Matematika diskrit From Wikipedia, the free encyclopedia Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas Jump to: navigation , search Langsung ke: navigasi , cari For the mathematics journal, see Discrete Mathematics (journal) . Untuk jurnal matematika, lihat Matematika Diskrit (jurnal) .

Graphs like this are among the objects studied by discrete mathematics, for their interesting mathematical properties , their usefulness as models of real-world problems, and their importance in developing computer algorithms . Grafik seperti ini antara objek-objek yang dipelajari oleh matematika diskrit, untuk menarik mereka sifat matematika , kegunaan mereka sebagai model dunia nyata masalah, dan pentingnya mereka di komputer mengembangkan algoritma .

Discrete mathematics is the study of mathematical structures that are fundamentally discrete rather than continuous . Matematika diskrit adalah studi tentang matematika struktur yang fundamental diskrit bukan kontinu . In contrast to real numbers that have the property of varying "smoothly", the objects studied in discrete mathematics – such as integers , graphs , and statements in logic [ 1 ] – do not vary smoothly in this way, but have distinct, separated values. [ 2 ] Discrete mathematics therefore excludes topics in "continuous mathematics" such as calculus and analysis . Berbeda dengan bilangan real yang memiliki properti dari berbagai "lancar", obyek belajar dalam matematika diskrit - seperti bilangan bulat , grafik , dan pernyataan dalam logika [1]

- tidak bervariasi lancar dengan cara ini, tetapi berbeda, nilai-nilai dipisahkan . [2] Oleh karena itu matematika Diskrit mengecualikan topik dalam "matematika terus menerus" seperti kalkulus dan analisis . Discrete objects can often be enumerated by integers. Objek diskrit sering dapat dihitung oleh bilangan bulat. More formally, discrete mathematics has been characterized as the branch of mathematics dealing with countable sets [ 3 ] (sets that have the same cardinality as subsets of the natural numbers, including rational numbers but not real numbers). Lebih formal, matematika diskrit telah ditandai sebagai cabang matematika yang berhubungan dengan set dihitung [3] (set yang memiliki kardinalitas yang sama sebagai subset dari alam nomor, termasuk nomor rasional, tetapi angka tidak nyata). However, there is no exact, universally agreed, definition of the term "discrete mathematics." [ 4 ] Indeed, discrete mathematics is described less by what is included than by what is excluded: continuously varying quantities and related notions. Namun, tidak ada, pasti universal disepakati, definisi istilah "matematika diskrit." [4] Memang, matematika diskrit digambarkan kurang dengan apa yang disertakan dibandingkan oleh apa yang dikecualikan: jumlah terus menerus bervariasi dan gagasan yang terkait.

The set of objects studied in discrete mathematics can be finite or infinite. Set objek dipelajari dalam matematika diskrit dapat terbatas atau tak terbatas. The term finite mathematics is sometimes applied to parts of the field of discrete mathematics that deals with finite sets, particularly those areas relevant to business. Istilah matematika yang terbatas kadang-kadang diterapkan pada bagian dari bidang matematika diskrit yang berhubungan dengan set yang terbatas, khususnya bidang yang relevan dengan bisnis.

Research in discrete mathematics increased in the latter half of the twentieth century partly due to the development of digital computers which operate in discrete steps and store data in discrete bits. Penelitian dalam matematika diskrit meningkat pada paruh kedua abad kedua puluh sebagian karena perkembangan komputer digital yang beroperasi dalam langkah-langkah diskrit dan menyimpan data dalam bit diskrit. Concepts and notations from discrete mathematics are useful in studying and describing objects and problems in branches of computer science, such as computer algorithms, programming languages , cryptography , automated theorem proving , and software development . Konsep dan notasi dari matematika diskrit yang berguna dalam mempelajari dan menggambarkan benda-benda dan masalah dalam cabang ilmu komputer, seperti algoritma komputer, bahasa pemrograman , kriptografi , otomatis membuktikan teorema , dan pengembangan perangkat lunak . Conversely, computer implementations are significant in applying ideas from discrete mathematics to real-world problems, such as in operations research . Sebaliknya, implementasi komputer signifikan dalam menerapkan ide-ide dari matematika diskrit untuk masalah dunia nyata, seperti dalam riset operasi .

Although the main objects of study in discrete mathematics are discrete objects, analytic methods from continuous mathematics are often employed as well. Meskipun objek utama dari penelitian dalam matematika diskrit adalah objek diskrit, metode analitik dari matematika kontinu sering digunakan juga.

