Matematika 1

V. Balek

UČEBNICE

J. B. Zel’dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV.

Alfa, Bratislava, 1973.

I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium tech-

nických vied, Alfa, Bratislava, 1961.

ZBIERKY ÚLOH

J. Eliaš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky,

2. čast’. Alfa, Bratislava, 1966.

B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu

analizu. Nauka, Moskva, 1977.

1. Definícia derivácie

Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a ?

predmet

derivácie ↔ dotyčnice

integrály ↔ plochy

APLIKÁCIE

- statika mostov

- obiehanie družice okolo Zeme

- obtekanie krídla lietadla vzduchom

- rozpínanie plynu v 4-taktnom motore

atd’. atd’.

PRÍKLAD: otáčanie mosta Košická

priehyb mosta = vypočítaný priehyb s presnost’ou 0,001 (!)

- kl’účové slovo: diferenciálne rovnice

- nielen AKO, ale aj PREČO

1

D r á h a a k o f u n k c i a č a s u

s = dráha (meraná v km)

t = čas (meraný v hod)

interval hodnôt t

hodnota s pre každé t (= s(t)). . . FUNKCIA (= s(t))

- interval t = definičný obor

spojitý

diskrétny

- t = nezávisle premenná alebo argument

- s = závisle premenná

- s(0), s(1), . . . = hodnoty funkcie v t = 0, 1, . . .

s(t) = priradenie s všetkým t z definičného oboru

- s(t) = predpis

- musí byt’ JEDNOZNAČNÝ (jedno t - jedno s)

- znázornenie: graf funkcie

2

t

s

zapcha

radar

MESTO B

MESTO A

3

P r i e m e r n á a o k a m ž i t á r ý c h l o s t’

dráha ∆s za čas ∆t . . . v =∆s

∆t

∆t = t2 − t1

∆s = s(t2) − s(t1). . . v =

s(t2) − s(t1)

t2 − t1

LIMITA:

limx→a

f(x) = hodnota, ku ktorej sa blíži f(x), ak sa x blíži k a

⇒ v = lim∆t→0

∆s

∆t

t1 = t

t2 = t + ∆t. . . v = lim

∆t→0

s(t + ∆t) − s(t)

∆t

- iba INTUITÍVNA definícia

- f(x) sa musí chovat’ "slušne" v okolí x = a

- "lim": vid’ "limes"

PRÍKLAD: lineárna funkcia

s = αt + β (↔ rovnomerný pohyb auta)

⇒ ∆s

∆t=

1

∆t[α(t + ∆t) + β − αt− β] = α

⇒ lim∆t→0

∆s

∆t= α

4

D e r i v á c i a

df

dx= lim

∆x→0

∆f

∆x

⇒ v =ds

dt

- iné označenie: f ′(x) alebo f ′

- derivácia je TIEŽ FUNKCIA

→ 2. derivácia, 3. derivácia, . . .

=d2f

dt2,d3f

dt3, . . . alebo f ′′, f ′′′, f

(IV ). . .

PRÍKLADY

s = t2 :∆s

∆t=

1

∆t

[(t + ∆t)2 − t2

]= 2t+ ∆t ⇒ ds

dt= 2t

s = 1/t :∆s

∆t=

1

∆t

[1

t + ∆t− 1

t

]

= − 1

t(t + ∆t)⇒ ds

dt= − 1

t2

f = αg + βh :∆f

∆x= α

∆g

∆x+ β

∆h

∆x⇒ df

dx= α

dg

dx+ β

dh

dx

most Košická: pružná tyč ↔ y(x)

y(IV ) = −k, y(0) = y′′(0) = y(1) = y′′(1) = 0

5

tvar tyče pri k = 1:

0 0,5 1

-0,01

x

y

priehyb tyče =5

384k

6

2. Funkcie a grafy

P o j e m f u n k c i e

f(x): každé x ∈ M . . . JEDINÉ y = f(x)

(f : M → N alebo R x 7→ y)

y

x

f f f

GRAF FUNKCIE:

bod ↔ súradnice (x, y) (kartézske)

x

y dany bod

pociatok

7

graf f(x) = množina bodov (x, f(x)) pre všetky x ∈ M

- zostrojenie: konečný krok v x + lomená čiara

- príklad: GRAFICKÉ RIEŠENIE ROVNICE

O p e r á c i e s f u n k c i a m i

a n e p r i a m o z a d a n é f u n k c i e

1. Inverzná funkcia

f(x) je prostá ⇔ pre každé x1 6= x2 platí f(x1) 6= f(x2)

finv(y) = hodnota x, pre ktorú f(x) = y

- príklad: y = x2 → y = ±√x (DVE funkcie f±(x))

x x

y y

0 1 2 0 2 4

2

4

1

2

8

2. Zložená funkcia

fzlož (x) = f(g(x)) = hodnota f(u) pri u = g(x)

(fzlož = f ◦ g)

- f(u) = vonkajšia funkcia, g(x) = vnútorná funkcia.

- príklad: y =√u, u = 2x− x2 → y =

√2x− x2

x

x

y

u1 0 1 2

1

12

3. Implicitná funkcia

y = f(x) ↔ F (x, y) = 0

9

- príklad: ELIPSA ↔ x2

a2+y2

b2= 1 → 2 funkcie f±(x)

4. Parametricky zadaná funkcia

y = f(x) ↔ x = X(t), y = Y (t)

- príklad 1: ELIPSA ↔ x = a cosχ, y = b sinχ

- príklad 2: ARCHIMEDOVA ŠPIRÁLA

polárne súradnice (r, φ): x = r cosφ, y = r sinφ

⇒ r = φ → ∞ vel’a funkcií f1(x), f2(x), . . .

