Matemática Maravillosa - Fundación Polar

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Introducción Espiral de Fibonacci (2006) La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al átomo como inicio y al Universo como la representación del infinito. Esta espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad universal: átomo, organismo multi- celular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo. Ilustración: Rogelio Chovet 2006
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Matemática Maravillosa - Fundación Polar

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  • I n t r o d u c c i n

    Espiral de Fibonacci (2006)La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacciutilizando al tomo como inicio y al Universo como larepresentacin del infinito. Esta espiral pasa por los distintosestadios de la complejidad universal: tomo, organismo multi-celular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo.Ilustracin: Rogelio Chovet

    2006

  • Fascculo 1 Introduccin2

  • Fascculo 1 Introduccin

    Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante,respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaboradoque, estamos seguros, se convertir en una herramienta til para unamejor comprensin y dominio de los conceptos y tcnicas propias dela matemtica.

    Matemtica Maravillosa, como hemos titulado la coleccin que hoyiniciamos, est particularmente dirigida a los estudiantes de los ltimosaos del bachillerato, educacin tcnica y preuniversitaria. En estaobra que presentaremos en 30 fascculos se aborda la matemtica delas formas y las transformaciones a travs de temas tales como:polgonos y poliedros, trigonometra, cnicas y cuadrticas, matrices,fractales y para cerrar la coleccin disfrutarn de unos fascculosfinales que vinculan la matemtica con las artes, la arquitectura y laingeniera.

    Como en las colecciones anteriores, Matemticas para todos y Elmundo de la matemtica, donde se expusieron los contenidos propiosde la educacin bsica y media, en esta obra sus autores, luego de unarduo trabajo, han volcado lo mejor de sus talentos, formacin y expe-riencia y han puesto especial cuidado en presentar los temas tratadosde una manera sencilla, atractiva y motivante, con profusin de im-genes y grficos que ilustran los diversos conceptos desarrollados,relacionndolos permanentemente con hechos de la vida cotidiana yestableciendo numerosas conexiones entre esta importante disciplinay otras reas del conocimiento tales como: fsica, qumica, geografa,economa, entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones uncarcter decididamente innovador.

    Empresas Polar, de la mano con su fundacin y el decidido apoyodel diario ltimas Noticias, harn posible que cada martes, mircolesy jueves, durante los prximos meses, llegue gratuitamente MatemticaMaravillosa a cientos de miles de hogares venezolanos trayendo lucespara todos. Impulsados por nuestra fe en el porvenir, desde FundacinPolar seguiremos aportando soluciones.

    Leonor Gimnez de Mendoza

    3

  • Fascculo 1 Introduccin4

    Matemtica Maravillosa concluye la coleccin de tres vol-menes cuyos dos primeros se publicaron en los aos 2004 y2005 y llevan por ttulo, respectivamente, Matemtica paratodos y El mundo de la matemtica. Esta triloga constituyeuna unidad dentro de la multiplicidad de temas presentados,abarcando desde el nivel de la tercera etapa de la educacinbsica hasta el primer semestre universitario y recorriendoel espectro de una variedad temtica integrada por conte-nidos de aritmtica, lgebra, geometra, medidas, trigonome-tra, grficos, curvas y superficies, estadstica y probabilidades,llegando hasta temas ms recientes como los cdigos, losfractales, los splines, los modelos matemticos, y ciertosaspectos de estadstica utilizados actualmente como tallos,hojas y cajas, los cuales impregnan el dinamismo de lamatemtica y suministran una caracterstica de su vitalidad.

    Esta tercera coleccin de fascculos, Matemtica Maravillosa,se orienta bsicamente hacia los alumnos y docentes de laeducacin media, diversificada y profesional, y los del primersemestre universitario. Asimismo, para aquellos bachilleresen ciencias, profesionales y tcnicos que cursaron algunasasignaturas de matemtica y quisieran revisar ciertoscontenidos de una manera actualizada y vinculada a diversasdisciplinas como la de ellos mismos.

    Ha sido un esfuerzo de trabajo sostenido durante ms de cua-tro aos de un equipo multidisciplinario de profesionales(matemticos, docentes de matemtica de educacin bsica ymedia diversificada, especialistas en educacin matemtica,especialistas de lenguaje, fsicos, estadsticos y diseadores)que, bajo el patrocinio de la Fundacin Polar y con el apoyopara su publicacin del diario ltimas Noticias, han permitidoalcanzar la meta de produccin de esta obra que en su totalidadcubre ms de 600 pginas.

  • 5 Fascculo 1 Introduccin

    A travs de toda la obra los temas se presentan en una formasencilla, prestando atencin especial al uso de imgenes ygrficas que ilustran los diversos conceptos y temas desarro-llados. Estos temas cubren parte de la matemtica que figuraen los programas oficiales de los niveles educativos enreferencia, pero son expuestos de una forma ms atractiva alo cotidiano del aula puesto que incluyen diversas secciones,a saber: reseas histricas, situaciones interesantes, retos, ten-go que pensarlo, juegos, ayer y hoy, ventana didctica yorientaciones metodolgicas, informacin actualizada delibros y pginas web, y numerosas conexiones de la matemticacon otras reas: arquitectura, ingeniera, artes, medicina,geografa, bisbol, poblaciones, economa, qumica, fsica,entre otras, que usualmente no se contemplan en esosprogramas de estudio.

    Tanto el equipo de redaccin y diseo de los fascculos comolos patrocinantes: Empresas Polar, Fundacin Polar y ltimasNoticias, aspiran que esta publicacin y la coleccin completa,contribuyan a refrescar y aumentar el caudal cultural de loshabitantes de nuestro pas en cuanto a la ciencia matemticay sus vinculaciones con una vasta gama de otras disciplinasy, por otra parte, favorezcan y mejoren el proceso de enseanza-aprendizaje.

    La coleccin de los tres volmenes se propuso ser un canalde divulgacin de la matemtica para un pblico amplio,escrito de una manera actualizada y de fcil entendimiento.Esperamos haber alcanzado dicha meta, pues ello incide posi-tivamente en mejorar la percepcin que puedan tener losciudadanos de la matemtica y a acrecentar su importanciapara el desarrollo de la sociedad.

  • 6 Fascculo 1 Introduccin

    El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos fascculoses de geometra o estn vinculados con esta rama de la matemtica.Igualmente, incluye trigonometra la cual aborda aspectos geomtricossobre ngulos y lados de un tringulo. Asimismo, en los contenidossobre matrices se ha puesto especial atencin a las transformacionesgeomtricas en un plano y en el espacio, y en los ltimos fascculosque relacionan la matemtica con las artes y la arquitectura, ademsde las vinculaciones geomtricas se ha desarrollado el tema deconstrucciones con regla y comps y de perspectiva. En este sentidopodemos afirmar que, de manera general, es una coleccin sobre Lamatemtica de las formas y sus transformaciones. Los distintostemas se agrupan en los ttulos que se describen a continuacin.

    POLGONOS Y POLIEDROSIniciando por los polgonos regulares convexos y estrellados, quehabamos tratado brevemente en Matemtica para todos, especial-mente lo referido a los tringulos, ahora se insiste en sus conexionescon las artes, la arquitectura, la biologa y la qumica, abordando eltpico de teselaciones con mosaicos regulares, mosaicos semirre-gulares, mosaicos de Escher y teselaciones de Penrose. Esto ltimosirve de introduccin a los cuasicristales. De aqu pasamos a ladimensin tres, extendindonos hasta la cuarta dimensin y utilizandotanto el lenguaje de coordenadas como el de grados de libertad.Desarrollamos lo referente a los poliedros regulares convexos y estre-llados e, igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitecturay la ingeniera, y con la qumica al abordar lo relativo a los fulerenosy los nanotubos. En Matemtica para todos ya se haba iniciadoel tratamiento de este tema.Al pasar a la cuarta dimensin nos referimos previamente al famosolibro de Edwin A. Abbot Flatland. A Romance of Many Dimensions(Planilandia. Un romance de muchas dimensiones, 1884) que nossirve de introduccin al tema, en donde se estudia especialmente elhipercubo mostrando algunas de sus aplicaciones.

    TRIGONOMETRALa trigonometra es una rama de la matemtica que estudia las rela-ciones de ngulos con conceptos geomtricos. Adems de las funcionesdefinidas sobre los ngulos, se tienen las funciones trigonomtricasdefinidas sobre conjuntos de nmeros reales, donde la vinculacinentre ambas est dada por la medida de ngulos.La trigonometra de ngulos tiene importancia especial en la astro-noma, la geodesia, la geografa, la navegacin, las construccionesciviles, entre otras. Las funciones trigonomtricas de nmeros realesson utilizadas en el clculo infinitesimal y en los fenmenos oscila-torios y peridicos.

  • 7 Fascculo 1 Introduccin

    Los fascculos dedicados a trigonometra contemplan los siguientestpicos en cuanto a la trigonometra de ngulos: ngulos y medidade ngulos; las funciones trigonomtricas de ngulos, la identidadfundamental sen2 + cos2 = 1 y su equivalencia con el teorema dePitgoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente, algunosaspectos de la geometra de la esfera y las coordenadas geogrficas.Luego se estudian las funciones trigonomtricas con dominio en unsubconjunto y sus grficas respectivas. Se aplican las funcionestrigonomtricas a las artes (construccin de Durero) y a la msica(con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar a ungrupo de venezolanos que lleg hasta el Polo Norte, se desarrollauna aplicacin referida a esta excursin.

    CNICAS Y CUDRICASLa geometra del espacio ha sido un tema descuidado en los programasinstruccionales previos a la educacin universitaria. La visualizacinde figuras en el espacio desde diferentes ngulos, sus secciones conplanos y sus propiedades y caractersticas, es un tema que presentadificultades de aprendizaje para estudiantes tanto a nivel de laeducacin secundaria como la superior. Por ello se incluy el estudiode las cudricas como lo anlogo de las cnicas en un plano, con elfin de explorar un tema geomtrico en el espacio, adems de suimportancia en varias reas de la matemtica y de la arquitectura eingeniera.Definimos las cnicas como lugares geomtricos de puntos de unplano as como secciones planas de una superficie cnica. Presentamosdiversas aplicaciones de las cnicas, desde las tradicionales de rbitaselpticas de los planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos deluz en una linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y laingeniera. Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide.El espacio lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posicionesrelativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotacin decurvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cudricas derevolucin: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e hiperboloides.Las cudricas son superficies muy utilizadas en la arquitectura y laingeniera, desde las clsicas como los conos, los cilindros (que soncudricas regladas) y las cpulas esfricas, hasta las otras cudricasregladas como los hiperboloides de una hoja y el paraboloidehiperblico. De esto se muestran diversos ejemplos de obras civiles.

    MATRICES Y TRANSFORMACIONESLas matrices (cuadros rectangulares de nmeros) constituyen unaherramienta fundamental en el tratamiento de los problemas lineales.De hecho, su estudio es parte del lgebra Lineal. Mediante las mismasse pueden estudiar las transformaciones geomtricas del plano y delespacio: rotaciones, reflexiones, homotecias, lo cual las vincula conla geometra. Asimismo, cabe destacar que los sistemas lineales deecuaciones se formulan y estudian en trminos matriciales.

