Matematicas con Scilab.

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MathematicswithSCILABBOOKJULY2008

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MAT EMT ICAS CON SCILABCarlos Cesar Aranda1Dr. en Matemtica

Laboratorio de modelizacin, clculo numrico y diseo experimental.Facultad de Recursos Naturales.

Universidad Nacional de Formosa, Argentina.e-mail [email protected]

4 de octubre de 2008

1Financiado por la Secretara de Ciencia y Tcnica de la Unaf.

ndice general

1. Introduccin. 91.1. Filosofa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Algoritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. La matemtica y el ejercicio profesional. . . . . . . . . . . . . 111.5. Bibliografa del Captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Integrando laboratorios informticos. 152.1. Integrando: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. El costo econmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Usando SCILAB detrs de la escena. . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Introduccin de SCILAB en la clase. . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Creando talleres para los estudiantes. . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Una integracin ms general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Funciones elementales. 233.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Funcin potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Funcin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. Funcin logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5. Bibliografa de este Captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Geometra. 454.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Ejercicios de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3. Planos y Poliedros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4. Bibliografa de este Captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Construyendo funciones con SCILAB. 61

6. Estadstica. 636.1. Grficos de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2. Grfico de Escalera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3. Histogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3

4 NDICE GENERAL

6.4. Medidas de Tendencia Central. . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5. Media Aritmtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6. La Mediana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.7. La Moda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.8. Medidas de Dispersin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.9. Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.10. Desviacin Estndar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.11. El Coeficiente de Variacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.12. Percentil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.13. Bibliografa de este Captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Grficos de funciones en tres dimensiones. 877.1. Grficos de curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2. Grficos de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3. Cambios en los colores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.4. Grficos de superficies paramtricas con el comando eval3dp. 1027.5. Grficos de superficies paramtricas con el comando nf3d. . . 104

8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1078.1. Resolucin nmerica de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . 107

ndice de figuras

1.1. El cuadro de dilogos de SCILAB. . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Un laboratorio de computadoras tradicional. . . . . . . . . . . 13

2.1. El sito web de SCILAB; www.scilab.org. . . . . . . . . . . . . 162.2. La calidad grfica de SCILAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Elaboracin de talleres con SCILAB: grficos de funciones. . . 202.4. Elaboracin de talleres con SCILAB: grfica de la funcin

f(x, y) = x2 y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1. Grfica de la funcin f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Grfica de la funcin f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Grfica de la funcin f(x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. Grfica de la funcin f(x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5. Representacin grfica de las funciones f(x) = x2, f(x) =

x3, f(x) = x4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6. Representacin grfica de las funciones f(x) = 2x2, f(x) =

4x2 y f(x) = 2x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7. Representacin grfica de las funciones f(x) = 2x3, f(x) =

4x3 y f(x) = 2x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8. Representacin grfica de las funciones f(x) = (sin(x))2, f(x) =

(sin(x))4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9. Representacin grfica de las funciones f(x) = x1/2, f(x) =

x1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10. Representacin grfica de las funciones f(x) = x1, f(x) = x2. 323.11. Grfico de la funcin f(x) = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.12. Representacin grfica de las funciones f(x) = 3x, f(x) = 2x

y f(x) = (1.5)x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.13. Grfica de las funciones f(x) = (0.2)x, f(x) = (0.5)x y f(x) =

(0.8)x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.14. Grfica de las funciones f(x) = (1/e)x, f(x) = 1/2x. . . . . . 353.15. Grfica de las funciones f(x) = x2, f(x) = (1.5)x. . . . . . . . 363.16. Grfica de las funciones f(x) = 4x+ 1, f(x) = 3x. . . . . . . 373.17. Grfica de la funcin f(x) = ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5

6 NDICE DE FIGURAS

3.18. Grfica de la funcin f(x) = log3(x). . . . . . . . . . . . . . . 393.19. Grfica de las funciones f(x) = log3(x), f(x) = log2(x) y

f(x) = log1.5(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.20. Grfica de las funciones f(x) = x log(x), f(x) = 2x log(x) y

f(x) = 3x ln(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.21. Grfica de las funciones f(x) = sin(log(x)), f(x) = cos(log(x)). 413.22. Grfica de las funciones f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3,

f(x) = x4 y f(x) = x5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.23. Grfica de las funciones f(x) = x, f(x) = x1/2, f(x) = x1/3,

f(x) = x1/4 y f(x) = x1/5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Grfica de la recta (x, y) = (1, 2) + t(4,1). . . . . . . . . . . 484.2. Grfica de la recta (x, y) = (5, 2) + t(1, 3). . . . . . . . . . . . 484.3. Grfica azul de la recta (x, y) = (7,2) + t(9, 3) y en calipso

la recta (p, q) = (7,2) + r(2, 5). . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Representacin grfica de los vectores ~a = (3, 1) y ~b = (1,3). 494.5. La recta paramtrica(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 4,1). . . . . . 504.6. La recta paramtrica (x, y, z) = (5, 4,3) + t(1,3, 2). . . . . 514.7. Grfica de la recta paramtrica (x, y, z) = (7,1, 8)+t(1, 3,5). 514.8. La recta paramtrica (x, y, z) = (4,1, 9) + t(3,2, 1). . . . . 524.9. Grfica asociada a la ecuacin 2x+ 3y 13 = 0. . . . . . . . 534.10. Grfica asociada a la ecuacin 4x+ 3y = 23. . . . . . . . . . . 534.11. Grfica de la recta 2 x = 3y8 = 4 z. . . . . . . . . . . . . 544.12. Grfica de la recta x42 =

y+25 =

3z7 . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.13. Tringulo en el espacio cuyos vertices son dados por los vec-tores ~a = (1, 2, 1), ~b = (0, 1, 2) y ~c = (0, 0, 0). . . . . . . . . . 56

4.14. Otra vista del trigulo en el espacio formado por los vectores~a = (1, 2, 1), ~b = (0, 1, 2), y ~c = (0, 0, 0). . . . . . . . . . . . . 57

4.15. Los vectores ~a = (1, 0, 0) y ~b = (1, 1, 0), ~c = (1, 1, 1) represen-tan un plano y observando desde otra cara de tringulo . . . 57

4.16. Representacin grfica de las bases cannicas ~a = (1, 0, 0),~b = (0, 1, 0) y ~c = (0, 0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.17. Los vectores ~a = (1, 0, 0), ~b = (0, 1, 0), ~c = (0, 0, 1) y ~d =(1, 1, 1), representan un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.18. Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 0, 0), ~b = (1, 0, 0),~c = (0, 1, 0), ~d = (0, 0, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.19. Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 0, 0), ~b = (1, 1, 0),~c = (0, 1, 1), ~d = (1, 1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.20. Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 2, 3), ~b = (0,2,3),~c = (1, 1, 1),~d = (1,1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1. Grfico de barras: nmero de cargas familiares por cada em-pleado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

NDICE DE FIGURAS 7

6.2. Grfico de barras: cantidad de reparaciones por mquinas quese realiza durante un mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3. Grfico de escalera asociado al nmero cargas familiares detrabajadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Grfico de escalera: la variable edad de estudiantes de edu-cacin media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5. Histograma: frecuencia para los pesos de los paquetes enviados. 736.6. Histograma: consumo mensual de electricidad por departa-

mento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1. Grfica de la curva t (7 cos(t), 9 sin(t), t). . . . . . . . . . . 887.2. Grfica de la hlice esfrica t (cos(50t) cos(t), sin(50t)cos(t), sin(t)). 897.3. Grfica de la curva de Lissajous t (4 cos(t)), 3 sin( t

2), t). . 90

7.4. Grfica de la curva de Lissajous (x = 4 cos(t)), y = 3 sin( t2)). 91

7.5. Grfica de la funcin z(x, y) = sin(xy). . . . . . . . . . . . . . 937.6. Grfica coloreada de la funcin z(x, y) = sin(xy). . . . . . . . 947.7. Grfica con niveles de grises"de la funcin z(x, y) = sin(xy). 947.8. Curvas de nivel de la funcin z(x, y) = sin(xy). . . . . . . . . 957.9. Grfica de la funcin z(x, y) = x2 y2. . . . . . . . . . . . . . 957.10. Grfica coloreada de la funcin z(x, y) = x2 y2. . . . . . . . 967.11. Grfica con niveles de grises"de la funcin z(x, y) = x2 y2. 967.12. Curvas de nivel de la funcin z(x, y) = x2 y2. . . . . . . . . 977.13. Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con colores hot

colormap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.14. Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con colores aleato-

rios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.15. Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) sin colores. . . . 1007.16. Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con coloreado de

dorado a gris acero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.17. Grfica de un toro en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . 1037.18. Grfica de un toro ondulado en tres dimensiones. . . . . . . . 104

8.1. Solucin de la edo y(t) = y(t) cos(t), y(0) = 1. . . . . . . . . 1088.2. Solucin de la edo y(t) = y(t)(sin(t) cos(y)), y(0) = 1. . . . 1088.3. Solucin de la edo y(t) = cos(exp(y))), y(0) = 1. . . . . . . . 1088.4. Campo de direcciones de la edo 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5. Solucin de la edo 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6. Campo de direcciones de la edo 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . 1118.7. Solucin de la edo 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 NDICE DE FIGURAS

Captulo 1

Introduccin.

1.1. Filosofa.

Una proporcin importante de cuestiones que enseamos a nuestros estu-diantes, las cuales deben usar en diferentes evaluaciones (exmenes, talleres,guas de ejercicios) y a lo largo de sus vidas profesionales, pueden ser respon-didas por softwares como SCILAB.Es claro, que este hecho ha producido diferencias en todo el mbito educativomundial, en particular el modo en que se ensea matemtica y en la eleccinde los tpicos que se desarrollan.En este libro, sugerimos una integracin de tal tipo de medios en la ensean-za de la matemtica dentro de los ltimos aos de la enseanza media einiciales de la Universidad. Como es natural existen varias cuestiones, peroprincipalmente creemos que el uso de la tcnologia computacional debe seruna habilidad natural de cualquier estudiante de nuestro tiempo.Es un hecho que muchas profesiones desarrollan actualmente sus actividadescon la ayuda de computadores. Ms an los alumnos del presente tienen granafinidad con el uso de computadores.Uno de los principales motivos por el cual la educacin no incorpora rpida-mente la tecnologa en sus procesos educativos, se debe por un lado a un altotemor a bajar la calidad de la educacin, y por otro al desconocimiento deexperiencias exitosas, de recomendaciones generales, de la literatura interna-cional sobre el tema y fundamentalmente existe un elevado desconocimientode una metodologa que permita incorporarlas las TIC con xito en el aula.Existe hoy una amplia disponibilidad de computadores, tanto en los hogarescomo en las instituciones acadmicas, pero existen muy pocos textos quedesarrollen el uso del software no comercial para su apliacin en la ensean-za de la matemtica. En este libro tratamos la elaboracin y presentacinde clases, mediante el uso de SCILAB, en tres aspectos: como herramientapara resolver problemas matemticos, como ayuda para entender la teoramatemtica tradicional y como valioso auxiliar en mostrar aplicaciones de la

9

10 CAPTULO 1. INTRODUCCIN.

matemtica.En las siguientes secciones damos una perspectiva general.

