MATEMATIKA 2

MATEMATIKA 2

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE

1

geometrična porazdelitev

Ponavljamo poskus pri katerem je verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G naj bo število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena?

p=0.2

• Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1,2,3,... }

• P(G=k)=p.(1-p)k-1

MATEMATIKA 2


2

Poissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev P(a) • zaloga: {0,1,2,3,... } • porazdelitev:

( )k

-aap k e

k!

Uporaba: modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem) . . . .

Če je a=n.p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober približek za binomsko porazdelitev.

n.p=a, n →

binomska porazdelitev b(n,p): 1k n-knP(B k) p ( p)

k

1 1 1 11 1 1 1

1 2

k n k n -kkk n-kn n(n - ) (n - k ) a a a n(n - ) (n - k ) a a

p ( p) k k n n k! n n n n n

e-a 1 1k

-aa ek!

MATEMATIKA 2


3

ZVEZNE SLUČAJNE SPREMENLJIVKE

Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti.

Pomagamo si s kumulativno verjetnostjo: P(X ≤ x) = verjetnost, da X zavzame vrednost največ x (npr. da žarnica pregori po x urah)

FX(x) = P(X ≤ x) je (kumulativna) porazdelitvena funkcija spremenljivke X

Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke je • naraščajoča • na (-,) zraste od 0 do 1

Spremenljivka X je zvezna če je njena porazdelitvena funkcija FX zvezna.

MATEMATIKA 2


4

Kumulativne porazdelitve diskretne in zvezne slučajne spremenljivke

Če je spremenljivka X zvezna, potem obstaja funkcija pX(x), da jex

X XF (x) p (t) dt

pX(x) je gostota slučajne spremenljivke X

0 1 1X X p (x) p (t) dt

Za gostoto slučajne spremenljivke velja:

Kjer je pX zvezna je pX=FX ’.

( )b

Xa

P a X b p (x) dx

S pX računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali: P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b (da je življenjska doba žarnice med a in b ur)

MATEMATIKA 2


5

Primeri zveznih porazdelitev

enakomerna porazdelitev

1 0 1

0 sicerx

p(x)

na [0,1], gostota:

1

0 sicer

a x bp(x) b a

na [a,b], gostota:

0 1

1

a b

ab1

MATEMATIKA 2


6

eksponentna porazdelitev

0 0

0-ax

xp(x)

a e x

Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov...

MATEMATIKA 2


7

Normalna porazdelitev N(a,) 2

1

21

2

x-a-

σp(x) eσ π

gostota:

zvonasta oblika maksimum pri a simetrična glede na a eksponetno pada proti

0

( 1,0.5)N

( 0.5,0.7)N

(1,0.25)N

gostota porazdelitve N(0,) za različne :(0,1)N

(0,0.5)N

(0,0.25)N

MATEMATIKA 2


8

N(0,1) je standardizirana normalna porazdelitev; njena gostota je

2

21

2

x-

(x) eπ

)

1N(a,σ

x - ap x

σ σ

vse normalne porazdelitve lahko izrazimo s pomočjo standardizirane

Kumulativna porazdelitvena funkcija standardizirane normalne porazdelitve

2

20 1

1

2

x t-

N( , )-

F (x) e dtπ

F x

x

Tudi vse kumulativne normalne porazdelitve lahko izrazimo s standardizirano:

0

)

1

1N(a,σ)

x x

N(a,σ- -

x-a

N , )

σ

-(

t - aF (x) p (t) dt dt

σ σ

(u) x - a

Fσ

du

1

x a

t au

σ

du dtσ

t - x

u -

MATEMATIKA 2


9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.0000 0.0039 0.0079 0.0119 0.0159 0.0199 0.0239 0.0279 0.0318 0.03580.1 0.0398 0.0437 0.0477 0.0517 0.0556 0.0596 0.0635 0.0674 0.0714 0.07530.2 0.0792 0.0831 0.0870 0.0909 0.0948 0.0987 0.1025 0.1064 0.1102 0.11400.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1330 0.1368 0.1405 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1590 0.1627 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1843 0.1879