Contents Isi

[hide]

1 Grand challenges, past and present 1 tantangan Grand, dulu dan sekarang 2 Topics in discrete mathematics 2 Topik dalam matematika diskrit

o 2.1 Theoretical computer science 2,1 ilmu komputer Teoritis o 2.2 Information theory 2.2 Teori informasi o 2.3 Logic 2.3 Logika o 2.4 Set theory 2.4 Mengatur teori o 2.5 Combinatorics 2,5 Kombinatorik o 2.6 Graph theory Grafik 2.6 Teori o 2.7 Probability 2,7 Probabilitas o 2.8 Number theory 2,8 Nomor teori o 2.9 Algebra 2.9 Aljabar o 2.10 Calculus of finite differences, discrete calculus or discrete analysis 2.10

Kalkulus terbatas dari perbedaan, kalkulus atau analisis diskrit diskrit o 2.11 Geometry 2.11 Geometri

o 2.12 Topology Topologi 2.12 o 2.13 Operations research 2.13 Operasi penelitian o 2.14 Game theory, decision theory, utility theory, social choice theory 2.14

Permainan teori, teori keputusan, teori utilitas, teori pilihan sosial o 2.15 Discretization 2,15 discretization o 2.16 Discrete analogues of continuous mathematics 2.16 Diskrit analog

matematika terus menerus o 2.17 Hybrid discrete and continuous mathematics 2,17 matematika diskrit dan

kontinu Hybrid 3 See also 3 Lihat juga 4 References 4 Referensi 5 Further reading 5 Bacaan lebih lanjut

Grand challenges, past and present Tantangan besar, dulu dan sekarang

Much research in graph theory was motivated by attempts to prove that all maps, like this one, could be colored with only four colors . Kenneth Appel and Wolfgang Haken finally proved this in 1976. [ 5 ] Banyak penelitian dalam teori grafik didorong oleh upaya untuk membuktikan bahwa semua peta, seperti yang satu ini, bisa diwarnai dengan hanya empat warna . Kenneth Appel dan Wolfgang Haken akhirnya membuktikan hal ini pada tahun 1976. [5]

The history of discrete mathematics has involved a number of challenging problems which have focused attention within areas of the field. Sejarah matematika diskrit telah melibatkan sejumlah masalah yang menantang yang memiliki fokus perhatian dalam bidang lapangan. In graph theory, much research was motivated by attempts to prove the four color theorem , first stated in 1852, but not proved till 1976 (by Kenneth Appel and Wolfgang Haken, using substantial computer assistance). [ 5 ] Dalam teori grafik, banyak penelitian didorong oleh upaya untuk membuktikan Teorema empat warna , pertama menyatakan pada tahun 1852, tetapi tidak terbukti

sampai 1976 (oleh Kenneth Appel dan Wolfgang Haken, menggunakan bantuan komputer substansial). [5]

In logic , the second problem on David Hilbert 's list of open problems presented in 1900 was to prove that the axioms of arithmetic are consistent . Gödel's second incompleteness theorem , proved in 1931, showed that this was not possible – at least not within arithmetic itself. Hilbert's tenth problem was to determine whether a given polynomial Diophantine equation with integer coefficients has an integer solution. Dalam logika , ini masalah kedua pada David Hilbert daftar 's terbuka masalah yang disajikan pada tahun 1900 adalah untuk membuktikan bahwa aksioma dari aritmatika yang konsisten . kedua ketidaklengkapan Gödel 's Teorema , terbukti pada tahun 1931, menunjukkan bahwa ini tidak mungkin - setidaknya tidak dalam aritmatika sendiri. masalah Hilbert 's kesepuluh adalah untuk menentukan apakah suatu polinomial yang diberikan Diophantine persamaan dengan koefisien bulat memiliki solusi bilangan bulat. In 1970, Yuri Matiyasevich proved that this could not be done . Pada tahun 1970, Yuri Matiyasevich membuktikan bahwa ini tidak bisa dilakukan .

