Matematika 6 alb

ARSIMI FILLOR NËNTËVJEÇARARSIMI FILLOR NËNTËVJEÇAR

Shkup, 2011Shkup, 2011

Jovo StefanovskiJovo Stefanovski

Naum CellakoskiNaum Cellakoski

KLASA E GJASHTËKLASA E GJASHTË

Nxënës i dashur!Ti tani je në klasën e gjashtë dhe ke hyrë në sekretet e matematikës.Me matematikën shoqërohesh çdo ditë: në shkollë, në shtëpi, po edhe në lojërat tua.Me këtë libër do të mësosh përmbajtje të reja interesante për numra. Do të përvetësosh njohuri të

reja nga gjeometria. Te tema Matja do ti mësosh njësitë matëse për shumë madhësi dhe operacioneme to.

Libri është ndarë në katër njësi tematike. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtjen e tyre, ndërsanjësitë mësimore në to janë të numëruara.

Në njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpërmjet tyre janë shkruar porositë, aktivitete,obligime dhe sugjerime të tjera, dhe atë:

Njësitë mësimore fillojnë me diçka që e ke të njohur. Duhet të kujtohesh dhet’i zgjidhësh kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbejë gjatë të mësuarit të mësimit tëri.

Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë të cilat i referohennocioneve të reja.

Me këto shenja janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t’i zgjid-hësh në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë dotë mësosh mësimin e ri, prandaj duhet të kesh kujdes të jesh aktiv që më mirëtë mësosh dhe të kuptosh. Kryesorja është ngjyrosur me ngjyrë të verdh.

Ajo që është më me rëndësi nga mësimi është ndarë në formë të pyet-jeve, detyrave ose pohimeve. Atë duhet ta mbash mend dhe ta shfrytëzoshte detyrat dhe shembuj praktik.

Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrolloheshnëse pjesën më të madhe prej asaj që e ke mësuar e kupton që të mundesh tazbatosh dhe ta shfrytëzosh në jetën e përditshme.

Duhet rregullisht dhe në mënyrë të pavarur t’i zgjidhësh detyrat. Nëkëtë mënyrë më mirë do ta kuptosh atë që e ke mësuar, e ajo do të jetë edobishme për ty.

Përpiqu që t’i zgjidhësh detyrat dhe problemet në këtë pjesë. Me këtë do tëdish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide.

Nëqoftëse has në vështirësi në të mësuarit e matematikës mos u dorëzo, përpiqu përsëri, qëndrueshmëria dotë sjell rezultat dhe kënaqësi.

Do të na gëzon nëqoftëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe do të arrish sukses tëshkëlqyeshëm.

Nga autorët

Kujtohu!

Probleme

Detyra

Duhet të dish

1.

2.

3. ...

...,A B

Testohu!

3

1. Bashkësia. Mënyra e të shkruarit 4

2. Numri i bashkësisë. Bashkësi të fundshme 7

3. Bashkësi ekuivalente. Bashkësi të barabarta. Nën bashkësi 9

4. Prerja, unioni dhe ndryshimi i bashkësive 12

5. Çifti i renditur. Prodhimi i Dekartit 15

6. Vargu i numrave natyror 177. Sistemi numerik dekadë 208. Leximi dhe rrumbullakimi

i numrave natyror 239. Instrumente për mbledhjen

e të dhënave 2610. Mbledhja 2711. Zbritja 2912. Varësia e shumës dhe

ndryshimit nga ndryshimi i komponentëve 31

13. Shumëzimi 3414. Pjesëtimi 37

15. Varësia e prodhimit dhe herësit nga ndryshimi i komponentëve 40

16. Shprehja numerike. Barazimet 4317. Mesatarja aritmetike 4718. Plotë pjesëtueshmëria e numrave

natyror. Plotë pjesëtueshmëria e shumës dhe ndryshimit 48

19. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 2 dhe me 5 51

20. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 3 dhe me 9 53

21. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 4 55

22. Numrat e përbërë dhe të thjeshtë. Paraqitja e numrave të përbërë si prodhim i numrave të thjeshtë 57

23. Pjesëtuesi i përbashkët. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët 60

24. Shumëfishi i përbashkët. Shumëfishi më i vogël i përbashkët. 63

25. Diagram me fotografi. Diagrami shtyllor 66

26. Mësove për numrat natyrorë. Kontrollo njohurinë tënde 68

TEMA 1. NUMRAT NATYRORË

BASHKËSIA. MËNYRAT E DHËNIES TË BASHKËSISË4

Kujtohu!

Në vizatim janë paraqitur bashkësia A dhebashkësia B me diagram të Venit

A V

Elementet e bashkësisë A janë lule.

Çfarë jenë elementet e bashkësisë B?

a

b vg

Trego gojarisht një bashkësi A dhe shkruaji elementet e saj.

Në vizatim është paraqitur bashkësia C me diagram të Venit.

Trego dy objekte që nuk janë elemente të bashkësisë tënde A.

Cilët numra janë elemente të bashkësisë C?

Me D le të jetë e shënuar bashkësia editëve të javës.

Sa elemente ka bashkësia D?

Muaji prill a është element i bashkësisëD?

Shkruaji të gjitha elementet e bashkësisëD.

Të mbaj mend! Një bashkësi është e përcaktuar nëse dihen të gjitha ele-mentet e saj.

1

543

7 26 S

Bashkësia C mund të shënohet në mënyrë tabelare (duke i radhi-tur elementet), ashtu që elementet e saj shënohen ndërmjet klla-pave, të ndara me presje, dmthC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1

2

3

1

Paraqite bashkësinë P me diagram të VenitShënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më tëvoglit.Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të mad-hit.

Elementet e një bashkësie P janë numra: 10, 6, 2, 8 dhe 4.4

A

B

5

6

7

8

5

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A të shkronjave që përdoren te fjala mami.

Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare.

Gjatë shënimit të elementeve të bashkësisë në mënyrë tabelare, radhit-ja e elementeve nuk është e rëndësishme.

Nëse shkronja x përdoret si zëvendësim i emrave të anëtarëve të famil-jes Ahmeti, Bashkësia A mund të shkruhet:

A={x | x është anëtar i familjes Ahmeti}.

Bashkësia A e shkruar në këtë mënyrë themi se është paraqitur në mënyrë përshkruese.

Shkruaj bashkësi S prej të gjitha zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe.

me diagram të Venit; në mënyrë tabelare.

Bashkësinë S={x | x është shifër e numrit 2638} shkruaje:

Shkruaje bashkësinë P në mënyrë tabelare.Me cilën nga shënimet e mëposhtme bashkësia P është paraqitur në mënyrë përshkruese?

a) {x | x >19}.

b) {x | x e është numër te i dhjetëshes së dytë}.

c) {x | x është numër natyror i dhjetëshes së dytë}.

Në vizatim është dhënë bashkësia P me diagramin e Venit.

1115

1917

13 R

Të mbaj mend! Bashkësia A={m, a, m, i} shkruhetdrejt {m, a, i}. elementet e njëjta të bashkësisëshkruhen vetëm një herë.

Familjen Ahmeti e përbëjnë: Babai Ervini, Nënë Hajria, djali Bedi dhevajza Eljesa. Me A le të shënojmë bashkësinë e të gjithë anëtarëve të familjesAhmeti

9 Vëre bashkësinë M të paraqitur me diagram të Venit.Elementet e bashkësisë M janë shkronja të fjalës sport.

ka

pu

lM

“Shkronja k është element i bashkësisë M ose ki takon M”“Shkronja t është element i bashkësisë M ose t itakon M”“Shkronja e nuk është element i bashkësisë Mose e nuk i takon M”

k ∈ M

t ∈ M

e ∉ M

Themi: Shkruajmë:

C

10

11

6

Në vizatim është paraqitur një segment a dhe pikat: A, B, C, N, L, K dheS.

Duhet të dish

Duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉ shkruaj pohimet të sakta për shkronjat i, s, l, u, p dhebashkësinë M.

Shkruaj pohime të sakta për pika të shënuara në vizatim dhe përsegmentin a duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉.Vizato një drejtëz p dhe shëno pika R, P, S dhe L të atillë që:R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

S

A

a

L

S

V

K

N

Të tregosh shembuj për

bashkësi;

Të paraqesësh bashkësi me dia-

gram të Venit, në mënyrë për-

shkruese dhe tabelare;

Ti zbatosh drejt shenjat

∈ dhe ∉.

Kur një bashkësi është e përcaktuar?Shkruaje bashkësinë K elementet e së cilës janë: 1, 3, 5, 7dhe 9:

Cili numër i dhjetëshes së parë është element, kurse cili nukështë element i bashkësisë K? Shkruaje atë duke i shfry-tëzuar shenjat ∈ dhe ∉.

me diagram të Venit; në mënyrë tabelëre;

në mënyrë përshkruese.

Detyra

e

pb

A V

Në vizatim janë dhënë bashkësitë A dhe B.1.

ka

u

Cilat shkronja janë elemente të bashkë-sisë A?

Prej shkronjave që janë elemente tëbashkësisë B formo fjalë (emër të njëdruri).

Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare,ndërsa bashkësinë B në mënyrë përshkruese.

Me shfrytëzimin e shenjave ∈ dhe ∉ shkruajcila prej shkronjave: e, p, b, k është element ibashkësisë B.

Vizato një segment dhe shënoje me a.

Shëno pika M, N, C, D dhe S ashtu që:M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

2.

Me diagram të Venit shkruaj bashkësitë Adhe B ashtu që: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B,5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ Bi 9 ∈ B.

3

Testohu!

Kujtohu!

7NUMRI I BASHKËSISË. BASHKËSI TË FUNDME

Bashkësia A është dhënë me diagram tëVenit.

Prej cilëve elemente përbëhet bashkësiaA?Numëroji elementet e bashkësisë A.

Sa elemente ka bashkësia A?

Shihi bashkësitë A, B dhe C dhepërgjigju në pyetjet.

21

Prej cilave elemente përbëhet çdonjëraprej bashkësive?Sa elemente ka çdonjëra prej bashkësiveA, B dhe C?

a cd

b

A

Vëreja! Bashkësia A ka tre elemente,bashkësia B ka 7 elemente dhebashkësia C ka 99 elemente.

Numri i elementeve të bashkësisë së dhënë A quhet numër i A dhe shënohet δA.

Mbaj mend!

Vëre dhe mbaj mend!

Sa elemente ka bashkësia e vajzave në klasën tënde?Sa nxënës ka gjithsej bashkësia e meshkujve nëklasën tënde?Sa është numri i të gjithë nxënësve në klasën tënde?

Secilës bashkësi ia përcaktove numrin e elementeve të tij.

Të gjitha këto bashkësi janë bashkësi të fundme.

2

Mali më i lartë në Republikën e Maqedonisë ështëKorabi. Maja e Korabit është e lartë 2764 metra.

Sa elemente ka bashkësia e maleve në Maqedoni qëjanë më të larta se 3000 metra?

3

4A = {qershor, korrik, janar}

C = {x | x është muaji i vitit emri i të cilit fillon me shkro-

njën l}.

Cakto numrin ë bashkësive A, B dhe C.

Maj

V

A

B

A = {a, b, c};

B = {x | x është ditë e javës};

C = {x | x është numër natyror më i vogël se 100}.

5

8Vëren se bashkësia e maleve nga detyra 3 dhe bashkësia C nga detyra 4 nuk kanë asnjë ele-ment.

Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët dhe shënohet me shenjën ∅. Edhe bashkësia e zbrazët numërohet si bashkësi e fundshme.

M = {x | x është mal në R. e Maqedonisë më i lartë se 3000 metra} = ∅.

δ∅ = 0.

Trego një shembull për bashkësinë e zbrazët.

Ç’është numër i bashkësisë;

Të tregosh shembuj përbashkësi të fundme dhe tëzbrazët.

Shkruaj shembull për:

Bashkësi të fundme C ashtu që δS = 3;

Bashkësi S ashtu që δY = 0.

banorëve në Shkup;

yjeve në qiell;

kokrrave të grurit në thes;

numrave që mund të shkruhen me

shifrën 1?

Detyra

Cakto numrin e elementeve të bashkësisë:

L = {2, 4, 6, 8, 10}

S = {x | x është nxënës i klasës së V më ilartë se 5 metra}

K = ∅

1. Cakto numrin e elementeve për secilënbashkësi A dhe B të dhënë me diagram të Venit.

2.

Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësiA = {2, 3, 4, ..., 99} dheB = {x | x është numër natyror dhe 8 ≤ x < 25}.

3.

Shokët e tu që ishin për pushim nëplanetin Mars.

Problem

A është e fundme bashkësia e

Duhet të dish Testohu!

1A V2 5

7436

Kujtohu

9

Cakto numrin e elementeve tëbashkësisë:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

C = {10, 20, 30, 40, 50}.

Ç’vëren?

BASHKËSITË EKUIVALENTE.

BASHKËSITË E BARABARTA. NËN BASHKËSITË

Y

T

Cakto numrin e elementeve të bashkë-sisë T dhe S.

Cila prej shenjave <, =, ose > duhet të shkruhet në

rreth δT δY?

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A = {x | x është shkronjë e fjalës DIBËR} dhe bashkës-inë B = {x | x është numër tek i dhjetëshes së parë}.

Cakto δA dhe δV, dhe pastaj krahasoi.

Shkruaj bashkësi C që ka numër të elementeve të barabartë me δA, përkatësisht δV.

Bashkësitë që kanë numër të barabartë të elementevequhen bashkësi me numër të njëjtë të elementeve osebashkësi ekuivalente.

31

2

Nëse bashkësitë A dhe B janë ekuivalente, atëherë shëno-jmë: A ~ V.

3

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës azildhe bashkësinë T elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës liza.

Bashkësitë A dhe B kanë numër të njëjtë të elementeve: δA = δV.

Gjithashtu, bashkësia A përbëhet prej elementeve të njëjtë sikurse bashkësia B.

4

Vëreni!

A

PSE HABITESH,

BASHKËSITË JANË EKUIV-

ALENTE!

B

Cakto numrin e çdo bashkësie:B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100},

E = {M, A, J}, F = {Δ} dhe G = {M, A, T, E, I, K}.

Cilat bashkësi janë me numër të njëjtë?

Shkruaj bashkësi që do të jetë ekuivalente me

bashkësinë G.

10Dy bashkësitë A dhe B janë të barabarta nëse përbëhen prej elementeve të njëjta.

Shkruajmë: A=B

A janë të barabarta bashkësitë:A={1,3,5,7} dhe B={1,2,5,7}?

Cila prej këtyre bashkësive janë të barabarta ndërmjet veti: A = {x | x > 5 dhe x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

Shihe vizatimin! Elementet e bashkësisë M janë tulipan,kurse të bashkësisë S janë trëndafila të kuq.

Çdo element i bashkësisë S a është element i bashkë-

sisë M?

Për dy bashkësi A dhe B që nuk janë tëbarabarta, shkruajmë: A ≠ V.

5

por: {S, O, K}={K, O, S}

6

7S

C M

Për bashkësinë S themi se është nën bashkësi e bashkësisë M, nëse çdo element i bashkësisë Sështë element i bashkësisë M. Shkruajmë: S ⊆ M.

Nëse bashkësia S është nën bashkësi e bashkësisë M dhe bashkësia M përmban elemente që nuk itakojnë bashkësisë S, atëherë S quhet nën bashkësisë e vërtet e bashkësisë M. Shënojmë: S ⊂ M.

Bashkësia S është dhënë me diagram të Venit. Bashkësia P a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro përgjigjen tënde!Bashkësia K a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro!Cila prej këtyre është e saktë:P ⊂ S; S ⊆ S dhe S ⊂ S?

13

4

2

6

Y

R

K 5

7

8

Çdo bashkësi është nën bashkësisë e vetvetes. A ⊆ A.

Shembull: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, pasi që çdo element e bashkësisë së parë është element i bashkë-sisë së dytë.

Bashkësia e zbrazët është nën bashkësi e çdo bashkësie. ∅ ⊆ A.

Vëre!

11

Të tregosh shembuj për bashkësi të barabarta,përkatësisht bashkësi ekuivalente;Të dallosh bashkësitë ekuivalente prej bashkë-sive të barabarta;Të dish çka është nën bashkësi;Të caktosh nën bashkësi prej bashkësisë sëdhënë.

Është dhënë bashkësia P={5, 10, 15, 20}.

Shkruaj bashkësi K ekuivalente me bashkësinë PShkruaj bashkësi L të barabartë me bashkësinë P.Shkruaj dy nën bashkësi të bashkësisë P.

Duhet të dish Testohu!

Detyra

Në vizatim i vëren bashkësitë D dhe N.1. Le të jetë U bashkësia e nxënësve të shkollëstënde, P është bashkësia e nxënësve të klasëssë gjashtë, K është bashkësi e nxënësve tëklasës tënde, kurse elementi y je ti, nxënës.

Me diagram të Venit paraqiti bashkësitë U, P, K dhe elementin y.

2.

3.

7 9 51

N

D

3 2 8 6

4 10

Shkruaje bashkësinë D në mënyrëtabelare.

Shkruaje bashkësinë N në mënyrë për-shkruese.

Bashkësitë D dhe N a janë ekuivalente?Pse?

Çka është e saktë për D dhe N: D ⊆ N oseN ⊆ D? Pse?

Nëse y ∈ K dhe K ⊆ R, atëherë y ∈ R. Aështë e saktë? Pse?

4. Shënoji të gjitha nën bashkësitë të bashkës-inë A = {a, b, c}.

Detyra Provo mendjemprehtësinë tënde!

Në një shitore me prodhime metalike, mes blerësit dhe shitësit është zhvilluarbiseda vijuese:“Sa para është një?, ka pyetur blerësi.“Dhjetë denarë”, është përgjigjur shitësi.“Për sa para mund ti blej dymbëdhjetë?”, ka pyetur blerësi.“Dhjet denarë”, është përgjigjur shitësi.“Mirë, atëherë mi jepni treqind e dymbëdhjetë”, ka thënë blerësi.“Kjo do të ju kushtoj, zotëri, tridhjetë denarë.”Çfarë ka blerë blerësi?

B

12

Në vizatimin janë dhënë bashkësitë A, B dhe D.

Shënoji bashkësitë A, B dhe D në mënyrë tabelare.

3 A VD

1 3

5 7

9

2 6

4 10

8

Prerje e dy bashkësive A dhe B është bashkësia C e formuar prej elementeve të përbashkëta të Adhe B.Shënojmë: C = A ∩ V dhe lexojmë: “Çka është e barabartë me A prerje B”

x ∈ A ∩ V, d.m.th: x ∈ A dhe x ∈ V.

Le të jetë A= {1,2,3,4}, B={2,4,5,7} dhe C={1,4,5,}

Caktoji bashkësitë: A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ A.

Bashkësitë A ∩ B dhe B ∩ A a janë ekuivalente? A janë të ndryshme?

Paraqiti bashkësitë A, B dhe C me diagram të Venit, ashtu që të caktohen prerjet e tyre.

1

2

Paraqiti bashkësitë A dhe B me diagram tëVenit.

Janë dhënë bashkësitëA={1, 2, 3, 4, 5} dhe B={3, 4, 5, 6}.

Elementet e përbashkëta të bashkësive Adhe B paraqiti me C.

Bashkësinë C paraqite në mënyrë tabelare.

A

PRERJA, UNIONI DHE NDRYSHIMI I BASHKËSIVE4Kujtohu!

Sipas vizatimit, bashkësia A ështëbashkësi e figurave të kuqe, B tëtrekëndëshave, kurse C etrekëndëshave të kuq.

Pse është bashkësia C prerje e bashkë-sive A dhe B?

A S V

Vëreni zgjidhjen.C = {3, 4, 5}.

1

2

63

4

5

A BC

Bashkësia C ështëprerje e bashkësisëA dhe B.

Bashkësia D është union ibashkësive A dhe B.

13Union i bashkësive A dhe B është bashkësia D e formuar prej të gjitha elementeve tëatyre bashkësive.Shënojmë: D = A ∪ V dhe lexojmë: “ D është e barabartë me A union B”.

x ∈ A ∪ V, d.m.th: x ∈ A ose x ∈ V.

A, V dhe C.

C ∪ B, C ∪ A dhe B ∪ A.

A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A dhe A ∩ C.

Në vizatim me diagram të Venit janë dhënëbashkësitë A, B dhe C.Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë:

4A

CV

1 2

9

3

12 13

11 14

CCaktoji bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A.

Bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A a janë të ndryshme?

Caktoji bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A.

Bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A a janë të barabarta?

Janë dhënë bashkësitë A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe V = {2, 4, 6, 8}.5

Cakto A ∪ B, pastaj (A ∪ B) ∪ C.

Cakto B ∪ C, pastaj A ∪ (B ∪ C).

A është (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)?

Provo a vlen: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Trego se për prerjen, gjegjësisht unionin, e bashkësive B dhe C nga detyra 4 vlen vetia ndërrimit.

Provo vetinë e ndërrimit për unionin e tyre.

Le të jetë A = {3, 6, 9} , B = {2, 4, 6, 8} dhe C = {1, 3, 5, 9}.7

6

Vëreni se: A ∩ V = V ∩ A dhe A ∪ B = B ∪ A

Vëreni!

Prerja e dy bashkësive ka vetinë e ndërrimit (komutative).

Unioni e dy bashkësive ka vetinë ndërrimit.

Unioni i tre bashkësive e ka vetinë e

shoqërimit (associative).

Prerja e tre bashkësive e ka vetinë e

shoqërimit.

Zgjidh tre bashkësi A, B dhe C dhe trego se(A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S).

Nëse dihet që x ∈ A ∪ B, a vlen x ∈ B?

Problem

�

D

Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë A dhe B.Shënoje në mënyrë tabelare bashkësinë C elementet e së cilës janë ato elemente tëbashkësisë A por që nuk janë të bashkësinë B.

Shihe vizatimin ! Me diagram të Venit janë paraqiturbashkësitë A dhe B.

8 A B1

2

7

3

8

95

6

14

Le të jetë A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} dhe C = {3, 5, 7, 9, 11}.9

Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: A \ B, B \ A, B \ C dhe A \ (B \ C).

A vlen A \ B = B \ A?

Provo a është e saktë: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?

Le të jetë M = {x | x është numër natyror dhe x < 7},

S = {5, 6, 7, 8, 9} dhe P = {x | x është numër natyror idhjetëshes së parë}. Cakto:

10

M ∩ Y. Y ∪ R. P \ M. M ∪ (R \ Y).

Ndryshimi i bashkësive nuk e ka as vetinë e ndërrimit asvetinë e shoqërimit.

Duhet të dish!

Të caktosh prerjen e dy bashkësive.

Të caktosh ndryshimin e dy bashkësive.

Të caktosh unionin e dy bashkësive.

Se prerja dhe unioni kanë vetinë e ndërrimitdhe shoqërimit.

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, f, g},

B = {b, c, e, f, 1, 2} dhe C = {b, c, e, 1}.

Shënoji bashkësitë:

A ∩ B. B \ C. A ∪ B ∪ C.

Detyra

Në vizatim janë dhënë bashkësitë mediagram të Venit nën a,b dhe c.

1.

Cilat operacione janë paraqitur mepjesët e ngjyrosura?

a) b) c)

Janë dhënë bashkësitëA = {m, n, p, k} dhe M = {s, p, t, k, r}

2.

Cakto δA i δM.Shëno në mënyrë tabelare A ∪ M, M ∩ A dhe M \ A.Cakto: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) dhe δ(M \ A).

Le të jetë P bashkësi e numrave çift, kurse S ështëbashkësi e numrave tek të qindëshes së parë.

3.

Çka paraqet:a) Unioni i P dhe S; c) ndryshimi i P dhe S;b) Prerja e P dhe S; d) ndryshimi i S dhe P?Sqaro përgjigjen tënde për çdo rast a, b, c dhe d.

ÇFARË ËSHTË E

BARABARTË ME DAL-

LIMIN NË MES TYRE?

Bashkësia C e elementeve që i takojnë bashkësisë A, por që nuk i takojnë bashkësisë B quhetndryshimi i bashkësisë A me bashkësinë B. Shënojmë: S = A \ V dhe lexojmë: “ C është e barabartë A minus B”.

x ∈ A \ B d.m.th: x ∈ A dhe x ∉ B.

Bashkësia C = {1, 2, 5, 6} e fituar në këtë mënyrë është ndryshimi i bashkë-sive A dhe B përkatësisht S = A \ V.

Testohu!

Kujtohu!

15ÇIFTI I RENDITUR. PRODHIMI I DEKARDIT.51

Janë dhënë bashkësitë {2, 3} dhe {3, 2}. Atojanë bashkësi dy elementësh, gjegjësisht tëpërbëra prej çifteve të elementeve.

Por në disa raste, radhitja e elementeve nëçifte ka rëndësi të madhe: çifti i dorëzave,çifti i këpucëve, etj.

A vlen {2, 3} = {3, 2}? Pse?

Ne vizatim është paraqitur salla e kinemasë.Karrigia e tretë te rreshti i dytë dhe karrigiae dytë te rreshti i tretë janë të zbrazëta.

Rreshti dhe karrigia paraqesin një çift.Numri i parë le të paraqet rreshtin (2), kurse numri i dytë ta paraqet karrigen (3). Atë e shkruajmë me (2,3) dhe themi se është çift i renditur.

Ato paraqesin vendet endryshme në sallë.

Çifti (a, b) te i cili dihet saktë cili element është ipari, kurse cili element është i dyti quhet çift i rendi-

tur. Në çifti i renditur (a, b), a është komponent iparë, kurse b është komponent i dytë.

2 Le të jetë A = {s, p, q}, kurse bashkësia B = {1, 2}.

Shënoi të gjitha çiftet e renditura kukomponent i parë është B, kurse kompo-nent i dytë është e A.

Ë mbaj mend! çifti i renditur(a, b) është i barabartë me çiftin erenditur (c, d) nëse a = c dhe b = ddhe shkruhet (a, b) = (c, d).

Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku komponent i parë është element i A, kurse komponent idytë është e B.

Çiftet e renditura (2,3) dhe (3,2) a paraqesin vendin e njëjtë në sallë?

Çifti i renditur (s, 1) a është i barabartë me (1, s)?

Le të jetë A = {1, 2} dhe B = {a, b, c}. Formo bashkësinë elementet e së cilës janë të gjithaçiftet e renditura, te cila komponent i parë është elementi bashkësisë A, kurse komponent idytë është i bashkësisë B.

3

Bashkësia te e cila elemente janë të gjitha çiftet e renditura, ku komponent i parë është element ibashkësia A, kurse komponent i dytë është element i bashkësia B quhet prodhim i dekartit i

bashkësive A dhe B. Shkruhet A x B. Lexohet A herë B.A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

Është dhënë bashkësia S = {1, 2, 3} dhe prodhimi i Dekartit S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4Shënoni bashkësinë P në mënyrë tabelare.

A

B

16

A x A është prodhimi i Dekartit i bashkësisë A. Prodhimi i Dekartit A x A quhet katrori i Dekartit

dhe shënohet me A2. Lexohet: “A në katror.”

Është dhënë bashkësia A = {a, b}. Cakto prodhimin e Dekartit A x A.5

Cakto katrorin e Dekartit për bashkësinë M = {5, p}.6


Duhet të dish!

Të dallosh bashkësi dy elementësh prej çiftit

të renditur;

Të caktosh të gjitha çiftet e renditura për dy

bashkësi të dhëna;

Se çka është prodhimi i Dekartit;

Të caktosh komponentin i parë dhe atë të

dytë në një çift të renditur.

Se çka është katrori i Dekartit.

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b}, B = {5, 55} dheC = {m, n}.

Shënoni të gjitha çiftet e renditura ku kompo-nenti i parë është element i bashkësisë A, kurseKomponenta e dytë është element i bashkësisëC.

Shënoni bashkësinë A x B në mënyrë tabelare.

Shënoni bashkësinë B2.

Detyra

Shkruaji çiftet e renditura te të cilat kompo-nenti i parë është nga bashkësia A = {2, 5},ndërsa komponenti i dytë nga bashkësiaV = {a, b, c}.

1.

Cili numër duhet të qëndroj në vend të �ashtu që çiftet e renditura të jenë tëbarabartëa) (5, �) = (5, 2);b) (�, 6) = (8, 6);v) (�, 3) = (7, �)?

2.

Është dhënë bashkësiaY h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.

4.

Cakto bashkësinë S.

Cakto bashkësinë P.

Cakto katrorin e Dekartit të bashkësisë S.

A={Arlind, Njomza, Agon}B është bashkësi foljesh:B= { këndon, flenë, mëson}Cakto prodhimin e Dekartit A x B.

3.Çiftet e renditura do të më jenëfjali të thjeshta. Për shembull:Arlindi këndon.

Testohu!

Kujtohu!

17

B

VARGU I NUMRAVE NATYROR6

Sa është numri i bankave te klasa jote?Cakto numrin e meshkujve në klasëntënde.Lexoji numrat: 23, 1005, 207, 987 000.Me cilat shifra është shkruar numri:813 265?Sa shifra shfrytëzohen për shkrimin enumrave? Cilat janë ato?

Për çdonjërin e atyre numrave themi se janë numranatyrorë.

Me shifra shkruaj numrat:

Njëqind e pesëdhjetë e gjashtë;

Nëntëqind e një;

Një milion.

1

Numrat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... quhen numra

natyrorë, kurse numrat e radhitur ashtu njëri pas tjetrit formojnë vargun e numrave

natyrorë.

Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.

Numrin 0 nuk e marrim si numër natyror. Prandaj 0 ∉ N.

Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë dhe numrit 0 shënohet me N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Në vizatim vëren rrugën dhe dy rreshta me shtëpi tëshënuara me numra.

Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga njëra anë errugës?Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga ana tjetëre rrugës?

2

Numrat: 1, 3, 5, 7, ... janë numra tek. Kurse 2, 4, 6, 8, 10... janë numra çift.

Cilët prej numrave 36, 13, 1 111, 100 000, 99 janë çift, kurse cilët janë tek?3

A

Numra natyror!

1 2 3 4 5 ...

C Si do të përcaktosh drejtëzën numerike?

Punoni sipas kërkesave dhe përcille vizatimin:

Vizato drejtëz a.Në drejtëzën a shëno dy pika O dhe A.Pikës O shoqëroja numrin 0, kurse pikës A numrin 1.

4

0 1

O A

20 1

SO A

a

a

a

18

Numri 5 është paraardhës , kurse numri 7 është pasardhës i numrit 6.

Cili është paraardhësi, kurse cili pasardhësi i numrit 100?

Si fitohet paraardhësi, kurse si pasardhësi i një numri?

6

Shkruaj një numër të madh natyror.

Shtoja numrin 1 numrit që e ke menduar.

A ka numër më të madh se numrin që e fitove?

Bashkësia e numrave çift. Bashkësia e numrave tek.

Numri i banorëve në R. e Maqedonisë. Numri i grimcave të rërës në një plazh.

7

Cila nga bashkësitë vijuese është e pafund?8

Çdo numër nga vargu i numrave natyrorë, përveç 1, fitohet kur paraardhësit të tij do t’i shtohetnumri 1.

2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...

Cilit do numërmund ti shtoj 1 dhedo të fitoj numërmë të madh.

Segmentin OA e marrim për segment njësi, gjegjësisht OA = 1.

Në gjysmë drejtëzën OA, nga pikës A, barte segmentin njësi OA. Pikën e skajshmeshënoni me C dhe shoqëroja numrin 2.Si do ta caktosh pikën që i përgjigjet numrit 3?

Vëre shembull tjetër për bashkësi të pafund.

Bashkësia e numrave natyrorë shifre e njëshave te të cilat është 1, gjegjësisht {1, 11, 21, 31, ...}.�

Në këtë mënyrë është përcaktuar drejtëza te e cila mund të paraqiten numrat natyrorë. Ajo quhetdrejtëz numerike.


Secili numër natyror ka pasardhës.

Numrat natyror janë të radhitura sipas madhësisë: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...

Nuk ekziston numri më i madh natyror.

Ka pakufi shumë numra natyror.

Bashkësia N e numrave natyrorë është bashkësi e pafundme.

0 1 2 3 4 6

Shihe vizatimin5Cili numër është për 1 më i vogël se numri 6?Cili numër është për 1 më i madh se numri 6?

19

Janë dhënë shifrat 7, 4 dhe 0.

Trego shembull për bashkësi të pafund.

Shënoni të gjithë numrat natyrorë treshifrorë duke i shfrytëzuar shifrat e dhëna.

Radhiti të gjitha numrat që i fitove duke filluar prej numrit më të madh.

Shënoni paraardhësin dhe pasardhësin të numrit më të madh prej tyre.

Detyra

Në vizatim ka libra me faqe të grisura.1. Cilat numra te drejtëza numerike duhet tëshkruhen në vendet e zbrazëta?

2.

Vizato drejtëzën numerike dhe në të paraqitinumrat çift prej 0 deri 20.

3.

Bashkësinë S = {x | x është numër natyror tek},shkruaje në mënyrë tabelare.

4.

Shënoje me fjalë numrin e shënuar me shig-jetë.

Cili element është më i vogël te bashkësia S?

Bashkësia S a ka element më të madh?

Sa elemente ka bashkësia S?

Shënoni faqet e librit që janë të grisura.Me cilat shifra janë shkruar ato faqe?Shënoni bashkësinë A të numrave çifttë faqeve që mungojnë në libër.

0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Duhet të dish!

Të dallosh ç’është shifër dhe ç’është numër;

Të caktosh pasardhës dhe paraardhës të një numrinatyrorë;

Të paraqesësh numra natyrorë në drejtëzënnumerike.

Të tregosh shembuj për bashkësi të pafund.

Shkruaj dhe radhiti numrat natyrorë të dhjetëshes së tretë të qindëshes së pestë.9

UNË JAMPARAARDHËS!

UNË JAMPASARDHËS!

Testohu!

Kujtohu!

20 SISTEMI NUMERIK DEKADË

Sa dhjetëshe ka numri 100?

Sa mijëshe ka numri 3 865?

Sa njëshe ka numri 128 563?

Shënoni me shifra numrin e paraqitur nënumëratoren pozicionuese.

Shkruaje bashkësinë C të të gjithëshifrave me të cilat shkruhen numratnatyrorë.

7

1

QM DhM NjM Q Dh Nj

00 11 22 33 44 5566 77 88 99

Cakto δS.

Të gjithë numrat natyrorë i shkruajmë me dhjetëshifrat 0,1,…,9.Numrat i shkruajmë në sistemin numerik

dekadë.

Ka dhjetëshifra.

Në cilën pozitë është shkruar shifra 2?

Vlera pozicionale e shifrës 4 te numri7 143 528 është dyzet mijë. Cila ështëvlera pozicionale e shifrës 3 dhe cila eshifrës 8?

Në klasën milion në pozitën e njësheve ështëshkruar shifra 7. Cila është vlera e saj pozicionale?

Te shënimi i numrave, çdo shifër tregon numrin e njësheve ose numrin e dhjetësheve ose numrin eqindësheve, etj, përkatësisht të pozitës (vendit) ku është shkruar.

U kujtova! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

Shihe tabelën ku është shkruar numri 7 143 528. Çdo shifër e numrit është shkruar në pozitën(vend) e caktuar. Secili grup prej tre shifrave, duke shkuar nga e djathta në të majtë, është shkruarnë klasë të caktuar.

2

A

KLASA MILION

KLASA MIJËSHE

KLASA NJËSHE

QMi DhMi NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj

7 1 4 3 5 2 8

Shifra KlasaPozita në të cilën

është shkruarshifra

Vlera pozi-cionale e

shifrës

3 Mijëshe DhM 30 000

4 Mijëshe NjM 4 000

5 Njëshe Q 500

0 Njëshe Dh 0

9 Njëshe Nj 9

21

Numrat 1, 10, 100, 1 000, etj., quhen njësi dekade.

Formo tabelë për numrin 2 628 dhe në të shënoji të dhënat për çdo shifër.

Shënoi të gjitha njësitë dekade deri 10 000 000.

Si quhet numri i shkruar nën a), e si quhet numri i shkruar nën b)?

Cila është vlera pozicionale e shifrave 5; 8; 2 në numrin 50 800 200 000?

Shihe tabelën me të dhëna për numrin 34 509.3

Vëre! Për sa herë zmadhohet vlera e shifrës 3 duke filluar prej pozitës së njësheve?4

34 509

20Unë vlej mëshumë

Ne jemi tënjëjtë

NjM Q Dh Nj

3 3 3 3⋅10⋅100

⋅1 000

2

Shkruaje numrin i cili e përmban shifrën 1, e pas saj janë shënuar:

a) 3 zero; b) 9 zero; c) 12 zero d) 18 zero.5

Shkruaje me shifra numrin “pesëdhjetë miliard tetëqind milion dhe njëzetmijë”.6

B

Numri i shënuar:

1 000 000 000, quhet miliardë;

1 000 000 000 000, quhet bilion;

1 000 000 000 000 000 000, quhet trilion.

Mbaje në mend!

��

Di për a) dhe b). Vallë si quhen numra të

tjerë?!

22

Shihe vizatimin!

Lexo numrin e paraqitur në numëratoren pozicionaledhe shkruaje me shifra.Cilën shifër e shkrove në pozitën e dhjetë mijëshevedhe cila është vlera pozicionale e saj? NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj

Testohu!

Detyra

Është dhënë numri 5 203 478. Për secilënshifër 5; 2; 7; 0 përcakto:a) Në cilën klasë gjendet;b) Cila është pozita e saj:c) Cila është vlera e saj pozicionale.

1.

Cilin numër do të fitosh nëse në një triliondo të fshish secilin zero të dytë.

4.

Si lexohet numri 5, e si shifra pesë?5.

Si quhet numri që ka milion miliona?6.

Përpilo tabelë të klasave dhe pozitave nëtë cilat do ti shkruash shifrat e numrit 7405 906.

2.

Shkruaje me shifra numrin “tetë bilion tre-qind e dy miliardë gjashtëdhjetë milionkatërqind mijë dhe pesëqind”.

3.

Duhet të dish!

Të përcaktosh klasat e numrit shumë shifror;

Ta përcaktosh vlerën pozicionale të secilës shifër në numrin e dhënë;

Se shifrat janë shenja për të shkruar numrat.

Problem

Numri shtatë shifror fillon me shifrën 7. Si do që ti zhvendosëshshifrat e atij numri, numri nuk ndryshon. Cili është ai numër?

23

Kujtohu!

LEXIMI DHE RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE NATYRORË

Shkruaje me fjalë numrin 16; 23; 45;125; 50; 200.

Shkruaje me fjalë numrin a) 157; b) 216 c) 350

Në cilin prej numrave të shkruar e për-dorë lidhëzën “dhe”?

81A

Në një garë basketbolli reporteri ka thënë se garën e përcjellin rreth 2 000 shikues.3

Shkruaji me fjalë numrat:

200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.

2

Numrat 32, 35 dhe 37 janëparaqitur në drejtëzënnumerike.

4

B

Krahasoje shënimin tënd me atë të dhënë.a) Njëqind e pesëdhjetë e shtatë.b) Dyqind e gjashtëdhjetë;c) Treqind e pesëdhjetë.

Athua reporteri e ka treguar numrin esaktë të shikuesve?

Cilat janë dhjetëshet fqinje të numrave të paraqitur?

Cakto ndryshimin e secilit numër me dhjetëshet fqinje.

Deri te cila dhjetëshe fqinje është më afër secili numër?

Vëre leximin e numrave dhe përdorimin e lidhëzës “dhe”.

Lidhëza “e’ nuk shfrytëzohet nëse numri ështëprej një fjale (emri i klasës nuk llogaritet).

15 - pesëmbëdhjetë;

700 - shtatëqind;

50 000 - pesëdhjetë mijë.

Në secilën klasë: njëshe, mijëshe, milion, …lid-hëza “e” shfrytëzohet mes dy fjalëve të fundit,gjegjësisht dy numrave (emri i klasës nuk lloga-ritet).

302 413 - treqind e dy mijë katërqind e trembëdhjetë

5 020 340 - pesë milion njëzet mijë e treqind e dyzet

Lidhëza ‘e” shfrytëzohet edhe mes klasave, nësedy fjalë të fundit (numra) i takojnë klasave tëndryshme.

300 200 - treqind mijë e dyqind8 302 100 - tetë milion treqind e dy mijë e

njëqind.

�

�

��

��

��

Reporteri ka treguar numrin epërafërt të shikuesve.

30 32 35 37 40

24 Vëreji përgjigjet

Për numrat e dhënë numri 30 është dhjetësha fqinje më e vogël, ndërsa 40 është dhjetësha fqinje mëe madhe.

32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Numri 32 është më afër me 30.

37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Numri 37 është më afër me 40.

35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40.

Numri 32 është përafërsisht i barabartë me numrin 30. Shkruajmë 32 ≈ 30.

Themi se

Numri 37 është përafërsisht i barabartë me numrin 40. Shkruajmë 37 ≈ 40.

Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Me marrëveshje shkruajmë 35 ≈ 40.

Ky shënim quhet rrubmullakimi i numrit në dhjetëshe.

Rrumbullako në dhjetëshe numrat: 148, 243, 2 671, 3 585 dhe 74 598.5

Numrat: 3 435 dhe 3 468 janë paraqitur në drejtëzën numerike.6

Rrumbullako në qindëshe numrat: 1 372, 2 145, 1 653 dhe 4 898.7

Rrumbullako në mijëshe numrat:a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.

8

��3 4003 435 3 468

3 500

Cakto ndryshimin e secilit prej numrave me qindëshet finje.

Kur gjatë rrumbullakimit të një numri në qindëshe shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë, ekur zmadhohet për 1?

Deri te cila qindëshe fqinje është më afër secili numër?

Rrumbullako secilin numër në qindëshe.

Ke vërejtur se 3 435 është më afër me 3 400, ndërsa 3 468 me 3 500.

Numrat e rrumbullakuara në qindëshe janë: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500.

Shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë nëse shifra në pozitën e dhjetësheveështë numër më i vogël se 5, ndërsa zmadhohet për 1 nëse shifra në pozitën e dhjetë-sheve është 5 ose numër më i madh se 5.

25Vëre zgjidhjen nën a)

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000.

Ke vërejtur se gjatë rrumbullakimit të ndonjë numri deri te pozita e caktuar (dhjetëshe, qindëshe,mijëshe, …) vepron në mënyrë vijuese:

Shifra e asaj pozite mbetet e njëjtë, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave: 0, 1, 2, 3, ose 4,ndërsa ajo zmadhohet për 1, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave 5, 6, 7, 8 ose 9.

Rrumbullako numrin 35 738 në:a) Dhjetëshe; b) qindëshe; c) mijëshe; d) dhjetë mijëshe.

9

�

Të gjitha shifrat djathtas nga ajo pozitë zëvendësohen me zero.�

Duhet të dish!

Drejtë ti lexosh numrat natyror, më të vegjëlapo më të mëdhenj se një milion;

Të rrumbullakosh numrat natyrorë në:dhjetëshe, qindëshe dhe mijëshe.

Lexo numrin: 5 200; 45 678 350.

Rrumbullako në dhjetëshe; qindëshe; mijëshe,numrin: a) 34 752; b) 224 750

Testohu!

Detyra

Shkruaje me shkronja numrin: 2 345; 250; 6400 310.

1.

Shkruaje me shifra numrin: ‘Treqind milionëdyqind e pesë mijë e tetëqind”.

2.

Cila prej shenjave <, = ose > duhet të qën-droj në rreth që të jetë e saktë?

3.

Athua numri 24 635 është më afëra) me 24 700 ose me 24 600;b) me 24 000 ose me 25 000?

4.

Rrumbullako numrin 25 375 në: dhjetëshe;qindëshe; mijëshe.

5.

Rrumbullako numrin 15 409 632 nëmijëshe.

6.

7.

12 245 12 250; 12 245 12 240;

12 245 12 200; 12 245 12 300.

A ekziston numri më i madh natyror?

Cili është numri më i vogël natyror?

Shkruaje çmimin e veturës me fjalë

1 216 358 den.

Përpiqu të zgjidhësh!

Nuk ka kuptim të thuash numrin e telefonit tëndsi numër i rrumbullakuar.

Përpiqu të gjesh dy shembuj ku nuk ka kuptimtë bësh rrumbullakimin e numrave.

26

Flamurtari(gjimnastikë)

Spartaku(karate)

Shkëndija(basketboll)

Liria(tenis)

Klubi(aktivitete)

R A P U N AM E T Ë D D H Ë N A

Arta dhe Liriku hulumtojnë për aktivitetet e lira të nxënësve të paraleles së tyre. Ato i kanë pyeturnxënësit në cilin klub çdonjëri prej tyre është i anëtarësuar. Të dhënat së pari i kanë shënuar meviza, kurse pastaj i kanë rregulluar dhe kanë formuar tabelë.

1

Iliri ka bërë hulumtim për ngjyrën e biçikletave që më shpesh hasen në fshatin e tij. Ka mbledh tëdhëna ashtu që i ka vërejt fëmijët me biçikleta në oborrin e shkollës dhe ka plotësuar listë me viza.

2

Merita ka mbledhur të dhëna për stinën më të adhuruar në klasën e saj. Vëre listën: P - pranverë; V - verë; Vj - vjeshtë; D - dimër.

3

Numër

Flamurtari(gjimnastikë)

Spartaku(karate)

Shkëndija(basketboll)

Liria(tenis)

Klubi(aktivitete) Numër

9

13

15

3

Tabela me viza Tabela me efektive

Në tabelë janë dhënë një numër i tëdhënave. Ajo quhet tabela të efek-

tiveve.

Sa nxënës gjithsej janë përgjigjur në

pyetjen e drejtuar?

Formo tabelë të re të efektiveve

ashtu që të dhënat t'i radhisësh

sipas madhësisë së numrit (duke fil-

luar prej më të madhit).

Formo tabelë të efektiveve.

Radhiti të dhënat duke filluar prej më të voglit.

Sa biçikleta gjithsej ka vërejt Iliri?

Cila ngjyrë e biçikletave është më e shpeshtë?E verdh

E zezë

E kuqe

E kaltër

E gjelbër

Ngjyra Numrij

Të vërejturit e Ilirit është njëra nga mënyrat me të cilën mundet të mblid-hen të dhënat. Të dhënat mundet të mblidhen në mënyra të ndryshmeduke: pyetur me telefon, dërguar pyetësor nëpërmjet postës, shfrytëzuarlibra, revista etj.

Paraqiti të dhënat në tabelën e efektiveve dhe radhiti duke filluar prej stinës më të adhuruar.

P P V D D V j P V V j D D P V V j D D P P V V V V j D P V j V j D D P P P V V j P P D V V j

INSTRUMENTE PËR MBLEDHJEN E TË DHËNAVE9Mbledhja e të dhënave kryhet në disa mënyra: me anketim, vështrim, matje, numërim, nga literaturaetj.

Instrumente (mjete) për mbledhjen e të dhënave janë: pyetësori, fletanketë, revizione të publikuaradhe të dhënat e tjera statistike.

Kujtohu!

27

B

A

Ndërrimi i vendeve të mbledhëseveose vetia e ndërrimit e mbledhjes.

a + b = b + a

Nëse i ndërroni vendet mbledhëse shuma mbetet epandryshuar.

52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86

mbledhëse shuma mbledhëse shuma

Grupimi i mbledhëseve ose vetia e

shoqërimit e mbledhjes.

a + (b + c) = (a + b) + cPrandaj, kllapat mund të largohen::

a + b + c.

Zeroja gjatë mbledhjes.a + 0 = 0 + a = a

Njehso:

14+ 35

353+ 168

47+ 803

68 + 37 + 3 + 916 =

98 796+ 14 534

Mere dhe Mile jetojnë nëKoçan. Në pushim kanë shkuarnë Strugë, por një ditë kanëqëndruar në Dibër te gjyshja etyre.

1

Cakto shumën e numrave 52 dhe 34.2

Strugë

90 km

190 km

Dibër

Koçan

Sa kilometra ka kaluar Merita dhe Lirini prej shtëpisë deri te gjyshja e tyre? Sa kilometra kanë kaluar prej Shkupit deri në Strugë?

Përkujtohu dhe vëreji vetitë e mbledhjes në bashkësinë N0.

Të tre mbledhëset mundet të grupohen në dy mënyra. Shumambetet e pandryshuar.

(71 + 114) + 16 = ose 71 + (114 + 16) =

185 + 16 = 201 71 + 130 = 201

Kur njëri prej mbledhëseve është zero, atëherë shuma është ebarabartë me mbledhësin tjetër.

583 + 0 = 583 ose 0 + 583 = 583

MBLEDHJA10

Njehso:

17 + 36 + 13 + 44 =

3

12 + 81 + 9 + 38 + 27 =

161 + 234 + 439 =

Shembul

Kur shfrytëzohen vetitë e mbledhjes është mëlehtë!

27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

Te tabela janë dhënë tëdhënat për numrin enxënësve në klasën VI tënjë shkolle

Cakto numrin e përgjithshëm të nxënësve në klasën e VI.

Cakto numrin e nxënësve në VIa dhe VIb, e pastaj krahasoji.

28

Paralelja Djem Vajza

VIa 17 14

VIb 14 17

VIc 9 22

Detyra

Njehso. 1.

Në një gazetë shkruan: „Në hapjen e njëfestivali marrin pjesë 1 300 shikues.Ditën e dytë shfaqjen e kanë shikuar726 shikues”.

2.

171

Grupoji mbledhësit dhe cakto shumat:3.

64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

Vlerëso shumën e numrave 7 328 dhe 6435, duke i shfrytëzuar në: mijëshe,qindëshe; dhjetëshe. Për sa dallohen rezul-tatet e përafërta me ato të sakta?

4.

Sa shikues kanë qenë për dy ditë nëfestival?

+ 16

27+ 72

39+ 93 + 39

44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

C

Grupoi mbledhësit në mënyrë tjetër dhe cakto shumën.4

45 + (45 + 56) =

Cakto shumën e numrave 74, 33, 26, 48, 57.

Cakto shumën e numrave 140, 310, 750, 360, 170 dhe 290.

Shumës të numrave 124 dhe 139 shtoja shumën e numrave 261, 55 dhe 276.

Cakto paraardhësin e çdo numri 372, 126 dhe 319 dhe njehso shumën e paraardhësve.

( 1 207 + 101) + 269 =

5

Bëje vlerësimin e shumës së numrave me rrumbullakim në qindëshea) 2 738 dhe 2 465; b) 4 562 dhe 5 378.

Për sa dallohet rezultati i përafërt nga shuma e saktë e numrave?

6

Problem!

Numri 2 është shkruar shtatë herë:

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

Cila është shuma më e vogël që mund të fito-het nga shtatë dyshe dhe dy shenja plus?

Të caktosh shumën edy ose më shumënumrave;T'i zbatosh vetitë embledhjes te shembu-jt e thjeshtë;Ta vlerësosh rezultatine mbledhjes.

Duhet të dish! Testohu!

Kujtohu!

29

Njehso:

Cili numër duhet të qën-droj në katror që të jetë esaktë?

475- 232

1 852- 800

2 685- 518

9 840- 189

47 - = 19

28 + = 47

+ 19 = 47

ZBRITJA11

A Lojërat Olimpike në vitin 2000 janë mbajtur në Sidnej-Australi. Komiteti Olimpik ka kërkuar që të rezervohen 4830 bileta për hapjen solemne, por të lira kanë qenë 3892 karrige.

Sa njerëz kanë ngelur pa bileta?

1

4 830 - 3 892 =

I zbritshmi zbritësi ndryshimi

B

Olimpiada 1992

Ekipi Pikë

Italia 15 760

Amerika 15 649

Polonia 16 018

Sa pikë më shumë ka ekipi i Polonisë prej ekipit tëItalisë?

Cili është ndryshimi ndërmjet numrit më të madh dhemë të vogël të pikëve?

Që të mund ta njehsojmë ndryshimin a - b të numrave a dhe b në bashkësinë N0 duhet a > bose a = b.

Shfrytëzoji të dhënat në tabelë që të përgjigjesh në pyetjet.2

Sa bukë gjithsej ka prodhuar furra për një javë?

Sipas të dhënave në tabelë njehso sa bukë gjithsejkanë ngelur pa shitur?

Në një furrë piqen 5 000 bukë çdo ditë. Në tabelë janëdhënë të dhënat për bukët e shitura për një javë.

3 Dita Nr. i bukëve

E hënë 1 260

E martë 4 205

E mërkurë 4 728

E enjte 3 916

E premte 4 010

E shtunë 4 857

E diel 1 376

30

Treni është nisur prej Manastiri për në Shkupme 489 udhëtarë. Në Prilep prej trenit kanëzbritur 120 udhëtarë, kurse kanë hipur 70udhëtarë. Në Veles kanë zbritur 42 udhëtarë,kurse kanë hipur 98. Me sa udhëtarë ka ard-hur treni në Shkup?

Detyra

Numrit 836 shtoja ndryshimin e numrave299 dhe l73.Ndryshimin e numrit më të madh katër-shifror dhe numrit më të vogël treshifrorzmadhoje për 1216.

1.

2. Arlindi ka 1 350 denarë. Që të blej atlete iduhen 3 120 denarë. Arlindi i ka rrumbul-lakuar parat në qindëshe. Ndihmoji Arlindit që të caktoj edhe saqindëshe i mungojnë. Njehso saktësisht sa para i mungojnëArlindit.

4.

Vera ka 2 725 denarë. Merita ka 120 denarëmë shumë se Vera. Arta ka 385 denarë mëpak se Vera dhe Merita së bashku.Sa denarë ka Merita?Sa denarë ka Arta?

3.

(26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;

(439 - 195) + (270 - 36) = .

Njehso:

Vlerëso ndryshimin e numrave 2 376 dhe 1 289duke i rrumbullakuar në qindëshe.

Vlerëso ndryshimin e numrave 457 dhe 165 duke i rrumbullakuar në dhjetëshe;qindëshe. Krahaso vlerësimet me vlerën e saktë të ndryshimit.

4

Të caktosh ndryshimin e dy numrave;

të njehsosh vlerën e shprehjesnumerike me operacionet mbledhjedhe zbritje me kllapa ose pa kllapa;

të vlerësosh ndryshimin gjatë zbritjes.

Duhet të dish!Testohu!

Përpiqu!

Nëse i paramendon cilat do tre numra natyrorë, a do të ketëgjithmonë mes tyre dy shuma e të cilëve është numër çift?

31VARËSIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT NGA

NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE12

Kujtohu!

Janë dhënë shuma 320 + 150 = 470 dhendryshimi 250 - 120 = 130.

