1

FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DAN FUNGSI PEMBANGKIT

EKSPONENSIAL

Anggota kelompok1. Pawit ngafani2. Nikki nurhidayah3. Venny4. Misbahul adnan5. Santi safitri6. Rizki7. mnm

CATATAN : Penjumlahan, pengurangan maupun perkalian dua fungsi pembangkit atau lebih, dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya menjumlah, mengurangkan ataupun mengalikan dua polinomial atau lebih. Dengan demikian,

Jika = dan =

(1.2.1)

Dan

Apabila (), () dan () adalah barisan sedemikian hingga , maka kita katakan () adalah konvolusi dari () dan () , yang ditulis () = ()*().

Contoh 1.2.2 :

Carilah barisan () dengan fungsi pembangkit biasa

=

Penyelesaian:

Misal

Jelas bahwa adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan () = (0,0,0,0,0,1,1,0,0,…). Selanjutnya dari persamaan (1.1.2) dan definisi fungsi pembangkit kita tahu bahwa, adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan () = (1,1,1,…,1,…). Sehingga dari persamaan (1.2.2) diperoleh

Dengan demikian () = (0,0,0,0,0,1,2,2,…,2,…)

Contoh 1.2.3 :

Carilah barisa bilangan real yang memenuhi 1, untuk semua n

Penyelesaian :

Misalkan . Sehingga ,

(karena 1)

. Untuk |x| (dari (1.1.2))

Dengan demikian

(Teorema Binomial)

Jadi, barisan yang dimaksud adalah () . Dimana

FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK KOMBINASI

Misalkan terdapat 3 macam objek: a, b, dan c katakan. Kita diperkenankan memilih: 0, 1, atau 2 obyek a; dan 0 atau 1 obyek b; dan 0 atau 1 obyek c. pertanyaan yang muncul ialah: ada berapa cara memilih k obyek?

9

Untuk menjawab pertanyaan ini, akan diterapkan

fungsi pembangkit. Misalkan menyatakan

banyaknya cara memilih k obyek. Kita coba

menghitung fungsi pembangkit biasa .

Karena obyek a dapat dipilih 0, 1, atau 2 kali.

Dan obyek b dapat dipilih 0 atau 1 kali,

serta obyek c dapat dipilih 0 atau 1 kali, maka ekspresi yang dipakai adalah :

+++][+] (1.3.1)

Perhatikan bahwa, mengindikasikan bahwa obyek a terpilih satu kali, mengindikasikan bahwa obyek a terpilih dua kali, demikian pula mengindikasikan kemungkinan obyek b tidak terpilih, dsb.

Selanjutnya ekspresi (1.3.1) dapat disederhanakan menjadi

Yang sama dengan

Perhatikan lah koefisien dalam (1.3.2) memberikan semua kemungkinan memilih 3 obyek ( dengan syarat yang diperkenankan) yaitu: a, b, dan c. atau a,a, dan b. atau a,a dan c. demikian pula koefisien dari memberikan semua kemungkinan memilih dua obyek. Yaitu a dan b,b dan c, a dan c, atau a dan a. hal yang sama berlaku untuk koefisen-koefisien yang lain

12

# Jadi jika a, b dan c dalam (1.3.2) masing-masing disubtitusi dengan 1 diperoleh ekspresi Maka jelas koefisien dalam ekspresi ini menyatakan banyaknya cara memilih k obyek dengan syarat yang diperkenankan. Misalnya terdapat 4 cara memilih 2 obyek, 3 cara memilih 1 obyek, dan hanya satu cara memilih 4 obyek. Perhatikan bahwa untuk .

Selanjutnya ekspresi

Disebut fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyaknya cara memilih k obyek dari 3 macam obyek, dimana obyek pertama (obyek a) bisa dipilih sebanyak-banyaknya 2, obyek kedua (obyek b) bisa dipilih sebanyak-banyak nya 1, dan obyek ketiga (obyek c) bisa dipilih tidak lebih dari 1.