The need to break German codes in World War II led to advances in cryptography and theoretical computer science , with the first programmable digital electronic computer being developed at England's Bletchley Park . Kebutuhan untuk memecahkan kode Jerman dalam Perang Dunia II menyebabkan kemajuan dalam kriptografi dan ilmu komputer teoritis , dengan komputer elektronik pertama diprogram digital yang sedang dikembangkan di Inggris Bletchley Park . At the same time, military requirements motivated advances in operations research . Pada saat yang sama, kebutuhan militer termotivasi kemajuan dalam riset operasi . The Cold War meant that cryptography remained important, with fundamental advances such as public-key cryptography being developed in the following decades. Para Perang Dingin berarti bahwa kriptografi tetap penting, dengan kemajuan fundamental seperti kriptografi kunci publik yang dikembangkan di dekade berikutnya. Operations research remained important as a tool in business and project management, with the critical path method being developed in the 1950s. Riset operasi tetap penting sebagai alat dalam manajemen bisnis dan proyek, dengan metode jalur kritis sedang dikembangkan pada tahun 1950. The telecommunication industry has also motivated advances in discrete mathematics, particularly in graph theory and information theory . Formal verification of statements in logic has been necessary for software development of safety-critical systems , and advances in automated theorem proving have been driven by this need. Para telekomunikasi industri telah juga termotivasi kemajuan dalam matematika diskrit, khususnya dalam teori graf dan teori informasi . verifikasi formal laporan dalam logika telah diperlukan untuk pengembangan perangkat lunak dari sistem keamanan-kritis , dan kemajuan dalam membuktikan teorema otomatis telah didorong oleh kebutuhan ini.

Computational geometry has been an important part of the computer graphics incorporated into modern video games and computer-aided design tools. Geometri komputasi telah menjadi bagian penting dari komputer grafis dimasukkan ke modern video game dan komputer-aided desain alat.

Several fields of discrete mathematics, particularly theoretical computer science, graph theory, and combinatorics , are important in addressing the challenging bioinformatics problems associated with understanding the tree of life . [ 6 ] Beberapa bidang matematika diskrit, khususnya ilmu komputer teoritis, teori graph, dan kombinatorik , adalah penting dalam

mengatasi tantangan bioinformatika masalah yang terkait dengan pemahaman pohon kehidupan . [6]

Currently, one of the most famous open problems in theoretical computer science is the P = NP problem , which involves the relationship between the complexity classes P and NP . Saat ini, salah satu masalah terbuka yang paling terkenal dalam ilmu komputer teoritis adalah P = NP masalah , yang melibatkan hubungan antara kompleksitas kelas P dan NP . The Clay Mathematics Institute has offered a $1 million US prize for the first correct proof, along with prizes for six other mathematical problems . [ 7 ] Para Tanah Liat Matematika Institut telah menawarkan $ 1 juta US hadiah untuk bukti pertama benar, bersama dengan hadiah untuk enam masalah matematika lainnya . [7]

Topics in discrete mathematics Topik dalam matematika diskrit

Theoretical computer science Teoritis ilmu komputer

Main article: Theoretical computer science Artikel utama: ilmu komputer Teoritis

Complexity studies the time taken by algorithms , such as this sorting routine . Kompleksitas studi waktu yang diambil oleh algoritma , seperti ini rutin sortasi .

Theoretical computer science includes areas of discrete mathematics relevant to computing. Ilmu komputer teoritis mencakup bidang matematika diskrit yang relevan untuk komputasi. It draws heavily on graph theory and logic . Ini sangat menarik pada teori graph dan logika . Included within theoretical computer science is the study of algorithms for computing mathematical results. Computability studies what can be computed in principle, and has close ties to logic, while complexity studies the time taken by computations. Automata theory and formal language theory are closely related to computability. Petri nets and process algebras are used to model computer systems, and methods from discrete mathematics are used in analyzing VLSI electronic circuits. Computational geometry applies algorithms to geometrical problems, while computer image analysis applies them to representations of images. Termasuk dalam ilmu komputer teoritis adalah studi tentang algoritma untuk komputasi hasil matematika. komputabilitas studi apa yang dapat dihitung pada prinsipnya, dan memiliki hubungan dekat dengan logika, sedangkan penelitian kompleksitas waktu yang diambil oleh perhitungan. Automata teori dan bahasa formal Teori berhubungan erat dengan komputabilitas. Petri jaring dan algebras proses yang digunakan untuk sistem komputer model, dan metode dari matematika

diskrit yang digunakan dalam menganalisis VLSI sirkuit elektronik. geometri Komputasi algoritma untuk masalah berlaku geometris, sementara analisis citra komputer berlaku mereka untuk representasi gambar. Theoretical computer science also includes the study of various continuous computational topics. Ilmu komputer teoritis juga mencakup studi tentang berbagai topik komputasi terus menerus.

