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Guía Didáctica del Docente

Autora:Celeste Carrasco Fuentes

Profesora de Educación General Básica (UMCE)

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Nº de registro: ISBN:

Impreso en Chile por ...

Se terminó de imprimir esta Xª Edición de XXX ejemplares en el mes de XXXXX del año XXXX.

Matemática 6º BásicoGuía Didáctica del Docente

AutoraCeleste Carrasco Fuentes

Matemática6º Básico

3Índice de la Guía Didáctica del Docente

Índice de la Guía Didáctica del Docente

Estructura de la Guía Didáctica del Docente ................................................. 4

Texto del EstudiantePortada ................................................................................................................ 6Bienvenida ........................................................................................................... 7Estructura didáctica ............................................................................................. 8Índice de contenidos ......................................................................................... 10

Unidad 1: Números decimalesPlanificación Unidad 1 ....................................................................................... 12Páginas del Texto del Estudiante ...................................................................... 14

Unidad 2: Números fraccionarios, razones y porcentajesPlanificación Unidad 2 ....................................................................................... 40Páginas del Texto del Estudiante ...................................................................... 42

Unidad 3: PotenciasPlanificación Unidad 3 ....................................................................................... 70Páginas del Texto del Estudiante ...................................................................... 72

Unidad 4: Ecuaciones de primer gradoPlanificación Unidad 4 ..................................................................................... 102Páginas del Texto del Estudiante .................................................................... 104

Unidad 5: ÁngulosPlanificación Unidad 5 ..................................................................................... 128Páginas del Texto del Estudiante .................................................................... 130

Unidad 6: Información y azarPlanificación Unidad 6 ..................................................................................... 156Páginas del Texto del Estudiante .................................................................... 158

Solucionario..................................................................................................... 186

Índice temático ................................................................................................ 190

Bibliografía y páginas web ...............................................................................191

Evaluación modelo .......................................................................................... 192

Otros recursos didácticosMateriales complementarios ........................................................................... 193Evaluaciones ................................................................................................... 202Pautas de evaluación ...................................................................................... 222Orientaciones bibliográficas ............................................................................ 228Orientaciones para el uso del Hipertexto ........................................................ 230

4 Estructura de la Guía Didáctica del Docente

Estructura de la Guía Didáctica del Docente

La Guía Didáctica del Docente de 6° Básico ha sido elaborada con la finalidad de servir de apoyo para profe-sores y profesoras en el uso eficiente del Texto del Estudiante de 6° Básico de Matemática. En ella se incorpora íntegro el Texto del Estudiante miniaturizado, de manera de facilitar la aplicación de cada uno de sus recursos e instrumentos pedagógicos en el lugar y en el momento pertinentes. En las actividades del texto y de la guía se señalan las habilidades que pretenden desarrollar en los estudiantes. Previo al inicio de cada unidad temática, se presenta un proyecto de planificación para organizar el trabajo del docente. Esta propuesta considera una ruta de aprendizajes esperados, los contenidos conceptuales que involucra, los recursos didácticos ofrecidos, el tiempo estimado para su desarrollo y los instrumentos de evaluación sugeridos.

La estructura general de la guía es la siguiente:

Orientaciones metodológicas

Listado de sugerencias para tratar las páginas iniciales de una manera que resulte inte-resante para los estudiantes, introduciéndolos en el OFT de la unidad.


Listado de sugerencias para que el docente haga uso eficiente de los recursos disponibles en el texto y en la guía. Están orientadas al trabajo en aula.

Actividad complementaria

Propuesta con variadas acti-vidades que complementan las actividades del texto.


Primera actividad de aplica-ción de contenidos dirigida a los estudiantes.

Presentación de la unidad

Texto introductorio en el que se describen los temas que serán abordados en la unidad y la utilidad de los aprendizajes que los estudiantes adquirirán durante su desarrollo.

Red conceptual

Esquema que resume la uni-dad en la forma de una red de conceptos interconectados.

Secciones variables

Considera la presencia variable de siete secciones: Materiales, Aclaración de conceptos, Diversidad, Errores frecuentes, Reflexión, Otros recursos e Historia y números.

Evaluación

Actividad que permite al docente monitorear en forma permanente el proceso de aprendizaje de los estu-diantes.

Páginas de inicio de unidad

Páginas de contenido


5Estructura de la Guía Didáctica del Docente

La Guía Didáctica del Docente presenta como Otros recursos didácticos, las siguientes secciones:

Materiales complementarios: consta de materiales para apoyar la labor del docente en el aula. Entre ellos, puede encontrar juegos didácticos, hoja de respuestas para las actividades con alternativas, recortables para ocupar en el estudio de la geometría y muchos otros recursos de apoyo.

Evaluaciones: consiste en páginas reproducibles para entregar a los estudiantes que le permitirán evaluar sus aprendizajes. Se presenta una evaluación por cada unidad temática, una evaluación semestral y una evaluación final que considera la totalidad de los contenidos del Texto del Estudiante. Además, se incorporan las respuestas a todas estas actividades en un solucionario.

Pautas de evaluación: incluye diversas tablas que permiten al docente evaluar los aprendizajes que van adqui-riendo los estudiantes y su desempeño en las actividades realizadas en clase. Se presentan pautas modelo como ejemplos para que el docente confeccione las propias en función de sus requerimientos, y otras específicas para evaluar las actividades sugeridas en el texto y en la guía.

Orientaciones bibliográficas: consiste en la presentación de la literatura y los sitios web ocupados para la elaboración de la guía, y en recomendaciones para el uso óptimo de la bibliografía y páginas web utilizadas en la elaboración del texto.

Orientaciones para el uso del Hipertexto: incluye una descripción del recurso multimedia que acompaña y complementa al Texto del Estudiante.

Actividades y sugerencias metodológicas para trabajar con los estudiantes que presentan mayores dificultades con los temas del texto; y con los estudiantes más avanzados del curso.

Diversidad

Propuestas diversas para desarrollar discusiones al interior del curso relacionadas con los temas matemáticos estudiados y con los OFT, con las que se espera despertar el interés de los estudiantes por los contenidos de las páginas del texto.

Reflexión

Enumeración y explicación de materiales y herramientas edu-cativas adicionales, requeridas para la realización de las diversas actividades complementarias que ofrece esta guía.

Materiales

Descripción de los errores típicos en que incurren los estudiantes dada las características particulares de cada tema estudiado; y métodos para detectarlos y remediarlos oportunamente.

Errores frecuentes

Sugerencias para trabajar los contenidos del Texto del Estudiante utilizando herramientas adicionales –principalmente páginas web–, para ampliar el ámbito de aplicación de los conocimientos adquiridos.

Otros recursos

Conexiones entre los contenidos tratados y la historia de sus precursores, para conocer y comprender el desarrollo del conoci-miento matemático a lo largo de la historia de la humanidad.

Historia y números

Profundización de los contenidos tratados en el Texto del Es-tudiante mediante información adicional y sugerencias prácticas para el tratamiento de los temas matemáticos.

Aclaración de conceptos

Las secciones variables presentes en esta guía se detallan a continuación:

6 Texto del Estudiante - Portada

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Natacha AstromujoffEleamar Barrios

Marcelo Casis Paula Olivares

Natacha AstromujoffEleamar Barrios

Marcelo CasisPaula Olivares


7Texto del Estudiante - Bienvenida

Presente a sus alumnos y 1. alumnas el Texto del Estudiante y comente con ellos que es el material que los acompañará en el proceso de aprendizaje durante todo el año escolar.Invítelos a tomar el texto, exa-2. minarlo, mirar sus ilustracio-nes y luego a compartir sus opiniones con el resto de sus compañeros y compañeras.Invite a un estudiante a leer 3. en voz alta la Bienvenida que aparece en la página 3 del texto y asegúrese que la lectura sea clara y comprensible, respetan-do los signos de puntuación y con la entonación adecuada.Invite a sus estudiantes a ho-4. jear el libro, aprovechando la instancia para que identifiquen las partes del libro, portada, contraportada, lomo, páginas, etc.Analice con sus alumnos y 5. alumnas la estructura didác-tica del Texto del Estudiante para que los niños y niñas comprendan cómo van a ser desarrollados los contenidos.Invite al curso a leer el índice 6. y converse con ellos sobre los contenidos que verán en cada una de las unidades, explican-do en forma sucinta la utilidad práctica de cada uno de ellos.

PresentaciónEl Texto del Estudiante entrega prácticas y nociones matemáticas que se articulan con los

conocimientos aprendidos el año anterior. A su vez, incorpora nuevos conocimientos que permitirán continuar con el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y que podrán utilizar para interiorizar, comprender y resolver situaciones problemáticas cercanas y contextualizadas a su mundo, brindando de esta manera la posibilidad de acrecentar el conocimiento que tienen del entorno. El texto intenta que cada alumno y alumna aprenda matemáticas en forma progresiva para que logre tomar conciencia de sus capacidades, afianzando así la confianza y seguridad en sí mismo.

Los temas de cada unidad han sido seleccionados teniendo presente siempre la visión que tienen los estudiantes de Sexto Básico del mundo que les rodea, sus inquietudes, motivaciones y deseos. En consecuencia, pueden convertirse en tópicos generativos de discusiones que permitan desarrollar los OFT en cada una de las clases.


8 Texto del Estudiante - Estructura didáctica


9Texto del Estudiante - Estructura didáctica

10 Texto del Estudiante - Índice de contenidos


11Texto del Estudiante - Índice de contenidos

12 Planificación - Unidad 1

1Unidad

Números decimales

Sección Clase Horas Ruta de aprendizajes esperados

Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Comparan números decimales. yInterpretan información ordenada en tablas y expresada en números decimales. y

Expresión fraccionaria de un nú-mero decimal finito

Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semipe-riódicos

2 4 Convierten decimales finitos a fracciones. yConvierten decimales periódicos y semiperiódicos a fracciones. yTransforman fracciones en números decimales. y

Multiplicación de números de-cimales

3 3 Multiplican números decimales. yAplican dos metodologías de cálculo para multiplicar números decimales. y

División de números decimales 4 3 Dividen números decimales. yAplican metodología de cálculo para dividir números decimales. y

Análisis de factores y productos 5 3 Determinan, estableciendo regularidades, cómo condicionan a los productos la naturaleza de los yfactores.

Números decimales: unidades de longitud

6 3 Interpretan la conversión de unidades de longitud tanto gráfica como aritméticamente. yAnalizan unidades de longitud: múltiplos y submúltiplos. y

Números decimales: unidades de masa

7 3 Interpretan la conversión de unidades de masa tanto gráfica como aritméticamente. yAnalizan unidades de masa: múltiplos y submúltiplos. y

Resolución de problemas 8 2 Aplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas. y

Tecnología activa 9 2 Utilizan herramientas tecnológicas para convertir unidades de medida. y

Síntesis de la unidad

Evaluación

10 4 Sintetizan temas estudiados en la unidad. yAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación. y

Objetivos Fundamentales Verticales

Convertir números decimales finitos y no finitos a fracciones. yMultiplicar y dividir números decimales. yUtilizar los números decimales para expresar unidades de longitud y masa. y

Planificación Unidad 1

Números decimales

Unidad 1

13

Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinalesMateriales

EvaluaciónPáginas Texto

Páginas Guía

Interpretación de información expresada con números decimales. yValoración de una dieta sana y conocimiento de los grupos de alimentos que conforman yla pirámide nutricional.

8 – 11 14 – 17 Actividad de evaluación formativa:lista de cotejo

Conversión de números decimales a fracciones y viceversa. yDefinición de números decimales finitos y no finitos periódicos y semiperiódicos. y

12 – 15 18 – 21 Actividad de evaluación formativa:autoevaluación y lista de cotejo

Establecimiento de metodologías para multiplicar números decimales. y 16 – 17 22 – 23 Actividad de evaluación formativa

Establecimiento de metodología para dividir números decimales. yValoración de la importancia para el organismo del consumo de determinados volú- ymenes de agua potable.

18 – 19 24 – 25 Actividad de evaluación formativa:autoevaluación

Análisis de los productos de factores determinados para establecer regularidades. y 20 – 21 26 – 27 Actividad de evaluación formativa

Establecimiento de metodologías gráficas y aritméticas de conversión de unidades yde longitud.

22 – 23 28 – 29 Actividad de evaluación formativa:lista de cotejo y autoevaluación

Establecimiento de metodologías gráficas y aritméticas de conversión de unidades yde masa.


Planteamiento y resolución de problemas contextualizados. y 26 – 27 32 – 33 Actividad de evaluación formativa:autoevaluación

Implementación de metodología para realizar conversión de unidades utilizando yherramientas tecnológicas.


Valoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos ya problemas y situaciones reales.

30 – 33 36 – 39 Actividad de evaluación sumativa:prueba escrita

Objetivos Fundamentales Transversales

Valoración de una alimentación adecuada como una forma de llevar una vida sana. yComprender el deporte como una práctica para mejorar la salud. yCompartir e intercambiar para aprender de las ideas de los compañeros y compañeras. y

14 Texto del Estudiante - Unidad 1

Para comenzar el trabajo de 1. estas páginas puede mostrar a sus estudiantes algunas etiquetas de frascos de vitami-nas y minerales de consumo humano o algún envase de alimentos que posea infor-mación nutricional, pues esta información generalmente se expresa mediante números decimales. Una vez mostrada la etiqueta a niños y niñas, puede preguntarles qué tipo de números aparecen allí. De esta manera los estudiantes no solo identificarán los números decimales, que ya conocen de cursos anteriores, sino que lo harán dentro de un contexto real y permitirá además intro-ducir la lectura ¿Qué debemos comer para alimentarnos sanamente?En la sección 2. En esta unidad aprenderás a: se resumen los temas que se tratarán en la unidad. Puede pedir a los estudiantes que lo lean y a continuación muy someramen-te usted puede ir enumerando algunas aplicaciones prácticas de cada uno de los contenidos, de esta forma los niños y niñas atribuirán a cada uno de los aprendizajes alguna utilidad.Invite a sus estudiantes a in-3. tentar resolver el problema que se plantea al final de la página 9 del texto, pero antes explique que si no lo logran resolver ahora lo podrán ha-cer al finalizar el estudio de la unidad.


Resuelve los siguientes ejercicios:1. 2,45 + 8,34�� 9,81 – 7,82�� 0,35 + 0,0273��5,73 + 6,37�� 10,31 + 25,79�� 1,456 – 0,00918��7,05 – 0,24�� 9,671 – 6,593�� 2,1453 – 3,8796��

Escribe los números que se solicitan a continuación:2. Tres números mayores que 0 y menores que 1.��Tres números menores que un décimo y mayores que un centésimo.��Tres números entre 10 y 10,1.��Tres números entre 8 y 8,01.��Tres números entre 6 y 6,001.��


Manipular aritméticamente

Números decimales

Unidad 1

15


En cursos anteriores los alum-nos y alumnas ya iniciaron el estudio de los números decima-les, por lo que comenzarán esta unidad reforzando contenidos previos como la trasformación de números decimales en fracciones, para, posteriormente, desarrollar métodos que permitan resolver operaciones de multiplicación y división. De igual manera, en esta unidad se profundiza en el trabajo con las unidades de medida, principalmente para que alumnos y alumnas logren dar sentido a expresiones decima-les que surgen al momento de realizar mediciones, aplicados a contextos de unidades de longi-tud y masa.

Estos temas, en la mayoría de los casos, están relacionados con el tema transversal que articula la unidad y que destaca la importancia de mantener una vida sana.

�Red conceptual

Númerosdecimales

Convertir unidades

Fracción

Decimal no finito

Multiplicación

División

desarrollo de

desarrollo de

hacen posible

permiten

expresado comoclasificar enDecimal finito

Comprender información

numérica

Longitud

Masa


Previo a iniciar la clase, verifi-1. que que los estudiantes:

Resuelven adiciones y �sustracciones de núme-ros decimales.Leen y escriben números �decimales.Conocen relaciones de �orden de números deci-males.

Proponga que cuatro estudian-2. tes dramaticen la historieta de la página 10 y luego realice al colectivo preguntas como: ¿qué tipo de números se em-plean en la historieta?, ¿qué es un número decimal?, ¿en qué situaciones han empleado números decimales?, ¿en qué contextos han encontrado in-formación expresada mediante números decimales?Pida a niños y niñas que res-3. pondan las preguntas formu-ladas en el texto acerca de la historieta. Luego, revise las respuestas en conjunto invi-tando a algunos estudiantes a pasar a la pizarra y explicar de-talladamente cada una de ellas. Usted puede pedir a niños y niñas que señalen, en cada uno de los números que aparecen en la historieta, la parte entera y la parte decimal.Para la comparación de núme-4. ros decimales puede sugerir a sus estudiantes que coloquen los números en una tabla:

2 , 8 5 5

2 , 8 4 0

De esta manera será más senci-llo comparar la parte entera, es decir, el número que aparece a la izquierda de la coma y luego la parte decimal, que aparece a la derecha de la coma.


Utilizando una huincha, mide a los integrantes de tu familia incluyéndote a ti mismo. Expresa 1. las estaturas en metros y realiza las siguientes actividades:

Ordena los datos de mayor a menor en una tabla.��Señala en cada caso la parte entera y la parte decimal.��Construye una recta numérica y ubica en ella los datos.��Construye un gráfico de barras con todos los datos.��Calcula la diferencia de estatura entre cada uno de los integrantes de la familia.��Ordena las diferencias de estatura de mayor a menor y escribe entre qué integrantes de la ��familia se verifica cada diferencia.


Medir y calcular

Números decimales

Unidad 1

17

La Actividad complementaria puede aplicarla a modo de evaluación diagnóstica con la finalidad de detectar los problemas que pueden tener algunos estudiantes en cuanto a los conocimientos previos necesarios para enfrentarse a esta unidad. Para esta evaluación, puede utilizar una lista de cotejo como la siguiente:

Evaluación

Aspectos a evaluar L ML NR

Ordena números decimales

Identifica la parte entera y la parte decimal

Ubica números decimales en la recta numérica

Domina la adición y sustracción de números decimales

L: logradoML: medianamente logradoNR: necesita reforzar

Ordenar números

Diversidad

En el curso anterior los estudiantes trabajaron con los números decimales y para enfrentarse a los nuevos con-tenidos es importante que tengan claro sus conocimientos previos.

Con los alumnos y alumnas que no recuerden el trabajo con los decimales le recomendamos que realice algunas actividades sencillas como pedirles que identifiquen los números decimales presentes en una lista de números y que luego expliquen cómo los identificaron.

Errores frecuentes

El correcto ordenamiento cre-ciente o decreciente de los números decimales es uno de los problemas más frecuentes en los alumnos y alumnas, sobre todo cuando en la lista a ordenar hay un número natural. Explique que cuando en una lista de números decimales encontramos un número natural asumimos, para facilitar nuestro trabajo, que el valor de los decimales es 0, por ejemplo: 2 = 2,0 = 2,00 y lo ocupamos de uno u otro modo según nuestra conveniencia, como por ejemplo:

6,000 > 5,463


Antes de comenzar la clase, 1. constate que los estudiantes:

Conocen los números �decimales.Obtienen números deci- �males como resultado de divisiones inexactas.Manejan la clasificación �de los números deci-males en finitos y no finitos.Conocen y han trabajado �con fracciones.

Para tratar el tema de estas 2. páginas puede, a modo de introducción, desarrollar la Reflexión que se propone en la página 19 de esta guía. Esta le servirá no solo para introducir la clase sino para que sus estudiantes recuerden los conocimientos previos acerca de las fracciones y comprendan la utilidad de con-vertir decimales a fracciones. Para esta actividad se puede apoyar en el Archívalo, en el cual se detalla la clasificación de las fracciones en propias e impropias. De igual manera, puede recordar a alumnos y alumnas la clasificación de los decimales en finitos y no finitos.Explique en detalle el proce-3. dimiento de conversión de decimal finito a fracción que se describe en el texto e indique a los estudiantes que escriban con sus palabras tal procedi-miento en sus cuadernos.


Convierte en fracciones los siguientes números decimales:1. �� 2,5 0,1�� 100,1 �� 2,55 0,01�� 10,1 �� 2,555 0,001�� 1,135,0�� 0,35�� 1000,01��35,05�� 0,355�� 100,0135,055�� 0,3555�� 10,001


Aplicar procedimiento


Números decimales

Unidad 1

19

Presente a sus estudiantes una tabla como la que se muestra a continuación con la finalidad de que autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades de estas páginas:

Evaluación

Aspectos a evaluar Sí A veces No

Comprendo qué son las fracciones

Comprendo qué son los decimales

Identifico los decimales finitos

Convierto correctamente los decimales finitos a fracciones

Realizo las actividades en el tiempo que indica el docente

Trabajo en forma limpia y ordenada


Reflexión

Los estudiantes conocen de cursos anteriores las fracciones. En estas páginas se relacionan las fracciones con los decimales finitos, por lo que puede recordar con alumnos y alumnas las fracciones y su aplicación en la vida cotidiana. Para esto puede hacer preguntas como: ¿qué son las fracciones?, ¿qué representan las fracciones?, ¿en qué situaciones has tenido la necesidad de expresar una información utilizando fraccio-nes? A través de estas preguntas los estudiantes comprenderán la importancia de la conversión de un número decimal a una fracción, y viceversa.

Explique que hay determinado tipo de información que es más conveniente expresarla con fracciones lo mismo que otras con decimales; por ejemplo, es más común y más comprensible decir que Julio se comió 1/2 de la torta a decir que Julio se comió 0,5 tortas aunque matemáticamente signifique lo mismo.



Conocen los números �decimales.Manejan la clasificación �de los números decimales en finitos y no finitos y a su vez la clasificación de los no finitos en infinitos periódicos, semiperiódi-cos y no periódicos.Conocen y han trabajado �con fracciones.

Le sugerimos que para comen-2. zar el estudio de estas páginas realice a los estudiantes pre-guntas como: ¿cómo se clasi-fican los decimales?, ¿cómo diferencias un decimal finito de un decimal no finito?En la página 14 se mencionan 3. varios ejemplos de fracciones de las que se obtienen decima-les no finitos, a partir de esto, puede pedir a sus estudiantes que den ejemplos en los que hayan utilizado este tipo de fracciones y mencionen si alguna vez han intentado trans-formarlas a decimales.Explique detalladamente las 4. metodologías de transforma-ción que se describen en la página 15, para que no quede duda a sus estudiantes sobre ellas y sean capaces de desa-rrollar los ejercicios que se proponen sin dificultad.Invite a alumnos y alumnas 5. a resolver los Ejercicios in-dividuales de la página 15 y solicite que dejen por escrito la operatoria con el máximo nivel de detalle, de modo que la actividad le pueda servir de guía en caso de olvidar el procedimiento.


Convierte en fracciones los siguientes decimales:1. 56,�� 3 56,3�� 5 34,9�� 83756,�� 35 56,3�� 56 716,9�� 0156,�� 3563 56,35�� 61 8,90�� 12356,35�� 6 5,6�� 354 0,0�� 255,600�� 1 0,�� 56 2,00�� 140

Busca en revistas, diarios o internet fracciones cuyo valor sea un número decimal no finito. 2. Pega en tu cuaderno las informaciones en que aparecen estos números fraccionarios y explica por qué no se ha expresado de otra manera.


Establecer equivalencias


Números decimales

Unidad 1

21

Pida a sus estudiantes que entreguen las actividades propuestas como Actividad complementaria en un informe escrito, el cual puede evaluar a través de la siguiente pauta:

Evaluación


Convierte decimales periódicos en fracciones

Convierte decimales semiperiódicos en fracciones

Encuentra la información solicitada

Trabaja de forma ordenada

Entrega su trabajo en el tiempo estipulado


L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Diversidad

Para trabajar con la expresión fraccionaria de un número decimal no finito es importante que los estu-diantes tengan claro el concepto de decimal no finito y sean capaces de identificar no solo un decimal finito de uno no finito, sino de comprender las clasificaciones de los decimales no finitos. Estos son conceptos que los alumnos y alumnas estudiaron en cursos anteriores, pero es posible que algunos no los recuerden.

Para reforzar estos conocimientos puede, luego de trabajar el cuadro de contenido de la página 14 del texto, proponer a sus estudiantes que clasifiquen un grupo de números decimales que usted proponga.

Errores frecuentes

Suele suceder que los estudiantes identifican como decimales no periódicos a decimales periódicos con un periodo de varios dígitos como por ejemplo el 2,34523452… o semiperiódicos en los que el semi-periodo tiene varias cifras. Recalque a los alumnos y alumnas que deben analizar detenidamente el tipo de regularidad que existe en la cifra decimal para luego poder clasificar el número.


Antes de empezar la clase, 1. constate que los estudiantes:

Conocen los números �decimales.Manejan la clasificación �de los números decimales en finitos y no finitos y a su vez la clasificación de los no finitos en infinitos periódicos, semiperiódi-cos y no periódicos.Manejan la adición y �sustracción de números decimales.

Para trabajar el problema re-2. suelto y desarrollar las meto-dologías que se proponen para la multiplicación de números decimales, le sugerimos que a modo de introducción converse con sus estudiantes sobre los seguros de salud y sobre la variación de la UF.Usted podrá, a través del sitio 3. web que se describe en Otros recursos, acceder a suficien-te información expresada en números decimales que le servirá para entregar a sus estudiantes datos reales para la práctica de la multiplicación de decimales.En la página 16 del texto se des-4. criben dos métodos para realizar la multiplicación de números decimales. Una vez terminada la explicación del método 1, sugerimos que proponga a alumnos y alumnas dos o tres multiplicaciones de decimales, para que pasen a analizar el segundo método sin dudas respecto al primero. Luego de terminada la expli-5. cación del segundo método, proponga a sus estudiantes que realicen de forma inde-pendiente los ejercicios que se proponen en la página 17 y luego entregue nuevos ejerci-cios inventados por usted.


Alejandra fue al supermercado y compró 3 bolsas de 0,5 kg de pan; 2 bolsas de 3,1 kg de leche 1. y 5 paquetes de chocolate de 0,01 kg. ¿Qué carga transportó en su bolsa?El valor del arriendo de un departamento es de 6,7 UF. Si el valor de la UF es de $ 19 652,75; 2. ¿cuánto tendrá que pagar el arrendatario este mes?El abuelo de Luis consume un suplemento vitamínico que tiene los siguientes componentes 3. por cada mililitro:

Vitamina C: 0,25 gVitamina B1: 0,003 gVitamina B2: 0,012 g

Vitamina B6: 0,1 gVitamina B12: 0,001 gVitamina A: 0,0013g

¿Qué cantidad de cada una de las vitaminas ingiere en 5,5 ml de suplemento?


Resolver problemas

Números decimales

Unidad 1

23

Proponga a sus estudiantes los siguientes ejercicios para que los resuelvan utilizando los dos métodos aprendidos. Esta actividad la puede evaluar cuantitativamente utilizando una pauta similar a alguna de las que se muestran en las Pautas de evaluación de esta guía:

2,7�� · 3,14 73,2�� · 4,74 25, 61�� · 3,1 37,01�� · 0,1512,812�� · 9,85 7,561�� · 0,03 7,39�� · 90,1 8,908�� · 5,01 0,001�� · 2,1 342,01�� · 52,3 7,063�� · 0,2 0,750�� · 8,51 35,2503�� · 8,01 35,35�� · 20,02

Evaluación


Reflexión

Reflexione con sus estudiantes sobre las operaciones básicas, es decir, adición, sustracción, multiplicación y división; y cómo desde los primeros años de estudios están realizando estas operaciones, al inicio solamente con números naturales, pero en estos últimos años han saltado esta barrera para enfrentarse a los números decimales y a las fracciones.

Para recordar conocimientos pre-vios realice preguntas como: ¿cómo se llaman los términos que intervienen en la adición y en la sustracción?, ¿cómo se llaman los términos que intervienen en la multiplicación y en la división?, ¿conocen alguna metodología para sumar y restar números decimales? Puede escribir ejemplos de adiciones reiteradas de decimales para que los estudiantes las resuelvan en sus cuadernos, por ejemplo: 2,5 + 2,5 + 2,5.

Otros recursos

En la página web http://www. sii.cl/pagina/valores/uf/uf2009.htm encontrará los valores de UF correspondientes a cada mes del año 2009 y podrá acceder a los valores de años anteriores.



María fue a la feria y realizó las siguientes compras: 1.

Si cada uno de los artículos que compró los tuviera ��que dividir equitativamente entre su casa y la casa de su abuela, ¿qué cantidades le corresponderían a cada una?Si tuviera que repartir equitativamente las compras ��entre su casa, la de su abuela y la de su hermana, ¿qué cantidad de cada producto le correspondería a cada una?


Producto Cantidad (kg)

Papas 15,2

Tomates 6,3

Manzanas 4,5

Plátanos 3,8

Frutillas 2,6

Uvas 2,4

Resolver problemas


Conocen los números �decimales.Manejan dos métodos �para multiplicar números decimales.Entienden la división �como operación inversa de la multiplicación.

Antes de comenzar el traba-2. jo con el problema resuelto puede pedir a sus estudiantes que lean el recuadro Pista y dar un breve bosquejo sobre la operación de división, en el cual puede enfatizar en la relación inversa que existe entre la división y la multipli-cación, relación similar a la que existe entre la adición y la sustracción. Puede también escribir en la pizarra divisiones de números naturales para que los estudiantes las resuelvan y luego pedirles que comprue-ben los resultados mediante la operación inversa.Explique detalladamente el 3. método de división de núme-ros decimales y destaque lo que ocurre cuando uno de los términos de la división es un entero. Plantee una división como la siguiente: 5,21 : 2. Sugiera a los estudiantes que 4. mientras adquieren el entrena-miento necesario para realizar este tipo de divisiones pueden, antes de comenzar los procedi-mientos, colocar una coma al entero y detrás de esta tantos ceros como cifras decimales tenga el otro término. En el ejemplo queda: 5,21 : 2,00; entonces, según el método descrito, la división quedaría como 521 : 200.

Números decimales

Unidad 1

25

Con el fin de que los estudiantes evalúen su desempeño, puede entregarles una tabla como la siguiente:

Evaluación

Aspectos a evaluar Sí A veces No

Apliqué el método de división de números decimales

Comprobé mis resultados realizando la operación inversa

Realicé todos los ejercicios correctamente

Terminé las actividades en el tiempo otorgado por el docente

Trabajé en forma limpia y ordenada

Llegué a la solución correcta en todos los ejercicios


Reflexión

Los números decimales son muy utilizados en la vida cotidiana, los encontramos expresando cualquier tipo de información, desde los datos económicos más complejos hasta los precios o descuentos en las compras que hacemos en el supermercado.

Pregunte a sus estudiantes para qué creen que les pueda servir saber multiplicar y dividir decimales, a partir de esta pregunta puede incentivar no solo una reflexión sino que a través de ella los alumnos y alumnas pueden inventar situaciones que impliquen estas operaciones.

Anotaciones:



Realizan adiciones y sus- �tracciones con números decimales.Realizan multiplicaciones �y divisiones con números decimales.

Converse con sus estudiantes 2. sobre la alimentación y cómo muchos de los nutrientes imprescindibles para el orga-nismo se obtienen únicamente de fuentes externas como los alimentos. Señale que por esta razón debemos tener una alimentación sana y que nos provea de todos estos compuestos que el organismo necesita.Pida a sus alumnos y alumnas 3. que lean la actividad de la página 20 del texto. Analice con ellos la tabla, condúzcalos a apreciar las regularidades que en ella se evidencian y estimúlelos para que lleguen a las conclusiones adecuadas a partir del intercambio, la observación y el análisis.Lea en voz alta el cuadro de 4. contenido mientras un estu-diante inventa en la pizarra una multiplicación con la caracte-rística que usted explica, para demostrar así la veracidad de su aseveración.Como 5. Actividad complemen-taria se recomienda un juego a través del cual los estudiantes podrán, en forma lúdica, afian-zar la recepción del contenido de estas páginas. Finalmente pida a sus alumnos 6. y alumnas que resuelvan los ejercicios y problemas que se proponen en la página 21 del texto.Revise a través de una puesta 7. en común.


Para complementar y reforzar el contenido de estas páginas, trabajando paralelamente la 1. agilidad mental, proponemos que realice con sus estudiantes el siguiente juego:

Pida a cada uno de sus estudiantes que confeccione tres tarjetas como las que se muestran ��a continuación:


El producto es mayor que los

factores

El producto tiene un valor

intermedio entre ambos

factores

El producto es menor que

los factores

Calcular mentalmente

Números decimales

Unidad 1

27

Fotocopie las tarjetas que se encuentran en las páginas 193, 194 y 195 de esta guía, en las ��que aparecen multiplicaciones de números decimales con sus respectivos resultados. Cada tarjeta será del color que coincida con el resultado de la tarjeta de los estudiantes a fin de hacer el juego más sencillo para usted y dinámico para los niños y niñas. Las tarjetas grises que aparecen en la página 195 contienen multiplicaciones con tres factores para ocuparlas en el momento que considere adecuado aumentar la complejidad de la actividad.Luego de contar con el material necesario divida al curso en equipos de igual número de ��estudiantes y explique que el juego consiste en que usted dirá en voz alta una multiplicación de decimales y ellos deberán analizar mentalmente qué tipo de producto se obtendrá. Cada estudiante deberá levantar la tarjeta correspondiente al tipo de producto y el equipo que más aciertos tenga ganará un punto, no sin antes enviar a un integrante a la pizarra a demostrar el resultado mediante el cálculo escrito.

Aplicar propiedades

Otros recursos

La especialidad médica que trata los desequilibrios en la ingesta de alimentos y su derivación a problemas de salud, corresponde a la nutrición.

Estos especialistas en nutrición, poseen en su formación profesional ramos similares a la medicina, los que combinan con otros de naturaleza matemática, para la elaboración de las dietas adecuadas para cada persona.

El cálculo no es simple y viene unido a restricciones de componentes esenciales que no pueden dejar de ser ingeridos, junto al metabolismo propio de cada persona. Actualmen-te existen programas para estos profesionales, uno de ellos es el que dispone ALCE (http://www.alceingenieria.net/nutricion.htm), que con una gran base de datos sirve de apoyo a estos profesionales.



Conocen los números �decimales.Realizan operaciones de �adición, sustracción, mul-tiplicación y división con números decimales.Conocen y han trabajado �con diferentes unidades de longitud.

Con el estudio de estas páginas 2. los educandos visualizarán de manera gráfica el significado de longitudes expresadas en números decimales, por lo que para comenzar el trabajo con las unidades de longitud puede elegir a algunos estudiantes al azar y medirlos con una huincha, para luego expresar los datos en centímetros en la pizarra. Esto le proporcionará información real con la que podrá enriquecer el desarrollo de las actividades.Luego de explicar el ejemplo 3. que aparece en la página 22 del texto, puede invitar a alumnos y alumnas a convertir en me-tros las estaturas que usted escribió en la pizarra.Explique a sus estudiantes la 4. tabla de unidades de longitud y sus equivalencias que están en la página 22 del texto, para que la puedan utilizar en caso que la necesiten.


Alicia compró 2,5 m de cinta verde y 3,8 m de cinta roja. ¿Cuántos centímetros compró de 1. cada cinta?Luis hace deporte habitualmente: los lunes, miércoles y viernes corre 3,5 km; los martes y los 2. jueves 1,6 km y los sábados y los domingos los toma de descanso. ¿Cuántos metros corre Luis cada semana? Completa convirtiendo a la unidad que se pide:3.

5 m son �� km28,3 cm son �� km5,4 km son �� cm

8,1 m son �� mm3,01 dm son �� m5,19 m son �� km



Resolver problemas

Números decimales

Unidad 1

29

Para evaluar el desempeño de sus estudiantes durante el desarrollo de las actividades utilice una lista de cotejo como la que se propone a continuación:

Evaluación


Trabaja adecuadamente las operaciones básicas con decimales

Justifica la aplicación de los números decimales al trabajo con unidades de longitud

Convierte unidades de longitud utilizando los dos métodos estudiados

Cumple con los tiempos asignados para el desarrollo de las actividades


Transformar unidades

Historia y números

Casi tan antigua como el hombre ha sido la necesidad de establecer una unidad conveniente para medir las distancias de un lugar a otro o las dimensiones de algún objeto específico. El cuerpo humano fue en los inicios la unidad de medida más utilizada, pues los primeros pueblos usaron la longitud de un paso, la anchura de un dedo o de una mano, la longitud del antebrazo, la distancia recorrida en un día de viaje, la distancia a la cual caía una flecha luego de ser disparada, entre otros métodos. El nacimiento de la ciencia moderna y su gran desarrollo evidenció la falta de un sistema de medición unificado. Hacia finales del siglo XIX se aprobó el denomi-nado sistema métrico, que es un conjunto de unidades cuya unidad fundamental de longitud es el metro, y que es empleado actualmente en casi todos los países.

Otros recursos

La página web http://es.metric-conversions.org/conversion-de-unidades-de-longitud.htm es un sitio donde puede encontrar información acerca de la conversión de longitudes expresadas en muchas unidades de medida.

Resolver problemas


Coloca en una tabla la masa corporal de cada uno de los estudiantes de la clase y conviértela 1. a las unidades de masa que se muestran:

Estudiante Masa (kg) Masa (g) Masa (dg) Masa (mg)

¿Cuál es la masa total de los estudiantes de tu clase? Exprésala en cada una de las unidades ��que se muestran en la tabla y luego en la unidad, de las que aparecen en el texto, que consideres más conveniente.Divide tu curso en dos grupos, de manera que si colocaras cada uno de los grupos en una balanza ��esta quede equilibrada. ¿Qué masa quedaría en cada uno de los platos de la balanza?



Resolver problemas


Trabajan operaciones bá- �sicas en el ámbito de los números decimales.Interpretan longitudes �expresadas con números decimales.Conocen unidades de �masa.

Para comenzar la clase puede 2. escribir en la pizarra una lista de frutas, vegetales u otros alimentos con los precios para 1 kg, 0,5 kg y 0,25 kg y pre-guntar a sus estudiantes si el kilogramo es una unidad de masa o de peso. Puede ser que algunos estudiantes hablen de peso y para corregir su error puede comentar la Reflexión que se sugiere en la página 31 de esta guía, pues es importan-te que los alumnos y alumnas tengan claro la diferencia entre masa y peso. De igual manera explique que se debe hablar de kilogramo y no de kilo, aunque cuando encuentren kilo deben saber que se están refiriendo a kilogramo. Kilo, cuyo símbolo es k, es un prefijo del Siste-ma Internacional de Unidades que indica un factor de 103 (1 000).Abordar la forma gráfica y 3. aritmética en relación a las unidades de masa puede re-sultar sencilla para los estu-diantes dada su similitud con las unidades de longitud ya trabajadas.


Números decimales

Unidad 1

31

Evalúe a sus estudiantes pidiéndoles que completen la tabla con las conversiones que se soli-citan:

mg kg g hg

Persona 60 000

Pirámide 10 000 000 000

Elefante 10 000

Mosquito 10

Mesa 100

Evaluación


Reflexión

En el Archívalo de la página 24 del texto se define la diferencia entre peso y masa, sobre este tema usted puede establecer con los estudiantes una reflexión a partir de preguntas como: ¿cuál es tu masa?, ¿sería tu masa la misma si estás al nivel del mar, si estás a 20 000 m de altura o si estás en la luna?, ¿por qué?, ¿cómo sería tu peso en estas misma posiciones?, ¿por qué?