Secara umum diperoleh

Misalkan diperoleh p type obyek, dan terdapat obyek tipe 1, obyek tipe 2,….. obyek tipe p.misal menyatakan banyaknya cara mengambil k objek dimana dibolehkan mengambil sembarang banyak obyek tiap tipe. Fungsi pembangkit untuk adalah , dimana

… (

Bilangan diberikan oleh koefisien dalam .

Contoh 1.3.1:

Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek dimana pengulangan tidak diperkenankan.

Peyelesaian:

Terdapat n obyek. Karena pengulangan tidak diperkenankan, maka tiap obyek dapat dipilih 0 atau satu kali saja. Sehingga fungsi pembangkit yang diminta adalah

… n faktor

CATATAN: Koefisien dalam yaitu menyatakan banyaknya cara memilih (tanpa pengulangan) r obyek dari n obyek yang ada.

Contoh 1.3.2:

Tentukan banyak nta cara memilih r obyek dari n macam obyek dimana pengulangan diperkenankan.

Penyelesaian:

Misal menyatakan banyak cara memilih r obyek. Karena ada n macam obyek dan tiap obyek dapat dipilih berulang (tanpa batas) maka fungsi pembangkit untuk adalah

n faktor

Karena, untuk | | < 1, = (Lihat 1.1.2)

Maka

=

= (teorema Binominal)

Untuk r > 0 koefisien dalam P(x) adalah

Untuk r = 0 koefisien dari dalam P(x) adalah

Sehingga, untuk r ≥ 0,

Dengan demekian,

Jadi, banyaknya cara memilih r obyek dari n macam obyek berbeda dimana pengulangan deperkenankan, sama dengan koefisien dalam P(x) yaitu :

tr =

Perlu diingat bahwa untuk x≠1 dan n bilangan cacah berlaku identitas berikut

Contoh 1.3.3:

Ada berapa cara mengambil k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata SURABAYA sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu dan setiap vocal terpilih paling banyak 10?

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa kata SURABAYA terdapat enam huruf yang berbeda; yaitu 4 konsonan S,R,B,Y dan dua vocal : U,A. karena setiap konsonan terpilih paling sedikit satu, maka setiap konsonan tersebut berasosiasi dengan sebuah factor dalam fungsi pembangkit. Selanjutnya, karena setiap vocal dapat dipilih sebanyak-banyaknya 10, maka setiap vocal tersebut berasosiasi dengan sebuah factor . Dengan demikian fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah

P(x)

Banyak cara yang dimaksut = koefisien dari dalam P(x) adalah

0, , jika k < 4

, jika 4 ≤ k ≤ 14

, jika 15 ≤ k ≤ 26

, k ≥ 26

Contoh 1.3.4

Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan di dalam 4 sel (kotak yang berbeda sedemikian sehingga

(i) Setiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek? (ii) Setiap sel (kotak) mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak lebih dari 20 obyek?

Penyelesaian:

(i) Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah: P(x)

, (untuk |x| < 1, dari (1.2))

(lihat penyelesaian contoh 1.3.2)

Jadi, banyaknya cara menempatkan 60 obyek yang identik ke dalam 4 kotak yang berbeda sedemikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek = koefisien dalam P(x)

(ii) Karena ada 4 sel berbeda dan setiap sel mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak lebih dari 20 obyek, maka fungsi pembangkit untuk persoalan ini adalah

P(x)

Kita tertarik dengan koefisien dalam P(x). untuk itu kita cari s dan r sedemikian hingga

40 + 11s + r = 60

Penyelesaian bulat tidak negative dari persamaaan ini adalah :

S = 1 dan r = 9; atau s = 0 dan r = 20

Sehingga ,

Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien dalam P(x)

= 1771 – 880 = 891

Contoh 1.3.5

Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100 , xi ≥ 0, i € {1,2,3,4,5}.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa (0,0,0,25,75) adalah salah satu solusi bulat yang dimaksut. Begitupula (0,5,20,5,70). (2,3,7,28,60) adalah solusi-solusi bulat dari persamaan tersebut.