  • 8 Fascculo 1 Introduccin

    El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones conducentesa plantear matrices y sigue con sus operaciones (adicin y sustraccin,producto por un nmero, multiplicacin) y algunas matrices espe-ciales. Se expresan diversas transformaciones geomtricas del planoy del espacio con matrices y se estudian los cuadrados mgicos y loscdigos como aplicaciones del lgebra matricial.

    FRACTALESEste es un tema novedoso para los estudiantes y docentes, y engeneral para el pblico, puesto que no est incluido en los programasde la educacin secundaria ni en el primer ao universitario y, porlo tanto, gran parte de los lectores que habrn escuchado tal nombreno lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de estudiarlo. Sin em-bargo, ya en El mundo de la matemtica se motivaron las sucesionescon el fractal de Sierpinski y en el Tengo que pensarlo correspon-diente se propuso el fractal copo de nieve de von Koch.La geometra fractal es la geometra de la naturaleza. Fue creadapor Benot Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha desarrolladovastamente, pasando a ser una teora matemtica con numerosasaplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en las artes.Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de Sierpinski,fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensin fractal que es,junto con la autosemejanza, la caracterstica clave de los fractales.Adems de los fractales en dos dimensiones, se construyen algunosen tres dimensiones y se dan ejemplos de fractales en obras de arte.

    MATEMTICA, ARTE Y ARQUITECTURAA lo largo de todos los fascculos que componen los tres volmenesde la coleccin de matemtica, se han incluido, de manera sistemtica,conexiones de los temas tratados con las artes (pintura, escultura ymsica) y la arquitectura e ingeniera. En el cierre de la coleccinpresentamos una visin unificadora en cuanto a esas conexiones yuna comparacin entre la evolucin de la matemtica y la de las artes(bsicamente pintura y escultura), resaltndolas con pensamientosde artistas venezolanos como Jess Soto, Mercedes Pardo y ManuelQuintana Castillo.Asimismo, dedicamos un fascculo a construcciones geomtricas;entre stas a los polgonos regulares y a la perspectiva, puesto quecomo se observa a travs de la coleccin, ellas tiene incidencia enarte, arquitectura e ingeniera.Este campo de relaciones fructferas matemtica-arte-arquitecturase ha desarrollado a nivel internacional con nfasis durante la segundamitad del siglo XX, y mayor mpetu a partir de los aos setenta, loque se refleja en congresos y seminarios internacionales, sociedadesy revistas creadas al respecto y publicacin de libros. Se espera quedicho campo se convierta en un factor til para el proceso deenseanza-aprendizaje de la matemtica, camino donde todava haybastante por realizar y profundizar.

  • Polgonos y poliedros

    2

    Fotografa del enrejado de la pirmide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museodel Louvre en Pars, Francia.

    Si no puedo dibujarlo esque no lo comprendoAlbert Einstein(Alemania, 1879-1955).

    Tributo a EinsteinBruni Sabian. Artista brasilea.

  • Fascculo 2 Polgonos y poliedros10

    La geometra euclidiana establece como elementos bsicospuntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figu-ras que se pueden construir con esos elementos, con parte deellos y con otras figuras como cnicas, cudricas, etc. As, consemirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzana construir ngulos, polgonos y poliedros.

    El mundo de los polgonosLo anterior nos indica que los polgonos (poli=muchos ygonos=ngulo) son figuras de muchos ngulos, pero esnecesario establecer que los polgonos se definen de tal formaque el nmero de ngulos, de lados y vrtices son iguales.Una definicin de polgono es: una figura plana, cerrada,formada por segmentos que se unen slo en sus extremos yen donde dos segmentos adyacentes no son colineales.

    El mundo de las formas poligonales y polidricas

    Defiende tu derecho a pensar, porqueincluso pensar en forma errnea es mejor

    que no pensar

    Hipatia de Alejandra (Egipto, 370-415 d.C.)

    Punto. Dimensin 0: no tiene largo, ancho ni altura

    Recta. Dimensin 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura

    Plano. Dimensin 2: tiene largo y ancho, no tiene altura

    Espacio. Dimensin 3: tiene largo, ancho y altura

    Estos son polgonos Estos no son polgonos

    Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vrtices, sedenomina diagonal del polgono. La unin de dos ladosconsecutivos del polgono determina un ngulo del mismollamado ngulo interior del polgono. Un lado y la prolon-gacin del otro determinan un ngulo exterior.

    Vrtice

    Lado

    Diag

    onal

    ngulo exteriorngulo interior

  • Fascculo 2 Polgonos y poliedros11

    Clasificacin de polgonosUna clasificacin de los polgonos es:

    Polgonos

    No convexos (cncavos)Convexos

    Regulares No regulares Equilteros (ladosiguales)

    No equilteros

    P Q

    Se caracterizan porque si elegimos en el polgonodos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQtambin est en el polgono. Otra caracterizacinde los polgonos convexos es que todos sus ngulosinternos miden menos de 180.

    P

    Q

    Se caracterizan porque se puede elegir dos puntosP y Q cualesquiera en el polgono, pero el segmentoPQ no est completamente contenido en elpolgono. Otra caracterizacin es que al menos unode sus ngulos internos mide ms de 180.

    PQ

    PQ

    Se caracterizan porqueson polgonos equin-gulos (todos sus ngu-los son iguales) y equi-lteros (todos sus ladosson iguales)

    Se obtienen al dividir unacircunferencia en partesiguales y luego al unir lospuntos de divisin de dosen dos, de tres en tres,puede resultar un poli-gono regular estrellado

    Decide: cules de las siguientes figurasson polgonos? Cules son convexos?Cules son equingulos? Cules sonequilteros? Cules son regulares? ycules son no regulares?

    Explica en cada caso el porqu de tudecisin.

    A CB D

    E F G H

  • Fascculo 2 Polgonos y poliedros12

    Los polgonos regulares son aquellos que tienen todos suslados iguales y todos sus ngulos iguales. Por ello un polgonoregular es inscrito en una circunferencia (todos sus vrticesson puntos de la circunferencia) y es circunscrito en unacircunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunfe-rencia).Se denomina ngulo central de un polgono regular el nguloque tiene de vrtice el centro del polgono y sus lados pasanpor dos vrtices consecutivos.

    Cada ngulo central de un tringulo equiltero mide =120.

    Cada ngulo central del pentgono regular mide =72.

    Cunto mide cada ngulo central de un hexgono regular?El de un octgono regular? En general, cunto mide cadangulo central de un polgono regular de n lados?Se denomina apotema de un polgono regular al segmentodeterminado por el centro del polgono y el punto medio deun lado del polgono.La medida de un ngulo interior de un polgono regular esigual a 180 menos la medida del ngulo central. Por qu?El ngulo interior de un pentgono mide 108. Cunto mideel ngulo interior de un hexgono regular y el de un octgonoregular?En general, cunto mide cada ngulo interior de un polgonoregular de n lados?A partir de un polgono regular de n lados se pueden construirpolgonos estrellados o formas estrelladas (que son noconvexas) y se clasifican en dos categoras: polgonos estrella-dos y polgonos falsos estrellados.Para construir una forma estrellada partimos de un polgonoregular de n vrtices. Enumeramos todos los vrtices. Partimosde uno de stos, por ejemplo del nmero 1, unindolos median-te segmentos de la siguiente manera:El vrtice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el7 y as sucesivamente de dos en dos (p=2).Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc.Si al final se han unido todos los vrtices y se llega al vrticeinicial se obtiene una figura estrellada (polgono estrellado).

    El mundo de los polgonos regulares

    Hexgono regular Octgono regular

    108

    72

    Ap

    otem

    a

    ngulocentral

    ngulointerno

    1

    2

    34

    5

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2

    3

    4

    56

    7

    8

    HexagramaFalso estrellado

    1-3-5-12-4-6-2

    Falso estrellado1-3-5-7-12-4-6-8-2

    Pentagrama1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)

    3603

    3605

    360/n

    Cuando resulta ms de un polgono stese llama polgono compuesto o falso

    estrellado.

    2 = 180- 3606

    =

    180 (6-2)6 =

    2 x1803

    n = 6

  • 13 Fascculo 2 Polgonos y poliedros

    Otro ejemplo de polgonos estrellados

    A partir de un dodecgono regular (n=12), el cual se puedeconstruir por duplicacin de un hexgono regular o, tambin,utilizando un transportador y marcando sobre la circunferenciaun ngulo central de 360/12 = 30. Tomar un comps y conesta abertura trazar los vrtices del dodecgono. Numeramoslas marcas del 1 al 12.

    Cuntos octgonos estrellados hay?

    Cuantos undecgonos estrellados hay?

    Sugerencia: Determina los nmeros primoscon 8 menores que 4 y aquellos primos con11 y menores a 5.

    30

    36012

    =30

    1

    2

    3

    4

    5

    67

    8

    9

    10

    11

    12

    p=5

    1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1

    Resulta un dodecgono estrellado

    1

    2

    3

    4

    5

    67

    8

    9

    10

    11

    121

    2

    3

    4

    5

    67

    8

    9

    10

    11

    12

    p=3

    1-4-7-10-1

    2-5-8-11-2

    3-6-9-12-3

    Resultan tres cuadrados por

    lo que es un falso estrellado

    p=2

    1-3-5-7-9-11-1

    2-4-6-8-10-12-2

    Resultan dos hexgonos por

    lo que es un estrellado compuesto

    o falso estrellado

  • 14 Fascculo 2 Polgonos y poliedros

    Todo tringulo es inscrito en una circunferencia de centro elpunto de corte de las mediatrices de los lados del tringuloy es circunscrito en una circunferencia de centro el punto decorte de las bisectrices de los ngulos internos del tringulo.Adems, todos los polgonos regulares satisfacen las mismaspropiedades.En el caso especial de los cuadrilteros, existen los que sepueden inscribir en una circunferencia denominadosconcclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polgonosregulares de 4 lados) y los rectngulos. Adems de losrectngulos, hay otros cuadrilteros no regulares que sonconcclicos.Mostramos varios ejemplos de estos cuadrilteros.

    El mundo de los cuadrilteros concclicos

    O

    O

    Una caracterizacin de los cuadrilteros concclicos es lasiguiente:Un cuadriltero es concclico s y solo s tiene dos ngulosopuestos suplementarios.Veamos porqu si un cuadriltero es concclico entonces tienedos ngulos opuestos suplementarios.El cuadriltero ABCD es concclico. Los ngulos ADC y ABCson ngulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC)es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC)es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arcoABC ms la medida del arco ADC es 360, luego m( ADC)+ m( ABC) = 180.Por tanto, los ngulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilteroconcclico, son suplementarios. De igual forma se demuestraque los ngulos BAD y BCD son suplementarios.