1.2. Objetivos.

Cules son nuestros objetivos?, como deberamos decidir que ensear?.

1. Debemos ensear matemticas que consideremos interesantes ydesafiantes. Debemos tratar de transmitir la capacidad de apreciar subelleza y sus profundas races culturales e histricas.

2. Debemos tratar de forjar en los estudiantes las habilidadesintelectuales y hbitos caractersticos de las matemticas.

Encontrar patrones y definiciones precisas para describirlos.Generalizacin y axiomatizacinExperimentacin con casos tpicos, casos especiales y casosextremos, encontrando ejemplos y contraejemplos.Aprender a usar teoremas en situaciones aplicadas, viendo surango de aplicabilidad y extrayendo conclusiones.Leer y comprender pruebas. Aprender a criticar pruebasincorrectas. Construir pruebas.

3. Debemos ensear matemticas que puedan ser tiles para estudiantesque ejercern sus carreras profesionales en ingeniera, computacin,economa, ciencias y cualquier otra rea que requiera matemtica.

4. Debemos ensear habilidades transferibles que pueden se tiles ensituaciones ms generales: trabajo en equipo, comunicacin ypresentacin, programacin etc.

1.3. Algoritmos.

Programas como SCILAB, pueden realizar esencialmente procesos al-gortmicos que enseamos a nuestros estudiantes: derivacin e integracin,solucin de sistemas de ecuaciones, evaluacin de lmites, etc.En un razonamiento apresurado podramos concluir que no es mas necesarioensear estos temas.Pensamos que es importante comprender precisamente que esta mal con estaconclusin y reconsiderar nuestra aproximacin y eleccin de tpicos a la luzde esta comprensin.

Los mtodos usados para resolver estos problemas son interesantes porderecho propio.

1.4. LA MATEMTICA Y EL EJERCICIO PROFESIONAL. 11

Conocer como integrar (por ejemplo), ayuda a los estudiantes a enten-der lo que significa la intregacin.

Muchas veces los programas informticos dan respuestas complejas, sehace necesario un anlisis inteligente.

Los algoritmos son herramientas que alumnos que no son esforzados,pero si son diligentes, pueden aprender exitosamente.

Algunas conclusiones posibles:

Problemas a realizar con lpiz y papel deben ser elegidos por su na-turaleza instructiva. Muchas veces al cambiar de parmetro en unproblema, se produce un incremento de la complejidad del problema.Podemos pedir realizar con lpiz y papel casos simples y los ms com-plejos con la ayuda del computador, de lo cual ser posible extraerconclusiones. Por ejemplo, el uso del mtodo simplex en economa vari-ar los parmetros econmicos conduce a gran cantidad de cuentas, lascuales si se ejecutan con ayuda de programas informticos, permitenal estudiante concentrarse en extraer conclusiones.

Una vez que el estudiante a llevado a cabo con lpiz y papel un ejemploo ejercicio, podemos pedirle que realize docenas en el computador, locual conduce a una comprensin y un dominio ms profundo.

Podemos solicitar a los estudiantes resolver problemas algebraicamentecon lpiz y papel y luego pedir que verifiquen sus respuestas insertandonuevos datos, parmetros ejecutando grficos, etc. De nuevo ejerciciosde esta naturaleza bien diseados tienen gran potencial de mejorar lacomprensin.

1.4. La matemtica y el ejercicio profesional.

Es indudable que la habilidad de usar potentes herramientas informticasdentro de las matemticas, posibilitar una mejor comprensin de las clasesde ciencias necesarias para la formacin profesional y por ende una mejorpreparacin para la competencia en el mercado del trabajo. La adquisicinde las habilidades explicadas anteriormente conducen a un perfeccionamientodel llamado profesionalismo.Muchos de nuestros graduados ingenieros, economistas, bilogos trabajarnregularmente con datos nmericos.


Figura 1.1: El cuadro de dilogos de SCILAB.

1.4. LA MATEMTICA Y EL EJERCICIO PROFESIONAL. 13

Figura 1.2: Un laboratorio de computadoras tradicional.


1.5. Bibliografa del Captulo.

Para la elaboracin hemos consultado [7], [5] y [11].

Captulo 2

Integrando laboratoriosinformticos.

2.1. Integrando:

SCILAB es una herramienta usada rutinariamente por matemticos, in-genieros, profesionales de ciencias en todo el mundo, para resolver problemasde una gran variedad . Ms all de su uso profesional, este programa infor-mtico es una valiosa herramienta para la enseanza de matemticas y enlas clases de ciencias en general.Usada imaginativamente esta herramienta puede ayudar a los estudiantes acomprender mejor y ms rpido, introducindolos en el mundo de la altatecnologa.Con herramientas de enseanza tan verstiles, el desafo para el profesor escomo navegar y canalizar las inmensas posibilidades.En este punto es importante considerar la curva de aprendizaje, tanto de losdocentes como de los estudiantes.El objetivo del presente libro es ayudar tanto a los docentes a ser expertosen SCILAB, como a los estudiantes a introducirse en esta herramienta in-formtica.Este proceso ser conducido de tal forma que la evolucin sea natural y grad-ual. Esperamos que este enfoque enriquezca la experiencia de ensear y deaprender.

2.2. El costo econmico.

En este momento la consideraracin econmica es de la mayor importan-cia en nuestra sociedad.Llamamos la atencin al elevado coste de programas comerciales, para afrontaresta inconveniente introducimos SCILAB, programa informtico de uso libreproducido por el INRIA Francia, institucin de investigacin de reconocido

15

16 CAPTULO 2. INTEGRANDO LABORATORIOS INFORMTICOS.

Figura 2.1: El sito web de SCILAB; www.scilab.org.

prestigio, lo cual le brinda adecuado soporte.En su sitio de internet www.scilab.org, vemos la posibilidad de obtener elsoftware de forma libre, la constante actualizacin y material de soporte gra-tuito.En este sitio encontramos una buena cantidad de tutoriales en frances. Mu-cho material docente puede ser obtenido en la pgina web de SCILAB, dondese incluye cmputos aritmticos, resolucin de ecuaciones, simplificacin deexpresiones etc. Estas facilidades animan a los aventureros del conocimientoa la exploracin.

2.2. EL COSTO ECONMICO. 17

Figura 2.2: La calidad grfica de SCILAB.


2.3. Usando SCILAB detrs de la escena.

El docente puede usar SCILAB en la elaboracin de sus clases. Puedeusarse la capacidad grfica, numrica y de generar tablas. Por ejemplo con lacapacidad grfica puede crearse ejemplos y pruebas de naturaleza mas armo-niosa. Tmbien es una herramienta valiosa a la hora de evaluar respuestas,disminuyendo el tiempo de correccin, por ejemplo en lgebra lineal al pedirinvertir matrices, podemos verificar instantneamente el resultado.

2.4. Introduccin de SCILAB en la clase.

La introduccin natural comienza con excursiones al laboratorio. Estasse pueden implementar en un principio cada tres clases tradicionales de tizay pizarrn. Usualmente es una experiencia fascinante exponer a los estudi-antes a este tipo de programas informticos.Sorprende a los estudiantes la capacidad de elaboracin de grficos y lamanipulacin de complicadas expresiones. Permiten una mayor motivacindel estudiante, ya que al integrar movimiento, imagen y texto, se crea unnuevo sistema de enseanza con mltiples medios que redefine la forma deadquirir la informacin. Los recursos disponibles en SCILAB son interac-tivos, responden inmediatamente a las acciones de los estudiantes, lo cualmejora notablemente la dinmica en la adquisicin de nuevos conocimientos.Se pueden demostrar conceptos relacionados a los tpicos enseados. El do-cente en este caso tiene la facilidad de usar proyectores, de un contacto maspersonal al interactuar con los estudiantes en las computadoras y animar eltrabajo en equipo.

2.5. Creando talleres para los estudiantes.

Es posible innovar con la creacin de talleres para los estudiantes. Lagran variedad de material disponible en internet, facilita enormemente quelos estudiantes desarrollen talleres. Combinando estos materiales con textosclsicos el profesor experimentado puede obtener sorprendentes avances enla compresin por parte de los estudiantes de los tpicos tratados.Este punto es muy importante, pues disminuye drsticamente el costo deestudiar, baja la necesidad de adquirir material bibliogrfico; libros, revistasetc.El mtodo esencial para la creacin de talleres es mostrar un ejemplo, conuna explicacin detallada de los comandos asociados y preguntar a los estu-diantes, las consecuencias que pueden deducir.

2.6. UNA INTEGRACIN MS GENERAL. 19

2.6. Una integracin ms general.

En estadios ms avanzados es posible de llegar a un uso mayor de estosmedios donde se combinen en el laboratorio informtico el uso de la pizarray tiza con los medios computacionales.Ponemos especial nfasis en el uso de SCILAB en ciencias en general, enparticular en fsica, qumica, biologa, computacin, economa e ingeniera.En estas ramas el poder de computacional auxiliar en alto grado la com-prensin de una complejidad creciente en los tpicos.Es un problema a nivel mundial la disminucin de la capacidad de los estu-diantes de realizar operaciones algebraicas. Es un problema que las univer-sidades tienen poco tiempo para remediar. En la carrera de ingeniera porejemplo aparecen diferentes teoras matemticas que son tiles en diferentesproyectos. Simplemente no se puede ignorar que la sofisticacin matemticaa crecido en la ingeniera y que a un ms alto nivel se torna necesario unacomprensin ms elevada.Muchas veces en proyectos de tsis o trabajos finales de ingeniera, aparecenmatemticas que no se han dado en curso normales. Aqu SCILAB facilitaenormemente la tarea emprendida.


