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PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS CCCOOOMMMUUUNNNEEESSS... - El dominio de la función es la semirrecta positiva R+, ya que y = loga x está definida para x › 0. - El recorrido (Imagen) de la función es el conjunto de los números reales. - loga 1 = 0 ya que a1 = 0 - Todas las funciones pasan por el punto (1,0) - loga a = 1 ya que a1 = 1 - loga (x.x´) = loga x + loga x´ - La función es continua en todo su dominio. - La función no está acotada. PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS QQQUUUEEE DDDEEEPPPEEENNNDDDEEENNN DDDEEE LLLAAA BBBAAASSSEEE... 111ººº...--- BBBaaassseeesss mmmaaayyyooorrreeesss qqquuueee 111 aaa ››› 111 Vamos a ver las propiedades de las funciones cuya base sea positiva, es decir, que sea mayor que 1.

2

- Positiva para valores de x mayores que 1. - Negativa para valores de x menores que 1. - La función es estrictamente creciente. 222ººº...--- BBBaaassseeesss mmmeeennnooorrreeesss qqquuueee 111 aaa ‹‹‹ 111 Vamos a ver las propiedades de las funciones cuya base sea negativa, es decir, que sea menor que 1.

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- Positiva para valores de x menores que 1. - Negativa para valores de x mayores que 1. - La función es estrictamente decreciente. ¿Qué relación existe entre las funciones exponenciales y logarítmicas? Por ser recíprocas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. LLLOOOGGGAAARRRIIITTTMMMOOOSSS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a 0 ; a 1), y un núme r o N positivo y no nulo (N > 0; N 0 ), s e llama logar it mo en b ase a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

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Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe: log a N = x

y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N (notación exponencial).

Notación logarítmica Notación exponencial

CCCooonnnssseeecccuuueeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa dddeeefffiiinnniiiccciiióóónnn dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooo 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.

Así, por ejemplo:

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.

Por ejemplo:

7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.

5

Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9 8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.

PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS DDDEEE LLLOOOSSS LLLOOOGGGAAARRRIIITTTMMMOOOSSS:::

111... LLLooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y Este resultado se puede generalizar para más de dos factores. Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos, loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn

222... LLLooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn cccoooccciiieeennnttteee

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

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333... LLLooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. loga Xn = n loga X Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X

444... LLLooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnnaaa rrraaaííízzz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz. Demostración: Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia. Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo. LLOOGGAARRIITTMMOOSS DDEECCIIMMAALLEESS YY LLOOGGAARRIITTMMOOSS NNEEPPEERRIIAANNOOSS De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e. Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

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log10 X = log X Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales. Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales: log 1 = 0; puesto que 100 = 1. log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000. log 10 = 1; puesto que 101 = 10. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1. Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L: loge X = ln X = LX Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1 El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión Su valor, con seis cifras decimales, es e = 2,718281... CAMBIO DE BASE Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome. Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...

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Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

Demostración: Sea Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene: loga aA = loga bB A loga a = B loga b Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene: RRReeelllaaaccciiióóónnn eeennntttrrreee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss dddeeeccciiimmmaaallleeesss yyy nnneeepppeeerrriiiaaannnooosss Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es: Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es: RRREEELLLAAACCCIIIÓÓÓNNN EEENNNTTTRRREEE LLLOOOSSS LLLOOOGGGAAARRRIIITTTMMMOOOSSS EEENNN BBBAAASSSEEE AAA YYY EEENNN BBBAAASSSEEE 111///AAA log1/a X = - loga X RRREEELLLAAACCCIIIÓÓÓNNN EEENNNTTTRRREEE

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Los logaritmos loga b y logb a son inversos.

RRREEELLLAAACCCIIIÓÓÓNNN EEENNNTTTRRREEE FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN LLLOOOGGGAAARRRÍÍÍTTTMMMIIICCCAAA YYY EEEXXXPPPOOONNNEEENNNCCCIIIAAALLL...

