Matematika I - fsb.unizg.hr · Suprotni vektor i oduzimanje vektora ... a~ ~b c~ d~ e~ Katedra za...
-
Upload
truongdieu -
Category
Documents
-
view
246 -
download
1
Transcript of Matematika I - fsb.unizg.hr · Suprotni vektor i oduzimanje vektora ... a~ ~b c~ d~ e~ Katedra za...
Matematika IVektori I
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 55
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Uvodenje vektora kao prosirenje pojma skalarne velicinePrepoznavanje vektora-fizikalno znacenjeZbrajanje vektoraOsnovna vektorska algebraPrimjena vektora u geometriji
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 55
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnozenje vektora brojem
2 Razlaganje vektora
3 Vektori u geometrijiVektori i tockePravac AB i duzina ABRavnina ABC i trokut 4ABC
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 55
Vektorska algebra Vektori-uvod
Skalarna velicina-velicina odredena iznosom.-npr. skalarne velicine su masa, temperatura,. . .
Vektorska velicina-velicina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske velicine su pomak, brzina,sila. . .
Sa slike desno zakljucujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi razliciti.
~a ~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 55
Vektorska algebra Vektori-uvod
Skalarna velicina-velicina odredena iznosom.-npr. skalarne velicine su masa, temperatura,. . .
Vektorska velicina-velicina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske velicine su pomak, brzina,sila. . .
Sa slike desno zakljucujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi razliciti.
~a ~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 55
Vektorska algebra Vektori-uvod
Zadatak 1.
Koje su od sjedecih tvrdnjiistinite:
(1) −→a i ~d imaju isti smjer(2) |−→a |> |−→e |(3) |−→b |= |−→c |(4) −→e =~d
~a
~b
~c
~d
~e
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 55
Vektorska algebra Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora
~a+~b
~a
~b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 55
Vektorska algebra Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora je asocijativno:
(−→a +
−→b )+
−→c =−→a +(
−→b +−→c )
~a+~b+
~c
~a
~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 55
Vektorska algebra Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora je asocijativno:
−→a +−→b +−→c = (
−→a +−→b )+
−→c
~a+~b+
~c
~a
~b
~c
~a +~b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 55
Vektorska algebra Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora je asocijativno:
−→a +−→b +−→c =
−→a +(−→b +−→c )
~a+~b+
~c
~a
~b
~c
~ b+~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 55
Vektorska algebra Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora je komutativno:
−→a +−→b =
−→b +−→a
~a +~b
~a
~b~b
~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Suprotni vektor
~a
−~a
|−−→a |= |−→a | ali su to vektori suprotnog smjera
−→a −−→b :=−→a +(−−→b )
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Nul-vektor
Zbroj vektora i njemu suprotnog vektora je nul-vektor, u oznaci−→0 .
−→a +(−−→a ) =−→0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora je definirano na sljedeci nacin:
−→a −−→b :=−→a +(−−→b )
~a−~b
~a
−~b~b
~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
PRAVILO PARALELOGRAMA
~a−~b
~a+~b
~a
~b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Zadatak 2.
(a)
~a
~b(b)
~a
~b
Precrtajte vektore i skicirajte vektore:(i) −→a +
−→b (ii) −→a −−→b (iii)
−→b −−→a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Rjesenje:(a)
(i)
~a
~b~b
~a +~b
(ii)
~a
−~b ~a−~b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
(iii)
−~a
~b
~b−~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
(b)(i)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
(ii)~a
~b
−~b
~a− ~b(iii)
−~a
~b
~b
~b−~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 55
Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora
Zadatak 3.
~a
~b
~c Precrtajte vektore i skicirajtevektore:(i) −→a +
−→b
(ii) −→a +−→b −−→c
(iii) −→a −−→b −−→c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Mnozenje vektora brojem
~a
k~a
k > 0
k < 0
k~a
|k−→a |= |k ||−→a |
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Mnozenje vektora brojem
Vektori −→a i k−→a su kolinearni.Npr.
~a
3~a
12~a−2~a
~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Distributivnost
Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k
−→b
~a k~a
~b
k~b
~a+~b
k(~a+
~b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Distributivnost
Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k
−→b
~a k~a
~b
k~b
~a+~b
k(~a+
~b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Zadatak 4.
Zadan je vektor −→a na slici.Skicirajte vektore
2−→a , −3−→a , −0.5−→a , 1.2−→a ~a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 55
Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem
Zadatak 5.