0.5 0.1914 0.1949 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2122 0.2156 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2290 0.2323 0.2356 0.2389 0.2421 0.2453 0.2485 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2733 0.2763 0.2793 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2938 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.31320.9 0.3159 0.3185 0.3212 0.3238 0.3263 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389

1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3484 0.3508 0.3531 0.3554 0.3576 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.3789 0.3809 0.38291.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.40141.3 0.4031 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.4130 0.4146 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.4250 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318

1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.44401.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4494 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45441.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.4590 0.4599 0.4607 0.4616 0.4624 0.46321.8 0.4640 0.4648 0.4656 0.4663 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.47061.9 0.4712 0.4719 0.4725 0.4731 0.4738 0.4744 0.4750 0.4755 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4777 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4807 0.4812 0.48162.1 0.4821 0.4825 0.4829 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4849 0.4853 0.48572.2 0.4860 0.4864 0.4867 0.4871 0.4874 0.4877 0.4880 0.4883 0.4886 0.48892.3 0.4892 0.4895 0.4898 0.4900 0.4903 0.4906 0.4908 0.4911 0.4913 0.49152.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4924 0.4926 0.4928 0.4930 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4937 0.4939 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4950 0.49522.6 0.4953 0.4954 0.4956 0.4957 0.4958 0.4959 0.4960 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4971 0.4972 0.49732.8 0.4974 0.4975 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4978 0.4979 0.4980 0.49802.9 0.4981 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986

3.0 0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989

Funkcija (F x) je liha, zato so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x.

(1.02)=0.3461

F(-0.89)=0.5+( - 0.89)=0.1868

Če je X standardizirano normalna N(0,1), je 1 2 2 1P(x X x ) (x ) (x )

Če pa je X normalna N(a,s), je 2 11 2

x a x aP(x X x )

σ σ

2

2

0

1

2

x t-

(x) e dtπ

Integral gostote ni elementarna funkcija – v praksi si pomagamo s tabelami za funkcijo 0 1

1

2N( , )F x x

(-0.89)= - (0.89)= - 0.3132

MATEMATIKA 2


10

X porazdeljena po N(a,):

(1 ( 0 6821 2 61a σ - a a - σ - a

P(a - σ X a σ) - ) - - ) ( )σ σ

.

0 9542 2 2 42 P(a - σ X a σ ) .( ) 0 9973 3 2 23 P(a - σ X a σ) . ( )

Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1.5,0.2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1.5?

1 5 1 5 1 1 5

0 2 0 21 49.1 5 0 ( 2.5) 2 5 0 4937 37%. - . - .

. . P( X . ) ( ) ( ) Φ( ) ( . ) .

a

68%

95.4%

2 2

99.7%

3 3

MATEMATIKA 2


11

1 ( , )Normalna porazdelitev je dober približek za binomsko porazdelit ev N np, np( - p) b n p

b(10,0.4)N(4,1.55)

b(20,0.6)N(12,2.19) b(100,0.2

)N(20,4)

2 11 2integralska:

x - np x - npP(x X x ) Φ Φ

npq npq

Laplaceova ocena za binomsko porazdelitev b(n,p) (q=1- p):

2

21 1

2lokaln a:

(k-np)-

k n-k npqn k - np p q e

k π npq npq npq

Žogo vržemo na koš 100-krat, pri čemer je verjetnost zadetka 70%. Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65-krat?

100100

66

10065 100 0 7 0 3 0 837 83.7%k k

k

P( B ) . . .k

100 100 0.7 66 100 0.765 100 6.54 0.87 0.5 0.3078

100 0.7 0.3 100 0.7 0.380.8%

- -P( B )

MATEMATIKA 2


12

Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve

Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova.

Ko je produkt n.p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši.

b(50,0.4)

P(20)

b(100,0.02)

P(2)

N(2,1.4)

N(20,3.46)

MATEMATIKA 2

Documents

Transcript of MATEMATIKA 2