E l e m e n t á r n e f u n k c i e

1. Mocninná funkcia

y = xp

- p =n

m: xp = m

√xn

- p > 0 iracionálne: xp = limP→p

xP , P =n

m

- p < 0 : xp =1

x|p|

2. Goniometrické funkcie

10

y = sinx, cos x, tg x, cotg x

- 1 rad =360◦

2π

- inverzné funkcie: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x

3. Exponenciálna a logaritmická funkcia

y = ax, logax (a > 0)

y = ex, lnx ≡ logex

- e = Eulerovo číslo .= 2,71828

funkcie dané analyticky:

lin. kombinácia & súčin & skladanie

POLYNÓM:

y = anxn + an−1x

n−1 + . . .︸ ︷︷ ︸

n+1 členov

- lineárna funkcia: y = px + q ↔ priamka

p = tg uhla medzi priamkou a osou x≡ smernica priamky

- kvadratická funkcia: y = ax2 + bx + c ↔ parabola

11

3. Vlastnosti funkcií. Limita.

E š t e o e l e m e n t á r n y c h f u n k c i á c h

1. Mocninná funkcia

x

1y

3

2

1

2 310

23

1/31/2

-1/2-1-2

210 x

2

1

y

- p

> 0: y → 0, ak x→ 0 / y → ∞, ak x→ ∞< 0: y → ∞, ak x→ 0 / y → 0, ak x→ ∞

- p2 > p1: y2 < y1, ak 0 < x < 1 / y2 > y1, ak x > 1

- p = ± n

m, m nepárne: aj x < 0

NÁSOBENIE A UMOCŇOVANIE:

xpxq = xp+q, (xp)q = xpq

(vid’ xn = x.x . . .︸ ︷︷ ︸n členov

)

12

POLYNÓM: najviac n koreňov

x

y

x1 x2 x3 x4

2. Goniometrické funkcie

xx

yy

0

2

-1

1

-2

0

-1

1

π π ππππ/2 /2 /223

cos sin

tg

tg

cotg

- sú periodické s periódou 2π (sin, cos) a π (tg, cotg)

13

- hodnoty pre význačné uhly:

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

sinx 01

2

1√2

√3

21

cosx 1

√3

2

1√2

1

20

SÚČTOVÉ VZORCE:

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sinβ

- dôkaz vzorca č. 1:

1

βα

α

βsin

βcos

αcos βsin

βcos αsin

14

3. Exponenciálna a logaritmická funkcia

0 1 2 3

-1

0

1

-1 0 1

1

2

3

y y

exp

ln

x

x

exey = ex+y ↔ ln(xy) = lnx + ln y

(ex)p = epx ↔ ln(xp) = p lnx

15

P o j e m l i m i t y

ACHILLES VS. KORYTNAČKA:

t

s

t1

t2

t1 =l

vA, t2 =

vkt1vA

, t3 =vkt2vA

, . . .

⇒ tcelk = (1 + q + q2 + . . .)t1, q =vkvA

112

14

⇒ 1 +1

2+

1

4+ . . . = 2

⇒ q =1

2: tcelk = 2t1 =

l

vA − vk

16

sn = 1 +1

2+

1

4+ . . .

︸ ︷︷ ︸n+1 členov

: ∆sn ≡ 2 − sn =1

2n.= 10−0,3n

⇒ n > 3 : ∆sn < 0, 1; n > 6 : ∆sn < 0, 01; . . .

⇒ n > dostatoč. vel’ké N : ∆sn < l’ub. malé ǫ

limn→∞

an = a ⇔ n > dostatoč. vel’ké N : |an − a| <

< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃N ∀n > N : |an − a| < ǫ)

"postupnost’ A. a korytnačky": N = − log2 ǫ zaokrúhlené nahor

LIMITA FUNKCIE

limx→a

f(x) = b ⇔ |x− a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| <

< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃δ ∀|x− a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)

- f(a) existuje & limx→a

f(x) = f(a): f(x) je spojitá v a

- funkcia ↔ f(x), g(x), . . .: lim ↔ lim f(x), lim g(x), . . .

- lim v +∞: x > dostatoč. vel’ké M ↔ |f(x) − b| <

< l’ub. malé ǫ; lim v −∞ a lim = ±∞: analog.

- |lim| < ∞: f(x) konverguje, lim = ±∞: f(x) diverguje

17

P r í k l a d y

1. limx→1

x2 − 1

x3 − 4x + 3= ?

čit. = (x− 1)(x + 1)

men. = (x− 1)(x2 + x− 3)⇒ zlomok =

x + 1

x2 + x− 3

⇒ limita =1 + 1

1 + 1 − 3= −2

INÝ POSTUP: zapíšeme x = 1 + ǫ a urobíme limitu ǫ→ 0

⇒ zlomok =1 + 2ǫ + . . .− 1

1 + 3ǫ + . . .− 4(1 + ǫ) + 3=

2ǫ + . . .

−ǫ + . . .=

= −2 + . . .

1 + . . .⇒ limita = −2

2. limx→1

x2 + 1

2x2 + x− 3= ?

zlomok =1 + . . . + 1

2(1 + 2ǫ + . . .) + 1 + ǫ− 3=

2 + . . .

3ǫ + . . .⇒ lim

x→1±(...)

(limita "pre x blížiace sa k 1 sprava a zl’ava") = ±∞

3. limx→∞

x2 + 1

2x2 + x− 3= ?

zlomok =1 + 1

x2

2 + 1x− 3

x2

(

=1 + . . .

2 + . . .

)

⇒ limita =1

2

18

VELIČINA RÁDU ǫn:

f(ǫ) = O(ǫn) ⇔ limǫ→0

f(ǫ)

ǫn= KONEČNÁ konštanta (6= 0)

ešte raz 1: x2 − 1 = 2ǫ +O(ǫ2), x3 − 4x + 3 = −ǫ +O(ǫ2)

⇒ x2 − 1

x3 − 4x + 3=

2 +O(ǫ)

−1 + O(ǫ)⇒ lim

x→1(. . .) = lim

ǫ→0(. . .) =

=2 + lim

ǫ→0O(ǫ)

−1 + limǫ→0

O(ǫ)= −2

19

4. Výpočet limít. Derivácia.

D v e d ô l e ž i t é l i m i t y

1. limx→0

sinx

x

x

xy

y1

1

x > 0 : y < x < y1 =y

√

1 − y2

⇒ x√1 + x2

< y < x ⇒ 1√1 + x2

<y

x< 1

limx→0

1√1 + x2

aj 1 = 1 ⇒ limx→0+

y

x= 1

(f(x) < g(x) ⇒ limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x) − dôkaz sporom)

x < 0 : rovnaký postup ⇒ limx→0−

y

x= 1

⇒ dôležitá limita č. 1: limx→0

sinx

x= 1

20

2. limn→∞

(

1 +1

n

)n

{(

1 +1

n

)n

, n = 1, 2, . . .

}

je rastúca & zhora ohraničená

D:(

1 +1

n

)n

= 1 + n1

n+n(n− 1)

2

1

n2+n(n− 1)(n− 2)

3!

1

n3+

+ . . . = 1 + 1 +1

2

(

1 − 1

n

)

+1

3!

(

1 − 1

n

)(

1 − 2

n

)

+ . . .