Zadani su vektori −→a i−→b na slici.
Skicirajte vektore
2−→a −3−→b ,
12−→a +
−→b ,
−−→a − 32−→b .
~a
~b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 25 / 55
Razlaganje vektora
Razlaganje vektora
Ako razlozimo vektor −→c sa slike pomocu vektora −→a i−→b
~c0.7~b
~b
~a 1.5~a
onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 55
Razlaganje vektora
Razlaganje vektora
Ako razlozimo vektor −→c sa slike pomocu vektora −→a i−→b
~c0.7~b
~b
~a 1.5~a
onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 55
Razlaganje vektora
Opcenito−→c = t1
−→a + t2−→b
t1, t2 su realni brojevi.
Primjer 1.
Razlozite vektor −→c sa slikepomocu vektora −→a i
−→b
~a
~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 55
Razlaganje vektora
Opcenito−→c = t1
−→a + t2−→b
t1, t2 su realni brojevi.
Primjer 1.
Razlozite vektor −→c sa slikepomocu vektora −→a i
−→b
~a
~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 55
Razlaganje vektora
Rjesenje :
~a
~b
~c−2~b
0.8~a
−→c = 0.8−→a −2−→b .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 28 / 55
Razlaganje vektora
Zadatak 6.
Zadani su vektori −→a ,−→b i −→c . Razlozite vektor −→c u smjeru vektora
−→a i−→b (otprilike sa slike napravite razlaganje):
(a)
~a
~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 29 / 55
Razlaganje vektora
(b)
~a
~b
~c(c)
~a
~b
~c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 30 / 55
Razlaganje vektora
Primjer 2.Srednjica je 1/2 osnovice i s njom je paralelna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 31 / 55
Razlaganje vektora
Vektorski dokaz :
~a ~b
~a−~b
12~a− 1
2~b
12~a 1
2~b
12−→a − 1
2−→b = 1
2(−→a −−→b ).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 32 / 55
Razlaganje vektora
Primjer 3.Polovista stranica bilo kojeg cetverokuta cine paralelogram.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 33 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Vektori i tocke
A
B
−→AB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 34 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Vektori i tocke
A
B
C
D
−→AB+
−→BC +
−→CD =
−→AD
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Vektori i tocke
A
B
C
D
−→A�B+
−→�BC +
−→CD =
−→AD
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Vektori i tocke
A
B
C
D
−→A�B+
−→�B��C +
−→��CD =
−→AD
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Vektori i tocke
A
B
C
D
E
−→AB+
−→BC +
−→CD+
−→DE +
−→EA =
=−→AA =
−→0 (nul−vektor)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 36 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Radijvektori s ishodistem O
A
B
C
O−→rA =
−→OA
−→rB =−−→OB
−→rC =−→OC
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 37 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Radijvektori s ishodistem O
Bilo koji vektor−→AB moze se izraziti preko radijvektora:
O
B
A
−→OB =
−→OA+
−→AB
⇒−→AB =−→OB−−→OA
⇒−→AB =−→rB −−→rA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 38 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Zadatak 7.
Zadane su tocke A, B, C, D.Ucrtaj radijvektore −→rA ,
−→rB ,−→rC ,−→rD . Pomocu njih izrazi vek-
tore(a)−→AB,
−→BA,
−→AC,
−→BC,
−→CD
(b) 2−→AB−−→CD, 1
2−→BC + 1
3−→AB
−→BC +
−→CD,
−→AB+
−→BC +
−→CA.
