y

1.1.sporazumjevanja medu ljudima je jezik, Razlikujemo vi e vrsta jezika Matemati ka logika Osnovno sredstvosporazumjevanja, kao to su npr, slikarski, muzi ki, obi ni (govorni) i knji evni jezik, Matemati ki jezik je najvi i oblik nau nog jezika,

y Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomo u koga se izra avamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorje enosti, Zadatak matemati ke logike je prou avanje, istra ivanje i stalna dogradnja takvog matemati kog jezika, tj, jezika simbola kao sredstva za razvijanje mi ljenja, rasu ivanja, zaklju ivanja i komuniciranja u matematici. y Najsli niji maternati kom jeziku su govorni i knji evni (pisani) jezik, Osnovu ovih jezika ini glas, slovo, rije i re enica, Ne to sli no va i i za matemati ki jezik u kome osnovu ine matemati ki izrazi (rije i) ili termini, Najprostiji matemati ki izrazi su konstante i promjenljive. y Konstante su potpuno odre eni matemati ki objekti, tj, veli ine kojima se vrijednost ne mijenja, npr, -S; 0; 2; 2/3; 5; ; ; e ... y Promjenljive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa, Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.

Primjer

1.) x,y,z,a,b,c,..., ,A su oznake za promjenljive 2.) n je oznaka za prirodan broj, Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2,

Slo eni matemati ki izrazi se dobijaju kad se konstante I promjenljive pove u simbolima ( oznakama) za ra unske operacije, kao to su npr, +, -, , : , Pri formiranju slo enih izraza dozvoljena je I upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla. Primjer 1,) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y I sl, 2,) nisu izrazi: 2+, x(y+) I sl,

Dakle, izrazi su rije i ili sklopovi rije i koji ne ine re enicu, Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od vi e promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomo nih simbola, Viijednost matemati kog izrazi je konstanta koja se dobije nakon to se u izrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovaraju im vrijednostima (konstantama) i izvr e nazna ene operacije. Matemati ke formule su re enice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne mo e, nedvosmisleno i jednozna no, utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve va e ovi principi: y principi uklju enja tre eg, to zna i da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit, y princip kontradikcije, to zna i da nema iskaza koji je i istinit i neistinit.

y Primjer y Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 45, x+y=z, x+x=3x i sl.y

Svaki iskaz se mo e obilje iti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,,

y Ako je neki iskaz p ta an (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti ozna ava ovako: p=T ili p=1 ( itaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina), y Ako je p neta an (neistinit, la an) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, pi e se ili p= ili p=0 ( itaj: tau od p jednako ne te ili nula), y U matematici se ta an iskaz naziva stav, y Iskaz je prost ako sadr i samo jednu informaciju, y Dva ili vi e prostih iskaza povezanih znacima logi kih operacija tvore slo eni iskaz, Osnovni medu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije , koja se odnosi na jedan iskaz, U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih slo enih iskaza, y Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q ( itaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita, y Tablica vrednosti istinitosti za konjukciju za sve mogu e varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq:

ili kra e y Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq ( itaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uklju iva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.

y Eksluzivna (isklju iva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq ( itaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit. y Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju:

Pod izrazom "disjunkcija" naj e e se podrazumjeva inkluzivna, pa je u slu aju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti, y Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se mo e itati ovako:y y p implicira q, y iz p slijedi q, y p je dovoljan uslov za q, y q je potreban uslov za q, y p je uzrok za q, a q je posljedica p, y p je predpostavka, a q je tvrdnja,

y Tabla istinitosti za implikaciju:

y Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosri istinitosti, p q se mo e itati ovako: y p je ekvivalentno sa q, y iz p slijedi q i iz q slijedi p, y ako je p onda q i obratno, y p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd,

Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju:

Ekvivalencija iskaza p i q se mo e definisati i kao konjunkcija implikacija p =>q i q=> p, tj, va i:

y Negacija datog iskaza p je iskaz p ( itaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

y Napomena

( p)=p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijedno u istinitosti kao to je ima dati iskaz, 2. ( p q ) = p q i ( p q ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i obratno.1. y

