P E N E R B I T E R L A N G G A

LOGIKA MATEMATIKA

Kompetensi Dasar

Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan.

Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.

Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi.

Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan.

1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Logika Matematika berasal dari kata Yunani kunologos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiranyang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalambahasa.

Kalimat Berarti dan Kalimat terbuka

Kalimat Berarti terbagi menjadi 2 yaitu

Kalimat Deklaratif : Kalimat yang dapat ditentukan kebenaranataupun kesalahannya, namun tidak keduanya pada saat sama

Kalimat Non Deklaratif : Kalimat yang tidak dapat ditentukanNilai Kebenarannnya dan biasanya merupakan kalimat perintah, kalimat tanya, kalimat harapan, atau kalimat terbuka

Kalimat Terbuka

Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenrannya karenamasih mengandung peubah.

Contoh

Kalimat Nondeklaratif

1. Berapakah Jumlah sekolah di Indonesia

2. Makanlah jika anda lapar

Kalimat deklaratif

1. Semua bilangan Prima adalah ganjil

2. Jika 2x=6, maka x=3

Kalimat Terbuka 1. 5p-10=15,p∈A

2. 3x+7=y , x dan y ∈ C

2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi danBiimplikasi

1. Ingkaran (Negasi)

Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkalsuatu pernyataan .Ingkaran(negasi) suatupernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilaikeabsahannya berubah

Tabel Kebenaran Untuk negasi

p ∽p

B S

S B

Contoh Penyataan Negasi

Negasi pernyataan “Jakarta adalah ibu kotaIndonesia” adalah :

“Jakarta bukan ibu kota Indonesia” atau

“Tidak benar bahwa Jakarta bukan ibu kotaIndonesia”.

2. Pernyataan Majemuk

Pernyataan Majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataantunggal dengan kata hubung kalimat tertentu yaitu dan, atau, jika,jika…maka…..,….jika dan hanya jika……,dll

Contoh :

a) Sepeda motor merupakan alat transportasi paling murah tetapi dapat membahayakan pengemudinya.

b) Jika musim hujan, maka di Jakarta terjadi banjir.

i. Konjungsi

Penggabungan dua buah pernyataan denganmenggunakan kata hubung “dan”

Contoh

1. p : Hari ini adalah hari Selasa.

q : Hari ini hujan.

maka p ∧ q : Hari ini adalah hari Selasa dan hariini hujan atau Hari ini adalah hari Selasa dan hujan

Tabel kebenaran Konjungsi

p q p^q

B B B

B S S

S B S

S S S

ii. Disjungsi

Penggabungan dua buah pernyataan denganmenggunakan kata hubung “atau”

Contoh :

p : Hari ini adalah hari Selasa

q : Hari ini hujan

maka p ∨ q : Hari ini adalah hari Selasa atau hari inihujan

Tabel kebenaran Disjungsi

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

iii. implikasi

Penggabungan dua buah pernyataan majemukdengan menggunakan kata hubung “jika...maka…”

Contoh :

p : Hari ini hujan

q : Setiap hari pada bulan April turun hujan

maka

p → q : Jika hari ini hujan, maka setiap hari padabulan April turun hujan

Tabel Kebenaran Implikasi

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

iv. BiimplikasiPenggabungan dua buah pernyataan majemuk denganmenggunakan kata hubung “… jika dan hanya jika …”

Contoh :p : Hari ini adalah hari Selasaq : Hari ini hujanmakap ↔ q : Hari ini adalah hari Selasa jika dan hanya jika hari ini hujan.

p ↔ q bernilai S hanya pada hari Selasa yang tidak hujan atau harilain yang hujan, dan

bernilai B pada hari Selasa yang hujan atau pada hari lain yang tidakhujan.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

3. Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi Konjungsi dan Disjungsi, Implikasi, danBiimplikasi

¬ ( p ∧ q ) ≡ (¬ p ∨ ¬ q )

¬ ( p ∨ q ) ≡ (¬ p ∧ ¬ q )

¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q

¬ ( p ⇔ q ) ≡ ¬ p ⇔ q

Tabel kebenaran bisa dilihat lebih lanjut di buku erlangga.

4. Konvers,Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapatdibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut:(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q(b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q(c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi darip ⇒ q.

Contoh

Implikasi : Jika Singa bertaring, maka ia binatangbuas

Inversnya : Jika Singa tidak bertaring, maka iabukan binatang buas

Konversnya : Jika Singa binatang buas, maka iabertaring

Kontraposisinya : Jika Singa bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

p q ~p ~q p ⇒ q q ⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Tabel Kebenaran Konvers, Invers, dan Kontraposisidari Implikasi

Penarikan Kesimpulan

Pernyataan yang digunakan untuk mengambilkesimpulan disebut premis

Penarikan kesimpulan dalam logika matematikasecara umum ada 3 cara yaitu:

Modus Ponens

Modus Tollens

Silogisme

Modus Ponens

modus ponens adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut

Premis 1 : p ⇒ q

Premsi 2 : p

Konklusi : q

Contoh

Premis 1 : Jika harga cabe naik, maka permintaan cabeturun.

Premis 2 : Harga cabe naik.

Konklusi : Jadi permintaan cabe turun

Modus Tollens

modus tollens adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut

Premis 1 : p ⇒ qPremsi 2 : ~q

Konklusi : ~p

Contoh :

Premis 1 : Jika saya makan di kantin, maka sayaminum di kantin

Premis 2 : saya tidak minum di kantin

Konklusi : saya tidak makan

Silogisme

Silogisme adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut

Premis 1 : p ⇒ q

Premsi 2 : q ⇒ r

Konklusi : r

Contoh :

Premis 1 :Warga yang melanggar peraturan “X” harusdihukum.

Premis 2 : warga melanggar peraturan “X”

Konklusi : warga harus dihukum.

SUMBER

Kasmina, Suhendra,dkk (2008). MatematikaProgram Keahlian Teknologi, Kesehatan, danPertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.

Logika Preposisi.pdf dari Mata Kuliah PengantarMatematika Universitas Indonesia