MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ...

257

Transcript of MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ...

Page 1: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘
Page 2: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘
Page 3: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � �

��� �

� � � � � � ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �

���� ��������� ������ ����������������������������������������������������������������������������������������� �

���� ��� ������������������������ ������ �������������������������������������������������������������� �

���� ��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���� ����� ��������� ���������� ��� ������������������������������������������������������������������� ��

��!� "�������������#���$������ ������������������������������������������������������������������������ �%

���� &��'� ���(��������'� �������� ��� ������������������������������������������������������������ �)

���� ������������ ������������������������������������������������������������������������������� ������ *�'��������������������� �� �������������������������������������������������������������������������� ��

���� *�+������������������#���$������� ��������������������������������������������������������������������� ��

���� "�������������#���$������� ������������������������������������������������������������������������� !�

���� ,�����������������������������$��������������� ������������������������������������ !�

��!� -�� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!

���� ���������� ��������������� ��! "�# ��������"�"�$ ������� %����� -�� ������������������� �������� �������������������������������������������������������������� )�

���� .���������/����������� ������ ������������������������������������������������������������������ )!

���� .������ ������������"���������� ����������� ������������������������������������������ )%

���� 0�������#� ������������ � ���������������������������������������������������������������������������� %�

��!� *�+���/��������� ����������� ������������������������������������������������������������������������� ��

���� ����������������/��� ������������������������������������������������������������������������������� �1!

��)� "���������� ����������������'��������� ��(� ���������������������������������� ��!

��%� ��������������'������������ �������������������������������������������������������������������� ��)

���� ��������������'���������������� �������������������������������������������������������������� ���

���1� ��������������'�������#������ ����������������������������������������������������������������� ��!

����� �����������/���� ��������� ����������������������������������������������������������������������� ���

Page 4: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � �

& � & ' � ( ) � * & + , * & + � � )

��������"�$� ��������������������������������������������������������������������������������������� ��-

.��� "�/��������� �"0 ������������������������������������������������������������������������ ��.!��� *�'������������������"��������������'�������������

����'����������/���$2�3��� �������������������������������������������������������������������� ��!

!��� ��� ������������������������'����� �������������������������������������������������������������� ����

���*�"����������������� "�/������������������������������������������������������� �%%���� &����������������� ���� ���� �������������������������������������������������������������������� �))

���� &����� 4��/�������+����/��� ������������������������������������������������������������������ �)�

%��� "�/������� � �������� �� ������ "�/���������"�1������� "�/��������� � ����� �� ��� ������������������������������������������������� �22)��� ,����������'������������������ ��������������������������������������������������������������������� ���

)��� ,��������������/�������������������'��������������� ��������������������������������� �1)

-��&���� ���������������� "�/����������������������������������������������������� ��2%��� 5��������� � ��'���� ���� ��������������������������������������������������������������������������� ���

%��� -6��+��� �����������������������������#��'���� ����������������������������������������� ���

%��� 7��������� ���������������� ��������������������������������������������������������������������� ���

������������������ ��� ����� ����������������������� ��� ��������������������� ���

������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������� ���

Page 5: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�������

Page 6: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � �

�������

��������

���� ��� ����������

��������������� ��������������� ������������������� ����������� ���� �����

���������������������� ������� ����������������������� �����������

�������������������������� ����������������������������������������������� ���

���� ��

� ������������������������������ �������� ���������������� �����������!

� ��������"����������� ���������� ���������������������#�$�%����%�$�#��

&�� ��� � ����'���� �� ��������� ��� �� �������������� ��� ���������� &� �(�� ��������

������ ��������� ���������������"� ��������������� ����������� ����������� �

��������������������������"��������� ���������� ������ ������

���������

)������������������������� ��

������� ��������������� �������� ��������������������������

������×���→����*����� �������������∈���������� �����������������������'��

��������������������������

+�� ����������������������,����������� ������������������,����������-��$��.�

∪��∩�������� ����� ������"� ������������������������"� ���� ���� ��� ���������� �����-����

�� ����� �����.��

����������������� �� �������������������������������������������

�� /���������������������� ������������������������ ���������������� ���� �

��-�����������→��������

�� &������������������������ ������������������������ ���������������� ���� � ���.��

��������→���.����

�� /������������������������ ��������

�����������→������

�� 0������������������������������������������� ��→���∪� �

�� ���������������������������������������������������� ���������������"����

�������→�������

Page 7: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� /����������"����������������

)����∈��1������ ��2�����∈����� ������������������ ������ ��"�������������������

�3��������������������'��456��

������� �������������������������������������������������������

45�����7��8�9��6�����49��8�6!�$4:�����%��8�#�

2���������������������∈�������������≡������������ ���;����'��� ����������<�

������������������8�9��������������������������� ����"�������������

2��������∈�����������

� ������������������������ � �������⊕�

��⊕������������������

� ���������������������������� � ������� �

��� ������������������

������� �������������������������������������������������������

+�� ���8�6�����

=�⊕�6�8�45�����6��8�#! �$7�⊕�%�8��$#������6��8�5

%�� �=�8�59�����6��8�5! �:�� ��$%��8��$4%������6��8�:

�������������� ����������)������������� ������������������ ���� ������ ���������� �(�� �,���

>�� ���� � ���������� � ��'���� ��� ���������� ������ �� ����������������� ���� ��

&����� �������������������������������"� �(�� �,��������������� �������

2�����8�?�4���

#��@���

A� ��� ��'����������������������� ���� � ���������� � ��

������ ��������

��������������� ���������������������������

� �4

�#

@ ��

@ �

�4

�4����

4�4����

#@ �

4����

�@ �

4����

�#

�#����

4�#����

#@ �

#����

�@ �

#����

� @ @ @ @ @ @

��

������

4������

#@ �

�����

�@ �

�����

� @ @ @ @ @ @

�����

4�����

#@ �

����

�@ �

����

/�� � �,���������� ������������������������������

������� �������������������������������������������������������

&�������������������������������������?4��$4�����$�A���� ������� ������� �,���

��. 4 $4 � ��

��4 4 $4 � ��

$4 $4 4 $� �

��� � �� $4 4

$� �� � 4 $4

Page 8: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � �

���� ���

�� &�� ����������������������������� ����'���������������������������������

�� ����'����������������;���� ����� �� � ������� �<���+��� ����:��7���(��� ��

������������������������������ ����

�� +����������������� ���������������������������� ����'����������������+��� ��

� 1v��� 2v����������������������������������� ��B

��������������������������������������������� ����������

/��� ������������������� ���� ��������'��������������� �������� � �� � ����

������ �������,������� ��� ����� � ��������'�,����

�������������������������"����������������������*������ ����'�����������������

������,��������������

2�����������������������C����� 2 �$�4�� 2 �-�4��8�#�$�4�8�4�∉���C���

/��� ���,����������������������� ������

���������

)������������������������������ �������� �� ��'������������������ ��� ��

�,�������������������

�,�������� �������� ������������������� ��������������������������

����� ��������

���������∈� �������������∈� �

&����� ������� ������������������ ����,�������� ����������������� �×� �→� �

�������→�������������� ����'�����������������!"#������������ ������'�����

������� �������������������������������������������������������

�� �,������������ ����� ��� �,����������������"������� �����������"���������

���������������

�� �,����������C������� ����� ��� �,�����������"������� �����������"���������

���������������

�� �,��������$�8�?��∈���D���8�4A��� ����� ��� �,����������������"������� �

"��������������������������

&� �(����������� ���4���

#�∈�$

��������

4�.��

#�

�8� 1nz �.� 2

nz �8�4�.�4�8�4�������4�.��

#�∈�$

�� E���������8��#��∞���� ����� ��� �,�����������"������� ����'������������8�2

4

xy

x y

−+ −

&� �(�����������������∈��#��∞���� ���������$�5�F�9��������������������

&�������2

4

xy

x y

−+ −

�F�#�⇔����$�#�F�#��-�#��$�=�⇔����$�#��$�#��-�6�F�9�⇔

⇔����$�#����$�#��-�#�F�9������������∈���

Page 9: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ��������������������� ����������

�������� ��

G���'�������������������������������� ����� ���������� �����

������������∈��������������������8������������

������� �������������������������������������������������������

�� /����������"����������� ���'�������������������� ������������������

�� /����������"����������� ��������� ���'�������������������� ��������������������

�� >�'����������� ������$∞��4�������������8�2

3

xy

x y

−− −

��� ������� ����

&� �(��������������������8�2

3

xy

x y

−− −

�����8�

22

32

33

xyz

x yxy

zx y

−− ⋅− −−− −

− −

�8

8�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

!

������������8�����2

3

yz

y z

−− −

�8�

22

32

33

yzx

y zyz

xy z

−− ⋅− −

−− −− −

�8�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

!

2���������������8�����������������������������������∈���

�� +������������ ������������ ������� ����� ����������,������������������

�#�$�:��$�4�≠�#�$��:�$�4�

���� ���

�� 2�������'������������������� ������� ������ ���������� ���������������"�����'��

���������� ��������� �������������������������������

�� +������ � ����������� ��� � ����� ������� ������������������� ������������� �������

2���������������4���

#���

:���

5�∈������������ ������'����������������������������

� ����4�����

#����

:����

5��8���

4����

#����

:�����

5�8���

4����

#������

:����

5��

�+���� �������� ������������������������� ��,����������� �����������

�� +������ � ����������� ��� � ����� ������ ���������������������������� ��� �,���������

Page 10: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�������� ��

G���'��������������������������������� ����� ��������� �����

���������∈��������������8�������

������� �������������������������������������������������������

�� /����������"����������� ���'����������������� � ������������������

�� +������������������������� ���� � ���������"������������� ���� � ����

�� +�������������������������������� ���������������"����������������������

�� ������ � ����

���� ���

�� +������ � �������� � ��� � ����� ������ ���������������������������� ��� �,���������

�� +�� �� ��'����������������������� ������������ ���� ����� � ��� � ������ �� ��

������ ����� �,�����'�����,������������ ���� �,����"������� ��;���'���������������<�

�������

� � � � 1 � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

>�'������� ���� � �����������'������� ������ � ����

�������� ��

������������'����������������������������������������������������

�∃����∈���������∈����������������������

&����� ���������� ����∈���������� ��������!���!�%!������'���

������� �������������������������������������������������������

�� /������������������� ��� ��������9�������������� ��������������������������

�� &��������������������� ��� ��������4�������������� ��������������������������

�� ������������������������������� ��� ��������4������→����4

�����8������

�������������

�� +��������������� �� �,���������� ������ ���������� ��'������ ����������Δ���Δ� �8����&� ��∪�� �C������������������� �����

*����� ���� ���� ����������������∅ Δ ���������Δ ∅�8����

Page 11: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������

2�������'��������������������������� ��� ������ ���� �����

���������� &� �(�������������4�����

#����������������� ���� ����� ���

�4����

#�8��

#��������������

4������� ��� �����

�4����

#�8��

4��������������

#������� ��� ���

2��������4�8��

#�

���� ���

�� *��� ��������������������� ��� ������ ��'������������� ��

��∈����� ����� ������� ��� ������ ��'�����������������������∈��!

�′�∈����� ����� ������� ��� ���������� �����������′������������∈��'

2�������'������������ ��� ������ ��'������������� ���� ������������� ��'�����H� ������B��

�� *����� ���� ������� ������ ���������������������������� ��� �,���������

�������

+�� ����∈��9��∞����������������������8�

, 0

0, 0

ax x

x

>⎧⎨ ≤⎩

������������(��?���D���∈��9��∞�A�

(��� ����� ��� �,�������������������"������� ��������������������������������4�

������� ���� �������������������

&� �(���������������

�������8��

���������8�{ , 0

0, 0abx x

x>≤ ��2����

�����

��8��

��.���∈�(�

����������������������������� ��� �������������(���� ����� �4��

�������������������∈��9��∞��������∈�(��� ����"�� ��

�����

��8��

�����

��8��

������ ������

��∈��9��∞�!�������������

��8��

��⇔��

�����

��⇔��������

�/�������� �� ��������������� ��������

��⇔������'�

2�������� �����'��� � ������������ ���������∈��9��∞���������������4�

G,����������4����

��8� �

���������∈��9��∞���0��� �����

4��� �������� ���� ����

������������������������(����4����8

, 0

0, 0

x x

x

>⎧⎨ ≤⎩

��G,�����������4�≠�4��

�� 2�����'������������������������������� ���� ��������� ��� ����� ��� �,��������

��"������� ����'����� ����"�� ���∈� ��� ������� �������� ��� �������� ����'��

��������� ��+�������������� ��������,���������� �������������������������� �

�� ���"����������� ��

�������

E������� �8�

2 1

2(1 ) 2 1

x xx

x x

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ��� ����� ��� �,���������������

#����"�

����� ��"����������� �������

G,���������)#�∈� ��������8�4�������)

#��� �������� ���� �����"�����������

�������� �

Page 12: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�������� ��

)����������������������������'���������������������������������� ���� ����

*����� ����∈����� ����� �������������"������� ����'������������� ���′�∈��

�� ����"��

�����′�8��′�����8���&����� �����′�������� �����������������"������� ����'�����

������� �������������������������������������������������������

�� G���������������� ������ ����,���"������� ����������

�� I�� �������������������������� ����� ����,����"������� ��"���������

�� &������� ������������������������������������������������������������ �

���� ����,���� ���� ��� ����� ���� �� �� ,�H� ����� ���� ���� ���� ������ �� ��

�� �������$4��������������������

�� E� �������� �� ������� ����,����"������� ��"�������������������� ��� �����

�����'�������������� ������� ��������

���� ������ ����������� ����$4������������ �������

���� ���

�� *����� ���� ���������������'���� ������ ����,������������������������� ���

�� ����������,������������� ���� ������� ������������� ���������� ������ ����

���������

�������

+����������?�������A�������������'����������������� ���������� ������ �,���

1 � � �

� � � �

� � � �

� � � �

*����� ���� ���� ���!������������������8�����������

0��� �������� ������ ����,����������������� ������������

&����������������������� ��������� ������������� ��� ������������������� �

���� ���������� �����

���� � ������ �,����� ���������� �� �,���������'��������� ��������������B��

Page 13: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������ ��

2������� ����'���������������������������������� �������������� ��� ��

������∈����� ������ ����,����� ������� ��������� �����

���������� )����������� ���� ��

+������������������������ ����� 1a′ ���� 2a′ �/ ������� 1a′ �8 1a′ ����������4���� ���� 2a′ �8� 2a′ ����������#�)������������� ��� � �����'���������������������

1a′ �8� 1a′ �����8� 1a′ �������� 2a′ ��8�� 1a′ �������� 2a′ �8����� 2a′ �8 2a′ �2������� 1a′ �8� 2a′ �

&�� ��'� ��� � ���� ����,��� � ��� ���� ������ �� ����� � ���� ������� ����� �� �� ��

��� ������ �������

������ ��

+�������������������������'������������������������ �������������� �

�� ����

�� 2������� ������ ����,����� ������� ��������′��� ������������������ ����,��

������������ ��������

,� 2��������∈����� ����� ����,������ ����������� ������ ����,���

&��������������′�8��′����′�

���������� �� 2����′������������′�8�������� �����′��� ������ ����,���

,� 3���������������������′����′������������8��′�����′�������������′���������8���′�����8����/����'��,������������������′����′��8���2����������� ������ ����,��������������� ����′����′���� ���

���� ���

�� &���� ������� ����� �������� ������������� �������� ������$4������"���� ����

��� ���� ��� �� ����� $��� &�� ��� �� ����� ������� ������ ��� ��� ,�� ���� �������#� �

��� ������� ����������

�� ��$4�$4�8��!�$�$���8��!

,� ���.���$4�8��

$4�.��

$4!�$��������8��$���-��$��

�� +������ � ���,������ ������������ ���������������������� ����������� ��

2����4���

#��@���

�∈����� ����� ����,������ ����

4����

#���@����

��� ������ ����,��

�����4����

#���@����

�′�8� nx′ �� 1nx −′ ���@��� 1x′ �

�2����� �������������������

Page 14: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

������������� �����

�� )�����8��$∞��4���������������������→��������������8�2

3

xy

x y

−+ −

�����������∈���

�� 2����� ����������� ����'��������������������

,� 2��������2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

�J�4��������������∈��$∞��4��

���� ��

�� 2����� ���������������∈����� ���������∈���

/�����������$�:�J�4�-�4�$�:�8�$4������������� ��������$�:�J�9�

/ ���������J�4�⇔����$�#�F�������$�:�⇔������������-�4�F�9�⇔����$�4����$�4��F�9�

K� �������'��� � ���� ��������� ������������$�4�J�9����$�4�J�9�

,� 2�����������∈��$∞��4���� ��������������������������������������������

����������������� ���������$∞��4���E��������������,��������

������������8�2

3

xy

x y

−+ −

�����8�

22

32

33

xyz

x yxy

zx y

− ⋅ −+ −

− + −+ −

�8�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

�� +��������������������������������������→ ������8�#���$�:��$�:��-�������������∈���

�� 2� �����������∈����� ����"�� ������������'����������������������������8���C�3

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

,� +�� ����8�6�������� ���������'����� ������� ������� � ��������������� ��� �

��� �� �������� ����������� ����� ����,����

���� ��

�� L �������� ����������'��������������������∈������������������∈���

������∈���⇔�������≠� 3

2�⇔�#���$�:��$�:��-���≠� 3

2�⇔�5���$�6��$�6��-�#��$�:�≠�9�⇔

⇔��#��$�:��#��$�:��-�#��$�4#�≠�9�����������≠� 3

2��0��� ��#��$�4#�8�9���������8�6�

,� >�'������������������ ������� �����������������8��������������������������∈���

3���������'��� � ������������,������,����������

������������8��#���$�:��$�:��-�6������8�#�#���$�:��$�:��-�6��.���$

$�:�#���$�:��$�:��-�6��$�:��-�6�8�5����$�6���$�6���$�6���-�M����M����M��$�4#�

������������8������#���$�:��$�:��-�6��8�#��#���$�:��$�:��-�6��$�:��$

$�:�#���$�:��$�:��-�6��-�6�8�5����$�6���$�6���$�6���-�M��-�M��-�M��$�4#�

�����������,����� ��'�����������'����� ������� ����

+�� ���� � ��� � �������� ������������8�����������������∈���

Page 15: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

&� �(��������������8�#���$�:��$�:��-�6�8�#���$�:��$�:��-�6�8������'

�*����������������� ����'����� ������ ����"������� ������'�

&����� ����������������������������� ������ ���������(��,��� ����������� ���

��������������������������������������"�������������

2����� �������� ����������� ����� �������������� ���������� ����∈��

�� ����"�� �����������������������������������∈�� �4��

����������⇔�#���$�:��$�:��-�6�8���⇔���#��$�:��8�#�#��$�:��

K� �����'��� � ������������������� ���������∈��������������8�#�

G,���������#�∈������������������ � ��� � �����'��������������������������

����� ���'��� � �������4���#���������

2����� ����������������� ���∈����� ������ ����,���

I��,��������������������� ���′�∈����� ����"�� ������′�8��′�����8�#�����′�8�#�⇔�#��′�$�:��$�:�′�-�6�8�#�⇔��′�#��$�:��8�:��$�5�

2���������≠� 3

2������ �����′�8� 3 4

2 3

x

x

−−

��/����3 4

2 3

x

x

−−

�≠� 3

2��������������′�∈���

3�����������′�����8�#�

�� +���� �������N#��5O���������������������������→�������8����$�:��$�:��-�4#�

�� ��������� �������������������� ������'������������������N#��5O�

,� ��������� ������'������������� ��� ��

� �������� ������������� �������� ����,����

���� ��

���)��������∈�N#��5O!�������∈�N#��5O�⇔�#�≤�������≤�5�⇔�#�≤����$�:��$�:��-�4#�≤�5�⇔⇔�#�≤����$�:����$�:��-�:�≤�5�⇔�$4�≤����$�:����$�:��≤�4 �4�

&����#�≤���≤�5�⇔�$4�≤���$�:�≤�4�⇔�D��$�:D�≤�4� �#�

>���������∈��#��5��⇔�D��$�:D�≤�4� �:�

+����"��������������#������:������ ���4��

,� �� �����∈�N#��5O��� ����"�� ��������������������������∈�N#��5O�

����������⇒����$�:��$�:��-�4#�8���⇔�����$�:��8�5���$�:� �5�

K� �����'��� � ������������ ���������∈�N#��5O!����� ������8�5�

G,���������5�∈�N#��5O����5����������������∈�N#��5O�

� /������������������ ����∈�N#��5O��� ����� ����,�������������� ���′�∈�N#��5O��� ����"��

�����′�8��′�����8�5��0������������′�8�5�⇔���′�$�:��$�:�′�-�4#�8�5�⇔��′���$�:��8�:��$�=�

+�� ����≠�:��,�������′�8� 3 8

3

x

x

−−

��&�����′�∈�N#��5O�⇔�#�≤� 3 8

3

x

x

−−

�≤�5�⇔

⇔�#�≤� 3 9 1

3

x

x

− +−

�≤�5�⇔�#�≤�:�-� 1

3x −�≤�5�⇔�$4�≤� 1

3x −�≤�4�⇔�

1

| 3 |x −�≤�4�⇔

⇔�D���$�:D�≥�4�⇔����$�:�≥�4������$�:�≤�$4��⇔����≥�5������≤�#��⇔���∈�?#��5A�

2�������#���#�8�5������ ����#��� ������ ����,���

���'����������� ������ ����,������ �#����5�

Page 16: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�� )����8�?4��#��:��5��%A����ϕ���������������������������������������

2������������������→������� �,��� � 4 # : 5 %

� # : 5 % :