⇒(

1 +1

n + 1

)n+1

= 1 + 1 +1

2

(

1 − 1

n + 1

)

+1

3!×

×

(

1 − 1

n + 1

)(

1 − 2

n + 1

)

+ . . . + člen č. n + 2 >

(

1 +1

n

)n

&

(

1 +1

n

)n

< 1 + 1 +1

2+

1

3!+ . . . < 1 + 1 +

1

2+

1

4+

+ . . . < 3 (vid’ Achilles a korytnačka) �

DÔSLEDOK:{(

1 +1

n

)n

, n = 1, 2, . . .

}

má limitu

D: štandardný postup: zavedie sa suprémum = horná hranica,

kt. je < ∀ ostatné horné hranice & dokáže sa, že lim = sup;

21

rýchly postup: n ↑: jednotky ↑ na 2, desatiny ↑ na 7/10,

stotiny ↑ na 1/100 . . . ⇒ an ↑ na 2,71828. . . �

⇒ dôležitá limita č. 2: limn→∞

(

1 +1

n

)n

= e

(DEFINÍCIA e!)

R o z v o j e d o 1. r á d u

VELIČINA ZANEDBATEL’NÁ V RÁDE ǫn:

f(ǫ) = o(ǫn) ⇔ limǫ→0

f(ǫ)

ǫn= 0

1. (1 + x)p = 1 + px + o(x)

D. pre p =n

m: (1 + x)p = qn, q = (1 + x)

1m

⇒ (1 + x)p − 1 = qn − 1 = (q − 1)(1 + q + q2 + . . . + qn−1) =

= (qm − 1)︸ ︷︷ ︸

x

1 + q + q2 + . . . + qn−1

1 + q + q2 + . . . + qm−1⇒ lim

x→0

1

x× dtto =

n

m�

pr.: limx→1

√x− 1√

1 + 3x− 2= lim

ǫ→0

√1 + ǫ− 1

√

1 + 3(1 + ǫ) − 2=

= limǫ→0

1 + ǫ/2 + o(ǫ) − 1

2[1 + 3ǫ/8 + o(ǫ)] − 2= lim

ǫ→0

ǫ/2 + o(ǫ)

3ǫ/4 + o(ǫ)=

22

= limǫ→0

1/2 + o(1)

3/4 + o(1)=

1/2 + limǫ→0

o(1)

3/4 + limǫ→0

o(1)=

2

3

2. sinx = x + o(x), cosx = 1 − 1

2x2 + o(x2)

D: sinx vid’ dôležitá limita č. 1, cos x− 1 =cos2 x− 1

cos x + 1=

= − sin2 x

cosx + 1⇒ lim

x→0

1

x2× dtto = −1

2�

3. ex = 1 + x + o(x)

D: e = limx→∞

(

1 +1

x

)x

(spoj. verzia dôležitej limity č. 2,

plynie z monotón.(

1 +1

x

)x

) ⇒ ex =

[

limp→∞

(

1 +1

p

)p]x

=

= limp→∞

(

1 +1

p

)px

(limita zlož. funkcie) = limn→∞

(

1 +x

n

)n

(spoj. p → pn =n

x); 1 + x <

(

1 +x

n

)n

< 1 + x +x2

2 − x

(binom. veta) ⇒ 1 + x ≤ ex ≤ 1 + x +x2

2 − x(veta o

limite nerovnosti) ⇒ limx→0

ex − 1

x= 1 (ešte raz veta o limite

nerovnosti) �

23

D e f i n í c i a d e r i v á c i e

f ′(x) = lim∆x→0

∆f

∆x

(

= limx2→x1

f(x2) − f(x2)

x2 − x2

)

- derivácia = SMERNICA DOTYČNICE

x

y

x∆

y∆y∆0

secnica

dotycnica

∆x→ 0: ∆y → ∆y0, sečnica → dotyčnica

24

5. Vlastnosti derivácie. Priebeh funkcie.

D e r i v á c i e e l e m e n t á r n y c h f u n k c i í

1. xp: (x+∆x)p = xp(

1 +∆x

x

)p

= xp[

1 + p∆x

x+ o(∆x)

]

=

= xp + pxp−1∆x + o(∆x) ⇒ (xp)′ = pxp−1

2a. sinx: sin(x + ∆x) = sinx cos ∆x + cos x sin ∆x = sinx ×

× [1 + o(∆x)] + cosx[∆x + o(∆x)] = sinx + cos x ∆x + o(∆x)

⇒ (sinx)′ = cos x

2b. cos x: cos(x + ∆x) = cosx cos ∆x− sinx sin ∆x = cos x ×

× [1 + o(∆x)] − sinx[∆x + o(∆x)] = cosx− sinx ∆x + o(∆x)

⇒ (cosx)′ = − sinx

3. ex: ex+∆x = exe∆x = ex [1 + ∆x + o(∆x)] = ex + ex∆x+

+o(∆x) ⇒ (ex)′ = ex

2 pravidlá: (kf)′ = kf ′, [f(kx)]′ = kf ′(kx) ⇒ (kx)′ = k,

(kx2)′ = 2kx, . . .,

[sin(kx)]′ = k cos(kx)

[cos(kx)]′ = −k sin(kx), (ekx)′ = kekx

25

g

g

g sinα

α

φ l

g

1. Vol’ný pád

d2s

dt2= g ⇒ s =

1

2gt2 (Galileo)

D:d

dt

(1

2gt2)

= gt,d

dt(gt) = g �

NAKL. ROVINA: g → g sinα× 5

7

(5

7=

1

1 + 25

,2

5↔ rotácia gul’ôčky)

2. Malé kmity

d2φ

dt2= −ω2φ, ω =

√g

l

⇒ φ = φ0 cos(ωt), T = 2π

√

l

g

D:d

dtcos(ωt) = −ω sin(ωt),

d

dt[−ω sin(ωt)] = −ω2 cos(ωt) �

26

3. Rozpad jadier

dN

dt= −λN , λ = rozpad. konšt.

