MATEMATIKA DISKRIT · iii PRAKATA Alhamdulillahirabbil'aalamin, penulis panjatkan sebagai rasa puji...
Transcript of MATEMATIKA DISKRIT · iii PRAKATA Alhamdulillahirabbil'aalamin, penulis panjatkan sebagai rasa puji...
2018
i
ii
iii
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil'aalamin, penulis panjatkan sebagai rasa puji dan syukur kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya, Buku Ajar ini dapat terselesaikan mengingat tugas dan kewajiban lain yang bersamaan hadir. Penulis berusaha maksimal untuk bisa menyelesaikan Buku Ajar ini dengan harapan untuk membantu mahasiswa dalam menempuh matakuliah Matematika Diskrit. Buku Ajar ini berisi mengenai materi Matematika Diskrit disertai dengan contoh-contoh mulai dari contoh konsep, contoh soal penalaran dan komunikasi sampai dengan contoh kontekstual yang mudah dipahami oleh mahasiswa. Penulis juga menyajikan soal-soal yang bervariasi dimulai dari soal pemahaman konsep, soal penalaran dan komunikasi hingga soal kontekstual.
Terselesaikannya penulisan Buku Ajar ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan banyak terima kepada LPPM Universitas Wisnuwardhana Malang yang telah memberikan dukungan secara moral dan material sehingga penulis termotivasi untuk menyelesaikan Buku Ajar ini. Buku Ajar ini penulis persembahkan untuk suami (Handri Wibowo) dan kedua anak tercinta (Iqbar Aflahans Havilah dan Karima Azzahrahans Aqilasha) yang selalu memberikan doa, motivasi dan telah memberikan banyak inspirasi sehingga terselesaikannya Buku Ajar ini. Meskipun telah berusaha untuk menghindarkan kesalahan, penulis menyadari juga bahwa buku ini masih banyak kelemahan dan kekurangannya. Dengan segala pengharapan dan keterbukaan, penulis menyampaikan rasa terima kasih dengan setulus-tulusnya. Bagi penulis, kritik dan saran pembaca merupakan perhatian agar dapat menuju kesempurnaan.
iv
Akhir kata, penulis berharap agar Buku Ajar ini dapat membawa manfaat kepada pembaca. Secara khusus, penulis berharap semoga Buku Ajar ini dapat menginspirasi mahasiswa agar menjadi generasi yang tanggap, tangguh, bermartabat, kreatif, disiplin dan mandiri.
Malang, November 2018
Penulis
v
DAFTAR ISI
PRAKATA .................................................................................................... iii
DAFTAR ISI................................................................................................. v
KERANGKA BUKU AJAR MATEMATIKA DISKRIT ............... vii
TINJAUAN MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT ........... xiii
BAB I INDUKSI MATEMATIKA ........................................................ 1
1. Pendahuluan ......................................................................................... 1
2. Notasi Jumlah dan Notasi Kali ...................................................... 1
3. Prinsip Induksi Matematika .......................................................... 4
4. Prinsip Induksi Matematika Kuat ............................................... 7
5. Kesimpulan 1.5 Komponen Graph ............................................. 8
6. Latihan Soal ........................................................................................... 9
BAB II PRINSIP DASAR MEMBILANG.......................................... 14
1. Pendahuluan ......................................................................................... 14
2. Prinsip Dasar Perkalian (The Product Rule and The
Rule Of Product).................................................................................. 14
3. Prinsip Dasar Penjumlahan ........................................................... 15
4. Prinsip Inklusi – Eksklusi ............................................................... 16
5. Prinsip Kandang Merpati (The Pigeonhole Principle,
The Dirichlet Box Principle) .......................................................... 18
6. Kesimpulan ............................................................................................ 20
7. Latihan Soal ........................................................................................... 21
BAB III KOMBINATORIK .................................................................... 24
1. Pendahuluan ......................................................................................... 24
2. Konsep Faktorial ................................................................................. 25
3. Konsep Permutasi dan Kombinasi ............................................. 26
4. Koefisien Bionominal dan Koefisien Multinomial .............. 43
5. Kesimpulan ............................................................................................ 59
6. Latihan soal ........................................................................................... 60
vi
BAB IV FUNGSI PEMBANGKIT ........................................................ 65
1. Pendahuluan ......................................................................................... 65
2. Fungsi Pembangkit Biasa ................................................................ 66
3. Fungsi Pembangkit Eksponensial dan Penerapannya ...... 83
4. Kesimpulan ............................................................................................ 86
5. Latihan Soal ........................................................................................... 88
BAB V PENGANTAR DASAR TEORI GRAPH ............................. 92
1. Pendahuluan ......................................................................................... 92
2. Pengertian Dan Konsep Dasar Teori Graph ........................... 94
3. Jenis-Jenis Graph ................................................................................. 98
4. Keterkaitan Teori Graph dengan Dunia Nyata ..................... 101
5. Kesimpulan ............................................................................................ 104
6. Latihan Soal ........................................................................................... 105
BAB VI KETERKAITAN MATEMATIKA DISKRIT
DENGAN MATEMATIKA SEKOLAH ............................................. 110
1. Pendahuluan ......................................................................................... 110
2. Keterkaitan Materi Matematika Diskrit Dengan Materi
Di Sekolah............................................................................................... 111
3. Perbedaan Dan Persamaan Materi Matematika Diskrit
Dengan Materi Di Sekolah .............................................................. 115
4. Kesimpulan ............................................................................................ 122
5. Latihan Soal ........................................................................................... 123
DAFTAR PUSTAKA................................................................................. 124
SOAL DAN PENYELESAIAN 1 ............................................................. 125
SOAL DAN PENYELESAIAN 2 ............................................................. 131
SOAL DAN PENYELESAIAN 3 ............................................................. 133
SOAL DAN PENYELESAIAN 4 ............................................................. 136
vii
KERANGKA BUKU AJAR MATEMATIKA DISKRIT
Kemampuan Akhir yang
direncanakan Indikator Materi
1. Menerapkan dan membuktikan Prinsip Dasar Matematika (C3, A5)
1.1 Ketepatan penjelasan tentang perbedaan konsep notasi jumlah dan notasi kali
1.2 Ketepatan menyelesaikan masalah tentang notasi jumlah dan notasi kali
1.3 Ketepatan penjelasan tentang prinsip induksi matematika
1.4 Ketepatan langkah membuktikan pernyataan dengan prinsip induksi matematika
Bab I Induksi Matematika
1 Pendahuluan 2 Notasi Jumlah
dan Notasi Kali 3 Prinsip Induksi
Matematika 4 Prinsip Induksi
Matematika Kuat
5 Kesimpulan 6 Latihan Soal
2. Mengklasifikasikan dan mendiskusikan konsep Prinsip Dasar Membilang (C3,
2.1 Ketepatan menjelaskan konsep prinsip perkalian
2.2 Ketepatan
Bab II Prinsip Dasar Membilang
1 Pendahuluan 2 Prinsip
Perkalian
viii
A2) menyelesaikan dan mendiskusikan masalah yang berkaitan dengan prinsip perkalian
2.3 Ketepatan menjelaskan konsep prinsip penjumlahan
2.4 Ketepatan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan prinsip penjumlahan
2.5 Ketepatan menjelaskan konsep prinsip inklusi eksklusi
2.6 Ketepatan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan prinsip inklusi eksklusi
2.7 Ketepatan menjelaskan
3 Prinsip Penjumlahan
4 Prinsip Inklusi Eksklusi
5 Prinsip Sarang Merpati
6 Kesimpulan 7 Latihan Soal
ix
konsep prinsip sarang merpati
2.8 Ketepatan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan prinsip sarang merpati
3. Menganalisis dan menggunakan Konsep Kombinatorik (C4, P4)
3.1 Ketepatan Menerapkan konsep faktorial dalam pemecahan masalah dengan benar
3.2 Ketepatan Menerapkan konsep permutasi dan konsep kombinasi dalam pemecahan masalah dengan tepat
3.3 Ketepatan Mengklasifikasi konsep permutasi dan konsep kombinasi dalam pemecahan
Bab III Kombinatorik 1 Pendahuluan 2 Konsep
Faktorial 3 Konsep
Permutasi dan Kombinasi
4 Koefisien Binomial dan Teorema Multinomial
5 Kesimpulan 6 Latihan Soal
x
masalah 3.4 Ketepatan
Menentukan dan Ketepatan menggunakan Koefisien suku dua dan suku banyak dari suatu persamaan
4. Menganalisis dan Memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan Fungsi Pembangkit Biasa (C4, A5)
4.1 Ketepatan Menjelaskan konsep Pembangkit Biasa dengan benar
4.2 Ketepatan Menentukan barisan yang dibangkitkan dari suatu fungsi pembangkit biasa
4.3 Kateapatan Menentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan
4.4 Ketepatan Menerapkan koefisien dari suatu fungsi pembangkit
4.5 Ketepatan Menganalisis banyaknya
Bab IV Fungsi Pembangkit
1 Pendahuluan 2 Fungsi
Pembangkit Biasa
3 Fungsi Pembangkit Eksponensial dan Penerapannya
4 Kesimpulan 5 Latihan Soal
xi
cara pemilihan objek atau pengambilan objek dan banyaknya selesaian bilangan bulat
5. Menerapkan dan Menghubungkan Pengantar Teori Graph dengan benar (C3, A4)
5.1 Menjelaskan pengertian dan konsep dasar teori graph
5.2 Menjelaskan jenis-jenis graph
5.3 Mendeskripsikan dan menghubungkan istilah-istilah dalam teori graph dengan kehidupan nyata
Bab V Pengantar Dasar Teori Graph
1 Pendahuluan 2 Pengertian
Dan Konsep Dasar Teori Graph
3 Jenis-Jenis Graph
4 Keterkaitan Teori Graph dengan Dunia Nyata
5 Kesimpulan 6 Latihan Soal
6. Menganalisis
dengan mengkaitkan materi Matematika Diskrit dengan materi Matematika di Sekolah
6.1 Mengamati keterkaitan materi matematika diskrit dengan materi di sekolah
6.2 Menganalisis perbedaan dan persamaan
Bab VI Keterkaitan Matematika Diskrit dengan Matmatika Sekolah 1 Pendahuluan 2 Keterkaitan
Materi Matematika Diskrit Dengan Materi Di
xii
materi matematika diskrit dengan materi di sekolah
6.3 Membuat laporan
Sekolah 3 Perbedaan dan
persamaan materi matematika diskrit dengan materi di sekolah
4 Kesimpulan 5 Latihan Soal
xiii
TINJAUAN MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT:
a. Desksripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini memberikan
dan mendiskusikan beberapa konsep dasar dan
penting dalam matematika diskrit. Matakuliah ini juga
juga memberikan wahana kepada mahasiswa untuk
berlatih berpikir kreatif dalam menyelesaikan suatu
permasalahan diskrit. Dengan mengacu sasaran di atas,
matakuliah ini diberikan dengan menekankan pada
pemberian waktu yang relatif banyak kepada
mahasiswa untuk melakukan problem-solving mulai
dari permasalahan sederhana hingga yang cukup
rumit. Walaupun penyajian matakuliah ini tidak harus
dituntut proof-like, akan tetapi satu atau dua teorema
perlu disajikan serta dibuktikan secara detail untuk
memberikan contoh berargumentasi secara verbal.
Adapun bahan matakuliah ini meliputi: Induksi
Matematika, Prinsip Dasar Membilang, Kombinatorik,
Fungsi Pembangkit, Pengantar Dasar Teori Graph dan
Keterkaitan Matematika Diskrit dengan Mata Pelajaran
Matmatika di SD, SMP dan SMA
b. Manfaat Mata Kuliah : Meningkatkan kemampuan
mahasiswa dalam bereksplorasi, studi kasus per kasus,
berargumentasi, dan kemampuan problem-solving,
xiv
selain itu juga untuk memberikan kesempatan
mahasiswa berlatih menulis argumentasi atau
berargumentasi secara verbal.
c. Capaian Pembelajaran : Mahasiswa Mampu
Menyimpulkan Konsep Fungsi Pembangkit Biasa Dan
Mahir Dalam Menyelesaikan Masalah Yang Berkaitan
Dengan Konsep Kombinatorik, Serta Mampu
Membuktikan Pernyataan Berdasarkan Prinsip Induksi
Matematika. (C6, P5, A5).
d. Kemampauan Akhir yang direncanakan :
1. Menerapkan dan membuktikan Prinsip Dasar
Matematika (C3, A5)
2. Mengklasifikasikan dan mendiskusikan konsep
Prinsip Dasar Membilang (C3, A2)
3. Menganalisis dan menggunakan Konsep
Kombinatorik (C4, P4)
4. Menganalisis dan Memecahkan permasalahan yang
berkaitan dengan Fungsi Pembangkit Biasa (C4, A5)
5. Menerapkan dan Menghubungkan Pengantar Teori
Graph dengan benar (C3, A4)
6. Menganalisis dengan mengkaitkan materi
Matematika Diskrit dengan materi Matematika di
Sekolah.
1
BAB I INDUKSI MATEMATIKA
1. Pendahuluan
Induksi matematika memiliki prinsip menjadikan
suatu alat berharga untuk membuktikan hasil-hasil yang
terkaik dengan bilangan bulat atau hubungan tertentu
yang dapat diperluas. Hal ini berlaku untuk semua
bilangan asli hasil-hasil yang terkait, terutama tentang
penjumlahan dan hubungan tertentu, dapat berupa
ketidaksamaan, keterbagian, atau diferensial.
Dalam kaitanya dengan hasil penjumlahan, prinsip
induksi matematika melibat notasi jumlah (summation)
dan notasi kali (products). Kedua notasi ini sangat
bermanfaat untuk menyederhanakan tulisan sehingga
menjadi lebih singkat dan lebih mudah dipahami.
Materi dalam modul ini meliputi konsep prinsip
induksi matematika, prinsip induksi matematika kuat,
dan disertai dengan soal-soal latihan untuk
mempermudah peserta didik memahami konsep.
2. Notasi Jumlah dan Notasi Kali
Notasi jumlah adalah notasi yang di lambangkan ∑,
dan notasi kali adalah notasi yang dilambangkan dengan
∏, dan didefinisikan sebagai :
2
∑ =x1 + x2 +.....xt
∏
Huruf dari indeks jumlah notasi atau notasi kali
disebut variabel dummy karena dapat diganti oleh
sebarang huruf,misalnya :
∑
∑
∑
∏
∏
∑
i = 1 di sebut batas bawah (lower limit) dan i = r disebut
batas atas (upper limit).
Contoh 1.1
a. ∑ =1+2+3+4 = 10
b. ∏ =1.2.3.4 = 24
c. ∑ =3+3+3+3+3 = 15
d. ∏ =3.3.3.3.3 = 243
e. ∑ =12+22+32 = 14
f. ∏ =12.22.32 = 36
Selanjutnya, indeks jumlah tidak harus.dimulai
dari 1,artinya dapat dimulai dari bilangan bulat selain
3
dari bilangan bulat selain 1 asalkan batas bawah tidak
melebihi batas atas.
