Neodređeni integrali

1. Definirajte primitivnu funkciju i neodređeni integral. Dokažite da se primitivne funkcije razlikuju do na konstantu.

Definicija 1.1 Neka je zadana funkcija , neka je interval i neka je

konačan ili prebrojiv podskup. Primitivna funkcija funkcije na intervalu je svaka neprekidna

funkcija takva da je za .1.1

Ova definicija i činjenica da je derivacija konstantne funkcije jednaka nuli povlače slijedeći teorem.

Teorem 1.1 Ako je primitivna funkcija funkcije na intervalu , tada je i

primitivna funkcija funkcije na intervalu za svaku konstantu .

Teorem 1.2 Ako su i dvije primitivne funkcije funkcije na intervalu , tada postoji

konstanta takva da je .

Dokaz.

Dokažimo teorem za najjednostavniji slučaj kada je , odnosno kada se radi o striktno primitivnim funkcijama. Pretpostavke teorema povlače

pa je , odnosno za neku konstantu i za svaki .

2. Dokažite svojstva neodređenog integrala

a) linearnost(

),

Dokaz.

Neka je primitivna funkcija funkcije za . To znači da je

za svaki , pri čemu je prebrojiv podskup od , odnosno

. Dakle, jednakost

vrijedi za svaki . Kako je skup također prebrojiv, zaključujemo da je

funkcija jedna primitivna funkcija funkcije

. Stoga vrijedi

gdje je .

b)

, odnosno derivacija integrala jednaka je podintegralnoj funkciji.

Ovu jednakost također interpretiramo kao jednakost među funkcijama koja vrijedi na skupu .

c)

, odnosno diferenciranje poništava integriranje.

d)

. odnosno integriranje poništava diferenciranje do na konstantu.

4. izvedite univerzalnu trigonometrijsku supstituciju:Za koje vrijede gornje formule? Primjer. Izvedite supstituciju .

(1.4)

vrijedi za odnosno za . Dakle,

pa je

Adicioni teorem [M1, �4.6.5] daje

a osnovni trigonometrijski identitet daje

odnosno

Dakle,

Opisana supstitucija vrijedi za , a za ostala područja je potrebno izvršiti odgovarajuće prilagodbe formula. Potreba za takvim modifikacijama se često javlja kod određenog integrala, u kojem granice integracije određuju područje na kojem supstitucija mora vrijediti. Slična napomena vrijedi i za ostale trigonometrijske supstitucije.

5. Kako se provodi i čemu služi postupak integriranja pomoću razvoja u red?

Teorem 1.9 Neka red neprekidnih funkcija konvergira uniformno prema funkciji

na intervalu , odnosno

Tada za svaki vrijedi

Posebno, za red potencija vrijedi

na intervalu konvergencije reda .

Određeni integrali

1. Definirajte određeni (Riemannov) integral.

Definicija 2.1 Rastav ili dekompozicija segmenta je svaki konačan skup točaka

takav da je

Skup svih dekompozicija segmenta označavamo s .

Neka je omeđena funkcija. Gornja integralna suma je broj (slika 2.1)

gdje je

Donja integralna suma je broj (slika 2.2)

gdje je

Gornji (Riemannov) integral je broj

a donji (Riemannov) integral je broj

pri čemu i sigurno postoje zbog omeđenosti funkcije .

Funkcija je (Riemann) integrabilna na segmentu ako je . Riemannov

integral ili određeni integral funkcije od do je broj

Određeni integral označavamo s

Slika 2.1: Gornja suma

Slika 2.2: Donja suma

Napomena 2.1 U literaturi se određeni integral često definira i pomoću lijevih i desnih integralnih suma,

2. Objasnite osnovna svojstva određenog integrala:

a)

ako je za svaki , tada

daje površinu između i -osi od do ,

Naime, na slikama 2.1 i 2.2 vidimo da usitnjavanjem rastava gornje i donje sume sve bolje aproksimiraju tu površinu.

b) vrijedi

c)

vrijedi

Smisao ove definicije je slijedeći: kada u varijabla ide od do , tada je

prirast pozitivan, a kada ide od prema , tada smatramo da je prirast negativan.

d)

vrijedi

Ako je tada je jednakost očita jer se radi o zbrajanju površina. No, zbog svojstva O5,

jednakost vrijedi i kada je ili (slika 2.3).