⇒ N = N0e−λt, t1/2 =

ln 2

λ

D:d

dte−λt = λe−λt �

V e t y o d e r i v á c i a c h

1. Derivácia lineárnej kombinácie: (αf + βg)′ = αf ′ + βg′

D: triviálny

2. Derivácia súčinu: (fg)′ = f ′g + fg′ (Leibnitz)

D: ∆(fg) = (f + ∆f)(g + ∆g) − fg = ∆fg + f∆g + ∆f∆g,

∆f aj ∆g = O(∆x) ⇒ ∆(fg) = ∆fg + f∆g +O(∆x2) �

dôsledok: (fgh . . .)′ = f ′gh . . . + fg′h . . . + fgh′ . . . + . . .

pr.: (xn)′ = (x . x . x . . .︸ ︷︷ ︸n členov

)′ = 1 . x . x . . . + x . 1 . x . . .+

+x . x . 1 . . . + . . . = nxn−1

27

3. Derivácia inverznej funkcie: y = finv(x): y′ =1

f ′(finv(x))

D:∆y

∆x=

1

∆x/∆y; podrobne:

∆finv∆x

=finv(x + ∆x) − finv(x)

∆x=

=∆u

f(u + ∆u) − f(u)

∣∣∣∣u=finv(x), u+∆u=finv(x+∆x)

⇒ f ′inv(x) =

=1

f ′(u)

∣∣∣∣u=finv(x)

�

pr. 1: y = arcsin x: x = sin y, x′ = cos y =

√

1 − sin2 y (y

je z intervalu(

−π2,π

2

)

) =√

1 − x2 ⇒ y′ =1√

1 − x2; y =

= arccos x: − dtto (y je z intervalu (0, π))

pr. 2: y = lnx: x = ey, x′ = ey = x ⇒ y′ =1

x

4. Derivácia zloženej funkcie: y = f(g(x)): y′ = f ′(g(x))g′(x)

D:∆y

∆x=

∆y

∆u

∆u

∆x; podrobne:

∆fzlož

∆x=f(g(x + ∆x)) − f(g(x))

∆x×

×g(x + ∆x) − g(x)

g(x + ∆x) − g(x),

∆f

∆g=f(u + ∆u) − f(u)

∆u

∣∣∣∣u=g(x), u+∆u=g(x+∆x)

⇒ f ′zlož(x) = f ′(u)|u=g(x) g′(x) �

28

pr.:[(

1 +1

x

)x]′=

{

exp[

x ln

(

1 +1

x

)]}′= exp(. . .)×

×

[

ln

(

1 +1

x

)

+ x .1

1 + 1/x.−1

x2

]

=

(

1 +1

x

)x−1

×

×

[(

1 +1

x

)

ln

(

1 +1

x

)

− 1

x

]

dôsledky:(

1

f

)′= − f ′

f 2,

(f

g

)′=f ′g − fg′

g2

pr.: (tg x)’ =(

sinx

cos x

)′=

cos x . cosx− sinx . (− sinx)

cos2 x=

=1

cos2 x, (cotg x)’ = − 1

sin2 x

5. Derivácia implicitnej funkcie: vyjadruje sa cez parc. derivácie

− nebudeme robit’

6. Derivácia parametricky zadanej funkcie: y′(x) =Y ′(t)

X ′(t)

∣∣∣∣X(t)=x

D:∆y

∆x=

∆y/∆t

∆x/∆t�

pr.: ELIPSA: y′ =b cosχ

−a sinχ= −b

2

a2

x

y

29

M o n o t ó n n o s t’. M i n i m á a m a x i m á.

y′(x)

> 0

< 0⇒ y(x)

rastie

klesá

y′ = rýchlost’ rastu / y′ < 0 : |y′| = rýchlost’ klesania

pr. 1:d(nálada)

d(vzdialenost’ od zubár. kresla)> 0

pr. 2.: y = x lnx + 1 − x, x > 1: y′ = lnx > 0 ⇒ y ↑,

y(1) = 0 ⇒ y > 0;[(

1 +1

x

)x]′∝ y

(

1 +1

x

)

⇒ dtto > 0

pri x > 0 ⇒(

1 +1

x

)x

↑ pri x > 0

y′(a) = 0 ⇒

y′ v a ↑ (y′′(a) > 0): y má MINIMUM v a

y′ v a ↓ (y′′(a) < 0): y má MAXIMUM v a

3. možnost’: INFLEX. BOD, spoločný názov: extrémy

x

y

x

y

x

yMIN MAX INFL.BOD

30

vh

1. Zvislý vrh nahor

y = vt− 1

2gt2 :

dy

dt= v − gt

⇒ tmax =v

g, h = y(tmax) =

v2

2g

2. Šikmý vrh

x

y

d

v

α

x = vxt

y = vyt−1

2gt2

⇒ tdopad =2vyg, d = x(tdopad) =

2vxvyg

vx = v cosα

vy = v sinα⇒ d ∝ 2 sinα cosα = sin(2α)

d′(α) ∝ 2 cos(2α) = 0, 0 < α <π

2⇒ αmax =

π

4

31

6. Diferenciál. L’Hospitalovo pravidlo. Taylorov rad.

D i f e r e n c i á l

∆x (prírastok x) → ∆y (prírastok y) = y(x + ∆x) − y(x)

df. 1: dx (diferenciál x) = ∆x

df. 2: dy (diferenciál y) = y′(x)dx

- ∆y = dy + o(∆x) ⇒ dy = lineárna čast’ prírastku y

- "inžinierska" df.: dy = INFINITEZIMÁLNY prírastok y

x

y

∆

y∆ dy

x= dx

y′ =dy

dx("dy podl’a dx" aj "dy lomeno dx")

32

L’ H o s p i t a l o v o p r a v i d l o

PRAVIDLO 1 (pre limitu typu 00):

f ′(x), g′(x) ex. v okolí a (⇒ f(x), g(x) sú spojité v okolí a)

& limx→a

f(x) aj limx→a

g(x) = 0 & limx→a

f ′(x)

g′(x)ex. (aj ∞-ná)

⇒ limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

D. ak f ′(a), g′(a) ex. a g′(a) 6= 0:

f(x) = f ′(a)∆x + o(∆x)

g(x) = g′(a)∆x + o(∆x)

⇒ f(x)

g(x)=f ′(a) + o(1)

g′(a) + o(1)⇒ lim

x→a

f(x)

g(x)=f ′(a)

g′(a)�

pr.: limx→1

x3 − 3x + 2

x4 − 4x + 3= lim

x→1

3x2 − 3

4x3 − 4= lim

x→1

6x

12x2=

1

2

PRAVIDLO 2 (pre limitu typu ∞∞):

f ′(x), g′(x) ex. v okolí a & f ′2(x) + g′2(x) je všade 6= 0

& limx→a

f(x) aj limx→a

g(x) = ∞ & limx→a

f ′(x)

g′(x)ex. (aj ∞-ná)

