MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah...

Transcript of MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah...

MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

KAMaI Aplikácie určitého integrálu

Page 2: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Prednáška

Aplikácie určitéhointegrálu

Page 3: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Obsah prednášky

Geometrické aplikácie určitého integrálu.Fyzikálne aplikácie určitého integrálu.

Page 4: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Geometrické aplikácie určitého integrálu

Geometrické aplikácie určitého integrálu:

Obsah časti roviny.Objem rotačného telesa.Dĺžka rovinnej krivky.Obsah rotačnej plochy.

Page 5: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Elementárna oblasť

Nech sú funkcie f a g spojité na 〈a, b〉 a nech na (a, b) jeg(x) < f (x). Množinu bodov [x , y ] roviny, pre ktoré platí

a ≤ x ≤ b,

g(x) ≤ y ≤ f (x)

nazývame elementárnou oblasťou určenou funkciami f , ga intervalom 〈a, b〉.

Page 6: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Obsah časti roviny

VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉. Potom pre plošný obsah PM tejto oblasti platí

PM =

b∫a

[f (x)− g(x)] dx .

Page 7: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Obsah časti roviny

Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.

xy = 4, x + y = 5

Príklad 2.

y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14

Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4

Page 8: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Obsah časti roviny

xy = 4, x + y = 5

Príklad 2.

y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14

Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4

Page 9: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Obsah časti roviny

xy = 4, x + y = 5

Príklad 2.

y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14

Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4

Page 10: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Objem rotačného telesa

VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉 a nech je g(x) ≥ 0 na 〈a, b〉. Potom pre objem VM telesa,ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi ox platí

VxM = π

b∫a

[f 2(x)− g2(x)

]dx ,

a pre objem VM telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okoloosi oy , ak a ≥ 0, platí

VyM = 2π

b∫a

x [f (x)− g(x)] dx .

Page 11: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.

y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 2.

y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 3.y = x3, y =

√x

okolo osi ox a oy .

Page 12: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 2.

y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0

okolo osi ox a oy .

√x

okolo osi ox a oy .

Page 13: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 2.

y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0

okolo osi ox a oy .

√x

okolo osi ox a oy .

Page 14: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Dĺžka rovinnej krivky

VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre dĺžku lK krivky K platí

lK =

b∫a

√1 + [f ′(x)]2 dx .

Page 15: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.

y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y =

√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1

2

y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y =

√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1

2

y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y =

√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1

2

Page 18: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Plošný obsah rotačnej plochy

VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre obsah PK rotačnej plochy,ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi ox platí

PK = 2π

b∫a

|f (x)|√

1 + [f ′(x)]2 dx .

Page 19: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :

Príklad 1.

y =x3

3, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5

Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.

Príklad 1.

y =x3

3, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5

Príklad 1.

y =x3

3, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5

Fyzikálne aplikácie určitého integrálu

Fyzikálne aplikácie určitého integrálu:

Ťažisko hmotnej oblasti.Hmotnosť hmotnej oblasti.Statický moment hmotnej oblasti.

Page 23: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou

Ťažisko hmotnej oblastiMajme hmotnú rovinnú oblasť M, ktorej tvar je určenýelementárnou oblasťou a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x), pričom funkcief a g sú spojité na intervale 〈a, b〉. Nech plošná hustota oblasti Mje h = h(x).Statický moment hmotnej oblasti M vzhľadom k osi ox , resp.osi oy je

Sox =12

b∫a

h(x)[f 2(x)− g2(x)

]dx ,

resp.

Soy =

b∫a

h(x)x [f (x)− g(x)] dx .