Contoh 1.2
a. ∑ =3+4+5=12
b. ∑ = (2.2-1)+(2.3-1)+(2.4-1)+ (2.5-
1)+(2.6-1)= 35
c. ∏ 2k = 22.23.24 = 4.8.16 = 572
d. ∏ (t-1) = (2-1) (3-1) (4-1) = 1.2.3 = 6
Berapa sifat yang terkait dengan notasi jumlah
adalah :
1) ∑ = tx1+tr+1+......+tx5
= t(x1xr+1+.......+x5)
= t∑ x1
2) ∑ (xi +y1) = (xr + yr)+(xr+1 + yr+1)4
= (xr + xt=1 +.........x1) + (yt + yt+1
+........+y5)
= ∑ x1 + ∑
yi
3) ∑ ∑
x1y1 = ∑ (xi ∑
yi )
=∑ x1(yc + yc+1+.......+yd)
=xa(yc +yc+c....+yd) + x8+1(yc + yc+1
+.....+yd) +.....+ xb (yc
+yc+1+.......+ yd)
=[ ∑ x1 ] [ ∑
yj ]
4
4) ∑ ∑
xi yi =[ ∑ xj] [ ∑
y1]
=[ ∑ yj] [ ∑
xt]
=∑ yj ∑
yj
=∑ ∑
xi yj
Contoh 1.3
a. ∑ 2x1 =2x3 + 2 x4+ 2x5 =2(x3 + x4 +x5) =2 ∑
xi
b. ∑ (2a1 + 3b1) = (2a2 + 3b2) +(2a3 + 3b2) + (2a4 +
3b4)
= (2a2 + 2a3 + 2a4) + (3b2 + 3b3) +
(3a4 +3b4)
=2 (a2 +a3 + a4) + (b2 + b3 + b4)
=2 ∑ a1 + 3 ∑
b1
c. ∑ ∑
ij2 = ∑
(i.12 + i.22)
=∑ 5i = 5.1 + 5.2 +5.3 =30
d. ∑ ∑
ij2 =∑ (i.j2 + 2.j2 + 3.j2)
= ∑ 6j2= 6.12
3. Prinsip Induksi Matematika
Sebuah cara pembuktian yang sering dipakai,
simple, dan sangat anmpuh di dalam matematika
kombinatorial dan ilmu computer, dikenal dengan
5
prinsip induksi matematika. Dalam menggunakan
prinsip induksi matematika pada suatu pernyataan
tertentu yang melibatkan suatu bilangan asli n terdapat
dua langkah yang biasa digunakan.
a. Langkah pertama dinamakan basis induksi, yaitu
dimana kita memiliki pernyataan dasar seperti,
sebuah pernyataan benar untuk n = n0
b. Langkah kedua dinamakan langkah induksi, yaitu
sebuah pernyataan lanjutan yang membantu untuk
menyimpulkan seperti, sebuah pernyataan benar
untuk n = k+1
c. Selain itu terdapat hipotesis induksi, yaitu sebuah
asumsi terhadap langkah induksi bahwa pernyataan
tersebut benar dalam suatu kondisi tertentu semisal,
pernyataan
Dengan memperhatikan langkah-langkah tersebut
maka kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan
tersebut benar untuk semua bilangan asli .
Kita perhatikan bahwa prinsip induksi matematika
merupakan akibat langsung dari definisi bilangan asli.
Perhatikan suatu himpunan S yang mempunyai sifat
a. Bilangan asli n0 ada di dalam S
b. Jika bilangan asli k ada di dalam S, maka bilangan
asli k+1 juga ada di dalam S, (k ≥ n0)
6
Berdasarkan difinisi himpunan bilangan asli, kita
dapat menyimpulkan bahwa S, mengandung semua
bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan n0. Akan
tetapi, sesungguhnya inilah yang dinyatakan oleh prinsip
induksi matematika ketika kita mengambil S sebagai
himpunan bilangan asli yang membuat pernyataan yang
diberikan tadi benar.
Contoh 1.4
Buktikan bahwa 12 + 22 + 32 + … + n2 =
Untuk semua n ≥ 1
Solusi
a. Basis induksi, untuk n = 1, kita peroleh 12 =
adalah pernyataan yang benar
b. Langkah induksi, misalkan bahwa
12 + 22 + 32 + … + k2 =
adalah benar, maka
kita peroleh
( )
7
Bacalah dari pernyataan pertama hingga pernyataan
terakhir, rangkaian kesamaan ini merupakan pernyataan
untuk . Jadi kebenaran pernyataan untuk
secara tidak langsung menyatakan kebenaran pernyataan
untuk . Berdasarkan prinsip induksi
matematika, terbukti benar untuk setiap bilangan positif
.
4. Prinsip Induksi Matematika Kuat
Merupakan bentuk prinsip matematika yang lebih
kuat dimana di dalam langkah induksi, untuk
membuktikan bahwa pernyataan yang bersangkutan
benar untuk , kita dapat membuat asumsi
yang lebih kuat dengan memberlakukan asumsi yang
lebih banyak untuk mendapatkan kesimpulan.
Semisal kita akan memperlihatkan bahwa setiap
bilangan positif n yang lebih besar atau sama dengan 2
merupakan bilangan prima atau hasil kali beberapa
belangan prima.
a. Basis induksi, untuk , karena 2 adalah bilangan
prima, pernyataan tersebut benar
b. Langkah induksi, misalkan bahwa pernyataan
tersebut benar untuk sembarang bilangan bulat n,
8
. untuk bilangan bulat jika
bilangan prima, maka pernyataan itu benar. Jika
bukan bilangan prima, maka dapat ditulis
sebagai pq, dengan dan menurut
hipotesis induksi, p dan q merupakan bilangan prima
atau hasil kali beberapa bilangan prima. Ini berarti pq
adalah hasil kali beberapa bilangan prima
5. Kesimpulan
Dalam pembahasan BAB I ini mempelajari pokok-
pokok materi perkuliahan,yaitu :
1. Penggunaan notasi jumlah dan noptasi kali.
2. Penggunaan variabel dummy.
3. Sifat-sifat notasi jumlah.
4. Prinsip induksi matematika.
5. Pembuktian hubungan jumlah deret dengan induksi
matematika.
6. Pembuktian hubungan pertidaksamaan dengan
induksi matematika.
7. Pembuktian hubungan keterbuktian dengan induksi
matematika.
8. Pembukatian hubungan diferensial dengan induksi
matematika.
9
6. Latihan Soal
Buktikan dengan induksi matematika
1. n < 2n untuk semua Z+
2. n3 - n habis dibagi 3 untuk semua n Z+
3. 2n < ! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4
4. Di dalam baris harmonis :
1 +
+
+
+.....
Berlaku
112+ ≥ +
,untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0
5.
= nxn-1 untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0
6. ∑
=
+
+.....
=
7. ∑ t2 =12 + 22 + 32 +.....+ r2 =
r (r + 1)(2r +1)
untuk setiap r Z+
8. ∑
=
Dengan hubungan menggunakan hubungan :
)
Petunjuk jawaban latihan
1. S(n) : n < 2n
S(1) : benar sebab untuk n =1 :
, dan 1 < 2
10
Misalkan S(k) benar,yaitu
Haruskan dibuktikan bahwa benar, yaitu
Jadi untuk setiap n Z+
2. – habis dibagi oleh 3
S(1) benar sebab untuk :
– dan 0 habis dibagi
oleh 3.
Misalkan S(k) benar,yaitu habis dibagi oleh 3
Harus dibuktikan bahwa benar,yaitu
– habis dibagi oleh 3
– –
habis dibagi 3 sebab
mempunyai faktor 3
Jadi : habis dibagi 3 untuk setiap n Z+
11
3. Untuk setiap bilangan bulat positif
S(4) benar sebab untuk n = 4
2 - 24 = 16 ,n! = 14! = 24,dan 16 < 24
Harus dibuktikan bahwa benar yaitu :
Sebab untuk sebarang
Jadi : , Untuk setiap bilangan asli n
4. S(n) : H2n ≥ 1 +
untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0
H1 =1 +
H4 =1 +
+
S(0) benar sebab untuk n=0
H2o – H1 = 1 + 1 +
= 1 + 0,dan 1 ≥ 0
Misalkan H2k benar yaitu untuk n = k :
H2k ≥ 1 +
Harus dibuktikan H2k+1 benar,yaitu untuk n = k + 1 :
H2k+1 ≥ 1 + (k+1)/2
H2k+1 = 1 +
12
= H2k +
≥ (1 +
) +
≥ (1 +
) +2k
Sebab terdapat 2n suku masing-masing tidak kurang
dari
≥ (1 +
) +
Jadi H2k+1 ≥ 1 +
(n+1) untuk sebarang bilangan
bulat
5. S(n) :
nxn-1 untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 0
S(0) benar sebab
nxn-1 = 0.x4 = 0
Misalkan S(k) benar, yaitu
= kxk-1
Harus dibuktikan S(k+1) benar, yaitu
= (k + 1) xk
= lim
maka
△x→0
= lim
△x→0
= lim
△x→0
= lim – –
△x→0
13
= lim
△x→0
= xk xk.1 + xk
= kxk + xk
= (k + 1) x4
6. Cara 1 : Gunakan hubungan :
Untuk mengganti setiap suku deret,cara ini disebut
cara teleskopis
Cara 2 : Gunakan induksi matematika tunjukan :
7. Tunjukan bahwa
+ (k + 1)2 =
8. ∑
= ∑
(
∑
=
∑ ,
-
=
∑ (
∑ (
=
(
)
=
14
BAB II PRINSIP DASAR MEMBILANG
1. Pendahuluan
Membilang (enumerating, counting) bukan sekedar
aritmatika biasa karena sasaran yang dipelajari
memasuki berbagai bagian matematika, antara lain
probabilitas, statistika, analisis algoritma, dan aljabar.
Kejadian dalam kasus-kasus tertentu dicacah (dihitung)
berdasarkan cara-cara khusus untuk menyelesaikan
masalah yang beragam.
Beberapa masalah yang terkait dalam enumerasi
atau membilang antara lain adalah permutasi, kombinasi,
binomial, multinomial dan kandang merpati. Dalam
banyak hal, masalah enumerasi memerlukan prinsip-
prinsip khusus untuk membantu pengembangan teori-
teorinya, antara lain adalah prinsip penjumlahan, dan
perkalian, dan prinsip kandang merpati (pigeonhole
principle).
2. Prinsip Dasar Perkalian (The Product Rule, The
Rule Of Product)
Jika suatu pekerjaan dapat dipisah menjadi dua
pekerjaan, yaitu pekerjaan pertama yang dapat dilakukan
dalam n1 cara dan pekerjaan kedua yang dapat
15
dikerjakandalam n2 cara setelah pekerjaan pertama
dilakukan, maka seluruh pekerjaan dapat dilakukan
dalam n1 x n2 cara.
Contoh 2.1
Seorang pemuda mempunyai 4 baju dan 3 celana.
Banyaknya cara berpakaian pemuda itudapat dipisah
menjadi memakai baju, dilanjutkan dengan memakai
celana (atau sebaliknya) Jika baju pertama terpilih, maka
ada 3 cara memilih celana pasangannya, berarti ada 3
cara berpakaian. Jika baju kedua terpilih, maka ada 3
memilih celana pasangannya, berarti ada 3 cara
berpakaian.
Demikian seterusnya, sehingga banyaknya cara
berpakaian adalah cara.
3. Prinsip Dasar Penjumlahan (The Sum Rule, The
Rule Of Sum)
Jika suatu pekerjaan pertama dapat dilakukan
dalam n1 cara dan suatu pekerjaan kedua dapat dilakukan
dalam n2 cara, dan kedua pekerjaan tidak dapat terjadi
dalam waktu yang bersamaan, maka seluruh pekerjaan
dapat dilakukan dalam cara
16
Contoh 2.2
Suatu jurusan matematika harus mengirimseorang
wakil untuk mengikuti suatu pertemuan ilmiah yang
diambil dari kelompok dosen yang berjumlah 50 atau
kelompok mahasiswa yang berjumlah 400.
Dari masalah ini dapat diketahui bahwa pekerjaan
pertama adalah memilih 1 dosen, dan pekerjaan ini dapat
dilakukan dalam 50 cara, serta pekerjaan yang kedua
adalah memilih 1 mahasiswa dari 400 mahasiswa, dan
pekerjaan ini dapat dilakukan dalam 400 cara.
Pekerjaan yang pertama dan pekerjaan yang kedua
tidak dapat terjadi bersama-sama karena perwakilan
yang dikirim hanya 1 orang. Banyak cara memilih seorang
wakil adalah cara.
4. Prinsip Inklusi – Eksklusi
Prinsip penjumlahan digunakan untuk mencari
banyaknya unsur-unsur dari himpunan yang lepas. Untuk
mencari banyaknya unsur-unsur dari himpunan-
himpunan yang tidak lepas (disjoint, saling asing)
digunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi
17
Teorema 2.3
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan bagian
terhingga dari himpunan semesta S dan ., maka
: | | | | | | | |
Teorema 2.2
Jika A, B dan C adalah himpunan-himpunan bagian
terhingga dari himpunan semesta S dan ketiganya tidak
saling asing, maka: | | | | | | | |
| | | | | | | |
Contoh 2.3
Dari suatu kelas 6 SD diketahui bahwa terdapat 23 orang
siswa yang senang matematika, 13 orang siswa senang
IPA dan 8 orang siswa senang matematika dan IPA.
Berapa banyaknya siswa di kelas 6 SD tersebut?
Jawab:
Misalkan A adalah himpunan siswa yang senang
matematika dan B adalah himpunan siswa yang senang
IPA, maka | | | | | |
| | | | | | | |
Jadi banyaknya siswa kelas 6 SD tersebut adalah 30
orang.
18
5. Prinsip Kandang Merpati (The Pigeonhole
Principle, The Dirichlet Box Principle)
Prinsip kandang merpati merupakan prinsip yang
dapat digunakan untuk mengetahui perhitungan minimal
hasil membilang dari suatu keadaan yang sedang
berlangsung. Meskipun jawaban terdapat suatu masalah
dengan menggunakan prinsip ini dapat mengundang
keragu-raguan, jawaban itu merupakan estimasi yang
paling tepat terutama dalam menduga atau
memperkirakan nilai terkecil yang harus dipenuhi.
Secara sederhana peragaan dari prinsip kandang
merpati menyebutkan bahwa jika jumlah merpati lebih
banyak dari jumlah kandang mereka (semua merpati
masuk kandang, dan setiap kandang memuat setiap
merpati), maka paling sedikit ada satu kandang yang
berisi paling sedikit dua merpati.
Teorema 2.3
Jika atau lebih objek yang dimasukkan ke dalam
kotak, maka paling sedikit ada satu kotak yang berisi satu
atau lebih objek.
Contoh 2.4
Dari 8 orang yang tersedia, tentu paling sedikit ada 2
orang yang lahir pada hari yang sama. Keadaan ini dapat
19
dijelaskan sebagai 8 objek yang di masukkan ke dalam 7
kotak (nama-nama hari dalam 1 minggu).
Ini berarti paling sedikit ada 1 kotak (hari) yang berisi
paling sedikit 2 orang.
Sebelum membahas teorema berikutnya, marilah
kita lihat dua fungsi penting dalam matematika diskrit,
yaitu fungsi lantai dan fungsi atap.