    A

    B

    C

    D

    O

    Observa en la figura los ngulos del cuadriltero y losdiferentes ngulos que se forman al trazar las diagonales delcuadriltero. Se establece que si el cuadriltero es concclicoentonces se cumple cada una de las siguientes relaciones:i) m ( BAD) + m( BCD)=180 ii) m( ABC) + m( ADC)=180

    iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = yY recprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera elcuadriltero es concclico.

    A

    B

    C

    D

    O

    dw

    x

    a

    b

    yc

    u

  • 15 Fascculo 2 Polgonos y poliedros

    Desde tiempos remotos los polgonos se han utilizado en lapintura, en la arquitectura y en la decoracin de monumentos,adems de su sentido mstico-religioso.A los pitagricos, conocedores del dodecaedro que representaEl Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinabaeste poliedro por su relacin con el pentagrama o estrella decinco puntas que era el smbolo mstico y de identificacin deesa hermandad, lo que a su vez est relacionado con el nmerode oro. ste fue tambin el signo cabalstico con el que elFausto del gran escritor alemn Gethe (1749-1832) atrap aMefistfeles.Diseo de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observauna circunferencia para representar el permetro interior y lasfilas de asientos. Se inscriben cuatro tringulos equilterosque reproducen el polgono estrellado compuesto de 12 lados(n=12 y p=4). Los astrlogos utilizan desde tiempos inmemo-riales una figura semejante a sta para representar los 12signos del zodaco.En el diseo de edificaciones como templos, monumentos,edificios, tambin es comn encontrar polgonos.

    Los polgonos en el diseo,las artes y la arquitectura

    El gran genio del Renacimiento italiano, LeonardoDa Vinci (1452-1519), en sus planos para construiriglesias utilizaba los polgonos regulares comouna parte esencial del diseo. All vemos unaplanta octogonal en la que se agregan capillas ala iglesia sin que se afecte la simetra del edificioprincipal.

    En la circunferencia externa del borde del teatrose situaron las columnas.

  • 16 Fascculo 2 Polgonos y poliedros

    El eminente arquitecto italiano de origen suizo, FrancescoCastelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de losmaestros del barroco italiano, igualmente se vala de los pol-gonos.Observemos, a la derecha, el esquema geomtrico de la plantade San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en suparte superior.La decoracin, el diseo artstico, las artes en general, tienenen los polgonos un gran aliado. Es innumerable la utilizacinde los polgonos en estos campos, de los que suministramosunas pocas muestras en estos fascculos.

    En la fotografa observamos el famoso Pentgonosede del departamento de defensa de los EstadosUnidos. ste es el edificio ms grande del mundocon forma de pentgono, consistente de cincoanillos consecutivos de cinco plantas cada uno.

    Composicin de Vctor Vasarely (Hungra, 1908-1997). Observa los cuadrados y los rombos, queal mantener fija la vista crean una sensacin demovimiento.Vasarely es uno de los maestros delarte cintico virtual. Mediante trucos perceptivosse observa un movimiento debido a los ngulosde enfoque y al desplazamiento del observador.

    Muchos logotipos de fbricas o marcas comerciales se hacensobre la base de polgonos, como mostramos a continuacincon Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation.

  • Polgonos y poliedros

    Rojo central (1980).El cientfico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, lasmentes ms estrictas utilizan ecuaciones matemticas, luego vienenotros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen enobjetos concretos con aplicabilidad prctica. El artista por su partedemuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible,aquella que no se puede demostrar a travs de esas frmulasmatemticas: es la realidad sensible, son dos formas de explo-rar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmentemarchan paralelas"

    Jess Rafael Soto (Venezuela, 1923 -2005).

  • Fascculo 3 Polgonos y poliedros18

    Pasamos del mundo de los polgonos (figuras planas o bidi-mensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espaciotridimensional). En el proceso de fabricacin de piezas y enla construccin de edificios tiene especial importancia lainterpretacin del plano de la pieza o del edificio, para luegoconstruir el modelo, rplica de la pieza que se producirposteriormente.As tambin construimos cuerpos a partir de sus respectivasredes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estruc-turas de uso en la construccin y el diseo.Las figuras representadas son cuerpos geomtricos en el espa-cio, limitados por un nmero finito de superficies planas.Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficiesplanas en cuestin son polgonos y se denominan caras delpoliedro.

    El mundo de los poliedros

    Observa cualquiera de los poliedros que estn dibujados yalgunos de sus elementos caractersticos:a) Cmo definiras cada uno de sus elementos?b) Cuntas caras, vrtices y aristas tiene?c) Cuntas caras, como mnimo, habr que juntar en un

    vrtice?d) Cunto pueden sumar, como mximo, los ngulos de las

    caras que concurren en un mismo vrtice?Se denomina orden del vrtice al nmero de caras que con-curren a un mismo vrtice. Este poliedro tiene orden del vr-tice 3.

    Cara

    Vrtice

    Este es un poliedro que tiene 14vrtices, 21 aristas y nueve caras.

    Este cuerpo geomtrico no es unpoliedro.

    Por qu el cuerpo de la derecha no es un poliedro?

  • Poliedros

    No convexos (cncavos)Convexos

    Regulares (slo hay 5) No regulares Regulares estrellados(hay 4)

    No regulares

    Se caracterizan porque cada uno de ellos se puedeapoyar en una superficie plana sobre cada una desus caras.

    Se caracterizan porque cada uno de ellos no sepuede apoyar en una superficie plana sobre algunade sus caras.

    Se caracterizan porque to-das sus caras son polgo-nos regulares congruentesy en cada vrtice concurreel mismo nmero de caras.

    Decide: cules de los siguientes cuerposson poliedros? Cules son convexos?Cules son cncavos? Cules son regu-lares? y cules son irregulares?

    Explica en cada caso el porqu de tudecisin.

    Fascculo 3 Polgonos y poliedros19

    Clasificacin de poliedrosUna clasificacin de los poliedros es lasiguiente:

    Se caracterizan porque sonpoliedros con caras no con-gruentes y en el caso de lasegunda figura, aunque suscaras son congruentes no tie-nen el mismo nmero decaras en cada vrtice.

    A CB D

    E F G H

  • Fascculo 3 Polgonos y poliedros20

    Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre deslidos platnicos en honor al filosofo griego Platn (428-347 a.C.)que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que pocallegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, eltetraedro y el dodecaedro a Pitgoras (siglo IV a.C.) y el octaedro eicosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platn los elementos ltimosde la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeo,ligero, mvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas slido de loscinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamao, peso yfluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y elagua al icosaedro (el agua, el ms mvil y fluido de los elementos,debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el slido mscercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar),mientras que al dodecaedro le asign el Universo. Como los griegosya tenan asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja aldodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjuncinde los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los diosesemplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizpara todo cuando dibuj el orden final.En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el nmero devrtices V, el nmero de aristas A y el nmero de caras C.Calcula V-A+C. Qu nmero se obtiene? La relacin resultante fuedemostrada por Euler.

    El mundo de los poliedros regulares

    Hexaedro regularo cubo

    Tetraedro regular Dodecaedroregular

    Icosaedro regular Octaedro regularPoliedro regular

    Modelo

    Caras

    Vrtices

    Aristas

    Aristas porvrtice

    6 cuadrados

    8

    12

    3

    4 tringulosequilteros

    4

    6

    3

    20

    30

    3

    12

    30

    5

    6

    12

    4

    12 pentgonosregulares

    20 tringulosequilteros

    8 tringulosequilteros

    Observa loscinco poliedros

    regulares, las carasidnticas que se

    encuentran en cadavrtice y el elemento

    que representan.

    Tetraedro(fuego)

    Icos

    aedr

    o(ag

    ua)

    Dodec

    aedro

    (univers

    o) Octaedro

    (aire)

    Cubo(tierra)

    Platn (Grecia 428-347 a.C.)

  • Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostr, de forma algebraica,porqu slo existen cinco tipos de poliedros regulares con-vexos.Supongamos que se pueda construir un poliedro regular con-vexo cuyas caras sean polgonos regulares de n lados. Luego,el ngulo de cada vrtice del polgono mide x 180.Si el orden del vrtice de un poliedro regular es p, entoncesla suma de los ngulos de un vrtice del poliedro es:p [ x 180]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360,porque si fuera igual a 360 las caras estaran en un plano yno se tendra una figura slida.Luego: p[ x 180] < 360

    21 Fascculo 3 Polgonos y poliedros

    Los slidos platnicos pueden adems ser proyectados sobreun plano. Esta proyeccin se obtiene eligiendo una cara yproyectando los lados del poliedro platnico desde un puntoO por encima del centro de esta cara. La figura que se obtienese llama diagrama de Schlegel. Tambin se pueden obtenersi rompemos una cara y estiramos las restantes caras sobre lapared, sin romper las aristas. Observa el diagrama de Schlegeldel cubo.Parte de las caractersticas del poliedro (como la conexinentre vrtices y lados) se preserva en su correspondientediagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de determinadosproblemas, tales como recorrido y coloracin. En el caso delos slidos platnicos estos diagramas son nicos (no dependede la cara desde la que se proyecte).Tambin se pueden hacer los desarrollos planos tal como seensean en Educacin Bsica (1 y 2 etapas) adems de losdiagramas de Schlegel de los poliedros platnicos. Estosdesarrollos los presentamos en la pgina siguiente.

    Proyeccin de SchlegelA B

    C

    E

    D

    F

    GH

    O

    EF

    A

    B

    E

    A B

    F

    H G

    CD

    (n-2)n

    (n-2)n

    p[ ] < 2 p(n-2) < 2npn -2p -2n < 0 pn - 2p - 2n +4 < 4p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4

    (n-2)n

    (n-2)n

    Como cada cara de un poliedro regular debe tener ms dedos lados y ms de dos caras deben concurrir en cada vrtice,vemos que p y n deben ser mayores que 2. Las nicas solucio-nes (n,p) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3).La tabla a la derecha justifica lo anterior.

    n p n-2 p-2 (n-2)(p-2) Figura3 3 1 1 1 Tetraedro3 4 1 2 2 Octaedro3 5 1 3 3 Icosaedro4 3 2 1 2 Cubo5 3 3 1 3 Dodecaedro

    360/n

    2 = 180- 360n

    =(n-2)180n

  • 22 Fascculo 3 Polgonos y poliedros

    Tetraedro

    Hexaedro regularo cubo

    Dodecaedro

    Icosaedro

    Octaedro

    Vista Desarrollo plano Diagrama de Schlegel

    Como hemos visto slo existen cinco poliedros regulares con-vexos. Si eliminamos la condicin de ser convexo tenemoscuatro ms. stos son conocidos como los poliedros de Kepler-Poinsot o poliedros regulares estrellados.Johannes Kepler (Holanda, 1571-1630), en 1619, se dio cuentaque existan dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas(pentgonos estrellados) a lo largo de sus aristas para obtenerun slido regular. Si 5 de ellos se unen en un slo vrtice,obtendremos el pequeo dodecaedro estrellado que tiene docevrtices. Si son 3 pentagramas los que se encuentran en cadavrtice, obtenemos el gran dodecaedro estrellado que tiene20 vrtices.