P� ���� �8�?��#����

:����

5A��������

��� �����������������"��������������

�� ��������� ���� ��� ����� ��� �,������������������"������� ��ϕ�,� ������� ������������� ����������������ϕ1������ϕ1��� ��������������������ϕ���� ����� ��

�� +������������,�������� � ��� ϕ1 ��#

��:

��5

������� ��"�� �,������� �� ����#

��5

��#

��:

��:

��#

��:

��5

��5

��:

��5

��#

,� 2���������'���ϕ��� ������� ���������������� ���������'����������ϕ1��� ������� ����2������� ���� �,������������ϕ1��� ���� � �����"�� ������ϕ����� ���� � �����

*����� ���� �������'���ϕ1��� ����:���������������:��� �������� ����4

�������� �

�� �������'���ϕ��I�� �������� ������� ��� ����� ����,����"������� ��ϕ1����

:�′�8���:!����#�′�8���5!����5�′�8���#���������� �,��B�

0��������������������� ����� ����� ������ ����,���"������� ��ϕ����� ������������

�#���

�:���

�5����� ���H� ����

�/ ������� ������ �� �� �� ��� ���ϕ� "������ �� �� 4�� ���� ���� ����,��� � ��� ���

������������������ ���

�� +����������N$4��4O��������������������

�������→�������8����$�2 2 2 2 1x y x y− − + �����������∈�N$4��4O�

�� /�� ���������������������� ������'������������������N$4��4O�

,� 2����� ���������'������� ������� ����������������� ��� ��

� ������� ������� �������� ����,���Q

���� ��

�� )��������∈�N$4��4O!�������∈�N$4��4O�⇔�$4�≤����$� 2 2 2 2 1x y x y− − + �≤�4�⇔

⇔� ( 2 2 2 2 1x y x y− − + �≤����-�4�������$�4�≤� )2 2 2 2 1x y x y− − + �

3����������������������'��� �������� �������� ��

,� �������������������$1

2��

1

2����9�

1 1 1 1 1 3 30 ( 1) 0 0, 02 2 2 2 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∗ − ∗ = − ∗ = ∗ − ∗ = ∗ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

0��� ������'������� ������� �����2�������4�8�4����������������∈�N$4��4O������

��4��� �������� ��� ��

Page 17: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� )�����∈�N$4��4O�������′�8�4�⇔���′�$� 2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �8�4�⇔

⇔���′�$�4�8� 2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �4��

2���������′�$�4�≤�9��'��� � ����4���� ��� ������ �����′�$�4�8�9���2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �8�9��

��′�$�4�8�9�⇔���′�8�4�⇔����8�4�����′�8�4��������8�$4�����′�8�$4��+��� �����4��4������$4��$4�����������'��� � ����4���0��� ����4����$4��� ����'����

������ ������ ����,����

�� )����8�

0 0,a b

a b

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ����������� ����������������"������������ ������������

������ ��� ���������� ����������������������� � ����������� ���� ������� ��'��

���� ��

G,���������"����������� ��������� ����� ��� �,����������������

0 0 0 0 0 00

Ab c d bc bd

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�����������������∈���

)���

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������� ��� ���������� ��

/ ���

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.�

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�8�

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����������∈���

2���

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�8�

1 2

0 0

be be

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������1

2

be a

be b

=⎧⎨ =⎩

�����������∈����������,�����

������� ���� ������������∈���

2���

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′′⎝ ⎠

��� �������� ��� ������ ��'�������

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′′⎝ ⎠

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�8�

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���������∈���⇔�

e a a

e b b

′′ =⎧⎨ ′′ =⎩

���������∈���⇔��′′�8�4�

/������ �� ���� ������0 0

1e⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

���′�∈������ ������� ���� ������� ��'���"������������� ��

� ����������2�������'������������������������� ��� ������ ��'������������� ��

� ������������� ��'����

+�������������������'������������������������ ���� ������� ��'�������� ���� ��

������������ ��� ���������� ���� ��'����*������������������� ���� �

Page 18: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

!� �� ����'����������������� ���������� ���������������������� �Q

�� ����� ��������� ��� � ���Q

���� ��

G���'������������������������������� ����� ��������� ������� �,������ �����'��

G� �,������ ������#������� ����� ���������� � ���������� ��"��

2nn �������

2����� �

2nn ���'���������������

G���'����������������� ���� � �������� �,�����'����� ������ ���������������'�����

����������

2����� ��������������'�������������������� � ������ ��

( 1)

2

n n

n+

�4

�#

�:

��� �

�4

R R R R

�4

R R R

R

&� �(���������� ��������� �� �,���������'���� � ���������� ������������

?�4���

#��@���

A��� �������� ��������� ������,� ������������������������ ���R�"�

�,�������������

P�������� ������������� ���-���$�4��-�@�-�4�8�( 1)

2

n n +�

K����������������� ������� ����������( 1)

2

n n +���������"��

( 1)

2

n n

n+

�������

2�����������'������� � ����������� ���������������������������� ���� ��

( 1)

2

n n

n+

"� +��������������������������'�������������������������� ������

�� *��� ����∈����� ����"�� ������������������∈��!

,� ������������8��������������������������∈���

2����� ���������'����� ���� � ���������� ����������������� ��� ��

���� ��

&������������"��,���,������������������8�������������⇔�������8�����������������∈���

������'����� ���� � ����

2��������������������������8���������∈������������� �������� ��� ���+�� �

����� ��� � ���,���������������������8�������������8�������������8�������������

Page 19: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������ ����

�� /���������������� ���������������� ������� ���'���������������������������������� ��

�� )������� ���� �� ��� �� �� ��� �� �� ���� ����� "�� ���������H���� ��'��� ��

�� ������ �������������� �!����� ��������"����������� ����������������

�� ��!����� ��������'���� ���

,� )����������� ��������������� ����������"�������������������

��8�?������→��D������� ����A�

� )����������� �������������H� ����"�������������������

��8�?������→��D�����H� ���A�

�� )����������� �����������������,���������"���������������������

��8�?������→��D���������,���A�

�� �������→�������8������������-�4�����������∈��4��∞�!���8��4��∞�

�� �������→�������8������������-�#�����������∈��4��∞�!���8��4��∞�

�� +����������������������'�����������������������������8�D�D�-�D�D�$�D�DD�D����������∈���

��������

4����$#�!��$:����9!��9���#�����$4�!����������������∈��!������#����:!

���������������������F�9!����������������F�9����J�9����F�9�

�� +������������������������� ����'������������������� �������8��������������!�������������

�#��4�����9��#�!���4��:�����#��4������9��4�!����������1

,( )

a

b a b b

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

����≠�9��������≠�9�

�� +����������?4��#��:��5A�����������'���������8������������ ����� ��"���������������

�����%������ ����� �,������ �����'�������������#���:����4!��#���:�����:���5��

�� �� )�����8���C�?9��4A�������������������→������8�1, 6 ������� ���� ����

�4����8��!��

#����8�

1

x!��

:����8�4�$��!��

5����8�

11 x−

!��%����8�

1x

x

−!��

6����8�

1x

x −�

/�� ������ �8�?�4���

#���

:���

5���

%���

6A��� ����� ��� �,�������������������"������� �

����������������������� ���� �,���������������������� �

,� )����� ������8�

0 0 1

1 0 0

0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����������� ����?

�D��∈��1A��� ����� ��� �,�������� ���

���������:����"������� ��"����������� �������

�� /�� ���� �,���������������������������6�8�?9��4��#��:��5��%A������������������������

���"��������������6��/���������������� ���7�8�?9��4��#��:��5��%��6A������������

"���������������7�

Page 20: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

!� �� ��������� ��������������������→���⊥���8�:���-�6��������-�49��� ����'��������������������������$#��∞��

,� 2������������-�#���������������-�5������������-�=�F�9��������������F�$#�

"� /�� ������������8����$�M��������-�M9��� ����'������������������N=��49O�

#� +�������������� ��������'������������������������ �������������8�#���$�������-���

���������∈��������∈����2� ����������������������������������� ���������� ����'����

�������������1

,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠�

�$�)�������������������→�������8����$����������-�4�-�������������∈���

/�� ���������� ����'����������������������������C�?�A�

���/�� ��������� ���������'���� ������ ����

�� ����������������������'��������������� ������!

,� ������8�2

3

xy

x y

−− −

����'��������������� ������$∞��4�!

� ������8�������-� 3 ����'��������������� ������� 3 ��8�?����� 3 D������∈��A!

�� �⊥�������-�#�-�#��-�#):�������� ������

:����

���/�� ��������� ���������'����������������� ��� � ����

�� ������8����$�:��$�:��������� ������!

,� "����������� �������������� �������������

2,

3

x yx y

y x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� !

� ��⊥���8�� 21 y− �-��21 x− �������� �����N$4��4O!

�� ������8�#�-����$�#��'���$�#�

�������� ������#��∞��

���/�� ��������� ���������'���������� ��� ��

�� ������8����$�%��$�%��-�:9�������� ������!

,� ������8�2 2 1x y+ − �������� �����N4��∞�!

� ��⊥���8����-����������$�4�$���������� ������!�� �����������′���′��8����′�$���′����′�-��′���������� �������×���

���� ������ ���� ����,��� � ��������� �������� ��������������� "�� ����� �� ��'������

���������������� ��

�� ,a b

a bb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ��"����������� ������!��,��N=��49O!�������8����$�M��$�M��-�M9!

� ���������8� 3 33 x y+ !�����N9��∞�����⊥���8� | |

2

x y x y+ + −�

���2�����������������'������������������?9��4��#A�"������#��� �������� ��� ��

�� ���� ���������'������� �������Q

Page 21: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���+�������������� ����'������������������������ �������������8�3 33 x y xy+ + �

�����������#����:���5�!��#���:����5������9����∈���

,��*� ����'�������� ���Q�2����� � ���Q

� /�������������� �������� ��� �Q

�!�+����������?�������A�����������'����������������������

�� �������� �,���� ��� �� ��� � �,������ ���� ��'��� �� �

����� ����� �� � ����� ���� ������ � �� �� ��� ����� ���

������ ������ ����,����

�"�+�������������������������������������'����������������������8������������

���������∈���

�� /�� ��������'����� ������� ������� � ����������������� ��� ��

,� 2� ��������������� �������� ����,����

� ���������������������!�������������������

�#�)���(�8�1

,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠��������������������→�������8�

4 3

4( 1)

xy

x y

++ +

�����������∈�(�

�� ��������� �������� ����'������������������(�

,� ��������� ������'����� ������� ��������� � ����

� /�����'��������� ��� �Q

�$�+����������������������'�����������������������������8����-�#��-�#��-�4�

���������∈����2����� ���������'������� ������� ������������������� ��� ��

111

���2����� �����������������������→�������8�3

2 3 3 9

xy

xy x y− − +��� ����'��������������

����� ��������9��:��

���+�������������� ��������'���������8��21 y+ �-��

21 x+ �����������∈���

��������� ������'����� ������� ������� � ��������������� ��� ����� �� ���������

�������� ����� ����,����"������� ����

���+���#�������������� ����'�������������������� ����������8����������������∈��

#����

�� ������������������!������������������8�

0 0

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������8�

0 1

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,� /�����'��������� ��� �Q

���+������������������,�������������������� ������������������������ �������

�� ���������������������������� �����3���������������� ��������� ������������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 22: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

���)�����8�2 22 3

, , 4 3 12

x yx y x y

y x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ − =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� �

�� /�� ���������� ����� ��� �,���������������#����"������� ��"����������� �������

,� 2� ��������������� ���� ����������� �������� ����,��������"��������������

���)���(�8�?�������D���∈��1����∈��A������'�������������������8���������������

� ������������� ��������'�����

�!�)����∈��1��������������8�?������D������∈����������8�4A�������� �����������8�4

���������;�������� �������"� ������<�

�� 2������������������∈��������� ���������������-�����∈���

,� /�� ��������'������������������������� ����������������������������8��������������

�� ���� � ������������ ����

� 2� ��������������� ���� ����������� �������� ����,����������'�����

�"�)�����∈��:���� ���� ���� �������,�����2�����������

:���� ��'��� ��� ���������

�����8��.��$4�.������������∈��

:����

�� /�� ��������'����� ������� ����������������� ��� ��

,� 2� ��������������� �������� ����,����

��!� �������

/����� � "�� ��'������ �� �������� ��� ������ �,� ������ ��� ������������ ���� �� �

������ �������������������'������������������� �������������� ������������� ���������

+� ��������� �� ������ ������� � ������������ ��� ��� �

&����������� �����'�����,������� ����� � ��������'�,����������������������

"���� �� ��������������� ����'������������������������� ������ ��������� ����

3���� ����� � �������'�,�������'����������������

� � �����'�,�������'����� ������ ������� �� ���������"���������� ���������

���� ������������������

���������

G���������������(�"������������'������������������������ �����(����������

��� � ������ ������������'����� ������� ��������������� ��� ����� �� �

������ ��������(��� ����� ����,����

2����"���������'����� ���� � ������ ���'����������� ��������� �����������

*����� ���� �������'����������������������� �������� ���� �����'�����

������� �������������������������������������������������������

�� S�����������������-�������-�������-�������-�����1��.�����1��.�����1��.�����9��∞���.��

/�� ��'������� ��� � ����

1

Page 23: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �������-���� ��'����� � ���

�S>�����.���� ��'������� � ��������S>����8�?�∈�����T��� ��≠�9A�

���� ���

&���� ��� ������������� � ���������'� ���� � �������'������ �������� ��� � �������������

G������������������"����������'������������������������� ����������

���� ��������������'������������������ ������� ����������������� ��� ��

2�����'����� ������� � ������ ������������������ ��������� �

������� �������������������������������������������������������

�� ����-�������.�������.�������.�������.������.���� ����������� � ����

�� �������.���� ������������� � ���

�� �������������������≥�:��� ������������� � ���

&�������������� ������������������������ �������������� �������� ����,���

+ ����������'�������������� ���������������$������"������ �� �������� ���

�� ����� ����,����

��"� �#$������������� ��������

��"��� ��������������� ���������� ����

� )����∈��1����� �

E�������?����*�D�*�∈��A�not

= x �������� �����"#����%�"�!%�����!������������

"� ��'���

P������������������� ����������������� ���� �� �������� ���������������������

��� �����������"������������

2���%��� ����� ��"��������������������� �������� �������"�������������� ������

����+���%������+��%�∈����9�≤�%�J��+����������� x �8�?����*�D�*�∈��A�8�?%���+���*�D�*�∈��A�8�?%�����D���∈��A�8� r �

2���� ˆ ˆx y= ⇔���≡����������

&� �� ����"��������������� ���������,������ �9��4��#��@���$�4�������������� ��

������������� �������������� ����������� �� �������� ������

/�� ��������� ������ � ��� 0 ��1 �� 2 ��@���1n − �

P� �����������������8�? 0 ��1�� 2 ��@��

�1n − A�

Page 24: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

+�� ���8�5��������5�8�? 0 ��1�� 2 �� 3 A�����

0 �8�?9�-�5*�D�*�∈��A�8�?5*�D�*�∈��A

1 �8�?4�-�5*�D�*�∈��A

28�?#�-�5*D�*�∈��A

3 �8�?:�-�5*D�*�∈��A������������������������ ���������5�

��������������������������������������"� ��'�������������� ���������"���������

��

/� �������� ���8�5�������� 0 �"������� 8 !�������1�"����������15− ��� �

� +�������������� ������������'������������������� �����������������

����������� � ��-����.�

2��������∈����� �����������������

ˆa b+ �8��a b⊕ ���������

ˆa b⋅ �8��a b�

����⊕����� ��� ��������������� ���"���������������������������"� ��'��������

����������'�����4�4��

+�� ���������������� a ���� b ����������������"� ��'��������������������� �

"�������������������-�������

��������� ����� ��� ���������������������

>�����������������"�����������������

������� �������������������������������������������������������

&���6������� 3 �-� 5 8�

�3 5⊕ �8� 2 �����������:�-�%������6��8�#!

3 �.� 5 8��3 5� �8� 3 �����������:�.�%������6��8�:�

���� ���

2������������������������"����������������������� ������"�������������'��������

�������� �������� ��������� a ���� b ���4�∈� a ���

4�∈� b ������ 1 1

ˆ ˆˆ ˆa b a b+ = + !� 1 1ˆ ˆˆ ˆa b a b⋅ = ⋅ �

I���������� ���������������������� � �����'�,������� ������ �������������

������������������� ���� ������

Page 25: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������

2����∈��1��� ���

4� ����-���� ��'����� � ������� �'������� �������������������� ����

#� ����.���� ����������� � ���

:� E������������� ������������,���������������������.�����������"������

�"����������������������� ������ � ������'������� ��%!�!���!����������,

������"���%����%�"�!%�����!����

���������� 4� 3�������������� ��������� ����

�� /����������������� ������� ���

)��� a ��b �� c �∈����/ ����

ˆa b+ ��-� c �8��a b⊕ �-� c �8��( )a b c⊕ ⊕ �

(1)

=8�

�( )a b c⊕ ⊕ �8� a �⊕�� b �-� c ��8� a �-�� b �-� c ��*'��� � ����4��������������� ��� � �����'���⊕��

,� /������������������������� ���� �� 0 �ˆˆ 0a + �8�

�0a ⊕ �8� a !�ˆ ˆ0 a+ �8�

�0 a⊕ �8� a �������� ��� ���9��� ��������

�� �������'���⊕��

� G���������� � a �� ������ ����,�������� ��������������n a− ��&� �(�������

a �-��n a− �8�

�( )a n a⊕ − �8� 0 !��n a− �-� a �8��( )n a a− ⊕ �8� 0 �

�� /����������������� ���� � ����

&� �(��������ˆa b+ �8�

�a b⊕ �8��b a⊕ �8�

ˆ ˆb a+ �������� ��� ������(

� ��� � �����'���⊕��

#� 3������������ �"�������� ��������� ����������������

�� &����������� ������� ����

�ˆa b⋅ ��.� c �8��a b� �.� c �8��( )a b c� � �8��

�( )a b c� � �8� a �.��b c� �8

8� a .��ˆ ˆb c⋅ ��������� ��� ��������� ��� � �����'���⊗�������

,��&�������8�4����8�? 0 A���������� ���� ���� �� 0� ��2����≥�#�

������ ������1� ��� �������� ��� �����"����������ˆ1 b⋅ �8�

�1 b� �8�b !

ˆ 1b ⋅ �8��1b� �8� b ��4��� �������� ��� �����"����������������������

��&������������������� ���� � ����

ˆa b⋅ �8��a b� �8�

�b a� �8�ˆ ˆb a⋅ �

:� 2����� ������

a �∈����� ������ ����,���"������� ��"�����������������������

���������������8�4���������� �������"� ��������

Page 26: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

2����8�4��� �����8�? 0 A������ 0 ��� ������ ����,������������� ���� 0 �

+��������������9��4��8�4��������� ����������� ��������� ��

2����≥�#������� ������������������������

⇒������������� a ∈������� ����,������������ ������������8�4�

2��� a ∈����� ������ ����,����� ������� �� b �∈��

��� ����"��

������ ������ ��ˆ ˆˆ 1a b⋅ = �⇔�

�ab �8�1 �⇔����≡�4��������⇔����$4�≡≡�9��������⇔����$�4�8�+��+�∈���⇔����$�+�8�4�⇔�������8�4�

⇐��*� ����� ���� ����������8�4�⇔����� �������∈����� ����"��

4�8������������������������������'����456���/ ��������� �����������

������8�4�⇔�4�8��������⇔����8�4�$���⇔����≡�4��������⇔�ˆˆ ˆ 1a x⋅ = �

2��� �� � ��� � �� ������ ���ˆˆ ˆ 1x a⋅ = �� ���� a � �� �� ���� ����,���

2�����������.���� �����������������

$����8�? a �∈��

�D� a ����� ����,��A��� ��'����� � ���"������� �

"�����������������

������� �������������������������������������������������������

��5��-���� ��'����� � ��!

��5��.������ ��'������ ��������!

$��5��8�?1�� 3 A������������ �� � �,��������������

��"������������ ��������� ��� �����������������

)����∈��1��L ������������

�8�4�����������������������

�*�8���

2k

n

π�-�����

2k

n

π��*�∈�?9��4��@���$�4A�

2���$�8�?�

9���

4���

#��@���

$4A������ ���ε�8��� 2

n

π�-�����

2

n

� ��

$�8�?4��ε��ε#��@��ε$4A��������������������E������

������ ��

E�������$����������"������� ��������������"��������������������������

��� � ������'����� � ������� ��%!�!��%#�#�����%�����%��!�������!��#����

���������� &����������� ����'������������������$'

)��������∈�$��� ����

�8�4���

�8�4������

�8��

�.��

�8�4���������∈�$�

�� &����������� ������� �������$������������� ���������

,� 2�������4�∈�$������ ����4��� �������� ���� �����"������������$

% 0 1 2 3

0 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Page 27: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� G���������� �����$��� ������ ����,����&� �(��������������∈�$

��� ��

1 1n

nx x

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠�8�4������

1x�∈�$

��0��� ������8�ε*��� ������ ����,���

���������� ����1

x�8�ε�*������*�8�0, 1n − �

�� &����������� ���� � �������$����������� ���� � ���������

��"�!��������������������� ���� ���

0����� ������������%�!��%������%��!���"�����'�����������,�H� ���

����?4��#��@��A�→�?4��#��@��A���≥�4�E����������� ����������'����������B������� ���������� ����������-

+��-� ������� ��'�� ��� ���������� $� ��������� ���������� ��� �� "�� ��� � ��

������������� �������

�������

E�������-����������"���������������������������������� ��������

� � ������'������� ��%!�!����%�!�#%���%�����%��!��������%!�!��"����%�����

�%��!����

2����≥�:��� ���-��� ��'������� � ���

���������� �� G��������������������� ������� �����������������������������

�� ���������������� ����

,� )�����8�

1 2 ...

