MATEMATIIKKA PAOJ 1.pintaweb.net/peruslaskuesitys.pdf · 2015-11-03 · SISÄLTÖ 1....
Transcript of MATEMATIIKKA PAOJ 1.pintaweb.net/peruslaskuesitys.pdf · 2015-11-03 · SISÄLTÖ 1....
MATEMATIIKKA
Matematiikkaa
pintakäsittelijöille
Peruslaskutoimitukset
Isto Jokinen 2015
SISÄLTÖ
1. Laskujärjestys 1
2. Murtoluvuilla laskeminen
3. Suureet ja mittayksiköt
4. Potenssi
5. Juuri
6. Tekijäyhtälöiden ratkaiseminen
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
LASKUJÄRJESTYS
Laskujärjestys on seuraava:
1. Sulkeiden sisällä olevat lasketaan ensin
2. Jos sulkeita on useita sisäkkäin, lasketaan
sisimmäisistä ulospäin
3. Kerto- ja jakolaskut
4. Yhteen ja vähennyslaskut
5. Vasemmalta oikealle jos peräkkäin yhteen-
vähennys tai kerto-jakolaskuja.
Esimerkki 1.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
152583255832
LASKUJÄRJESTYS
Esimerkki 2.
Esimerkki 3.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
47153253325)58(32
13111013
1]64[13
1]234[13
1]2)36(4[13
MURTOLUKUJEN KERTOLASKU
Murtolukujen kertolaskussa osittajat ja
nimittäjät kerrotaan keskenään.
Esimerkki 4.
Jos murtoluku kerrotaan kokonaisluvulla
kerrotaan vain soittaja.
Esimerkki 5.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
15
14
5
2
3
7
3
19
3
284
3
7
MURTOLUKUJEN JAKOLASKU
Jos murtoluku jaetaan kokonaisluvulla jaetaan
vain osoittaja.
Esimerkki 6.
Jos murtoluku jaetaan toisella murtoluvulla
vaihdetaan jakajan osoittaja nimittäjä
keskenään. Tämän jälkeen jaettava murtoluku
kerrotaan saadulla jakajalla.
Esimerkki 7.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
5
22
5
4
4
5
24
30
3
5
8
6
5
3
8
6
MURTOLUKUJEN YHTEENLASKU
Murtolukujen yhteenlaskussa on nimittäjiksi
saatava sama luku laventamalla.
Esimerkki 8.
Jos yhteenlaskettavia termejä on useita tehdään
lavennus muiden termien nimittäjien tulolla.
Esimerkki 9.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
15
19
15
10
15
9
3
2
5
3 )5)3
12
23
24
46
24
18
24
16
24
12
4
3
3
2
2
1 2()32)42)43
MURTOLUKUJEN VÄHENNYSLASKU
Murtolukujen vähennyslaskuissa on nimittäjät
lavennettava ensin samannimisiksi kuten
yhteenlaskussa.
Esimerkki 10.
Jos vähennyslaskussa on useampi tekijä
lavennetaan luvut muiden tekijöiden tulolla.
Esimerkki 11.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
28
13
28
8
28
21
7
2
4
3 )4)7
12
19
24
38
24
18
24
16
24
72
4
3
3
2
2
6 )32)42)43
ERI LASKUTOIMITUKSIA SEKAISIN
Jos murtolukulaskuissa on kerto-, jako-, yhteen-
ja vähennyslaskuja sekaisin on laskujärjestys
kuten yleensäkin:
1. Ensin kerto- ja jakolaskut
2. Sitten yhteen- ja vähennyslaskut
Esimerkki 12.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
15
31
15
24
15
7
5
8
15
7
5
8
3
1
5
7 )3
SEKALUKUJEN KERTO-, JAKO-, YHTEEN- JA
VÄHENNYSLASKU
Sekaluvut pitää ennen laskemista muuttaa
murtoluvuiksi. Tämän jälkeen lasketaan
murtolukuina kuten edellä.