Cili numër duhet të qëndroj në katrorqë të jetë e saktë.(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

A Në mëngjes në :Ditën e drurit” janë sjel-lë 2 600 fidanë gjethembajtës dhe 3100 fidanë gjetherënës.a) Sa fidanë të të dy llojeve janë sjellëatë mëngjes?b) Mbas dite janë sjellë edhe 400 fidanëgjethembajtëse. Për sa do të rritetnumri i fidanëve të sjellë atë mëngjes?

1

Është e njohur se a + b = 200. Njëri prej mbledhësve le të rritet për 300.Njehso shumën a + (b + 300).

2

Si do të ndryshoj shuma 340 + 620 = 960

a) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60;

b) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60, ndërsa tjetri zmadhohet për 60?

3

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.a) 2 600 + 3 100 = 5 700; në mëngjes janë sjellë 5 700 fidanë.b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Numri i fidanëve të sjellë atë mëngjesështë rritur për 400.

a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;

b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; shuma nuk u ndryshua.

Shuma u zvogëlua për aq sa u zvogëluanjëri prej mbledhësve.

Vërejte se:

Vëre në përgjithësi për shumën a+b=c

Nëse njëri mbledhës zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetrimbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zmadhohet për atë numër të njëjtë (a + m) + b = c + m

Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetrimbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zvogëlohet për atë numër të njëjtë (a - m) + b = c - m

Shuma nuk do të ndryshojë nëse njëri mbledhës zvogëlohet për njënumër të caktuar, ndërsa tjetri rritet po për atë numër. (a - m) + (b + m) = c

�

�

�

32 B Është dhënë ndryshimi 750 - 430 = 320. Njehso dhe vëre si ndryshon ndryshi-mi nëse i zbritshmia) Zmadhohet për 50; b) zvogëlohet për 50.

4

Është dhënë ndryshimi 2 480 - 560 = 1 920. Si do të ndryshoj ndryshimi, nëse zbritësin:a) E zvogëlon për 30; b) e zmadhon për 30.

5

Njehso ndryshimin 6 354 - 2 314. Si do të ndryshojë ndryshimi nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësia) Zmadhohen për 120; b) zvogëlohen për 120?

6

Si do të ndryshojë ndryshimi, nëse i zbritshmi zmadhohet për 10, ndërsa zbritësi zvogëlohet për10.

7

Sigurisht vërejte:a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.

Ndryshimi: a) do të zmadhohet për 30; b) do të zvogëlohet për 30.

b) Ndryshimi do të zvogëlohet për 50.

a) Ndryshimi u zmadhua për 50, gjegjë-sisht aq sa u zmadhua i zbritshmi

Vëre se ndryshimi mbetet i njëjtë.

Vëre në përgjithësi për ndryshimin a-b=c

Nëse i zbritshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për një numërtë caktuar, ndërsa zbritësi mbetet i njëjtë, atëherë edhe ndryshimi

do të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për atë numër të njëjtë.

(a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m

Nëse zbritësi zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmimbetet i njëjtë, atëherë ndryshimi do të zvogëlohet për atë numër. Nëse

zbritësi zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet injëjtë, atëherë ndryshimi do të zmadhohet për atë numër të njëjtë.

a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m

Ndryshimi nuk do të ndryshojë nëse i zbritshmi dhe zbritësi zmad-hohen apo zvogëlohen për një numër të njëjtë.

(a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d

�

�

�

Si ndryshon shuma e dy numrave, nëse njërimbledhës:

Duhet të dish!

Zmadhohet për një numër të caktuar;

Zvogëlohet për një numër të caktuar;

Zmadhohet për një numër të caktuar,ndërsa mbledhësi tjetër zvogëlohet përatë numër të njëjtë?

Si ndryshon ndryshimi i dy numrave:

Nëse i zbritshmi zmadhohet, gjegjësishtzvogëlohet për një numër të caktuar;Nëse zbritësi zvogëlohet, gjegjësisht zmad-hohet për një numër të caktuar;

Nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi zmadho-hen gjegjësisht zvogëlohen për një numër tëcaktuar;

33

Shuma e dy numrave është 3 540. Sa do të jetë shuma nëse njëri prej mbledhësve zvogëlohet për140?

Ndryshimi i dy numrave është 270. Sa do të jetë ndryshimia) Nëse i zbritshmi zvogëlohet për 27? b) nëse zbritësi zmadhohet për 27?

Njehso 460-120.Cakto x nga barazimi: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Testohu!

Detyra

Për sa do të ndryshojë shuma nëse njërimbledhës zmadhohet për 234?

1.

Nëse zbritësi zmadhohet për 25, ç’duhet tëbëhet me të zbritshmin ashtu që ndryshi-mi të mos ndryshojë?

4.

Nëse a - b = 100, njehso:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);c) (a - 10) - (b + 10);d) (a + 5) - (b - 5);

5.

Një mëngjes Merita ka marrë një shumë tëcaktuar të hollave nga babai i saj dhe njëshumë të caktuar të hollave nga nëna esaj. Nga të hollat e nënës ajo ka shpenzuar100 denarë. Në mbrëmje babai i ka dhënëedhe 200 denarë dhe ajo ka konstatuar seka 700 denarë . Sa denarë gjithsej nëmëngjes i kanë dhënë nëna dhe babai isaj?

6.

Nëse 1 230 + 670 = 1 900, atëherë sa është(1 230 - 350) + 670?

2.

Është dhënë ndryshimi6 543 - 2 732 = 3 811.

Për cilën vlerë të x-it është e saktë barazia

6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

3.

Problem

Mendo dhe përpiqu të njehsosh gojarisht. Sa është ndryshimimes shumës së njëqind numrave të parë çift dhe shumës sënjëqind numrave të parë tek?

Kujtohu!

34

Vetia e ndërrimit e shumëzimit.

a ⋅ b = b ⋅ a

Nëse ndërrohen vendet e shumëzuesve prodhimi nukndryshon.

4 ⋅ 6 = 24 ose 6 ⋅ 4 = 24

shumëzues prodhim shumëzues prodhim

Vetia e shoqërimit e shumëzimit. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

Prandaj, kllapat mundet të shlyhen:a⋅ b⋅ c.

Shumëzimi me numrin 1

a ⋅ 1 = a

Të tre shumëzues mund të grupohen në 2 mënyra. Prodhiminuk ndryshon.

(2 ⋅ 5) ⋅ 3 ose 2 ⋅ (5 ⋅ 3)

10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15

30 = 30

Nëse njëri prej shumëzuesve është një, atëherë prodhimi është ibarabartë me shumëzuesin tjetër.

468 ⋅ 1 = 468

Shumëzimi me 0

0 ⋅ a = 0

Nëse njëri prej shumëzuesve është zero, atëherë prodhimi ështëi barabartë me zero.

0 ⋅ 235 = 0

A Një automobil për 100kilometra të kaluaraharxhon 7 litra benzinë.

Njehso:

35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Sa litra benzinë do të harxhoji automobilinëse kalon 400 kilometra rrugë?

1

Agoni ka udhëtuar 5 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë kakaluar nga 9 kilometra. Arlindi ka udhëtuar 6 ditë me biçikletëne tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 8 kilometra.

2

Sa kilometra më shumë ka kaluar Arlindi prej Agonit?

Përkujtohu dhe vëre vetitë e shumëzimit në bashkësinë N0.

SHUMËZIMI13

�

�

35

Shembul

Kur zbatohen vetitë, shumëzimi është më ilehtë!

Njehso:

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

3

Njehso:4

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

50 ⋅ (4 ⋅ 8) =

40 + (130 ⋅ 10) =

(280 + 32) ⋅ 8 =

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

Njehso:5

40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

Si janë vlerat e shprehjeve numerike?

Provo, a është e saktë?

(68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5

Si formohen shprehjet që i krahason?

Pikat shkojnëpara vizave

Por, së pari nëkllapa

Vëre se: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c);

a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

Njehso prodhimin 324 ⋅ 48, duke i rrumbullakuar shumëzuesit në dhjetëshe. Për sa dallohet vlera e përafërt e fituar nga ajo e saktë?

6

320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; prodhimi është për 448 më shumë se vlera e saktë.

Me këto barazi është shprehur:

vetia e shpërndarjes (distributive) e shumëzimit në lidhje me mbledhjen.

vetia e shpërndarjes e shumëzimit në lidhje me zbritjen.��

BSa kilometra ka kaluar Arditi?

Arditi ka udhëtuar 4 javë, nga 4 ditë në javë, nga 4 kilometra në ditë. 7

Vëre!

Prodhimi 4 ⋅ 4 ⋅ 4 shkurtimisht shënohet 43, kurse lexohet 4 në të tretën.Shënimi 43 quhet fuqi me bazë 4 dhe tregues të fuqisë 3.

36

Shumëzimi Shënimi i shkurtër Vlera

4 ⋅ 4 ⋅ 4 43 64

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

6 ⋅ 6

8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8

Ç’tregon baza e fuqisë?

Ç’tregon treguesi i fuqisë?

Shkruaje 108 në formë të shumëzimit.

Cakto vlerën e 14.

Me marrëveshje: 51 = 5; a1 = a.

43

�FUQI

�BAZA

�TREGUESI I

FUQISËTë mbaj mend: Prodhimi ishumëzuesve të barabartë shkur-timisht quhet fuqi

Shkurtimisht shkruaje shumëzimin dhe prodhimin.

Të caktosh prodhimin e dy ose më

shumë numrave;

Ti zbatosh vetitë e shumëzimit;

Ta vlerësosh prodhimin e shumëzimit të

dy numrave

të caktosh vlerën e fuqisë.

Duhet të dish!

Iliri dhe Jetoni kanë blerë 8 pako, te të cilat kapasur nga 8 kuti me nga 8 sheqerka në çdo kuti.

Sa kuti kanë blerë Iliri dhe Jetoni së bashku?Nga sa kuti ka pasur çdonjëri prej tyre?Sa bonbone ka pasur Jetoni?Shkruaje numrin e bonboneve të Ilirit në formëtë fuqisë.

Njehso:1.

Në një shumë, numri 245 paraqitet simbledhës 48 herë. Njehso atë shumë.

2.

Rrezja e Tokës është 6 370 kilometra.Largesa e Tokës deri të Hëna është rreth 60herë më e madhe se rrezja. Caktolargesën nga Toka deri të Hëna.

3.

Vlerëso prodhimin 127×268 duke rrumbul-lakuar në a)qindëshe; b) dhjetësheCakto ndryshimin e prodhimit të saktë dhetë vlerësuar.

4.

186 ⋅ 35 =

(427 ⋅ 5) ⋅ 24 =

(1 376 - 376) ⋅ 100 =

50 ⋅ (60 + 80) =

496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 =

73 =

42 + 4 + 34 - 25 =

Testohu!

Detyra

Cilat shifra duhet ti shkru-ash në vend të *, qëshumëzimi të jetë saktë-sisht i njehsuar?

439 ⋅ ∗7

3∗73

+ ∗756

2∗633

5.

Kujtohu!

A

37

14 : 7 =

20 : 10 =

22 : 2 =

88 : 22 =

396 : 3 =

1 200 : 60 =

Njehso: Nxënësit kanë mbledh 1 300denarë që të blejnë topa. Çdo topkushton nga 325 denarë.

1

Gjithsej 84 nxënës janë paraqitur në turnirin e shkollësnë volejboll. Për trajner të ekipeve janë paraqitur 6arsimtar.

2

Sa topa kanë blerë?

Nëse çdo ekip përbëhet prej 12 nxënësve, numri i arsimtarëve për trajner a është i mjaftueshëm?

1 300 : 325 =

i pjesëtueshmi pjesëtuesi herësi

Pjesëtimi me numrin 1a : 1 = a

Nëse pjesëtuesi është 1, atëherë herësi është i barabartë me tëpjesëtueshmin.

23 765 : 1 = 23 765

Pjesëtimi i numrit me vetveten.a : a = 1, a ≠ 0

Pjesëtimi i numrit 0. 0 : a = 0, a ≠ 0

Nëse i pjesëtueshmi është i barabartë me pjesëtuesin, atëherëherësi është 1

762 : 762 = 1

Nëse i pjesëtueshmi është 0, atëherë herësi është i barabartë me 0.

0 : 16 = 0

2 : 0 nuk ka kuptim!Numri 0 nuk mundet të jetë pjesëtues.

Kryeje provën e rezultatit të fituar

PJESËTIMI14

Njehso:

(28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 =

108 : 18 + 3 485 : 85 =

3

Njehso të pjesëtueshmin, nëse pjesëtuesiështë 72, ndërsa herësi është 102.Me cilin numër duhet të pjesëtohet numri 18712 që të fitohet numri 1?

76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

anÇdo herë jamunë i pari

Pikat shkojnëpara vizave

Përkujtohu dhe vëre vetitë e pjesëtimit në bashkësinë N0.

B

18

54

: 3 : 6

108

Duhet të dish!

Të caktosh herës të dy numrave;

Ta paraqesësh të pjesëtueshmin mendihmën e herësit, pjesëtuesit dhembetjes.

Njehso herësin:1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

Njehso: 1 510 : 125 =Të pjesëtueshmin paraqite me ndihmën e herësit,pjesëtuesit dhe mbetjes.

38

Nga sa pulla ka marrë çdonjëri? Sa pulla ka ngelur që nuk janë ndarë?

Nëse a = 77 dhe b = 5, cakto herësin a : b dhe mbetjen r.Shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q + r.

16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.

Vëre se 71 = 23 ⋅ 3 + 2.

Iliri, Blerta dhe Arta mbledhin pulla postale. Ato kanë 71 pulla dhe duan t'i nda-jnë një lloj.

4

Cakto herësin q dhe mbetjen r gjatë pjesëtimit a : b dhe shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q+ r.

6

5

Te pjesëtimi 71 : 3 numri 23 ështëherës, kurse numri 2 mbetje.

Nëse te pjesëtimi a : b, numri q ështëherës, kurse r r është mbetje, atëherë:

a = q ⋅ b + r

Mendohu dhe përgjigju!

Te pjesëtimi te i cili pjesëtuesi është 8, mbetja mund të jetë: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Pse mbetje nuk mund të jetë numri 8?

Detyra

Pjesëto me numrin e parë, kurse pastajrezultatin e fituar pjesëtoje me numrin edytë.

1.42

84

: 7 : 2

98

Testohu!

Një tufë dallëndyshe gjatëshpërnguljes kanë fluturuarrreth 10 000 kilometra.Shpejtësinë më të madhe që e ka arrittufa ka qenë 40 kilometra në orë. Sa orë më së paku ka fluturuar tufa e dal-lëndysheve.

39Cili numër duhet të shkruhet te katrori që tëjetë i saktë pjesëtimi?

2.

Shkruaj shprehje dhe njehso vlerën e saj.

Njehso shumën e numrit 85 dhe prod-himin e numrave 4 dhe 15.Herësit të numrave 210 dhe 30 shtojanumrin 700.Cili numër është ndryshimi ndërmjetprodhimit të numrave 120 dhe 6 dheherësit të tyre?

3.

Në katror cakto numër që barazimi të jetë isaktë:

a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + ;

b) 2 100 = 261 ⋅ + 12.

4.

Një kërmill me shpejtësinë e tij më tëmadhe ka kaluar 12 metro për 4 orë. Sacentimetra ka kaluar kërmilli për 1 min-utë?

5.

72 63 9

9 600 50

4 169 13

: 9 :

:

:

: 19

: 19

Se se}avam:: 5

⋅ 5

4 10

:

2= 10 : 2

Cilat shifra duhet ti shënosh në vend të *, qëbarazimi të jetë i njehsuar saktësisht.

6.

Dy nxënës kanë pjesëtuar numrin e njëjtë: ipari me 16, ndërsa i dyti me 19. I pari ka fitu-ar herësin 22 dhe mbetjen 9. Cilin herës kafituar nxënësi i dytë?

7.

Shuma e dy numrave është 660. Nëse numritmë të madh i fshihet një zero nga e djathta,atëherë ato janë të barabartë. Cilët janë atonumra?

8.

1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗

∗∗∗- ∗∗∗

0

40 VARËSIA E PRODHIMIT DHE HERËSIT NGA

NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE15

Kujtohu!

Sipas cilës veti është e saktë barazia:a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10;b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)?

Është dhënë: 80 ⋅ 5 = 400. Shkruaj numërnë katrorë ashtu që barazia të jetë e saktë.

a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ;

c) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) = ; d) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 = .

I PJESËTUESHMI PJESËTUESI HERËSI

KOMPONENTI

96 : 24 = 4

Pjesëtimi a : b ka kuptim për b ≠ 0.

A Njehso prodhimin 15 • 6. Pastaj,zmadhoje shumëzuesin e parë:a) 2 herë b) 3 herë c) 7 herë dheprovo sa herë është zmadhuar prod-himi.Çfarë vëren?

1

Le të jetë a ⋅ b = 50. Njehso: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).2

Njehso prodhimin 40 • 9. Pastaj, shumëzuesin e parë zvogëloje për:a) 2 herë; b) 4 herë c) 5 herë

dhe krahaso prodhimin e fituar me atë të dhënë. %ka vëren?

3

Nëse a ⋅ b = 120, njehso sa është: a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).4

Është dhënë 15 • 16 = 240. Njehso prodhimet:(15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),

e pastaj krahasoje me prodhimin e dhënë.

5

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen në vijim.15 ⋅ 6 = 90;

a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.

Ke vërejtur se prodhimi i dhënë është zmad-huarb) 3 herë c) 7 herë.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.40 ⋅ 9 = 360;

a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.

Prodhimi është zvogëluar: b) 4 herë c) 5 herë.

Vëre se njëri shumëzues është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht 5 herë, ndërsa shumëzuesi i dytë ështëzvogëluar 2 herë, gjegjësisht 5 herë. Prodhimi nuk ka ndryshuar.

Prodhimi i dhënë ështëzmadhuar 2 herë.

Njëri shumëzues ështëzvogëluar 2 herë dhe prodhimii dhënë është zvogëluar 2 herë.

� � �

41

BE ke të njohur se 72 : 12 = 6.Njehso:a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 ⋅ 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;

c) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) = .

6

E ke të njohur se a a : b = 30.Njehso:a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3); c) (a : 5) : (b : 5).

7

I pjesëtueshmi është zmadhuar 2herë, gjegjësisht zvogëluar 2 herëdhe herësi është zmadhuar 2 herë,gjegjësisht është zvogëluar 2 herë.

Në përgjithësi për prodhimin a • b = p

Nëse njëri shumëzues zmadhohet numër të caktuar herë, ndërsashumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të

zmadhohet aq herë.(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

Nëse njëri shumëzues zvogëlohet numër të caktuar herë, ndërsashumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të zvogëlo-het aq herë.

(a : m) ⋅ b = p : m

Prodhimi nuk ndryshon kur njëri shumëzues zvogëlohet numër tëcaktuar herë, ndërsa shumëzuesi i dytë zmadhohet për po aq herë. (a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

�

�

�

Në përgjithësi për herësin a:b=q

Nëse i pjesëtueshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër tëcaktuar herë, atëherë herësi do të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlo-

het) po aq herë.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m(a : m) : b = q : m

Nëse pjesëtuesi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër të caktu-ar herë, ndërsa i pjesëtueshmi mbetet i njëjtë, atëherë herësi do tëzvogëlohet (gjegjësisht zvogëlohet) po aq herë.

a : (b ⋅ m) = q : ma : (b : m) = q ⋅ m

Herësi nuk ndryshon nëse edhe i pjesëtueshmi edhe pjesëtuesinjëkohësisht zmadhohen (gjegjësisht zvogëlohen) numër të caktuar

herë.

(a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q(a : m) : (b : m) = q

�

�

�

Vëre sa herë është zmadhuar, gjegjësisht zvogëluar: i pjesëtueshmi nën a); pjesëtuesi nën b)’ ipjesëtueshmi dhe pjesëtuesi nën c).

Krahaso herësit e fituar me atë të dhënë.Çfarë vëren?

Krahaso zgjidhjen tënde me atë vijuese.a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

Vëre nën b) se pjesëtuesi është rritur (zvogëluar) 3 herë, ndërsa herësi është zvogëluar (zmadhuar) 3herë. Herësi nën c) nuk u ndryshua.

42 Duhet të dish!

Si ndryshon prodhimi i dy numrave në varësinga ndryshimi i shumëzuesve;

Si ndryshon herësi i dy numrave në varësi ngandryshimi i të pjesëtueshmit gjegjësishtpjesëtuesit.

Cakto të panjohurat p dhe m, nësea) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9;b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

Di se 600:30=20. Njehso:a) (600 • 7) : 30; b) 600 : (30 • 4);c) 600 : (30 : 5); d) (600 : 10) : (30 : 10).

Testohu!

Detyra

Është dhënë prodhimi a ⋅ b = 60. Njehso: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7);c) (a : 4) ⋅ b; d) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).

1. Në një fabrikë të çokollatës, dy ekipe kanëpaketuar çokollatat me nga 100 g në kuti tënjëjta. Ekipi i dytë gjithsej ka paketuar 1 680çokollata, e kjo është 3 herë më pak kutia sesa ekipi i parë. Sa çokollata ka paketuar ekipii parë?

4.

Njehso herësin 7 680 : 240, por paraprakishtsille në pjesëtim me pjesëtues njëshifror,duke e shfrytëzuar vetinë për mosndryshimin e herësit.

5.

Është dhënë herësi a : b = 90. Njehso: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6);c) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) d) (a : 12) : (b : 12).

2.

Është dhënë a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Njehso: a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); c) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

3.

Problem interesant!

Një grua ka sjellë në treg një shportë me vezë. Blerësit të parëia ka shitur gjysmën e vezëve dhe gjysmë veze, të dytit gjys-mën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të tretit gjysmën evezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të katërtit gjysmën evezëve të mbetura dhe gjysmë veze. Kur blerësi i pestë ka blerëgjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmën e vezës, është kon-statuar se të gjithë blerësit kanë blerë vezë të plota dhe gruajai ka shitur të gjithë vezët. Sa vezë ka sjellë gruaja në treg?

43SHPREHJA NUMERIKE. BARAZIMET16Kujtohu!

Njehso:

a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3;

b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23.

Shuma e dy numrave është 200,ndërsa njëri mbledhës është 120.Sa është mbledhësi i dytë?

Përpilo shprehje me të dhëna dhe operacionepërkatëse.

Sipas cilës radhitje do ti kryesh operacionet?

120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.

Shprehjen të cilën e përpilove quhet shprehje numerike

Rezultati pas kryerjes së të gjitha operacioneve në tëquhet vlera e shprehjes numerike.

Njehso shprehjen e fituar.Prodhimi i dy numrave është 128,ndërsa njëri shumëzues është 64.Sa është shumëzuesi i dytë?

A Agoni kishte 120 denarë. Nëna i ka dhënë 300denarë që ti ndajnë me motrën në mënyrë tëbarabartë. Në librari ka blerë 4 fletore nga 35denarë dhe kompas për 50 denarë. Sa denarë ikanë mbetur Agonit?

1

Cakto vlerën e shprehjes numerike:

a) 85 + 15 -30; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; c) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.2

⋅ x

: 64

12864x

+ x

− 120

200120x

120 + x = 200x = 200 - 120x = 80

64 ⋅ x = 128x = 128 : 64x = 2

Krahaso zgjidhjentënde me atë të dhënë

Shprehje janë shënimet vijuese: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25).

Nuk janë shprehje: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

Mbledhja dhe zbritja quhen operacione të rendit të parë, ndërsa shumëzimi dhe pjesëtimi opera-cione të rendit të dytë.

Vëre dhe mbaj në mend

Së pari do ti kryej operacionet shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhjen dhezbritjen; por para së gjithash kryen operacionet në kllapat.

44

Operacionet e rendit të njëjtë kryhen sipas radhitjes siç janë shënuar në shprehjen numerike.

Në përgjithësi për kryerjen e operacioneve

Vëreje ecurinë dhe vepro sipas kërkesave.

�

Së pari kryhen operacionet e rendit të dytë, e pastaj operacionet e rendit të parë.�Nëse në shprehjen numerike ka kllapa, atëherë përparësi ka kryerja e operacioneve në kllapa.�

Njehso vlerën e shprehjes numerike:

a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; c) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.3

Zgjidhe barazimin;

a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5

B Beni ka menduar një numër natyror të tillë që me mbledhjen e numrit më të madhtreshifror e jep numrin 1 234. Cili është ai numër?

4

Së pari, numrin e kërkuar shënoje me ndonjë shkronjë, për shem-bull me shkronjën x.

Numrit x shtoja numrin më të madh treshifror –ai është 999; kështu do ta fitosh shumën x + 999.

D.m.th., x = 1 234 - 999; x = 235.

Sipas kushteve të detyrës, shuma x + 999 është e barabartë me 1 234, prandaj x + 999 = 1 234.

Si do ta përcaktosh mbledhësin e panjohur të kësaj barazie?

Mbledhësin x do ta caktoj nëse nga shumë 1 234 e zbresim mbledhësin e dytë999.

+ 999 = 1 234

Barazia x+999=1 234 me të cilën e përcaktove numrin e panjohur x quhet barazim.

Numri i menduar x quhet e panjohur.

Përcaktimi i numrin të panjohur quhet zgjidhja e barazimit

x

45Është dhënë barazimi: a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6

Zgjidhe barazimin: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7

Në një bodrum vëre nëpër kuti duhet të paketohen 1 392 shishe, e në secilën kuti duhet të ketënga 16 shishe. Sa kuti janë nevojitur?

8

Përgjigju pyetjeve dhe zgjidhe barazimin e dhënë.

a) � Ä Çfarë është numri i panjohur x, e çfarë janë numrat e njohur 1 270 dhe 2 380?

� Si përcaktohet i zbritshmi i panjohur nëse është dhënë zbritësi dhe ndryshimi?

b) Si do ta përcaktosh zbritësin e panjohur x në barazim nëse është dhënë i zbritshmi dhendryshimi?

Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet: mbledhësi, i zbritshmi ose zbritësi i panjohur

Nëse me k e shënon numrin e kutive të nevojshme, atëherë në to do të ketë 16 ⋅ k shishe, prandaj16 ⋅ k = 1 392.

Numri 1 392 është prodhim i shumëzuesve 16 dhe k.

Si do ta përcaktosh shumëzuesin k?

Të zbritshmin x do ta përcaktoj ashtu që ndryshimit 2 380 do ti shtoj zbritësin 1 270.

Zbritësin x do ta përcaktoj ashtu që nga i zbritshmi 8 226 do ta zbres ndryshimin 1 149.

Shumëzuesin k do ta përcaktoj nëse prodhimin 1 392 do ta pjesëtoj meshumëzuesin 16.

Mbledhësi i panjohur, gjatë shumës dhe mbledhësit tjetër të njohur,përcaktohet ashtu që nga shuma zbritet mbledhësi i njohur.

x + b = c; x = c - b(b dhe c janë numra të njohur)

I zbritshmi i panjohur, gjatë zbritësit dhe ndryshimit të njohur, fitohetashtu që ndryshimit do ti shtohet zbritësi.

x - b = d; x = d + b(b dhe d janë numra të njohur)

Zbritësi i panjohur, gjatë të zbritshmit dhe ndryshimit të njohur, fito-het ashtu që nga i zbritshmi zbritet ndryshimi.

a - x = d; x = a - d(a dhe d janë numra të njohur)

�

�

�

k = 1 392 : 16; k = 87. Shishet ishin të paketuar në 87 kutia.

Zgjidhe barazimin: a) 17 ⋅ y = 595; b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.9

46

Pastaj sqaro përfundimin se x = 47 ⋅ 25.

Cili numër është zgjidhje? Provo pohimin tënd.

Si mund “ta lexosh” baraziminx : 25 = 47,

gjegjësisht çfarë janë numra të njohur 25 dhe 47, e çfarë është e panjohura x?

10

“Lexoje” barazimin 1 120 : x = 35 dhe sqaroje përfundimin x = 1 120 : 35.11

Zgjidhe barazimin

a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; c) 1 080 : x = 24; d) 50 : (x + 2) = 10.

12

Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet shumëzuesi, i pjesëtueshmi ose pjesëtuesi.

Shumëzuesi i panjohur, gjatë prodhimit dhe shumëzuesit tjetër tënjohur, përcaktohet ashtu që prodhimi do të pjesëtohet meshumëzuesin e njohur.

a ⋅ x = p; x = p : a(a dhe p janë të njohur)

I pjesëtueshmi i panjohur, gjatë herësit dhe pjesëtuesit të njohur,përcaktohet ashtu që herësi do të shumëzohet me pjesëtuesin.

x : b = q; x = q ⋅ b(b dhe q janë të njohur)

Pjesëtuesi i panjohur, gjatë herësit dhe të pjesëtueshmit të njohur,përcaktohet ashtu që i pjesëtueshmi shumëzohet me herësin.

a : x = q; x = a : q(a dhe q janë numra të njohur)

�

�

�

Duhet të dish!

Të përcaktosh vlerën e shprehjes së dhënënumerike;

cilat operacione në shprehjen numerike kanëpërparësi gjatë kryerjes së tyre;

të zgjidhësh barazime sipas vetive të opera-cioneve aritmetikore.

Përcakto vlerën e shprehjes numerike:17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

Zgjidhi barazimet:a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;c) x : 15 = 10; d) 645 : x = 15;e) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

Kontrollohu!

Detyra e tyre

Përcakto vlerën e shprehjes numerike:a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13).

1.

Në një ndërmarrje kanë mbushur 1 360 arkame mollë, prej të cilave 420 të llojit delish-ese, 635 ajdaret, ndërsa arka të tjera të llojitmollë tetove. Sa arkë ishin me mollë tetove?

3.

Njomza ka 11 vjet. Para 3 viteve nëna e sajkishte 4 herë më shumë vite se Njomza. Savjet ka tani nëna e Njomzës?

4.

Eljesa dhe Beni kanë numër të njëjtë arrash.Dihet se bashkërisht do të kishin 140 arrënëse Eljesa do të kishte 2 herë më shumë,ndërsa Beni 5 herë më shumë. Nga sa arrakanë Eljesa dhe Beni?

5.

Zgjidhe barazimin:a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;c) 17 ⋅ x = 289; d) x : 30 = 40;e) 483 : x = 23; f ) 50 : (x + 2) = 10.

2.

47

E hënë 12

Dita Numri i kasetave

Arlindi është pronar i video klubit dhe huazon videokaseta. Të dhënat për videokasetat e huazuarai ka shënuar në tabelë

1

E martë 9

E mërkurë 15

E enjte 6

E premte 23

Cilën ditë Arlindi ka huazuar më shumë?Sa kaseta më tepër janë huazuar ditën epremte se sa ditën e martë?Sa kaseta gjithsej janë prodhuar?

Arlindit i ka interesuar sa kaseta ka huazuarmesatarisht në ditë, e për atë është e nevo-jshme të njehsohet mesatarja aritmetike enumrave në tabelë.

12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65

65 : 5 = 13

Vëre!

Gjithsej kaseta tëhuazuara

Kaseta të huazuara mesatarishtçdo ditë

Numri i ditëve

Gjatë pesë ditë pune të javësArlindi mesatarisht ka huazuar nga13 videokaseta në ditë.

Numri 13 është mesatare aritmetikepër numrat; 12, 9, 15, 6 dhe 23.

Paraqiti të dhënat në tabelë.Sa pikë mesatarisht ka arritur Agoni në testet e matematikës?

Njehso mesataren aritmetike të numrave:2

Në testet e matematikës Agoni i ka arritur këto rezultate: në testin 1 ka fituar 89 pikë, në testin 2ka fituar 91 pikë, në testin 3 ka fituar 100 pikë dhe në testin 4 ka fituar 80 pikë.

3

24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.

MESI ARITMETIK17

Të mbaj mend! Mesataren aritmetike të dy apo më shumë numrave, e cilaështë e barabartë me herësi i shumës së atyre numrave dhe numrit të


48

3 3 ⋅ 6

3

9

1 ⋅ 18

2 9 2 ⋅ 9

1 18 1 ⋅ 18

Numri i Numri i nxënësve Gjithsejrreshtave në çdo rresht nxënës

Kujtohu!A

Njehso:

Në cilin pjesëtim mbetjaështë 0?

24 : 6 =

139 : 2 =

265 : 5 =

2 785 : 8 =

Tetëmbëdhjetë nxënës të klasës VI-të janë për-gatitë për festën e patronatin të shkollës. Atoduhet të paraqiten ashtu që të radhiten në rreshtame numër të njëjtë të nxënësve.

1

Në sa mënyra të ndryshme mundet të radhiten nxënësit?

Plotësoje tabelën me të dhëna për radhitjen e nxënësve.

Thuhet: Numri 18 plotpjesëtohet me numrat 1, 2, 3,6, 9 dhe 18. Ato numra quhen pjesëtues të numri 18.Shkruhet: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Në sa mënyra mundet të fitohet numri 18 si prodhim i dynumrave?Me cilat numra mundet të pjesëtohet numri 18 ashtu qëgjatë pjesëtimit mbetja të jetë 0 (pa mbetje)?

Të mbaj mend: Numri 18 pjesëtohetme numrat 1, 2, 3, 6, 9 dhe 18 pambetje.

Me pjesëtim provo:2

Numri 4 është pjesëtues i numrit 8 (4 ⋅ 2 = 8 ose 8 : 4 = 2 dhe mbetja 0).4

Numri 6 a është pjesëtues i numrit 24?

Numri 31 a plotpjesëtohet me numrin 5?

Numri 42 a plotpjesëtohet me numrin 6?

Shkruaj 5 numra që plotpjesëtohen me 4.

Cakto bashkësinë D14 e të gjitha pjesëtuesve të numrit14.

3

Vëre se për ti caktuar të gjithë pjesëtuesit e numrit 14 duhet hap pas hapit të pjesëtosh me 1, 2, 3, …, 7.

UNË JAM

PJESËTUESI

PLOTË PJESËTUESHMËRIA E NUMRAVE NATYRORË.

PLOTË PJESËTUESHMËRIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT18

49

B

Numri natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, ose a është i plotpjesëtueshëm me b, nësembetja gjatë pjesëtimit të a me b është 0.

10 : 5 = 2 10 = 5 ⋅ 2

Numri natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, nëse a = b ⋅ k për çdo numër natyror k.Shkruajmë: b | a. Lexojmë: b është pjesëtues i a.

Numri natyror a është shumëfish i numrit natyror b, nëse b është pjesëtues i numrit a.35 është shumëfish i 5, pasi 5 | 35

Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1 dhe me vetveten.10 : 1 = 10 dhe 10 : 10 = 1a : 1 = a dhe a : a = 1

Pjesëtues të 10

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 7 numrat: 28, 42 dhe 28 + 42; 14, 18 dhe 14 + 18.

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 3 numrat: 9, 24 dhe 24 - 9; 15, 22 dhe 22 - 15.

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 4 numrat: 12, 15 dhe 12 ⋅ 15; 10, 15 dhe 15 ⋅ 10.

Bashkësia e të gjithë shumëfishëve të numrit 4 e shënojmë me S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.

5

Plotë pjesëtueshmëria e shumësm | a dhe m | b

m | (a + b)

Plotë pjesëtueshmëria e ndryshimitm | a dhe m | b

m | (a - b)

Plotë pjesëtueshmëria e prodhimitm | a ili m | b

m | (a ⋅ b)

Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m dhe numri b plotpjesë-tohet me numrin m, atëherë shuma (a + b) plotpjesëtohet me numrin m.

5 | 15 dhe 5 | 35 5 | (15 + 35)

Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m edhe numri b plotpjesëto-het me numrin m, atëherë ndryshimi (a - b) plotpjesëtohet me numrin m.

3 | 21 dhe 3 | 9 3 | (21 - 9)

Nëse numri m plotpjesëtohet të paktën me njërin prej numrave aose b, atëherë m plotpjesëtohet me numrin (a ⋅ b).

2 | 8 dhe 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15)

Vëreva në detyrë!Shuma plotpjesëtohet me numrin 7 nëse të dy mbledhësit plotpjesëtohen me numrin 7.Ndryshimi plotpjesëtohet me numrin 3 nëse i zbritshmi dhe zbritësi plotpjesëtohen me numrin 3.Prodhimi plotpjesëtohet me numrin 4 nëse njëri prej shumëzuesve plotpjesëtohet me numrin 4.

Të gjithë numrat që plotpjesëtohen me numrin 4 quhen shumëfisha të numrit 4.

�

�

�

�

�

�

�

Shkruajmë: 5 | 10. Lexojmë: 5 është pjesëtues i 10.

Në përgjithësi

50 Prej numrave 15, 18, 25 dhe 28 formo dy numra ashtu që:

shuma të jetë e plotpjesëtueshme me 5; ndryshim të jetë i plotpjesëtueshëm me 3;

prodhim të jetë i plotpjesëtueshëm me 7, por të mos jetë i plotpjesëtueshëm me 5.

Vëre se asnjëri nga mbledhësit, gjegjësisht edhe i zbritshmi edhe zbritësi nuk janë të plotp-jesëtueshëm me 5, ndërsa shuma, gjegjësisht ndryshimi janë të plotpjesëtueshëm me 5.

6

Provo nëse shuma 12+8, gjegjësisht ndryshimi 24-9, janë të plotpjesëtueshëm me 5.7

Kur një numër natyror plotpjesëtohet menumër tjetër natyror;të caktosh pjesëtues dhe shumëfish tënumri të dhënë natyror;me shembull ta tregosh plotë pjesëtuesh-mërinë e shumës, ndryshimit dhe prodhim-it të numrave natyrorë.

Duhet të dish!

Janë dhënë numrat: 5, 8, 30 dhe 56. Cili prej

këtyre numrave plotpjesëtohet me 6?

Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrit 30.

Shkruaj tre shumëfisha të numrit 5.

Numri 5 a është pjesëtues i numrit 58?

Provo pa njehsuar a është e saktë:

4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);

5 | (30 - 5); 5 | (30 ⋅ 6).

Detyra

Cilët prej numrave 1, 2, 3, 5 ose 7 janëpjesëtuesit e numrit 70?

Cakto pjesëtuesit e numrit 64.

Provo a vlen 4 | 12; 3 | 36;

10 | 1 000.

Shkruaj 7 shumëfisha të numrit 3. Sashumëfisha ka numri 3?

1.

Shkruaj nga një shembull që ta tregosh plotëpjesëtueshmërinë e:

shumës së 4 numrave natyrorë me numër;ndryshimit të 2 numrave natyrorë me

numër;prodhimit të 3 numrave natyrorë me

numër;

2.

Pa e njehsuar shumën, gjegjësishtndryshimin, cakto a është e plotp-jesëtueshme me 5.

a) 40 + 25; b) 27 + 20;

c) 50 - 15; d) 35 - 29.

3.

Pa i njehsuar prodhimet, cakto cili prej tyreështë i plotpjesëtueshëm me 3, e cili me 7.

a) 9 ⋅ 5; b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

c) 5 ⋅ 12; d) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

4.

Le të jetë A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}.Shkruaje bashkësinëB = {x | x ∈ A dhe 4 | x}

në mënyrë tabelare.

5.

Testohu!

51

Vëre rregullën

132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, pasi që 2 | 130 dhe 2 | 2.

254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, pasi që 2 | 250 dhe 2 | 4.

365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, pasi që 2 | 360 dhe 2 | 5.

Mbaj mend!

Një numër plotpjesëtohet me 2, nëse shifrat e njësheve të atijnumri janë 0, 2, 4, 6 ose 8.

Cilët prej numrave: 132,254 dhe 365 plotpjesëtohen me 2?

2

Cili prej numrave: 530, 738 dhe 1 336, 1 112 dhe 2 243 plotpjesëtohet me 2?3

Mundem të vërej! Një numër a plotpjesëto-het me 2 ose jo, varet prej shifrës së një-sheve të atij numri.

A

Provo nëse numrat :10, 70 dhe 270 plotp-jesëtohen me 2.

Që të konstatosh se një numër plotp-jesëtohet me numër tjetër, mjafton tëcaktosh herësin e tyre.Plotë pjesëtueshmëria mundet të cak-tohet edhe pa e kryer pjesëtimin. Atëe bëjmë me ndihmën e kritereve osetë ashtuquajturat indice të plotëpjesëtueshmëri.

1

Vëre rregullën

10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10.

70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70.

290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

Mund të vërej!Numri që mbaron me zero,

mundet të shkruhet si prodhim nëtë cilin njëri prej shumëzuesveështë 10. Ai prodhim plotpjesëto-het me 2.

Çdo numër te i cili shifra e një-sheve është 0 plotpjesëtohet me 2.

INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 2 DHE ME 519Kujtohu!

Një numër natyror plotpjesëtohet menumër tjetër natyror nëse mbetja gjatëpjesëtimit është 0.

Cili prej numrave: 37, 64 dhe 310 plotpjesë-tohet me 2.

Cili prej numrave: 65, 800 dhe 273 plotp-jesëtohet me 5?

�

��

��

Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 2.

52

Mundem të vërej! Numri shifrae njësheve të të cilit është 5plotpjesëtohet me 5.

B Vere rregullën

10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 pasi që 5 | 2 dhe 5 | 5.

70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 7.

360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 36.

Mundem të vërej!Numri shifra e njësheve të të cilit është zero mundet të shkruhet si prodhim te i cili

njëri prej shumëzuesve është 10.Ai numër plotpjesëtohet me 5.Çdo numër natyror ku shifra e njëshes është 0 plotpjesëtohet me 5.

Provo nëse num-rat: 10, 70 dhe360 plotpjesëto-hen me 5.

4

Vere rregullën

65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, pasi që 5 | 60 dhe 5 | 5.

105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, pasi që 5 | 100 dhe 5 | 5.

263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, pasi që 5 | 260 dhe 5 | 3.

Cilët prej numrave: 65,105 dhe 263 plotpjesëto-hen me 5?

5

�

��

��

Ku pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 5.

Mbaj mend!

Një numër plotpjesëtohet me 5, nëse shifrae njësheve të atij numri është 0 ose 5.

Cili prej numrave: 180, 243, 525, 420 dhe 1 275 plotpjesëtohet me 5?6

Të provosh nëse ndonjë numër natyror plotp-jesëtohet me 2, gjegjësisht me 5, pa e kryerpjesëtimin; ta zbatosh indicin për plotë pjesëtueshmërinëme numrin 2, gjegjësisht me 5, në detyra.

Duhet të dish!

Cili prej numrave: 13, 24, 15, 57, 155, 850 dhe 1 000

plotpjesëtohet me 2; plotpjesëtohet me 5;plotpjesëtohet me 2 dhe 5?

Testohu!

Detyra

Pa e krye pjesëtimin provo plotë pjesëtuesh-mërinë me 2 për numrat: 28, 70, 96, 797, 2001 dhe 25000.

1.

Tregoje indicin për plotë pjesëtueshmërinëme 5.

2.

Cili prej numrave: 102, 275, 400, 876 dhe995 plotpjesëtohen me 5?

3.

Njomza ka pasur më shumë se 60 bonbone,kurse më pak se 70 bonbone. Ajo u ka ndarëpesë shoqeve të saja numër të njëjtë të bon-boneve.

Sa bonbone ka pasur Njomza!

4.

53

BCakto shumën e shifrave të çdonjërit prej numrave.?Konstato te cili numër shuma e shifrave plotpjesëtohet me 9?

Mund të vërej! Nëse një numër plotp-jesëtohet me 3 atëherë edhe shuma eshifrave të tij plotpjesëtohet me 3.

Mundem të vërej! Kur një numërplotpjesëtohet me 9 atëherë edheshuma e shifrave të tij plotpjesëto-het me 9.

Mbaj mend!

Një numër plotpjesëtohet me 3, nëseshuma e shifrave me të cilat ai ështëshënuar është numër i plotp-jesëtueshëm me 3.

Mbaj mend!

Një numër plotpjesëtohet me 9,nëse shuma e shifrave me të cilëtështë shkruar ai numër plotpjesëto-het me 9.

Cili prej numrave: 111, 292, 1 112 dhe 1 236 është i plotpjesëtueshëm me 3?3

Cili prej numrave: 78, 117, 348, 486 dhe 1 567 plotpjesëtohet me numrin 9?4

me 3; me 9; me 3 dhe me 9.

Pa pjesëtuar cakto cili prej numrave: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 dhe 7 235 plotpjesëtohet:5

Shkruaj tre numra shuma e shifrave të të cilitështë e plotpjesëtueshme me 3.

2

Provo nëse numrat që i shkruar janë tëplotpjesëtueshëm me 3.

INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 3 DHE ME 920Kujtohu!

Cakto cili prej numrave: 9, 66, 171 dhe231 plotpjesëtohen me 3.

Cili prej numrave: 18, 999, 1 062 dhe 11000 plotpjesëtohen me 9?

A Cili prej numrave: 72, 84, 297 dhe373 plotpjesëtohet me 3?

1

Cakto shumën e shifrave të çdonumri.Konstato te cili numër shuma eshifrave të tij plotpjesëtohet me 3.Konstato cilët numra plotpjesëtohenme 3 dhe te cilët numra shuma eshifrave plotpjesëtohet me 3. Çkapërfundon?



54 Mundem të vërej! Numrat: 459,774 dhe 6 327 plotpjesëtohenme 3 dhe me 9.

Mbaj mend!

Çdo numër që plotpjesëtohetme 9 plotpjesëtohet edhe me3.

Nëse dëshiron të dish më shumë!

Përpiqu të përfundosh!

Pse një numër plotpjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 9?Vëre në këtë shembull: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);

Shprehja 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 plotpjesëtohet me 9 sipas rregullës për plotë pjesëtueshmërinë e prodhimitdhe shumës.Nga vlera e shprehjes 4 + 8 + 6 varet nëse numri 486 plotpjesëtohet me 9.

4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, pasi 9 | 18.Në mënyrë të ngjashme trego plotë pjesëtueshmërinë e numrit 123 me 3.

Merita ka hyrë në shitore për të blerë një akullore dhe tre çokollata. Ajo ka ditur se akullorja kushton60 denarë. Shitësi i ka thënë se duhet të pagojë 220 denarë. Ajo ka thënë se llogaria nuk është e saktë.Shitësi përsëri ka njehsuar dhe ka kërkuar falje. Si ka ditur Merita se llogaria nuk është e saktë, e nuk eka ditur çmimin e çokollatës?

Cili numër natyror plotpjesëtohet me 3;Të caktosh nëse numri i dhënë plotpjesëtohetme 9;çdo numër natyror që plotpjesëtohet me 9plotpjesëtohet edhe me 3.

Duhet të dish!

Cili prej numrave: 75, 94, 258 dhe 347 plotpjesë-tohet me 3?Cila shifër duhet të qëndroj në vend të shenjës *te 5 6*3 që të fitohet numër i plotpjesëtueshëmme 9?Shkruaj një numër që plotpjesëtohet me 3 dheme 9.Detyra

Cili prej numrave 348, 512, 1 245 dhe 6 123plotpjesëtohet me 3?

1.

Cili prej numrave 4 279, 9 126 dhe 540 plotp-jesëtohet me 9?

2.

Cila shifër duhet të shkruhet në vend tëshenjës *, që numri i fituar të plotpjesëtohetme 3?

1 3∗7; 6 53∗; 3 ∗25; 24 ∗62.

3.

Yllin zëvendësoje me shifër ashtu që numri ifituar të plotpjesëtohet me 9.

3∗8; 6 ∗74; 1 8∗3; 35∗12.

4.

Cila shifër duhet të qëndroj në vend të yllësit* te numri 27 55* që numri të plotpjesëtohetme 2 dhe me 3?

5.

Testohu!

��

55

Kujtohu!

Mundem të vërej!Ndonjë numër a plotpjesëtohet me 4 ose jo, varet prej numrit dyshifror të formuarprej shifrës të njësheve dhe shifrës së dhjetësheve të atij numri.

Mbaj mend!

Numri i dhënë plotpjesëtohet me 4, nëse mbaresa e tij dyshifrore plotpjesëtohet me 4.

A

Cili prej numrave: 96, 300, 2 718 dhe3 008 plotpjesëtohet me 4?

Provo nëse numrat: 100, 500 dhe 1 300plotpjesëtohen me 4.

1

Vëre ecurinë

100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, pasi që 4 | (25 ⋅ 4).

500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, pasi që 4 | (100 ⋅ 5).

1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, pasi që 4 | (100 ⋅ 13).

Vëre ecurinë

132 : 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, pasi që 4 | 100 dhe 4 | 32.916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, pasi që 4 | 900 dhe 4 | 16.283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, pasi që 4 | 200 dhe 4 | 83.

Mundem të vërejNumri te i cili shifra e njësheve dhe dhjetësheve janë zero mundet të shkruhet siprodhim te i cli njëri prej shumëzuesve është 100.Ai prodhim plotpjesëtohet me 4.Çdo numër natyror te i cili shifra e njësheve është 0 dhe shifra e dhjetësheve është0 plotpjesëtohet me 4.

Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmëri me 4.

Cili prej numrave:132, 916 dhe 283plotpjesëtohet me4?

2

INDICI PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 421

��

��

56 Konstato cili prej numrave: 48, 108, 135, 1 240, 7 732 dhe 9 006 plotpjesëtohet me 4.

3

Të caktosh nëse ndonjë numër natyrorplotpjesëtohet me 4 pa e kryer pjesëtimin.

Duhet të dish!

Shkruaje numrin 9 996 si shumë prej ku do tëkonstatosh nëse plotpjesëtohet me 4.Shkruaj dy numra që plotpjesëtohen me 4.

Detyra

Me shifrat 1, 2, 3 dhe 4, pa përsëritjen e tyre,shkruaji të gjitha numrat katërshifror qëplotpjesëtohen me 4.

1.

Cila shifër duhet të qëndroj te vendi ishënuar me * që numri të plotpjesëtohet me 4?

362∗; 4 71∗; 5 4∗2; 52∗0.

2.

Shkruaj tre numra natyrorë që plotpjesëto-hen me 4 dhe me 5.

3.

Shkruaje numrin e dhjetëshes së dytë tëqindëshes së katërtë që plotpjesëtohet me2, 3 dhe 4.

4.

Testohu!

Edhe kjo është matematikë!

Në tavolinë gjinden 50 fasule. Dy lojtarë me radhë marrin nga një, ose nga dy, ose nga tre fasule.Fiton ai lojtar i cili i fundit do të merr.

Sa fasule duhet të marrë lojtari i cili fillon i pari që të fitojë me siguri?

Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i pari.

Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i dyti nëse në tavolinë ka 20 fasule.

Bëj një strategji fitimtare nëse në tavolinë ka çfarëdo numër të fasuleve dhe lojtarët marrin meradhë nga 1 deri 4 ose nga 1 deri 5 etj.

Nëse nuk mund ta zgjidhi detyrën e vështirë, do të provoj me detyrë tëngjashme por më të lehtë. Do të filloj me 10 fasule, pastaj me 20 fasule etj.

57

B

5 1, 5

6 1, 2, 3, 6

3 1, 3

4 1, 2, 4

2 1, 2

1 1

Shihe tabelën.2

Numër Pjesëtues të numrit Cili numër ka vetëm një pjesëtues?Cilët prej numrave të tabelës kanë vetëm dy pjesëtues?Cilët prej numrave të tabelës kanë më shumë se dy pjesëtues?

Mbaj mend!

Numrat që kanë vetëm 2 pjesëtues quhen numra tëthjeshtë.Numrat që kanë më shumë se dy pjesëtues quhennumra të përbërë.Numri 1 nuk është as numër i përbërë as numër ithjeshtë.

Numrat në tabelë: 2, 3 dhe 5 janë të thjeshtë.Numrat në tabelë: 4 dhe 6 janë të përbërë.

Shkruaji në mënyrë tabelare bashkësitë:A = {x | x ∈ N dhe x < 20}; B = {x | x ∈ A dhe x është numër i thjesht}; C = {x | x ∈ A dhe xështë numër i përbërë}.

3

Cakto prodhimin e numrave të thjeshtë: 2, 3 dhe 7; 2, 3 dhe 5; 2, 2, 3 dhe 3.4

4 71Unë jami përbërë

E unë!? Unë jam ithjeshtë.

A Shkruaj tre numra që kanë vetëmdy pjesëtues.

Shkruaj tre numra që kanë mëshumë se tre pjesëtues.

1

NUMRA TË THJESHTË DHE TË PËRBËRË.

PARAQITJA E NUMRIT TË PËRBËRË SI PRODHIM

TË NUMRAVE TË THJESHTË

22

Kujtohu!

Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1.

Çdo numër natyror plotpjesëtohet mevetveten.

Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrave: 3,17 dhe 53.Caktoji të gjithë pjesëtueset e numrave: 6,12 dhe 15.

58

Krahaso zgjidhjen tënde me atë tëdhënë.

Paraqite si prodhim çdonjërin prej numrave: 42, 50 dhe 75.5

Mundem të vërej! Numrin e përbërë mundem taparaqes si prodhim të numrave tëthjesht

42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2

50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52

75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52

�

�

�

�

��

Mbaj mend!

Çdo numër i përbërë natyror mundet të shkruhet si prodhim i numrave të thjeshtë, dmth. tëzbërthehet në shumëzues të thjeshtë.

Shkruaje numrin 36 si prodhim të numrave të thjeshtë.6

Zbërtheje numrin 120 si shumëzues të thjeshtë.

Vëreje rregullën për zbërthimin e numrit në shumëzues të thjeshtë.

7

12060301551

22235

Së pari tërheqim vizë vertikale afër numrit 120. Vizën vertikale e paramen-dojmë si shenjë për pjesëtim, kurse herësit i shkruajmë nën të pjesëtuesh-min.Pjesëtimin e fillojmë me pjesëtuesin më të vogël të thjesht të numrit tëdhënë dhe vazhdojmë me atë pjesëtues deri sa është e mundur (në rastinkonkret me 2).

Rregullën e vazhdojmë me çdonjërin prej herësve deri sa nuk fitojmë herës1.

��

��

1 164582291971

22397

Herësi i fundit 97 nuk është i plotpjesëtueshëm as me 3 e as me 5.

Provojmë dhe pohojmë se nuk është i plotpjesëtueshëm as me numrin

e thjeshtë vijues .

Nuk ka nevojë të provojmë për numrin vijues 11, pasi që 112 > 97.

D.m.th, 97 është numër i thjeshtë.

Duke e shfrytëzuar rregullën e njëjtë zbërtheji në shumëzues të thjeshtë këto numra: 36, 140, 600dhe 10 000.

120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97

Vëre zbërthimin e numrit 1 164.

59Duhet të dish!