⌊ ⌋ disebut fungsi lantai (floor function)= bilangan
bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.
⌈ ⌉ disebut fungsi atap (ceiling function) =
bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x.
Contoh 2.5
⌊
⌋ bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama
dengan
.
⌈
⌉ bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan
.
Teorema 2.4
Jika N objek dimasukkan dalam k kotak, maka paling
sedikit ada satu kotak yang berisi paling sedikit ⌈
⌉ objek.
20
Contoh 2.6
Terdapat 23 objek untuk dimasukkan dalam 10 kotak,
maka ⌈
⌉ ⌈ ⌉
⌈
⌉ ⁄ dan ⌈
⌉ ⌈
⌉
Anggaplah bahwa tidak satupun kotak yang berisi paling
sedikit ⌈
⌉ ⌈ ⌉=3 kotak, atau tidak satupun kotak
yang berisi lebih dari ⌈
⌉ .
Maka banyaknya seluruh objek maksimal adalah
⌈
⌉ ((⌈
⌉ ) )
Hal ini bertentangan karena banyaknya seluruh objek
adalah 23.
6. Kesimpulan
Pokok-pokok pembahasan dalam BAB II yang
perlu dipahami adalah
1. Pengertian prinsip perkalian
2. Pengertian prinsip penjumlahan
3. Penerapan prinsip perkalian untuk membilang
banyaknya cara untuk sesuatu yang dikerjakan
4. Penerapan prinsip perkalian untuk membilang
banyaknya cara untuk sesuatu yang dikerjakan
21
5. Penerapan prinsip penjumlahan dan perkalian untuk
membilang banyaknya cara sesuatu dikerjakan
7. Latihan Soal
1. Seorang siswa diminta untuk memilih 1 tugas untuk
dikerjakan, dari dua daftar tugas yang masing-masing
terdiri dari 15 soal dan 25 soal. Berapa banyak cara
untuk memilih tugas untuk dikerjakan?
2. Pada rak buku tersedia 5 buku geometri, 3 buku
aljabar dan 2 buku kalkulus. Berapa banyak cara
seseorang mengambil satu buku dari rak tersebut?
3. Kursi-kursi dalam suatu aula akan ditandai dengan
satu huruf dan satu bilangan asli yang tidak lebih dari
75. Berapa banyak seluruh kursi yang dapat ditandai?
4. Memori utama setiap computer disimpan dalam sel
memori yang disebut alamat (address). Setiap alamat
dinyatakan dalam daftar susunan lambing bilanga 0
dan 1, satu lambing 0 atau 1 disebut bit. Jika setiap
alamat mempunyai 8 lambang (8 bit atau 1byte),
maka berapa banyaknya alamat yang tersedia?
5. Mencari banyaknya fungsi yang dapat dibuat dari A
yang mempunyai 2 unsur, ke B yang mempunyai 3
unsur. Berapa banyak fungsi yang dapat dibuat?
22
6. Mencari banyaknya fungsi 1-1 (one-to-one, injektif)
dari A yang mempunyai 2 unsur, ke B yang
mempunya 3 unsur. Berapa banyaknya fungsi yang
dapat dibuat?
7. Seseorang akan membuat susunan angka-angka
menjadi bilangan bulat positif. Jika bilangan-bilangan
itu terdiri dari satu angka susunan dua angka, atau
sususnan tiga angka, dan untuk susunan dua atau tiga
angka tidak ada angka yang berulang dan tidak ada
susunan yang dimulai dengan nol, maka berapa
banyaknya seluruh susunan yang dapat dibuat?
8. Plat nomor kendaraan bermotor suatu Negara
dimulai dengan satu atau dua huruf, dan diikuti
dengan tiga angka. Berapa banyaknya plat nomor
yang tersedia?
9. Dari semua 200 orang siswa di suatu sekolah dasar,
terdapat 95 orang siswa yang suka olah raga bulu
tangkis, 85 orang siswa suka olah raga sepak bola,
dan 30 orang siswa suka olah raga keduanya. Berapa
banyaknya siswa yang yang tidak suka olah raga
keduanya?
10. Dalam suatu ujian, skor yang digunakan guru dalam
memeriksa pekerjaan siswa dengan menggunakan
skala 1 sampai 10. Jika paling sedikit ada dua orang
23
siswa yang mempunyai skor sama, maka minimal
berapa banyak banyak peserta ujian?
11. ⌊ ⌋ dan ⌈ ⌉ artinya?
12. ⌊
⌋ dan ⌈
⌉ artinya?
13. Dari 200 orang siswa sekolah dasar, paling sedikit
ada berapa orang siswa yang lahir pada bulan sama?
24
BAB III KOMBINATORIK
1. Pendahuluan
Kombinatorik memuat konsep dan aturan yang
terkait dengan membilang banyaknya seluruh susunan,
banyaknya seluruh cara dalam pengambilan unsur secara
berkelompok melalui suatu prosedur acak, atau pencarian
koefisien suku tertentu dalam binominal dan
multinominal.
Kombinatorik yang relevan dengan pengembangan
materi meliputi permutasi (linier dan melingkar dengan
pengulangan), kombinasi (tanpa pengulangan, dengan
pengulangan), dan koefisien binominal (yang kemudian
diperluas dengan koefisien multinominal).
Penjelasan materi dikaitkan dengan susunan
angka menjadi bilangan dengan menggunakan syarat
tertentu, susunan huruf atau obyek yang memuat unsur-
unsur sama, susunan melingkar yang memperhatikan
urutan tertentu, menjelaskan notasi faktorial, permutasi,
kombinasi, koefisien binominal, dan kombinasi dan
penerapannya.
25
Standar Kompetensi
Mahasiswa mampu memahami konsep dan
penerapan dari kombinatorik, serta keterkaitannya
dengan bagian matematika yang lain dan kehidupan
sehari-hari.
Notasi Faktorial
2. Konsep Faktorial
DefInisi: Untuk suatu bilangan bulat n , n! ( dibaca : n
faktorial ) didefenisikan sebagai berikut :
– –
Contoh 3.1
–
– –
– – –
– – – –
Contoh 3.2
7 . 6 . 5 = 7 . 6 . 5
( n + 1 )!= (n + 1) (n + 1 – 1 )( n + 1 – 2 ) ... 3 . 2 . 1
26
= ( n + 1 ) . n( n – 1 ) ... 3 . 2 . 1
= ( n + 1 ) . n!
3. Konsep Permutasi dan Kombinasi
3.1 Permutasi
Definisi: Susunan r unsur dari n unsur yang
memperhatikan ururtan ( 1 disebut permutasi
r unsur dari n unsur. Banyaknya permutasi r dari n unsur
dinyatakan dengan P(n, r).
Contoh 3.3
Beberapa permutasi 4 dari 1, 2, 3, dan 4 adalah 1234,
4231, 3142, dan 2413
27
Beberapa permutasi 3 dari 1, 2, 3, dan 4 adalah 312, 421,
432, dan 134
Beberapa permutasi 2 dari 1, 2, 3, dan 4 adalah 42, 34, 21,
dan 13
Contoh 3.4
Banyaknya bilangan tersusun dari 3 angka berbeda dari
angka – angka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah P(5,3)
P(5,3) dapat dicari dengan menggunakan prinsip
perkalian. Pekerjaan mencari banyaknya susunan tiga
angka dapat dipilih menjadi pekerjaan pertama memilih
angka pertama, pekerjaan kedua memilih angka kedua,
dan pekerjaan ketiga memilih angka ketiga.
Pekerjaan memilih angka pertama dapat dilakukan
dengan 5 cara, yaitu memilih angka 1, 2, 3, 4, atau 5
Pekerjaan memilih angka kedua dapat dilakukan dengan
4 cara, 1 angka dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5 yang telah
dipilih pada angka pertama tidak boleh dipilih kembali.
Pekerjaan memilih angka ketiga dapat dilakukan dengan
3 cara, 2 angka dari amgka – angka 1, 2, 3, 4, 5 yang telah
dipilih pada angka pertama dan angka kedua tidak boleh
dipilih lagi.
Dengan demikian :
28
P(5,3) = 5 . 4 . 3 =
Teorema 3.1
P ( n,r) =
Bukti :
P(n,r) dapat dicari dengan menggunakan prinsip
perkalian. Karena terdapat r unsur dalam setiap susunan,
maka mencari P(n, r) dapat dipilah menjadi r pekerjaan,
yaitu memilih unsur pertama, kedua, ... , ke – r
Pekerjaan pertama dapat dilakukan dalam n = n – 1 + 1
cara
Pekerjaan kedua dapat dilakukan dalam n – 1 = n – 2 + 1
cara
Pekerjaan ketiga dapat dilakukan dalam n – 2 = n – 3 + 1
cara
Pekerjaan ke – r dapat dilakukan dalam ( n – r + 1 ) cara
Jadi:
– – –
= n(n – 1)(n – 2) ... (n – r +1)
=
=
29
Catatan : jika n = r, maka P(n, r) = P(n, n) =
Contoh 3.5
a. Nilai n dari P(n, 1) = 5 dapat dicari sebagai berikut
P(n, 1) =
5, berarti n = 5
b. Nilai n dari P(n, 2) = 90 dapat dicari sebagai berikut :
P(n, 2) =
=
n(n – 1) = 90 atau atau (n – 10)(n +
9) = 0 atau n = 10 dan n = 9
karena n maka n = 10
c. Nilai n dari P(n, 4) = 42 P(n, 2) dapat dicari sebagai
berikut:
=
=
– – – –
– – atau
atau
– atau karena n
30
Contoh 3.6
Jika pengulangan angka tidak boleh dilakukan, maka
banyaknya bilangan tersusun dari 3 angka 3, 4, 5, 7, dan
8:
a. Adalah dicari sebagai berikut:
angka ke – 1 angka ke – 2 angka ke – 3
yaitu 5. 4. 3 = 60
b. Yang kurang dari 600 adalah dicari sebagai berikut:
angka ke – 1 angka ke – 2 angka ke – 3
yaitu 3 . 4 . 3 = 36
c. Yang habis dibagi 5 adalah dicari sebagai berikut:
angka ke – 1 angka ke – 2 angka ke – 3
yaitu 4 . 3 . 1 = 12
d. Yang habis dibagi 4 adalah dicari sebagai berikut:
Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhir
dari lambang bilangannya habis dibagi 4.
Dengan demikian kedua angka terakhir adalah 48
atau 84, sehingga tinggal mencari angka pertama.
Prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian digunakan
bersama untuk memperoleh jawaban
Kotak angka pertama mempunyai 3 . 4 8
5
4 3
3 4 3
4 3 1
31
pilihan
Kotak angka pertama mempunyai 3
pilihan
Banyaknya bilangan yang habis dibagi empat adalah : 3 . 1
. 1. + 3 . 1 . 1 = 3 + 3 = 6
Contoh 3.7
Terdapat sejumlah 4 pria dan 3 wanita duduk dalam
sebaris 7 kursi
Banyaknya cara duduk adalah ( 4 + 3 ) = 7! = 5040
Banyaknya cara duduk jika pria berkumpul pria dan
wanita berkumpul wanita adalah dicari sebagai berikut:
Ada 2 kemungkinan cara duduk:
PPPP WWW dan WWWPPPP (P = Pria, W = Wanita)
Dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan
perkalian, keadaan PPPP WWW terjadi dalam 4! 3! Dan
keadaan WWWPPPP terjadi dalam 3! 4! Sehingga
banyaknya seluruh keadaan duduk adalah
4! 3! + 3! 4! = 2 . 3! 4! = 288
Banyaknya cara duduk jika pria saja yang boleh duduk
ditepi dan semua wanita harus bergerombol dapat dicari
sebagai berikut :
PWWWPPP
PPWWWPP
. 8 4
32
PPPWWWP
Banyaknya seluruh keadaan duduk adalah 4!3! + 4!3! +
4!3! = 3 . 4!3! = 432 cara
Contoh 3.8
Banyaknya semua kata yang disusun dari huruf – huruf
kata ANDA dapat dicari sebagai berikut:
1. Jika semua huruf kata ANDA dianggap berbeda, maka
untuk membedakan A yang pertama dan A yang kedua
digunakan indeks yaitu A1 dan A2. Banyaknya semua
huruf yang dapat dibentuk adalah 24, yaitu :
A1NDA2 A1DA2N NA1A2D DA1A2N
A2NDA1 A2DA1N NA2A1D DA2A1N
A1A2D A1A2ND NA1DA2 DA1NA2
A2NA1D A2A1ND NA2DA1 DA2NA1
A1DNA2 A1A2DN NDA1A2 DNA1A2
A2DNA1 A2A1DN NDA2A1 DNA2A1
2. Jika sekarang indeks – indeks A dibuang, maka
terdapat sepasang – sepasang kata yang susunannya
sama. Dengan demikian banyaknya semua kata yang
dibentuk adalah 24/2 = 12, yaitu ANDA, ANAD, ADNA,
ADAN, AAND, AADN, NAAD, NADA, NDAA, DAAN,
DANA, dan DNAA .
33
Contoh 3.9
a. Banyaknya susunan dua huruf yang berbeda adalah 2
b. Banyaknya susunan dua huruf yang sama adalah 2/2
=1
c. Banyaknya susunan tiga huruf yang berbeda adalah 6
Banyaknya susunan tiga huruf yang sama adalah 6/6 =
1
Banyaknya susunan empat unsur yang berbeda adalah
24
Banyaknya susunan empat unsur, dua unsur pertama
sama dan dua unsur kedua sama, dapat diperagakan dari
susunan huruf – huruf kata NANA
Setiap kata NANA mewakili empat kata NANA berindeks,
yaitu: N1A1N2A2 N2A1N1A2 N1A2N2A1 dan N2A2N1A1
Keadaan ini berlaku untuk keadaan yang lain, misalnya
NAAN, ANNA, dan ANAN
Jadi banyaknya semua kata adalah 24/4 = 6, yaitu NANA,
NAAN, NNAA, ANNA, ANAN, dan AANN
Permutasi pada contoh 1.6 dan contoh 1.7 disebut
permutasi dengan unsur sama.
Contoh 3.10
Banyaknya cara 3 orang A, B, dan C duduk pada tiga kursi
dari meja yang melingkar dapat dicari sebagai berikut:
34
1. Jika hanya memperhatikan urutan orangnya ( tidak
memperhatikan kursinya ) maka cara duduk mereka
ada dua, seperti diagram:
Cara duduk 1, 3, dan 5 dipandang sama, yaitu cara
ABC, dan cara – cara duduk 2, 4, dan 6 dipandang
sama , yaitu ACB
2. Jika selain memperhatikan urutan orang juga
memperhatikan urutan kursi, maka cara duduk
mereka seperti diagram berikut:
Cara-cara duduk pada (1), (2), (3),(4), (5) dan (6)
adalah berbeda, sehingga banyaknya cara duduk
seharusnya adalah 6.
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi
melingkar.
35
3.2 Kombinasi
Definisi: susunan r unsur dari n unsur yang tanpa
memperhatikan urutan ( 1≤ r ≤ n ) di sebut kombinasi r
unsur dari n unsur .
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur di nyatakan
Contoh 3.11
a. Memilih 2 pria dari 5 pria.
b. Memilih 3 pria dari 7 pria , dan 5 wanita dari 8 wanita
c. Memilih 8 soal dari 10 soal untuk di kerjakan.