Slika 2.3: Rastav integrala na djelove

4. Dokažite Newton-Leibnitzovu formulu.

Teorem 2.2 Neka je funkcija integrabilna na i neka za nju postoji primitivna

funkcija takva da je za svaki . Tada vrijedi Newton-Leibnitzova formula:

Dokaz.

Neka je proizvoljni rastav segmenta kao u definiciji 2.1. Za svaki funkcija

je neprekidna na intervalu i derivabilna na intervalu . Prema

Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti [M1, teorem 5.9] postoji točka za koju vrijedi

S druge strane vrijedi

što povlači

Zbrajajući ove nejednakosti dobivamo

odnosno

Ove nejednakosti vrijede za proizvoljni rastav segmenta iz čega slijedi

Integrabilnost funkcije povlači

pa je konačno

i teorem j dokazan.

Q.E.D.

Iz teorema zaključujemo da se određeni integral može riješiti tako da se nađe neodređeni integral podintegralne funkcija, a onda uvrste granice. Newton-Leibnitzovu formulu još zapisujemo kao

8. Što je nepravi integral? Dokažite:

Nepravi integral je poopćenje određenog integrala kada područje integracije ima barem jednu beskonačnu granicu, ili kada funkcija unutar područja integracije nije omeđena (na primjer, ima vertikalnu asimptotu). Neprave integrale rješavamo pomoću limesa. Ako je nepravi integral konačan, kažemo da je konvergentan ili da konvergira, u protivnom je divergentan odnosno divergira.

10. Kako računamo površinu ravninskih likova? Izvedite u Kartezijevim koordinatama,

Površinu između krivulja i od točke do točke računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata površine (slika 2.12). Elementi

površine su beskonačno mali pravokutnici s bazom i visinom .

Slika 2.12: Povrsina ravninskog lika i element povrsine

Površina se računa formulom

(2.1)

i polarnim koordinatama,

U polarnom koordinatnom sustavu točka zadaje se pomoću kuta kojeg polu-pravac koji izlazi iz ishodišta i prolazi točkom zatvara s -osi i udaljenošću točke od ishodišta (slika 2.17).

Slika 2.17: Polarni koordinatni sustav

Transformacije iz polarnog u Kartezijev koordinatni sustav vrše se prema formulama

(2.3)

Transformacije iz Kartezijevog u polarni koordinatni sustav vrše se prema formulama

pri čemu se kvadrant u kojem se nalazi kut odredi sa slike ili iz kombinacije predznaka od i . Vidimo da je polarni koordinatni sustav, kao i gornje formule, identične formulama za trigonometrijski oblik kompleksnog broja iz [M1, �1.8.1].

Traženje površine likova zadanih u polarnom koordinatnom sustavu prikazano je na Slici 2.18. U polarnom koordinatnom sustavu krivulju zadajemo formulom

Zbog prirode samog sustava obično tražimo površinu između krivulje i zraka i

. Shodno tome, element površine u polarnom koordinatnom sustavu je kružni isječak

radijusa s kutom , odnosno

Kao i Kartezijevim koordinatama, površina je jednaka beskonačnoj (integralnoj) sumi beskonačno malih elemenata površine, odnosno

Slika 2.18: Element povrsine u polarnim koordinatama

Izvedite za parametarski zadane krivulje.

Kod parametarski zadane krivulje

računamo površinu između te krivulje i pravca , . Pri tome treba voditi računa o

tome je li rastuća ili padajuća funkcija i ovisno o tome postaviti integral, odnosno

odabrati granice integriranje tako da je prirast negativan.