Explique a sus estudiantes que el peso en la Tierra es la medida de la atracción que ejerce la Tierra sobre la masa de un cuerpo (fuerza de gravedad) y se expresa en una unidad de medida llamada Newton (N), en honor al famoso físico inglés Isaac Newton.

El peso se mide con un dinamó-metro y se calcula multiplicando la masa (m) por el valor aproximado de la fuerza de gravedad (g) que varía de unos lugares a otros del planeta.


Prefijo Factor Prefijo Factor

Tera 1012 Deci 10-1

Giga 109 Centi 10-2

Mega 106 Mili 10-3

Kilo 103 Micro 10-6

Hecto 102 Nano 10-9

Deca 101 Pico 10-12


Resuelve los siguientes ejercicios:1. ��1,35 · 3,91 ��15,5 · 7,4 ��0,1 · 0,01��7,5 · 9,01 ��100,01 · 25,01 ��0,01 · 0,001��21 : 8,4 ��568,531 : 9,01 ��50,512 : 6,314��10,825 : 3,33 ��89,662 : 2,54 ��182,652 : 91,326Convierte las siguientes unidades de manera que las puedas expresar mediante números 2. naturales:��3,5 km ��1,5 hm ��25,5 kg ��1,3 dag��8,3 m ��3,5 m ��2,3 hg ��8,7 dam��45,5 cm ��10,3 dg ��56,90 g ��35,02 cg



Transforman decimales �finitos y no finitos perió-dicos y semiperiódicos en fracciones.Manejan la adición, sus- �tracción, multiplicación y división de números decimales.Interpretan unidades de �masa expresadas con números decimales.

La resolución de problemas 2. permite que los estudiantes relacionen los contenidos aprendidos a lo largo de la unidad con sucesos a los que se enfrentan de manera cotidia-na. En el Texto del Estudiante se sugiere una metodología de resolución que puede resultar muy útil para que los alumnos y alumnas organicen el proceso de resolver estas activida-des. Es por esto que antes de adentrarse en la Resolución de problemas le sugerimos que explique a los estudiantes la finalidad de cada uno de los pasos que se proponen.Pida a un estudiante que lea 3. en voz alta el Problema mo-delo para posteriormente, en conjunto con el curso, detallar y explicar el objetivo de cada uno de los puntos de la meto-dología. Explique, para facilitar la comprensión del problema, que US$ significa "dólares estadounidenses".Oriente la resolución de los 4. problemas propuestos en la página 27 y recuerde a sus estudiantes que para facilitar la división de un número decimal por un número entero pueden colocar al entero una coma con tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal.




Números decimales

Unidad 1

33

En un taller se necesitan 400 hg de materias primas. Si estos serán transportados en depósitos 3. de 8,75 dg, ¿cuántos depósitos de 8,75 dg serán necesarios para transportar los 400 hg de materias primas? Aproxima al entero más cercano.Un edificio de 6 pisos tiene una altura de 28,32 m. Calcula la altura individual de los 2 últimos 4. pisos si cada uno de los 4 primeros pisos mide 3,76 m.Una persona recorre 1,25 km cada 3 días. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en 23 días? ¿Y en 5. 100 días?Resuelve las siguientes adiciones y expresa el resultado en centímetros:6.

2 dam + 3,5 d��0,8 km + 2,3 hm + 7 m��

Resolver problemas Diversidad

Para que los estudiantes se enfren-ten a la Resolución de problemas deben manejar adecuadamente todos los temas tratados a lo largo de la unidad, pues mediante los problemas se vinculan todos estos contenidos. Puede que en algunos estudiantes aún persistan dudas acerca de la multiplicación y división de decimales o en la interpretación de unidades expresadas mediante números decimales. Por ello le re-comendamos que antes de iniciar la actividad, proponga a sus alumnos y alumnas la resolución de ejercicios sencillos que aborden los temas tratados, de forma similar a la Actividad complementaria.

Anotaciones:



Manejan la adición, sus- �tracción, multiplicación y división de números decimales.Interpretan unidades de �masa expresadas con números decimales.Interpretan unidades de �longitud expresadas con números decimales.

Para desarrollar la actividad de 2. la Tecnología activa, es im-portante que antes de iniciarla recuerde a los estudiantes la actitud que se debe mantener en la sala de computación y los cuidados que deben tener al momento de trabajar en un computador.En el curso anterior, de manera 3. muy somera, a los estudiantes les fue presentado el pro-grama Excel. Para reactivar estos conocimientos, puede recordarles que Excel es una aplicación para manejar hojas de cálculo y que a través de él se pueden realizar diversas operaciones, desde cálculos matemáticos complejos y pro-cesamientos estadísticos hasta la construcción de gráficos de diversos tipos.Luego que alumnos y alum-4. nas desarrollen la actividad propuesta, puede orientarles a modo de evaluación la Ac-tividad complementaria, o sencillamente utilizarla como una aplicación de la actividad realizada.


Utilizando la tabla que construiste en Excel completa las siguientes equivalencias de unidades:1. 3,8 kg = �� g = mg = dg3 456,5 ml = �� L = hl = dl45 mg = �� kg = g = hg432,08 m = �� dm = km = cm763 dm = �� km = cm = mm8 km = �� cm = dm = m0,876 kg = �� g = mg = dg0,3425 km = �� m = dm = cm0,198 L = �� ml = cl = dl




Números decimales

Unidad 1

35

La Actividad complementaria puede orientarla para que sus estudiantes la realicen individual-mente y luego desarrollar una evaluación utilizando la siguiente pauta:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Maneja el programa Excel

Sigue las instrucciones del texto

Obtiene los resultados esperados

Cumple con los tiempos estipulados

Trabaja ordenadamente

Ocupar herramienta tecnológica


Reflexión

Converse con sus estudiantes sobre la gran utilidad que tienen en nuestra cotidianeidad los com-putadores, incentive una reflexión formulando a alumnos y alumnas preguntas como: ¿qué te gusta hacer en el computador?, ¿por qué crees que es útil?, ¿en qué lugares has visto computadores y para qué crees que se utilizan? A través de estas preguntas puede mostrar que los computadores no solo se utilizan para jugar, sino que existen muchas profesiones que desde hace años prácticamente no se conciben sin la presencia de un computador.

Por ejemplo, hace décadas en los bancos, multitiendas, etc., no existían computadores; sin embargo, actual-mente no nos imaginamos entrar a alguno de estos lugares sin toparnos con uno de estos equipos.


Completen en parejas 1. el siguiente crucigrama (no escriban las comas decimales):

Actividad complementaria A B C D E F G H

A

B

C

D

E

F

G

H

Sintetizar información


Manejan la adición, sus- �tracción, multiplicación y división de números decimales.Interpretan unidades de �masa expresadas con números decimales.Interpretan unidades de �longitud expresadas con números decimales.

La 2. Síntesis de la unidad se propone como una serie de fichas donde se resumen los contenidos más importantes de la unidad. Puede pedir a los alumnos y alumnas que realicen una especie de paseo por las páginas de la unidad, determinando qué contenido consideran que debe estar y no está en la síntesis. También les puede pedir que, siguiendo el mismo formato de la sínte-sis, resuman los contenidos que consideran que necesitan reforzar.Las actividades que se pro-3. ponen en estas páginas las puede desarrollar a modo de prueba escrita, para ello en-tregue a sus estudiantes hojas en blanco en las que deben plasmar sus respuesta y luego entregarlas a usted para que las evalúe cuantitativamente usando la pauta de evaluación que usted estime o alguna de las que se proponen en las páginas finales de esta guía.Explique a sus estudiantes que 4. este proceso evaluativo les servirá para tener una idea de su comprensión de los temas estudiados en la unidad y con ello sabrán los contenido que necesitan reforzar.


Calcular mentalmenteEstimar

Números decimales

Unidad 1

37

Horizontales:A] 6,4 : 2 ⁄⁄ 3,014 · 2,65 aproximado a la centésima.B] Número menor entre 1,211 y 1,205 ⁄⁄ Siete décimas.C] 5 : 2,5 ⁄⁄ Las décimas en 2,52 ⁄⁄ Noventa y cinco centésimas.D] 0,64 : 0,08 ⁄⁄ 1,82 + 0,94 ⁄⁄ Dígito de las diezmilésimas de 0,23424.E] 0,254 – 0,188 truncado a la centésima ⁄⁄ 0,254 – 0,188 aproxi-mado a la centésima.F] Dígito de las décimas de 3,652 ⁄⁄ Parte decimal de 0,248 · 0,66.G] Dígito de las milésimas de 2,0076 : 0,15 ⁄⁄ Ocho centésimas ⁄⁄ Parte entera de 3,4 · 5,8.H] El mayor entre 1,55 y 1,49 ⁄⁄ 15 : 2,5 ⁄⁄ 21,5 · 2.

Verticales:A] Horas que equivalen a 187,2 minutos ⁄⁄ La mitad de 12,82.B] Dos decenas más dos unidades ⁄⁄ 168 : 2,1 ⁄⁄ Dígito de las unidades en 5,5445.C] 2,705 : 5,41 ⁄⁄ Ciento cinco milésimas.D] La tercera parte de 22,5 ⁄⁄ La quinta parte de 13 300.E] Nueve unidades ⁄⁄ Siete décimas ⁄⁄ Tres enteros y 86 centési-mas.F] 0,9 corresponde a décimas ⁄⁄ 12,8607 – 3,2547.G] La mitad de la mitad de 2 ⁄⁄ 0,81364 aproximado a la milésima.H] 27,45 – 20,45 ⁄⁄ 12,554 – 9,854 ⁄⁄ 9,765 : 1,05.

Otros recursos

En el sitio web http://www.mamutmatematicas.com/ejer-cicios/decimales.php encontrará un generador de ejercicios con números decimales que le servirá para complementar las actividades de estas páginas y en http://www.aplicaciones.info/decimales/sistema.htm podrá disponer de explicaciones y ejercicios interactivos relacionados con el sistema métrico decimal.

Anotaciones:


Usar herramienta matemática



Realizan operaciones �de adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales.Interpretan diferentes �unidades de medida y sus equivalencias.

En la página anterior se co-2. menzó el proceso evaluativo. Para garantizar la comprensión de las actividades, lea en voz alta todos los enunciados o pida a algún estudiante que lo haga. Recalque que la lectura debe ser clara, respetando siempre los signos de pun-tuación para que sus compa-ñeros y compañeras puedan comprenderla.En esta página de la guía se 3. propone una autoevaluación que podrá aplicar a sus estu-diantes luego de concluidos los ejercicios. A través del análisis de esta evaluación usted podrá determinar en qué temas existe mayor dificultad en sentido general.Plantee a los estudiantes los 4. ejercicios que aparecen como Actividad complementaria que le servirán de refuerzo antes de dar por concluido el trabajo con la unidad.


Resuelve las siguientes operaciones con decimales:1. 4,547 + 1, 231��214,71 · 0,5��902, 001 – 2, 01��0,5 · 0,75��

0,56 – 0,00021��0,002 · 0,1��9,23 · 1, 75��2,1 : 1,2��

8 : 3��8,52 : 2��90,21 : 3,214��(4,5 · 2,4) : 1,5��

Transforma en fracciones los siguientes números decimales:2. 3,2�� 430, �� 18,5��4,7�� 4

4, 23�� 10,�� 23490,12�� 30,05��

5,132��5,1�� 321,000�� 211,�� 2




Números decimales

Unidad 1

39

Pida a sus estudiantes que completen la siguiente autoevaluación en la que reflejarán el nivel de comprensión que han tenido de cada uno de los conocimientos esperados que se detallaron al inicio de la unidad:

Evaluación

Indicadores

Multiplicar y dividir números decimales

Convertir números decimales finitos y no finitos en fracciones

Interpretar y expresar información con números decimales

Resolver problemas cotidianos en los que aparecen números decimales

Diversidad

Es posible que aún persistan dudas sobre el contenido en algunos de sus estudiantes, para eliminar estas dudas le sugerimos entregue a alumnos y alumnas un compendio de ejercicios sobre decimales, en los que estén representados cada uno de los temas tratados, para lo cual se puede apoyar en los sitios web que recomendamos en la sección Otros recursos de la página 37 de esta guía.

Reflexión

La teoría de los números naturales y por su intermedio la de los números decimales, indica que los números pueden ser infinitos. Este concepto tiene mayor utilidad en la física y por lo tanto en la vida moderna; por ejemplo, existe una controversia por la cantidad de radios que ocupan el dial en las grandes ciudades y que revelan que no hay mas “espacio” para que otras radioemisoras transmitan; sin embargo, esto se contradice con las reales capacidades, pues sí se pueden colocar infinitas señales en el dial; sólo depende de la agudeza de los instrumentos para poder detectarlos.

40

2Unidad Números

fraccionarios, razones y porcentajes


Multiplicar y dividir fracciones. yInterpretar situaciones para establecer razones y proporciones. yAplicar propiedad fundamental de las proporciones a problemas numéricos. yCalcular porcentajes. yInterpretar información expresada mediante porcentajes. y


Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Interpretan información y la expresan mediante fracciones. yEstablecen equivalencias entre fracciones. y

Multiplicación de fracciones 2 4 Multiplican fracciones. yMultiplican una fracción por un número natural. y

División de fracciones 3 4 Dividen fracciones. yAplican metodología de cálculo para dividir fracciones y resolver problemas cotidianos. y

Razones y equivalencias

Las proporciones y su propiedad fundamental

4 5 Definen el concepto de razón como una nueva forma de comparar cantidades. yDeterminan el valor de una razón y establecen equivalencias. yDefinen el concepto de proporción como la igualdad entre dos razones. yDefinen la propiedad fundamental de las proporciones. y

Porcentajes

Formas de expresar un porcen-taje

5 5 Definen porcentaje a partir de representaciones gráficas. yExpresan un porcentaje gráficamente, como fracción y como razón. y

Operaciones con porcentajes

Interpretación de información porcentual

6 5 Calculan porcentajes. yResuelven problemas contextualizados que implican el cálculo de porcentajes. yInterpretan información porcentual. y


Tecnología activa 8 2 Utilizan herramientas tecnológicas para calcular porcentajes. y


Evaluación


Planificación - Unidad 2


Números fraccionarios, razones y porcentajes 41

Unidad 2


Permitir la mejor comprensión de algunos términos económicos y realizar cálculos relacionados con ellos. yValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. yValorar el trabajo como fuente de suministro individual y colectivo. yComprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad. y



Páginas Guía

Interpretación de información. yComprensión de términos económicos. y


Establecimiento de metodología para multiplicar fracciones y para multiplicar una yfracción y un número natural.


Establecimiento de metodología para dividir fracciones. yAplicación de metodología para dividir fracciones a la resolución de problemas ycontextualizados.

40 – 41 48 – 49 Actividad de evaluación formativa

Comparación de cantidades a partir del establecimiento de razones. yIdentificación del antecedente y el consecuente dentro de una razón. yDefinición de proporción y aplicación de la propiedad fundamental de las propor- yciones.

42 – 45 50 – 53 Actividad de evaluación formativa:autoevaluación y lista de cotejo

Definición de porcentaje. yEstudio del porcentaje como fracción, como razón y a través de su representación ygráfica.

46 – 49 54 – 57 Actividad de evaluación formativa:coevaluación

Aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones para calcular porcentajes. yDeterminación de porcentajes en situaciones cotidianas. yInterpretación de información porcentual. y


Planteamiento y resolución de problemas contextualizados. ySeguimiento de metodología para resolver problemas. y


Implementación de metodología para calcular porcentajes utilizando herramientas ytecnológicas.

56 – 57 64 – 65 Actividad de evaluación formativa:autoevaluación




Pida a sus estudiantes que busquen recetas de cocina en revistas o libros, escojan tres y las anoten 1. en sus cuadernos. Luego en la clase y agrupados en parejas, invítelos a escribir las recetas para el doble de las personas para las que están descritas y luego para la mitad de las personas. Pida que coloquen las operaciones que realicen en una tabla como la que se muestra a continuación. Finalmente, haga una puesta en común con los resultados de cada pareja. Es posible que surja alguna duda respecto a algún número que aparezca y que los alumnos y alumnas no sepan trabajar con él, en ese caso explique la situación si lo considera prudente:

IngredientesOperatoria para el doble de las

personasOperatoria para la mitad de las

personas


Interpretar datos

Puede comenzar el trabajo de 1. estas páginas mostrando a sus estudiantes algunos recortes de diarios y revistas donde se muestre el valor del IPC, con esto los estudiantes se fami-liarizarán visualmente con el símbolo del porcentaje.Invite a alumnos y alumnas a 2. leer en la página 35 del texto ¿Qué es el IPC? Reflexione con ellos sobre este tema respondiendo las preguntas que aparecen en la misma página.Muestre a sus estudiantes la 3. sección ¿Puedes resolver?, pídales que intenten resolver la actividad que se plantea y que en caso de no poder hacerlo la retomen al terminar el estudio de la unidad. Esta sección está destinada a que los alumnos y alumnas se formen con an-telación una idea del tipo de habilidades que desarrollarán con el estudio de los conte-nidos que se abordarán en la unidad.Puede leer en voz alta y luego 4. explicar a grandes rasgos a los estudiantes, cada uno de los temas que aparecen en la sección En esta unidad aprenderás a: ejemplificando en cada uno de los casos.



Unidad 2

�Red conceptual


Las actividades de esta uni-dad están encaminadas a que alumnos y alumnas aborden nuevamente el trabajo con los números fraccionarios y a través de ellos se introduzcan en las ra-zones como una nueva forma de comparar cantidades mediante la cual se adentrarán en temas hasta ahora considerados por ellos del mundo adulto, como es el caso de los porcentajes. Aprenderán las diferentes formas en que se pueden expresar los porcentajes y a interpretar información por-centual, conocimientos que les servirán para comprender toda la información que, en los medios de difusión, se ofrecen en estos términos.

También aprenderán a calcular porcentajes en contextos coti-dianos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones que en cursos posteriores se definirá como la regla de tres simple.

A lo largo de la unidad los edu-candos trabajarán los contenidos vinculados directamente a temas principalmente económicos, muchos de los cuales hasta el momento, habían resultado incomprensibles.

FraccionesComprender información

numéricaCalcular

porcentajesRazones Proporciones

paraestablecer

interpretadas como

desarrollo de

para

permiten

Multiplicaciones

Divisiones



Conocen y han trabajado �los números fracciona-rios.Establecen relaciones de �orden entre fracciones.Manejan la adición y sus- �tracción de fracciones.Manejan las unidades de �tiempo.

Para trabajar estas páginas 2. puede organizar una dra-matización de la historieta y durante la realización de las actividades pedir que cada uno de los personajes indique cuántas galletas hizo y qué tiempo se demoró.Recuerde a sus estudiantes 3. la metodología utilizada en la unidad anterior para determinar las equivalencias entre unida-des de medida, y explique que el tiempo expresado mediante fracciones se refiere a equiva-lencias como las siguientes:1/3 de hora = 1/3 · 60 minutos = 60 min/3 = 20 min; por lo tanto, 1/3 de hora representa 20 minutos.En el caso de 1 3/4 de hora: 60 min + 3/4 · 60 min = 60 min + 180/4 = 60 min + 45 min = 105 min.


En cada uno de los casos que se muestran identifica la fracción que se representa:1.


Representar gráficamente


Unidad 2

Identifica y representa gráficamente, utilizando relojes similares a los del texto, los minutos correspondientes a las siguientes fracciones de hora:

34�� de hora 4

2�� de hora ��1 2

3 de hora ��1 1

3 de hora 3

4�� de hora

Evalúe la actividad anterior utilizando la siguiente tabla:

Evaluación


Aplica adecuadamente los conocimientos sobre fracciones a las medidas de tiempo

Realiza la representación correctamente

Identifica las fracciones de hora solicitadas


Diversidad

En estas páginas se abordan temas que los estudiantes conocen de cursos anteriores, pero es posible que alguno de ellos no los recuerde. Es por esto que le recomendamos que presente a modo de recordatorio el ejercicio que se propone como Actividad complementaria que le servirá para que los estudiantes recuerden cómo se representa una fracción. A partir de este ejercicio usted puede también pedir que ordenen las fracciones y que encuentren para cada una de ellas, tres fracciones que les sean equivalentes.


Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor de-cimal. Las fracciones equivalentes representan las mismas partes de un entero, por ejemplo:

34

123

2 23

42

113

38

46

23

⋅ 22

= 46

13

60 min3

134

1804

34

123

2 23

42

113

38

46

23

⋅ 22

= 46

13

60 min3

134

1804

23

· 2· 2

= 46





Conocen las fracciones �propias, impropias y los números mixtos.Dominan la adición y sus- �tracción de fracciones.

La metodología utilizada para la 2. multiplicación de fracciones es muy sencilla de trabajar aritmé-ticamente, pues consiste solo en multiplicar los numeradores y los denominadores de las fracciones implicadas, ya sean dos o más fracciones. La com-plejidad radica en interpretar problemas que impliquen mul-tiplicación de fracciones. Antes de adentrarse en el tema de la multiplicación de fracciones le recomendamos que realice a sus estudiantes preguntas como: ¿cuánto es un medio de 4 enteros?, ¿cuánto es un tercio de 9 enteros?, pida que representen estas situaciones en la pizarra y explique que en ambos casos se realiza una multiplicación de fracciones:

12 ⋅ 41 = 42 = 21 = 2

13 ⋅ 91 = 93 = 31 = 3

Una vez que sus estudiantes 3. hayan comprendido no solo la metodología de la multiplica-ción sino cómo interpretarla, analice con ellos el problema de la página 38. Durante esta actividad puede sugerir a sus alumnos y alumnas el método que se describe en la sección Errores frecuentes de esta guía pues, considerando que ya han estudiado el lenguaje algebraico, esta puede ser una metodología útil para identificar la operación a realizar para obtener el resultado correcto del problema.


Desarrolla las siguientes multiplicaciones:1.

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

· 7

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

�� 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

· 5

Pida a sus estudiantes que resuelvan el siguiente problema y que luego se agrupen en parejas 2. e inventen un problema similar, es decir, que involucre multiplicaciones de fracciones:

La mamá de Elena compró �� 5 5/10 paquetes de hojas, de las cuales destinó 2/5 para Elena, 1/10 para el hermano pequeño de Elena y 1/2 para ella misma. Si cada paquete cuenta con 100 hojas, ¿cuántas hojas le corresponden a cada uno?




Unidad 2

Para evaluar las actividades propuestas le entregamos diversos criterios para que los estudiantes se evalúen los unos a los otros:

Evaluación

Aspectos a evaluar S CS AV CN N

Cumple con las tareas asignadas por el grupo

Cumple con los tiempos asignados

Aporta ideas al trabajo en grupo

Respeta las ideas de sus compañeros y compañeras

Mantiene una actitud positiva durante el trabajo en grupo

S: siempreCS: casi siempreAV: a vecesCN: casi nuncaN: nunca

Errores frecuentes

Muchas veces los problemas contextualizados que implican multiplicación de fracciones tienden a confundir a los estudiantes, pues lo interpretan como una sustracción de fracciones. Para remediar esto, utilizando directamente el problema planteado en la página 38 del texto, pida a los alumnos y alumnas que sustituyan la cantidad semanal de azúcar por una letra y, a partir de esto, que realicen el análisis. Por ejemplo:

Decimos que 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

= x

y si se ocupan en la confección de

tortas 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

de esta cantidad, entonces

estaríamos hablando de 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

de x que

es lo mismo que 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

· x = 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

· 30 3

423

12

⋅ 38

307

⋅ 310

57

34

⋅ 79

45

⋅ 93

256

5 510

25

110

12

.



Fernando necesita dividir 1/2 litro de jugo en vasos de 1/8 de litro. ¿Cuántos vasos de bebida 1. puede servir con esa cantidad?Don Luis compró para su pequeña dulcería 2. 10 3/4 kg de harina y está analizando varias posi-bilidades de envasarla en paquetes más pequeños para facilitar la manipulación. Completa la tabla para saber las posibles cantidades de envases que puede usar don Luis:

Envases de Operación Cantidad de paquetes

1/2 kg

1/5 kg

1/8 kg



Conocen y han trabajado �los números fracciona-rios.Representan fracciones �gráficamente.Conocen las fracciones �propias, impropias y los números mixtos.Dominan la adición y sus- �tracción de fracciones.Manejan la multiplicación �de fracciones.

La división de fracciones a 2. pesar de ser aritméticamente sencilla luego de conocer los métodos, puede resultar para los estudiantes algo abstracta, por lo que le recomendamos que realice una representación gráfica de una división de fracciones, por ejemplo:¿Cómo repartir 3/4 kg en recipientes de 1/4 kg?

En la 3. Aclaración de conceptos se describen dos métodos para resolver divisiones de fracciones, puede explicarlos a los estudiantes y acotar que independientemente de la que elijan llega el momento en que los procedimientos se igualan y cada uno puede elegir el método que le resulte más sencillo de desarrollar.Analice en conjunto con el cur-4. so el problema resuelto de la página 40 del texto. Para ello le recomendamos representarlo gráficamente para facilitar de esta forma la comprensión de los estudiantes.



Unidad 2


Resolver problemas

Desarrolla las siguientes divisiones:3.

�� 23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78

�� 23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78

�� 23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78

�� 23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78

�� 23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78 ��

23

: 54

125

: 6 8 59

: 4 12

78

: 93

95

: 3 2 35

: 5 23

79

: 103

1214

: 7 10 78

: 10 34

12

: 57

185

: 15

9 32

: 4 16

38

: 410

37

: 7 7 45

: 6 78



Existen varias metodologías para realizar la división de fracciones:Multiplicación cruzada: consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:

ab

: cd= a ⋅d

b ⋅cab

: cd= a

b⋅ d

c= a ⋅d

b ⋅c12

18

52

10 34

abcd

Multiplicación por el recíproco: este método de división de fracciones consiste en multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda:

ab

: cd= a ⋅d

b ⋅cab

: cd= a

b⋅ d

c= a ⋅d

b ⋅c12

18

52

10 34

abcd

Anotaciones:


Escribe la razón señalada en cada una de las siguientes situaciones:1. El auto de Andrés recorre 35 km con 6 L de bencina. (Razón entre distancia recorrida y ��cantidad de bencina).La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente de 300 000 km/s. (Razón entre la ��distancia y el tiempo).Elisa para la receta del postre utiliza 1 taza de azúcar por cada 3 tazas de agua. (Razón entre ��las cantidades de agua y azúcar).Para que una película se vea en el cine tienen que pasar 24 fotogramas cada segundo y en ��la televisión son aproximadamente 30 fotogramas por segundo. (Razón entre fotogramas necesarias para el cine y para la televisión).




Utilizan las fracciones para �representar las partes de un todo. Manejan la multiplicación �y división de fracciones.Conocen el concepto de �fracción equivalente.

Los alumnos y alumnas cono-2. cen de cursos anteriores las fracciones y saben obtener fracciones equivalentes, pero en estas páginas es la primera vez que verán las razones. Por lo tanto, le sugerimos que demuestre en la pizarra a través de esquemas cada una de las comparaciones que se pueden realizar en la situación que se presenta en la página 42 del texto.Explique a sus estudiantes el 3. concepto de razón y coménte-les que las razones son muy utilizadas en la vida cotidiana, por ejemplo: "tiene que tomar el remedio a razón de 2 table-tas cada 6 horas" o "añade 2 cucharadas de sal por cada litro de agua que utilices".Recalque a sus alumnos y 4. alumnas que cuando nos encontramos en presen-cia de una razón a/b esta se lee "a es a b"y no "a sobre b", aunque la razón esté represen-tada por una fracción.Dé un tiempo a sus estudiantes 5. para que resuelvan los ejerci-cios de la página 43 del texto, luego de transcurrido este, pida que enuncien en voz alta sus respuestas, discútalas con el curso y recalque que todas las respuestas no tienen por qué ser iguales, pues en el caso del primer ejercicio cada cual representará la misma ra-zón con una situación diferente o viceversa.



Unidad 2

La actividad que se propone como Actividad complementaria la puede plantear a sus estudiantes como una prueba escrita, que podrá evaluar a través de las siguiente tabla:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Comprende el concepto de razón

Encuentra en cada caso la razón correspondiente

Formula la razón adecuadamente

Realiza la actividad en el tiempo estipulado

Trabaja organizadamente



Razón es la comparación entre dos cantidades a y b, y puede ser de dos tipos:Razón interna: es cuando se comparan dos cantidades con la misma unidad de medida. Por ejemplo: "2 huevos rotos de cada 12 que compró".Razón externa: es cuando se com-paran dos cantidades con diferente unidad de medida. Por ejemplo: "recorre 2 km cada 30 minutos".

Anotaciones:

Leer números



Manejan la multiplicación �y división de fracciones.Conocen el concepto de �razón.Encuentran la razón en- �tre dos magnitudes en situaciones contextuali-zadas.Conocen la equivalencia �entre razones.

En estas páginas se aborda un 2. tema completamente nuevo para los estudiantes, es por ello que le sugerimos que les explique que muchas de las interrogantes que nos hacemos de manera cotidia-na involucran proporciones y se resuelven aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Por ejemplo, si 1/4 kg de jamón cuesta $ 490, ¿cuánto tengo que pagar por 1 3/4 kg? Para explicar las proporcio-3. nes puede utilizar material concreto como papeles de colores, con lo cual puede establecer proporciones como: por cada 2 cuadrados azules hay 6 rojos.

Luego puede solicitar que determinen la razón 2/6 = 1/3, para finalmente pedir que encuentren cuántos cuadrados rojos habrían si hay 4 azules:

4/12 = 1/3De esta manera comprobarán visualmente que una proporción se establece entre dos razones equivalentes.


Resuelve el siguiente problema:1. El charquicán es una comida típica chilena que se prepara

utilizando los ingredientes que se muestran al costado. Las cantidades de cada ingrediente corresponden a la receta para 4 personas.

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones calcula la cantidad necesaria de cada ingrediente para preparar charquicán para 2, 3, 6 y 8 personas.


Charquicán1/2 kg de asiento de picana1 cebolla grande4 papas grandes1/4 kg de zapallo2 dientes de ajo1/2 taza de aceite2 cucharaditas de aji de color2 cucharaditas de pimienta1 cucharadita de orégano1 cucharadita de sal

Resolver problemas


Unidad 2

Evalúe sumativamente a sus estudiantes pidiendo que establezcan la proporción existente en las siguientes situaciones y calculen en cada caso la magnitud que falta aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

El auto de Alicia consume 3 L de bencina en 30 km. ¿Cuánta bencina consumirá tras recorrer ��83 km?Un equipo produce 250 piezas en 4 horas. ¿Cuántas produce en 10 horas?��Claudio y Camilo fueron al mismo negocio. Claudio pagó $ 200 por 12 caramelos. ¿Cuántos ��caramelos compró Camilo si pagó $ 250?Con 3 L de pintura Gonzalo pinta una superficie de 5 m�� 2. ¿Cuántos litros necesitará si quiere pintar 23 m2?

Evaluación

Aplicar propiedades

Diversidad

Es importante para el trabajo de estas páginas que los estudiantes tengan claro el concepto de razón, razón equivalente y valor de una razón, y puede que algunos alumnos y alumnas aún conserven dudas al respecto. Para remediar esto puede sugerirles razones como 1/2, 2/3, 3/5, etc. y pedirles que encuentren dos razones equivalentes a cada una de ellas y que luego calculen su valor. A través de esto no solo practicarán la obtención de razones equivalentes sino que comprobarán que las razones equivalentes tiene el mismo valor y, por lo tanto, representan la misma cantidad.

Materiales

Papel lustre. �Tijeras. �Goma de pegar. �


Representa gráficamente los siguientes porcentajes:1. ��10% ��6% ��57%��5% ��9% ��99%��37% ��84% ��12,5%Escribe el porcentaje que representa cada una de las siguientes situaciones:2.

40 de cada 100 hojas estaban rotas.��En el bosque al que fue Claudia, 5 de cada 100 árboles eran araucarias.��20 de cada 100 personas que fueron al cine, eran niños.��12 de cada 20 estudiantes eran niñas.��6 de cada 8 mascotas eran perros.��




Manejan el trabajo con �fracciones.Conocen el concepto de �razón.Calculan el valor de una �razón e identifican equi-valencias entre razones.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.

Para el trabajo de las activi-2. dades de estas páginas es recomendable que realice demostraciones gráficas uti-lizando variados colores para demostrar visualmente el con-cepto de porcentaje.Es importante que alumnos 3. y alumnas comprendan que al expresar un porcentaje es-tamos expresando una razón donde el consecuente siempre es 100. Para demostrarlo pue-de poner un ejemplo como:De 25 huevos 3 estaban ro-tos: en este caso la razón es 3 : 25. Si amplificamos la razón por 4, entonces quedaría:3 · 4 : 25 · 4 = 12 : 100, es decir, obtenemos una razón equivalente a la primera cuyo consecuente es 100 y, por lo tanto, corresponde a un porcentaje del 12%.Explique a los estudiantes 4. que de la misma manera que se habla del porcentaje como una razón cuyo consecuente es siempre 100, existen otras razones similares cuyo conse-cuente es 1 000 o 1 000 000. En el primer caso se habla de “por mil” y se representa como 0/00, y en el segundo caso se habla de "partes por millón" y se representa como ppm.



Unidad 2

Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación a partir de la cual deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo:

Evaluación

A 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

B 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

C 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

A: Comprendí el concepto de porcentaje.B: Reconocí los porcentajes que representaban

las afirmaciones.C: Reconocí los porcentajes a partir de una

representación gráfica.D: Realicé todas las actividades correctamente.

Reflexión

¿En qué situaciones han escu-chado hablar de porcentajes o han visto el símbolo %?, ¿qué creen que signifique? Con estas preguntas puede suscitar una reflexión con sus estudiantes sobre el término porcentaje, donde analice lo usual que es expresar información en términos porcentuales.

Como una forma de vincular el tema de estas páginas con el objetivo transversal de la unidad, puede recordarles que al inicio de la unidad se habló del IPC, y realizar preguntas como: ¿qué es el IPC?, ¿qué representa?, ¿cómo se expresa?

Anotaciones:





Conocen y han trabajado �con fracciones.Conocen el concepto de �razón.Calculan el valor de una �razón e identifican equi-valencias entre razones.Conocen el concepto de �proporción.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.Conocen el concepto de �porcentaje.Identifican porcentajes a �partir de sus representa-ciones gráficas.

Existen diferentes formas 2. de expresar los porcentajes y puede explicar a los es-tudiantes que estas formas dependerán de la persona que lo exprese o de la situación a partir de la cual se origina la información. La representación gráfica resulta una modalidad didáctica factible para que alumnos y alumnas manejen de manera visual el concepto de porcentaje. Indique que muchas veces encontramos información porcentual ex-presada en gráficos circulares, como por ejemplo:

40%30%

20%10%


Dadas las siguientes situaciones, expresa el porcentaje de las formas estudiadas:1. De los 78 estudiantes que se presentaron al examen, el 49% recibió calificación sobresa-��liente.Luis compró un paquete de 30 lápices, de los cuales el 10% eran azules.��El libro tiene 300 páginas y ya Francisco ha leído el 83%.��Tenía 16 días de vacaciones y pasé de viaje el 50% del tiempo.��Carla fue de compras y volvió con 5 kg de frutas, de ellos el 10% eran de frutillas.��En la tienda hay un 35% de descuento. Daniel compró un pantalón en $ 4 000 y 2 poleras ��en $ 2 990 cada una.




Unidad 2

La Actividad complementaria la puede presentar a sus estudiantes a modo de prueba escrita que puede evaluar a través de la siguiente tabla:

Evaluación


Expresa gráficamente los porcentajes

Expresa adecuadamente los porcentajes como fracción y como decimal

Comprende la expresión de los porcentajes como razón

Realiza las actividades correctamente


Errores frecuentes

Es muy usual que los estudiantes se equivoquen en la expresión decimal de los porcentajes del 1% al 9%. Por ejemplo, tienden erróneamente a decir que el 1% es 0,1; el 2% es 0,2; etc. Para evitar este tipo de situaciones explique y demuestre en la pizarra que la expresión decimal de un porcentaje no es más que el valor de la fracción decimal que lo representa y esto no es más que una división, por ejemplo:

1% = 1/100 = 1 : 100 = 0,01

Otros recursos

Para demostrar de forma práctica y a la vez tratar el tema transversal de la unidad, sugerimos que presente a sus estudiantes diarios y revista, prin-cipalmente sobre temas económicos, para que analicen las situaciones en que aparece información porcentual y resuman en una tabla el tipo de información y la forma en que se expresa el porcentaje.


Representar equivalencias


Completa la siguiente tabla en la que se muestra una lista de precios, con los porcentajes de 1. descuento para cada uno. Hazlo mentalmente:

Producto Precio Descuento [%] Descuento [$] Precio final

Arroz $ 1 000 el kg 10

Porotos $ 1 500 el kg 20

Atún $ 800 el tarro 15

Tomate $ 600 el kg 5

Pollo $ 3 000 el kg 10



Manejan las operaciones �de multiplicación y divi-sión con fracciones.Conocen el concepto de �razón.Calculan el valor de una �razón e identifican equi-valencias entre razones.Conocen el concepto de �proporción.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.Conocen el concepto de �porcentaje.

Para trabajar con sus estu-2. diantes el contenido de estas páginas puede ser útil que cuente con información por-centual que le permita generar situaciones donde se necesite realizar cálculos de porcenta-jes. Por ejemplo, revistas con promociones de descuentos como se sugiere en la sección Materiales. A partir de esta información puede usted in-ventar problemas o pedir a sus estudiantes que en grupos de 2, 3 ó 4 estudiantes los inven-ten y luego intercambien los problemas de manera que un grupo resuelva los problemas ideados por otro grupo.




Unidad 2

A modo de evaluación pida a los estudiantes que calculen los porcentajes que se piden a con-tinuación:

30% de 20�� 1,5% de 72��14% de 25�� 6,2% de 63��10% de 150�� 7,01% de 180 000��15% de 12 000�� 56,8% 380��99% de 80 000�� 99, 67% de 9��0,1% de 62�� 0,8% de 80 045��0,001% de 901�� 0,35% de 723 562��

Evaluación


Resolver problemas

Diversidad

Otra forma en que puede trabajar las páginas es haciendo en la clase una especie de vitrina con productos ficticios, precios y porcentajes de descuento o aumento y estimular a los estudiantes para que estimen el precio luego de aplicado el descuento o el aumento. Pida luego que calculen el precio exacto y lo comparen con el que estimaron. Para esto puede enseñarles estrategias de cálculo mental de porcentajes como la re-presentación de algunos porcentajes notables (25%, 50%, 75%).

Materiales

Revistas y diarios con promociones �de descuentos.

Anotaciones:



Presente a sus estudiantes el siguiente esquema:1.


A

B

C

D

E

10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Interpretar información


Calculan el valor de una �razón e identifican equi-valencias entre razones.Conocen los conceptos �de proporción y de por-centaje.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.