Cilët numra natyrorë janë të thjeshtë, ecilët të përbërë;të zbërthesh numër të dhënë nëshumëzues të thjeshtë.

Cili prej numrave 91 dhe 97 është numër i për-bërë? Sqaro!Zbërtheje numrin 152 në shumëzues të thjeshtë.

Detyra

Zbërtheji në shumëzues të thjeshtëkëto numra: 15, 42, 38, 75 dhe 11 115.

1.

Numri i viteve të Arlindit është nunër i për-bërë më i vogël se 30, kurse më i madh se20 dhe mundet të paraqitet si prodhim ishumëzuesve të thjeshtë. Sa vjet kaArlindi?

2.

Një familje ka numër tek të fëmijëve, numërtë thjeshtë të adhuruesve shtëpiak, numër çifttë automobilave dhe numër të përbërë tëdhomave të fjetjes. Shuma e të gjithë këtyrenumrave është 10. Cilët janë ato numra?

3.

4. Përpiqu të shkruash numra të thjeshtëmë të mëdhenj se 2 si shumë e dy num-rave të thjeshtë.Shembull:8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11.

Shkruaje si shumë e numrave të thjeshtënumrin:14; 52.

Testohu!

Hulumto vet!

Në një hotel kishte 100 llamba. Në një tabelë kishte ndërprerës për secilën llambë dhe ato ishintë shënuar me numra prej 1 deri 100. Nëse ndërprerësi shtypet një herë, llamba ndriçon, ndërsanëse shtypet për së dyti ajo fiket. Të gjitha llambat ishin të fikura. Kujdestari i shtëpisë ditën eparë i ka shtypur të gjithë ndërprerësit, gjegjësisht të gjitha llambat i ka ndriçuar. Që të kursejenergjinë elektrike, ai ditën e dytë ka shtypur çdo të dytin ndërprerës, ditën e tretë çdo të tretindhe në këtë mënyrë ditën e njëqindtë ka shtypur vetëm ndërprerësin e njëqindtë. Cilat llamba,gjegjësisht llambat me cilin numër të shënuar do të ndriçojnë pas ditës së njëqindtë?

Vet mund të hulumtoj dhe ta zgjidh problemin. Së pari dotë mendoj për 10 llamba, pastaj për 20, pastaj për 30 dhekështu do të përfundoj për 100 llamba.

60

Kujtohu!

PJESËTUESI I PËRBASHKËT.

PJESËTUESI MË I MADH I PËRBASHKËT

A

Vërej se: Nëse D28 është bashkësia e pjesëtuesve të numrit 28, kurse D24,bashkësia e pjesëtuesve të numrit 24, atëherë D28 ∩ D24 është bashkësia epjesëtuesve të përbashkët të numrave 28 dhe 24.

23

Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 18.Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje nëmënyrë tabelare dhe shënoje me D18.Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 24.Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje nëmënyrë tabelare dhe shënoje me D24.Cakto pjesëtuesit e përbashkët të numrave18 dhe 24, dmth. caktoD18 ∩ D24.

Njomza ka blerë sheqerka për 28denarë, kurse Agoni ka blerë prej të njëj-tave sheqerka për 42 denarë.

1

Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 30 dhe 45. Cakto PMP(30, 45).2

Cili mundet të jetë çmimi i she-qerkave?Sa mundet të jetë çmimi më i lartë isheqerkave?

Vëre rregullën dhepërfundo!

Të gjithë pjesëtuesit e numrit 28. D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Të gjithë pjesëtuesit e numrit 42. D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

Pjesëtuesit e përbashkët të numrave 28 dhe 42. D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}

Vëre se:

Çmimi i sheqerkave mundet të jetë: 1 den., 2 den., 7 den. ose 14 den.

Çmimi më i lartë mundet të jetë 14 den.

Numri 14 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët për numrat 28 dhe 42.

Mbaj mend!

Më i madhi prej të gjithë pjesëtuesve të përbashkët të numrave m dhe n quhet pjesëtuesi më imadh i përbashkët i numrave m dhe n. Shënohet: PMP(m, n).

��

��

61

B

Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët përnumrat: a) 24 dhe 30; b) 9 dhe 14.

3

Vëre!

Pjesëtues i përbashkët për numrat 9 dhe 14 ështënumri 1, dhe ai është pjesëtuesi më i madh i për-bashkët i tyre. PMP(9, 14) = 1

Mbaj mend!

Nëse PMP (a, b) = 1, atëherë për numrat a dhe b themi se janë numra reciprokisht të thjeshtë.

Vëre rregullën dhe vepro sipas kërkesave.Zbërtheji numrat 168 dhe 180 në shumëzues tëthjeshtë.Paraqiti numrat 168 dhe 180 si prodhim tëshumëzuesve të thjeshtë.

Cakto PMP(168, 180).4 16884422171

22237

120, 15060, 7520, 254, 5

235

42, 63, 8414, 21, 282, 3, 4

37

18090451551

22335

168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Vëre!

Numri që është PMP(168, 180) është prodhim i pjesëtuesve të thjeshtë të tyre të përbashkët, dmth.PMP(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

Vëreje ecurinë e shkurtuar për caktimin e PMP.Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy numrave.Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy herësve tëfituar.Rregullën e vazhdon deri sa herësit e fituar nuk janë numra reciprokisht tëthjeshtë.Prodhimi i pjesëtuesve të thjeshtë të përbashkët është pjesëtuesi më madh ipërbashkët, dmth

PMP(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 dhe PMP(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.

Cakto PMP(120, 150). Dhe PMP(42, 63, 84).5

Cakto a) PMP(72, 90); b) PMP (150, 180, 240)6

�

�

�

��

�

�

62

Zbërtheji numrat 36 dhe 60 në shumëzues tëthjeshtë, kurse pastaj cakto PMP të tyre.Janë dhënë dy tela me gjatësi 8 m dhe 12 m. Cilaështë gjatësia më e madhe me të cilën të dy telatmundet të ndahen në dy pjesë të barabarta?

Detyra

Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të për-bashkët për numrat: 30 dhe 36.

1.

Janë dhënë dy tela. Njëri është i gjatë 96m,ndërsa tjetri 180m. Sa metro është gjatësiamë e madhe me të cilën mund të maten tëdy tela?

5.

Cakto:a) PMP(12, 18); c) PMP(60, 90, 120);b) PMP(48, 72); d) PMP(240, 300, 600).

2.

Cakto:a) PMP (16, 25); b) PMP(36, 72).

3.

Sa më së shumti buqetë mund të bëhen prej48 tulipanëve të bardh dhe 72 tulipanëve tëkuq, ashtu që në çdo buqetë të ketë numërtë njëjtë të tulipanëve me ngjyrë të njëjtë?

4.

Përpiqu të zgjidhësh!

Sa më së shumti kuti të barabarta mund tëbëhen prej 48 çokollatave, 72 karamelevedhe 120 sheqerkave, ashtu që në çdo kuti tëketë numër të njëjtë prej çdo prodhimi?

6.

Duke i shfrytëzuar rrjetat e mëposhtme,cakto dhe shkruaj në pikët përkatësepjesëtuesit e numrave:a) 36 dhe 54; b) 28, 42 dhe 98.

7.

Të caktosh pjesëtues të përbashkët të dynumrave;cilët numra janë reciprokisht të thjeshtë;të caktosh pjesëtues më të madh të për-bashkët të dy ose më shumë numravesipas ecurisë së shkurtuar.


Me ndihmën e rrjetave cakto:PMP(36, 54) dhe PMP(28, 42, 96)

1 3

2

36

54�PMP

1

723

4228 98

�PMP

63

A Dy shok janë takuar në bibliotekë. Njërishkon në bibliotekë çdo të katërtën ditë,kurse tjetri çdo të gjashtën ditë. Pas saditëve ato do të takohen përsëri në bib-liotekë?

1

SHUMËFISHI I PËRBASHKËT.

SHUMËFISHI MË I VOGËL I PËRBASHKËT24Kujtohu!

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 3,shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënojeme Sh3.Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4,shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënojeme Sh4.Shkruaje bashkësinë e shumëfishave tëpërbashkët të numrave 3 dhe 4, dmth.cakto Sh3 ∩ Sh4.

B

Vëre rregullën dhe përfundo!

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4. S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 6. S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}

Bashkësinë e shumëfishave të përbashkët S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}të numrave 28 dhe 42.

Vëre!

Të dy shokët do të takohen në bibliotekë pas 12 ditë, 24 ditë, 36 ditë etj.

Herën e parë do të takohen pas 12 ditë.

Numri 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët për numrat 4 dhe 6.

Mbaj mend!

Numri më i vogël natyror n që është shumëfish i përbashkët i numrave a dhe b quhetshumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a dhe b. Shënohet: SHVP(a, b) = n.

Cakto bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 3 dhe 5. Cakto SHVP(3, 5).2

Vëre rregullën për caktimin e SHVP.Zbërtheji numrat 12 dhe 45 në shumëzues të thjeshtë.

Cakto SHVP(12, 45).3 12631

223

451551

335

�

��

��

64

Rregullën vazhdoje për herësit e fituar dhe për numrat tjerë të përshkruar qënuk e kanë pjesëtuesin e thjeshtë përkatës.Prodhimi i pjesëtuesve të fituar të thjeshtë është shumëfishi më i vogël i për-bashkët i numrave të dhënë, drnth.

SHVP(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360.

60, 72, 9030, 36, 4515, 18, 4515, 9, 455, 3, 155, 1, 51, 1, 1

222335

Cakto SHVP të numrave: a) 14 dhe 15; b) 20 dhe 40; c) 60, 90 dhe 120. 6

Vëre!

Nëse dy numra janë reciprokisht të thjeshtë, atëherë SHVP i atyre numrave është prodhimi i tyre,dmth SHVP(14, 15) = 14 15 = 210;Nëse prej dy numrave, njëri është shumëfish i tjetrit, atëherë SHVP i atyre numrave është më imadhi, dmth SHVP(20, 40) = 40.

Paraqite çdonjërin prej numrave 9 dhe 12 si prodhim të numrave

të thjeshtë, pastaj cakto shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Në patronatin e shkollës ndahen shpërblime në këtë mënyrë:

medalje fiton çdo i 10-ti shikues;

lëng çdo i 15-ti shikues;

kapelë çdo i 20-ti shikues;

Kush është shikuesi i parë që i ka fituar të tre shpërblimet?

Duhet të dish!

Të caktosh bashkësinë eshumëfishave të përbashkëttë dy numrave; të caktosh shumëfish më tëvogël të përbashkët për dyose më shumë numra, sipasecurisë së shkurtuar.

Cakto SHVP(m, n), nëse është e njohur se: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.4

Cakto SHVP(60, 72, 90).5

Vëre ecurinë e shkurtuar për caktimin e SHVP me ndihmën e vijës vertikale.

Cakto pjesëtuesin e thjesht, duke filluar prej më të voglit, të një ose më tepër numrave të dhënë.

Numri 12 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 22 ⋅ 3.�Numri 45 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 32 ⋅ 5.�Të gjithë shumëzues të thjeshtë të numrave 12 ose 45 janë 2, 3 dhe 5. Ato me fuqi më të madhe paraqiten si: 22, 32 i 5.

�

Shumëfishi më i vogël i përbashkët është prodhimi i tyre, përkatësishtSHVP(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.

�

�

�

�

�

�

Testohu!

65Detyra

Cakto bashkësinë e shumëfishave të num-rave: 10 dhe 15, e pastaj cakto SHVP(10, 15).

1.

Cakto:a) SHVP(8, 10); c) SHVP(80, 120);b) SHVP(6, 12, 18); d) SHVP(120, 180, 240).

2.

Prej stacionit të njëjtë njëkohësisht janë nisurtre autobusë. I pari kthehet në stacion çdo 50minuta, i dyti çdo 60 minuta, kurse i treti çdo75 minuta. Pas sa më së paku minuta të treautobusët do të gjenden së bashku në sta-cionin fillestar?

3.

Dy anije nisen njëkohësisht prej një limani tënjëjtë. I pari kthehet në liman çdo 20 ditë,kurse i dyti çdo 24 ditë. Pas sa më së pakuditë anijet do të takohen së bashku nëlimanin e njëjtë?

4.

Artitoni ka pasur më pak se 30 kube. Nëse iradhit nga 3 në një rresht një i ngel. Nëse iradhit nga 4, gjithashtu, një i ngel, por nëse iradhit nga 5 nuk i ngel asnjë kub. Sa kube kapasur Mentori?

5.

Tre llamba me ngjyrë të ndryshme janëndezur në njëkohësisht. Llamba e kuqeshuhet pas çdo 5 sekonda, e kaltra shuhet pasçdo 4 sekonda, kurse e verdha shuhet pas çdo6 sekonda. Në cilën sekondë njëherësh do tëshuhen të tre llambat?

6.

Hulumto vet!

Me çfarë janë të ngjashme, e me çfarë dallohen numrat 12 dhe numri 16?

Përpiqu të njehsosh!

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i ndonjë numri dhe numrit 12 është numri24. Cili është numri i panjohur?

Problem interesant!

Dy vëllezër kanë dashur të blejnë bileta për “Park zbavitës”. Janë llogaritur dhe njërit prej tyre i kanëmunguar 20 denarë për dy bileta, ndërsa tjetrit për dy bileta i ka munguar një denarë. Kanë konstatu-ar se edhe parat e tyre gjithsej kanë munguar për dy bileta. Sa para ka kushtuar një biletë për “Parkzbavitës” dhe nga sa para kishte secili prej tyre?

66

DIAGRAMI ME FOTOGRAFI. DIAGRAMI SHTYLLOR25

Paraqiti të dhënat në tabelë.

Cilën javë është shitur numri më i madh i këmishëve.

Sa këmisha më shumë janë shitur në javën e 2 se javën 1.

Gjithsej sa këmisha janë shitur për 6 javë?

Shitja e këmishave

Java 1

Java 2

Java 3

Java 4

Java 5

Java 6

Shenja paraqet 10 këmisha

Ndërsa 5 këmisha

Diagrami me fotografi është mënyrë eparaqitjes së të dhënave me shfrytëz-imin e vizatimeve ose simboleve.

Në një shitore është regjistruar shitja e këmishëve nëpër 6 javë. Të dhënat janë paraqitur me diagram mefotografi. Shqyrto diagramin.

1

numri 30 50 20 25 15 40

Gjatë Shëtitjes në shtëpi Mësimit Sportimit Në punë Tjetër

Nxënësit e klasës së VI kanë mbledhur të dhënat për atë se ku njerëzit më së shumti dëshirojnë tëdëgjo një muzikë. Të dhënat janë paraqitur në tabelë.

2

Vëre tabelën për numrin e librave të huazuara nga bibliote-ka e qytetit.

3

Paraqiti të dhënat në tabelë me përdorimin e simbolit simbol (dëgjuese).Një simbol simbol paraqet 10 përgjigje.

Ku më shpesh njerëzit dëgjojnë muzikë?

Sa gjithsej janë përgjigjur në pyetjen e parashtruar?

Paraqiti të dhënat në diagram me fotografi nëse simboli �paraqet 50 libra.Shkruaj tre pyetje në lidhje me të dhënat dhe përgjigju atyrepyetjeve.

Dita Nr. i librave

E hënë 350

E martë 400

E mër 150

E enjte 100

E pre 50


67Rreth Diellit rrotullohen 9 planeta. Shtatë prej tyre kanë satelitët e vet (hënat). Nëtabelë janë parashtruar të dhënat për numrin e satelitëve të zbuluar deri më vitin 1992.

4

Toka 1

Marsi 2

Jupiteri 16

Saturni 18

Urani 15

Neptuni 8

Plutoni 1

Planeti Numri i hënave

Pse është më mirë të paraqiten të dhënat te diagramishtyllor se sa në tabelë?Paraqiti të dhënat në diagrantin shtyllor ashtu që shtyl-lat të vizatohen horizontalisht.

Vëre zgjedhjen e shkallës. Pse nuk është praktike tëshfrytëzohet shkalla me njësi matëse 5 ose 10 në këtëshembull?

Të vizatohet bosht horizontal dhe të shkruhen emrat që u korrespondojnë tëdhënave.Të vizatohet bosht vertikal dhe të shkruhet lloji i njësisë matëse.Të vendoset për madhësinë e njësisë matëse të shkallës ashtu që të mundettë paraqiten të gjitha të dhënat dhe të formohet shkalla.Të vizatohen shtyllat.Të shkruhet titulli i diagramit shtyllor.

Hënës e planeteve

Num

ri i h

ënav

e

0

2468

1012141618

Z M J S U N P

Planets

0

5

10

15

20

Num

ri i h

ënav

e

0

10

20

Num

ri i h

ënav

e

Që të paraqiten të dhënat në diagram shtyllor është e nevojshme:

�

��

��

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, c} dheB = {1, 5}. Cakto prodhimin e Dekartit

A x B dhe katrorin e Dekartit B2.

Janë dhënë bashkësitë A = {x | x ështënumër tek i dhjetëshes së dytë},

B = {x | x është numër i thjeshtë i dhjetëshes sëdytë} dhe C = {x | x ∈ N dhe 15 < x ≤ 19}.a) Shkruaji bashkësitë A, B dhe C në mënyrë tabelore.b) Paraqiti B dhe C me diagram të Venit dhe shkru-aje B∩C në mënyrë tabelore.c) Cakto cilat prej bashkësive A, B, C, B∩C dheB\C janë ekuivalente.

68 MËSOVE PËR NUMRA NATYRORË.

KONTROLLO NJOHURINË TËNDE26

1.

2.

Prej dy gypave rrjedh uji në pishinë, ku përnjë sekondë prej një gypi derdhen 9l, ndër-

sa prej tjetrit 6l. Sa litra ujë do të derdhen në pish-inë prej të dy gypave për 15 min?

7.

Njomza dhe Almiri kanë pjesëtuar njënumër të njëjtë: Njomza me 14, ndërsa

Almiri me 18. Njomza ka fituar herës 23 dhe mbet-je 2. Cilin herës e ka fituar Almiri?

8.

Gjeje mesataren aritmetike të numrave:427, 586, 386 dhe 485.

10.

Cilat numra 105, 372, 801, 930 dhe 254plotpjesëtohen me:

a) 2; b) 5; c) 3; d) 9 ?

11.

Cilën shifër duhet ta shkruash në vend të *që numri të jetë i plotpjesëtueshëm me 4:

a) 573*; b)74*2?

12.

Zbërtheje numrin 315 në shumëzues tëthjeshtë.

13.

Cakto bashkësinë D68, gjegjësisht bashkës-inë e të gjithë pjesëtuesve të numrit 68.

14.

Cakto PMP dhe SHVP për numra 18 dhe 24.15.

Sa ekipe më së shumti mund të formohenprej gjithsej 12 vajzave dhe 20 djemve, në

qoftë se secili ekip do të ketë numër të njëjtë tëvajzave dhe djemve.

16.

Në një linje telefonike shtyllat janë vendo-sur në largësi prej 30 m. Shtyllat duhet të

zhvendosen në largesë prej 50 m. Cilat shtylla tëlinjës telefonike do të mbesin në vend të njëjtë.

17.

9.

Janë dhënë shifrat ; 9, 1 dhe 0.a) Formo të gjitha numrat treshifror me

përdorimin e të gjitha shifrave të dhënë.b) Radhiti sipas madhësisë numrat e fituar, dukefilluar nga më i vogli.c) Shkruaje paraardhësin dhe pasardhësin e num-rit më të vogël të numrave të fituar.

3.

Shkruaje numrin “njëzet miliardë treqind epesëdhjetë milionë pesë mijë e shtatëd-

hjetë”. Në cilën klasë dhe në cilën pozitë të atijnumri është shifra 3? Cila është vlera pozicionale eshifrës 3?

4.

Rrumbullako numrat 6485 dhe 2539 nëqindëshe dhe gjeje shumën e numrave të

rrumbullakuar. Për sa dallohet ajo shumë ngashuma e saktë?

5.

Si do të ndryshoj ndryshimi 35 648-18 719nëse zbritësi zvogëlohet për 300, ndërsa i

zbritshmi mbetet i njëjtë?

6.

Një kal dhe një gomar janë ngarkuar.

Nëse nga numri i kilogramëve që mban gomarizbresësh 9, do të fitosh 19 kilogram.Nëse tre herë e zvogëlosh numrin e kilogramëveqë mban kali, do të fitosh 13 kg.Sa kilogram ngarkesë mbajnë kali dhe gomari sëbashku?

69

1. Pika dhe drejtëza. Vetitë themelore të drejtëzës 70

2. Pozita reciproke e dy drejtëzave 733. Largesa ndërmjet dy pikave 75 4. Gjysmëdrejtëza. Segmenti.

Gjatësia e segmentit 77 5. Bartja e segmenteve 806. Vija e thyer 837. Konceptet themelore dhe të nxjerra 878. Rrethi dhe qarku 899. Pozita reciproke e rrethit dhe pikës.

Pozita reciproke e rrethit dhe drejtëzës 92

10. Pozita reciproke e dy rrathëve 9411. Gjysmërrafshi. Këndi 9712. Krahasimi i këndeve. Llojet e

këndeve 10013. Këndet fqinje, të puqët dhe

kryqëzor 103

14. Këndi qendror. Konstruksioni i këndit 105

15. Mbledhja dhe zbritja grafike e këndeve 108

16. Matja e këndeve. Këndmatësi 11017. Operacionet aritmetike me kënde 11318. Drejtëzat reciprokisht normale.

Largesa e pikës deri te drejtëza 11619. Simetralja e segmentit.

Përgjysmorja e këndit 11820. Këndet komplementare dhe

suplementare 12021. Shumëkëndëshi 12222. Disa lloje të shumëkëndëshave 12523. Perimetri i shumëkëndëshit 12724. Mësove për figurat gjeometrike

në rrafsh. Provo njohurinë tënde. 130

TEMA 2. FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH

Kujtohu!

A

70

Në vizatim është paraqitur drejtëza a dhedisa pika: Pikat A, D dhe F i takojnë drejtëzës a.Pikat: B, C, H dhe G nuk i takojnë drejtëzës a.Te drejtëza a ka edhe shumë pika të tjera.

Mund të themi se drejtëza është bashkësipikash.Për pikën M themi se i takon drejtëzës p osedrejtëza p kalon nëpër pikën M; shkurtimishtshkruajmë M ∈ p.

Pika N, nga ana tjetër nuk i takon, dmth. nuk shtrihet në drejtëzën p, por mund të thuhet edhe se Nshtrihet jashtë drejtëzës p; shkurtimisht shkruajmë N ∉ p.

Vizato një drejtëz b dhe në të shëno disapika. Shëno edhe pika që nuk i takojnëdrejtëzës b.

Si e paramendon drejtëzën?

Shihe vizatimin dhe mbaj mend atëqë është treguar.

1A

D

BG a

CH

F

M

p

N

Të mbaj mend! Pika shtrihet në drejtëz ose pika nuk shtrihet në drejtëz.

Vizato një drejtëz dhe shënoje me m. Pastaj shënoji pikat A, B, C, M dhe Nashtu që: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m dhe N ∈ m.

2

Në vizatim janë shënuar drejtëza d dhe pikat: A ∈ d, B ∉ d,C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d dhe G ∉ d.

A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që i takojnëdrejtëzës d? Sa?A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që nuk i takojnëdrejtëzës d? Sa?

3

AD

G

Cd

B

EF

Te drejtëza shtrihen shumëpika, por ka edhe pika qënuk shtrihen në atë drejtëz.

Këtë mbaje mend si veti të parë themelore të

drejtëzës.

Vëre!

Shprehi me fjalë shënimet e shkurtra A ∈ m dhe B ∉ m.

PIKA DHE DREJTËZA.

VETITË THEMELORE TË DREJTËZËS1

B

71

Shkronjat p dhe q, pra, paraqesin drejtëz tënjëjtë. Shkruajmë p ≡ q dhe themi: „Drejtëzatp dhe q puthiten".

A

B a

bE

C

D

A

B

p

q

Vëre cilat nga pikat e shënuara në viza-tim shtrihen në drejtëzën e njëjtë.

4

Sipas vizatimit konstato a janë kolinearepikat:a) A, P dhe B; d) M, S dhe B;b) M, S dhe N; e) A dhe B;c) A, P dhe N; f ) N, P, S, M.

5

Shkronjat A dhe B në vizatim paraqesin pikëtë njëjtë.

Shkruajmë A≡B dhe themi: „Pikat A dhe Bputhiten".

6

Për pikat që shtrihen në drejtëzën e njëjtëquhen pika kolineare. Në vizatim pikat A, Cdhe D janë kolineare dhe pikat B, C dhe Ejanë kolineare.Pikat A, B dhe D nuk shtrihen në drejtëzën enjëjtë, pra ato nuk janë pika kolineare.


Kur themi: „shëno dy pika", ”janë dhënë dy

drejtëza", do të nënkuptojmë se ato dy pika,

përkatësisht ato dy drejtëza janë të ndryshme.

Ato do t'i shënojmë me shkronja të ndryshme.


A

M Sm

nN

P

B

Nëpër pikat M dhe N kalon vetëm një drejtës.

Këtë mbaje mend si vetia e dytë themelore e

drejtëzës.

Vëre dhe mbaj mend!Nëpër pikat M dhe N në vizatimkalon drejtëza p. A mundet tëtërhiqet edhe ndonjë drejtëz tjetërqë kalon nëpër pikat M dhe N?

7

Shëno dy pika A dhe B dhe tërhiq drejtëz p të përcaktuar me ato dy pika. Pastaj cakto pikën C që nuk i takon drejtëzës p. Sa drejtëza janë për caktuar me tre pika? Shkruajato drejtëza me ndihmën e pikave.

8

M

pN

Të mbaj mend! Prej vetisë së dytëthemelore del se dy pika përcaktojnënjë drejtëz të vetme. Prandaj drejtëzamundet të shënohet edhe me dy pikatë saja dhe mundet të thuhet:„Drejtëza MN, në vend se „drejtëza p”.

Cilat pika janë: a) kolineare; b) jo kolineare?

3.

Në drejtëzën p janë shënuar pikat M, N dheP. Si mundet të emërtohet ndryshe drejtëzap?

4.

D

A b

aC

B

E

72 Shihi vizatimet, mendo dhe përfundosipas kërkesës.

Vëren se janë tërhequr tri drejtëza që kalojnë nëpërpikën M dhe pesë drejtëza që kalojnë nëpër piken N.

A mundesh të tërheqësh edhe drejtëza tjera qëkalojnë nëpër pikën M? Sa? Po nëpër pikën N?

9

Ma

bc

N

Nëpër një pikë kalojnë pafund shumëdrejtëza

Për pikën e tillë A, si në vizatim, themi seështë pikë e përbashkët e drejtëzave qëkalojnë nëpër atë pikë.


A

10 Shëno pikë P. Vizato tri drejtëza a, b dhe c, ashtu që pika P të jetë pika e tyre e përbashkët.

Duhet të dish!

Të caktosh pozitën reciproke të pikës dhedrejtëzës;

të shprehish dhe të sqarosh vetinë themeloretë parë dhe të dytë të drejtëzës;

të dallosh tre ose më shumë pika a janë kolin-eare ose janë jo kolineare.

Vizato drejtëz a dhe shëno pika A, B, M dhe Pqë shtrihen në drejtëzën a, edhe pika C, D, Fdhe N që nuk shtrihen në drejtëzën a.

Shëno tri pika kolineare A, B dhe C.

Shëno pikë M dhe tërhiq drejtëza a, b, c dhe dqë kalojnë nëpër pikën M. Sa drejtëza mund tëtërheqësh ashtu që të kalojnë nëpër pikën M?

Detyra

Vizato dy drejtëza a dhe b dhe në çdon-jërën prej tyre shëno nga tri pika.

1.

Pikat A, B, C dhe D janë radhitur ashtu qëndërmjet tyre nuk ka tri pika që janë kolin-eare. Sa drejtëza përcaktojnë ato pika?Paraqite atë në vizatim.

5.

Shëno tre pika A, B dhe C dhe vizato tredrejtëza a, b dhe c ashtu që drejtëza a tëkalon nëpër pikat A dhe B, b nëpër pikat Bdhe C dhe c nëpër pikat A dhe C. Cila ështëpika e përbashkët e drejtëzave a dhe c?

2.

Testohu!

Kujtohu!

B

A

73

Drejtëzat a dhe b kanë pikë të për-bashkët P.A mundet dy drejtëza të ndryshme tëkenë më shumë se një pikë të për-bashkët? Pse?

a

bP

Dy drejtëza më së shumti mund të kenëvetëm një pikë të përbashket. Përdrejtëzat që kanë vetëm një pikë të për-bashkët thuhet se priten në atë pikë.Pika e përbashkët quhet preja e atyredrejtëzave. Në vizatim drejtëzat a dhe b priten dhepika e tyre është P. Kjo shkurtimisht shkruhet a ∩ b = {P}

Dy drejtëza që nuk kanë pikë të për-bashkët quhen drejtëza paralele.

Drejtëzat a dhe b në vizatim janë para-lele.

Atë shkurtimisht e shënojmë a || b.

b

ac

Shkruaj shkurtimisht:

a) Drejtëzat a dhe b priten në pikën M.

b) Prerja e drejtëzave c dhe d është pika L.

c) Pika e përbashkët e drejtëzave

m dhe n është pika S.

1 Sipas vizatimit cakto çka është e saktë.

a) a ∩ b = {A}. c) b ∩ c = {B}.

b) a ∩ c = {B}. d) a ∩ c = {C}.

2

Dy drejtëza mundet edhe të mos kenë pikë të përbashkët. Të atilla janë drejtëzat a dhe bnë vizatim.

Kjo praktikisht do të thotë: sado që t'i „vazh-dosh ", ato nuk priten.

3

A

C

B

ab

POZITA RECIPROKE E DY DREJTËZAVE2

b

a

cPozita reciproke e drejtëzave a, b dhe c nëvizatim është si vijon:

a dhe b janë paralele, dmth a || b.

a dhe c priten, dmth. a || c.

b dhe c priten, dmth. b || c.

4

74

Duhet të dish!

Për cilat dy drejtëza themi se priten;

për cilat dy drejtëza themi se janëdrejtëza paralele;

se drejtëzat që puthiten llogaritenpër drejtëza paralele.

Vizato drejtëz a dhe shëno pikë R ∉ a. Nëpër pikën Ptërhiq drejtëz b që e pretë drejtëzën a.Vizato tre drejtëza a, b dhe c ashtu që, dy nga dy, tëmos kenë pika të përbashkëta. Shkruaji simbolikisht poz-itat reciproke të atyre drejtëzave.Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që a || b dhe

b ∩ c = {M}.

Detyra

Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që tëkenë një pikë të përbashkët.

1.

Të tri drejtëzat AB, BC dhe BD a mundettë kenë pikë të përbashkët? Cila është ajopikë? Paraqite atë me vizatim.

2.

Janë dhënë pikat A, B dhe C. Sa drejtëza për-caktojnë ato pika? Shqyrtoji të gjitha rastet emundshme varësisht prej pozitës së pikave.

3.

Vizato një drejtëz a, pastaj vizato drejtëzënb, ashtu që a || b.

4.

Vizato një drejtëz m. Pastaj vizato drejtëzatn dhe p ashtu që n || m dhe p || m. Çfarëpozite reciproke kanë drejtëzatn dhe p?

5.

Kur disa drejtëzat puthiten, ajo llogaritet si rast i veçantë i paralelizmit, prandaj mund të thuhet seçdo drejtëz është paralele me vetveten, dmth a || a.

Për drejtëzat a dhe b te të cilat të gjitha pikat i kanë të për-bashkëta themi se puthiten.

ose janë paralele;

ose priten;

Dy drejtëza


ab

Testohu!

Kujtohu!

75

B

A

BC = 0 cm, pasi që pikat B dhe C puthiten.

Deri më tani shumë herë ke caktuar largesënprej një vendi deri në vendin tjetër, prej njëobjekti deri te tjetri, prej një pike deri te tje-tra. Atë largesë e ke shprehur me një numërtë caktuar të centimetrave (cm), metrave (m),kilometrave (km) etj.

Largesa prej një pike A deri te pika tjetër B ështënumër më i madh se zero ose e barabartë mezero, atë numër e shënojmë me AV,dmth,AV ≥ 0.

Numri AV është më i madh se zero kur pikatjanë të ndryshme dhe është i barabartë me zerokur pikat puthiten.

Për shembull, largesa ndërmjet pikave Adhe B është 5 cm, që shkurtimisht shkruhet ,largesa prej Shkupi deri në Veles është 55km etj

Mate largesën ndërmjet pikave C dhe D nëmilimetra dhe shkruaje shkurtimisht.

A

a

Në lidhje me vizatimin cakto largesat

AB, BC dhe CD.

Për çfarëdo dy pika A dhe B, largesa prej Aderi te B është e barabartë me largesën prej Bderi te A, dmth. AB = BA.

1 d

AB

CD

Shihe vizatimin dhe vërekonstatimet!

B

C

D

Sipas vizatimit:

Cakto largesat MN dhe NM, e pastaj kraha-soi. Shkruaje atë simbolikisht.

2

Nëse largesa CD = 28 cm, atëherë sa është largesa DC?3

Në vizatim janë dhënë pikat jo kolineare A, B dhe C.

Mati largesat AB, AC dhe CB.

Krahasoji:

AB me AC + CB;

BC me BA + AC;

AC me AB + BC;

4

A B D

C

M N

Vëre!

A

C

B

Çka vëren?

Përfundova se: AB < AC + CB;

BC < BA + AC dhe AC < AB + BC.

LARGESA NDËRMJET DY PIKAVE3

AB = 4 cm; AB > 0; BD = 3 cm; BD > 0;

Pikat M, N dhe P në vizatim janë kolineare.

Mati largesat MP, MN, NP dhe MP

krahasoje me MN + NP.

76

Pikat A, B dhe C janë kolineare ku pika B ështëndërmjet pikave A dhe C. Njehso largesën prejpikës A dhe B, nëse AC = 7 cm dheBC = 42 mm.

Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtë

ku AB = 35 mm dhe BC = 48 mm. Sa është

AC?

5

Cakto pikat A, B dhe C a shtrihen në drejtëzën e njëjtë, nëse:6

M N P

Çka përfundove?Përfundova se:

MP = MN + NP.

Nëse për tri pika M, N dhe P, vlen barazia MP = MN + NP, atëherë ato tre pika shtrihen nëdrejtëzën e njëjtë. Në atë rast thuhet se pika N shtrihet ndërmjet pikave M dhe P.

Largesa ndërmjet dy pikave A dhe B është numër AV me veti vijuese:

1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) për cilën do pikë C vlen: AC ≤ AB + BC.

AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

Duhet të dish!

Largesa ndërmjet dy pikave është numër më imadh se zero nëse pikat janë të ndryshme,kurse është e barabartë me zero nëse pikatputhiten;

për çfarëdo dy pika A dhe B, AB = BA;

për çfarëdo tre pika A, B dhe C,

AC ≤ AB + BC.

Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtënëse; AC = 56 mm, AB = 3 cm dhe

BC = 26 mm ? Pse?

Pikat M, N dhe P nuk janë kolineare, kuMN = 3 cm dhe NP = 5 cm. A mundet MP

të jetë 95 mm?

Detyra

4.1.

Në drejtëzën p pika P shtrihet ndërmjet

pikave M dhe S, MP është tre herë më e

vogël se PS dhe MS = 12 cm. Njehso

MP dhe PS.

5.

Për çfarëdo tri pika A, B dhe C largesa prej A deri te Cështë më e vogël ose e barabartë me shumën e largesaveprej A deri te B dhe prej B deri te C, dmth. AC ≤ AB + BC.

A janë kolineare pikat K, L dhe M nëse

KL = 3 cm, LM = 52 mm dhe KM = 82 mm?

2.

Vizato drejtëz m dhe në të shëno pika M, N, Pdhe S, ashtu që N të shtrihet ndërmjet M dheP dhe M të shtrihet ndërmjet N dhe S.

3.

Testohu!

AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

Kujtohu!

B

A

77

Në vizatim është dhënë drejtëza a dhepika O që shtrihet në drejtëz.Në sa pjesë drejtëza a është ndarë mepikën O?

Cilat prej pikave të shënuara shtrihen nëanën e njëjtë prej pikës O?Shëno dy pika në drejtëzën a, ndërmjet tëcilave shtrihet pika O.

Në vizatim është vizatuar gjysmëdrejtëza. Nëse pika O është pika e fil-limit, kurse M është çfarëdo pikë e gjysmëdrejtëzës, atëherë shkur-timisht shkruajmë: gjysmëdrejtëza OM.

a

p

O

a O C DBA

AO

V

Drejtëza p me pikën O është ndarë në dy pjesë,ashtu që asnjëra prej atyre pjesëve nuk e përm-ban pikën O.Për pikën O thuhet se është pikë kufitare e tëdy pjesëve.Çdonjëra pjesë e drejtëzës, së bashku me pikënkufitare quhet gjysmëdrejtëz.

Pika kufitare quhet pika e fillimit ose origjinë egjysmëdrejtëzës.

Shihe vizatimi, vëredhe mbaj mend!

OM

Vizato drejtëzën a dhe në të shëno dy pika A dhe B. Sa gjysmëdrejtëza janë shënuar në atëmënyrë? Shkruaji shkurtimisht ato gjysmëdrejtëza.

1

Me ndihmën e pikave M dhe N në vizatim, shkruaji shkur-timisht të dy gjysmëdrejtëza me të cilat është ndarë drejtëza mme pikën O.

2

Shëno dy pika M dhe N. Vizato gjysmëdrejtëz ashtu që M të jetë pikë e saj e fillimit, kurse N pikaqë i takon gjysmëdrejtëzës.

3

Sa gjysmëdrejtëza me pikën e fillimit O janë shënuar në vizatim? Cilët prej tyre janë gjysmë-drejtëza përbërëse?

4

m O

N

M N

m O BA

C

Vëre!

Gjysmëdrejtëzat OM dhe ON formojnë një drejtëz. Gjysmëdrejtëzat e tilla quhen gjysmëdrejtëza

përbërëse.

Drejtëza dhe gjysmëdrejtëza janë bashkësi pikash. Çdo bashkësi pikash quhet edhe figurë

gjeometrike.

GJYSMËDREJTËZA. SEGMENTI. GJATËSIA E SEGMENTIT4

78

Mate largesën ndërmjet pikave A dhe B nëvizatim dhe atë shkruaje simbolikisht.

8

Matë largesat ndërmjet pikave A dhe D dhendërmjet pikave D dhe B. Çka vëren?


Largesa ndërmjet pikave të skajshme Mdhe N të segmentit MN quhet gjatësia eatij segmenti dhe shënohet me MN.

MN = 5 cm

M NA B

Në vizatim është dhënë segmenti AB dhe nëtë pika D.

9

A D B


Në vizatim AD = DB. Domethënë pika D

është një lloj e larguar prej pikave A dhe B të

segmentit AB. Pika e atillë quhet pika e

mesme ose mesi i atij segmenti.

Vizato segment PS dhe cakto mesin e tij O.10

Të mbaj në mend! Një segmentmundet të shënohet edhe meshkronjë të vogël. Me shkronjëne njëjtë shënohet edhe gjatësiae atij segmenti. Në vizatim seg-menti MN është shënuar mem dhe m = 5 cm.

Emërtoji figurat gjeometrike në vizatim.5

Emërtoji segmentet në vizatim a) dhe b).7

Në vizatim janë shënuar drejtëza p dhepikat M, N dhe P.

6

aC

O

A D

B

p P NM

Ndërmjet cilave pika shtrihet pika P?A ka pika tjera në drejtëzën p që shtrihenndërmjet pikave M dhe N?


Figura gjeometrike që i përmban pikat M dheN dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyrequhet segment.

Pikat M dhe N quhen pika të skajshme (anë-

sore) të segmentit MN.

M N

M X N

Aa)

b)

V

S

m

Pika X te vizatimi nën b) dhe të gjitha pikattjera që shtrihen ndërmjet pikave M dhe Nquhen pika të brendshme të segmentit MN.

79

Cilët segmente janë segmente të puthit-shme?

Ç’është gjysmëdrejtëz?

Duhet të dish!

Të vizatosh dhe të shënosh gjysmë-drejtëz;

Ç’është gjysmëdrejtëz;

të sqarosh ç’është segment;

ç’është gjatësia e segmentit;

për cilët segmente themi se janë tëbarabartë ose të puthitshëm.

Cilët prej pikave të shënuara në vizatim i takojnësegmentit AB?

Vizato segment AB, pastaj vizato segment CD qëështë i barabartë me segmentin AB.

Detyra

1.

Shëno tri pika jo kolineare O, A dhe B, kursepastaj vizato gjysmëdrejtëzat OA dhe OB.Vizato gjysmëdrejtëzën OC, që është pjesëpërbërëse e gjysmëdrejtëzës OB.

2.

Vizato drejtëzën p dhe në të shëno dy pika Mdhe N. Në drejtëzën p shëno pika P dhe S që itakojnë segmentit MN dhe pika K dhe L qënuk i takojnë atij segmenti.

3.

5.

Ç’është gjatësia e segmentit AB?4.

Shëno tri pika jo kolineare A, B dhe C. Sa seg-mente përcaktojnë ato pika? Emërtoji atosegmente.

6.

Shëno tri pika kolineare E, F dhe G. Sa seg-mente përcaktojnë ato pika? Emërtoji.

7.

Segmentet AB dhe CD janë të puthitshme. Saështë gjatësia e segmentit CD, nëse

AB = 4 cm?

8.


Nga krahasimi i segmenteve, në vizatimmundemi të konstatojmë:

AB = EF i CD = GHPër dy segmente që kanë gjatësi të barabartathemi se janë të barabartë. Segmentet ebarabartë janë edhe segmente të puthitshme.

11

Vizato segment CD që është i barabartë mesegmentin AB në vizatim.

12

A B

G H

A B

E

F

C

D

A C F

E

D

B G

Mati gjatësitë e segmenteve AB, CD, EF dheGH dhe krahasoji. Cilët prej segmenteve të dhënë kanëgjatësi të barabarta?

Testohu

Kujtohu! A

80

Në vizatim është dhënë gjysmëdrejtëzaOM dhe në të është shënuar pika A.Mate largesën ndërmjet pikave O dhe A.

A mundesh në gjysmëdrejtëzën OM tëcaktosh edhe pikë tjetër që është e larguarprej pikës O aq sa edhe pika A?

Konstrukto segment që është i barabartëme segmentin AB.

2A B

O M S

O

Vetia e pikave të gjysmëdrejtëzës mundet të shfrytëzohet për vizatimin e segmenteve të barabartëvetëm me ndihmën e vizorit dhe kompasit.

Vizato gjysmëdrejtëzën OS (vizatimi a).Hape kompasin, ashtu që hapja e tij të jetë e barabartë megjatësinë e segmentit AB, dmth. "mere" segmenti AB (vizatimib).Majën e kompasit vendose në pikën O dhe me hapje të njëjtë,shëno pikën M (vizatimi c).

Shqyrtoje zgjidhjen e dhënë dhe punosipas udhëzimeve dhe vizatimeve.

Zgjidhje:

A M

Vepro sipas kërkesës dhe shqyrtoje atëqë është thënë.Vizato gjysmëdrejtëz OM dhe në tëcakto dy pika A dhe B, të tilla qëOA = 1 cm dhe OB = 3 cm.

1

Nëse n është numër më i madh se zero,atëherë në gjysmëdrejtëzën OM shtrihetvetëm një pikë A që është në largësi n prejpikës O, dmth. OA = n.

A ka pikë tjetër A1, përveç A, ashtu që

OA1 = 1 cm?

Vëreje këtë si një veti të pikave të gjysmë-drejtëzës.

Vizatimi i bërë vetëm me vizor dhe kompas quhet konstruksion.

a)

b)

O Y

A Vc)

O M YKjo ecuri quhet edhe bartja grafike e segmentit nëgjysmëdrejtëzën e dhënë.

Segmentet AB dhe OM janë të barabartë.

BARTJA E SEGMENTEVE5

B

81Vizato segment MN dhe gjysmëdrejtëzën OP. Barte segmentin MN në gjysmëdrejtëzënOP.

3

Segmentet m (dmth. KL) dhe n (dmth. MN) janëbartë në gjysmëdrejtëzën OT (në vizatim në anëne djathtë) ashtu që OP = KL dhe PS = MN.

Sa është gjatësia e segmentit?

4

Cakto në mënyrë grafike, shumën e segmentevea dhe b nga vizatimi.

5

6

K

m

L

O

m

a

n

P S T

M

n

N

A

a

B C

b

D

Segmenti OS paraqet shumën grafike të seg-

menteve a dhe b, që shënohet mea + b (viz. d).

Vizato gjysmëdrejtëzën OT (viz. a).Barte segmentin a në gjysmëdrejtëzën OT (viz. b).Barte segmentin b në gjysmëdrejtëzën OT, mepikën e fillimit P dhe pikën e skajshme S (viz. c).

Puno sipas udhëzimit dhevizatimeve. O

a)T

O Pb)

T

a b

O P Sc)

T

a + b

O Sd)

T

Në vizatim janë dhënë segmentet KL dhe MNdhe gjysmëdrejtëza OT. Segmentet KL dhe MNjanë bartë në gjysmëdrejtëzën OT. Në atë mënyrë në gjysmëdrejtëzën OT është fitu-ar segmenti OS. Sa është gjatësia e segmentitOS?

7 Cakto në mënyrë grafike ndryshimin e seg-

menteve m = KL dhe n = MN.

K L

M N

m

O S P Tn

m

n

Vizato gjysmëdrejtëz OT.

Në gjysmëdrejtëzën OT barte segmentin KL = m m ashtu që OP = n.

Segmentin MN = n barte në gjysmëdrejtëzën OT me fillim në pikën P, kah pika O. Ashtu do ta fitosh

segmentin PS, ku PS = n.

Segmenti OS është ndryshimi i segmenteve KL dhe MN, dmth. OS = m – n.

Puno sipas ecurisë

82

Vizato segment AB = 48 mm dhe gjysmë-drejtëz OS. Barte segmentin AB në gjysmë-drejtëzën OS.Konstrukto segmentet OM = a + 2b dhe

ON = 2a – b, nëse a = 3 cm dhe b = 2 cm.

Për çdo numër n më të madh se zero, te gjys-mëdrejtëza OS shtrihet vetëm një pikë pika Aqë është në largësi n prej pikës O, dmth.OA = n;

si bartet segmenti mbi gjysmëdrejtëz;si caktohet grafikisht shuma, përkatësishtndryshimi i dy segmenteve.

Vizato segment a = 62 mm dhe b = 3 cm, kurse pastaj konstrukto segmenteta + b dhe a - b.

8

Duhet të dish!

Konstrukto segmentet: 2a + b dhea + 2b, nëse a = 25 mm dhe b = 22 mm.

Vizato gjysmëdrejtëzën OS, dhe në të

shënoi pikat A dhe B, ashtu që OA = 4 cm

dhe AB = 2 cm.

Detyra

1.

Për cilin vizatim themi se është konstruk-sion?

2.

Konstruktoi segmentet: OM = 2a dhe

ON = 3a, nëse a = 3 cm.

3.

4.

Konstrukto segmentet: a - b dhea - 2b, nëse a = 72 mm dhe b = 2 cm.

5.

Konstrukto segmentet: a + b - c, nësea = 5 cm, b = 3 cm dhe c = 4 cm.

6.

Testohu!

Provo aftësinë tënde të hetimit.Provo me numërim.

Sa katrorë ka në figurën e vizatimit a)?Sa drejtkëndësha ka në figurën e vizatimit b)?Sa trekëndësh barabrinjës ka në figurën e vizatimit c)?

a) b) c)

1.

2.

3.

83

APër dy segmente që kanë vetëm pikëne skajshme të përbashkët quhen seg-

mente fqinje.

M N

Në vizatimet a) – e) janë dhënë segmentet AB,BC, CD dhe DE, që lidhen njëri me tjetrën nëmënyrë të ndryshme.

Segmentet MN dhe NP në vizatim janë segmentefqinjë.Përgjigju kërkesave.

P

VIJA E THYER6Kujtohu!

Pikat A dhe B janë pikat e skajshme tësegmentit AB.

Ç’kanë të përbashkët segmentet AB dhe BCnë vizatim?

Prej vizatimit vëren sesegmentet AB dhe BC nukshtrihen në drejtëzën enjëjtë.

A B

A

B

C

Te cili vizatim dy segmente fqinjë shtrihen nëdrejtëzën e njëjtë?Te cili vizatim nuk ka segmente fqinje që shtrihennë drejtëzën e njëjtë?

A B C D Ea)

b)

c)ED

C

BA

A

B

C

D

EA

D

B

E

C

d)

D

B

Ce)

A

Nëse gjatë lidhjes të segmenteve, çfarëdo dy segmente fqinjë nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë,atëherë figura e fituar gjeometrike quhet vijë e thyer.

Figurat gjeometrike b), d) dhe e) janë vija të thyera, kurse a) dhe c) nuk janë. Pse?

E

F

GH

Cilat figura nga vizatimi janë vija të thyera?1

A CB

K I

L

M

N

P R

T

S

a) b) c) d)

Mbaj mend!

B

Cilët janë brinjë fqinjë të brinjës BC?Cilët brinjë nuk janë fqinjë të brinjës CD?

Prej vizatimit mund të vëresh se pikat e ska-jshme A dhe E të vijës së thyer ABCDE nukputhiten.Pikat e skajshme A dhe E të vijës së thyerputhiten te pika A.

Në vizatim është dhënë një vijë e thyer.2


Për një vijë të thyer te e cila pikat e skajshmeputhiten thuhet se është e mbyllur.

A V

S

D

E

A V

S

D

E

A ≡ E B

S

D

Shihe vizatimin dhe përcjelleatë që është treguar

Brinjët etrekëndëshitformojnë vijëtë thyer tëmbyllur.A

S

V

Cila prej vijave të thyera në vizatim nuk ka brinjë fqinjë që priten?

Cila prej vijave të thyera është e mbyllur dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten?

3

a) b) e) f )c) d)

84Në vizatim është dhënë një vijë e thyer. Segmentet AB, BC dheCD quhen brinjët e vijës së thyer, kurse pikat e tyre të ska-jshme - kulme.

A V

S

D

Me cilin segment segmenti AB është fqinjë, kurse me cilinsegmenti BC është fqinjë?

Segmente fqinjë të vijës së thyer quhen brinjë fqinjë. Për shem-bull, brinjë fqinjë të vijës së thyer në vizatim janë AB dhe BC, si dheBC dhe CD.

Cilët prej brinjëve të vijës së thyer në vizatim nuk janë fqinjë?

a) b)

85Vëre!

Vija e thyer e thjeshtë e mbyllurquhet vijë poligonale.

Mbaj mend!

Vijat e thyera a), b) dhe d) nuk kanë brinjë fqinjë që priten. Vija e atillë quhet vijë e

thjeshtë e mbyllur.

Vijat e thyera b) dhe f ) janë të thyera dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten.

Brinjët e katërkëndëshit formojnëvijë poligonale.

A

D

B

C

C 4 Njehso shumën e gjatësive tëbrinjëve të vijës së thyer në viza-tim.

AB

C

D

E

32 mm

2 cm

45 mm

4 cm

Shuma e gjatësive të brinjëve të vijës së thyerquhet perimetër i vijës së thyer dhe shënohetme P.


Perimetri i vijës së thyer në vizatim është:

P = 32 + 40 + 45 + 20, përkatësisht,

P = AB + BC + CD + DE

P = 137 mm.

5 Njehso perimetrin e vijës së thyer KLMNP, nëse: KL = 8 cm, LM = 6 cm,

MN = 5 cm, NP = 7 cm dhe PK = 6 cm.

Të sqarosh ç’është vijë e thyer e mbyllur;

Çfarë është vijë e thyer e thjeshtë e mbyllur,përkatësisht vijë poligonale;

çfarë është perimetri i vijës së thyer

Duhet të dish!

Vizato vijën e thyer të mbyllur ABCDE.

Njehso perimetrin e vijës së thyer të

mbyllur ABCDE, nëse

AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm,

DE = 4 cm dhe EA = 7 cm.

Testohu!

86

Ç’është perimetri i vijës së thyer të mbyllur?

Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllur meshtatë kulme.

3.

4.

Njehso perimetrin e vijës së thyer të paraqi-tur në vizatim.

6.

A B

C

D

E

4 cm

25 mm

28 mm35 mm

3 cm

Gardhi i oborrit ABCD e ka perimetrin P = 21

m. Njehso gjatësinë e brinjës AB, nëse

BC = 5 m,CD = 720 cm, DA = 630 cm.

5.

Shëno katër pika A, B, C dhe D, ashtu që tëmos ketë tri pika që shtrihen në drejtëzën enjëjtë.

Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllurme kulme te pikat A, B, C dhe D.

Detyra

1.

Sa kulme dhe sa brinjë ka vija e thyer në viza-tim? Emërtoji kulmet dhe brinjët.

2.

A B

C

D

E

Obidi se!

Pa e quar majën e lapsit nga letra, vizato vijë të thyer, me të cilën figurën edhënë a) do ta ndash në gjashtë trekëndësha kënddrejtë.

a) b) c)

Vizato figura (vija të thyer të mbyllura) viz.b) “me një lëvizje”, pa e larguar majën elapsit nga letra dhe pa kalimin e sërishëm nëpër vijën e vizatuar. A është emundur kjo të bëhet me figurën c)?

1.

2.

87

Mbaj në mend

Numri, shuma e dy numrave, segmenti, rrethi,syprina e drejtkëndëshit, vija e thyer janëkuptime matematike.

1 Vëre dhe kujtohu për këto kuptime matematike që i ke mësuar:

pika; largesa: gjysmëdrejtëza; mesi i segmentit;

drejtëza; rrafshi segmenti vija e thyer.

Kujtohu për disa prej këtyre kuptimeve

a) Figura gjeometrike që i përmban pikat A dhe B dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyre quhetsegment.b) Pika e segmentit që është një lloj e larguar prej skajeve të tij quhet mesi i segmentit.c) Figura gjeometrike e segmenteve të lidhur, të atillë që çfarëdo dy segment fqinjë nuk shtrihen nëdrejtëzën e njëjtë quhet vijë e thyer.

A

KUPTIMET THEMELORE DHE TË NXJERRA7Kujtohu!

Duke e mësuar matematikën, deri tanimësove për: numrin, shumën e dy num-rave, segmentin, rrethin, syprinën edrejtkëndëshit etj.Përkujto edhe disa sende që i ke mësuar.