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con: 1o. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones. 2o. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función. En este caso: 1o. En la función logarítmica y = loga x se intercambia x por y, obteniendo: x = loga Y. 2o. Despejando la variable y en x = loga y, se tiene y = ax, es decir la función exponencial. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

EEECCCUUUAAACCCIIIÓÓÓNNN YYY SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDEEE EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS LLLOOOGGGAAARRRÍÍÍTTTMMMIIICCCAAASSS...

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo. Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica. Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas. Ejemplo:

¿¿¿CCCóóómmmooo ssseee rrreeesssuuueeelllvvveeennn eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss???

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Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B. Una vez conseguido, se aplica la equivalencia log A = log B A = B, deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

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111...--- EEExxxppprrreeesssaaarrr aaalllgggeeebbbrrraaaiiicccaaammmeeennnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee iiiggguuuaaallldddaaaddd::: El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y PPPooorrr tttaaannntttooo,,, aaapppllliiicccaaannndddooo eeessstttaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd ooobbbttteeennneeemmmooosss::: AAAlll eeessstttaaarrr ooopppeeerrraaannndddooo eeennn bbbaaassseee 111000::: 111000111 === 111000 TTTooommmaaannndddooo lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: xxx ... yyy === 111000 222...--- EEExxxppprrreeesssaaarrr aaalllgggeeebbbrrraaaiiicccaaammmeeennnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee iiiggguuuaaallldddaaaddd::: El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. PPPooorrr tttaaannntttooo,,, aaapppllliiicccaaannndddooo eeessstttaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd ooobbbttteeennneeemmmooosss::: AAAlll eeessstttaaarrr ooopppeeerrraaannndddooo eeennn bbbaaassseee 111000::: 111000111 === 111000

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TTTooommmaaannndddooo lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: 333...--- EEExxxppprrreeesssaaarrr aaalllgggeeebbbrrraaaiiicccaaammmeeennnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee iiiggguuuaaallldddaaaddd::: Vamos a observar la definición de logaritmo: Tomamos 3 log x, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto nos quedaría: log x3. Ahora tomamos 2 log y: lo mismo, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto esta expresión nos quedará: log y2. Sustituimos en la expresión dada y como estamos operando en base 10, la expresión dada, se nos transformará, en: log x3 + log y2 = log 102 El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y PPPooorrr tttaaannntttooo,,, aaapppllliiicccaaannndddooo eeessstttaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd ooobbbttteeennneeemmmooosss::: Log ( x3 . y2 ) = log 102 TTTooommmaaannndddooo lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: XXX333 ... yyy222 === 111000000 444...--- EEExxxppprrreeesssaaarrr aaalllgggeeebbbrrraaaiiicccaaammmeeennnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee iiiggguuuaaallldddaaaddd::: LLLooo ppprrriiimmmeeerrrooo qqquuueee hhhaaarrreeemmmooosss,,, ssseeerrrááá ooorrrdddeeennnaaarrr lllaaa iiiggguuuaaallldddaaaddd dddaaadddaaa,,, tttrrraaassspppaaasssaaannndddooo ---111 aaalll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: Tomamos 3 log x, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto nos quedaría:

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log x3. El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. PPPooorrr tttaaannntttooo,,, aaapppllliiicccaaannndddooo eeessstttaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd ooobbbttteeennneeemmmooosss::: AAAlll eeessstttaaarrr ooopppeeerrraaannndddooo eeennn bbbaaassseee 111000::: 111000111 === 111000 llloooggg xxx333 ––– llloooggg yyy === llloooggg 111000 TTTooommmaaannndddooo lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: Por tanto: 444...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaasss sssiiiggguuuiiieeennnttteeesss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss::: llloooggg2 xxx === 111 NNN=== aaax 2221 === xxx xxx === 222 llloooggg2 xxx === 333 NNN=== aaax 2223 === xxx xxx === 333 llloooggg2 xxx === ---111 NNN=== aaax 222-1 === xxx xxx === 111///222

llloooggg2 xxx === ---333 NNN=== aaax 222-3 === xxx xxx === 111///888 llloooggg3 888111 === xxx NNN=== aaax 333x === 888111 333x===333444 xxx === 444 llloooggg2 111222888 === xxx NNN=== aaax 222x ===111222888 222x === 222777 xxx === 777 llloooggg5 666222555 === xxx NNN=== aaax 5x = 625 5x = 54 x = 4