Information theory Teori informasi

Main article: Information theory Artikel utama: Teori Informasi

The ASCII codes for the word "Wikipedia", given here in binary , provide a way of representing the word in information theory , as well as for information-processing algorithms . Para ASCII kode untuk kata "Wikipedia", yang diberikan di sini dalam biner , menyediakan cara untuk mewakili kata dalam teori informasi , serta untuk pemrosesan informasi algoritma .

Information theory involves the quantification of information . Teori informasi melibatkan kuantifikasi informasi . Closely related is coding theory which is used to design efficient and reliable data transmission and storage methods. Erat terkait adalah teori pengkodean yang digunakan untuk merancang transmisi yang efisien dan dapat diandalkan data dan metode penyimpanan. Information theory also includes continuous topics such as: analog signals , analog coding , analog encryption . Teori informasi juga mencakup topik-topik terus menerus seperti: sinyal analog , coding analog , enkripsi analog .

Logic Logika

Main article: Mathematical logic Artikel utama: Logika Matematika

Logic is the study of the principles of valid reasoning and inference , as well as of consistency , soundness , and completeness . Logika adalah studi tentang prinsip-prinsip penalaran yang valid dan inferensi , serta dari konsistensi , kesehatan , dan kelengkapan . For example, in most systems of logic (but not in intuitionistic logic ) Peirce's law ((( P → Q )→ P )→ P ) is a theorem. Sebagai contoh, dalam kebanyakan sistem logika (tetapi tidak dalam logika intuitionistic ) hukum Peirce (((P → Q) → P) → P) adalah sebuah teorema. For classical logic, it can be easily verified with a truth table . Untuk logika klasik, dapat dengan mudah diverifikasi dengan tabel kebenaran . The study of mathematical proof is particularly important in logic, and has applications to automated theorem proving and formal verification of software. Studi tentang

bukti matematika sangat penting dalam logika, dan memiliki aplikasi untuk membuktikan teorema otomatis dan verifikasi formal dari perangkat lunak.

Logical formulas are discrete structures, as are proofs , which form finite trees [ 8 ] or, more generally, directed acyclic graph structures [ 9 ] [ 10 ] (with each inference step combining one or more premise branches to give a single conclusion). Formula logis adalah struktur diskrit, seperti bukti , yang membentuk hingga pohon [8] atau, lebih umum, diarahkan grafik asiklik struktur [9] [10] (dengan setiap langkah inferensi menggabungkan satu atau lebih premis cabang untuk memberikan kesimpulan tunggal). The truth values of logical formulas usually form a finite set, generally restricted to two values: true and false , but logic can also be continuous-valued, eg, fuzzy logic . Para nilai kebenaran logis formula biasanya membentuk suatu himpunan terbatas, umumnya dibatasi untuk dua nilai: true dan false, tapi logika juga dapat terus-nilai, misalnya, logika fuzzy . Concepts such as infinite proof trees or infinite derivation trees have also been studied, [ 11 ] eg infinitary logic . Konsep-konsep seperti pohon bukti terbatas atau pohon derivasi terbatas juga telah dipelajari, [11] misalnya logika infinitary .

Set theory Teori himpunan

Main article: Set theory Artikel utama: Teori Set

Set theory is the branch of mathematics that studies sets , which are collections of objects, such as {blue, white, red} or the (infinite) set of all prime numbers . Partially ordered sets and sets with other relations have applications in several areas. Menetapkan teori adalah cabang dari matematika yang mempelajari set , yaitu kumpulan objek, seperti {biru, putih, merah} atau set (tak terbatas) dari semua bilangan prima . set Sebagian memerintahkan dan menetapkan dengan lainnya hubungan memiliki aplikasi di beberapa daerah .

In discrete mathematics, countable sets (including finite sets ) are the main focus. Dalam matematika diskrit, set dihitung (termasuk set terbatas ) adalah fokus utama. The beginning of set theory as a branch of mathematics is usually marked by Georg Cantor 's work distinguishing between different kinds of infinite set , motivated by the study of trigonometric series, and further development of the theory of infinite sets is outside the scope of discrete mathematics. Awal teori himpunan sebagai cabang dari matematika biasanya ditandai oleh Georg Cantor bekerja 's membedakan antara berbagai jenis himpunan takterhingga , termotivasi oleh studi dari seri trigonometri, dan pengembangan lebih lanjut dari teori terbatas set berada di luar lingkup diskrit matematika. Indeed, contemporary work in descriptive set theory makes extensive use of traditional continuous mathematics. Memang, karya kontemporer dalam menetapkan teori deskriptif ekstensif menggunakan matematika terus menerus tradisional.