Çfarë tregojnë fjalitë a) – c)?Me fjalinë nën a) përcaktohet se çfarë figure gjeometrike është segmenti, dmth jepet përgjigje nëpyetjen „ç’quajmë segment?"Për fjalinë nën a) thuhet se është përkufizim i kuptimit segment.Fjalia nën b) është përkufizim i kuptimit pikë e mesme.Fjalia nën c) është përkufizim i kuptimit vijë e thyer.

Vëre!

Te përkufizimi për kuptimin vijë e thyer janë përdor kuptimet segmente fqinjë dhe drejtë.

Për përkufizimin e kuptimit mesi i segmentit, përsëri përdoren kuptimet pikë dhe drejtëze.

2 Si përkufizohet kuptimi për pikat kolineare?

88

Cilët kuptime parësore dhe dytësorepërdoren gjatë përkufizimit të kuptimitvija e thyer e mbyllur?

Shprehe përkufizimin për:

a. gjatësinë e segmentit;

b. perimetrin e vijës së thyer.

Numëroji kuptimet parësore në gjeometri.

Detyra

1.

Cilët prej këtyre kuptimeve: pika, drejtëza,segmenti, gjysmëdrejtëza, figuragjeometrike, largesa janë kuptime dytësore?

2.

3.

Cilët kuptime përdoren gjatë përkufizimit tëkuptimit figurë gjeometrike?

4.

Mbaj në mend!

Për kuptime parësore në gjeometri merren: pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa.

Për të gjitha kuptimet e tjera jepet përkufizim përkatëse dhe ato quhen kuptime të nxjerra ose

kuptime dytësore.

Për shembull, prej kuptimeve gjeometrike që i ke mësuar, kuptime të nxjerra janë: segmenti, mesi isegmentit, vija e thyer, vija e thjesht e thyer, perimetri i vijës së thyer etj.

3 Parashtroje përkufizimin për gjysmëdrejtëzën.

Cilët kuptime parësore janë shfrytëzuar për përkufizimin e kuptimit gjysmëdrejtëz?

Pika, drejtëza dhe rrafshi janë kuptime themelore nëgjeometri;

për kuptimet parësore nuk jepen përkufizime;

kuptimet dytësore përkufizohen;

gjysmëdrejtëza, segmenti mesi i segmentit, vija e

thyer janë kuptime të nxjerra.

Duhet të dish!

Kuptimet pikë dhe drejtëz nuk i përkufizojmë me kuptime të tjera. Ato vetëm i sqaro-jmë.Është pranuar që disa kuptime të merren si fillestare dhe ato quhen kuptime

themelore ose parësore.

Kuptimet parësore nuk përkufizohen.

Testohu

89

A

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janëshënuar pikat A, B, C, D, E dhe F. Shihe viza-timin dhe vepro sipas kërkesave.

Në çfarë largese janë pikat errethit nga pika O?

Edhe sa pika mundesh tëshënosh te rrethi?

1

O

D

C

B

A

F

E

Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që janë në largësi të barabartë prej një pike të zgjedhur nëatë rrafsh quhet rreth.

Segmentet OA, OB dhe OC e lidhin qendrën e rrethit me pikat e rrethit dhejanë të barabarta ndërmjet tyre.

Çdo segment që e lidh qendrën me çfarëdo pikë të rrethit quhet rreze e rrethit edhe gjatësia e sajquhet rreze e rrethit.

Rrezja shpesh herë shënohet me shkronjën r.

Vërejta! Rrethi është bashkësipikash dhe të gjitha ato pikatjanë në largësi të barabartë prejpikës O.

Pika e zgjedhur quhet qendër e rrethit dhe shpesh herë shënohet me O.

RRETHI DHE QARKU8Kujtohu!

Shumë herë deri tani ke vizatuar rreth mekompas.

Që të vizatosh rrethin, është enevojshme të dish ku të ven-dosësh gjilpërën dhe sa ta„hapsh " kompasin.

Vizato rreth me qendër O dhe me hapje të kompasit 25 mm. Në rreth shëno pikat A, B e C dheçdonjërën prej tyre lidhe me pikën O.

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet:

Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve OA, OB, dhe OC?

Si janë ato segmente sipas gjatësisë ndërmjet tyre?

2

B

C

A

O

r

3

Cili prej këtyre segmenteve është rreze e rrethit?

Pse segmenti OC nuk është rreze e rrethit?

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe segmentet OA, OB, OC dheOD.

A

C

k

B

O

D

90

B

4

Sa rrathë mund të vizatosh me qendër në pikën O dhe rreze 2 cm?

Me pikë të dhënë si qendër dhe rreze të dhënë mundet të vizatohet vetëm një rreth.

Një rreth plotësisht është e përcaktuar nëse janë dhënë qendra O dhe rrezja r e tij.

Vizato rrethin me qendër O dhe rreze r = 2 cm.

Rrethi k me qendër O dhe rreze r shënohet me k (O; r).

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.

Në sa pjesë është ndarë rrafshi me rrethin k?

Mund të themi se pikat B dhe D „janë jashtë" rrethit k. Cilës pjesë të rrafshit i takojnë pikat A dhe C?

Në vizatim është dhënë vija rrethore k (O; r) dhe pikat A, B, Cdhe D.

6

5 Vizato rrethin k (O; 2 cm).

O C

A

D

B

k

C

Rrethi k e ndan rrafshin në dy pjesë (zona)- e brendshme (zona e brendshme) dhe e jashtme (zona

e jashtme).

O

BA

D

k

8

Qendra dhe rrezja e rrethit k quhen qendër dhe rreze e qarkut. Qarkun me qendër O dhe rreze r eshënojmë me K(O; r).

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet e parashtruara.Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve AB dhe CD?Cili prej këtyre segmenteve kalon nëpër pikën O??Me sa rreze është i barabartë segmenti AB?

Figura gjeometrike që përbëhet prej një rrethi dhe prej pjesës së saj të brendshme quhet qark.

7 Vizato qark K(O; 22 mm).

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janë shënuarpikat A, B, C dhe D dhe janë tërhequr segmentet AB dheCD.

d

C


Segmenti pikat e skajshme të të cilit i takojnë rrethit quhet kordë e rrethit. Segmenti AB ështëkorda që kalon nëpër qendër.Korda që kalon nëpër qendër quhet diametër i rrethit ose qarkut. Diametri i rrethit shpeshherëshënohet me d dhe d= 2r.

919 Vizato rrethin k (O; 25 cm). Njehso diametrin e rrethit.

Në sa pjesë është ndarë rrethi me pikat A dhe B?

10 Vizato rrethin k (O; r) dhe në të shëno pikat A dhe B.

O

BA

kC

Cila prej pikave A, B, C dhe D përcaktojnë gjysmërreth?

11 Vizato rrethin k (O; r), kordën AB dhe diametrin CD.

Mbaj në mend!

Me pikat A dhe B rrethi është ndarë në dy pjesë. Çdonjëra prej atyre pjesëve së bashku me pikat Adhe B quhet hark rrethor dhe shënohet me AV, nëse ai është më i vogli.Më i madhi, pra, shënohet me tri shkronja, dmth. ASV.

Korda e rrethit le të jetë diametër. Secili nga harqet rrethore të fituara quhet gjysmërreth.

Duhet të dish!

Të sqarosh ç’është rrethi;çfarë është hark rrethor dhe sishënohet;çfarë është qendër dhe rreze errethit;me çfarë është i përcaktuar njërreth;të sqarosh çfarë është kordë errethit dhe cila kordë quhetdiametër;cila figurë gjeometrike quhet qark.

O

AB

Ek

D

C

Cilat prej pikave në vizatim:

a) i takojnë rrethit k?

b) i takojnë qarkut K?

c) janë pikat e skajshme të qarkut?

Sa është rrezja e rrethit me

diametër d = 32 mm?

Testohu!

Detyra

Vizato rrethin k (O; 2 cm). A është qen-dra O pikë e rrethit?

1.

Ç’është rrezja e rrethit?2.

Vizato rrethin k me diametër

d = 4 cm dhe në të kordën AB = 3 cm.

3.

Vizato rrethin k(O; 25 mm) dhe në të shënohark rrethor AV, ashtu që korda përkatëse tëjetë AB = 3 cm.

4.

Njehso diametrin e rrethit me rrezer = 28 mm.

5.

Njehso rrezen e rrethit me diametërd = 5 cm.

6.

Kujtohu!

92

A

B

Cila prej pikave A, B, C, D dhe E shtrihet në rrethin k (O, 35 mm), në qoftë se AO = 3 cm,

BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

Në rrethin k në vizatim janë shënuar disa pika,por janë shënuar edhe pika që nuk i takojnërrethit.

Cilat prej këtyre pikave shtrihen në rrethink?Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën ebrendshme të rrethit k?Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën ejashtme të rrethit k?Cilat pika janë të përbashkëta për rrethitk dhe drejtëzën a?

AO

D

B

C

E

GH

Fk

a

O

D

F

E

Ar

CG

B

Në vizatim janë dhënë: rrethi k (O; r) dhepikat A, B, C, D, E, F dhe G.

Me matje dhe krahasime konstato sepohimet e dhëna janë të sakta:

a) OA = r dhe OD = r;b) OB = r dhe OE = r;c) OC = r dhe OF = r.

1

Pikat A dhe D i takojnë rrethit. Largesa e tyrederi te qendra O është e barabartë me r.

Pikat B dhe E shtrihen në pjesën e brendshme të rrethit k. Ato janë pika të brendshme.

Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e vogël se r.Pikat C, F dhe G shtrihen në pjesën e jashtme të rrethit k. Ato janë pika të jashtme.

Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e madhe se r.

Vëre!

2

Cila prej pikave K, L, M, N dhe P është e jashtme dhe cila është pika e brendshme e rrethit

k (O, 3 cm), nëse OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?3

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.Sa pika të përbashkëta ka drejtëza a me rrethin k?Cila prej drejtëzave ka vetëm një pikë të përbashkët merrethin k?Cila prej drejtëzave nuk ka asnjë pikë të përbashkët merrethin k?

Në vizatim janë dhënë rrethi k dhe drejtëzat a, b dhe c.4

A

O

S

Va

k

b

c

POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE PIKËS.

POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE DREJTËZËS9

93Vëre dhe mbaj mend!

Drejtëza a dhe rrethi k kanë dy pika të përbashkëta. Themi se drejtëza a është prerëse e rrethit k.Drejtëza b dhe rrethi k kanë vetëm një pikë të përbashkët. Themi se drejtëza b është tangjente

rrethit k.Drejtëza c nuk ka asnjë pikë të përbashkët me rrethin k.

5 Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë P. Vizato drejtëzën t që e takon rrethin k në pikën P.

O

ab

c

Duhet të dish!

Të caktosh pikë që shtrihet brenda rrethit, nërreth dhe jashtë tij;

kur një drejtëz është prerëse e rrethit;

kur një drejtëz është tangjentë e rrethit.

Çfarë pozite reciproke kanë pika A dhe rrethi k(O, r), nëse OA = r?Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza m dhe vija

rrethore k (O, r), nëse drejtëza m kalon nëpër

qendrën e rrethit?

Detyra

Cila prej pikave A, B, C dhe D është pikë ebrendshme e rrethit k (O; 3 cm), nëse OA = 25 mm, OB = 30 mm,

OC = 4 cm dhe OD = 2 cm?

1.

Vizato rrethin k (O; 8 mm) dhe drejtëzën aqë e pret rrethin.

3.

Çfarë pozite reciproke mundet të kenë pikadhe rrethi?

2.

Ç’është tangjentë e rrethit?4.

Çfarë pozite reciproke mundet të kenëdrejtëza dhe rrethi?

5.

Cila prej drejtëzave në vizatim është tang-jentë e rrethit k?

6.

Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë A.Vizato tangjentë t që rrethin e takon nëpikën A.

7.

Testohu!

Kujtohu!

94

A

Në vizatim janë dhënë rrathët: k(O; r) dhek1(O1; r1).

Pika O është qendra e rrethit k(O; r), kursesegmenti OD është rrezja e rrethit.

Emërto qendrën dhe rrezen e rrethit k1.

Cilët nga pikat e shënuara i takojnë rrethi

k dhe cilat rrethit k1?

Largesa O1O2 ndërmjet qendrave O1 dhe O2 të rrathëve k1 dhe k2 quhet largesa qendrore dhe më

së shpeshti shënohet me c; c = O1O2.

Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta.Njëri rreth është në zonën e brendshme të rrethit tjetër.

Shihi rrathët k1 dhe k2 dhe përgjigju në pyetjet.

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyet-jen.Rrathët k1 dhe k2 a kanë pika të për-bashkëta?

Rrethi k1 dhe k2 a kanë pika të përbashkëta?Në cilën zonë të rrethit k1 htrihet rrethi k2?

Vëre!

Mbaj mend!

1

2

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O1; r2). Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.

Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2 ? A kanë rrathët k1 dhe k2 pika të përbashkëta?

3

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1)dhe k2(O2; r2).

O

B

A

Dr

k1r1

k

C

O1

O2

r2

O1

r1

k1k2

O1

r1

k1 k2

O2

O1

r1

k1k2

r2

Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta.Njëri rreth është në zonën e jashtme të rrethittjetër.

Vëre!

r2

POZITA RECIPROKE E DY RRATHËVE10

95Rrathët k1 dhe k2 kanë qendër të përbashkët dhe nuk kanë pika të përbashkëta.Për ato themi se janë rrathë bashkëqendror.


C

B

Vizato dy rrathë bashkëqendror k1 dhe k2 me rreze r1= 3 cm dhe r2= 2 cm.

Ç’kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2?

Shihi vizatimet k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2) dhe përgjigju nëpyetjen.

7

4

6

Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se vijat rrethore k1 dhe k2 takohen prej jashtë.


Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se rrathët k1 dhe k2 takohen nga brenda.


Vizato rrathët k1(O1; 2 cm) dhe k2(O2; 3 cm) që të takohen nga jashtë.

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2).

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen:

Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2?

5

8

Vizato segment O1O2 = 4 cm.

Vizato rrathët k1(O1; 25 mm) dhe k2(O2; 22 mm).

Shënoji pikat e përbashkëta të rrathëve k1 dhe k2 me A dhe B.Tërhiqi rrezet r1= O1A dhe r2= O2A.

Shihe vizatimin dhe puno sipas ecurisë.

O1

r1 r2

O2M

O1 O2

r2c

r1

k1

k2

O1 O2

V

A

R

96

Duhet të dish!

Çfarë pozite reciproke mundet të kenë dyrrathë;të dallosh prej vizatimit

kur dy rrathë nuk kanë pika të përbashkëta;kur dy rrathë takohen;kur dy rrathë priten.

A mundet dy rrathë të jenë koncetrike dhe tëpriten?

Dy rrathë me rreze r1 dhe r2 takohen ngajashtë. Në se është e barabartë largesa e tyreqendrore?

Detyra

Vizato dy rrathë k1 (O1; 18 mm) dhe k2

(O2; 22 mm) që nuk kanë pika të për-bashkëta. Sa mundësi ka?

1.

Vizato dy rrathë k1 (O1; r1) dhek2 (O2; r2) ashtu që të takohen nga jashtë.

2.

Çfarë pozite reciproke kanë rrathët k1 (O1;

3 cm) dhe k2 (O2; 2 mm), nëse pikat O1

dhe O2 puthiten?

3.

Vizato dy rrathë bashkëqendrorëk1 (O1; 2 cm) dhe k2 (O2; 15 mm).

4.

Vizato dy rrathë k1 (O1; 25 mm) dhek2 (O2; 15 mm), që takohen nga brenda.

5.

Rrathët k1 (O1; 3 cm) dhek2 (O2; 18 mm) takohen nga brenda.Njehso largesën ndërmjet qendrave të tyre.

6.

Rrathët k1 dhe k2 kanë dy pika të përbashkëta A dhe B, përkatësisht rrathët priten.


9 Vizato rrathët k1 dhe k2 që priten.

Testohu!

97GJYSMËRRAFSHI. KËNDI11Kujtohu! ACilat prej pikave të shënuara në vizatimshtrihen në drejtëzën p, e cilat nuk shtrihennë të?

Segmenti AB a ka pikë të përbashkët medrejtëzën p?Çfarë pozitë reciproke kanë drejtëza p dhe seg-menti EF?

Sqaro pse pikat C dhe D shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës p, ndërsa pikat B dhe D shtrihen në anëte ndryshme të saj.A ka pika tjera të cilat shtrihen në anën e njëjtë, gjegjësisht në anët e ndryshme të drejtëzës p?

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza p dhesegmenti MN?

Ç’është pika Q për drejtëzën p dhe seg-mentin MN?

1 Në vizatim janë shënuar drejtëza pdhe pikat A, B, C, D, E dhe F që nukshtrihen në të.

M

QN

T

p

Vëre se segmenti AB nuk ka pika të përbashkëta me drejtëzën p, ndërsa segmenti EF e pretëdrejtëzën p.

Me drejtëzën p në vizatim janë formuar dy gjysmërrafshe, prej të cilëvenjëri është i ngjyrosur.

Për pikat A dhe B themi se gjinden (shtrihen) në anën e njëjtë, ndërsa pikat E dhe F –në anët e

ndryshme të drejtëzës p.

AB

C D

F

Ep

Mund të vërej se në anën e njëjtë të drejtëzës p ka pafund shumë pika.

Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës sëdhënë p, së bashku me pikat e asaj drejtëze, quhet gjysmërrafsh.

Drejtëza p quhet teh ose kufi e gjysmërrafshit.

Mbaj mend

Cilat pika në vizatim shtrihen në gjysmërrafshin enjëjtë me pikën S?

2K

N

S

T

L

P

pM

p

98 B 3 Vizato dy gjysmëdrejtëza OX dhe OY, si nëvizatim.

4 Në vizatim është paraqitur këndi α dhe janë shënuar pikat: O,A, B, C, D, E.

XO

Y

I

II

Ç’kanë të përbashkët gjysmëdrejtëzat OX dhe OY?

Në vizatim janë paraqitur dy kënde që formohen me gjysmë-drejtëzat OX dhe OY. Secili prej atyre këndeve është përbërë prej gjysmëdrejtëzave dhepjesës së ngjyrosur të rrafshit.

Cilat prej atyre pikave i takojnë këndit α?

Cilat prej atyre pikave janë pika të brendshme të këndit α?

Pjesa e rrafshit që i takon këndit, pa krahë, quhet zona e brendshme

(ose shkurtimisht zonë).Zona e brendshme e këndit shënohet me hark rrethor.Pikat që i takojnë zonës së brendshme quhen pikat e brendshme tëkëndit.

Në sa pjesë është ndarë rrafshi me ato gjysmëdrejtëza?

Dy gjysmëdrejtëza me fillim të përbashkët e ndajnë rrafshin në dy pjesë.

Figura gjeometrike e formuar prej dy gjysmëdrejtëzave me pikë të fillimit të për-bashkët dhe njërës pjesë të rrafshit e kufizuar me ato quhet kënd.

Gjysmëdrejtëzat OX dhe OY quhen krahët të këndit, kurse pika O quhet kulmi i këndit.

XO

Y

XO

Y

XO

Y

X

Y

O

zona e

brendshme

natyrë

zona në

Vëre se!

Këndet mund të shënohen:

me shkronjë të madhe të latinishtes me të cilën është shënuar kulmi i kën-dit dhe me simbol ∢ para saj; për shembull ∢O.

Me tre shkronja të mëdha, ku shkronja e kulmit shënohet në ndërmjet; për shembull ∢AOB.

A

αO

B

A

α

O

C

E

D

B

5 Vizato kënd me kulm S dhe krahë SP dhe SR dhe shënoje me hark rrethor. Si do ta shkruash mesimbole këndin që e vizatove?

�

me shkronjë të vogël të alfabetit grek, që shënohet në zonën e këndit;�përpos α, përdoren edhe shkronjat: β (beta), γ (gama), δ (delta) etj.;�

�

99

C 7 Në vizatim janë dhënë: ∢MON me pikat A, B, C, Dnga zona e tij dhe ∢SQT me pika E, F, G, H nga zonae tij.

Për një kënd themi se është i mysët (konveks), nëse për cila do dy pika A dhe B nga zona e tij, tëgjitha pikat e segmentit AB i takojnë asaj zone.


Në vizatim këndi MON është i mysët, kurse këndi SQT nuk është i mysët ai është i lugët.

6 Emërto çdonjërin prejkëndeve në vizatim.

P RM

β

S

2

MO

N D

C

BS

TF

EQA

G

HTë gjitha pikat e segmentit AB shtrihen në zonën e ∢MON.Ku shtrihen segmentet: BC, BD, AC?

Segmenti EF ka pika që i takojnë zonës dhe pikat që nuk i takojnë zonës së ∢SQT. Kujt i takojnëpikat e segmenteve: EG, FH, HE?

8 Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd β që është i lugët.

Duhet të dish!

Ç’është gjysmërrafshi;

Ç’është këndi;

Ç’është zonë e brendshme e këndit;

cili kënd është i mysët?

Cila prej figurave në vizatim është kënd?

Cila prej figurave në vizatim është kënd i mysët?

S

V

O A R RM L

KT

Testohu!

Detyra

Cilat pika në vizatim shtrihen në të njëjtingjysmërrafsh me pikën A?

1.

2. Emërto kulmin dhe krahët ekëndit në vizatim. Cilat pikatë shënuara i takojnë këndit,e cilat zonës?

aB

E

A C H

D FG

O A

VD

E

C

Vizato kënd me kulm M dhe krahë MP dheMN. Emërto atë kënd.

3.

Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd βqë nuk të lugët.

4.

Sa kënde janë formuar me gjysmë-drejtëzat: OA, OB dhe OC dhe harqetrrethore në vizatim?

Emërtoji ato kënde.

5.

O

SV

A

100 KRAHASIMI I KËNDEVE. LLOJET E KËNDEVE12Kujtohu! A

Këndet, ashtu si edhe segmentet mundtë krahasohen.

1 Puno sipas kërkesave, vëre mbaj mend dhepërgjigju.

Në vizatim është dhënë një kënd.

Emërto atë kënd.Emërtoji krahët dhe kulmin e këndit.

P M

N

Në fletë të tejdukshme vizato dy kënde,α=∢AOB dhe β=∢CSD, si në vizatim, e pastajprej.

Vendose njërin këndë të prerë mbi këndin tjetër, për shembull a mbi β,ashtu që kulmi O të puthitet me kulmin S, ndërsa krahu OA me krahun SC, sinë vizatim.

Në cilën zonë gjendet krahu OB?

Krahu OB (i këndit) shtrihet në zonën e këndit β.

Ka tre mundësi për pozitën e krahut OB të këndit α=∢AOB në lidhje me këndin β=∢CSD, kur α dheβ janë të vendosur njëri mbi tjetrin.

α

O A

B

β

S C

D

αβ

O≡S CA

D B

αβ

O≡S CA

βα

O≡S CA

B D

α β

O≡S CA

B

1) Krahu OB puthitet me krahunOD

–atëherë themi se këndet αdhe β janë të barabartë

(puthitshëm).

Vëre!

D

3) Krahu OB gjendet në zonën ejashtme të këndit β -atëherëthemi se α është më i madh se

β.

2) Krahu OB gjendet në zonën ebrendshme të këndit β -atëherëthemi se α është më i vogël se

β.

D B

B 2 Shqyrtoje këndin AOB në vizatim, mendohu dhepërgjigju.

Çka formojnë krahët e këndit AOB?

OA B

101

3 Vizato këndin e shtrirë MON, shënoje me hark dhe shëno pikat A, B, C, D në zonën e tij.

Këndi krahët e të cilit formojnë një drejtëz quhet kënd i shtrirë.

Vëre dhe mbaj në mend!

Cili prej segmenteve AB, AC, BC dhe BD tërësisht shtrihen në zonën e ∢MON?

A është ∢MON i mysët apo i lugët?

O

C

A B

Puno sipas kërkesave, vëre, mbaj mend dhe përgjigju.

Në fletë të tejdukshme vizato këndin e shtrirë AOB.Paloje fletën në kulmin O, ashtu që krahët OA dhe OB tëputhiten. Pastaj shpalose fletën.

4

Vëren se me vijën e palosjes këndi i shtrirë është ndarë në dy pjesë të puthitshme, gjegjësishttë barabarta. Secila prej atyre pjesëve është kënd i drejtë.

Këndi i cili është sa gjysma e këndit të shtrirë quhet kënd i

drejtë.

Këndi AOC në vizatim është kënd i drejtë. Shkruaje këndintjetër të drejtë.Vëre këndet e drejta në vizorin tënd drejtkëndor.


Shqyrto vizatimin dhe vepro sipas kërkesës.5

Vizato gjysmëdrejtëzën OA.Kulmin e këndit të drejtë vendose te pikën O, ashtu që njëri prejkrahëve të vizorit drejtkëndor të puthitet me gjysmëdrejtëzënOA.Nëpër krahun tjetër të trekëndëshit tënd tërhiq gjysmëdrejtëzOB.Në këtë mënyrë vizatove kënd të drejtë AOB.

V

O A

Me këndin e drejtë të vizorit kënddrejtë mate cili prej këndeve nëvizatim është kënd i drejtë.

6

γβ

α

Shihi vizatimet AOB dhe MPN në vizatim dhe krahasoji me këndine drejtë.

7

Cili prej këndeve është më i vogël se këndi i drejtë, e cili ështëmë i madh se këndi i drejtë?

α

O A

Çdo dy këndet të shtrirë janë të barabartë.

V

102Këndi që është më i vogël se këndi i drejtë quhet kënd i

ngushtë.

Këndi që është më i madh se këndi i drejtë, kurse më ivogël se këndi i shtrirë quhet kënd i gjerë.


Ato dy gjysmëdrejtëza OA dhe OB a e ndajnërrafshin në dy pjesë?

β

α β γ δ

R M

N

8 Vlerëso cili prej këndeve nëvizatim është kënd i ngushtë, ecili i gjerë, kurse pastaj provome këndin e drejtë të vizorittënd, a ke vlerësuar saktë.

10 Në vizatim është paraqitur këndi i plotë AOB dhe këndizero NPM.

C 9 Çfarë është pozita reciproke e dygjysmëdrejtëzave OA dhe OB, nësepika B i takon gjysmëdrejtëzës OA, sinë vizatim?

O V

A

O V

A

P MN

Do të pranojmë që gjysmëdrejtëzat e puthit-shme të përcaktojnë dy kënde.

Njëri kënd është i formuar nga gjysmë-drejtëzat (që puthiten) dhe pjesës tjetër tërrafshit-ai kënd quhet kënd i plotë;

�

Këndi tjetër është i formuar nga gjysmë-drejtëzat (që puthiten), ndërsa zona e tijështë bashkësi e zbrazët –ai kënd quhet zero

kënd.

�

Duhet të dish!

Cili kënd quhet:

Kënd i shtrirë? kënd i drejtë?

kënd i ngushtë? kënd i gjerë?

kënd i plotë? kënd zero?

Cilat lloje të këndeve mund ti njohëshnë vizatim? Emërtoji ato kënde.Radhiti këndet sipas madhësisë, duke fil-luar nga më i vogli: α, β, γ dhe δ, nëseα është kënd i shtrirë, β është kënd idrejtë, γ është kënd i ngushtë dhe δështë kënd i gjerë.

C

O A

B

Testohu!

Detyra

Cili kënd quhet kënd i shtrirë?1.

Çfarë këndi paraqet gjysma e këndit tështrirë?

2.

Çfarë këndi formojnë akrepat e orës në:

a) ora 14 ; b) ora 15 ;

c) ora 17 ; d) ora 18 ?

3.

A është këndi i plotë e mysët? Sqaro përgjigjen tënde.

103

Ç’kanë të përbashkët ∢AOB dhe ∢BOC?

Si quhet çifti i këtillë i këndeve?

Çfarë kënd formojnë krahët OA dhe OC?

Vizato kënd të ngushtë AOB dhe kënd tëgjerë MPN.

4.

Vizato tre gjysmëdrejtëza OA, OB, dhe OC,ashtu që ∢AOB të jetë kënd i drejtë dhe∢BOC kënd i ngushtë. I cilit lloj është këndi∢AOC?

Vizato këndin e gjerë MON dhekënd e ngushtë NOP, ashtu që∢MOP të jetë i shtrirë.

6.

5.

A

P

Cilët prej këndeve në vizatim janë kënde të pran-ishme? Sqaroje përgjigjen.

1

Te vizatimi „kujtohu", këndet α dhe β e kanë kul-min e përbashkët O dhe krahun e përbashkëtOB.

Dy kënde me kulm të përbashkët dhe një krah tëpërbashkët, por që nuk kanë pikat të brendshmetë përbashkëta quhen kënde të pranishme.

OA

BD

C MF E

G

H

a) b) v)

SN

KËNDE PRANISHME, TË PUQËT DHE KRYQËZOR13Kujtohu!

Në vizatim janë dhënë këndet α dhe β.Emërtoji krahët dhe kulmet e këndeve α

dhe β.Ç’kanë të përbashkët këndet α dhe β?

αβ

O A

BC

B 2 Në drejtëzën p në vizatim është zgjedhur pika O dhe është tërhequr gjysmëdrejtëza OB.

O SA

V

Mundesh të vëresh se këndet e pranishme AOB dhe BOC formojnë kënd të shtrirë.

Dy kënde të pranishme që formojnë kënd të shtrirë quhen kënde të puqtë.

Mbaj mend!

Vizato një kënd të ngushtë MPN, pastaj vizato kënd NPS i puqët me këndin MPN.I cilit lloj është këndi NPS?

3

Vizato kënd të drejt α, pastaj vizato kënd β të puqët me α. I cilit lloj është këndi β?4

104

D

C Drejtëzat AC dhe BD në vizatim priten te pika O.Ashtu formohen këndet α, β, γ dhe δ. Krahët OCdhe OD të këndit γ janë vazhdimet e krahëve OAdhe OB të këndit α. Për këndet e tillë themi se janëkënde të kryqëzuara.

γβ

δα

DO A

C B

Të kryqëzuara janëedhe këndet β dheδ, në vizatim.

Dy kënde që kanë kulm të përbashkët, kurse krahët enjërit kënd janë vazhdimet e krahëve të këndit tjetërnëpër kulm, quhen kënde kryqësore.

Vizato kënd të ngushtë AOB, kurse pastaj vizato kënd MON, ashtu që ato dy kënde të jenë kryqë-zor.

5

A

OB

D CVizato në letër ose në kartuç kënde kryqësore si në vizatim.Prej me kujdes këndet kryqësore dhe vendosi njërin mbitjetrin. Do të vëresh se këndet kryqësore gjatë vendosjesnjërin mbi tjetrin puthiten. Prandaj mundet të thuhet sekëndet kryqëze janë të puthitshëm (barabartë). Në vizatim ∢AsOD = ∢BOC dhe ∢AOB = ∢COD.

Vizato kënd të drejtë MPN, kurse pastaj vizato këndin e tij kryqëzor SPR. Të cilit lloj janë këndetMPS dhe NPS?

6

Duhet të dish!

Të njohësh dhe të sqarosh cilëtkënde janë kënde pranishme;të njohësh dhe të sqarosh cilëtkënde quhen kënde të puqtë;të njohësh dhe të sqarosh cilëtkënde janë kënde kryqëzorë.

A munden të jenë këndet të pranishme këndet AOB dheBCD?Këndet AOB dhe BOC janë kënde të puqtë. Nëse ∢AOBështë i drejtë, atëherë i cilit lloj është ∢BOC?Këndi MPN është kënd i gjerë. I cilit lloj është këndi qen-dror ∢MPN?

Testohu!

Detyra

Emërtoji këndet fqinjenë vizatim.

Ke kujdes ka katërçifte të këndeve fqin-jë!

1.

Cili prej këndeve në vizatimështë kënd i puqët i kënditα? Cilët këndet të tjera janëtë puqtë?

2.

Vizato një kënd të gjerë α, pastaj vizatokëndin e tij të puqët β. I cilit lloj është këndiβ?

3.

Për cilët dy kënde themi se janë kënde tëkryqëzuara?

4.

Cakto çiftet e kën-deve kryqëzorë nëvizatim.

5.

OD A

BC

β αδγ

12

34

5 67

8

KËNDI QENDROR. KONSTRUKSIONI I KËNDIT14Kujtohu!

105

ANë vizatim është dhënë rrethik, qendra O dhe në të janëshënuar pikat A dhe B.

Si quhet secila pjesë prej tyre?

Si quhet segmenti AB?

Si shënohet harku më i vogël i dy harqeverrethore?

Në sa pjesë është ndarë rrethik me pikat A dhe B?

Ku gjendet kulmi i këndit: α; β?

Shkruaje harkun rrethor të cilin e for-mojnë krahët e këndit α dhe shtrihetnë atë kënd.

Përfytyro se këndi α rrotullohet rreth pikës O në kahun e lëvizjes sëakrepave të orës, deri sa saktësisht e mbulon këndin β.

Shkruaje harkun rrethor të cilin e for-mojnë krahët e këndit α dhe nukshtrihet në atë kënd.

1 Në vizatim është dhënë rrethi k meqendër O dhe kënde α dhe β.

k

VC

αβ

D

AO

k V

AO

βα

γ O

Këndi kulmi i të cilit gjindet në vijën rrethore tëdhënë quhet kënd qendror.

2 Cili prej këndeve α, β dheγ në vizatim është këndqendror? Pse këndi γ nukështë qendror?

4 Në vizatim është dhënë rrethi k dhe qendra O dhe dy kënde qendrore, që janëtë puthitshme.

3 Krahët e këndit α (në vizatim) e presin rrethin k në pikat Adhe B.

k V

C

αAO

Çdo kënd qendror në rreth të dhënë përcakton saktësisht një hark rrethor që shtrihet në atë kënd.

Për këndin dhe harkun themi se përgjigjen ose janë përkatës njëri me tjetrin.

Mbaj mend!

Ku do të kishte rënë pika A, e ku pika B?

Me cilin hark do të puthitet harku AB?

Vërej se harku AB do tëputhitet me harkun CD.

106

Mund të paramendoj se këndi α, me rrotullim rreth pikës O, do të puthitet me këndinβ. Kordat AB dhe CD do të puthiten, gjegjësisht ato janë të barabartë.

Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por merreze të barabarta iu përgjigjen harqet rrethore të puthitshme.

Harqet rrethore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze tëbarabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme.

Në mënyrë të njëjtë mund të vëresh se vlen edhe e anasjelltë:

Si jenë harqet përkatëse AB dhe CD?

Kordës AB i takon këndit α, ndërsa korda CD këndit β. Si do të përfundoshse këto korda janë të puthitshme (barabarta)?

A është këndi qendror α i puthitshëm me këndin qen-dror b?

Vëre se α është më i vogël se këndi I shtrirë, ndërsa βështë më i madh se këndi I shtrirë.

5 Këndet qendrore α dhe β në vizatim janë të puthitshme.

6 Kordat AB dhe CD në rrethin k1 dhe k2, me rreze të barabartë, janë të barabarta.

Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze tënjëjtë iu përgjigjen kordat e puthitshme (përkatësisht të barabarta)

Në përgjithësi vlen!

Kordave të barabarta (puthitshme) në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze tëbarabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme vetëm nëse kordat: ose të dyja i takojnë osetë dyja nuk i takojnë këndeve përkatëse.

Vëre se

Në vizatim janë dhënë rrathët k1 dhek2, me rreze të njëjtë. Te secili rreth janëshënuar kordat:

AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm dhe

MN = 2 cm. Cilët kënde të shënuara janë mes

vete të barabartë? Pse?

7

β

α

B

D

k1

A

C γ

δ

KN

k2L

M

107BDi se këndeve qendrore të barabartë te rrathëve me rreze të barabarta iu përgjigjenharqet rrethore të barabarta (përkatësisht korda). Atë mund ta shfrytëzosh gjatëkonstruktimeve të këndeve të barabarta me këndin e dhënë dhe atë vetëm mendihmën e vizorit dhe kompasit. Si bëhet ajo? Shihe detyrën vijuese.

Vizato gjysmëdrejtëzën PT (viz. b).Me hapje të çfarëdoshme të kompasit, në këndin e dhënë a), vizatopjesë të rrethit me qendër në pikën O, e cila do t'i pretë krahët e kën-dit OK dhe OL. Kështu do ta fitosh kordën AB që i përgjigjen ∢AOB(fig. c).Me hapjen e njëjtë të kompasit, si te fig. c, vizato pjesë të rrethit meqendër te pika P (viz. d).Hape kompasin dhe „mere" me të largesën AB nga fig. c.Vendose majën e kompasit te pika M dhe me krahun tjetër prejeharkun paraprakisht të vizatuar në fig. d; në atë mënyrë do ta fitoshpikën N.Vizato gjysmëdrejtëzën PS që kalon nëpër pikën N (fig. e); me atë dotë fitosh këndin ∢TPS = α.

O

α

Është dhënë këndi a= ∢KOL (viz. a).Konstrukto kënd të barabartë me këndin α.

8

K

L

O

αA

B

K

L

N

P M T

P T

a)

c)

b)

Përcjelle ecurinë hap pas hapi.

d)

N

S

P M T

e)Vizato këndin e gjerë α, pastaj konstrukto kënd β tëbarabartë me këndin α.

9

Duhet të dish!

Të sqarosh cili kënd quhet kënd qendror;Si është raporti ndërmjet këndeve qendroretë barabartë dhe harqeve rrethore përkatëse;Se këndeve qendrore të barabartë u përgjig-jen korda të barabarta.

Te rrethi k në vizatim,

AB = MN dhe AB > CD.

Cilët prej këndeve të

shënuar janë të barabartë

ndërmjet tyre?

O

B

CD

M

NA

Detyra

Cili kënd quhet kënd qendror?1.

Vizato rrethin k(O; 3 cm) dhe një kordë të

saj AB = 35 mm. Vizato këndin qendror α

në të cilin shtrihet korda AB.

2.

Vizato kënd të ngushtë α, pastaj vizato këndβ të barabartë me këndin α.

3.

Vizato kënd të drejtë AOB, pastaj vizato këndMPN të barabartë me këndin AOB.

4.

��

�

��

�

Testohu!

Kujtohu!

108 MBLEDHJA DHE ZBRITJA GRAFIKE E KËNDEVE15A

Si do të konstruktosh kënd β të barabartëme këndin α?Në vizatim është dhënë këndi α dhe gjys-mëdrejtëza OA.

1 Janë dhënë këndet α dhe β. Caktografikisht shumën e tyre.

Konstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α.

O A

O A

Cα

α

α

β

β

B

Shihe vizatimin dhe vepro sipas rreg-ullave.

Vizato dy kënde α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OA.Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harkunrrethor të këndit α, të këndit β dhe gjysmë-drejtëzës OA.Konstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α.Konstrukto këndin BOC të barabartë me këndin β.Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β?Me çka është i barabartë këndi AOC? Shkruaje atësimbolikisht.

Prej aktiviteteve paraprake mund të vëresh se simblidhen grafikisht (në mënyrë konstruktive)këndet.

Me mënyrën e përshkruar fituam kënd AOC,që është i barabartë me shumën e këndeve αdhe β, dmth. ∢AOC = α + β. Kjo rregull quhetmbledhja grafike ose konstruksioni ishumës së dy këndeve.

B

2 Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të drejtë β, e pastaj cakto grafikisht shumën e tyre.

3 Janë dhënë këndet α dhe β. Cakto grafikisht ndryshimin e tyre.

O

RN

M

Shihe vizatimin dhe vepro sipas rregullave.

Vizato kënd të gjerë α, kënd të ngushtë β dhe gjysmëdrejtëz OM.

Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harqe rrethore të këndeve α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OM.

Konstrukto kënd MON të barabartë në këndin α.

Konstrukto kënd NOP të barabartë me këndin β ashtu që krahu OP të jetë në zonën e këndit MON.

α β

��

109�

Në lidhje me vizatimin shkruajsimbolikisht:

C

O A

B

Me rregullën e përshkruar e fituam këndin ∢MOR = α - β; me të është kryer zbritja grafike gjegjë-sisht konstruktive e këndeve α dhe β.

Çfarë paraqet këndi AOC për kën-det AOB dhe BOC?

Çfarë paraqet këndi AOC për këndet AOC dhe COB?

Ashtu e fitove këndin MOP.

Çka paraqet këndi MOP për këndet α dhe β?

Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β?

4 Vizato kënd të drejtë α dhe kënd të ngushtë β, kurse pastaj cakto grafikisht ndryshimin e tyre.

Detyra

Vizato dy kënde të ngushtë α dhe β dhekonstrukto shumën e tyre.

1.

Vizato kënd të ngushtë α dhe konstruktokëndin 2α (2α = α + α).

2.

Vizato tre kënde të ngushtë α, β dhe γ, pas-taj konstrukto këndin α + β + γ.

3.

Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd tëngushtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre.

4.

Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd tëdrejtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre.

Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të ngushtëβ, β është më i vogël se α, e pastaj konstruk-to këndin 2α − β.

6.

5.

Duhet të dish!

Grafikisht të caktosh

Shumën e dy këndeve;

Ndryshimin e dy këndeve.

Testohu!

Përpiqu!

Sa kënde (të shënuara me hark) ka nëvizatim?Cilat çifte të këndeve janë pran-ishme?Pika O shtrihet në drejtëzën AE.Cilat çifte të këndeve janë të puqtë.

A O E

D

C

B

110

Kujtohu!

MATJA E KËNDEVE16

Me cilën vegël matet gjatësia e segmentit?

Numëro (së paku tre) njësi matëse të gjatë-sisë.

Çfarë janë ndërmjet vete këndet qendrore har-qet përkatëse të të cilëve janë të puthitshme?

Vizato kënd α dhe kënd β që është më imadh se α.

A V

AEdhe këndet mund të krahasohen dhesipas saj edhe të maten.

Në vizatim, harqet AB,BC dhe CD janë tëputhitshme.

1

Harqet AB, BC, CD, DE dhe EF në viza-tim janë të puthitshme. Cili është numrimatës i këndit: a) AOF; b) AOC në lidhje mekëndin α?

2 Vëreje këndin e shtrirë AOB dhe harkunpërkatës të gjysmërrethit në vizatim.

3

Sa shkallë ka këndi shtrirë?Sa shkallë kë këndi i drejtë?

4

Çfarë janë ndërmjet tyrekëndet qendrore α, βdhe γ?

Këndi AOD është shumë e këndeve α, β dhe γ,të cilat janë reciprokisht të puthitshme. Sa herëkëndi α përmbahet në këndin AOD?

Thuhet edhe: numri matës i këndit AOD nëraport me këndin α është 3.

Vëre se gjysmërrethi është ndarë në 180 pjesë.

Këndi i cili është 180-ta pjesë e këndit shtrirë merret për njësinë themelore për matjen e këndeve.

Madhësia e tij quhet shkalla këndore ose shkurtimisht shkallë. Shënohet me: 1o; lexohet “njëshkallë”.

Cila pjesë e këndit të shtrirë është kënd qendror, të cilit i përgjigjet 180-tës pjesë e gjysmërrethit?

Kam vërejtur se: nëse këndi shtrirëndahet në 180 pjesë, fitohet këndprej 1o.

111B

Shihe vizatimin te i cili është paraqitur matja e kënditBAC dhe përgjigju:

5

Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve në vizatim?6

Vegla për matjen e këndeve quhet këndmatës.

Ku është vendos pika O e këndmatësit?

Këndmatësi është paraqitur në vizatim.

Ku shtrihet krahu AB i këndit BAC?

Lexo te këndmatësi, sa shkallë ka këndi ∢BAC?

Këndmatësi mund të bëhet prej pllakës së hollë metalikeose prej plastike.

Ai e ka formën e gjysmërrethit të ndarë në 180 pjesë tëbarabarta dhe çdo pjesë paraqet një shkallë.

Te shkalla janë paraqitur numra prej 0 deri më 180, kurse qendra e gjysmërrethit është shënuarme O.

0

0

S

V

A

0

S

AV0

K

M N

a) b)

Me ndihmën e këndmatësit vizato∢MPN = 105o.

7

Vizato gjysmëdrejtëzën PM mepikën e fillimit P.

Vendose këndmatësin ashtu që pikaO të puthitet me pikën fillestare Ptë gjysmëdrejtëzës PM.

0

MP

R M

R M

N

Shëno pikë N në vendin ku shkalla ekëndmatësit tregon 105o.

Tërhiq gjysmëdrejtëz PN. Në atë mënyrë me ndihmën e këndmatësit, vizatove ∢MPN = 105o.

�

�

�

� �

112

Nëse këndi i dhënë α ka 25 shkallë, 38 minuta dhe 42 sekonda, ajo shkruhet kështu:α = 25o 28’ 42’’.

a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.

Me ndihmën e këndmatësit vizato kënd prej: a) 48o; b) 115o;8

Shndërroji në minuta: a) 5°; b) 12° 45'; c) 45° 15'.9

Shndërroji në sekonda: a) 4°; b) 10° 15 '; c) 20° 20' 20".10

Njësitë më të vogla se shkalla për matjen e këndit janë minuta këndore ose shkurtimishtminuta (shënohet 1') dhe sekonda këndore ose shkurtimisht sekonda (shënohet 1"). Njëshkallë ka gjashtëdhjetë minuta, kurse një minutë ka gjashtëdhjetë sekonda.

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.

C

Duhet të dish!

Cila është njësia themelore për matjen emadhësisë së një këndi;Cilët janë njësi më të vogla se shkalla;

Çfarë është shkalla këndore;Sa minuta ka 1o;

Sa sekonda ka 1’;

Testohu!

I cili lloj është këndi që ka 90o?

I cilit lloj është këndi që ka 124o?

Shndërro në minuta 35o 17’.

Shndërro në sekonda 15o 2’ 13’’.

Detyra

Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve: BOC,COD, BOD dhe NOM në vizatim?

1.

Mati këndet α dhe β në vizatim.2.

Vizato kënd prej: a) 47°; b) 126°.3.

Paraqiti në minuta këndet:a) 25o; b) 30o 15’.

4.

Radhiti këndet sipas madhësisë, duke filluarprej më të voglit: α = 71o 35’;

β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’;

δ = 84o 35’ 40’’.

5.

O

N

MD C

B

α β

113

A

Vëre rregullën gjatë zgjidhjes:

1 Njehso shumën e këndeveα = 85o 36’ 25’’ dhe β = 32o 12’ 20’’.

1. Mblidhi sekondat. 25’’ + 20’’ = 45’’

2. Mblidhi minutat. 36’ + 12’ = 48’

3. Mblidhi shkallët. 85o + 32o = 117o

85o

32o

117o

36’

12’

48’

25’’

20’’

45’’

+α + β = 117o 48’ 45’’.

OPERACIONE ARITMETIKE ME KËNDE17Kujtohu!

Njësia themelore për matjen e këndit ështëshkalla.Njësitë më të vogla se shkalla janë minutadhe sekonda.

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 3 600’’.

Shndërroji në shkallë:a) 120'; b) 180';Shndërroji në shkallë dhe minuta:a) 86'; b) 145'.

2 Njehso shumën e këndeve α = 48o 32’ 15’’ dhe β = 60o 8’ 20’’.

Vëre rregullën.

3 Njehso ndryshimin e këndeve α = 78o 38’ 42’’ dhe β = 26o 15’ 18’’.



1. Zbriti sekondat. 42’’ - 18’’ = 24’’

2. Zbriti minutat. 38’ - 15’ = 23’

3. Zbriti shkallët. 78o - 26o = 52o

78o

26o

52o

38’

15’

23’

42’’

18’’

24’’

-α - β = 52o 23’ 24’’.

1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’

2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’

3. 84o + 35o + 1o = 120o

84o

35o

120o

36’

42’

19’

30’’

50’’

20’’

+α + β = 120o 19’ 20’’.

Vëre rregullën.


114

90o

28o

61o

25’

36’

48’

18’’

35’’

43’’

-α - β = 61o 48’ 43’’.


1. 18’’ < 35’’. Od 25’ zbresim 1’; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’

2. 24’ < 36’. Od 90o zbresim 1o; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’

3. 89o - 28o = 61o

Vëre rregullën.


9 Njehso ndryshimin e këndeve α = 88o 24’ dhe β = 25o 38’ 40’’.

1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’

2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’

3. 87o - 25o = 62o

88o

25o

62o

24’

38’

45’

40’’

20’’

-α - β = 62o 45’ 20’’.

Vëre rregullën

10 Njehso ndryshimet: a) 90o - 35o 42’; b) 180o - 65o 25’ 35’’.

PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DINË MË SHUMË

1 Njehso 4α , nëse α = 28o 32’ 24’’.

2 Njehso 5α , nëse α = 20o 18’ 28’’.

Vëre rregullën.

1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’

2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’

3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o 4α = 114o 9’ 36’’.

4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 9’ 36’’

B

1153 Njehso α : 6, nëse α = 76o 32’ 42’’.

4 Cili kënd është 4 herë më i vogël se këndi α = 75o 34’ 20’’?

Vëre rregullën.

76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’

- 72o

- 270’

2’ 42’’ = 162’’

- 162’’

0

4o 32’ = 272’ 4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’

2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’

Duhet te dish!

Këndet mblidhen ashtu që me radhë mblidhen sekondat, minutatdhe pastaj shkallët;

të mbledhësh kënde kur shuma e sekondave, përkatësisht eminutave është më e madhe se 60;këndet zbriten ashtu që me radhë zbriten sekondat, minutat dhepastaj shkallët;

të zbresësh këndet kur numri i minutave ose i sekondave te izbritshmi është më i vogël se numri i njëjtë te zbritësi.

Njehso α + β i α − β, nëseα = 68o 45’ 22’’ dheβ = 30o 25’ 48’’.

Testohu!

Zada~i

Njehso α + β i α - β, nëseα = 88o 26’ 32’’ dhe β = 25o 10’ 20’’.

1.

Njehso α + β i α - β, nëseα = 76o 32’ 42’’ dhe β = 40o 38’ 50’’.

2.

Njehso këndin β i cili me këndin a jepshumën prej 90o, nëse α është:

a) α = 36o 40’; b) α = 42o 42’ 42’’.

3.

Njehso këndin β i cili me këndin α jepshumën prej 180o, nëse α është:

a) α = 78o 30’; b) α = 65o 35’ 25’’.

4.

Përpiqu!

Në vizatim është vizatuarkëndi prej 19o.

Si mundet pa këndmatës, e vetëm me kompasdhe vizore, të konstruktohet kënd prej 1o?

19o

116

A

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëzat m dhe n?

Çfarë këndi formojnë këndet α dhe β?

Nëse α është kënd i drejtë, çfarë është këndi β?

1 Në vizatim janë dhënë drejtëzat m dhe n.Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet:

n

m

DREJTËZAT RECIPROKISHT NORMALE.

LARGESA E PIKËS DERI TE DREJTËZA18

Kujtohu!

Drejtëzat a dhe b në vizatim priten.Ato kanë vetëm një pikë të përbashkët.Cila është ajo pikë?

Rb

a

αβ

B

Për dy drejtëza që priten e formojnë kënde të drejtëthemi se janë drejtëza reciprokisht normale (pin-

gule) ose themi se njëra drejtëz është normale metjetrën. Atë simbolikisht e shënojmë: m ⊥ n.

Mbaj në mend!

Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë A që nuk shtrihen në atë drejtëz. Vizato drejtëzën s që kalonnëpër pikën A dhe është normale me drejtëzën p.

2

Të mbaj mend! Drejtëzat mdhe n priten dhe formojnëkënd të drejtë. Ato janëdrejtëza reciprokisht normale.

Cakto largesën më të shkurtër prej pikës M deri tedrejtëza p në vizatim.

3

Shihe vizatimin dhe vepro sipas kërkesave.

Mati largesat e segmenteve MA, MB, MC, MD

dhe ME dhe krahasoji.Cila prej këtyre largesave ështëmë e vogël?Çfarë pozite reciproke kanëdrejtëza p dhe drejtëza MC?

Të mbaj mend! Mund të përfundojse largesa më e vogël është largesaMC, e ajo është gjatësia e segmentitqë është normale në drejtëzën p.

M

CBA

pED

�

�

Me largesë e pikës M deri te drejtëza p nënkuptohet „largesa më e shkurtër ".Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e normales e tërhequr prej pikës M deri te drejtëzap.Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e segmentit MC, ku C është prerja e normales dhedrejtëzës p.

Mbaj mend!

117

�

��

Cakto largesën të pikës A deri te drejtëza a në vizatim. Shihe vizatimina) dhe vepro sipas ecurisë.

4

a

A

a

b

V

A

Vizato drejtëzën b që kalon nëpër pikën A dhe është normale nëdrejtëzën a (duke e shfrytëzuar këndin e drejtë të vizorit tëndtrekëndor).Shënoje pikë prerjen B të drejtëzave a dhe b.

Gjatësia e segmentit AB është largesa e pikës A deri te drejtëza a.

Në këtë rast AB = 27 mm.

Cili prej segmenteve në vizatim është largesë e pikësP deri te drejtëza a?Mate largesën e pikës P deri te drejtëza a.

5R

CBA

a

D

a)

Vizato drejtëzën a dhe shëno pikë A që është 3 cm larg prej drejtëzës a.66

Duhet të dish!

Për cilat drejtëza themise janë reciprokisht nor-male?Të caktosh largesën epikës deri te drejtëza.

Larg një fshati kalon një lum. Në lum duhet të ndërtohet urë ashtu që

të jetë sa më afër fshatit.

Sqaro, sipas asaj që mësove, si do ta caktosh vendin se ku duhet të

vendoset ura në lum.

Detyra

Ç’është largesë e pikës deri te drejtëza?1.

Vizato drejtëzën m dhe shëno pikë M qënuk shtrihet në atë drejtëzën. Cakto largesën e pikës M deri te drejtëza m.

2.

Cakto largesën e pikës A deri te drejtëza cnë vizatim.

3.

Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë P që ështënë largesë 2cm prej drejtëzës p.

4.

Vizato drejtëzën p dhe në të shëno pikë M.Nëpër pikën M tërhiqe drejtëzën q, normaleme p.

5.

S

VD

A

c

Testohu!

118 SIMETRALJA E SEGMENTIT. PËRGJYSMORJA E KËNDIT19Kujtohu! A

Pika M është mesi i segmentitAB = 3 cm.

Cakto: AM dhe MB.

Drejtëzat a dhe b në vizatimjanë reciprokisht normale.I cilit lloj është këndi α?

A M V

α

a b

1 Është dhënë segmenti AB. Nëpërpikën e mesme O të tërhiqedrejtëzën s që është normale mesegmentin AB.

A V

s

O

izato segment AB.

Cakto mesin O të segmentit AB.��

B

Nëpër pikën O tërhiq drejtëzën s normale me drejtëzën AB.