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Las raíces son potencias de exponente fraccionario.

xxx===555///222 lllooogggx 111222555 === xxx

Por tanto xxx === 555

LLLooo ppprrriiimmmeeerrrooo qqquuueee hhhaaarrreeemmmooosss ssseeerrrááá,,, eeexxxppprrreeesssaaarrr eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaasss,,, lllaaasss eeexxxppprrreeesssiiiooonnneeesss fffrrraaacccccciiiooonnnaaarrriiiaaasss::: EEEllleeevvvaaammmooosss aaalll cccuuuaaadddrrraaadddooo aaammmbbbooosss mmmiiieeemmmbbbrrrooosss::: XXX === 999 NNN=== aaax PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx2 === 999 XXX === 333 NNN=== aaax XXX === 000,,,111 NNN=== aaax XXX === 666444 NNN=== aaax

15

XXX === 333 NNN=== aaax

XXX === 333 NNN=== aaax

XXX === --- 222 555...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn vvveeemmmooosss qqquuueee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... PPPooorrr tttaaannntttooo;;; 666...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa::: HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: XXX === 111222555 777...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaasss sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa::: 333 +++ 222 llloooggg xxx === 555 HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: PPPaaasssaaammmooosss +++333 aaalll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: 222 llloooggg xxx === 555 ––– 333 222 llloooggg xxx === 222 SSSiiimmmpppllliiifffiiicccaaammmooosss::: llloooggg xxx === 111 XXX === 111000 888...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa:::

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HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: 999...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll 111ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn vvveeemmmooosss qqquuueee eeesss uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... XXX === 000,,,000444 111000...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaa::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn vvveeemmmooosss qqquuueee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... TTTooommmaaammmooosss lllooogggsss... XXX === 666 111111...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa:::

SSSuuummmaaannndddooo aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss ooobbbttteeennneeemmmooosss::: 222 llloooggg xxx === 444 SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo eeennn lllaaa 222ººº EEEcccuuuaaaccciiióóónnn:::

17

yyy === 111000 111222...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ººº DDDeeessspppeeejjjaaammmooosss xxx eeennn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: xxx === 999000 +++ yyy 222ººº OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... llloooggg ((( xxx ... yyy ))) === 333 SSSiii tttooommmaaammmooosss lllooogggsss... nnnooosss qqquuueeedddaaa ::: xxx ... yyy === 111...000000000,,, yyyaaa qqquuueee eeelll 222ªªª mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: 333 === llloooggg 111000333 pppooorrr tttaaannntttooo === 111...000000000 ... PPPaaasssooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: EEEnnn lllaaa nnnuuueeevvvaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn qqquuueee hhheeemmmooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaadddooo::: xxx ... yyy === 111...000000000,,, sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr dddeee xxx qqquuueee hhheeemmmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo eeennn eeelll 111ººº pppaaasssooo yyy ooobbbttteeennneeemmmooosss::: (((999000+++yyy))) yyy === 111...000000000 OOOpppeeerrraaammmooosss::: 999000yyy +++ yyy222 === 111000000000 ooorrrdddeeennnaaammmooosss::: yyy222 +++ 999000yyy ---111...000000000 === 000 AAAhhhooorrraaa yyyaaa rrreeesssooolllvvveeemmmooosss eeessstttaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, pppaaarrraaa cccaaalllcccuuulllaaarrr eeelll vvvaaalllooorrr dddeee yyy::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: yyy === 111000 AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn,,, sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, dddooonnndddeee hhhaaabbbíííaaammmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo xxx::: XXX === 999000 +++111000 === 111000000 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 111000000 111333...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa:::