A
B
C
D
O
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 39 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
Rjesenje :
A
B
C
D
O
−→rA
−→rB−→rC
−→rD
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 40 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
(a)
−→AB =
−→rB −−→rA−→BA =
−→rA −−→rB−→AC =
−→rC −−→rA−→BC =
−→rC −−→rB−→CD =
−→rD −−→rC
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 41 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
(b)
2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (
−→rD −−→rC)
= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC
12−→BC +
13−→AB =
12(−→rC −−→rB )+
13(−→rB −−→rA)
=12−→rC −
16−→rB −
13−→rA
−→BC +
−→CD =
−→rC −−→rB +−→rD −−→rC
=−→rD −−→rB =
−→BD
−→AB+
−→BC +
−→CA =
−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +
−→rA −−→rC =−→0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 42 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
(b)
2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (
−→rD −−→rC)
= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC
12−→BC +
13−→AB =
12(−→rC −−→rB )+
13(−→rB −−→rA)
=12−→rC −
16−→rB −
13−→rA
−→BC +
−→CD =
−→rC −−→rB +−→rD −−→rC
=−→rD −−→rB =
−→BD
−→AB+
−→BC +
−→CA =
−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +
−→rA −−→rC =−→0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 42 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
(b)
2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (
−→rD −−→rC)
= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC
12−→BC +
13−→AB =
12(−→rC −−→rB )+
13(−→rB −−→rA)
=12−→rC −
16−→rB −
13−→rA
−→BC +
−→CD =
−→rC −−→rB +−→rD −−→rC
=−→rD −−→rB =
−→BD
−→AB+
−→BC +
−→CA =
−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +
−→rA −−→rC =−→0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 42 / 55
Vektori u geometriji Vektori i tocke
(b)
2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (
−→rD −−→rC)
= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC
12−→BC +
13−→AB =
12(−→rC −−→rB )+
13(−→rB −−→rA)
=12−→rC −
16−→rB −
13−→rA
−→BC +
−→CD =
−→rC −−→rB +−→rD −−→rC
=−→rD −−→rB =
−→BD
−→AB+
−→BC +
−→CA =
−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +
−→rA −−→rC =−→0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 42 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Pravac AB i duzina AB
O
A
B
0 <t <
1
−→rA−→rB
−→r
t <0
t >1
−→r =−→rA + t
−→AB =
−→rA + t(−→rB −−→rA)
⇒−→r = (1− t)−→rA + t−→rB
⇒−→r = λ−→rA +µ−→rB ,
λ+µ = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 43 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
DUZINA AB : λ, µ≥ 0
POLOVISTE OD AB :−→r =
12−→rA +
12−→rB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 44 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
DUZINA AB : λ, µ≥ 0
POLOVISTE OD AB :−→r =
12−→rA +
12−→rB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 44 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Zadatak 8.Zadan je pravac
−→r =−→rA + t
−→AB.
Ucrtaj na pravcu tocke ko-jima odgovaraju vrijednosti t =0, 1, −1
2 , −2, 3 i uz svaku tockuupisi odgovarajucu vrijednost zat .
A
B
O
−→rA−→rB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 45 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Rjesenje :
A
B
t = −2
t = −12 t = 0
t = 1
t = 3
O
−→rA−→rB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 46 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Zadatak 9.Na pravcu
−→r =−→rM + t
−−→MN
odredi tocke (podebljaj) za kojevrijedi(a) −1≤ t ≤ 2(b) t ≥ 1(c) t ≤ 2
M
N
O
−→rM−→rN
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 47 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Rjesenje :(a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 48 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Rjesenje :(b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 49 / 55
Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB
Rjesenje :(c)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 50 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
Ravnina ABC trokut 4ABC
A
O
C
B
T
−→rA−→r
−→r =−→rA +
−→AT =
−→rA + t1−→AB+ t2
−→AC
=−→rA + t1(
−→rB −−→rA)+ t2(−→rC −−→rA)
= (1− t1− t2)−→rA + t1
−→rB + t2−→rC
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 51 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
−→r = λ−→rA +µ−→rB +ν
−→rC , λ+µ+ν = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 52 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
4ABC :λ, µ, ν≥ 0
teziste 4ABC :λ = µ = ν =13
−→rT =13−→rA +
13−→rB +
13−→rC
Dokaz∗.
−→rT =13−→rA +
23(12−→rB +
12−→rC)
=13−→rA +
13−→rB +
13−→rC
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 53 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
Zadatak 10.Zadana je ravnina
−→r =−→rA + t1
−→AB+ t2
−→AC,
(a)Ucrtaj(otprilike) tockeza koje je (t1, t2) =(2,3),(0,0),(1,−2),(−1
2 ,32) i
upisi uz tocke odgovarajuci parvrijednosti (t1, t2).(b) Koji parovi pripadajutockama B i C?(c) Gdje se nalaze tocke(t1, t2) = (0, t)?
A
B
C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 53 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
Rjesenje :(a), (b)
(2, 3)
(1,−2)
(−12, 32)
A(0, 0)
B(1, 0)
C(0, 1)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 54 / 55
Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC
Rjesenje :(c)Tocke (t1, t2) = (0, t) se nalaze na pravcu koji prolazi kroz tocke A i C.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 55 / 55