Dakle, vezivanjem prostih iskaza, ozna enih iskaznim slovima p, q,,,,, pomo u znakova logi kih operacija dobili smo slo ene iskaze, Vezuju i ove slo ene iskaze pomo u znakova logi kih operacija dobijamo jo slo enije, Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logi ke formule.

y Uobi ajeno je da se iskazne formule defini u ovako: y Iskazna slova su iskazne formule, y Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (AVB), (A =>B), (A B), A tako e iskazne formule, y Iskazne formule mogu se obrazovati samo kona nim brojem primjena 1) i 2), uz mogu nost kori enja konvencije o brisanju zagrada.

y Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj.

y Iskazna formula koja je istinita za svaku mogu u varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formula tautologija pi e se: A=T ili A T ili A~T. y Dvije formule A i B su identi ki jednake ako i samo ako je formula A B tautologija. y Ako se kvantitativno eli izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici). y Ako iskaz po inje kvantifikacijom "za svako", onda se rije i "za svako" ozna avaju sa (obratno od prvog slova njema ke rije i Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor). y Formula ( x A) P(x) zna i: za svako x iz skupa A predikat P(x) je ta an. y Ako iskaz po inje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove rije i ozna avaju sa (obratno od prvog slova njema ke rije i Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor). y Formula ( x A) P(X) zna i: predikat P(x) je ta an za bar jedno x iz skupa A. y U vezi s kvantorima, pored ostalih, zna ajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) ra una: y ( x) P(x) ( x) P(x) ; ( x) P(x) ( x) P(x) y

y Kvantori, zajedno sa rije i i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih rije i pomo u kojih se u matematici polaze i od izvjesnih re enica, grade nove slo ene re enice. y Na kraju ovog poglavlja dajemo obja njenje nekih zna ajnijih pojmova u vezi s rasu ivanjima i dokazivanjima u matematici. y Definicija je re enica, ili skup re enica, kojom se odre uju sadr ina nekog pojma. y Pojam je misaoni sadr aj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove, Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se obja njavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, ta ka), Izvedeni pojmovi su oni koje obja njavamo pomo u osnovnih i drugih izvedenih pojmova. y Pretpostavke (hipoteze) su re enice (formule) od kojili se polazi, kao ta nih u nekom rasu ivanju. y Posljedice su re enice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logi kim rasu ivanjem i zaklju ivanjem. y Aksiome su polazne re enice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao ta ne i ija se istinitost ne dokazuje. y Teoreme su izvedene (dokazane) re enice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvr enjima. y Dokaz je put logi kog rasu ivanja i zaklju ivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili ve dokazana teorema.

1.2. Skupoviy Skup (mno tvo, mno ina) je jedan od osnovnih pojmova u matematici, te se stoga ne defini e, Skup ine njegovi elementi, Pojam elemenata je takode jedan od osnovnih pojmova u matematici. y Ako je npr. a elemenat skupa S, onda pi emo a S ( itaj: a je elemenat skupa S, ili a pripada skupu S), Ako a nije elemenat skupa S, onda pi emo a S. y Skup se odre uje nabrajanjem (enumeracijom) svih njegovih elemenata ili navo enjem osobina koje posjeduju svi njegovi elementi, Skup se mo e prikazati i na tzv, Venovom dijagramu, tako to se svi njegovi elementi predstave ta kama unutar jedne zatvorene linije, pri emu se ta ke ne moraju prikazati, ve se mo e pretpostaviti da su u dijagramu. y Primjer

Skup prvih est prirodnih brojeva se mo e predstaviti na sva tri pomenuta na ina: 1. Nabrajanjem datih elemenata datog skupa: A = {1,2,3,4,5,6}, ovaj na in se naziva i tabelarno notiranje skupa, 2. Navo enjem osobina koje posjeduju svi elementi datog skupa: A ={x|x