Jawab
a.
=
=
=
b.
c.
=
=
cara
Contoh 3.12
1. Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui
telepon disebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara dan
6 buah nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan
36
pasangan kamar bicara dan nomor telepon yang akan
dihubungi adalah.....
Jawab: pasangan
2. Dari 10 orang siswa pemenang OSN dibentuk satu tim
yang terdiri dari 4 orang untuk mewakili Indonesia
pada Olimpiade Sains International. Banyaknya tim
yang dapat dibentuk adalah…
Jawab: tim
3. Tentukan semua kombinasi 2 unsur dari unsur-unsur
{ }!
Jawab: { } { } { } { } { } { }
Contoh 3.13
Terdapat 8 titik berbeda pada lingkaran, termasuk A dan
B. Beberapa pertanyaan tentang kombinasi adalah
sebagai berikut
a) Ada berapa garis dapat dibuat?
b) Ada berapa segitiga dapat dibuat?
c) Ada berapa segi lima dapat dibuat?
d) Ada berapa segi lima dapat dibuat melalui A?
e) Ada berapa segi lima dapat dibuat melalui A dan B?
f) Ada berapa segiempat dapat dibuat tidak melaui A
maupun B?
g) Ada berapa segiempat dapat dibuat dengan sisi AB?
37
Teorema 3.2
Bukti:
Banyaknya permutasi n unsur dari n adalah:
Karena suatu permutasi n unsur dari n unsur memuat
Dari unsur-unsur yang sama, maka susunan dari
permutasi ini dihitung sebagai satu kombinasi karena
urutan tidak diperhatikan.
Dengan demikian,
Teorema 3.3
Jika n dan r adalah bilangan-bilangan bulat tidak negatif
dengan maka
Bukti:
{ }
Jadi :
38
Contoh 3.14
a. ( )
b. ( )
c. ( ) (
) ( )
Teorema 3.4
Banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan A
yang mempunyai n unsur dicari sebagai berikut:
Himpunan kosong sebanyak : ( )
Himpunan dengan satu unsur sebanyak : ( )
Himpunan dengan dua unsur sebanyak : ( )
Himpunan dengan r unsur sebanyak : ( )
Himpunan dengan n unsur sebanyak : ( )
Banyaknya semua himpunan bagian adalah:
( ) (
) (
) (
) (
)
Dalil Identitas Pascal
( ) (
) ( ) untuk sebarang n,
dengan
39
Bukti:
(
) (
)
{ }
{ }
{ }
Hadi, (
) (
) (
)
Contoh 3.15
a) ( ) (
) (
) (
)
b) ( ) (
) (
) (
)
Contoh 3.16
Identitas Pascal adalah dasar penyusunan geometris dari
koefisien-koefisien binomial dalam bentuk segitiga
sehingga disebut Segitiga Pascal
40
( ) 0 1
( ) ( ) 1 1 1
( ) ( ) ( ) 2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4 6 4 1
Contoh penerapan segitiga Pascal dalam suku dua
(binomial) adalah
Teorema 3.5
Jika maka: ∑ ( )
Bukti:
Dengan menggunakan induksi matematika,
(i) Untuk , ∑ ( )
( ) (
)
(benar)
41
(ii) Dianggap benar untuk , yaitu:
∑ ( )
(iii) Akan dibuktikan benar untuk , diperoleh:
∑ ( )
∑ ( )
, ( ) (
)
(
) ( )
- ∑( )
,(
) (
)- ∑ (
)
Jadi, ∑ ( )
, untuk
Teorema 3.6
∑ ( )
untuk sebarang
Bukti:
∑ ( ) (
) (
) (
) (
)
( ) (
) (
)
( )
42
Teorema 3.7
Identitas Vandermonde (Abad 18)
( ) ∑ (
) ( )
Bukti:
Misalkan ada m unsur pada himpunan pertama dan n
unsur pada himpunan kedua. Banyaknya cara mengambil
n unsur dari unsur adalah ( )
Cara lain mengambil r unsur dari gabungan kedua
himpunan adalah mengambil k unsur dari himpunan
pertama, dilanjutkan mengambil unsur dari
himpunan kedua, dengan , yaitu:
( ) (
) ( ) (
)
Jadi ( ) ∑ (
) ( )
Ilustrasi:
Terdapat 3 pria dan 4 wanita
Dua orang diambil secara acak
Banyaknya cara mengambil dapat dilakukan dengan dua
cara
Cara 1: ( )
43
Cara 2: ( ) ( ) (
) ( ) (
) ( )
4. Koefisien Bionominal dan Koefisien Multinomial
4.1 Koefisien bionominal
Pembahasan tentang koefisien binomial merupakan
kelanjutan dari pembahasan tentang permutasi dan
kombinasi, serta merupakan dasar untuk pembahasan
berbagai permasalahan mencari koefisien suku dua dan
suku banyak.
Selanjutnya, penerapan dari pembahasan tentang
koefisien bionomial terkait dengan kombinasi berulang
dan menentukan banyaknya penyelesaian persamaan
atau pertidaksamaan linier banyak variabel yang
memenuhi syarat tertentu dan meminta penyelesaian
yang bulat dan tidak negatif.
Pengertian dan Sifat-Sifat Koefisien Bionomial
Defenisi lambang ( ), dibaca ‘’nCr, yang r dan n
adalah bilangan-bilangan bulat tidak negatif dan r n,
didefenisikan sebagai:
( ) =
( ) disebut sebagai koefisien bionomial
44
Contoh 3.17
a) ( ) =
=
=35
b) ( ) =
=
c) ( ) =
=
perhatikan bahwa ( ) dapat dinyatakan sebagai
pembagian yang mempunyai r faktor pada pembilang dan
r faktor pada penyebut.
Dalil 3.1
( ) =
Bukti: ( ) =
=
( ) =
Dalil 3.2
( ) =(
)
Bukti: ( ) =
( ) =
{ }
=
( ) =(
)
45
Dalil 3.3
Jika ( ) =(
)
Bukti: sehingga:
( ) =(
)
Menurut dalil 3.2 ( ) =(
) ,sehingga :
( )=(
)=(
)
Contoh 3.18
a) ( ) =
=
=
=10
b) ( ) =
=
=
=
=1
c) ( ) =
=
=
=1
Dalil 3.4
( ) + (
) = (
)
Bukti: ( ) + (
) =
+
{ }
=
+
=
= { }
{
=
{ }
46
( ) + (
) = (
)
Dalil 3.5
∑ ( )
Bukti: untuk , diperoleh ∑ ( )
∑ ( )
( ) (
)
----------
Sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan, misalkan
berlaku untuk yaitu
∑ ( )
, berarti harus dibuktikan
bahwa berlaku pula untuk , yaitu
∑ ( )
*( ) (
)
(
) ( )
( ) (
) +
47
Suku yang memuat dalam dicari sebagai
berikut:
*(
) +
*( ) +=(
) ( )
*(
) ( )+
Menurut Dalil 3.4, diketahui bahwa:
(
) ( ) (
), sehingga suku yang memuat
yaitu ( )
Jadi terbukti bahwa ∑ ( )
Contoh 3.19
Carilah :1) ( ) 2) (
) 3) (
)
Jawab sesuai dengan dalil 3.2 ( ) = (
),sehingga :
1) ( ) = (
) =(
) = 455
2) ( ) = (
) =(
) = 715
3) ( ) = (
) =(
) = 190
Contoh 3.20
Uraikan:
1) (x +
48
2) (x +
3) (x +
Jawab:
1) (x + =∑ ( )
=( ) +(
) (
) (
)
( )
=
+
+
+
+
= + + + +
2) (x + = ∑ ( )
=( ) +(
) +(
) +(
)
+( ) +(
) +(
)
= + + +
+ +
3) (x + = ∑ ( )
=( ) +(
) +(
)
+( ) +(
)
+ ( )
49
=
= + + + + +
Contoh 3.21
Carilah: 1). ( 2p+ 2).( 3a-
Jawab:
1. ( 2p+ =∑ ( )
=( ) +(
)
( ) (
)
=
= + + +
2. ( 3a- = ∑ ( )
=( ) +(
)
( ) (
)
( )
= + +
+ +
= - + -
+
50
Contoh 3.22
Carilah koefisien dari :
1) (x + 2) ( 2x +
Jawab:
1) Koefisien dari (x + adalah koefisien
dari berarti diperoleh dari ( )
yaitu ( ) =
=56
2) Koefisien dari ( 2x + adalah koefisien
,berarti diperoleh dari ( )(2 =56 .
8 (-243 ) =-108.864
Definisi 2 jika ,..., adalah bilangan-bilangan
bulat tidak negatif sedemikian hingga +...+ ,
maka:
(
) =
Contoh 3.23
a) (
) =
= 60
b) (
) =
= 210
c) (
) =
= 168
51
Dalil 3.6
Jika maka koefisien
pada
adalah
yang mana
adalah bilangan-bilangan bulat dengan
Sebelum kita membuktikan Dalil 3.6, lihatlah beberapa
kasus yang memuat tiga suku dan :
{ }
( )
(
)
(
)
( )
(
)
52
=
Ternyata dapat ditunjukkan bahwa:
∑ (
)
Sekarang kita buktikan Dalil 3.6
Seperti halnya cara pembuktian(kedua) Dalil 3.5,
koefisien
merupakan banyaknya seluruh
cara yang berbeda dapat memilih sebanyak kali dari
faktor ke 1 faktor ke 2 faktor ke 3
53
faktor, sebanyak kali dari dari factor,
…, dan memilih sebanyak kali dari
faktor. Dengan demikian banyaknya seluruh
cara adalah:
( ) (
) (
) (
)
Terbukti
Contoh 3.24
Carilah koefisien dari
a)
b)
Jawab
a) koefisien dari adalah
= 30
b) koefisien dari adalah
54
Dalil 3.7
Banyaknya permutasi n unsur dengan n1 unsur sama, n2
unsur sama, … , nr unsur sama, dan
adalah
Bukti:
Suatu susunan memuat susunan unsur yang sama. Jika
dianggap berbeda, maka banyaknya susunan dari posisi
unsur adalah:
Dengan pemikiran yang sama, susunan itu juga memuat
susunan unsur yang sama, yang posisinya terbentuk
dalam , dan seterusnya, sehingga unsur yang sama
mempunyai posisi yang terbentuk dalam . Jadi
banyaknya seluruh susunan adalah
Kombinasi Berulang dan Penerapannya
Di dalam suatu jamuan makan tersedia tiga macam buah,
yaitu pisang (P), jeruk (J), dan apel (A). Setiap orang
55
mendapat jatah menerima 4 butir buah. Ada berapa cara
orang dalam memilih buah?
1. Semua keadaan pemilihan buah adalah:
a. Mengambil satu macam buah sebanyak 4 butir,
sehingga terdapat 3 cara, yaitu
b. Mengambil satu macam buah pertama sebanyak 1,
dan satu macam buah lain sebanyak 3, sehingga
terdapat 6 cara, yaitu
c. Mengambil satu macam buah pertama sebanyak 2,
dan satu macam buah kedua sebanyak 2, sehingga
terdapat 3 cara, yaitu
d. Mengambil satu macam buah pertama sebanyak 2,
satu macam buah kedua sebanyak 1, sehingga
terdapat 3 cara, yaitu
Banyaknya seluruh cara memilih buah adalah
2. Beberapa contoh cara mengambil adalah
Keadaan-keadaan di atas dapat dipandang sebagai
susunan antara buah dan pemisah
| | | | | | | | yang maknanya sama
dengan menyusun 6 unsur dengan dua unsur.
56
Banyaknya susunan :
(
) (
)
Dalil 3.8
Banyaknya cara mengambil r unsur secara berulang dari
n unsur yang berbeda adalah (
)
Bukti:
Cara mengambil r unsur secara berulang dari n unsur
yang berbeda bersesuaian dengan cara menyusun x
sebanyak r dan menyusun1 sebanyak
Karena seluruh unsur x dan 1 adalah
unsur-unsur x yang sama sebanyak r, dan unsur-
unsur 1 yang sama sebanyak , maka banyaknya
seluruh susunan adalah
{ } (
)
Jadi banyaknya cara mengambil r unsur secara berulang
dari n unsur yang berbeda adalah (
)
57
Contoh 3.25
a. Suatu toko menjual 4 jenis roti dalam kaleng.
Seseorang membeli 6 kaleng roti. Banyaknya cara
memilih roti kaleng adalah (
) (
)
b. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tidak negative
dari ?
Jawab:
Anggap ada unsur-unsur dengan tiga macam (tipe),
tipe 1 sebanyak , tipe 2 sebanyak , dan tipe 3
sebanyak .
Permasalahannya adalah mengambil 11 unsur dari
tiga macam unsur. Banyaknya cara mengambil adalah
(
) (
)
c. Sebuah toko mempunyai 20 macam donat dalam
wadah kotak-kotak. Seseorang membeli 12 kotak
donat. Banyaknya cara memilih donat kotakan adalah
(
) (
)
d. Ada 10 bola dimasukkan dalam 6 lubang. Setiap
lubang dapat memuat seluruh bola. Ada berapa cara
memasukkan bola-bola itu?
Jawab:
Masalah ini sama dengan mencari penyelesaian bulat
tidak negative persamaan
58
Banyak memilih adalah (
) (
)
Dari soal butir d, ada berapa banyak penyelesaian
bulat tidak negatif pertidaksamaan
Jawab:
Bilangan bulat terbesar kurang dari 10 adalah 9,
berarti yang dicari adalah banyaknya penyelesaian
bulat tidak negative persamaan
banyaknya penyelesaian adalah (
)
( )
4.2 Teorema Multinomial
Teorema multinomial merupakan perluasan dari
binomial. Multinomial adalah jumlah t buah suku berbeda
yaitu : x1+ x2+ x3+ ...+ xt
Teorema multinomial adalah rumus penjabaran
Misalkan : x1, x2, x3, ..., xt adalah bilangan-bilangan riil dan
n adalah bilangan bulat positif. Dengan demikian :
∑
59
Penjumlahan dilakukan terhadap semua
dengan
Banyak suku pada adalah
(
)
Contoh 3.26
Hitunglah koefisien dan banyaknya suku dari
a.
dalam
Jawab:
koefisien
adalah
=12600
banyak suku =(
) =1001
b. dalam
koefisien adalah
= -
3.024.000
banyak sukunya adalah (
) =
= 45
5. Kesimpulan
Pokok-pokok pembahasan dalam BAB III yang
perlu dipahami adalah
1. Pengertian factorial dan penerapannya
2. Pengertian permutasi dan penerapannya
3. Notasi factorial dan notasi permutasi
60
4. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama
5. Permutasi melingkar
6. Pengertian kombinasi dan rumusnya
7. Hubungan permutasi dan kombinasi
8. Ientitas Pascal
9. Identitas Vandermonde
6. Latihan Soal
1. Carilah 6!
2. Carilah
3. Carilah
4. Carilah banyaknya seluruh permutasi tiga dari a, b, c,
dan d !
5. Carilah banyaknya seluruh permutasi dua dari p, q, r,
s, dan t !