Esimerkki 13. Sekalukuja murtolukuina
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
12
43
12
7)123(
12
73
4
49
4
1)412(
4
112
OSOITTAJASSA JA NIMITTÄJÄSSÄ
LASKUTOIMITUKSIA
Osoittajassa ja nimittäjässä olevat
laskutoimitukset lasketaan ensin. Tämän jälkeen
tehdään jakolasku.
Esimerkki 14.
Esimerkki 15.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
510
50
25
2921
2)712(
2973
510
50
25
2921
4
8)712(
3
8773
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA
KERTOLASKUT
Esimerkki 16.
Esimerkki 17.
Esimerkki 18.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
abccba 120546
b
ac
b
ac
b
ca2
10
20
10
54
q
z
yxq
xyz
xq
yz
y
x9
20
180
4
15
5
12
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA
JAKOLASKUT
Esimerkki 19.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
y
b
ay
b
b
a
ay
b
b
a
b
ay
b
a
y
x
y
x
y
x
y
x
4
36
8
12
72
256
32
72
12:
256
32
3
2
75
25
5
1
15
255:
35
25
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA
YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUT
Esimerkki 20.
Esimerkki 21.
Esimerkki 22.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
12
31
12
15
12
16
4
5
3
4 )3)4
yz
xzx
yz
xz
yz
x
y
x
yz
x z
12
2420
12
24
12
20
4
8
3
5 )3)4
y
x
yz
xz
yz
xz
yz
xz
y
x
yz
xz z
6
7
12
14
12
6
12
20
4
2
3
5 )3)4
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT
Suure = lukuarvo × yksikkö
Esimerkiksi 18 kg:ssa 18 on lukuarvo ja kg
yksikkö.
Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä ( SI-
järjestelmässä ) on seitsemän perussuuretta ja
perusyksikköä. Kaikki muut suureet ja yksiköt
on johdannaisyksikköjä jotka perustuvat
perussuureisiin ja perusyksiköihin.
Suureilla on myös tunnukset. Esimerkiksi
massan tunnus on m ja ajan tunnus t.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT
Perussuureet
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
Suure Tunnus Yksikkö
Pituus l m
Massa m kg
Aika t s
Lämpötila T K
Ainemäärä n mol
Sähkövirta I A
Valovoima Cd
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT
Johdannaissuureet
Johdannaissuureita on hyvin paljon. Esimerkiksi
nopeus ( m/s ) on matka jaettuna ajalla.
Kiihtyvyys ( m/s2 ) on nopeus jaettuna ajalla.
Voima taas on massa kertaa kiihtyvyys ( kgm/s2 )
ja työ voima kerrottuna matkalla (kgm/s2 × m )
Molekyylimassa on massa jaettuna ainemäärällä
kg/mol. Konsentraatio on ainemäärä jaettuna
tilavuudella ( mol/dm3 ), jossa taas yksikkö dm3
taas on pituuden yksikkö dm3 on pituuden
yksikkö dm korotettuna kolmanteen potenssiin.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
KERRANNAISYKSIKÖT
Kun jonkin suureen lukuarvo on hyvin suuri tai pieni, käytetään kerrannaisyksikköjä. Tällöin suureen suuruus on helpompi hahmottaa. Esimerkiksi matkan ilmoittaminen metreinä ei olisi selkeää, kun se olisi 420000 m. Selkeämpää on ilmoittaa matka kilometreinä, jolloin se on 420 km. Maalikerroksen paksuus taas on hyvä ilmoittaa mikrometreinä (µm) eikä metreinä. Esim. 180 µm on sopivampi kuin 0,000180 m.
Kerrannaisyksiköitä tulisi käyttää niin, että suureen lukuarvo on välillä 1-999.