11. Kako računamo duljinu luka ravninskih krivulja? Izvedite u Kartezijevim koordinatama,

Postupak računanja duljine luka ravninske krivulje još se naziva rektifikacija krivulje. Slično

kao i kod računanja površine, duljinu luka krivulja od točke do točke računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata duljine .

Formula za element duljine slijedi iz Pitagorinog poučka i činjenice da se funkcija u okolini neke točke može aproksimirati njenom tangentom (slika 2.21),

(2.4)

Ovdje po dogovoru uzimamo da je duljina luka pozitivna ako raste, odnosno ako je pozitivan.

Dakle, duljina luka krivulje od točke do točke računa se formulom

Slika 2.21: Element duljina luka ravninske krivulje

i polarnim koordinatama,

Krivulju zadanu u polarnim koordinatama,

prvo pomoću transformacija (2.3) prebacimo u parametarski oblik,

(2.5)

Sada je

odnosno

Dakle, duljinu luka krivulje u polarnim koordinatama računamo formulom

Izvedite za parametarski zadane krivulje.

Kod parametarski zadane krivulje

element duljine je dan s

pa se duljina luka računa formulom

Iz ove formule slijedi da je duljina luka pozitivna kada je nenegativan, odnosno kada raste.

14. Trapezna formula

Kod trapezne formule odaberemo dekompoziciju koja dijeli interval na jednakih dijelova,

pa je prirast jednak

Zadanu krivulju aproksimiramo izlomljenom crtom koja nastaje spajanjem točaka

i , a integral aproksimiramo s tako dobivenom integralnom

sumom (vidi sliku 2.32).

Slika 2.32: Trapezna formula

Vidimo da je integralna suma zapravo suma površina dobivenih trapeza, pa odatle i ime trapezna formula. Poznata formula za površinu trapeza daje

odnosno, trapezna formula glasi

(2.11)

Funkcije više varijabli

1. Definirajte -dimenzionalni prostor . Na koje sve načine možemo zadati funkciju

? Što su nivo-plohe?

Definicija 3.1 Skup ( -terostruki Kartezijev produkt skupa realnih brojeva sa samim sobom), odnosno

zovemo -dimenzionalni Euklidski prostor, a uređene -torke su točke tog

prostora. Preslikavanje koje svakoj točki iz područja definicije pridružuje

realan broj zovemo realna funkcija od realnih varijabla. Koristimo oznaku ili

Za razliku od realne funkcije jedne realne varijable (slučaj ) kad god imamo funkciju

od varijabla sa govorimo o funkciji više varijabla. Takve funkcije možemo kao i u jednodimenzionalnom slučaju zadavati eksplicitnim analitičkim izrazom, tablicom (u slučaju

diskretnog područja definicije), grafički (u slučaju ), parametarskim jednadžbama i implicitnim analitičkim izrazom.

Jednadžbama , gdje je konstanta, određene su takozvane nivo plohe koje služe za lakše predočavanje grafa funkcije. U slučaju nivo plohe još zovemo nivo krivulje i crtamo ih u istoj ravnini.

3.Definicija limesa funkcije više varijabli:

Definicija 3.5 Neka su zadane funkcija i točka takva da svaku -okolinu od

vrijedi

Kažemo da je granična vrijednost ili limes funkcije u točki ako

Pišemo

Kako možemo limes definirati pomoću nizova?

Za svaki niz točaka , koji konvergira prema točki , pripadajući

niz funkcijskih vrijednosti konvergira prema broju .

4. Definirajte neprekidnost funkcije više varijabli.

Definicija 3.6 Funkcija je neprekidna u točki ako je

Ako je neprekidna u svakoj točki kažemo da je neprekidna na skupu , a

ako je kažemo da je neprekidna funkcija.

7. Definicija parcijalnih derivacija

Definicija 3.7 Parcijalna derivacija funkcije , , po varijabli u točki

je derivacija funkcije jedne varijable , definirane sa

(3.1)

u točki . Dakle,

Za parcijalne derivacije još koristimo i sljedeće oznake:

Ako za funkciju u točki postoje parcijalne derivacije po svim varijablama onda

kažemo da je funkcija derivabilna u točki . Ako je funkcija derivabilna u svakoj točki

onda kažemo da je derivabilna funkcija.