  • 23 Fascculo 3 Polgonos y poliedros

    Pequeo dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado

    Posteriormente, en 1809, Louis Poinsot (Francia, 1777-1859)descubri los otros dos poliedros no convexos regulares, elgran icosaedro y el pequeo dodecaedro.

    Pequeo dodecaedro Gran icosaedro

    Icosaedro stellato, 1981.Materiales: acero inoxidable y cemento.

    Universo Icosaedro 2, 1980.Material: acero inoxidable.

    El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- )utiliz, en la dcada de los 80, figuras comoel dodecaedro, el icosaedro, el hipercubo yotras para realizar sus obras.Fuente: http://www.pierelli.it

  • S, entre estos se encuentran los poliedros semirregularesque son 17. Un poliedro convexo es semirregular si sus carasson polgonos regulares de dos o tres tipos. Entre estos slidosestn los arquimedianos, ya que se creen fueron descubiertospor Arqumedes, aunque no se tiene ninguna prueba docu-mental que lo acredite. Existen 13 slidos arquimedianos.Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los slidosplatnicos, es decir, por cortes de esquinas, accin que sepuede ejecutar de varias maneras. As, los denominados conel nombre del slido platnico de origen ms el trminotruncado, se obtienen al dividir cada arista en tres partesy cortar por estas divisiones. Si dividimos la arista a la mitady truncamos, slo obtenemos dos nuevos poliedros: elcuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres se deben alhecho de que al realizar el proceso de truncamiento queacabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro(respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos elmismo poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato seobtienen con otro procedimiento.

    Pero, existen otros tipos de poliedros?

    24 Fascculo 3 Polgonos y poliedros

    Tetraedrotruncado

    Cuboctaedro

    Cubotruncado

    Octaedrotruncado

    RombocuboctaedroCuboctaedro

    truncadoCubo chato Dodecaedro

    chato

    Icosidodecaedro Dodecaedrotruncado

    Icosaedrotruncado

    Romboicosidodecaedro

    Icosidodecaedro truncado

  • Polgonos y poliedros

    La disposicin de los ptalos de las flores es, frecuente-mente, en forma poligonal.Aqu tenemos una fotografa de la malva (Malva sylvestris)que tiene simetra pentagonal. Esta planta, cuyas floresson de color rosado o violceo, se usa para infusionescalmantes y laxantes.

    4La simetra, ya sea que se defina en unsentido amplio o restringido, es una ideapor medio de la cual el hombre de todaslas pocas ha tratado de comprender y crearbelleza, el orden y la perfeccin.H. Weyl, La Simetra, p. 5.

  • Fascculo 4 Polgonos y poliedros26

    Desde la antigedad se han estudiado los polgonos y lospoliedros. Se ha encontrado un dodecaedro en esteatita decivilizacin etrusca que data de unos 500 aos a.C.Asimismo, hay un par de dados icosadricos de la dinastade los Ptolomeo que se conserva en el Museo Britnico deLondres.Diversas formas matemticas aparecen en muchos fenmenosnaturales. Las formas poligonales y polidricas son frecuentesen la naturaleza.Algunos esqueletos de radiolarios tienen forma polidrica,como los aqu mostrados a la derecha; unos son un octaedro,otros un dodecaedro y los hay con forma de icosaedro regular.Los radiolarios son protozoos marinos que en su mayoratienen un esqueleto formado por agujas muy finas o varillassilceas sueltas o articuladas entre s. Miden una fraccin demilmetro de dimetro.

    Los cristalesIgualmente encontramos los poliedros convexos en unavariedad de formas, como los cristales de sal en forma decubos, los diamantes naturales en forma octadrica y otrasestructuras cristalinas.A diferencia de un cristal, el vidrio es una estructura amorfa,translcida y frgil a la temperatura ambiente.Un cristal es la repeticin de un motivo bsico que est com-puesto de un mnimo de tomos (la malla elemental o clulaunitaria).As, el cristal est compuesto de un arreglo peridico de blo-ques idnticos, que son las mallas elementales que definenla estructura molecular interna del cristal. Pero no siemprees de esta forma como encontramos los cristales a escala ma-croscpica.

    Por ejemplo, los diamantes naturales se presentan como octae-dros. Sin embargo, en 1913, los cristalgrafos William H.Bragg y su hijo Lawrence bombardearon los diamantes conrayos X y descubrieron que la malla elemental es un cubo endonde los 8 vrtices y los centros de las 6 caras estn ocupadospor tomos de carbono y cada tomo de carbono est ligadoa sus cuatro vecinos ms prximos formando una configu-racin tetradrica. A partir de esta malla elemental se construyetodo el cristal mediante simple yuxtaposicin a s misma ypor traslacin paralela. La malla elemental tesela el espacio.La imagen de la derecha nos muestra el ordenamiento de losiones para formar la malla de un cristal de diamante.

    Los polgonos y los poliedrosen las ciencias naturales

    Estrellas de mar: tienen sobre todo formas pentagonales

  • Fascculo 14 Polgonos y poliedros27

    La forma externa refleja la estructura molecular interna de lamolcula de sal que es una red cbica, constituida por ionesde sodio (Na, esferas rojas) e iones de cloruro (Cl, esferasamarillas) que se alternan en diferentes direcciones.Al intersectar planos paralelos y observar la estructurabidimensional resulta la de un mosaico regular con cuadrados.

    La forma del cristal del mineral de hierro (pirita) al igual quela de la sal es de tipo cbica, reflejando su estructura molecularinterna.

    Las formas cristalinas se estudiaron desde la poca de Kepler(s. XVII) y posteriormente, a inicios del s. XX, se utilizaronlos rayos X para su estudio mediante diagramas de difraccin.Los mineralogistas clasificaron esas formas en 7 sistemas(cbico, tetragonal, rmbico, triclnico, hexagonal, rombodricoy monoclnico) y 32 grupos cristalogrficos o clases de cristales(2D) de acuerdo con sus simetras macroscpicas. Por ejemplo:todos los cristales poseen una simetra rotacional de orden 4(1/4 de vuelta o giro de 90 alrededor de un eje privilegiadoeje principal). El orden de la rotacin significa que si laaplicamos cuatro veces consecutivas se obtiene latransformacin identidad pues 4 90 = 360 y la figura quese rota retoma su posicin inicial.

    En el cubo dibujado se han marcado ejes de rotacin con2-2, 3-3, 4-4, que indican, respectivamente, rotaciones derdenes 2, 3 y 4 (180 , 120, 90). Cada una de esas rotacionesdeja invariante el cubo (transforma el cubo en s mismo). Sedice que son simetras rotacionales del cubo.Asimismo, el plano que pasa por el centro del cubo y por lospuntos medios de las aristas AB y CD es un plano de simetradel cubo (simetra especular).La simetra externa de los cristales se caracteriza medianteplanos de reflexin (simetras especulares) y ejes de rotacin(simetras rotacionales), tal como los poliedros, pues las formascristalinas son formas polidricas. Los cristales son formasmuy bellas de teselacin del espacio.

    4

    4

    E

    D

    A B

    GH

    C

    F

    Estructura molecular y cristal del cuarzo Estructura molecular y cristal del grafito

    Cristal de Sal

  • Fascculo 4 Polgonos y poliedros28

    En las dcadas de los 80 y de los 90, se produjeron tres descubrimientos importantes en el campo de laqumica y de la fsica, uno de los cuales hizo cambiar la concepcin tradicional de lo que es un cristal. Estostres descubrimientos, en orden cronolgico, fueron: los cuasicristales (1984), los fulerenos (1985) y losnanotubos (1991), que han encontrado gran variedad de aplicaciones en el mundo industrial y los mismosestn vinculados a los polgonos y poliedros debido a sus configuraciones geomtricas.

    Los cuasicristalesEn 1984, el qumico Daniel Shechtmann y sus colaboradoresIlan Blech, John W. Cahn y Denis Gratias, descubrieron unaforma de hacer una aleacin de Aluminio (Al) con Manganeso(Mn), la Al6Mn, con el fin de lograr una aleacin bastantefuerte. Cuando examinaron este cristal con rayos X, en eldiagrama de difraccin el material tena una ordenacin comola de un cristal pero no encontraron simetras rotacionales derdenes 3, 4 6 que son propias de los cristales. En cambioencontraron una simetra rotacional pentagonal (de orden 5),lo que no es posible en los cristales, pues stos nicamentepueden tener simetras rotacionales de rdenes 2, 3, 4 6 (teo-rema de restriccin cristalogrfica).

    Cmo era posible esto? Haba algn error? Cul era lanaturaleza de este cristal imposible?

    En el nterin, 1984, los fsicos Paul J. Steinhardt y Don Levine,mediante simulacin en computador modelaron ese cristalAl-Mn y le dieron el nombre de cuasicristal (cristal cuasipe-ridico) y la aleacin respectiva se conoce como Shechtmanite.Hoy hay cerca de cien de tales aleaciones. Algunas tienensimetras rotacionales de orden 8, 10 12. Se tienen aleacionescomo la del V-Ni-Si (vanadio-nquel-silicio) o la del Cr-Ni-Si(cromo-nquel-silicio).

    La estructura molecular interna de ese tipo de cuasicristalproduce una teselacin del plano (un embaldosado) que tienesimetra pentagonal. Estas teselaciones (embaldosados) delplano con simetra pentagonales haban sido descubiertas en1973 por el matemtico britnico Roger Penrose. Son tesela-ciones no peridicas (son cuasiperidicas) como lo indicamosen la seccin de teselaciones. Al nivel bidimensional, tal cuasi-cristal luce como el embaldosado de Penrose presentado a laderecha.

    Patrn de difraccin para un icosaedro cuasicristal (semuestran en blanco aquellos puntos de mayorintensidad). Hemos marcado en rojo algunos pentgonosde este patrn.Fuente: Levine, D. & Steinhardt, P.J. (1984). Cuasicristales: una nuevaclase de estructuras ordenadas en Physical Review Letters, Vol 53, N 26.

    Imagen de microscopio de uncuasicristal donde se puedeobservar su forma pentagonalde ordenacin.

  • 29 Fascculo 4 Polgonos y poliedros

    Los fulerenosEl carbono C se encuentra en la naturaleza en dos formas dis-tintas: diamante y grafito. El diamante es el material ms du-ro conocido, es transparente y aislante. El grafito es opaco,conductor y se rompe fcilmente o se desmenuza. Lo utiliza-mos con frecuencia en la minas de los lpices. Su estructurageomtrica es mediante capas o planos paralelos de tomosde carbono y en cada plano los tomos se ligan entre ellospor enlaces qumicos formando una red con hexgonos regu-lares (imagen superior). El diamante presenta un entretejidoms complejo que le da la dureza caracterstica de ese material(imagen inferior).

    En 1985, los qumicos R. F. Curl y R. E. Smalley (Universidadde Rice) y Harry Kroto (Universidad de Sussex), vaporizaronel grafito y obtuvieron una forma estable de la molcula decarbono conformada por 60 tomos de carbono localizadosen los vrtices de un icosaedro truncado (poliedro arqui-mediano con 12 caras pentagonales y 20 caras hexagonales),el C60 (carbono sesenta).Por esta razn se le dio el nombre de buckminsterfulereno(la buckyball), en honor de Buckminster Fuller, debido a suresemblanza con los domos o cpulas geodsicas creados porFuller.