6. Carilah P( 6,4 )
7. Carilah nilai n dari P( n – 1,2 ) = 30
8. Tentukan banyaknya semua bilangan yang terdiri dari
empat angka dan diambil dari angka – angka bilangan
9. Tentukan banyaknya semua susunan lima huruf dari
huruf–huruf kata KAKAK
61
10. Jika hanya memperhatikan urutan orangnya, bukan
urutan kursinya, maka carilah banyaknya cara empat
orang duduk pada empat kursi yang melingkar!
11. Dalam suatu ujian, setiap mahasiswa harus
mengerjakan 5 soal dari 8 soal yang disediakan.
Tentukan:
a. Banyaknya cara memilih soal
b. Banyaknya cara memilih soal jika 2 soal pertama
harus dikerjakan.
c. Banyaknya cara memilih soal jika 2 soal dari 4
soal pertama dan 3 soal dari 4 soal kedua harus
dikerjakan.
d. Banyaknya cara memilih soal jika paling sedikit
dari 4 soal pertama harus dikerjakan.
12. Berapa banyaknya cara memilih
a. 2 pria dari 5 pria,
b. 2 pria dari 5 pria, dan 3 wanita dari 6 wanita,
c. 8 soal dari 10 soal (untuk dikerjakan),
d. 3 orang dari 4 pria dan 3 wanita,
13. Terdapat 8 titik berbeda pada lingkaran, termasuk A
dan B
a. Berapa banyaknya garis dapat dibuat?
b. Berapa banyaknya segitiga dapat dibuat?
c. Berapa banyaknya segilima dapat dibuat?
62
d. Berapa banyaknya segiempat dapat dibuat
dengan sisi AB?
e. Berapa banyaknya segi lima dapat dibuat melalui
titik A?
14. Suatu panitia terdiri dari 4 mahasiswa, diambil atau
dipilih dari 12 mahasiswa, termasuk Rudi dan Rini.
a. Ada berapa cara menyusun panitia?
b. Ada berapa cara menyusun panitia jika Rudi dan
Rini tidak boleh terpilih bersama-sama?
c. Ada berapa cara menyusun panitia jika Rudi dan
Rini harus terpilih bersama-sama?
15. Buktikan bahwa (
) ( ) (
)
(
)
16. Buktikan bahwa ( ) ∑ (
)
,
17. Dari 5 orang calon pengurus organisasi akan dipilih
seorang ketua, wakil ketua dan bendahara. Berapa
banyaknya susunan pengurus yang mungkin?
18. Dari kelompok yang terdiri dari 8 orang akan memilih
3 orang untuk mewakili kelompok tersebut. Jika setiap
orang memiliki kemapuan yang sama maka berapa
banyaknya cara pemilihan?
19. Lima orang bermain bulu tangkis satu lawan satu
bergantian, banyaknya pertandingan adalah...
63
20. Dalam kejuaraan sepak bola, team nasional Indonesia
mengirim 13 orang pemain, berapa banyak kombinasi
pemain yang mungkin terbentuk?
21. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tidak negatif
dari jika , , dan
22. Berapa banyaknya penyelesaian butat tidak negatif
dari untuk dan
(atau )
23. Berapa banyaknya suku dari :
a.
b.
24. Carilah banyaknya penyelesaian bulat
, , .
25. Carilah banyaknya cara menempatkan 15 bola dalam
5 kotak berbeda sehingga kotak pertama berisi paling
sedikit 1 bola dan paling banyak 3 bola, kotak kedua
berisi 2 bola sampai dengan 4 bola, dan kotak-kotak
yang lain paling sedikit berisi dua bola.
26. Tentukan koefisien dari
dalam ekspansi
(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 )^10
27. Tentukan koefisien dari x^5 y^10 z^5 w^5 dalam (x-
7y+3z-w)^25
28. Tentukan koefisien dari x^5 dalam (a+bx+cx^2 )^10
64
29. Carilah semua harga ∑▒8!/i!j!k! , jika i,j,k adalah
bilangan bulat positif yang menjalani semua harga
sedemikian hingga jumlahnya =8!
30. Gunakan teorema multinomial untuk menguraikan
(x+y+z)^3
65
BAB IV FUNGSI PEMBANGKIT
1. Pendahuluan
Sebagai kelanjutan BAB I, BAB II dan BAB III
memuat konsep dan penerapan dari fungsi pembangkit
biasa, yaitu bentuk deret fungsi yang koefisien-
koefisiennya merupakan barisan tak terhingga bilangan
real tertentu. Fungsi pembangkit biasa mempunyai
ketertiban dengan berbagai konsep matematika yang
membantu kajian menjadi lebih luas dan mendalam.
Bagian-bagian matematika yang mendukung
pengembangan kajian adalah binomial, pembagian
polynomial, pendeferensialan, penambahan suku dan
penderetan Maclarin. Bentuk-bentuk baku fungsi
pembangkit biasa dapat diperoleh dari pembahasan
secara rinci masing-masing bagian tersebut. Bentuk-
bentuk lain diturunkan dari bentuk baku dengan cara
menyelesaikan pola yang berlaku.
Beragam fungsi pembangkit biasa banyak
dikaitkan dengan distribusi barang, pengambilan atau
pemilihan objek dan penentuan banyaknya penyelesaian
persamaan linier yang mempunyai penyelesaian bulat.
Dalam prosedur menerapkan fungsi pembangkit,
beberapa cara dapat dikembangkan dengan
66
menggunakan tabel, menerapkan kombinasi berulang,
penerapan model persamaan linier dan penerapan
koefisien polynomial.
Kemampuan Akhir yang direncanakan
Dalam mempelajari BAB IV ini mahasiswa mampu
menganalisis dan memecahkan permasalahan yang
berkaitan dengan Fungsi Pembangkit Biasa dalam
kehidupan nyata.
2. Fungsi Pembangkit Biasa
Fungsi pembangkit biasa digunakan untuk membilang,
yaitu mencari banyaknya suatu pilihan dalam mengambil
objek atau banyaknya cara dalam melakukan kegiatan
tertentu.
2.1 Definisi
Suatu fungsi
∑
disebut fungsi pembangkit biasa dari barisan tak hingga
bilangan real
Contoh 4.1
a. Untuk sembarang n ∈ Z+
67
∑(
)
∑(
)
(
) (
) (
) (
)
Dengan demikian adalah fungsi
pembangkit dari barisan:
(
) (
) (
) (
)
b. Jika dibagi dengan dengan cara
pembagian biasa, maka diperoleh
Dengan demikian :
,
sehingga
adalah fungsi pembangkit biasa
dari barisan
68
c. Dengan cara yang sama, jika dibagi oleh
, maka akan diperoleh ,
sehingga:
adalah fungsi pembangkit
biasa dari barisan
d. Jika 1 dibagi dengan dengan cara pembagian
biasa, maka diperoleh :
Dengan demikian
sehingga
adalah fungsi pembangkit biasa dari
barisan
e. Dari hubungan pembagian
dapat ditentukan bahwa:
(
)
,
69
sehingga
adalah fungsi pembangkit
biasa dari barisan 1, 2, 3, 4, . . .
f. Dari hubungan pada butir e:
dapat ditentukan bahwa:
Sehingga
adalah fungsi pembangkit
biasa dari barisan 0, 1, 2, 3, 4, . . .
g. Dari hubungan pada butir f:
dapat ditentukan bahwa
,
-
Sehingga
adalah fungsi pembangkit
biasa dari barisan
h. Dari hubungan pada butir e:
70
Dapat ditentukan bahwa:
Sehingga
adalah fungsi pembangkit
biasa dari barisan 1, 1, 0, 1, 1, …
Demikian pula:
Sehingga
adalah fungsi pembangkit biasa dari
barisan 1, 1, 1, 3, 1, 1, …
Contoh 4.2
Fungsi pembangkit biasa dari barisan 2, 6, 12, 20, 30, 42, .
. . dapat dicari dengan menggunakan pola :
Dari:
71
Dapat diketahui bahwa : dengan n 0,
sehingga :
Dengan demikian :
adalah fungsi pembangkit biasa dari
barisan 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .
72
Dari pembahasan tentang binomial dapat ditentukan
bahwa :
(
)
Untuk n, r dan n 0, dengan demikian untuk n
, dapat ditentukan bahwa:
( )
( )
(
)
Contoh 4.3
Sesuai dengan pembahasan dalam kalkulus, Deret
Maclaurin dari adalah :
Jika maka :
,
( – )( – ) ,
Sehingga
73
∑
∑
∑
(
)
(
) (
) (
) (
)
∑
(
)
Berarti adalah fungsi pembangkit dari
barisan ( ) (
) (
)
2.2 Menerapkan Fungsi Pembangkit Biasa
Dalam menerapkan fungsi pembangkit biasa ini,
langsung saja kita lihat beberapa contoh di bawah ini
yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.
Contoh 4.4
Seorang ibu mempunyai 2 jeruk yang akan dibagikan
kepada anak-anaknya yaitu Ani dan Budi. Ada berapa cara
74
yang bisa dilakukan ibu untuk membagikan jeruk kepada
anak-anaknya ?
Jawab :
Cara 1:
Dengan cara mendaftarnya secara rinci
No. Ani Budi
1.
2.
3.
2
1
-
-
1
2
Banyaknya cara membagi adalah tiga
Cara 2:
Dengan bantuan kombinasi dan persamaan linier,
permasalahan dapat dinyatakan dalam model
matematika.
=banyaknya jeruk yang diterima Ani
= banyaknya jeruk yang diterima Budi
Keadaan ini sesuai dengan kombinasi berulang 2 unsur
dari 2 unsur, sehingga banyaknya seluruh keadaan
adalah:
(
) (
)
75
Cara 3 :
Keadaan jumlah jeruk yang diterima Ani maupun Budi
adalah 0 jeruk, 1 jeruk, 2 jeruk. Jika dinyatakan dalam
bentuk polinomial, maka diperoleh atau
karena perkalian polinomial menghasilkan suku-suku
dari yang pangkatnya dijumlahkan, maka gabungan
keadaan jumlah jeruk yang diterima Ani dan Budi
Karena jumlah jeruk seluruhnya hanya dua, maka
gabungan keadaan-keadaan jumlah jeruk yang diterima
oleh Ani dan Budi tidak dalam bentuk suku maupun
tetapi suku
Koefisien dari f(x) adalah 3, jadi banyaknya seluruh
cara membagi jeruk adalah 3.
Contoh 4.5
Dari contoh 2.1, jika jumlah jeruk yang dibagi adalah 4,
maka banyaknya cara membagi dapat dijelaskan sebagai
berikut :
Cara 1: Mendaftarnya secara rinci
76
No. Ani Budi
1.
2.
3.
4.
5.
4
3
2
1
-
-
1
2
3
4
Banyaknya cara membagi adalah 5
Cara 2. : Model persamaan linier :
Nilai kombinasi berulang 4 unsur dari 2 unsur adalah :
(
) (
)
Cara 3: Fungsi pembangkit yang mewakili cara
pembagian adalah :
Karena jumlah jeruk yang dibagi ada 4, maka yang dicari
adalah koefisien , yaitu diperoleh dari:
Jadi banyaknya seluruh cara membagi jeruk adalah 5.
Berdasarkan contoh 4.4 dan contoh 4.5 dapat
diketahui bahwa model persamaan linier dengan
penyelesaian bulat mempunyai hubungan dengan
koefisien tertentu suatu suku dari suatu fungsi
pembangkit biasa. Fungsi pembangkit biasa ini mewakili
77
keadaan-keadaan dalam suatu distribusi unsur yang
dapat dilakukan dengan menggunakan tabel. Cara tabel
tentu menjadi kurang praktis, karena memerlukan waktu
lebih banyak dan tempat lebih panjang, jika jumlah unsur
yang didistribusikan bertambah banyak, dan penerima
distribusi juga bertambah banyak. Berikut ini berbagai
contoh yang memperjelas keterkaitan dari cara 1, cara 2,
dan cara 3.
Contoh 4.6
Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari
penyelesaian bulat persamaan-persamaan :
Jawab :
a) Mencari koefisien dari fungsi pembangkit biasa :
b) Mencari koefisien x20 dari fungsi pembangkit biasa :
78
Contoh 4.7
Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari:
a) Banyaknya memilih 10 permen dari 6 merek permen
b) Banyaknya cara mengambil r unsur dari n jenis unsur
Jawab :
a) Mencari koefisien dari :
b) Mencari koefisien dari :
Contoh 4.8
Carilah permasalahan fungsi pembangkit dari mencari
banyaknya penyelesaian bulat persamaan:
Jawab:
Misalkan , , , dan
, maka :
untuk , dapat ditentukan ,
untuk , dapat ditentukan ,
untuk , dapat ditentukan ,
79
untuk , dapat ditentukan ,
Sehingga : ,
dapat diganti menjadi :
, , ,
,
, , , ,
Jadi permasalahan fungsi pembangkit yang dicari adalah
menentukan koefisien dari
Contoh 4.9
Seorang ibu membagikan 24 jeruk kepada 4 anaknya
sehingga masing-masing anak menerima paling sedikit 3
jeruk tetapi tidak lebih dari 8 jeruk. Ada berapa cara
membagikan jeruk ?
Jawab :
Permasalahan di atas dapat diubah menjadi
permasalahan fungsi pembangkit biasa, yaitu mencari
koefisien dari
(
)
Koefiaien dari adalah dari
80
{ (
) (
) } {(
) (
) (
) }
Koefisien dari adalah ( ) (
) (
) (
)( )
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)(
)
–
Jadi banyaknya cara membagi jeruk adalah 125 cara
Contoh 4.10
Carilah banyaknya cara menempatkan 20 bola sejenis
dalam 6 kotak sehingga kotak pertama berisi 1 sampai
dengan 5 bola dan kotak-kotak yang lain paling sedikit
berisi 2 bola.
Jawab :
Masalah ini sama dengan mencari penyelesaian bulat :
, , ,
, Penyelesaian masalah ini adalah sebagai
berikut :
Pertama dicari penyelesaian yang memenuhi , dan
, yaitu sebanyak
(
) (
)
81
Kedua dicari penyelesaian yang memenuhi , ,
yaitu sebanyak
(
) (
)
Banyaknya penyelesaian bulat adalah
(
) (
)
Cara lain menyelesaikan masalah ini adalah mencari
koefisien dari suatu fungsi pembangkit biasa :
{ }
Koefisien dari f(x) adalah koefisien dari
[( ) (
) ][(
)
( ) ]
Koefisien dari adalah :
[(
) (
)] [ (
) (
)]
[ (
)] [ (
)]
[ (
)] [ (
)]
82
[(
)] [ (
)]
[(
)] [ (
)]
Contoh 4.11
Carilah barisan yang dibangkitkan oleh
Jawab :
Untuk , diperoleh , sehingga
Untuk , diperoleh , sehingga
[
∑(
)
] [
∑(
)
]
83
[
∑(
)
] [
∑(
)
]
∑(
)
Barisan yang dibangkitkan adalah : (
) (
) (
)
3. Fungsi Pembangkit Eksponensial dan
Penerapannya
Penerapan dari fungsi pembangkit Eksponensial
serupa dengan fungsi pembangkit biasa, yaitu mencari
banyaknya seluruh susunan unsure – unsure yyang
bersifat berulang. Cara mencarinya dengan mencari
koefisien suku yang memuat x^n/n! untuk sebarang n∈Z
dapat ditentukan bahwa :
(
) (
) (
) (
)
disebut fungsi pembangkit biasa
(ordinary)dari barisan:
(
) (
) (
) (
)
dapat dinyatakan dalam bentuk ini∶
84
Fungsi disebut fungsi pembangkit
eksponensial dari barisan
Definisi 1:
∑(
)
Disebut fungsi pembangkit eksponensial dari barisan :
Contoh 4.12
Berapa banyaknya susunan 4 huruf dari kata ENGINE ?