Es importante que los estu-2. diantes no solo sepan cal-cular porcentajes a partir de una situación dada, sino que también sepan interpretar adecuadamente información expresada en porcentajes. Es por esto que le recomendamos que independientemente de trabajar las actividades que se sugieren en estas páginas, pida a los estudiantes infor-mación porcentual extraída de medios de comunicación y que reporten datos interesantes de ella.Con unos días de antelación 3. usted puede hacer un estudio de su clase a fin de preparar una gráfica similar a la que se ocupa en la Actividad com-plementaria y en ella expresar en términos de porcentajes algunas características de sus estudiantes, como por ejemplo el color de ojos o del pelo o el mes de nacimiento, luego realice a los estudiantes preguntas al respecto.Puede pedir a sus estudiantes 4. que se agrupen en parejas y hagan lo mismo con otro tipo de información elegida por ellos, y luego la intercambien con otras duplas para que cada una desarrolle las actividades diseñadas por el otro grupo.



Unidad 2

Si sabes que el esquema representa la composición del cuerpo humano donde A, B, C, D y E se especifican en la tabla. Responde:

¿Qué elemento compone la mayor parte de nuestro cuerpo?��¿Variará esta composición de una persona con una masa de ��60 kg a una persona con una masa de 70 kg? ¿Por qué? Si analizáramos esta composición para dos personas juntas, ��¿qué pasaría con los porcentajes?, ¿por qué?

A: agua 61,6 %

B: proteínas 17 %

C: grasas 13,8 %

D: minerales 6,1 %

E: carbohidratos 1,5 %


Reflexión

Se puede reportar numerosa información respecto al cuerpo humano expresada en porcentajes, por ejemplo, se dice que los músculos representan el 40% de la masa del hombre, el 20% de la masa de la mujer y que el 90% de la sangre de un adulto es agua.

A partir de esta información puede suscitar en los estudiantes una re-flexión, apoyándose en preguntas como: ¿qué información sobre el cuerpo humano creen que podría ser expresada en porcentajes?, ¿sobre qué temas les gustaría recibir información general que consideren puedan comprender y que esté expresada en porcentajes?, ¿han encontrado en algún sitio información porcentual que no sepan interpretar?

Anotaciones:


Marta y María se fueron de compras y en una tienda encontraron diferentes descuentos. 1. Completa la siguiente tabla con las compras de cada una:

Artículo Precio ($) % de descuento Cantidad Total a pagar ($)

María

Polera 6 990 40 4

Falda 7 000 30 1

Pantalón 10 590 15 2

Marta

Polera 35 2 6 500

Falda 4 480 1 4 000

Pantalón 10 1 5 000



Calculan el valor de una �razón y reconocen equi-valencias entre razones.Conocen el concepto de �proporción.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.Conocen el concepto de �porcentaje.Calculan porcentajes �aplicando la propiedad fundamental de las pro-porciones.Interpretan información �porcentual.

La 2. Resolución de problemas es una actividad que está en-caminada a ofrecer a los estu-diantes la posibilidad de vincu-lar los contenidos estudiados a la vida cotidiana y comprender cada tema matemático como una herramienta aplicable a determinadas situaciones reales. En las actividades de estas páginas, se entrega una metodología sencilla para resolver los problemas, que permite a los alumnos y alum-nas desarrollarlos de manera organizada y comprensible, tanto para ellos como para usted. Es por esto que le suge-rimos explique detalladamente la utilidad y función de cada uno de estos pasos y exhorte a sus estudiantes a seguirlos.Desarrolle junto con los alum-3. nos y alumnas el problema resuelto de la página 54 y oriente la realización de los problemas que se proponen en la página 55.




Unidad 2

Evalúe el desempeño de sus estudiantes a través de la siguiente tabla:

Evaluación


Sigue la metodología aprendida para resolver los problemas

Interpreta adecuadamente el enunciado de los problemas

Deja plasmado en su cuaderno todos los cálculos que realiza

Encuentra estrategias factibles para comprobar sus resultados



Resolver problemas Reflexión

Como parte del proceso de apren-dizaje, los estudiantes se enfrentan de manera constante a la resolución de problemas, pues es la mejor forma de acercar las matemáticas a su mundo cotidiano y particu-larmente a cada uno de los temas de la unidad tratados de manera independiente.

También ofrece la posibilidad de relacionar los contenidos y que los alumnos y alumnas comprendan la propuesta de cada unidad, donde cada aprendizaje no es un tema solo en sí mismo sino que tienen una estrecha interrelación y en muchos casos un importante nivel de dependencia unos de los otros.

Diversidad

Para los estudiantes que les haya costado más comprender el trabajo con porcentajes le recomendamos que diseñe una lista de actividades para que ejerciten. También puede trabajar con material concreto como plasticina o papel lustre y demostrar cómo en la división de un total radica la esencia de los porcentajes.


En una farmacia se hace un descuento del 15% a algunos productos de belleza. En la siguiente 1. tabla se muestran algunos de los productos y su precio previo al descuento. Calcula el precio de cada producto después del descuento:

Producto Precio antes del descuento Precio después del descuento

Jabón A $ 1 500

Jabón B $ 2 010

Acondicionador A $ 1 350

Acondicionador B $ 990



Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.Conocen el concepto de �porcentaje.Calculan porcentajes �aplicando la propiedad fundamental de las pro-porciones.Interpretan información �porcentual.Han trabajado con el pro- �grama Excel.

En el curso anterior se introdu-2. jo a los estudiantes en el uso de Excel y hasta el momento conocen algunas utilidades de Excel relacionadas con los temas que han estudiado. Le recomendamos que comience la clase conversando con sus alumnos y alumnas sobre esta aplicación informática y lo útil que resulta para trabajar el tema de esta unidad.Recuerde a sus estudiantes las 3. partes que componen Excel y qué pueden encontrar en cada una de ellas. Si cuenta con tiempo suficiente, puede permi-tir a los alumnos y alumnas que exploren dentro de la aplicación computacional para que se familiaricen con el entorno.Explique la presencia de la 4. ayuda y que pueden utilizarla de dos maneras, para acla-rar dudas puntuales, para lo cual existe la posibilidad de realizar búsquedas de temas a partir de palabras claves o accediendo a ella a modo de curso, donde van explicando al usuario cómo trabajar el programa en sentido general, desde lo más simple hasta lo más complejo.




Unidad 2

Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación a partir de la cual deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo:

A 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

B 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

C 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

A: Seguí los pasos indicados en el texto.B: Obtuve los resultados correctos.C: Cumplí con los tiempos determinados por

el docente.D: Ayudé a los compañeros y compañeras que

lo necesitaron.

Evaluación


Errores frecuentes

Muchas veces los estudiantes, al distribuir los porcentajes de un todo, no comprueban los resultados obtenidos. Explique a sus alumnos y alumnas que al repartir un todo en porcentajes deben comprobar que la suma de ellos debe dar 100.

Si cuando sumen los porcentajes obtienen un número diferente de 100, entonces deben revisar todos los datos y cálculos porque en alguno de los pasos se cometió un error.

Anotaciones:


Analiza el siguiente gráfico y responde las preguntas que aparecen a continuación:1.


20% 25%

50%

5%



Calculan el valor de una �razón y conocen equiva-lencias entre razones.Calculan una magnitud �desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.Conocen el concepto de �porcentaje.Calculan porcentajes �aplicando la propiedad fundamental de las pro-porciones.Interpretan información �porcentual.

Para trabajar la síntesis puede 2. pedir a sus estudiantes que cada uno realice su propia síntesis de la unidad, no a partir de la que aparece en la página 58 sino a través de un recorrido por las páginas de cada tema; y luego realizar una puesta en común donde se comparen las síntesis de cada uno con la que aparece en el texto a fin de realizar una entre todos para exponerla en algún sitio de la sala al que todos tengan acceso.Las actividades que se propo-3. nen en estas páginas pueden ser manejadas a consideración del docente, ya sea como una prueba escrita o como una forma de realizar un recorrido a lo largo de la unidad, viendo los temas de manera indepen-diente o relacionándolos unos con otros.En la 4. Actividad complementa-ria se sugiere un ejercicio que puede servirle como actividad evaluativa, en el cual se ha intentado relacionar algunos de los contenidos de la unidad de manera explícita.




Unidad 2

¿Consideras que la distribución de los porcentajes en el gráfico es correcta?, ¿por qué?��Si el gráfico representa la distribución étnica de una población de 1 millón de habitantes, ��donde cada color representa el porcentaje de la población que pertenece a cada etnia, ¿qué cantidad de habitantes pertenece a cada una de ellas?Usando la información anterior expresa las siguientes razones entre las etnias 1, 2, 3 y 4:��

1 : 2 4 : 1

3 : 2 3 : 1Idea una situación ficticia que responda a la distribución de porcentajes del gráfico.��

Otros recursos

E l s i t i o h t t p : / / w w w .m a m u t m a t e m a t i c a s . c o m /e j e r c i c i o s / p o r c e n t a j e . p h p será un interesante recurso para trabajar con sus estudiantes, pues cuenta con un generador de hojas de ejercicios de porcentajes que usted podrá configurar según sus necesidades.


La evaluación es un proceso que le permite al docente constatar el nivel de compresión que han alcanzado los alumnos y alumnas del contenido estudiado y a partir de él diseñar una estrategia para resolver los problemas diagnosticados. También permite que los estudiantes tomen conciencia de sus dificultades y sepan los temas que necesitan reforzar. Esta información debe ofrecerla a sus estudiantes para que comprendan la importancia de cada proceso evaluativo.



Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:1. 35�� + 2

79

10�� – 1

5

73�� · 2

683�� · 2

6

912�� : 1

387�� : 12

21

Calcula los siguientes porcentajes:2. 3% de 230��10% de 15��

80% de 25��25% de 80��

78,5% de 30��99,9% de 10��




Calculan el valor de una �razón y establecen equi-valencias entre razones.Calculan porcentajes. �Conocen la propiedad �fundamental de las pro-porciones y la utilizan en el cálculo de porcen-tajes.Interpretan información �porcentual.Resuelven problemas �contextualizados que implican el trabajo con fracciones, razones y porcentajes.

Las actividades que se propo-2. nen en estas páginas pueden ser manejadas a consideración del docente, ya sea como una prueba escrita o como una forma de realizar un recorrido a lo largo de la unidad, viendo los temas de manera indepen-diente o relacionándolos unos con otros.Independientemente de cómo 3. usted determine más factible trabajar estas páginas, re-comendamos que las traba-je de modo que sea posible monitorear el trabajo de los estudiantes con el fin de de-tectar errores, dudas o temas problemáticos y poder refor-zarlos posteriormente.Para las preguntas con alterna-4. tivas puede entregar la hoja de respuestas que se ofrece en la página 196 de esta guía para que los niños y niñas trabajen en ellas.Plantee a los estudiantes los 5. ejercicios que aparecen como Actividad complementaria que les servirán de refuerzo antes de dar por concluido el trabajo con la unidad.




Unidad 2

Le sugerimos la siguiente tabla de evaluación:

Evaluación

Aspectos a evaluarPuntaje

idealE B S I

Puntaje de logro

Multiplicación y división de fracciones 10

Razones 10

Aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones 20

Formas de expresar un porcentaje 20

Operaciones con porcentajes 20

Interpretación de información porcentual 20

Total 100

E: excelenteB: bienS: suficienteI: insuficiente

Reflexión

Comente a sus alumnos y alumnas que cada vez que se pagan servi-cios públicos (agua, luz, etc.), la empresa para poder cobrar realiza una proporción, pues ellos poseen un costo fijo asociado a una cierta cantidad de gasto, el cual permite establecer lo que realmente gastó cada familia.

Para complementar el intercambio con sus estudiantes puede mostrar alguna boleta de consumo y señalar en ella el costo fijo a partir del cual se establece la proporción, por ejemplo, en el caso de la electricidad, el precio del kilowatt; en el caso del agua, el valor del metro cúbico; etc.

Anotaciones:


3Unidad

Potencias


Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Interpretan información que puede representarse mediante la multiplicación reiterada de un número. yAnalizan diagrama de árbol. yAnalizan el crecimiento exponencial. y

Definición de potencia

Potencias de 10

2 4 Definen el concepto de potencia e identifican las partes de una potencia. yExpresan una potencia como la multiplicación de la base tantas veces como indica el exponente. yRelacionan las potencias de 10 con las unidades de longitud. y

Multiplicación de potencias de 10 3 2 Multiplican potencias de 10. yEstablecen diferentes metodologías para multiplicar potencias de 10. y

Multiplicación de un número na-tural por una potencia de 10

Multiplicación de un número deci-mal por una potencia de 10

4 2 Multiplican números naturales y decimales por potencias de 10. yEstablecen regularidades en la multiplicación de números naturales y decimales por potencias de 10. y

Descomposición canónica de un número natural

5 3 Descomponen canónicamente un número natural utilizando potencias de 10. y

División de potencias de 10 6 3 Dividen potencias de 10. yAplican las divisiones con potencias de 10 para resolver problemas. y

División de un número natural por una potencia de 10

División de un número decimal por una potencia de 10

7 4 Dividen números naturales y decimales por potencias de 10. yResuelven problemas contextualizados que implican la división de números naturales y decimales por ypotencias de 10.


Tecnología activa 9 2 Utilizan herramienta tecnológica para calcular potencias. y


Evaluación



Definir el concepto de potencia. yDescomponer números en potencias de 10 para mostrar la esencia del sistema de numeración decimal. yRealizar operaciones de multiplicación y división de potencias de 10. yRealizar operaciones de multiplicación y división de números naturales y decimales con potencias de 10. y


Unidad 3

Potencias 71



Páginas Guía

Interpretación de información. yIntroducción al trabajo con potencias. yComprensión de internet como un potente medio de comunicación. y

62 – 65 72 – 75 Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

Comprensión de las potencias y su notación. y Establecimiento de regularidades entre el valor de diferentes potencias de 10. yRelación entre las potencias de 10 y los prefijos de las diferentes unidades de medida. y

66 – 69 76 – 79 Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

Establecimiento de metodologías para multiplicar potencias de 10. y 70 – 71 80 – 81 Actividad de evaluación formativa

Establecimiento de regularidades en la multiplicación de números naturales y decimales ypor potencias de 10.Resolución de ejercicios de multiplicación de números naturales y decimales por potencias yde 10.

72 – 75 82 – 85 Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo y autoevaluación

Establecimiento de metodología para descomponer canónicamente un número natural yutilizando potencias de 10.


Establecimiento de metodología para dividir potencias de 10 como introducción a la ydivisión de potencias.


División de números naturales y decimales por potencias de 10. yEstablecimiento de regularidades en la división de números naturales y decimales por ypotencias de 10.

80 – 83 90 – 93 Actividad de evaluación formativa: coevaluación



Implementación de metodología para calcular potencias utilizando herramienta tecno- ylógica.





Comprender la aplicación de las potencias en la vida cotidiana. yFomentar el intercambio entre las personas a partir del fenómeno de la globalización. yValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. y


En la presente unidad se de-1. sarrollarán contenidos com-pletamente novedosos para los estudiantes, pues hasta el momento desconocen las potencias. Alumnos y alum-nas conocen la multiplicación como la adición reiterada de un número y le sugerimos que para introducir el tema de esta unidad escriba en la pizarra adiciones como:2 + 2 + 2 = 2 · 3, donde 2 es el número que se repite y 3 es la cantidad de veces que se repite.Luego, presente multiplicaciones 2. reiteradas como: 2 · 2 · 2 = 23, donde 2 es el número que se repite y 3 es la cantidad de ve-ces que se repite. Recalque la diferencia explicando que en el primer caso se suma y en el segundo se multiplica, por lo que ambos resultados son diferentes, en el primer caso es 6 y en el segundo es 9.Una vez establecida la dife-3. rencia y conociendo los estu-diantes que la multiplicación reiterada se expresa en forma de potencia, puede indicarles que lean la sección En esta unidad aprenderás a: donde se desglosan los contenidos que aprenderán acerca de las potencias.


Invite a sus estudiantes a que, utilizando pequeñas pelotas de plumavit y mondadientes para 1. unirlas, ejemplifiquen sumas reiteradas y multiplicaciones reiteradas de modo que visualmente logren captar la diferencia entre ellas:

2 + 2 + 2 2 · 2 · 2

2 · 3 = 6 2 · 2 = 4

4 · 2 = 8



Unidad 3

Potencias 73

Red conceptual

Potencias

Multiplicación y división con

números naturales

Multiplicación y división con

números decimales Resolver problemas numéricos

permiten

definen y aplican

desarrollana través de Potencias de 10

Descomposición canónica


Con los contenidos que se desarrollan en la presente unidad se pretende que los estudiantes conozcan las potencias, su defi-nición, sus partes y algunas de sus utilidades prácticas a través del trabajo con las potencias de base 10.

A partir del manejo de las potencias de 10 los alumnos y alumnas podrán intuir regula-ridades en la multiplicación y la división que les servirán de introducción para facilitar el tra-bajo con las propiedades de las potencias que verán en cursos posteriores.

Todo el trabajo de esta unidad estará vinculado transversal-mente a temas relacionados con la globalización y su creciente influencia sobre la dinámica de las costumbres de la sociedad actual.


Construye con las pelotas de plumavit y los mondadientes que utilizaste en la clase anterior, 1. un diagrama de árbol que ejemplifique la situación de la historieta de la página 64.Realiza un diagrama de árbol para dar solución a las siguientes situaciones:2.

El abuelo de Jaime tiene 5 hijos, cada uno de los cuales tuvo 5 hijos. ¿Cuantos nietos tiene �el abuelo de Jaime?, ¿cuántos bisnietos tendría si cada nieto tiene 5 hijos?Luisa envió un correo electrónico a 4 de sus mejores amigas, estas a su vez lo mandaron a �4 de sus amigas que realizaron la misma operación. ¿Cuántas personas recibieron el correo en esta última oportunidad?



Conocen la multiplicación �como la adición reiterada de un número.Conocen la diferencia en- �tre la adición reiterada y la multiplicación reiterada de un número.

En la entrada de unidad los 2. estudiantes comprendieron la diferencia entre la adición reiterada de un número aso-ciada a la multiplicación y la multiplicación reiterada de un número asociada a la po-tenciación. Para trabajar la Actividad inicial le sugerimos que utilice material concreto, mediante el cual los alumnos y alumnas puedan graficar la situación que se plantea en la historieta, posibilitando así que la resolución de las actividades la puedan realizar también a partir de la observación. Puede explicar a los estu-3. diantes que la representación también puede ser realizada en los cuadernos a través de un diagrama de árbol. Para ello utilice un ejemplo diferente al que aparece en el texto que puede ser uno de los que se enuncian en la Actividad com-plementaria y explique la for-ma de construir un diagrama de árbol y su utilidad.La actividad 2.c) es posible 4. que pueda generar dudas. Le sugerimos que recuerde a sus estudiantes que esta situación es una forma de generalización donde x puede ser un número cualquiera de personas.



Unidad 3

Potencias 75

Pida a sus estudiantes que a partir de la siguiente tabla autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades:

Evaluación

Indicadores

Comprendí lo que debía hacer en cada una de las actividades

Resolví las actividades correctamente

Participé en el trabajo en equipo

Respeté las ideas de mis compañeros y compañeras

Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron

Identificar regularidades

Reflexión

¿Qué es internet?, ¿consideras que es útil internet? Con estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estudiantes alrededor de este tema tan apasionante para muchos.

Puede explicarles que internet no es un concepto tan reciente como muchos piensan, pues en 1961 ya se hablaba de la posibilidad y en 1969 se lograron conectar los computadores de tres universidades estadounidenses. Lejos de lo que muchas personas piensan, internet no es sinónimo de www ( world wide web) sino que www utiliza internet como medio de transmisión. Según el diccionario de la Real Academia Española, internet es la red infor-mática mundial, descentralizada, formada por la conexión directa entre computadoras u ordenadores mediante un protocolo especial de comunicación.

Materiales

Pelotas de plumavit. �Mondadientes. �



Conocen las operaciones �básicas y manejan estra-tegias para trabajarlas.Manejan el cálculo men- �tal de multiplicaciones básicas.Tienen nociones de po- �tencia aplicadas a la geo-metría a través del cálculo de área.Conocen el cm � 2, m2, etc.

Para comenzar el desarrollo de 2. la actividad que se describe en la página 66, usted puede gra-ficar el problema resuelto, es decir, dibujar en la pizarra los 4 barcos, con los 4 contenedo-res por barco y las 4 toneladas de algas por contenedor, para lograr que los estudiantes vean el planteamiento del concepto de potencia. Esta actividad también la puede realizar so-licitando previamente a los alumnos y alumnas que traigan a la clase plumavit o cartulina y con ellas, cortadas en cubitos o cuadrados, que represen-ten, agrupados en parejas, el enunciado del problema. A partir de esta modelación los estudiantes podrán relacionar los elementos de su repre-sentación con los términos que componen una potencia y luego comparar los resultados que se obtienen al resolver numéricamente la potencia y al contar los elementos de su composición.En el cuadro de contenido 3. de la página 67 se explica el concepto de potencia. Invite a sus estudiantes a que lo analicen, tomen notas de él en sus cuadernos y que intenten explicarlo utilizando la repre-sentación que utilizaron para resolver el problema.


Pida a sus estudiantes que resuelvan las siguientes situaciones y comprueben sus resultados 1. a través de una representación gráfica:

El condominio donde vive Carlos está formado por 6 edificios. Cada edificio tiene 6 pisos �y cada piso 6 departamentos. ¿Cuántos departamentos hay en el condominio donde vive Carlos? Alicia toma dos veces al día dos cucharadas de un remedio que por cada cucharada contiene �2 mg de una sustancia A. Luego de 2 días tomando el remedio, ¿cuántos miligramos de A ha ingerido Alicia? Luis se ha puesto de acuerdo con tres amigos para chatear, estos a su vez contactaron a tres �amigos cada uno y estos últimos a tres amigos más cada uno. ¿Cuántas personas conversan al mismo tiempo en el chat?


Resolver problemas

Unidad 3

Potencias 77

Para evaluar el contenido de estas páginas puede entregar a los estudiantes una tabla como la que se propone a continuación con la finalidad de que autoevalúen su nivel de comprensión de este tema:

Evaluación

Indicadores

Comprendí el concepto de potencia

Representé adecuadamente el problema con los materiales propuestos

Diferencié la base del exponente

Respondí las actividades propuestas correctamente

Trabajé en el tiempo indicado por el docente


Diversidad

Al ser el tema de las potencias completamente nuevo le recomen-damos que modele los problemas de la Actividad complementaria con material concreto, ya sea el material utilizado en la clase pasada para representar un diagrama de árbol o los materiales solicitados para esta clase.

Errores frecuentes

Muchas veces los estudiantes al definir las potencias como la multiplicación reiterada de un número, tienden a cometer el error de no contar la base, por ejemplo, si tienen que escribir como potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 lo escriben como 34 porque asumen el primer 3 de la reiteración como la base y cuentan la cantidad restante para colocarla como exponente. Para remediar esto, recalque que la base es el número que se debe repetir, en este caso el 3 y el exponente es la cantidad de veces que aparece en la reiteración.

Materiales

Plancha de plumavit o pliego de �cartulina.



Conocen las potencias �como la forma de repre-sentar la multiplicación reiterada de un número.Distinguen la base del �exponente, en una po-tencia.Encuentran la potencia �implícita en un problema contextualizado.

Converse con sus estudiantes 2. sobre los sistemas de nume-ración y ejemplifique en la pizarra algunos de ellos, in-cluyendo el sistema decimal, para que alumnos y alumnas puedan notar la diferencia.Trabaje con sus estudiantes el 3. cuadro de contenido de la pá-gina 68 y analice las primeras diez potencias de 10 que ahí aparecen. Explíqueles que en el sistema métrico decimal se adoptaron prefijos basados en potencias de 10, por ejemplo, el prefijo kilo corresponde a 103, por lo que kilogramo representa 103 g, kilómetro representa 103 m, etc.Invite a sus estudiantes a rea-4. lizar las actividades sugeridas en la página 69.Para la segunda actividad 5. grupal, puede invitar a los es-tudiantes a visitar el sitio que se sugiere en Otros recursos, en el cual encontrará un inte-resante viaje al macrocosmos apoyado en la utilización de las potencias de 10.


Enlaza el número de la columna A con la potencia de 10 correspondiente en la columna B:1.

A B

10 109

1 000 000 102

1 000 1011

1 000 000 000 103

100 101

100 000 000 000 106



Unidad 3

Potencias 79

Para la evaluación de las actividades de estas páginas le recomendamos una lista de cotejo como la que se presenta a continuación:

Evaluación


Comprende las potencias

Convierte un número en potencia de 10 y una potencia de 10 en un número

Identifica base y exponente de una potencia


Realiza las actividades en el tiempo estipulado



Historia y números

Los números se pueden represen-tar a partir de diferentes sistemas de numeración, el sexagesimal con base 60, el vigesimal con base 20, el octal con base 8, el binario con base 2 (sistema numérico utilizado por las calculadoras y computadores), el sistema decimal con base 10, etc.

El sistema decimal, que es el que ha prevalecido hasta nuestros días, tiene su origen en los diez dedos de las manos, los cuales han servido desde siempre para contar.

Reflexión

¿Qué creen que es una potencia de 10?, ¿por qué se dice que el 100, el 1 000, el 10 000, etc., son potencias de 10? Con estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estudian-tes para que de manera autónoma deduzcan la conclusión de que cuando se habla de una potencia de 10 se habla de una potencia cuya base es 10 independientemente de cuál sea su exponente. Puede, además, durante esta reflexión introducir el término potenciación.

Otros recursos

En el siguiente sitio http://www.slideshare.net/guervos/potencias-de-10-un-viaje-del-macrocosmos-al-microcosmos/ se muestra una didáctica animación de un viaje del microcosmos al macrocosmos y viceversa, utilizando distancias que son potencias de 10.



Completa la siguiente tabla. En la primera columna aparecen valores de monedas y billetes del Sistema Monetario Nacional, en la 1. segunda columna la cantidad de monedas o billetes con que se cuenta, en la tercera columna debes expresar numéricamente las cantidades totales de dinero que se representan y en la última columna debes expresar esas cantidades como potencias:

Billete o moneda [$] Cantidad de billetes o monedas Cantidad de dinero [$] Como potencia [$]

1 000 10

100 100

10 000 10

10 1 000

10 000 1 000



Conocen el concepto de �potencia. Distinguen la base del �exponente, en una po-tencia.Trabajan con potencias �de 10.

En la página 70 se explican dos 2. formas diferentes de desarrollar el producto de potencias de 10. Una vez que los estudiantes comprendan ambos métodos, puede sugerirles que cuando se enfrenten a una multiplicación de números compuestos por un 1 y muchos ceros, lo mejor es trabajar estos números como potencias con base 10 para así realizar procedimientos mucho más sencillos.Incentive a sus estudiantes a 3. encontrar una regularidad a partir de la multiplicación de potencias de 10, y que la expre-sen en lenguaje algebraico, por ejemplo: 10a · 10b = 10a + b. Invite a alumnos y alumnas 4. a realizar las actividades que se proponen en la página 71 y a que revisen las respuestas colectivamente pasando a la pizarra.



Unidad 3

Potencias 81

Invite a sus estudiantes a resolver las siguientes multiplicaciones y a confeccionar un informe escrito de respuestas que usted podrá evaluar a través de algunas de las pautas de evaluación que se proponen en las páginas 224 a 227:

Evaluación

Resolver problemas

Reflexión

¿Qué utilidad consideras que tiene aprender a multiplicar po-tencias de 10?, ¿crees que puedes aplicar la metodología aprendida a otras potencias? A partir de estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión que debe estar encaminada a que alumnos y alumnas comprendan que, inde-pendientemente que a muchos los contenidos les resulten sencillos de comprender, estos no son más que una introducción a otros tipos de actividades más complejas y que les serán de gran utilidad, no solo para el desarrollo de temas posteriores, sino también para comprender informaciones importantes que son expresadas como potencias, tales como datos que implican números extremadamente grandes, como por ejemplo, las distancias entre los planetas.


Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1, es decir:

a0 = 1 para todo a ≠ 0

00 no está definido, porque:00 = 0-1 · 01 = 0/0


102 · 104 102 · 1018 1010 · 103 · 109 107 · 109 · 103 · 1010 · 102

100 · 105 1020 · 104 105 · 108 · 103 1010 · 104 · 1015 · 107 · 102

1010 · 103 105 · 104 100 · 1010 · 101 1010 · 1010 · 1010 · 1011 · 103

1015 · 109 102 · 104 · 100 101 · 104 · 105 · 102 · 103 101 · 102 · 103 · 104 · 105

101 · 100 106 · 104 · 107 100 · 105 · 109 · 103 · 1010 109 · 105 · 101 · 1021 · 105



Definen potencia como la �forma de representar la multiplicación reiterada de un número.Distinguen la base del �exponente en una po-tencia.Conocen unidades de �medida de longitud y de masa.

El trabajo con las multiplica-2. ciones de un número natural por una potencia de 10 no solo sirve de introducción a temas posteriores sino que refuerza conocimientos sobre las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal y las conversiones de unidades.Los estudiantes en este nivel 3. ya realizan multiplicaciones y divisiones entre números de más de 6 cifras, por lo tanto, para el desarrollo del problema resuelto le sugerimos que les proponga efectuar las siguien-tes multiplicaciones:6 400 · 16 400 · 106 400 · 1006 400 · 1 0006 400 · 10 0006 400 · 100 000Dibuje en la pizarra una tabla 4. de dos columnas, donde co-loque en la primera columna las multiplicaciones; y en la segunda, los productos. Ha-ciendo esto, puede ayudar a los alumnos y alumnas a que encuentren la regularidad en este tipo de multiplicacio-nes. Una vez encontrada la regularidad, puede pedir a un estudiante que convierta los factores en potencias de 10 y que nuevamente encuentren la regularidad.


Pida a sus estudiantes que completen la siguiente tabla con la conversión solicitada y descri-1. biendo a continuación una situación donde se pueda aplicar tal conversión:

CantidadUnidad a la que

se conviertePotencia Resultado Ejemplo

40 km mm

900 m mm

5 000 km cm

3 kg g

300 kg mg

70 000 km m



Unidad 3

Potencias 83

Pida a sus estudiantes que resuelvan los siguientes problemas:A Victoria el médico le recetó un remedio del cual tiene que tomar 0,1 mg por cada gramo de masa �corporal. Si la masa corporal de Victoria es de 75 kg, ¿cuánto medicamento debe tomar?Luis fue con su mamá a la feria. Si una de las bolsas transportaba 5 kg y la otra 7 kg, ¿cuántos �gramos transportaban las dos bolsas? ¿Cuántos miligramos transportaba cada bolsa?

Evalúe la resolución de los problemas anteriores a través de la siguiente lista de cotejo:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Interpreta adecuadamente los problemas

Implementa una metodología para resolver los problemas

Utiliza potencias de 10 en la resolución de los problemas

Resolver problemas


Diversidad

Puede que algunos de sus es-tudiantes no recuerden algunas conversiones de unidades, para remediar esto puede hacer un cuadro similar al de la página 69 del texto donde se encuentren los prefijos del Sistema Internacional de Unidades, lo cual les ayudará no solo a recordar las unidades y las conversiones que ya conocen sino también a deducir y asociar otras, aplicándolas también a otros campos como la computación (prefijos mega, giga y tera).


Mencione a sus estudiantes que cuando se habla de kilogramos o toneladas se hace referencia a la masa de un cuerpo, y no a su peso.

Advierta que en mucha literatura se señala el peso de un cuerpo utilizando estas unidades, pero que este uso es indebido, ya que el peso describe una fuerza que está relacionada con la atracción gravitatoria que ejerce un planeta sobre los objetos que están en sus inmediaciones.



Trabajan con decimales �las operaciones de mul-tiplicación y división.Conocen el concepto de �potencia.Multiplican potencias de 10 �por números naturales.

De unidades anteriores, los es-2. tudiantes manejan la multipli-cación y división de números decimales, por lo que suge-rimos que comience la clase con una breve ejercitación que implique la multiplicación de un número decimal por uno entero.Explique a sus estudiantes que 3. el método que se entrega en la página 74 no es más que un procedimiento para simplificar la operatoria y que surge de la regularidad en la multiplicación de este tipo de números. Usted puede fundamentar esto a par-tir de ejemplos, mediante los cuales los estudiantes puedan comprobar la regularidad que existe en este tipo de ejercicios y luego aplicar el método de correr la coma hacia la dere-cha, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10.Invite a sus estudiantes a rea-4. lizar las actividades que se proponen en la página 75 y sugiérales que realicen la com-probación mediante el método que conocían con anterioridad. Puede ser importante que aco-te que el procedimiento apren-dido solo se cumple cuando es una potencia de 10 y no con cualquier número que sea múltiplo de una potencia de 10, por ejemplo, esto no se cumple para operaciones como 5,5 · 2 000.


Completa la siguiente tabla con el producto de cada multiplicación:1.

· 102 · 105 · 1010 · 1012

6,53649

835,481005

0,0016273

9,126481

5,16253098

3

0,000061242



Unidad 3

Potencias 85

A través de la siguiente tabla sus alumnos y alumnas podrán evaluar el nivel de comprensión que han conseguido del tema trabajado:

Evaluación


Indicador Sí A veces No

Comprendí la regularidad al multiplicar números decimales por potencias de 10

Resolví los ejercicios correctamente

Contribuí en la correcta realización de la actividad grupal

Trabajé en forma ordenada

Cumplí con los tiempos dados por el docente

Errores frecuentes

Una vez que los estudiantes cono-cen la metodología para multiplicar un número decimal por una potencia, el procedimiento lo aplican en forma mecánica y muchas veces desde el principio intentan correr la coma de forma mental, lo que conlleva a errores, ya sea colocando la coma una cifra antes o una cifra después del lugar donde debe estar. Explique a sus estudiantes que una coma colocada incorrectamente significa un resultado incorrecto, pues, por ejemplo: 3,456 · 1 000 = 3 456. Si cometieran un error podrían obte-ner 345,6 que no es el producto de la multiplicación anterior sino de 3,456 · 100.

Anotaciones:




Conocen el valor posicio- �nal en los números natu-rales y en los números decimales.Conocen el concepto de �potencia.Multiplican potencias de �10.Multiplican potencias de 10 �por números naturales.

Escriba en la pizarra algunos 2. números naturales y pida a sus estudiantes que indiquen el valor posicional de cada uno de los dígitos.Analice con los alumnos y 3. alumnas la página 76 del texto. Explique que una vez realizada la descomposición canónica, para comprobar si se realizó correctamente, solo hay que efectuar las multiplicaciones que aparecen y luego sumar los productos; si el resulta-do obtenido coincide con el número que intentamos des-componer la descomposición canónica es correcta.Invite a sus estudiantes a reali-4. zar las actividades propuestas en la página 77. Acote que deben tener en cuenta que la multiplicación de cualquier nú-mero por 0 es 0, por lo tanto, el lugar que ocupa un dígito 0 dentro del número no se pone, sin embargo, hay que tener en cuenta que el número siguien-te mantiene su posición, por ejemplo:20 081 = 2 · 104 + 8 · 101 + 1 · 100. El lugar que corresponde a 0 · 103 + 0 · 102 no se escribe porque ambas multiplicaciones dan 0 como resultado.


Efectúa la descomposición canónica de los siguientes números:1.

263 � 75 862 � 87 455 620 �7 462 � 85 635 � 84 653 �5 462 729 � 412 738 � 5 057 110 �90 174 � 5 143 � 825 346 �44 833 � 9 087 102 � 517 483 900 �20 007 162 � 3 001 200 � 73 416 200 �6 341 947 � 5 372 894 � 42 630 174 �



Unidad 3

Potencias 87

Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación en la que deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo:

Evaluación

A 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

B 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

C 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

A: Comprendí la relación entre la descompo-sición canónica y el valor posicional.

B: Realicé la descomposición canónica.C: Tuve en cuenta la posición del 0 al momento

de descomponer canónicamente.D: Comprobé los resultados realizando las

operaciones señaladas.


Errores frecuentes

El valor posicional en los núme-ros naturales es un tema que los estudiantes ya conocen, pero es posible que alguno no lo recuerde y lo confunda con la relación de orden. Recuerde la diferencia entre ambos conceptos y recalque en lo concerniente al valor posicional entregando una serie de números para que los estudiantes identifiquen el valor de posición de cada uno de sus dígitos.


Realice con sus estudiantes la siguiente deducción que los ayu-dará a no olvidarse de la potencia que corresponde a cada valor de posición:

U · 1 · 100

D · 10 · 101

C · 100 · 102

UM · 1 000 · 103

DM · 10 000 · 104

CM · 100 000 · 105

Umi · 1 000 000 · 106

Dmi · 10 000 000 · 107

Cmi · 100 000 000 · 108



Conocen las potencias �como la forma de repre-sentar la multiplicación reiterada de un número.Distinguen la base del �exponente en una po-tencia.Multiplican potencias de �10.

Invite a sus estudiantes a leer 2. el problema resuelto de la pá-gina 78 y analice con ellos las dos formas que se describen para resolver el ejercicio. Puede que a ellos les resulte 3. más sencillo trabajar la forma de eliminar los ceros en la fracción, pero puede expli-carles que este es un método adecuado para potencias de 10 pequeñas, pues cuando la potencia de 10 posee muchos ceros es mucho mejor aplicar el segundo método.Invite a sus estudiantes a 4. realizar las actividades que se proponen en la página 79 y luego haga una puesta en común con los resultados. Mediante ella podrá averiguar el nivel de comprensión que han adquirido los estudiantes del contenido tratado.


Completa la siguiente tabla:1.

División División como potencia Cociente

1 000 / 10 000

108 / 105

106

10 000 000 / 100

1010

1024 / 107

100



Unidad 3

Potencias 89

Evalúe los contenidos tratados en estas páginas a través de la aplicación de la Actividad com-plementaria. Luego puede completar la siguiente tabla:

Evaluación


Comprende las potencias

Divide potencias de 10 aplicando los dos métodos aprendidos en clase

Comprende la aplicación del contenido


Realiza las actividades en el tiempo estipulado



Diversidad

Los estudiantes aprendieron que las fracciones donde el numerador es menor que el denominador se llaman propias y que de ellas se obtienen como cocientes números entre 0 y 1. Puede que algunos alumnos y alumnas le pregunten qué sucede cuando, trabajando con las potencias de 10, el dividendo es menor que el divisor. Explique que con este tipo de división sucede lo mismo, se obtiene un cociente entre 0 y 1. Demuestre esto en la pizarra. También puede explicar que cuando nos enfrentamos a una fracción de potencias de 10 y el numerador tiene un exponente menor que el denominador, el cociente será una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es una potencia con base 10, siendo el exponente la diferencia de los exponentes de las potencias de la fracción inicial, por ejemplo:105 / 107 = 1 / 107 – 5 = 1 / 102

Entonces, generalizando:10a / 10b = 1 / 10b – a

para a < b.

Errores frecuentes

Muchos estudiantes al enfrentarse a ejercicios como 105/100 o 100/100, tienden a decir que no tienen solu-ción porque la división por 0 está indeterminada. Es importante que recuerde a los estudiantes que una potencia con exponente 0 es igual a 1 y no a 0, por lo que este tipo de división sí es posible de realizar.




Conocen el concepto de �potencia.Multiplican potencias de �10.Multiplican números na- �turales y decimales por potencias de 10.Dividen potencias de 10. �Conocen la descompo- �sición canónica de un número natural usando potencias de 10.

