …



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.1

Menanya


57


Jawab:

Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Mencoba


58

Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!

Jawab:


sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan

tersebut!

Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


59




Perhatikan permasalahan berikut:

Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut

ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang

dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Jus Aberry dibuat dari 1 buah apel dan 2 buah

strawberry sedangkan jus Apstra dibuat dari 2 buah apel dan 1 buah strawberry.

Keuntungan dari penjualan Jus Aberry dan Jus Apstra masing-masing adalah Rp 500,00

dan Rp 400,00.

Jika disajikan dalam bentuk tabel, maka menjadi seperti berikut.

Jenis Jus Persediaan (Kg)

Buah Jus Aberry Jus Apstra

Apel (Kg) 1 2 12

Strawberry (Kg) 2 1 12

Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan:

Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah

… : … .

Persediaan Apel sebanyak … kg.

Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra

adalah

… : … .

Persediaan Strawberry sebanyak … kg.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.2

Menanya


60


Jawab:


Jawab:

Mencoba


61


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


62




Perhatikan tabel berikut!

Jenis Rak

Kapasitas Rak Besar Rak Kecil

Daya tampung buku (buah)

300 100 900

Banyaknya rak (buah)

x y 5

Harga (Rp) 750.000 500.000

Tentukan banyaknya rak buku besar dan rak buku kecil dengan biaya seminimum

mungkin namun buku-buku tetap dapat tertampung semua.


Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah … : … .

Kiriman buku sebanyak … buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil.

Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah … : … .

Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari … rak buku.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.3

Menanya


63


Jawab:


Jawab:

Mencoba


64


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


65




Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan

campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru

dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan

2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat

merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Siswa mampu

menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Setelah dijual keuntungan

penjualan campuran A dan B tersebut masing-masing adalah Rp30.000,00 dan

Rp50.000,00

Bahan cat Jenis Campuran Persediaan

(lt) A B

Merah (lt) 1 2 8

Biru (lt) 2 2 10

Hijau (lt) 3 2 12

Keuntungan (Rp) 30.000 50.000


Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B

adalah … : … .

Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah

… : … .

Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah

… : … .

Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah … : … : ... .



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.4

Menanya


66


Jawab:


Jawab:

Mencoba


67


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


68








17 unit vitamin C. Jika harga tablet pertama Rp 1.500,00 per biji dan harga tablet kedua

Rp 1.200,00 per biji. Tentukan pengeluaran paling minimum untuk memenuhi kebutuhan

Rinto!



B 3 2 18

C 2 3 17



Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak … unit.


Kebutuhan vitamin C minimum sebanyak … unit.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.5

Menanya


69


Jawab:


Jawab:

Mencoba


70


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


71





Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk

peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi seperti

tertera pada tabel berikut

Makanan

Unsur A (gram) B (gram)

Protein 15 10

Lemak 2 4 Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein dan 4 gram lemak.

Apabila harga makanan A Rp 15.000 per kg dan makanan B Rp 20.000 per 400 gram.

Tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya!


Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah … : … .

Kebutuhan protein paling sedikit … gram.

Perbandingan kandungan lemak pada makanan A dan makanan B adalah … : … .

Kebutuhan lemak paling sedikit … unit.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.6

Menanya


72


Jawab:


Jawab:

Mencoba


73


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


74





Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama

mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. sedangkan tablet kedua mengandung

10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan paling

sedikit 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tablet pertama Rp 800,00 per butir

dan tablet kedua Rp 400,00 per butir. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai

berikut.



A 5 10 20

B 3 1 5

Tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari!


Perbandingan kandungan vitamin A pada tablet I dan tablet II adalah … : … .

Kebutuhan vitamin A minimum sebanyak … unit.


Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak … unit.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.7

Menanya


75


Jawab:


Jawab:

Mencoba


76


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


77





Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan sedikitnya 32 unit karbohidrat dan 12 unit

protein. Makanan A mengandung 8 unit karbohidrat, dan 16 unit protein untuk setiap

satu kg. Makanan B mengandung 4 unit karbohidrat dan 4 unit protein untuk setiap satu

kg. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut.

Jenis makanan Kebutuhan (unit)

Nutrisi A (unit) B (unit)

Karbohidrat 8 16 32

Protein 4 4 12

Berapa jumlah masing-masing makanan yang harus dibeli setiap minggu agar kebutuhan

terpenuhi tetapi dengan biaya seminimum mungkin apabila satu kg makanan A harganya

Rp 34.000,00 dan satu kg makanan B harganya Rp 16.000,00.