Jawab :
Keadaan pengambilan 4 huruf dari kata ENGINE dan
banyaknya susunan adalah
85
Banyaknya cara :
Contoh 4.13
Carilah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan :
a.
b.
Jawab :
a)
b)
86
Contoh 4.14
Carilah banyaknya susunan 4 huruf dari huruf – huruf
kata SARASA
Jawab :
Kata SARASA menurut A sebanyak 3, memuat huruf S
sebanyak 2, dan memuat huruf R sebanyak 1, sehingga
fungsi pembangkit eksponensial yang sesuai adalah :
[
] [
]
Permasalahan banyaknya susunan 4 huruf ini sama
dengan mencari koefisien
dari
Suku – suku yang memuat adalah :
*
+ *
+ *
+ *
+ *
+ atau
atau
Koefisien dari
Jadi banyaknya susunan 4 huruf dari kata SARASA adalah
38
4. Kesimpulan
Dalam mempelajari BAB ini, mahasiswa harus
memahami dan menguasai fungsi pembangkit
87
eksponensial dan penerapannya, teruta,a dalam mencari
banyaknya susunan r unsur dari n unsud beragam.
1. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan
adalah,,,
∑
2. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan tak
hingga , adalah
∑
3. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan 1, 1, 1,
… adalah
4. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan 1, -1, 1,
-1, … adalah
5. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan 1, 0, 1,
0, … adalah
6. Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan 0, 1, 0,
1, … adalah
88
7. Bentuk fungsi yang dapat digunakan untuk mengganti
sususnan unsur-unsur tergantung pada banyaknya
unsur sama dari ragam keadaan awal.
a. Satu unsur sama diganti
b. Dua unsur sama diganti
c. Tiga unsur sama diganti
d. n unsur sama diganti
8. Banyaknya susunan r unsur dapat diperoleh dari
koefisien
Terhadap fungsi pembangkit
eksponensial yang sesuai. Fungsi pembangkit
eksponensial yang sesuai dicari dari gabungan
perkalian bentuk-bentuk fungsi pengganti terhadap
keadaan unsur-unsur awal.
5. Latihan Soal
1. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh
a.
b.
c.
2. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh
89
a.
b.
c.
3. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh
a.
b.
4. Carilah fungsi pembangkit biasa dari barisan 1, -4,
16, -64, …
5. Carilah fungsi pembangkit biasa dari barisan 2, 8,
32, 128, …
6. Carilah
a. ( )
b. ( )
c. ( )
7. Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa
dari penyelesaian bulat persamaan berikut:
a.
b. ,
genap dan ganjil
8. Carilah koefisien:
90
a. dari
b. dari
c. dari
9. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh
10. Buktikan bahwa ( ) ∑ (
)
untuk semua
11. Carilah koefisien dari
12. Seorang Ibu mempunyai 12 jeruk, akan dibagikan
ke tiga anaknya, anak pertama paling sedikit
menerima 4 jeruk, anak kedua dan ketiga masing-
masing paling sedikit menerima 2 jeruk, tetapi
anak ketiga tidak boleh menerima lebih dari 5
jeruk. Ada berapa cara Ibu dalam membagikan
jeruk kepada anak-anaknya?
13. Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa
dari permasalahan berikut:
a. Ada 4 warna permen, yaitu merah, hijau, putih
dan kuning. Seorang anak mengambil 24
permen sedemikian hingga jumlah permen
91
putih genap, dan paling sedikit 6 permen adalah
kuning. Ada berapa cara mengambil permen?
b. Seorang direktur akan membagikan 25 lembar
sepuluh ribuan kepada 4 orang karyawannya.
Ada berapa cara membagi?
14. Ada berapa cara mendistribusikan 3000 amplop
dalam kotak-kotak yang berisi masing-masing 25
amplop, kepada empat kelompok siswa, sehingga
setiap kelompok menerima paling sedikit 150
amplop, tetapi tidak boleh lebih dari 1000 amplop.
92
BAB V PENGANTAR DASAR TEORI GRAPH
1. Pendahuluan
Teori graph lahir pada Tahun 1736 melalui tulisan
Euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah
jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa.
Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler
tersebut tidak ada perkembangan yang berarti berkenaan
dengan teori graph. Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824 –
1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of
trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik.
Sepuluh tahun kemudian, A. Coyley (1821 – 1895) juga
menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan
permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Pada masa
Kirchoff dan Coyley juga telah lahir dua hal penting dalam
teori graph. Salah satunya berkenaan dengan konjektur
empat warna, yang menyatakan bahwa untuk mewarnai
sebuah atlas cukup dengan menggunakan empat macam
warna sedemikian hingga tiap negara yang berbatasan
akan memiliki warna yang berbeda. Para ahli teori graph
berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali
mengemukakan masalah empat warna adalah A.F. Mobius
(1790 – 1868) dalam salah satu kuliahnya di Tahun 1840.
Sepuluh tahun kemudian, A. De Morgan (1806 – 1871)
93
kembali membahas masalah ini bersama ahli-ahli
matematika lainnya di kota London.
Dengan demikian tulisan De Morgan dianggap
sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah
empat warna. Masalah empat warna ini menjadi sangat
terkenal setelah Coyley mempublikasikannya Tahun 1879
dalam Proceedings of the Royal Geographic Society volume
pertama. Hal lain yang penting untuk dibicarakan
sehubungan dengan perkembangan teori graph adalah
apa yang dikemukakan oleh Sir W.R. Hamilton (1805 –
1865). Pada Tahun 1859 dia berhasil menemukan suatu
permainan yang kemudian dijualnya ke sebuah pabrik
mainan di Dublin. Permainan tersebut terbuat dari kayu
berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah
polihedron dengan 12 muka dan 20 pojok. Tiap muka
berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya
dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari
dodecahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota
terkenal seperti London, New York, Paris, dan lain-lain.
Masalah dalam permainan ini adalah, kita diminta untuk
mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron
sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui
tepat satu kali. Walaupun saat ini masalah tersebut dapat
dikategorikan mudah, akan tetapi pada saat itu tidak ada
94
seorang pun yang bisa menemukan syarat perlu dan
cukup dari eksistensi rute yang dicari.
Kurang lebih setengah abad setelah masa
Hamilton, aktivitas dalam bidang teori graph dapat
dikatakan relatif kecil. Pada Tahun 1920-an kegiatan
tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh D. Konig.
Konig berupaya mengumpulkan hasil-hasil pemikiran
para ahli matematika tentang teori graph termasuk hasil
pemikirannya sendiri, kemudian dikemasnya dalam
bentuk buku yang diterbitkan pada Tahun 1936. Buku
tersebut dianggap sebagai buku pertama tentang teori
graph. Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode
yang sangat intensif dalam aktivitas pengembangan teori
graph baik murni maupun terapan. Sejumlah besar
penelitian telah dilakukan, ribuan artikel telah diterbitkan
dan lusinan buku telah banyak ditulis. Di antara orang
terkenal yang banyak berkecimpung dalam bidang ini
adalah Claude Berge, Oysten Ore, Paul Erdos, William
Tutte, dan Frank Harary.
2. Pengertian Dan Konsep Dasar Teori Graph
Suatu graph terdiri dari suatu himpunan tak
kosong yang masing- masing unsurnya disebut titik
95
(vertex) dan suatu himpunan pasangan tak berurutan dari
titik- titik tersebut yang disebut sisi (edge).
Di sini G melambangkan suatu graph. Himpunan
titik di graph G dinyatakan dengan dan himpunan
sisi di graph G dinyatakan dengan . Jika banyak titik
dan banyak sisi di G terhingga, maka G disebut graph
terhingga.
Dua sisi atau lebih yang menghubungkan satu
pasang titik disebut sisi rangkap (multiple edges). Suatu
sisi yang titik ujungnya sama disebut loop. Graph tanpa
sisi rangkap dan tanpa loop disebut graph sederhana
(simple graph).
Jika u dan v titik–titik di G dan suatu sisi di
G, maka dikatakan:
menghubungkan dan ,
dan terhubung langsung (adjacent),
terkait (incident) dengan ,
terkait (incident) dengan ,
dan di sebut titik ujung dari ,
96
Contoh 5.1.
Pada gambar 1.1 , graph G adalah sederhana, dengan
{ } { }| |
| |
graph H tidak sederhana karena memuat loop dan sisi
rangkap.
Contoh 5.2. jika di ketahui graph G mempunyai.
{ }
{ }
Maka graph G dapat di gambarkan seperti pada gambar 1.
G
Gambar 1.2
Misalkan G suatu graph dengan himpunan titik
dan himpunan sisi . Graph bagian (subgraph)
u
w
x
G H
v
k
97
dari G adalah suatu graph yang setiap titiknya adalah
anggota dan setiap sisinya adalah anggota . Jika
H suatu graph bagian dari G dan , maka H di
sebut graph bagian rentangan (spanning subgraph) dari G.
Contoh 5.3.
Dua graph yang titiknya sama dinamakan sub
graph rentangan
Pada gambar 1.3, terhadap G, adalah bagian rentangan,
adalah grap bagian tetapi bukan graph bagian
rentangan, dan bukan graph bagian.
98
3. Jenis-Jenis Graph
Sebuah jalan (walk) dalam graph G adalah sebuah
urutan tak nol ... ... , yang
suku-sukunya bergantian antara simpul dan sisi
sedemikian hingga ujung dari adalah
dan . disebut simpul awal (simpul asal).
disebut simpul akhir (simpul terminus). , 1 < i < k,
disebut simpul internal. Panjang sebuah jalan adalah
banyaknya sisi dalam jalan tersebut. Jika semua sisi pada
sebuah jalan berlainan, maka jalan tersebut disebut jejak
(trail). Jejak yang simpul awal dan simpul akhirnya
berlainan disebut jejak tertutup. Jika simpul-simpul dari
.... ...ek dari jalan W berlainan, maka
W disebut lintasan (path). Lintasan tertutup dinamakan
siklus. Siklus dengan banyaknya simpul n, dinotasikan
dengan Cn. Siklus : Jejak tertutup yang simpul awal dan
simpul internalnya berlainan.
Siklus : Jejak tertutup yang simpul awal dan simpul
internalnya berlainan.
Contoh :
99
Berdasarkan graph G di atas
1. Berilah contoh jalan yang bukan jejak.
2. Berilah contoh jejak yang bukan lintasan.
3. Berilah contoh empat buah lintasan yang
menghubungkan simpul b dan f.
4. Berilah contoh sirkuit yang bukan siklus.
5. Tentukan semua siklus yang ada di graph G.
merupakan contoh graph yang tidak terhubung.
a. Perjalanan (Walk)
Perjalanan atau walk pada suatu Graph G adalah
barisan simpul dan ruas berganti-ganti
ruas menghubungkan
dan dapat hanya ditulis barisan ruas atau
barisan simpul saja atau
.Dalam hal ini, disebut simpul
awal, dan disebut simpul akhir. Perjalanan disebut
perjalanan tertutup bila , sedangkan
Perjalanan disebut perjalanan tebuka yang
menghubungkan dan .
Panjang Perjalanan adalah
banyaknya ruas dalam barisan tersebut.
100
b. Jejak (Trail)
Jejak pada suatu graph adalah jalan yang sisi-sisinya
berbeda.
c. Lintasan (Path)
Lintasan pada suatu graph adalah jejak yang semua
titiknya berbeda.
d. Sirkuit (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul
yang sama disebut sirkuit atau siklus. Panjang sirkuit
adalah jumlah ruas dalam sirkuit tersebut. Graph
yang tidak mengandung sirkuit disebut acyclic.
Contoh 5.4
Sebuah graph adalah terhubung jika setiap dua
buah titik di G dihubungkan oleh lintasan di G. Jika G
adalah graph terhubung, maka dikatakan bahwa
komponen dari G adalah 1, dinotasikan .
Definisikan graph tidak terhubung! Graph G disebut
terhubung jika untuk setiap dua simpul yang berbeda
terdapat lintasan yang menghubungkan simpul-simpul
101
tersebut. Sebuah lintasan geodesic (geodesic path)
antara titik dan dari graph G adalah lintasan
dengan panjang minimum. Panjang lintasan geodesic
antara simpul u dan v dinamakan jarak antara simpul u
dan v. Dinotasikan
Misalkan adalah sebuah graph.
adalah subgraph dari G jika dan .
Induced Subgraph. Spanning subgraph.
4. Keterkaitan Teori Graph dengan Dunia Nyata
Kontruksi model matematika dapat dibuat
dalam berbagai cara permasalahan matematika yang
berbeda-beda. Salah satu model matematika yang
sudah cukup dikenal dan bisa mencakup berbagai
permasalahan adalah teori graph. Pada bagian ini akan
disajikan contoh permasalahan yang dapat dibuat
model matematikanya dalam bentuk graph.
Contoh 5.5
Seorang guru bermaksud membuat suatu
diagram tentang hubungan antar siswa dari kelas yang
diajarnya. Diagram tersebut harus berisikan informasi
apakah antara satu siswa dengan siswa lainnya
berteman atau tidak berteman. Hal semacam itu dapat
102
dinyatakan dalam bentuk diagram yang disebut graph.
Dalam graph tersebut, seorang siswa dinyatakan
sebagai sebuah titik dan hubungan berteman antara
dua siswa, dinyatakan dengan sebuah sisi yang
menghubungkan titik-titik yang mewakili dua siswa
tersebut.
Contoh 5.6
Dalam suatu persiapan untuk menghadapi
perang, beberapa peleton tentara ditempatkan di
beberapa lokasi yang berbeda. Komunikasi antara
peleton dilakukan dengan menggunakan radio telepon
yang kemampuannya terbatas pada jarak tertentu.
Jika jarak antara dua peleton masih terjangkau,
maka komunikasi dapat dilakukan. Keadaan seperti ini
dapat dinyatakan dalam suatu model matematika
berbentuk graph. Dalam graph tersebut, titik
menyatakan peleton dansisi antara dua titik
menyatakan komunikasi antara dua peleton yang
diwakili oleh dua titik tersebut.
Contoh 5.7
Misalkan kita ingin menempuh perjalanan dari
Jakarta menuju Surabaya. Mungkin kita ingin
103
mengetahui rute terpendek yang dapat dipilih. Dalam
permasalahan ini kota direpresentasikan sebagai titik,
sedangkan rute atau jalan direpresentasikan sebagai
segmen garis atau kurva.