Invite a sus estudiantes a anali-2. zar el problema resuelto que se explica en la página 80 del Tex-to del Estudiante y pregúnteles que teniendo en cuenta que la división es la operación inversa de la multiplicación, ¿qué tipo de conversión de unidades consideran que implica la di-visión de un número natural por una potencia de 10?A partir del análisis del proble-3. ma de la página 80 los estu-diantes arribarán a la conclu-sión de que si al multiplicar estamos convirtiendo de una unidad mayor a una menor, entonces al dividir iremos de una unidad menor a una ma-yor, pero es importante que no aprendan esto de forma mecánica sino a través de la demostración, que puede reali-zar de la siguiente manera:Sabiendo que

1 km = 1 000 m entonces,360 000 m · 1 km/1 000 m = 360 000 / 1 000 = 360 km.También lo puede analizar planteando una proporción que puedan resolver aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.


Completa la siguiente tabla efectuando las divisiones que se solicitan:1.

: 102 : 105 : 1010 : 1012

653 649 000 000

835 481 005

162 730 000 000

912 648 184 093 000

516 253 098 000 000

3 000 000 000 000 000 000

8 475 629 103 764 625 343



Unidad 3

Potencias 91

Pida a sus estudiantes que completen la siguiente tabla con la conversión solicitada y describiendo a continuación una situación donde se pueda aplicar:

ConvierteUnidad a la que

se conviertePotencia Resultado Ejemplo

40 kg t

900 000 m km

5 000 kg t

3 030,5 mg g

70 000 m km

Evaluación


Reflexión

La conversión de unidades es una aplicación importante de la división de números naturales por una potencia de 10, aunque no es la única. Una correcta asimilación de la metodología en el cálculo de este tipo de división permite que los educandos optimicen el cálculo mental y puedan aplicarlo a su vida cotidiana. Para reforzar esto puede plantearles oralmente preguntas en las que ellos tengan que convertir uni-dades que impliquen división, como por ejemplo: ¿cuántos kilogramos son 5 000 g?, ¿cuántos kilogramos son 5 000 000 mg?

Anotaciones:

Resolver problemas



Conocen el concepto de �potencia.Manejan la multiplicación �de potencias de 10.Dividen números natura- �les por potencias de 10.

Lea en voz alta el enunciado 2. del problema resuelto de la página 82 y explique el proce-dimiento detalladamente. Pida a sus alumnos y alumnas que comparen el dividendo y el cociente, ¿qué ocurre? Escriba en la pizarra ejemplos 3. de divisiones de decimales por potencias de 10 donde el dividendo se mantenga y solo cambie la potencia de 10 y pida a sus estudiantes que las resuelvan usando sus calculadoras, por ejemplo:334 536 : 101 = 33 453,6334 536 : 102 = 3 345,36334 536 : 103 = 334,536334 536 : 104 = 33,4536Pida que observen los cocientes y lleguen a conclusiones a partir del análisis de la regularidad.Una vez analizada la regulari-4. dad realice un ejercicio similar al anterior pero donde puedan comparar la multiplicación y la división, por ejemplo:334 : 101 = 33,4 y 334 · 101 = 3 340334 : 102 = 3,34 y 334 · 102 = 33 400334 : 103 = 0,334 y334 · 103 = 334 000Invite a sus estudiantes a comparar los productos y los cocientes y luego resumir las diferencias a partir del análisis de la regularidad observada.


Resuelve las siguientes divisiones:1. 678,99 : 1 000 �6,424857 : 100 �

2,666 : 1 000 �6 566,3 : 10 � 4

100,6 : 10 � 5

4,24 : 10 � 4

Determina la potencia de 10 que debe aparecer como divisor en las siguientes divisiones:2. 2,05 : � = 0,000205405,653 : � = 4,056530,0298 : � = 0,00000298

47,339 : � = 0,00000000473390,005 : � = 0,0000052,05 : � = 0,000205

Determina el dividendo de las siguientes divisiones:3. � : 105 = 0,00000886 � : 104 = 6,041 � : 103 = 0,072

� : 103 = 0,0000000766 � : 108 = 0,3886459 � : 1012 = 0,04473



Unidad 3

Potencias 93

A través de la siguiente tabla los estudiantes podrán evaluarse los unos a los otros en relación al trabajo grupal:

Evaluación

Indicador Sí A veces No

Obtuvo los resultados correctos en los Ejercicios individuales

Aplicó una estrategia adecuada para comprobar los resultados de los ejercicios

Analizó correctamente las regularidades

Contribuyó al trabajo en equipo aportando ideas

Trabajó ordenadamente

Historia y números

El hecho de que el mundo occi-dental haya adoptado el sistema decimal no es algo tan trivial. Mayas y Aztecas utilizaban un sistema no basado en el número diez sino en el 20; mientras que griegos y romanos tenían sistemas de numeración muy engorrosos que no contemplaban el cero. Gracias al aporte de los árabes y de los indios principalmente, te-nemos un sistema basado en el 10, que según los antropólogos, está basado en el número de dedos que poseemos en manos y pies.


Recuerde a sus estudiantes algunas unidades de área, a propósito del problema propuesto en la página 83 del texto. En particular, mencione que un metro cuadrado corresponde al área que posee una superficie cuadrada cuyos lados miden 1 m de longitud. Dibuje en la pizarra una superficie de estas características para que los estudiantes tengan una noción real de lo que esta unidad de medida representa.




Definen una potencia �como la multiplicación reiterada de un mismo número.Conocen las potencias �de 10 y realizan con ellas operaciones de multipli-cación y división.Realizan operaciones de �multiplicación y división de números naturales y decimales por potencias de 10.Descomponen canónica- �mente números naturales utilizando potencias de 10.

La 2. Resolución de problemas servirá a los estudiantes para practicar y aplicar la mayoría de los contenidos tratados en la unidad. El Problema modelo, además de servir de ejemplo, entrega una metodología de resolución aplicada a la situa-ción enunciada. Explique a sus estudiantes que la metodología sugerida no es necesariamente la única que permite llegar a la solución correcta, sino que lo fundamental es que ellos comprendan que para poder llegar al resultado correcto de una actividad deben desarro-llar un algoritmo similar que favorezca la organización y rigurosidad del trabajo.Luego de analizar el 3. Problema modelo usted puede orientar la resolución de los proble-mas propuestos en forma individual o grupal y luego hacer una puesta en común con los resultados obtenidos por cada estudiante o grupo de estudiantes.


Agrupados en parejas inventen problemas similares a los que se plantean en el texto y para 1. cuya resolución tengan que ocupar potencias de 10.En grupos realicen una investigación sobre nuestra galaxia y encuentren datos numéricos 2. concretos (y que no hayan sido utilizados en la unidad). Coloquen la información en una tabla y destinen una columna para expresar los números encontrados como el producto de un número natural por una potencia de 10.Realicen un trabajo similar al anterior pero con las eras geológicas. Investiguen la duración 3. de las eras geológicas de la Tierra y exprésenlas usando números naturales y potencias de 10. Así, además de ejercitar las potencias de 10, comprenderán diversos aspectos relacionados con la formación de nuestro planeta.



Unidad 3

Potencias 95

Entregue a sus estudiantes el siguiente esquema a través del cual podrán autoevaluar su desem-peño durante el desarrollo de las actividades:

Evaluación

A 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

B 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

C 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

A: Comprendí la explicación del problema modelo.

B: Apliqué la metodología sugerida para resolver los problemas propuestos.

C: Trabajé ordenadamente y en el tiempo establecido.

D: Comprobé los resultados.

Resolver problemas Reflexión

¿Qué tipo de problemas podemos resolver aplicando las potencias de 10? Con esta pregunta puede iniciar una reflexión asociada a las aplicaciones de las potencias en la vida cotidiana y en el quehacer científico. Encamine la reflexión a la resolución de problemas y al hecho de que los problemas que se plantean en la clase no son más que una manera de plantear una situación que podría ser real.


Señale a sus estudiantes, a propósi-to del primer problema propuesto en la página 85 del texto, que el Sistema Solar consta solo de 8 planetas, ya que Plutón dejó oficialmente de pertenecer a esta categoría de cuerpo celeste el 24 de agosto de 2006, debido a su reducido tamaño y a las importantes diferencias que presenta su órbita en torno al Sol, respecto a las órbitas de los 8 planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.



Conocen el concepto de �potencia.Conocen y han trabajado �con Excel.

La 2. Tecnología activa es una sección destinada a que los es-tudiantes apliquen lo aprendi-do en la unidad utilizando para ello herramientas tecnológicas como la calculadora o como un programa de computación. Explique a los estudiantes 3. algunas características del programa Excel y comente la posibilidad de utilizarlo en otros ramos y en otros ám-bitos para, apoyándose en su menú de ayuda, encontrar más bondades de esta aplicación informática.Para trabajar la actividad pro-4. puesta en el texto, pida a sus estudiantes que se agrupen en parejas y que recuerden las medidas que hay que to-mar para trabajar en la sala de computación.Invite a un estudiante a leer 5. el enunciado de la actividad y luego exhorte a los niños y niñas a seguir los pasos que se describen.Sugiera a sus alumnos y 6. alumnas que a medida que completen cada paso lo vayan marcando en el texto pues de esta forma se aseguran de no saltarse ninguno.Revise los gráficos resultantes 7. obtenidos por cada pareja de trabajo.Oriente la realización del resto 8. de las actividades y si le queda tiempo puede proponer las que aparecen como Actividad complementaria.


Pida a sus estudiantes que completen las tablas que se muestran a continuación y que luego 1. grafiquen sus datos ocupando Excel:

Exponente 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor de 5x

Exponente 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor de 7 x

Exponente 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor de 9 x



Unidad 3

Potencias 97

Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla a través de la cual podrán evaluar unos a otros su desempeño en el desarrollo de la actividad:

Evaluación

Indicadores Sí A veces No

Maneja el programa Excel

Resuelve adecuadamente las actividades

Consulta sus dudas

Comparte los resultados

Respeta ideas diferentes a la suya

Valora otras alternativas


Errores frecuentes

Uno de los errores recurrentes de los estudiantes al momento de trabajar con tablas y gráficos en Excel es que al intentar construir el gráfico a partir de la tabla, la escala que se presenta en forma automática no es la más conveniente a nues-tros intereses. Para remediar esto explique a sus alumnos y alumnas que tienen la alternativa de una vez construido el gráfico dar doble clic sobre el eje donde se encuentra la escala no deseada, abriéndose un menú que contiene la opción “Escala”, en la cual pueden hacer los ajustes necesarios.

Anotaciones:



Definen una potencia �como la multiplicación reiterada de un mismo número.Conocen las potencias �de 10 y realizan con ellas operaciones de multipli-cación y división.Multiplican y dividen �números naturales y decimales por potencias de 10.

En la página 88 del texto se 2. resumen a modo de síntesis los temas más importantes trabajados en la unidad. Puede orientar una actividad pregun-tando a los estudiantes por los contenidos de la unidad que consideran más importantes y escribiendo cada uno de los aportes en la pizarra. Luego pida a los alumnos y 3. alumnas que abran sus textos y comparen cada unas de las fichas de la síntesis con los contenidos que se encuentran en la pizarra. Si encuentra un tema mencionado por los es-tudiantes que no se encuen-tra explicitado en las fichas, confeccione en conjunto con el curso una nueva ficha y si hay algún tema descrito en las fichas y que los estudiantes no mencionaran vuelva a la página del texto donde se detalla y recuérdeles en qué consiste.En la página 89 se inicia el 4. proceso evaluativo a partir de una serie de actividades repre-sentativas de cada uno de los contenidos trabajados. Explique al curso que el prin-5. cipal objetivo de la evaluación consiste en que los estudian-tes tomen conciencia de sus fortalezas y debilidades en cada tema.


Expresa como la multiplicación de un número natural y una potencia de 10 los siguientes 1. números:

2 720 000 000 000 �240 000 000 000 000 �9 000 000 000 000 000 �25 000 000 �

434 360 000 000 �748 000 000 �300 000 000 000 000 �120 400 �

Expresa como potencias las siguientes multiplicaciones:2. 4 · 4· 4 · 4 · 4 �5 · 5 · 5 · 5 �7 · 7 �2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 �

10 · 10 · 10 · 10 · 10 �x · x · x · x �m · m · m �a · a · a · b · b �





Unidad 3

Potencias 99

Resuelve las siguientes operaciones con potencias de 10:3. 10 � 2 · 105 · 100

10 � 1 · 109 · 102

4 000 : 10 � 10 10 · 10 · 100 · 10 · 1 000 �

320 000 : 10 � 10

2,3544 · 10 � 5

234,43 · 10 � 6

37 · 10 � 3

Descompón canónicamente los siguientes números utilizando potencias de 10:4. 4 563 524 �734 410 988 �9 340 012 �60 505 �

700 000 000 �978 588 476 �100 000 900 �2 476 005 024 �



La potenciación es la operación matemática que se denota como an y cuyo significado varía en dependencia de la naturaleza del exponente. Cuando n es un número natural (o entero positivo)

an = a · a · a ·… · a 1442443 n vecesSi el exponente es un número entero negativo -n entonces a-n = 1/an.

Anotaciones:


Invite a sus alumnos y alumnas a marcar la alternativa correcta en cada caso:1. El número 22 000 000 000 000 corresponde a: �

2,2 · 10a) 13 220 · 10b) 10 220 · 10c) 13 22 · 10d) 10

Un tren tiene 10 vagones, en cada vagón hay 10 contenedores, en cada contenedor 10 �cajas y en cada caja 10 paquetes con 10 kg de papel cada uno. ¿Cuántos kilogramos de papel van en el tren?

10a) 4 10b) 5 1 · 10c) 6 5 · 10d) 1

En una fábrica se envasa leche en polvo en paquetes de 100 kg. Si un lote corresponde a �9 000 kg, ¿cuántos paquetes se completarán?

9a) 90b) 900c) 9 · 10d) 2

Antes de empezar la clase, cons-1. tate que los estudiantes:

Definen una potencia �como la multiplicación reiterada de un mismo número.Conocen las potencias �de 10 y realizan con ellas operaciones de multipli-cación y división.Multiplican y dividen �números naturales y decimales por potencias de 10.Descomponen canónica- �mente números natura-les utilizando potencias de 10.

La unidad que termina ha ser-2. vido para introducir a los es-tudiantes en el trabajo con las potencias, es por ello que le sugerimos que trabaje estas páginas de evaluación con el fin de diagnosticar problemas que pueden persistir en los es-tudiantes. Es importante que alumnos y alumnas culminen esta unidad con el mínimo de inquietudes, pues esta es la base para todo el trabajo con potencias que verán a lo largo de su vida escolar.Invite a sus estudiantes a que 3. resuelvan las actividades que se proponen para luego hacer una puesta en común con los resul-tados. Puede también pedir que alumnos y alumnas marquen las preguntas que le han generado dudas de modo que luego usted pueda esclarecerlas.




Unidad 3

Potencias 101

Es importante que usted esté al tanto del nivel de comprensión que alcanzaron los estudiantes de cada uno de los contenidos, es por esto que le sugerimos entregue a cada alumno y alumna la siguiente tabla donde se detallan los contenidos más importantes y donde ellos deben escribir el porcentaje de com-prensión que tienen de cada tema:

Evaluación

Contenidos Porcentaje

Multiplicación de potencias de 10

Multiplicación de un número natural por una potencia de 10

Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10

Descomposición canónica de un número natural usando potencias de 10

División de potencias de 10

División de números naturales y decimales por potencias de 10


La notación científica utiliza las potencias de 10 para expresar números muy grandes o números muy pequeños. Se utiliza en áreas científicas tales como la astronomía o la cartografía. Consiste en expresar un número mediante una expresión del tipo A · 10B; en donde A es un número mayor o igual que 1 y menor que 10; y B es un número entero. En este nivel, B debe definirse como un número natural. Ejemplos de notación científica son:2 · 106 = 2 000 0005,14 · 108 = 514 000 000

102


Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Interpretan información y la expresan mediante lenguaje algebraico. yAnalizan situaciones que pueden ser descritas mediante sencillas ecuaciones de primer grado. y

Términos semejantes

Reducción de términos seme-jantes

2 4 Definen términos semejantes en una expresión algebraica. yReducen términos semejantes a través de las operaciones de adición y sustracción. y

Definición de ecuación de primer grado

3 3 Definen ecuación de primer grado. yPlantean sencillas ecuaciones de primer grado a partir de situaciones reales. y

Resolución de ecuaciones de pri-mer grado

4 4 Resuelven ecuaciones de primer grado. yResuelven problemas contextualizados. y

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado

Validación de la solución de una ecuación de primer grado

5 5 Interpretan situaciones y las expresan en lenguaje algebraico para luego describirlas y explicarlas yplanteando y resolviendo ecuaciones de primer grado.Manejan estrategias para comprobar los resultados obtenidos al resolver una ecuación de primer ygrado.


Tecnología activa 7 3 Utilizan herramientas tecnológicas para obtener el valor de una expresión algebraica. y


Evaluación



Reducir términos semejantes para obtener expresiones algebraicas simplificadas. yExpresar situaciones cotidianas mediante expresiones algebraicas. yPlantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas contextualizados. yResolver ecuaciones de primer grado y validar la solución. y

4Unidad

Ecuaciones de primer grado



Ecuaciones de primer grado 103

Unidad 4



Páginas Guía

Interpretación de información. yIntroducción al trabajo con ecuaciones de primer grado. yValoración del cuidado del medioambiente a través del reciclaje. y


Determinación de los términos semejantes en una expresión algebraica. yReducción de términos semejantes. y

96 – 99 108 – 111 Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y lista de cotejo

Definición del concepto de ecuación de primer grado. yEstablecimiento de la relación entre una balanza y una ecuación de primer grado. yPlanteamiento de ecuaciones de primer grado sencillas. y


Resolución de ecuaciones de primer grado aplicando convenientemente las propiedades yde la adición y de la multiplicación y sus operaciones inversas.Operación en ambos miembros de la ecuación como la forma correcta de llegar a la ysolución.


Planteamiento y resolución de ecuaciones para encontrar la solución a una situación yreal.Establecimiento de una metodología adecuada para validar la solución de una ecuación yde primer grado.




Implementación de metodología para determinar el valor de una expresión algebraica yutilizando herramientas tecnológicas.



112 – 115 124 – 127 Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita


Valorar, respetar y cuidar el medioambiente. yCompartir e intercambiar experiencias sobre las medidas para cuidar el mundo en que vivimos. yResolver problemas contextualizados en situaciones medioambientales a través de ecuaciones de primer grado. y



Invite a sus estudiantes a determinar en cada caso si lo que se plantea es verdadero (V) o 1. falso (F):

� a · b = b · a � a + b + c = a · (b + c) � El doble de un número es x/2. � Luis tiene el triple de la edad de Alejandro. Esto se representa como a = 3b, donde

a es la edad de Luis y b la de Alejandro. � Sofía compró la mitad de kilogramos de manzanas que de peras. Esto se expresa

como a = b/2, donde a es la cantidad de manzanas y b la de peras. � a · (b · c) = b · (a · c)


Verificar propiedades

En el curso anterior los alum-1. nos y alumnas iniciaron el estudio del lenguaje algebrai-co como el lenguaje de los símbolos aplicado a las ma-temáticas. En la unidad que se inicia conocerán un nuevo concepto: las ecuaciones de primer grado. Para trabajar estas páginas introductorias puede comenzar haciendo un recuento de los conocimientos previos que tienen sus estu-diantes sobre el tema y puede añadir que las ecuaciones de primer grado son igualdades compuestas por expresiones algebraicas y que se cumplen para un solo valor de la incóg-nita. Con esta breve introduc-ción los estudiantes estarán preparados para comprender el recuadro En esta unidad aprenderás a:.Puede iniciar una reflexión con 2. alumnos y alumnas a partir del texto ¿Cuidas las playas? que aparece en la página 93, en el cual se trata un tema asociado al objetivo transversal de la unidad y que puede vincular al contenido a través del pro-blema que se plantea en la sección ¿Puedes resolver?Invite a sus estudiantes a in-3. tentar resolver este problema, aclarando que la finalidad de esta sección es que ellos com-prendan la aplicación de las ecuaciones de primer grado a problemas de su entorno cercano.


Unidad 4


A través del desarrollo de los contenidos de la presente unidad, los alumnos y alumnas profundi-zarán en el estudio del lenguaje algebraico a través de la reduc-ción de términos semejantes, que permitirá comenzar el trabajo con ecuaciones de primer grado que podrán resolver aplicando las propiedades asociativa y conmu-tativa o las operaciones inversas, es decir, adición-sustracción, multiplicación-división. En sen-tido general, los estudiantes po-drán comprender la aplicación de las ecuaciones a partir del análisis de problemas contextualizados, que en su mayoría estarán rela-cionadas con el tema trasversal que articula la unidad: el medio-ambiente. A través de ellos los educandos recibirán informa-ción matemática que formularán mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita y a su vez comprenderán la importancia del cuidado y conservación del mundo que nos rodea.

Red conceptual

Igualdad de expresiones algebraicas

Ecuaciones de primer grado

permitendeterminar

a través de

a través de

permiten

a través

mediante

Aplicación de operaciones inversas

Valor de la incógnita

Propiedad conmutativa

Reducción de términos semejantes

Propiedad asociativa

Comprender y generalizar propiedades y relaciones numéricas



Conocen el lenguaje al- �gebraico.Escriben expresiones al- �gebraicas a partir de una situación dada.Comprenden que en las �expresiones algebraicas las incógnitas pueden asumir cualquier valor numérico.

Para introducir la 2. Actividad inicial puede conversar con sus estudiantes sobre el re-ciclaje y los beneficios de reciclar. Realice preguntas como: ¿qué significa reciclar?, ¿qué materiales se pueden reciclar?Invite a sus alumnos y alum-3. nas a elegir algunos de sus compañeros y compañeras para que dramaticen la histo-rieta de la página 94.Respondan en conjunto las 4. preguntas que se formulan en relación a la historieta para que los estudiantes a través de ellas recuerden conocimientos previos.Preste especial atención a 5. las dudas que puedan surgir durante el desarrollo de la actividad 3, pues los niños y niñas pueden realizar una mala interpretación del ejercicio, es por ello que le recomendamos que haga previamente una lec-tura aclaratoria del mismo.Oriente el resto de las activi-6. dades para que las realicen en parejas o tríos, luego realice una puesta en común con to-das las respuestas. Analice las respuestas correctas y corrija las incorrectas.


En una empresa, cada cierto tiempo se recoge papel para ser reciclado. En el mes de junio se 1. recogió papel de tres tipos: papel blanco, corrugado y mixto.

¿Cómo representarías algebraicamente la cantidad de papel que se recicló? �Si la masa de papel corrugado era el doble de la de papel blanco y esta, a su vez, era la tercera �parte de la masa de papel mixto, ¿cómo representarías la nueva condición?Si consideramos que la masa de papel blanco fue de 50 kg, ¿qué cantidad de los otros dos �tipos de papel se recogió? Ocupa las relaciones de la pregunta anterior.


Resolver problemas


Unidad 4

Para evaluar la Actividad inicial, puede entregar a los alumnos y alumnas la siguiente tabla a través de la cual podrán evaluarse unos a otros en cuanto al desempeño en el trabajo grupal:

Evaluación


Participa en el trabajo grupal

Aporta sus ideas para la realización de la actividad

Respeta las ideas de los demás compañeros y compañeras

Ayuda al compañero o compañera que lo requiera

Comparte sus resultados

Reflexión¿Qué es el lenguaje algebraico?

¿Para qué nos resulta útil el lenguaje algebraico? Con estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión que no solo le servirá para introducir esta actividad sino que hará a los estudiantes recordar contenidos estudiados en el curso anterior. Durante este intercambio puede inducir a sus estudiantes a realizar una especie de paseo por los contenido estudiados, como la utili-zación del lenguaje algebraico para expresar propiedades matemáticas, respecto a esto puede explicarles que en libros avanzados de matemática se utiliza muy a menudo el lenguaje algebraico para representar teoremas y definiciones y a través de él se construyen frases completas y si dominamos la simbología seremos capaces de comprenderlos.

Anotaciones:



Conocen el lenguaje al- �gebraico.Trabajan con expresiones �algebraicas.Sustituyen variables en �expresiones algebraicas.

Para trabajar estas páginas 2. le sugerimos la utilización de material concreto, que pue-den ser frascos de bebidas, libros, pelotas de diferentes colores, etc. La idea es que muestre a través de este ma-terial, ejemplos de términos semejantes. Si trabaja con pelotas de co-3. lores (por ejemplo 5 pelotas azules y 5 rojas), puede tomar bolsas transparentes y dentro de cada una de ellas poner pe-lotas de la siguiente manera:

Bolsa Pelotas

1 1 azul y 1 roja

2 2 rojas

3 2 azules y 2 rojas

4 1 roja

5 1 azul

6 2 azules

Una vez preparadas las bolsas 4. pregunte a los estudiantes ¿qué bolsas consideran que son semejantes? y a partir de esta pregunta puede deducir junto a ellos el concepto de término semejante. Explique que en este caso la semejanza está dada por el color de las pelotas y no por la cantidad, pues lo que se compara es el color o la combinación de colores, es decir, una bolsa que contiene 2 pelotas rojas y otra que contiene 1 pelota roja son semejantes.


Pida a sus estudiantes que señalen con colores diferentes los términos semejantes:1.

2 � x + 3y – 5x + 10 – 6y + x x � + y + z – xyz + 3x + 5y + 2z + 6xyz7 � c + 2a + 7x – x – c + 10a 4 � ab + 3bc + 15d – 2ab – bc + 5d4 – 3 � x + 2x + 5y – 2 3 � a + 2ab + 6ab – 7bx � + 6x + 2ab – b + ab – 3x + b/2 3 � x – 2x – 1 + x + 3 a � – b + c – 2d + 2a + 5b + c + 4d 7 � ab + 2 a – 4 – ab + 5a + 7m � + 25mn + n + 2m + 8n – 10 mn 4 + � x – y + 5 + 3x – 1 + 3y – 4 + y



Unidad 4

Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla con la finalidad de que evalúen el nivel de com-prensión que han conseguido de los contenidos tratados hasta el momento:

Evaluación

Indicadores

Comprendí el concepto de expresión algebraica

Identifiqué términos semejantes en una expresión

Realicé las actividades correctamente

Cumplí con los tiempos asignados para la realización de las actividades


ReflexiónRealice con sus estudiantes una

reflexión que puede partir de la pregunta: ¿qué entiendes por se-mejante? Según el diccionario de la Real Academia Española, semejante es que semeja o se parece a algo o a alguien, pero, decir que dos cosas son semejantes no significa que sean idénticas, por ejemplo, dos personas son semejantes porque tienen la misma forma, tal vez el cabello es parecido, las facciones del rostro también pueden ser similares, pero no idénticas y no por eso dejan de ser semejantes.

Errores frecuentesEs usual que al momento de

agrupar términos semejantes en expresiones como 2x + xy + 5 – x, los alumnos y alumnas consideren 2x, x y xy como términos semejantes bajo el argumento que el término xy contiene la x. Aclare que esto es un error porque los términos son se-mejantes cuando sus partes literales son idénticas y en un caso la parte literal es x y en el otro es xy.

Aclaración de conceptosLos términos de una expresión

algebraica son la combinación de números y letras o números solos, relacionados por operaciones; es decir, en la expresión 2x + x – 5 los términos son: 2x, x y 5.



Antes de dar inicio a las activi-1. dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Manejan expresiones �algebraicas y sustituyen variables en expresiones algebraicas.Comprenden el concepto �de término semejante.

Luego de estudiar los térmi-2. nos semejantes los alumnos y alumnas se encontrarán listos para operar con ellos. Para esto, puede sugerir que trabajen de manera similar a cómo se describe en el ejer-cicio resuelto de la página 98, pero en caso que lo considere necesario pueden retomar la metodología del problema de la página 96, es decir, utili-zando colores diferentes para los térmimos o de lo contrario haciendo diferentes marcas, pues de esta manera, cuan-do las expresiones a reducir contienen muchos términos se evita operar con un término más de una vez.Puede, utilizando el material 3. con que trabajó en la clase pasada, demostrar a los es-tudiantes cómo los términos semejantes pueden sumarse o restarse y los no semejantes no; para ello, puede tomar tres pelotas rojas y preguntar si es posible restarles una pelota azul. Esto evidentemente no es posible, porque no se puede restar algo que no existe. Lo mismo ocurre en las expresio-nes algebraicas.Invite a sus estudiantes a rea-4. lizar las actividades que se proponen en la página 99 y sugiérales que primero agru-pen los términos semejantes y luego operen con ellos.


Enlaza cada expresión algebraica de la izquierda con la expresión reducida de la derecha que 1. le corresponde:


2x + 3x + 5 + 10 + 32x + 5y – x – y 7xy + 10x – 3y

2xy + 3x + 5yx + 10y + 2x – 5xy – 3x + 5y 5zxy + 6yx + 8zx

8xy + 3x – yx + 7x – 3y 36x + 15 + 4y

5xyz + xy + zx + 5yx + 7xz y + x – 5 + 12 yx

5x + 3y + 5zx + 8 + y – 2x + x + 2z 4x + 4y + 5xz + 2z + 8

9xy + y + x – 5 + 3yx 2xy + 2x + 15y



Unidad 4

Para evaluar el trabajo de este contenido puede utilizar una lista de cotejo como la que se sugiere, la cual usted puede ajustar en dependencia de las necesidades del curso:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Comprende el concepto de término semejante

Identifica términos semejantes

Agrupa términos semejantes

Reduce términos semejantes

Realiza adecuadamente las actividades propuestas en la clase



Diversidad

Para enfrentarse a la reducción de términos semejantes no basta con tener claro el concepto, sino además, es necesario saber recono-cer, sin lugar a dudas, los términos semejantes dentro de una expresión algebraica. Es óptimo que, en caso de considerarlo necesario, previamente al trabajo de estas páginas, retome el tema anterior y a partir de algunas expresiones vuelva a trabajar la iden-tificación de términos semejantes, sobre todo en los casos más dudosos como son los casos donde se mezclan variables. Por ejemplo: 2xy + y – yx + 2y donde y y 2y son semejantes y 2xy y yx son semejantes. Tenga en cuenta que este último caso puede prestarse a confusión, por lo tanto, explique la propiedad conmutativa de la multiplicación: xy = yx.



Manejan expresiones �algebraicas y sustituyen variables en expresiones algebraicas.Identifican términos se- �mejantes y operan con ellos.

En la página 100 se propo-2. ne un problema resuelto a partir del cual se deduce una ecuación de primer grado. Le recomendamos que desglose las expresiones del problema para que vaya construyendo la ecuación en la pizarra con la ayuda de los estudiantes.Converse con sus estudiantes 3. sobre las balanzas de platillos, en las que para saber la masa de un objeto, este se coloca en uno de los platos, colocando en el plato contrario pequeñas pesas previamente taradas, hasta que logramos estabilizar dichos platillos, entonces sa-bemos que en ambos lados de la balanza tenemos la misma masa. Esta explicación la pue-de ir ilustrando en la pizarra y luego establecer la similitud entre la balanza y la ecuación, de modo que los alumnos y las alumnas puedan comprender el concepto de ecuación de primer grado.Indique al curso que para re-4. solver ecuaciones, pueden dibujar balanzas y así constatar que el procedimiento realizado es correcto.Pida a los alumnos y alumnas 5. que resuelvan las actividades propuestas en la página 101. Luego, invite a algunos a que pasen a la pizarra y expliquen la estrategia que utilizaron.


Da solución a los siguientes problemas mediante el planteamiento de ecuaciones lineales:1. Alejandro compró chocolates en el negocio que está cerca de su casa. Pagó con $ 1 000 y le �devolvieron $ 500. ¿Cuánto le costaron los chocolates que compró?Entre la casa de Luis y la de Andrea hay 3 km de distancia. Si Luis ya recorrió 2,5 km, ¿qué �distancia debe recorrer aún para llegar a la casa de Andrea?El toner de la impresora alcanza para imprimir 10 000 hojas. Si sabes que ha impreso 8 000, �¿cuántas más podrá imprimir?Francisca compró 2 gatos angora. Si cada gato le costó $ 40 000 y le devolvieron $ 3 750, �¿con cuánto dinero pagó su compra?


Definir concepto

Resolver problemas


Unidad 4

Evalúe a sus alumnos y alumnas pidiendo que resuelvan las siguientes ecuaciones mentalmente:

x � + 1 = 4 7 � x = 423 � x = 9 9 – � x = 2x � + 5 = 15 17 + � x = 34x � – 2 = 8 10 � x = 7005 � x – 5 = 0 2 � x = 1502 � x = 50 33 – � x = 11x � – 25 = 100 9 � x = 8116 – � x = 8 5 � x + 1 = 2625 + � x = 30 2 � x+ 5 + 3x + x – 5 = 18

Evaluación

Aplicar propiedades

Aclaración de conceptosExisten diferentes tipos de ecua-

ciones: las ecuaciones polinómicas enteras, las polinómicas racionales, las polinómicas irracionales y las no polinómicas. Las ecuaciones polinómicas enteras son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio y entre este tipo de ecuaciones se encuentran las ecuaciones lineales o de primer grado que son del tipo ax + b = 0, con a ≠ 0; o cualquier otra ecuación que al operar, trasponer términos y simplificar, adoptan esa expresión.

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Anotaciones:




Resuelven ecuaciones �sencillas basados princi-palmente en la intuición.Aplican la propiedad con- �mutativa y la asociativa para reducir términos semejantes.Aplican relaciones inversas �entre operaciones a la reso-lución de ecuaciones.

La resolución de ecuaciones es 2. uno de los temas más impor-tantes dentro del álgebra, y las ecuaciones lineales el primer paso en este conocimiento, lo cual le otorga una relevancia especial. Para trabajar estas páginas le sugerimos que se enfoque principalmente en la deducción, por parte de los estudiantes, de una metodo-logía que les resulte útil para resolver las ecuaciones. Esta metodología debe hacer espe-cial énfasis en el orden en que se debe operar, por ejemplo:

10x + 5 – 4x = 10 + xAgrupar y reducir términos semejantes en cada uno de los lados de la ecuación: 10x – 4x + 5 = 10 + x 6x + 5 = 10 + xAgrupar las incógnitas en un lado de la ecuación y los núme-ros en el otro, y volver a reducir términos semejantes:

6x + 5 = 10 + x / – x 6x – x + 5 = 10 5x + 5 = 10 / – 5 5x = 5

Despejar la incógnita:5x = 5 / : 5 x = 1

Solicite la realización de las 3. actividades de la página 103, a través de la cual, los niños y niñas podrán ejercitarse en la resolución de ecuaciones de primer grado.


Se planea construir un edificio en un terreno de forma rectangular. Durante el estudio del 1. terreno se calculó un perímetro de 300 m, con el fin de cercarlo para evitar accidentes cuando se iniciara la construcción. ¿Cuánto mide cada lado del terreno si los lados mayores son el doble de los menores?En la casa de Camila por concepto de electricidad se pagó en el mes de febrero el doble de 2. lo pagado en enero. En el mes de marzo se pagaron $ 5 000 menos que la mitad del mes de febrero. Si entre los tres meses el gasto fue de $ 65 000, ¿cuánto gastaron cada mes del primer trimestre del año?


Resolver problemas


Unidad 4

Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla con la finalidad de que autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades:

Evaluación

Indicadores

Ideé los problemas a partir de las ecuaciones entregadas

Resolví correctamente las ecuaciones

Para resolver las ecuaciones apliqué el método de las operaciones inversas

Trabajé en el tiempo indicado por el docente



Errores frecuentesLas ecuaciones donde la incógnita

está presente a ambos lados de la ecuación tienden a confundir a los estudiantes en el proceso de reso-lución. Para evitar esta confusión puede explicarles que la incógnita es un número cualquiera. Esto puede ejemplificarlo de la siguiente manera:

2x + 6 = x + 8 / – 6 2x = x + 2 / – x 2x – x = x – x + 2x = 2

Anotaciones:



Reconocen términos se- �mejantes y simplifican ex-presiones algebraicas. Resuelven ecuaciones de �primer grado con una in-cógnita.Comprueban la resolu- �ción a través de la susti-tución del valor obtenido en la ecuación.

Estas páginas están destinadas 2. a que los alumnos y alumnas trabajen las ecuaciones de primer grado encaminadas fundamentalmente a resolver situaciones de índole cotidia-no. Es por ello que la mayoría de las actividades se basan en la resolución de sencillos problemas de aplicación. Pida a un estudiante que lea 3. el enunciado y luego el pro-blema resuelto de la página 104. Resuélvalo en la pizarra manteniendo un orden estricto de los pasos y las deduccio-nes que realiza, para que los alumnos y alumnas no piérdan el hilo del desarrollo.Recuérdeles que de conside-4. rarlo necesario pueden hacer dibujos representativos para ayudarse en la deducción y el análisis.Estimule a los estudiantes 5. para que resuelvan el Desafío al ingenio de la página 105. Indique que existen problemas más complicados que otros, y esto radica en el nivel de dificultad del enunciado para ser interpretado y convertido en una ecuación. Dé un tiempo para ver cuántos estudiantes logran resolver el problema y si considera prudente ayúdelos en la interpretación.


Una lámina de acero de forma rectangular posee un lado que es el doble del otro. Si los lados 1. suman en total 120 metros, ¿cuánto mide cada lado? En un cuaderno rectangular uno de los lados es mayor que el otro en 12 cm. Si el cuaderno 2. posee un perímetro de 80 cm, ¿cuánto vale el lado mayor?Tres números impares consecutivos suman 1 509. ¿Cuáles son los números?3. Una viga de metal se cortará en tres trozos. El primer trozo tendrá una longitud igual al doble 4. de una longitud estándar. El segundo trozo medirá 9 cm más que el doble del primer trozo, mientras el tercero medirá el doble de la longitud estándar más 18 cm. Si la longitud total de la viga es de 2 127 cm, ¿cuál será la longitud de cada uno de los trozos?


Resolver problemas


Unidad 4

Indicadores L ML NR

Deduce la ecuación de primer grado a partir del enunciado

Aplica las propiedades de la multiplicación y la adición para resolver ecuaciones

Aplica las operaciones inversas

Plantea una respuesta literal al problema una vez obtenido el resultado de la ecuación


Evalúe el desempeño de sus estudiantes a través de la siguiente pauta:

Evaluación

Aplicar propiedades


Diversidad

Para los estudiantes que muestren más interés, puede mencionarles que existen muchos problemas que solicitan encontrar un número a partir de datos sobre sus cifras, por ejemplo:

Las dos cifras de un número suman 7 y si se invierte su orden se obtiene un número 9 unidades mayor que el original.

Para este tipo de problemas deben tener en cuenta el valor posicional de las cifras. Resolvámoslo:

El número tiene 2 cifras: x e y.Sus cifras suman 7: x + y = 7El número en base a su descom-

posición factorial es: 10x + ye invirtiendo el orden: 10y + x

Como al invertir el orden de las cifras se obtiene un número 9 unidades mayor, queda:

9 + 10x + y = 10y + xSustituyendo y:9 + 10x + 7 – x = 10 · (7 – x) + x 16 + 9x = 70 – 10x + x 9x + 10x – x = 70 – 16 18x = 54 x = 3

Entonces x + y = 7 para x = 3 e y = 4.