Figura 2.3: Elaboracin de talleres con SCILAB: grficos de funciones.

2.6. UNA INTEGRACIN MS GENERAL. 21

-9

-5

-1

3

7

11

15

19

23

Z

-2.0-1.3

-0.60.10.81.5X

-3-2

-10

12

3Y

Figura 2.4: Elaboracin de talleres con SCILAB: grfica de la funcinf(x, y) = x2 y2.

Captulo 3

Funciones elementales.

3.1. Introduccin.

En este capitulo mostraremos detalladamente, como elaborar clases conSCILAB, que sirvan de soporte al desarrollo de conocimiento sobre funcionesbsicas. El docente y el estudiante pueden ejecutar los ejemplos y realizarnumerosas variantes. El saber matemtico se adquiere con ejercitacin, ejer-ctese!.

3.2. Funcin potencia.

Nuestra propsito es efectuar grficas de funciones elementales de formaintensiva, con lo cual esperamos que el alumno tenga, al complementar conlos procedimientos cualitativos, un mayor dominio de este tema fundamen-tal. Para hacer la grfica de la funcin f : [a, b] R, basta con construirun vector con valores de x en el intervalo [a, b] y otro vector con los valoresde f en los puntos del primer vector. Obviamente los vectores x, y tiene elmismo tamao.La primera vez que se hace una grfica, con la ayuda de plot2d, esta apareceinmediatamente en la pantalla. Cuando se da la orden para una segundagrfica, sta es creada pero no aparece automticamente en la pantalla. Esnecesario, mediante un click, activar la ventana de la grfica.Muy posiblemente despus de la segunda orden plot2d, en la grfica apare-cer las dos curvas superpuestas. Para limpiar la ventana grfica se utilizaxbasc().Ejercicio 1 : Grficar las funciones y = x2, y = x3.Si f(x) = x2, entonces:

> a = 5; b = 5; > x = a : 0,01 : b; > y = x2;

23

24 CAPTULO 3. FUNCIONES ELEMENTALES.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

4

8

12

16

20

24

28

Figura 3.1: Grfica de la funcin f(x) = x2.

>plot2d(x, y)

Los valores de x se tomaron con un espaciamiento de 0,01. Esto hace quela grfica se vea, no slo continua sino tambin suave.Si el espaciamiento es muy grande, por ejemplo:

> xbasc() > a = 5; b = 5; > x = a : 1 : b; > y = x2; >plot2d(x, y)

Dar una grfica continua pero poligonal y no suave.Introducimos el comando linspace(a, b, c), donde las primeras dos compo-nentes indican el intervalo [a, b], y la tercera componente, corresponde a laparticipacin del intervalo.Si f(x) = x3, entonces:

> xbasc() > x = lispace(5, 5, 30); > y = x3; > plot2d(x, y)

3.2. FUNCIN POTENCIA. 25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

4

8

12

16

20

24

28


Como tomamos una particin de 30, la grfica se ve continua y suave.Si f(x) = x3, entonces:

> xbasc() > x = lispace(5, 5, 10); > y = x3; > plot2d(x, y)

Esta funcin se ve poligonal ya que la particin es muy pequea. Cuando sequiere superponer varias curvas con las mismas escalas de representacin, espreferible utilizar estilos diferentes para cada curva. La sintaxis general queutilizamos es la siguiente:

plot2d(abscisas, ordenadas, estilos, leyendas)

Abscisas, ordenadas: son necesariamente matrices de mismas dimen-siones

Styles: es un vector linea cuya dimensin es el nmero de curvas quedeben trazarse (numerosas columnas de las matrices abscisas y orde-nadas). Las coordenadas son positivas o negativas. Si el estilo es pos-


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-130

-90

-50

-10

30

70

110

150


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-130

-90

-50

-10

30

70

110

150



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-100

0

100

200

300

400

500

600

Funciones potencias

X++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

+ + +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

x^2 x^3 + x^4

Figura 3.5: Representacin grfica de las funciones f(x) = x2, f(x) =x3, f(x) = x4.

itivo, el punto son adjuntados por segmentos. Si los estilos son nulos,el punto se indica con pxeles negros. Si el estilo es negativo, da unasmarcas (+) que indica la curva.

Leyendas: es una cadena de caracteres que contiene las distintas leyen-das, separadas por @.

Ejercicio 2 : En un mismo sistema de coordenadas, grficar las siguientesfunciones y = x2, y = x3, y = x4.

> xbasc() > x = linspace(5, 5, 30); > X = x ones(1, 3); > y1 = x2; > y2 = x3; > y3 = x4; > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [1,1, 2]; > legendes = x2@x3@x4; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Despus de haber hecho una grfica, se le pueden agregar letreros. Se usaxtitle, que tiene 3 parmetros, todos deben ser cadenas. El primero para


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-50.0

-28.6

-7.1

14.3

35.7

57.1

78.6

100.0

Funciones Potencias

X++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(2*x^2 4*x^2 -2*x^2+

Figura 3.6: Representacin grfica de las funciones f(x) = 2x2, f(x) = 4x2

y f(x) = 2x2.

el letrero general, el segundo para el eje horizontal y el tercero para el ejevertical. Por ejemplo:

xtitle(FuncionesPotencias, X, )

Ejercicio 3 : Grficar la funcin de la forma y = ax2, considerando 2,4,-2para los valores de a.

> xbasc() > x = linspace(5, 5, 30); > X = x ones(1, 3); > y1 = 2 x2; > y2 = 4 x2; > y3 = 2 x2; > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [1, 2,1]; > legendes = 2 x2@4 x2@ 2 x2; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes) > xtitle(funcionesPotencias, X, )

Ejercicio 4 : Grficar la funcin de la forma y = ax3, considerando 2,4,-2 para los valores de a.


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Funciones Potencias

X

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ + + +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2*x^3 4*x^3 -2*x^3+

Figura 3.7: Representacin grfica de las funciones f(x) = 2x3, f(x) = 4x3

y f(x) = 2x3.

> xbasc() > x = linspace(5, 5, 30); > X = x ones(1, 3); > y1 = 2 x3; > y2 = 4 x3; > y3 = 2 x3; > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [1, 2,1]; > legendes = 2 x3@4 x3@ 2 x3; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes) > xtitle(funcionesPotencias, X, )

Ejercicio 5 : Grficar la funcin de la forma y = (sin(x))2, y = (sin(x))4.

> x = linspace(5, 10, 80); > X = x ones(1, 2); > y1 = (sin(x))2; > y2 = (sin(x))4; > Y = [y1, y2]; > styles = [1, 2]; > legendes = (sin(x))2@(sin(x))4; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)


-5.00 -2.86 -0.71 1.43 3.57 5.71 7.86 10.00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(sin(x))^2 (sin(x))^4

Figura 3.8: Representacin grfica de las funciones f(x) = (sin(x))2, f(x) =(sin(x))4.

Ejercicio 6 : Grficar la funcin de la forma y = x1/2, y = x1/4.

> xbasc() > x = linspace(0,1, 10, 50); > X = x ones(1, 2); > y1 = x(1/2); > y2 = x(1/4); > Y = [y1, y2]; > styles = [1, 2]; > legendes = x1/2@x1/4; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes) > xtitle(funcionesPotencias, X, )

Ejercicio 7 : Grficar funciones de la forma y = x1, y = x2.

> xbasc() > x = linspace(5, 5, 30); > X = x ones(1, 2); > y1 = x(1); > y2 = x(2); > Y = [y1, y2];


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.40

0.85

1.30

1.75

2.20

2.65

3.10

Funciones Potencias

X

x^(1/2) x^(1/4)

Figura 3.9: Representacin grfica de las funciones f(x) = x1/2, f(x) = x1/4.

> styles = [1, 2]; > legendes = x(1)@x(2); > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes) > xtitle(funcionespotencias, X, )


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Funciones Potencias

X

x^(-1) x^(-2)

Figura 3.10: Representacin grfica de las funciones f(x) = x1, f(x) = x2.

3.3. Funcin exponencial.

Esta funcin es central en la matemtica. Continuamos con nuestro mto-do de realizar diferentes ejemplos.

Ejercicio 1 : Grficar la funcin exponencial y = 2x.Como ax = exp(log a)x = (expx)log a

> xbasc() > x = linspace(5, 5, 30); > y = (exp(x)(log(2)); > plot2d(x, y)

Ejercicio 2 : Grficar las funciones y = 3x, y = 2x, y = 1.5x.

> xbasc() > x = linspace(1, 4, 80); > X = x ones(1, 3); > y1 = 3x; > y2 = 2x; > y3 = 1.5x; > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [1, 2, 1];

3.3. FUNCIN EXPONENCIAL. 33

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

4

8

12

16

20

24

28

32

Figura 3.11: Grfico de la funcin f(x) = 2x.

> legendes = 3x@[email protected]; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Ejercicio 3 : Grficar las funciones y = (0.2)x, y = (0.5)x, y = (0.8)x.

> xbasc() > x = linspace(0, 4, 80); > X = x ones(1, 3); > y1 = 0.2x; > y2 = 0.5x; > y3 = 0.8x; > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [2,1, 1]; > legendes = (0.2)x@(0.5)x@(0.8)x; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Ejercicio 4 : Grficar las funciones y = 1/ex, y = 1/2x.

> x = linspace(2, 2, 50); > X = x ones(1, 2); > y1 = (1/e)x; > y2 = (1/2)x; > Y = [y1, y2];


-1 0 1 2 3 4

10

20

30

40

50

60

70

80

Funcin Exponencial

X++++++++++++++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

3^x + 2^x (1.5)^x

Figura 3.12: Representacin grfica de las funciones f(x) = 3x, f(x) = 2x yf(x) = (1.5)x.

-1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

Funcin Exponencial

X

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

++

++++

(0.2)^x (0.5)^x + (0.8)^x

Figura 3.13: Grfica de las funciones f(x) = (0.2)x, f(x) = (0.5)x y f(x) =(0.8)x.


-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

1

2

3

4

5

6

7

Funcin Exponencial

X

(1/%e)^x (1/2)^x

Figura 3.14: Grfica de las funciones f(x) = (1/e)x, f(x) = 1/2x.