Contoh 5.8
Misalnya terdapat satuan tugas dalam
kepolisian yang bertugas mengungkap jaringan
pengedar obat terlarang. Hal tersebut dapat kita
gambarkan ke dalam sebuah graph. Dalam graph
tersebut, tiap-tiap anggota komisi dinyatakan dengan
sebuah titik, dan hubungan di antara anggota
dinyatakan dengan sisi atau kurva. Dalam
permasalahan ini kita mungkin ingin tahu seberapa
rapuhkah jaringan komunikasi ini, dan seberapa
mudahkah kita bisa menghancurkan jaringan tersebut.
Dengan menggunakan teori graph desain jaringan
komunikasi yang handal dapat diciptakan.
Contoh 5.9
Teori graph juga biasanya digunakan dalam
bidang elektronika, misalnya untuk mendesain sirkuit
cetakan. Biasanya sirkuit cetakan pada lembaran
silikon harus didesain secara khusus. Berbeda dengan
104
desain sirkuit yang menggunakan kabel-kabel, sirkuit
cetakan tidak boleh mengandung bagian-bagian
konduktor yang saling bersinggungan atau saling
memotong, karena hal tersebut bisa membuat
munculnya hubungan pendek. Teori graph memberi
penjelasan apakah suatu pola sirkuit cetakan yang kita
miliki mempunyai pola lain yang sejenis? Apakah
sebuah pola sirkuit yang memiliki hubungan
konduktor yang saling berpotongan dapat didesain
ulang demikian sehingga susunannya masih tetap tapi
tidak lagi mengandung bagian-bagian yang saling
bersinggungan atau berpotongan? Melalui konsep
graph isomorfik kita dapat mengetahui apakah
sebuah sirkuit cetakan memiliki desain lain yang lebih
baik tanpa mengubah susunannya.
5. Kesimpulan
Dalam membahas BAB V ini mahasiswa diharapkan
mampu menjelaskan dan mendeskripsikan ;
1) Pengertian dan konsep dasar teori graph
2) Jenis-jenis graph dan contohnya dalam
kehidupan nyata
3) Hubungan istilah-istilah dalam teori graph
dengan kehidupan nyata
105
6. Latihan Soal
1. Ada 7 kota (A, …, G) yang beberapa diantaranya
dapat dihubungkan secara langsung dengan jalan
darat. Hubungan-hubungan langsung yang dapat
dilakukan adalah sebagai berikut:
A dengan B dan D
B dengan D
C dengan B
E dengan F
Buatlah graf yang menunjukkan keadaan
transportasi di 7 kota tersebut.
2. Perhatikan graf berikut ini.
Tentukan:
a. Himpunan titik-titik, himpunan garis-garis, titik-
titik ujung masing-masing garis, dan garis
parallel.
b. Loop dan titik terasing.
3. Gambarlah graf G dengan titik V(G)={v1, v2, v3, v4}
dan garis E(G)={e1, e2, e3, e4, e5} dengan titik-titik
ujung sebagai berikut.
106
Garis Titik Ujung
e1 {v1,v3}
e2 {v2,v5}
e3 {v1}
e4 {v2,v5}
e5 {v3}
4. Gambarlah graf lengkap K2, K3, K4, K5, K6 !
5. Gambarlah komplemen graf G yang didefinisikan
dalam gambar dibawah ini!
A B C
6. Pada graf berikut, apakah graf H merupakan subgraf
G?
a.
107
b.
c.
d.
7. Gambarlah semua subgraf yang mungkin dibentuk
dari graf G berikut!
e2
V2
e1
V1 Graf G
108
8. Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf pada
gambar berikut. Berapa derajat totalnya?
e1 e4 v5
v1 v3
e2 e3 v6
v4
v2 e5
9. Gambarlah graf dengan spesifikasi dibawah ini (jika
ada).
a. Graf dengan 4 titik yang masing-masing
berderajat 1, 1, 2 dan 3
b. Graf dengan 4 titik yang masing-masing
berderajat 1, 1, 3 dan 3
c. Graf dengan 10 titik yang masing-masing
berderajat 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4 dan 6
d. Graf sederhana dengan 4 titik yang masing-
masing berderajat 1, 1, 3 dan 3
10. Tentukan mana diantara barisan titik dan garis
pada gambar berikut yang merupakan walk, path,
path sederhana, sirkuit dn sirkuit sederhana.
109
e4
V3 e5 v4
e2 e3
v1 v2 e7 e6 e10
e1 e8
v6 e9 v5
a. v1e1v2e3v3e4v3e5v4
b. v1e1v2e3v3e5v4e5v3e6v5
c. v2e3v3e5v4e10v5e6v3e7v6e8v2
d. v2e3v3e5v4e10v5e9v6e8v2
110
BAB VI KETERKAITAN MATEMATIKA DISKRIT
DENGAN MATA PELAJARAN MATMATIKA DI
SEKOLAH
1. Pendahuluan
Kualitas pembelajaran harus ditingkatkan untuk
meningkatkan hasil pendidikan. Dan secara mikro harus
ditemukan strategi atau pendekatan pembelajaran yang
efektif yang sangat beririsan dengan nilai-nilai softskill
sehingga wujud keberhasilan yang akan diperoleh
berimbang antara ranah kognitif, afektif dan
psikomotorik.
Dalam pembelajaran matematika di kelas
hendaknya penekanannya terletak pada keterlibatan
mahasiswa secara aktif dalam kegiatan pembelajaran
antara konsep-konsep matematika dengan pengalaman
mahasiswa sehari-hari sehingga mahasiswa dapat lebih
memahami konsep dan dapat menerapkan untuk
memecahkan permasalahan yang ada pada kehidupan
sehari-hari atau pada bidang lain.
Sesuai dengan tujuan diberikannya matematika di
sekolah, kita dapat melihat bahwa matematika sekolah
memegang peranan sangat penting. Anak didik
memerlukan matematika untuk memenuhi kebutuhan
111
praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan
sehari-hari. Misalnya, dapat berhitung, dapat menghitung
isi dan berat, dapat mengumpulkan, mengolah,
menyajikan dan menafsirkan data, dapat menggunakan
kalkulator dan komputer. Selain itu, agar mampu
mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut, membantu
memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia,
arsitektur, farmasi, geografi, ekonomi, dan sebagainya,
dan agar para siswa dapat berpikir logis, kritis, dan
praktis, beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif.
2. Keterkaitan Materi Matematika Diskrit Dengan
Materi Di Sekolah
Matematika diskrit adalah bagian dari matematika
yang mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek
diskrit diartikan sebagai objek-objek yang berbeda dan
saling lepas. Matematika diskrit memiliki aplikasi di
hampir semua bidang kehidupan, seperti ilmu komputer,
kimia, botani, zoologi, linguistik, geografi, dan bisnis.
Masalah-masalah seperti
(i) Ada berapa cara membuat password untuk sebuah
sistem komputer?
(ii) Bagaimana mengurutkan sebuah himpunan
bilangan bulat dari terkecil hingga terbesar?
112
(iii) Berapa besar peluang memenangkan sebuah
undian?
(iv) Berapa jarak terpendek antara 2 kota atau lebih?
(v) Bagaimana rute jaringan yang baik?
(vi) Seberapa efektif algoritma yang dibuat?
merupakan contoh kajian dalam matematika diskrit.
Secara lebih umum, matematika diskrit digunakan
untuk
a) Menghitung banyak objek
b) Mempelajari hubungan antara himpunan-
himpunan berhingga
c) Menganalisis proses yang melibatkan langkah-
langkah yang banyaknya berhingga
Lima tema dalam matematika diskrit berikut
tujuan masing-masing adalah
1. Penalaran matematika: memberikan pemahaman
tentang penalaran matematika dalam membaca,
memahami, dan membangun argumen
matematika.
2. Analisis kombinatorial: memberikan keterampilan
menghitung banyak objek sebagai salah satu
kemampuan dasar untuk memecahkan masalah.
3. Struktur diskrit: memberikan pemahaman tentang
struktur diskrit sebagai salah satu struktur
113
matematika abstrak yang digunakan untuk
menyajikan objek-objek diskrit dan hubungan di
antara objek-objek itu.
4. Aplikasi dan Pemodelan: memperkenalkan aplikasi
matematika diskri dan pemodelan matematika
sebagai salah satu kemampuan pemecahan
masalah yang sangat penting.
5. Berpikir algoritmik: memberikan kemampuan
membuat algoritma dan verikasinya serta
menganalisis memori komputer dan waktu yang
dibutuhkan untuk melakukan algoritma itu.
Beberapa alasan penting belajar matematika
diskrit adalah sebagai berikut:
a) Matematika diskrit memberikan kemampuan
membaca, memahami dan membangun argumen
matematika.
b) Matematika diskrit merupakan pintu gerbang untuk
mempelajari matakuliah lanjutan dalam logika, teori
himpunan, teori bilangan, aljabar linier, aljabar
abstrak, kombinatorika, teori graf,dan teori peluang.
c) Matematika diskrit memberikan landasan
matematika untuk mata kuliah ilmu komputer seperti
struktur data, algoritma, teori basis data, teori
114
automata, keamanan komputer (computer security),
dan sistem operasi.
d) Matematika diskrit memberikan latar belakang
matematika yang diperlukan dalam pemecahan
masalah riset operasi (operations research) seperti
teknik optimisasi diskrit.
Struktur diskrit mempelajari struktur matematika
yang memiliki objek atau elemen diskrit. Struktur atau
sistem matematika dide¯nisikan sebagai koleksi objek
dengan operasi yang terde¯nisi pada objek itu serta sifat-
sifatnya. Struktur diskrit berisi pokok bahasan:
Himpunan, Barisan, Fungsi, Logika, Teknik Membilang
(counting techniques), Relasi, Graf, dan Pohon.
Logika merupakan study penalaran (reasoning).
Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan –
penyataan (statements).
Contoh pernyataan :
Semua anak sekolah memakai rok
Setiap pemakai rok adalah anak perempuan
Jadi, semua anak sekolah adalah anak
perempuan
115
3. Perbedaan Dan Persamaan Materi Matematika
Diskrit Dengan Materi Di Sekolah
Dalam pembelajaran matematika perlu
disesuaikan dengan perkembangan kognitif siswa,
dimulai dari yang konkrit menuju abstrak. Namun
demikian meskipun obyek pembelajaran matematika
adalah abstark, tetapi mengingat kemampuan berpikir
siswa Sekolah Dasar yang masih dalam tahap operasional
konkrit, maka untuk memahami konsep dan prinsip
masih diperlukan pengalaman melalui obyek konkrit
Suatu konsep diangkat melalui manipulasi dan
observasi terhadap obyek konkrit, kemudian dilakukan
proses abstraksi dan idealisasi. Jadi dalam proses
pembelajaran matematika di SD peranan media/alat
peraga sangat penting untuk pemahaman suatu konsep
atau prinsip.
Di dalam GBPP mata pelajaran matematika SD
disebutkan bahwa tujuan yang akan dicapai dari
pembelajaran matematika sekolah adalah:
1. Menumbuhkan dan mengembangkan keterampilan
berhitung (menggunakan bilangan) sebagai alat
dalam kehidupan sehari-hari.
2. Menumbuhkan kemampuan siswa, yang dapat
dialihgunakan, melalui kegiatan matematika.
116
3. Mengembangkan pengetahuan dasar matematika
sebagai bekal lanjut di Sekolah Lanjutan Tingkat
Pertama (SLTP).
4. Membentuk sikap logis, kritis, cermat, kreatif dan
disiplin. (Depdikbud, 1993:40)
Sedangkan tujuan mata pelajaran matematika yang
tercantum dalam KTSP pada SD/MI adalah sebagai
berikut:
a) Memahami konsep matematika, menjelaskan
keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan
konsep atau algoritma, secara luwes, akurat,
efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah.
b) Menggunakan penalaran pada pola dan sifat,
melakukan manipulasi matematika dalam
membuat generalisasi, menyusun bukti, atau
menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
c) Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan
memahami masalah, merancang model
matematika, menyelesaikan model dan
menafsirkan solusi yang diperoleh
d) Mengkomunkasikan gagasan dengan simbol, table,
diagram, atau media lain untuk memperjelas
keadaan atau masalah
117
e) Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika
dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu,
perhatian, dan minat dalam mempelajari
matematika, serta sikap ulet dan percaya diri
dalam pemecahan masalah
(Depdiknas, 2006 : 417).
Ruang Lingkup Matematika Sekolah
Pembelajaran matematika di sekolah diarahkan
pada pencapaian standar kompetensi dasar oleh siswa.
Kegiatan pembelajaran matematika tidak berorientasi
pada penguasaan materi matematika semata, tetapi
materi matematika diposisikan sebagai alat dan sarana
siswa untuk mencapai kompetensi. Oleh karena itu, ruang
lingkup mata pelajaran matematika yang dipelajari di
sekolah disesuaikan dengan kompetensi yang harus
dicapai siswa. Standar kompetensi matematika
merupakan seperangkat kompetensi matematika yang
dibakukan dan harus ditunjukkan oleh siswa sebagai hasil
belajarnya dalam mata pelajaran matematika. Standar ini
dirinci dalam kompetensi dasar, indikator, dan materi
pokok, untuk setiap aspeknya. Pengorganisasian dan
pengelompokan materi pada aspek tersebut didasarkan
118
menurut kemahiran atau kecakapan yang hendak ingin di
capai.
Merujuk pada standar kompetensi dan kompetensi
dasar yang harus dicapai siswa maka ruang lingkup
materi matematika adalah aljabar, pengukuran dan
geomerti, peluang dan statistik, trigonometri, serta
kalkulus.
Kompetensi aljabar ditekankan pada kemampuan
melakukan dan menggunakan operasi hitung pada
persamaan, pertidaksamaan dan fungsi. Pengukuran dan
geometri ditekankan pada kemampuan menggunakan
sifat dan aturan dalam menentukan porsi, jarak, sudut,
volum, dan tranfrormasi. Peluang dan statistika
ditekankan pada menyajikan dan meringkas data dengan
berbagai cara. Trigonometri ditekankan pada
menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri. Kalkulus ditekankan pada
mengunakam konsep limit laju perubahan fungsi.
Secara rinci, standar kompetensi mata pelajaran
matematika untuk sekolah menengah pertama adalah
sebagai berikut:
1. Bilangan
a) Melakukan dan mengunakan sifat-sifat operasi
hitung bilangan dalam pemecahan masalah
119
b) Menaksir hasil operasi hitung
2. Pengukuran dan Geometri
a) Mengidentifikasi bangun datar dan bangun ruang
menurut sifat, unsur, atau kesebangunannya
b) Melakukan operasi hitung yang melibatkan
keliling, luas, volume, dan satuan pengukuran
c) Menaksir ukuran (misal: panjang, luas, volume)
dari benda atau bangun geometri
d) Mengidentifikasi sifat garis dan sudut dalam
pemecahan masalah
3. Peluang dan statistika
a) Mengumpulkan, menyajikan, dan menafsirkan data
(ukuran pemusatan data)
b) Menentukan dan menafsirkan peluang suatu
kejadian
4. Aljabar
Melakukan operasi hitung pada persamaan,
pertidaksamaan, dan fungsi, meliputi: bentuk linear,
kuadrat, barisan dan deret, dalam pemecahan
masalah.