El número buscado es el 34.



Aplican la propiedad con- �mutativa y asociativa para reducir términos seme-jantes en la resolución de ecuaciones de primer grado.Aplican las relaciones �inversas adición-sus-tracción y multiplicación-división, a la resolución de ecuaciones.Resuelven ecuaciones de �primer grado.

Para introducir el tema de estas 2. páginas le recomendamos que converse con sus estudiantes sobre qué es validar. Puede explicar que validar un resul-tado es comprobar que este es correcto. Existen muchas formas de validar un resultado y estas dependen de la natura-leza de este resultado. En el caso de las ecuaciones 3. se valida sustituyendo el valor obtenido para la incógnita en la ecuación inicial y demostrando que se verifica la igualdad. Recalque que siempre la va-4. lidación se debe realizar en la ecuación inicial.Es importante que los es-5. tudiantes vean la validación como parte de la metodología de resolución de una ecuación. Para esto le recomendamos in-dicar que siempre debe quedar por escrito la comprobación, pues un resultado no validado no es un resultado confiable.Invite a sus estudiantes a rea-6. lizar las actividades que se proponen en la página 107 y recuérdeles comprobar los resultados y dejar escrito el desarrollo en sus cuadernos, por muy sencilla que conside-ren la operatoria.


Resuelve los siguiente problemas y valida tu respuesta a cada uno de ellos:1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números. �Luisa es la mayor de una familia de tres hermanos. Si Luisa tiene cuatro años más que el �hermano que le sigue, este tres más que el menor y entre los tres tienen la edad del padre que es 40 años, ¿qué edad tiene cada hermano o hermana?La suma de las edades de una familia de tres personas es 85 años. Si la madre tiene el triple �que el hijo y el padre 10 más que la madre, ¿qué edad tiene cada uno?


Resolver problemas


Unidad 4

Enlaza cada enunciado de la columna derecha con la respuesta que le corresponde en la 2. columna izquierda:

Si al doble de la edad de Francisca le sumamos 10 años obtenemos 50 años, ¿qué edad tiene Francisca?

25

La edad de Aleida es el quíntuplo de la edad de María y las dos edades suman 30 años. ¿Cuál es la edad de Aleida?

100 000

José fue a una librería y gastó $ 35 000 en tres libros, el segundo libro que eligió le costó el doble del primero y el tercero el doble del segundo. ¿Qué precio tenía el libro más caro?

20

Entre el lunes y el martes, Eva extrae de su cuenta corriente $ 150 000. Si sabes que el segundo día extrajo el doble del primer día, ¿cuánto dinero sacó el segundo día?

20 000


Errores frecuentesCuando llega el momento de

validar la solución de una ecuación, muchas veces los estudiantes tienden a utilizar algunas de las ecuaciones intermedias para hacerlo. Debe se-ñalar que esto es un error, ya que si en algún paso tras el cual se obtuvo esa ecuación se cometió algún error, no tendrán manera de corroborarlo. Es por ello que siempre se debe comprobar el resultado a través de la sustitución de la incógnita en la ecuación inicial. En caso que cuando se proceda a la sustitución en la ecuación inicial, no se cumpla la igualdad, entonces debemos revisar cada uno de los pasos que realizamos con el fin de encontrar el error.

Anotaciones:



Aplican la propiedad �conmutativa y asociati-va para reducir términos semejantes.Aplican las relaciones �inversas adición-sus-tracción y multiplicación-división, a la resolución de ecuaciones.Resuelven ecuaciones �de primer grado que im-plican las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división y validan los resultados.

Ya los estudiantes en unidades 2. anteriores se han enfrentado a las páginas de Resolución de problemas, es por ello que puede pedirles sus opiniones acerca de la metodología que se propone y pedirles que intenten idear otra metodología que sea factible, práctica y explícita para este tipo de actividad.La formulación de las ecua-3. ciones a partir de un contexto sigue siendo en muchos de los casos el paso más complejo en la resolución de un proble-ma, por lo que consideramos importante que sugiera a sus estudiantes desglosar las si-tuaciones del problema que contenga datos relevantes y que las traduzcan al lenguaje algebraico como aprendieron con las expresiones algebrai-cas. Esto les ayudará a la for-mulación de la ecuación.El último paso de la metodología 4. de resolución se refiere a la comprobación de los resultados, la cual como ya explicamos, siempre debe realizarse compro-bando que se cumple la igualdad cuando sustituimos el resultado en la ecuación inicial.


Don Remigio tiene una hermosa parcela en las afueras de la ciudad. Cuida sus árboles frutales 1. y sus viñedos con mucho esmero, para al final de cada temporada obtener gran cantidad de frutos, todos de excelente calidad. En la segunda semana recogió el doble de la primera y en la tercera semana, si hubiera recogido 10 kg más habría alcanzado el triple de lo que recogió la primera semana. Si en las primeras 3 semanas Don Remigio recogió 590 kg de frutas, ¿cuántos kilogramos recogió cada semana?Luis compra unos calcetines con la tercera parte de su dinero y un juguete con las dos terceras 2. partes de lo que le quedaba. Si al salir de la tienda tenía $ 5 000, ¿cuánto dinero tenía al entrar?


Resolver problemas


Unidad 4

ReflexiónLa importancia de estas páginas

radica fundamentalmente en la posi-bilidad de mostrar a los estudiantes aplicaciones reales de la resolución de ecuaciones. Muchas situaciones a las que nos enfrentamos de manera cotidiana pueden ser resueltas a través de ecuaciones y presentadas a los estudiantes a través de proble-mas. Puede iniciar con los alumnos y alumnas una reflexión sobre este tema realizando preguntas como: ¿qué se conoce en matemáticas como problema?, ¿para qué consideras que te puede ser útil resolver un problema en matemáticas?, ¿crees que es útil implementar una metodología para resolver un problema?

Errores frecuentesUna de las dificultades más re-

currentes de los estudiantes en relación a las ecuaciones, ocurre al momento de expresar el enun-ciado de un problema en lenguaje algebraico a través de una ecuación de primer grado. Para facilitar la labor le sugerimos proponga a los estudiantes que separen el problema en fragmentos significativos, los conviertan al lenguaje algebraico y luego los relacionen mediante una ecuación. Por ejemplo para el Problema 2 sería:

Un taxista recorrió el martes 3 km �más que el lunes: x + 3.El miércoles 2 km más que el �lunes: x + 2El jueves el doble de lo que recorrió �el martes: 2 (x + 3)Distancia recorrida en los 4 días: �136 km

Ecuación:x + (x + 3) + (x + 2) + 2(x+3) = 136

Un estudiante en un laboratorio de física construyó un circuito eléctrico colocando varios dispositivos 3. electrónicos, de forma tal que quedara dividido en tres tramos. El valor total de la intensidad de la corriente en el circuito fue de 105 mA. Luego de esta lectura, el estudiante decide medir el amperaje en los distintos tramos que conforman el circuito completo y tabuló los resultados de la siguiente manera:

Tramos (mA)

1 x

2 2x

3 3x

¿Cuál fue el amperaje en cada tramo del circuito si sabes que la suma del amperaje de los tres tramos es igual a la intensidad de la corriente total?

Resolver problemas



Conocen y han trabajado �con la herramienta Excel.Resuelven problemas con- �textualizados planteando y resolviendo ecuaciones de primer grado.

Para trabajar estas páginas 2. le sugerimos que lea con sus estudiantes el enunciado del problema y que, antes de abrir el programa Excel, analicen qué es lo que se debe hacer y de qué forma consideran que podrían encontrar la solución en caso de tener que resolver la actividad sin la ayuda del computador.Recuérdeles que aunque los 3. pasos a seguir están explici-tados en el texto, no deben realizar la actividad de manera mecánica, sino que deben ana-lizar cada uno de los pasos y saber por qué se hace de una u otra forma, pues de esta manera no solo lograrán llegar a la solución correcta del pro-blema, sino que serán capaces de adaptar la metodología a otro problemas similares.En la 4. Actividad complemen-taria se enuncia un proble-ma similar al del texto. Usted puede orientarlo a modo de estudio individual o como un complemento de la clase.Recuerde siempre a los estu-5. diantes la disciplina que deben mantener durante el trabajo con el computador.Si tiene por cada computador 6. más de un estudiante, debe procurar que todos los inte-grantes manipulen el compu-tador para evitar que algunos practiquen y otros no.


Pida a sus estudiantes que realicen la siguiente actividad utilizando la misma hoja de cálculo en la que trabajaron durante la clase.

Si el precio de 1 kW es 1. x y está condicionado por los factores D, E y F y determinado por la expresión: x = 3D + E – F + 54. Calcula el precio del kW consumido durante los meses siguientes:

Factor Enero Marzo Mayo Julio

D 50 63 21 75

E 110 96 140 190

F 100 45 150 200




Unidad 4

Para evaluar el desarrollo de la actividad le sugerimos la siguiente tabla:

Evaluación


Aplica conocimientos previos de Excel

Comprende la actividad a desarrollar

Obtiene las respuestas correctas

Encuentra alternativas para resolver problemas que surgen

Ayuda a sus compañeros y compañeras


Diversidad

Excel es una aplicación infor-mática cuyo manejo puede aún resultar un tanto complicado para algunos estudiantes. Es por esto que le recomendamos explique a sus alumnos y alumnas que Excel cuenta con una ayuda, a la cual pueden acceder pinchando con el mouse en el signo de interrogación (?) que aparece en el menú y en el que encontrará un ayudante que se abrirá sobre su documento. En él podrán escribir preguntas sobre los temas que no comprendan o sobre los que tengan dudas. El dominio del uso de esta opción, es una variante que permitirá a los estudiantes profundizar de manera autodidacta en las bondades de esta hoja de cálculo.

Anotaciones:



Identifican expresiones �algebraicas.Reconocen términos se- �mejantes y simplifican ex-presiones algebraicas. Resuelven ecuaciones de �primer grado con una in-cógnita.

En la página 112 del texto se 2. encuentra la Síntesis de la unidad que está destinada a que los estudiantes obtengan un resumen lo más completo posible de los contenidos tra-tados en la unidad y en la cual se pueden apoyar para trabajar en forma independiente. Ana-lice en conjunto cada una de las fichas propuestas.Rea l ice con los n iños y 3. niñas la Reflexión que se propone en la página 125 de esta guía, la cual puede complementar escribiendo en la pizarra un problema, como el siguiente, extraído de www.sectormatematica.cl:Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12.Divida al curso en dos grupos 4. e indique a un grupo resolverlo utilizando leguaje algebraico y al otro grupo que lo resuelva sin aplicar el lenguaje alge-braico. Revise en colectivo los resultados.En la página 113 se inicia 5. el proceso de evaluación de la unidad y para comenzar le sugerimos que lea cada uno de los ejercicios en voz alta para que sus alumnos y alumnas comprendan cada enunciado.


Completa la siguiente tabla con el valor de las expresiones algebraicas para los valores de 1. x e y que se señalan:

Expresiones x = 2; y = 4 x = 1; y = 3 x = 3; y = 1

2xy + 25

2x + 3y

x · (y + 2)

x + y/x




Unidad 4

A partir de las fichas de la 2. Síntesis de la unidad completa la siguiente red conceptual:

Ecuaciones de primer

grado

paratrabajadas mediante

como

Propiedades

Otros recursosRecomendamos visitar el sitio

web www.sectormatematica.cl donde encontrará innumerables herramientas que le ayudarán no solo a preparar su clase de una forma más amena y entretenida, sino que además podrá contar con una amplia colección de ejercicios que le servirán para trabajar en la sala de clases y ejercitar a los estudiantes con mayores dificultades en la asignatura.

Específicamente en http://www.sectormatematica.cl/media/NM1/NM1_verbales_ec_primer_grado.doc podrá descargar un documento Word que contiene 40 problemas y su respectivo solucionario, algunos de los cuales puede proponer a sus estudiantes como trabajo independiente.

ReflexiónCasi llegando al final de la unidad

puede realizar con sus estudiantes una reflexión sobre la importancia de los contenidos trabajados. Para esto puede pedirles ejemplos de situaciones que no hubieran podido resolver de no tener conocimiento sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

Resolver problemas


La figura que se muestra es el plano de un local. Calcula cada una de sus dimensiones si sabes 1. que su perímetro es de 41 m:


3x

2x2x

2x

2x

3x

x x

x x

x

x

x

5x2

Resolver problemas


Aplican la propiedad con- �mutativa y asociativa a la reducción de términos semejantes en la resolu-ción de ecuaciones de primer grado.Aplican las relaciones �inversas adición-sus-tracción y multiplicación-división, a la resolución de ecuaciones.Resuelven ecuaciones de �primer grado que impli-can las operaciones de adición, sustracción, mul-tiplicación y división.Resuelven problemas �contextualizados que im-pliquen la formulación y resolución de ecuaciones de primer grado.

Presente la actividad como una 2. evaluación formal que los es-tudiantes deberán desarrollar en forma individual. Asigne un tiempo para su realización.Entregue hojas de respuesta 3. para que alumnos y alumnas marquen en ellas las respues-tas correctas.Tras cumplirse el tiempo es-4. tipulado, retire las hojas a los estudiantes y revise en la pizarra cada uno de los ejerci-cios para que ellos corrijan en sus cuadernos las respuestas erróneas.


Para evaluar estas páginas puede utilizar la siguiente lista de evaluación del desarrollo de habilidades o en su defecto la que aparece en la página 224 de esta guía:

Evaluación

Aspectos a evaluar Puntaje ideal E B S I Puntaje de logro

Determina el valor de una expresión algebraica 20

Formula ecuaciones mediante la adecuada interpretación de un enunciado 20

Reduce términos semejantes 20

Resuelve ecuaciones de primer grado 20

Valida la solución de ecuaciones de primer grado 20

Total 100

E: excelente 100%, B: bueno 75%, S: suficiente 50%, I: insuficiente 25%

Diversidad

Al ser el tema de las ecuaciones de primer grado un contenido que los estudiantes trabajan por primera vez, es posible que en algunos de ellos persistan dudas al respecto.

Proponga a los estudiantes con dificultades en el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado que acudan, en caso de dudas, a la realización de esquemas o dibujos representativos de la situación que se les plantea y que se apoyen en ellos para desarrollar el proceso de resolución.


Unidad 4


5Unidad

Ángulos


Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Reconocen los tipos de rectas que se definen en un plano. yIdentifican rectas paralelas y perpendiculares. yEncuentran ángulos en rectas que se cortan. y

Ángulos 2 3 Nombran ángulos ocupando la nomenclatura adecuada. yIdentifican ángulos en el entorno y en figuras geométricas. y

Medición de ángulos 3 3 Definen el grado sexagesimal como la unidad de medida de los ángulos. yUtilizan el transportador para medir diversos ángulos. y

Clasificación de ángulos 4 3 Clasifican ángulos según su medida. yDeterminan relaciones entre ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas. yComparan ángulos a partir de sus medidas. y

Ángulos opuestos por el vértice 5 3 Identifican los ángulos opuestos por el vértice en dos rectas que se intersecan. yDeducen la igualdad en las medidas de los ángulos opuestos por el vértice. y

Ángulos entre paralelas 6 3 Identifican los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una recta transversal y yestablecen relaciones entre ellos.

Ángulos en un triángulo 7 3 Verifican la relación entre la medida de los ángulos interiores de un triángulo y entre los ángulos yexteriores.

Ángulos en un cuadrilátero 8 3 Determinan la relación entre los ángulos interiores y entre los ángulos exteriores de un cuadrilátero. y

Resolución de problemas 9 2 Utilizan los conceptos y procedimientos de cálculo aprendidos a lo largo de la unidad para resolver yproblemas contextualizados.

Tecnología activa 10 3 Se familiarizan con el programa Cabri II para el trabajo con ángulos y figuras planas. y


Evaluación

11 3 Realizan un repaso de los temas tratados en la unidad mediante una síntesis de ella. yAplican lo aprendido en la unidad para resolver variados ejercicios. y


Identificar ángulos en el entorno. yClasificar ángulos según su medida. yMedir ángulos. yEstablecer relaciones entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta ytransversal.Conocer la relación entre los ángulos interiores de un polígono y entre sus ángulos exteriores. y


Unidad 5

Ángulos 129



Páginas Guía

Utilización de elementos geométricos para la comunicación de algún hecho. yAnálisis de las posibles disposiciones que pueden adquirir las rectas en un plano. y

116 – 119 130 – 133 Actividad de evaluación formativa:coevaluación

Definición de ángulos y descripción de las diferentes formas de nombrarlos. yReconocimiento de ángulos en el entorno cercano. y


Definición de la unidad que permite expresar la medida de un ángulo: grado sexagesimal. yUtilización del transportador como herramienta para medir ángulos y dibujar ángulos de ymedidas específicas.


Clasificación de ángulos según su medida. yEstablecimiento de relaciones entre ángulos. y


Deducción, en dos rectas que se intersecan, de la igualdad entre las medidas de los ángulos yopuestos por el vértice basados en el conocimientos de que las medidas de los ángulos adyacentes suman 180º.


Identificación de los ocho ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas ypor una recta transversal y establecimiento de relaciones entre ellos.Aplicación de los conocimientos adquiridos para determinar las medidas de ángulos desco- ynocidos en una situación contextualizada.


Demostración de la proposición respecto a la suma de los ángulos interiores de un triángulo yy a la suma de sus ángulos exteriores.

130 – 131 144 – 145 Actividad de evaluación formativa: prueba escrita

Demostración de la proposición respecto a la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero ya partir de su posible descomposición en dos triángulos.


Aplicación de los aprendizajes adquiridos durante el desarrollo de la unidad para resolver yproblemas contextualizados.


Reconocimiento del Cabri II como una herramienta útil para el trabajo con diferentes yelementos de geometría.

136 – 137 150 – 151 Actividad de evaluación formativa:informe escrito

Utilización de los conocimientos adquiridos para la realización de actividades que relacionan ylos temas abordados en la unidad.



Relacionar la geometría con el entorno y resolver situaciones reales aplicando propiedades y relaciones geomé- ytricas. Respetar y aceptar la opinión de otros cuando participa en trabajos grupales. yValorar la aplicación de metodologías para resolver problemas. yComprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad. y



Encuentra las rectas paralelas y perpendiculares que existen en la siguiente figura:1.


Pregunte a sus estudiantes qué 1. entienden por geometría y si a través del título de la unidad son capaces de intuir de qué tratará la misma.Converse con sus estudian-2. tes sobre los lugares donde vemos ángulos, hable de la disposición de las calles, la ubicación de los edificios y casas de la ciudad. Muéstreles un mapa de la ciudad para que ellos puedan observar cómo el urbanismo tiende a formar figuras geométricas.Pida a un niño o niña que lea 3. en voz alta el texto introductorio de la página 117 e invítelo a responder las preguntas que aparecen.Solicite además, que lean el 4. recuadro ¿Puedes resolver? y respondan las preguntas que les sea posible, aplicando los conocimientos previos. Expli-que que las preguntas que no sean capaces de responder ahora podrán responderlas al finalizar la unidad.Lea en voz alta el recuadro 5. En esta unidad aprenderás a: y explique a los estudiantes para qué les servirán, en la práctica, los conocimientos que adqui-rirán durante el desarrollo de esta unidad.

E

D

C

A

B

Reconocer propiedades

Unidad 5

Ángulos 131


A través de la presente unidad los alumnos y alumnas profundi-zarán en el estudio de los ángulos, cuya definición podrán construir apoyados en conceptos básicos de geometría como punto, recta, segmento, rayo y plano.

Utilizando instrumentos que tienen a su alcance, desarrollarán habilidades que les permitirán medir los ángulos para posterior-mente realizar su clasificación.

Aprenderán que los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una recta transversal presentan relaciones especiales entre ellos y el manejo de estas les permitirán resolver diferentes situaciones.

El estudio de los ángulos inte-riores y exteriores de los polígo-nos en general y de los triángulos y cuadriláteros en particular, llevará a los alumnos y alumnas a deducir generalidades que les permitirán la comprensión de teoremas que facilitarán la re-solución de problemas contex-tualizados.

La unidad estará transversal-mente vinculada a las señales de tránsito y la educación vial.

Red conceptualÁngulos entre

paralelas

ÁngulosComprender y deducir relaciones geométricas

en el plano

a través de

deduciendo

clasificándolossegún

relacionando

en permiten

Suma de ángulos internos

Suma de ángulos externos

Polígonos

Medida en grados sexagesimales

Utilización del transportador


Dibuja un pequeño mapa del colegio, donde tengas en cuenta la ubicación de cada una de 1. las salas de clases. Utiliza en ello los instrumentos necesarios. Una vez concluido tu trabajo realiza las siguientes actividades:

Identifica con letras cada una de las rectas que conforman tu mapa. �Señala las rectas paralelas y las perpendiculares. �Dibuja de un color diferente los puntos de intersección. �Piensa en un punto dentro del colegio y describe con palabras un recorrido para que uno �de tus compañeros o compañeras intente seguirlo dibujando sobre tu mapa, de manera tal que consiga llegar al lugar que tú pensaste.



Identifican rectas parale- �las y perpendiculares.Poseen nociones del con- �cepto de ángulo y punto de intersección.

Lea en voz alta la introducción 2. de la Actividad inicial y pida a sus estudiantes que, de forma oral, respondan la pregunta que se plantea y dibujen en la pizarra las señales que ellos encuentran.Pida a un alumno y a una 3. alumna que lean en voz alta los diálogos de la historieta, encarnando a cada uno de los personajes.Invite a sus estudiantes a for-4. mar grupos y a responder las preguntas. Dé un tiempo pru-dente para que las realicen.Revise en la pizarra las activi-5. dades, para ello dibuje el mapa y pida a sus estudiantes que vayan respondiendo en voz alta las preguntas mientras usted escribe las respuestas correctas y corrige los errores que hayan podido tener.Converse con sus estudiantes 6. abordando el tema sugerido en la Reflexión, con el objetivo que ellos vean la importancia de los contenidos que se tratan en estas páginas. Puede, además, conversar sobre la estabilidad que aportan a las construc-ciones la utilización de rectas paralelas y perpendiculares, de ahí su gran aplicación en la arquitectura.Invite a niños y niñas a realizar 7. la Actividad complementaria que se sugiere en esta guía, pídales que trabajen con ins-trumentos, y si lo desean, con medidas más o menos propor-cionales a las reales.


Visualizar espacialmente

Unidad 5

Ángulos 133

Entregue a alumnos y alumnas los siguientes indicadores para que se evalúen unos a otros en el desarrollo de las actividades de estas páginas:

Evaluación


Identifica rectas paralelas y perpendiculares

Encuentra puntos de intersección


Utiliza adecuadamente los instrumentos

Trabaja limpia y ordenadamente

Mantiene una actitud positiva a la hora de confeccionar el trabajo grupal

Identificar y clasificar relaciones

ReflexiónConverse con alumnos y alumnas

sobre la utilidad de identificar cuándo dos rectas son perpendiculares o paralelas. Explique que no solo son importantes para la geometría y las matemáticas, sino también para poder orientarse en la ciudad o dar instrucciones a otra persona para llegar a algún sitio.

Comente que tal vez en alguna ocasión han tenido que hacer un pequeño mapa a algún amigo o amiga para que pueda visitarlos, y para esto, seguramente, han apli-cado no solo estos conceptos sino que han tenido que saber dibujar estas rectas.

Errores frecuentesMuchas veces los estudiantes,

gracias a sus conocimientos previos, pueden identificar dos rectas para-lelas o perpendiculares, pero en el instante en que mezclamos varias de estas rectas para formar una composición, se equivocan. Puede recomendarles a niños y niñas que cuando se enfrenten a una composi-ción de rectas, para evitar confusión, pueden nombrarlas utilizando letras, de esta manera las podrán comparar unas con otras sin repetir la operación innecesariamente.


Nombra cuatro ángulos que encuentres en cada una de las siguientes figuras:1.

� �



Conocen las rectas para- �lelas y perpendiculares.Poseen nociones del con- �cepto de ángulo.Identifican los ángulos �rectos como parte de un cuadrilátero.

Pida a un estudiante que lea 2. en voz alta el Enlace con… y coménteles la importancia de respetar la señales del tránsito, pues respetándolas, no solo cuidamos al resto de las per-sonas sino que nos cuidamos a nosotros mismos.Lea en voz alta el enunciado del 3. problema resuelto de la página 120, analícelo en conjunto con sus estudiantes y pregúnteles si se les ocurre alguna otra forma de describir la situación de Catalina.Invite a un estudiante a que lea 4. en voz alta el cuadro de conteni-do y pida al resto del curso que lo escriba en sus cuadernos, no textualmente sino usando sus propias palabras.Invite a alumnos y alumnas a 5. realizar los Ejercicios indivi-duales, dé un tiempo suficiente para esto, y luego, revise cada uno de ellos en la pizarra para detectar errores.


A

BC

D

AB

C

D

EF


Unidad 5

Ángulos 135

Se sugiere la siguiente lista de cotejo a través de la cual usted puede evaluar el desempeño de sus estudiantes durante la realización de las actividades:

Evaluación


Comprende la importancia de nombrar correctamente los ángulos

Nombra los ángulos de las tres formas enseñadas

Identifica ángulos

Trabaja en forma ordenada

Cumple con los tiempos asignados para realizar el trabajo


Identificar regularidades

Diversidad

Puede que algunos estudiantes no recuerden qué son los ángulos. Para esto le recomendamos que antes de comenzar la clase muestre a sus alumnos y alumnas algunas figuras geométricas y pida que señalen sus partes hasta llegar a los ángulos. Puede mostrar a niños y niñas un compás y demostrar, abriendo y cerrando el mismo, como varía el ángulo, de manera que ellos logren asociar el ángulo con su medida o amplitud.

Errores frecuentesMuchas veces los estudiantes a la

hora de señalar un ángulo, cometen el error de marcar solo los rayos que lo componen, pues conciben el ángulo como dos rectas que se intersecan y no como la abertura entre ellas. Para corregir este error, puede dibujar figuras en la pizarra y hacer énfasis en la forma de señalar los ángulos mediante una línea curva que va de un rayo a otro, coloreando la zona que corresponde a la abertura incluyendo los rayos que la delimitan.



Utilizando el transportador mide los ángulos que se muestran a continuación:1. � � �

Dibuja ángulos de las siguientes medidas:2.

Pida a sus estudiantes que midan los ángulos sombreados que aparecen en la página 197 3. de esta guía y luego determinen la medida de los ángulos determinados por el horario y el minutero en cada uno de los relojes de la página 198 de esta guía.



Manejan el concepto de �ángulo.Nombran ángulos de tres �formas diferentes.Identifican rectas perpen- �diculares y paralelas.Conocen los ángulos �rectos.

Como introducción a la clase 2. aborde con sus estudiantes el tema que se sugiere en la Reflexión, preguntando si se les ocurren otras razones por las que puede ser importante saber medir ángulos.Dibuje en la pizarra un ángulo 3. y pida que sus estudiantes lo dibujen en sus cuadernos si-guiendo los pasos descritos en el texto.Lea el cuadro de contenido y 4. explique a niños y niñas, qué es el sistema sexagesimal. Para esto se puede auxiliar de la Aclaración de conceptos que se presenta en la página 137 de la guía.Para que niños y niñas puedan 5. comprender mejor el sistema sexagesimal puede basar su explicación en la medición del tiempo, comparándolo con el sistema decimal en la medi-ción de distancia, donde en el primero, 60 unidades de un orden equivalen a 1 unidad del orden inmediatamente superior (60 s = 1 min y 60 min = 1 h). En el caso de la segunda, la base es 10 por lo que para pa-sar a un orden superior habría que establecer la relación con algunas de las potencias de 10 (10 mm = 1 cm, 10 cm = 1 dm, 10 dm = 1 m).


20° � 35° � 100° �


Unidad 5

Ángulos 137

Evalúe el desempeño de los estudiantes a través de la siguiente lista de cotejo:

Evaluación


Identifica ángulos en un plano

Identifica el grado sexagesimal como unidad de medida de ángulos

Mide ángulos ocupando el transportador

Construye ángulos ocupando regla y transportador

Realiza correctamente las actividades propuestas


Medir


ReflexiónExplique a sus estudiantes la impor-

tancia de la medición de ángulos. Un ángulo mal calculado puede ocasionar una catástrofe.

En Italia existe un campanario conocido como la Torre inclinada de Pisa, que debe su fama justamente a la variación, a lo largo de los años, del ángulo que forma la torre con la superficie de la Tierra. Comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La altura de la torre es de 55,7 a 55,8 metros desde la base, su masa se estima en 14 700 toneladas y su inclinación actual es de 5,5° exten-diéndose 4,5 m de la vertical.

Aclaración de conceptosEl sistema sexagesimal es un

sistema de numeración que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia y fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad del orden superior.


Completa la siguiente tabla con los ángulos complementarios y suplementarios:1.

Ángulos Ángulo complementario Ángulo suplementario

70°

35°

10°

110°

5,3°



Conocen el concepto de �ángulo.Conocen los ángulos �rectos.Saben medir ángulos �utilizando un transpor-tador.

Lea en voz alta el problema 2. resuelto que se propone en el texto y analice con sus estu-diantes el cuadro de contenido que aparece a continuación.Los estudiantes ya conocen 3. las amplitudes de los ángulos, por lo tanto, recalque el rango de medidas a que corresponde cada clasificación, para que niños y niñas comiencen a in-corporar estos términos a su vocabulario.Pida a niños y niñas que lean 4. los recuadros Pista. Explí-queles los términos cóncavo (superficie que asemeja el in-terior de una circunferencia o esfera) y convexo (superficie que asemeja el exterior de una circunferencia o esfera) y apli-que ambas definiciones a los ángulos apoyándose en dibujos en la pizarra.Lea a sus estudiantes el cuadro 5. de contenido de la página 125 y compleméntelo auxiliándose de la Aclaración de conceptos ex-puesta en la página 139 de esta guía. Tenga en cuenta que para niños y niñas pueden parecer muy similares los conceptos de ángulos complementarios y ángulos adyacentes, por lo cual es importante esclarecer las diferencias para que los es-tudiantes los puedan identificar sin lugar a dudas.


Aplicar propiedades


Unidad 5

Ángulos 139

Dibuja en tu cuaderno cada uno de los ángulos que se encuentran en la tabla. �Dibuja sus ángulos complementarios y suplementarios. �Clasifica cada uno de los ángulos. �Nombra cada uno de los ángulos de cada una de las tres formas que conoces. �Señala cuáles ángulos son cóncavos y cuáles son convexos. �

Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):2. � El complemento del complemento de a es a. � El complemento de a es 180 – a. � El suplemento del complemento de a es 90 + a. � El suplemento de a es 180 – a.

Aplicar propiedades

Clasificar

Diversidad

Ejercite el contenido de la medición de ángulos con los estudiantes que menos interés demuestren por la asignatura. Pídales que midan ángulos agudos, rectos, obtusos, extendidos y completos, y luego los comparen entre sí. Explíqueles que con la práctica conseguirán clasificar un ángulo y estimar su medida sin necesidad de medirlo directamente.

Aclaración de conceptosÁngulos adyacentes: son aquellos ángulos que son consecutivos y cuyos lados no comunes pertenecen a la misma recta.Ángulos suplementarios: la suma de sus valores es un ángulo de 180°. Si conocemos la medida de un ángulo a podemos calcular la medida del ángulo que será su suplementario b, mediante: b = 180 – a.

Anotaciones:



Manejan la clasificación �de ángulos, según su medida en el sistema sexagesimal.Manejan los conceptos �de paralelismo y perpen-dicularidad.Conocen conceptos como �ángulo adyacente, com-plementario y suplemen-tario.

Lea en conjunto con el curso la 2. explicación que aparece en la página 126 del texto y a medida que progresa en la explicación realice los dibujos en la pizarra para facilitar la comprensión de los estudiantes. Es importante recalcar que 3. cuando dos o más rectas se cortan en un punto, los ángulos que se forman suman 360º. Refiriéndose a esto dibuje una 4. circunferencia en la pizarra y sobre ella dibuje dos rectas que se cruzan en el centro, de este modo los estudiantes verán que la suma equivale a 360º. Del mismo modo puede ir aña-5. diendo rectas, lo que devendrá en que mientras más rectas se intersequen en el mismo punto la medida de cada án-gulo formado será menor pero invariablemente la suma de sus medidas será igual a 360º.Pida a un estudiante que lea 6. el cuadro de contenido de la página 126 del texto y luego invite a algunos estudiantes a señalar en el dibujo de la pizarra los ángulos opuestos por el vértice mientras explican cómo los identificaron.Solicite la resolución de las 7. actividades de la página 127 para luego revisarlas en con-junto.


Proponga a sus estudiantes las siguientes afirmaciones para que determinen si son verdaderas (V) 1. o falsas (F), justificando en el caso de las falsas:

� Dos ángulos opuestos por el vértice pueden medir cada uno 90°. � Dos ángulos opuestos por el vértice deben medir siempre lo mismo, independiente

del ángulo adyacente que tenga cada uno. � Dos ángulos opuestos por el vértice y sus respectivos ángulos adyacentes no formarán

nunca un ángulo de 360°, en total. � Si tres rectas se cruzan y forman 3 pares de ángulos opuestos por el vértice, entonces

ninguno de ellos puede ser mayor que 60°.


Unidad 5

Ángulos 141

Para evaluar el contenido trabajado en estas páginas, muestre a sus estudiante la figura que se encuentra al costado para que, a partir de ella, determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

� <1 = <5 = <8 = <4 � <2 = <7 � <2 + <3 + <4 = <6 + <7 + <8 � <8 + <7 + <6 + <5 = <8 + <1 + <2 + <3 � <2 + <3 = 90º

Evaluación

A

B

C

D

E

Reconocer propiedades

1

5

3

7

2

6

4

8

Aclaración de conceptosSi dos rectas se cortan entre sí,

los ángulos opuestos por el vértice que se forman son iguales.

Demostración: puesto que AEB es una recta, los ángulos AEC y CEB suman dos ángulos rectos. Lo mismo puede decirse de CEB y BED. Ahora bien, como todos los ángulos rectos son iguales, nos da que AEC + CEB = CEB + BED. Entonces, restando el ángulo CEB de ambos miembros se concluye que los ángulos opuestos por el vértice AEC y BED son iguales, como se había afirmado:

Anotaciones:



Determina la medida de los ángulos señalados si sabes que L1. 1 // L2 y L3 // L4:


Antes de iniciar la clase, com-1. pruebe que sus estudiantes:

Conocen el concepto de �ángulo.Conocen el concepto de �rectas paralelas y perpen-diculares.Clasifican los ángulos �según su medida.Miden ángulos. �

Pida a un alumno o alumna 2. que lea en voz alta el problema resuelto de la página 128.Dibuje en la pizarra un esque-3. ma similar al del texto, dos rectas paralelas cortadas por una transversal.Analice el dibujo de la pizarra 4. a partir del cuadro de conteni-do. Trate los pares de ángulos congruentes de manera inde-pendiente, pues cuando tenga todos colocados en el mismo esquema los estudiantes pue-den confundirse.Pida a los estudiantes que 5. realicen el esquema en sus cuadernos y cada vez que con-cluyan que dos ángulos son congruentes, lo comprueben con el transportador.Pida a sus estudiantes realizar de 6. forma independiente el ejercicio de la página 129 e invítelos a, una vez determinada la medida de los ángulos señalados, encontrar la medida de algunos de los otros ángulos existentes, siempre que sea posible, recordando la existencia de los ángulos ad-yacentes.Converse con sus alumnos 7. y alumnas que el problema sugerido en la página 129 es un ejemplo de la aplicación en la vida cotidiana, de conocer la relación que existe en los ángulos que se encuentran entre líneas paralelas cortadas por una transversal.


30°

70°

45°

?

?

?

L2

L1

L3 L4

Aplicar propiedades

Unidad 5

Ángulos 143

Para conocer los aprendizajes que adquirieron sus estudiantes durante el desarrollo de estas páginas puede utilizar el ejercicio que se propone como Actividad complementaria y analizar el desempeño de cada niño y niña mediante una lista de cotejo similar a la que se propone a continuación:

Evaluación


Identifica rectas paralelas y perpendiculares

Identifica recta transversal

Establece correctamente la relación entre los ángulos

Resuelve correctamente la actividad

Cumple con el tiempo asignado para realizar el trabajo

Aplicar propiedades

Otros recursosEn el sitio web http://www.

matematicas.net encontrará una interesante página sobre el universo de las matemáticas, de la cual podrá extraer información útil e interesante para estimular a alumnas y alumnos en el desarrollo de los diferentes temas de la unidad.

Errores frecuentesLos estudiantes suelen confundirse

con la medida de los ángulos y no pueden percibir que la suma de todos los ángulos que se forman de la intersección de dos o varias rectas suman 360°. Para reforzar esto, puede explicar los siguientes ejemplos en cada uno de los cuales los ángulos suman 360°:

a

a = 360°

ab

χd

a + b + χ + d = 360°

a bχe

φ

da + b + χ + d + e + φ = 360°




Identifican los ángulos �interiores y exteriores de triángulos y cuadri-láteros.Miden ángulos con el �transportador y los clasifi-can según esta medida.

Converse con sus estudiantes 2. el tema tratado en el Enlace con…, ello le servirá para in-troducir el tema del problema resuelto de la página 130.Lea en voz alta el problema 3. resuelto y dibuje en la pizarra el triángulo que aparece. Los estudiantes conocen, 4. de cursos anteriores, figuras geométricas planas, por lo tanto, puede invitar a algunos niños y niñas a la pizarra a señalar los lados, vértices y ángulos del triángulo.Explique a alumnos y alumnas 5. que los triángulos tienen ángu-los interiores (seguramente los que ellos señalaron) y ángulos exteriores. Muestre a sus estudiantes cómo 6. delimitar los ángulos exteriores de un triángulo y continúe la lectura del problema. Es importante que los estu-7. diantes entiendan la demos-tración que se explica en estas páginas, para que comprendan por qué se afirma que los án-gulos interiores de un triángu-lo suman 180º y por qué los exteriores suman 360º. Para esto le sugerimos que, pese a que la explicación se encuentra descrita en el texto, analice los pasos seguidos y realice la demostración de manera detallada en la pizarra.


Dados los siguiente pares de ángulos interiores de un triángulo, calcula cuánto debe medir el 1. tercero para que sea posible construir un triángulo con ellos:

30° y 45° y � 170° y 90° y � 10° y 78° y � 90 y 270° y �

Calcula la medida de los ángulos que faltan:2.


90°

30°

65°60°

90°

x y

Aplicar propiedades

Unidad 5

Ángulos 145

A modo de prueba escrita pida a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades:

Calcula la medida de los ángulos � x e y. La siguiente figura está formada por dos cuadrados. Calcula la �medida de los ángulos de los triángulos rojos.

Evaluación

25°15°

x

y

Aplicar propiedades

Otros recursosEn la página web http://www.

luventicus.org/articulos/03N014/index.html encontrará la demostra-ción del enunciado geométrico que expresa que en todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes, a partir de lo cual se puede demostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Diversidad

Puede que algunos estudiantes no asimilen correctamente la relación entre los ángulos interiores y entre los ángulos exteriores de un triángulo.