    Posteriormente se ha encontrado toda una familia de mol-culas, con tomos exclusivamente de carbono, que los qumicosdenominan los fulerenos pues su disposicin espacial es pare-cida a las construcciones de Fuller: un fulereno es una molculaen forma de jaula convexa con caras nicamente hexagonalesy pentagonales.

    Se cree que el C60 puede ser un elemento comn en el polvointerestelar. La buckyball se sintetiza en forma slida y tieneusos en lubricantes y procesos catalticos, entre otros. Losinvestigadores han modificado la estructura arquitectnicadel C60 para producir nuevas molculas ms estables y fuertes,como el C70 y la del carbono 168 denominada la buckygim.Los fulerenos tambin han encontrado uso en la supercon-ductividad y en la medicina.

    El descubrimiento del carbono sesenta recompens a los trescientficos con el premio Nobel de qumica en 1996.

    Molcula de grafito

    Molcula de diamante

    El 13 y el 14 de octubre de 2003, en Manchester (Inglaterra), se celebrel bicentenario de la publicacin de la Teora Atmica de John Dalton.A este evento acudieron diversas celebridades entre quienes destacaronSir Harry Kroto (Premio Nobel) y Diego Forln (equipo de ftbol ManchesterUnited), los cuales presentaron la similitud de un baln de ftbol y unamolcula de C60.

  • 30 Fascculo 4 Polgonos y poliedros

    Los nanotubosEl prefijo nano indica 10-9 y hoy en da es muy comn en lasdenominadas nanotecnologas. Los nanotubos fueron descu-biertos en 1991 por Sumio Iijima de la NEC Corporation (Ja-pn). Los nanotubos son gigantescos fulerenos rectilneos(la dimensin rectilnea es muy grande en comparacin consu dimetro). Los fulerenos son el ladrillo elemental de laconstruccin de los nanotubos. En sus paredes, el nanotubohereda de uno de sus ancestros, el grafito, una caracterstica:el motivo hexagonal.Para el qumico, el nanotubo es un polmero compuestonicamente de tomos de carbono que puede tener hasta unmilln de tomos.Desde el punto de vista fsico, es un cristal unidireccionaldonde se reproduce peridicamente una misma clula debase. Es como un tubo cerrado en sus dos extremos, de di-metro nanomtrico.Los nanotubos son materiales ligeros y slidos y han encon-trado utilidad en electrnica.

    Hoy en da estudiamos el mundo tridimensional que nosrodea y percibimos con nuestros sentidos. Adems, el macro-mundo, esto es el Universo: los planetas, las estrellas, lasgalaxias, con distancias dadas en aos luz. Y tambin tenemosel micromundo o nanomundo y en ste hablamos de nanotec-nologas y conceptos con el prefijo nano: los nanotubos, lasnanobacterias, los nanocircuitos, las nanomquinas, son partede esta terminologa.

    En el Universo las medidas se hacen con millones de kilmetrosy con aos luz. En las nanotecnologas las medidas se hacenen nanosegundos (10-9s), nanometros (10-9m), etc.

    Fuente: www.nanotech-now.com

    Fuente: www.csc.com/features/2003/images/nanotube.jpg

  • 31 Fascculo 4 Polgonos y poliedros

    Al igual que los polgonos, los poliedros se han utilizado enlas artes y en la arquitectura desde siglos anteriores. Ademshan sido objeto de interpretaciones mstico-religiosas, comolo atestigua la representacin del fuego, de la tierra, del aire,del agua y del universo, mediante los cinco slidos platnicos,smbolos de perfeccin y armona, y la representacin de estospoliedros, inscritos y circunscritos a esferas, realizada porKepler en su bsqueda de por qu slo existan seis planetas(los nicos conocidos en su poca).

    Ya el eminente artista, diseador, arquitecto e ingeniero delRenacimiento italiano, Leonardo Da Vinci, utiliz los poliedrospara la decoracin del libro La Divina Proporcin (1509)del fraile franciscano Luca Pacioli (1445-1514), quien fue sumaestro en matemtica. Leonardo dibuj los poliedros (llenosy vacos), de los que presentamos el dodecaedro vaco.

    Antes de esta forma de representar los poliedros, los mismosse ilustraban como slidos opacos que ocultaban la partetrasera o con segmentos transparentes en el cual el efectoproducido no necesariamente permite distinguir si una lneaes del frente o del trasero de la superficie. En la representacinde Leonardo, con los poliedros huecos o vacos, se observanlas dos partes (frontal y trasera).

    Los poliedros en las artes,la arquitectura y laingeniera

    Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia.http://www.imss.fi.it

    Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia.http://www.imss.fi.it

    Asimismo, en el primer retrato que se conoce de un matem-tico, el de Luca Pacioli, podemos observar en la mesa un dode-caedro y en la parte superior izquierda un poliedro semirre-gular (arquimediano) transparente.Este retrato fue realizado por el pintor veneciano Jacopo deBarbari, en el que Pacioli est haciendo una demostracingeomtrica al joven Duque de Urbino. En el cuadro, el pintorcoloca una serie de valores asociados al estudio de las formasgeomtricas: orden, armona, pureza, rigor.

  • 32 Fascculo 4 Polgonos y poliedros

    Igualmente, el pintor y grabador holands Maurits Escher (1898-1972), a quien se considera uno de losartistas del s. XX ms vinculados a la matemtica por el uso que hizo de sta mediante polgonos y teselacio-nes, espirales, geometra no euclidiana, el infinito, mundos imposibles, entre otros, tambin utiliz lospoliedros en su arte.En el siguiente grabado en madera (1948) observamos una de sus obras titulada Estrellas: hay en el mediotres octaedros regulares huecos, representados por sus aristas, en donde viven dos camaleones que se fijana las aristas mediante sus patas y cola. En el espacio podemos admirar otros poliedros, entre los quesealamos: 1) En la parte superior un cubo y emergiendo de ste un octaedro, un icosaedro, dos tetraedrosque se cruzan, un rombododecaedro; 2) En la parte inferior, dos tetraedros que se cruzan, dos cubospenetrndose, tres octaedros que se cruzan y un dodecaedro.

  • En el diseo de edificaciones, monumentos y pabellones encon-tramos los poliedros.

    El Complejo Cultural Teresa Carreo, en Caracas, tiene unaforma tronco-piramidal resaltada por una vertiente de estruc-turas salientes. En el mismo, a la entrada de la Sala Ros Reyna,podemos admirar en el techo una obra de Jess Soto, artistacintico venezolano (1923-2005).

    Polgonos y poliedros

    5

  • Fascculo 5 Polgonos y poliedros34

    Las superficies esfricas han sido utilizadas por los arquitectose ingenieros para hacer cpulas y domos esfricos, coronandolos templos cristianos, las mezquitas islmicas y en los capito-lios de muchas ciudades y naciones.En 1954, el ingeniero, inventor y diseador Richard Buck-minster Fuller (Estados Unidos, 1895-1983), deposit unapatente para sus domos o cpulas geodsicas, que son unamanera de construir domos, de forma esfrica, conteniendoun mximo de volumen con un mnimo de material y bastanteresistentes. Estos domos no tienen necesidad de tener soporteinterior y se realizan a partir de tringulos que forman unagrilla semiesfrica, distribuyendo esfuerzos de manera parejaa los distintos miembros de la estructura y logrando de estaforma un cociente alto en la razn resistencia/peso. Esostringulos conforman una red pentagonal y hexagonal comoen el baln de ftbol. Son muy slidos y luminosos.

    Hoy en da se cuentan unos 300 000 domos construidos en elmundo. Tres ejemplos notables de tal construccin son: elpabelln norteamericano en la American Exchange Exhibition(1959) en Mosc, la cpula geodsica del pabelln norteame-ricano en la Exposicin Mundial (1967) de Montreal (Fotografasuperior), y la cpula en la ciudad de ciencia y tecnologa deLa Villete, Pars-Francia (Fotografa intermedia).

    Superficies esfricas ypoliedros en arquitecturae ingeniera

    En Caracas, se construy el Poliedro utilizan-do el concepto estructural de las cpulasgeodsicas de Fuller.

  • Fascculo 5 Polgonos y poliedros35

    Recientemente, el diseador y arquitecto Sanford Ponderdise unos refugios utilizados para la recreacin y el trabajo,como las carpas de los vacacionistas, denominados ICOSApor su forma icosadrica y con un dimetro de 9 a 23 pies(2,74 7,01 metros) y un peso mximo de 500 libras ( 227kg) el mayor de ellos. Son como icosaedros cortados por lamitad y con ventanas triangulares.

    Durante el ao 2004, el ServicioPostal de los Estados Unidos(USPS por sus siglas en ingls)emiti una estampilla conmemo-rativa de los cincuenta aos enque Fuller patent su invencin.

  • Fascculo 5 Polgonos y poliedros36

    Los teselados son los diseos de figuras geomtricas que pors mismas o en combinacin cubren una superficie plana sindejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del planocon figuras yuxtapuestas. Las civilizaciones antiguas utilizabanteselados para la ornamentacin de casas y templos, cerca delao 4000 a.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decora-ciones con mosaicos que formaban modelos geomtricos. Elmaterial utilizado era arcilla cocida que coloreaban y esmal-taban. Posteriormente otros grupos demostraron maestra eneste tipo de trabajo, como los persas, los moros y los musul-manes.Esos diseos con motivos repetidos son muy corrientes ennuestra vida cotidiana. Podemos pensar en las baldosas querecubren los pisos en forma de rectngulos, de cuadrados, dehexgonos regulares y con otros motivos, y tambin en lospapeles decorativos de las paredes y los papeles que envuelvenregalos. He aqu dos de tales diseos con motivos repetidos:

    Teselaciones

    Los diseos del matemtico, comolos del pintor o el poeta, han de

    ser bellos; las ideas, como loscolores o las palabras deben

    relacionarse de manera armoniosa.La belleza es la primera prueba:no hay lugar permanente en el

    mundo para las matemticas feas.

    G. H. Hardy(matemtico britnico,

    1877-1947).

    El estudio de las teselaciones o embaldosados de un plano est vinculado con las simetras de losmismos y stas, a su vez, se refieren a las simetras rotacionales (rotaciones con centro en un determinadopunto), simetras axiales (reflexiones respecto de ejes) y simetras de traslacin (traslacin segn algnvector) y sus combinaciones (composicin de tales movimientos rgidos).

  • 37 Fascculo 5 Polgonos y poliedros

    Si tenemos un cuadrado podemos rotarlo con centro en O(centro del cuadrado) y ngulo 90. El cuadrado rotado es elmismo que el inicial y no se distingue uno del otro.Para distinguirlos tendramos que etiquetar los vrtices yobservar la accin de la rotacin sobre stos.Se dice que el cuadrado es invariante por tal rotacin de cen-tro O y ngulo 90 o que tiene una simetra rotacional deorden 4 (360/4 = 90). Tambin el cuadrado tiene simetraaxial pues es invariante, por ejemplo, cuando aplicamos unareflexin respecto de la recta que une los puntos medios dedos lados AB y CD.