Si janë pjesët që drejtëza s e ndan segmentin AB?

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza s dhe segmenti AB?

M N

n sm

R

Drejtëza s e cila përgjysmon segmentin AB dhe është normaleme të quhet simetrale e segmentit AB.


Cila prej drejtëzave në vizatim është simetrale e segmentit MN?2

Vizato segment CD dhe pastaj vizato simetralen e tij s.3

Në vizatim është dhënë ∢AOB = 68o dhe në zonën e tij ështëtërhequr gjysmëdrejtëza OC ashtu që ∢AOC = 34o.

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen.

Sa shkallë ka ∢COB?

Si janë pjesët që gjysmëdrejtëza OC e ndan këndin AOB?

4

O A

C

B

Përfundova! Gjysmëdrejtëza OC e ndankëndin AOB në dy pjesë të barabartë.∢AOB = 68o, ∢AOC = 34o dhe ∢COB = 34o.

Gjysmëdrejtëza që e ndan këndin në dykënde të barabartë quhet përgjysmore osesimetrale e atij këndi.

Mbaj mend!

��

119Provo, cila prej gjysmëdrejtëzave: OM, ON dhe OP nëvizatim është përgjysmore e këndit AOB.

5

Vizato kënd prej 56° dhe me ndihmën e kënd-matësit tërhiq përgjysmoren e tij.

6

Duhet të dish!

Të sqarosh: Ç’është simetralja e segmentit dheç’është përgjysmorja e këndit.Të vizatosh: simetrale të segmentit të dhënëdhe përgjysmore të këndit të dhënë.

Vizato segmentin EF = 48 mm si në vizatim,

pastaj vizato simetralen e tij.

Vizatoj ∢AOV = 100o dhe pastaj tërhiq

përgjysmoren e tij.

Sa simetrale mundet të tërhiqen:

për segmentin e dhënë; për këndin e dhënë?

O A

M

N

PB

E

F

Pikërisht passimetralja!

Testohu!

Detyra

Simetralja s e pret segmentinAB = 5 cm në pikën M. Njehso: AM.

1.

Simetralja s e pret segmentin MN në pikën P,ashtu që MP = 35 mm. Njehso gjatësinë esegmentit MN.

2.

Vizato segment: AB = 5 cm, pastaj vizatosimetralen e tij.

3.

Vizato vijë të thyer me dy segmenteve ABdhe BC. Vizato simetralet e segmenteve ABdhe BC.

4

Gjysmëdrejtëza OP është përgjysmore e∢MON = 84o. Sa shkallë ka ∢MON?

Vizato kënd α = 76o dhe tërhiqe përgjys-more e tij.

7.

5.

Gjysmëdrejtëza OC është përgjysmore e∢AOB. Njehso ∢AOB, nëse ∢AOC = 35o.

6.

Kujtohu!

120

A

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.Çfarë këndi është shuma e α dhe β?

Sa shkallë ka këndi i shtrirë?

Sa shkallë ka ∢AOB, që është shuma e këndeve

α dhe β?

Sa është shuma e këndeve αdhe β?

Sa shkallë ka këndi i drejtë?

Sa shkallë ka këndi α + β?

Cili prej çifteve të këndeve kanë shumë 90o?

a) α = 35o dhe β = 55o;

b) α = 26o dhe β = 46o;

c) α = 48o dhe β = 52o.

Në vizatim është konstruktuar shuma ekëndeve α = 40o dhe β = 50o.

1

Këndet α dhe β a janë komplementar, nëse:

a) α = 25o dhe β = 65o;

b) α = 23o dhe β = 77o;

c) α = 44o dhe β = 46o?

2

Nëse α = 32o, atëherë sa është këndi i tij komplementar β?3

Mati këndet α dhe β dhe njehso shumën e tyre.4

Kam vërejtur: Shuma e këndeve α dhe β është 180o, dmth. shuma e tyre ështëe njëjtë me këndin e shtrirë.

α = 40o

α

β

β = 50oPër dy kënde shuma e të cilëve është 90° thuhet sejanë kënde komplementare.

Mbaj mend!

α

αβ

β

OA V

S

B

KËNDET KOMPLEMENTARE DHE SUPLEMENTARE20

121

Duhet të dish!

Për cilin çift të këndeve themi se janëkënde komplementare?Për cilët çift të këndeve themi se janëkënde suplementare?

Nëse ∢AOV = 62o. Cili prej këndeve: α = 38o;β = 118o; γ = 28o është:

komplementar me këndin AOB;

suplementar në këndin AOB?

Detyra

Provo këndet α dhe β a janë komplementar,nëse:

a) α = 48o dhe β = 52o;

b) α = 32o dhe β = 58o;

c) α = 66o dhe β = 24o.

1.

Njehso këndin komplementar të kënditα = 39o.

2.

Vizato një kënd të ngushtë, pastaj konstruktokëndin e tij komplementar.

3.

A janë këndet α dhe β suplementare, nëse:

a) α = 105o dhe β = 65o;

b) α = 128o dhe β = 52o;

c) α = 46o dhe β = 134o.

Vizato një kënd të gjerë, pastaj konstruktokëndin e tij suplementar.

6.

4.

Njehso këndin suplementar të këndit α = 76o.5.

Për dy kënde shuma e të cilëve është 180o thuhet se janë kënde suplementare.

Mbaj mend!

α = 65o dhe β = 115o; α = 108o dhe β = 72o; α = 125o dhe β = 65o?

Cilët prej këndeve α dhe β janë suplementare:5

Nëse α = 75o, atëherë sa është këndi i tij suplementar β?6

Testohu!

Kujtohu!

122

ANë vizatim janë dhënë tre vija të thyera.

Cilat brinjë të vijës së thyer KLMNP e presin brin-jën KL?Brinjët që e presin brinjën KL a janë brinjët fqinjetë saj?A ka brinjë jo fqinje te vija e thyer ABCDE qëpriten?

1 Në vizatim janë dhënë vijat e thyera tëmbyllura KLMNP dhe ABCDE. Shqyrtojevizatimin dhe përgjigju në pyetje.

Me të vërtetë te vija e thyer ABCDE nuk kabrinjë jo fqinje që priten.

Vizato vijë poligonale DEFGH.2

Cilët prej brinjëve të vijës së thyerABCDE nuk janë fqinje me brinjën AB?

Vija e thyer nën a) është e hapur, kurse nënb) dhe c) është e mbyllur.

Brinjët AB dhe BC të vijës së thyer ABCDEjanë fqinje. Ato kanë kulm të përbashkët B.

Vija e thyer e mbyllur ku nuk ka brinjë jofqinje që nuk priten quhet vijë poligo-nale.

a)

A

b) c)

B

C

K

D

E

N

L

M

P

A B

C

D

E

SHUMËKËNDËSHI21

B Shihe vijën poligonale ABCDEF në vizatim.

Në sa pjesë vija poligonale e ndan rrafshin?

Pjesa e hijesuar quhet pjesa e brendshme ose zona ebrendshme e vijës poligonale

3

Vija poligonale dhe zona e saj e brend-shme formojnë një figurë gjeometrike.

B A

F

ED

C

123

Cila prej figurave në vizatim është shumëkëndësh?4

Mbaj mend!

Figura gjeometrike e formuar prej një vije poligonale dhe pjesës së saj të brendshmequhet shumëkëndësh.

Në vizatim është dhënë shumëkëndëshi ABCDE.5

Pikat: A, B, C, D dhe E janë kulme të shumëkëndëshit.Kulmet A dhe B janë kulme fqinje - shtrihen në të njëjtë brinjë.Cilat kulme janë kulme fqinje me kulmin D?Cilat kulme nuk janë fqinje me kulmin C?Segmentet: AB, BC, CD, DE dhe EA quhen brinjë tëshumëkëndëshit ABCDE.Për cilat brinjë të shumëkëndëshit ABCDE kulmi B është kulm ipërbashkët?Për brinjët AB dhe BC pika B është kulm i përbashkët. Atoquhen brinjë fqinje.

A B

C

D

E

Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP janë brinjë fqinjë tëbrinjës MN?

6

Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP nuk janë brinjë fqinjëtë brinjës KL?

7

K L

M

N

P

a) b) c)

Me cilat gjysmëdrejtëza është formuar këndi KLM?Sa kënde formojnë gjysmëdrejtëzat, në të cilat shtrihen brinjët e shumëkëndëshit KLMNP nëzonën e tij të brendshme?

Shihe shumëkëndëshin KLMNP.8

124

Duhet të dish!

Ç’është vija poligonale?Cila figurë gjeometrike quhetshumëkëndësh?Ç’është kulmi, ç’është brinja dhe ç’ështëkëndi i shumëkëndëshit?Cilat janë kulme fqinje dhe cilat janëkulme jo fqinje të shumëkëndëshit?Cilat janë brinjë fqinje dhe cilat janë brinjëjo fqinje të shumëkëndëshit?

Pse vija e thyer në vizatimnuk është vijë poligonale?Cilat brinjë të vijës sëthyer ABCDE nuk janëbrinjë fqinje me brinjënCD?


Këndet: KLM, LMN, MNP, NPK dhe PKL janë kënde të shumëkëndëshit.

Vizato shumëkëndësh ABCD dhe shënoji këndet e tij me α, β, γ dhe δ.9

Detyra

Cilat prej vijave të thyera janë vija poligo-nale?

1.

Cila prej figurave gjeometrike në viza-tim është shumëkëndësh?

2.

Vizato shumëkëndëshin ABCD.

Cilat brinjë tëshumëkëndëshitKLMNP, në vizatim janëfqinje me brinjën MN?

5.

3.

Cilat kulme tëshumëkëndëshitABCDE nuk janëfqinje me kulmin D?

4.

A

D

B

CE

a)

a) b) c)

b)

A B

C

D

E

K L

M

N

P

Testohu!

Ndihmoji kopshtarit!

Një kopshtar ka marrë për detyrë të mbjellë12 fidan në 6 rreshta, nga 4 fidan në çdorresht. A do të mundet kopshtari ta kryej detyrën.

Kujtohu!

125

ASi quhet figura gjeometrike që është for-muar prej një vije poligonale dhe zonës sësaj të brendshme?

Pikat D, E dhe G shtrihen teshumëkëndëshi ABCD.

Ku shtrihen të gjitha pikat e segmenteve FG, HTdhe XY?Vallë të gjitha pikat e segmenteve: OR, ST dheUV shtrihen te shumëkëndëshi nën b)?

Edhe cilat prej pikave të shënuara shtrihente shumëkëndëshi ABCD?

Cilat prej pikave të shënuara nuk shtrihente shumëkëndëshi ABCD?

Vëre!

1 Te vizatimet a) dhe b) janë dhënë dyshumëkëndësha dhe disa segmentepikat e skajshme të të cilave u tako-jnë shumëkëndëshave.

Cilët prej shumëkëndëshavenë vizatim janë të mysët?

2

Vizato një shumëkëndësh të mysët dhe një të lugët.3

Te shumëkëndëshi nën a) të gjitha pikat e segmenteve ku pikat e skajshme shtrihen teshumëkëndëshi, janë pika të atij shumëkëndëshi. Për shumëkëndëshat e atillë thuhet se janë tëmysët (konveks).

Te shumëkëndëshi nën b) disa pika të segmenteve pikat e skajshme të të cilave shtrihen teshumëkëndëshi, nuk i takojnë shumëkëndëshit. Për atë shumëkëndësh thuhet se është të lugët.

A B

F G

C

MD

H

E

Shihi vizatimet dhe përgjigju në pyetjet.

O T

R

S

V

UX

YH

G T

F

a)b)

c)d)

a) b)

DISA LLOJE TË SHUMËKËNDËSHAVE22

Kujtohu!Shihe shumëkëndëshin ABCDE në vizatim.

Pikat: A, B,C, D dhe E janë kulme, segmentet AB, BC, CD,DE dhe E a janë brinjët e shumëkëndëshit.Këndet: ABC, BCD, CDE, DEA dhe EAB janë kënde tëshumëkëndëshit. A B

C

D

E

126 B

Cili shumëkëndësh quhet gjashtëkëndësh?5

Vizato shumëkëndësh me shtatë brinjë. Siquhet shumëkëndëshi i tillë?

6

Cakto llojin e çdo shumëkëndëshi në vizatim.7

Duhet të dish!

Cili shumëkëndësh quhet i mysët? Cili shumëkëndësh quhet i lugët jokonveks?Si ndahen shumëkëndëshat sipas num-rit të këndeve (kulmeve, brinjëve)?

Pse shumëkëndëshi ABCDnë vizatim është i lugët?Si quhet shumëkëndëshi qëka 8 brinjë?

A

Shihi shumëkëndëshat nëvizatim dhe përgjigju nëpyetjet.

4

Sa kënde, kulme dhe brinjë ka çdonjëri prejshumëkëndëshave?Si quhet shumëkëndëshi ABC?

A B E

F

GC

H

LK

M

N

P

Mbaj mend!

Sipas numrit të këndeve (kulmeve ose brinjëve)shumëkëndëshi mund të jetë:

trekëndësh - shumëkëndësh me tre kënde (kulme dhe brinjë);

katërkëndësh - shumëkëndësh me katër kënde (kulme dhe brinjë);

pesëkëndësh - shumëkëndësh me pesë kënde (kulme dhe brinjë).

Po, ai ka tre kënde dhe quhettrekëndësh.

a) b)

c)

B

C

D

Më tutje, me shumëkëndësh do të nënkuptojmë shumëkëndësh e mysët, nëse nuk është thënëndryshe.

Testohu!

Detyra

Cili shumëkëndësh quhet shumëkëndësh imysët?

1.Vizato pesëkëndësh ABCDE.2.

Cilët kulme janë fqinje me kulmin B?Cilët brinjë janë jo fqinje me brinjën BC?

Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCDE, nëse:

AB = 4 cm, BC = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm i EA = 3 cm.

127Cilët prej pikave të shënuara nëvizatim shtrihen te shumëkëndëshiABCD?

3. Shëno pesë pika A, B, C, D dhe E si në viza-tim, e pastaj vizato pesëkëndësh ABCDE qëështë I lugët.

4.

A M B

H

C

ED

N

FG

A B

C

E

D

PERIMETRI I TREKËNDËSHIT23Kujtohu!

Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC.

Njehso perimetrin e katrorit me brinjëa = 5 cm.

C

VA

A

B

Njehso perimetrin e vijës poligonale ABCD.

Perimetri i vijës poligonale që e formon shumëkëndëshin quhet perimetër i shumëkëndëshit dheshënohet me P.

1 Shihe shumëkëndëshin ABCD në viza-tim. Në të janë dhënë gjatësitë e seg-menteve prej të cilëve përbëhet vijapoligonale e shumëkëndëshit.

D

C

BA 4 cm

4 cm

2 cm

3 cm

Perimetri i shumëkëndëshit ABCDE në vizatim është: P = AB + BC + CD + DA;

P = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, dmth. P = 13 cm.

Vëre!

2

3 Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC në vizatim nëse: a =28 mm, b = 32 mm dhe c = 40 mm.

S

VA c

b a

Kujtohu!

128

a) P = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15,

a = 22 - 15; a = 7 cm.

Zgjidhe detyrën nën b).

Përcjelle zgjidhjen:

P = AB + BC + CA, gjegjësisht P = a + b + c.Mbaj mend!

4 Njehso brinjën a të trekëndëshit ABC, nëse janë dhënë:

a) P = 22 cm, b = 9 cm dhe c = 6 cm; b) P = 30 cm, b = 12 cm dhe c = 8 cm;

Cili trekëndësh quhet trekëndëshbarakrahës?

5 Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës ABC me bazë AB = a = 4 cm dhe krah

AC = BC = b = 3 cm.

P = AB + BC + AC, P = a + b + c; L = a + b + b, dmth.

P = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, dmth. P = 10 cm.

Vëreje mënyrën!

P = a + b + b, P = a + 2 ⋅ b 23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm;

Përcjelle zgjidhjen nën a)!

Njehso perimetrin e ΔAVS.

A B

C

c

b a

6 Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazëa = 8 cm dhe krah b = 6 cm.

7 Njehso bazën a të trekëndëshit barakrahës, nëse janë dhënë:a) perimetri P = 23 cm dhe krahu b = 7 cm;b) perimetri P = 30 cm dhe krahu b = 9 cm.

8 ΔAVS është trekëndësh barabrinjës me brinjë a = 5 cm.

D E

F

a

aa

�Mbaj mend!

�

129

Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 8 cm.

P = AB + BC + CA, P = a + a + a, P = 3 ⋅ a P = 3 ⋅ 5; P = 15 cm.

Përcjelle zgjidhjen!

P = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.

Përcjelle zgjidhjen!9 Njehso brinjën e trekëndëshitbarabrinjës me perimetër:a) P=18; b) P=36cm.

�Mbaje mend!

Duhet të dish!

Çka është perimetër i shumëkëndëshit;

të njehsosh perimetrin e shumëkëndëshit;

të njehsosh perimetrin e trekëndëshit;

të njehsosh një brinjë të shumëkëndëshit, nëse

është dhënë perimetri dhe brinjët tjera të tij;

Njehso perimetrin e trekëndëshitbarakrahës me bazë a = 4 cm dhe krahb = 5 cm.Njehso brinjën a të trekëndëshit ΔAVS,nëse P = 24 cm, b = 7 cm dhe c = 9 cm.

Testohu!

Detyra

Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCD,

nëse: AB = 3 cm, BC = 34 mm,

CD = 46 mm dhe DA = 5 cm.

1.

Njehso perimetrin e ΔAVS, nëse:a = 8 cm, b = 12 cm dhe c = 9 cm.

2.

Njehso perimetrin e trekëndëshitbarakrahës me bazë a = 8 cm dhe krahb = 11 cm.

4.

Njehso brinjën e ΔAVS, nëse: P = 42 cm,

b = 12 cm dhe c = 15 cm.3.

Perimetri i një trekëndëshi barakrahës është34 cm, njehso bazën a të atij trekëndëshi,nëse krahu është b = 12 cm.

5.

Trekëndëshi barakrahës me bazë a = 12 cm eka perimetrin P = 32 cm. Njehso krahun e atijtrekëndëshi.

6.

Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjësme brinjë a = 18 cm.

7.

Trekëndëshi barabrinjës e ka perimetrin P = 27 cm. Njehso brinjën e atij trekëndëshi.

8.

Gjatësitë e katër brinjëve të një pesëkëndëshijanë: 32mm, 25mm, 28mm dhe 35mm, ndërsaperimetri i tij është P=150mm. njehso gjatës-inë e brinjës së pestë.

9.

A janë kolineare pikat A, B dhe C, nëseAB = 4 cm, BC = 76 mm dhe

CA = 36 mm?

130

Vizato drejtëzat p e q, dhe shëno pikat A,B dhe C që shtrihen në drejtëzën p dhe

pikat C, D dhe E që shtrihen në drejtëzën q.Shkruaj me simbole ∈ dhe ∉ cilat prej atyrepikave i takojnë, e cilat prej atyre pikave nuk itakojnë drejtëzës p, përkatësisht drejtëzës q.

MËSOVE PËR FIGURA GJEOMETRIKE NË RRAFSH.

KONTROLLOJE DIJENINË TËNDE24

1.

Vizato rrethin k(O; 27 mm) dhe në tëshëno harkun rrethor AB, ashtu që korda

përkatëse të jetë AB = 35 mm.

Sa është diametri i atij rrethi?

6.

Cakto cilat prej vijave të thyera në vizatimjanë poligonale. Sqaro pse vijat tjera të

thyera nuk janë poligonale.

5.

Vizato rrethin k1(O1; 30 mm), e pastajrrethin k2(O2; r2) i cili do ta takojë k1 nga

brenda, ndërsa largesa qendrore të jetë 10 mm.

7.

Vizato dy segmente, a dhe b, si në vizatim.4.

Ç’është segmenti?3.

a) Ç’është këndi? b) Ç’është zona e brendshme e këndit?

8.

Në vizatim emërtoji tëgjitha kënde të

shënuara me hark. Ndërmjettyre cilat lloje të këndeve injohësh?

9.

Vizato kënd α = ∢AOB, sinë vizatim. Pastaj, vizato

kënd β që është i puqët me AOB.

10.

Vizato kënd të gjerë α, e pastaj konstruktokënd β të barabartë me këndin α.

11.

Vizato këndin e ngushtë α dhe këndin edrejtë β. Pastaj, konstruktoi këndet α + β

dhe α - β.

12.

I cilit lloj është këndi që ka 90o 35'?Shndërroji në minuta 90o 35'.

13.

Njehso këndin β i cili me këndin α = 45o

35' 45’’ jep shumën 90o.14.

Vizato drejtëz p dhe shëno pikë M që ështënë largesë 3cm nga drejtëza p.

15.

Ç’është simetralja e segmentit?16.

Provo nëse këndet α = 105o 45' dheβ = 75o 15' janë suplementare.

17.

Perimetri i një katërkëndëshi është 64m, etre brinjët e tij kanë gjatësi: 24m, 13m dhe

14m. Sa është gjatësia e brinjës së katërt?

18.

2.

a b

Pastaj konstrukto segmentin: a) a + b; b) a - b.

1 2 3 4 5

131

1. Thyesa. Leximi dhe shënimi i

thyesës 132

2. Llojet e thyesave 135

3. Paraqitja e thyesave në boshtin

numerik. Barazia e thyesave 140

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave

me emërues të barabartë 143

5. Thjeshtimi dhe zgjerimi i

thyesave 146

6. Thyesa dhjetore. Numri dhjetor 149

7. Vetitë e numrave dhjetorë 153

8. Paraqitja e numrave dhjetor në drejtëzën numerik. Krahasimi i

numrave dhjetor 155

9. Llojet e diagramit. Zgjedhja e

diagramit 157

10. Mbledhja e numrave dhjetorë 160

11. Zbritja e numrave dhjetorë 163

12. Shumëzimi i numrave dhjetorë 166

13. Pjesëtimi i numrave dhjetorë 170

14. Shndërrimi i thyesës në numër

dhjetor 175

15. Rrumbullakimi i numrit dhjetorë 178

16. Zgjedhja e modelit 180

17. Mësove për thyesa. Numrat dhjetorë. Kontrollo njohurinë

tënde 182

TEMA 3. THYESA. NUMRAT DHJETOR

Kujtohu!

Cilën pjesë të çokollatës do ta merr çdo fëmijë?

Në sa pjesë është ndarë çdo çokollatë? Sa pjesë do të merr çdo fëmijë?

132

Në vizatim figurat janë ndarë në pjesë mesyprina të barabarta.

Në sa pjesë të barabarta është ndarë çdon-jëra prej figurave?

Emërto një pjesë të çdo figure.

Shprehe dhe shkruaje pjesën e ngjyrosurtë çdo figure.

Në një byrektore ka një pite të plotë tëbyrekut. Si do të vepron shitësi nëse kërkontë blesh të katërtën e byrekut?

Sa të treta ka një e plotë?

Sa gjysma ka një e plotë?

Në një shitore ka vetëm bukë tëplota. Si do të vepron shitësi nësekërkon të blesh gjysmë buke?

Një e plotë është ndarë në katër pjesë tëbarabarta, dmth. është caktuar sa është

1 : 4.

1

2

3

Herësit 1 : 4 nuk është numër natyror, pasi asnjë numër natyror i shumëzuar me 4 nuk jep 1.

Megjithatë, është e kuptueshme të themi se ai herës është i barabartë me një të katërtën dhe të

përvetësojmë se edhe një e katërta është numër.

Shkruajmë , t.e. 1 : 4 = .1__4

1__4

Tre fëmijë si do t'i ndajnë një lloj dy çokollata? Shihe vizatimin.4

Vëre!

A

THYESA. LEXIMI DHE SHËNIMII THYESAVE1

Piten e byrekut shitësi do ta ndannë katër pjesë të barabarta.

B

Herësit 1:3 dhe 5:6 nuk janë numra natyrorë

Nëse n nuk është pjesëtues i m, atëherë m : n nuk është numër natyror,

Herësin m : n e shkruajmë .

Prandaj, përveç numrave natyrorë do të mësosh edhe numra të tjerë të cilat quhen thyesa.

m__n

133

2 : 3 = ; lexohet: dy të treta ose 2 thye për 3.

Mundemi të themi se është numër, i shkruar në formë të thyesës, por nuk është

numër natyror.

2__3

2__3 2__

3

Shkruaj herësit 1:2; 4:5 dhe 11 : 15 në formë të thyesave dhe lexoni.5

7

6 Cili prej këtyre herësve nuk është numër natyror?a) 6 : 3; b) 1 : 3; c) 5 : 6; d) 8:4?

Te cili herës i pjesëtueshmi është i plotpjesëtueshëm mepjesëtuesin?

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.

Çka tregojnë numrat me të cilat është shkruar thyesa?

Si quhen numrat me të cilat është shkruar thyesa?

Shkruani thyesë që tregon pjesën e ngjyrosur.

Në sa pjesë është ndarë e plota?

Vëre!

Në përgjithësi


Thyesa është herës i numrave natyrorë m dhe n. Lexohet: m të n-tat.m__n

Thyesa është herës i dy numrave natyrorë.

�

�

�

Numrat me të cilat është shkruar thyesa quhen: m - numërues dhe n - emërues. Ato janë ndarë mevizë e cila quhet vija thyesore. Ajo e zëvendëson shenjën e pjesëtimit.

numëruesvija thyesoreemërues

m__n

Emëruesi n tregon në sa pjesë të barabarta është ndarë e plota. Numëruesi m tregon numrin eatyre pjesëve që janë marrë prej të plotës.

134 8 Ç’tregon numëruesi dhe emëruesi te thyesa ?5__6

9 Shkruaje dhe lexoje thyesën e cila paraqet tetë të 15-tat pjesë të një vere të plotë.

Duhet të dish!

Të shprehish ç’paraqet një thyesë;të lexosh dhe të shkruash thyesa;të sqarosh ç’paraqet numëruesi dheemëruesi i një thyese.

Detyra

Shpreh ç’tregon numëruesi dhe emëruesi ithyesës:

; ; .

Vizato katror dhe vizo të saj.

Shkruaj herësit në formë të thyesave dhe lex-oji.

7 : 9; 12 : 23; 4 : 121.

1.

Shkruaj dhe lexo tre thyesa , kua, b ∈ {7, 9, 28, 105}.

2.

Cila pjesë është: a) 1 dm në 1 m b) 1 cl në 1 lc) 1 g në 1 kg d) 1 dm2 në 1 m2

4.

3.

5.

Prej 36 nxënësve të një klasë 21 janë tëshkëlqyeshëm. Paraqite me thyesë pjesën enxënësve të shkëlqyeshëm të asaj klase.

7.

Në 8 paketa të njëjta ka gjithsej 5 kg sheqer.Sa kilogramë sheqer ka në çdo paketë?

8.

a__b

5__8

12__19

38__125

4__9

Shkruaj:a) 3 cm në dm ; b) 28 cm në m;

c) 9 dl në l; d)15 g në kg.

6. Shkruaj:

a) m në cm; b) m në dm;

c) l në dl; d) kg në g.

1__42__5

3__58__25

Vizato katror dhe hijezo e katrorit.

Çka tregon numëruesi, kurse çka emëruesi

i thyesës ?

Cila pjesë e l cm është 1 m?

Shkruaj si thyesë 7 dl të një 1 l.

5__8

5__8

Testohu!

Kujtohu!

135

Sa gjysma ka një e plotë?

Sa të treta ka një e plotë?

Sa gjysma ka në: dy të plota, pesë të plota?

Shkruaj një të plotë te:

e shtata.e treta;gjysma;

1

Vëre!

= 1, = 1, = 1.

Në përgjithësi, për një thyesë , menumërues dhe emërues të barabartë, ku n ështënumër natyror kemi:

= n : n = 1, konkretisht = 1.

2__2

3__3

7__7

n__n

n__n

n__n

Shkruaje numrin 1 si thyesë: me emërues 8; me numërues 12.2

Njehso herësit: 2 : 1; 9 : 1 dhe n : 1 (n numër natyror) dhe paraqiti si thyesa.

3

Shkruan:

Çdo numër natyror n munde të paraqitet me thyesë menumërues n dhe emërues 1.

= 2 : 1 = 2; = 9 : 1= 9; = n : 1 = n.2__1

9__1

n__1

Shkruaje numrin 8 si thyesë me numërues 8.Shkruaje numrin 15 si thyesë me emërues 1.

4

5 Shkruaj dy të plota si thyesë me emërues tre.

Vëre: 2 = 1 + 1 = + = . Mund të themi se thyesa është e barabartë me numrin naty-

ror 2.

Kjo mënyrë e shënimit të numrit natyror si thyesë me emërues të dhënë nuk është praktik për numrat

më të mëdhenj. Vëre mënyrën tjetër më të shkurtër.

6__3

3__3

3__3

6__3

A

LLOJETE THYESAVE2

Si mund të shënohet numrin 5 në formë tëthyesës me emërues 4?Sa të katërta ka në 5 të plota?

Në 5 të plota ka 4 ⋅ 5 të katërtat,

konkretisht; 5 = = .

Barabartë

4 ⋅ 5____4

20__4

B

136

Cilat prej figurave paraqesin më pak se një të plotë dhe cila më shumë se një të plotë?

Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të parë. Krahaso numëruesit me emëruesit e thyesës. Çfarë kon-staton?

Mbaj mend!

Thyesa paraqet numër natyror nëse b është pjesëtues i a.

Thyesa me të cilën është paraqitur numri natyror quhet thyesë e dukshme.

a__b

7 Cilët prej këtyre thyesave janë të dukshme:

; ; ; ; ; ; ; ; ?1__2

4__2

6__6

3__4

5__1

14__7

25__4

22__2

31__8

Secili numër natyror mund të llogaritet për thyes.

Ka thyesa që nuk paraqesin numër natyror.

Prandaj, bashkësia e numrave natyror është nënbashkësi e bashkësisë së thyesave.

8 Në vizatim janë formuar figura prej pjesëve të barabarta që paraqesin e një rrethi.1__4

I

II

a) b) c)

d) e) f ) g)

Sa të katërta ka çdo figurë te rreshti i dytë?

Sa të katërta ka çdo figurë nga rreshti i parë?

Te e cila thyesë vijuese emëruesi është pjesëtues i numëruesit?

Cila prej tyre është numër natyror: ; ; ; ; ; ; ?3__5

4__2

15__3

18__9

3__6

5__10

21__7

6 Paraqite numrin 8 në të pestat dhe numrin 12 në të shtatat.

Cilido numër natyror m mund të shkruhet në formë të thyesës me emërues numërnatyror n.

m = m ⋅ n____n

137Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të dytë. Krahasoji numëruesit me emëruesit e thye-save. Çfarë konstaton?

Numëruesi i çdonjërës prej atyre thyesave është më i vogël se emëruesi, që do të thotë se ato përm-bajnë më pak pjesë se që ka një e plotë. Ato thyesa janë më të vogla se 1.

Figurat e rreshtit të parë paraqiten me thyesat: a) , b) dhe c) .

Thyesa të atilla janë thyesat: , , , etj. Ato i quajmë thyesa të drejta.

Vëre!

1__4

2__4

3__4

2__5

7__9

9__11

28__31

Te çdonjëra prej këtyre thyesave numëruesi është më i madh se emëruesi, që do të thotë se ato përm-bajnë shumë pjesë se sa ka një e plota. Ato thyesa janë më të mëdhenj se 1.

Figurat e rreshtit të dytë paraqiten me thyesat: d) , e) , f ) , dhe g)

Thyesa te atilla janë: , , , etj. Ato i quajmë thyesa jo te drejta.

5__4

6__4

7__4

9__4

9__4

11__3

25__13

38__19

9 Është dhënë bashkësia M = { , , , , , }.

Shkruaj në mënyrë tabelare bashkësitëA = {x | x ∈ M dhe x < 1} dhe B = {x | x ∈ M dhe x > 1}.

Thyesat më të vogla se 1 quhen edhe thyesa të pastra, kurse thyesat më të mëdha se 1 quhen thye-

sa jo të pastra.

1__2

5__3

5__8

7__7

5__11

14__9

10 E cilit lloj është thyesa ?

Shkruaje thyesën si shumë të gjysmave me dy mbledhës.

Shkruaje thyesën si shumë të gjysmave me tre mbledhës.

3__2

3__23__2

Mbaj mend për thyesat e drejta:

Te cilado thyesë (a, b ∈ N), nëse a < b, atëherë < 1.a__b

a__b

Mbaj mend për thyesat jo të drejta:

Te cilado thyesë (a, b ∈ N), nëse a > b, atëherë > 1.a__b

a__b

C

138

11 Pse çdo thyesë më e madhe se 1 mundet të shkruhet si numër i përzier?

Thyesën ta shkruajmë si numër të përzier.32__5

Përcille zgjidhjen

Vëre zgjidhjen!

Nëse e pjesëton numëruesin me emëruesin, atëherë herësi i fituar është pjesë eplotë e numrit të përzier. Pse?

Mbetja e fituar është numëruesi i thyesës më tëvogël se 1, kurse emëruesi ngel i njëjtë.

32 : 5 = 6-30

2

;

12 Shkruaje thyesën në numër të përzier: a) , b) , c) , d) , e) , f ) .6__5

8__3

15__4

48__11

80__13

132___17

Numrin e përzier ta shkruajmë si thyesë.3

2 __4

Të caktojmë sa të katërta ka numri i përzier .

Sa të katërta përmbajnë 2 të plota?

Thyesa më e vogël se 1 përmban edhe 3 të katërta.

32

__4

32

__4

=2 ⋅ 4 + 3

= 11_______ __

4 4

2 ⋅ 4 katërta

2 ⋅ 4 + 3 katërta

32 25

= 65

32 2 25

= 32 : 5 = 6 +5

= 65

;

Numrin e përzier mund ta shkruajmë si thyesë.

Lexojmë: tre të dytat është e barabartë me një të plotë e një të dytat.Thyesat më të mëdha se 1 të shkruara me të plota dhe thyesat quhen numra të përzier.

Thyesa është më e madhe se 1 dhe mundet të paraqitet si shumë e gjysmave,

dmth. = + + = 1 + . Shuma 1 + Shkurtimisht shkruhet 1 .

Mund të shkruajmë = 1 .

Ndjeke zgjidhjen3__2

3__2

1__2

1__2

1__2

1__2

1__2

1__2

3__2

1__2

Numri i përzier përm-ban të plotë dhe thyesë.

�

�

139

13 Numrat e përzier: , , shkruaj në formë të thyesës.2

3 __5

54

__7

98

__11

Duhet të dish!

Të njohësh llojet e thyesave: thyesa më të

vogla se 1 (thyesat e drejta), thyesa më të

mëdha se 1 (thyesat jo të drejta), thyesa të

dukshme dhe numra të përzier.

Të shkruash numër natyror në formë të

thyesës me emërues të caktuar.

Të paraqesësh thyesë më të madhe se 1 në

numër të përzier dhe anasjelltas.

Cila prej thyesave: , , , ,

, është më e vogël se 1, më e madhe se 1

ose thyesë e dukshme?

Sa të plota ka thyesa ? Shkruaje si numër të

përzier.

Sa të pesta ka në ? Shkruaje numrin e përzier

në formë të thyesës.

13__3

2__3

3__2

6__3

9__8

9__3

9__10

43 __

5

Detyra

Numrat natyrorë: 2, 5, 7, 8 dhe 11shkruaj në formë të thyesës meemërues:a) 1; b) 3; c) 7.

1.

Sa thyesa më të vogla se 1 mundesh tëshkruash me emërues 5 dhe numëruesnumër natyror?

2.

Shkruaj dy thyesa më të vogla se 1 meemërues 7.

3.

4.

Numrat e përzier: shndërroi në thyesa.

, , , .6.

Shkruaj dy thyesa më të mëdha se 1 menumërues 12.

5. Thyesat: shndërroji në numra të përzier.

, , , , .

18 __

48

3 __9

31 __

103

15 __4

28__3

17__4

21__8

29__5

125__9

Testohu!

Numri i përzier paraqitet si thyesë ashtu që emëruesi shumëzohet me të plotën dhe ainumër i shtohet numëruesit. Atë e shkruaj për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë.

Provo mendjemprehtësinë tënde!

Një fushë po vërshohej me ujë. Çdo ditë vërshohet dyfish më

shumë se ditën paraprake. Ditën e gjashtë u vërshua e gjithë

fusha. Në fund të cilës ditë ishte vërshuar gjysma e fushës?

140

Kujtohu!

Çdo numër natyror mund të paraqitet në drejtëzën numerike.

Në vizatim është vizatuar drejtëza p dhe nëtë dy pika A dhe B.

Në vizatim është përcaktuar drejtëzanumerike me segment njësi AB = 1.

Cili numër i shoqërohet pikës A, e cili pikës B?

1 Vizato drejtëz numerike me seg-ment njësi 2 cm.Numrit 3 shoqëroja pikën C.

Numrit 5 shoqëroja pikën D, ndërsa numrit 7pikën E.Cakto gjatësinë e segmentit CE.Sa herë duhet ta bartësh segmentin njësi që tëcaktosh pikë për numrin 14?

2 Vizato segment AB me gjatësi 6 cm. Te segmenti AB cakto pikë C ashtu që

AC = AB. Cakto gjatësinë e segmentit AC.2__3

1__3

Segmentin AB është ndarë në 3 pjesë. Secila pjesë kagjatësi 2 cm, ndërsa segmenti AC ka dy pjesë të atilla.

AC = 4 cm.

Shihe vizatimin!

A C B

Thyesat, si edhe numrat natyrorë, mundet të paraqiten në drejtëzën numerike.

Paraqite thyesën në drejtëzën numerike.1__4

3

Segmentin njësi AB prej 0 gjer te 1 duhet ta ndash në 4

pjesë të barabarta. Në fund të pjesës së parë është pika M

dhe asaj i është shoqëruar thyesa .

Ku gjendet thyesa në drejtëzën numerike?

Në drejtëzën numerike paraqiti thyesat dhe .

Vëre se thyesa është më e vogël se 1?1__4

1__4

1__4

1__2

3__4

0 1 2

A M B C

1__4

A

PARAQITJA E THYESAVE NË DREJTËZËN NUMERIKE.

BARAZIA E THYESAVE3

A B p0 1

Si do ta caktosh pikën D, ashtu që AD = AB. Cakto gjatësinë e segmentit AD?

0 1 2

Ap

p

B C

Thyesa gjendet në

segmentin AB.

1__4

B

Në ecurinë përgjigju kërkesave.Vizato drejtëz numerike dhe në të shëno pika me numrat prej 0 gjer te 6.

Shkruaj thyesë si numër të përzier. Ndërmjet cilëve numra do të jetë thyesa ?

Ndërmjet cilave numra segmentin do ta ndash në tre pjesë? Sa pjesë do të ndash që të caktosh pikë

për thyesën ? Në drejtëzën e njëjtë numerike paraqiti thyesat dhe .

10__3

10__3

10__3

11__3

1__4

2__8

4__3

Mimoza ka blerë e pites byrek, ndërsa Afërdita e pites byrek me madhësi të njëjtë.

Cila prej tyre ka blerë pjesën më të madhe të pites byrek. Vepro sipas kërkesave.

Paraqiti dy pite byrek me dy rrathë me rreze të njëjtë (si në vizatim).

Njërin rreth ndaje në 4 pjesë, ndërsa tjetrin në 8 pjesë.

Nga rrethi i parë ngjyros , ndërsa nga i dyti .

Krahaso pjesët e ngjyrosur.

5 1__4

2__8

1__4

2__8

Lind

ita

Gaz

men

di

Lindita ka ngjyrosur pjesë të tre shiritave të njëjtë, ndërsa Gazmendi pjesët e tre katrorëve të njëjtë.

Në sa pjesë është ndarë çdonjëri prej shiritave?

Cila pjesë e çdo shiriti është ngjyrosur, gjegjësisht çdo katrori është ngjyrosur?

Sa pjesë është e ndarë në çdo kuti?

Krahaso pjesët e ngjyrosura të shiritave, gjegjësisht katrorëve.

6

4 Në drejtëzën numerike me segment njësi 3 cm paraqite thyesën .10__3

Mund të përfundoj!

=1__4

2__8

Pjesët e ngjyrosura të shiritave janë të barabarta dhe thyesat , dhe janë tëbarabartë.Prandaj mundemi të shkruajmë:

1__2

2__4

4__8

1__2

2__4

= 1__2

4__8

=; ; .2__4

4__8

=

141

142

Duke e shfrytëzuar rregullën për barazinë ethyesave cakto x ashtu që thyesat të jenë tëbarabartë.

5.

Në drejtëzën numerike janë paraqitur num-

rat dhe 1. Paraqiti numrat:

; 3 dhe .

6.

a) = ; b) = ; c) = ; d) = .2__3

x__12

7__x

35__40

2__9

x__27

10__11

3__4

3__4

5__4

1__2

17__4

100__x

1

Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta:

dhe , dhe , dhe ; dhe ?

= , vaì: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2

= , vaì: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4;

= , vaì: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4; = . Provo dhe shkruaj.

1__2

2__4

2__4

4__8

2__3

4__6

4__6

6__9

Të mbaj mend! Te thyesat e barabarta vlen:nëse shumëzon në mënyrë të kryqëzuar dotë fitosh prodhime të barabarta.

Rregulla vlen për çfarëdo thyesa të barabarta dhe , dmth. = , nëse vlen a ⋅ d = b ⋅ c.a__b

c__d

a__b

c__d

7 Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta: a) dhe ; b) dhe ; c) dhe ; d) dhe ?2__5

6__15

3__7

6__14

11__10

44__40

80__81

90__91

Duhet të dish!

Të vizatosh drejtëz numerike mesegmentin njësi të dhënë;të paraqesësh thyesa nëdrejtëzën numerike;me ndihmën e rregullës përbarazinë e thyesave të caktoshnëse dy thyesa janë të barabar-ta.

Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C te drejtëzanumerike?

Vizato drejtëzën numerike me segment njësi 1 cm dhe në të

cakto pikën A, e cila i përgjigjet thyesës .

Cili numër duhet të shkruhet te katrori që të jenë të barabarta

thyesat = ?

7__3

2__3

6__Detyra

1. Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C tedrejtëza numerike?

Vizato drejtëzën numerike me segment njësi

2 cm dhe në të cakto numrat a) 5; b) 7;

c) 4 ; d) 6 .

2.

1__6

5__30

1__2

9__19

7__10

28__40

9__11

27__37

Vëre rregullën që vlen te thyesat e barabarta.

Pjesët e ngjyrosura të katrorëve janë të barabartë.

Prandaj: 2__3

4__6

= 6__9

= .

�

�

�

Testohu!

0

A B C

1 2 3

0

A

1 2 3 4

B C

Vizato drejtëzën numerike me segment njësi

4 cm dhe në të cakto thyesat , , ,

.

3.

4.

3__4

9__8

9__47__

2

3__4

1__2

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E THYESAVE ME

EMËRUESË TË BARABARTË4

Kujtohu!

Eljesa dhe Bariu kanë ndarë një rreth në 4pjesë të barabartë. Eljesa ka ngjyrosur

e rrethit, kurse Bariu e rrethit të njëjtë.

Cilën pjesë të rrethit e kanë ngjyrosur Eljesa

dhe Bariu së bashku?

Vizato rreth dhe shkruajipjesët e ngjyrosura.

Njehso + .

Njehso sa ka ngjyrosur Bariu më shumë,

dmth. - .

Zbato vetinë e shpërndarjes të pjesëtimit nëlidhje me mbledhjen(12 + 9) : 3 = .

1__4

2__4

1__4

2__4

2__4

1__4

Puno sipas këtyre rregullave dhe krahasojizgjidhjet.

Cakto shumën e thyesave dhe .

Vëre se si do ta sqarojmë mbledhjen e thyesave

me emërues të barabartë me ndihmën e vetisë të

shpërndarjes të pjesëtimit në lidhje me mbledhjen.

1 3__5

4__5

(3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5

3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5

Zbato vetinë distributive të

shprehjes (3 + 4) : 5 =

Ndryshoji anët e barazivetë fituara.

Shkruaji herësit në formë tëthyesave.

Njehso shumën dheparaqite si numër të përzi-er.

3 + 4_____ 5

3__ +5

4__ =5

3 + 4_____ =5

3__ +5

4__ =5

7__ =5

21__ .5

A

Shihe vizatimin dhe sqaro si është paraqitur shuma + në drejtëzën numerike.23__5

4__5

0 1 2 3__5

4__5

3 4 2__ + __ = 1__5 5 5

Të mbaj mend: Thyesat me emërues të barabartë mblidhen kështu: ,

a, b, c ∈ N, dmth. shuma e numëruesve shkruhet për numërues, kurse emëruesi ngel injëjtë.

a b a + b__ + __ = _____c c c

Cakto shumën33 1

2__ + __.5 5

143

144

B

Një traktorist për një orë ka lëvruar e një are, kurse orën e dytë ka lëvruar e arës.6

Cakto shumën e thyesave:

a) + ; b) + ; c) 2 + .

5

4

7__9

5__9

5__7

3__4

4__7

1__4

11__20

8__20

Cilën pjesë të arës e ka lëvruar traktoristi për dy orë?

Cila pjesë e arës ka ngel e pa lëvruar?

Mënyra II

Shkruaje numrin e përzier 2 si shumë të të plotave dhe thyesës më të vogël se 1.

Te shprehja 2 + + cakto shumën e thyesave më të vogla se 1.

Shkruaje shumën 2 + si numër të përzier.

3__5

1__5

3__5

4__5

Cakto shumën 3 + 1 në dy mënyra.2__7

4__7

7 Cila thyesë duhet të shkruhet në vend të x që të vlen: = + x?7__9

5__9

Vëre!

Thyesës duhet t'i shtohet thyesa që të fitohet thyesa .

Thyesa është ndryshimi i thyesave: dhe ; shkruajmë: - = = .

5__9

2__9

7__9

2__9

7__9

5__9

7__9

5__9

7-5____9

2__9

Të mbaj mend: Thyesa me emërues të barabartë zbriten kështu:

- = , a > c,

dmth. ndryshimi i numëruesve shkruhet për numërues, kurseemëruesi ngel i njëjtë.

a__b

c__b

a-c____b

Vëre se shuma mundet të paraqitet në dy mënyra. Mënyra I

Shndërroje numrin e përzier 2 si thyesë më e madhe se 1.

Cakto shumën + .13__5

1__5

3__5

Shkruaje shumën si numër të përzier.14__5

�

��

�

�

9 Gjatësia e njërës brinjë të një drejtkëndëshi është e 5 cm, kurse

gjatësia e brinjës fqinje është 1 më e vogël.2__ cm5

3__5

Duhet të dish!

Të caktosh shumën e thyesave meemërues të njëjtë;Të njehsosh ndryshimin e thyesaveme emërues të njëjtë.

Cakto shumën, pastaj shkruaje si numër të përzier.

Cili numër është për 2 më i vogël se numri 3 ?

3 7__ + __.8 8

3 12 __ + 1 __.4 4

4__9

2__9

Cakto gjatësinë e brinjës fqinje.

Cakto perimetrin e drejtkëndëshit.

Njehso:

a) b)

Njehso:

Një nxënës ditën e parë ka lexuar e një

libri, kurse ditën e dytë e librit të njëjtë.

Cilën pjesë të librit e ka lexuar për dy ditë?

Cila pjesë e librit i ka ngelur e pa lexuar pas

ditës së dytë?

Një rezervuar mbushet prej tri gypave. Për

një orë gypi i parë mbush e rezervuar-

it, i dyti dhe i treti , e rezervuarit.

Cilën pjesë të rezervuarit do ta mbushintë tre gypat për një orë?

Cila pjesë e rezervuarit do të ngel ipambushur?

Arlindi ka 10 vjet, kurse Njomza ka 15vjet.

Sa vjet do të ketë Arlindi pas 3 vjet?

Për sa vjet do të jetë më e vjetër Njomza

nga Arlindi pas 3 vjet?

Shumën e numrave dhe zvogëlo-

je për .

Detyra

1.

2.

3.

4.

5.

6.

712

1112

c) 3 4+415

215 3

105

10

312

712

512

512

d) 1+715

3+

79

39

- b) c)-

35

112

512

412

d) 3 -1211

1719

1519

511

e) 3

a)

+411

2-

34

5

57

3

57

5

17

2

14

2-

5 4 1__ + __ + --.9 9 9

1 21 __ + 2 __.3 3

Testohu!

8 Njehso ndryshimin: a) - ; b) - ; c) 3 - 1 .11__12

7__12

11__25

5__8

16__25

3__8 145

është , ndërsa te tjetri .

146

Vëre katrorët me brinjë të barabartë.Te njëri katror pjesa e ngjyrosur

Krahasopjesët engjyrosura.

Hetove se pjesët e ngjyrosura janë të barabartë, gjegjësisht = . Po ashtu, = , pasi që 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6.

1

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me një numër të njëjtë, të ndryshueshëmprej zeros, fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë.

Kjo rregull quhet zgjerimi i thyesave.

Vlen në përgjithësi!

Numëruesi dhe emëruesi i thyesës janë shumëzuar me 2. Ndërsa vlera e saj nuk undryshua.

Numëruesin dhe emëruesin e thyesës shumëzoji me: 2, 3 dhe 4. Provo nëse thyesat e fituara

janë të barabarta me thyesën .

Zgjeroji thyesat: a) me 3; b) me 4; c) me 10.

2

3

56

56

56

310

78

A

ZGJERIMI DHE THJESHTIMI I THYESAVE5Kujtohu!

45

810

56

5 . 36 . 3

Cili numër duhet të shënohet në katror që tëjetë e saktë barazia.

Cila veti e pjesëtimit është zbatuar?

Provo a janë të barabarta thyesat?

dhe dhe ; ;

12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅ ).

34

34

34

68

34

68

68

Mund të vëresh se = . Nga kjo dhe nga = fitohet se = .68

3 ⋅ 24 ⋅ 2

34

3 ⋅ 24 ⋅ 2

34

Vëre se = = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10;

= = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15.

Vetinë e konstatuar mundesh ta sqarosh edhe prej vetisë së pjesëtimit

a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). prandaj: = ; a, b, n ∈ N.

56

1012

5 ⋅ 26 ⋅ 2

ab

a ⋅ nb ⋅ n

56

1518

5 ⋅ 36 ⋅ 3

68

�

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

= = = = .

147

Numëruesin dhe emëruesin e thyesës pjesëtoji me pjesëtuesin e tyre të përbashkët.

Provo barazinë e thyesës së dhënë me thyesat e fituara.

Provo nëse thyesa e fituar është e barabartë me thyesën .

Thyesën thjeshtoje gradualisht me pjesëtuesit e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit.6

Numëruesin dhe emëruesin e thyesës pjesëtoje me 2.4__6

4__6

15__20

36__60

5

4B

Të mbaj mend! Thjeshtimin ethyesës ta kryej gjer te thyesa epa thjeshtuar.

Numëruesi dhe emëruesi i thyesës janë pjesëtuar me numër të njëjtë, ndërsa vlera e

saj nuk u ndryshua.

46

Njehsove se = , gjegjësisht = . Kjo barazi vlen pasi që 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2.4 : 26 : 2

23

46

23

Vetinë e konstatuar të thyesave mundesh ta sqarosh prej vetisë së pjesëtimit për

pandryshueshmërinë e herësit, gjegjësisht. a : b = (a : n) : (b : n) ku a, b, n janë numra natyrorë

dhe n është pjesëtues i a dhe b. Prandaj: = .ab

a : nb : n

Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin e thyesës .

Thjeshto thyesën me PMP(36, 60).

36 : 260 : 2

3660

3660

35

18 : 230 : 2

9 : 315 : 3

Njehsove se PMP(36,60) = 12. = = .36 : 1260 : 12

3660

35

Thyesa nuk mundet të thjeshtohet, pasi numëruesi dhe emëruesi janë numra reciprokisht të

thjesht. Thyesa e këtillë quhet thyesë e pa thjeshtuar.

Vërejte se një thyesë mund ta thjeshtoshgradualisht me pjesëtuesit e përbashkët tënumëruesit dhe emëruesit të saj ose mëthjeshtë, numëruesin dhe emëruesin tipjesëtosh me PMP e tyre

35

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me pjesëtuesin e tyre të përbashkët (më tëmadh se 1), atëherë fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë.

Kjo rregull quhet thjeshtimi i thyesave.

Në përgjithësi vlen!

�

a) = ; b) = ; c) = ; d) = .

Në shënimin cakto x që thyesa të jetë e pa

thjeshtuar dhe më e vogël se 1.

148

Zgjeroje me 2 dhe me 5 thyesën:

a) ; b) ; c) ; d) .

Thjeshto thyesën :

a) Gradualisht; b) me PMP(90, 126).

Sa qindëshe ka secila prej thyesave

; ; ; ; ?

Detyra

1.

6.

3.

2__5

Shkruaj tre thyesa të barabartë me

thyesën .

2.6__9

3__7

11__12

15__17

Duke e shfrytëzuar vetinë për thjeshtimindhe zgjerimin e thyesave, cakto x.

7.

x__7

20__28

7__9

x__54

8__x

24__33

11__17

33__x

4__5

3__10

17__20

24__25

9__50

Cilat nga thyesat vijuese janë të pa

thjeshtuar ; ; ; ; ; ?

4.3__6

2__5

17__25

21__27

29__36

111___999

90___

126

Thyesat dhe zgjeroi ashtu që të kenë

emërues të njëjtë.

8.3__

4

5__

6

Thjeshto thyesat:

; ; ; ; .

5.5__

15

8__

12

36__

54

54___

144

100___

120

Shkruaji thyesat dhe në:

a) dhjetëshe; b) qindëshe

1__

2

4__

5

12__

18

x__

3

Të zgjerosh thyesë;

Të thjeshtosh thyesë;

Cila thyesë është e

pathjeshtueshme?

Duhet të dish!

Cakto x në barazi me ndihmën e thjeshtimit të

thyesave. = .

x__

3

Testohu!

Problem!

Në një kovë kishte ujë, kurse në tjetrën venë.Është mbushur gota nga kova me venë dheështë derdhur në kovën me ujë, e pastaj gotae njëjtë është mbushur nga kova në të cilënështë përzier uji dhe vena dhe është derdhurnë kovën me venë. Çka ka më shumë, ujë nëkovën me venë ose venë në kovën me ujë?

Thjeshto thyesat: a) ; b) ; c) ; d) .7 12___

16

25___

50

72___

90

27___

999

Zana dhe Valoni gjithsej kishin 909 denarë.