Perbandingan kandungan karbohidrat pada makanan A dan makanan B adalah … : … .

Kebutuhan karbohidrat minimum sebanyak … unit.

Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah … : … .

Kebutuhan protein minimum sebanyak … unit.



Jawab:

Mengamati

Aktivitas Kelas 4.8

Menanya


78


Jawab:


Jawab:

Mencoba


79


Jawab:



tersebut!

Jawab:


Mengkomunikasikan

Mengasosiasi


80

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8. Apa yang kamu

ketahui mengenai fungsi objektif dan nilai optimum? Bagaimana langkah-langkah

menentukan nilai optimum atau nilai maksimum/minimum dari permasalahan program

linier?

Kerjakanlah permasalahan berikut dengan baik dan benar.

1. Dengan persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat

dua model pakaian jadi. Model 1 memerlukan kain 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.

Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual

setiap model 1 memperoleh untung Rp 15.000,00 dan model 2 memperoleh untung Rp

10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah ...

2. Suatu perusahaan ingin mengangkut barang-barang yang sedikitnya terdiri dari 480

kardus dan 352 peti dengan menyewa dua jenis kendaraan yaitu mobil bak kijang dan

mobil truk kecil. Sewa mobil untuk mobil bak kijang Rp 200.000,00 dan untuk mobil truk

kecil Rp 300.000,00. Jika mobil bak kijang dapat mengangkut sampai 40 kardus dan 16 peti

dan untuk truk kecil dapat mengangkut sampai 30 kardus dan 32 peti, tentukan

banyaknya mobil bak kijang dan truk kecil yang harus disewa agar biaya pengankutan

dapat ditekan sekecil mungkin. Tentukan pula besar biasa minimum tersebut.

Latihan 4

Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum

dari permasalahan program linier. Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam

program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari

permasalahan program linier adalah:

a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;

b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;

c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu

dapatkan;

d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah

penyelesaian tersebut;

e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi

objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.

Ringkasan


81

Kerjakanlah soal-soal berikut ini!

1. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan

menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan

mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan

satu unit barang B dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin

M2 selama 4 menit, Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dari

8 jam, Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp250,00

dan tiap unit barang B adalah Rp500,00. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat

diperoleh industri tersebut.

2. Seorang peternak ayam setiap harinya membutuhkan dua jenis makanan ayam.

Makanan jenis I dalam 1 Kg mengadung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan

makanan jenis II dalam 1 Kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Jumlah

makanan jenis I dan jenis II setiap harinya masing – masing minimal 5 Kg. Harga tiap

kilogram makanan jenis I adalah Rp1.000,00 dan makanan jenis II adalah Rp2.000,00.

Buatlah model matematika untuk permasalahan program linier tersebut, agar biaya

makanan jenis I dan jenis II setiap harinya semurah-murahnya. Berapa kilogram kedua

jenis makanan yang diperlukan ayam setiap harinya agar pengeluaran biaya sekecil

mungkin? Tentukan besarnya biaya minimum setiap harinya.


82


83

Garis Selidik

Kompetensi Dasar

• Menerapkan garis selidik

Indikator

• Garis selidik digambarkan dari fungsi objektif

• Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik

Tujuan Pembelajaran

• Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui garis selidik




• Kerjakanlah LKS denga baik dan benar.

E


84

Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan nilai

optimum dari permasalahan program liner menggunakan metode titik pojok. Pada bagian ini,

kamu akan mempelajari metode lain dalam menentukan nilai optimum dari permasalahan

program linier yaitu metode garis selidik.


Pertama, Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang diketahui: 3𝑥 + 2𝑦

Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut:

3𝑥 + 2𝑦 = 𝑘.

Kedua, pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya.

Misal 𝑘 = 6 sehingga diperoleh garis 3𝑥 + 2𝑦 = 6.

Ketiga, Lukislah garis selidik 3𝑥 + 2𝑦 = 6.

Definisi

Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau minimum.

E. GARIS SELIDIK

Perhatikan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut!

Tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian di atas!