Combinatorics Combinatorics

Main article: Combinatorics Artikel utama: Kombinatorik

Combinatorics studies the way in which discrete structures can be combined or arranged. Enumerative combinatorics concentrates on counting the number of certain combinatorial objects - eg the twelvefold way provides a unified framework for counting permutations , combinations

and partitions . Analytic combinatorics concerns the enumeration (ie, determining the number) of combinatorial structures using tools from complex analysis and probability theory . Combinatorics mempelajari cara di mana struktur diskrit dapat dikombinasikan atau diatur. kombinatorik enumerative berkonsentrasi pada menghitung jumlah objek kombinatorial tertentu - misalnya cara duabelas menyediakan kerangka kerja terpadu untuk menghitung permutasi , kombinasi dan partisi . kombinatorik Analytic kekhawatiran pencacahan (yaitu, menentukan jumlah) dari struktur kombinatorial menggunakan alat dari analisis kompleks dan teori probabilitas . In contrast with enumerative combinatorics which uses explicit combinatorial formulae and generating functions to describe the results, analytic combinatorics aims at obtaining asymptotic formulae . Berbeda dengan kombinatorik enumerative yang menggunakan rumus kombinatorial eksplisit dan fungsi menghasilkan untuk menggambarkan hasil, kombinatorik analitik bertujuan memperoleh formula asimtotik . Design theory is a study of combinatorial designs , which are collections of subsets with certain intersection properties. Partition theory studies various enumeration and asymptotic problems related to integer partitions , and is closely related to q-series , special functions and orthogonal polynomials . Teori desain adalah studi tentang desain kombinatorial , yaitu kumpulan himpunan bagian dengan tertentu persimpangan sifat. Teori Partisi berbagai studi pencacahan dan masalah asimtotik yang berkaitan dengan partisi bilangan bulat , dan erat terkait dengan q-series , fungsi khusus dan polinomial ortogonal . Originally a part of number theory and analysis , partition theory is now considered a part of combinatorics or an independent field. Order theory is the study of partially ordered sets , both finite and infinite. Mulanya merupakan bagian dari teori bilangan dan analisis , teori partisi sekarang dianggap sebagai bagian dari kombinatorik atau bidang independen. teori Orde adalah studi tentang kumpulan parsial yang memerintahkan , baik terbatas dan tidak terbatas.

Graph theory Teori Grafik

Main article: Graph theory Artikel utama: Teori Grafik

Graph theory has close links to group theory . Teori grafik memiliki hubungan dekat dengan teori grup . This truncated tetrahedron graph is related to the alternating group A 4 . Ini tetrahedron dipotong grafik adalah terkait dengan kelompok bolak A 4.

Graph theory, the study of graphs and networks , is often considered part of combinatorics, but has grown large enough and distinct enough, with its own kind of problems, to be regarded as a subject in its own right. [ 12 ] Graphs are one of the prime objects of study in Discrete Mathematics. Grafik teori, studi tentang grafik dan jaringan , sering dianggap sebagai bagian dari kombinatorik, tetapi telah berkembang cukup cukup besar dan berbeda, dengan jenis sendiri

masalah, dianggap sebagai subjek dalam dirinya sendiri. [12] Grafik adalah salah satu objek utama dari studi di Matematika Diskrit. They are among the most ubiquitous models of both natural and human-made structures. Mereka adalah salah satu model yang paling mana-mana dari kedua struktur alam dan buatan manusia. They can model many types of relations and process dynamics in physical, biological and social systems. Mereka dapat model berbagai jenis hubungan dan dinamika proses secara fisik, sistem biologis dan sosial. In computer science, they represent networks of communication, data organization, computational devices, the flow of computation, etc. In Mathematics, they are useful in Geometry and certain parts of Topology, eg Knot Theory . Algebraic graph theory has close links with group theory. Dalam ilmu komputer, mereka mewakili jaringan komunikasi, organisasi data, perangkat komputasi, perhitungan aliran, dll Dalam Matematika, mereka berguna dalam Geometri dan bagian-bagian tertentu dari Topologi, misalnya Teori Knot . teori grafik aljabar memiliki hubungan dekat dengan teori kelompok . There are also continuous graphs , however for the most part research in graph theory falls within the domain of discrete mathematics. Ada juga grafik terus menerus , namun untuk penelitian yang paling bagian dalam teori grafik jatuh dalam domain matematika diskrit.