1 2 ...

n

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��G,�������������σ�8�σ�����8�σ���������������σ�∈�-�

� G�������� ������ ������ ����,�����������������,�H� ����

0��� �����-������� ��'���

-#�8�

1 2 1 2,

1 2 2 1

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

��� �������� �'����� � ���

+�� ���≥�:���-������� ������ � ���������������� ����� � ����

��������� ��

������� �������������������������������������������������������

σ�8�1 2 3 4

2 3 4 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��τ�8�1 2 3 4

3 1 4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��σ, τ ∈�-5�

/����σ�.�τ�8�1 2 3 4

4 2 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��τ�.�σ�8�1 2 3 41 4 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������σ���τ�≠�τ���σ�

Page 28: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

��"�"���������� �������

/���� � ��(.����8�?�∈��

���D��� ��≠�9A�

(.������ ��'���"������� ��"����������� �������

���������

������� ��������������������������������(�⊂�(.��������"��������� ������������

�� ��������∈�(��������∈�(

�/ )�∈�(

� �����∈�(������$4�∈�(�

������� �������������������������������������������������������

(�8�?�∈�(.#����D���8�$4A���������� �� ��������������� ��'�������� ����

&� �(������

�� 2�������∈�(��� �������

�8���

�.��

�8��$4�.�

$4�8����

$4��������∈�(�

,�1

2 2tI I −= �8)

#�������)

#�∈�(�

� �$4��

�8���

��

�8��8��$4�$4������

$4�∈�(�

��%� ������ ������������&�������

��������������������������)����(�������'���������� ���� ���������∈�(�

/ ������������ ������������� �9����� ������������� ����� ����� ����

�9�8�������

�8�

ori

...n

x x x∗ ∗ ∗��

2����∈��1��� ������������ ������������� ���'� ����� ����

��

�8���

�$4������ ���������� ����

I���������� ��������� ����������� ��������� �������

������ ��

)����(�����'�����������∈�(��/ ���

�� �

�����

�8����

���������∈��!

,� ��

��

�8���

���������∈��!

� �

�����

�8���

����

���������∈����� �������������������� ��� ��!

�� 2���������8��������� ����������

�8��

����

������∈���

Page 29: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������� �� �

�����

�8�

ori

...n

x x x∗ ∗ ∗�� ���

ori

...m

x x x∗ ∗ ∗�� �8�

ori

...n m

x x x+

∗ ∗ ∗�� �8����

�"����������∈����

2�������∈���������������������J�9����≥�9�����J�9����J�9�����≥�90�� J� 9��� 2����� ���� �'��� � ��� "�� ������ ��� ��� ����� ������ �

������ ����(��������'��/�����,�������

4� D�D�F�DD��+ ����������8�$���%������%�F�9!

�����

�����

�8����

�$4����

��%

�8����

�$4�����

����%

��8

8�N���

�$4����

O����%

�8������%

�8��%

�8����

#� D�D�J�DD������������8�$���%������%�∈��!

�����

�����

�8����

�$4����

��%

�8����

�$4����

�����%

�8

8�N���

�$4����

O�����%

�8�������%

�8���%

�8����

,� 2�������∈����� �����

��

�8�

ori

...n n n

m

x x x∗ ∗ ∗�� �8�

ori

...n m

x x x⋅

∗ ∗ ∗�� �8���

2�����J�9�����≥�9��� ����� �������������∈�����������

��

��

�8���

�$��8�N��

��

O$4�8���

�$4�8��

��

�8���$��

�8���

/����'� �� ��������� ����������≥�9���J�9������J�9���J�9���0��� ����������

�����

�8����

!���

����

�8����

�� 2����∈���������������� � ���� �������� ������,�����

�������

�8�

ori

( ) ( ) ... ( )n

x y x y x y∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗��

�8�����8

8�

ori

( ... )n

x x x∗ ∗ ∗��

���

ori

( ... )n

y y y∗ ∗ ∗��

�8��

����

2����J�9���� ������������∈���

�������

�8�N��������

O$4�8�N�

�����

O$4�8�N�

�����

O$4�8���

�$4�����

�$4�8��

����

���� ���

2��� ������� �� ���������� ����������!���� � ���� �� ����� ���� ������ ������ ���

������� ���������� �������4�����������"����������∈���

������ �������'���������&�������

������ ��

)����(�������'��������������∈�(��/������� ���������'������������������

������8�������⇒������������������������ ��'��!

������8�������⇒���������������������������� ���

���������� )����′����� ��������!�����

��8�������8���′����������8��′�����������8��′�����������8���′����������8�������8���/����'���������� ��������'�������������������������� ��

Page 30: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

���� ���

�� 0�'����������������� �����,�������"� �(���������!�������������� ������ �

"����%��������/� ������ ���"� ������� �������������������#���������

��� ����∈��#�������8�

1 0

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �8�

0 0

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��1�8�

0 0

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��.� �8���.�1�8�9������ �≠�1������������������� ���������� ���������������� ������ ����,���

�� &� �(��'��������������������������������������������������������������

&� �(�������������′��� ������ ����������� ��

����������⇔���������������′������⇔������′����/����'�����������⇔����������′.

������������� �����

�� )�����8�

0 0

0 0 , ,

0 0

a

b a b c

c

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� ����������� ����

���"����������� ��������� ����'�������������������!

,������.���� ����������� � ����������� ������� �����������,����������������Q

���� ��

�� )���4�8�

1

1

1

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��#�8�

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���4#�8�

1 2

1 2

1 2

0 0

0 0

0 0

a a

b b

c c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈���

,��3��������"������������������� �����������������

&����������� ������� ��������������������� ��������:�����

G,���������):�∈���������� ������� � ���� �������� ���� ��

#�.�

4�8�

4�.�

#��"����������� ���� � ����������

E� ������8�

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ������ ����,������������ ��′�8�0 0

0 0

0 0

a

b

c

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠

�∈��

�� ����"�� ��.�′�8�):��0��� ���������� ���������′�8�4!���′�8�4!���′�8�4�

2�����������������′���′���′�∈������� ������������ ������� ������� �������������

?$4��4A�

2���������������������������'������������������������� ���������� � ��"�����

������� ���� �� �� ������� � ����,��� ���� ��� ���'���� ���� ������� +���� �����

��������������=������� ������ ����,�����*�������(��B

Page 31: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� )���(�8��4��∞�����������8�2 2 2 2 2x y x y− − + �����������∈�(�

�� ��������� �����(������� ��'����,������

,� ������������� *nx ��� ��������������������� ������"� ���� �����������"���(�����

����� ���"����1��.���

���� ��

�� ���� ����'������������������(�"� �� ����������F�4�� ���������F�4����������

��� ���,������"���� ������

������8�2 2 2 2 2x y x y− − + �8�

2 2 2 2 1 1x y x y− − + + �8�2 2( 1)( 1) 1x y− − + �F�4�

3�������������� ������� ���!�������������∈�(�

������������8�2 2( 1)( 1) 1x y− − + �8�

2 2 2( 1)( 1) 1 1 ( 1) 1x y z⎡ ⎤− − + − − +⎣ ⎦ �8

8�2 2 2( 1)( 1)( 1) 1x y z− − − +

������������8�����2 2( 1)( 1) 1y z− − + �8�

2 2 2( 1)[( 1)( 1) 1 1] 1x y z− − − + − + �8

8�2 2 2( 1)( 1)( 1) 1x y z− − − +

2���������������8������������

3�������������� ���� � ���!����������∈�(�

������8�2 2 2 2 2y x y x− − + �8�

2 2 2 2 2x y x y− − + �8�������

�� ��������� ���� �����2���������������������������������������������∈�(�

�� ��� ���� � ��� ������� �������� ����������������������

�� �� �� �� � � ⇔�2 2 2 2 2e x e x− − + � 8� �� ⇔� �

#�#� $� �

#� $� �

#� -� #� 8� �

#� ⇔

⇔��#��

#�$�4��8�#��

#�$�4�

K� �����'��� � ���� ��������� ����� ���������∈�(�����������#�8�#���������8�U 2 �

��� 2 �F�4���������������� ���� �������'����� �� 2 �

3���������� �� �������� �������(��� ����� ����,����

/�� �������� ����∈�(����� ���′�∈�(��������� � ��������′�8��′�����8� 2 �

�����′�8� 2 �⇔�2 2 2 2 2x x x x′ ′⋅ − − + �8� 2 �⇔��

#�.��′#�$��#�$��′#�-�#�8�#�⇔

⇔��′#��#�$�4��8��#�⇔��′�8�U2 1

x

x −��G,���������

2 1

x

x −�F�4�������′�∈�(�

2����� � ��� � ��������′�����8� 2 ���������� ������ ����,���

,� /����������8�2 2( 1) 1x − + !�����������8�

2 3( 1) 1x − + �

2����� ������������������2

* ( 1) 1n nx x= − + ��3��������B

Page 32: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�� +�����������(��� �������� ����'������������������������ ��������������� ������

�� *��� ����∈�(��� ����"�� ������������������∈�(�

,� ������∈�(��∃���′�∈�(��� ����"�� ��′���������2����� �������(��� ��'���

���� ��

/�� ������′������� ����,������������� � ��������′�8��� �4�

2��������′�∈�(����������,������ ���′′�∈�(��� ����"�� ��′′����′�8���/ ��������′�8�����������′��8���′′����′����������′��8��′′�����′���������′�8���′′��������′�8��′′����′�8���/�� ��������� ���� ������������� ��

������8�������′������8�������′������8�������8���2������� �������� ���� �������'���

2���������� � ��������������4������������������� ������ ����,���

/�������(������� ��'���

� ����������*����������� ���� "����������������������(� �� ���� ���� ��'���

����� �������� ���������� ������(������� ��'����� ��"!�����������������������'��

����!���������� ��� ������ ��'����� �� �������� ������ ����� ����,�������� ��'��

&� �� �����'�������� ��������� ��������'��������������������� ����������� �"�

���� ���������������������������������������������#�

0������"���������� � � ���� ���� ������ �

2�� ���������� ���� �� �� ���� � � ;���<� � ������� ���� ��� ������ � �� �� ��

���� ����,��� � ���������� �������������������������������� ����(��������� ����

���)�����8�

2 2(1 )( ) *

1 2 1

a aM a a

a a

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ��/�� ����������.���� ��'�������� ����

���� ��

�� ������8��#�$����#��$�4��-�#���$�4�#�8�5��$�#�$�#�

#�-���-�#�

#�$�5��-�#�8���≠�9�

0��� ������⊂�(.#����

�����.������8�����.����∈�(�����������B��

G,���������)#�∈�(��"��������8�4��

������$4�8��

1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�('

&� �(�������������.����′��8�)#�⇔������.����′��8���4��⇔�����′��8���4��⇔

⇔�����′��8���4��⇔���′�8�4�⇔��′�8� 1

a�

3�����������1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.������8�)#������������������� ���������,������������������

1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�(�

Page 33: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� )���(�8�

0

0 1 0 (0, )

0

a a

a

a a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈ ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

����������� �����(��.���� ��'����������'�������� ����

���� ��

)���(����8�

0

0 1 0

0

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��(����8�

0

0 1 0

0

b b

b b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���������������(�

/����(����.�(����8�

2 0 2

0 1 0

2 0 2

ab ab

ab ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�8�(�#����∈�(�

*����� ��"����������� ��������� ������� ��������� � �����G,���������):�∉�(�

����(����� ���������� ������� ��� ������� ��,���� � �

2���(����.�(����8�(����������(�#����8�(����⇔�#���8������� ���������F�9�⇔

��8�1

2�F�9!�(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.�(����8�(1

22

a⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�8�(���������(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �������� ���� ��

(����.(��′��8�( 1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�(�#��′��8�( 1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�#��′�8� 1

2�⇔��′�8� 1

4a�F�9

(�1

4a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(����8�(1

24

aa

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�8�(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0��� ����(������ ������ ����,��������������� ����(1

4a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�(��.������ ��'�������� ������� ������ ������� ������������ ��������(��� ��9

�����,���������)#�∉�(��

�� ���2� ������������� ��������17 �"����

#99��.��

,� 2� ����������∈�����≥�6����� �������"�����������'��� � ���� 5 �

$4�8� 5 �

���� ��

���17 �.� a �8�1 �⇔�47��≡�4������#99��⇔�47��8�4�-�#99+��+�∈���

2���� �����'��� � ����� �����8�1 200

17q+�8�

17 12 4 117q q⋅ − +

�8�4#+�$�4 1

17q −

�∈����4��

0��� ��5+�$�4�8�47*�⇔�+�8�17 1 16 1

4 4k k k+ + += �8�5*�-�

14

k +�∈����#��

0��� ��*�-�4�8�5�����∈�����������*�8�5��$�4��+�(2)

= 5�5��$�4��-���8�47��$�5�����

��

(1)

= �4#�47����5��$��5��$�4��8�#99���$�57�8�#99���$�#99�-�4%:�8�#99����$�4��-�4%:�

0��� ���� a �8��153 ������ � �1(17) 153− = �

Page 34: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

,�1ˆ ˆ(5) 5− = �⇔� 5 �.� 5 �8� 1 �⇔�#%�≡�4��������⇔�#%�8�4�-�+��+�∈���⇔�+�8�#5�

0��� ���D�#5�

+������������∈�?6��=��4#��#5A��3������������ 5 �$4�8� 5 �"���6���

=���

4#���

#5�

���� ���

������ �������� ����������"�������������#��.�����

5��.�����

6��.�����

=��.�����

4#��.����

��#5��.������ ����������������� ����� ����,����� �����"�����

!��0���������"���4#������������� 5 ��8� 4 !�,�� 3 ��8� 8 !��� 2 ��8��10 �

���� ��

�� 2������� 5 ��� ���������,���"���4#������ ���������������������������8�� 5 �$4�.� 4 �8�8

,� 3 �.���8� 8 �⇔�:��≡�=������4#��⇔�:��8�=�-�4#*��*�∈���

K� �����'��� � ���� ��������,�������������=����� ���� �������:��*������������������

� +��������������� ��,��������������� �,���"�������������4#��,���������

����������8� 5 ������8� �11 �

���� ���

2����∈��1��"����'� ����������a ��8�b ����∈���������∈�������� ������� ������ �������

4� 2���������8�4��� ���������������������������8� ( ) 1 ˆa b− ⋅ �

#� 2���������≠�4������������8����� ������������������� ���������!��%��"��!����

,� ������������������n

d�8�

4��� ����������������������

�0x ��

0 1x n+ ���

0 12x n+ ��������

0 1( 1)x d n+ − �������9��� �������������������

"��)����(��.����'������'����� � ���� ����� �������������� ���� ���� � ���

�� 2����� �������������� ������������∈�(���������.���%�8��

%�.��

%!����.���

5�8��

5�.��

5���

���.���:�8��

:�.��

:��� ���'������ ���� � ���

,� 2����#�8��

6�8��������.���8��

5�.���� ����

:�8��������.���8���.���

���� ��

�� ���.���%�8����.����.����.����.����.����.����.����.����.����8��

%�.��

%

���������������� ��'�������������������� ����������,�����

���.����.����.����.����.����.����.����8��5�.��

5�

0��� �����.���5�8�����

5��4�

/����'���������.���5�8��

5�.��

5�����������.���

:�8�����

:��#��

�4��⇔����.���:�.���������8����.���

:�.����.�������������������������������,������������8���.���

,� 2�����������

���.���#�8���.���.���.���8��

5�.���.���.���8��

5�.������

�8��

%

���.���:�8����.����.����.���

#�8����.����.��

%�8���.��

6�8���.��

�8��

���.���6�8�����.���

:�#�8��

#����

&�������.���6�8�����.���

#�:�8���

%�:����

4%��2������

4%�8���

2����4%�8��

6�.��

6�.��

:�8��

:�������

:�8������������ ���.���8��

5�.�����������

Page 35: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������ ����

�� /�� ����"������������ ������������� ������������'����������� ���� ��������

� � �������������

�� ��8������������8�$�����������!

,� ��8�N#��∞�����������8����$�#��$�#��-�6!

� ��8�������������4���

4������

#���

#��8���

4�-��

#���

4�#��

�� /�� ���� "�� ���������� ������������� �������(� � ��'����������� �� ����������

� � ������'����+������������'������ ���� � ���

�� (�8��:��∞�����������8����$�:��$�:��-�4#!

,� (�8��9��#���������8�

2

xy

xy x y− − +!

� (�8��4��∞��C�?#A��������8�ln 1( 1) yx −− -�4!

�� (�8�?�����#��∞��→ ����

����8�#�-����$�

22)n���∈��A�������������������!

�� (�8�?������→��9��∞��D����� ���A��"�����������������!

�� (�8�?����������∈��:�D���≠�9����≠�9A!���������������′���′���′��8����′����′����′�-���′�!

'� (�8���C�?$�A!��4����

#�8��

4�.��

#�-����

4�-��

#��$�4�$��!

� (�8���C�?$#�A!�������8�����$�#��$�#��$�6�!

�� (�8����������8� 5 55 x y+ !

H� (�8�

4,

x y yx y

y x y

⎧ ⎫+⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ������������ ������!

V� (�8�

0 0

0 1 ,

0 0 1

xe

x x y

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ��"����������� �������

�� �������� ������ �������'������� �'���������� ���Q

�� ��8�

1,

0 1k

kD k

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ��"����������� ������!

,� -.#����8�?�∈�(.

#����D��� ��8�4A��"����������� ������!

� ��8� { }1 01( ) 0 0 0 | \20 1

x xA x x

x x

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪−⎝ ⎠⎩ ⎭� ���"����������� �������

�� �� +�������������� ����'����������������������8������������������ ������������∈��

�� ����"�� ���������������'���

,� +����������(�8��$4��4������������ ����'����������������������8�1ax by

xy+

+�

�����∈�$4��4������������ �����(������� ��'���⇔�������8�4�

Page 36: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

��2� ���������α�∈ ���� ����"�� ���'��������������������������$�:��$�:��-�α����� �����������:��∞����� � ������'���

�� )����(�����'�����������∈�(��� ����"�� �������8�������

2����� ���������

����

�8��

�����

����������∈���

�� )����(�������'����� � ��������∈�(��+��(�����������'�����⊥���8���������������������∈�(�

/�� �������(��⊥���� ��'����� � ���

!� ���������������� ���������+�∈�-%����8�

1 2 3 4 53 4 5 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��+�8�1 2 3 4 52 3 4 5 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���/�� �������6�8��������������

4#:���

$4��

$:=�

,����������+$4��+

%7��+

$4%�

��0���������"��-%�������������������+����������+�8�����+�

"��0���������"���=���������

�� 5 3x =� �!�,��

� �2 4x = !���3 0x =� �!����

�4 3x = �!����

� �4 4x = �

111

#��+����������������������'����������������������8������������-�#�

/�� ��������������� ��������������������������� �������� ����,����

�$����������� ����"������������������ ������������8�?9��4��#��������$�4A���� � ��

������������ � ����������� ������� �������� ����,���Q

����)����9�∈��1����� ������������

0zM 8�?��∈���D�D�����

9D�8�D�D�-�D�

9DA�

2����� ��������0z

M ��-���� ���������������� ��'���

���)����≥�#���������� ����

��������� ������������(�8� 2

0, ,

0nx

A x y A Iy

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

��� ��'���"������� �

"����������� ���������� �������� ������'���Q

����2� �����������∈����� ����"�� ���������(��8�

21 2

( ) 0 1 4

0 0 1

x ax x

A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

"��������"����������� ��������������������� � ������'����/��������∈����� ���

"�� ����������� ������� ����������$4���������'�����9�

Page 37: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����)�����∈�����������������8�

0

0 0 , , , 1

0

a b

x a b c ad bc

c d

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈ − =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

2� �����������∈����� ����"�� ������.���������'���

����+����������(�8�N9��4������� �������'������������������������ �������������8�?�����A

���� ������������������������������������ �����(������� ��'����� � ���

����0���������"���59������������� 3 ��8� 2 !�,�� 5 ��8� 3 !��� 6 ��8��10 �

�!��)�������∈��������������� �������������������0����������������Δ���8����Δ��� ��������������� �����

�"��)����(��.����'���������� ���� ����

2� ��������������∈�(�� ��������#�����������

=�8���

�#��������������������→����������8�:��$�5 z ��� ��������� �������� ��,�H� ����

,� 2� ��������������������2�����→����� ����"�� ����������8�#��$�4����2��������8���-�# z �������∈���

��(� )��'����*��������'���� ��������

+������������������� ������������ ������������������ ������� ���������� � ��

��'�,�������'���

�������� ��

)����(���������(′���������'������G�����������(�→�(′��������� � ������������8������������������������∈�(

������� ����&������'�����

������� �������������������������������������������������������

�� )����������9��∞��→����������8�������� ������������"� ���'���������9��∞)��.���������-��&� �(���������������=�������-��������������� � ������'��� �������

�� )�����������→����������8�0������� ������������������� �������������'������������-�

�������-��

&� �(������������4�-��

#��8�0���

4�-�0���

#�8�����

4��-�����

#���*����������"���� �����

� ����������� ��������������������

Page 38: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

������ ��

)����(���������(′���������'������������ ������ ����������� ����′�������(�→�(′�������������'������/ ��

�� ������8��′;,� ����′��8��������′��������∈�(�������′��� ������ ���������"��(������������′���� �

���� �������������"��(′!� ����

��8��������

��������∈�(�������∈���

���������� �� /����������8�����������8�����������������������������������"��'����(′�,������������8��′�

,� +�� ���������∈�(�������′�8�������8���������′��8�������������′���4��′�8�������8�����′������8�����′��������� �#�

2����4������#������������������ ���������,���������������������′�������������′�8�����′��

� +�� ���8�9��'��� � ����� ������������������8��′���� ������+�� ���F�9

����������

��8�

ori ori

( ... ) ( ) ( ) ... ( )n n

f x x x f x f x f x∗ ∗ ∗ = � ��� ���8��������

2����J�9��������∈����������

/ �������

��8�������

��8������′����8������′����8��������′���8��������$��8��������������������� ���

���� ���

&� �������'��������� ���������������������&���� ������� �������4������������(�→�(′�������8��′�������∈�(��� �������������'������&� �(�����������������8��′!���������������8��′����′�8��′���������������8����������������/�� ������������ �� ��� ����� ���%��"�!�������

������ ��

)����(�������(′���������(′′�� .�� ����'������ ������ ��(�→�(′���� ��(′�→�(′′����������������'����/ ����������� �������������'�����

���������� )��������∈�(��/�������������������8�������������8������������������8

�����������.�����������8������������.�����������

������ ��

)����(���������(′���������'������������(�→�(′������������'�����

2������� ���������,������ �����$4��(′�→�(��� ���������������'�����

���������� +�� �������α��β�∈�3′������α���β�8������$4�α����������$4�β���88������

$4������$4���

0��� ����$4����8���$4������$4��

Page 39: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������� ��

)����(���������(′���������'�����)���������(�→�(′�������� �������&������'��������

�� ���� ��,�H� ���!