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111ººº DDDeeessspppeeejjjaaammmooosss yyy eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: yyy === 111000 --- xxx 222ººº OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... EEEnnntttooonnnccceeesss,,, tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaammmooosss eeessstttaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn eeennn uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: TTTooommmaaammmooosss lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: PPPaaasssooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr dddeee xxx eeennn eeelll 111ººº pppaaasssooo dddeeelll eeejjjeeerrrccciiiccciiiooo,,, eeennn dddooonnndddeee hhhaaabbbíííaaammmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, eeelll vvvaaalllooorrr dddeee yyy,,, ooobbbttteeennniiieeennndddooo::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: yyy === 222 EEEsssttteee vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo dddeee yyy,,, lllooo sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn yyy ooobbbttteeennneeemmmooosss::: YYY === 111000 ––– xxx 222 === 111000 ––– xxx --- xxx === --- 888 xxx === 888 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 888 111444...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ººº PPPaaasssooo::: EEEnnn lllaaa ssseeeggguuunnndddaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn vvvaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaa::: VVVaaammmooosss aaa sssuuussstttiiitttuuuiiirrrlllooo eeennn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa::: NNNooosss qqquuueeedddaaarrríííaaa eeessstttaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee mmmaaannneeerrraaa::: AAAhhhooorrraaa dddiiivvviiidddiiimmmooosss eeennntttrrreee eee lllooosss dddooosss mmmiiieeemmmbbbrrrooosss yyy eeessstttááá eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa:::

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EEEnnn eeesssttteee mmmooommmeeennntttooo,,, eeesss cccooonnnvvveeennniiieeennnttteee,,, cccooonnn lllaaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaaccciiióóónnn sssuuufffrrriiidddaaa eeennn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, vvveeerrr cccooommmooo nnnooosss qqquuueeedddaaa eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo::: DDDeeessspppeeejjjaaammmooosss yyy eeennn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: yyy === xxx +++ 111 PPPaaasssooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: VVVaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeeelll sssiiisssttteeemmmaaa... SSSiii ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss,,, nnnooosss dddaaammmooosss cccuuueeennntttaaa dddeee qqquuueee eeesss uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: EEEnnntttooonnnccceeesss,,, vvvaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrrlllooo eeennn eeellllllooo::: LLLnnn ((( xxx ... yyy ))) === LLLnnn 222000 TTTooommmaaammmooosss lllooogggaaarrriiitttmmmooosss ::: xxx ... yyy === 222000 VVVooolllvvveeemmmooosss oootttrrraaa vvveeezzz,,, aaa ooobbbssseeerrrvvvaaarrr,,, cccooommmooo nnnooosss qqquuueeedddaaa eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo eeennn uuunnn ppprrriiinnnccciiipppiiiooo::: PPPaaasssooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, eeelll vvvaaalllooorrr dddeee yyy qqquuueee hhhaaabbbíííaaammmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo aaannnttteeerrriiiooorrrmmmeeennnttteee::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 888 VVVaaammmooosss aaa sssuuussstttiiitttuuuiiirrr eeelll vvvaaalllooorrr dddeee xxx cccaaalllcccuuulllaaadddooo,,, eeennn dddooonnndddeee hhhaaabbbíííaaammmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo aaannnttteeerrriiiooorrrmmmeeennnttteee lllaaa yyy,,, aaasssííí ooobbbttteeennneeemmmooosss;;; YYY === 444 +++ 111 === 555 PPPooorrr tttaaannntttooo::: yyy === 555