> styles = [1, 2]; > legendes = (1/e)x@(1/2)x; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes) > xtitle(Funcin Exponencial, X, )

Ejercicio 4 : Grficar las funciones y = x2, y = (1,5)x.

> xbasc() > x = linspace(0, 20, 80); > X = x ones(1, 2); > y1 = x2; > y2 = (1.5)x; > Y = [y1, y2]; > styles = [1, 2]; > legendes = x2@(1.5)x; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Ejercicio 6 : Grficar las funciones y = 4x+ 1, y = 3x.

> xbasc() > x = linspace(1, 3, 80); > X = x ones(1, 2); > y1 = 4x+ 1;


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

413

825

1238

1650

2063

2475

2888

3300

(1.5)^x x^2

Figura 3.15: Grfica de las funciones f(x) = x2, f(x) = (1.5)x.

> y2 = 3x; > Y = [y1, y2]; > styles = [1, 2]; > legendes = 4x+ 1@3x; > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Ejercicio 7 : Grficar la funcin y = ex.

> xbasc() > x = linspace(1, 3, 80); > y = exp(x); > plot2d(x, y)


0.000 0.429 0.857 1.286 1.714 2.143 2.571 3.0001.00

5.33

9.67

14.00

18.33

22.67

27.00

4*x+1 3^x

Figura 3.16: Grfica de las funciones f(x) = 4x+ 1, f(x) = 3x.

-1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.00

4

8

12

16

20

24

Funcin Exponencial Natural

x

Figura 3.17: Grfica de la funcin f(x) = ex.


3.4. Funcin logartmica.

En esta seccin tratamos con logaritmos, funciones que son de notabledificultad para su aprendizaje.Ejercicio 1 : Grficar la funcin y = log3 xComo logax = log(x)/log(a), entonces y = log(x)/log(a).

> xbasc() > x = linspace(0.1, 20, 50); > y = log(x)/ log(3); > plot2d(x, y)

Ejercicio 2 : Grficar las funciones y = log3(x), y = log2(x), y = log1,5(x).

> xbasc() > x = linspace(0.1, 20, 50); > X = x ones(1, 3); > y1 = log(x)/log(3); > y2 = log(x)/log(2); > y3 = log(x)/log(1.5); > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [2,1, 1]; > legendes = log(x)./ log(3)@ log(x)./ log(2)@ log(x)./ log(1.5); > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

El siguiente ejercicio es de naturaleza especial. Debido a que SCILAB es-tablece sus clculos de forma vectorial, cuando se efectan multiplicacionesdel tipo x sin(x), se debe utilizar el operador . .

Ejercicio 3 : Grficar las funciones y = x log(x), y = 2x log(x), y = 3x log(x).

> xbasc() > x = linspace(0,1, 10, 80); > X = x ones(1, 3); > y1 = x. log(x); > y2 = (2 x). log(x); > y3 = (3 x). log(x); > Y = [y1, y2, y3]; > styles = [1, 2, 1]; > legendes = x. log(x)@(2 x). log(x)@(3 x). log(x); > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

Ejercicio 4 : Grficar las funciones y = sin(log(x)), y = cos(log(x)). > x = linspace(0.1, 15, 80);

3.4. FUNCIN LOGARTMICA. 39

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 3.18: Grfica de la funcin f(x) = log3(x).

1.00 3.11 5.22 7.33 9.44 11.56 13.67 15.78 17.89 20.00

-5

-3

-1

1

3

5

7

Funcines Logartmicas

X

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

log(x)./log(3) log(x)./log(2) + log(x)./log(1.5)

Figura 3.19: Grfica de las funciones f(x) = log3(x), f(x) = log2(x) y f(x) =log1.5(x).


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

+

+++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

x.*log(x) + (2*x).*log(x) (3*x).*log(x)

Figura 3.20: Grfica de las funciones f(x) = x log(x), f(x) = 2x log(x) yf(x) = 3x ln(x).

> X = x ones(1, 2); > y1 = sin(log(x)); > y2 = cos(log(x)); > Y = [y1, y2]; > styles = [2, 1]; > legendes = sin(log(x))@ cos(log(x)); > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes)

A continuacin mostramos una ligera variante de los comandos previos, msprecisamente realizaremos las grficas de las funciones x, x2, x3, x4 y x5 enuna sola imagen con diferentes colores para cada funcin. Esto lo realizamoscon valores de estilos positivos.

> x = 0 : 0,05 : 1; > y1 = x1; > y2 = x2; > y3 = x3; > y4 = x4; > y5 = x5; > X = x; > Y = [y1 y2 y3 y4 y5];


1 3 5 7 9 11 13 15

-0.9

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

sin(log(x)) cos(log(x))

Figura 3.21: Grfica de las funciones f(x) = sin(log(x)), f(x) = cos(log(x)).

> styles = [1, 2, 3, 4, 5]; > legendes = x@x2@x3@x4@x5 > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes);

Veamos ahora estilos negativos. > xbasc() > y1 = x1; > y2 = x(1/2); > y3 = x(1/3); > y4 = x(1/4); > y5 = x(1/5); > X = x; > Y = [y1 y2 y3 y4 y5]; > styles = [1,2,3,4,5]; > legendes = x@x(1/2)@x(1/3)@x(1/4)@x(1/5) > plot2d(X,Y, styles, 121, legendes);


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

xx^2x^3

x^4x^5

Figura 3.22: Grfica de las funciones f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3,f(x) = x4 y f(x) = x5.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

x+

x^(1/2)x^(1/3)

x^(1/4)x^(1/5)

Figura 3.23: Grfica de las funciones f(x) = x, f(x) = x1/2, f(x) = x1/3,f(x) = x1/4 y f(x) = x1/5.


3.5. Bibliografa de este Captulo.

hemos consultado: [5], [7], [8], [9], [10] y [11].

Captulo 4

Geometra.

4.1. Introduccin.

Los ejercicios elaborados en este captulo son dos tipos: los primeros sonde clculo, permitiendo al estudiante comprobar sus operaciones y apren-der las propiedades de vectores. Los otros ejercicios apuntan a desarrollar lacapacidad de abstraccin del alumno, mediante grficos en los cuales el do-cente debe orientarlo y ayudarlo en su aprendizaje con ejemplos interesantesy prcticos. El programa SCILAB cumple con las condiciones suficientes deenseanza y aprendizaje, ventaja que el docente debe aprovechar al mximo.

4.2. Ejercicios de vectores.

1. Dado dos vectores ~u = (6, 2) y ~v = (3,1). Calcular:a)3~uPrimero cargamos ~u.

> u = [6, 2]

Vemos en la consola:

u =6. 2.

Si no queremos ver el resultado en la consola escribimos:

> u = [6, 2];

Procedemos a efectuar el clculo:

> 3 u

45

46 CAPTULO 4. GEOMETRA.

ans = 18. 6.

Aqu el smbolo es para multiplicar cualquier escalar con un vector.b) 13~vPrimero cargamos ~v.

> v = [3,1]v =

3. 1.Luego escribimos

> 1/3 vans = 1. 0,3333333

c) 13(~u+ ~v)Los vectores ~u y ~v ya estn cargados por lo que podemos calculardirectamente:

> 1/3 (u+ v)ans =

1. 0,3333333

Podemos borrar todos los vectores con el comando clear().

2. Dado los vectores ~A = (1,1, 0), ~B = (2, 1, 3) y ~C = (3, 0,2). a)Determinar ~A+ 2 ~B ~C.Primero cargamos ~A, ~B y ~C.

> A = [1,1, 0]; > B = [2, 1, 3]; > A = [3, 0,2];

Luego escribimos

> A C + 2 Bans =6. 1. 8

b) Determinar ~A+ 3 ~B + 2 ~C.Como ya tenemos cargados los vectores ~A, ~B y ~C, podemos resolverdirectamente

> A+ 3 B + 2 C

4.2. EJERCICIOS DE VECTORES. 47

ans =1. 4. 5.

c) Determinar 2A 2B + C.Procedemos de manera similar:

> 2A 2 B + Cans =9. 4. 8.

El orden de cargar las matrices no influye, es decir, podemos cargarlas matrices en forma pausada de acuerdo al ejercicio que se plant cargar todas las matrices inmediatamente antes de resolver elproblema, siempre que al usar esa matriz este cargada o definida en elprograma.

3. Describe geomtricamente el conjunto de todos los puntos del planoque tiene la forma (x, y) = (1, 2) + t(4,1).Primero tenemos que definir t con el comando linspace, donde losprimeros dos componentes son los intervalos y el ltimo son lasparticiones que se hacen el intervalo.

> t = linspace(15, 15, 100);

Luego cargamos las variables x e y.

> x = 1 + 4 t; > y = 2 t;

Finalmente para ejecutarlo usamos el comando plot2d en dosdimensiones.

> plot2d(x, y);

Proponemos a continuacin una serie de ejercicios:

4. Describe geomtricamente el conjunto de todos los puntos del planoque tiene la forma (x, y) = (5, 2) + t(1, 3).

5. Representar grficamente las rectas paramtricas siguientes(x, y) = (7,2) + t(9, 3) y (p, q) = (7,2) + r(2, 5). Obteneraproximadamente el punto en que se cruzan.

6. Represente grficamente en el plano los vectores ~a = (3, 1) y~b = (1,3).


-60 -40 -20 0 20 40 60 80-13

-9

-5

-1

3

7

11

15

19

Ecuacin vectorial paramtrica de la recta

x

y

Figura 4.1: Grfica de la recta (x, y) = (1, 2) + t(4,1).

-10 -6 -2 2 6 10 14 18 22-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Ecuacin vectorial paramtrica de la recta

x

y

Figura 4.2: Grfica de la recta (x, y) = (5, 2) + t(1, 3).


-130 -90 -50 -10 30 70 110 150-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Figura 4.3: Grfica azul de la recta (x, y) = (7,2) + t(9, 3) y en calipso larecta (p, q) = (7,2) + r(2, 5).

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0-3.0

-2.8

-2.6

-2.4

-2.2

-2.0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

Figura 4.4: Representacin grfica de los vectores ~a = (3, 1) y ~b = (1,3).


-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

Z

-30

-10

10

30 X

-60-40

-200

2040

6080

Y

Figura 4.5: La recta paramtrica(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 4,1).