Kur Zana ka shpenzuar e pareve të saja, e

Valoni ka shpenzuar e pareve të tij,

atëherë që të dyve i ka mbetur shuma e njëjtë

të parave. Nga sa denarë kanë pasur në fillim?

3__

44__

5

Kujtohu!

149149149

A

Numrat matës me të cilët janë shprehur njësitë matëse më të vogla në ato më të mëdha janë thyesat.Emëruesit e këtyre thyesave janë njësi dekade: 10, 100, 1 000,...

Thyesat: , , , , , , , ... te të cilët emëruesit janë njësi dekade

quhen thyesa dhjetore.

Shkruaj njësitë vijuese më të vogla sipjesë e njësive më të mëdha matëse:

1 cm në dm; 5 dm në m;

8 g në dag; 1 cm në m;

7 cm në m; 1 g në kg;

9 m në km.

1 cm = dm; 5 dm = m; 8 g = dag; 1 cm = m; 7 cm = m;

1 g = kg; 9 m = km.

1

Me cilat njësi matëse masim gjatësinë, kurseme cilën masën?

Si quhen numrat: 1, 10, 100, 1 000, …?

Shkruaj njësitë vijuese më të mëdha në ato mëtë vogla matëse:1 dm në cm; 5 m në dm; 8 dag në g;

1 m në cm; 7 m në cm; 1 kg në g;

9 km në m.

1__

10

1__

10

5__

10

8__

10

1___

100

7___

100

1_____

1 000

9_____

1 000

1_____

1 000

9_____

1 000

5__

10

8__

10

1___

100

7___

100

Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:


Thyesa dhjetore shkurtimisht mundet të shkruhet pa emërues në shënim të quajtur shënim

dhjetor ose numër dhjetor.

Thyesa dhjetore Shkruhet si numërdhjetor Lexohet numri dhjetorShqyrto

shembuj!0,1 Zero të plota dhe 1 të dhjetat

1__

10

0,5 Zero të plota dhe 5 të dhjetat5__

10

0,01 Zero të plota dhe 1 të qindtat

1 1,3 Një e plotë dhe 3 të dhjetat3__

10

1___

100

THYESA DHJETORE. NUMRI DHJETOR6

Thyesa përmban 2 të qindtat dhe 9 mijëshe ose 29 mijëshe.

shkruhet 0,029 dhe lexohet: zero të plotat dhe 29 të mijtat.

2 = 2,17; 3 = 3,009.

150150150 Edhe disa shembuj:

35___

100

35___

10035___

100

30___

100

5___

100

3__

10

5___

100

30 + 5______

100= = + = +

Thyesa përmban 3 dhjetëshe dhe 5 qindëshe, gjegjësisht 35 të qindtat.

shkruhet 0,35 dhe lexohet zero të plotat dhe 35 të qindta.

29_____

1 000

29_____

1 00029_____

1 000

20_____

1 000

9_____

1 000

2___

100

9_____

1 000

20 + 9______

1 000= = + = +

324____

100

24____

100= 3 shkruhet 3,24 dhe lexohet 3 të plotat dhe 24 të qindtat.

7____

1002 shkruhet 2,07 dhe lexohet 2 të plotat dhe 7 të qindtat.

Thyesat dhjetore dhe ti shkruajmë si numër dhjetor.

Vëre dhe mbaj mend mënyrën e të shkruarit tëthyesës dhjetore si numër dhjetor.

17____

100

9_____

1 000

17___

100

9_____

1 000

Për:

Së pari shkruhen të plotat. 2 3

Shkruhet presja e cila quhet presja dhjetore. 2, 3,

Shkruhet numëruesi i thyesës dhjetore, nëse ai ka aq shifra sa ka zero te emëruesi.

Në thyesën e dytë para numëruesit shkruajmë dy zero. Numëruesi duhet të ketë aq shifra sa ka zero të emëruesi.

2,17 3,009

17____

1002 3

9_____

1 000Ecuria

151Shkruaj si numra dhjetor thyesa dhjetorenë vijim:

; ; ; 3 ; 15 .

2

3__

10

25___

100

9___

100

79_____

1 000

3_____

1 000

Të mbaj mend! Secilënthyes dhjetore mund tashkruaj si numër dhjetor.

0,5 : zero të plota dhe 5 të dhjetat;

3,14 : tre të plota dhe 14 të qindtat;

17,005 : shtatëmbëdhjetë të plota dhe 5 të mijtat.

B Lexoji këto numra dhjetor: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.

Presja dhjetore e ndan numrin dhjetor në dy pjesë.Te pjesa para presjes janë të plotat.

Pjesa pas presjes dhjetore quhet pjesa dhjetore.

Vendet e shifrave në pjesën decimale quhen vendet

dhjetore, ndërsa shifrat quhen dhjetore.

Numri dhjetor 3,14 ka 3 të plota dhe dy dhjetore.

Të shkruarit e numrave dhjetor është paraqitur në tabelën vijuese, në shembullin

12 = 12,017.

3

3 , 14dhjetore

të dhjetat

të plota

të qindtat

17_____

1 000

KLASA EMIJËSHEVE

KLASA ENJËSHEVE

QM DhM NjM Q Dh Nj

1 2

TË D

HJE

TAT

TË Q

IND

TAT

TË M

IJTA

T

TËD

HJE

TËM

IJTA

T

TËQ

IND

ËMIJ

ËTAT

TË M

ILIO

NTA

T

0 1 7,

PJESA E PLOTË PJESADHJETORE

PRESJADHJETORE

Shkruaje numrin dhjetor 3,25 si thyesë dhjetore.

Lexo dhe shkruaje me fjalë numrin 3,25.

4

Vëreje ecurinë:

�

��

�

�

� ��

152

Numri dhjetor është shënim i veçantë ithyesës dhjetore;Të shkruash thyesë dhjetore si numër dhjetordhe anasjelltas;Të lexosh drejt numra dhjetorë.

Shkruaj dhe lexo numër dhjetor që ka 23 tëplota dhe 105 për pjesë dhjetore.

Shkruaj 7 si numër dhjetor dhe 0,012 si

thyesë dhjetore.

3___

100

Duhet të dish!

Cilat prej këtyre thyesave janë thyesadhjetore:

Shkruaj tre thyesat dhjetore me numërues13, ndërsa me emërues të njëjtë;

Sa të plota dhe sa dhjetore ka numri dhjetor:

a) 36,08; b) 3,0031; c)138,05?

Shkruaj thyesat dhjetore si numra dhjetor:

Lexoji numrat dhjetor:

a) 2,03; b) 12,015; c) 0,0035.

Shkruaj si thyesa dhjetore këto numra dhjetor:

a) 0,2; b) 1,05; c) 4,003; 1,0017.

Detyra

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3__

10

7___

200

131___

200

6____

1 000a) ; b) ; c) ; d) ; e) ?

12____

1 001

6___

100

9___

100

29_____

1 000

3____

1 000a) ; b) 2 ; c) 11 ; d) 14 .

Duhet të fitosh: Tre të plota dhe 25të qindtat.Tekstin e fituar shkruaje si thyesëdhjetore.

Të plotat e numrit dhjetor shkruhen për të plota të thyesës.

Pjesa dhjetore shkruhet për numërues te thyesa dhjetore.

Për emërues shkruhet njësia dekade me aq zero sa ka dhjetore.

Të mbaj mend: Numri dhjetor shkruhet si thyesë dhjetore sipas leximit të drejt.

Vëren se: Numri dhjetor shkruhet nëformë të thyesës dhjetore në këtëmënyrë:

Duhet të fitosh:

Shembuj të zgjidhur!

25___

1003 .

5__

100,5 = ;

32___

1001,32 = 1 ;

17____

1 00012,017 = 12 ;

Testohu!

153

Shkruaji thyesat dhjetore si numra dhjetorë.

1 Thyesën zgjeroje me 10, 100

dhe 1 000.

3__

10

Duhet ta fitosh këtë zgjidhje:

3__

10

30___

100

3 ⋅ 10______

10 ⋅ 10= = ;

3__

10

300_____

1 000

3 ⋅ 100______

10 ⋅ 100= = ;

AKujtohu!

VETITË E NUMRAVE DHJETORË7

Thyesën zgjeroje me 10, kurse pastaj

me 100.

Thyesën thjeshtoje me 10.

2__

10

30___

100

Numrat dhjetor janë të barabartë, kurse ndryshojnë sipas asaj nga ana e djathtë kanë nga një ose mëshumë zero.

Numri 5 shkruaje në formë të thyesës me emërues 1.

Atë thyesë zgjeroje me 10, 100 dhe 1 000.

Thyesat e fituara shkruaj si numra dhjetor.

Numrat dhjetorë shkruaj ashtu që të kenë numër të njëjtë tëdhjetoreve:

a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028; b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.

Mundesh të shkruash:

Vëre!

3__

10

300_____

1 000

3 000______

10 000

30___

100= = = , gjegjësisht 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000.

Numri dhjetor nuk ndryshon nëse nga ana e djathtë ipërshkruhen sa do qoftë zero.

Çdo numër natyror mundet të shkruhet si numër dhjetor në atë mënyrë që ndahet me presjedhe përshkruhen zerot si dhjetore.

2

3

5 = .

Vëren se:

5__

1= = 5,0;

5 ⋅ 10_____

1 ⋅ 10

50___

10= = 5,00;

5 ⋅ 100______

1 ⋅ 100

500___

100= = 5,000.

5 ⋅ 1 000________

1 ⋅ 1 000

5 000_____

1 000

Atë që e ke vërejtur për numrin 5, vlen për çfarëdo numër natyror.

� �

154

E fitove zgjidhjen: Vëreje të njëjtën rregull për thyesën: 3 200_____

1 000

Shlyej zerot, ashtu që numrat dhjetor të mos tëndryshojnë vlerën:a) 2,90 ; b) 0,03500 ; c) 1,0030 ; d) 28,102000; e)7,0.

A do të ndryshoj numri dhjetor nëse nga ana

e djathtë i përshkruajmë, gjegjësisht i

shlyejmë, një ose më shumë zero;

Të shkruash numër natyror si dhjetor.

Shkruaj numrat 1,2 ; 15 dhe 0,40 me tredhjetore.Shlyej zerot te numrat, kurse vlera e tyre tëmos ndryshon. a) 3,0250; b) 12,00; c) 0,10200.

Numrat: 1,300; 0,5; 23; 1 000 shkruaj me dydhjetore.

A do të ndryshon vlera e numrit 1,05 nëseshlyhet zeroja dhe shkruhet 1,5?

Te numrat dhjetorë: 0,5000; 0,5020; 1,2020300shlyej zerot, kurse ato të mos e ndryshojnëvlerën.

Numrat; 8; 1,2; 3,25 shkruaj ashtu që të kenënga tre dhjetore.

Numri dhjetor që nga ana e djathtë ka zero, nukndryshon nëse ato shlyen.

6

Duhet të dish!

Detyra

1.

2.

3.

4.

4

80___

100

Shkruaj numrat dhjetor 6, 12 dhe 135 si numra dhjetor

a) me një dhjetore; b) me dy dhjetore.

5 Thyesën dhjetore thjeshtoje me 10.

Thyesën e dhënë dhe të thjeshtuar shkruaji si numra dhjetor.

B

� = . = ; 0,80 = 0,8.80___

100

80 : 10_______

100 : 10

8___

10 � = . = ; 3,200 = 3,2.3 200 : 100__________

1 000 : 100

32___

10

3 200_____

1 000

Testohu!

Problem!

Vëllai dhe motra kanë numër të njëjtë tëarrave. Vëllai i ka dhënë motrës katër arra. Saarra më shumë ka tani motra se i vëllai?

dhe 2 paraqiti në boshtin numerik.

Cilën largesë e ndajmë në 10 pjesë të barabarta që ta paraqesim numrin dhjetorë 1 ?

Si do ta caktojmë pikën që i përgjigjet?

Thyesa mundet të thjeshtohet me 10, dmth. = . Si do ta caktojmë pikën në

boshtin numerik që i përgjigjet numrit 2 ?

155PARAQITJA E NUMRAVE DHJETORË NË

BOSHTIN NUMERIK.

KRAHASIMI I NUMRAVE DHJETORË

8

Kujtohu!

Paraqite në boshtin numerik thyesën 2 .2__

4

Si krahasohen numrat natyrorë:

a) me numra të ndryshëm të shifrave;

b) me numër të njëjtë të shifrave?

A Thyesat dhjetore: , 1 18__

10

4___

100

30___

100

8__

10

8__

10

4__

10

Shqyrtoje zgjidhjen!

Vëre! 0 1 2 31,40,8

130___

100

2,3

2

��

Numrat dhjetorë i paraqesim në boshtin numerik në të njëjtën mënyrë si thyesat.

Numrin dhjetor 0,8 e shkruajmë si thyesë dhjetore, dmth. 0,8 = .

Largesën prej 0 gjer te 1 e ndajmë në 10 pjesë të barabarta dhe numrin dhjetorë 0,8 ia shoqërojmë

pikës që e shënon pjesën e tetë.

4__

10

30___

100

30___

10030___

100

3__

10

Mund të përfundoj! Çdonumër dhjetor mundet tëparaqitet në boshtin numerik.

Cakto pika në boshtin numerik (A, B dhe C)të cilave u janë shoqëruar numrat dhjetorë:0,2; 1,9 dhe 3,00.

2

3 Në boshtin numerik janë dhënë pikat; A, B, Cdhe D. Cakto numrin që mundet t'i shoqërohetçdonjërës prej pikave. 0 1 2 3 4

DCBA

Thyesën dhjetore zgjeroje me 10. Pastaj, thyesën

zgjeroje me 10 dhe thyesën zgjeroje me 10.

1__

101_____

1 000

1___

1004B

Thyesat e fituara nga zgjerimi shkruaji si numra dhjetorë.

Krahasoji numrat: 2,01 dhe 1,86; 6,29 dhe6,172; 9,121 dhe 9,101; 0,1031 dhe 0,1028.

Paraqiti në boshtin numerik këto numra:

0,6; 1,7; 3 .

Detyra

1. 2.40___

100

156 Shqyrto zgjidhjen dhe vëre çka është përfunduar!

Në përgjithësi

Krahasoji numrat dhjetor: a) 18,43 dhe 19,15; b) 35,6 dhe 35,49; c) 4,1001 dhe 4,101.

Të paraqesësh numra dhjetorë në boshtin numerik;

prej numrave dhjetorë që kanë të plota të ndryshme, më imadh është ai që ka numër më të madh të të plotave;

nëse numrat dhjetorë që krahasohen kanë të plota të njëjta,më i madh është ai që ka pjesën dhjetore më të madhe.

nëse dy numra kanë pjesën e plotë dhe pjesën dhjetore tëbarabartë, atëherë ato janë të barabartë.

Krahasoji numrat dhjetorë: a) 7,2 dhe 9,3; b) 12,8 dhe 12,4; c) 15,369 dhe 15,38.

= ; = ; = , përkatësisht; 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010.

Atë që e përfundove, shfrytëzoje për krahasimin e numrave dhjetorë.

1__

10

10___

100

1___

100

10_____

1 000

1____

1 000

10______

10 000

Një e dhjeta ka 10 të qindtat; një e qindta ka 10 të mijtat etj.

5

6

Gjatë krahasimit të dy numrave dhjetorë së pari krahasohen të plotat.

Numrat 7,2 dhe 9,3 kanë të plota të ndryshme, dmth. 9 > 7, prandaj 9,3 > 7,2.

Te numrat që kanë të plota të njëjta, krahasohet pjesa dhjetore.

Numrat 12,8 dhe 12,4 kanë të plota të njëjta, por pjesët dhjetore të ndryshme, dmth. 8 > 4. Prandaj12,8 > 12,4.Numri 15,38 ka pjesën dhjetore më të madhe se numri 15,369, pasi 38 të qindtat janë 380 të mijtat,kurse 380 > 369. Prandaj, 15,38 > 15,369.

Duhet të dish!

Në boshtin numerik paraqiti

numrat dhjetorë 0,5 dhe 1,400

Krahasoji numrat dhjetorë::

a) 25,9 dhe 26,3;

b) 17,2002 dhe 17, 202;

c) 14,101 dhe 14,1010.

Vlera pozicionale e çdo shifre te pjesa dhjetore është 10 herë më e madhe se vlera pozicionale eshifrës pas saj.

�

�

�

Testohu!

Problem!

Cila shenjë duhet të vendoset ndërmjet numrave 2 dhe 3 që të fitohet numri më i madh se 2,ndërsa më i vogël se 3.

157Radhiti sipas madhësisë (dukefilluar prej më të voglit) numrat:

0,05; 0,050; 5; .

Në boshtin numerik, pikës A i është shoqëruarnumri 131,102, kurse pikës B numri 131,120.Cila prej këtyre pikave është më afër pikës tëcilës i përgjigjet numrit 100?

3. 4.

5_____

1 000

LLOJET E DIAGRAMIT. ZGJEDHJA E DIAGRAMIT9

Kopshte me perime

Domate

Perime Kopshti iMeritës

Kopshti iAfërditës

2__

5

1__

6

1 Merita dhe Afërdita kanë kopshte me perime me madhësi të njëjtë. Secila në kopshtin e vet kambjell domate, speca dhe lakra.Në tabelë janë paraqitur të dhënat për pjesën e kopshteve e mbjell me perime të ndryshme.

E sata pjesë e kopshtit të Meritës ishte mbjellurme perime?

E sata pjesë e kopshtit të Afërditës ishte mbjellme perime?

Speca 1__

10

1__

3

Lakra 1__

5

4__

12

E sata pjesë e që të dy kopshteve ka mbetur epa mbjell?Te cili kopsht pjesa e pa mbjell është më emadhe?

Së pari paraqiti të dhënat në diagramin shtyllor.

Shkallët e diagramit le të jenë: një e plotë e ndarë në 10 pjesë të barabartë dhe një e plotë e ndarë në12 pjesë të barabartë;

Formo shtyllat por ki kujdes: = ...2__

5

4__

10

Në tabelë janë paraqitur të dhënat për temperature për 5 ditë, të matur tre herë.2


Diagrami i paraqitur në vizatim quhet diagram

sektorial. Diagrami sektorial tregon raportinndërmjet pjesëve të një të plote.

158

Ushqimi i preferuar

Në klasën VI2 në një shkollë ka 32 nxënës. Përgjigjet në pyetjen për llojin e ushqimit të preferuarjanë paraqitur tabelë.

Të gjithë nxënësit paraqesin një të plotë. (Paraqite merreth, si në vizatim).Ndaje rrethin në dy gjysma.Njërën gjysmë ngjyrose me të gjelbër, ndërsa tjetrënndaje në dy pjesë të barabartë ) çerekë.Ngjyrosi çerekët.Me cilën ngjyrë është ngjyrosur pjesa e nxënësve qëpreferojnë perime?

3

Lloji iushqimit

Perime

Pemë

Mish

Numri inxënësve

Pjesa e tëplotës

16

8

8

1__

2

1__

41__

4

Ushqimi i preferuar i32 nxënësve.

1__

2

Perime

1__

4Pemë

1__

4Mish

Në një paralele ka 28 nxënës. Lëng prej

limoni preferojnë e nxënësve, ndërsa

boronicë preferojnë e nxënësve.

Gjatë një shëtitjeje e nxënësve kanë luajtur

symbyllas, e nxënësve kanë luajtur futboll,

kanë vrapuar nëpër mal, ndërsa pjesa tjetër

kanë mbledhur fryte të maleve.

Me ndihmën e diagramit sektorial paraqiti tëdhënat:

3__

41__

4

1__

62__

61__

6

4

Me diagram paraqiten të dhënat në mënyra të ndryshme.Diagramet janë të lehta për ti lexuar dhe për ti kuptuar. Kalloje të ndryshme të diagrameve: shtyllor, me fotografi,sektorial, dhe secili prej tyre ka përparësi dhe mangësi.

Kjo është interesante!Nëse dëshiron të dishmë shumë.

Cila është temperatura mesatare tëhënën?Cilën ditë dhe në sa ora temperatura ështëmë e lartë?Sa është temperatura mesatare për pesëditë pasdite?Cila ditë ka ndryshim më të madh tëtemperaturës?

E hënë 18 oS 24 oS 23 oS

E martë 23 oS 29 oS 23 oS

E enjte 15 oS 17 oS 22 oS

E premte 17 oS 22 oS 20 oS

E diel 22 oS 28 oS 25 oS

Temperatura për 5 ditë

Ditët Ora 7 Ora 12 Ora 19

1593035

2025

1510

50

F B H Gj

Num

ri i n

xënë

sve

SportF-Futboll; B-Basketboll;

H-Hendboll, Gj-gjimnastikë

Diagrami shtyllor

Përparësitë:

lehtë lexohen të dhënat;

☺

Mangësitë:

nëse shtyllat janë me madhësi të përafërt vështirlexohen të dhëna:

�lehtë krahasohen madhësitë

varësisht prej shkallës mund të fitohet përshtypje egabuar e ndryshimeve të mëdha.

Sporti i preferuar

F

B

H

Gj

Një shenjë shënon dy studentëve

Përparësitë:

lehtë lexohen të dhënat;

☺

Mangësitë:

Që të tregohet numër i saktëpatjetër duhet të shfrytëzohenpjesë të simboleve dhe shenjave;

�lehtë krahasohen.

që të konstatohet numri i saktëpatjetër duhet të njehsohet.

Sporti i preferuar

Diagram me fotografi

Diagrami sektorial

Përparësitë:

shumë mirë krahasohen e plota dhe pjesët e të plotës.

☺

Mangësitë:

vështir është të shfrytëzohet kur pjesët e të plotës janë të vogla.

�

Kompjuter

Sportiv Muzikë

Lexoj

Film

Në tabelë janë paraqitur të dhënat për atë se si Agoni e kalon kohën për një ditë (24 orë).

Shkruaji përparësitë dhe mangësitë e çdo mënyre të paraqitjes së të dhënave se si Agoni e kalonkohën.

Paraqiti të dhënat me diagram shtyllor.

Paraqiti të dhënat me diagram fotografish

ku shenja paraqet 2 orë.

Përpiqu të dhënat t'i paraqesësh me

diagram sektorial.

5

6

Shkollë

Mësim

Gjumë

Ngrënie

Lojë

Dita e Agonit

Ditët Koha në orë

6

3

9

2

4

160

1 Mimoza ka blerë 2,37 m shirit të kuq dhe 1,52 mshirit të kaltër për mbështjelljen e dhuratave tëvitit të ri. Sa metër shirit ka blerë gjithsejMimoza?

Duhet të njehsosh: 2,37 m

+ 1,52 m

Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre zgjidhjen.

Paraqiti numrat matës sithyesa dhjetore.

Cakto shumën e tyre.

Shumën paraqite sinumër dhjetor.

Vëren se:

2,37 = ;237___

100

+ =

= 3,89

237___

100

152___

100

389___

100

389___

100

1,52 = .152___

100

2,37

+ 1,52

3,89

Vëre mbledhjen e numrave dhjetorë në mënyrë tjetër.

2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm

389 cm = 3,89 m

237 cm

+ 152 cm

389 cm

Shndërroji metrat në centimetra

Cakto shumën e gjatësive të shiritave(në centimetra)

Shndërroje shumën në metro

Vëre dhe mbaj mend! Më praktik!

Numrat dhjetorë mblidhen poashtu si edhe numrat natyrorë.Presjet dhjetore te mbledhësitdhe shuma të jenë në një vijëvertikale.

Nj dh q,

2 3 7,

1 5 2,

3 8 9,

+

Të dhjetat nën

të dhjetat. Të qindtat

nën të qindtat.Njëshe nën

njëshe.

A

MBLEDHJA E NUMRAVE DHJETOËE10Kujtohu!

Paraqiti si numra dhjetorë thyesat:

, dhe 6

Numrin 2047,0138 shkruaje nëtabelë.

Sa centimetra ka në 2m? Sa ka në3m? E sa ka në:

a) 2,5 m? b) 2,6 m? c) 2,58 m?

3____

1 000

156___

10

3___

100

M Q Dh Nj dh q m dhm Qm,�

�

�

�

�

�

�

161

Kujtohu!

�

�

�

�

+

Dh Nj dh q m,

4 2 6,

Vëre si është njehsuar shumae numrave 42,6 dhe 5,931.

Në mënyrë praktike njehso:134,62 + 0,691.

Autobusi orën e parë ka kaluar 62,3 km, orën e dytë ka kaluar4,62 km më shumë se orën e parë. Sa ka kaluar autobusi për dyorë?

Që të njehsosh shumën e numrave dhjetorë duhet t'ishkruash njërin nën tjetrin dhe atë:

të plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nëndhjetëshe etj.);

dhjetore nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, tëqindtat nën të qindtat etj);

presjet dhjetore të mbledhësve dhe të shumës të jenë nënjë vijë vertikale;

shifrat e shumës caktoji në mënyrë të njëjtë si edhe gjatëmbledhjes të numrave natyrorë.

Praktikisht

Më praktikisht2

3

5 9 3 1,

1 1 5 3 1

4 8 5 3 1,

42,6

+ 5,931

48,531

1

Provo a është e saktë:362 + 8 = 8 + 362;4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168;174 + 0 = 0 + 174;(72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44).Cilat veti të mbledhjes të numravenatyrorë i shfrytëzove?Paraqite si numër dhjetor numrin 15.

Provo a është e saktë:

0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54

Njehso shumat:

Shuma e dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nësembledhësit i ndërrojnë vendet.

4

0,54

+ 3,2

3,2

+ 0,54dhe

B

Kjo është vetia e ndërrimit për mbledhjen e numravedhjetorë.

Shprehja (3,4 + 12,9) + 4,2

ka vlerë 16,3 + 4,2 = 20,5

Njehso vlerën e shprehjes 3,4 + (12,9 + 4,2).Vlerën e fituar krahasoje me vlerën 20,5 të shprehjes paraprake.

5

Për mbledhjen e numrave dhjetorë vlen vetia e shoqërimit.Shprehe!

162

Të njehsosh shumë të numrave dhjetorë, të shkruarnë rresht ose, njëri nën tjetrin.

Të shkruash numër natyror si numër dhjetor dhe tënjehsosh shumën e numrit natyror me numrindhjetor.

Të shfrytëzosh vetinë e ndërrimit dhe e shoqërimitpër lehtësim gjatë mbledhjes së numrave dhjetor.

Se shuma e numrit dhjetor dhe 0 është e barabartëme numrin dhjetor.

Njehso: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8;9,24 + 12.

Provo a është: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7.Shprehe vetinë e ndërrimit për mbledhjene numrave dhjetor.

Njehso 6,4 + (12,8 + 3,6) dhe(6,4 + 12,8) + 3,6. Krahasoji rezultatet efituara. Shprehe vetinë e shoqërimit tëmbledhjes së numrave dhjetorë.

Duhet të dish!

Numrin 5,6 zmadhoje për 2.

Duhet ta njehsosh shumën e numrave 5,6 dhe 2.Paraqite numrin 2 si numër dhjetor.Shkruaj mbledhësit njërin nën tjetrin dhe njehso shumën.

6

7

Numri dhjetor mblidhet me numër natyror ashtu qënumri natyror do të shndërrohet në numër dhjetor dhepastaj të dy numrat do të mblidhen.

7 - numër natyror

7,0

7,00

numradhjetorë

Njehso: 15,6 + 0 0 + (2,6 + 4)Shuma e numritdhjetor dhe zerosështë e barabartëme numrin dhjetor.24,8

+ 0,024,8

Numrin 100,075 zmadhoje për: a) 63,3; b) 5; c) shumën e numrave 4,78 dhe 56,3;d) 0.

Detyra

1.

Testohu!

Njehso:

5,6 + 25,8 =

0,142 + 6,71 =

4 + 4,48 + 4,886 =

362,003 + 54 + 0,72 =

2.

Zgjidhi barazimet:

x - 156,6 = 1,54; x - 4,0245 = 0,81.

3.

Parashutisti bien për 4 s me parashutë tëmbyllur. Në sekondën e parë ka kaluar 4,9 m,kurse në çdo sekondë pasardhëse nga 9,8 mmë shumë. Sa metro ka kaluar për 4 s?

Shkruaj katër numra ku i pari është 3,69,kurse çdo pasardhës është për 3,69 më imadh se paraardhësi.

4.

5.

}

163ZBRITJA E NUMRAVE DHJETORË11Kujtohu!

Njehso: + 6 + .3___

100

1___

100

Njehso: - ;

;

841___

100

523___

100

24___

100

Provo nëse: =7__

10

70___

100

a)

- 0.263___

100c)

-612___

10

549___

10b)

Njehso: 2,78- 0,24

1

Vepro sipas këtyre kërkesave!

Shndërroji numrat dhjetorë si thyesa dhjetore:

2,78 =

Cakto ndryshimin e tyre:

Shndërroje ndryshimin e fituar si numër dhjetor:

278___

100

24___

100; 0,24 = .

278___

100- = .

24___

100

254___

100

= 2,54.254___

100

A

Të mbaj mend:Numrat dhjetorëzbriten sikursezbriten numratnatyrorë.

Gjatë të shkruarit njërin nëntjetrin duhet presjet e tëzbritshmit dhe zbritësit tëjenë vertikalisht në një vijë.

Kompania “Kopshtari” në treg ka dërguar 2,745 t patate, kurse ka shitur 1,423 t. Sa tonelata patatekanë ngelur pa u shitur?

2

D.m.th: 2,78- 0,24

2,54

�

�

�

Cilët numra duhet të zbriten? 2,745 t - 1,423 t, t.e.

Shndërroji tonelatat e patateve në kilogramë.

Zbriti numrat matës që i tregojnë kilogramët.

Shndërroje në tonelata ndryshimin e fituar.

2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg.

Mbetja është: 1322 kg = 1,322 t.

2,745

- 1,423

2 745

- 1 423

1 322

Duhet të zbritet sasia e shitur e patateve prej sasisë së përgjithshme.

��

�Shkruaj numrat dhjetor njëri nën tjetrin dhenjehso ndryshimin.

2,745

- 1,423

1,322

�

164

Që të njehsosh sa kilometra duhet të kalon udhëtari, duhet rrugën e kaluar ta zbresësh prejgjatësisë së përgjithshme të rrugës.

Udhëtari duhet të kalon 12 km. Orën e parë ka kaluar 4,28 km. Edhe sa kilometra i kanë ngelur?

Të zbritshmin 12 shkruaje si numër dhjetor(me dy zero pas presjes dhjetore);

shkruaji numrat dhjetorë njërin nën tjetrindhe bëje zbritjen.

Numrin 29,563 zvogëloje për 15.

Prej numrit dhjetor duhet të zbresësh numër natyror. Vepro në këtë mënyrë:zbritësin 15 shkruaje si numër dhjetor me 3 zero si dhjetore;shkruaji të dy numrat dhjetor njërin nën tjetrin dhe bëje zbritjen.

Të mbaj mend: Gjatë zbritjes të

numrit natyror dhe numrit

dhjetor, numri natyror shkruhet

si numër dhjetor me aq zero sa

dhjetore ka numri dhjetor.

Që ta njehsosh zbritjen e dy numrave dhjetorë duhet t'i shkruashnjërin nën tjetrin, dhe atë:

të plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nëndhjetëshe, etj.;

dhjetore nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, të qindtat nëntë qindta etj.);

presjet dhjetore, të të zbritshmit, zbritësit dhe ndryshimit të jenënë një vijë vertikale.

Shifrat e ndryshimit caktoi në mënyrë të njëjtë si te zbritja enumrave natyrorë.

Praktikisht:

27,48- 0,36

27,12 të d

hjet

at n

ën të

dhje

tat,

të q

indt

atnë

n të

qin

dtat

kahja ezbritjes

të p

lota

t nën

të p

lota

t

3

4

Bëje këtë:

�

�

�

�

�

�

��

Njehso 6,84 - 0.

Vepro sipas këtyre kërkesave.

Paraqite të zbritshmin si thyesë dhjetore dhe bëje zbritjen.Ndryshimin e fituar shndërroje si numër dhjetor.

5 Të mbaj mend! Gjatë zbritjes së 0 prejnumrit dhjetor si ndryshim fitohet numridhjetor i njëjtë.

5,2- 0,0

5,2

165Testohu!Drejt t'i shkruash të zbritshmin dhe zbritësin njërinnën tjetrin dhe ta kryesh zbritjen;

Kur i zbritshmi ose zbritësi është numër natyror, atëduhet ta paraqesësh si numër dhjetor me aq zero sadhjetore ka numri dhjetor;

Zbritjen ta bësh prej anës së djathtë nga ana e majtë.

Kur zbritësi është 0, ndryshimi është i barabartë metë zbritshmin.

Duhet të dish!

Njehso:

a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849.

Numrin 7 zvogëloje për 0,7.

Numrin 6,5 zvogëloje për 5.

Shumën e numrave 8,8 zvogëloje për 0.

Njehso:

26,3 - 5,2 5,96 - 4,87

1042,07 - 148,396 343 - 3,27

5,68 - 2 846,825 - 0

Për sa është:

56,62 më i madh se 46,31?

100 më i vogël se 301,62?

54 më i madh se 25,64?

3,8 më i madh se 0?

Gypi i ujit me gjatësi 6 m është ndarë në 3pjesë. Gjatësitë e të dy pjesëve janë nga: 3,2m dhe 2,46 m. Sa metro është e gjatë pjesa etretë?

Numrin 64 zmadhoje për ndryshimin enumrave 6,4 dhe 4,64;

I zbritshmi është 24,6, kurse ndryshimiështë 2,6. Cakto zbritësin.Zbritësi është 6,2, kurse ndryshimi është2,6. Cakto të zbritshmin.Ndryshimi është 64,3. Ai është për 3 më imadh se zbritësi. Cakto të zbritshmin.

Vaji dhe shishja së bashku kanë 1,23 kg. Shishjae ka masën 462 g. Sa kilogramë është masa evajit?

Detyra

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Problem!

Shuma e një numri natyror dyshifror dhe një numri dhjetor është 26,3. Meritagjatë mbledhjes së atyre numrave presjen dhjetore te numri dhjetor gabimishte ka vendosur për një vend në të majtë dhe ka fituar shumë 13,43. Cilat numrai ka mbledhur Merita?

Kujtohu!

166 SHUMËZIMI I NUMRAVE DHJETORË12

Zhvendosu për njëvend!

Njehso gojarisht:

1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.

Shndërroji kilometrat nëmetro.

Njehso prodhimin me 10(në metro).

Prodhimin shndërroje nëkilometra.

Vëren se te prodhimi inumrave dhjetorë, presjadhjetore është zhvendosurpër një vend në të djathtë.

Me llogaritës fitohen:

Të mbaj mend: Numridhjetor shumëzohet me10 ashtu që presjadhjetore e atij numrizhvendoset për njëvend në anën e djathtë.

Njehso prodhimin e numrit 1,438 me 10, 100 dhe 1000.Mundesh të përdorësh llogaritës (ku në vend të presjes ka pikë dhjetore, kurse në vend të shenjës“•” ka “x”).

Gjatë shumëzimit të numrit dhjetor me 10, 100, 1000,... presja dhjetore e tij zhvendosetpërkatësisht për një, dy, tre,... vende në të djathë sa zero ka njësia dekade.

3,635 km = 3635 m.

3635 m ⋅ 10 = 36350 m.

36350 m = 36,35 km

36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km

Këmbësori për 1 orë ka kaluar 3,635km. Sa kilometra do të kalon për 10orë nëse ec pa u ndal dhe meshpejtësi të njëjtë?Duhet të njehsosh 3,635 km ⋅ 10.

1

Vëre hapat e zgjidhjes.

2

1 0 x 1 . 4 3 8 =

1 0 0 x 1 . 4 3 8 =

1 0 0 0 x 1 . 4 3 8 = 1438.

143.8

14.38

Voo~i!

3

Njehso:10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526.

Sqaro çka ndodh me numrin e zerove teprodhimi i shumëzimeve paraprake.

A

�

�

�

�

�

�

�

Kujtohu! 167Hapi i Bashkimit është0,74 m. Sa metro ka kaluarBashkimi kur ka bërë 4hapa?

Duhet të njehsosh 4 ⋅ 0,74 m.

Numri dhjetor shumëzohetme numër natyror ashtu sishumëzohen numratnatyrorë. Numri i dhjetorevete prodhimi është ibarabartë me numrin edhjetoreve te numri dhjetor.

Shndërroji gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit në milimetra.

Njehso prodhimin e numrit 9 me numrat

2400,8; 5612,9; 428,27; 20,3; 0,9.

Njehso syprinën e drejtkëndëshit (në milimetër katror).

Shndërroje syprinën në centimetër katror.

4,6 cm = 46 mm

3,2 cm = 32 mm

46 ⋅ 32 = 1472R = 1472 mm2

R = 14,72cm2

Sipas formulës për syprinën e drejtkëndëshit (S = a ⋅ b), duhet ta caktosh prodhimin enumrave matës 4,6 dhe 3,2 dhe ta shkruash në centimetër katror. Vërej kërkesat dhe mënyrën e zgjidhjes:

Njehso syprinën S të drejtkëndëshit me brinjë a = 4,6 cm dhe b = 3,2 cm.

0,74 m = 74 cm

4 ⋅ 74 cm = 296 cm

296 cm = 2,96 m

4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m

Njehso: 2,3 + 2,3 + 2,3.Shkurtimisht si mundesh ta shkruash këtëshumë?

Provo a është e saktë0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?

4

Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre!Mbaj mend!

Shndërroji metrat në centimetra.

Bëje shumëzimin me 4 (në cm).

Prodhimin shndërroje në metro.

Vëre si është fituar prodhimi.

5

6

Vëre prodhimin e panjësuar dhe të njehsuar të numrave matës dhe sqaro se sishumëzohen numrat dhjetorë.

4,6 ⋅ 3,2 = 14,72

Dy numra dhjetorë shumëzohen ashtu sikurse shumëzohen numrat natyrorë, kurse teprodhimi ndahen aq vende dhjetore sa ka dhjetore te të dy shumëzuesit së bashku.

B

C

��

�

�

��

�

Kujtohu!

168

Njehso: a) 3,76 ⋅ 0; (5,2 + 8,03) ⋅ 0; 5,6 - 0 ⋅ 0,3;

b) 9,8 ⋅ 1; (7 - 0,4) ⋅ 1 ; 2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)

Njehso: 7,04 ⋅ 20,6; 20,6 ⋅ 7,04

0,2 ⋅ 0,03 = 0,006Pse ka dy zero para

shifrës 6?

Numri i dhjetoreve teprodhimi është 3,kurse ka vetëm njëshifër (shifrën 6).Prandaj, të dy vendetdhjetore plotësohenme zero.

Prodhimi i dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nëseshumëzuesit i ndërrojnë vendet e tyre, dmth. për çfarëdo dynumra dhjetor a dhe b vlen:

a ⋅ b = b ⋅ a (vetia komutative).

Njehso dhe krahasoji prodhimet: 2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) = ; (2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 = .

Prodhimi i numrave dhjetorë nuk varet prej mënyrës së grupimit të shumëzuesve, dmth. përçfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen:

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (vetia asociative).

Shprehe vetinë e shpërndarjes të shumëzimit të numrave natyrorë në lidhje me mbledhjen.

Provo a vlen ajo veti edhe për numrat dhjetorë 3,48; 1,01 dhe 5,2. (3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2.

4,56 ⋅ 3,7 = 16,879

2 1 3+ =

Shum

a e

num

rittë

dhj

etor

eve

tesh

umëz

uesi

t

Num

ri i d

hjet

orev

e te

pro

dhim

i

Njehso:

0,6 . 6,1 =

0,6 . 9,9 =

0,6 . (6,1 + 9,9) =

Krahasoji rezultatet.

8

Vëre!

9

10

11

Vëre!

Për çfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b(vetia e shpërndarjes).

D

Njehso: 0,04 ⋅ 0,23. Përcjelle zgjidhjen!7

169Vëre!

Për çfarëdo numër natyror vlen: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0; a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

Njehso:

6,405 ⋅ 7 = ; 315,002 ⋅ 12 = ;

0,0063 . 3 = .

Të njehsosh prodhim të numrit dhjetorme njësi dekade.Të njehsosh prodhim të numrit dhjetorme numër natyror.Të njehsosh prodhim të numrit dhjetorme numër dhjetor.T'i zbatosh vetitë e shumëzimit.

Njehso:

a) 4,286 ⋅ 100 = ; 8000 ⋅ 0,03 = ;

b) 3,7 ⋅ 7 = ; 6 ⋅ 2,005 = ;

c) 9,6 ⋅ 3,01 = ; 0,004 ⋅ 6,03 = .

Sqaro a është e saktë pa njehsuar:

6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34;

(1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01);

(4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.

Njehso:

0,748 ⋅ 10 = ; 10 ⋅ 9,4 = ;

3,6 ⋅ 100 = ; 100 ⋅ 10,006 = ;

0,2 ⋅ 1 000 = .

Zmadhoje 10 herë çdonjërin prej numrave:1,8; 0,0072; 1 000,01.Zmadhoje 1 000 herë çdonjërin prejnumrave: 3,4; 0,007; 96,006.Cili numër është 2 000 herë më i madh senumri 2 000,2?

Duhet të dish!

Detyra

1.

4.

5.

6.

7.

2.

3.

Njehso syprinën e dyshemesë së klasës që ika dimensionet 6,8 m dhe 9,4 m.

Njehso vlerën e shprehjeve:

2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 = ;

0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 = .

Njehso prodhimin e shumës dhe ndryshimittë numrave 16,009 dhe 9,0016.

Mimoza ka 6000 denarë. 0,65 të parave i kashpenzuar për ushqim, kurse 0,2 për fletoredhe mjete shkollore. Sa para i kanë ngelur ?

Testohu!

Krahaso shprehjet:

4,65 ⋅ 0,524 dhe 5,24 ⋅ 0,465.

Shkruaj katër numra ku i pari është 1,6, kurseçdo pasardhës është 1,5 më i madh separaardhësi.

8.

9.

Kujtohu!

170

Vëre numrin e zerove te njësia dekade dhe zhvendosja e presjes dhjetore te prodhimi. Çka vëren?Prej barazive të fituara njehso:

62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = .

62,5 : 10 = 6,25;543,2 : 100 = 5,432;1 345,8 : 1 000 = 1,3458.

Si është zhvendosur presja në secilin herës sipas të pjesëtueshmit dhe njësisë dekade?

Cakto prodhimet:

6,25 ⋅ 10 = ;

5,432 ⋅ 100 = ;

1,3458 ⋅ 1 000 = .

6,25 ⋅ 10 = 62,5;

5,432 ⋅ 100 = 543,2;

1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8.

Cakto herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit:

265 : 10 = ; 412 : 100 = ;

Njehso:

34,7 ⋅ 10 = ; 2,136 ⋅ 100 = ;

Prej barazisë 148 ⋅ 23 = 3 404 cakto herësin:

3 404 : 23 = .

1

6,2 5: 10

,

Vëre!

Njehsove se

Herësi i numrit dhjetor dhe njësisë dekade (10, 100, 1 000,...) fitohet me zhvendosjen e presjesdhjetore te numri dhjetor në të majtë për aq vende sa ka zero njësia dekade .

Mbaj mend!

Kam vërejtur se: Numërdhjetor do të pjesëtojme 10 ashtu që presjendhjetore do tazhvendos për një vendnë të majtë.

Njehso:

34,7 : 10 = ; 257,1 : 100 = ; 17 845,32 : 1 000 = .

2

Njehso: 6,3 : 10 = dhe 3,2 : 100 = .3

A

PJESËTIMI I NUMRAVE DHJETORË13

Nëse gjatë zhvendosjes së presjes dhjetore nëtë majtë nuk ka vende të mjaftueshme, atëherështohet numër i mjaftueshëm i zerove.


0,63 ⋅ 10 = 6,3; 6,3 : 10 = 0,63

0,032 ⋅ 100 = 3,2; 3,2 : 100 = 0,032

Kujtohu!

171Cakto herësit e numrave: 2 685,7; 3,78; 12 dhe 0,06 me: 10, 100 dhe 1 000.4

Cakto herësin dhe mbetjen gjatëpjesëtimit të numrave:a) 3728 me 16; b) 6412 me 24.

5 Shiritin me gjatësi 7,23 m ndaje në 3 pjesë tëbarabarta. Cakto gjatësinë e çdo pjese.

Duhet të njehsosh: 7,23 : 3 = .

Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen.

Gjatësinë e shiritit shndërroje në centimetra.

Njehso herësin në centimetra.

Shndërroje herësin e fituar në metra.

7,23 m = 723 cm

723 cm : 3 = 241 cm

123

241 cm = 2,41 m

Vëren se: 7,23 : 3 = 2,41, pasi 2,41. 3 = 7,23.

Si mundet të njehsohet 7,23 m : 3; pa u shndërruar metrat në centimetra?

Vepro sipas këtyre kërkesave.

Bëj pjesëtimin e 7,23 me 3 pa presjendhjetore.

Pas mbarimi të pjesëtimit te herësi vendospresjen atje ku mbarove me të plotat.

7,23 : 3 = 2,41

- 6

12

- 12

3

- 3

0

453,6 : 28 = 16,- 28

173- 168

56

Së pari lëshojmëdhjetoren e

parë…; …, e

pas

taj n

ëhe

rës

vend

osim

pres

jen.

Mbaj mend!

Gjatë pjesëtimit të numrit dhjetor me numër natyror vepro si të pjesëtosh numra natyrorë.

Kur do ta lëshosh dhjetoren e të dhjetave, atëherë te herësi vendos presjen.

B

�

�

Njehso 292 : 16 pa mbetje.

Veproni kështu:

Paraqite të pjesëtueshmin si numër dhjetor.

Bëje pjesëtimin, por tani si pjesëtim të numrit dhjetor me numër

natyror.

6 56,0 : 35 = 1,6- 35

210- 210

0

Kujtohu!

172

Shndërro gjatësinë e drejtkëndëshit në decimetra. 23 cm = 2,3 dm

Njehso: 2 728 : 4 = ; 272,8 : 4 = ; 27,28 : 4 = . .

Njehso: 10,626 : 23 =

0,9768 : 37 =

0,06723 : 9 =

Duhet të njehsosh 1,38 : 0,6 = .

138 cm : 6 = 23 cm

1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm

7

8

Mbaj mend!

Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen.

Nëse e plota është më e vogël se pjesëtuesi,atëherë te herësi shkruhet 0 të plota.

Shembull:

4,752 : 6 = 0,792

- 0

47

- 42

55

- 54

12

- 12

0

3,45 : 5 =

Zero të plota

9Njehso pa mbetje: 365,4 : 9; 27,0 : 4.Njehso herësin e numrave 78 dhe 12 pa mbetje. Poashtu ka nevojë numrin 78 ta paraqesësh si numërdhjetor (78,0).Çfarë do të ndodh nëse i pjesëtueshmi dhepjesëtuesi shumëzohen me një numër të njëjtë?

Syprina e një drejtkëndëshiështë 1,38 dm2, kurse gjerësia etij është 0,6 dm2. Caktogjatësinë e drejtkëndëshit.

Shndërro decimetër katror në centimetër katror, kursedecimetrat në centimetra.

Cakto gjatësinë e drejtkëndëshit (në centimetra).

Caktuam se herësi i 1,38 dhe 0,6 është numri 2,3, dmth. 2,3 ⋅ 0,6 = 1,38. Numri 2,3 mundet të fitohet edhe pa i shndërruar decimetrat në centimetra.

Vëre! 1,38 : 0.6 = 2,3.

C

�

�

�

Zmadhoi 10 herë të pjesëtueshmin dhe pjesëtuesin;Pasi tani është numër natyror cakto herësin e numritdhjetor (13,8) dhe numrit natyror(6).

Puno sipas kërkesave! Shembull: 23,12 : 3,4 =

23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34;

231,2 : 34 = 6,8

272

0

��

173Të mbaj mend: Numri dhjetor pjesëtohet me numër dhjetor ashtu që: presjet dhjetore zhvendosen në anën e djathtë te i pjesëtueshmi dhe tepjesëtuesi për aq vende sa që është e nevojshme pjesëtuesi të bëhet numërnatyror.Pastaj pjesëtohen numrat e fituar (ashtu që pjesëtohet numri i dhënë menumrin natyror).

10Kujdes! Numri i dhjetoreve te i pjesëtueshmi është më i vogël se numri i dhjetoreve tepjesëtuesi. Prandaj mendo dhe përgjigju: Sa zero duhet të përshkruhen te i pjesëtueshmi ngaana e djathtë që të mundet të zhvendosen presjet dhjetore?

Njehso: a) 3,4 : 0,017 = ; b) 0,64 : 0,0032 = .

Duhet të dish!

Të njehsosh herës të numrit dhjetordhe njësisë dekade.Të njehsosh herës të numrit dhjetordhe numrit natyror.Të njehsosh herës te i cili pjesëtuesiështë numër dhjetor.

Njehso: 34,6 : 10 = ;

6,485 : 1000 = ; 62,17 : 100 = .

Njehso 257,52 : 12 dhe bëje provën e zgjidhjes.

Për sa duhet të zhvendoset presja dhjetore në anën e

djathtë te i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi që të

njehsohet:12,031 : 1,6 = ; 3,101 : 0,08 = ;

0,345 : 0,025 = .

Cili numër është më i vogël se 4,76:a) 10 herë; b) 100 herë; c) 1000 herë?

Detyra

1.

Njehso:

0,6 : 3 = ; 4 : 5 = ;

735 : 35 = ; 1,95 : 15 = ;

27 : 1 125 = ;

23,45 : 37 = në 4 dhjetore;

341,3 : 12 = në 2 dhjetore.

2.

Testohu!

Njehso në 6 dhjetore:

1 : 7 = ; 4 : 7 = ;

2 : 7 = ; 5 : 7 = ;

3 : 7 = ; 6 : 7 = ;

Çka përfundon për dhjetoret e herësit?

3.

Njehso:

6 : 0,2 = ; 0,75 : 0,15 = ;

48 : 0,12 = ; 1,836 : 0,204 = ;

3,417 : 0,85 = ; 0,044 : 0,25 = .

4.

Sa herë 0,14 është më e vogël se 0,7?5.

Njehso dhe bëje provën e zgjidhjes:

34 : 0,085 = ; 33 : 1,28 = ;

12,4 : 0,031 = ; 0,0108 : 1,6 = .

6.

Zgjidhni barazimet:

100 ⋅ x = 2,416;

156,12 : x = 10;

0,018 = 18 ⋅ x;

0,0625 ⋅ x = 3,1275.

7.

174 Një udhëtar ka kaluar 14,730 km për5 orë. Sa kilometra, mesatarisht, kakaluar për 1 orë?

Cakto vlerën e shprehjeve:

(6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 =

2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =

Në klasën VI3 ka pasur 34 nxënës. Nëfund të vitit shkollor suksesi nga lënda ematematikës ka qenë kështu:: 15 nxënësme sukses të shkëlqyeshëm, 9 nxënës mesukses shumë të mirë, 7 me mirë dhe 3 menotë të mjaftueshme. Njehso notënmesatare të paraleles nga lënda ematematikës në 2 dhjetore.

8.

9.

10.

PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DIJNË MË SHUMË

Provo a janë të saktë barazitë:(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4)(2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.

1.

Cili numër mund të pjesëtohet me secilin numër dhjetor të ndryshueshëm nga zero pa mbetje?2.

3.

4.

5.

6.

Si do të ndryshon:a) shuma e dy numrave nëse njërin mbledhës e zmadhojmë për 2,3, kurse tjetrin e zmadhojmë për 3,2;b) zbritësi nëse i zbritshmi zmadhohet për 5,8, kurse ndryshimi zvogëlohet për 5,8;c) prodhimi i dy numrave nëse njërin e shumëzojmë me 8,75, kurse tjetrin në 0,72;

Prej l kg miell fitohet 1,252 kg bukë. Sa bukë fitohet prej 576 kg miell?

Cilit numër duhet t'i shtohet 2,2 që të fitohet numër që është 3,5 më i madh se 9,2?

Për sa syprina e katrorit me brinjë 15,34 m është më e madhe se syprina e drejtkëndëshit mebrinjë 16,12 m dhe 12,03 m?

Zgjidhi barazimet:

5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21; x : 8,04 = 5,05;

3,48 : x = 1,45; (x - 2,5) : 5,1 = 0,8.

7.

Kujtohu!

175SHNDËRRIMI I THYESËS NË NUMËR DHJETOR141 Shndërroje si numër dhjetor

thyesën .Cilin operacion e paraqet vija thyesore?

Te thyesa zëvendësojeni vijën thyesore me

atë shenjë dhe kryejeni operacionin.

Lexoje thyesën dhe shkruaje si numër

dhjetor.

Sqaro: si shndërrohet thyesa dhjetore si numër

dhjetor?

3__

4

3__

4

3___

100

Puno sipas kërkimeve:

Zgjero thyesën me 25.Thyesën e fituar dhjetore shndërroje si numër dhjetor.

Sigurisht e keni fituar = 0,75.

Njehso 3 : 4.

Krahasoni rezultatet e fituara.

3__

4

Shembull: Thyesën zgjeroje me 125.

Thyesën dhjetore të fituar shndërroje si numër dhjetor.

Njehso 5 : 8 = .

2 Me zgjerimi ose me thjeshtimin, këto thyesa shndërroji si thyesa dhjetore e pastaj në numra

dhjetor: , , , dhe .1__

2

3__

5

5__

8

5__

8

132___

300

164___

400

Cila prej thyesave , , dhe nuk mundet të shndërrohet si thyesë dhjetore?

Sigurisht konstatuat se është thyesa .

33__

5

1__

4

5__

65__

6

11__

20

Mbaj mend!

Vetëm thyesa e pa thjeshtuar emëruesi i së cilës zbërthehet në shumëzues 2 ose 5, mundet tëparaqitet si thyesë dhjetore.Çdo thyesë e cila mundet të paraqitet si thyesë dhjetore paraqet numër të fundmë dhjetor.

A

Cila prej thyesave , ose paraqet numër të fundmë dhjetor?

Konstato cila prej thyesave mundet të zgjerohet deri në thyesë dhjetore me emërues 1000; ose

pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato cili prej herësve të fituar është numër të

fundmë dhjetor.

23__

40

7__

15

5__

124

176 Thyesat , dhe shndërroji si numra dhjetorë.

Puno sipas kërkesave:

Sigurisht fitove:

= 0,333...; = 1,363636...; = 0,297297.....

Numrat dhjetor të fituar kanë pafund shumë decimale.Numra të tillë quhen numra dhjetorë të pafundmë.