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111555...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ººº PPPaaasssooo::: OOObbbssseeerrrvvveeemmmooosss lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeeelll sssiiisssttteeemmmaaa::: ¿¿¿QQQuuuééé pppooodddeeemmmooosss dddeeeccciiirrr??? PPPuuueeesss qqquuueee ssseeennnccciiilll lllaaammmeeennnttteee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... ¿¿¿QQQuuuééé ooopppeeerrraaaccciiióóónnn pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr??? SSSeeennnccciiilll lllaaammmeeennnttteee,,, dddaaarrr eeelll pppaaasssooo iiinnnvvveeerrrsssooo,,, eeesss dddeeeccciiirrr::: dddeeessshhhaaaccceeerrr eeesssttteee cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss... LLLllleeegggaaadddooosss aaa eeesssttteee pppuuunnntttooo,,, vvvaaammmooosss aaa rrreeecccooorrrdddaaarrr eeelll ppprrroooccceeesssooo,,, dddeee cccóóómmmooo lllooo hhhaaaccceeemmmooosss::: EEElll 111ººº pppaaasssooo cccooonnnsssiiisssttteee eeennn tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeelll cccoooccciiieeennnttteee eeennn uuunnnaaa rrreeessstttaaa::: EEElll 222ººº pppaaasssooo cccooonnnsssiiisssttteee eeennn tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa::: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. loga Xn = n loga X log 2 x2 = 2 log2 x 222ººº PPPaaasssooo:::LLLaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo,,, nnnooo lllaaa tttooocccaaammmooosss,,, yyy cccooommmpppooonnneeemmmooosss dddeee nnnuuueeevvvooo,,, cccooonnn lllaaa vvvaaarrriiiaaaccciiióóónnn hhheeeccchhhaaa eeennn lllaaa 222ªªª,,, pppaaarrraaa vvveeerrr lllooo qqquuueee hhheeemmmooosss ooobbbttteeennniiidddooo::: VVVaaammmooosss aaa mmmuuullltttiiipppllliiicccaaarrr lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn pppooorrr 333::: SSSuuummmaaannndddooo aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: 777 llloooggg222 xxx === 111444

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PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 444 AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn,,, eeesssttteee vvvaaalllooorrr dddeee xxx ooobbbttteeennniiidddooo,,, lllooo sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeennn lllaaa 111 ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: yyy === 222 111666...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ººº PPPaaasssooo::: sssiii ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn ¿¿¿qqquuuééé nnnoootttaaammmooosss??? QQQuuueee eeessstttaaammmooosss aaannnttteee uuunnnaaa sssuuummmaaa dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: AAAlll iiiggguuuaaalll qqquuueee eeennn eeelll eeejjjeeerrrccciiiccciiiooo aaannnttteeerrriiiooorrr,,, aaalll mmmiiisssmmmooo tttiiieeemmmpppooo qqquuueee tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaammmooosss eeennn uuunnnaaa sssuuummmaaa,,, aaappprrrooovvveeeccchhhaaammmooosss pppaaarrraaa dddeeessshhhaaaccceeerrr eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa,,, qqquuueee hhhaaayyy eeennn eeelll tttééérrrmmmiiinnnooo xxx2... EEEnnn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, eeelll 222ººº tttééérrrmmmiiinnnooo dddeeelll 222ªªª mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, eeesss uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa,,, yyy lllaaa vvvaaammmooosss aaa dddeeessshhhaaaccceeerrr::: EEEnnn eeesssttteee mmmooommmeeennntttooo,,, vvvaaammmooosss aaa vvveeerrr cccooommmooo nnnooosss hhhaaa qqquuueeedddaaadddooo tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaadddooo eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo::: VVVaaammmooosss aaa mmmuuullltttiiipppllliiicccaaarrr lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn pppooorrr 222::: SSSuuummmaaannndddooo aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: 555 llloooggg xxx === 111000 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 111000000 EEEsssttteee vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, lllooo vvvaaammmooosss aaa sssuuussstttiiitttuuuiiirrr eeennn::: 222 ––– 222 llloooggg yyy === 666 222 llloooggg yyy === --- 444