Sementara itu, standar kompetensi mata pelajaran
matematika untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah
Aliyah adalah sebagai berikut:
1) Pengukuran dan geometri
120
Menggunakan sifat dan aturan dalam menentukan
posisi, jarak, sudut, volum, dan transformasi dalam
pemecahan masalah
2) Peluang dan Statistika
a) Menyusun dan menggunakan kaidah pencacahan
dalam menentukan banyak kemungkinan
b) Menentukan dan menafsirkan peluang kejadian
majemuk
c) Menyajikan dan meringkas data dengan berbagai
cara dan memberi tafsiran
3) Trigonometri
a) Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan,
dan identitas trigonometri dalam pemecahan
masalah
b) Menggunakan manipulasi aljabar untuk
merancang/menyusun bukti
4) Aljabar
a) Menggunakan operasi dan manipulasi aljabar
dalam pemecahanmasalah yang beraitan
dengan: bentuk pangkat, akar, logaritma,
persamaan dan fungsi komposisi dan fungsi
inver
b) Menyusun/menggunakan persamaan lingkaran
dan garis singgungnya
121
c) Menggunakan algoritma pembagian, teorema
sisa, dan teorema faktor dalam pemecahan
masalah
d) Merancang dan menggunakan model
matematika program linear
e) Menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan
dengan barisan, deret, matriks, vektor,
transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma
dalam pemecahan masalah
5) Kalkulus
Menggunakan konsep limit fungsi, turunan, dan
integral dalam pemecahan masalah
Contoh 6.1
Barisan Aritmetika
Matematika di sekolah Matematika Diskrit
Barisan aritmetika
merupakan salah satu dari
barisan bilangan yang
menjadi salah satu materi
pokok di dalam kurikulum
matematika sekolah
khsusnya di sekolah
menengah. Sebagai ciri
barisan dijumpai pada
pokok bahasan fungsi
pembangkit
122
utama dari barisan ini
adalah setiap suku yang
berurutan memiliki selisih
atau beda yang sama. Pokok
kajian substansi materi ini
adalah (1) menentukan
beda, (2) menentukan suku
ke-n dan (3) menghitung
jumlah n buah suku
berurutan.
4. Kesimpulan
1 Matematika sekolah mempunyai peranan yang
sangat penting baik bagi siswa supaya punya bekal
pengetahuan dan untuk pembentukan sikap serta
pola pikirnya, warga negara pada umumnya
supaya dapat hidup layak, untuk kemajuan
negaranya, dan untuk matematika itu sendiri
dalam rangka melestarikan dan
mengembangkannya.
2 Kajian materi matematika di sekolah masih dapat
dilanjutkan sampai dengan menemukan rumus
yang berbeda tetapi hasil penyelesaian sama.
123
3 Mahasiswa diharapkan mengembangkan
persamaan, perbedaan dan karakteristik
penyelesaian dari materi matematika sekolah
dengan matematika diskrit.
5. Latihan Soal
Buatlah laporan dari studi lapangan dengan aktivitas
sebagai berikut.
1. Menganalisis keterkaitan materi matematika
diskrit dengan materi matematika di SD, SMP dan
SMA
2. Menganalisis perbedaan dan persamaan materi
matematika diskrit dengan materi di
sekolahsecara luas
3. Menganalisis penyelesaian masalah yang ada di
sekolah
124
DAFTAR PUSTAKA
Depdiknas, (2006), Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan
Dediknas Jakarta.
Katz, B. P., & Starbird, M. (2013). Distylling Ideas: An
Introduction to Mathematical Thinking. America:
The Mathematical Association of America.
Muhsetyo, Gatot. 2007. Matematika Diskrit. Jakarta:
Universitas Terbuka.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit Edisi 3. Bandung:
Informatika Bandung.
Munir, Renaldi. 2009. Matematika Diskrit. Bandung:
Informatika Bandung
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung :
Informatika.
Nurjanah, Priatna, Sutarno. 2003. Matematika Diskrit.
Malang: JICA
Purwanto. 1997. Bahan Ajar Matematika Diskrit. Malang:
Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Malang
Siang, J.J. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada
Ilmu Komputer. Yogyakarta: ANDI Press.
Townsend, Michael. 1987. Applied combinatorics and
Graph Theory. The Benjamin/cummings Publishing
Company, Inc.
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit. Yogyakarta:
Graha Ilmu.
125
SOAL DAN PENYELESAIAN 1
Induksi Matematika
1. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan
dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … +
2n = 2n+1 – 1
2. Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos
sebesar n sen (n 8) selalu dapat digunakan hanya
perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.
3. Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya
jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan
dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap
bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan
sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan
prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
4. Tunjukkan apa yang salah dari pembuktian di bawah
ini yang menyimpulkan bahwa semua kuda berwarna
sama?
5. Temukan kesalahan dalam pembuktian berikut. Kita
ingin membuktikan bahwa an = 1 untuk semua
bilangan bulat tak-negatif n bilamana a adalah
bilangan riil tidak-nol. Kita akan membuktikan ini
dengan prinsip induksi kuat.
126
Penyelesaian 1
1. (i) Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama),
kita peroleh:
20 = 20+1 - 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 - 1
= 21 - 1
= 2 - 1
= 1
(ii) Andaikan bahwa untuk semua bilangan bulat
tidak-negatif n,
20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar (hipotesis
induksi). Kita harus menunjukkan bahwa
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1 juga benar. Ini
kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … +
2n) + 2n+1
= (2n+1 - 1) + 2n+1 (dari
hipotesis induksi)
= (2n+1 + 2n+1) - 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 - 1
= 2(n+1) + 1 - 1
127
Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan
benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif
n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
2. (i) Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan
1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen
saja. Ini jelas benar.
(ii) Andaikan bahwa untuk membayar biaya pos
sebesar n (n 8) sen dapat digunakan perangko 3 sen
dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus
menunjukkan bahwa untuk membayar biaya pos
sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko
3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan
yang perlu diperiksa:
a. Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar
biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu
perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah
perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen,
akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen.
b. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen
yang digunakan, biaya pos senilai n sen
menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n
8, setidaknya harus digunakan tiga buah
perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah
128
perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen,
akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.
3. (i) Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima
dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari
satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
(ii) Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n
dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih)
bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita
perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat
dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada
dua kemungkinan nilai n + 1:
a. Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia
dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau
lebih bilangan prima.
b. Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat
bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1
tanpa sisa. Dengan kata lain, (n + 1)/ a = b atau
(n + 1) = ab yang dalam hal ini, 2 a b n.
Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat
dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih
bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat
dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima,
karena n + 1 = ab. Karena langkah (i) dan (ii)
sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa
129
setiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau
lebih) bilangan prima.
4. Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa semua kuda
di dalam sebuah himpunan berwarna sama
(i) Jika kuda di dalam himpunan hanya seekor,
jelaslah P(1) benar.
(ii) Andaikan bahwa semua kuda di dalam himpunan n
ekor kuda berwarna sama adalah benar. Tinjau
untuk himpunan dengan n + 1 kuda; nomori kuda-
kuda tersebut dengan 1, 2, 3, …, n, n+1. Tinjau dua
himpunan, yaitu n ekor kuda yang pertama (1, 2,
…n) harus berwarna sama, dan n ekor kuda yang
terakhir (2, 3, …, n, n+1) juga harus berwarna
sama. Karena himpunan n kuda pertama dan
himpunan n kuda terakhir beririsan, maka semua
n+1 kuda harus berwarna sama. Ini membuktikan
bahwa P(n+1) benar.
Penyelesaian: langkah induksi tidak benar jika n +
1 = 2, sebab dua himpunan (yang masing-masing
beranggotakan n = 1 elemen) tidak beririsan.
5. (i) Untuk n = 0, jelas a0 = 1 adalah benar sesuai
definisi a0.
130
(iii) Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 0, 1, 2,
…, n, yaitu a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, …, an = 1. Kita
ingin memperlihatkan bahwa a(n+1) = 1. Untuk
menunjukkan hal ini, maka
an+1 =
=
(dari hipotesis induksi)
= 1
Penyelesaian: Kesalahan terjadi pada langkah
induksi, karena untuk n = 0 kita tidak dapat
menghitung
a0+1 =
sebab nilai a–1 tidak terdapat dalam hipotesis
induksi.
131
SOAL DAN PENYELESAIAN 2
Kombinatorika
1. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata
“HAPUS”?
2. Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi
kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang
mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang
diperoleh dengan urutan berbeda jika :
a. Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
b. Putra dan putri masing-masing mengelompok
sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat
duduk berdampingan?
3. 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu
sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang
terjadi!
4. Berapa koefisien x2y3dalam penjabaran (x + y)5 ?
5. Berapa koefisien dalam z2 y3 z dalam (x + 2y – z)6 ?
132
Penyelesaian 2
1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata
2. a. Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana
perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang
berbeda, P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
cara
b. 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan
pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi
tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah
P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi
tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya
boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara
untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian,
banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-
masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3!
= 720
3. Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
8C2 =
28 jabat tangan
4.
= 10
5. (2)3 (-1)
= (-8) (60) = -480
133
SOAL DAN PENYELESAIAN 3
Fungsi Pembangkit Biasa
1. Tentukan fungsi pembangkit dari xxf
21
1)(
2. Tentukan turunan ke-n disekitar x = 0, dari x1
1)x(f
3. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1, ......
4. Carilah barisan yang dibentuk oleh fungsi pembangkit
f (x) =
5. Berapa banyak solusi dari persamaan: ;
dengan a dan b bilangan
bulat.
134
Penyelesaian 3
1.
∑
∑
2.
3
4
3. Fungsi pembangkit dari barisan adalah
135
4.
Jadi
adalah fungsi pembangkit dari barisan
5. Dengan menggunakan fungsi pembangkit maka
masalah diatas analog dengan mencari koefisien
pangkat 13 dari:
( )
suku yang memuat pangkat 13 adalah: x4y9, x5y8, x6y7,
x7y6.
Jadi banyaknya penyelesaian ada 4.
136
SOAL DAN PENYELESAIAN 4
Relasi Rekursif
1. Suatu virus berkembang biak dalam tubuh seorang
pasien, sebanyak 1 virus masuk ke dalam tubuh dan
di minggu pertama berkembang menjadi 5 virus, di
minggu ke-2 berkembang menjadi 12 virus, dan
untuk minggu seterusnya terus berkembang biak dan
semakin bertambah banyak hingga di minggu ke-3 si
pasien terjangkit 22 virus, di minggu ke-4 menjadi 35
virus, dan di minggu ke-5 menjadi 51 virus. Dari
kasus di atas buatlah relasi rekursifnya.
2. Carilah relasi berulang dengan syarat awal dari
barisan 1, 1, 2, 4, 16, 128, 4096, . . .
3. Buatlah rekursif dari:
a. Pola bilangan segitiga !
b. Kasus segitiga pascal!
4. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi
dengan kondisi batas
5. Pada suatu kotak terdapat 110 permen karet yang
berbentuk bola. Untuk mengambil permen tersebut
harus menggunakan koin. Permen karet tersebut
akan keluar sesuai dengan berapa banyak koin yang
akan kita masukkan. Ada beberapa anak kecil yang
137
mengambil permen karet tersebut, sehingga permen
dalam kotak tersebut habis tidak tersisa. Carilah
relasi rekursifnya dan rumus !
138
Penyelesaian 4
1.
Maka didapat relasi rekursifnya
2. Bentuk rumusan setiap suku dengan menggunakan
suku sebelumnya
1 = 1
1 = 1 x 1
2 = 2 x 1 x 1
4 = 2 x 2 x 1
16 = 2 x 4 x 2
128 = 2 x 16 x 4
4096 = 2 x 128 x 16 x 4
Dengan demikian relasi yang berulang yang diperoleh
adalah an = 2 x an-1 x 2 x an-2 untuk n≥2
Dengan syarat awal a0 = 1 dan a1 = 1
3. a. Kasus pola bilangan segitiga
139
a0 = 1
a1= 3 a0+ 2 an-1 + (n +1)
a2= 6 a1+ 3 an-1 + (n +1)
a3= 10 a2+ 4 an-1 + (n +1) rekursifnya an-1 + (n +1)
a4= 15 a3+ 5 an-1 + (n +1)
a5= 21 a4+ 6 an-1 + (n +1)
b. Kasus segitiga Pascal
1 = 1
1 1 = 2
1 2 1 = 4
1 3 3 1 = 8
1 4 6 4 1 =16
1 5 10 10 5 1 = 32
1 3 6 1 15 2
140
a0 = 1
a1 = 2 2 x a0 2(an-1)
a2 = 4 2 x a12(an-1)
a3 = 8 2 x a22(an-1) rekursifnya 2(an-1)
a4 = 16 2 x a32(an-1)
a5 = 32 2 x a42(an-1)
4. Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi
homogen, karena f(n) = 0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi :
adalah atau
Hingga diperoleh akar-akar karakteristik dan
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda,
maka solusi homogennya berbentuk
Dengan kondisi batas dan , maka :
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga
dan
, sehingga jawab homogen dari relasi
rekurensi adalah
141
Jika akar karakteristik dari persamaan
karakteristik merupakan akar ganda yang berulang
sebanyak m kali, maka bentuk solusi homogen yang
sesuai akar ganda tersebut adalah
Dimana adalah konstanta yang nantinya akan
ditentukan untuk memenuhi kondisi batas yang
ditentukan.
5. Anak pertama memasukkan 2 koin maka akan keluar
2 permen karet
Anak ke dua memasukkan 4 koin maka akan keluar 4
permen karet
Anak ke tiga memasukkan 6 koin maka akan keluar 6
permen karet
Anak ke empat memasukkan 8 koin maka akan keluar
8 permen karet
Anak ke lima memasukkan 10 koin maka akan keluar
10 permen karet
Anak ke enam memasukkan 12 koin maka akan
keluar 12 permen karet
𝐴 𝑛𝑚 𝐴 𝑛
𝑚 𝐴𝑚 𝑛 𝐴𝑚 𝑚 𝐴𝑚
𝑛
142
Anak ke tujuh memasukkan 14 koin maka akan
keluar 14 permen karet
Anak ke delapan memasukkan 16 koin maka akan
keluar 16 permen karet
Anak ke sembilan memasukkan 18 koin maka akan
keluar 18 permen karet
Anak ke sepuluh memasukkan 20 koin maka akan
keluar 20 permen karet
rekursifnya:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Rumus
MATEMATIKA DISKRIT
DAN APLIKASINYA
DALAM MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Buku Ajar ini mengulas tentang Induksi Matematika,
Prinsip Dasar Membilang, Kombinatorik, Fungsi
Pembangkit, Pengantar Dasar Teori Graph dan
Keterkaitan Matematika Diskrit dengan Matematika
Sekolah. Setiap pokok bahasan disertai dengan contoh
pemahaman konsep, penalaran komunikasi dan
kontekstual.
Buku Ajar ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa dalam
memahami mata kuliah Matematika Diskrit secara
kontekstual. Soal latihan yang di sajikan dalam Buku Ajar
ini dikemas sedemikian hingga dapat meningkatkan
kemampuan menyelesaikan soal matematika kontekstual.
Variasi soal dalam Buku Ajar ini juga sangat bermanfaat
bagi dosen pengampu sebagai referensi soal yang
meliputi soal pemahaman konsep, penalaran komunikasi
dan soal matematika kontekstual.