1__

3

1__

3

15__

11

11__

13

15__

11

11__

37

Konstato emëruesit a zbërthehen si shumëzues 2 dhe 5, përkatësisht numrat dhjetor a do të jenë tëfundmë apo jo.

Pjesëto numëruesin e thyesës me emëruesin.

Vëre!

Te çdonjëri prej numrave, pas presjes dhjetore, një ose më shumë shifra përsëriten sipas radhës sënjëjtë.

5

Mbaj mend!

Numrat dhjetorë të këtillë quhen numra dhjetor periodik të njëjtë.Numrin që e formojnë shifrat që përsëriten quhet periodë e numrit dhjetor.

Te numri i parë perioda është 3, te i dyti 36, kurse te i treti 297. 0,333.... = 0,(3). Lexohet: zero të plota dhe 3 si periodë; 1,3636... = 1,(36). Lexohet: një e plotë dhe 36 si periodë....

Thyesat , dhe shndërroji si numra dhjetor.

Puno sipas këtyre kërkesave:shqyrtoi emëruesit e thyesave dhe konstato numri dhjetor a është i fundmë; pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato numri dhjetor a është periodik.

65__

18

679___

495

7__

12

Duke e përdor kalkulatorin fitohet;

= 0,2777...; = 1,3717171...; = 0,58333...5__

18

679___

495

7__

12

B

C

Vëre!

Numrat e dhjetor të fituar janë periodik, por para periodës ka një ose dy shifra. Numrat e këtillëdhjetor quhen numra të përzier dhjetorë periodik.

177Mbaj mend!

Nëse nga ana e djathtë e numritnatyror ose zeros, shkruhet presjadhjetore dhe pastaj përshkruhenshifrat, fitohet shënimi i numrit qëquhet numër dhjetor.

Lexojmë:0,2777... = 0,2(7) - zero të plota 2 të dhjetatdhe 7 në periodë.1,37171... = 1,3(71) - një e plotë, 3 të dhjetatdhe 71 në periodë.0,58333... = 0,58(3) - zero të plota, 58 të qindtatdhe 3 në periodëÇdonjëri prej numrave 2, 3 dhe 58 teshembullit quhen para periodë.

Të vlerësosh, sipas emëruesit të thyesës, ajo amundet të shndërrohet si numër dhjetor tëfundmë ose në numër dhjetor të pa fundmëperiodik.Cili numër dhjetor është i fundmë?Të sqarosh çka është periodë, kurse çka paraperiodë.Ç’është numri dhjetor periodik i pastër.Ç’është numër dhjetor i përzier periodikë.Se thyesa mund të shndërrohet:- ose si numër dhjetor i fundmë;- ose si numër dhjetor i pafundmë periodik.Se ekzistojnë edhe numra dhjetor tëpafundmë periodik të tjerë që nuk janëperiodik. Për ato do të mësojmë në klasën VIII.


Vlerëso, pa e pjesëtuar numëruesin me

emëruesin, vallë thyesa paraqet numër

dhjetor të fundmë.

Shndërroji si numra dhjetor këto thyesa ,

, dhe .

Cakto periodën dhe para periodën te këto

numra dhjetorë:

2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ;

126,120404...

2__

20

3__

57__

8

12__

7

4__

9

Zgjeroji dhe thjeshtoji thyesat ashtu që te emërtuesi të paraqitet 10, 100 ose 1000, kurse pastaj shndërroji si numradhjetor:

, , , , , , , .

Detyra

1.

3__

5

23__

80

11__

32

18___

200

229___

125

24__

20

83__

64

37__

25

Shndërroji si numra dhjetorë këto thyesa:

, , , , , , , , .

2.

2__

3

9__

11

3__

5

19__

20

5__

18

37___

275

24__

20

1__

27

2__

15

Cakto periodën dhe para periodën te numratdhjetor:

0,378787... ; 6,543023023... .

3.

Sipas shënimit për periodën e numrit dhjetorshkruaj numrat:

4,636363... ; 0,102102... ;

3,54034034... ; 4,27117117... .

4.

Shkruaje si numra dhjetor të pamundshëmkëto numra:a) 3,6(54) ; c) 6,(53) ;b) 0,77(2401) ; d) 0,06(5231).

5.

Kujtohu!

178

1 Një parcelë prej 123 m2 erregullojnë nxënësit e klasës VIa. Në paralele ka 32 nxënës. Nga sametra katror, mesatarisht, rregullonsecili nxënës?

Duhet të njehsosh 123 : 32.

Sigurisht fitove 123 : 32 = 3,84375, dmth. se çdonxënës duhet të rregullon nga 3,84375 m2.

Cakto herësin;Cakto praktikisht rëndësinë e metrove katrorpër nxënës.

Numrin 3 128 i rrumbullakuar është 3 000,dmth. 3 128 ≈ 3 000. " ≈ ", lexohet:përafërsisht i barabartë. Rrumbullakojenumrin 3 128 në qindëshe.Si është rregulla për rrumbullakimin enumrave natyrorë?A duhet 135 ≈ 130 ose 135 ≈ 140? Sqaro!

Numri ka rëndësi praktike vetëm deri te dhjetorja e dytë (në dm2), dmth të bëhet rrumbullakimi inumrit dhjetor në dy dhjetore (në të qindta).Numrat dhjetorë me dy dhjetore që janë më afër numrit 3,84375 janë: 3,84 dhe 3,85, dmth.

3,84 < 3,84375 < 3,85Domethënë: 3,84 ≈ 3,84375 (lexojmë: 3,84 përafërsisht është i barabartë me 3,84375) dhe 3,84375 ≈ 3,85.

2 Caktoji të dy numrat dhjetorë më afër numrit 1,37268 që kanë nga një dhjetore.

Konstato sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit të numrit 1,37268 në një dhjetore.

Sigurisht konstatove se numrat e kërkuar janë 1,3 dhe 1,4 dmth. 1,3 < 1,37268 dhe 1,37268 < 1,4.Sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit: 1,3 7268 ≈ 1,3 dhe 1,37268 ≈ 1,4, do të konstatosh nëse i krahason ndryshimet: 1,37268 - 1,3 = 0,07268 dhe 1,4 - 1,37268 = 0,02732Deri te cila pikë për numrat 1,3 ose 1,4 pika është më afër numrit 1,37268? 1,3 1,4

0,07268

1,37268

0,02732

A

RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE DHJETORË15

Mbaj mend!

Ndryshimi që tregon për sa numri i dhënë është më i madh ose më i vogël se vlera e tij e përafërtquhet gabim absolut.

Gjatë rrumbullakimit përpiqu të bësh gabim absolut më të vogël.

Në të dy rastet gabimi i bërë është më i vogël se 0,1.Themi: Numrin 1,37268 e kemi rrumbullakuar me saktësi gjer më 0,1, përkatësisht me saktësi gjer në

një dhjetore.

��

179

3 Numrin 4,8162704 rrumbullakoje me saktësi:a) në një dhjetore, dmth deri 0,1; d) deri 0,0001;b) deri 0,01; e) deri 0,0001.c) deri 0,001;

nëse shifra e parë e shlyer është më e vogël se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngel nuk ndryshon;nëse shifra e parë e shlyer është 5 ose më e madhe se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngelurzmadhohet për 1.

Vëren se rrumbullakimi (zëvendësimi) i numrit 1,37268 me numrin 1,4 është me gabimabsolute më i vogël se sa me numrin 1,3.Gjatë rrumbullakimit të numrit dhjetor respekto rregullën e rrumbullakimit:

Të. rrumbullakohet ndonjë numër me saktësitë dhënë domethënë ai numër tëzëvendësohet me numër tjetër më të madhose më të vogël se ai, për nevoja të caktuarapraktike.Të rrumbullakosh numër të dhënë me saktësitë caktuar sipas rregullës për shlyerjen eshifrave të numrit.Të sqarosh se si caktohet rrumbullakimi inumrit dhjetor me saktësi të caktuar.

Duhet të dish!

Numrin 0,315 rrumbullakoje në dy dhjetore.

Thyesën shndërroje si numër dhjetor me

saktësi 0,001. 0,001.

Cakto gabimin absolut nëse 1,47 ≈ 1,47328.

7__

34

�

�

Testohu!

Numër

0,0374

rrumb. mësaktë deri 0,01

Gabimiabsolut

Gabimiabsolut

rrumb. mësaktë deri 0,01

7__

34

Rrumbullako në tre dhjetore numrat:2,7145; 3,03277; 0,01523.

Detyra

1. Njehso:

4,26 + - 1,00312 me saktësi deri 0,01.

4.

Bëj tabelë, rrumbullako numrat në të mesaktësinë e shënuar dhe cakto gabiminabsolut.

5.Thyesën shndërroje në numër

dhjetor te saktësi deri: 0,1; 0,01;

0,0001.

2.

Shumën e numrave 4,7125 dhe3,3914 njehso me saktësi deri 0,001.

3.

2__

7

0,5386

426,4235

6,0141

M E T Ë D D H Ë N AR A P U N A180

CAKTIMI I ZGJEDHJES. ANALIZA DHE PËRFUNDIMI16

Cila është shpejtësia mesatare më e madhe gjatë pesëgarave (mesatarja aritmetike)?Në një garë në vitin 1912 është arritur shpejtësia më emadhe e cila është 4 herë më e vogël se shpejtësia në vitin2000. Sa është ajo shpejtësi?Aeroplani i udhëtarëve ka arritur 3 deri 3,5 herë shpejtësi mëtë madhe prej shpejtësisë më të radhë që është arritur nëvitin 1999. Në cilat kufij gjendet shpejtësia e aeroplanit mesaktësi deri në një dhjetore ?Analiza e të dhënave. Ndërmjet cilave dy vite ndryshimi ishpejtësive është:a) më i vogël; b) më i madh; c) rreth 50 km në orë?Formo diagram shtyllor për shpejtësitë sipas të dhënave nëtabelë;

Shfrytëzo tabelën që të përgjigjesh në disa pyetje.

Ndryshimin i shpejtësive më të shpejta dhe më të ngadalshme të garave me formularrumbullakoje me saktësi deri 0,1.Sa më ngadalë ka shkuar fituesi në gara me formula në vitin 2 000 prej fituesit të garave nëvitin 1 998 ?Cila do të jetë shpejtësia më e madhe mesatare e të dy garave më të shpejta së bashku?

Viti

1996Mihael

Shumaher

1997Mihael

Shumaher

1998Dejvid

Kulthard

1999Mika

Hakinen

2000Mihael

Shumaher

Fitues

310,36

344,44

326,78

294,06

312,56

Shpejtësia më emadhe (km/h)

A

2

1

Në shkollën ku mëson Agimi ka 1 200 nxënës. Agimi dëshiron që shkolla e tij të ketë fushëtë re sportive. Është përpjekur të zbulon sa nxënës janë të interesuar për fushë të resportive.Në vend që të pyet çdo nxënës, Agimi ka vendosur që të komunikon vetëm me një pjesë tënxënësve, përkatësisht zgjedhë disa nxënës.Agimi ka vendos të komunikon me 100 nxënës nga të gjitha klasat, me të ka caktuarzgjedhjen (mostrën). Numri 100 paraqet madhësinë e zgjedhjes, efektivin e zgjedhjes.

NegativNëse Agimi ka pyetur 1

200 nxënës:

Pozitiv

Nëse Agimi pyet 12nxënës:

Është e nevojshme më shumë kohë Do të dijë sa nxënëssaktësisht duan fushë të re

Fiton numër të vogël të përgjigjeve,që nukështë i mjaftueshëm për vlerësim të drejtë.

Për një kohë të shkurtër do t'i merr përgjigjet☺

☺

Nëse Agimi pyet 100nxënës:

Koha e shpenzuarështë optimale Fiton numër të mjaftueshëm të

përgjigjeve për vlerësim të drejtë

☺

☺ ☺

�

B

181Në caktimin e zgjedhje, përveç madhësisë, është e rëndësishme kush do ta përbën

ekzemplarin.

Shkruaj mendimin tënd për atë që është pozitive, kurse ç’është negative te këto raste:

Nëse Agimi pyet vetëm nxënës të klasës I deri IV;

nëse Agimi pyet vetëm nxënës që janë të interesuar për sport;

nëse Agimi pyet rastësisht disa nxënës nga të gjitha klasat e shkollës së tij.

Përgjigjet e pyetjeve për fushën e re sportive Agimi i ka paraqit në tabelë.3

Agimi ka konstatuar se 0.6 nga zgjedhja duan fushë të resportive. Ai ka njehsuar:O,6 prej 1 200 është 0,6 . 1 200= 720.

Fusha e re sportive. Zgjedhja

Po 60 = 0,6

Mendimi Numër Raporti

Jo 23

Nuk di 17

60___

100

Vëre!

Agimi ka supozuar: nëse i pyet 1 200 nxënës, përafërsisht 720 prej tyre do tëpërgjigjen se janë të interesuar për fushë të re sportive.

Cakto raportin për dy përgjigjet tjera.Njehso sa nxënës do të përgjigjen se nuk duan fushë të re sportive, kurse sa nxënës të shkollës do tëjenë të pavendosur.

Cilat numra duhet të shkruhen te pjesa e tabelës metitull „Raporti"?

Me ndihmën e raporteve të njehsuara cakto numrin ebanorëve në qytet për të cilët mund të thuhet se do tëjenë të interesuar për lloje të filmave të ndryshëm.

Për çfarë do të mund t'i shërbejnë informatat e fituarapronarit të video klubit?

Videokasetat më të popullarizuara

Për fëmijë 40 40:400=0,1

Shkencor 36

Lloji i filmit numri raporti

Komedi 152

Filma të vjetër 100

Muzikor 72

Pronari i një video klubi dëshiron të konstatoj cilat filma janë më të popullarizuar në qytet. Qytetika 20 000 banorë. Shitësi ka shënuar të dhëna për 400 anëtarë të video klubit.

4

182

Vizato segment AB = 6 cm.a) Cakto pikë C në segmentin AB ashtu që:

AC = AB.

b) Nëse AD = 2 cm, atëherë cili numër duhet tëqëndroj në vendin që të jetë AD = AB.

MËSOVE PËR THYESA. NUMRA DHJETORË.

PROVO DIJENIN TËNDE17

1. Nëse i zbritshmi 3,24 zmadhohet për 0,24,ndërsa zbritësi 0,324 zvogëlohet për 0,24,

atëherë ndryshimi do të zmadhohet për 2 ⋅ 0,24.Provo.

11.

Me mbledhje provo nëse është kryer drejtëzbritja

59,216 - 11,11 = 48,106.

12.

Provo nëse është kryer drejtë shumëzimi12 346 • 24 = 296 304 . Pastaj, pa njehsuar,

cakto prodhimin.

1,2346 ⋅ 24. 12,346 ⋅ 2,4.

0,12346 ⋅ 0,24.

13.

Njehso prodhimet 5,32 • 20 dhe 0,64 • 1,2,e pastaj pa njehsuar cakto herësin

106,4 : 5,32. 0,768 : 1,2.

15.

Zgjidhe barazimin2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2.

x : 0,5 = 13,5 : 0,25.

16.

Njehso vlerën numerike të shprehjes(9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5.

17.

Shkruaje si numër dhjetor thyesën

. .

18.

Pas rrumbullakimit të numrit 2,861254është fituar numri 2,8613. Me çfarë saktësi

është rrumbullakuar numri?

19.

Thyesën shndërroje në numër dhjetor

dhe rrumbullakoje me saktësi deri 0,01.

20.

Njehso herësin

55,56 : 2,4. 0,84375 : 0,27.

14.

Në tetë kuti të barabartë ka gjithsej 12 kgbonbone. Sa kilogram bonbone ka në një

kuti?

2.

Numrin 5 paraqite si thyesë me

numërues 5 Emërues 5.

3.

Shkruaj thyesë me numërues 2që është më e madhe se 1.

që është më e vogël se 1.

4.

Paraqite në boshtin numerik shumën

+ ; + .

5.

Thjeshto thyesën deri te thyesa e pathjeshtuar.

6.

Zgjero thyesën me 8.8.

Njehso shumën 26,4 + 2,64 + 0,0264.

9.

Kryeje shumën dhe provo nëse është esaktë:

0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048Cakto ndryshimin e shumës së fituar.

10.

Thjeshto thyesën

me 7. me PMP(45, 270).

7.

2__3

3__8

2__8

1__5

84____210

56____126

45____270

7__8

126____15

73___8

629____495

4__5

183

1. Njësit për gjatësi, masë dhe lëngje 184

2. Njësit për kohën dhe temperaturën 1873. Numër i emërtuar 1894. Shndërrimi i numrit shumë emëror

në një emëror 1925. Shndërrimi i numrit një emëror

në numër shumë emëror 194

6. Operacione me numra të emëruar 1967. Njësit për syprinë 2018. Njësit për Vëllimin 2039. Vëllimi i kuboidit dhe kubit 20610. Mësove për matje. Kontrollo

diturinë tënde 210

TEMA 4. MATJA

184 NJËSITË PËR GJATËSI, MASË DHE LËNGJE1Kujtohu! ATe vizorja trego gjatësi prej 1dm, 3 cm, 8 mm dhe 4 cm 6mm.Cila njësi shfrytëzohet përmatjen e gjatësisë së rrugëvedhe largesave ndërmjet dyvendeve?Sa dekagram ka në 1kg?Cila njësi përdoret për matjen emasës së mineraleve të nxjerrënga miniera.Sa dl ka në 1l?

NJËSITË PËR GJATËSI

1 Vlerëso gjatësinë e segmenteve AB dhe CD dhe të vijëssë thyer PQRST, pastaj me matje provo saktësinë evlerësimit tënd.

A

C

VD

P R T

Q S

Cilat njësi matëse i përdore?Numëro edhe njësi të tjera për gjatësi.

Njësitë matëse më të mëdha dhe më të vogla se metri janë të paraqitura në tabelën e më poshtme.

Njësia themelore matëse për gjatësi është metri (m).

Njësitë matëse më tëmëdha se metri janë: dekametri (dam)

hektometri (hm)

kilometri (km)

Njësitë matëse më tëvogla se metri janë:decimetri (dm)

centimetri (cm)

milimetri (mm)

1 dam

1 m1 hm

1 km

1 dm

1 cm

1 mm

Shqyrto dhe vëre lidhjet mes njësive për gjatësi!

1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m

1 hm = 10 dam = 100 m

1 dam = 10 m

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

1 dm = 10 cm = 100 mm

1 cm = 10 mm

Të mbaj mend! Çdo njësi matësepër gjatësi është 10 herë më evogël se njësia matëse që ështëmë e madhe pas saj.

Cila njësi duhet të qëndroj te “∗”.

Për 1 orë, Petriti mund të ec rreth 4 ∗.

2

Njomza në fletore ka vizatuar katror me gjatësi të brinjës 30 ∗.

Sa dekametër ka në:a) 90 m? b) 300 m? c) 1700 m?

3 Në 1 dm ka 0,1 m. Sa metro ka në 1 cm?4

�

⋅ 1000

⋅ 100

⋅ 10

: 1000

: 100

: 10

185NJËSITE PËR MASËN

NJËSI PËR LËNGJE

5 Numëroji njësitë matëse për masën që i njeh.

Cila është njësia matëse themelore për masën?

Sa kilogramë ka 1 t? Ç’është më e madhe 8 dag ose 1 kg?

Cila njësi për masën duhet të qëndrojë në vend të "*" te këto fjali:

Me kamion është bartë 6 * qymyr. Pulën që e bleu Agoni ka masën 2 *

Njësia matëse themelore për masën është kilogrami (kg).

Njësia më e madhe se kilogramiështë tonelata (t).

1 t = 1 000 kg

6

Hektogrami (hg)

Dekagrami (dag)

Gram (g)

Decigrami (dg)

Centigrami (cg)

Miligrami (mg)

1 hg

1 dag

1 g

1 dg

1 cg

1 mg

1 kg

B

Njësitë më të vogla sekilogrami janë dhënë nëtabelën vijuese.

Njësi matëse më të mëdha dhe më të vogla se litri janë dhënë në tabelën e mëposhtme.

�

�

Shqyrto, vëre dhe mbaj mend lidhjet mes njësive për masën!

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g1 hg = 10 dag = 100 g

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg1 dg = 10 cg = 100 mg

1 cg = 10 mg

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg

Të mbaj mend!Çdo njësimatëse përmasën është 10herë më e vogëlse njësia matëseqë ështëmenjëherë më emadhe se ajo.

Që të masë një copë mish, mishtari në njërën enë tëpeshores vendosi pesha prej 1 kg, 2 kg dhe 1 kg, kurse nëenën tjetër peshën prej 50 g. Sa është masa e mishit?

7

Numëroji njësitë për lëngje që i njeh deri më tani.

A njeh më herët njësi më të madh se 11? Sa dl ka 11?

8

C

Njësia matëse themelore për lëngjet është litri (l).

Njësi matëse më tëmëdha se litri janë:

Dekalitri (dal)

Hektolitri (hl)

Kilolitri (kl)

Njësi matëse më tëvogla se litri janë:

Decilitri (dl)

Centilitri (cl)

Mililitri (ml)

1 dal

1 l1 hl

1 kl

1 dl

1 cl

1 ml⋅ 1000

⋅ 100

⋅ 10

: 1000

: 100

: 10

: 1 000 000

: 100 000

: 10 000

: 1 000

: 100

: 10

186

Testohu!

Për sa është: a)1m më i madh se 1cm?b) 1 dm më i vogël se 1hm?

Për sa është: a) 1kg më i madh se 1g?b) 1 dag më i vogël se 1hg?

Për sa është: a) 1hl më i madh se 1dal?b) 1 ml më i vogël se 1dl?

Radhiti sipas madhësisë: 5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag;

Radhiti sipas madhësisë: 5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.

Në një pemishte janë mbledhur 4,5t mollëdhe janë shitur nga 17 denarë për njëkilogram. Sa denarë janë fituar?

Detyra

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Vëre dhe mbaj mend lidhjet ndërmjet njësive të lëngjeve!

1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l1 hl = 10 dal = 100 l

1 dal = 10 l

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml1 dl = 10 cl = 100 ml

1 cl = 10 ml

Të mbaj mend! Çdo njësi për lëngështë për 10 herë mëe vogël se njësia qëështë më e madhe seajo.

1 l ujë mineral kushton 20 denarë. Sa denarë kushton 2 dl (një gotë) ujë mineral?

9

Radhiti sipas madhësisë këto numra: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 1, 3 cl.10

Duhet të dish!

Cila është njësi themelore matëse?

Gjatësi; Masë; Lëng

Ti caktoni njësitë më të mëdha dhe më tëvogla për:


Ti shpjegoni marrëdhëniet mes njësive për:


Vizato segmente pa matje me gjatësi : 1cm, 1 dm, 25 cm i 75 cm.Provo me matje dhe konstato për sa kegabuar.

Mate gjatësinë e hapit tënd nëcentimetra.

Me hapa mate largesën ndërmjet dyobjekteve.

Cakto sa metra është ajo largesë.

Provo, me matje, saktësinë e vlerësimittënd.

Radhiti segmentet me gjatësi 9 dm, 2 m, 48cm, 94 mm, 4 dm 7 cm, duke filluar nga më ishkurtri.

187

Kujtohu! A

NJËSITE PËR KOHËN DHE TEMPERATURËN2

Sa minuta ka 1 orë?

Trego dy njësi për kohën, të cilat janë më tëmëdha se 1 orë.

Cila njësi matëse përdoret për matjen etemperaturës?

Temperatura e të sëmurit a shprehet me njësitë njëjtë?

NJËSITË PËR KOHËN

Cilën kohë e tregon oranë: orë, minuta dhesekonda?

Tregoi njësitë për kohën që i ke mësuar.

1

Cila është njësia më e vogël për kohën që e kemësuar?

Shndërro: 5 ditë në orë; 8 orë në minuta; 25 minuta në sekonda.2

Mbaj mend!

Njësia matëse themelore për kohën është sekonda (s). Njësi më të mëdha se sekonda janë:minuta (min), ora (h), dita (d), java, muaji, viti, dekada, shekulli dhe mileniumi. Ekzistojnë edhenjësi më të vogla se sekonda.

Vëre!

1 ditë ka 24 orë; 5 ditë kanë 5 ⋅ 24 orë= 120 orë.

Shqyrto, vëre dhe mbaj mend!

1 min = 60 s; 1 h = 60 min = 3600 s; 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s;

1 java = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s. 1 muaj. = 30 d; 1 vit = 365 d.

Sa minuta ka 1 orë? Sa sekonda ka 1 orë?

Shndërroji 147 orë në ditë dhe orë.3

Shndërroji 5 vjet 8 muaj 13 ditë në ditë.4

147 orë: 24=6 ditë dhe mbetja 3 orë

B NJËSI PËR TEMPERATURË

Lexo temperaturën që është treguar në termometër.

Në cilën njësi matëse është ngritur temperatura?5

�

188

Njoftohu më gjerësisht!

Njësia themelore për temperaturën është kelvini (K).

Por, në jetën e përditshme përdoret shkalla e celsiusit (°C). Fizicienti dhe astronomi

suedez Anders Celzius (1701-1744) shpiku shkallën te e cila uji ngrihet në 0°C, ndërsa

Kështu që uji ngrihet ne 0°C gjegjësisht në 273,16 K, ndërsa vlon në 100°C, gjegjësisht në 373,16 K.

Temperatura e shprehur në Kelvin quhet temperaturë absolute.

Matja e temperaturës absolute fillon me zero apo -273,16 °C.Temperatura më e ulët e mundshme quhet zeroja absolute.

Nëse temperatura e ndonjë trupi është shprehur në shkallë të celsiusit, atëherë temperatura e sajabsolute, e shprehur me T, njehsohet me formulën:

T(K) = t (oC) + 273,16

36,5

340,4290

12,84

320,16

4

277,16

oS

K

Bëni tabelë sikurse është dhënë dheplotësoje ( °C shkallë celsius, K - kelvin).

6

Duhet të dish!

Cila është njësia themelore për kohën;Të caktosh njësitë më të mëdha se sekondadhe marrëdhëniet ndërmjet tyre;Cila është njësia themelore përtemperaturën;Cila është lidhja mes shkallës së kelvinit dhecelsiusit.

Testohu!

Për sa është 1s më e vogël se : a) 1 min; b) 1 h?Sa orë ka në 1d?Sa K i takojnë 0°C në shkallën termike?Një trup ka temperaturë prej 20 °C. Sa ështëtemperature absolute e atij trupi?

Detyra

1. Sipas orarit treni arrije në 13 h 55 min. Nësetreni vonohet 1 h 32 min, atëherë në ora sado të arrijë?

3. Anija e peshkatarëve është nisur nga njëport më 8 shtator në ora 6 h, ndërsa ështëkthyer në port më 17 shtator në ora 18h(vitin njëjtë). Shprehe kohën e lundrimit tëanijes nga nisja deri në kthim:a) ditë b) në orëc) në javë dhe ditë.

2. Për një shfaqje ishte paraparë program mekohëzgjatje prej 1h 20 min. Shfaqja urealizua për 120 minuta. Sa minuta mëshumë është vazhduar shfaqja prej asaj qëishte paraparë.

4. Paraqiti 15 vite 8 muaj dhe 9 d në ditë.

5. Sa është temperature absolute e trupit qëka: a) 37°C ; b) -50 °C?

vlon ne 100°C. Pjesa e qindtë e shkallës quhet shkalla e celsiusit.

Dallimi në temperaturë për një shkallë celsius është njëlloj si një Kelvin. Por, në shkallën termike në

0°C i përgjigjet 273,16 K

189

Kujtohu!

NUMRA TË EMËRTUAR3Për dhjetë fotografitë të numëruarështë parashtruar pyetje. Janë dhënë edhe përgjigjet e çdopyetjeje.

Numëroji dhe shkruaji:

- numrin e bankave në klasën tënde;

- numrin e karrigeve në klasën tënde.

Mate gjatësinë e lapsit tënd. Shkruaje

numrin e matur dhe njësinë matëse që

janë rezultat i matjes tënde.

Cilët janë njësitë matëse për:

a) gjatësi; b) masë?

1

Sa denarë?

1

Sa centimetra kasegmenti?2

Sakilogramëmiell?

3

Sa dele?4

A V

Sa ështëora?5

Sa shkallë kakëndi?6

Sa ujëpërmbanshishja?

7

Sa dardhëka?8

Sa libraka?9

Sa ështëtemperatura?10

αα = ?

3 dele

6 libra

4 dardhë

46o

38,5o S

2 cm

1 l

2 kg

2 ora

10 denarëNjësi matëse

Vëre!

Çdo përgjigje përmban edhe numrin matësdhe njësi matëse. Numrat matës me njësinëmatëse i caktove duke numëruar ose dukematur.(me numërim: 4 dardhë, 3 dele,...; me matje:2 cm; 2 kg...)

Numër i emërtuar

3 cmNumër matës

Numri i emërtuar përbëhet prej numrit të paemërtuar dhe njësisë matëse i shkruar pranë tij.Numri i emërtuar që është shkruar me një numër të pa emërtuar dhe një njësi matëse quhet edhenumër një emëror.

Mbaj mend!

Formo tabelë dhe për çdo fotografi në të shkruajnumrin përkatës.?Shkruaj në tabelë përgjigjet sipas pyetjeve nëfotografi.

AB = ?

A

� �

Shkruaj një numër një emëror që ka:numri i nxënësve në paralelen tënde; numri i viteve tua;sa është lartësia jote (në centimetra).

2

Janë dhënë numrat: a) 5 kg, 3 kg, 126 kg; b) 3 m, 5 kg, 7 l, 15 kuti.3

Çfarë kanë të përbashkët numrat nën a)?

Si janë njësitë matëse të numrave nën b)?

190 Mbaj mend!

Numrat e emërtuar të cilët janë shkruar me të njëjtat njësi matëse quhen numra emëror të njëjtë.

Numrat nën a) emëror të njëjtë. Numrat nën b) nuk janë numra emëror të njëjtë.Përveç emrit njësi matëse përdoren edhe emrat: njësia për matje ose shkurtimisht njësi.

Cilët dy numra 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg janë numra emëror të njëjtë?Çka duhet të qëndrojë në vend të * te numrat 2*, 3* dhe 17*, që ato të jenë numra emëror tënjëjtë?

4

Janë dhënë numrat: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl.5

Shkruaj dy numra të emërtuar të llojit të njëjtë për matjen e: a) gjatësisë; b) masës.

Mbaj mend!

Dy ose më shumë numra të emërtuar që shprehin madhësi të lloji të njëjtë quhen numra të

emërtuar të llojit të njëjtë.

Numrat 4 l, 6 ml, 9 hl dhe 116 cl janë numra të emërtuar të llojit të njëjtë.

Numri që përmban dy ose më shumë numra një emëror të llojit të njëjtë quhet numër shumë

emëror. Numrat një emëror quhen anëtarë të numrit shumë emëror.

6

Gjatësia e një dhome është 3 m 6 dm, kurse gjerësia 4 m 2 dm 5 cm. 7

Çka matet me njësitë matëse të atyre numrave?Te njësitë e njëjtë a është shprehur edhe numri 6 dal? A është shprehur edhe 8 cm?

Me çfarë numra janë shkruar përmasat e dhomës?

Shkruaj nga një numër shumë emëror te njësitë për: a) gjatësi; b) masë; c) kohë.8

Mbaj mend!

Numrin shumë emëror 6 m2 3 dm2 2 cm2 paraqite si shumë.

Shumat: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl paraqiti si numra shumë emëror.

9

Mundesh të shënosh:4 m + 5 cm = 4 m 5 cm

3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g

Të mbaj mend! Numri shumë emërorparaqet shumë të dy ose më shumënumrave një emëror të llojit të njëjtë.

B

�

Numri 2 kg 3 cg 5 mg është shumë emëror; 2 kg; 3 cg dhe 5 mg janë anëtarët e tij.�

191Duhet të dish!

Të dallosh numër të emërtuar prej numrittë paemërtuar;t'i njohësh numrat emëror të njëjtë;cilët prej numrave të emërtuar janë tëllojit të njëjtë;të sqarosh cili numër është një emëror,kurse cili shumë emëror.

Testohu!

Cili prej numrave: 4 libra, 6 cm, 4 , 7 fëmijëdhe 8 është i emërtuar, kurse cili jo i emërtuar?

Cili prej numrave 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m dhe 4 dmjanë: a) një lloj të emërtuar b) të llojit të njëjtë?

Trego një shembull të numrit shumë emëror me 3anëtarë të njësitë për lëngje.

Detyra

Shkruaj dy numra të emërtuar dhe dy tëpaemërtuar.

1.

Edhe kjo është matematikë!

Janë takuar dy shokë. Arditi dhe Petriti. Arditi e

pyeti Petriti: “Ku je o mik, nuk të shoh shpesh?”

Petriti u përgjigj: “Shpesh shkoj në qytete të

ndryshme që të njoh bukuritë e Maqedonisë”

Arditi pyeti: Cilat qytete i vizitove?” Petriti

menjëherë u përgjigj: “Të shtunën e parë të një

muajit isha ne Berovë, ndërsa të shtunën e dytë

të muajit të njëjtë pas të premtes së parë isha në

Strumicë. Të shtunën e parë të muajit të

ardhshëm isha në Dibër, ndërsa të shtunën e

dytë të muajit të njëjtë pas të premtes së parë

isha në Ohër.” “Me cilën datë ishe në Ohër?”, pyeti

Arditi. Petriti e shikoi dhe u përgjigj: “Datën

mundesh vet ta caktosh”

Më cilën datë ishte Petriti në Ohër?

Numëroji librat në raft, shkruaje atë sinumër të emërtuar.

2.

Shkruaj dy numra shumë emëror:- njëri në njësitë për kohën;- tjetri në njësitë për syprinën.

3.

Shkruaje kohën (të shprehurnë orë, minuta dhe sekonda)që e tregon ora.

4.

Shkruaj dy numra një lloj të emërtuar.6.

Shkruaj tre numra shumë emëror që nukjanë të llojit të njëjtë.

7.

Janë dhënë numrat:5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m;

29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l;8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2.

Bën tabelë dhe shkruaj numrat sipaskërkesave:

8.

Çfarë numër shënove?

Të paemërtuar Një emëror

Shumë emëror Emëror të njëjtë

Denarët dhe denët shkruaji si numrashumë emëror.

5. 5 2 1 50

deniden.den.den.

1

2

192

1 Numrin shumë emëror 4 m 2 dm 7cm shndërroje në numër njëemëror.Puno sipas rregullës dhe krahasojezgjidhjen:

Ai është centimetri (cm)

4 m = 400 cm

2 dm = 20 cm

400 cm + 20 cm + 7 cm

400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm

Vëre njësinë më të vogël matëse te numri.

Anëtarët me njësi më të madhe shndërroji në njësimë të vogël matëse.

Paraqite numrin shumë emëror si shumë e numravenjë emërorë (në cm).

Kryeje shumën e kërkuar.

A

SHNDËRRIMI I NUMRIT SHUMËEMËROR NË NUMËR

NJËEMËROR4

Kujtohu!

1 m = 10 dm, gjegjësisht 1m është 10 herë më imadh se 1 dm.Për sa herë është më i madh: a) 1 m prej 1 cm?; b) 1 kg prej 1 g?; c) 1 h prej 1 min?

Vëreni mënyrën e dytë të shndërrimit të numrit shumë emërorë në numër një emërorë dukeshfrytëzuar 2 pohimet vijuese:

�

Te njësitë për gjatësi, masë dhe lëng secila njësi matëse është 10 herë më e vogël se njësi matëse eardhshme më e madhe.

�

Në sistemin dhjetor të numrave pozita e secilës shifër është 10 herë më e madhe se pozita e shifrësparaprake.

�

�

�

�

4 m 2 dm 7 7cm = cm4 2

Shndërroje si numër një emëror numrin 4 dm 5 mm, duke i zbatuar të dy rregullat e treguara.3

2 Sqaro pse 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g.

Të mbaj mend! Këto numra shumëemëror shkruaj në numra një emëror.

I fshij njësitë matëse më të mëdha,dhe mbetet më e vogla.Duhet të kem kujdes a duhet tëshënohet 0 dhe ku.

Nëse te numri shumë emëror mungon meradhë ndonjë njësi matëse, në vendin e sajshëno 0.


�

193

Vëre se numrat shumë emëror në njësi të kohës nuk mund ti shndërrosh në një emëror sipas mënyrëssë dytë të treguar.

Vëreni mënyrën ë dytë ( të shkurtuar) për shndërrimin e numrit shumë emërorë në një emërorë.

Vërejtje! Mund t’i mos përfillni njësitë matëse, të vendosni presje pas numrit matës të njësisë matëse,te e cila kërkohet shndërrimi i numrit shumë emërorë dhe në fund ta shënoni atë njësi matëse. Nësenë radhitje mungon ndonjë njësi matëse, në vendin e saj shënohet zero.

Shndërro numrin 5 m 3 dm 8 cm në: a) decimetra; b) metro.5

Shndërroje numrin 8l 7 dl 3 ml në decilitra.6

Shndërroji në numrat një emërorë në njësinë më të vogël:a) 5 vjet 3 muaj 2 ditë; b) 4 muaj 2 javë 3 ditë 5 orë;c) 2 h 34 min 15 s.(1 vit = 365 ditë, 1 muaj = 30 ditë).

4

Vëre dhe mbaj mend rregullat!

a) Në decimetra: 5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm

8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm

5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm =

= 53,8 dm.

b) Në metra:3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m

8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m

5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m =

= 5,38 m.

B

�

5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.� 5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.�

��

��

Të mbaj mend! Nëse numrin shumë emëror e shndërroj në numër një emërorme njësi matëse që nuk është më e vogël, atëherë numri matës është dhjetor.

Shndërroje numrin 4 kg 6 dag 5 g në kilogram.7

Duhet të dish!Testohu!

Të shndërrosh numër shumë emëror në njëemëror, në cilëndo njësi matëse dhe të shfrytëzosh rregulla më praktike përshndërrim;se gjatë shndërrimit të numrit shumë emërornë një emëror, në njësinë më të vogël matësetë numrit shumë emëror, numri matës ështënumër natyror, kurse në rastet tjera ështëdhjetor;

Shndërroji numrat një emëror në numrashumë emërorë:a) 3 m 2 dm 5 mm (në mm);b) 9 h 26 min. 54 s (në sekonda; në minuta).Shndërroje numrin 6 kg 5g në numër njëemëror në:a) g; b) dag.

194

Numrin një emëror 364 cmshndërroje në numër shumëemëror. Puno sipas rregullës dhekrahasoje zgjidhjen.

9

364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm

3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm == 3 m 6 dm 4 cm

Numrin matës paraqite në formën e zbërthyerashtu që numri i emërtuar të jetë shumë i numravenjë lloj të emërtuar (në cm).

Sipas formës së zbërthyer të numrit matësshndërroi centimetrat në madhësi më të mëdhamatëse dhe atë shkruaje si numër shumë emëror.

Detyra

Shndërroji në numra një emëror, (në njësinëmë të vogël të numrit) këto numra:a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml;c) 4 t 6 kg 5 dag; d) 9 ditë 8 h 7 min.

1.

Shndërro:a) 8 m 3 dm 4 cm në dm;b) 8 km 9 dam 7 m në km;c) 5 t 8 kg 7 hg 5 g në kg;d) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg në g;e) 8 l 5 dl 6 ml në dl.

4.

Korabi është i lartë 2 km 7hm 6 dam 4 m. Sametra është i lartë Korabi?

2.

Koha ndërmjet dy hënave të plota është 29d 12 h 44 min 3 s. Sa sekonda ka në këtënumër?

3.

Pyetje interesante

Nëse në orën 24 bie shi, vallë mbas 48 orëvekoha a do të përmirësohet?

SHNDËRIM I NUMRIT NJËEMËROR NË SHUMEMËROR5Kujtohu!

Numri 248 shënohet në formë të zbërthyer si nëmënyrën e mëposhtme:

428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8.

Shënoni numrat 764 dhe 8 053 në formë tëzbërthyer.

A

�

�

Vëre!

364 cm = 3 m 6 dm 4 cm

Më praktik!

Vëre!5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm

5 427 mm = 5 4 2 7

Ndërmjet shifrave të numrit duhet të ketë vende të zbrazëta;pranë shifrës në pozitën e njësheve duhet të shkruhet njësiamë e vogël (ajo është mm);pranë shifrës së dhjetësheve duhet të shkruhet njësia 10herë më e madhe (ajo është cm) etj.

E gjithë ajo është esaktë vetëm përnumra të emërtuarnë njësitë për gjatësi,masë dhe lëng.

195Shndërro në numër shumë emërorë, numrin: a) 5034 g; b) 2014 dl; c) 60308 mm.2

B

Shndërroje numrin 4837154 s në numër shumë emëror.3

4837154 s : 60 = 80619 min dhe mbetja 14 s

80619 min : 60 = 1343 h dhe mbetja 39 min

1343 h : 24 = 55 dena dhe mbetja 23 h

Nëse numrin e sekondave e pjesëton me 60, do të fitoni minuta dhe mbetja në sekonda.Nëse numrin e minutave e pjesëtoni me 60. Do të fitoni orë dh mbetje në minuta.

Nëse numrin e orëve e pjesëtoni me 24, atëherë çka është herësi e çka mbetja?

Vëreni kërkesat dhe caktoni zgjidhjen:

4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s.

Vëre! Kam vërejtur se: Anëtarët e numrit tëkërkuar shumë emëror janë: Herësi ifundit (55d) dhe tre mbetjet e tjera(23h, 39min dhe 14s)

Shndërroje në metra numrin 8,2 cm. Vëreji rregullat dhe krahasoje zgjidhjen.

Mënyra I

8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.

Mënyra II

Vendose numrin në tabelë me njësitë matëse.

km hm dam m dm cm mm

0 0 0 0 0 8 2


0 0 0 6 3 8 4

Presjen vendose pas njësisë matëse në të cilënshndërrojmë (m). Domethënë, 8,2 cm = 0,082 m.

Shndërroje numrin 6,384 m në numër shumë emëror.

Formo tabelë me njësi matëse dhe vendos në të numrin.Lexoje numrin.

Shndërroji numrat një emërorë: 324 min, 4526 ditë, 6462 g; 541203 m2 dhe 4142 l në numra shumëemërorë.

,

Prej tabelës lexohet: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.

, ,

4

5

6

7

�

��

kg hg dag g dg cg mg

0 9 7 5 3 0 2

Numri që është në tabelë paraqiteni si :a) Numër shumë emëror; b) Në dg; c) Në kg.

196 Duhet të dish!

Të shndërrosh numër një emëror në shumëemëror dhe të shfrytëzosh rregulla mëpraktike për shndërrim.

Shndërroje në numër shumë emëror numrin:

a) 6 475 mm; b) 3 604 ml; c) 24 300 s.

Testohu!

Detyra

Numrin një emëror shndërroje në numërshumë emëror:a) 3 402 mm; d) 4 007 cm;b) 47 063 dg; e) 47 632 mg;c) 1 035 ml; f ) 35 006 dl.

1.

Numrin një emëror vendose në tabelë,pastaj shënoje si numër shumë emërorë:a) 387, 25 m; c) 30, 02 dam;b) 320, 05 g; d) 401, 53dl.

2.

Shndërro numrin në shumë emëror papërdorur tabelë:a) 22.20 m; c) 5 302,67 g;b) 43, 15 l; d) 0, 237 kg.

3.

Hëna lëviz rreth Tokës për 2 551 443 s.Shndërroje këtë numër në shumë emëror(në ditë, orë, minuta dhe sekonda).

4.

OPERACIONE ME NUMRA TË EMËRTUAR6Kujtohu!

Numëroni njësitë për gjatësi, masë, lëng, kohë dhetemperaturë. Cila është njësia themelore matësepër secilën matje?

Shëno:a) 8 m 4 dm 3 mm në milimetra;b) 7 kg 5 dag 4 g në gram;c) 7 dal 7 l 5 dl në decilitra;d) 3 d 2 h 8 min në minuta.

Shënoni numrat si numër shumë emëror:a) 3 507 g; b) 7 402 dl; c) 4 005 m; d) 5 032 min.

Një dërrasë ka 2 m 7 dm 4cm kurse tjetra 3 m 2 cm. Saështë gjatësia epërgjithshme e dërrasave?Është e nevojshme tëcaktohet shuma e gjatësivetë dy dërrasave.Ajo mundet të bëhet në dymënyraVëre rregullën dhe krahasojezgjidhjen.

1A

2 m 7 dm 4 cm

3 m 0 dm 2 cm

2 m 7 dm 4 cm+ 3 m 0 dm 2 cm

5 m 7 dm 6 cm

Shkruaji numrat shumë emërorë ashtu që anëtarët të jenë njëri pastjetrit

Njehso shumën e çdo çifti të anëtarëve emëror të njëjtë.

I. �

�

197

+Vëre!

2 m 7 dm 4 cm 5 m 7 dm 6 cm+ =3 m 2 cm

+

Shumën e numrave shumë emërorë e caktova ashtu që i mblodha centimetra mecentimetra, decimetra me decimetra dhe metra me metra.

Vëre shumën enumrave 5 dm 9 cmdhe 3 dm 4 cm .

5 dm 9 cm

+ 3 dm 4 cm

8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm

Nëse një anëtar te shuma përmban njësimatëse më të madhe, atëherë ajo ishtohet anëtarit para tij.

II. Puno sipas kërkesës dhe vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes:

2 m 7 dm 4 cm = 274 cm

3 m 2 cm = 302 cm

274 cm +302 cm = 576 cm

576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

Cakto shumën e numrave një emëror të fituar.

Numrin një emëror të fituar shndërroje në shumë emëror.

2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cmVëre!

Shndërroji numrat shumë emërorë në numra një emëror në njësimë të vogël matëse ashtu që ato të jenë një lloj të emërtuar.

�

��

��

�

�

7 dm 4 cm

- 2 dm 6 cm

4 dm 8 cm

Ke vërejtur se:4 cm është më i vogël se 6 cm;prej 7 dm zbrite 1 dm;1 dm = 10 cm;

10 cm + 4 cm = 14 cm;

14 cm - 6 cm = 8 cm;

6 dm - 2 dm = 4 dm.

Vëre ndryshimin enumrave 7 dm 4 cm dhe 2 dm 6 cm.

Njehso: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm.Puno sipas këtyre udhëzimeve:

2

Njehso shumën e numrave 4 m 5 dm 3 mnt dhe 7 m 9 cm 8 mm.Prej shumës së fituar zbrite 3 m 3 dm 2 mm.

10 cm6 dm

��

3 Njehso 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Mund të njehsohet në dy mënyra:

Secilin anëtar të numrit shumë emëror shumëzoje me 3.Nëse gjatë shumëzimit fiton numër që përmban njësi më të madhe matëse, atë shtojanjësisë më të madhe përkatëse.

I.

B

198 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm�

�

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm.

Njehso 12 km 9 dam 6 m :3.Mundet të njehsohet në dy mënyra:

4

5 Njehso: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.

Çdo anëtarë të numrit shumë emëror pjesëtoje me 3;I.

12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m

Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror;

njehso herësin e numrin një emëror dhe numrit 3;

herësin e fituar shndërroje në numër shumë emëror.

II.

Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror (në mm);F numrin e fituar një emëror shumëzoje me 3;

II.

prodhimin e fituar shndërroje në numër shumë emëror.

Vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes.

Kështu është më praktike:

12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m.

��

6 Njehso: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g.Shumën mundet ta njehsosh në dy mënyra. Vepro sipas kërkesave:

Shkruaj numrat njërin nën tjetrin, ashtu qënumrat e njëjtë emëror të jenë në të njëjtënvijë vertikale.Kryeje mbledhjen e numrave të njëjtëemërorëNëse te shuma ka njësi matëse të madhe atështoja njësisë matëse më të madhepërkatëse.

MËNYRA I.

Shndërroji numrat shumë emërorë në numranjë emërorë në njësi matëse më të vogël (nëgramë).

Kryeje mbledhjen.

Shumën e fituar shndërroje në numër

MËNYRA II.

Shuma ose ndryshimi i numrave shumë emërorë të njësive për masë dhe të njësive për lëngcaktohet në të njëjtën mënyrë sikurse caktohet edhe për numra shumë emërorë te njësive përgjatësi. Në mënyrë të njëjtë shumëzohet, gjegjësisht pjesëtohet, numri shumë emëror të atyrenjësive me numër të emërtuar.

C

�

�

�

�

��

199

�

Krahaso zgjidhjen tënde me atë të dhënë:5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

Vëre se, që të mbledhësh dy numra shumë emëror sipas mënyrës së dytë, është nevojshme të dynumra shumë emërorë ti shndërrosh në një emërorë me njësi të njëjtë matëse.

5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4.

Kryeje shumëzimin dhe numrin e fituar një emëror shkruaje në atë shumë emëror.

�

�

Njehso: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.7

Cakto vlerën e shprehjes: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.

8

9 Numrin 5 t 642 kg 8 dag zmadhoje për 4 herë.

Njehso: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.10

11

12

13

Njomza ka lindur kur Agoni ka pasur 6 vjet 3 muaj 8 ditë. Tani Njomza ka 10 vjet 11 muaj24 ditë. Sa vjet ka Agoni.

D

Njehso: 6 vjet 3 muaj 8 ditë – 3 vjet 5 muaj 6 ditë : 9.Vepro sipas kërkesave.

Gazmendi qëndroi jashtë vendit gjithsej 8 vjet 7 muaj, kurse djali i tij Arbëri jeton 5 herë më pakkohë. Sa kohë Arbëri ka jetuar jashtë vendit?

Cakto shumën e numrave shumë emërorë.

Njësitë matëse më të mëdha mblidhi me njësitë matësepërkatëse më të mëdha.

Që të caktosh moshën e Agonit, duhet të veprosh në këtë mënyrë.

6 vjet 3 muaj 8 ditë+ 10 vjet 11 muaj 24 ditë

16 vjet 14 muaj 32 ditë1 vjet 2 muaj 1 muaj 2 ditë

17 vjet 3 muaj 2 ditë

5 vjet 6 muaj 12 ditë = 2017 ditë 3 vjet 5 muaj 6 ditë = 1251 ditë

2017 ditë 3 - 1251 ditë : 9 = = 6051 ditë - 139 ditë = 5912 ditë

365 = 165 vjet dhe mbetja 72 ditë 5912 ditë = 16 vjet 2 muaj 12 ditë

Shndërroji numrat shumë emëror në numranjë emëror (në ditë).Kryeji operacionet e shënuara me numrat efituar një emëror.Rezultatin e fituar shndërroje në numër shumëemëror 5912 ditë:

200Duhet të dish!

Testohu!

Të njehsosh shumën dhe ndryshimin enumrave shumë emërorë të njësive përgjatësi, masë, lëngje dhe kohë;

Njehso:

7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm -- 6 dm 8 cm 7 mm;

7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg;

7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl;

13 v. 6 muaj. 7 ditë. - 10 v. 8 muaj. 20 ditë

Njehso:

5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3;

2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2;

4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9;

6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9.

Shumën dhe ndryshimin e numrave shumëemëror ta kryesh në dy mënyra: mbledhja,gjegjësisht zbritja, e anëtarëve një lloj tëemërtuar ose me shndërrimin e numraveshumë emërorë në një emërorë;

Të njehsosh prodhimin, gjegjësisht herësin enumrit shumë emëror me numër tëpaemëruar në dy mënyra: me shumëzim,gjegjësisht pjesëtim të anëtarëve të numritshumë emërorë me numrin e paemëruar, oseme shndërrimin e numrave shumë emërorë nënjë emërorë.

Detyra

Njehso:

a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm;

b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m;

c) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.

1.

2. Njehso:

a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm;

b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm;

c) 9 m 7 cm 2 mm : 8;

d) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.

Njehso: A + B – C, nësea) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag; C =205 kg 6 dag.b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl; C = 1 l2 dl 3 ml.

3.

Nëse M = 6 l 3 cl, sa është: a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9.

4.

Firma ka fituar 8 arka me mall. Secila arkë ka1t 136 kg. Cakto masën e mallit të fituar.

5.

Në shitore është sjell 6 hl 3 dal 5 l lëng i cilido të shitet nga 45 denarë për 1l, dhe 154 kgmollë nga 30 denarë për 1 kg. Sa denarkushtojnë lëngu dhe molla së bashku?

6.

Njehso:7.12 kg 42 g : 9; 5 l 7 dl 4 cl : 7;

12 t 632 kg : 8.

Amvisja ka shpenzuar 13 kg 4 hg 4 dagmiell për 6 ditë.

8.

Sa miell mesatarisht ka shpenzuaramvisja?Sa miell ka shpenzuar 5 ditët e parë.

Treni sipas orarit mbërrin në ora 18,45 min.Nëse vonohet 1 orë e 42 min, në ora sa dotë mbërrij treni.

9.

201NJËSITË PËR SYPRINË7Kujtohu!

Cakto syprinën e drejtkëndëshit,sipas përmasave të dhëna.

1 Cakto syprinën e figurës në vizatim.

Me cilën njësi matëse e njehsove syprinëne figurës?

Syprina e Liqenit të Ohrit është 349 km2.2

3 cm

5 cm

Me cilën njësi matëse e shprehesyprinën e drejtkëndëshit? Me cilën njësi është shprehur syprina e Liqenit të

Ohrit?Numëro edhe njësi tjera për matjen e syprinës.

2 cm

1 cm

2 cm

1 cm

A

Njësia themelore matëse për syprinën është metër katrori (m2).1 metër katror është syprina e katrorit me brinjë 1 m.

Mbaj mend!

Njësitë matëse më të mëdha dhe të më vogla se metri katrori janë dhënë në tabelën që vijon.

Njësitë matëse më tëmëdha se 1 metër

katror janë:

dekametër katror(dam2)

hektometër katror(hm2)

kilometër katror (km2)

1 dam2

1 hm2

1 km2

1 dm2

⋅10000

⋅100

⋅1000000

:10000

:100

:1000000 1 mm2

1 cm21 m2

Vëre dhe mbaj në mend lidhjet ndërmjet metër katrorit dhenjësive tjera për syprinë.

1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2

1 ha = 100 a = 10 000 m2

1 a = 100 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

Për njësitë dam2 dhe hm2 përdoren emrat hektar (ha) dhe ar (a), dmth.1 ha = 1 hm2 dhe 1 a = 1 dam2.

Njësitë matëse më tëvogla se 1 metër katror

janë:

decimetër katror(dm2)

centimetër katror (cm2)

milimetër katror(mm2)

202

1 mm22 3 4 5 6 7 8 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

101

1 dm2

Konstrukto 1 decimetër katror, ndaje në centimetër katrordhe ngjyrose si në vizatim.