Masalah 5.1

Fungsi objektif: 3𝑥 + 2𝑦

Gambar 5.1 2𝑥 + 𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 18


85

Keempat, tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal yaitu titik

𝐵(2,8) dan O(0,0). (Gunakan eliminasi dan subtitusi yang sudah kamu ketahui untuk

mendapatkan titik B)

Kelima, lukislah garis yang sejajar dengan 3𝑥 + 2𝑦 = 6 dan melalui titik paling jauh B(2,8) dan

titik paling dekat O(0,0) seperti pada gambar dibawah ini.

Keenam, titik terjauh 𝐵(2,8) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi

objektif 3𝑥 + 2𝑦 maksimum. Dan titik terdekat 𝑂(0,0) adalah titik pada daerah penyelesaian

yang menyebabkan fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 minimum.

Nilai maksimum fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.2 + 2.8 = 22. Sedangkan nilai minimum

fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.0 + 2.0 = 0.

Apa yang kamu ketahui mengenai garis selidik pada masalah 5.1 di atas? Bagaimana

menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) menggunakan metode garis selidik?

Kerjakan aktivitas 5.1 supaya kamu lebih memahami langkah-langkah menentukan nilai

optimum (maksimum dan minimum) dari permasalahan program linier menggunakan

metode garis selidik.

2𝑥 + 𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 18 3𝑥 + 2𝑦 = 22 3𝑥 + 2𝑦 = 6 3𝑥 + 2𝑦 = 0


86

Aktivitas Kelas 5.1. Garis Selidik.

Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari

permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik.

.



Jawab:

Aktivitas Kelas 5.1

Menanya

Mengamati

Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping!

Tentukan:

Titik terjauh = (… , … )

Titik terdekat = (… , … )

Garis selidik 𝑥 + 2𝑦 = ⋯

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8 𝑥 + 3𝑦 ≤ 9

Fungsi objektif: 𝑥 + 2𝑦


87

Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?

Jawab:

Mencoba


88


sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan

program linier menggunakan garis selidik!

Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


89

Aktivitas Kelas 5.2. Garis Selidik.

Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari

permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik.

.



Jawab:

Aktivitas Kelas 5.1

Menanya

Mengamati

Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping!

Tentukan:

Titik terdekat = (… , … )

Garis selidik 5𝑥 + 7𝑦 = ⋯

𝑥 + 𝑦 ≥ 4 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6

Fungsi objektif: 5𝑥 + 7𝑦


90

Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?

Jawab:

Mencoba


91


sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan

program linier menggunakan garis selidik!

Jawab:


Mengasosiasi

Mengkomunikasikan


92

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 5.1 dan aktivitas kelas 5.2. Apa yang kamu ketahui

mengenai garis selidik? Bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari

permasalahan program linier menggunakan garis selidik?

Tentukan nilai optimum dari permasalahan berikut menggunakan metode garis selidik!

1. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 6𝑦 dengan syarat: 4𝑥 + 2𝑦 ≤

60, 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 48, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ...

2. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 3𝑦 dengan syarat: 𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 3𝑥 +

2𝑦 ≤ 9, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ...

Latihan 5

Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi

objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk

menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau

minimum.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada

suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut:

a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui.

Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya

menjadi sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘.

b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis

selidiknya.

c. Lukislah garis selidik tersebut.

d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal.

e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik

paling jauh dan titik paling dekat.

f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan

fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah

penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.

Ringkasan


93

Tentukan nilai optimum permasalahan berikut menggunakan garis selidik!

a. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 5𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, dengan fungsi objektif 100x + 150y

b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 1000x + 3500y

c. 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 30x + 70y

d. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 20x + 15y


94

Heryadi, Dedi. (2007). Modul MATEMATIKA untuk SMK Kelas X. Jakarta: Yudhistira.

Herynugroho, dkk. (2009). BILINGUAL MATHEMATICS For Senior High School Year XII Science

Program. Jakarta: Yudhistira

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK

Kelas X Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK

Kelas XI Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Kuntarti, Sulistiyo, S. Kurnianingsih. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII

Semester 1 Program IPA. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Sukino. (2007). MATEMATIKA Jilid 3A untuk SMK Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wirodikromo, Sartono. (2002). MATEMATIKA JILID 5 Untuk SMA Kelas XII SEMESTER 1.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

DAFTAR PUSTAKA

MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIEReprints.uny.ac.id/44675/10/siswa worksheet.pdf ·...

Documents

Transcript of MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIEReprints.uny.ac.id/44675/10/siswa worksheet.pdf ·...