⇒ limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

33

D: F =1

f, G =

1

g⇒ lim

x→a

F

G= lim

x→a

F ′

G′ = limx→a

f ′/f 2

g′/g2=

= limx→a

f ′F 2

g′G2= lim

x→a

f ′

g′

(

limx→a

F

G

)2

⇒ limx→a

f

g= lim

x→a

G

F=

=

(

limx→a

F

G

)−1

= limx→a

f ′

g′�

- podmienka na f ′2 + g′2: kvôli osciláciam f , g

- obe pravidlá platia aj pre ∞-né a (D: u = 1/x)

EŠTE JEDNA DÔLEŽITÁ LIMITA:

limx→∞

xpe−x = 0 pre ∀p > 0

(ex rastie rýchlejšie než l’ub. mocnina x)

D: limx→∞

xe−x = limx→∞

x

ex= lim

x→∞1

ex(pravidlo 2) = 0, . . . �

pr.: limx→0

xx = limx→0

eln x.x = limu→−∞

eueu

= e0 = 1

T a y l o r o v r a d

Rolleova veta: f(x) je spoj. na 〈a, b〉 & f ′(x) ex. a je konečná

na (a, b) & f(a) = f(b): f ′(ξ) = 0 v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)

34

(dôkaz sporom)

Lagrangeova veta: dtto s l’ub. f(a), f(b): f ′(ξ) =f(b) − f(a)

b− a

v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)

D: f(x) = f0(x) + zlomok × (x− a) �

x

y

x

yROLLE LAGRANGE

⇒ f(x) = f(a) + f ′(ξ)(x− a), ξ = a + Θ(x− a), 0 < Θ < 1

Taylorova veta: f(x) je spojitá na 〈a, b〉 aj s f ′, f ′′, . . . f (n) &

f (n+1)(x) ex. a je konečná na (a, b):

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1

2f ′(a)(x− a)2 + . . .+

+1

n!f (n)(a)(x− a)n +

1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)(x− a)n+1

35

prvých n členov = T. polynóm, n + 1. člen = T. zvyšok

D pre n = 2: Q(t) = f(t) + f ′(t)(x− t) +(x− t)2

(x− a)2R(x), R(x) =

= T. zvyšok �

TAYLOROV RAD:

T. zvyšok → 0 pri n→ ∞:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1

2f ′(a)(x− a)2 + . . .

- polomer konvergencie: po prvé ∞ v komplex. rovine

- rozvoj okolo nuly = McLaurinov rad

- rozvoje elementárnych funkcií:

(1 + x)p = 1 + px +1

2p(p− 1)x2 + . . .

sinx = x− 1

3!x3 +

1

5!x5 + . . .

cosx = 1 − 1

2x2 +

1

4!x4 + . . .

ex = 1 + x +1

2x2 +

1

3!x3 + . . .

ln(1 + x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 + . . .

36

7. Neurčitý integrál

P o j e m n e u r č i t é h o i n t e g r á l u

a

v

dv

dt= a : v = at? NIE

v = at + v0

a

s

ds

dt= at : s =

1

2at2? NIE

s =1

2at2 + s0

37

funkcia → iná funkcia + konštanta

a

t

v

v

t t

t

s

DEFINÍCIA NEURČ. INTEGRÁLU

- primitívna funkcia k f(x): F ′(x) = f(x), F (x) = špec. riešenie

- neurčitý integrál z f(x): NI ′(x) = f(x), NI(x) = VŠEOBECNÉ

riešenie ⇒ NI(x) = F (x) + C, C = neurčitá konštanta

(často: NI(x) = F (x), ALE správny je vzorec s C)

38

C

C4

C3

C2

C1

F(x) + C4

F(x) + C3

F(x) + C2

F(x) + C1

39

OZNAČENIE NEURČ. INTEGRÁLU:

neurčitý integrál z f(x) =∫

f(x)dx

-∫

= pretiahnuté S, S = suma (súčet)

- f(x) = F ′(x) ⇒ f(x)dx = dF ,∫

f(x)dx = F (x) + C

⇒∫

dF = F (x) + C ⇒∫

= operácia inverzná k d

- prečo "suma"? dF.= ∆F pri malom ∆x ⇒ F (x)

.= F (a)+

+ súčet dF na intervale (a, x);∫

dF = súčet INFINITEZI-

MÁL. dF bez udania a ⇒∫

dF = F (x) + C

x

F

∆F

dFdF

40

f(x)

∫

f(x)dx

xp, p 6= −1xp+1

p + 1

sinx − cosx

cosx sinx

ex ex

1

xln |x|

atd’.

-∫

z lin. komb. = lin. komb.,∫

zo súčinu − NEDÁ SA

(integrovanie nie je algoritnické)

41

I n t e g r a č n é m e t ó d y

1. Integrácia per partes:∫

uv′dx = uv −∫

u′vdx

D: uv′ = (uv)′ − u′v (Leibnitz) �

pr. 1:∫

lnxdx, pr. 2:∫

ex sinxdx

2. Substitúcia:∫

u(v)dv =

∫

u(v(x))v′(x)dx

D:∫

u(v)dv =

∫

dU, U = U(v(x)) ⇒ dU vid’ derivácia

zloženej funkcie �

pr. 1:∫

xdx

1 + x2, pr. 2:

∫

sin3 xdx, pr. 3: traktrix = krivka,

ktorej vzdialenost’ od p meraná po dotyčnici sa rovná a; úloha:

nájst’ traktrix s p = Oy a a = 1

(výpočet∫

dx

1 − x2= rozklad na parc. zlomky)

42

8. Určitý integrál

P o j e m u r č i t é h o i n t e g r á l u

v

s∆

t:∆

∆s.= v∆t, v = rýchlost’ na začiatku ∆t

∆s na (tA, tB) = ?

krok 1: rozdelíme (tA, tB) na n podintervalov

tA tB

t0 t1 t2 t3 t4 tntn-1

(hraničné body: t0 = tA, t1 = tA + ∆t, t2 = tA + 2∆t, . . .,

tn = tB, kde ∆t =tB − tAn

)

krok 2: na ∀ podintervale použijeme vzorec ∆s.= v∆t

43

⇒ ∆spribliž =n∑

i=1

v(ti−1)∆t

(df.∑

:n∑

i=1

ai = a1 + a2 + . . . + an)

krok 3: urobíme limitu n→ ∞

⇒ ∆s = limn→∞

n∑

i=1

v(ti−1)∆t

pr.: ROVNOMERNE ZRÝCHLENÝ POHYB

v = at, a = konšt

tA tB t

v

44

∆spribliž =n∑

i=1

ati−1∆t =n∑

i=1

a[tA + (i− 1)∆t]∆t = a ×

×

[

ntA +n(n− 1)