Probability Kemungkinan

Main article: Discrete probability theory Artikel utama: teori probabilitas Diskrit

Discrete probability theory deals with events that occur in countable sample spaces . Teori probabilitas diskrit kesepakatan dengan peristiwa-peristiwa yang terjadi pada dihitung ruang sampel . For example, count observations such as the numbers of birds in flocks comprise only natural number values {0, 1, 2, ...}. Sebagai contoh, jumlah pengamatan seperti jumlah burung dalam kelompok terdiri dari jumlah nilai wajar {0, 1, 2, ...}. On the other hand, continuous observations such as the weights of birds comprise real number values and would typically be modeled by a continuous probability distribution such as the normal . Di sisi lain, pengamatan terus menerus seperti bobot burung terdiri dari nilai-nilai bilangan real dan biasanya akan dimodelkan dengan distribusi probabilitas kontinu seperti biasa . Discrete probability distributions can be used to approximate continuous ones and vice versa. Distribusi probabilitas diskrit dapat digunakan untuk perkiraan yang terus menerus dan sebaliknya. For highly constrained situations such as throwing dice or experiments with decks of cards , calculating the probability of events is basically enumerative combinatorics . Untuk situasi yang sangat dibatasi seperti melemparkan dadu atau percobaan dengan deck kartu , menghitung probabilitas kejadian pada dasarnya enumerative kombinatorik .

Number theory Nomor teori

The Ulam spiral of numbers, with black pixels showing prime numbers . Para Ulam spiral angka, dengan piksel hitam menunjukkan bilangan prima . This diagram hints at patterns in the distribution of prime numbers. Diagram ini mengisyaratkan pola dalam distribusi nomor perdana. Main article: Number theory Artikel utama: Teori Nomor

Number theory is concerned with the properties of numbers in general, particularly integers . Nomor teori berkaitan dengan sifat angka pada umumnya, khususnya bilangan bulat . It has applications to cryptography , cryptanalysis , and cryptology , particularly with regard to modular arithmetic , diophantine equations , linear and quadratic congruences, prime numbers and primality testing . Ini memiliki aplikasi untuk kriptografi , kriptanalisis , dan kriptologi , khususnya berkaitan dengan aritmatika modular , persamaan Diophantine , congruences linear dan kuadrat, bilangan prima dan pengujian primality . Other discrete aspects of number theory include geometry of numbers . Diskrit aspek lain dari nomor teori termasuk geometri angka . In analytic number theory , techniques from continuous mathematics are also used. Dalam teori bilangan analitik , teknik dari matematika terus menerus juga digunakan. Topics that go beyond discrete objects include transcendental numbers , diophantine approximation , p-adic analysis and function fields . Topik yang melampaui objek diskrit termasuk nomor transendental , pendekatan Diophantine , p-adic analisis dan bidang fungsi .

Algebra Aljabar

Main article: Abstract algebra Artikel utama: aljabar Abstrak

Algebraic structures occur as both discrete examples and continuous examples. Struktur aljabar terjadi sebagai contoh baik dan contoh diskrit kontinyu. Discrete algebras include: boolean algebra used in logic gates and programming; relational algebra used in databases ; discrete and finite versions of groups , rings and fields are important in algebraic coding theory ; discrete semigroups and monoids appear in the theory of formal languages . Algebras Diskrit meliputi: aljabar boolean digunakan dalam gerbang logika dan pemrograman; aljabar relasional digunakan dalam database , versi diskrit dan terbatas kelompok , cincin dan bidang yang penting dalam teori pengkodean aljabar ; diskrit semigroups dan monoids muncul dalam teori bahasa formal .