Para reforzar estos conocimientos imprescindibles para el trabajo de estas páginas, puede apoyarse en el sitio web que se recomienda en Otros recursos. En este sitio no solo encontrará la demostración, sino que los estudiantes pueden, utilizando el ratón del computador, cambiar la medida de uno de los ángulos y observar cómo varía la medida de los restantes.


Dibuja un cuadrilátero cualquiera en tu cuaderno y realiza las siguientes actividades:1. Señala los lados y nombra los vértices del cuadrilátero. �Señala los ángulos interiores y exteriores del cuadrilátero con diferentes colores. �Completa la siguiente tabla nombrando los ángulos interiores y exteriores del cuadrilátero �según tu elección, escribiendo la medida de cada uno de ellos y su suma:

Ángulo interior Medida Suma Ángulo exterior Medida Suma



Identifican cuadriláteros. �Reconocen ángulos inte- �riores y exteriores de un triángulo.Identifican lados, ángulos �y vértices en triángulos y cuadriláteros.

Invite a un alumno o alumna 2. a leer en voz alta el enunciado que se propone en la página 132 y el cuadro de contenido.Pida a sus estudiantes que 3. digan lo que entienden por cuadrilátero y que lo escri-ban en sus cuadernos. Aclare que la idea no es que copien el concepto textualmente, sino que una vez que lo lean y lo comprendan, sean capaces de definirlo con sus palabras.Lea en voz alta la clasificación 4. de los cuadriláteros y ponga un ejemplo de cada uno en la pizarra, luego pida a sus estudiantes que dibujen otros cuadriláteros diferentes a los que usted dibujó y que co-rrespondan a cada una de las clasificaciones anteriores.Analice las demostraciones 5. que aparecen descritas en el texto y explique paso a paso cada una de ellas. Recalque que en estas demostraciones se evidencia la importancia de conocer la relación de medida que existe entre los ángulos que se forman cuando una transversal corta dos rectas paralelas.


Unidad 5

Ángulos 147

Puede evaluar la comprensión de estas páginas a través de una prueba escrita, para lo cual le sugerimos la siguiente escala de calificación:

Evaluación

Aspectos a evaluarPuntaje

idealE B S I

Puntaje de logro

Menciona los principales elementos de un cuadrilátero 30

Identifica los ángulos exteriores e interiores en figuras planas 20

Mide correctamente la amplitud de los ángulos 20

Conoce la relación entre los ángulos de un cuadrilátero y a partir de ella es capaz de calcular la medida de un ángulo

30

Total 100

Aplicar propiedades

Diversidad

Identificar los ángulos interiores de una figura plana puede ser una actividad sencilla, pero es posible que algunos estudiantes aún presenten dificultades en la identificación de los ángulos exteriores.

Para reforzar este tema le suge-rimos que pida a niños y niñas que utilizando tres lápices formen un triángulo, uniendo los lápices entre sí con elásticos. Una vez terminado, quedarán perfectamente delimi-tados los ángulos exteriores y de esta manera esos ángulos dejarán de ser solo unas líneas en el papel para convertirse en algo que ellos puedan tocar.

Anotaciones: E: excelente 100%, B: bueno 75%, S: suficiente 50%, I: insuficiente 25%



Clasifican ángulos según �su medida en el sistema sexagesimal.Manejan algunos concep- �tos como paralelismo y perpendicularidad.Conocen conceptos como �ángulo adyacente, ángulo complementario y ángulo suplementario.Conocen los ángulos �opuestos por el vértice.

Reflexione con sus estudiantes 2. sobre lo que se sugiere en la página 149 de esta guía, para que tengan en cuenta las razo-nes por las cuales es importante plantearse una metodología para resolver problemas de cualquier tipo.Lea en voz alta el enunciado del 3. Problema modelo y resuélva-lo en la pizarra siguiendo los pasos y explicando cada uno de ellos.Señale a los niños y niñas que 4. se fijen cómo en la parte c) se desarrolla todo el análisis de resolución a partir del cual se llega a las respuestas a las interrogantes que plantea el problema, y cómo en la parte d) se redacta una respuesta literal a cada pregunta.Invite a los estudiantes a re-5. solver los problemas que se proponen en la página 135 del texto, cuya resolución puede ser enfocada como prepara-ción para una prueba formal.Una vez concluida la actividad 6. seleccione a diferentes estu-diantes para que pasen a la pizarra y desarrollen cada uno de los pasos. Es importante que cada estudiante sea capaz de explicar la etapa que le tocó realizar.


Utilizando un compás dibuja dos circunferencias que se corten en dos puntos y dibuja un 1. triángulo uniendo los dos puntos de intersección y el centro de alguna de las circunferencias. ¿Qué tipo de triángulo has dibujado? ¿Qué garantiza el hecho de que el triángulo haya sido construido a partir de las circunferencias?Identifica en el siguiente dibujo los elementos que se indican: 2.

Un par de ángulos opuestos por el vértice. �Un par de ángulos correspondientes entre paralelas. �Un par de ángulos alternos internos entre paralelas. �Un par de ángulos alternos externos entre paralelas. �Un ángulo agudo. �


L1

L1 // L2

L2

A

B C

D E


Unidad 5

Ángulos 149

ReflexiónConverse con sus estudiantes

sobre la Resolución de problemas. Explique que los problemas son una demostración de las aplicaciones prácticas de los contenidos trabaja-dos en la unidad y que, a través de ellos, pueden ejercitar la manera de resolver situaciones cotidianas que les puedan surgir.

En la resolución de los problemas es importante seguir una secuencia lógica en el análisis, por lo que es imprescindible diseñar un algoritmo coherente para resolverlo.

En estas páginas se entrega una metodología para que la actividad se realice en forma ordenada, de modo que en caso de cometer un error, sea más sencillo y rápido determinar en qué momento lo cometieron.

Para evaluar el desempeño de sus estudiantes durante el desarrollo de la resolución de los problemas, le sugerimos la siguiente lista de cotejo:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Identifica las rectas paralelas

Identifica las rectas perpendiculares

Nombra los polígonos

Calcula la medida de los ángulos

Clasifica los ángulos


Resolver problemas



Identifican ángulos y los �clasifican.Conocen las caracterís- �ticas de los ángulos in-teriores y extreriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular.Han trabajado con el pro- �grama Cabri II.

Ya en el curso anterior los 2. estudiantes incursionaron en el manejo del Cabri II asocia-do a los temas geométricos estudiados. Podría ser útil, para rescatar conocimientos previos, que realice preguntas que permitan que los propios estudiantes con sus respues-tas realicen una introducción a la clase, por ejemplo: ¿qué es el Cabri II?, ¿para qué lo han utilizado?, ¿lo han explorado más allá de lo indicado en clases?, ¿qué otra utilidades han descubierto?Oriente la realización de la 3. actividad que se detalla paso a paso en la página 136 del texto. Revise los resultados obte-4. nidos por los estudiantes y corrija los errores o impre-cisiones.Pida al curso que realice las 5. actividades que se proponen al final de la página 137 y luego las que aparecen como Acti-vidad complementaria.


Para profundizar en el trabajo con el Cabri II le sugerimos que proponga a los estudiantes que realicen las siguientes actividades.

Dibuja en el Cabri II un rectángulo y un cuadrado y con ellos realiza lo siguiente:1. Determina la medida de los ángulos interiores. �Determina las medidas de los ángulos exteriores. �Corrobora realizando el cálculo manual que la suma de los ángulos interiores y la suma de �los ángulos exteriores son, en cada caso, las que corresponden.

Dibuja en el Cabri II un hexágono y un heptágono y con ellos realiza lo siguiente:2. Extiende los lados de ambas figuras. �Determina la medida de los ángulos interiores. �Determina las medidas de los ángulos exteriores. �



Unidad 5

Ángulos 151

Utilizando las herramientas necesarias dibuja un decágono según las instrucciones, luego intenta encontrar la manera de hacerlo 3. a través de Cabri II, recuerda que puedes auxiliarte de la ayuda del Cabri II:

Traza un segmento � AB.Traza una recta perpendicular a � AB y que pase por B.Con centro B y amplitud � AB traza un arco que corte la perpendicular. Llama a la intersección N.Traza una recta perpendicular a � AB y que pase por su punto medio M.Prolonga el segmento � AB por su extremo derecho.Con centro M y amplitud � MN marca un punto P en la prolongación del segmento AB.Con centro A y amplitud � AP marca un punto O en la recta que trazaste en el cuarto punto.Con centro O y amplitud � OA traza la circunferencia en la que estará inscrito el polígono.Marca utilizando el compás con amplitud � AB alrededor de toda la circunferencia. Luego une los puntos obtenidos y tendrás el decágono regular.


Otros recursosCabri II plus es una aplicación

informática diseñada para trabajar geometría a todos los niveles edu-cacionales, pues se puede adaptar a cualquier nivel. Con ella se puede trabajar desde la geometría más elemental y sencilla hasta la más compleja. En el sitio http://www.cabri.com/es/descargar-cabri-2-plus.html se puede descargar una versión de prueba, válida por 30 días y que le servirá para trabajar con sus alumnos y alumnas estos contenidos. También puede orientar actividades para que los estudiantes las realicen en Cabri II, pues ya en el curso anterior realizaron actividades introductorias utilizando esta aplicación.



Identifican ángulos y los �clasifican.Reconocen las congruen- �cias que existen entre los diferentes ángulos que se forman en rectas pa-ralelas cortadas por una transversal.Conocen las caracterís- �ticas de los ángulos in-teriores y exteriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular.

El trabajo de estas páginas 2. se inicia con la Síntesis de la unidad en la cual, mediante fi-chas, se encuentran resumidos los aspectos más importantes estudiados en la unidad. Pida a sus estudiantes que analicen cada una de las fichas y anoten con lápiz en cada una de ellas los elementos que, según su consideración, quedaron sin mencionar. Recalque que esta síntesis les facilitará el estudio individual.Luego de terminado el traba-3. jo con la síntesis explique al curso que en la página 139 del texto se inicia el proceso evaluativo, en el cual, mediante la resolución de ejercicios que abarcan todo el contenido de la unidad, podrán tener noción de las debilidades y fortalezas de cada uno y que, posterior-mente, podrán utilizarlos como un modelo para ejercitar los temas estudiados.


Pida a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades:En la siguiente figura nombra cada uno de los ángulos 1. que se forman, clasifícalos según su amplitud y detalla las relaciones que existen entre ellos sabiendo que L1 // L2:

Utilizando los instrumentos necesarios dibuja lo siguiente:2. Un par de rectas perpendiculares. �Un par de rectas paralelas. �Un ángulo de 65º, uno de 190º y otro de 31º. �



L2

L1

A

C

B

D

FG

HE


Unidad 5

Ángulos 153

Determina los ángulos desconocidos:3. � � �

x = y =

x = y =

x = y =

60°

48°

xy 70°

130°

x

y

60°

70°

40°x

y

Diversidad

Para los estudiantes que tengan dificultad en esta unidad le reco-mendamos que oriente actividades adicionales que cubran el contenido estudiado para que trabajen en forma individual y, de esta manera, puedan ejercitar. Para ello puede utilizar los ejercicios que le sugerimos en la Actividad complementaria y adicionar algunos de su propia creación.

Anotaciones:




Identifican ángulos y los �clasifican.Reconocen las congruen- �cias que existen entre los diferentes ángulos que se forman en rectas pa-ralelas cortadas por una transversal.Conocen las caracterís- �ticas de los ángulos in-teriores y exteriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular.

Explique a sus estudiantes que 2. en estas páginas se presentan ejercicios asociados a todos los contenidos vistos a lo largo de la unidad.Estas páginas las puede pre-3. sentar como una evaluación individual. Para esto, asigne un tiempo que usted considere adecuado y entregue hojas de respuestas para los Ejercicios con alternativas.Luego de cumplido el tiempo 4. retire las hojas de respuestas y revise colectivamente. Detén-gase a aclarar las preguntas en las que haya detectado mayor dificultad.


Invite a sus estudiantes a encontrar en la sopa de letras las figuras y ele-1. mentos geométricos que se describen:

Figura plana, cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos no �alineados.Polígono de 6 lados. �Polígono de 3 lados. �Segmento de recta que une vértices no consecutivos de un polígono. �Triángulo de lados iguales. �Triángulo con un ángulo recto. �


G D G U B H Y L T ER Q C B Y E O D R QG J D K L X G I I UA W R G N A K A A IB Z B K J G J G N LP O L I G O N O G AV M Ñ I Y N I N U TQ G L U F O J A L EZ E R V K D Ñ L O RR E C T A N G U L O


Aplicar propiedades

Unidad 5

Ángulos 155

Evaluación

Para evaluar estas páginas puede utilizar la siguiente lista de evaluación del desarrollo de habilidades:

Aspectos a evaluar Puntaje ideal E B S I Puntaje de logro

Identifica los elementos geométricos 20

Clasifica los ángulos según su medida 20

Identifica los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal

20

Maneja la relación entre los ángulos interiores de los polígonos 20

Maneja la relación entre los ángulos exteriores de los polígonos 20

Total 100

ReflexiónConverse con sus estudiantes

acerca de la actividad que van a realizar, la cual está encaminada a que alumnos y alumnas trabajen los contenido geométricos estudiados y comprueben el nivel de comprensión de los temas estudiados a lo largo de la unidad.

E: excelente 100%B: bueno 75%S: suficiente 50%I: insuficiente 25%

Anotaciones:

156


Entrada de unidad

Actividad inicial

1 3 Organizan e interpretan datos. yInterpretan información expresada en gráficos circulares. y

Media aritmética

Mediana

Moda

2 5 Determinan medidas de tendencia central de un conjunto de datos. yAnalizan información a partir de las medidas de tendencia central de colecciones de datos extraídos de ysituaciones reales.

Lectura de gráficos circulares

Construcción de gráficos circulares

3 4 Interpretan información expresada en gráficos circulares. yConstruyen gráficos circulares. yRepresentan información porcentual en gráficos circulares. y

Experimentos aleatorios 4 3 Identifican experimentos aleatorios. yDeterminan los posibles resultados de un experimento aleatorio. y

Resultados de un experimento aleatorio

5 4 Realizan experimentos aleatorios. yDeterminan el espacio muestral de un experimento aleatorio. yDefinen sucesos o eventos de un experimento aleatorio. y

Estimación de la probabilidad de un suceso

6 3 Determinan la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio. yEstablecen relación entre el cálculo de probabilidades y los conocimientos previos relacionados con las yfracciones y las razones.


Tecnología activa 8 2 Utilizan herramientas tecnológicas para determinar medidas de tendencia central y para construir ygráficos de barras.


Evaluación



Identificar datos relevantes dentro de un conjunto de datos reales. yDeterminar medidas de tendencia central de una colección de datos. yConstruir e interpretar gráficos circulares. yDescribir diversos experimentos aleatorios y analizar sus resultados. yDeterminar la probabilidad de ocurrencia de un suceso. y

6Unidad

Información y azar



Información y azar 157

Unidad 6



Páginas Guía

Interpretación de información real y recolección de datos. yComparación de información representada en gráficos circulares. y


Cálculo de la media aritmética a un conjunto de datos y aplicación del procedimiento a ysituaciones escolares que los involucran.Determinación de la moda y de la mediana de un conjunto de datos. y


Aplicación de conocimientos geométricos en el trabajo estadístico. yComparación de información mediante la interpretación de gráficos circulares. yConstrucción de gráficos circulares utilizando las herramientas necesarias. y


Definición de experimento aleatorio. yAnálisis de experimentos aleatorios sencillos para determinar los eventos posibles. y


Definición de espacio muestral. yDeterminación del número de elementos que componen el espacio muestral de un expe- yrimento aleatorio.Realización de experimentos aleatorios y determinación de la razón entre el número de veces yque se obtiene un resultado y el número de veces que se realizó el experimento.

158 – 159 174 – 175 Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y coevaluación

Determinación de la probabilidad de un suceso. yConstatación del cálculo probabilístico a través de la realización reiterada del experimento yen cuestión.


Planteamiento y resolución de problemas contextualizados. y 162 – 163 178 – 179 Actividad de evaluación formativa

Implementación de metodología para realizar cálculos estadísticos y para construir gráficos ycirculares usando Excel.



166 – 169 182 – 185 Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita


Valorar los métodos estadísticos como una herramienta para el análisis y comprensión de diversos fenómenos. yValorar el estudio de las probabilidades como una herramienta predictiva. yCompartir e intercambiar para aprender de las ideas de nuestros compañeros y compañeras. yValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. yConocer los derechos de los niños y las niñas. y


Explique a sus estudiantes que 1. el tema transversal de la uni-dad consiste en los derechos de los niños y las niñas. Puede iniciar una reflexión 2. con los alumnos y alumnas, y partiendo de la búsqueda de una definición de "derecho", puede iniciar la lectura ¿Cómo surgieron los derechos de los niños y niñas?Para trabajar la actividad 3. ¿Pue-des resolver? pida que un estudiante lea en voz alta el enunciado y luego analice en conjunto con el curso cuáles de las preguntas que se for-mulan pueden ser respondidas por ellos en este momento.Del curso anterior los estu-4. diantes saben construir tablas de frecuencias, pero aún no dominan una metodología para la construcción de gráficos circulares. Puede explicarles que esta actividad la podrán completar luego de finalizar el estudio de la unidad, sin em-bargo, puede pedir a alumnos y alumnas que organicen los datos del grupo en una tabla de frecuencias para, a través de ella, ejercitar conocimientos previos que servirán de intro-ducción para los contenidos que se verán posteriormente.Como 5. Actividad complemen-taria se propone un ejercicio que los estudiantes deberán realizar con sus compañeros y compañeras, la cual le su-gerimos la oriente para ser realizada en equipos de 4 ó 5 estudiantes, monitorean-do sobre todo los aspecto relacionados con el gráfico, para poder corregir errores oportunamente.


Invite a sus estudiantes a que realicen un estudio al interior del curso atendiendo a los 1. aspectos que están más abajo, para luego organizar los resultados en tablas de entrada de datos y de frecuencias y graficar los datos obtenidos:

Estatura. �Promedio de las notas en Matemática. �Número de hermanos. �Número de habitantes en el hogar. �


Recopilar y hacer uso de información


Unidad 6

Red conceptual


El desarrollo de los conteni-dos de la unidad que comienza permitirá que los niños y niñas profundicen en temas relacio-nados con la estadística y las probabilidades, ramas de las matemáticas en las que incursio-naron el curso anterior y que les servirán de base para el estudio de algunos contenidos de cursos posteriores.

La recolección y el análisis de la información será abordado a partir de la posibilidad de selec-cionar los datos relevantes, los cuales podrán analizar a partir del cálculo de medidas de tendencia central como la media aritmética, mediana y moda; para luego representarlos mediante la cons-trucción de gráficos circulares.

En el caso de las probabili-dades los alumnos y alumnas tendrán la posibilidad de probar la realización de experimentos aleatorios para corroborar sus resultados a partir de la esti-mación de su probabilidad de ocurrencia. Estos temas serán abordados mediante la resolución de problemas contextualizados en el tema transversal de la uni-dad, los derechos de los niños y niñas.

AzarExperimentos

aleatoriospara

estimaranalizando Probabilidad de

ocurrencia de un suceso

InformaciónDatos

relevantesa partir

dedeterminando

construyendo

analizadosmediante

permiten

Media

Moda

Recolección y organización de información

Gráficos circulares

Mediana

Analizar e interpretar

información numérica



Conocen los porcentajes. �Interpretan información �porcentual.Interpretan información �entregada en gráficos de barras y de líneas.Construyen gráficos de �barras y de líneas.

Para comenzar el trabajo con 2. estas páginas puede recordar a sus estudiantes el trabajo con los porcentajes y las maneras en que se expresa.Invite a sus estudiantes a leer 3. la historieta. Luego lea las preguntas de la página 145 del texto en voz alta mientras recuerda conceptos como in-tervalo y tendencia central, que se explican en la Aclaración de conceptos.Para el desarrollo de la activi-4. dad 2 de la página 145 del tex-to oriente a sus estudiantes en la comparación y recuérdeles que deben ser consecuentes en los aspectos a comparar, en este caso los niveles.Recuerde a alumnos y alumnas 5. que el promedio no es más que la adición de todas sus notas y luego la división de este resultado por la cantidad de notas que se sumaron.


En el siguiente gráfico se representa 1. la distribución de la población chilena dividida en cinco zonas: Norte (I, II y III), Centro (IV, V y VI), Sur (VII, VIII y IX), Extremo sur (X, XI y XII) y Metropolitana (RM):


Norte

Centro

Sur

Extremo sur

Metropolitana



Unidad 6

¿Qué zona tiene mayor población? �¿Qué zona tiene menor población? �Si tuvieras que estimar el porcentaje que representa la población de cada zona respecto de �la población total del país, ¿cómo lo harías?Investiga cuál es la distribución actual de la población de Chile por región y por zona. �Calcula el porcentaje que actualmente representa la población de cada región y de cada �zona respecto de la población total del país.¿Podrías representar esta información en un gráfico? ¿Qué tipo de gráfico? ¿Por qué? �

ReflexiónEn el curso anterior los estudiantes

aprendieron a organizar datos en tablas de frecuencias y a representar la información contenida en estas tablas a través de gráficos de barras y gráficos de líneas.

Realice a sus alumnos y alumnas preguntas como: ¿qué son los gráficos?, ¿qué gráficos conocen?, ¿qué tipo de información se expresa con cada uno de los gráficos con los que han trabajado? A través de estas preguntas puede realizar con sus estudiantes una reflexión acerca de la importancia de organizar información y expresarla a través de gráficos. Puede explicarles y demostrar, utilizando recortes de revista y diarios, que en muchas publicaciones se expresa información mediante gráficos, pues a través de ellos es mucho más sencillo establecer y evaluar las relaciones que guardan los datos entre ellos.

Aclaración de conceptosCuando se desea describir las

características de un grupo utili-zando para ello un solo número, nunca elegimos ni el más alto ni el más bajo, pues esto solo describiría los extremos, más bien se tiende a tomar un valor central. Las medidas que describen el valor típico son las medidas de tendencia central: Media aritmética.Moda.Mediana.



Previo a iniciar la clase, verifique 1. que los estudiantes:

Interpretan información �contenida en tablas.Realizan operaciones �de adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales.Clasifican los datos rele- �vantes en cuantitativos y cualitativos.

Analice con sus estudiantes el 2. problema resuelto de la página 146 del texto y el cuadro de contenido en el que se explica el concepto de media aritmética.Converse con sus estudiantes 3. la aplicación de la media arit-mética y el gran valor que tiene para calcular sus notas, pues como se hace referencia en la Pista, este es el método que los profesores y profesoras ocupan para obtener la nota final en cada ramo.Oriente la realización de los ejer-4. cicios de la página 147.Luego que todos los estudiantes 5. realicen los ejercicios, escriba en la pizarra datos numéricos con su respectiva media arit-mética, como se muestra en el ejemplo:

Datos Media

0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7

3

Una vez tabulados todos los datos, ayude al curso a encon-trar la regularidad en la relación entre cada conjunto de datos y su media aritmética.


En un colegio se realizó un examen diagnóstico de Matemática a los niveles de 51. º a 8º básico. El objetivo del examen era que los profesores tuvieran una idea del nivel de cada curso. Los exámenes tenían 5 preguntas, cada una de las cuales estaba valorada en 20 puntos y la nota máxima era de 100 puntos. En la tabla que está en la siguiente página se muestra el promedio por curso. Al respecto responde:

¿Qué curso por nivel contaba con estudiantes mejor preparados? �Calcula el promedio de los promedios de cada nivel. �Calcula el promedio de los promedios del colegio. �Construye un gráfico de barras con los promedios por nivel. �




Unidad 6

Quinto Sexto Séptimo Octavo

Curso Promedio Curso Promedio Curso Promedio Curso Promedio

A 85,9 A 91,2 A 93,2 A 95,7

B 93,7 B 94,9 B 95,4 B 90,3

C 96,0 C 95,0 C 82,8 C 89,4

D 89,1 D 93,2 D 88,1 D 91,2

E 90,5 E 93,8

Diversidad

Es posible que algunos de sus estudiantes no recuerden o tengan dudas sobre la adición de números decimales. Recuerde junto a sus alumnos y alumnas que para sumar números decimales, estos se deben colocar uno debajo del otro, alineados utilizando como referencia la coma decimal, de manera que se adicionen las partes enteras con las partes enteras y las partes decimales con las partes decimales.

Historia y númerosEl origen de la estadística se

remonta al antiguo Egipto, cuyos faraones, alrededor del año 3050 a. de C. lograron recopilar importantes datos relativos a la población y las riquezas del país. Según referencias, estos cálculos se hicieron con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides.

Anotaciones:

Aplicar fórmula



Interpretan información �contenida en tablas.Organizan información �en tablas.Ordenan y comparan �datos.Calculan la media aritméti- �ca de un grupo de datos.

Invite a sus estudiantes a leer 2. el enunciado del problema resuelto de la página 148.Oriente a alumnos y alumnas 3. para que analicen la resolución del problema, comprendan cómo se obtiene la mediana y asimilen la lógica de la me-todología, para luego poder aplicarla.En la 4. Pista se explica por qué la mediana puede conducir a errores al tratar de usarla para representar una secuencia de datos, es importante que explique esto a los estudiantes apoyándose en actividades sencillas como por ejemplo:Determina la media aritmética y la mediana del siguiente conjunto de números:1, 1, 1, 8, 9.x = 4Me = 1¿Qué relación observas entre la media, la mediana y el conjunto de datos? Puede entregar a los estudian-5. tes un número determinado de datos y, a partir de ellos, demostrar la diferencia entre la mediana y la media arit-mética, donde la segunda, a diferencia de la primera, sí está influenciada por los valores extremos de la secuencia que se estudia.


Completa con los datos de los estudiantes del curso una tabla como la siguiente y responde 1. las preguntas que se proponen a continuación:

Estudiante Edad de la madre Edad del padre

¿Cuál es el promedio de edad de las madres de los estudiantes del curso? �¿Cuál es el promedio de edad de los padres de los estudiantes del curso? �Obtén la mediana de las edades de las madres y de las edades de los padres. �




Unidad 6

Un biólogo desea probar el efecto de determinado compuesto sobre el crecimiento de plantas 2. de tomate. Para esto siembra determinado número de semillas y las deja germinar dos días, luego toma algunas plantas con las mismas dimensiones y les aplica el compuesto. Transcu-rridos dos días más, procede a medir las plantas y obtiene los siguientes datos:

Planta 1 2 3 4 5 6 7 8

Medida (mm) 21,2 35,4 43,8 37,8 90,1 87,3 89,5 91,4

¿Cuál es la mediana de los datos anteriores? �¿Cuál es el promedio de crecimiento de las plantas? �

ReflexiónAna tiene tres hijas de 10, 12 y 15

años, si tuvieran que ordenarlas por edades dirían que la de 15 años es la mayor y la de 10 años es la menor, pero, ¿como llamarían a la de 12 años? A partir de esta sencilla situación los estudiantes podrán llegar a elaborar preconceptos de mediana que les ayudarán a comprender mejor el contenido. Reflexione sobre los usos de la mediana y en qué situaciones cotidianas se hace referencia a ella o se utiliza de manera implícita o explícita. Explique, además, que la mediana es un parámetro muy utilizado en el procesamiento es-tadístico de los resultados arrojados por experimentos biológicos.

Aclaración de conceptosLa mediana que trabajamos

en estas páginas es la mediana estadística, pues existe la mediana geométrica que es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos de un triángulo.

Aplicar fórmula


El dueño de una librería realizó un análisis de los libros vendidos en el último mes y los organizó 1. por género en una tabla como la siguiente:

Géneros Ciencia ficción Infantil Poesía Biografía Teatro Ensayo Cuento Novela

Cantidad 35 50 10 13 5 6 25 110

¿Qué tipo de tabla construyó el dueño? �¿Cuántos libros se vendieron ese mes? �¿Cuál es la moda? �¿Por qué a partir de la tabla anterior lograste determinar la moda? �Si el dueño añadiera la venta de 10 libros de género infantil, ¿la moda seguría siendo la �misma?, ¿por qué?



Ordenan y comparan in- �formación.Identifican datos rele- �vantes.Clasifican los datos re- �levantes en cualitativos y cuantitativos.Calculan media aritmé- �tica.Calculan mediana. �

A modo de introducción realice 2. con sus alumnos y alumnas la Reflexión que se sugiere en la página 167 de esta guía. A través de ella los estudiantes pueden elaborar preconceptos y entre todos llegar a un con-cepto cumún de moda.Para estimular la reflexión, 3. pida a los estudiantes que traigan revistas de modas de una temporada específi-ca. A través de ellas, puede analizar la moda teniendo en cuenta el estilo que se repite en cada prenda. También lo puede hacer a partir de folletos de promoción de diferentes multitiendas, a través de ellos puede determinar la moda en cuanto al tipo de artículo más promocionado.Analice el cuadro de contenido 4. donde se explica el concepto de moda. Le sugerimos que refuerce los conceptos de unimodal, bimodal, trimodal y multimodal a través del ma-terial utilizado anteriormente, revistas o propagandas.Para la actividad grupal le 5. recomendamos que trabaje junto a sus estudiantes, escri-biendo en la pizarra una tabla con los datos que se solicitan para que luego los alumnos y alumnas realicen el resto de la actividad.


Analizar datos


Unidad 6

Para evaluar las actividades de estas páginas puede utilizar una tabla como la que se propone a continuación:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Calcula correctamente la media aritmética

Calcula correctamente la mediana

Calcula correctamente la moda

Resuelve correctamente las actividades propuestas

Trabaja en el tiempo estipulado por el docente

Trabaja en forma limpia y ordenada


Reflexión¿Qué es la moda?, ¿qué significa

estar a la moda?, ¿qué pueden encontrar en una revista de modas? A través de estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estu-diantes, donde ellos van a plantear sus opiniones acerca de este término tan utilizado. Explique que según el diccionario de la Real Academia Española moda es el uso, modo o costumbre que está en boga durante algún tiempo, o en determinado país, con especialidad en los trajes, telas y adornos, principalmente los recién introducidos.

Partiendo por los comentarios de los estudiantes, apoyado en la definición de la RAE y utilizando como ejemplo un conjunto de números, pida a los estu-diantes que determinen intuitivamente la moda en el conjunto de datos y para ello realice preguntas como:

Si asumimos que el color rojo es la moda, ¿cómo sería la presencia del rojo en comparación con el resto de los colores?

Si tenemos un conjunto de núme-ros: 1, 1, 1, 1, 5; ¿cuál sería la moda?, ¿por qué?




Interpretan información �porcentual.Organizan información �en tablas.Representan información �a través de gráficos de barras y de líneas.

Explique a sus estudiantes que 2. los gráficos circulares, al igual que los de barras y líneas, se utilizan para representar información. Sin embargo, no todos los gráficos se ocupan para el mismo tipo de infor-mación, siendo necesario se-leccionar el más conveniente. Es por ello que conocer sus características nos servirá para poder elegir el tipo de gráfico más adecuado a los datos con los que contamos y al objetivo de nuestro trabajo.Analice con alumnos y alum-3. nas el problema resuelto de la página 152 y el cuadro de contenido donde se explica el concepto de gráfico circular. Usted puede mostrar a sus 4. estudiantes un gráfico similar al del texto pero sin la infor-mación porcentual, y luego realizar preguntas como: ¿qué parte es la mayor y qué parte es la menor? De esta manera los estudiantes comprobarán que, a partir de un gráfico, es posible sacar conclusiones, aún sin saber la información numérica que representa.


Enlaza la situación descrita con el tipo gráfico de la columna de la derecha que consideres 1. más adecuado para representarla:

Se estudia el porcentaje de incidencia de determi- �nada enfermedad en la población de un país.Se comparan las diferencias entre los promedios �de precipitaciones de las regiones de Chile.Se analiza el comportamiento de la temperatura �media en las últimas 10 horas.Se analiza en porcentaje de cada componente �en un medicamento.


Gráfico de barras

Gráfico circular

Gráfico de líneas



Unidad 6

El siguiente gráfico circular representa el porcentaje de las 2. edades de niños y niñas que asisten a determinado museo:

¿De qué rango de edad son los niños y niñas que más �asisten al museo?¿De qué rango de edad son los niños y niñas que menos �asisten al museo?Entre los asistentes, ¿hay más niños y niñas de 5 o menos �años o de más de 5 años?


años

años

años

años

Diversidad

Para el trabajo con estas páginas es importante que alumnos y alum-nas recuerden los porcentajes y las proporciones, pues a través de los gráficos circulares se manifiestan ambos conceptos. Recuerde a los estudiantes la comparación entre los porcentajes y lo que representa un porcentaje; puede para esto trabajar con porcentajes notables, 25%, 50%, 75% y 100%.

Anotaciones:



Manejan el cálculo de �porcentajes.Organizan información �en tablas.Interpretan información �representada a través de gráficos circulares.Miden ángulos utilizando �el transportador.

Para comenzar el trabajo de la 2. construcción de gráficos cir-culares puede recordar a sus estudiantes cómo se miden los ángulos y cómo se utiliza el transportador, pues ambas habilidades son imprescindi-bles para este contenido.Analice con alumnos y alum-3. nas la metodología que se explica en el texto para cons-truir los gráficos. En el paso 1º recuerde que 10% = 10/100, pero al simplificar queda 1/10. Algo similar se realizó con el resto de los porcentajes.En el paso 2º se explica que 4. debemos dividir la circunferen-cia en 10 partes iguales, lo que significa que cada parte tendrá una medida de 36°. Sugiera a sus estudiantes trabajar con cuidado para que estas partes tengan la medida exacta.En la 5. Aclaración de conceptos se describe una alternativa para realizar gráficos que invo-lucran números tan pequeños que puedan introducir error en la lectura. Explique a sus estudiantes este método para que lo puedan aplicar.


Luego de concluida la etapa de exámenes finales, la directiva de un colegio realizó el siguiente 1. estudio según la puntuación de sus estudiantes:

Calificación Excelente Bueno Suficiente Insuficiente

Porcentaje de estudiantes por calificación

38% 40% 20% 2%

Dibuja un gráfico circular que represente el porcentaje de estudiantes con cada califica- �ción.¿Qué porcentaje de los estudiantes aprobó los exámenes? Represéntalo mediante un �gráfico.




Unidad 6

Aclaración de conceptosMuchas veces representamos

la distribución de determinados porcentajes a través de un gráfico circular y ocurre que algunas veces varios de estos porcentajes son muy pequeños y se hace muy complicado visualizarlos, por ejemplo:

Ante una situación como esta podemos confeccionar un gráfico anexo que represente estas pequeñas porciones para que sea comprensible, como se muestra en la página 199 de esta guía.

Puede plantear a sus alumnos y alumnas la Actividad complementaria como una prueba escrita, la cual puede evaluar a partir de la siguiente tabla:

Evaluación

Indicadores L ML NR

Comprendió la actividad

Convirtió correctamente los porcentajes en fracciones decimales

Dividió correctamente la circunferencia

Distribuyó adecuadamente los porcentajes en el gráfico

Dibujó la leyenda del gráfico





Manejan el concepto de �suceso o evento.Identifican sucesos se- �guros, posibles e impo-sibles.Identifican cuándo un �suceso es probable o improbable.

El contenido que trata es posi-2. ble abordarlo utilizando material didáctico. En la página 156 del texto se describen dos expe-rimentos con monedas, para explicarlo, además de analizar la forma en que se aborda en el texto, puede demostrarlo utili-zando monedas de 100 pesos e ir anotando los resultados en la pizarra. Puede hacer con los alumnos 3. y alumnas un experimento similar al del texto pero uti-lizando dados e ir anotando los resultados, recordando que estos experimentos son aleatorios porque se conocen los posibles resultados. Para demostrarlo, antes de comen-zar los experimentos, escriba en la pizarra todos los posibles resultados y a su lado puede ir anotando cada vez que se obtiene cada uno.En la 4. Aclaración de concepto de esta guía se amplía el Ar-chívalo de la página 156 del texto y se explica otra posible clasificación para un experi-mento, experimento casual. Dé ejemplos de experimento casual: es casual que salga a la ciudad y me encuentre con alguien conocido o no. Eso es imposible de predecir.


Clasifica los siguientes experimentos en deterministas (D) o aleatorios (A):1. � Lanzar una piedra y observar si cae o se eleva. � Escoger de un mazo de 52 cartas con los ojos cerrados una carta y ver su color. � Arrojar un fósforo prendido sobre gasolina y comprobar si esta arde. � Lanzar un dardo sobre un blanco desde 10 m y observar dónde quedó clavado. � Poner un trozo de hielo en agua hirviendo y observar si se derrite.


Clasificar


Unidad 6

Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla a partir de la cual podrán evaluarse unos a otros respecto al desempeño de cada uno durante el desarrollo de la actividad grupal:

Evaluación


Cumple con las tareas asignadas por sus compañeros y compañeras de grupo

Cumple con los tiempo asignados para el trabajo

Acepta ideas diferentes a la suya

Mantiene una actitud positiva al momento de confeccionar el trabajo grupal

Aporta ideas para el buen desarrollo del trabajo

Experimentar y analizar resultados

Aclaración de conceptosSegún el conocimiento que se ten-

ga del posible resultado de un expe-rimento este puede ser determinista, aleatorio o casual. El resultado de un experimento casual no está regido por ninguna regla; el determinista, tiene un resultado conocido; y en el experimento aleatorio se conocen todos los posibles resultados. El conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio es a lo que se denomina espacio muestral y cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de suceso.

Otros recursosEn el sitio web http://www.

matemath.com/azar/p02.html encontrará dos juegos a través de los cuales podrá ejemplificar a sus estudiantes experimentos deterministas y experimentos aleatorios.



Manejan el concepto de �suceso o evento.Identifican experimentos �aleatorios y deterministas.

Puede desarrollar las activi-2. dades de la clase procurando mostrar cada afirmación exis-tente en el texto, utilizando para ello los materiales que se requieran. También puede utilizar el juego que se en-cuentra en las páginas 200 y 201 y que forma parte de los materiales complementarios de esta guía. El concepto de espacio mues-3. tral puede resultar un poco abstracto, para aclararlo le recomendamos que realice una analogía entre el concepto y la libertad de movimiento que puede tener una persona dentro de un recinto cerra-do. En este caso el espacio muestral va a ser el espacio de que dispone la persona para moverse, pues es imposible que el espacio muestral sea otro porque las paredes de la habitación son el límite.También puede mostrar un 4. juego de laberinto donde es necesario mover una pequeña pelota por entre los resquicios para llegar a la meta. En este caso el espacio muestral es toda el área de que dispone la pelotita para moverse y que está limitada por el envase plástico y sellado dentro del que se encuentran el laberinto y la pelotita.


Invite a sus estudiantes a realizar los siguientes juegos que constituyen experimentos aleato-rios:

Júntate con un compañero o compañera y jueguen al cachipún. Antes de comenzar el juego 1. escriban en sus cuadernos los posibles resultados y determinen el espacio muestral. Hagan 10 repeticiones del juego y anoten los resultados en una tabla.Júntate con dos o tres compañeros y compañeras y lancen por turnos 5 dados, sumen los 2. números que salgan y el que obtenga mayor puntaje gana, luego de varios turnos. Anoten los resultados en una tabla y determinen el espacio muestral de este experimento aleatorio.