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llloooggg yyy === --- 222 VVVaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeesssttteee lllooogggaaarrriiitttmmmooo eeennn uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: 111777...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ººº PPPaaasssooo::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, nnnooosss dddaaammmooosss cccuuueeennntttaaa dddeee qqquuueee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: VVVaaammmooosss aaa tttooommmaaarrr lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: 222ººº PPPaaasssooo::: YYYaaa eeessstttaaammmooosss eeennn cccooonnndddiiiccciiiooonnneeesss dddeee sssuuussstttiiitttuuuiiirrr eeesssttteee vvvaaalllooorrr dddeee xxx,,, eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeeelll sssiiisssttteeemmmaaa::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: EEEsssttteee vvvaaalllooorrr qqquuueee hhheeemmmooosss ooobbbttteeennniiidddooo,,, lllooo sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeennn dddooonnndddeee ttteeennníííaaammmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddaaa lllaaa xxx::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: 111888...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: 111ºººPPPaaasssooo::: LLLooo ppprrriiimmmeeerrrooo qqquuueee hhhaaarrreeemmmooosss,,, ssseeerrrááá ooorrrdddeeennnaaarrr lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa::: EEElll sssiiisssttteeemmmaaa,,, nnnooosss qqquuueeedddaaarrrááá dddeee lllaaa fffooorrrmmmaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee:::

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222ººº PPPaaasssooo::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, nnnooosss dddaaammmooosss cccuuueeennntttaaa dddeee qqquuueee eeesss uuunnn cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, ooobbbttteeennneeemmmooosss::: CCCooommmooo NNN === aaax tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaammmooosss eeennn pppooottteeennnccciiiaaa::: X = 10 y Sustituimos el valor de x en la 1ª ecuación del sistema, y obtenemos: Por tanto: Ahora vamos a calcular el valor de x: Por tanto: 111999...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: 111ººº PPPaaasssooo::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo PPPooorrr tttaaannntttooo nnnooosss qqquuueeedddaaa::: xxx ... 555000 EEEnnntttooonnnccceeesss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, nnnooosss qqquuueeedddaaarrrááá dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee mmmaaannneeerrraaa:::

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Por tanto: x = 20 222000...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: 1º Paso: Vamos a observar el 2º miembro: a) log 10 = 1; puesto que 101 = 10. El siguiente paso, es sustituir este valor en la ecuación dada, y obtenemos: log x = log 10 – log ( 22 – x ) A continuación, pasamos al primer miembro: log 10 log x – log 10 = log ( 22 –x ) OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn cccoooccciiieeennnttteee::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 222000 222111...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: 111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa hhhaaaccceeerrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll tttééérrrmmmiiinnnooo dddeeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: PPPooorrr dddeeefffiiinnniiiccciiióóónnn dddeee llloooggg::: llloooggga NNN === xxx NNN === aaax CCCooommmooo eeessstttaaammmooosss ooopppeeerrraaannndddooo eeennn bbbaaassseee 111000,,, ttteeennneeemmmooosss::: llloooggg10 NNN === 222 NNN=== 1110002 PPPooorrr tttaaannntttooo eeennn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, nnnooosss qqquuueeedddaaarrríííaaa::: llloooggg 111000000 LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa ssseee nnnooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaa eeennn::: 222 llloooggg xxx ––– llloooggg (((xxx---111666 ))) === llloooggg 111000000 222ººº PPPaaasssooo::: EEEsss eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn cccoooccciiieeennnttteee... PPPooorrr tttaaannntttooo hhhaaaccceeemmmooosss ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss:::

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PPPeeerrrooo lllooo ppprrriiimmmeeerrrooo qqquuueee vvvaaammmooosss aaa hhhaaaccceeerrr,,, eeesss tttrrraaassspppooonnneeerrr tttééérrrmmmiiinnnooosss::: PPPaaasssaaammmooosss llloooggg 111000000 aaalll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo yyy llloooggg (((xxx---111666))) aaalll 222ººº yyy nnnooosss qqquuueeedddaaa::: AAAhhhooorrraaa sssííí aaapppllliiicccaaammmooosss lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn cccoooccciiieeennnttteee::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx111 === 888000 xxx222 === 222000 222222...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo::: EEEnnntttooonnnccceeesss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeeelll mmmooodddooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 666 222333...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: EEEnnn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn nnnooosss qqquuueeedddaaarrrááá::: llloooggg xxx +++ llloooggg (((xxx+++333))) === llloooggg (((xxx+++111)))2 OOObbbssseeerrrvvvaaannndddooo eeelll 111ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss qqquuueee eeesss eeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn ppprrroooddduuuccctttooo::: llloooggg xxx (((xxx+++333))) === llloooggg (((xxx+++111)))222 xxx(((xxx+++333))) === (((xxx+++111)))2 xxx2 +++ 333xxx === xxx2 +++ 222xxx +++111 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 111

