Matematika I.
-
Upload
violet-santana -
Category
Documents
-
view
57 -
download
2
description
Transcript of Matematika I.
Matematika I.
2. heti előadás
Deák Ottómestertanár
Műszaki Térinformatika 2015/2016. tanévszakirányú továbbképzés őszi félév
Mi az a Maple?
• Általános célú számítógép-algebrai rendszer
• Windows alapú kezelőfelület
• Interaktív kezelési mód
• Programozható
• Problémamegoldásra alkalmas eszközrendszer
• Elméletileg teljesen megalapozott algoritmusok
• Könnyű kezelhetőség
1. lecke
Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha egy negyedfokú polinom négy valós gyöke számtani soro-zatot alkot, akkor ugyanez igaz a derivált-jára is!
Értelmezés: •Egy negyedfokú polinomnak 4 gyöke van;•A számtani sorozat négy egymást követő tagja:
a, a+d, a+2·d, a+3·d:•A polinom felírható gyöktényezős alakban:
p(x)=(x-x1) ·(x-x2) ·(x-x3) ·(x-x4);•A p’(x) polinomnak 3 gyöke lesz;•Kérdés: Ezek számtani sorozatot alkotnak?
1. lecke megoldása
Mit tanultunk a Maple-ből?
• A parancsokat pontosvesszővel zárjuk le. Egy pa-rancs több sorból is állhat és egy sorban több pa-rancs is megadható. Több soros parancsnál az Enter billentyűvel lépünk az újabb sorba.
• Az értékadás operátora a := jelsorozat.• A diff(f,x) parancs az f kifejezés x szerinti deri-
váltját állítja elő.• A solve(f=0,x) parancs az f=0 egyenletet oldja meg x-re.
• Sorozat a Maple-ben: olyan adattípus, ami a Maple objektumok vesszővel elválasztott sorozatából áll. Elemeire index segítségével hivatkozhatunk.
Az 1. lecke gyakorló feladatai
1.feladat: Keressük meg az alábbi egyenletek gyö-keit!
a) x3 - 5 ·x2 - 4 ·x + 2 = 0
b) 3 ·x3 - 5 ·x2 + x - 6 = 0
c) a ·x2 + b ·x + c = 0
2.feladat: Tekintsük az f(x) = x3 - 3 · x2 függvényt,
és a belőle származtatott y(x)=x·f(x-1) negyedfokú polinomot. Mutassuk meg, hogy az y deriváltjának gyökei mértani sorozatot alkotnak!
Az 1. gyakorló feladat megoldásai
A 2. gyakorló feladat megoldása
A 2. lecke
Feladat: Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 po-linomot!
a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét!b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk!c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=0 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!
A 2. lecke megoldása
A 2. lecke megoldása
A 2. lecke megoldása
A 2. lecke megoldása
A 2. lecke megoldása
A 2. lecke megoldása
Mit tanultunk a Maple-ből (I.)?
• A solve eljárás elfogad egyenlet helyett kifejezést is, és ekkor a kifejezés=0 egyenletet oldja meg.
• A max és a min eljárás a paraméterként megadott sorozat legnagyobb illetve legkisebb elemét hatá-rozza meg.
• A plot eljárás legegyszerűbb hívása: plot(kifejezés,x=a..b). Ennek hatására a kifejezés által meghatározott görbét a rendszer az [a,b] zárt intervallumon ábrázolja.
• Ha a plot eljárásnak kifejezések halmazát adjuk meg, akkor a görbéket a rendszer egy ábrán jeleníti meg, különböző színekkel.
Mit tanultunk a Maple-ből (II.)?
• Kifejezések helyettesítési értékét a subs eljárással állíthatjuk elő. Ennek legegyszerűbb formája a subs(változó=kifejezés1,kifejezés2). Hatására a változó minden egyes kifejezés2-beli előfordulása a kifejezés1 értékével helyettesítődik. Figyelem: a helyettesítés a kifejezés2-t nem változtatja meg!
• A halmaz adattípus MAPLE objektumok kapcsos zárójelbe zárt sorozata, mely elemeinek rende-zetlen összessége. A halmazokkal műveletek is végezhetők: union, intersect és minus.
A 2. lecke gyakorló feladatai
3.feladat: Rajzoljuk fel a következő függvényeket különböző intervallumokon!a) x4 -2 · x3 - 7 ·x2 + 8 ·x + 12b) x3 + 5 ·x2 - 4 ·x - 20
4.feladat: Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 polinomot!a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét!b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk!c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=1.2 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!
A 3/a. gyakorló feladat megoldása
A 3/b. gyakorló feladat megoldása
A 4. gyakorló feladat megoldása (I.)
A 4. gyakorló feladat megoldása (II.)
A 3. lecke
Feladat: Készítsük el az f=(x5+8*x2-2*x-6)/(x5+1) függvény ábráját úgy, hogy az jól mutassa az f viselkedését!
Kérdés: Mi jellemzi egy függvény „viselkedését”?Válasz: Zérushelyek
SzélsőértékekHatárértékek (véges és végtelen)
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
A 3. lecke megoldása
Mit tanultunk a Maple-ből (I.)?
• Az fsolve eljárás megadja a függvények gyökeinek valós közelítését. Polinom esetében fsolve az összes gyököt; minden más esetben egy gyököt közelít. Az fsolve-nak opcióként megadható, hogy a gyököt milyen intervallumban keresse: fsolve (f,x,x=a..b).
• A numer eljárás a paraméterként adott tört vagy törtfüggvény számlálóját adja. A nevező a denom eljárással állítható elő.
• A realroot egyváltozós polinomok gyökeit izolál-ja. Outputja [[a1..b1],…[an..bn]] alakú, ahol az [ai..bi] intervallumok mindegyike egy-egy gyököt tartalmaz.
Mit tanultunk a Maple-ből (II.)?
• A realroot egyéb könyvtári eljárás, amit a readlib(realroot) utasítással kell elérhetővé tenni.
• Az f kifejezés i-dik deriváltját a diff(f,x$i) parancs közvetlenül előállítja.
• A limit eljárás függvények végesben és végtelenben vett határértékeit határozza meg. Tehát limit(f,x=a) nem más, mint az f határértéke, miközben x tart az a-hoz.
• A plot eljárásban harmadik paraméternek op-cióként megadhatjuk a függvényértékek ábrázolási tartományát. Tehát a plot szintaxisa:
plot(f,x=a..b,y=c..d);
A 3. lecke gyakorló feladatai
5.feladat: Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg mindegyik intervallumra a gyököt!a) x3 -3 · x2 - 1 b) x4 - x - 1c) x3 -7 ·x2 - 2 ·x - 1 d) x4 + x2 - 1
6.feladat: Határozzuk meg az alábbi határértékeket!a) limit(sin(x)/x,x=0)b) limit(n/(3 · n2+1),n=infinity)c) limit((n2+1)/(2 · n+1)-(3 ·n2 + 1)/(6 ·n+2), n=infinity)
7.feladat: Vizsgáljuk meg az alábbi függvények szélső-érték helyeit és rajzoljuk fel egy ábrába az első és a második deriváltakat!a) f = x5- 5 ·x4 + 5 ·x3 + 7b) f = sin(x) + x ·cos2(x)