3

Cila njësi duhet të qëndroj te shenja * që të jetë e saktë:1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2

1 m2 = ∗ cm2 1 dm2 = ∗ mm2

1 m2 = ∗ mm2 1 cm2 = ∗ mm2

4

Sa cm2 ka në 1 dm2?

Cila syprinë është më e madhe: 1 m2 ose 100 dm2?

Të mbaj mend! Çdo njësi për syprinë është 100 herë më e vogëlse njësia që është menjëherë më e madhe se ajo.

1 cm2

Testohu!

Sa a) decimetra katror; b) centimetra katror kanë 5 m2?Sa a) hektometra katrorë (hm2); b) dekametrakatrorë (dam2); c) sa metra katror (m2) ka në3km2?Sa km2 ka në 200 ha?

Duhet të dish!

Cila është njësia themelore matëse përsyprinë;Të numërosh njësitë më të mëdha dhe ato mëtë vogla se metër katror;Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matëse përsyprinë.

Detyra!

1. Sa a) centimetra katror; b) milimetra katror ka në 7 dm2?

3. Shitet një livadh prej 2 ha. Pronari e kashitur ashtu që për çdo m2 ka fituar nga 240denarë. Sa denarë gjithsej ka fituar përlivadhin.

4. Gjatësia një dhome në formë tëdrejtkëndëshit është 8 m, ndërsa gjerësiaështë 6 m. Dhoma duhet të shtrohet mepllaka katrore me nga 100 cm2. Sa pllaka tëatilla janë të nevojshme për shtrimin edhomës me pllakë.

2. Oborri i shkollës në formë të drejtkëndëshitka gjatësi 65m dhe gjerësi 45m. Sa a) metra katror; b) ari ka ai oborr?

203NJËSITË PËR VËLLIMIN8Kujtohu!

Katrori K në vizatim përmbahet 8 herë tedrejtkëndëshi D.

Sa është numri matës i drejtkëndëshit D nëlidhje me katrorin K?

Këtu katrori K është marrë për „njësi katror",dmth. si njësi për matjen e drejtkëndëshit D.

Çfarë paraqesin 8-katrorët K për drejtkëndëshinD?Cilët njësi për syprinë i di?

Konstato me numërim, prej sa kubevetë atillë përbëhet kuboidi T(gjegjësisht sa herë kubi S përmbahetnë kuboidin T).

K D

1 Në vizatim është paraqitur kubi Sdhe kuboidit T. Kuboidi T përbëhetprej kubeve të barabartë me kubin S.

Vëre!Kuboidi T përfshin saktësisht 6 kube, tëbarabartë me kubin S, prandaj themi se: numrimatës i kuboidit T në lidhje me kubin S është 6,ose: vëllimi i kuboidit T është 6 në lidhje mekubin S.

Kubi S është marrë për „kub njësi", dmth. si njësi për krahasimin e vëllimit të kuboidit me vëllimin ekubit S.

YT

Të mbaj mend! Që të masim vëllimin e ndonjë kuboidi, duhet të numëroj sa kube njësimundem të vendos te kuboidi.

A

Mbaj mend!

Kubin që e zgjodhëm për matjen e kuboidit quhet kub njësi. Numri matës i atij kuboidi në lidhjeme kubin njësi quhet vëllim i kuboidit.

Njësia themelore për matjen e vëllimit quhet metër kub. Shkruajntë: 1 m3, Lexojmë: një metërkub. Metër kub është vëllimin që e përfshin kubi me brinjë 1 m.

Përdoren edhe njësi të njohura më të vogla se metër kub. Shihe tabelën.

Njësi matëse më të vogla semetër kub:

decimetër kub (dm3)

centimetër kub (cm3)

milimetër kub (mm3)

1 dm3

1 cm3

1 mm3: 1000000000

: 1000000

: 1 0001 m3

204 Të mbaj mend! Një njësi për vëllim është 1 000 herë më i madh se njësiaparaprake e saj.

Te pasqyra e dhënë për lidhjen ndërmjet njësive matëse për vëllimin kemi:

1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3

= 1 000 000 cm3 = 1 000 000 mm3

= 1 000 000 000 mm3 1 cm3 = 1 000 mm3

2 Sqaro pse 1 dm3 ka 1 000 cm3.

Vëre vizatimin (në faqen që vijon) dhe puno sipas rregullës.

Sa kube me vëllim 1 cm3 mundesh të radhisësh njërën pranë tjetrës nëpër tehun e kubit me vëllim1 dm3?

Sa rreshta të atillë të nevojiten që të mbulosh bazën e kubit prej 1 dm3?

Sa shtresa të atilla të nevojiten që ta plotësosh kubin prej 1 dm3?

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

109

87

65

43

21

205Vëre!

Nëpër teh mund të radhisësh 10 kube me vëllim 1 cm3;

të duhen 10 rreshta nga 10 cm3; dmth. 100 cm3;

të duhen 10 shtresa nga 100 cm3, dmth. 1000 cm3.

��

1 cm3

3 Duke numëruar konstato prej sa kube me vëllim 1 cm3 përbëhet figura(kuboidi)?

Prej 12 kubeve me vëllim 1 cm3 formo një kuboid. Atë mundesh ta bëshedhe në tre mënyra përveç kësaj që është treguar. Përpiqu!

Testohu!

Sa herë njësia matëse 1 m3 është më e madhese 1 cm3?

Sa herë njësia matëse për vëllim është më emadhe nga njësia paraprake matëse?

Sa a) dm3; b) cm3 ka në 5 m3?

Duhet të dish!

Cila është njësia themelore matëse përvëllim;Ti numërosh njësitë më të mëdha dhe atomë të vogla për vëllim se një metër kub;Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matësepër vëllim.

Detyra

1. Numëro njësitë matëse për vëllim që janëmë të vegjël se m3.

2. Sa dm3 ka në 4 m3?

3. Sa m3 ka në:a) 7 000 dm3; b) 500 dm3;c) 200 000 cm3?

4. 27 650 mm3 shkruaje në cm3.

Problemet!

Ke dy enë prej 3 l dhe 5 l.Me ndihmën e këtyre enëve mati 4 l ujë.

3 l 5 l

206 VËLLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT9Kujtohu!

Duke i numëruar kubet prej të cilëvepërbëhet kuboidi, cakto vëllimin e tij.

Kuboidi 1 përbëhet prej 12 kubeve mevëllim prej 1 cm3.Prandaj kuboidi 1 e ka vëlliminV1 = 12 cm3.

Cakto vëllimin e kuadrit 2 dhe kuadrit 3 .

1 cm3

1 2

3 Vëre në pllakën e sipërme shirita të “gjelbër”, „tëverdh" dhe „kaltër”.Nga sa kube njësi, konkretisht nga sacentimetër kub ka çdonjëri?

Ke vërejtur se edhe në pllakën e poshtme („tëkuqe") ka aq kube njësi, dmth. po aqcentimetër kub.Gjithsej sa kube njësi ka, dmth. centimetër kubka kuboidi?

1 Njehso vëllimin e kuboidit nëvizatimi, nëse gjatësitë e teheve të tijjanë: 3 cm, 4 cm dhe 2 cm.

1 cm

1 cm1 cm

2 Cakto vëllimin e kuboidit me përmasa:

a) 5 cm, 6 cm dhe 10 cm; b) 16 cm, 2 dm dhe 5 dm; c) a cm, b cm dhe c cm.

3 Klasa e ka formën e kuboidit me gjatësi 11 m, gjerësi 7 m dhe lartësi 3 m. Sa metër kub kahapësira e klasës?


Në kuadër ka (3 ⋅ 4) ⋅ 2 kube njësi, gjegjësisht (3 ⋅ 4) ⋅ 2 centimetër kub.

Vëllimi i kuadrit është 24 kube njësi, gjegjësisht 24 cm3.

Shkruajmë: V = 24 cm3

ku V është shenja për vëllim, ndërsa24 është numri matës i vëllimit. Sigurisht vërejte se ai është ibarabartë me prodhimin e numrave matës të tre teheve fqinje të këtij kuadri, ato quhen gjatësia,

gjerësia dhe lartësia (ose shkurtimisht dimensionet) e kuadrit.

A

207

Kujtohu!

Mbaj mend!

Vëllimi V i kuboidit me përmasa a, b dhe c njehsohet me formulënV = a ⋅ b ⋅ c.

a

bc

4 Tehet e një kuboidi janë: a = 6 dm, b = 8 dm dhe c = 9 dm. Me ndihmën e formulës njehsovëllimin e kubit.

Vëre tehet e figurës. Si janë ndërmjet veti?

Figura në vizatim ështëformuar prej kubeve tëbarabartë me teh 1 cm.

A mundet kjo figurë të emërtohet si kuboidme përmasa të barabarta?

Si është emri i saktë i asaj figure?

Duke numëruar konstato se prej sa kubeve

përbëhet ajo figurë?

5 Njehso vëllimin e kubit me teh 5 cm.

Si janë tehet e kubit ndërmjet veti?

Konstatove se kubi është kuboid, i cili i ka tehete barabartë; a = b = c.

Shfrytëzoje formulën për vëllimin e kuadrit dheme ndihmën e saj njehso vëllimin e kubit.

V = a ⋅ a ⋅ a ose V = a3

a3 lexohet “a në të tretën” ose “a në kub”.

Mbaj mend!

Vëllimi V i kubit me gjatësi të tehut a njehsohet sipas formulës V = a3.a

a

a

Vrojtove se vëllimin e kuboidit do ta njehsosh, nëse i shumëzon përmasate tij.

6 Njehso vëllimin e kubit me përmasa:

a) 6 cm; b) 30 cm në dm3; v) 24 dm në m3.

Udhëzim: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3,

përkatësisht V = 27 dm3.

7 Cili ka vëllim më të madh – kubi me teh 14 cm apo kuadri me përmasa 12 cm, 14 cm dhe 15 cm?

1 dm3

B

208

1 dm3

1 l

Mbaj mend!

Njësia themelore për lëng quhet litër, dmth.litri është emër tjetër për decimetër kub

C

Kujtohu!

Si quhet njësia themelore për lëng?

Kutia në formë të kubit me teh 1 dm a zë 1 lujë mineral?

Provoje këtë në shtëpi sipas mundësive.

Sa është vëllimi i kuboidit me përmasa 2 m, 3m dhe 10 m?Sa është vëllimi i kubit me teh 7 cm?Sa litra ujë zë ena në formë të kubit me tehun3 dm?

Duhet të dish!

Si njehsohet vëllimi i kuboidit;

të njehsosh vëllimin e kuboidit, nëse janëdhënë përmasat e tij;

se kubi është kuboidit tehet e të cilit janë tëbarabartë ndërmjet veti;

të njehsosh vëllimin e kubit nëse është dhënënjë teh i tij;

Detyra

Njëri teh i kuboidit është 8 cm, kurse dy tëtjerë janë të barabartë dhe më të vegjël se ipari për 3 cm. Sa është vëllimi i kuadrit?

1.

Gjej kuti për këpucë, mat çka është enevojshme dhe njehso vëllimin e saj

2.

8 a) Sa decimetër kub ka në 12 l? b) Sa ka në 60 dm3?

Vëllimi i një hapësire në formë të kuboiditështë 108 m3. Gjatësia është 9 m, ndërsagjerësia 3m. Sa metra është e lartëhapësira?

3.

Një kub e ka syprinën 24 cm2. Sa ështëvëllimi i tij?

4.

Një tra prej pishës ka gjatësinë 7 m. Në skajeka formën e katrorit me dimension 30 cm. Sametër kub ka trau?

5.

Një kub e ka vëllimin 8 dm3. Njehso syprinëne kubit.

6.

Akuariumi me gjatësi 70 cm, gjerësi 40 cmdhe 108 m3. është mbushur me ujë deri në30m lartësi. Sa litra ujë ka akuariumi?

7.

Testohu!

209Hulumto vet!

Muaji Janar Shkurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator

Shpenzimi i ujit në m3 29 24 23 25 27 28 31

Një familje ka bërë kontroll për shpenzimet e ujit për 9 muajt e parë të vitit. Në tabelë janë dhënëshpenzimet e ujit për çdo muaj në m3.

1

27 27

Njehso!

Sa metër kub ujë ka shpenzuar familja për 9 muaj?

Cakto mesataren aritmetike të ujit të shpenzuar për nëntë muaj. Sa metër kub ujë, mesatarishtshpenzon familja çdo muaj?

Bëj tabelë e të dhënave për paratë e shpenzuara të familjes për çdo muaj. Çmimi i ujit është 29,9denarë për m3.

Cakto mesataren aritmetike për paratë, që i shpenzon familja çdo muaj?

Bëj diagram shtyllor për ujin e shpenzuar (në m3), gjatë nëntë muajve.

Paraqite në të mesataren aritmetike.

Cakto nga diagrami në cilin muaj shpenzimi i ujit ka qenë më i lartë se mesatarja aritmetike.

Njehso mesataren aritmetike të suksesit nga lënda e matematikës në paralelen tënde.Njehso suksesin tënd mesatar në fund të vitit shkollor.

2

Çka duhet të qëndroj në vend të *, që tëjetë e saktë?

a) 6 m = 60 *; b) * km = 1 200 cm;c) * l = 3 000 ml; d) 2 dl = 200 *.

MËSOVE PËR MATJE.

KONTROLLO DIJENIN TËNDE.17

1.

Çka duhet të qëndroj në vend të **, që tëjetë e saktë?

a) 4 kg = 400 *; b) * s = 6 min;c) 2 h = * min; d) 5 OC = ∗ K.

3.

Shkruaj numër të emëruar që është i llojittë njëjtë me numrin e dhënë, por të mos

jetë një emëror me të:a) 4 kg; b) 7 km; c) 36 min.

5.

a) shndërro 6 h 12s në minuta

b) Shndërro 7 dal 3 l 5 cl në decilitra.

c) Shndërro 4 km 7 m 14 dm në dekametra.

d) Shndërro 6 dag 12 g në gramë.

7.

Shndërro numrin shumë emëror në njëemëror, në njësinë më të vogël matëse të

shkruar.a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm;c) 9 dal 8 l 5 dl; d) 2 h 17 min 14 s.

6.

Sa herë është më e madhe:a) 4 km nga 400 m;b) 6 t nga 300 kg;c) 2 l nga 200 ml?

8.

Shndërro:a) 1 m 5 dm 3cm në centimetra;b) 3 l 3 cl në decilitra;c) 2 kg 3 hg 4 mg në dekagram;d) 6 h në ditë.

9.

Shndërro në numër shumë emëror nënumrin:

a) 3 126 cm; b) 12 488 hg; c) 231 dal

10.

Kryeji operacionet:

a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g;

b) 12 488 hg - 12 kg;

c) 12 km - 6 dam 9 cm;

d) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.

11.

Numrin:a) 6 t 228 kg zvogëloje 9 herë;b) 2 km 8 dm zmadhoje 5 herë.

12.

Shëno tre njësi për syprinë më të mëdhenjse 1 cm2.

13.

Sa herë 2 m2 është më e madhe se 4 cm2?Sqaro përgjigjen.

14.

Shëno tre njësi për vëllim më të vegjël se1 m3.

15.

Një hapësirë ka dimensione 4 m;

5 m; 3,5 m. Cakto vëllimin e asaj hapsire.16.

Një kub ka vëllim 27 cm3. Cakto syprinën enjërës faqe të kubit.

17.

Shndërro 6 dal në dl.2.

Shndërro 2 m 5 cm në decimetra.4.

210

211PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE

TË

TEMA 1. NUMRA NATYRORË

A: a, r; plepi;A={a,r}; B = {x | x është shkronjë e fjalës plepi};e, p ∈ B; b, k ∉ B.

1.

3.

1

A

3

5 6 8 9

7

B

42

1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170,

171, 172, 173, 174; janë shkruar me shifrat1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dhe 0;

A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.

2.

4.

3.

70, 80, 90, 110, 130, 150; me shigjetë ështëtreguar numri 35 (tridhjetë e pesë) dhe numri 59(pesëdhjetë e nëntë).

S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 është më i vogël te S; S nukka element më të madh; S ka pafund shumë ele-mente.

2.

1.

2.

3.

D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x është numërçift më i vogël se 11}; D dhe N janë ekuiva-lente, pasi kanë numër të barabartë :δD = 5 dhe δN = 5.

(2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).2.

M

N

Ca D

S

y

UP

K

Është e saktë se y ∈ P, pasi K është nën bashkësie P, pra për çdo element K (ndërmjet tyre edhe y) itakojnë bashkësisë P.

4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

0 2 4 6 8 10 14 16 20

1.

a) 2; b) 8; c) 7 dhe 3.

3.

S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2),

(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.

4.

A × B = {(Arlindi, këndon), (Arlindi, fle), (Arlindi,mëson), (Njomza, këndon), (Njomza, fle), Njomza,mëson), Agoni, këndon), (Agoni fle), (Agonimëson)}.

1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 (M - bashkësia e shokëve të që ishin përpushim në planetin Mars.).

2. δA = 5; δB = 4. 3. δA = 98; δB = 17.

Problem: Bashkësia e tre pyetjeve të parë janë tëfundme, kurse bashkësia e pyetjes së katërtë nuk ështëe fundme.

Problem. Blerësi ka blerë numrat 1, 2 dhe 3 për numrine shtëpisë 312.

1. a)Unioni b) ndryshimi. c) Prerje.

3. a) P ∪ S është bashkësia e të gjithë numrave tëdhjetëshes së parë; b) P ∩ S është bashkësi ezbrazët; c) P \ S është bashkësia P; d) S \ P ështëbashkësia S.

2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r};δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.

detyrave

1

2

5

6

1.

2.

a) 5 është në klasën e milionët, 2- në mijëshe,7- në njëshe, 0- në mijëshe.

3. 8 302 060 400 500.

b) 5 është në pozitën e njësheve milion (NjMi), 7 ështëte dhjetëshet (Dh), 0 është në dhjetëshe mijësheve(DhM) c) 5 ka vlerë pozicionale 5 000 000, 2 ka 200000, 7 ka 70, 0 ka 0×10 000=0.

7

3

4klasa milion klasa mijëshe klasa njëshe

QMi DhMi NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj

7 4 0 5 9 0 6

1. 1, 2, 5 dhe 7. Të gjithë pjesëtuesit e numrit 64

1. 28, 70, 96 dhe 25 000 plotpjesëtohen me 2,pasi mbarojnë me 0, 6 ose 8

3. 275, 400 dhe 995. 4. 65.

2. Shembulli 1): 4 është pjesëtues i çdonjërit prej

3. a) dhe c) po; b) dhe d) jo. 4. a) c) dhe d) me 3; b)

5. B = {16, 24, 32}.

5. Tufa e dallëndysheve ka fluturuar më

2124. 1 000 000 000, një miliardë.

5. Numri 5 lexohet: ”pesë’; shifra 5 lexo-het: “pesë”.

6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000;bilion.

Problem. 7 777 777.

Problem. 22 + 22 + 222 = 266.

Problem! 100. Zgjidhje.

Përpiqu të zgjedhësh. Për shembull: 1) Numri i kanalit tënd të preferuar televiziv. 2) numri i pasaportës.

1. Dy mijë treqind e dyzet e pesë; dyqind e

2. 300 205 800.

4. Është më afër: a) me 24 600; b) me 25 000.

5. 25 380; 25 400; 25 000.

7. Nuk ekziston; (një milion e dyqind e gjashtëmbëd-hjetë mijë e treqind e pesëdhjetë e 8 denarë.

6. 15 410 000.

3. <; >; >; <.

pesëdhjetë; gjashtë milion katërqind mijë treqind edhjetë.

8

14

15

16

18

19

10

11

12

13

54 18 3

108 36 6

18 6 1

1. 187; 99; 171. 3. 238; 174;

4. 13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;

2. 2 026.

9 060.

1. 962; 11 115. 3. 2 845; 5 185.

4. Përafërsisht: 16 qindëshe; saktësisht: 1 770 den.

Përpiqu: Po.

Problem interesant! 31 vezë. Udhëzim. Blerësi i pestëka blerë 1 vezë, i katërti ka blerë 2 • 1 + 1 = 3 vezë, itreti ka blerë 2 • 3 + 1 = 7 vezë etj.

2. 495.

1.

1.

6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;

1. Shuma do të zmadhohet për 234.

për 25.

(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.

3. Za x = 13.

2. 11 760. 3. 382 200 km.

4. a) 30 000; b) 35 100; saktë: 34 036; prodhimi i vlerë-suar nën a) është më i vogël se i sakti për 4 036,,ndërsa nën b) është më i madh për 1064.

5. Sipas radhës së paraqitjes së *: 4, 0, 1, 0; 439 • 47 = 20 633.

4. I zbritshmi duhet të zmadhohet

5. a) 100; b) 100; c) 80; d) 110.

6. 600 denarë.

2. 1 550.

343; 69.

:3 :6

84 12 6

98 14 7

42 6 3:7 :2

2. 8; 171; 76; 7; 12; 13.

1. a) 180; b) 420; c) 15; g) 60.

1. a) 48; b) 225. 2. a) x = 110; b) x = 200;

3. 305 arka. 4. 35 vjet. 4. Nga 20 arra.

c) x = 17; d) x = 120; e) x = 21; f ) x = 3.

janë: 1, 2, 4, 8,16, 32 dhe 64. Është saktë 4 | 12, 3 | 36 dhe10 | 1 000. Shumëfisha të numrit 3 janë, për shembull: 3,6, 9, 12, 15, 18, 21, kurse ka shumë të panumërta.

numrave 8, 20, 28 dhe 36; shuma e tyre është numri 92,kurse 92 : 4 = 23, dmth. edhe 92 plotpjesëtohet me 4.Domethënë 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Shembulli 2): 8 | (48 -36), sepse 8 | 48 dhe 8 | 36. Shembulli 3): 7| 21 • 5 • 6,sepse 7| 21.

2. a) 450;

b) 15; c) 90; d) 90.

768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32.

3. a) 16; b) 4; c) 16.

4. 5 040. 5. 32. Zgjidhje. 7 680 : 240 =

3. 145; 707; 700.

4. 20; 8.

6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.

shuma e saktë është: 13 763.

së paku 250 orë. Kërmilli ka kaluar 5 cm për një minutë.Zgjidhje. Pasi kërmilli ka kaluar 12 m për 4 orë, ai kakaluar nga 3 m në orë, dmth. 300 cm për 60 minuta,kurse kjo do të thotë 5 cm (= 300 : 60) për 1 minutë.

dhe d) me 7

213

1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 dhe 4 312.

Kujdes: me shifrat 1, 2, 3 dhe 4 mund të formosh 24numra katërshifror; prej tyre vetëm 6 numrat emësipërm janë të plotpjesëtueshëm me 4.

ose 8.

1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;

2. 27.

3. 1( fëmijë), 3 (adhurues), 2 (automobil) dhe 4(dhoma

4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =

1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. c) 30. d) 60.

1. {30, 60, 90, ...}; PMP (10, 15) = 30.

2. a) 40. b) 36. c) 240. d) 720.

5. Ndihmë. shkruaji shumëfishat (deri më 30) të çdon-

3. 300.4. 120.

6. 60 s.

3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= PMP (48, 72)] 5. 12 m.

6. 24 [= PMP (48, 72, 120)].

7.1. 348, 1 245 dhe 6 123. 2. 9 126 dhe 540.

4. 7; 1; 6; 7. 5. 2 ose 8.

3. 1, 4 ose 7; 1, 4 ose 7; 2, 5 ose 8; 1, 4 ose 7.

2. 0, 4 ose 8; 2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 9; 0, 2, 4, 6

3. Na pr.: 20; 160; 3 240. 4. 312.

20

21

22

23

24

Përpiqu të përfundosh! Numri 60 është i plotp-jesëtueshëm me 3 dhe vlera e tre çokollatave pavarësishtnga çmimi i tyre është e plotpjesëtueshme me tre.Prandaj, edhe shuma e përgjithshme duhet të plotpjesë-tohet me tre. Por, shuma e përgjithshme (220) nuk ështëe pjesëtueshme me tre.

Edhe kjo është matematikë! Lojtari i cili merr i pariduhet të merr 2 fasule dhe lojtarit që merr i dyti ti lë 48fasule, gjegjësisht numër të plotpjesëtueshëm me 4.Pastaj, sado që të merr lojtari i dytë, i pari i lë numër tëplotpjesëtueshëm me 4, gjegjësisht lojtari i parë plotë-son deri në 4 (i dyti 1, i pari 3; ose i dyti 2, i pari 2; ose ipari 3, i dyti 1) etj. Numri 20 është i plotpjesëtueshëmme 4, prandaj gjithmonë fiton lojtari i cili merr i dyti.Nëse merren prej 1 deri 4 fasule, gjegjësisht prej 1 deri5 fasule, atëherë kujdesemi për për plotë pjesëtuesh-mërinë me 5 gjegjësisht plotë pjesëtueshmërinë me 6.

Hulumto vet! Ngjashmëritë e numrave 12 dhe 16: që të dyjanë të përbërë; që të dy janë çift; që të dy janë të plotëpjesëtueshëm me 4. Ndryshimet; numri 16 është katrori inumrit (16 = 42), ndërsa 12 nuk është. 12 ka numër çift tëpjesëtuesve (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), ndërsa 16 ka numërtek të të pjesëtuesve (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}).

Përpiqu të njehsosh! 8; 24=PMP(8, 12).

B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19},

Problem interesant! Një biletë ka kushtuar 10 denarë;njëri prej tyre nuk ka pasur pare (gjegjësisht “kishte 0denarë”), ndërsa tjetri kishte 19 denarë.

Hulumto vet! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.Udhëzim: Vëre së mbetën të ndriçojnë ato llamba,ndërprerësi i të cilave është shtypur numër tek herë, eato janë llambat numri i të cilave ka numër tek tëpjesëtuesve. (Numra të atillë janë katrorët e numravenatyrorë: 12, 22, 32, 42 etj.).

75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.

të fjetjes).

41 + 11 = 29 + 23.

1 3 927

26 18

364 12

54�PMP

1

7

49

23

4228 98

�PMP

211464

jërit prej numrave 3, 4, 5, kurse pastaj provo cili prejshumëfishave të 5 është më i madh për 1 edhe prejshumëfishave të 3 edhe prej shumëfishit të 4, njëkohësisht.

a) A = {11, 13, 15, 17, 19};

B ∩ C = {17, 19}.

b) c) B ~ C,

B ∩ C ~ B \ C.

1.

A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1),

(c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.2.

a) 910, 901, 190, 109; 3.

20 350 005 070; Shifra 3 është në klasën e mil-4.

Test:

11 17 16

181913

B C

b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Më i vogli është 109;paraardhësi është 108, ndërsa pasardhësi është 110.

ionët, në pozitën e qindësheve milionave dhe ka vlerë300 000 000.

3.

2.

4.

3.

4.

m

S M N P

5. MR = 3 cm, RY = 9 cm.

1.

1.

Pjesë e drejtëzës e kufizuar me pikën e saj.

Gjatësia e segmentit AB është largesa ndërmjetpikave të skajshme A dhe B.

2.

3.

Konstruksion quhet vizatim që bëhet me vizor dhekompas.

5.

6.

7.

Dy segmente që kanë gjatësi të barabarta quhensegmente të puthitshëm.

C O B

Ap

K P S N LM

p

E F G

A

S

V Pikat A, B dhe C formojnë 3segmente: AB, AC dhe BC.

Pikat E, F dhe G formojanë 3 segmente: EF, EGdhe FG.

8. CD = 4 cm.

OM = 6 cm; ON = 9 cm.

O A B S

4. a b

OA = 2a + ba

a b b

a bO A H

M N R

MN = a + 2b

AV = 83 mm.

214

1.

1.

3.

4.

2.

3.


A

aB C M

bN P

A a

c b

B

C

Pikat A.

a) Pikat: A, B dhe C; D, B dhe E.b) Pikat: A, B dhe E; A, D dhe B; D, B dhe C.

4.

5.

Drejtëza MN, Drejtëza MP, Drejtëza NP.

A

D C

B Pikat A, B, C dhe D për-caktojnë 6 drejtëza.

Pa

b c

2.

BD

C

A

E njëjtë, 2.Pika e për-bashkët nëdrejtëzat AB,BC dhe BDështë pika B.

Rasti i I:

Rasti i II:

një drejtëz.

tre drejtëza.

A B C

A B

Caa || b.b

5.m

n || p.pn

1. AV = 70 - 42 = 28 t.e. AV = 28 mm.

2. Pikat K, L dhe M janë kolineare.(30 mm + 52 mm = 82 mm).

Shuma e numrave të rrumbullakuarështë 9 000; ai është më i vogël seshuma e saktë për 24.

5.

Ndryshimi do të zmadhohet për 300.6.

13 500 l.7.

2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 912.

315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7.13.

SHVP(30, 50)=150, 150:30=5. Në vend të njëjtë do17.

NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72. 15.

4 ekipe nga 8 nxënës, prej të cilëve 3 vajza dhe 516.

D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}.14.

18; numrin që e kanë pjesëtuar

është 324.

kali 39kg.

b) 105 dhe 930; c) 105, 372, 801 dhe 930; d) 801.

djem; PMP(12, 20)=4.

të mbesin shtyllat: e parë, e pestë, e dhjetë etj.

8.

67 kg. gomari mban 28kg, ndërsa9.

471.10. a) 372, 930 dhe 254;11.

14

5

2

3

215

OA = a + b - c

5.a

bOA = a - ba - b

bO A H

a + b - cO A

a - 2bb bR M Y

PM = a - 2b

AB = 250 cm.

1.

1.

1.

3.

2.

A B

CD Vija e thyer ka: 5

kulme - A, B, C, D dheE. 5 brinjë - AB, BC,CD, DE dhe EA.

4. Perimetri i vijës sëthyer D është shumae gjatësive të brin-jëve të saj.

6.

5.

L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158,

t.e. L = 158 mm.

A B

C

D

EF

G

Pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa.

2. Koncepte të nxjerra janë: segmenti, gjysmë-drejtëza dhe figura gjeometrike.

1. 14 katrorë;

2. 15 drejtkëndësha; 3. 20 trekëndësh

barabrinjës.

2. Rrezja e rrethit është segment që e lidhqendrën me çdo pikë të rrethit dhegjatësia e saj është rreze e rrethit.

5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e.d = 56 mm.

6. r = 50 : 2 = 25, t.e.r = 25 mm.

3. a) Gjatësia e segmentit është largesa ndërmjetpikave të skajshme të segmentit. b) Perimetri ivijës së thyer është shuma e gjatësive të brinjëvetë tij.

1. Pikat e brendshme janë A dhe D.

2. Pika të shtrihet (ti takoj) në vijën rrethore dhe pikatë mos shtrihet (mos ti takoj) në vijën rrethore.

4. Tangjente është drejtëza që kanjë pikë të përbashkët merrethit.

5. Drejtëza e pret rrethin - kanë dy pika të përbashkë-ta; drejtëza e takon rrethin- kanë vetëm një pikë tëpërbashkët; drejtëza dhe rrethi nuk kanë pika tëpërbashkëta.

6. Drejtëza a.

4. Bashkësi pikash.

Pika O nuk i takon rrethit.

O

k

3. Ok

a

6. ab c

6

7

8

9

10

11

Provo…

Përpiqu!

1. Zgjidhja është dhënë në vizatim. 2. Figura c) nuk mund të vizatohet” menjë lëvizje”.

7. Ok

t AO2

I k2k1

O1

1.

O2

II k2

O1

k1O1

k12. O2k2

k14. k2

3. k1 dhe k2 janë rrathë bashkëqendror - nuk kanëpika të përbashkëta.

O1 = O2

k15. k2

O1

O2

O1O2 = 12 mm.6.

1. Në gjysmërrafshin e njëjtë me pikën A shtri-hen pikat: B, E, C dhe H.

2.

3.

Kulmi O dhe krahët OA dhe OB; A, O, B, D dhe Ejanë pika nga zona.

Këndi NMP.

M N

P4.

α β

216

1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’.

2. α + β = 117o 11’ 32’’;

α - β = 35o 53’ 52’’.

3. a) 53o 20’;

b) 47o 17’ 18’’.

4. a) β = 101o 30’; b) β = 114o 24’ 35’’.

6.

βα

O∢AOB = 2α - β

A

B

1. Këndet krahët e të cilit formojnë një drejtëzquhet kënd shtrirë.

1. ∢AOV dhe ∢VOS; ∢VOS dhe ∢COD;∢AOS dhe ∢SOD; ∢AOV dhe ∢BOD.

2. Këndi që është sa gjysma e këndit të drejtë ështëkënd i ngushtë.

2. Kënd i puqët i α ështëkëndi β. Të puqët janëedhe këndet γ dhe δ.

3.4.

5.6.

O A P

N

M

V

MOR

N

3.β α

β është kënd i ngushtë

5. Të kryqëzuar janë këndet: 1 dhe 3; 2 dhe 4; 5 dhe 7dhe 6 dhe 8.

1. ∢BOC = 60o, ∢BOD = 95o, ∢COD = 35o,

∢BOM = 124o dhe ∢MON = 56o.1.

1.

2.3. 4.

Këndi kulmi i të cilit gjendet në qendrën errethit quhet kënd qëndror. 2.

3.

α = 50o dhe β = 125o. 4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’;

b) 30o 15’ = 1 815’.

5. β, α, δ, γ.47o 126o

O A P M

V N

O

A

V

α

β

O

N

M

O

B

A

P

N

M

4. Kënde të kryqëzuar janë dy kënde që kanë kulm tëpërbashkët dhe krahët e njërit janë vazhdimet ekëndit tjetër nëpër kulm.

βα

O

∢AOB = α + β

A

B

4. βαO∢AOB = α - β A

B

3. β γα

O∢AOB = α + β + γ A

B

2. α

O

∢AOB = 2α

A

B

5. βαO∢AOB = α - β A

B

a) Kënd i ngushtë; b) Kënd i drejtë; c) Kënd i gjerë; d) Kënd shtrirë;

Kënd i gjerëose kënd ingushtë;

12

13

14

15

16

17

5. Gjysmëdrejtëzat OA, OB dhe OC formo-jnë 3 kënde dhe atë: ∢AOB, ∢BOC dhe∢AOC.

α

Përpiqu!

Ka 10 kënde ∢AOB, ∢AOC, ∢AOD, ∢AOE, ∢BOC,∢BOD, ∢BOE, ∢COD, ∢COE, ∢DOE. Ka 5 çifte këndefqinje: ∢AOB dhe ∢BOC; ∢AOB dhe ∢BOD; ∢AOBdhe ∢BOE; ∢BOC dhe ∢COD; ∢BOC dhe ∢COE;∢COD dhe ∢DOE. Ka tre çifte të këndeve të puqëta:∢AOB dhe ∢BOE; ∢AOC dhe ∢COE; ∢AOD dhe∢DOE.

Përpiqu!

Vizato rrethin me qendër në kulmin e këndit ∢AOB =

19o. Pasi që 19 ⋅ 19 = 361, e këndi i plotë është 360o,rrjedh se, nëse këndin prej 19o e bartësh 19 herë nëpërrrethi me kulm në pikën O, do të fitosh ndryshim pre1o.

që priten).

2171.

2.2.

3.

Largesa e pikës M deri të drejtëza p ështëgjatësia e segmentit MN, ku N është prerje e

1. Kënde komplementare janë b) dhe nën c).

1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.

4. L = 30 cm. 5. a = 10 cm.

6. b = 10 cm. 7. L = 54 cm. 8. a = 9 cm.

9. 30 mm.

3. a = 15 cm.

1. Vijë poligonale është vija e thyer nën b).

1. Shumëkëndëshi te i cili të gjitha pikat e seg-mentit pikat e skajshme të të cilit shtrihen teshumëkëndëshi, janë pika të shumëkëndëshit

Kulme fqinje të B: A dhe C.Brinjët jo fqinje të BC: AEdhe ED.

3. Te shumëkëndëshi ABCD shtrihen pikat: A, M, B, C,D, F dhe G.

2.

3.

Shumëkëndësha janë vijat e thyera nën b) dhenën c).

4. Nuk janë fqinje me kulmin Dkulmet A dhe B.

5. Brinjë fqinje të brinjës MN janë B brinjët ML dheNP.

4.

5.

6.

Kënde suplementarjanë nën b) dhe c).

2.

3.

β = 90o - 39o = 51o.

O

BC

A

∢MOP = 42o

M

N

m

MN = 10 mm

4. P

S

m

PS = 2 cmAD = 16 mm

1.

3.

4. 7.

5.

∢AOB = 70o

AM = 25 mm. 2. MN = 7 cm.

A M V

s

A

s1

s2

B

C

α6.

βα

α + β = 90o. α + β = 180o.

β = 180o - 76o = 104o.

β α

α

A

C D

B

2.

18

19

20

21

22

23

drejtëzës p dhe normales së p që kalon nëpër M.

Ndihmoji kopshtarit!

Kopshtari duhet ti mbjellëfidanët si në vizatim.

quhet shumëkëndësh konveks.

C

D

E

BA

A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q;1.

Po; BC = CA + AB.2.

Poligonale janë dhe �. Nuk janë poligonale:5.

54 mm.6.

∢AOB- i ngushtë; ∢AOC- i gjerë; ∢AOD- i plotë.

∢AOC ështëkënd shtrirë;

9.

Këndi është i gjerë;90o 35’ = 5 435’.

13.

β = 44o 24’ 15’’.14.

Nuk janë suplementar.17.

13 m.18.

10.

Test:

A, B ∉ q.

� dhe (nuk janë të mbyllura); � (ka brinjë jo fqinje

β

C O A

B

218 TEMA 3. THYESA

1.

3

2.

4.

7__

9

12__

23

12__

19

- shtatë të nëntat;

7__

9- shtatë të

nëntat;

të shtatat.

plota është ndarë në 19 pjesë të barabarta, kursenumëruesi- se janë marrë 12 prej atyre pjesëve.

7__

7

1__

10

- shtatë

- 12 thye për 23;

105___

28- 105 thye për 28;

4___

121- 4 të 121 Për shembull:

Emëruesi i thyesës tregon se e

a) ;1___

100b) ;

1___

100d) .

1____

1000c) ;

5.3__

10a) dm;

28___

100b) m;

15____

1000c) kg.

9__

10c) l;

1.

6. 7.

2.

5.

3.

21__

36

1_

39 ;

1_

4

5_

8

4_

5

8_

94 ; 2 ; 5 ; 13 .

2_

1

5_

1

7_

1

8_

1

11__

1a) ; ; ; ; .

1.

2.

3.

4.

6.

2__

3

2__

3

1__

3 3__

4

a) ; 1 ; 3 .

1__

6

5__

30dhe ; 5. a) x = 8; b) x = 8;

c) x = 6; d) x = 110;

7__

10

28__

40dhe .

1_

7

6_

7Shembull: ; . 4.

6.

13__

12

36__

12Shembull: ; .

14__

7

35__

7

49__

7

56__

7

77__

7c) ; ; ; ; .

33__

4

35__

9

13__

10

63__

4; ; ; .

6_

3

15__

3

21__

3

24__

3

33__

3

b) ; ; ;

a) 25 cm; b) 6 dm; c) 4 dl; d) 320 g. .

8.5__

8kg.

; . 4.

1

2

4

5

3Provo mendjemprehtësinë: Ditën e pestë.

0 1 4 5

4

3__

4

9__

8

9__

4

7__

2

1__

26

7

0 1 2 3 4

5__

4

1__

2

17__

4

3__

4

0 1 2 3

3

4 5

1.10__

9

6__

12

13__

15a) ;

1.4__

10

10__

25a) , ;

2.2__

3

12__

18

18__

27Shembull , , .

4.2__

5

17__

25

29__

36, , .

5.1__

3

2__

3

2__

3

3__

8

5__

6; , , , .

8.3__

4

9__

12

5__

6

10__

12= ; = .

6.5__

7b) .

3. 80, 30, 85, 96, 18 qindëshet.

7. a) x = 5; b) x = 42; c) x = 11; d) x = 51.

30__

34

75__

85d) , .

6__

14

15__

35b) , ;

22__

24

55__

60c) , ;

2.4__

9a) ;b) 4; c) 8 ; d) 4 .

5.

6.

3.

8__

1213 ;

4__

125 .

2_

4

2__

19

10__

12

4.1_

7

2_

5

3__

11b) ; c) 3 ; d)1 ; e)1 . i mbushur,

8__

10pjesë të

2__

10pjesë të palexuar.lexuar;

2__

12i pambushur. .

Problem! Barabartë. Udhëzim; Në gotën mepërzierje të venës dhe ujit që është derdhur te vena kaaq ujë sa ka mbetur vena në kovën me ujë.

Zana - 404 denarë; Valbeni - 505 denarë.

Udhëzim: Pasi që e pareve të Zanës është e

barabartë me e pareve të Valbenit m mund të për-

fundojmë këtë: nëse një të plotë e ndajmë në 9 pjesë

dhe prej atyre pjesëve bëjmë dy të plotat dhe ,

atëherë e njërës pjesë është e

1__

41__

5

4__

41__

4

5__

5

219

6

7

8

13

14

15

10

11

12

Problem: 8 arra.

Problem: presja.

Problem 12 dhe 14,3. Udhëzim: Nëse

barabartë me e pjesës tjetër.

Prandaj 909 : 9 = 101 është e pareve të Zanës,

gjegjësisht e pareve të Valbenit. Zana kishte 4 ⋅

101 denarë, Valbeni kishte 5 ⋅ 101 denarë.

1__

5

1__

41__

5

1. Nën a) dhe d) 2. Për she. : , , .13__

10

13___

100

13______

10 000

3. a) 36 të plota dhe 2 dhjetore. b) 3 plota dhe 4 dhje-tore. c) 138 të plota 2 dhjetore.

4. a) 0,06. b) 2,09. c) 11,029. d) 14,003.

5.

6.

a) Dy të plota dhe tre të qindtat. b) Dymbëdhjetë tëplota dhe pesëmbëdhjetë të mijtat. c) Zero të plotadhe tridhjetë e pesë të mijtat.

5__

10

2__

10

3____

1 000

17_____

10 000a) ; b) 1 ; c) 4 ; d) 1 .

1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.

3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.

2. Po.

1.

5____

1 000

0 1 2 30,6 1,7 3,4

2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101;0,1031 > 0,1028.

4. Është më afër 131,102.

3. = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5.

1. a) 163,375. b) 105,075. c) 161,155. d) 100,075.

2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723.

3. 158,14; 4,8345. 4. 78,4 m.

5. 3,69; 7,38;

11,07; 14,76.

1. 21,1; 893,674; 3,68;1,09; 339,73; 846,825.

3. 0,34 m.

6. 0,768 kg.

shumën e gabuar 13,43 e shumëzojmë me 10, do tëfitojmë numër 134,3 i cili e përmban numrin e saktëdhjetor dhe 10 herë më i madh se numri natyror.Ndryshimi 134,3 - 26,3 = 108 është nëntë herë më e

4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.

2. 10,31; 201,62;28,36; 3,8;

madhe se numri natyror, gjegjësisht numrinatyror është 108 : 9 = 12. Vëre mënyrën edytë të zgjidhjes së detyrës me caktimin eshifrës për shifër.

1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.

2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006;4 000 400.

3. 44,835; 3780,024; 0,0189.

5. 45 272; 66,1. 6. 175,25927844. 7. 900 den.

4. 63,92 m2.

8. Janë të barabartë me 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4.

1. a) 0,476. b) 0,0476. c) 0,00476.

2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44.

3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428;5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Të gjithëherësit janë të përbërë prej shifrave të njëjtë.

4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176. 5. 5.

6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.

7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04.

9. 18,375; 4,02. 10. 4,05.

8. 2,946 km.

1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875;0,34375; 1,296875.

2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...;0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... .

3. Para perioda është 3, perioda është 78; Para periodaështë 54, perioda është 302.

4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711).

5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...; c) 0,06523152315... .

Numër Me saktësideri 0,01

Me saktësideri 0,01

0,0374 0,04

0,54

426,42

6,01

0,5386

426,4235

6,0141

1. 2,715; 3,033; 0,015.

3.

5.

8,104. 4. 3,54.

2. 0,2; 0,21;0,2059.

Gabimiabsolut

0,0026

0,0014

0,0035

0,0041

0,037

0,539

426,424

6,014

Gabimiabsolut

0,0004

0,0004

0,0005

0,0001

220

3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg;

c)

3 hg 2 dag 5 cg.

kg hg dag g dg cg mg

0 3 2 0 0 5 0

d)

4 kl 1 dal 5 l 3 dl.

kl hl dal l dl cl ml

4 0 1 5 3 0 0

c) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; d) 2 hg 3 dag 7 g.

TEMA 4. MATJA

3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m.

Përgjigja: 8 marsi.Edhe kjo është matematikë!

Përgjigje: Nuk mundet dielliPyetja interesante!

4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg.

6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl.

5. 8 ml,

6. 76 500 den.

1

1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml;

2. 2 764 m.

3. 2 551 443 s. 4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km;

4

1.

2.

a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm;

a)

51. 15 h 27 min. 2. 40 min.

3. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 java. 2,5 d.

4. 5724 d. 5. a) 310,16 K; b) 223,16 K.

2

3

të nxeh. Do të jetë mesnatë.

c) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; d) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg;

e) 1 l 3 cl 5 ml; f ) 3 kl 5 hl 7 dl.

c) 400 605 dag; d) 13 447 min.

c) 5 008,705 kg; d) 9 075,008 mg; e) 85,06 dl.

3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm.


0 3 8 7 2 5 0

b)

3 hm 2 dm.


0 3 0 0 2 0 0

1.Test:

A BC

0 1

a)

2. kg.b) .1__

3

12__

8

6. .2__

57. ;

8__

18.

1__

68. .

56__

64

9. 29,0664. 10. po; 0,006.

12. po 13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.

14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64. 16. 2,14; 27.

17. 21,85. 18. 8,4; 1,2(70). 19. 0,0001.

20. 9,13.

11. Ivërtetë

5.

3. ;5__

1.

25__

54. ;

2__

1

.+

2__

33__

8

2__

8

5__

8

0 1

+1__

5

4__

5

5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4

2. 12 libra; 4. 1 h 50 min 45 s; numërshumë emëror.

5. 18 denarë 50 deni;

7.

8.

3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm;

12m2 3 dm2 9 cm2.

6. Shembull: 6 kg, 138 kg.

I paemërtuar7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl;

14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2Një emëror

12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dmShumë emëror

7 m dhe 4 m; 8 hl dhe 9 hl; 4 kg dhe

3 kg; 14 l dhe 5 l; 8 m2 dhe 15 m2; 4m 2dm dhe 6 m 5 dm

Një lloj emëror

2211. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;6

1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.

2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a.

4. 4 800 pllaka.

3. 4 800 000 den.

7

1. 1 dm3, 1 cm3; 1 mm3.

3. a) 7 m3; b) 0,5 m3;

4. 27,65 cm3.

2. 4 000 dm3.

8

1. 200 cm3.

c) 0,2 m3.

3. 4 m. 4. 8 cm3.

5. 0,63 m3.

a) dm; b) 0,012; c) 3; g) ml.

6. 24 dm2. 7. 84 l.

9

b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; c) 3 m 8 cm.

d) 2 dm 8 cm.

2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm;

3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;

4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;

5. 9 t 88 kg.

6. 33 195 den.

9. 20 h 27 min.

7. 1 kg 3 hg 3 dag 8 g;

b) 4 dm 3 cm 2 mm; c) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm;

b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml.

b) 6 l 2 cl 8 ml; c) 6 dl 7 cl.

4. 29 den 12 h 44 min 3 s.

11 kg 2 hg.

8. 2 kg 2 hg 4 dag;1 t 579 kg; 8 dl 2 cl.

1.

600 dl.2.

20,5 dm.4. a) Shembull: 5t; b)5.

a) dag; b) 360; c) 120; 3.

d) 278,16.

Shembull: 2m; c) Shembull: 15s;

a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; c) 985 dl; 6.

a) 360,2 min; b) 730,5 dl; 7.

a) 10 herë;8.

a) 153 cm; b) 30,3 dl; 9.

a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg; 10.

a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g; 11.

a) 692 kg; b) 10 km 4 m.12.

5 000 herë. Sqarim: 2 m2 = 20 000 cm2, ndërsa14.

c) 2 kl 3 hl 1 dal.

b) 1 t 236 kg 8 hg;

d) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.

c) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;

9 cm2.17.70 m3.16.20 000 : 4 = 5 000.

d) 8 234 s.

c) 400,84 dam; d) 72 g.

b) 20 herë; c) 30 herë;

c) 230,0004 dag; d) 0,25 dena.

Test:

Problem! Udhëzim;

3 l 3 0 3 1 1 0 3 0

5 l 0 3 3 5 0 1 1 4 l

B

Barazimi, 44Bashkësia

- numri i, 7- e barabartë, 10- ekuivalente, 9 –- e fundme, 7- e zbrazët, prerja e , 12- ndryshimi i, 14

Baza e fuqisë, 36

Ç

Çifti i renditur, 15

D

Drejtëza dhe- kufitare (tehu), 97- reciprokisht normale, 116- kolineare, 71

Diagram, - figurash, 159, - shtyllor, 158

Drejtëza numerike, 18DhDhjetore, 151

F

Fuqia, 35

- baza e, 36- treguesi i, 36

G

gabimi absolut, 178

Gj

Gjysmëdrejtëza dhe, 77- përbërëse, 77

Gjysmërrethi, 91Gjysmërrafshi, 97

H

Hark rrethor, 91

PASQYRA E KONCEPTEVE

222

I

I pjesëtueshmi, 37

K

Koncepti,87- i nxjerrë, 88- matematik, 87- themelor, 88

Katrori i Dekartit, 16 Korda, prerëse), 93Këndi, dhe 98

- Komplementar, 120- Mysët, 99- Krahët e, 98- matja e, 110- i kryqëzuari, 104- i puqët, 103- i ngushtë, 102- i plotë, 102- i drejtë, 101- fqinjë, 103- suplementar, 121- i gjerë, 102- kulmi i 98- qendror, 105

L

Largesa, 76- qendrore, 94

Litri, 187

M

Mesi- i segmentit, 78- aritmetik, 47

Metri- katror, 203- kub, 205

Masa,- për masën, 187- për gjatësinë, 186- për kohën, 189- për lëng, 187- për temperaturën, 189 - për syprinën, 203- për vëllimin, 205

Mesi aritmetikor, 47Minuta, 189

N

numër

- dhjetor , 149- periodik i përzier, 176- periodë e, 176- para perioda e, 177- i njëjtë periodik, 176- një emëror, 191- reciprokisht të thjeshtë, 61- i emërtuar, 191- një lloj i emërtuar, 192- matës 191- i paemërtuar, 191- tek, 17 - çift,17- shumë emëror, 192,- natyror, 17- i thjeshtë, 57- i përbërë, 57

Nën bashkësi, 10

Nj

Njësia dhjetore, 21Njësia matëse, 191

P

Pika i, 54- e brendshme, 92- kufitare, 77- e jashtme, 92- fillestare, 77- e mesme (mesi), 78

Presja decimale, 150Plotë pjesëtueshmëria, 49

- e shumës, 49- e prodhimit, 49- e ndryshimit, 49- indicet për, 51

Pjesëtimi, - me mbetje, 38

pjesëtuesi, dhe - i përbashkët, 60- më i madh i përbashkët, 60

Prodhimi i Dekartit, 15

S

Simetralja- e këndit, 118- e segmentit, 118

Segment, dhe- të barabartë (puthitshëm), 79- Shuma, 81- Bartja 80

- Ndryshimi 81- Fqinje 83- Gjatësia e, 78- Shuma e, 81

Sistemi numerik dekad, 20

Sh

Shumëfishi, 49- i përbashkët, 63- më i vogël i përbashkët, 63

Shumëkëndëshi, 125- mysët, 125- lugët, 107- perimetri i, 127- kulmi i, 123- brinjët fqinje të, 123- kulme fqinje të, 123- brinjë e, 123- Të shkruarit e bashkësisë,- në mënyrë tabelore, 4- në mënyrë përshkruese,5

T

Tangenta (takuesja), 93

Th

Thyesa, 133- numëruesi i, 133- dhjetore, 149- e pathjeshtueshme, 147- jo e pastër (jo e rregullt) 137- e dukshme, 136- zgjerimi i, 146- thjeshtimi i, 147- e pastër (e drejtë) 137

U

Unioni i bashkësive, 13

V

Vetia.- shoqërimit, 13- shpërndarjes, 168- ndërrimit, 13

Vija- e thyer 83- brinja e, 84- e mbyllur, 84- poligonale 85- perimetri i, 85

223

- Rrethi- bashkëqendrorë, 95- rrezja e, 89- korda e, 90- qendra e, 90- diametri i 90

- Rrethi, 133- brinja e, 84 –- kulmi i, 84- e mbyllur, 84- e thjeshtë , 85

Vija e thyer,

Z

Zona,- e brendshme, 90- jashtme, 90

PËRMBAJTJA

TEMA 1. NUMRAT NATYRORË


TEMA 3. THYESAT

TEMA 4. MATJA

PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE 211

PASQYRË E KONCEPTEVE 221

3

69

131

183

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , СкопјеАВТОР: Стефановски, Јово - авторОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - авторНАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образованиеИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 смISBN: 978-608-226-273-4УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатенаИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011COBISS.MK-ID: 89052426

224Botues:

Ministria për arsim dhe shkencë e R. së Maqedonisë

Matematika për klasën e VIArsimi fillor nëntëvjeçar

Autorë:

Jovo Stefanovski dhe d-r Naum Cellakoski

Recenzentë:

d-r Jordanka Mitevska, profesor i rregullt në FShM, ShkupZorica Nasevska, arsimtar në ShF „Koço Racin” - Shkup

Dobre Trajkovski, arsimtar në ShF „H. T. Karposh” – Kumanovë

Redaktor kryesor:

Jovo Stefanovski

Lektor:

Suzana Stojkovska

Përpunim kompjuterik:

Dragan Shopkoski

Me vendim për lejimin dhe përdorimin të librit mësimor në lëndën e Matematikës për kl. E 6-të në shkollimin fillor nëntëvjeçar me nr. 22-1110/1 nga data 22-1110/1 të sjellë ngaKomisioni nacional për tekste mësimore

Përkthyes:

Pranvera Xhaferi

Redaktor:

Prof. Dr. Ilir Spahiu

Lektor:

Murtez Sejdiu

Shtypi:

Graficki centar dooel, Shkup

Tirazhi:

8.300

Matematika 6 alb

Documents

Transcript of Matematika 6 alb