7. Describe geomtricamente el conjunto de todos los puntos del espacioque tiene la forma (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 4,1).En los ejercicios de tipo tridimensional con un parmetro se usa elcomando param3d1. Primero definimos t.

> t = linspace(15, 15, 100);

Cargamos las variables x, y y z.

> x = 1 + 2 t; > y = 1 + 4 t; > z = 3 t;

Finalmente obtenemos el grfico:

> param3d1(x, y, z)

8. Dibuja el conjunto de todos los puntos del plano, que es de la forma(x, y, z) = (5, 4,3) + t(1,3, 2).

9. Obtener la representacin geomtrica de la recta paramtrica:a) Pasa por (7,1, 8) en la direccin (1, 3,5).


-40

-20

0

20

Z

-10-6

-22610141822 X

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Y

Figura 4.6: La recta paramtrica (x, y, z) = (5, 4,3) + t(1,3, 2).

-70

-40

-10

20

50

80

Z

-8-4

04

812

1620

24

X

-50-40

-30-20

-100

1020

3040

50

Y

Figura 4.7: Grfica de la recta paramtrica (x, y, z) = (7,1, 8)+ t(1, 3,5).


-65

16Z -50

-40-30

-20-10

010

2030

4050

X

-40-30

-20-10

010

2030

Y

Figura 4.8: La recta paramtrica (x, y, z) = (4,1, 9) + t(3,2, 1).

b) Pasa por (4,1, 9) y es perpendicular al plano 3x 2y + z = 18.10. Hallar la representacin geomtrica de las rectas dadas las siguientes

ecuaciones:a) 2x+ 3y 13 = 0b) 4x+ 3y = 23.

11. Determine la representacin geomtrica de la recta2 x = 3y8 = 4 z.

12. Determine la representacin geomtrica de la recta x42 =y+25 =

3z7 .

13. Sean ~E = (1, 0, 1), ~F = (1, 1, 2) y ~G = (0, 1,1) tres vectores en elespacio. Encuentra los valores de x, y y z tales que el vector~b = (4, 3,3) se escribe como ~b = x~E + y ~F + z ~G Como primer pasointroducimos el vector ~b:

> b = [4; 3;3];

La resolucin de este problema exige la utilizacin de una matriz, quellamaremos A. Esta matriz debe tener como columnas los vectores ~E,~F y ~D. Cargamos A

> A = [1,1, 0; 0, 1, 1; 1, 2,1]A =


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60

-40

-20

0

20

40

60

80

La ecuacin paramtrica de la recta

x

y

Figura 4.9: Grfica asociada a la ecuacin 2x+ 3y 13 = 0.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60

-40

-20

0

20

40

60

80

La ecuacin paramtrica de la recta

x

y

Figura 4.10: Grfica asociada a la ecuacin 4x+ 3y = 23.


-11

-7

-3

1

5

9

13

17

21

Z

-13-29 X

-120-80

-400

4080

120160

Y

Figura 4.11: Grfica de la recta 2 x = 3y8 = 4 z.

-110

-80

-50

-20

10

40

70

100

130

Z

-30-20

-10010203040 X

-80-60

-40-20

020

4060

80

Y

Figura 4.12: Grfica de la recta x42 =y+25 =

3z7 .

4.3. PLANOS Y POLIEDROS. 55

1 1 00 1 11 2 1

Luego usando la variable p, con el comando inv podemos resolver elproblema:

> p = inv(A) bp =

314

El vector p contiene los valores de las incgnitas (x, y, z). Se sigue quex = 3, y = 1 y z = 4.Proponemos a continuacin una serie de ejercicios de similarresolucin.

14. Hallar x, y, y z, si (2,3, 4) = x(1, 1, 1) + y(1, 1, 0) + z(1, 0, 0).15. Hallar x, y y z en las siguientes ecuaciones:

a) (3,1, 2) = x(1, 1, 1) + y(1,1, 0) + z(1, 0, 0)b) (1, 3, 3) = x(1, 1, 0) + y(0, 0,1) + z(0, 1, 1)

16. Hallar x e y, si (2, 3) + x(1, 0) = y(4, 2)

4.3. Planos y Poliedros.

A continuacin trataremos con un tpico ms sofisticado. Disearemossuperficies planas en el espacio tridimensional y algunos poliedros elemen-tales. Comenzaremos con casos elementales.

1. Dibujar en el espacio el tringulo determinado por los vectoresvectores ~a = (1, 2, 1) y ~b = (0, 1, 2) y ~c = (0, 0, 0).Primero las variables xf , yf y zf son matrices 1 3, las querepresentan una cara plana en el espacio.Cargamos xf, yf, zf .

> xf = [1; 0; 0]; > yf = [2; 1; 0]; > zf = [1; 2; 0];

Notemos que si miramos cuidadosamente que hemos cargado, laprimera columna corresponde al vector ~a, la segunda columna alvector ~b y la tercera al vector ~c. Usamos el comando plot3d y paradefinir colores list(zf, colors).


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Z

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 X

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0Y

Figura 4.13: Tringulo en el espacio cuyos vertices son dados por los vectores~a = (1, 2, 1), ~b = (0, 1, 2) y ~c = (0, 0, 0).

> plot3d(xf, yf, list(zf, 7))

Proponemos a continuacin una serie de ejercicios de similarresolucin.

2. Dibuja en el espacio estos vectores ~a = (1, 0, 0) y ~b = (1, 1, 0) y~c = (1, 1, 1). Unir los puntos.

3. Describe geomtricamente el conjunto de todos los puntos del espacioque tiene los vectores ~a = (1, 0, 0),~b = (0, 1, 0) y ~c = (0, 0, 1). Unir lospuntos

4. Describe geomtricamente el conjunto de todos los puntos del espacioque tiene los vectores ~a = (1, 0, 0),~b = (0, 1, 0), ~c = (0, 0, 1) y~d = (1, 1, 1). Unir los puntos

5. Grfique en el espacio, dada los siguientes vectores ~a = (0, 0, 0),~b = (1, 0, 0), ~c = (0, 1, 0) y ~d = (0, 0, 1).

6. Dibuje el tetraedro en el espacio de acuerdo a los siguientes vectores.~a = (0, 0, 0),~b = (1, 1, 0),~c = (0, 1, 1) y ~d = (1, 1, 1).

7. Grfique el tetraedro con los siguientes vectores ~a = (0, 2, 3),~b = (0,2,3), ~c = (1, 1, 1) y ~d = (1,1,1).


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Z

00.3

0.60.9

X00.20.4

0.60.81.01.21.41.6

1.82.0

Y

Figura 4.14: Otra vista del trigulo en el espacio formado por los vectores~a = (1, 2, 1), ~b = (0, 1, 2), y ~c = (0, 0, 0).

0

0.4

0.8

Z

0.991.001.01X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

Figura 4.15: Los vectores ~a = (1, 0, 0) y ~b = (1, 1, 0), ~c = (1, 1, 1) representanun plano y observando desde otra cara de tringulo


00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Z

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0X

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0Y

Figura 4.16: Representacin grfica de las bases cannicas ~a = (1, 0, 0), ~b =(0, 1, 0) y ~c = (0, 0, 1)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0X

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Y

Figura 4.17: Los vectores ~a = (1, 0, 0), ~b = (0, 1, 0), ~c = (0, 0, 1) y ~d =(1, 1, 1), representan un plano.


00.20.40.6

0.81.0

Z

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0

X00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0

Y

Figura 4.18: Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 0, 0), ~b = (1, 0, 0),~c = (0, 1, 0), ~d = (0, 0, 1).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1.0

Y

00.10.20.3

0.40.50.60.7

0.80.91.0

X

Figura 4.19: Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 0, 0), ~b = (1, 1, 0),~c = (0, 1, 1), ~d = (1, 1, 1).


-3

-2

-1

0

1

2

3

Z

-1.0-0.6

-0.20.2

0.61.0 X

-2.0-1.6

-1.2-0.8

-0.40

0.40.8

1.21.6

2.0

Y

Figura 4.20: Grfica del tetraedro de vertices ~a = (0, 2, 3), ~b = (0,2,3),~c = (1, 1, 1),~d = (1,1,1).


hemos consultado: [1], [2], [3], [4]

Captulo 5

Construyendo funciones conSCILAB.

En este breve pero importante captulo mostraremos como construir fun-ciones con SCILAB. Este tpico es de gran utilidad pues permite incorporarnuevos algoritmos desarrollados por el usuario. Como siempre haremos usode ejemplos para una comprensin ms simple. El mtodo ms simple esescribir la funcin en un archivo. Para ello primero introducimos en la lineade comandos > scipad()en el pad de notas introducimosfunction[y] = fac(n)y = prod(1 : n)endfunctiongrabamos esto en un archivo con extensin .sci, por ejemplo el nombre delarchivo ser en nuestro caso factorial.sci, luego en la linea de comandos deSCILAB introducimos > getf(factorial.sci)lo cual deja disponible la funcin definida. Podemos realizar lo mismo con > exec(factorial.sci)

61

62 CAPTULO 5. CONSTRUYENDO FUNCIONES CON SCILAB.

Captulo 6

Estadstica.

La estadstica ha tenido un desarrollo particularmente significativo enlos ltimos tiempos. Por un lado, porque progresivamente se desarroll comouna disciplina independiente, con cdigos propios y con aplicaciones a unamplio espectro de procesos y fenmenos tanto naturales como sociales.Por otro lado, la difusin cada vez ms extensa del uso de los computa-dores personales y la aparicin de paquetes informticos (software: en estecaso ser el SCILAB) especializados que facilitan da a da el procesamientode grandes cantidades de datos y la exhibicin grfica de los resultados, hapermitido, a un golpe de vista, obtener informacin relevante, dificlmentecomunicable en otros formatos.Actualmente la estadstica, ms que una rama de la matemtica, es consid-erada una ciencia para tratar con la recoleccin, anlisis, interpretacin ypresentacin de datos. Es mucho ms que una compilacin de tcnicas declculo: es una forma de aprender de los datos, una manera de mirar la in-formacin y un soporte para toda la ciencia.En este captulo nos preocuparemos de dar una visin de la estadstica, des-de el procesamiento y anlisis de los datos, como las medidas de tendenciacentral y de dispersin, hasta distribuciones como histogramas.