2∆t

]

∆t = a

[

tA +1

2

(

1 − 1

n

)

(tB − tA)

]

×

× (tB − tA) ⇒ ∆s =1

2a(t2B − t2A)

- ∆s = S(vel’ký∆) − S(malý∆) = S(lichobežník)

tA tB t

v

atB

atA

- s(t) =1

2at2, vid’ neurč. integrál: ∆s = s(tB) − s(tA)

DEFINÍCIA URČ. INTEGRÁLU

- (1) delenie D: body x0 = a, x1, x2, . . ., xn = b, (2) výber

bodov ξ: body ξi ∈ 〈xi−1, xi)

45

- čiastočný súčet: σ(D, ξ) =n∑

i=1

f(ξi)∆xi, kde ∆xi = xi − xi−1

a b x

y

- určitý integrál: UI = lim‖D‖→0

σ(D, ξ), kde ‖D‖ (norma D) =

= max |∆xi| (ex. limity: vid’ horné a dolné súčty)

OZNAČENIE URČ. INTEGRÁLU:

určitý integrál z f(x) na intervale (a, b) =∫ b

a

f(x)dx

(TENTO∫

= naozaj suma!)

- otočenie intervalu:∫ a

b

= −∫ b

a

, skladanie intervalov:∫ b

a

=

46

=

∫ c

a

+

∫ b

c

- geom. význam: b > a : Snad − Spod, b < a : Spod − Snad

N e w t o n o v a - L e i b n i t z o v a v e t a∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a)

D. pre spoj. funkciu f(x):

dané D, l’ub. i: ex. ξi také, že F (xi) − F (xi−1) = F ′(ξi)∆xi

(Lagrange) = f(ξi)∆xi (df. F (x)) ⇒ dané D: ex. ξ také, že

σ(D, ξ) =n∑

i=1

[F (xi)−F (xi−1)] = F (b)−F (a); limita σ(D, ξ) =

= limita σ(D, l’ub. reprezentant ξ) (vid’ limita f(x) pri x→ a

= limita f(x) na postupnosti x1, x2, . . ., ktorá → a)

⇒ limita σ(D, ξ) = F (b) − F (a) �

GEOMETRICKÝ VÝZNAM N. - L. VETY

I(x) =

∫ x

a

f(u)du: I(x) = F (x) − F (a)

⇒ I ′(x) = f(x) (df. F (x)) ⇒ ∆I = f(x)∆x + o(∆x) (súvis

medzi ∆ a d)

47

a x+ u

y

x x∆

VETA O STREDNEJ HODNOTE

f =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx : ex. ξ ∈ (a, b) také, že f(ξ) = f

D: Lagrangeova veta pre F (x)

a b x

y

f

ξ

48

D o d a t o k: r o z k l a d n a p a r c. z l o m k y

P (x), Q(x) = polynómy:∫P (x)

Q(x)dx = ?

- krok 1: znížime stupeň P (x) (ak je vyšší než stupeň Q(x))

- krok 2: zapíšeme Q(x) ako súčin výrazov typu ln(x) a km(x),

kde l(x) = x + a a k(x) = x2 + px + q

- krok 3: prepíšemeP (x)

Q(x)na lin. kombináciu výrazov typu

1

l(x),

1

l2(x), . . .,

1

ln(x)a súčet výrazov typu

L1(x)

k(x),L2(x)

k2(x),

. . .,Lm(x)

km(x), kde L(x) = rx + s; tieto výrazy sa nazývajú

parciálne zlomky

- krok 4: parc. zlomky preintegrujeme

(krok 2: vid’ komplexné koreneQ(x), krok 3: vid’ POSTUPNÉ

znižovanie stupňa Q(x))

pr. 1:∫

4x− 1

x2 + x− 2dx = ?

rieš.: podint. funkcia =4x− 1

(x− 1)(x + 2)=

A

x− 1+

B

x + 2

⇒ 4x− 1 = A(x + 2) +B(x− 1)

49

⇒

A +B = 4

2A−B = −1⇒

A = 1

B = 3

⇒ int. =∫

dx

x− 1+ 3

∫dx

x + 2= ln |x + 1| + 3 ln |x− 2| + C

pr. 2:∫

dx

x4 + 1= ?

rieš.: podint. funkcia =1

(x2 +√

2x + 1)(x2 −√

2x + 1)=

=Ax +B

x2 +√

2x + 1+

Cx +D

x2 −√

2x + 1

⇒ 1 = (Ax +B)(x2 −√

2x + 1) + (Cx +D)(x2 +√

2x + 1)

⇒ A+C =√

2(−A+C)+B+D = A+C+√

2(−B+D) =

= 0, B +D = 1 ⇒ B = D =1

2, A = −C =

1

2√

2

⇒ int. =1

2√

2

(∫

x +√

2

x2 +√

2x + 1dx−

∫x−

√2

x2 −√

2x + 1dx

)

=

= počty, počty, počty =

=1

2√

2

[

1

2lnx2 +

√2x + 1

x2 −√

2x + 1+ arctg (

√2x + 1) + arctg (

√2x− 1)

]

+

+ C

50

9. Výpočet určitého integrálu. Plochy a objemy.

V ý p o č e t u r č i t é h o i n t e g r á l u

1. Integrácia per partes:∫ b

a

uv′dx = uv∣∣∣

b

a−∫ b

a

u′vdx,

kde f∣∣∣

b

a= f(b) − f(a)

2. Substitúcia:∫ b

a

f(x)dx =

∫ t(b)

t(a)

f(x(t))x′(t)dt,

kde t(x) = inv. funkcia k x(t)

pr.:∫ π/2

0

sin2(x)dx = ?

rieš.: x =π

2− t: dx = −dt, int. =

∫ 0

π/2

sin2(π

2− t)

(−dt) =

=

∫ π/2

0

cos2(t)dt =

∫ π/2

0

cos2(x)dx (x = nemá premenná!)