Calculus of finite differences, discrete calculus or discrete analysis Kalkulus terbatas dari perbedaan, kalkulus atau analisis diskrit diskrit

Main article: finite difference Artikel utama: beda hingga

A function defined on an interval of the integers is usually called a sequence . Sebuah fungsi yang didefinisikan pada sebuah interval dari integer biasanya disebut urutan . A sequence could be a finite sequence from some data source or an infinite sequence from a discrete dynamical system . Urutan A bisa urutan terbatas dari beberapa sumber data atau suatu urutan yang tak terbatas dari suatu sistem dinamik diskrit . Such a discrete function could be defined explicitly by a list (if its domain is finite), or by a formula for its general term, or it could be given implicitly by a recurrence relation or difference equation . Seperti fungsi diskrit dapat didefinisikan secara eksplisit dengan daftar (jika domainnya terbatas), atau dengan formula untuk istilah umum, atau dapat diberikan secara implisit oleh relasi rekurensi atau persamaan selisih . Difference equations are similar to a differential equations , but replace differentiation by taking the difference between adjacent terms; they can be used to approximate differential equations or (more often) studied in their own right. Perbedaan persamaan yang mirip dengan persamaan diferensial , tapi ganti diferensiasi dengan mengambil perbedaan antara istilah yang berdekatan, mereka dapat digunakan untuk persamaan diferensial perkiraan atau (lebih sering) belajar di kanan mereka sendiri. Many questions and methods concerning differential equations have counterparts for difference equations. Banyak pertanyaan dan metode tentang persamaan diferensial memiliki rekan-rekan untuk persamaan perbedaan. For instance where there are integral transforms in harmonic analysis for studying continuous functions or analog signals, there are discrete transforms for discrete functions or digital signals. Misalnya mana ada mengubah terpisahkan dalam analisis harmonik untuk mempelajari fungsi-fungsi kontinyu atau sinyal analog, ada transformasi diskrit untuk fungsi diskrit atau sinyal digital. As well as the discrete metric there are more general discrete or finite metric spaces and finite topological spaces . Seperti halnya metrik diskrit ada lebih umum diskrit atau terbatas ruang metrik dan ruang topologi yang terbatas .

Geometry Geometri

Computational geometry applies computer algorithms to representations of geometrical objects. Geometri komputasi berlaku komputer algoritma untuk representasi geometris objek. Main articles: discrete geometry and computational geometry Artikel utama: geometri diskrit dan geometri komputasi

Discrete geometry and combinatorial geometry are about combinatorial properties of discrete collections of geometrical objects. Geometri diskrit dan geometri kombinatorial adalah tentang sifat kombinatorial dari koleksi objek diskrit geometris. A long-standing topic in discrete geometry is tiling of the plane . Sebuah topik lama dalam geometri diskrit ubin dari pesawat . Computational geometry applies algorithms to geometrical problems. Geometri komputasi algoritma untuk masalah berlaku geometris.

Topology Topologi

Although topology is the field of mathematics that formalizes and generalizes the intuitive notion of "continuous deformation" of objects, it gives rise to many discrete topics; this can be attributed in part to the focus on topological invariants , which themselves usually take discrete values. Meskipun topologi adalah bidang matematika yang meresmikan dan generalizes gagasan intuitif "deformasi terus menerus" dari benda-benda, hal itu menimbulkan banyak topik diskrit, hal ini dapat dikaitkan sebagian fokus pada invarian topologi , yang sendiri biasanya mengambil nilai-nilai diskrit. See combinatorial topology , topological graph theory , topological combinatorics , computational topology , discrete topological space , finite topological space , topology (chemistry) . Lihat kombinatorial topologi , teori graf topologi , topologi kombinatorik , komputasi topologi , ruang topologi diskrit , ruang topologi yang terbatas , topologi (kimia) .

Operations research Riset operasi

Main article: Operations research Artikel utama: Operasi penelitian

PERT charts like this provide a business management technique based on graph theory . PERT grafik seperti ini memberikan teknik manajemen bisnis berdasarkan teori graph .

Operations research provides techniques for solving practical problems in business and other fields — problems such as allocating resources to maximize profit, or scheduling project activities to minimize risk. Riset operasi menyediakan teknik untuk memecahkan masalah praktis dalam bisnis dan bidang lain - masalah seperti mengalokasikan sumber daya untuk memaksimalkan keuntungan, atau penjadwalan kegiatan proyek untuk meminimalkan risiko. Operations research techniques include linear programming and other areas of optimization , queuing theory , scheduling theory , network theory . Operasi teknik penelitian meliputi pemrograman linier dan area lain dari optimasi , teori antrian , teori penjadwalan , teori jaringan . Operations research also includes continuous topics such as continuous-time Markov process , continuous-time martingales , process optimization , and continuous and hybrid control theory . Riset operasi juga mencakup topik seperti kontinyu kontinyu-waktu proses Markov , terus-waktu martingales , optimasi proses , dan berkesinambungan dan hibrida teori kontrol .