6.1. Grficos de barras.

Una empresa esta interesada en estudiar las cargas familiares que tienensus empleados. Con ese fin organiza la informacin en una tabla en la cual,la primera columna especifica las cargas familiares y la segunda columnala cantidad de personas en la empresa que tienen ese nmero de cargas

63

64 CAPTULO 6. ESTADSTICA.

familiares.Carga Familiar Empleados

yi fi0 41 82 113 134 95 66 2

Una forma elemental de representacin, que es de uso corriente en estadca,son los histogramas. Para la construccin de histogramas SCILAB cuentacon el comando histplot.

plot2d3, el que debe poseer lo siguiente:

plot2d3([logflags, ]x, y, [style, frameflag, rect, ])

plot2d3(x, y )S tyle = opcin que permite cambiar el color.

Frameflag = opcin que permite cambiar el estilo del eje.

Rect = opcin que permite establecer las coordenadas de x e y.

esto significa mnx,mn y,maxx,max y x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];y = [4, 8, 11, 13, 9, 6, 2];y = [4, 8, 11, 13, 9, 6, 2];plot2d3(x, y, style = 2, frameflag = 5, rect = [1, 0, 7, 15]);

3.Graficar: Una vez introducido los datos, siempre es til poder expresarlosen un grfico, en este caso ser un grfico de barras con nuestros datos.Paraello vamos a la ventana que se abri al ingresar todos los datos. Finalmentenuestro grfico es como lo muestra la figura.

6.1. GRFICOS DE BARRAS. 65

-1 0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 6.1: Grfico de barras: nmero de cargas familiares por cada emplea-do.


Ejercicio: Los siguientes datos corresponden al nmero de reparaciones, pormquina, que se efectan durante un mes, construya el grfico de barra.

Cantidad de reparaciones Mquinasyi fi0 71 102 143 144 145 9

Luego debemos ir al SCILAB y ejecutar lo siguiente:xbasc()x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];y = [7, 10, 14, 14, 14, 9];y = [7, 10, 14, 14, 14, 9];plot2d3(x, y, style = 14, frameflag = 5, rect = [1, 0, 6, 15])Luego el grfico que obtenemos es el siguiente:

6.1. GRFICOS DE BARRAS. 67

-1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 6.2: Grfico de barras: cantidad de reparaciones por mquinas que serealiza durante un mes.


6.2. Grfico de Escalera.

Para realizar este tipo de grficos en SCILAB primero observemos latabla de datos que queremos ingresar para crearlo, por ejemplo en este ca-so la tabla es as, donde es necesario las clases,las frecuencias absolutas ytambin las frecuencias acumuladas, que son la suma de las frecuencias ab-solutas.

Carga Familiar Empleados Empleados (Acumulados)yi fi Fi0 4 41 8 122 11 233 13 364 9 455 6 516 2 53

Una vez ordenada la tabla seguimos el siguiente procedimiento.1. Abre SCILAB.

2. Ingresa los datos correspondientes a las clases y a las frecuencias acu-muladas. Para crear el eje horizontal en donde estarn las clases crearemosun vector A, el que luego ser traspuesto; como tambin habremos de crearotro vector B en donde se encontrarn las frecuencias acumuladas, el quepor su parte debe ser traspuesto de igual forma como el primero. Ahora, unavez que ya hemos ingresado los datos que queremos grficar, escribimos elcomando que SCILAB nos aporta para grficos, este es:plot2d2([logflags, ]x, y, [style, frameflag, rect, ])plot2d2(x, y )S tyle = opcin que permite cambiar el color.

F rameflag = opcin que permite cambiar el estilo del eje.

Rect = opcin que permite establecer las coordenadas de x e y, esto sig-nifica [mn x, mn y, mx x, mx y]

xbasc()x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];y = [4, 12, 23, 36, 45, 51, 53];y = [4, 12, 23, 36, 45, 51, 53];

6.2. GRFICO DE ESCALERA. 69

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

Figura 6.3: Grfico de escalera asociado al nmero cargas familiares de tra-bajadores.

plot2d2(x, y, style = 2, frameflag = 5, rect = [1, 0, 7, 55]);Con ello obtenemos un grfico con los datos ya ingresados, como lo muestrala figura arriba:Ejercicio: Veamos en una tabla la variable edad del grupo de estudiantes deeducacin media en estudio. Con los datos construya un grfico de escalera.

Variable edad Frecuencia absoluta Frecuencia Acumuladayi fi Fi14 1 115 51 5216 48 10017 53 15318 60 421319 3 216

Luego debemos ir al SCILAB y ejecutar lo siguiente:


13 14 15 16 17 18 19 200

40

80

120

160

200

240

Figura 6.4: Grfico de escalera: la variable edad de estudiantes de educacinmedia.

xbasc()x = [14, 15, 16, 17, 18, 19];x = [14, 15, 16, 17, 18, 19];y = [1, 52, 100, 153, 213, 216];y = [1, 52, 100, 153, 213, 216];plot2d2(x, y, style = 14, frameflag = 5, rect = [13, 0, 20, 217]);

Con ello obtenemos un grfico con los datos ya ingresados, como lo muestrala figura:

6.3. HISTOGRAMAS. 71

6.3. Histogramas.

Cuando se trata con grandes cantidades de datos, resulta convenienteagrupar en categoras (que llamamos clases) y determinar cuntos de los in-dividuos pertenecen a dicha categora (el nmero resultante lo denominamosfrecuencia de clase). Es usual y til disponer tal informacin (clases y fre-cuencias de clase)en forma de tabla, lo que se denota como distribucin otabla de frecuencias. Un histograma es una representacin grfica de la dis-tribucin o tabla de frecuencias.

Ejercicio 1: Una empresa de transporte de paquetes lleva la contabilidadde los pesos de las encomiendas enviadas. La distribucin de frecuencias quese considera est resumida en la siguiente tabla, encuentra el histogramacorrespondiente.

Peso(Kg) Frecuenciayi fi0-5 45-10 1210-15 3315-20 4520-25 5825-30 6830-35 5335-40 4040-45 2545-50 6


Ones = La funcin de ones es crear un vector X de orden 1n con n trminostal que xi son iguales a 1.

xbasc()x1 = 3 ones(1, 4);x2 = 7 ones(1, 12);


0 10 20 30 40 50 600.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Figura 6.5: Histograma: frecuencia para los pesos de los paquetes enviados.

x3 = 12 ones(1, 33);x4 = 17 ones(1, 45);x5 = 22 ones(1, 58);x6 = 27 ones(1, 68);x7 = 32 ones(1, 53);x8 = 37 ones(1, 40);x9 = 41 ones(1, 25);x10 = 46 ones(1, 6);y = [x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10];histplot([0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50], y, style = 1, frameflag = 5, rect =[0, 0, 55, 0,05])

6.3. HISTOGRAMAS. 73

Ejercicio 2. Vamos a suponer que se ha hecho un estudio sobre el ConsumoMensual de Electricidad, en los departamentos de los edificios del SectorNorte de Formosa. La distribucin de frecuencias que se considera est re-sumida en la siguiente tabla, encuentra el histograma correspondiente.

Consumo Mensual Kw/h Departamentosfi

57-83 883-109 10109-135 13135-161 6161-187 3


Ones = La funcin de ones es crear un vector X de orden 1n con n trminostal que xi son iguales a 1.

x1 = 58 ones(1, 8);x2 = 85 ones(1, 10);x3 = 112 ones(1, 13);x4 = 137 ones(1, 6);x5 = 165 ones(1, 3);y = [x1, x2, x3, x4, x5];histplot([57, 83, 109, 135, 161, 187], y, style = 4, frameflag = 5, rect = [0, 0, 200, 0,02])

El histograma que obtenemos es el siguiente:Con la particularidad que en el eje de frecuencias, el valor de esta se dividepor 100. Por ejemplo : 8/100 = 0,08


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

Figura 6.6: Histograma: consumo mensual de electricidad por departamento.

6.4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. 75

6.4. Medidas de Tendencia Central.

Las medidas de tendencia central son ciertos valores asociados a una vari-able obtenidos de los valores que esa variable tiene en una muestra o unapoblacin, cuyo propsito es caracterizar a travz de un nmero nico a todala muestra (o poblacin). Las medidas de tendencia central ms utilizadasson la media aritmtica, la moda y la mediana.

6.5. Media Aritmtica.

a) Datos no agrupados:

x =

i=1nxin

Ejercicio 1: Las notas de Ciencias Sociales de Andra son las que se muestranen la tabla siguiente, calcular la media aritmtica:

Control Notas AndreaNmero1 6.2Nmero2 5.8Nmero3 4.9Nmero4 6.5Nmero5 5.3Nmero6 6.0


x = [62, 58, 49, 65, 53, 60];mean(x);El resultado que se obtiene es:mean(x)ans =

5,783333

Ejercicio 2: Se han obtenido los siguientes datos al realizar un estudio sobreel consumo diario de leche por familia en un tercer ao bsico. Calcular elconsumo diario promedio de leche de las familias del curso.

Consumo de leche (L) N de familias0 21 122 143 104 2

x1 = 0 ones(1, 2);x2 = 1 ones(1, 12);x3 = 2 ones(1, 14);x4 = 3 ones(1, 10);x5 = 4 ones(1, 2);x = [x1, x2, x3, x4, x5]mean(x)El resultado que se obtiene es: mean(x)ans =

1,95

6.5. MEDIA ARITMTICA. 77

b) Datos agrupados por valores puntuales:

x =

i=1nxifin

Ejercicio:Calcular la Media Aritmtica

Cargas Familiares Empleados yifiyi fi0 4 01 8 82 11 223 13 394 9 365 6 306 2 12

x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];y = [0, 8, 22, 39, 36, 30, 12];k = [481113962];n = ones(1, 7);n y;n k;n y/(n k)El resultado que se obtiene es:n y/(n k)ans =

2,7735849c) Datos agrupados por intervalos:


x =

i=1nMifin

Ejercicio: Calcular la Media Aritmtica

Consumo mensual Kw/h Departamentos fi Mi Mifi57-83 8 70 56083-109 10 96 960109-135 13 122 1586135-161 6 148 888161-187 3 174 522

x = [57, 83, 109, 135, 161; 83, 109, 135, 161, 187]x = mean(x, r)y = [8, 10, 13, 6, 3]

x y;n = ones(1, 5);y = [8, 10, 13, 6, 3];n y;z = x y/(n y);El resultado que se obtiene es:z = x y/(n y)ans =

112,9

6.6. La Mediana.

a) Datos no agrupados: Consideremos n datos. Para calcular la mediana,se procede: 1. Se ingresan los datos en un vector.