    90

    O

    O

    A B

    CD

    O

    A

    BC

    D

    Rotacin en sentido horario con centro en O y ngulo de 90.

    Determinar todas las simetras rotacionalesy axiales de:a) un cuadrado,b) un tringulo equiltero,c) un rectngulo.Observa la diferencia con el caso de uncuadrado.

    Si tenemos una teselacin del plano realizada nicamente concuadrados congruentes, observamos que ella queda invariantepor rotacin de centro O y ngulo 90. Esto se compruebafcilmente si dibujamos la misma teselacin en un papeltransparente o en un acetato el cual colocamos encima haciendocoincidir el punto O y giramos 90. Asimismo, por traslacinsegn el vector a y traslacin segn el vector b, y por simetraaxial respecto del eje L (el diseo se repite continuamente almover la vista verticalmente y horizontalmente).Determina otras simetras de esta teselacin.Las teselaciones de un plano (pavage en francs y tile en ingls)son de diversos tipos. Aqu destacamos los llamados gruposde simetra del plano y los denominados mosaicos de losque hay una gran variedad y por cuestiones de espaciosolamente damos algunos de ellos.

    El Jardn Lumnico, ubicado en la auto-pista de Prados del Este de la ciudadde Caracas, parte de la idea del collagecomo matriz y del pixelado comoresolucin visual de una intervencinque ser vista y percibida a diferentesvelocidades. Patricia Van Dalen utili-z un fondo azul intenso, el cual estsalpicado de una historia cromticacon 14 matices diferentes. A travsdel pixelado logra transiciones entreun color y otro, y nos sugiere la abs-traccin de un paisaje urbano.

    Fuente: www.patriciavandalen.com

    O90

    a

    b

    L

  • 38 Fascculo 5 Polgonos y poliedros

    Cuando se recubre un plano con baldosas que no dejen huecosy que no se superpongan (encajan bien), se produce unmosaico.Existen diferentes tipos de mosaicos de los cuales podemosdiferenciar: los regulares (solamente existen 3), los semirregu-lares (solamente existen 8), los de Escher y los de Penrose(imagen a la derecha).

    Mosaicos

    Los mosaicos regulares se logran a partir de la repeticin y traslacin de un mismo polgono regular. Existennicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman con:tringulos equilteros, cuadrados o hexgonos regulares.

    O

    90

    a

    ba

    b

    O

    60

    O

    120

    a

    b

    Tiene una simetra rotacional deorden 4 (360/4 = 90). Es un mo-saico que se observa con frecuen-cia en los pisos y en los papelescuadriculados y milimetrados.

    Tiene una simetra rotacional deorden 3 (360/3 = 120) y deorden 6. Es un mosaico que seobserva bastante en los pisos yen los panales de abejas.

    Tiene una simetra rotacional deorden 6 (360/6 = 60).

    Observa que en cada uno de ellos indicamos dos vectores independientes,a y b, con el fin de sealar que mediante traslacin del polgono en esasdirecciones se obtiene el respectivo mosaico. Se dice que tales mosaicos sonperidicos. Estos mosaicos son invariantes por traslaciones de vectorpa + qb, siendo p y q nmeros enteros cualesquiera.

    Mosaicos regulares

    60

  • 39 Fascculo 5 Polgonos y poliedros

    Un plano no se puede teselar con pentgonos regulares puesno encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares penta-gonales (los pisos de las viviendas no se pueden embaldosarcon pentgonos regulares):

    360/5 = 72

    72

    108

    3 = 3 x 108 = 324Con tres pentgonos regulares alrededordel punto O no se cubren 360, ya quedaun hueco.Hay algunos pentgonos, no regulares,con los que se pueden teselar los planos.

    En cambio con pentgonos regulares (azules) y rombos (amari-llos) s se puede embaldosar un plano, lo cual era conocidopor A. Durero (1471-1528).

    Con cualquier tringulo o cualquier cuadriltero convexo del plano se puede, por repeticin, teselar com-pletamente el plano. Observa la construccin, en el caso de un cuadriltero, donde es suficiente con dibujarlos simtricos respecto de los puntos medios de los lados.

    DC

    B

    A

    C

    B

    A

    D

    Observa una de las tcnicas que hay para hacer teselacionesde un plano, partiendo de un paralelogramo ABCD (un para-lelogramo deformado).Paso 1: Dibuja una curva c que una A con B y su imagen me-diante la traslacin de vector AD.Paso 2: Dibuja otra curva c que una A con D y su imagen me-diante la traslacin de vector DC.Paso 3: Repite el motivo utilizando esas dos traslaciones.

    A B

    D C

    A B

    D C

    c

    c

  • 40 Fascculo 5 Polgonos y poliedros

    En stos se combinan dos o ms polgonos regulares bienacoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vrticesaparecen los mismos polgonos. Existen solamente ocho tiposde mosaicos semirregulares, de los que a continuacin mostra-mos cuatro de ellos.

    Mosaicos semirregulares

  • ngeles y Demonios (M. Escher). Con centroen A, B y C (puntos de encuentro de 4alas) y mediante rotacin de 90 se obtienela misma figura (simetra rotacional deorden 4). Las rectas (de color amarillo) L1,L2, L3,... ubicadas en los ejes de los ngelesy los demonios, son ejes de simetra axial(reflexiones). As, si doblamos el planopor uno de ellos, se obtiene la mismafigura.

    Polgonos y poliedros

    6

    A B

    C

    L1

    L2

    Ln

  • Fascculo 6 Polgonos y poliedros42

    Mosaicos de EscherEscher (Holanda, 1898-1972) visit Granada el ao 1936 juntocon su esposa y all estudi detenidamente la decoracin delas paredes, techos y pisos islmicos de La Alhambra (el granpalacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV).Observ los motivos islmicos en las paredes, todos ellos detipo geomtrico, donde por cuestiones religiosas no hay figu-ras humanas ni de animales. All realiz sus dibujos y descu-bri las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17grupos de simetra del plano). Durante una labor de cerca detreinta aos, Escher cre ms de cien teselaciones peridicasde un plano utilizando una gran variedad de motivos.Para construir tales mosaicos a partir de polgonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio deconservacin de reas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con igual rea en otra parte. Estolo podemos observar en un motivo islmico de La Alhambra de Granada como es la pajarita donde sepreserva el rea del tringulo equiltero de partida, y en el paralelogramo deformado. Observa, abajo,la creacin de la figura de un pato a partir del polgono ABCD.

    A

    B

    C

    D

    A

    B

    C

    D

    A

    B

    C

    D

    A

    B

    C

    D

    Observa cmo con pequeas variaciones en las curvas apare-cer la figura de un pjaro en vez de un pez volador. Recortael modelo y tesela el plano.

    A

    BC

    A

    BC

    A

    BC

    A

    BC

    Observa, abajo, la creacin de un pez volador (M.C. Escher)a partir de un tringulo equiltero.

  • Fascculo 6 Polgonos y poliedros43

    Mosaicos de PenroseEntre 1972 y 1973, el matemtico britnico Roger Penrose des-cubri un conjunto de teselas que recubren el plano en formano peridica; es decir, no se puede obtener la teselacin apartir de un motivo y mediante dos traslaciones independien-tes. Posteriormente los qumicos (1984) descubrieron una alea-cin de Aluminio (Al) y Manganeso (Al6Mn) que tena ciertascaractersticas de un cristal, pero al mismo tiempo no podaserlo pues tena simetras rotacionales pentagonales (ngulode rotacin 360/5 = 72) lo que es incompatible con laestructura de un cristal. Le dieron el nombre de cuasicristaly su conformacin molecular bidimensional es como unteselado de Penrose.Algunas teselaciones de Penrose, como las del cometa y deldardo, utilizan para su construccin el nmero de oro= (1 + 5 )/2 1,618. Transformando los dardos y los cometasPenrose cre una teselacin no peridica llamadas las gallinasaperidicas de Penrose. Como las teselaciones son explotadascomercialmente y en rompecabezas, Penrose tard cierto tiem-po en dar a conocer sus embaldosados hasta que los patenten los Estados Unidos, Japn y el Reino Unido.

    El alicatado es un revestimiento plano conseguido colocando pequeaspiezas de diferentes formas geomtricas (Alceres). El alicatado fue el primerrevestimiento cermico utilizado en Al-Andaluz (espacio geocultural ypoltico hispano-rabe, s. VIII-XV) para adornar los muros interiores de lasedificaciones, ya que para los exteriores y los pavimentos de las casas seconoca el uso de losetas esmaltadas con estao. En Sevilla, los zcalos delalicatado ms sobresaliente pueden admirarse en los Reales Alczares, enla iglesia de San Gil y en la Casa Olea, as como pueden verse muestras dealicatado en la portada del monasterio de San Isidoro del Campo y en lasventanas y fachada lateral de la iglesia de Omnium Sanctorum. Un alicatado de la Alhambra (s. XIV). Fuente: Canal Cultural

    de Barcelona, Espaa (213.27.152.28/ cron373_ceram1g.jpg).

  • Fascculo 6 Polgonos y poliedros44

    Teselaciones en el espacioYa conociendo algo del mundo de las teselaciones de un plano,caben ahora las siguientes preguntas:Y qu hay de las teselaciones del espacio. Se podrn hacercon los poliedros regulares o con otro tipo de poliedros ?Se pueden teselar superficies en el espacio, por ejemplo,la esfera?Damos algunas respuestas parciales pues un desarrollo deltema sera bastante extenso.Con los tetraedros regulares no es posible teselar el espacio,pues el ngulo diedro entre dos caras de un tetraedro mide70 32 que no es un submltiplo de 360 (recuerda el caso delos pentgonos regulares).En cambio con cubos si es posible teselar todo el espacio; elngulo diedro entre dos caras mide 90 que es un submltiplode 360. Tambin con los octaedros truncados como se ve enla figura.Cuando hablamos de teselacin sobre una esfera significa conpolgonos situados sobre la misma (polgonos curvos), cuyoslados son arcos de circunferencia mxima que son las rectassobre una esfera en la denominada geometra esfrica). Esconocido que la esfera se puede teselar con tringulos.Observa los diez tringulos ubicados en el centro A y los seistringulos que rodean el punto B, en que los ngulos son de60.Utilizando doce pentgonos regulares se puede teselar unaesfera.Es imposible de teselar la esfera nicamente con hexgonosregulares. Pero, una combinacin de pentgonos y de hex-gonos regulares da una teselacin de la esfera, tal como seaprecia en las pelotas de ftbol.

    7032

    90

    B

    A

    El pintor y matemtico Piero Della Francesca(1416-1492), considerado actualmente como unode los primeros artistas del Renacimiento, sefascin por los poliedros y esto le condujo adesarrollar propiedades de antiguos y nuevospoliedros. Uno de sus libros, Libellus de quin-que corpibus regularibus (1480) conservado

    en la Biblioteca Vaticana, contiene lafigura que conocemos del icosaedrotruncado, cuyas sesenta caras sonpentgonos y hexgonos en la mismadistribucin que ahora se utiliza paraconstruir balones de ftbol.