Karena dalam persamaan tersebut terdapat 5 peubah, maka fungsi pembangkit dari permasalahan memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap peubah xi ≥ 0, maka setiap factor dari kelima factor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah . Sehingga fungsi pembangkit dari

permasalahan di atas adalah

P(x)

untuk |x| < 1

Banyaknya solusi bulat yang dimaksut = koefisien dalam P(x)

= 4598126

24

Fungsi pembangkit bisa juga dapat digunakan untuk menentukan banyaknya penyelesaian (solusi) bulat dari suatu persamaan linear dengan beberapa peubahContoh 1.3.5 :Tentukan banyaknnya solusi bulat dari persamaan berikut.

25

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa (0,0,0,25,75) adalah salah satu solusi bulat yang dimaksud. Begitu pula (0,5,20,5,70). (2,3,7,28,60) adalah solusi-solusi bulat dari permasalahan tersebut.

Karena dalam persamaan tersebut terdapat 5 peubah, maka fungsi pembangkit dari permasalahan memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap peubah , maka setiap faktor dari kelima faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah (. Sehingga fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah (. = . untuk =

26

Banyaknya solusi bulat yang dimaksud

= koefisien dalam

=

= .

27

14. FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK PERMUTASI

Fungsi pembangkit biasa memberikan pendekatan yang mudah dan sistematis untuk memecahkan masalah-masalah umum yang melibatka “pengambilan” atau pendistribusian obyek-obyek yang identik ke dalam sel-sel yang berbeda. Pada bagian ini kita akan menerapkan teknik serupa untuk memecahkan masalah-masalah umum yang melibatkan “penjajaran” (arragement) atau pendistribusian obyek-obyek yang berbeda ke dalam sel-sel yang berbeda. Untuk maksud ini, proporsisi berikut penting.

28

Proporsisi 1.4.1 Jika terdapat obyek tipe satu, obyek tipe dua,....... dan objek tipe . Maka banyaknya cara “menjajar” obyek-obyek ini adalah

29

Bukti :Jika semua obyek berbeda, maka akan terdapat Jajaran. Tapi obyek-obyek kita tidak semuanya berbeda, sehingga bilangan ini terlalu besar. Pikirkan sebuah jajaran dari obyek yang berbeda. Jika kita ganti obyek tipe yang berbeda dengan obyek yang identik, maka . Formal kerana 1 ≤. Kita harus membagi bilangan total penjajaran dengan .Misalnya banyaknya cara “menjajar” (banyaknya permutasi) dari unsur-unsur {a,a,a,b,b} adalah = 10, yaitu : aaabb,aabab, abaab,baaab,baaba, babaa,bbaaa,aabba, abbaa, ababa.

30

Selanjutnya, mari kita tinjau permasalahan berikut:

Sebuah sandi dibentuk dari tiga huruf yang berbeda a,b, dan c. Barisan yang terdiri dari lima atau kurang huruf-huruf membentuk sebuah “kata sandi”. Kata sandi yang akan dibentuk terdiri dari paling banyak satu b, paling banyak satu c, dan sampai tiga a. Ada berapa kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk?

31

Yang dimaksud dengan panjang suatu kata sandi adalah banyaknya huruf dalam kata sandi tersebut. Perhatikan bahwa “urutan” huruf-huruf dalam kata sandi diperhatikan. Sehingga kita lebih tertarik dengan perhitungan permutasi daripada kombinasi. Walau begitu, kita mulai dengan perhitungan kombinasi, banyaknya cara untuk mendapatkan huruf bila diperkenankan mengambil paling banyak satu b, paling banyak satu c, dan paling banyak tiga a. Untuk itu, fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyak cara memilih unsur huruf (dengan syarat yang ditentukan) adalah :

32

Yang sama dengan (1.4.1)Koefisien dalam (1.4.1) menginformasikan semua cara yang mungkin untuk mendapatkan huruf. Misalnya 4 huruf dapat diperoleh sbb:a,a,b dan c ;a,a,a dan b ;atau a,a,a dan c.