⇒ int. =1

2

∫ π/2

0

sin2(x)dx +1

2

∫ π/2

0

cos2(x)dx =1

2×

×

∫ π/2

0

[sin2(x) + cos2(x)]dx =1

2

∫ π/2

0

dx =π

4

51

x

y

0

1cos sin

π/2

2 2

N e v l a s t n ý i n t e g r á l

1. Integrál divergujúcej funkcie:

a < b & f(x) → ±∞ pri x→ a+:∫ b

a

f(x)dx =

= limx→a+

∫ b

x

f(u)du; f(x) → ±∞ pri x→ b−: analog.

pr.:∫ 1

0

ln(x)dx = −1

2. Integrál na nekonečnom intervale:∫ ∞

a

f(x)dx = limx→∞

∫ x

a

f(u)du,∫ b

−∞f(x)dx analog.

pr.:∫ ∞

0

xe−xdx = 1

52

MOCNINNÉ ASYMPTOTIKY:

f(x) ∼ x−p pri x→ ∞, p > 1: int. f(x) cez 〈a,∞) je konečný;

f(x) ∼ x−p pri x→ 0, 0 < p < 1: int. f(x) cez 〈0, a〉 je konečný

P l o c h y a o b j e m y

plocha kruhu - výpočet 1 (cez mnohouholníky):

α α2

sin

α2

cos

α α2

tg

1

S∓ = n ×

sin(α/2) cos(α/2)

tg (α/2), kde α =

2π

n: S∓ → π

n 4 10 100 1000 10000

S− 2 2.93893 3.13953 3.14157 3.14159

S+ 4 3.24920 3.14263 3.14160 3.14159

53

plocha kruhu - výpočet 2 (cez obdĺžniky):

x

y

1

0 1

S = 4

∫ 1

0

√

1 − x2dx = 4

∫ π/2

0

sin2(φ)dφ = π

pr.:

y1 = 2x2

y2 = 3x2 − 4x + 3: S medzi y1 a y2 =

4

3

54

ROTAČNÉ TELESÁ:

r

z

dz

a b

dr

α

β

S =

∫ β

α

2πr√r′2 + 1 dz, V =

∫ β

α

πr2dz, . . .

pr. 1: S gule = 4πR2, V gule =4π

3R3

pr. 2: I =

∫

r2ρdV , ρ =M

V: I gule =

2

5MR2

55

10. Diferenciálne rovnice

Č o s ú d i f e r e n c i á l n e r o v n i c e ?

algebr. rovnica: neznáma = číslo / dif. rovnica: neznáma =

= FUNKCIA / dif. rovnica n-tého rádu = rovnica, kt. obsahuje

derivácie hl’adanej funkcie po n-tú:

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

pr.: prehnutie mosta Košická, vol’ný pád, harm. kmity . . .

RIEŠENIE:

y = y(x,C1, . . . , Cn)

(môžu ex. aj singulárne rieš., ale o tých nebude reč)

pr. 1: y′ = f(x) → y = F (x) + C, C l’ub.

pr. 2: y′′ = −y → y = a cos(x + ψ), a ≥ 0, 0 ≤ ψ < 2π

- určenie C1, . . . , Cn: začiatočné / okrajové podmienky; pr.:

y′′ = −y, y(0) = 0, y′(0) = 1 → y = sinx

- prepis na n rovníc 1. rádu: y1 = y, y2 = y′, . . . yn = y(n−1)

56

⇒ y′1 = y2, y′2 = y3, . . . , y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn)

zač. podmienky: y1(a) = α1, y2(a) = α2, . . . yn(a) = αn

približné riešenie: x0 = a, x1 = a + h, . . . → y1(xi+1) =

= y1(xi)+y2(xi)h, y2(xi+1) = y2(xi)+y3(xi)h, . . . , yn(xi+1) =

= yn(xi) + f(xi, y1(xi), . . . , yn(xi))h

- systém rovníc l’ub. rádu: TIEŽ systém rovníc 1. rádu

pr.:

x = −x/r3, x(0) = r, x(0) = 0

y = −y/r3, y(0) = 0, y(0) = v, kde bodka =

d

dt, r =

=√

x2 + y2 → v < vII =√

2/r: ELIPSA (Newton)

x

y

v

r

57

LINEÁRNE ROVNICE:

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . . + a0(x)y = b(x)

- homog. rovnica (b = 0): y = C1u1(x)+ . . .+Cnun(x) ("princíp

superpozície"); pr.: y′′ = −y → y = C1 cos x + C2 sinx

- nehomog. rovnica (b 6= 0): y = ypart + predch. rieš., ypart =

= partikulárne rieš.; pr.: y′′ = −y + k → y = k +C1 cos x+

+ C2 sinx

R o v n i c e p r v é h o r á d u

1. Separácia premenných:

P (x) +Q(y)y′ = 0 ⇒ Q(y)dy = −P (x)dx ⇒∫

Q(y)dy =

= −∫

P (x)dx (rozpísaný dôkaz: u(x) = riešenie ⇒ P (x)+

+Q(u(x))u′(x) = 0 ⇒∫

(. . .)dx = 0; subst. y = u(x) v 2.

integrále ⇒ vzt’ah uvedený vyššie)

pr. 1: 2yy′ = 4x3; pr. 2: xyy′ + (x2 + 1)(y2 − 1) = 0

58

2. Substitúcia:

P (y/x) +Q(y/x)y′ = 0 (homogénna rovnica) ⇒ y =

= xu(x): P (u) +Q(u)(u + xu′) = 0 − separuje sa

pr. 1: y2 + (x2 − xy)y′ = 0; pr. 2: parabolické zrkadlo

3. Variácia konštanty (lin. nehomog. rovnica):

y′ + p(x)y = q(x): (1) y′ + p(x)y = 0 → y = Cf(x),

(2) C → c(x)

pr.: y′ − cotg x y = ex sinx

R o v n i c e d r u h é h o r á d u

1. Vylúčenie x:

F (y, y′, y′′) = 0 ⇒ y′ = z(y): F (y, z, zz′) = 0

pr.: y′′ +2

1 − yy′2 = 0

2. Variácia konštánt (lin. nehomog. rovnica):

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u, v: y =

= −u∫vr

Wdx + v

∫ur

Wdx, W (Wronskián) = uv′ − vu′

59

pr.: y′′ − 6x−2y = x lnx, u = x3, v = x−2

2. Metóda charakteristickej rovnice (lin. homog. rovnica s konšt.

koeficientami):

y′′+py′+qy = 0 → λ2+pλ+q = 0 (charakteristická rovnica):

(1) 2 korene: y = C1eλ1x + C2e

λ2x, (2) 1 koreň: y = (C1+

+ C2x)eλx, (3) žiadny koreň: y = [C1 sin(Qx) + C2 cos(Qx)]

× e−px/2, Q =√

q − p2/4

pr.: x + 2νx + ω2x = sin(ω0t) (vynútené kmity tlmeného

oscilátora)