    60

  • Dimensiones, coordenadas y grados de libertadAnterior al Renacimiento (s. XV), la pintura que se haca enmadera (trpticos), lienzo y murales era muy esttica. Lasfiguras en cuestin carecan de movimiento y sus proporcionesa veces no eran las ms adecuadas. Todo se reflejaba en unnico plano sin lograr una sensacin de profundidad en elcuadro. Sin embargo, el mundo en que vivimos, el de nuestraexperiencia cotidiana, es tridimensional (3D) y para entenderloa cabalidad necesitamos comprender tanto lo unidimensional(1D) como lo bidimensional (2D).En el Renacimiento italiano se producir un cambio signifi-cativo en cuanto a las artes y la arquitectura.De una parte con los colores venecianos (Venecia) y por laotra con la perspectiva florentina desarrollada en la ciudadde Florencia (Italia), lo cual permiti capturar el realismo delmundo tridimensional y crear la ilusin de profundidad en lapintura, la escultura y la arquitectura, dando lugar a la repre-sentacin de la realidad tridimensional (largo, ancho y profun-didad) en una superficie bidimensional (la tela de un cuadro,una pared o un papel) y creando as la imagen de profundidad.

    45 Fascculo 6 Polgonos y poliedros

    Un mural egipcio (s. XIX a.C.). Las figuras estn pintadas en un solo plano(son bidimensionales) sin ilusin de profundidad. Este tipo de pintura estpico de antes del Renacimento.

    La alabanza de las abejas. Pintura del Medioevo. Biblioteca ApostlicaVaticana, Roma. Fuente: www.library.nd.edu

    La anunciacin. Filippo Lippi, pintor renacentista (Italia c. 1406-1469).Fuente: keptar.demasz.hu

  • 46 Fascculo 6 Polgonos y poliedros

    El Renacimiento se caracteriza por el estudio y dominio de laperspectiva. Para lograrla se pueden utilizar los llamadospuntos de fuga, los cuales permiten darle profundidad a uncuadro o ilustracin. En esta pgina presentamos variosejemplos correspondientes tanto al Renacimiento como afechas posteriores a l.El punto del horizonte donde convergen las lneas de unaperspectiva se denomina punto de fuga.

    Utilizacin de dos puntos de fuga centrales para lailustracin de la plaza central de una edificacin.

    En la ilustracin podemos observar como Filippo Brunelleschi(Italia, 1377-1445) utiliz varios puntos de fuga para ilustrar elDuomo en Italia, ya que la figura al no ser rectangular as loamerita.La perspectiva puede generar distorsiones que se visualizanen la lmina renacentista de la derecha, donde las proyeccionescentral y lateral de una esfera hacen verla como una elipse. Enel caso de la proyeccin central esta deformacin es menor. Enla parte inferior estn ilustradas tres imgenes del Aristtelesde Rafael (Rafaello Sanzio, Italia, 1483-1520) utilizando unmismo punto de fuga. Se puede notar que mientras ms alejadode l se encuentre el punto de fuga la imagen va rotando.

  • 47 Fascculo 6 Polgonos y poliedros

    Muchos objetos de nuestra vida cotidiana son bidimensionales,tales como las superficies de: pantallas de televisin, pantallasde computadoras, pantallas cncavas de cine; as como laspginas de los libros y de los cuadernos, los pisos y las paredes.De igual manera dan idea de lo que es unidimensional loshilos de coser, los alambres finos, una hebra, un filamento...La nocin de dimensin es fundamental para la comprensinde la realidad. Con este concepto estn aparejados los sistemasde coordenadas y los grados de libertad que utilizan losfsicos e ingenieros en sus trabajos.Una lnea representa una sola dimensin (1D). No necesaria-mente tiene que ser representada rectilneamente: un tren oel Metro de alguna ciudad que se mueve en una va frrea lohace en una dimensin. Esta lnea frrea puede ser recta ocurva, y subir o bajar en una colina, pero el vagn del trentiene solamente una direccin de movimiento. Puede irhacia adelante o hacia atrs y son la misma direccin perosentidos opuestos.La lnea del tren est situada en nuestro mundo tridimensional,pero el movimiento del tren es unidimensional. Si fijamosuna estacin del tren como origen O, su posicin en un instantede tiempo determinado queda especificada por un niconmero, se dice por un slo parmetro: la distancia al origenmedida a lo largo de la lnea (recta o curva), lo cual se expresacon que ese movimiento tiene un grado de libertad.Un barco navegando en el ocano tiene dos grados de libertadpara moverse, son dos direcciones independientes: en unadireccin, de popa a proa, puede ser en sentido hacia delanteo en sentido hacia atrs, y en la otra direccin, la transversal,de babor a estribor, puede ser hacia la izquierda o hacia laderecha. As el barco se mueve en dos dimensiones, que eneste caso no es plano sino curvo por ser la Tierra y, por lotanto, su posicin en un instante de tiempo determinado estdado por dos parmetros como son la latitud y la longitud.

    Figura tridimensional generada por computadora para servisualizada en un monitor bidimensional.

    En las principales ciudades de muchos pases, los taxistas conductores tienenun equipo denominado Global Position System (GPS) que les permite localizaruna direccin especfica as como las vas (dos dimensiones) que debe utilizarpara llegar a su destino.

  • 48 Fascculo 6 Polgonos y poliedros

    Un avin se mueve en el espacio tridimensional y tiene tresgrados de libertad para moverse, son tres direcciones inde-pendientes: en direccin de la cola a la punta lo hace haciadelante o hacia atrs (despus de girar); en direccin trans-versal al avin lo hace hacia la derecha o hacia la izquierda;y en la tercera direccin puede ser hacia arriba o hacia abajo.Su posicin, en un instante de tiempo, est dada por tres par-metros como son la latitud, la longitud y la altura.

    Anlogamente, si se trata de un submarino en lugar de unbarco, se necesita la latitud, la longitud y la profundidad a laque se encuentra el submarino.

    Si un automvil viaja dentro de un tnel con slo dos canalesde circulacin, est obligado a permanecer en el canal de laderecha (si cambia de canal comete infraccin lo que esaltamente penalizado en muchos pases). As, su trayectoriaes unidimensional. Al salir del tnel, puede girar hacia la iz-quierda, ha tomado otra direccin, y luego volver a su canal,es decir puede moverse en 2D.

    En esos ejemplos los grados de libertad y su respectivas dimen-siones son coordenadas geomtricas. Los parmetros son entesgeomtricos, a lo mximo tres. No necesariamente esto ocurresiempre. El vuelo del avin o la navegacin del submarino,en funcin del tiempo, requiere otra informacin: la velocidadcon que se mueve. Luego se tienen cuatro grados de libertadque se determinan, en cada instante de tiempo, mediantecuatro parmetros: tres que son geomtricos (latitud, longitud,altura o profundidad) y otro que es dinmico (velocidad).Entonces estamos en un espacio de cuatro dimensiones o concuatro grados de libertad.

    M Latitud y longitud de laproyeccin M de P

    Centro del planeta

    M

    P

    Longitud y latitud de laproyeccin M de P

    Bitcora de Cristbal Coln donde se reflejaban los datos deposicin (longitud y latitud), profundidad y tiempo de travesa.

    Fuente: http://history.missouristate.edu

    Dos posicionesdel barco

  • Polgonos y poliedros

    7

    El sentido de la vista, an con un solo ojo, junto con lassensaciones musculares relativas a los movimientos del globoocular, podra bastar para hacernos conocer el espacio de tresdimensiones. Las imgenes de los objetos exteriores vienena pintarse sobre la retina, que es un cuadro de dos dimensiones:son perspectivas (...). Y bien, lo mismo que se puede hacersobre un plano la perspectiva de una figura de tresdimensiones, se puede hacer la de una figura de cuatrodimensiones sobre un cuadro de tres (o de dos) dimensiones.Esto no es ms que un juego para el gemetra.

    Henri Poincar en su libro La Ciencia y la hiptesis (1902).Versin en espaol de Coleccin Austral, Espasa-Calpe, 3 edicin, 1963.

    Cuarta Dimensin de la estudiante Jin Hua Dong del4 ao en el Shepherd College y vicepresidenta delClub Math que promueve trabajos sobre matemticay arte. Este trabajo se realiz utilizando la tcnica defractales.

  • Fascculo 7 Polgonos y poliedros50

    Grados de libertad y coordenadasLos parmetros, como en el caso del avin, son independientesentre s: es posible cambiar un parmetro sin que esto alterelos otros. As, podemos modificar la latitud de un avinmovindolo a lo largo de un meridiano de la Tierra, y esto nomodifica su longitud. Cada parmetro representa un gradode libertad y por lo tanto una dimensin.

    Dos posicionesdel avin

    Movimiento de untren 1 Una direccin, dos sentidos: ade-lante-atrs

    La distancia s=s(t) al origen comofuncin del tiempo

    0

    Movimiento de unpndulo simple delongitud L

    1 Uno. El movimiento de la masa mes oscilatorio y en cada instante detiempo su distancia a O es fija L

    El ngulo como funcin del tiem-po t

    Tambin se puede tomar como par-metro, en funcin del tiempo, lalongitud s del arco PA o la distanciahorizontal x (elongacin)

    Movimiento de unnavo en un ocano 2 Dos direcciones y cada una condos sentidos: adelante-atrs, dere-

    cha-izquierda

    Latitud y longitud en funcindel tiempo.

    Movimiento de unavin (posicin y ve-locidad)

    4 Cuatro: las tres del ejemplo anteriory la velocidad Latitud, longitud, altura y velocidad

    Movimiento de unavin (posicin) 3 Tres direcciones y cada una deellas con dos sentidos Latitud, longitud y altura

    Movimiento libre deuna varilla en tornoa un extremo fijo(pndulo esfrico)

    2 Dos: el extremo no fijo P se muevesobre una esfera de radio la longitudL de la varill

    Latitud y longitud

    A

    P

    L

    O

    navo

    Meridiano deGreenwich

    m

    x

    L

    O

    P

  • Fascculo 7 Polgonos y poliedros51

    Los sistemas de coordenadas, creados durante el siglo XVIIpor el matemtico francs Ren Descartes (Francia, 1596-1650)en uno de los tres apndices de su obra conocida como ElDiscurso del Mtodo (1637), permitieron tratar los problemasgeomtricos mediante el lgebra. Estos sistemas decoordenadas se denominan cartesianos o rectilneos, y seconstruyen utilizando rectas, usualmente perpendiculares.