33

Menurut proposisi 1.4.1, bila kita pilih a,a, b dan c. Maka akan terdapat permutasi yang bersesuaian yaitu :aabc, aacb, abac, abca,acab,acba,baaa, baac,baca, cbaa, caab, caba.Bili kita pilih a, a, a dan b ; maka terdapat permutasi yang bersesuaian yaitu :aaab, aaba, abaa, dan baaaDan untuk a, a, a, dan c ; ada permutasi yang bersesuaian yaitu :aaac, aaca, acaa, caaa

34

Dengan demikian, banyak cara untuk mendapatkan kata sandi dengan panjang 4 diberikan oleh (1.4.2)Untuk a = b = c =1, (1.4.2) memberikan perhitungan yang tepat untuk menentukan banyak kata sandi dengan panjang 4.

35

Sebenarnya untuk mendapatkan (1.4.2) dan koefisien-koefisien yang lain, kita bisa menggunakan Sebagai ganti dari untuk memperoleh fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyaknya kata sandi dengan panjang yang dapat dibentuk.

Dengan demikian fungsi pembangkit kita menjadi

Yang sama dengan (1.4.3)

36

Ternyata skematik ini belum merupakan skematik yang memuaskan, karena koefisien dalam (1.4.3) belum identik dengan (1.4.2).Akan teteapi skematik jalan, bila kita pikir ini sebagai fungsi pembangkit eksponensial dengan memperhatikan koefisien dari . Perhatikan behawa ekspresi (1.4.3) sama dengan (1.4.4)

37

Terlihat bahwa (1.4.2) sama dengan koefisien Dalam (1.4.4). Substitusikan a, b, c dengan 1 dalam (1.4.4), diperoleh fungsi pembangkit dari permasalahan di atas sbb: = Koefisien Dalam , menyetakan banyaknya kata sandi (permutasi) dengan panjang yang dapat dibentuk dengan aturan yang telah ditetapkan. Misal, terdapat kata sandi dengan panjang 4; dan kata sandi dengan panjang 3.

38

Preposisi 1.4.2

Banyaknya permutasi dengan panjang k dengan paling banyak n obyek tipe i = koefisien dalam FPE berikut.

P…..()

39

Preposisi 1.4.3

(i) (ii) (iii)

40

Barisan kuarternair 0, 1, 2, 3.contoh: 120032, barisan kuarternair 7-angka

Barisan binair 0, 1Contoh: 101001, barisan binair 6-angka

Contoh 1.4.1a) Berapa banyak barisan kuarternair r-angka

yang mememuat paling sedikit: satu 1, satu 2, dan satu 3?

b) Ada berapa barisan biner r-angka yang memuat 0 sebanyak bilangan genap dan 1 sebanyak genap pula?

Definisi

41

Penyelesaian:a) P

= = (= =

Banyaknya barisan yang dimaksud= koefisien dari dalam p(x)= =

42

b) P= = = ½ = ½ ( ½ = +….

Banyaknya barisan yang dimaksud= koefisien dari dalam p(x)=

0, bila r ganjil1, bila r = 0

43

FPE dapat digunakan untuk memecahkan masalah pendistribusian obyek-obyek

yang berbeda ke daam sel

Contoh 1.4.2

1) Tentukan banyaknya cara mendistribusikan x macam obyek yang berbeda ke dala n sel yang berbeda jika setiap sel mendapat paling sedikit satu obyek.

2) Tentukan banyaknya cara mendistribusikan x macam obyek yang berbeda ke dala n sel yang identik jika setiap sel mendapat paling sedikit satu obyek.

44

Penyelesaian:1) P=

=

Untuk 0koefisien dalam adalah Maka koefisien dari dalam p(x) ialah

Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah

45

b) Karena n sel identik, maka jawaban (a) harus di bagi n

jadi, banyaknya cara ialah:

46

DAN KINI SAATNYA KALIAN MERAIH MIMPI-MIMPI KALIAN

&SYUKRON TO ALL”

47