Ejercicio 1.: Considere los siguientes datos: 31 70 68 50 52 63 64 55 64 42 4743. Calcular la mediana.x = [31, 70, 68, 55, 52, 60, 63, 50, 64, 47, 64, 42, 43];

median(x);El resultado que se obtiene es:median(x) ans =

55.

Ejercicio 2.: considere los siguientes datos: 3 4 7 8 8 9. Calcular la medi-ana.x = [3, 4, 7, 8, 8, 9];

6.6. LA MEDIANA. 79

median(x);El resultado que se obtiene es:median(x) ans =

7,5

b) Datos agrupados por valores puntuales.Ejercicio1: Calcular la mediana, con los datos considerados en la tabla:

Cargas Familiares Empleados Fiyi fi0 4 41 8 122 11 233 13 364 9 455 6 516 2 53

Para calcular la mediana, en este caso se procede:1. Se ingresan los Fi en un vector;2. n= total de datos ingresados;3. Se calcula el valor determinante (n/2)y se ubica la frecuencia acumuladaFj , cuyo valor es inmediatamente superior a (n/2);4. Entonces la mediana es la clase yj , asociada a Fj ;

x = [4, 12, 23, 36, 45, 51, 53]n = 53x = x (n/2)forj = 1 : 7; ifx(j) < 0, , elsemedian = j; break; end; end;mediany = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]y(median)El resultado que se obtiene es:y(median) ans =

3.c) Datos agrupados por intervalos:


Consumo mensual Kw/h Departamentos Fi57-83 8 883-109 10 18109-135 13 31135-161 6 37161-187 3 40

Para calcular la mediana, en este caso se procede:1. Se ingresan los Fi en un vector;2. n= total de datos ingresados;3. Se calcula el valor determinante (n/2)y se ubica la frecuencia acumuladaFj , cuyo valor es inmediatamente superior a (n/2);4. Fj determina el intervalo Ij =]yj 1; yj ], que contiene a la mediana5. Entonces la mediana, se calcula con,Me = yj 1 + [cj (n/2)Fj1FjFj1 ]

Observacin : c = amplitud del intervalo = yj - yjix = [8, 18, 31, 37, 40];n = 40;x = x (n/2);forj = 1 : 5; ifx(j) < 0, , elsemedian = j; break; end; end;median;median = 3. y(median)El resultado que se obtiene es:y(median)ans =109.Lo que quiere decir que la mediana se encuentra en el tercer intervalo que es= (109, 135)

6.7. La Moda.

SCILAB no posee algn comando en especial que permita encontrar laModa ya sea para datos no agrupados, como para datos agrupados para val-ores puntuales y datos agrupados por intervalos. Una sugerencia del comose podra realizar, quizs utilizando el comando short o tal vez un ciclo fordonde permita tener un contador en donde se puedan ir almacenando losdatos y al mismo tiempo ir recorriendo la matriz.

6.8. MEDIDAS DE DISPERSIN. 81

6.8. Medidas de Dispersin.

Proporcionan una seal del grado de acumulacin de los datos en torno aun valor promedio. dicho de otra manera, indican cun diferentes o similaresentre s son los datos que se estn estudiando, es decir expresan la variabilidadde ese conjunto de datos.

6.9. Rango.

Ejercicio1. Calcula el rango de las notas de Matemtica listadas a con-tinuacin:

Matemtica 1.8 4.7 5.8 5.4 6.3 6.3

x = [18, 47, 58, 54, 63, 63]max(x)min(x)max(x)min(x)El resultado obtenido es el siguiente:max(x)min(x) ans =

4,5

6.10. Desviacin Estndar.


S =

i=1n(xix)2n1

1/2

Ejercicio: Calcular la desviacin estndar de los siguientes datos: 7.5, 2.8,3.6, 4.4, 8.1, 10.4, 5.6, 7.2.x = [75, 28, 36, 44, 81, 104, 56, 72]stdeviation(x)El resultado obtenido es el siguiente:stdeviation(x)ans =

2,5595759

b) Datos agrupados por valores puntuales:


S =

i=1k((yix)2)fin1

1/2

Para calcular la desviacin estndar en datos agrupados por valores pun-tuales se procede de la siguiente forma:1. Se crea un vector Y con las clases.2. Debes tener el promedio y su resultado debe aproximarse a un entero, sino es as debes calcular su media aritmtica de datos agrupados por valorespuntuales, para ello se encuentra en la seccin de promedio antes menciona-da.3. Se crea un vector F con las frecuencias absolutas, el que debe estartraspuesto.4. Se debe crear un vector M que contenga el nmero total de datos ingre-sados; para ello debes utilizar la funcin ones.5. Ahora utilizas la frmula de la desviacin estndar

Ejercicio: Calcular la desviacin estndar de los siguientes datos que nosmuestra la tabla:

Horas de estudio Notas de examen0 261 322 453 504 585 616 657 69

Y = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]X = 3a = (y x)2F = [26, 32, 45, 50, 58, 61, 65, 69]

s = a fn = ones(1, 8)M = n fD = (s/(m 1))(1/2)El resultado que se obtiene es el siguiente:D =

2.433308

6.10. DESVIACIN ESTNDAR. 83

c) Datos agrupados por intervalos:

S =

i=1k((Mix)2)fin1

1/2

Mi = Marca de clase del intervalo, Ii = (yi1+yi)/2, geomtricamente Miest asociado al punto medio del intervalo Ii

Para calcular la desviacin estndar en datos agrupados por intervalos seprocede de la siguiente forma:1. Se crea un vector M con las marcas de clases.2. Debes tener el promedio y su resultado debe aproximarse a un entero, sino es as debes calcular su media aritmtica de datos agrupados por valorespuntuales, para ello se encuentra en la seccin de promedio antes mencionada.3. Se crea un vector F con las frecuencias absolutas, el que debe ser traspuesto.4. Se debe crear un vector n que contenga el nmero total de datos ingresa-dos.5. Ahora utilizas la frmula de la desviacin estndar

Ejercicio: Calcular la desviacin estndar de los siguientes datos que nosmuestra la tabla:

Consumo mensual Kw/h Departamentos Mi57-83 8 7083-109 10 96109-135 13 122135-161 6 148161-187 3 174

Luego se va al SCILAB y se realiza lo siguiente:

M = [70, 96, 122, 148, 174];x = 113;M =M xM =M2

F = [8, 10, 13, 6, 3];F = [8, 10, 13, 6, 3];M =M f


n = 40;S = (M/n 1)(1/2)Luego el resultado es el siguiente:S =30.49918

6.11. El Coeficiente de Variacin.

El coeficiente de variacin es una medida de dispersin relativa, que sedefine,

C.V. = S/X = S/X 100

S = Desviacin estndar.X = Promedio o Media Aritmtica.El coeficiente de variacin es un nmero libre de la unidad de medida de lavariable. Sirve como una medida del grado de "homogeneidad", o de pareci-do de los elementos de la poblacin, para la variable en estudio.

Ejercicio 1: Supongamos que en los departamentos se analiz el consumode agua con los siguientes resultados:X agua = 38.2 m3 y S agua = 4.6 m3.Calcular su coeficiente de variacin.

Luego vamos al SCILAB y realizamos lo siguiente:

S=[4.6];X= [38.2];CV= (S/X);CV= (S/X)*100;El resultado que obtenemos es el siguiente:CV= (S/X)*100CV =

12.041885

Ejercicio 2: Supongamos que en los departamentos se analiz el consumo

6.12. PERCENTIL. 85

de electricidad con los siguientes resultados:X electricidad = 112.9 Kw/h y S electricidad = 30.9 Kw/h.Calcular su coeficiente de variacin.

Luego vamos al SCILAB y realizamos lo siguiente:

S=[30.9];X= [112.9];CV= (S/X);CV= (S/X)*100;El resultado que obtenemos es el siguiente:CV= (S/X)*100CV =

27.369353

6.12. Percentil.

Para calcular el Pk , cualesquiera sea la posibilidad de los datos, se pro-cede en la misma forma que se hizo para el clculo de la mediana.


Pk = (n k)/100

Para ello vamos al SCILAB e ingresamos los datos;Se ingresan los datos en un vector X.k= el valor del percentil que vamos a buscar.

Ejercicio: Calcular el P(62), para el siguiente conjunto de datos,12 14 54 57 52 18 20 21 52 48 46 45 21 25 26 32 30 38 35 40 43 40 40En el SCILAB realizamos lo siguiente:x = [12, 14, 54, 57, 52, 18, 20, 21, 52, 48, 46, 45, 21, 25, 26, 32, 30, 38, 35, 40, 43, 40, 40]k = 62;perctl(x, y)El resultado que obtenemos es el siguiente:perctl(x,y) ans =!40,22.!Esto implica que el P(62) = 40 El otro valor es un margen de error



hemos consultado: [3], [12], [5], [7], [8], [9], [10] y [11].

Captulo 7

Grficos de funciones en tresdimensiones.

7.1. Grficos de curvas.

Nuestro primer ejemplo esta dado por la curva

t (7 cos(t), 9 sin(t), t)

Para la realizacin del grfico usamos el comando param3d: > t = 0 : 0,1 : 50; > x = 7 cos(t); y = 9 sin(t); z = t; > param3d(x, y, z);Realizamos a continuacin el grfico de una hlice esfrica.

t (cos(50t) cos(t), sin(50t)cos(t), sin(t))

Note la sintaxis utilizada en la segunda linea. > t = linspace(0, 1,57, 100) > x = cos(50 t). cos(t); y = sin(50 t). cos(t); z = sin(t); > param3d(x, y, z);Un ejemplo clsico es el de curvas de Lissajous. En primer lugar realizamosuna grfica en tres dimensiones, la cual en el eje z contiene el parmetro. > xbasc() > t = 0 : 0,1 : 50; > x = 4 cos(t); y = 3 sin(2(1/2) t); z = t > param3d(x, y, z)Llegado este punto podemos hacer una representacin paramtrica o proyec-cin sobre el plano xy. Para ello ejecutamos: > xbasc() > plot2d(x, y, 2, 121)

87

88CAPTULO 7. GRFICOS DE FUNCIONES EN TRES DIMENSIONES.