Unidad 6

Diversidad

Para trabajar con los estudiantes más débiles en este contenido puede realizar los experimentos con monedas y dados y pedir que ellos mismos se encarguen de anotar los resultados. También puede realizar una especie de juego donde los estudiantes intenten predecir los resultados y declarar ganador al que más aciertos tenga. Tratar los contenidos de manera lúdica ayuda a que los alumnos y las alumnas relacionen el contenido con algunos de sus juegos habituales. Puede explicarles además que la mayoría de los juegos que se desarrollan en los casinos son aleatorios, donde muchas veces la destreza del jugador radica en determinar las jugadas que les brinden mayores probabilidades de ganar.

Entregue a sus estudiantes una tabla como la siguiente, a través de la cual podrán autoevaluar su desempeño durante el desarrollo de la clase:

Evaluación


Comprendí qué es un experimento aleatorio

Comprendí qué es el espacio muestral en un experimento aleatorio

Determiné el espacio muestral de diversos experimentos

Determiné el número de elementos que conforman cada espacio muestral

Analizar

Anotaciones:



Ordenan datos dentro de �una tabla de datos.Construyen e interpretan �tablas de frecuencias.Definen el concepto de �probabilidad como la po-sibilidad de ocurrencia de un suceso.

Introduzca el tema de la clase, 2. realizando con sus estudiantes un ejercicio en el que usted dictará una oración que con-tenga la palabra "probable" y los estudiantes redactarán una que diga lo mismo pero sin usar la palabra. Por ejemplo:Docente: "Es probable que María vaya al cine".Estudiante: "Puede ser que María vaya al cine".Escriba en la pizarra cada oración dictada por usted y cada una de las creadas por sus estudiantes. Luego de terminada la actividad con diferentes oraciones, pida que redacten entre todos el concepto de probabilidad.Trabaje con el curso el ejer-3. cicio resuelto de la página 160 y llame la atención de sus estudiantes acerca de la definición de razón y el modo de calcular las probabilidades de un evento.Pida que resuelvan el ejercicio 4. individual de la página 161 y dé un tiempo para que lo realicen, luego revise en la pizarra pidiendo a algunos estudiantes que pasen a la pizarra y expliquen el trabajo que realizaron.Pida a sus estudiantes que 5. se reúnan en grupos de 4 ó 5 personas para realizar los Ejercicios grupales.


Considera los números naturales desde el 1 hasta el 20 para calcular las siguientes proba-1. bilidades:

A: elegir un número al azar y que este sea el 8. �P(A) = B: elegir un número al azar y que este sea un múltiplo de 6. �P(B) = C: elegir un número al azar y que este sea un número primo. �P(C) = D: elegir un número al azar y que este sea un número mayor que 12 y menor que 17. �P(D) =




Unidad 6

ReflexiónLa teoría de probabilidades tuvo

su aliciente al encontrar una forma matemática de resolver los proble-mas de los juegos de azar, en otras palabras, buscar la forma de dar más oportunidades de ganar a los jugadores de casino. De acuerdo a la teoría de juegos para un solo dado la probabilidad de acertar al número es de 1/6. Si juega 6 veces el mismo número, ¿en teoría debería ganar?, ¿es esto real o no? Converse con sus estudiantes sobre este particular y si lo considera, puede enriquecer la reflexión haciendo un experimento de tiros de dados para obtener un número.

Otros recursosEn el sitio web http://www.sec-

tormatematica.cl/educmedia.htm usted podrá encontrar una colección de ejercicios de probabilidades que podrá utilizar para proponer a sus estudiantes.

Debe tener en cuenta que algunos de estos ejercicios pueden tener un nivel de complejidad demasiado elevado por lo que deberá adaptarlos o tomarlos como idea inicial para crear nuevos ejercicios.

A través de la siguiente tabla los estudiantes tendrán la oportunidad de evaluarse unos a otros en cuanto al desempeño de cada uno durante la realización del trabajo grupal:

Evaluación


Contribuyó a la disciplina durante la realización de la actividad

Realizó los cálculos correctamente

Aportó ideas que ayudaron a la adecuada realización del trabajo

Ayudó a los compañeros y compañeras que lo necesitaron




Ordenan datos dentro de �una tabla de datos.Construyen e interpretan �tablas de frecuencias.Calculan la media arit- �mética de un conjunto de datos.Determinan la mediana y �la moda de un conjunto de datos.Definen el concepto de �probabilidad como la po-sibilidad de ocurrencia de un suceso.

Trabaje con sus estudiantes el 2. problema resuelto de la página 162.Aunque en todas las unidades 3. los estudiantes se han enfren-tado a la misma metodología de trabajo para resolver proble-mas, al ser esta la última unidad del curso, es importante que recalque especialmente este asunto. Recuerde la función de la metodología planteada, en sentido general y de cada uno de los pasos que la com-ponen.Explique a sus alumnos y 4. alumnas qué significa algo-ritmo. Para ello puede pedir a algunos estudiantes que describan determinadas si-tuaciones paso a paso, como por ejemplo, el recorrido de la casa al colegio o lo que hacen desde que salen del colegio hasta que se acuestan, de ser posible detallando los horarios de cada actividad.Solicite la realización de los 5. problemas de la página 163. Lea los enunciados y pida a sus estudiantes que planteen las dudas que tengan al res-pecto. Una vez aclaradas, dé un tiempo para que los resuel-van individualmente.


La familia de Mauricio hace las compras en el supermercado 2 veces por mes. En los últimos 1. 6 meses los gastos fueron los que se muestran en la tabla:

Productos Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Carnes $ 20 000 $ 25 000 $ 18 000 $ 30 000 $ 23 000 $ 21 000

Legumbres $ 5 000 $ 4 000 $ 5 500 $ 7 450 $ 6 000 $ 5 000

Pastas $ 6 000 $ 3 000 $ 6 500 $ 5 500 $ 6 000 $ 7 000

Bebidas $ 18 000 $ 20 000 $ 19 000 $ 20 000 $ 15 000 $ 12 000

Postres $ 12 000 $ 15 000 $ 14 500 $ 16 000 $10 000 $ 9 750

Otros $ 25 000 $ 30 000 $ 18 000 $ 25 000 $ 19 000 $ 18 500



Unidad 6

ReflexiónA través de la Resolución de

problemas los estudiantes apli-carán los contenidos estudiados a lo largo de la unidad a contextos reales, mediante los que podrán darse cuenta de la utilidad de los temas analizados. Para mostrar la utilidad de los contenidos, puede conversar con alumnos y alumnas sobre algunas de las aplicaciones de las probabilidades, como por ejemplo, en el campo de la meteorología, en la cual a partir de sucesos atmosféricos, los meteorólogos pueden predecir el comportamiento del clima para las próximas horas y hasta para las próximas semanas.

Historia y númerosLa estadística es una ciencia tan

antigua como la aparición de los primeros estados.

Los egipcios llevaban cuenta de los movimientos de la población y para ello realizaban censos poblacionales. Hay documentación que indica que estas prácticas ya se realizaban en 3050 a. de C.

Los pueblos de Mesopotamia, tampoco se quedaban atrás, el rey Sargon II de Asiria fundó una biblioteca donde existían miles de tablillas escritas en cuneiforme con datos estadísticos sobre la producción agrícola de la nación.

Los israelíes mencionan los censos en la Biblia y más específicamente en el Pentateuco, donde a dos años de la salida de Egipto ya se censaban las tribus de Israel.

Calcula el promedio de gastos en cada tipo de producto en el semestre. �Calcula el promedio de gastos de cada mes. �Calcula la mediana de los gastos por mes. �Calcula la mediana de los gastos por producto durante el semestre. �Analizando los promedios de gastos por productos durante el semestre, calcula el porcentaje �que representa cada uno.Representa los porcentajes calculados anteriormente utilizando un gráfico circular. �

Resolver problemas



Conocen y han trabajan- �do con Excel.Interpretan y construyen �gráficos circulares.Determinan media aritmé- �tica, moda y mediana de un conjunto de datos.

Para comenzar el trabajo en la 2. sala de computación recuerde a sus estudiantes que deben mantener un comportamiento adecuado para lograr no solo la comprensión del conteni-do, sino que también que la actividad se realice de manera fluida y permita obtener los resultados correctos.Explique a sus alumnos y 3. alumnas que dentro de la actividad que realizarán en la Tecnología activa se en-cuentra la confección de un gráfico circular. Recuerde a los alumnos y alumnas que la ayuda de Excel les puede servir para aclarar cualquier duda durante la realización de alguna de las actividades.Como 4. Actividad complemen-taria se sugiere un ejercicio en algunos aspectos similar al del texto, pero en él deberán además realizar la incursión en otros tipos de gráficos, los gráficos de líneas o los gráficos de puntos. Oriente a sus estudiantes para faci-litar la búsqueda del gráfico adecuado para representar la información.


Proponga a sus alumnos y alumnas las siguientes actividades para que las resuelvan usando Excel.En una tienda se pretende realizar un estudio de ventas. Hasta el momento el área de economía 1. ha logrado tabular los siguientes datos:

ProductosCantidad de unidades vendidas

Agosto Septiembre Octubre

A 300 350 200

B 10 12 5

C 320 1 000 700

D 560 560 499




Unidad 6

ReflexiónCuando se realizan experimentos

de cualquier tipo a partir de los cuales se obtiene un grupo de datos, los resultados obtenidos se procesan estadísticamente. Esto consiste en que los datos que se obtienen se analizan y de ellos se obtienen determinados parámetros estadís-ticos entre los que se encuentran la media aritmética, la mediana y la moda. Una de las aplicaciones más utilizadas para este fin es Excel, pues es una completa hoja de cálculo que además se adecúa a las necesidades del usuario. Por esta razón, resulta muy importante que los alumnos y alumnas adquieran destreza en el manejo de este programa, pues este le será de mucha utilidad para el futuro.

Determina el promedio de ventas totales para cada uno de los meses considerados. �Determina el promedio de ventas mensuales de cada producto. �Construye en tu cuaderno un gráfico con los porcentajes de ventas de cada producto. �Construye en tu cuaderno un gráfico circular con los porcentajes de ventas totales para �cada mes.Construye un gráfico utilizando Excel con los porcentajes de ventas mensuales de cada �producto.Construye un gráfico utilizando Excel con los porcentajes de ventas totales para cada �mes.


Anotaciones:



Ordenan datos dentro de �una tabla de datos.Construyen e interpretan �tablas de frecuencias.Calculan la media aritmética �de un conjunto de datos.Determinan la mediana y �la moda de un conjunto de datos.Definen el concepto de �probabilidad como la po-sibilidad de ocurrencia de un suceso.Estiman la probabilidad �de un suceso.

Invite a sus estudiantes a que 2. lean el título de la página 166 y explique que la síntesis está destinada a ofrecerles en forma resumida los temas más impor-tantes trabajados en la unidad.Analice con el curso las fichas 3. recordando cada tema a través de ejemplos concretos que los estudiantes puedan resol-ver mentalmente o a través de un cálculo rápido en sus cuadernos.Comente a sus estudiantes 4. que pueden enriquecer cada ficha con un pequeño ejem-plo y si consideran que para la síntesis no se tuvieron en cuenta algunos contenidos importantes, pueden crear todas las nuevas fichas que consideren necesarias.En la página 167 comienza la 5. Evaluación, a través de la cual los estudiantes demostrarán el nivel de comprensión que han tenido de los contenidos traba-jados a lo largo de la unidad. Es por ello que recomendamos que el proceso sea realizado en forma individual para ser calificado sumativamente.


Realice con sus alumnos y alumnas un papelógrafo con una red conceptual a partir de los temas 1. trabajados en la unidad. Pida a los estudiantes que se reúnan en grupos de cinco integrantes y realicen un resumen de los conceptos más importantes. Pida que entre todos compongan la red en una cartulina. Induzca al curso a tener en cuenta que esta unidad tiene la peculiaridad de trabajar dos ramas diferentes, la estadística y las probabilidades, por lo tanto, las redes podrían quedar separadas inicialmente y unirse solo al final.





Unidad 6

Historia y númerosEs a partir del siglo XVII, con los

aportes de Vito Seckendorff y German Conring, que la estadística surgió en sí, dejando de ser una mera descripción de datos.

John Graunt, en Inglaterra, buscó a través de los números determinar los movimientos sociales y políticos, en otras palabras, desarrolló leyes cuantitativas que rigen la sociedad.

A partir de Graunt surgieron dos escuelas, la primera: Tendencia Enciclopédico Matemática, que junto a la estadística y las probabilidades ingresaron a todos los campos de la actividad humana. La segunda: Tendencia Demográfica que explica y teoriza los movimientos de la población.

MaterialesCartulina. �Plumones. �

Pida a sus estudiantes que analicen la siguiente tabla que contiene datos acerca de la cantidad 2. de hectáreas plantadas con algarrobos por región:

Región III IV V VI VII VIII IX

Hectáreas 15 300 1 000 1 239 998 564 132

¿Cuál es el promedio de hectáreas de algarrobos sembradas en las regiones, según el �registro de la tabla?¿Cuál es el porcentaje de plantación de algarrobos en cada región respecto al total? �




Conocen el concepto de �media aritmética y saben calcularla.Determinan la mediana �y moda de un conjunto de datos.Interpretan información �representada en un grá-fico circular.Describen experimentos �aleatorios y analizan sus resultados.Estiman la probabilidad �de un evento o suceso.

La 2. Evaluación la puede presen-tar a los estudiantes a modo de actividad individual.Realice con alumnos y alumnas 3. la Reflexión que se sugiere en la página 185 de esta guía.Lea en voz alta cada una de las 4. actividades que se presentan y aclare las dudas que puedan existir acerca del enfoque de algunos contenidos.Otorgue a los alumnos y alum-5. nas un tiempo para la realiza-ción de las actividades. Tras cumplirse este tiempo haga una puesta en común con los resultados y luego entregue a cada uno de los estudiantes una tabla como la que se sugiere en la Evaluación, con el fin de que autoevalúen los resultados obtenidos en cada uno de los ejercicios.


Una empresa que comercializa estufas eléctricas realizó un análisis de sus ventas del año 1. anterior y los resultados los expresó en el siguiente gráfico:


Abril 5%Mayo 10%Junio 15%Julio 35%AgostoSept 5%

Octubre 1,5%Nov 1,2%Diciembre 1%Enero 0,25Feb 0,2% mar 0,85%)

¿Cuál es el porcentaje de ventas correspondiente �al mes de agosto?¿Porqué crees que se realizó un segundo gráfico? �¿Qué meses representa el segundo gráfico? �¿Qué porcentaje corresponde al segundo �gráfico?

Analizar




Unidad 6

Reflexión¿En que consiste una evaluación?

¿Para qué sirve una evaluación? A través de estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión acerca del proceso evalua-tivo y la importancia del mismo. Es primordial que los estudiantes vean la evaluación como la posibilidad de comprobar el nivel de comprensión que han tenido de los contenidos abordados en la unidad y, a partir de esto, saber en qué temas deben profundizar y ejercitar.

Aplique la siguiente autoevaluación para conocer cuál es el nivel de adquisición de los contenidos de la unidad en sus estudiantes:

Evaluación

Anotaciones:

Indicadores

Calculo e interpreto la media aritmética de un conjunto de datos

Calculo e interpreto la moda de un conjunto de datos

Calculo e interpreto la mediana de un conjunto de datos

Leo y construyo gráficos circulares

Defino, describo y realizo experimentos aleatorios

Estimo la probabilidad de sucesos para experimentos aleatorios sencillos

186 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

187Texto del Estudiante - Solucionario

188 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

189Texto del Estudiante - Solucionario

190 Texto del Estudiante - Índice temático

191

Bibliografía y páginas web

Texto del Estudiante - Bibliografía y páginas web

192 Texto del Estudiante - Evaluación modelo

Materiales complementarios

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 193

Tarjetas correspondientes al juego que se propone en las páginas 26 y 27 de la Guía Didáctica del Docente.


0,1 · 0,01 = 0,001

0,25 · 0,5 = 0,125

0,345 · 0,04 = 0,0138

0,027 · 0,9 = 0,0243

0,8 · 0,9 = 0,72

0,99 · 0,1 = 0,099

25,32 · 0,25 = 6,33

0,01 · 154,01 = 1,5401

3,0 · 0,3 = 0,9

33,8 · 0,3 = 10,14

194 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios


25,32 · 0,25 = 6,33

25,32 · 0,25 = 6,33

90,10 · 0,98 = 88,298

4,0 · 3,48 = 13,92

8,97 · 5,001 = 44,85897

172,5 · 723,1 = 124 734,75

25,32 · 1,25 = 31,65

91 · 8 = 728

100 · 1,01 = 101

423,2 · 51,7 = 21 879,44



0,32 · 0,2 · 1,5 = 0,096

25 · 0,25 · 0,008 = 0,05

0,10 · 0,9 · 0,1 = 0,009

3,4 · 5,2 · 3,1 = 54,808

0,1 · 0.2 · 5 = 0,1

10 · 0,05 · 0,1 = 0,05

2,3 · 4,1 · 7,35 = 70,725

10,1 · 3,5 · 0,002 = 0,0707

2,5 · 3,9 · 4,1 = 39,975

0,05 · 0,001 · 7 = 0,00035



Recurso aplicable a la resolución de los Ejercicios con alternativas de las Evaluaciones del Texto del Estudiante.

Hoja de respuestas para ejercicios con alternativas

Nombre:

Curso: Fecha:

a b c d a b c d

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Buenas Omitidas Malas

Nº de buenas NIVELPrueba de 8 preguntas Prueba de 10 preguntas

7 u 8 9 ó 10 NIVEL 1

4 a 6 5 a 8 NIVEL 2

Menos de 4 Menos de 5 NIVEL 3

Entre 87,5% y 100% de acierto

Óptimo. Felicitaciones, aplicaste correctamente los apren-dizajes de la unidad en la resolución de los ejercicios.

Entre 50% y 87,5% de acierto

Regular… Debes repasar aquellos contenidos que aún no manejas y volver a resolver los ejercicios.

Menos de 50% de acierto

Deficiente… Debes repasar los contenidos de la unidad, ejercitar y volver a resolver los ejercicios.

Unidad: Color obtenido:



Ángulos para trabajar la Actividad complementaria de la página 136 de la Guía Didáctica del Docente.


Relojes para trabajar la Actividad complementaria de la página 136 de la Guía Didáctica del Docente.

3:54 7:00

1:18 6:54

7:12 5:24



Modelo para la construcción de gráficos circulares para trabajar en las páginas 154 y 155 del Texto del Estudiante y en las páginas 170 y 171 de la Guía Didáctica del Docente.

Gráfico circular de apoyo a la Aclaración de conceptos de la página 171 de la Guía Didáctica del Docente.

a

b

c

d

e

f

g

Circunferencia dividida en 36 partes iguales


Juego de azar para aplicar durante la revisión de las páginas 156 a 161 del Texto del Estudiante y 172 a 177 de la Guía Didáctica del Docente.

PartidaAdición 4 6 9 10 Multiplicación

META 3

Impar - Impar 8

Par - Impar 12

Par - Par 6

¿Par o impar? 4 3 2 1 Sustracción



Fichas de juego

Dados

Para este juego de probabilidades deberán ocupar dos dados similares a los que se muestran en la foto:

Instrucciones

Los cuatro jugadores ubican sus fichas en la partida. Luego, deciden la salida lanzando un dado y parte el que •obtenga el número más alto.

El jugador de turno escoge una de las casillas de color naranja y lanza los dados. La adición de los dos núme-•ros obtenidos debe coincidir con la casilla elegida, en ese caso ubicará su ficha en la casilla gris que está a continuación de las casillas naranjas. En caso de no obtener el número de la casilla seleccionada permanecerá en su lugar.

En la casilla gris dice “Multiplicación”, por lo tanto, cuando a un jugador le corresponde moverse hacia las casillas •verdes, el producto de los números obtenidos en los dados deberá coincidir con el de la casilla seleccionada, para avanzar hasta el siguiente casillero gris. Si no coincide, nuevamente permanece en su lugar. Así sucesi-vamente, los jugadores irán avanzando hacia la meta echando mano a sus conocimientos de probabilidades para elegir el casillero con mayores oportunidades de los cuatro que se presentan en cada sección (naranja, verde, fucsia y roja). ¡Buena suerte!

202 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

Evaluación Unidad 1

I. [60%] Ejercicios de desarrollo

[20%] 1. Realiza las siguientes conversiones de unidades de medida:

0,23 metros expresados en centímetros son a) .

4,45 metros expresados en decímetros son b) .

300,2 metros expresados en kilómetros son c) .

8,25 kilómetros expresados en metros son d) .

36 centímetros expresados en kilómetros son e) .

[10%] 2. Convierte los siguientes números decimales finitos en fracciones:

0,25 = a)

0,44 = b)

2,35 = c)

20,5 = d)

0,002 = e)

3,4 = f)

12,3 = g)

0,125 = h)

5,675 = i)

[10%] 3. Convierte en fracciones los siguientes números decimales infinitos:

3,a) 2 =

0,b) 5 =

0,0c) 1 =

2,d) 5 =

3,004e) 5 =

6,f) 754 =

0,769g) 91 =

34,h) 34 =

12,0i) 453 =

2,0987j) 656 =

[20%] 4. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con decimales:

0,9 + 12,34 – 8,1 + 13,4 = a)

16,5 + (3,4 · 5) – 14,23 + 6,69 = b)

9,2 : 3,4 + 31,25 + 6,72 = c)

94,12 – (8,3 · 2,95) + 14,002 = d)

5,3 · (2,87 + 4,32) – 22,75 = e)

(8,44 + 14,26) : 3,2 + 71,17 = f)

Para conocer el desempeño de sus estudiantes en estas Evaluaciones, fotocopie y entregue el instrumento de evaluación que está en las páginas 225, 226 y 227 de esta guía.

Evaluaciones

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 203

II. [40%] Ejercicios con alternativas

1. El perro de Alonso come 3,5 veces lo que come la gata de Alicia. Si la gata de Alicia come 0,85 kg, ¿cuánta comida come el perro de Alonso?

4,375 kga) 2,975 kgb) 0,183 kgc) 1,400 kgd)

5. En el almacén “El cájaro” el kilogramo de alpiste cuesta $ 860 y el de mijo $ 950. La señora Eulalia compró 1,7 kg de alpiste y 2,4 kg de mijo para las diversas aves que tiene en su casa. ¿Cuánto gastó en comida para aves la señora Eulalia?

$ 3 526a) $ 3 679b) $ 3 742c) $ 3 895d)

2. Una bolsa de manzanas tiene una masa de 2,25 kilogramos. Este valor expresado como fracción es:

94

a)

49

b)

98

c)

84

d)

6. Al calcular el promedio de notas hasta el mo-mento en Matemática, Joaquín se encontró con el número 5,67. ¿Qué fracción representa el promedio de notas de Joaquín?

56790

a)

56799

b)

56299

c)

50099

d)

3. Micaela dividió una vara de 12,6 m de longitud en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada una de las partes?

420 cma) 210 cmb) 4 mc) 3,78 md)

7. Un avión de la fuerza aérea de un país alcan-za una velocidad de 2,3 veces la velocidad del sonido. Si la velocidad del sonido es de 1 225 km/h, ¿qué velocidad alcanza este avión?

2 817 ,5 km/ha) 281,75 km/hb) 532,6 km/hc) 2 718,5 km/hd)

4. Si multiplicamos 3,4 y 0,4; el producto es:

Mayor que ambos factores.a) Menor que ambos factores.b) Mayor que el menor de los factores y c) menor que el mayor.

Un número negativo.d)

8. Un yate recorre, en un trayecto por el océano Pacífico, un total de 137,8 millas náuticas. Si cubrió esa distancia en 6,5 horas de nave-gación, ¿qué distancia recorre el yate como promedio en una hora de navegación?

20,2 millas náuticasa) 21,2 millas náuticasb) 22,3 millas náuticasc) 23,9 millas náuticasd)




[10%] 1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones de fracciones:

23

a) · 68

=

69

b) · 368

=

16

c) · 112

=

414

d) · 35

=

411

e) · 137

=

89

f) · 98

=

35

g) · 34

· 32

=

119

h) · 53

· 24

=

[10%] 2. Desarrolla las siguientes divisiones de fracciones:

17

a) : 72 =

58

b) : 85 =

45

c) : 1624

=

32

d) : 54 =

93

e) : 183

=

214

f) : 1412

=

124

g) : 282

=

912

h) : 1212

=

[5%] 3. Expresa las siguientes razones como fracciones irreductibles:

93 : 36 = a)

28 : 84 = b)

39 : 156 = c)

936 : 648 = d)

105 : 195 = e)

4 : 1 024 = f)

[15%] 4. Calcula el término desconocido de cada una de la siguientes proporciones:

7 : 4 = 21 : a) x x =

18 : b) x = 3 : 4 x =

xc) : 14 = 4 : 5 x =

7 : 11 = d) x : 11 x =

[20%] 5. Halla cada uno de los porcentajes que se solicitan a continuación:

El 23,4% de 7 080 es a) .

El 15,6% de 378 es b) .

El 19,9% de 45 293 es c) .

El 44,4% de 777 es d) .

Evaluaciones



1. 12 bebidas de 2,5 L cuestan $ 16 200. ¿Cuál es el precio de 38 de estas bebidas?

$ 40 500a) $ 48 600b) $ 51 300c) $ 194 400d)

5. Loreto vendió una mesa a $ 77 496. Si ella había comprado la mesa a $ x y por esta venta ganó $ 12 916. ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia por la venta de la mesa?

18%a) 20%b) 22%c) 24%d)

2. El maestro José quiere almacenar dieciséis tercios de metro cúbico de cemento, y emplea seis bolsas para ello. ¿Qué fracción de metro cúbico de cemento cabe en cada bolsa?

23

a)

89

b)

166

c)

34

d)

6. Mónica tiene sus libros organizados por géne-ro y notó que 20 de sus libros son de cuentos, 10 de aventuras y 20 de ciencias. La razón entre la cantidad de libros de aventuras y el total de libros es:

23

a)

34

b)

15

c)

35

d)

3. En una feria libre venden una malla con 4 kg de papas a un precio de $ 1 600. Si com-pramos 24 kg de papas en esa misma feria, ¿cuánto nos costaría esa compra?

$ 6 400 a) $ 7 200 b) $ 8 800 c) $ 9 600d)

7. Un libro tiene un total de 234 500 palabras. Si de ellas, el 35% son artículos, ¿qué cantidad de palabras del libro son artículos?

82 075 palabrasa) 820 750 palabrasb) 58 625 palabrasc) 79 825 palabrasd)

4. Alejandro compró 22,68 L de pintura para su casa. Empleó el 48% de la pintura en el living, el 5% en el baño, el 40% en su pieza y el resto en la cocina. ¿Qué porcentaje destinó a la cocina?

7%a) 4%b) 10%c) 1%d)

8. Dos amigos compraron un terreno de 16 km2 para plantar viñedos. Si han preparado para la siembra 2 km2, ¿qué porcentaje del terreno falta por preparar?

25%a) 18,25%b) 87,5%c) 12,5%d)




[15%] 1. Calcula el valor de las siguientes potencias. Emplea una calculadora cuando el cálculo así lo requiera:

2a) 4 =

6b) 3 =

5c) 3 =

10d) 8 =

2e) 7 =

7f) 3 =

9g) 5 =

12h) 4 =

23i) 2 =

15j) 3 =

3k) 6 =

100l) 6 =

[15%] 2. Realiza la descomposición canónica de los siguientes números:42 050 = a)

303 195 = b)

23 005 600 = c)

1 033 000 005 = d)

10 000 000 000 000 = e)

81 202 = f)

793 025 = g)

400 980 000 = h)

[15%] 3. Determina el resultado de las siguientes operaciones con números naturales, decimales y potencias de 10:

240 : 10a) 2 =

4,56 · 10b) 5 =

320 000 000 : 10c) 6 =

0,0142 · 10d) 8 =

2,2 · 10e) 12 =

12 000 400 000 : 10f) 8 =

45,2 : 10g) 2 =

876,022 · 10h) 9 =

[15%] 4. Expresa los siguientes números mediante la multiplicación de un número natural y una potencia de 10:

1 034 000 000 000 000 000 000 000 = a)

237 030 000 000 000 = b)

12 072 043 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = c)

951 114 000 000 000 000 000 = d)

2 045 = e)

8 450 000 = f)

1 005 005 000 000 = g)

255 000 000 = h)

Evaluaciones



1. Un grupo de ingenieros realiza una estimación de la cantidad de granos de arena que hay contenidos en un recipiente ubicado en un sitio en construcción. El número estimado es de 109 granos. Este número se representa:

1 000 000a) 100 000 000b) 1 000 000 000c) 10 000 000 000d)

5. Una película es vista por 4 506 700 personas durante el primer mes de estreno, siendo la película más popular en ese período. La descomposición canónica del número que representa esta cantidad de personas es:

4 · 10a) 6 + 5 · 105 + 6 · 103 + 7 · 102

4 · 10b) 5 + 5 · 104 + 6 · 103 + 7 · 102

4 · 10c) 7 + 5 · 106 + 6 · 104 + 7 · 103

4 · 10d) 6 + 5 · 105 + 6 · 102 + 7 · 101

2. Una lombriz tiene una longitud de 3,45 milí-metros. Si en cada milímetro en línea recta sobre la lombriz hay un promedio de 106 células, ¿cuántas células están contenidas en el total de la lombriz?

345 000 célulasa) 34 500 000 célulasb) 3 450 000 célulasc) 34 500 célulasd)

6. En una investigación un grupo de geólogos determinó que la antigüedad promedio de los volcanes de una región del país era de 12,13 millones de años. Este número corresponde a:

1,213 · 10a) 8

1,213 · 10b) 6

0,1213 · 10c) 6

12,13 · 10d) 6

3. En una fábrica se producen cartones cuadra-dos de 2,2 m de lado para confeccionar cajas. Si se fabrican 104 cartones al día, ¿cuál es la superficie total de cartón fabricada en el día?

484 000 ma) 2

48 400 mb) 2

22 000 mc) 2

220 000 md) 2

7. En la construcción de un gran edificio se ocuparon 15 000 000 de ladrillos, en un tiem-po total de trabajo de 104 horas. ¿Cuántos ladrillos fueron colocados como promedio en cada hora de trabajo?

150 ladrillosa) 66 ladrillosb) 166,6 ladrillosc) 1 500 ladrillosd)

4. Un cometa recorre 105 km en 1 hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 12,75 horas?

1 275 000 kma) 127 500 kmb) 12 750 000 kmc) 12 750 kmd)

8. Seis amigos van de camping. Cada uno de ellos lleva 6 bolsas, en cada una de las bolsas hay 6 frutas, y cada una de las frutas tiene 6 semillas. ¿Cuántas semillas en total llevan entre los 6 amigos?

6a) 4 semillas

4b) 6 semillas

6c) 3 semillas

6 · 4 semillasd)




[10%] 1. Determina el resultado de las siguientes expresiones algebraicas asignando el valor que se indica a cada variable:

2a) x + 4 · (25x + 31) = Para x = 3,5

xb) + 14y · (17 – x) = Para x = 12 e y = 0,5

108 : c) n – (3 + m) · (n – 2) = Para m = 2 y n = 3

102 · (d) x + 2) – x · (120 + 100x) = Para x = 0,25

200 000 – 12 · e) x3: x4 = Para x = 10

xyf) + 3x · (4 + y) + 5y : (15 – 4x) = Para x = 3 e y = 6

[10%] 2. Simplifica los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:2a) x + 5y – 23x + 15y =

18b) x + 23x + 5y + 32xy – y – 30yx =

xc) + 21xy – 11y + 3 · (6x – y) =

zd) + x + y + 0,5z – 210 + 14y =

2e) a + 3b – a + 5a + b =

29f) x + 12y + 5 + 3y + 15x – 6x =

[10%] 3. Marca con una 7 cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado: a) 2x = 15

b) x · (3x – 5) = 12

c) 2x + 25 = 0

d) y2 – 23 · (5 – 3y) = 56

e) (16x)2 + 22 = 6

f) 2 · (5x + 19) = 10x

g) x · (5 + 0,25) – 2x = 15

h) (37 + x) : x = 5x

[20%] 4. Halla la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado:2a) x + 25 = 30

xb) · (4 + 10,5) – 3x = 46

35 : (4c) x + 2) = 5

0,5d) x + 2,4 · (x + 15) = 50,5

35e) x – 2 = 19x + 10

x =

x =

x = _______

x = _______

x = _______

[10%] 5. Valida las siguientes ecuaciones tomando el valor de la variable que se ofrece en cada caso. Determina si la solución dada es la correcta:

16a) x + 23 = 55 Para x = 2

4 · (2b) x – 5) + 12 = 72 Para x = 10

xc) + 3 · (4x + 7) = 45 Para x = 2,5

8d) x – 2 · (6 + 2x) = 0 Para x = 3

(4e) x + 25) – (6x – 15) = 30 Para x = 5

33 – 6 · (8 – 3f) x) = 3 Para x = 3

9g) x + 23 · (6x + 5) = 59 Para x = 13

Evaluaciones



1. Juan, durante el mes, echa en una cesta nue-vas frutas que compra, y saca algunas que consume. Al inicio del mes había x frutas, y al

final quedaban 2x – x2 + 17. Si x = 10, ¿cuántas

frutas había en la cesta al final del mes?

30 frutasa) 27 frutasb) 36 frutasc) 32 frutasd)

5. Sergio tenía una cantidad de dinero x. Gastó la mitad de ese dinero en compras de comida y, posteriormente, recibió el triple de la canti-dad que tenía originalmente. La cantidad de dinero que tiene Sergio ahora es de:

xa) + 2x + 3x

xb) – 2x + 3x2x – x2 + 3x

c)

xd) – x2 + 3x

2. En una parcela hay gallinas y vacas. La canti-dad de gallinas es el cuádruplo de la cantidad de vacas. Si hay un total de 120 patas entre vacas y gallinas, ¿cuál es la cantidad de vacas que hay en la parcela?

10 vacasa) 40 vacasb) 30 vacasc) 20 vacasd)

6. Álvaro tiene lápices rojos y azules. La cantidad de lápices rojos es la mitad de la cantidad de lápices azules, más un lápiz. Si hay 8 lápices azules más que lápices rojos, ¿cuántos lápi-ces tienen Álvaro en total?

18 lápicesa) 28 lápicesb) 10 lápicesc) 32 lápicesd)

3. Diana está resolviendo una ecuación de primer grado. La ecuación es 3x + 2y + 2x + 3 = 24, donde x e y representan las distancias reco-rridas por dos autos. En esta ecuación son términos semejantes:

3a) x y 3

2y y 2b) x

3c) x y 2x

2d) x y 24

7. Las alturas de tres montañas suman 18 000 m. La montaña más alta mide 800 m más que la segunda más alta de las tres. La montaña más baja mide la mitad de la altura de la más alta, más 1 050 m. ¿Cuánto mide la montaña más alta?

6 300 metrosa) 7 100 metrosb) 4 600 metrosc) 7 300 metrosd)

4. Amalia resolvió un problema mediante una ecuación y el valor obtenido por ella para la incógnita fue x = 5. La ecuación que empleó Amalia fue:

2a) x + 3 · (2x + 2) = 38

4b) x – x2 = 21

4 · (12 – c) x) + 2x = 38

14 + 3 · (2d) x – 8) = 32

8. La edad de Manuel es 4 veces la edad de su hijo, más 3 años. Hace tres años las edades de ambos sumadas alcanzaban los 37 años. La edad del hijo de Manuel hoy día es de:

9 añosa) 10 añosb) 5 añosc) 8 añosd)




[15%] 1. Clasifica los siguientes ángulos como agudos, rectos u obtusos:

a)

b)

c)

d)

[15%] 2. Mide los siguientes ángulos:

a)

b)

c)

d)

[10%] 3. Identifica con colores diferentes los elementos que se indican en el siguiente dibujo, donde A // B:

Un ángulo agudo.a) Un par de ángulos opuestos por el vértice.b) Un par de ángulos correspondientes entre paralelas.c) Un par de ángulos alternos internos entre paralelas.d)

[20%] 4. Calcula el valor de los ángulos señalados con una x en las siguientes figuras geométricas:a) b) c) d)

110°

35°x

85°

65°x

x x

x

x

x

x

A

B

x

x = _______ x = _______ x = _______ x = _______

Evaluaciones



1. Dos autopistas al intersecarse forman un ángulo de 75°. Dicho ángulo es:

Agudo.a) Recto.b) Obtuso.c) Llano.d)

5. Dos líneas de metro tienen un recorrido recto y aunque se prolongaran nunca se interseca-rían. Estas líneas son:

Perpendiculares.a) Paralelas.b) Curvas.c) Ninguna de las anteriores.d)

2. Óscar construyó una casa a su perro, aunque no quedó perfectamente recta. Vista desde arriba la casa es un cuadrilátero, y tres de sus ángulos miden 85°, 94° y 78°. ¿Cuánto mide el cuarto ángulo formado por las paredes de la casa?

103°a) 13°b) 193°c) 58°d)

6. ¿Cuál es el valor de x?

90°a) 100°b) 110°c) 120°d)

3. Una mesa de madera tiene forma triangular. Todos los lados de la mesa tienen la misma longitud, y todos los ángulos igual medida. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de los ángulos de la mesa?

45°a) 90°b) 72°c) 60°d)

7. Durante una excavación arqueológica se halló dibujada en una de las paredes de una caverna, una figura geométrica regular cuyos ángulos internos sumaban 360°. ¿Cuántos lados tiene la figura geométrica hallada?

4a) 7b) 6c) 9d)

4. Los raíles de una línea de tren son atravesa-dos por una carretera. La carretera forma un ángulo de 70° con cada uno de los raíles, en su parte norte. Sabiendo que los raíles son paralelos entre sí, ¿cómo clasificarías a los ángulos mencionados?

Adyacentes.a) Suplementarios.b) Correspondientes.c) Alternos internos.d)

8. Para hacer la vela de un velero se emplea una pieza de tela triangular. Las medidas de sus ángulos son 35°, 95° y 50°. Teniendo en cuenta la medida de sus ángulos, podemos decir que la vela es un triángulo:

Acutángulo.a) Rectángulo.b) Obtusángulo.c) Ninguno de los anteriores.d)

x

100°150°




[15%] 1. Determina la media aritmética de los siguientes conjuntos de datos:

10; 15; 25; 18; 32; 21; 24; 28 a) x =

0,2; 0,5; 0,4; 0,25; 0,6; 0,33; 0,45; 0,04 b) x =

12,3; 15,2; 9,8; 10,75; 20,4; 13,5; 14,02; 12,9 c) x =

1 230; 3 560; 989; 2 036; 1 625; 1 899; 1 302; 2 883 d) x =

[10%] 2. Halla la moda entre los siguientes grupos de datos:

Azul rojo negro rojo verde azul rojo gris Mo = a)

4 8 5 9 3 7 5 6 Mo = b)

10% 15% 23% 12% 17% 11% 12% 21% Mo = c)

0,2 0,45 0,21 0,15 0,6 0,22 0,2 0,19 Mo = d) 13

e) 32 12

4 13

4 6

4 2

3 3

4 2

4 Mo =

[10%] 3. Determina la mediana de las siguientes series de datos:

28 30 41 32 42 36 37 29 Me = a)

15,7 15,2 15,9 15,13 15,6 15,95 15,02 15,8 Me = b)

0,46 2,3 1,25 4,2 0,9 2,7 5,2 2,9 Me = c)

402 352 389 371 390 409 399 400 Me = d)

[10%] 4. Los siguientes gráficos circulares muestran la cantidad de alumnos y alumnas de 5° a 8° básico en dos colegios. Construye una tabla para cada uno con los datos que se muestran en ellos:a) b)

[15%] 5. Marca con una 7 cuáles de los siguientes experimentos pueden ser clasificados como aleatorios:

a) Lanzar dos monedas para obtener cara o sello.

b) Lanzar un dado para obtener un número.

c) Medir la altura de un edificio.

d) Lanzar una bola en una ruleta para elegir un número.

e) Calcular la temperatura del sol.

f) Contar la cantidad de personas que viven en un pueblo.

g) Escoger sin mirar una ficha dentro de una bolsa llena de fichas de varios colores.

h) Determinar la masa de un elefante.