60

11. Opakovanie - matka múdrosti

téma 1: LIMITY

limita

postupnosti: limn→∞

an

funkcie: limx→a

f(x), limx→±∞

f(x)

derivácia: f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x) − f(x)

∆x; rad = súčet

{ai} = limita čiastočných súčtov {ai}:∞∑

i=1

ai = limn→∞

n∑

i=1

ai;

určitý integrál = limita čiastočných súčtov f(x) pri danom

D a ξ:∫ b

a

f(x)dx = lim‖D‖→0

n∑

i=1

f(ξi)∆xi (špec. výber D a

ξ:∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

n∑

i=1

f(a + (n− 1)h)h − rad? NIE)

Definícia limity

limx→a

f(x) = b ⇔ |x− a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| <

< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃δ ∀|x− a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)

(podobne limita v ∞-ne a ∞-ná limita)

dôsledok 1: limita af(x) + bg(x), f(x)g(x), f(g(x))

61

dôsledok 2: limx→0

sinx

x, lim

n→∞

(

1 +1

n

)n

Výpočet limít

metóda 1: ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY

limx→0

cos x− cos(3x)

x2= lim

x→0

cosx− cos(3x)

x2

cos x + cos(3x)

cos x + cos(3x)=

=1

2limx→0

cos2 x− cos2(3x)

x2=

1

2limx→0

− sin2 x + sin2(3x)

x2=

1

2×

× (−1 + 32) = 4

metóda 2: ROZVOJE

limx→0

cos x− cos(3x)

x2= lim

x→0

1 − 12x

2 + . . .−[1 − 1

2(3x)2 + . . .]

x2=

= −1

2+

9

2= 4

metóda 3: L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

limx→0

cos x− cos(3x)

x2= lim

x→0

− sinx + 3 sin(3x)

2x=

= limx→0

− cosx + 9 cos(3x)

2=

−1 + 9

2= 4

(koef. v rozvoji = derivácie, vid’ Taylorov rad: metóda 2

⇔ metóda 3)

62

téma 2: DERIVÁCIE

pravidlo 1: (fg)′ = f ′g+fg′ (Leibnitz); pravidlo 2:(f

g

)′=

=fg′ − f ′g

g2; pravidlo 3: [f(g(x))]′ = f ′(g(x))g′(x) (pravidlo

2 = dôsl. pravidiel 1 a 3)

f(x) f ′(x)

xp pxp−1

sinx cos x

cos x − sinx

tgx1

cos2 x

cotgx − 1

sin2 x

arcsinx

arccosx± 1√

1 − x2

arctgx

arccotgx± 1

1 + x2

ex ex

lnx1

x

derivácia arkusov a logaritmu: vid’ f ′inv(x) =1

f ′(finv(x))

63

Priebeh funkcie

(1) df. obor + asymptotiky; (2) extrémy; (3) oblasti rastu a

klesania; (4) priebeh (schematicky)

y = 3√x2 − x3: (1) x je l’ub., x→ ±∞: y → ∓∞ (yasymp =

= −x +1

3); (2) y′ ∝ 2x− 3x2 = 0 ⇒ x = 0,

2

3; (3) x < 0:

y ↓, 0 < x <2

3: y ↑, x > 2

3: y ↓ ⇒ x = 0 ↔ min., x =

2

3↔

max.

x

y

(4):

2/3

dodatok: KONVERGENCIA T. RADU

ex = 1 + x +1

2x2 +

1

3!x3 + . . . konverguje pre ∀x

64

D: 1 + q + q2 + q3 + . . . konv. pre 0 < q < 1 &∣∣∣∣

an + 1

an

∣∣∣∣

=

=|x|n + 1

< 1 pre n > isté N �

téma 3: INTEGRÁLY

Neurčitý integrál

f(x)

∫

f(x)dx

xp, p 6= −1xp+1

p + 1

sinx − cosx

cos x sinx

ex ex

1

xln |x|

1√1 − x2

arcsinx

1

1 + x2arctgx

1√x2 ± 1

ln(x +√x2 ± 1)

1

1 − x2

1

2ln

1 + x

1 − x

metóda 1:∫

uv′dx = uv −∫

u′vdx (integrácia p.p.)

65

metóda 2:∫

f(x)dx =

∫

f(g(u))g′(u)du (substitúcia)

metóda 3 − iba pre rac. funkcie: rozklad na p. z.

dodatok: ROVNICA TRAKTRIXY

t. s param. 1 = krivka, ktorej vzdialenost’ od Ox meraná po

dotyčnici = 1; ú: nájst’ y(x)

geom. úlohy ⇒ x2(1 + y′2) = 1 ⇒ y = ±∫ √

1 − x2

xdx =

= ±1

2ln

∣∣∣∣∣

1 −√

1 − x2

1 +√

1 − x2

∣∣∣∣∣∓ arcsinx + C

Určitý integrál∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a) (Newton - Leibnitz)

urč. integrál = plocha → rovinné plochy, povrchy, objemy . . .

téma 4: DIFERENCIÁLNE ROVNICE

rovnice 1. rádu: separácia premenných, variácia konštanty;

rovnice 2. rádu: variácia konštánt, charakteristická rovnica

dodatok: PARABOLICKÉ ZRKADLO

p. z. = zrkadlo, ktoré sústred’uje lúče v smere Ox do O; ú:

66

nájst’ y(x)

geom. úlohy ⇒ y

x= − 2y′

y′2 − 1⇒ y′ =

y

x−√

y2

x2+ 1

⇒ y +√

x2 + y2 = a, y =a2 − x2

2a

ešte jeden dodatok: VARIÁCIA KONŠTÁNT

y′′ +p(x)y′ + q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u(x), v(x):

y = αu + βv: y′ = α′u + αu′ + β′v + βv′

y′′ = α′′u + 2α′u′ + αu′′ + β′′v + 2β′v′ + βv′′

⇒ α′′u + α′(2u′ + pu) + β′′v + β′(2v′ + pv) = r

→

α′u + β′v = 0 (1) (postulujeme)

α′u′ + β′v′ = r (2) (dôsledok (1) a pôv. rovnice)

⇒ y = −u∫

vr

Wdx + v

∫ur

Wdx, W = uv′ − vu′

*****************************************************

SKÚŠKA:

U 4.1., U 18.1., Pi 21.1., U 25.1, U 1.2., Pi 11.2. − 9.00

KTFDF; písomka 1 hod. 30 min. + spoločné zhodnotenie

písomky (+ ústna skúška)

67