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222444...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: 111ººº PPPaaasssooo AAApppllliiicccaaannndddooo lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa 222 llloooggg xxx === llloooggg xxx2 222ººº PPPaaasssooo AAAsssiiimmmiiisssmmmooo aaapppllliiicccaaannndddooo lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa::: 222 llloooggg(((xxx+++111))) === llloooggg (((xxx+++111)))2 LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, ssseee nnnooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaa eeennn::: llloooggg xxx2 = llloooggg (((xxx+++111)))2 CCCooonnn lllooo qqquuueee::: xxx2 === (((xxx+++111)))2 xxx2 === xxx2 +++ 222xxx +++111 222xxx === ---111 xxx === ---111///222 PPPooorrr tttaaannntttooo::: x =- ½ SSSooollluuuccciiióóónnn nnnooo vvvááállliiidddaaa yyyaaa qqquuueee xxx dddeeebbbeee ssseeerrr sssiiieeemmmppprrreee mmmaaayyyooorrr qqquuueee 000... 222555...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: VVVaaammmooosss aaa sssuuummmaaarrr aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss::: Multiplicamos la 2º por -1 y sumamos ambas 2 log x = 6 2 log y = 4 Por tanto ahora tenemos: 2 log x = 6 log x = 3 x= 103 x = 1000 N = ax log y = 2 y = 102 y = 100 2 log y = 4 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 111...000000000 yyy === 111000000

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222666...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: SSSiii ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, pppooodddeeemmmooosss aaapppllliiicccaaarrr lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll lllooogggaaarrriiitttmmmooo dddeee uuunnn cccoooccciiieeennnttteee::: EEEnnntttooonnnccceeesss,,, eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa::: Multiplicamos la 2ª ecuación por 3 y sumamos: 4 log x = 8 Ahora volvemos al sistema dado, y multiplicamos por -1 la 2ª ecuación: Sumamos ambas ecuaciones: 4 log y = 4 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 111000000 yyy === 111000 222777...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: EEEnnn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, pppooodddeeemmmooosss aaapppllliiicccaaarrr lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll ppprrroooddduuuccctttooo dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss::: llloooggg xxx +++ llloooggg yyy === 222 ≤≤≤ xxx... yyy === 111000000 EEElll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo,,, ssseee nnnooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaa eeennn::: AAAdddeeemmmááásss 222 eeennn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo === 1110002 === 111000000

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VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss::: 111ªªª DDDeeessspppeeejjjaaammmooosss xxx eeennn lllaaa ppprrriiimmmeeerrraaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, eeennn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: AAAhhhooorrraaa sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, eeennn dddooonnndddeee hhheeemmmooosss dddeeessspppeeejjjaaadddooo xxx::: XXX=== 222111 +++ 444 === 222555 PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 222555 yyy === 444 222888...--- RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa::: EEEnnn lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: PPPooodddeeemmmooosss aaapppllliiicccaaarrr lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeeelll ppprrroooddduuuccctttooo dddeee lllooogggaaarrriiitttmmmooosss,,, yyy aaadddeeemmmááásss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeelll llloooggg dddeee 333 eeennn uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa... llloooggg 333=== xxx aaapppllliiicccaaannndddooo NNN === aaax xxx === 1110003 === 111000000000 llloooggg xxx +++ llloooggg yyy === xxx ... yyy EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddaaadddooo,,, ssseee nnnooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaa eeennn eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee::: DDDeeessspppeeejjjaaammmooosss xxx::: SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn aaalll 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn::: PPPooorrr tttaaannntttooo::: xxx === 222000 yyy === 555000

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