0

10

20

30

40

50

Z

-7-5

-3-1

13

57 X

-9-7

-5-3

-11

35

79Y

Figura 7.1: Grfica de la curva t (7 cos(t), 9 sin(t), t).

7.1. GRFICOS DE CURVAS. 89

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

-1.0-0.6

-0.20.2

0.61.0 X

-1.0-0.6

-0.20.2

0.61.0Y

Figura 7.2: Grfica de la hlice esfrica t (cos(50t) cos(t), sin(50t)cos(t), sin(t)).


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Z

43

21

01

23

4 X

32

10

12

3Y

Figura 7.3: Grfica de la curva de Lissajous t (4 cos(t)), 3 sin( t2), t).

7.1. GRFICOS DE CURVAS. 91

X3 2 1 0 1 2 3 4

2

1

0

1

2

Figura 7.4: Grfica de la curva de Lissajous (x = 4 cos(t)), y = 3 sin( t2)).


7.2. Grficos de superficies.

Si bien SCILAB posee potentes formas de realizar grficas estas son muysofisticadas. Presentamos aqu una forma ms extensa pero ms simple con-ceptualmente. En las dos primeras lneas definimos la discretizacin o mallausada para la elaboracin de la grfica. En las lneas 3 a 9 ejecutamos ciclosfor. Finalmente obtenemos la grfica usando el comando plot3d y la gr-fica coloreada usando plot3d1. Comenzamos con ejemplo simple; queremosobtener la grfica de la funcin z(x, y) = sin(xy). A continuacin presenta-mos el codigo > x = (5 : 0,2 : 5); > y = (5 : 0,2 : 5); > m = size(x, 1);n = size(y, 1); > w = zeros(m,n); > fori = 1 : m; > forj = 1 : n; > w(i, j) = sin(x(j) y(j)); > end; > end; > plot3d(x, y, w)Realizamos una grfica coloreada > xbasc() > plot3d1(x, y, w)El comando grayplot nos permite obtener grficos con diferentes niveles degrises > grayplot(x, y, w) > xbasc()Finalmente mediante el comando contour obtenemos una grfica de curvasde nivel. El nmero en el comando especifica la cantidad de curvas de nivel. > contour(x, y, w, 3)

7.2. GRFICOS DE SUPERFICIES. 93

-1.0

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1.0

Z

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

X

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

Y

Figura 7.5: Grfica de la funcin z(x, y) = sin(xy).


-1.00

1.0

Z

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

X

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

Y

Figura 7.6: Grfica coloreada de la funcin z(x, y) = sin(xy).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 7.7: Grfica con niveles de grises"de la funcin z(x, y) = sin(xy).

7.2. GRFICOS DE SUPERFICIES. 95

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.500-0.500-0.500

-0.500

-0.500-0.500

-0.500

-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500

-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

-0.500-0.500

0.0000.000

0.0000.000

0.0000.000

0.000

0.000

0.0000.000

0.0000.000

0.0000.000

0.000

0.0000.000

0.0000.000

0.0000.000

0.000

0.000

0.000

0.0000.000

0.0000.000

0.0000.000 0.500

0.5000.500

0.5000.500

0.5000.500

0.5000.5000.500

0.500

0.5000.500

0.500

0.500

0.5000.5000.5000.500

0.5000.500

0.5000.500

0.500

0.500

0.5000.500

0.5000.500

0.5000.500

Figura 7.8: Curvas de nivel de la funcin z(x, y) = sin(xy).

-30

-20

-10

0

10

20

30

Z

-5-4

-3-2

-1012345X

-5-4

-3-2

-1 0 1 2 3 4 5Y

Figura 7.9: Grfica de la funcin z(x, y) = x2 y2.


-30

-20

-10

0

10

20

30

Z

-5-4

-3-2

-1012345X

-5-4

-3-2

-1 0 1 2 3 4 5Y

Figura 7.10: Grfica coloreada de la funcin z(x, y) = x2 y2.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 7.11: Grfica con niveles de grises"de la funcin z(x, y) = x2 y2.

7.3. CAMBIOS EN LOS COLORES. 97

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-17.857

-17.857

-10.714

-10.714

-3.571

-3.571

3.5713.571 10.71410.71417.857

Figura 7.12: Curvas de nivel de la funcin z(x, y) = x2 y2.

7.3. Cambios en los colores.

Es posible efectuar cambios en la forma que SCILAB colorea las grfi-cas. A continuacin mostramos un ejemplo: hacemos la grfica de la funcinz(x, y) = cos(y) cos(x) > x = linspace(0, 2 %pi, 31); > y = x; > z = cos(y) cos(x);A continuacin definimos la matriz de colores. En este caso para produciruna grfica armoniosa usamos una matriz predefinida por SCILAB. > C = hotcolormap(32);la siguiente linea define el mapa de colores > xset(colormap, C);a continuacin cambiamos el color de la cara inferior de la superficie, el colores elegido con el nmero en el comando. > xset(hidden3d, 30);obtenemos la grfica > plot3d1(x, y, z);En el siguiente ejemplo continuamos con la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x).En este caso el mapa de colores sera de carcter aleatorio. > x = linspace(0, 2 %pi, 31); > y = x;


> z = cos(y) cos(x);A continuacin construimos el mapa de colores. Note que es forzoso que lamatriz sea de tres columnas. > h = rand(300, 3); > xset(colormap, h);Finalmente obtenemos la grfica > plot3d1(x, y, z);Finalmente para volver a los colores por defecto de SCILAB tipeamos > xset(default)En este punto aclaramos que no es necesario repetir el tipeado de ciertoscomandos, nosotros lo hacemos por claridad estructural, el lector prontodescubrir por sus propios medios como proceder!.A continuacin otros ejemplos con la misma funcin. > xbasc() > x = linspace(0, 2 %pi, 31); > y = x; > z = cos(y) cos(x);Introducimos la matriz de colores, en este caso es una matriz de 300 filas por3 columnas con todas la entradas iguales a 1. Esto produce un grfico sincolor alguno. > h = ones(300, 3); > xset(colormap, h); > plot3d1(x, y, z);Finalmente mostramos un ejemplo de coloreado en tonos de dorado a grisacero, que se cuenta entre los favoritos del autor. > xbasc() > x = linspace(0, 2 %pi, 31); > y = x; > z = cos(y) cos(x);Introducimos la matriz de colores, en este caso la construccin es algo com-pleja. > R = [0 : 255]/256; G = R; B = 0,5 ones(R); RGB = [R;G;B];Definimos el mapa de colores. > xset(colormap, RGB);Finalmente obtenemos la grfica. > plot3d1(x, y, z);


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

01

23

45

67

X0 1 2 3 4 5 6 7

Y

Figura 7.13: Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con colores hotcolormap.


-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81.0

Z

01

23

45

67

X

01

23

45

67

Y

Figura 7.14: Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con colores aleato-rios.

-1.0

0

1.0

Z

0

1

2

3

4

5

6

7

X

0

1

2

3

4

5

6

7

Y

Figura 7.15: Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) sin colores.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

01234567 X0 1 2 3 4 5 6 7YFigura 7.16: Grfica de la funcin z(x, y) = cos(y) cos(x) con coloreado dedorado a gris acero.


7.4. Grficos de superficies paramtricas con el co-mando eval3dp.

El uso del comando eval3dp es uno de los ms avanzados en SCILAB. Denuevo nuestra filosofa es realizar la presentacin de estos temas medianteejemplos. Como primer paso debemos definir funciones que contengan larepresentacin parmetrica de las superficies. Comenzamos con el toro entres dimensiones

(, ) (cos()(R+ r cos()), sin()(R+ r cos()), r sin())Primero abrimos el cuaderno de notas. > scipad();function[x, y, z] = toro(theta, phi)R = 1; r = 0,2x = (R+ r cos(phi)). cos(theta)y = ((R+ r cos(phi)). sin(theta)z = r sin(phi)endfunctionRecordemos que estos archivos deben ser guardados con la extensin .sci, ennuestro ejemplo toro.sci. A continuacin habilitamos la nueva funcin > getf(toro.sci)definimos el dominio de las variables usadas como parametro > theta = linspace(0, 2 %pi, 160) > phi = linspace(0,2 %pi, 20)realizamos el clculo de la superficie > [xf, yf, zf ] = eval3dp(toro, theta, phi);y finalmente construimos la grfica > plot3d1(xf, yf, zf)La funcin

(, ) (cos()(R+ r cos()), sin()(R+ r cos()), r sin())donde

r =2(1 + 4 sin(8)10 )

10es un toro ondulado en tres dimensiones. A continuacin mostramos el cdi-go de la funcin parametrica.function[x, y, z] = toroondulado(theta, phi)R = 1; r = 0,2 (1 + 0,4 sin(8 theta))x = (R+ r cos(phi)). cos(theta)y = ((R+ r cos(phi)). sin(theta)z = r sin(phi)endfunction

7.4. GRFICOS DE SUPERFICIES PARAMTRICAS CON EL COMANDOEV AL3DP .103

0.200.150.100.050.000.050.100.150.20

Z

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

X

1.51.0

0.50.0

0.51.0

1.5

Y

Figura 7.17: Grfica de un toro en tres dimensiones.


0.30.20.10.00.10.20.3

Z

1.5

1.00.5

0.00.5

1.01.5

X

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Y

Figura 7.18: Grfica de un toro ondulado en tres dimensiones.

7.5. Grficos de superficies paramtricas con el co-mando nf3d.

Como siempre tratamos el comando mediante ejemplos. En este casonuestro primer ejemplo es la banda de Mobius

(, )(R+ sin(

2) cos(), R+ sin(

2) sin(), cos(

2))

Primero definimos el dominio de las variables, y fijamos las constante R > rho = linspace(0,5, 0,5, 120); > theta = linspace(0, 2 %pi, 10); > R = 1;a continuacin ejecutamos el calculo de las coordenadas correspondientes ala funcin. Notar que la multiplicacin es necesariamente de carcter matri-cial, en ese aspecto es ms simple la realizacin de grficas con el comandoeval3dp. > X = (R+ rho sin(theta/2)). (ones(10, 1) cos(theta)); > X = (R+ rho sin(theta/2)). (ones(10, 1) sin(theta)); > Z = rho cos(theta/2);finalmente calculamos la superficie: >

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