Game theory, decision theory, utility theory, social choice theory Teori permainan, teori keputusan, teori utilitas, teori pilihan sosial

Decision theory is concerned with identifying the values, uncertainties and other issues relevant in a given decision, its rationality, and the resulting optimal decision. Teori keputusan berkaitan dengan mengidentifikasi nilai-nilai, ketidakpastian dan masalah lain yang relevan dalam keputusan yang diberikan, rasionalitas, dan keputusan yang optimal yang dihasilkan.

Utility theory is about measures of the relative economic satisfaction from, or desirability of, consumption of various goods and services. Teori utilitas adalah tentang ukuran relatif ekonomi kepuasan dari, atau keinginan, konsumsi berbagai barang dan jasa.

Social choice theory is about voting . Teori pilihan sosial adalah tentang suara . A more puzzle-based approach to voting is ballot theory . Pendekatan yang lebih teka-teki berbasis suara adalah teori pemungutan suara .

Game theory deals with situations where success depends on the choices of others, which makes choosing the best course of action more complex. Teori permainan berkaitan dengan situasi di mana kesuksesan tergantung pada pilihan orang lain, yang membuat memilih tindakan terbaik yang lebih kompleks. There are even continuous games, see differential game . Bahkan ada game terus menerus, lihat permainan diferensial . Topics include auction theory and fair division . Topik meliputi teori lelang dan pembagian yang adil .

Discretization Discretization

Main article: Discretization Artikel utama: discretization

Discretization concerns the process of transferring continuous models and equations into discrete counterparts, often for the purposes of making calculations easier by using approximations. Numerical analysis provides an important example. Discretization menyangkut proses mentransfer model kontinyu dan diskrit persamaan ke rekan-rekan, sering untuk tujuan membuat perhitungan lebih mudah dengan menggunakan perkiraan. analisis numerik memberikan contoh penting.

Discrete analogues of continuous mathematics Analog diskrit matematika terus menerus

There are many concepts in continuous mathematics which have discrete versions, such as discrete calculus , discrete probability distributions , discrete Fourier transforms , discrete geometry , discrete logarithms , discrete differential geometry , discrete exterior calculus ,

Cooperate Bekerja

sama

Defect Cacat

Cooperate Bekerja

sama

-1, -1 -1, -1

-10, 0 -

10, 0

Defect Cacat

0, -10 0, -10

-5, -5 -5, -5

Payoff matrix for the Prisoner's dilemma , a common example in

game theory . Payoff matriks untuk dilema Tahanan , contoh umum

dalam teori permainan . One player chooses a row, the other a column; the resulting pair gives

their payoffs Satu pemain memilih baris, kolom yang lain, pasangan

yang dihasilkan memberikan hadiah mereka

discrete Morse theory , difference equations , discrete dynamical systems , and discrete vector measures . Ada banyak konsep dalam matematika terus menerus yang memiliki versi diskrit, seperti kalkulus diskrit , distribusi probabilitas diskrit , transformasi Fourier diskrit , geometri diskrit , logaritma diskrit , diferensial geometri diskrit , diskrit eksterior kalkulus , diskrit Morse teori , perbedaan persamaan , sistem dinamis diskrit , dan tindakan vektor diskrit .

In applied mathematics , discrete modelling is the discrete analogue of continuous modelling . Dalam matematika terapan , pemodelan diskrit adalah analog diskrit pemodelan kontinyu . In discrete modelling, discrete formulae are fit to data . Dalam pemodelan diskrit, diskrit rumus yang cocok untuk data yang . A common method in this form of modelling is to use recurrence relations . Sebuah metode umum dalam bentuk pemodelan adalah dengan menggunakan hubungan kekambuhan .

Hybrid discrete and continuous mathematics Hybrid matematika diskrit dan kontinu

The time scale calculus is a unification of the theory of difference equations with that of differential equations , which has applications to fields requiring simultaneous modelling of discrete and continuous data. Para kalkulus skala waktu adalah suatu penyatuan dari teori perbedaan persamaan dengan yang persamaan diferensial , yang memiliki aplikasi untuk bidang yang membutuhkan pemodelan simultan dari data diskrit dan kontinyu.