Definicija 3.8 Neka je skup svih točaka u kojima postoji parcijalna derivacija

po varijabli . Funkciju zovemo parcijalna derivacija funkcije po

varijabli . To je opet jedna funkcija od varijabli koja može imati svoje parcijalne derivacije.

Parcijalnu derivaciju po varijabli funkcije zovemo parcijalna derivacija drugog reda funkcije

po varijablama i označavamo sa

Analogno definiramo parcijalnu derivaciju trećeg reda funkcije po varijablama ,

Indukcijom definiramo parcijalnu derivaciju -tog reda funkcije po varijablama

,

gdje je i .

8. Schwartzov teorem.

Teorem 3.3 [Schwartz] Pretpostavimo da funkcija , , u nekoj okolini

točke ima neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo -vog

reda i da u toj okolini od postoje sve parcijalne derivacije -tog reda. Ako su parcijalne

derivacije -tog reda od neprekidne u točki onda njihove vrijednosti u toj točki ne zavise od redoslijeda deriviranja po pojedinim varijablama.

11. Definirajte tangencijalnu ravninu i normalu na plohu.

Ako je funkcija jedne varijable , , derivabilna (dakle diferencijabilna) u

točki , onda je pravac zadan jednadžbom

tangenta krivulje u točki . Diferencijal možemo

interpretirati kao prirast te tangente u promatranoj točki koji odgovara prirastu nezavisne varijable (vidi sliku 3.28).

Slika 3.28: Diferencijal funkcije jedne varijable

Slično možemo postupiti kad imamo funkciju dviju varijabla. Neka je ,

. Ako je diferencijabilna u točki , onda postoje parcijalne derivacije

i , te možemo definirati dva pravca i u prostoru koji prolaze

točkom , gdje je :

Kad gledamo dvodimenzionalno, pravac možemo interpretirati kao tangentu na krivulju

u točki s koordinatama (sve se nalazi u ravnini kao što se

vidi na Slici 3.29). Slično, pravac možemo interpretirati kao tangentu na krivulju

u točki s koordinatama (sve se nalazi u ravnini ).

Pravci i imaju vektore smjerova

te određuju točno jednu ravninu koja prolazi točkom i ima vektor normale

Prema tome, jednadžba ravnine glasi

Ravnina je tangencijalna ravnina na plohu u točki . Diferencijal

možemo interpretirati kao prirast varijable u tangencijalnoj ravnini odgovara prirastima i

nezavisnih varijabli.

15. Kako definiramo lokalne ekstreme funkcije više varijabli?

Definicija 3.11 Funkcija ima u točki lokalni minimum (maksimum) ako postoji okolina

takva da za sve vrijedi

16. Kako glasi nuždan uvjet ekstrema funkcije više varijabli?

Teorem 3.7 [Nužan uvjet ekstrema] Neka funkcija ima lokalni ekstrem u točki . Ako postoji

parcijalna derivacija od po varijabli u točki , onda je nužno

17. Kako glasi dovoljan uvjet ekstrema pomoću totalnog diferencijala?

Neka je funkcija kao u iskazu teorema 3.7. Ako je diferencijabilna u točki onda se nužan

uvjet da bi imala lokalni ekstrem u točki ,

može ekvivalentno iskazati korištenjem diferencijala kao

Kao što ćemo vidjeti, ovaj uvjet je nužan ali ne i dovoljan. Inače, ako je funkcija diferencijabilna u

točki i pri tom je onda kažemo da je stacionarna točka funkcije . U slučaju

funkcije dviju varijabla ( ) stacionarnu točku funkcije geometrijski možemo

interpretirati kao točku u kojoj je tangencijalna ravnina na plohu paralelna sa koordinatnom ravninom. Naime, jednadžba tangencijalne ravnine (vidi poglavlje 3.7) u stacionarnoj

točki glasi