    En cada una de las situaciones siguientes determina cuntos grados de libertad tiene el sistemadescrito, es decir, de cuntos parmetros depende el movimiento del sistema y cules sonstos.

    a) El sistema masa-polea-resorte de la figura 1. Setrata del movimiento de la masa m.

    b) El pndulo doble de la figura 2, donde m1 y m2son masas unidas por una varilla de longitud L2 ym1 est sujeta a otra varilla de longitud L1 con unextremo fijo O.

    c) El sistema formado por tres carros unidos conresortes de la figura 3.

    d) La denominada mquina de Atwood: se tratadel movimiento de las masas m1 y m2 unidas atravs de una polea mediante una cuerda sinrozamiento de longitud L (figura 4).

    e) Una partcula de masa m que se mueve sobre unacircunferencia de radio R.

    f) Piensa en otros sistemas mecnicos con uno, doso tres grados de libertad.

    y

    xSistema de coordenadas cartesianas en un plano.

    Sistema de coordenadas no cartesiano en unplano (se denominan coordenadas generalizadas).Por ejemplo, las coordenadas polares (,) delpunto P.

    Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

    z

    y

    x

    O

    O

    P

    Eje

    Polea

    Resorte

    Polea

    1

    2

    Figura 1

    1

    2

    Figura 2

    Figura 3

    Figura 4

    L1

    L2

    OP=

    O

  • Fascculo 7 Polgonos y poliedros52

    Anterior a Descartes la geometra era sinttica y luego, conla utilizacin de las coordenadas, se cre la geometra analtica,esto es la vinculacin de la geometra con el lgebra, etique-tando los puntos con nmeros y los entes geomtricos medianterelaciones entre variables.

    UNIDIMENSIONAL

    Segmentos, curvas (en el plano o enel espacio).

    TRIDIMENSIONAL

    Slidos del espacio. La Tierra se con-sidera como esfera slida y no sola-mente la superficie terrestre.

    BIDIMENSIONAL

    Regiones del plano encerradas porcurvas, como los polgonos.

    En una dimensin un punto se loca-liza mediante una sola coordenada(un nmero).

    Para los objetos unidimensionalesse calculan longitudes.

    Hay sistemas fsicos que tienen ungrado de libertad.

    Al inicio de la geometra analtica los matemticos restringanel uso de las coordenadas a una y dos dimensiones. Ya Fermat,creador de la geometra analtica junto con Descartes, estuvoconsciente de una geometra analtica con ms de dos dimen-siones, pero no fue sino en el s. XVIII que se entendi bienque el lgebra con una o dos coordenadas poda ser extendidaal espacio tridimensional y, posteriormente, a espacios conmayor nmero de dimensiones.

    En el sistema masa-resorte-amorti-guacin, la masa m se mueve verti-calmente. Se necesita solamente unacoordenada x=x(t) para definir lalocalizacin de la masa en un instan-te cualquiera t (x se mide a partir dela posicin de equilibrio esttico).

    La hlicede untornillo

    resorte amortigua-dor

    masa

    x

    El rea de la regin comprendidaentre los dos arcos de parbolas dibujadas es igual a 1/3.

    Hay sistemas fsicos que tienen dosgrados de libertad.

    Superficies en el espacio. Por ejem-plo: la superficie de la Tierra (la esfe-ra terrestre).

    En dos dimensiones un punto selocaliza mediante dos coordenadas(dos nmeros).

    Para las regiones del plano ence-rradas o limitadas por curvas se cal-culan las reas.

    y

    xO

    y=x2

    El volumen del tetraedro limitadopor los planos de coordenadas y elplano dibujado es 3/2.

    Hay sistemas fsicos que tienen tresgrados de libertad.

    En tres dimensiones un punto selocaliza mediante tres coordenadas(tres nmeros).

    Para los slidos del espacio, los queestn encerradoso limitados porsuperficies, se calculan volmenes.

    z

    y

    O

    x

    (0,0,3)

    (0,1,0)

    (3,0,0)

    Elipsoide

  • 53 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

    En 1884 sali publicado un libro del clrigo y educador inglsEdwin Abbot Abbot titulado Flatland. A romance of manydimensions, que era un stira social y una introduccin paraentender lo que es dimensin y dimensiones mayores quetres. Abbot promova la igualdad de oportunidades en laeducacin de los (las) jvenes de todas las clases sociales, loque no ocurra en la Inglaterra de la poca Victoriana en dondehaba muchos prejuicios sociales. Abbot describe la vida deseres que viven en un mundo plano (Flatland; Flat=plano,land=pas o tierra) y establece una interrelacin entre mundosde distintas dimensiones. En la portada del libro, A Square(Square=cuadrado) es el nombre que utiliza para el narrador.All se observa una casa plana (en forma de pentgonoregular), que nosotros podemos ver en su totalidad, peroA Square viviendo en el mundo plano solamente puedeobservar una parte de ella aunque puede caminar en todosu alrededor.En Flatland se visita otra tierra, unidimensional, Lineland,donde los habitantes se representan por segmentos (los hom-bres) y puntos (las mujeres), y el rey es un segmento msgrande. A Square intenta convencer, intilmente, al rey deLineland (Line=lnea) de la existencia de una segunda dimen-sin. A su vez, Flatland es visitada por Una Esfera del espacioque intenta convencer a A Square de la existencia de unatercera dimensin y argumenta inicialmente que l puede vertoda la casa desde arriba describiendo a todos los habitantes.La Esfera atraviesa el plano, y A Square primero ve un punto,luego una parte de circunferencia que se va agrandando hastallegar a lo mximo, para luego contraerse, reducirse a un pun-to y, por ltimo, desaparecer.

    Finalmente A square se convence y pregunta para ver la cuartadimensin. La Esfera le niega esa posibilidad y lo enva a Flatland,donde intenta convencer a los otros de la tercera dimensin, siendoarrestado de por vida y escribe FLATLAND (Planilandia).En el siglo XX se han escrito varios trabajos inspirados en Flatland,como el Mundo esfrico (Sphereland) de Dionis Burger (1964) yPlaniverse de A.K. Downey, en 1984, conmemorando el centenariode Flatland. Asimismo, el escritor britnico H.G. Wells (1866-1946),autor de obras de ciencia ficcin como El hombre invisible (1897),La guerra de los mundos (1898) y La mquina del tiempo (1895), en laque la idea del tiempo como una dimensin est claramenteexplicada.

    H.G. Wells y Laguerra de los mun-dos.

    Fuente:forums.eveofthewar.com/photos/displayimage.php

  • 54 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

    Hemos visto que el movimiento de un avin o de un submarinodepende de cuatro parmetros: tres son de posicin (latitud,longitud y altura o profundidad) y el cuarto es la velocidad.Por lo tanto necesitaramos cuatro ejes de coordenadas pararepresentar esas variables en funcin del tiempo (cuatro dimen-siones, 4D) y, si adems queremos representar el tiempo, nece-sitaramos un quinto eje de coordenadas (cinco dimensiones,5D). Con nuestros ojos no es posible ver ni imaginarnos msde tres dimensiones. Aqu tenemos que razonar y haceranalogas con lo que ocurre en 1D, 2D y 3D. An ms, haysituaciones prcticas en las que se necesitan ms dimensiones.Por ejemplo, en los procesos productivos intervienen muchosparmetros: precios de materiales que se compran, precios delo que se vende, cantidad de personal que interviene en laproduccin, cantidad de material que se utilizar (materiaprima), transporte, tiempo de fabricacin, entre otros. Estorequiere trabajar con ms de tres variables independientes yalgunas dependientes de las anteriores, y lo cual implica uncierto nmero de dimensiones que no es posible representargrficamente pero s calcular con las mismas. As, se hacenclculos con muchas variables utilizando computadoras, ypara esto ha sido necesario crear y estudiar los espacios n-dimensionales.

    Cuntas dimensiones podemos considerar quetengan utilidad tanto en matemtica como enotras disciplinas ?

    La geometra es a las artes plsticas lo que la gramtica es al artede escribir. Hoy los cientficos ya no se atienen a las tres dimen-siones de la geometra euclidiana. Los pintores han sido llevadosnatural y, por as decirlo, intuitivamente, a preocuparse por lasnuevas medidas posibles del espacio que se indican brevemente en su conjunto, en lenguaje figurativo de los modernos con eltrmino de cuarta dimensin. La cuarta dimensin aparece gene-rada por las tres dimensiones conocidas y representa la inmensidaddel espacio que se eterniza en todas las direcciones en cualquiermomento dado.

    Guillaume Apollinaire, francs nacido en Roma (1880-1918), poeta, escritor ycrtico de arte, precursor del surrealismo. La cita es de Los pintores cubistas (1913) considerado el manifiesto de ese movimiento.Fuente de la imagen: french.chass.utoronto.ca/fcs195/apollinaire.html

    Simulacin de movimiento a travs de un tnel de viento,donde se puede probar la aerodinamia de un vehculo. Estaimagen proviene de una simulacin por computadorautilizado por una empresa taiwanesa.Fuente: www.syzygia.com.tw

  • 55 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

    A mediados del s. XIX se crean las denominadas geometrasno euclidianas y uno de los principales matemticos de estesiglo, Bernhard Riemann (Alemania, 1826-1866), haba pensadoen espacios con muchas dimensiones. En 1908, otro matemticoalemn, Hermann Minkowski (1864-1909), quien fue profesorde Einstein, fusion las tres dimensiones espaciales y la di-mensin temporal en un continuo de 4D. La teora de la relati-vidad de Einstein, inicios del s. XX, utiliza ese espacio de 4Dcon coordenadas (x,y,z,t). Las 4D eran objeto de estudio pormatemticos, fsicos y filsofos y tambin fueron objeto devariadas especulaciones en el perodo 1880-1910, en el cualAbbot public su Flatland.Las geometras no euclidianas, las dimensiones mayores quetres, y el estudio de las ilusiones pticas en las que intervinie-ron el astrofsico Johann Zllner (1834-1882), el fsico Hermannvon Helmotz (1821-1894) y otros, crearon un ambiente cientfico(lo no euclidiano, dimensiones mayor que tres e ilusin ptica)que tuvo repercusin en las artes.

    La cuarta dimensin y el hipercubo

    Segmento cortando a rectas para-lelas que no se ven como tales.

    A B

    C D

    Los segmentos AB y CD tie-nen igual longitud

    Una de las primeras manifestaciones artsticas en tal sentido lo testimonia el siguiente cuadro, de inspiracin cubista, delpintor francs, nacionalizado norteamericano y precursor enNueva York de un movimiento denominado dadasmo, MarcelDuchamp (1887-1968), titulado Desnudo bajando una escalera(1912), en el que se vincula el anlisis cubista del espacio conla representacin del movimiento, y de all las 4D. Fue unapintura futurista con insinuaciones cubistas, Una expresindel tiempo y del espacio a travs de una presentacin abstractadel movimiento, como lo escribi el mismo Duchamp.En este cuadro, las secuencias de la figura movindose haciaabajo de la escalera tiene lugar de manera simultnea y sonreveladas las distintas facetas de la figura.

    El Sello Blanco (1965) de Ren Magritte (Blgica,1898-1967), obra surrealista, es una paradoja visualque forma parte de sus pinturas imposibles.Magritte afirm: Cada cosa que nosotros vemosesconde algo ms que queremos ver.

  • 56 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

    De qu forma podemos representar e intentar imaginarnos la cuarta dimensin y algunas de sus figuras,anlogamente cmo se representa la tercera dimensi