5°

6°

7°

8°

142

150

130

125

5°

6°

7°

8º

302

315

255

260

Evaluaciones



1. Varios astronautas para su entrenamiento deberán recorrer 18 000 kilómetros en un período de 10 meses. Llevarán 4 toneladas de alimentos y usarán un logo rojo en sus uniformes. De la información anterior, no es relevante para el viaje:

La distancia a recorrer.a) El tiempo que durará el viaje.b) La cantidad de alimento a llevar.c) El color del logo de los uniformes.d)

5. Jorge lanza repetidamente un dado y anota el número que obtiene en cada ocasión. Después de lanzar el dado un gran número de veces, la cantidad de veces que obtuvo un 4 debe ser aproximadamente:

Un cuarto de las veces.a) La mitad de las veces.b) Un tercio de las veces.c) Un sexto de las veces.d)

2. En el estacionamiento de un restaurante hay 10 autos. Dos de ellos son rojos, cuatro son azules, dos son verdes y dos son grises. La moda entre los tipos de autos estacionados es:

Rojo.a) Azul.b) Verde.c) Gris.d)

6. Cinco amigos realizaron su primer examen de matemáticas del curso. Todos obtuvieron notas diferentes: Juan 6,2 puntos, Marcos 5,9, Pablo 6,6, Matías 5,5 y César 5,8. La mediana entre las notas es:

5,9 puntosa) 6,2 puntosb) 6 puntosc) 6,6 puntosd)

3. En un muelle se realizan 5 mediciones dia-rias de la profundidad del mar para estudios relacionados con las mareas. Los valores obtenidos en un día fueron: 12,5 m, 14,3 m, 13,9 m, 11,4 m y 13,1 m. La media aritmética de esta muestra es:

12,95 ma) 13,04 mb) 14,01 mc) 14,08 md)

7. Cuatro niños realizan cuatro experimentos. Los experimentos son: lanzar un dado, lanzar una moneda, escoger una carta sin mirar y calcular sus edades expresadas en días. Entre estos, no es un experimento aleatorio:

Lanzar un dado.a) Lanzar una moneda.b) Escoger una carta sin mirar.c) Calcular sus edades.d)

4. Luis tiene 20 bolas azules, 20 blancas y 10 rojas. Si pone todas en una bolsa y elige sin mirar una bola, ¿cuál es la probabilidad que la bola no sea blanca?

0,4a) 0,6b) 0,2c) 0,3d)

8. Pedro, Pablo, Pamela y Patricia son cuatro hermanos. Sus edades son 22, 18, 15 y 13 años respectivamente. La media aritmética de sus edades es:

15 añosa) 17 añosb) 16 añosc) 18 añosd)


Evaluación Primer Semestre


[10%] 1. Calcula las siguientes operaciones con números decimales:

2,3 · (6,7 + 3,3) = a)

(45,4 + 30,81) : 2,5 = b)

29,99 : 5,99 = c)

6,04 · 4,53 = d)

[10%] 2. Transforma los siguientes números decimales en fracciones irreductibles:

0,25 = a)

1,125 = b)

3,c) 1 =

0,d) 24 =

4,04 = e)

2,f) 7 =

[10%] 3. Determina el resultado de:

12120

a) · 6533

=

113

b) : 2226

=

3628

c) · 4972

=

1618

d) : 4024

=

[10%] 4. Halla:

El 23% de 150 es a) .

El 15,5% de 920 es b) .

El 85% de 1 204 es c) .

18 es el d) % de 72.

12,5 es el e) % de 50.

472 es el f) % de 1 358.

[10%] 5. Responde a las siguientes preguntas:

¿Cuál es el valor de 5a) 4?

¿Cuál es la descomposición canónica del número 18 309? b)

¿Cómo se expresa el número 45 200 000 mediante notación científica? c)

¿Cuál es el área de un cuadrado de 6,3 metros de lado? d)

¿Cuál es el área de un cuadrado de 39,9 centímetros de lado? e)

¿Cuál es el valor de 108f) 0?

[10%] 6. Calcula el valor de las siguientes potencias:

4a) 6 =

10b) 8 =

6c) 4 =

15d) 3 =

2e) 9 =

33f) 2 =

Evaluaciones



1. En la lengua española se reconocen hasta el año 2001 un total de 88 431 palabras co-rrectas. La descomposición canónica de este número es:

8 · 10a) 4 + 8 · 103 + 4 · 102 + 3 · 10 + 1

8 · 10b) 3 + 8 · 102 + 4 · 101 + 3 · 100 + 1

88 · 10c) 4 + 4 · 102 + 3 · 10 + 1

8 · 10d) 1 + 8 · 102 + 4 · 103 + 3 · 104 + 1 · 105

5. En un vagón del metro, la razón entre hombres y mujeres es 8 : 9. Si en el vagón viajan 24 hombres, ¿cuántas mujeres viajan en él?

17 mujeresa) 24 mujeresb) 26 mujeresc) 27 mujeresd)

2. En un laboratorio hay una muestra de carbono que contiene 6 022 000 000 000 átomos de dicho elemento. Si expresamos este número en notación científica obtenemos:

6 · 10a) 14

22 · 10b) 9

6 022 · 10c) 9

6,022 · 10d) 12

6. Un perro come la cuarta parte de un hueso y lo deja. Después come tres quintas partes de otro hueso igual y finalmente devora la mitad de un tercer hueso. ¿Qué cantidad de hueso comió el perro?

32

a) de hueso

43

b) de hueso

85

c) de hueso

2720

d) de hueso

3. En las elecciones para alcalde en una comuna se presentaron 5 candidatos. El ganador final-mente obtuvo el 48,5% de los votos emitidos. Si en total votaron 50 200 personas, ¿cuántas de ellas votaron por el ganador?

48 500 personasa) 24 347 personasb) 24 250 personasc) 32 166 personasd)

7. En un camión de transporte de frutas, el 40% de las bandejas contienen manzanas verdes y rojas; y de estas, el 35% contienen manzanas verdes. Si el camión transporta 150 bandejas de frutas, ¿cuántas bandejas de manzanas rojas transporta?

15 bandejasa) 21 bandejasb) 39 bandejasc) 40 bandejasd)

4. Tres barcos transportan 1 245,6 ton de carga. Si una flota está formada por 23 de estos barcos, ¿cuánta carga transporta?

7 162,2 tona) 9 549,6 tonb) 14 324,4 tonc) 28 648,8 tond)

8. Unos pescadores atraparon 12 salmones iguales cuyas masas sumaban 132 kg. Si luego capturaron 7 salmones más, iguales a los anteriores, ¿cuántos kilogramos de salmón tendrán en total?

132 kga) 77 kgb) 209 kgc) 264 kgd)


Evaluación Segundo Semestre


[10%] 1. Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:

10a) x + 5 + 12x + 43 + 8x + 11 + 16 – 21x + 16x =

yb) + 12x + 8 + 2x + 5y + 15x + 13y =

5c) mn + 16pm + 18pn + 10nm + 21np + pn – 15mp =

[15%] 2. Calcula el valor de la variable en las siguientes ecuaciones de primer grado:

3a) x + 23 = 35 x =

21b) x – 4 = 38 x =

4 · (2c) x – 15) = 52 x =

5d) x + 25 = 50 x =

2 · (2e) x + 5) = 22 x =

16 · (10 – 2f) x) = 32 x =

xg) + 5 = 5 x =

(0,2h) x + 20) : 4 = 10 x =

[10%] 3. Mide los ángulos señalados y clasifícalos según esta medida:

a)

b)

c)

d)

[15%] 4. Determina la media aritmética, moda y mediana de los siguientes conjuntos de datos:

0,2; 0,6; 0,75; 0,6; 0,9; 0,3; 0,66; 0,41 a) x = Mo = Me =

315; 320; 402; 330; 335; 380; 322; 315 b) x = Mo = Me =

33; 28; 12; 61; 47; 29; 28; 36 c) x = Mo = Me = 125

d) ; 1510

; 15; 19

10; 3

2; 2

5; 7

10; 4

5 x = Mo = Me =

[10%] 5. Identifica con una 7 aquellos de los siguientes experimentos que constituyan experimentos aleatorios:

a) Lanzar dos dados de 6 caras cada uno.

b) Medir la distancia entre dos árboles específicos en un parque.

c) Calcular la cantidad de agua contenida en un recipiente de almacenamiento.

d) Escoger una carta entre un mazo de 52 cartas con los ojos vendados.

e) Jugar a la lotería.

f) Determinar con un termómetro la temperatura de un líquido.

Evaluaciones



1. De tres escaleras, la primera tiene el doble de escalones que la segunda; mientras que la tercera tiene el triple de escalones que la segunda. Si entre las tres suman 48 esca-lones, ¿cuántos escalones tiene la primera escalera?

12 escalonesa) 14 escalonesb) 16 escalonesc) 18 escalonesd)

5. Pedro debe hacer un plano de su casa, por lo que mide las longitudes de todas las paredes, así como los ángulos que forman entre ellas. Cuando dibujó su pieza vio que representaba una figura geométrica de cuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90°. Esta figura es:

Un cuadrado.a) Un rectángulo.b) Un trapecio.c) Un rombo.d)

2. Los cinco edificios más altos de una ciudad moderna tienen una altura de 400, 380, 375, 375 y 350 metros respectivamente. La media-na del conjunto de datos formado por dichas alturas es:

380 ma) 375 mb) 377 mc) 385 md)

6. Una casa de madera típica de ciertas regio-nes campestres proyecta sobre el pasto una sombra triangular. El ángulo interno que se encuentra más alejado de la casa mide 75°. Este es un ángulo:

Obtuso.a) Agudo.b) Recto.c) Llano.d)

3. Tres gallinas ponen en un mes 73 huevos. La gallina blanca pone el doble de huevos que la negra y la gallina pintada pone 7 huevos menos que los que pone la blanca. ¿Cuántos huevos pone la gallina pintada?

30 huevosa) 33 huevosb) 36 huevosc) 25 huevosd)

7. Andrés mide 150 cm de altura, su masa es de 46 kg, tiene los ojos azules y una gran musculatura. Si Andrés quiere entrar a una escuela deportiva, no será un dato relevante para la matrícula:

Su altura.a) Su peso.b) El color de sus ojos.c) Su musculatura.d)

4. El promedio de las notas obtenidas por 5 estudiantes en una prueba de matemáticas fue de 6,2. Si cuatro de esas notas fueron 6; 6,4; 6,3 y 6,2, ¿cuál es la quinta nota?

6,1a) 6,3b) 5,9c) 6d)

8. La punta de una flecha tiene la forma de un triángulo isósceles. Los dos ángulos iguales miden cada uno 72°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

36°a) 46°b) 126°c) 44°d)


Evaluación Anual


[10%] 1. Realiza las siguientes operaciones con números decimales:0,78 + 1,119 = a)

5,04 – 4,3 = b)

6,2 · 7,1 = c)

28,5 : 3,4 = d)

23,93 + 15,8 = e)

121,2 – 73,25 = f)

10,5 · 8,32 = g)

8,211 : 2,125 = h)

[10%] 2. Calcula los porcentajes que se señalan de los números que se indican en cada caso:El 3,5% de 460 es a)

El 21% de 105 es b)

El 8,2% de 1 050 es c)

El 12,5% de 24,8 es d)

El 72% de 309 es e)

El 33,3% de 198 es f)

[10%] 3. Expresa los siguientes números como el producto de un número mayor que 1 y menor que 10 y una potencia de 10 (notación científica):

34 050 000 = a)

205 000 000 000 000 000 000 = b)

1 312 300 000 000 000 = c)

505 = d)

79 300 270 000 000 000 = e)

9 000 000 000 = f)

48 000 000 = g)

222 031 000 000 000 = h)

[10%] 4. Valida las siguientes ecuaciones empleando el valor de la variable que se indica en cada caso:7a) x + 15 = 43

3 · (12b) x – 6) = 72

2c) x – 4 = 30

(16d) x + 34) : 13 = 10

Para x = 4

Para x = 2,5

Para x = 17

Para x = 6

[10%] 5. Halla el valor del ángulo señalado en las siguientes figuras:a)

b)

c)

d)

[10%] 6. Determina la moda, mediana y media aritmética de los siguientes conjuntos de datos:

48; 39; 43; 45; 52; 43; 41; 32 a) x = Mo = Me =

108,2; 92,3; 96,7; 98,1; 92,5; 93,5; 100,8; 96,7 b) x = Mo = Me =

205; 199; 210; 212; 205; 205; 202; 212 c) x = Mo = Me =

0,04; 0,14; 0,14; 0,09; 0,1; 0,01; 0,05; 0,08 d) x = Mo = Me =

x

x x

x x

83°

62° x

x x

x

x x

120° 120°

x = x =

x = x =

Evaluaciones



1. Un monumento posee una base de 2,4 m de altura. Encima tiene una columna de 8,65 m de altura, y finalmente una estatua de 3,1 m de altura. ¿Cuál es la altura total del monu-mento?

13,25 ma) 14,15 mb) 11,05 mc) 14,25 md)

5. Pablo compró una cámara fotográfica en va-rias cuotas. Si el primer mes pagó $ 18 500, correspondientes al 12,5% del valor total de la cámara, ¿cuánto deberá pagar Pablo en total por la cámara?

$ 160 000 a) $ 158 000 b) $ 148 000 c) $ 152 500d)

2. La pista principal de un aeropuerto mide 4,2 km de largo. Dicha pista está formada por lozas de hormigón dispuestas una a con-tinuación de la otra. Si a lo largo de la pista hay exactamente 840 lozas iguales, ¿cuál es el largo de cada una de ellas?

5 ma) 50 mb) 0,5 mc) 500 md)

6. La distancia media entre dos planetas en un sis-tema planetario lejano es de 154 000 000 km. Si una nave pudiera recorrer 105 km por día, ¿cuántos días le tomaría recorrer la distancia entre ambos planetas?

154 000 díasa) 1 540 díasb) 15 400 díasc) 154 díasd)

3. Teresa compra adornos dorados y rojos para su árbol de navidad. La cantidad de adornos rojos es 3 veces la cantidad de adornos do-rados. Si en total tiene 32 adornos, ¿cuántos adornos rojos compró Teresa?

15 adornosa) 24 adornosb) 32 adornosc) 36 adornosd)

7. Una pista de patinaje sobre hielo tiene la forma de una figura geométrica de seis lados. Dichos lados son todos iguales entre sí, y los ángulos que forman en sus vértices son también iguales. ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?

60°a) 120°b) 180°c) 90°d)

4. Varios competidores participan en un torneo de pesas. Los pesos levantados por los primeros 5 lugares en la clasificación final fueron de 210, 207, 205, 205 y 203 kilogramos. La mediana de este conjunto de datos es:

210 kga) 207 kgb) 205 kgc) 203 kgd)

8. En una feria internacional de artesanía por cada 16 collares de cuentas que uno com-pra, le regalan 3 pañuelos tejidos. Varias amigas que fueron juntas recibieron en total 18 pañuelos de regalo. ¿Cuántos collares compraron?

96 collaresa) 80 collaresb) 72 collaresc) 48 collaresd)


Solucionario Unidad 1I. Ejercicios de desarrollo1. a) 23 cm; b) 44,5 dm; c) 0,3002 km; d) 8 250 m; e) 0,036 km.2. a) 25/100; b) 44/100; c) 235/100; d) 205/10; e) 2/1 000; f) 34/10; g) 123/10; h)125/1 000; i) 5 675/1 000.3. a) 29/9; b) 5/9; c) 1/90; d) 23/9; e) 27 041/9 000; f) 6 748/999; g) 76 222/99 000; h) 3 400/99; i) 120 333/9 990;

j) 20 966 669/9 990 000.4. a) 18,54; b) 25,96; c) Aprox. 40,6759; d) 83,637: e) 15,357; f) 78,26375.II. Ejercicios con alternativas1. b 2. a 3. a 4. c 5. c 6. c 7. a 8. b

Solucionario Unidad 2I. Ejercicios de desarrollo1. a) 1/2; b) 8; c) 1/72; d) 6/35; e) 52/77; f) 1; g) 27/40; h) 55/54.2. a) 2/49; b) 25/64; c) 6/5; d) 6/5; e) 1/2; f) 9/2; g) 1/336; h) 3/4.3. a) 31/12; b) 1/3; c) 1/4; d) 13/9; e) 7/13; f) 1/256.4. a) 12; b) 24; c) 11,2; d) 7.5. a) 1 656,72; b) 58,968; c) 9 013,307; d) 344,988.II. Ejercicios con alternativas1. c 2. b 3. d 4. a 5. b 6. c 7. a 8. c.

Solucionario Unidad 3I. Ejercicios de desarrollo1. a) 16; b) 216; c) 125; d) 100 000 000; e) 128; f) 343; g) 59 049; h) 20 736; i) 529; j) 3 375; k) 729;

l) 1 000 000 000 000.2. a) 4 · 104 + 2 · 103 + 5 · 10; b) 3 · 105 + 3 · 103 + 1 · 102 + 9 · 10 + 5; c) 2 · 107 + 3 · 106 + 5 · 103 + 6 · 102;

d) 1 · 109 + 3 · 107 + 3 · 106 + 5; e) 1 · 1013; f) 8 · 104 + 1 · 103 + 2 · 102 + 2; g) 7 · 105 + 9 · 104 + 3 · 103 + 2 · 10 + 5; h) 4 · 108 + 9 · 105 + 8 · 104.

3. a) 2,4; b) 456 000 ; c) 320; d) 1 420 000; e) 2 200 000 000 000; f) 120,004; g) 0,452; h) 876 022 000 000. 4. a) 1 034 · 1021 ; b) 23 703 · 1010; c) 12 072 043 · 1027; d) 951 114 · 1015; e) 2 045 · 100; f) 845 · 104;

g) 1 005 005 · 106; h) 255 · 106.II. Ejercicios con alternativas1. c 2. c 3. b 4. a 5. a 6. d 7. d 8. c.

Solucionario Unidad 4I. Ejercicios de desarrollo1. a) 481; b) 47; c) 31; d) 193,25; e) 199 998,8; f) 118.2. a) -21x + 20y; b) 41x + 4y + 2xy; c) 19x + 21xy – 14y; d) 1,5z + x + 15y – 210; e) 6a + 4b; f) 38x + 15y + 5.3. a); c); f); g).4. a) 2,5; b) 4; c) 1,25; d) 5; e) 0,75.5. No son correctas la c) y la f).II. Ejercicios con alternativas1. d 2. a 3. c 4. c 5. d 6. b 7. b 8. d.

Solucionario Unidad 5I. Ejercicios de desarrollo1. a) Obtuso; b) Agudo; c) Agudo; d)Recto.2. a) Aprox. 125°; b) Aprox. 15°; c) Aprox. 70°; d) Aprox. 170°.4. a) 35°; b) 30°; c) 90°; d) 120°.II. Ejercicios con alternativas1. a 2. a 3. d 4. c 5. b 6. c 7. a 8. c.

Evaluaciones


Solucionario Unidad 6I. Ejercicios de desarrollo1. a) 21,625; b) 0,34625; c) 13,60875; d) 1 940,5.2. a) Rojo; b) 5; c) 12%; d) 0,2; e) 3/2.3. a) Me = 34; b) Me = 16,65; c) Me = 2,5; d) Me = 394,5.4. a) b)

5. Son aleatorios el a), el b), el d) y el g).II. Ejercicios con alternativas1. d 2. b 3. b 4. b 5. d 6. a 7. d 8. b.

Solucionario Primer SemestreI. Ejercicios de desarrollo1. a) 23; b) 30,484; c) Aprox. 5,00668; d) 27,3612.2. a) 1/4; b) 9/8 c) 28/9; d) 8/33; e) 101/25; f) 25/9.3. a) 143/12; b) 1/11; c) 7/8; d) 8/15.4. a) 34,5; b) 142,6; c) 1 023,4; d) 25%; e) 25%; f) Aprox. 34,8%.5. a) 625; b) 1 · 104 + 8 · 103 + 3 · 102 + 9 · 10°; c) 4,52 · 107; d) 39,69 m2; e) 1 592,01 cm2; f) 1.6. a) 4 096; b) 100 000 000; c) 1 296; d) 3 375; e) 512; f) 1 089.II. Ejercicios con alternativas1. a 2. d 3. b 4. b 5. d 6. d 7. c 8. c.

Solucionario Segundo SemestreI. Ejercicios de desarrollo1. a) 25x + 75; b) 19y + 29x + 8; c) 15mn + pm + 40pn.2. a) 4; b) 2; c) 14; d) 5; e) 3; f) 4; g) 0; h) 100.3. a) Aprox. 35°, agudo; b) Aprox. 95°, obtuso; c) Aprox. 135°, obtuso; d) Aprox. 45°, agudo.4. a) x = 0,5525, Mo = 0,6, Me = 0,6; b) x = 339,9, Mo = 315, Me = 326; c) x = 34,25, Mo = 28, Me = 31; d) x = 47/40, Mo = 3/2, Me = 23/20.5. a); d); e).II. Ejercicios con alternativas1. c 2. b 3. d 4. a 5. a 6. b 7. c 8. a.

Solucionario Evaluación AnualI. Ejercicios de desarrollo1. a) 1,899; b) 0,74; c) 44,02; d) 8,38; e) 39,73; f) 47,95; g) 87,36; h) 3,864.2. a) 16,1; b) 22,05; c) 86,1; d) 3,1; e) 222,48; f) 65,934.3. a) 3,405 · 107; b) 2,05 · 1020; c) 1,3123 · 1015; d) 5,05 · 102; e) 7,930027 · 1016; f) 9 · 109; g) 4,8 · 107; h) 2,22031 · 1014.5. a) 108°; b) 60°; c) 60°; d) 35°.6. a) x = 42,875, Mo = 43, Me = 43; b) x = 97,35, Mo = 96,7, Me = 96,7; c) x = 206,25, Mo = 205, Me = 205;

d) x = 0,08125, Mo = 0,14, Me = 0,085.II. Ejercicios con alternativas1. b 2. a 3. b 4. c 5. c 6. b 7. b 8. a.

Cursos 5° 6° 7° 8°

Alumnos y alumnas 130 125 150 142

Cursos 5° 6° 7° 8°

Alumnos y alumnas 225 260 315 302

222 Otros recursos didácticos - Pautas de evaluaciónOtros recursos didácticos - Pautas de evaluación

Pautas de evaluación

A. Pautas modeloLista de cotejo para trabajos prácticos

Por medio de una lista de cotejo puede evaluar cualitativa o cuantitativamente, dependiendo del enfoque que se le quiera asignar. O bien, puede evaluar con mayor o menor grado de precisión o de profundidad. También es un instrumento que permite intervenir durante el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que puede graficar estados de avance o tareas pendientes. Por ello, las listas de cotejo poseen un amplio rango de aplicaciones y pueden ser fácilmente adaptadas a la situación requerida.

Objetivo de medición : Confeccionar algún producto con materiales o trabajar en sala de informática.Procedimiento : Basado en la observación.Instrumento : Lista de cotejo.Escala : Logrado (Sí) y No Logrado (No)

Nº Aspecto a evaluar Logrado No Logrado

1 Señala la importancia del conocer…(contenido)

2 Identifica aspectos del contenido tratado

3 Utiliza todos los recursos disponible para el trabajo

4 Considera la forma de trabajo sugerida (sigue instrucciones)

5 Trabaja en forma ordenada

6 Confecciona el trabajo cumpliendo con los requisitos exigidos

7 Es capaz de describir las características del trabajo realizado

8 Presenta el trabajo en forma limpia y ordenada

Escala de apreciaciónA diferencia de las listas de cotejo, las escalas de apreciación incorporan una gradiente de desempeño, que

puede ser expresada en una escala numérica (o conceptual), gráfica o descriptiva. Por lo tanto, las escalas de apreciación tienen la misma estructura que las listas de cotejo, pero incorporan más variables en la observación. Ello permite discriminar con un mayor grado de precisión el comportamiento a observar o el contenido a medir.

Objetivo de medición : Desarrollar el respeto y responsabilidad de los estudiantes durante el trabajo en equipo.Procedimiento : Basado en la observación.Instrumento : Escala de apreciación.Escala : Siempre – Casi Siempre – A Veces – Casi Nunca – Nunca

S = Siempre C.S. = Casi Siempre A.V. = A Veces C.N. = Casi Nunca N = Nunca

Nº Aspecto a evaluar S C.S. A.V. C.N. N

1 Cumple con las tareas asignadas por el resto de los integrantes del grupo

2 Trae los materiales con los que se comprometió

3 Cumple con los tiempos asignados para terminar el trabajo

4 Cuida los materiales con los que trabaja

5 Respeta y acepta ideas diferentes a las suyas al momento de confeccionar el trabajo grupal

6 Utiliza el diálogo como medio para resolver conflictos

7 Mantiene una actitud positiva al momento de confeccionar el trabajo grupal

8 Escucha a sus compañeros y compañeras con atención

223


Otros recursos didácticos - Pautas de evaluaciónOtros recursos didácticos - Pautas de evaluación

Escala de calificaciónEn este caso el proceso de calificación es más lento, especialmente porque se evalúan individualmente diferen-

tes habilidades o características. Esta escala permite una permanente retroalimentación tanto para el estudiante como para el maestro. Lo anterior hace posible crear un perfil de las fortalezas y debilidades específicas de cada estudiante con el fin de establecer un curso de acción para reforzar las primeras y superar las últimas.

Objetivo de medición : Realizar una exposición oral sobre…Procedimiento : Basado en la observación.Instrumento : Escala de calificación.Escala : Excelente – Bueno – Suficiente – Insuficiente.

E: Excelente B: Bueno S: Suficiente I: Insuficiente

Nº Aspecto a evaluarPuntaje

IdealE

100%B

75%S

50%I

25%Puntaje Logro

1 Utiliza material de apoyo en su exposición 10

2 Menciona las principales características de… 20

3 Utiliza un volumen de voz apropiado 10

4 Su vocabulario es el adecuado 10

5 Utiliza adecuadamente el espacio físico de la sala 10

6 Cumple con los requerimientos pedidos para su exposición 10

7 Existe coherencia y relación en la secuencia de la exposición 15

8 Realiza preguntas a sus compañeros o compañeras y acepta que se las formulen a él o a ella

15

Total 100

B. Pautas específicasEscala de apreciación

Sugerencias de indicadores para una presentación oralNombres:

Tema: Curso: Fecha:

E = Excelente B = Bueno R = Regular I = Insuficiente

Aspecto a evaluar E B R I

Habilidad(procedimental)

Usa lenguaje culto y formal en la exposición oral

Proyecta la voz de acuerdo a espacio físico disponible

Modula correctamente

Demuestra seguridad en la exposición

Evidencia postura corporal acorde con una exposición formal

Maneja y distribuye el tiempo de manera adecuada

Usa adecuadamente los medios audiovisuales

Conocimiento Explica con claridad las ideas y nociones principales de…

Construye o da ejemplos vinculados con…

Distingue las ideas primarias de las secundarias de…

Relaciona los argumentos centrales de… con la vida cotidiana

Actitudinal Realiza la presentación oral en la fecha indicada

Realiza la presentación oral en el tiempo establecido

Acepta aportes, correcciones y sugerencias realizadas por el curso

Evidencia actitud receptiva y respetuosa a la intervención del curso

Total

224

Lista de evaluación del desarrollo de habilidadesLa siguiente tabla constituye una herramienta que permitirá al docente sintetizar las actividades desarrolladas

por los estudiantes en función de las habilidades adquiridas por ellos.

Esta evaluación puede trabajarse de modo cualitativo o cuantitativo en dependencia de la elección del docente.

Tipo de actividad Competencias que permiten entrenar y evaluar

Cap

acid

ad d

e an

ális

is

Cap

acid

ad d

e sí

ntes

is

Raz

onam

ient

o ló

gico

Cap

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e ap

licar

co

noci

mie

ntos

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Res

oluc

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emas

Tom

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dec

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nes

Ges

tiona

r in

form

ació

n de

fu

ente

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vers

as

Con

ocim

ient

os d

e in

form

átic

a

Com

unic

ació

n or

al

Com

unic

ació

n es

crita

Búsqueda de datos y documentos

Análisis de diferentes teorías en rela-ción con el contenido

Exposición de informes

Simulaciones e investigaciones

Elaboración de mapas conceptuales

Enunciados con respuesta múltiple, alternativa, de clasificación, de identifi-cación, de selección o de completar

Preguntas de desarrollo

Trabajo con textos: resúmenes, esque-mas, cuadros, gráficas, tablas

Elaboración de dictámenes, informes y escritos

Debates y grupos de discusión

Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación

En la primera columna se listan las actividades de aprendizaje propias del sector y en la fila bajo el encabe-zado se ubican las competencias. Como se puede observar, el área sombreada muestra la competencia que frecuentemente se desarrolla por cada tipo de actividad.

Vuelque en esta tabla sus observaciones del trabajo de aula, marcando su visto bueno en las competencias que el estudiantes demuestra aplicar al realizar las diferentes actividades.

225

Instrumento de evaluación para las Evaluaciones de la guíaEn las páginas 202 a 219 de esta guía, los docentes cuentan con evaluaciones reproducibles para cada una

de las unidades del texto, además de dos evaluaciones que abarcan los contenidos correspondientes a ambos semestres y una que reunirá los temas más importantes del curso.

En cada una de las preguntas de estas evaluaciones aparece el porcentaje de logro ideal correspondiente a cada pregunta. Una vez que los estudiantes completen sus evaluaciones, podrán determinar por sí mismos, si usted lo considera pertinente, su nivel de logro, considerando los resultados resumidos en la siguiente tabla:

Porcentaje [%] Evaluación

90 – 100 Excelente

80 – 90 Muy bien

70 – 80 Bien

60 – 70 Regular

0 – 60 Insuficiente

Más adelante se entregan pautas que le facilitarán la determinación del nivel de logro de sus estudiantes en cada evaluación. Para completarlas le mostramos un ejemplo:

Ejercicios de desarrollo: Un estudiante en la evaluación de la Unidad 1 obtiene los siguientes resultados:Pregunta 1 (20%): 3 ítems correctos de 5. Pregunta 3 (10%): 8 ítems correctos de 10. Pregunta 2 (10%): 10 ítems correctos de 10. Pregunta 4 (20%): 5 ítems correctos de 6.

Ejercicios con alternativas: 7 ítems correctos de 8.

Entonces, la tabla queda como sigue:

Pregunta Logro ideal (%) Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

I. Ejercicios de desarrollo

1 20 (0,2 · 3/5) · 100 12

2 10 (0,1 · 10/10) · 100 10

3 10 (0,1 · 8/10) · 100 8

4 20 (0,2 · 5/6) · 100 16,7

II. Ejercicios con alternativas 40 (0,4 · 7/8) · 100 35

Total 100 81,7 (Muy bien)

A continuación le ofrecemos las pautas para cada evaluación:




1 20 (0,2 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 20 (0,2 · ) · 100

II. Ejercicios con alternativas 40 (0,4 · ) · 100

Total 100



226




1 10 (0,1 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 5 (0,05 · ) · 100

4 15 (0,15 · ) · 100

5 20 (0,2 · ) · 100


Total 100




1 15 (0,15 · ) · 100

2 15 (0,15 · ) · 100

3 15 (0,15 · ) · 100

4 15 (0,15 · ) · 100


Total 100




1 10 (0,1 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 20 (0,2 · ) · 100

5 10 (0,1 · ) · 100


Total 100




1 15 (0,15 · ) · 100

2 15 (0,15 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 20 (0,2 · ) · 100


Total 100


227




1 15 (0,15 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 10 (0,1 · ) · 100

5 15 (0,15 · ) · 100


Total 100

Evaluación Primer Semestre



1 10 (0,1 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 10 (0,1 · ) · 100

5 10 (0,1 · ) · 100

6 10 (0,1 · ) · 100


Total 100

Evaluación Segundo Semestre



1 10 (0,1 · ) · 100

2 15 (0,15 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 15 (0,15 · ) · 100

5 10 (0,1 · ) · 100


Total 100

Evaluación Anual



1 10 (0,1 · ) · 100

2 10 (0,1 · ) · 100

3 10 (0,1 · ) · 100

4 10 (0,1 · ) · 100

5 10 (0,1 · ) · 100

6 10 (0,1 · ) · 100


Total 100



228

I. Bibliografía

1. Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales: Diccionario esencial de las ciencias. Madrid: Editorial Espasa Calpe, S.A., 2002.

Diccionario que permite dar rigurosidad a los conceptos y definiciones tratadas en el Texto del Es-tudiante y en la Guía Didáctica del Docente.

2. Valiente Barderas, Santiago: Diccionario de Matemáticas. México D.F.: Editorial Alhambra mexicana, S.A., 1988.

Diccionario para precisar muchos términos matemáticos utilizados tanto en la elaboración del texto como en la de la guía.

II. Páginas web

1. http://www.estadisticaparatodos.es En este sitio existen numerosos ejercicios y problemas relacionados con la estadística y las proba-

bilidades que le pueden servir de apoyo no solo al trabajar en la clase, sino también como material adicional para orientar el estudio individual de sus estudiantes.

2. http://www.ine.cl La información estadística de nuestro país que encontrará en este sitio le facilitará el diseño de

actividades interesantes y contextualizadas para trabajar con sus alumnos y alumnas la realización de tablas y gráficos.

3. http://www.educarchile.cl En este sitio puede encontrar orientaciones metodológicas que le brindarán ideas para trabajar algu-

nos contenidos. También podrá disponer de pautas de evaluación prediseñadas y que usted podrá adecuar libremente según los requerimientos de sus estudiantes. Además, en este sitio hallará una amplia colección de fichas y juegos matemáticos, recursos que le ayudarán en el trabajo de algunos de los temas del curso.

4. http://www.eduteka.org Sitio donde es posible encontrar proyectos de clase: herramientas matemáticas, reseñas de sitios

web con contenidos matemáticos, investigaciones y fragmentos de libros.

5. http://www.mensa.es/juegosmensa Este sitio cuenta con muchos problemas matemáticos y de ingenio que le pueden ser de mucha uti-

lidad para trabajar con sus estudiantes. Algunos de los problemas que se proponen están diseñados para personas con un conocimientos matemático más profundo del que deben tener los estudiantes en este nivel, por lo tanto, le recomendamos ser cuidadoso en la selección.

Orientaciones bibliográficas

Otros recursos didácticos - Orientaciones bibliográficas

229

Orientaciones bibliográficas

6. http://sectormatematica.cl Sitio que posee aplicaciones computacionales, acertijos, artículos y problemas matemáticos; además

de referencias a otros sitios web con contenidos matemáticos.

7. http://es.wikipedia.org La Wikipedia es una enciclopedia libre al alcance de todo aquel que le sea posible navegar en

internet. En ella, encontrará interesantes artículos y las definiciones de muchos conceptos, pero le recomendamos que la ocupe con cautela, pues al ser una enciclopedia libre y poder ser editada por cualquier persona, puede contener algunas imprecisiones.

8. http://www.rae.es Este es el sitio oficial de la Real Academia Española y en él encontrará un diccionario de la lengua

española y un diccionario panhispánico de dudas.

9. http://yperelman.ifrance.com/yperelman/matematicarecreativa/index.html A través de este sitio usted podrá acceder al libro digital “Matemática recreativa” del eminente

matemático ruso Yakov Perelman. Como versa en su prólogo: “… es un libro para jugar mientras aprenden a resolver problemas matemáticos o, si lo prefieren, para aprender matemáticas mientras se juega.”

10. http://etpmb.galeon.com/productos1089671.html Esta página electrónica es un medio a su disposición para realizar consultas, obtener información

pedagógica o contactarse con algún colega. En él existen materiales de aplicación en el aula, expe-riencias educativas en base a contenidos concretos, información de técnicas y métodos para mejorar la práctica docente, entre muchos otros recursos.

Otros recursos didácticos - Orientaciones bibliográficas

230 Otros recursos didácticos - Orientaciones para el uso del Hipertexto

Orientaciones para el uso del Hipertexto

El recurso multimedia o Hipertexto que acompaña y complementa al Texto del Estudiante de Matemática de 6° Básico posee una estructura general similar a la de él, es decir, está dividido en 6 unidades didácticas que se identifican mediante los mismos títulos: Números decimales; Números fraccionarios, razones y porcentajes; Potencias; Ecuaciones de primer grado; Ángulos; e Información y azar.

Las secciones que conforman cada una de las unidades del Hipertexto son:

I. Inicio

1. Motivación. Sección que permite despertar el interés de los estudiantes por los contenidos que se tratarán tanto

en la unidad del texto como en su correspondiente unidad digital.

2. Diagnóstico. Actividades interactivas en las que los estudiantes deberán ocupar los conceptos y procedimientos

matemáticos aprendidos en años anteriores y que será necesario ocupar en el aprendizaje de los nuevos contenidos que existen en la unidad.

II. Desarrollo

Actividades interactivas de profundización de algunos temas tratados en el texto que complementan a los que se desarrollan en las páginas binarias. Al igual que las actividades del texto, se basan en los Contenidos Mínimos Obligatorios definidos por el Ministerio de Educación para el nivel educacional de 6° Básico.

III. Cierre

1. Síntesis. Resumen de la unidad del texto que se presenta como una red conceptual que requiere ser com-

pletada por los estudiantes.

2. Evaluación. Actividades interactivas por medio de las cuales los estudiantes se podrán autoevaluar en el manejo

de los conceptos y procedimientos aprendidos a lo largo del estudio de la unidad que corresponda.

En el Texto del Estudiante se indica por medio de un ícono cuándo se deben aplicar cada una de las

actividades del Hipertexto. El ícono que se ocupa es:

También en el Hipertexto se explicitan vínculos interactivos y se orienta y dirige al usuario a diver-sos sitios web y software que permiten ampliar las aplicaciones y usos de los contenidos del Texto del Estudiante y del Hipertexto de Matemática de 6° Básico.

Adicionalmente a esta breve reseña, en el propio Hipertexto existe un Tour Virtual que informa acerca de su estructura y orienta sobre cómo navegar dentro de él, por lo que se sugiere consultarlo cada vez que sea necesario.

Hoja Reservada

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