Esimerkiksi 50 mg on sopivampi tapa ilmoittaa massa kuin 0,05 g tai 0,00005 kg.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
KERRANNAISYKSIKÖT
Yleisimmin käytettävät kerrannaisyksiköt:
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
Nimi Lyhenne Kerroin
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo k 103
- - 1
Milli m 10 -3
Mikro µ 10 -6
Nano n 10 -9
Piko p 10 -12
POTENSSI
Potenssilaskuissa kantaluku kerrotaan itsellään
eksponentin mukaan.
Esimerkki 23.
Potenssilaskujen laskusäännöt:
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
7776666666
644444
5
3
yxyx
yx
y
x
yxyx
aa
aa
a
aaa
)(
POTENSSI
Potenssilaskujen laskusäännöt:
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
aa
b
a
b
a
baba
c
cc
ccc
1
)(
1
POTENSSI
Potenssilaskujen laskusäännöt:
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
cc
a
b
b
a
aa
2
2 1
POTENSSI
Esimerkkejä 24.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
22515)35(
2259253535
729333333333
8222222
2
12822222222222
22
222
62323
325
2
5
74343
POTENSSI
Esimerkkejä 25.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
64
125
4
5
4
5
5
4
125
1
5
15
16
9
4
3
4
3
3
333
3
3
2
22
JUURI
Juurin on potenssin vastakkainen laskutoimitus
Esimerkkejä 26.
Neliöjuuri luvusta 25 on 5 koska 52 = 25.
Neliöjuuri luvusta 81 on 9, koska 92 = 81.
Kuutiojuuri luvusta 27 on 3, koska 33 = 27.
Neljäs juuri luvusta 256 on 4, koska 44 = 256.
Kahdeksas juuri luvusta 390625 on 5, koska 58 =
390625
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
Tekijäyhtälöiden ratkaisua tarvitaan hyvin
paljon fysiikassa, kemiassa, teknisessä
laskennassa ja ongelmanratkaisutehtävissä.
Tämän vuoksi tekijäyhtälöiden ratkaisun
hallinta on hyvin tärkeää.
Esimerkki 27. Tekijäyhtälöitä:
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
M
mn
t
sv
nRTPV
IRU
t
vva
Fz
tIn
)( 01
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
Tekijän yhtälöstä pitää ratkaista se tekijä jota
kysytään tehtävässä.
Esimerkiksi jos kysytään vastusta ( R ), on
yhtälöstä ratkaistava se. Jos yhtälössä on
pelkkiä kerto- ja jakolaskuja voidaan termejä
siirtää yhtälön puolilta toisiin kun niiden paikat
vaihdetaan nimittäjästä osoittajaan ja
päinvastoin. Tämä vastaa puolittain kertomista
ja jakamista, mutta on yksinkertaisempaa tehdä.
Teknisessä laskennassa laskukaavat ovat
olemassa, mutta niistä joudutaan usein
ratkaisemaan kysytty tekijä.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
Esimerkki 28. Termien siirtoa yhtälöiden
puolista toisille. Ratkaistaan R, I, P, V ja R.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
IR
U
RI
U
IRU
Tn
VPRR
Tn
VP
P
TRnV
V
TRnP
TRnVP
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
Esimerkki 29. Termien siirtoa kun
laskukaavasta halutaan ratkaista I.
Laskukaava on muotoa:
Kun I ratkaistaan on kaikki muut tekijät paitsi I
siirrettävä yhtälön toiselle puolelle. Saadaan:
Tämän jälkeen sijoitetaan luvut arvot m,z,F,M ja
t:n paikoille ja ratkaistaan tehtävä.
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
Fz
tI
M
m
tM
FzmII
tM
Fzm
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
Jos tekijäyhtälössä on yhteen- ja vähennyslaskua
on termit vähennettävä tai lisättävä puolittain.
Esimerkki 30. Kiihtyvyyden yhtälöstä
ratkaistaan loppunopeus v2
Cop
yrig
ht Isto
Jok
inen
20
11
. Kä
yttö
op
etu
kse
ssa te
kijä
n lu
va
lla.
21
12
12
vvta
vvta
t
vva