,� ���� �������������'�����

������"����� ������'��������(���������(′������� ������%������ �����(�����≈��(′�����K���������������������'���������"������������ ���!����%��"��

������������ � ������ ������������������������������������������

�� )����������9��∞��→�����������8��������� ������������������'����������9��∞���.����

����-�������������� ��,�H� ������������.����8�������-�������

�� )����������→���������8�$���� ����� ������������'���������-�������������� �

,�H� ����������������8������-������

�� )�����������→����������8��:��� ������������������'����������������������-�����

��'������� ���� �������������8�3 33 x y+ ��/��������������8��

:�-��

:�8�������-�����������

���� ��������� ��,�H�����

���� ���

� 0���������������������;≈<�"� �������'������������ �������������� ����

�� �� ��������������(�����≈��(������'������ ��������������"�����

,� �� ������ ����������(�����≈��(′������� ����(′�����≈��(������ �� �� ����� ����������(�����≈��(′���������(′�����≈��(′′��.���� ����(�����≈��(′′��.������� ����������� ����������������� ����� ���������:����#������ ����� �� ����"�

������������������,�����

�������

������ �����'�����(���������(�8��:��∞�����������8����$�:��$�:��-�4#��� ���������

�'��������-��

*� ����������������,�����'�����(������� �������������9��∞���.������� ��������

����������9��∞���.��≈�����-�������������������� ���������������4��

&� �(�������������������9��∞��→��:��∞��� ������8���-�:���� �������� �,�H� ��������

�����.����8�������������������������B�

/��������(�����≈���9��∞���.�������9��∞���.��≈�����-��������(�����≈�����-��

� 2���'��������� ����������������������������� ���� �������������� �,����

��'����������� ��������� � �� �����'����� ����/�� ����������������������������

������ �������'���������'������������ �(��������,�H� �����������������������

"���������� �,���

Page 40: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�������

�����������'��������$5��.���$

5�8�?4������

#���

:A������

5��-����

5�8�? 0 ��1�� 2 �� 3 A�

G,�������� �,�������'�����

. 4 � �#

�:

- 0 1 2 3

4 4 � �#

�: 0 0 1 2 3

� � �#

�:

4 1 1 2 3 0

�#

�#

�:

4 � 2 2 3 0 1

�:

�:

4 � �# 3 3 0 1 2

0��������������� �����4���� 0 ���������1�����#���� 2 �����:���� 3 �����������������

"�� �,�����'������������

0��� �����$5��.��≈���

5��-������������������������ ��������������$

5�→��

5�

���4��8� 0 ��������8� 1������#��8 2 ������:��8� 3 �

� 2��������� ��������� � ���������� ��������'�������� ������������������ ���

�� ��'����� �����������'�����!�"!�������%���

�������

S�����-:������� ������ � ����������

6��-���� ���� � ���������-

:����� /� ���6

��-��

� ��������

2���'������������������������������� ������������� ��������� �������������

� � ������������'�,������� ����� ���

2���'��������������������������������� ��������� ���������������������

2������ ��� ������������ �� ������ ���������'�����������������������

�� ��'��������������� ���;�����<��������������� ���/�� ���� ���� � ����

��������� �H��� ���������������� �"������ ������������ ���������� �������� ��������

������ �

*������������� �������"�������������������� �������������

������������� �����

�� E���������8���C�3

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�"����������'���������8�#���$�:��$�:��-�6��� ��'�����3��������B�

������ ������������≈���1��.������ ��

��������� ����'���������� ���� ��#�

�� �����������������→��1�����������������8����������� ���������#��8�4������.�3

2�-���8�9�

Page 41: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

G,��������8�#����8�$:������ ����8�#��$�:��)������� �������� �,�H� ������������� �

���������������� �������������'���������������������8�������.�������

����,���������������� ����� ��� �,����������1�"������� ��"����������� �����$4��

�� ����� ��� �,�����������"������� ����'���������������,�����������'��������

&� �(�����������������∈���$4����������8��

�$4����������

�$4��������8���

$4�������.��������∈��

�$4���

���������������������∈�������������.�������∈�'

�� E�������(�8��$4��4���"����������'����������������������8�1x y

xy+

+���� ��������

� � ������'���������������

��� ��� ����� �(����� �� �� �������� �'���� ��9��∞��� .�� ��� ��� ������;������<

��8�1 1 1 1...3 5 7 2 1n

∗ ∗ ∗ ∗ −��∈�����≥�#�

���� ��

G�������,�H� �������� �����������$4��4��"���9��∞���� ���� ������������$4��4��→��9��∞��

������8�1

1x

x−+

��*�����������8������∈��9��∞������"���$4��4����������������8�11

yy

−+

2������� ��,�H� ������������������������� ����$4���9��∞��→��$4��4�����

$4����8�

11x

x−+ �

3�������������� �������������'�����

����������8�

11 11

11

x yx y xyx y x y

xy

+−− ∗ +=+ ∗ ++ +

�8�1 (1 )(1 )1 (1 )(1 )

xy x y x yxy x y x y

− − + − −=+ + + + +

�8������.������

0��� �������� ����������������'�����

�������������� ������� �������������������������������������������,� ��� ������

�������������8��������"������������������� ����������B������������������8���$4��

2����������8���1 1 1...3 5 2 1n

⎛ ⎞∗ ∗ ∗⎜ ⎟−⎝ ⎠�8���

13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.���15

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.���.���1

2 1n⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�8�12�.�

23.�����.�

1 1nn n− = �

/��������8���$4

111 11 11

nnn n

n

− −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ +�

Page 42: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

������������ ����

�� ��������� ����������������→��1��������8����#π��-������#π���� �������������'�������

����-�������1��.��

�� /�� �����������������1�→��1��������8�D���D��� �������������'������� ����� ����

�� ���/�� ������������������→����������8������ �������������'�������� ����

,��)�����������→����������8�#��$�4��� �������������'�������� ���Q

�� )���-�������������������"� ��'��������� �����1 2 3

2 3

2 3 03 5 0x x xx x+ + =⎧

⎨ + =⎩�

2�����4���

#���

:�������

4��#���

:��∈�-������������

4���

#���

:��-���

4��#���

:��8���

4�-��

4���

#�-��

#���

:�-�

:��

�� /�� �������-��-���� ��'����� � ���

,� )�����������→�-��������8�����$%���:����� �������������'�������� ����

�� �� +����������(�8��#��∞����������������'���������8������#����#��-�6�

��������� ����(��� ��'����� � ���

,� ��������� ����������������→�(��������8�#�-���

��� ����������������'�������

����-������(�����

���/�� ������

�� ��'���������8�1x y

xy+

+��� ����������(

4�8��$4��4����� � ������'��!

,� ��'���������8�3 4 4 62 3 3 5xy x yxy x y

− − +− − +

��� ����������(#�8��4��#����� � ������'��!

� �����������$4��4��→��4��#���������8�3 2

2x −

��� ������������������'�����

!��)�����8�

1 ln 0( ) 0 1 0 | (0, )

0 0

aA a a

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈ + ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭�

/�� ��������������� ��'����� � ������������'���� ( )(0, ),+ ∞ ⋅ �

"��+����������(�8��9��#���� ��������'����������������������8�2

xyxy x y− − +

�� /�� �������(������� ��'����� � ���

,� /�� �����������9��#��→��9��-∞���������8�2 x

x−

��� ����������������'�����

� ��������"��'����(��

2 2 2

2 2 2

2 2 2 3 2...2 2 1 2 3 1 2 1

nn

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ − −

� � � �

Page 43: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

111

#� �� ��������� �������������������→����������8�������∈����� �������������'����

��� ����

,��/�� �����������������������������-���������-���� ������������ ���

�$������������� �������'���������������������-���������-���� ��������������

,��2� �����������������������'�������������-���������-��

��2������������-�� � �����-��

���)�����F�9���������������8�{ , 0

0, 0ax x

x>≤ ����(�8�?�

��D���∈��9��-∞�A����������� ����(�"������

����������������������� ���������� � ������'������������� ( )(0, ),+ ∞ ⋅ �

���)���(�8���C�?$�A������'�����������������4����

#�8��

4����

#�-���

4�-���

#�$�4�$���

�� ��������� �����(������� ��'����� � ���

,� ��������� ��������(�→��1��������8��������� �������������'�����

������)���(�8��4��∞�����������8�2 2 2 2 2x y x y− − + ����������� �����(������� ��'���

,� �������� �����������∈����� ����"�� ������9��-∞��→��4��-∞���������8� mx n+ �������

��������������'����������9��∞)���������(�����

� ��������"��(��

2 2 2

2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2...1 1 1 2 2 1 1

nn n

⋅ + ⋅ + ++ + + + + +

� � � �

����)���(�8���C�?$4A������'���������8�#���-�#��-�#��-�4�

�� /�� �������(������� ��'����,������

,� /�� ����������(�→��1�������8�#��-�#���� ����������������'����������1�'���

"����������

� ����������������'''�����

orin��

Page 44: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

���� � ��'����

��������

�� ��������� ������������

4 2,

8 4

x y yM x y

y x y

⎧ ⎫+⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� �������������� � �����

�������"������� ��"����������� ��������������� ������� �����������,���Q

�� +���������������������� ����'�������������-���$����

�� 2����� ����������C�?4A������� ��'����� � ���

,� ������������ ������������ �����#����:�"��'���

� 0����������������#��������:�8�5�

�� ������'�����(������+�� �����������∈�(�������������������4�(�→�(���������8�������

�� ��������� ��������� ��,�H� ����

,� 2���5�(��8�?����|���∈�(A���������� �����5�(�������� ��'������������'�����(�����

I�����������5%������� ��

W���������4�%����������4�%�!�,��4�%�!���4�%���������4�%�!�,��4�%��

������������� ����������

��������

+������������������������������������� ����'�����������#������������������0����∈���

�� /�� ��������������(�8���C�2

i⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

��� ����� ��� �,����������������"������� ����

,� /�� �������(������� ��'���

� /�� ��������������4�(�→��10�������8�#���$�4��� ����������������'���������(����

�������.��

�������������������'''������"��'����(��'

I�����������5%������� ��

W���������#�!�,��:�!���#�!����#��

������������� ����������

orin��

Page 45: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������

+������������������������������������� ����'�����������#������:���-����$�6��������∈���

�� /�� ������(�8���C�3

2

i⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

��� ����� ��� �,����������������"������� ����

,� /�� �������(������� ��'���

��/�� ��������������4�(�→��10�������8�#���$�:��� ����������������'���������(�������

��10�.��

�� ��������"��'����(�

2 2 2

2 2 2

4 2 2 2 3 3 3 2 4 2...

2 2 2 3 2

n n

i i n i

⋅ + − ⋅ + − + −∗ ∗ ∗⋅ ⋅ ⋅

I�����������5%������� ��

W���������#�!�,��:�!���#�!����#��

������������� ����������

�������

�� 2� �����������∈����� ����"�� ����C�?�A��.���������'���

�� 2������������������'������5������� �������������������������X� �������

�� ������ ���� �,������������������ ������H������ ����"�� ��?����������������A���A��������'���

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � �

� �

� � �

I�����������:9������� ��

W������+�� ��������������������������:���

������������� ����������

Page 46: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

����������� ��

�������

���� �������������� � ����������

������������� ���������������� � � �������� ����� ������������ �������� ������

� ����������� � �� �������� ��� ��������������� ��

� ������������� ��� ���� ���� ������ ��������������� ���� ������ � � ������ ��

� �������� �� �������� �

�� ��� � ���� � �� � � � ��� � � ������� �� ����� ����� ���� � ��� �� � ������ � �

����������� ������� ������� �� � � ����� �������� ������ � �� ������ �� �� ������� �

�!�� ����� ����������������

"��� !������ �������� �#

��������

"����� ��� ������������ �������� ��� �� �������� �$�%������ ���� �� ������� �

���� ���� % ������������������� ����� ��������� #

���� � �& ������$�� � �������������

���� � �& ��������� � ������

������� �� ���∈������ � �'���������(��������$�������)

�������'���(��������$���������

*��������������� � �� � ���������������

����� ���∈�����������(������

�������� ����� ���� % ���������

+� ����������� ���� ���������$�� '������ ������ ��� ������������ ������� ������

� �����#����������� � � ������� �������������������� ��������� ��������������

������������������������������������������������������� ��� ������������ ���

� ������

,��������������� ������ � � �������������������������������������������������������$��

-�����������������$��� ���� % �������������������������������

.� � ����� ��������� ���������� �� ����/��������&����/��%��� ���� % ����������

�����������������

0�� ����������� � � ���∈��������������������� ���� �� �� �������1�

.� � ����� ��������������������'��� �� ����2�������2��%��� ���� % ����������

������������ ����������$�����

.� � � � ���� ������� ��� ������������������ ���� ������������������������

�� �������������������� ��� �������3��������� ���� ��� � � � �����������

Page 47: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������� �������������������������������������������������

�� ���������� ��

����$�����1��� ������� �������������)

����$�����1��� ������� � ���������� )

����$�����1��� ������� � ���� �� )

����$�����1��� ������� � ������� ! �

4� ��� � ��� � ����������� �

���� ��� � ��� � �� � � ����� �� � ���������/������ � � �������� � � �2�

�����(�51�2��26)������(��7)������(��7)������(��7�

�� � ������∈������≥�8���� ��� ����� ����� � #��

������$��'�����

������$��'�����

������$��'�����

������$��'�

� ��� ��� ��������0 ���� ��������������� ��

.� � ����� �� � ������ �������/������� � � �������� � � ������ ��

��

3 �� ���������#����������(� 5��∈��

�����9�� ���(�±�26�

���������(� 5��∈��

������9�� ���≠�/6�

���������(� 5��∈��

������9�� ���≠�/6�(�!"

������

���������(� 5��∈��

������9�� ���≠�/6�(�!"

������

�� ��������� ��������

"����� ��#����(�5�� #���→��� 9��������� 6����� �������� ������ �� ������� �%�

�������� �������������� �� ���� �������������� ��� ���������������������

����������������

.� � ����� �� � ����������������/������� � � �������� � � ����������������2��

��#�����(�5��#���→���9�������≠�/��������∈��6�

�� :�� ! ������������ ��� �� � ��� ����������������� � � ��

���;������ ��� ��� ���2�(�/�

�� +� ���� ��������������������� ���≥�8����������$��'�

� ������� ������ ���� �� �������������������� ���� �������� �������� ��%�

�������� ��

0;���������������$�� � ��������������������

������ � ������

*���������� ������������������� ������� �� ��� ��������$������ ������ ���� ���#

�������� ������ ��� � ������������������ ������� �

���;�� ���#

a '�� b $� c ��(� a '��( )b c+ �(�

�·( )a b c+ �(��· ·a b a c+ �(�

� �· ·a b a c+ (� a '� b $� a �'� c �

<������ ����������� b �$ c ��'� a �(� b '� a �$� c �'� a �

<%����� � � ����� �� � ������� 0 �� � � �������� � � � 1�

* ��� � � ���� ��������� ������#�������(�5 a �∈��

��9�������(�26�

Page 48: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�� �� ���������� �� �����%�������������������������� ��4���� ����������Δ��∩�� �

�� ������������� �Δ� � ���� � ������� ����������∩� � �� ������� ��� �� ��� �

���;�� ��������� �� ����������$�Δ�%�(��$�=�%��∪��%�=�$��%�����Δ��� ������ ���� #� �$�Δ�%��Δ�&�'�$�Δ��%�Δ�&�����$��%��&�∈�����)

� $�Δ�%�'�%�Δ�$����$��%�∈�����)

� $�Δ�∅�(�$��∅� � � � � ����� ��)

� $�Δ�$�(�∅����� � � � ��$� � ���� �������

�������������* ��� � � �#

� �$�∩�%��∩�&�'�$�∩��%�∩�&�����$��%��&�∈�����

� $�∩�%�'�%�∩�$����$��%�∈�����

� $�∩���(�$����$�∈��������� � � � � �������� ��

>����������#

$�∩��%��Δ�&��'��$�∩�%���Δ �$�∩�&�����$��%��&�∈���<�

? ����������� � ������ ������� ! �������� ����������

�� ������������������������@�A��$��'������ ��@�A�(�5������9� ���∈��6�⊂���

B� ������ ��$�%��'������� ��� ���� �� ��@�A��� ��������C��

* �� � ��@�A� � ���������� ���������������� �������������� ��%���������� ����

����� ���� �� �� ����� ���������� ������

.� � ����� �� � ������������� !�/�(�/�$�/�'���∈��@�A�

<�����������@�A��(�52��12�����1�6�

.� � ��� �����������∈��@�A��������≠�/� � ���� �����������@�A��������� ��������

�������1

a bi+��������� ������@�A�������

2 2 2 2 2 2

1 a bi a b

a bi a b a b a b

−= = −+ + + +

����∈��@�A�⇔�

2 2

2 2

a

a b

b

a b

⎧ ∈⎪ +⎪⎨⎪ ∈⎪ +⎩

B�� �������#�

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

( )

a b a b

a b a b a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ++ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D ��������2 2

1

a b+∈�������������� �

(

����(

�(�2���������∈���

<� ������������� �

2

2

1

0

a

b

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩�����

2

2

0

1

a

b

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩* ��� ��� ����∈�5�2��/�)��12��/�)��/��2�)��/��12�6�

<%����#�������∈�52��12�����1�6���������

Page 49: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����

�� <�������� ����������� ��� ���� ������ �� � ���� ���� ����� � ���������

����� � �������������������������� � ! �������� ���� �� ������������������������

��������EF��

�� 3�� � ���������� �� ������������������$��'�� � ��� ��������������� ������

� ���� ���������������������� �� � ��'��G������������H�������� � �& ���������'�

� ������������������������������������������������������������� ������

���;�� ���#����������∈������� �����������∈��������� ����������12�(��

12�'��

12��� ��

�������2I�� � ���8��������������� ���� ���� ���������

<��#�� � �� � ������������� ���� � � ��� ���� � � �������� ������ ������

� � � � � � ���������������������� ������� �������������������� ��

���� ������������ ����������� ������

����������

�� �����$��'������� ���.� � ������∈������≠�/��� ���� % ����� ������ �����

��!��������� !������∈������≠�/����� ����� �������(�/�.� � ������∈������≠�/��� ���� % ����� ������ ���������"������� !���

��∈������≠�/����� ����� �������(�/�

.��� ������� ���������� ������������� � ������������ ������������� � ������������� ����

���� � �� ���� �������������������� ������������� �������������� �����#����������

����� ��

������� �������������������������������������������������������

�� ����� ������28��$��'��� 4 � � ���������������� ���� �� � � 4 �≠� 0 �� 4 �'� 3 �(� 0 ������ 3 �≠� 0 �

����� ���� ��� ��������%�� 3 � � ���������������� ��

�� ����� ������8������$��'�������� ����(�

1 0

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� � ���������������� ��

� ����J�������� �� � ������� ������� �������� !���������� �� �����)��(�

0 0

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ������� �����)�(�/8�

�� 3��� � � � � � �������� ���������������������� �#

B��� � � � ����� ���������� � ���������������� ��

���;�� ���#��������≠�/� � ���� �������%��������(�/��������12�'���������(�/� ⇔���

12�'����'���(�/�⇔�2�'���(�/�⇔���(�/�

Page 50: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�� .!������ � ���� ����������������������� ��

.! ��� #��� � � ���� ��� ����� �������(�/�⇒���(�/�������(�/�

<� �� ! �����J��������� �������������� #

����������

:���� ����������� �������������������������� ��� ���� % ���������������������

��@�A��$��'�� � ������� ! ������ ��� ����� ��� ���� �

:����� ��� ������� ���������� ����������������������� ������� ��������;����� ��%�

�� ����� � � �������� ���;�� ������;���� ��� ��������#������G��������H�� ������

�� ����� ���������������������� �� ��

�����������

���;����� ������$��'�������� � ��������������� �&���� � #

���+� ��������� ����������������� ��

���B����� �������� ���∈������≠�/����≠�/�⇒�������≠�/����*����� ���∈������ ����� �������(�/����������(�/�������(�/�

0������� ��� ��������;����� ���� ����� ���� �� ��� ���������������� ���������������

��� ������� ����� ��������������

<����#�� ����� ���∈������∈�����≠�/���� �#

��'���⇒������'����������������� ����� ��������������� �����)

��'���⇒������(����������������� ������ �����

��������������'��������≠�/������� ����� ������������(��������� ��������������������

* � ! ����#������ �����F��� �� 4 �'� 2 �(� 4 �'� 5 �%�� 2 �≠� 5 �

*����������� � ������������������������������ ��%�� �� ���∈�����≠�/�������#�����'������⇒���'��������������� ����� ��������������� �����)

�����'������⇒���'��������������� ������ ��������≠�/�����;�� ���#������'������⇒������*������'�/�⇒�����$��1����(�/�⇒���*���(�/�⇒���'���

� ���������������� ��� ����� ��������≠�/�%���� ��������� ����������������� ��

Page 51: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ��� ��� ���� ������� ������

,��%�������������� ����������;����� ���� ����� ������� #���������������$������������

����'�������%�������� ��� ����� ������ �� ����������� �� � ������ ������

��������������� � !��� ������� ����������� ���� ��� �� ����� �� ����������� ����

�� ��� ����� ������ ������� � ���� ����������� ��� �� ��������� ! �

� �����

�� �����$��'������� ���� ��� ��<����#

�� ��'�/�(�/������������∈��

�� ����� ���∈����� �# �1���'���(���'��1����(�1���

�1���'��1���(���'�� ����� ������ �� ��

�� *����������$��1��������*��������#

����� �� ���∈�� ��'����*����(���'���1������ �������������� ������������

���*����'���(���'���1������ ��������� �G���� � H

�� ���;���������������������� ���� ������ � �� ���������� ������������

�� ���#

8�1��

8�(���*���������)

������8�(�

8�$�8������

8����� �8��(�������)

�1���

�(���*������1�2

�����1�8

��$�����$����1�8

�$����1�2

�����∈��7)

�������

�(�0nC

�$�1nC

��1�2�'���$�

2nC

��1�8�'��

8�$�K�$�

nnC �

����∈��7�

����!������ �� ����/�(������/�$�/��(�����/�$�����/��� ���� ����������������� �����������

����$������������/��� ��� ������/�(�/)�������� ��� ��/�'���(�/�

�� *���/�(�/�'���(�������1����'���(�������$��1���'����� ��� ������1���'��� �

��� �������������������������� ����1���'���(�1��������)�������� ��� �

�����'��1���(�1����

�� �������1����(���'�������*����(�������$���'��1����(�������$��1�����(����1����

�� 0 � ����� ����� ������� ��� ��� � �� ����� � ���� ������� ����3 L��

� ������� � ����� ������� �� �� ������ � � � �� ���� ������ ��M;�

� ! ������������

��� ����

N ���� �������������;����� ��������� ��%�������� ��� �����#

*��������� ���� �� ������������ � � � ��������2�≠�/�

���;�� ���#����������������������� ��2�(�/��������������∈����� ����(���'�2�(���'�/�(�/�

* ���� ����� �������(�5/6�������������� ������ ���

}}

Page 52: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � �

��"� ������ ��������� ��������� ����� �������������

<� ������ � � �� !��� � ����� ������� ������ ������� ���� � � � �����;����� �

��� ������������ ��� ������ ���� � � � �����;����� ����������� ��� ����� ������

� ������������ � � � �

��������

*������+�∈������(�1, n �%��+�(�1, n ����� � � � ��� ��� ����������$��'�����������

������ �����

� ���� % ������ �� ������������ � � � ������� ��������$��'��

3������������������ ���� �������� �

� ������� �������������� ������� �������� ���������$��%���������������'��

! ������� �� ���� ���� ������������M+;�#

*��� $�(�1,1,

( )ij i nj n

x ==

�%��%�(�1,1,

( )ij i nj n

y ==

�������

$���%�(�1,1,

( )ij i nj n==

α ����� �α�+�(��

�+�$��

�+� ������� ������� ������� �����

$�'�%�(� 1,1,

( )ij i nj n==

β ����� �β�+�(�

1

·n

ik kj

k

x y=

∑ � ������� ��������� ������� �����

� �������

*��������$��'�� � ������ �������������� ������������ � � � ����������������$��'�

� ������ ��� ����������������������� ����"#����� �� ��������� � ��� ������

����� ���� �� �������� ������������ ����� ��� ������� ���������������M+;��

D ��� ����� � � ����� ������� ������ � ������ ��/��(�

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���� � � �������� � � ������ �� ��(�

1 0 ... 00 1 ... 0

0 0 ... 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠�

}}

������/� � � � � ����� ����

�� �����������2� � � � � ���

���� ������ ���������

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 53: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

*������≥�8���� ������������$��'�� � �� �������%���� ����������������� ����� �����

! ���������� � �$�(�

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�≠�/��%��%�'�

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�≠�/��� ���

��� �$���%�(�/��

������ �������������������������������������������������������

,���� ����$�(�5/��26�%�������� ��������������$����$��

>����������$���Δ)�∩�� � ��� ���������

�� ������ � �$�(�{ }

{ } { }0

1 0,1

⎛ ∅ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��%�(�{ } { }

{ }1 0

0,1

⎛ ⎞⎜ ⎟∅⎝ ⎠

��0�����������$���%�%��$�'�%

$���%�(�11 12

21 22

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

22�(�∅�Δ�526�(�526�

28�(�5/6�Δ�5/6�(�∅,

82�(�526��5/��26�(�5/6�

88�(�5/��26�Δ�∅�(�5/��26)

$�'�%�(�11 12

21 22

b b

b b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����

�22�(��∅�∩�526� Δ��5/6�∩�5/��26��(�∅�Δ�5/6�(�5/6��G������+�1�������+H�

�28�(��∅�∩�5/6) Δ��5/6�∩�∅��(�∅�Δ�∅�(�∅��G������+�1���������++;�H�

�82�(��526�∩�526��Δ��5/��26�∩�5/��26�(�526�Δ�5/��26�(�5/6��G��������++;��1�������+H�

�88�(��526�∩�5/6��Δ��5/��26�∩�∅��(�∅�Δ�∅�(�∅��G��������++;��1���������++;�H�

:� ������� ��� ��� �����;����� ��� ������ �� � ������ ���� ��� ���� ��� ���%�

��� � � �������� �������� �������������� ���� ! ��� ������������ �� ��������

��������

*����$�(�1,1,

( )ij i nj n

x ==

��������� �$�def .

= ( )nSσ∈

ε σ∑ �'�$2σ�2��'�$8σ�8��K�$

���

��� �ε��σ��(��12���σ�����σ��(������������ ���������� ��������σ�

� �$�� ���� % ���������������������$�

4� ������ ���� �� ������������ � !����� �������� � ����

Page 54: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

0�� ���� ���������� �������������� ��� ������� ������ ������� ���� � � �

����;����� ���� ��� �

� �������

"���� ��$�∈������ � ���� ������������� ������

������$��'�������%������������

� �$�∈�����

����!������ "���� ��$�∈������ � ���� ������������� !����%�∈�

�������� �����

$�'�%�'�%���$�(� �

�2�

������������ � �#�� ������������������� � � ��������������

� ���������������������� �%��� � ������� �������������2������� �#

� �$�'�� �%�(�� �%�'�� �$�(�2��� ���� �$�∈������

D �����#��� ����� ������ �$�∈������

,��%�������������M+;�������������� �� ������ ����� ����

�� ,�������$�

������ ��������������������������&����� ���������

����� ��$�������� �

�� ,�������$,

���J���������� ��$�������������� �� � � � �������� �

$�

�������� � ����������� ������

�� ? �������� ����� ��$��$,

�(�$,

�'�$�(��� �$��'� ��

�� * ��� �����$12�(��� �$�

12�'�$

7�

������� �������������������������������������������������������

�� �$�(�

ˆ ˆ1 2

ˆ ˆ3 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈��8���

28��%��%�(�

ˆ ˆ2 3

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0�����������$� � ���� ��������%��������������$12�

� �$�(��ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5·1 3·2 5 6 11− = − =

* �� � �� �$�(��11 �∈ ����

28��� ��� �����$� � ���� ������������� �����

8���

28��

������� ��� �� � �� ����� ��� �������� �#

$�

�(�

ˆ ˆ1 3

ˆ ˆ2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)�$7�(�

ˆ5 2

ˆ ˆ3 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

)�$12�(�

�( ) 111

−�'�

ˆ5 2

ˆ ˆ3 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

�(��

ˆ7 2

3 11

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

* �� � �� �%�(�ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 · 2 0 ·3 2− = ������ 2 ∉ ����

28���� ��� �����%���� � ���� ����������

�� �����8���

28���� %��� �������������� �� � �� ���C

��������

���;����� ��� ������ �� � ������ ����������� ��� ������ ��� ������

������������������� ����� ��� ������ ����������������� �������� ����C

Page 55: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������

�� �� ��∈ �������������� ���� ������� ����� ������� ��� #

��⊥���(���������)�������(���������������1��

0��� ���� ��������⊥����� � ��� ������������������������������/�

* �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

��������

? ���������!�� � �� ��� �#

�� ����⊥�� � ������������#

�� �� �� ���∈ �)������#� ���⊥����⊥���(������������⊥���(�����������������(�������������8�����

��⊥���������(���⊥������������(���⊥������������$��(�������������8�

D ��������� � ��⊥� � ����������

� *�����⊥���(����������(���⊥���� ��������⊥� � ���������

� *�����⊥�θ�(���� ���������θ����(�����������θ (�*� � � � � ����� ����������� �

� ������

� ��⊥��′�(�θ�⇔������′�$��(�1��⇔��′�(�1���1�8�∈ �� � ���� ������ � � �����

�������������⊥�

D ��������� � � � � � �������������� ������� ������������⊥�

�� ������� � �������������

� ����� �� ���∈ ���� �������������(�@�������������*�A�����(

(�@��������������*��$�A�'����$��1��(����������������������*�

������������(�����@�������������*�A�(��������@�����������������*�A�1��(

(���������������������*���* ���� � �� � ����������

� � ��������� �� ���∈ � �������(���������������*��(���������������1��(������

�� � ���� � ����������

� .� � ����� ���#

,�������∈ ����� ����� �������(�������'���������∈ ��*������������������� �������� � ����� �#

������'���⇔���������������1��(���⇔���������������(������

* �� � ������� ����� �� ��� ���������������������������∈ ���� ��� ����

�����(�2����������(�2�1��∈ ��� � � ��� �����

�� * ����������������� � ����� � ������������������ �������� � ��⊥�

*����� �� ���∈ ��������#�������⊥����(��������$���$���(�����������������8��1�

��������⊥���������(�@��������������*�A�⊥�@��������������*�A�(

(���������������*��$���������������*�����(

(���������������$���������������1��(�����������������8��1��

D ���������������⊥����(���������⊥���������

*����������� �� ��� ��%����������� ����!�� ��

Page 56: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

<���������� ��������� ����������������� ��� � �� ����� ����� ��� ���� ��

���;�� ���#�������(�θ�⇔���������������1��'�*�⇔���������������(�/�

(1)

⇔ ������(�/����������(�/�⇔���(�1��������(�1�����������(�θ�������(�θ� �&���� �����2���� ����� ��������� ��������$��'�� � ��� ����� ��� ���� ��

0��� ������� � � � � ���� ������ ��� ��� ����������⊥�����

��∈ �� � ���� �������⇔��∃���′�∈ ����� ����� ������′�(��′�����(���* �� � �������� � � � ����������� ��� �#

�����′�(���⇔����������′�����1��(�2�1��⇔����������′�����(�2�⇔⇔������ � ���������������2�⇔������∈�512��26�

* ��� ������� ��������⊥������� ����� � � � ���� ������� #�2�1��%��12�1��

�� 3�����-���������������������������������� ����∈���=�5/��26���� ���� � ����������

����������������������������

>������ ��������8�1���(�/��� ���������������� ! �� � ������������ ��

3������ d �������� � � �%���@ d A�(�5��∈��9���(����� d �� ���∈��6�

�� 0�������������@ d A��$��'�� � ��� ���������

�� * ���������������G����H��.�#��@ d A�→��������.������ d ��(�8�1���

8��� ���

��� � ���∈����0��� �� ���� � #

2� .���2�'��

8��(�.��

2��'�.��

8�������

2���

8�∈��@ d A�

8� .� � ������∈��@ d A� � ���� ������������ �����@ d A������%������������

.����∈�512��26�

I� �@ 2 A��� ��������� �� � � � � ���� ������ �

��������

�� 0���� �������������� ��%���������� ����� � ������� ! ������ ���� ��������

� ��@ d A�

����� d ��$��′����′ d ��(�����′��$�������′� d ∈��@ d A

����� d ��'��′����′ d ��(��������′��$���′���′�� d ∈��@ d A

����� ���� �� ��� ���� ��� ���� ������������� �� � ���� �����������������������

� ��� ���������

.� � ���� � �� ��� �� �������@ d A� � � �������� ���� !� /�(� /�$� /� ' d �� ���

� � �������� � � ������������� !�2�(�2�$�/�'� d �

0�������� ���������� ���� ������� ����������������� ��

�� 3�������7�(��1�� d ∈��@ d A��G��J�����H��������������

* ���.����(������7��O�� �����������2�'��

8�7�(�

*1z �'�

*2z ��� �#

2� .��2�'��

8��(���

2�'��

8��'���

2�'��

8�7�(���

2�'��

8��'��

*1z �'�

*2z ��(�.��

2��'�.��

8��

Page 57: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

8� �� ���∈��@ d A���� � � ����� �������)�� ��� !�����′�∈���@ d A���� �����

��'��′�(�2��4� � ������G����H������ ��.���'��′��(�.�2��⇔ .����'�.��′��(�2�������.����∈�512��26

D �����#������.����∈�512��26��������′�(�.����'��7�%���� �#

��'��′�(�.����'���'��7�(�.���8�(�2��� ����� � ���� �����������@ d A�

������������ d �∈���@ d A�⇔��8�����

8��(�±�2�

I� ,���������������� ��������� 2 �∈���@� 2 A�⇔�8�1�8�

8�(�±�2��2�

�2�$� 2 ��

�(����$��

�2 ���

��∈�����

��∈����� ����� ������������������������ � ���

��������������������3 L��%�������� ���� ������� �� ������

<����#��2�1� 2 ��

�(����1��

�2 ��� ���

2nx �1�

2ny '�8�(���

��$��

�2 ����

��1��

�2 ��(

�(��2�$ 2 ��

�'��2�1 2 ��

�(��2�1�8��

�(��12��

�(�±�2�3�� � � � ��� ���� �

��� �

�� � ������� ����� �� �2�� � ��� ��� � � � ������

�2�$� 2 ��

����∈����������� ������ �

���������� ���� �������@ 2 A��$��'����� ��������� �� � � � � ���� ������ �

��� ����

�����������>�/�� �������8�1���

8�(�2������������������/������� ����� ������

�� ����������� �� ��������� ����∈���×���

�� �� ���@/��2A��(�5��#�@/��2A�→���9���������6�

<������������@/��2A���$��'�� � ��� ���������������������������� ��

��������

, � ������ ����������� ���� �������� �� �� � ������%�����������������������

����� � ���� �������� ����� ��D ���� ����� ������ ���� ��� � �� � � ��� ����

�����������@/��2A������������ ��� ���������

,���� ������������ ������ ������#�@/��2A�→��#

������(�

11 2 , 0

21

0, 12

x x

x

⎧ − ≤ ≤⎪⎪⎨⎪ < ≤⎪⎩

���������(�

10, 0

21

2 1, 12

x

x x

⎧ ≤ ≤⎪⎪⎨⎪ − < ≤⎪⎩

B�� ���������������� ���������� �� �@/��2A��� ��� ������������(�/�

* �����%����∈����@/��2A���������������������� ��

Page 58: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�� �� �!�(� 6

3 ˆ| , , det 1ˆ ˆ4 3

a b bA a b A

b a b

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪= ∈ =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

0��� ���� �����!��'�� � ������

��������

� ���(����� 3��8�1� 4 �

8�(�

8�$�8�� 3 '����$�� 3�

8�8�1� 4�

8�(�

8�1��

8�(�1 �

N� ���� �� ��� b �∈�{ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4,5 ������ �#

� ����∈� ( ) ( ) ( ) ( ){ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1, 0 , 5, 0 , 2, 3 , 4, 3 ��* ���!�(�5 8�����)��06�����

��(�

ˆ5 0

ˆ ˆ0 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��)�(�

ˆ ˆ1 3

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��0�(�

ˆ5 3

ˆ ˆ0 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��<� �

�8�(�)

8�(�0

8�(�

8���)�'�)��'�0���0�'�0��'�)��)0�'�0)�'���

���0��� �� ��� ������ �����F���� ����

ˆ ˆ5 2 3

ˆ ˆ ˆ4 3 1

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩�

��������

�� � ����������� �� � �

1�����������������

:���������� ���� �� � ���� �����������F������� 5 ��� ���� �������������������� ����� �

������ ��� ������������� ����� �%����������������������

B���� �� 5 ��(�ˆ ˆ3 2 y− �⇔�� 5 �

12� 5 ���(�� 5 �

12�

ˆ ˆ3 2 y− ��⇔���(� 5 � 3− 2 y ��⇔⇔���(�

ˆ ˆ3 4 y− �

*����������� �� �������������� ��� #

( ) ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 3 4 3 1 5 1 5 · 1 5y y y y−

− + = ⇔ = ⇔ = = �

� ������(� 5 ������ ����(�ˆ ˆ ˆˆ3 4 · 5 1− = ��0�� ������ ����������������(�1 ����( 5 �

1��������������

.��������� ������������������� ��������� ����� ����1� 4 �%���������� 5 �

B���� ����� ���#�

ˆ ˆ ˆ2 2 0

ˆ ˆ ˆ2 3 5

x y

x y

⎧− − =⎪⎨

+ =⎪⎩�

Page 59: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<��� ���� � ����� ��������� �� ��� �%����%������ ����( 5 �

<� ������� ����� �������� �� � ����� ������������ ����(�1 �

? ������������ � �& ���1 � 5 �� � ������ ������ �������2��

��� ����

<������;���������;����� ��������������������/� �������� ������(������%����(���������

�&���� � �

*����� � � � � ����� ����������������'���⇔������(������

���������� #��������� ��� ������� ��������� ������ ���� ��������;����� �������

����������������������������� �� ������� �&���� � �

��� � ������ �� � ��������������� �����������G������������ H��N ��� �� ������

��������������� ���������������� ���������������

1�������������

�� ���(�

ˆ5 2

ˆ ˆ4 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������ ��� ���� ������

0�� ����� ����� � �&���� ����'�

3

1

x

y

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�2�

* �� � �� ���(�1�∈����F���� ��� ���������� ���� � ���� ������������

8��

F��

<������� ������� ��������2��������12����� �#

1 3·

1

xA

y−

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,���������12#

��

�(�

ˆ5 4

ˆ ˆ2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)��7�(�

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

)��12�(��� ���

12�'��7�(�

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

<����#�

x

y

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠�

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

'�

3

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�

1

5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��-�������(�1 ����(� 5 �

��� ����

,������� �� ������������ ��%���� ����� ��� �������� ������ � �������� �������

��� � ���� � ������������� ����� ���� �������;����� ���� ��� �������� � ������ ��

�� ����� �����,��� ������P�� Q �;,�� �����

Page 60: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

���0��� �� ���� ������ � �$�∈��8��

I���������� � ��$

8�(�

ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

�� �$�(�

x y

z t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �� �� ���∈ �I�

B���� ����� ���#

2 2

2 2

ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ1 ( ) 1

ˆ ˆ1 ( ) 1

ˆ ˆ2 2

x yz x yz

xy yt y x t

zx zt z x t

zy t zy t

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪

+ = + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨

+ = + =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = + =⎩ ⎩

0��� ��������� ����� ��������������� �#

�8�1��

8�(� 0 �⇔����*������������(� 0 �⇔���*���(� 0 ��2������������(� 0 ��8�

�� �� � ��I������ ����������������� ���

B�� �������� � ������ �8�� ����� � �� �� ���� ��� �� ������� � �� ���� %�� �� � ��� ��� ��

�&���� � ���� 0 �(�1 �D�� � ���������2��%��� ��������(���

,���� ��� ������� �8��%��I���� ���� ���������� ����(���%����� ����� �� ��� ���

2 2 2 2ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ1 2

x y x y

xy xy xy

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨+ = =⎪ ⎪⎩ ⎩

D ������������ ����(�1����(� 2 �%����( 2 ����(�1��%������� � �$�(�

ˆ ˆ1 2

ˆ ˆ2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)�$�(�

ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �� �����$��'������� ������ ������������ � � � ��2�≠�/��%��1�(�5��∈���9��8�(��6�

�� 0��� �� ���� � ���������1� � ��������������1��� ��������������� � � � � �

�� *������ � ������������ ������� � ��������� � � � ���� ��� �����1�

�� *����1�'�������� ���� ���#

�����$���(�/������∈��)������� � ��������

��������

���0���� ���������������∈�1�������2�1���∈�1�����;�� ���#

�2�1���8�(�2�1�8��$��

8�(�2�1�8��$���(�2�1���

* ��� � � � � ����������1�� �������J������ � �&��� ����������2�1����

* ���������� ����& � ��������������� � � � � ������ ��� � �&��������� �� �

���;�� ���#��������� !�����/�∈�1���� ����� ��

/�(�2�1��

/��2������������������ �����

/�

������� �20x (��

/�1�

20x �⇔��

/�(�/�

<������2������ � ���/�(�2����������� �

Page 61: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� <� ������������#

R�1�(�5/��26������� ��������������� � �2�

R�1������ �%���� � � � � ����������� �/�%��2�

�� ��������� ��� � � � ���<�����%��2�1���∈�1��2�1���≠�/������������������ ����

�������2�1����(���*��8�(�/������� ������������������� � � � ���� ��� �����1� � �/�

�� �� *�����8�(���������∈������ � �����(�12����� ���12�

8�(��12��

� �� �������� �������� ��� ���12�8�(�12��'��12��(�2��� �����G� �� ��H��

D �����2�(�12�������2�$�2�(�/��� ���� ���������������� ������∈������� �#

������(�/�

��� <���#��� �� ���∈����* �������������(����

*����� ����� ������������8�(��������2�

������������8�(���������'���������(��

8�$������������

8�(�������$���������

,���� �������2��� ��� ����������(�/)� �&���� �����(�1�������������1����(����

�������������� ��� �����(������������

��� ����

:�� � � ����∈����������� � ���8�(���� ���� % � � � ������������������ ������

:���� ����� ��� �� � � � � � ��� �� � �� ���� % �������������

����������� ��

�� <��������������� ����������� ������������� ������� ��� �������������� ������

�� #

�� ����7�������� �������(�������$�8�%��������(�8����������S����F)

�� �������⊥������ �������(�������1�I)���⊥���(����1�I��$�28)

�� ��@ 3 A��$��'�������������������� ��%���������� ����� � ���� �� )

�� 5���� 3 ��9� ���∈��6������������������� ��%���������� ����� � ��)

� ��@�A��$��������� �������(���'���$�+����'�+����������∈��)

�� �������$��'������ �������$��������(���������������%��������'��������(�������$���������)

�� 1�(� | ,0

a ba b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ��)

&�

3| ,

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ���

�� <��������������� � ��������������� �������������� ��� ������ �������� ������

� ������� �%���������� #

���I�)����5����� 3 9�� ���∈�8�6)���� | , 3a b

a bb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

Page 62: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � �

�� <��������������� � ���������� ������ ����� �������� ������ �� ������� �%����������

��� �������������� ��� ��

���3

| ,a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� )���� 0 0 / ,

0 0

a b c

b a b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

�� <������ ��������� ��1� (� | ,0

a xa x

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� � � � �� �� ������� ��� ����� ��

������ ��%���������� ������� ���

<� ��� �������������������� �T

����� �1�(� 0 | , , ,

0 0

a b c

a d a b c d

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

�� <����������1��$��'�� � ��� ��� ������)

�� <�������������� ����1����� � � � ��$� � ���� ����������� � ����� ��������

!����2�∈��7���� ����� �$�2

�(�/I��

�� ,�����������

����� ���∈�1����∈��7�

�� �� �ε�(�1� 1 3

2 2i+ �%�����ε��(�5����ε�9� ��∈��6��0��� ���� �������ε���$��'�� � ��� �

��������* �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

�� <����������@� 3 A�(�5������ 3 9�� ���∈��6� � ��� �������������������������� ��%�

�������� ����� � ������� ! ��* �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

$� � ���� ������ ���� � ��� �������� �������(������������� �� ���∈���

* �������� �� ���∈������ ����� ��������'������� ��� ��

%� � ������� �����(�5/��2��8��K����1�26������ ����� ��� �� ������� �⊕�%���������� ��

��������0�� � ���� ���� �����⊕� ��� � � �� �� ��������* �������� � � � �

��� ������ ��� ��� ��������28��⊕�����

�&��D ���������� � � �� � ������#

���

ˆ ˆ3 9

ˆ ˆ2 8

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

28)����

ˆ ˆ3 4

ˆ ˆˆ 2 3

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

2/)����

1

ˆ ˆ3 2

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

28�

Page 63: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���,���� ��������� � ����3�∈�8���

F�����(�

ˆ ˆ3 5

ˆ5 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��3�(�

ˆ ˆ3 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���,�������������3���3��3��

���<�������������� � ����3�������� ������ �%�������������12��3

12�

���* ��������$�∈��8���

F����� ����� ��$3�(�

8�

�7��<��������� !������∈������ ����� ���

�'� 8)�������� ����3�

777

����� ��!��$������������������� ������� ��4�(�5��#�!�→�!�U�����������(�������$������6

� ������� ��� �� �������� ��� �⊕�%������� �����⊕�������(�������$�������%�������������(����������

0��� ���� �����4��⊕����� � ��� ��

����� ���(�5��#�5/��26�→���9��������� 6��0��� ���� ��������$����� � ��� ��� �������������������

�������� ��

����� ���(�51�(�� 8�$����9�� ���∈������(�

0 1

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6�

0��� ���� ��������$��'�� � ��� �������������� ������ ������ �

������ ���2��$��'�����

8��$��'�������� � ��� ������� ���

2���

8������� ��� ��� �� �������� #

� ����$��� ����(������ ��������%��� ����'��� ����(������ ��������

���0��� ���� ��������$��'�� � ��� ���� ���� % ���������������������� � ����2�%���

8��

���0��� �� ���� � � � � � ���� ������ ��� �������������� ����� ��S�%����

����� ���(�5�$�� 2 $�� 3 �$�� 6 9� �� �� ���∈��6�

0��� ���� ��������$��'�� � ��� ���������

������ ���(�

0 1

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�%�����(�5����$�����9�$�∈�

8���6�

0��� ���� ���������$����� � ��� ������������������� ��%���������� ������� ���

�$���� 0��� ���� ���� �������$�8�(�/

8���� �����������������

8��

8��

�� 0��� ���� ������ ������8��

8���$������� �F� � � � ���� ������ �

�%���� �5�(� 3| ,x y

x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �%��!�(�5��∈�5�6�� ���(�16�

���* �������������5�

���<����������!����� � ������

���<����������!������ ���S��$��

Page 64: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

�&��0��� �� ��� ���� � � #

���

1

ˆ ˆ ˆ2 3 1

ˆ ˆ2 4

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

��� �� ���∈��E)����

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ3 5

ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 9

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

�� �� ���∈��28�

����* ���������∈��F�� ������� ������ ����(�

� �

3 1

2 a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��∈��

8��

F�� � � � � ����� ������

����� ������

����* ����������#��V�→��

V���� ����� �������$���� 4 ���(� 3 ���������∈�

V�

����0 ������ �������� ����(�

204 376 818

222 321 253

88 424 496

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0������������� ��� ��� ����������������#

���� ��� � ����������)

���� �� � ��������������I)

����� � ���� ������������I���)

����� � ���� ������������I����

�������? �������������������������(� 0 �������∈��E�

���* ��� ������������E�(�

E�$��

E������ ���∈��

E�

������ �����$��'������� ��%�� ���∈���������(�������0��� ���� ���#

����

�'���

�'���

����

������ ���∈��)

����

�1���

�(���*�������1�2

�$���1�8

��$�K�$����1�2

���������∈��7�

����� �����$��'������� ��� �������%�� ���∈���

�� ����� �����2�1��� � ���� �������%���� � ���� ���������

���,����������2�1�����2�$�����

���* ��� �����������2�1��� � ���� ��������������2�1��� � ���� �������

������ �����$��'������� ���������� � ���F�(����������∈���

* ������������8�(���������∈����*���� ! ��� �� ��� ������� ��������� � �

7

Page 65: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ���� ��

��������

�� ��7��$��'������� ������ ������������ � � � �

+� �����7��$��'��� ���� % � ��"����

������∈�7����≠�/��∃���′�∈�7���� ����� ������′�(��′�'���(�2�

<%����������� � ������ ������������������� ����

� � ��� ���� � ���� �������

,������7��$��'��� ���� % � �������������� ���

� � ������� ��� ���� � � � � � ������� � �

���������

0�������� ��������� ���������� �������� ������ ����� �� � ����;����� ������ �

���������� � � � ��� ��2�≠�/��� ����� �������� ���������������8�I��

������� �������������������������������������������������������

�� '��"��������� �

����$��'�������$��'�������$��'������������������� �

�� '��"���������"#����� �

D ������������∈���=�5/��26�� ���� % ���� ��� ����� ��������� � �������������

��������������������������

����� ������������ �

��� d ��(�5���� d 9� ���∈�6������ �������� ������ �� ������� �%���������� ���

������������ � ������������������������������������������� d � ���������

� � ������������������ ! ��� � ����� ���8�(����

���;�� ���#������������������������� ����������� d ���$��'�� � ��� ���������

<� ������� ����������%������ d ���$��'�� � ��� ������������� �����������

� � � �

�������#������ ���� ����� � � � ��� ���� � ���� ������#��������(����� d �� ���∈��

%����≠�/�������#

2 2 2 2 2 2

1 1·

· · ·a b d a b

dz a b d a b d a b da b d

−= = = −− − −+

∈��� d �� � ���� �������������

��� d ��

������������#��� 2 �)��� ���)��� �� 3 ������������������� ������� � ���������

����������������� ������ 1− ��%����� 3 �������������� ������ 3− ���

,��

+� �

Page 66: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

���()��"��� ��"�� �������

�� �4�(� | ,u v

u vv u

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ �

.� ��%��� �� ����������4����� �������� ������� ������� �%���������� �������� ��

� ��� ��� 8� � � � � �������� ��

D�� � ���������������� � � � ����(�

u v

v u

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�∈�4����≠�/8�� � � � � ����� ������

����� ������

���;�� ���#�� ���(�����u �$���� v �(�9�98�$�99

8�(�/�⇔�9�9�(�/�%��99�(�/�⇔���(�/�%���(�/

⇔���(�/�

D ����������≠�/�⇔�� ���≠�/�

* �� � ������ ���′�(�det det

det det

u v

A A

v u

A A

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�4�%����′�(��′��(� 8��� ���������� �

��� �������)�� ����4��$��'�� � �����

<���������������� ��� �4� � �� ��������

�� ���(�

0

0

i

i

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�%��3�(�

0 1

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

<� �#���'�3�(�

0

0

i

i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)�3�����(�

0

0

i

i

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

)�� ����3�≠�3��

��� ����

.!������ ���������������� ������ T

D��������� � � � ����� %�� � � ������� ��� ��� � � � � ������� ����8���������#

9�����������������������������

�� ,��������������� ���� �� ��������������������������

*������ � ��������������������� ���������$��'�� � ������������

>����������� ���������$��'��������a � � � � � ����� ������������%�������������� ����(�2���2�

<�� �� �� ���� ��28�� $�� '�� ��� � � ���� � �� � � ����� � � � � � � ��� � ���

� ��� ������ #�� � ! �����ˆ ˆ2, 3 � ��

�����&������������ � �������������� ������� �2��2�≤�2�≤���1�2���� ���2 ����(�2��� ��

���� � �� ��� ��ˆ ˆ1,2 K��

�1p − �������� ������ �

D �������������$��'�� � �����������������������������������������������������

Page 67: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

#������$��

�� B��� �����7� � ��� ����������������������� ��

����!������ * ������������� ��� � ����������

�� ����� ����� !����� ���∈�7����≠�/����≠�/����� ����� �������(�/<����#�������(�/�⇒��

12�'������(�/�⇒���

12�'����'��(�/�⇒�2�'���(�/�⇒���(�/

�� �� � �2�≠�/������2�'���'�������������� �

�� "����� �� � � � ���� ��� ��� ������������� �������� ��������������� ����������

� ������

����!������ �� ��7��$��'���������%��77�(�7�=�5/6�

R *���� ���∈�77�������������∈ 77��� ���77� � ���� ��������������7���

���������������� ��

R �������� �� � ����������%���� � � � ����� ����2�� � � ��������

����� �������

R *������∈�77���������� � � � � ����� ������������ �������7��$��'��%�

�����12�'��

12�'���(�2�

* ����� � � � � ����� ������������������� �������������

* ��� ������ � �& ���77��'�� � ������

����������������,��'�� � ���������� ��� � ������������

�� B��� ��� ��� ������������������������� ��������� � �����

����!������ 3����� ���� ���������

<����������� � � � ���∈�����≠�/�� � ���� �������� ������ ������ ������ � � ����������

�#���→�����

����(������

�������� � ���J ����#������(��

����⇒������(������⇒���(����� �� �

�� ��������� ����������������� ���

* �� � ������� ���� � ��������� ���������� � �%�����J �����

<����#� !����′�∈������ ����� ���′��(�2��� ��� � � � �&���� ����

′�(�2��������� � ���� ������������ ����<����#�����������������

����(�������� ����������� � ���� ������

���� ����

,������� ������� ���������� ���������� � � �� � ���� ���������

� ����%������� ����������� �� � ���� �������

��� ����

���� ������� ������ � ����������������� � �������

B��������������� � ��� ��������$��'������ � � ��� �������������������������������� ��%�

��� � �����

Page 68: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

����������������

�� �� �7�(� | ,a b b

a bb a b

⎧ +⎛ ⎞⎪ ∈⎨⎜ ⎟−⎪⎝ ⎠⎩�

⎫⎪⎬⎪⎭��<��������������� ��7����� �������� ������ ��

������ �%���������� �������� ��� � ����������� �����

��������

3���1�� ����(�

a b b

b a b

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

B�� ��������1�� ����� ��� ����� �1�� ����(���� �������$����� �$�(�

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

D ����������$8�(�

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�(�

2 0

0 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�8� �

� ? ����������������� ��%���������� ������� ���� �������� �� �7�

1�� ����$�1��� ����(�� ����$��$��� ����$��(������� �$��������$�(�1���������������∈�7

1�� ����'�1��� ����(�� ����$��$��� ����$��(����$�8��� �$���������$�(

'�1������8�� ���������∈�7

� <!�� � � �� ������ ���� ��� � �� �������� ������ �� %�� �������� ������� ��� ���

�8������������ ���� �� �� ��� �

�.� � ���� � �� � ������ ��1�/�� /��� ���� � � ���� ���� � � ������ �

1�2��/��(� �

� "���� ��1�� ������ �� ��������8�1�8�

8�%�� � ���� ������������

8���������%�

������������ ������������� � �� ���#

� ��1� �����(�/�⇔�8�1�8�

8�(�/��⇔��'�/�%����(�/��� �� � � ���∈���

�1� �����

�(�

a b b

b a b

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

���1� ����7�(�

a b b

b a b

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

�1� ����12�(�

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

a b b

a b a b

b a b

a b a b

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

�∈�7

D ������������� ��1� ���� � ���� �����������7������%������������� � �� �����

����� ����� � � � � � � � � � ��� � �� � �� ������ �7�� $�� '�� ���� ��� ������ �� � ��

�7��$��'�� � �����

Page 69: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 0��� �� ���� � ���������������%�������������������������S� � � � �

��������

�� �7�(�5/��2��� ��6���������������� � � � �

�� B�� ��������2�$�2�≠�2��� ����2�≠�/��%��2�$�2�(�/���;�� ���#������2�$�2�≠�/�%��2�$�2�(����������������������(��2�$�2��$��2�$�2��(�2�$�2�$�2�$�2�(�/

�� �� � ���������7��$���� ������ � � � ��

����#�������(�/�⇔���'��2�$�2��(�/����������%��2�$�2��������������������� ��������)

��������� �

* ����2�$�2�(�/������� ��������������������� �� ��� ��������(�/��������(�/�

4�������������� � �� ��������J��������������� ����������� �������%��� �����

� � � � ����� ���� � ����:��������� �������� � ���������������

� / 2 � �

/ / 2 � �

2 2 / � �

� � � / 2

� � � 2 /

���0��� � ����� � � ��8�

.��� ���8�≠�/������������ ���

8�(�2�������

���1�2�8�(��

8�1���*���$�2�(��2�$�2��1���������(�/�$�/�(�/)

� �������1�2�(�/����������(�2����������� �

3���� ���� ���8�(����� ����

8�(��)��������

8�(���

:������������J�����������������77��'��%������������������� �7�

* 2 � � * / 2 � �

2 2 � � / / / / /

� � � 2 2 / 2 � �

� � 2 � � / � � 2

� / � 2 �

�� ���;����� ������$��'���/�≠�2���� ��������(�2�$���������� ���∈���=�5/6�

���0��� ���� ������ ���� � ��������

���0��� ���� ��������$��'�� � ������������ � � � �

��������

�� * �� � �����$�� � ���������������� �����������(��������� ���� �� ��� �����

2�$�������(�2�$���'����������������(���'��������� ���∈���=�5/6�

���������/������������ � � � ���� ����� ���� � ��������

�� ��� �����(������� �������������� �

������(�2�$��8�⇔��

8�1���*���$�2�(�/�⇔����1�2�

8�(�/��2�

* �� � ��� � ������2�� � � �&���� ��������*2�(�/����������(�2�

���������� ���� �� ��� �������� � � � #���(�5/��26�

Page 70: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � �

����������� ��

�� <����������� ��� ����� ������� � ����������������� ������� ������ ���������

��� ������� ����������������� ��� �� �������� ��� ���� �

�� �������⊥������ �������(�������1�E)���⊥���(�1����$�E��$�E��1�8/)

�� �������°������ �������(�������$�3

4)���°���(�S���$�I��$�I��$�

3

2)

�� �������$��'������ �� ����$��� ����(������ ��������%�

� ����'��� ����(����*��� �������������)

�� �������$��'������ �� ����$��� ����(������ ��������%��� ����'��� ����(

(����*��� ������������������� � ������� ! �)

� ���� 2 �� 3 ���$��'������ 2 �� 3 ��(�5������ 2 �$�� 3 �$�� 6 6�� �� �� ���∈���6

����������������� ��%���������� ����� � ���� �� )

�� �7��$��'������� �7�(� | ,3

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ��)

����������⊥������ �������(�5 55 x y+ ����⊥���(������)

&����/��∞������������� �������(�������%��������(������

)

����������������� �������(�������*�8)�������(�8���1�S��1�S��$�2/)

J���#��$��������� �#�(�5��9��∈��6���

����(�{ ,

0, \ax x

x∈∈�

� ��

����� ����3 7 ��(�5�����

3 7 �$���3 49 U� �� ���∈��6�

�� <��������������� ��%���������� ������� ���� �������� �� ������� ������3 7 ��

�� <�������������������3 7 �$���

3 49 (�/�� �� ���∈�����������(���(���(�/�

�� <�������������3 7 ���$��'�� � ������������

�� <� � �%����� ������ �������3 2 ��

� -��������� �����������3 7 ���������������8�$�

3 7 �13 49 �

�� �� �"�(� 3

ˆˆ ˆˆ| ,ˆ ˆ

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

�� <���������2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0a b a+ = ⇔ = �%��

ˆ 0b =�� , � � � � ��� ������� ��"T

�� <����������"��$��'�� � ������������

�� *���� ! ��� �� ��������8E�� � � � � �

�� �� ����$���������� �����/�≠�2��� �������� � ���8�(�2��������∈���=�5/6�

0��� ���� ��������$����� � ��������������������������� �� � � � �

7

Page 71: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

%�!��� �����������

���� ���

�� �� ��� ��������$��'������ ���(� | ,0

a ba b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ��0��� �� ���� ������

�� � ���� ������� ��� �� �������� �������(��������1�8����⊥���(����1�8��1�8��$���

* �������� �� ���∈������ ����� ��������⊥������� �����

�� *�������;����� ������$��'���� ���I�(��

8��������∈�����������

8�(���������∈���

�� ,�������� ����� ! ��������2�J���� ������������� ����������������#

5 7 401 1 1 12 3 200 2 3 200

... ...f f f f f f⎛ ⎞

+ + + − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

)� 64

f � 1210

f � 2

2 2

n n

n n

f +− −

4����� ������#�E/����� �

W�� �#���8�����I�����8�����8���B�����#�2��

���� ���

�� � ��F�� ������� � ��������(���������������������� ���∈��

F�

* �������� �� ���∈��F���� ����� ������������ � � ��� ����

����� �"�(��1�∞��2��%��� ��� �������(�2�1��21�������2�1���

����⊥���(�������*���

���* ����������#��"�����⊥�� � �����

���<�����������������#�#�"�→����������(�����2�1���� � �����������������������"�����

�� �� ��:��$��'������� ������ �:�(�5/��2�� ��6�%����#�:�→�:��������(�2�$���

���<�����������#�:�→�:� � ���J �����

�������������������������������2�$�2�$�2�$�2�(�/�

���* ����������������:� � ������������2�$�2�(�/�

4����� ������#�SE����� �

W�� �#���I�����I�����I���B�����#�2��

Page 72: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � � �

���� ���

�� � ���� ������� ��� �� �������� ���⊥���(��������*�2�%��������(���������������$�8�

* �������� �� ���∈���� ������� �����⊥����� � �����

�� .� ��� ������@ 5 A��$��������T

�� �� �7�(�5/��2�� ��6�⊂�����8������

/�(�

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��2�(�

ˆ ˆ1 0

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���(�

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�%����(�

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

* ��������������� ����7��$��'�� � ����������������� ������ �� ������� �%�

�������� �

4����� ������#�SE����� �

W�� �#���I�����I�����I���B�����#�2��

���� ���

�� ,���� ���������� ��"�⊂��8�����"�(�

0|

0 0a

a⎧ ⎫⎛ ⎞ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

0��� ���� ����������� ������� ��%���������� ������� ����"� � ���������������

�� 0��� �� ��� �����V���� ����

� �2 4

3 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩� ��

�� 0��� ���� ��������������#��8����→��

8��

�����

ˆˆˆˆ

a b a bc d c d

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠����∈��7����

����� ���� ��������)��(�������$����)����������)��(������������)��

�� �� ��:��$���������� ��%���∈�:��*�����

�(�/����∈��7��� �����������2�1�� � ���� ������

%���2�1��12�(�2�$����

8�$�����$�

�12�

4����� ������#�E/����� �

W�� �#���I�����I�����8�����2���B�����#�2��

Page 73: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�������������������������� ������������������������������� ������

��������������� �� �� ����������� ��� ������

�����������

���� ������ ��������������������

������������������ ��������������������������≠���

������������� ������ �������� ������ ��� �����≥� �

�����∈���� ������������ �� !����� ��

������������ ��

������ � ���������������� ��������!�"��� ������������������� ������������� ����#

������

$��%��

"����������%

&������������ �������!#�$�∈����!�'�������

����

$��%��

"�������%����$�'��%

���%

���%�%

���������%

�� ����#

� $������#�!�'�$�����������������������'�%

�������∈��(

� �������#�!�&�$�'��������

����

$��%����������������

"�'��

"�&�%

"����"�≥��(

� (��� ���#�!�)�$�'�������

����

$��%�����%������

���'��

���%

�(��

��'��

���%

�����

���%

�(��

$�'��

���%

$����

���%

�����

$��%

�(

"��!����� #

�"�'��

�%"����

�%"�)��

���%����"%

��'� i j

i j k

a b+ =∑ �

*+������ ����������������"��� ���������� �!��������+�,�����+���� ����������������#

���'��

����%

��'��������>���-�."���/(��

"�'� i j

i j k

a b+ =∑ �'������"�>���&���

������� �������������������������������������������������������

������'���0����������� ��!�'��

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2, 0, 1, 4, 0 �����$�'��ˆ ˆ ˆ ˆ3, 2, 2, 0 ������

1�����#�!�&�$�'��ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3, 0 2, 1 2, 4 0, 0+ + + + �����'��

� �0, 2, 3, 4, 0, ...� � �

!�)�$�'�������

����

$��%������

���'��

���%

��'� 2 3 �'�1

���'��

�%

�����

���%

��'� 2 2 ��� 0 3 �'� 4 �

�$�'��

�%

$����

�%

�����

$%

��' 2 2 ��� 0 2 ���1 3 �'� 2 �

�2�'��

�%

2����

�%

$����

$%

�����

2%

��' 2 0 ��� 0 2 ���1 2 �� 4 3 �'� 4

Page 74: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � �

�3�'��

�%

3����

�%

2����

$%

$����

2%

�����

3%

��' 2 0 ��� 0 0 ���1 2 �� 4 2 ��� 0 3 �'� 0

�0�'��

�%

0����

�%

3����

$%

2����

2%

$����

3%

�����

0%

��'� 0 ��� 0 ��� 4 2 ��� 0 0 �'� 3

�4�'��

�%

4����

�%

0����

$%

3����

2%

2����

3%

$����

0%

�����

4%

��'

'� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 �'� 0

�5�'�����

6�'����%

7 ������ ���� ���������������������������+�������� � ���

��������

8����������������������� ���������������� �+����������� ����������������� �����

����������� ������� ������������������������������� ��������� ����������� ���"�+�����

����+������ ����������������"��� �������� ���������������� �����,�������� �����������

���������� 1����,���������������������������"��� ����������� �!��������+�,�����+���

���������������+������ ��������+� �������������������+� �����

����!#�$#�*�∈����!�'�������

����

$��%(�$�'��%

���%

���%

$��%(�*�'���

����

����

$��%��

8��������������������������!��+�����������

9 �� �������������������������������"����� � �������#

������%

�����

��'��

�����%

�����

��(���'�.������$��%/������

�!�&�$���*�'�!�&��$���*�

9 1�� �!���������������!�&�$�'�$���!+

9 8������������'��������%����%��������#

����!�'���������������

��������

$��%�'���

����

����

$��%�'�!�'�!�����

:�,� ���������� ������������������ ������ ��������� ����������+�

�� ��������

9 8����������)�!�'��)����)�

���)�

$��%�������)�

���������������� � ����

���������������"����� � ������������;���������#

!����,!��'�������)�

����

�����)�

����

$����)�

$��%�'�����������%�'���

<�� � #��)!����!�'��(���,� ������!�������������,�;� �

8����������������������������������������

9 =��� ���������������������"��� �����#

!�)�$�'�������

����

$��%��������

"�'� i j

i j k

a b+ =∑ �

8�����!�)�$��*�'�� 0d ′ �� 1d ′ �� 2d ′ ��%��������#

md ′ '� kk l m

d+ =∑ ��

�' i j

k l m i j k

a b+ = + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ��' ∑

=+=+

mlkkji

lji cba �'� i j li j l m

a b c+ + =∑ �

8����$�)�*�'�����

���

$��%���������

�'� ∑

=+ kjiji cb �

Page 75: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�������������������������� ������������������������������� ������

8����������!���$��*�'�� 0e′ �� 1e′ �� 2e′ ��%��������#

me′ �'� k lk l m

a e+ =∑ �'� k i j

k l m i j l

a b c+ = + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ �' ∑=+=+ljimlk

jik cba '� ∑=++ mjik

jik cba �

8���������� md ′ �'� me′ ����∈����������!�)�$��*�'�!�)��$��*�

9 =��� ��������"��� �������������������������� �!�

9 8���������������'�����������%��������

���!�'�������������

�������

$��%�'�!�'�!����

:�,� ���������� �����������%������� ������ ��������� �"��� ������

9 :��������������������������;�����������"��� ������ ���������������

!���$���*�'��!��$����!��* ���

>���?������#�!���$���*�'�������

����

$��%��������

"�' ∑

=++

kjijji cba )( �

�!��$����!��*�'�� 0d ′ �� 1d ′ �� 2d ′ ��%������� kd ′ '� i ji j k

a b+ =∑ ��� ∑

=+ kjijica �

8���������+����������"��� ����������������;������ ���������������"�

��� � ���������������������� ���

1�� �!���!���$��*�'��!��*����$��*�

���� ����������� �����������

�����+� �����+�������� ��� ��� "��������� "���������������� ����-+���������� �����

�������"���� �� � ��� !�;������������ � ���

&�������������������+� �� �������������������������� ������

� ����-�+� ����� ��������������%��1���#

-$�'�-��-�'��������������%

-2�'�-

$��-�'�����������������%

-"

�'�-")�

��-�'�

pozi���� �

(0, 0, ..., 1, 0, 0, ...)

k+�����

� 8� �������� ���� ���� ������#

ϕ�#���→����ϕ����'�����������%������∈���

��������ϕ������������� ��+��+�������#

ϕ���&�%�'����&�%��������%�'�����������%����%��������%�'�ϕ�����ϕ�%

ϕ��%�'�����%��������%�'�����������%���%��������%�'�ϕ����ϕ�%

ϕ���'�����������%�'���

ϕ���'�ϕ�%�⇔������������%�'��%��������%�⇔���'�%�

Page 76: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

� � � � � � �

1������+��+��������� �� ���ϕ�����������+������ �����+� ���������������������� ���+������

���� �������������

@��������������������;���������������� �����+� ����� �����������%�∈�������������∈���

=�������������������%�'������" ������������������ �� �

����!�'�������

���%���

���������%����+� ������������1�����#

!��'������������%��������

���������%�����������

$��������%���%�����������������

���������%'

'������������%�����

���������%���������������%������

$�����������������������������%��

�����%��������������%���

ori

0, 0, ..., 0n

���������������%��1���;��������������#

!�'�������

���-����

$�-

�$����������

�-�

������������������������+� ����� ���!�

=��������-���������� ���������+�������!������+� �����+�������"����������������-�

7 ������ �������

���%���

��������������!���� ���+� ����� ���

=��������"��������������� �����������+� ������ ��������� ��������"����� � ���+�����A-B�

8�����A-B���A-B���A-B���A-B����A-B�������������� �����+� �������"����������������-

������ ���������������������������+���������

8����!�∈��A-B����!�'�������

�-���%����

�-�

����������∈�����

��≠���������

"�'���+�����������

"�>����������������+�������!����$������(��������!�����!��'���

&���������������!���� �+� ����� ����������)∞�

@�� ������� �����������������!���������������������

��������������������%���

+� ����� ���

8�������'����+� ����� �����������������������������

8�������"��� ������ � ����+������+� ������������� ������ !�;�����

C�������������"������� ������+������ ���������+� ������#

8����!#�$�∈��A-B���!�'�������

�-���%��

�-�

��$�'�%����%

�-���%����%

�-�

����≤����������

!���$�'�������%

������

����%

�-���%�����

����%

�-

���%�����

-�����

���%���%�-�

!��$�'�����%

������

���%

�����

�%

�-��� i j

i j k

a b+ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ -"

����%����

�%�-�

�&��

������ �������������������������������������������������������

����!#�$�∈��A-B��!�'�����$-(�$�'�2���-�)�-$�

1�����#

!�&�$�'������2����$����-�)�-$�'�3���2-�)�-

$�

!�)�$�'�����2�����������$��2-��������)����$���������2-$���$���)�-

2�'

��'�2���5-���-$�)�$-

2�

Page 77: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�������������������������� ������������������������������� ������

>��� ������ �������� �!��������+�,�����������������"��� ������+������� ���������� ��

�!��������+�,���������� ������������������(��� �������������#

8����α�∈������!�∈��A-B��!�'�������

�-����

$-

$���%����

�-�

��������#

�!�

def.

= �α������α�

�-����α�

$-

$���%����α�

�-

������� �������������������������������������������������������

2���$���2-�)�-$�'�2��$���2��2-�)�2��-

$�'�4���D-�)�2-

$�

>����$

A-B�����#� 3 ���ˆ ˆ2 4+ -�'� 3 � 2 ���� 3 �� 4 -�'� 6 �

���� ���

�� &� ����� �!�'�������

�-���%����

�-�

��+����� �������������;� ����#

!�'���-�

������)��

-��)��

���%�����-����

�����+��+����� ������������������ �� ���-�

�� &� ������ ���-�

��%-�

�������������������������������������������

�� 1��������+� ������ ������ �����������������������������������"��� ���������+����

�����+ ������������;�����������"��� ������ ����������������"��� ����� �������������

� ��+���� ���+� �������� ��������������� ��� ������� ���� ���+� �������+����������

������������������

�� @�� ������ ���������!� �������+� ������ ��������

!�'�������

�-�%����

�-�

�����$�'�%����%

�-���%����%

�-�

����������#

!�'�$�⇔���'���������'�%

��� ni ,0= �������������+� �������������!� ������������� ���

!������������ ���������������� ������������������!� ��

�� &������������!#�$�∈��A-B�����#

� !�����!�&�$�≤���-���!����!����!����$

; !�����!��$�≤���-���!����!�����!����$�

� �����!���������������������!��������"��+������ ������+��������#

!�����!��$�'�!�����!����!�����$�

������� �������������������������������������������������������

� !�' 2-��$�'�ˆ ˆ1 3+ -��!#�$�∈��

4A-B�

!��$�'� 2-�������!�����!�)�$�'���<�!�����!���!�����$�'�$�

; !�'�$-(�$�'�����2-��!#�$�∈��A-B�

!��$�'�$-���4-�$�������!�����!��$�'�$�'�!�����!����!�����$�

Page 78: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�!� � � � � �

���� ��� ����������! � ��������������

������������������ ��������������!�'�������

�-�%����

�-�

�∈��A-B�

8����α�∈������������ ������ � !� �α�'�������

�� ���%����

���α�

�∈�������������

�����������������!�(��α�

1�������� ��������� ������α�∈����� ������+� ����� ���!��α�����;������� ������

f #���→���� f �α�'�!��α����α�∈�����������!��� ����������� ����������+� ����� ���!�

8����α�∈�������� �������������!��α�'�����������α������������� � ��� ���+� ����� ���!�

������ �������������������������������������������������������

����!�∈��0A-B��!�'�1+ -

$��+� ����������� �������������

0�

�������� f #��0�→��

0�� f � x �'�1 ��

2x ������∈��0������������+������;� � ��������E��������

�������+� ������ �����������+� ����� ���!�

��� 0 1 2 3 4

!��� 1 2 0 0 2

*;���������� 2 ���� 3 ���������������� ��+� ����� ���!�

���� ��

8����� ������� ��������+� ������ ����,� �����������!�'�$��������� f �'� g �

:���+�������������� ��������������������������������"����,����+������ ���������� �

������� �������������������������������������������������������

�� !���$��∈��4A-B��!�'� 3-��� 3 ��-

$(�$�'� 0 �

� 0 1 2 3 4 5

! 0 0 0 0 0 0

:�,� ������ f �' g ������!�≠�$�

�� ����!���$��∈��A-B��!����!��!����$��≤������ f �'� g �

1���������!�'�$+ >���?�������� ���!�'�������

�-���$�'�%

����%

�-�

8��� f ���'� g �����,� ������'�%

�� 8��� f ���'� g �����,� ����

�����

��'�%

����%

��

:�,� ������'�%

���1������+� ������ ��!����!�������!� ��

>�����������������+��������������������,� ��������!����� #

�����.������������+��������������!#�$�∈�.A-B���� � �"����� f �'� g �

1������!�'�$�

Page 79: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�"������������������������ ������������������������������� ������

����� �����������

�� ��@����+� ����������!����2������� ��������������4F

;�@����+� ����������!������ ��� ��2������� ��������������4F

!�"�����

����!�'�������

�-����

$-

$����

2-

2�

� &��������� ������� ������������2�������0�+���;� �����#�1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5 �

&��������� � ������ ������������������4�+���;� �����#� 0 �� 1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5 �

>������ �����#�0��4��4��4�'�0��42�+���;� ������

; >����������,�+����� ���"�������������������,� ��2�'������,�"�������+� ����� ����

!������������������2�

1���#�4��4��4��4�'�43�+���;� ���������� �!��������� ������� ���

�� ����!�'�$-$�)�-������C���������������������+� ������ ��$�∈��A-B���� � �"����

!�����!�$�)�$�'�$�

!�"�����

8��������!���� �+� ����� ���!������������,� ������!���� �+� ����� ���!�$������3�

:�,� ������!�����$�'�3�

����$�'�������

�-����

$-

$����

2-

2����

3-

3���

3�≠����1�����#

!�$�)�$�'��$-

$�)�-����

$�)���

�����

�-����

$-

$����

2-

2����

3-

3�'

'��3-3�)�3-

2��0-

$�)�$-�����)���

�����

�-����

$-

$����

2-

2����

3-

3�'

'��3�)��3-

3����)3�)��

2-

2����0�)��

$�-

$����)$�)��

�-�����)��

��

&���������!���� � ���!�$�)�$���� ���$�����������������3�)��

3�'����)3�)��

2�'������0�)��

$�≠���

1�����#��3�'�3(��

2�'�)�3(��

$�∈���G�.0/���

��∈�����

��∈���

�� � ����!#�$�∈��A-B��!�����!��≤�$��!�����$�≤�$����!����'�$���������∈���

C��������������+� ������ ��!����$�������!� ��

; 7-����������������� ����� abba �����%�∈�.����������D/�������"��������;�,����� �����;

+�� ���F

!�"�����

� ����!�'�������

�-����

$-

$�∈��A-B��$�'�%

����%

�-���%

$-

$�∈��A-B�

8���!����'�$���������������'�%

�(

8���!����'�$������������������

$�'�%

����%

$(

8���!��)��'�$��)����������)�������

$�'�,%

����%

$�

1�������� ���� ��������!� ��������;�������$�'�%

$�����������;����������

��'�%

��

Page 80: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!#� � � � � �

; ������;�,��������������������� ��������:�,� ��#

abba �'���2���%�

$���%������'����

2�������%��������'�����������

$����%�)����&��

&��������������� ���� ���+������+�� ����"��������;�,��������;������#

��$����%�,����&���'��

2������

$�������∈������≥�$����∈���

8���� ������������ ������;��������������������������������"������������� �������%�

�������������������'��2����%�'�2�

2�

8��������%�≤�D����,� �����'����%�'�2�

:�,� ������ abba��'�1331

��'��

2���2�

$���2������'�������

2�

���� ��

7!� ����� �������������+��� ���������������

=����������"�������+��������������������"��+�!��� ������������

���� 1�����������-������������������������� ����� ������� � �"����

$�$���5����$�'�α������������$���β���������γ������∈���

;�@� �� ���������2

0

(2n

k

k=∑ ���5"���$"H

!�"�����

I����� ��������� ���������+� ������ ��������!� �������������;������������� #

27 32 2

= α⎧⎪ = α + β⎨⎪ = α + β + γ⎩

��8�������α�'�$(�β�'��(�γ�'�)�2�

1������$�$���5����$�'�$����������$���������)�2��������

�$"$���5"���$"H�'�$�"�����"���$"H����"����"H�)�2"H�'�$��"���$H����"����H�)�2"H

8������#��2

0

(2n

k

k=∑ ��5"���$"H�'�

0

2(n

k

k=∑ ��$H���

0

(n

k

k=∑ ���H�)�

0

3 !n

k

k=∑ �'

'��$�$H���2H����������H���������H��������$H�����H���$H����������H���������H�)

)�2��H����H���$H����������H�'�$������H���$�����$H����H���������H�)�2���H�)�2���H�'

'�$�����$H���2������H�)�0������ �������������������

���� ��

I����� ��� ������� ��� �� ;� ����� !���������� ����� �+ ���;� �� ��� "�� � ��� ���������� ����

+� ����� ����+������� ������� � �+����� ���������������������+� �������J��������K�

&��+����������-������������������(�������������+��; ��� ��+��+����

������

������

������

Page 81: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!$������������������������ ������������������������������� ������

�� C?�� ���������� �-+�������� � ��� ������ ���������� ��� �+�� +���� ���� �� ��� ������� �

���+��������θ�≈�3°@��������� ��� �/�� ������������+�����������+�������������� ���

�������+�������������+�+� ������� �

/�'����$���%�����/

��������/

��������� ��� �����+�� ���°@�

��������#�ρ��'����������������������+��� ���°@��ρθ����������������������+��� �����+�?

�������θ����α�'�0

θ

ρρ

�∈�������

C�����������������0��;�

!�"�����

α�'�0

θ

ρρ

�'�0

mVmVθ

�'�

0V

Vθ'��θ$

���%��� ��

/′���'��$���&�%/���8�������������� � ���/���

��� �,��,��+��������'�θ���������/′�θ�'���

&������������$�θ���%�'����������%�'�)$�θ �$

8����������$��;������α�'��θ$�)�$�θ$

�����������

��'�2

1− αθ

�L������%�'�)$�θ�'�2( 1)α −

θ�M���

�� �����.������������+��������������+� ������ ��!��$��*�∈�.A-B�

� C�������������������!��$�'�����������!�'�������$�'���

; 8����!�≠������!�)�$�'�!�)�*���������$�'�*�

��8����α�∈�.����!�∈�.A-B���� � �"�����α!�'�����������α�'�������!�'���

!�"�����

� 8��������+� ������ �������� �������������?������+��������

!����!��$�'�!�����!����!�����$�

@���!����'�)∞�������������!����!��'�)∞�����!����$�'�)∞��������!�'�������$�'���

; !��$�'�!��*�⇔�!��$�)�!��*�'���⇔�!��$�,�*�'���

1+ ��������������������$)�*�'�������������!�≠��(���,� ���$�'�*�

� ����!�'�������

�-����������

�-�

��1������α��!�'���⇔��α������α�

�-���������α�

�-

�'��

⇔�α���'����α�

��'���������α�

��'������

8����α�≠������������!� ����� �������� �����������������'�����

��'����������

��'���������

!�'����������������������!� ����� �������� ���"���?������+H�

���� ��

&����� �������������������������������#

I�� � �+� ������ ��������� ��������"���?������+���������������������!�������

:�����������������,� �����+������������� ����� ��"���� ����������,�H

��%&�$

Page 82: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!'� � � � � �

����� ��������

�� C������������������%���������� � �"�����!�'�$�"����,��� �#

� !�'�2-2����-������$�'�%-

2����-

$�)�-�&����!��$�∈��A-B(

; !�'��-$���-���1 ��$�'��$��&� 1-

$������&� 5 %-�&����!��$�∈��

5A-B(

� !�'��-$���%-���$��$�'�2-�,����!��$�∈��A-B�

�� C��������������!�≠�$������#

� !�'�$-$����-������$�'��-

2���%-

$���$-������!��$�∈��A-B(

; !�'��-$���$%-���%

$��$�'��$��&�2-

$��������%-���$��!��$�∈��A-B�

�� C������ ��!���� �+� ����� ���!������#

� !�'���$����-

2�����

$���2��)�3-�����)����!�∈��A-B(

; !�'���$�)�1-

3�����

$��� 3��)� 4 -��� 2���!�∈��

2A-B(

� !�'���3��������-

2����-������!�∈��A-B(

��!�'����$�����)�2-

$����-������!�∈��A-B�

�� &������!��$��� �� ����!�&�$��!��$����α!�����#

� !�'�-$���-���$�)����$�'�-�&����!��$�∈��A-B��α '���)��(

; !�'� 4-$��� 3-��� 3 ��$�'� 3 -��� 2 ��α�'� 2 ��!��$�∈��

0A-B(

� !�'�-$��� 2 (�$�'�-

2�)� 2 -���2���$ 2 ��α�'�) 2 ��!��$�∈��� 2 A-B(

� !�'�-�)����$�'�-�)�

�&�-

�)$���������-������α�'����!��$�∈��A-B(

� !�'�-������$�'�-$�

�,�-

$�)����-

$�)$�)����)�-������α�'�)��

�� ��7-�����+� �������������������!��$�∈��A-B���� � �"�����!��$�'�-3���$�-���6F

;�7-�����+� �������*�∈��A-B���� � �"������3-����$����2-�)��

$�'�*

$F

�� C������ ����� ������� � ���-�

����#

� �-����3�-�)��

0����'�2(

; �����-���-$0����'�3(

� �����-$��������-

2��������-

3��������������-

������'�2(

� -4�����-���-

0�����-

$���-

3�����-

2���-�

2�����-

3���-�

$�����-

0����'�0(

������-����-�$�)�-

2���)�-

D����'�0�

�� 8�����������!�∈��5A-B���� � �"�����!�

$�)�!�'�

2ˆ ˆ2 3X X+ �

�� ����!�∈��A-B��!�'�-3���-�)�$��@� �� ����!��)���!�����!�� 2 �

�� 8��������������%�∈��������!�'�-�2����-�

$���%����!����)���'���

���C������ ���������� ������� ���+� ����� ���!�∈��A-B�����#

��!�'��-�)��2����-�&��

2(

;�!�'��-$�)�-����

����-$���-�)�2

$��

Page 83: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!������������������������� ������������������������������� ������

NNN

���@� �� ����! cos9π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠���� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

9

4sinf �������!�'�3-

2�)�2-���$�

�����8�����������+� ����� ����!���� �� ���� ���!�∈��A-B���� � �"����

!����'�$(�!��$�'�2(�!��2�'���

; 8����!�∈��A-B����!����'�$��!��$�'�2����!��2�'�3�����������������!��������!���� �$�

���8�������������������!��$�∈��2A-B���������!�&�!�&�!�'�����!�&�$

2�'�!�

2���$

2�

@� �� �����-$��� 2-��� 2

2�

���� C���������������!�∈��A-B�+�����������!����������!����)���'�$!���������∈���

; 7-�����+� �������1�∈��A-B���� � �"����

�����-1�-����$-����1�-�����'�2-$���$-����F

���� 1�����������-������������������������� ������� � �"����

-2���5-

$����3-�'��-�����-���$�-���2���α�-�����-���$���β�-�������γ,

���+������-$���$-�)�3�'�-�-�)�����α-���β�

;�@� �� ����

1

(n

k=∑ "

2���5"

$����3""H�(�

2

1

2 4!

n

k

k kk=

+ −∑ (

� @� �� ����

2

1

3 1!

n

k

k kk=

+ −∑ �

���� I����� ��������� ������� � ���-�

�"����;������;�������!� ������#

�����-�

������-�

�'������-$�

������ �� ���� ( ) ( ) ( )2 2 20 1 ... nn n nC C C+ + + �

; @� �� ����( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 ... ( 1)n nn n n nC C C C− + − + − �

���>��������������+����������!����� ������ ��0�+�������������+�����������������2� ��F

���8����������� � ������ �� �������;� �� � �� ��� � ���.A-B�� ����� �.����� �� �������� ���+

�������������������

������������-�&�-$���

�'�������

�-����������

$��-

$���

� @� �� ����������

�����������

$��(��

��)��

�����

$�)��

2����������

$���

; @� �� ����������

2����

4����������

�D6(��

�����

3����

6����������

$���

N

N

Page 84: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!�� � � � � �

��#� $��������� ���� ������

>���+��������������+���!�� �� ����������������+���� ������������ "��������������

+� ������������� ��������"���?������������������

@���������������������"�+����������������"���� ������������ ���"����!�#

8�������%�∈����%�≠������������-������������������������� ��"����!��2������� � �"����

��'�%2��������≤���M�O%O�

7-����������,� �������� ������+������+� ������������� ��������"���?������+����������

���������

�����

�����.������������+��������������!��$�∈�.A-B��$�≠����1�������-������������������

+� ������ ��2����∈�.A-B���� � �"�����!�'�$��2��������!�������M�!�����$�

���������� ������'�!�����!�������'�!�����$�

8�����������-��������+� ������ ���2������

8������M�����������+����� ���2�'��������'�!�

8������≥���������������� ��������+���������������+����

&��������'���� ����������������������

����������%

����� ����������������������+� ������ ���!�����+������$�

&����+��������+��+������������������������+������+� ��������!���

!���� �����������������

1����������������%��������������;� �"�����+� ��.�+����� ��

!��'�!�)���

��)�

1nb−

-�,��

�$�

���������!���� ������������������8������������+���,����������������

�-�����2����

��∈�.A-B���� � �"�����!

��'�$��2

�����

�����!������

��M�!�����$�

&����������#

!�'����

1nb−

-�,�

�$���!��'���

1nb−

-�,�

��$�+�$��2�����

��'

'�$���

1nb−-�,�

���2�����

��

1 �!���2�'���

1nb−-�,�

���2�������'��

���������

!�'�$�)�2�&���������!������M�!�����$�

8���������������������+� ������ ���2������

8������������2′���′�∈�.A-B���� � �"�����!�'�$�)2′����′����!������′�M�!�����$�

�������$�2�,�2′�'���,��′�������!������′�)���M�!�����$�

8����2�≠�2′���������!�����$�2�,�2′�≥�!�����$�L�!������′�)����������!� �������������� � ���

8����2�'�2′������������������,� �����'��′�����������������������+����P��

�2�������������

Page 85: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!������������������������� ������������������������������� ������

�1 1(3) 2nb− −= =�

�����

1nb−

�'��2 1(3)−�

�'� 4

�����

1nb−

���-�,��

'� 4-

������

���� ���

�� @����� ���������"����!���!����$������������(�� � �������+������(�� � ����������2�����

�����������3������+����������

�� >������������������ � �����"����������������� �+�� ������� � ���� ������� ������;���

��� ������+������-��+ �������������������+� ����� �!���+� ���� ���������;� ������

���%��

:��������������������+���������� ���+������+� ������������� ��������"����������� #

����-��+ ������������ �;� ��"���A-B�

�� 1������� ����,� ������+� ������ �������������������������"����!��

8���-��+ ������������� ����� �������� ��0����2����+� �������������A-B��������

��� ����������������������������#

0�'�2��53

���������� �"�+�������� ���0� ��2������53

��������� ����>����"��������

0�'�2������$������ ��������� �"�+�������� ���0� ��2�"����� � ��������������+������$�

@����� ����������������������"��������������+�����-��+ �������$���������� �����

���� ����������� ���+������+� �����������������"����,� ���;��� �������!���� ���"�+������ ��

�������������������!� ����!���� �"�+�������� ���

�� ����!��$�∈��A-B��!�'�3-2���2-

$�)�-��������$�'�)$-

2���-�)�$�

�������������������������������1���#

!�����!�'�2(�!�����$�'�2(����'�3(�%

��'�)$(�

1nb−'�,

12

(����

1nb−-�,�

�'�312

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠-

2�)�2�'�)$(

!��'�!�)��

1nb−-�,�

�)�$��'��3-2���2-

$�)�-�����)��)$�)$-

2���-�)�$�'

'�3-2���2-

$�)�-�����)�3-

2���$-�)�3�'�2-

$���-�)�2�

*;����������!���� � ���!���������������������!���� �"�+�������� ������!�'��)$$���!

��

1���������� ����������������� ������)$����������� ������2-$���-�)�2�

@�����"����,� �"�+������������������� ���������"����!����� �� � ����������+����� �����+������ � #

��!������������������������������������������������3-2���2-

$�)���-���� �)$-

2���-�)��$�←�$

)$��$������������������������������������������3-2�����������)�$-����3 �)$

!��'�!�)��)$$������������������������������Q���������2-

$����-�)�2 ����� �2

�������������������� ��

�� ����!��$�∈��0A-B��!�'�

3ˆ ˆ ˆ2 3 2X X+ + ��$�'�2ˆ ˆ3 2X X+ + �

1���#

��!������������������������������ 2-2�������������� 3-��� 2 3 -$

���-��� 2

4-��$���������������������� 2-2��� 4-$

��� 3- 4-

!��'�!�)� 4 �-)$���������� ���Q�����) 4-$

������������� 2

Page 86: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

! � � � � � �

8��������!���� � ���!������������������������!���� �"�+�������� ����� !������ ���������

�����������

!������������������������������� ) 4-$

������������ 2 ������� 3-$���-���� 2

2 �$������������������������� �����-$��� 2-��� 4 ������� 2

!��)� 2$�+++++++������������ ����Q�����)� 2-�)� 2

8��������!���� � ���!$�'�!

��)� 2$��������������������� �"�+�������� ����� !������ ���

"��P�����1���;���������� �ˆ ˆ4 2X + ��������� �)

ˆ ˆ2 2X − �'�ˆ ˆ3 3X + �

@� ����������+�����J�������,�K�����;����#

2-2�������������� 3-���� 2 3 -$

���-��� 2

2-2��� 4-$

��� 3 - 4-���� 2

���������) 4-$������������� 2 ������������ �2

����-$��� 2-��� 4

����4����,� 2-�,� 2

����� ��

�� ����!��$�∈��A-B��!�'�-$����-�)����$�'�$-�)���

-$�������-�)�� ���$-�,��

-$�)�

2i-

12-���2

4i

����-$�#��$-�'�

12-

Q�����22i-��)��� ���

���� 32i X⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠#��$-�'�

34i

�22i-�&�

34

Q )�74

�����

%�� ������������������-�,��>����,� �+������ ���"�������"�+�������� ������-�,�������� ��������� ����+���� ��������+���

�������������

:���� �"�+��������+� ����� ���!�∈�.A-B� ��-�,��������!�������∈�.�

���������� 8�����������"�+��������������������#

!�'��-�,����2�&���������!�������M�����������������+� ��������������

>� ������� ���� �-�+������"���!� ��������������������;�����������!� �����

���+� ���������!� ����������� ����� ��+� ������ ��#

!����'����)����2��������������������������'�!����

�1 1(3) 2nb− −= =�

�����

1nb−

�'�� � �( 4) 2 2− ⋅ =

�����

1nb−

���-�,��

'��2 �

������

������

������

Page 87: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!������������������������� ������������������������������� ������

����������������������������������������������������������������

�� :���� �"�+�������� ���!�∈��5A-B��!��'� 2-$

��� 3-���1 � ��-�)�1 �����

!��1�'� 2 ��1 ���� 3 �1 ���1�'�� 6� �

�� :���� �"�+�������� ���!�∈��A-B��!��'�)-2���0-

$����� ��-���$�����

!��)$�'�)�)$2���0�)$

$�����'�$D�

& '�������(����������∈�.����!�'��

�-�

�����)�

-��)�

����������

����

��≠���

8����2��������������� ��������� �"�+�������� ���!����-�,���������������

!�'��-�,���%�)�

-�)�

��%�)$

-�)$

���������%�����+

����������� �2

I����� ��������� ���������"���!� ��������;�����#

%�)�

�'���

%�)$

�'����%�)�

�����)�

%�)2

�'����%�)$

�����)$

%��'���)�%

�����

��'���)�%�����

>��+���������+�������� �� � ������ ��������� ������� ������� �����!���,����� �� � ����;

�������; �� �������������������� ����#

-��

-��)�

-��)$

��� -��

-��

� ��

��)�

��)$

��� ��

��

%�)�

%�)$

��� %�

%�

%�)�

���������� ������������� �������%

������;�����+����"��� ��������� ������� �����������

�;������%���

�����������������������

��:���� ��������'����%�����

��

������� �������������������������������������������������������

�� !�∈��A-B��!�'�2-3���-

2�)�-��������$�'�-����

-�3

-�2

-�$

-��

-��

��'�)� 2 � � )� � @��� �����

2 )$ $ )2 3 2-2�)�$-

$���$-�)�2�

������������������2�����������)$���� �������� ����� ������3�

�� !�∈��5A-B��!�'� 2-2

��� 3 -$��� 2-���1 ���$�'�-�,� 2

-�2

-�$

-��

-��

��'� 2 2 3 2 1 � @��� ������ 2-$��� 2 �

2 0 2 5 ����� ������ 5 �

����������

���� ���� ����

Page 88: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!!� � � � � �

����� �����������

�� ����!�'�-3�)�-

$������$�'�-

$���-�&�%�

C������ �������%����������������� �"�+�������� ���!� ��$������)$-�����

!�"�����

-�3�)�-

�$���� ���������-

�$���-�&�%

-�3���-

�2���%-

�$���������-

�$�)�-�,�%

4���,�-�2�)��%����-

�$����

����,�-�2�)�-

�$�)�%-

������Q���)�%-�$���%-����

����������)�%-�$�)�%-�,�%

$

��������������Q������$%-���%$����

1���;����������� �$%-�&�%$��������������;������� ����!� ����)$-�����

I����� ��������� �����������;������ 2

2 21

bb a

= −⎧⎨ + =⎩

�⇔�{ 10

ba

= −= �

�� � C�������������������� �"�+�������� ���-��

�)��� ��-�

�)���������∈��N�

; C�������������������� �"�+�������� ���-�

�)��� ��-

�)������L���

� C�������������������� �"�+��������+� ����� ���-35

�)�2-0���-���$� ��+� ����� ��-�)��

$�

!�"�����

>���������� ������������������+ �������� !������ ��������!��������1+ ������������

"�+��������������������������������"���������� ���������������������������������� �

� -�

�)����'��-�)���-�)�

���-�)$

���������-���������������������������

>� �������-�+����-�

��;�����#

�-�

�)���'�-��

�)���'��-�

�)����-�

�)�

����-�

�)$

���������-�

����

8����-��

�)���'��-�

�)���-��,�

���-��)$�

���������-�

���������

8��������������� ��������

; ������'���)�2�&������≤���M����1���#

-�

�)���'�-�2&�

�)���'�-�2

��-�

�)����'�-�2

��-��

�)�-��

���-��

�)���'�-��

�-�2

�)�����-��

�)���

a)

='�-

��

�-�

)��2����-

��

�)���'��-�

�)��2���-�

�)���

8��������!�����-�

�)���'���M���'�!�����$����,� ���������������"�+������������������

����� ������������-�

�)���

� &�����������-35

�)�2-0���-���$�'��-�)��

$��5�&����!�������M�$�

:�,� ��������'��-�&�%�����%�∈����������������������������� ���� �� � ���� ������� ��

�����%�

1������-35

�)�2-0���-���$�'��-�)��

$��5�&��-�&�%� �$

>� �������-�������;�����������$#���)�2�������$�'����5������������%�⇔���&�%�'���

Page 89: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

!"������������������������ ������������������������������� ������

>� �������"���$�%�'���)�����;�����#

-35

�)�2-0���-���$�'��-�)��

$5�&��-������)���⇔

-35

�)�2-0���-�����'��-�)��

$5�&���-��)���⇔

�-35

�)���)�2�-0�)�����-�)���'��-�)��

$5�&���-��)���⇔

�-�)����-34

���-30

���������-�����)�2�-�,����-3��-

2���-

$���-��������-�)���'

'��-�)��$5�&���-��)���⇔

-34

���-30

���������-�����)�2�-3��-

2���-

$���-���������'��-�)��5�&�� �2�

>� �������-������"���!� ��������2��;�����#

��������������������)�2�����������������������'�������⇔���'�35�)��0�����'�22�

:�,� ������%�'���)�22�'�)2$��������� ��������'�22-�)�2$�

�� � C���������������-������������������������� ����� �����%�������∈������ � �"����

-3�)�2-

$���-�)�$�'��-�)��

3�����-�)��

2���%�-�)��

$�����-�)�������

; 8�����+������"�� ����������+ ��

4 2

4

3 2( 1)

x x xx

− + +−

!�"�����

� =�����,� ���+��; ��������+ ������� �!���������P���� ���R������

7-��������� �����,� ����� ����������+������!�����

7!� �����������������������P��� ���#

-3�)�2-

$���-�)�$�'��-�)��A�-�)��

2�����-�)��

$���%�-�)������B����+

8���������������������� �"�+��������+� ����� ������� ��-�)��(���� �!��������������

"�+��������+� ����� �������+������,������+��� ��-�)�������

*�!���,����� �� � ���� � #

-�3

-�2

-�$

-��

-��

��'�� � � )2 � )$

� � )$ )� )2�'��

� $ � )��'��

� 2 �2�'�%

� �3�'��

=��� �����#

�-�)��3���3�-�)��

2���2�-�)��

$�)���-�)���)�2�'�-

3�)�3-

2���4-

$�)�3-������

��3�-2�)�2-

$���2-�)�����2�-

$�)�$-�����)��-�)���)�2�'�-

3�)�2-

$���-�)�$�

; 8������

4 3 24 2

4 4

( 1) 4( 1) 3( 1) ( 1) 33 2( 1) ( 1)

x x x xx x xx x

− + − + − − − −− + + = =− −

'�����2 3 4

4 3 1 31 ( 1) ( 1) ( 1)x x x x

+ − −− − − −�

47 ori������

Page 90: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"#� � � � � �

����� ��������

�� C������ ������ ��������� �"�+�������� ���!� ��$�"����,��� �#

� !�'�$-2���2-

$�)�-������$�'�-

$������!��$�∈��A-B(

; !�'�-3���2�-

2���-

$���$����(�$�'��-

$�)�������-������!��$�∈��A-B(

� !�'�$-3����$��� 3 -

2����$��)� 3 -

$������$�'�-

$��� 3 -������!��$�∈��� 3 A-B(

� !�'� 2-0��� 3-$

���-��� 2 (�$�'� 3 -$���-���1 ��!��$�∈��

0A-B(

� !�'�-$��� 2-��� 3 ��$�'� 3-��� 2 ��!��$�∈��

��A-B(

!�'�-������$�'�$-���$��!��$�∈��A-B(

! !�'��(�$�'�2-�)�$��!��$�∈��A-B(

P�!�'��(�$�'�$-���2��!��$�∈��A-B(

��!��'�2(�$�'�3��!��$�∈��A-B�

�� � C��������������������%�∈������ � �"���������� �"�+��������+� ����� ��

�!�'�-3���%-

2����%�)�$�-

$���0-�)�2�� ��+� ����� �$�'�-

$���-���$���� ���-�)���

; 7-�������∈��0���� � �"���������� �"�+�������� ���!�'� m-

2��� m -��� 2 � ��+� �����

$�'�-��� 3 ���� ��� 0 F

�� 8�����������!�∈��A-B�����!����2�������"�+������ ��-$�)�2-��������� �4-�)��0����"�+�����

��-$�)�0-���6��������� �$-�)�5�

�� � C������ ����∈��������!�'�-2���-

$����-������������� �$� ��"�+�����������-���$�

; C������������������%�∈����

���� � �"�����+� ����� �!�'�-�3����-�&�%������������� �1

��"�+�����������-�)�1 ��������� � 2 � ��"�+��������-��� 1�

� C�����������������∈��N���������������� �"�+��������+� ����� ���!�'��-�)���

�)�-���2�

��-�������������

�� 7-��������+� �����!�∈���2

A-B������"�+������ ��-$�)�1������������� � 2-��� 3 ����"�+�����

��-$���-�)� 2 ������������� � 4-��� 9 F

�� &������!�∈��A-B������ �"�+�������� ��-�$���������������������� �"�+�������� ��-�

$�)��������2-�����

C������ ������� �"�+�������� ��-3�)���

�� ����!�'�-$0

���-$3

���������-������C�������������������� �"�+���������� �� �#

��$�'�-$���-�)�$( ;�$�'�-

$���$-����(

��$�'�-$����( ��$�'�-

$���-����(���$�'�-

3�

�� 8�����+������"�� ����������+ �#

3

2

12

x xx x

+ ++ −

(��;�

5 23 5( 1)( 2)

x x xx x x

+ + −− − (����

4

2

1( 1)x x

x+ +−

(���

5 2

3

3 1( 1)

x x xx

+ + −+

Page 91: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"$������������������������ ������������������������������� ������

�� 1 �������� ��������� �"�+�������� ���!� ��$� � ��������P���� ���R�����#

� !�'�$-3���2-

$���-�)��(�$�'�-������!��$�∈��A-B(

; !�'�-2���-

$�)�$-����(�$�'�-������!��$�∈��A-B(

� !�'�-2��� 2-$

���1(�$�'�-�)� 2 ��!��$�∈��2A-B�

NNN

���1 ����ba

���������������� ��"�+������� ���!�'�%-2����-

$����-�&�%� ��+� ����� �$-������������

�������!�∈��A-B���� � �"�����!����'�$��!��$�'�2��!��2�'�3�

� 1 ��������� �"�+��������+� ����� ���!� ��-2�)�4-

$�����-�)�4�

; 8����������� �����!����� ���������+� ��������!����2����0����+��+������� �������

�������+� ����� �!�'�-3���$-

2����-

$����-�����∈��A-B��C������������������������� � ���

!�"�+������ ��-�)��������������� �)�0������)��������� �������������� ���!�

���:���� �"�+�������� ���!�'�-3�)�$-

2���-

$����-�&���∈��A-B� ��-

$��������������������� �$�

@� �� ����

1

( )n

k

g k=

∑ �

���@���+����� � ������P���� ���R������+��������"�+�����+� ����� �-2���2-

$�)�-����� �

+� ����� �$-�)��F

������ �,������P���� ���R������+������"�+�������� ���!� ��$�

� !�'�-�

���-������$�'�-�)��(

;�!�'�-$�

��$�'�-�����

���C������� ������� ���+� ����� ���!�∈����

A-B������ 2 �

1 ��������� �"�+���������� �� ��-�)�1 �

���8��������� �"�+�������� ���!�∈��A-B� ��-�$�)�-����������2-�)�$����������������� �"�+�������

���!��-����� ��-�$���-����F

�������!�∈��A-B��!�����!��≥�$��C������ ������� �"�+�������� ���!��!�� ��!�,�-�

�����8�,�� �����+� ����� �!�'�-0���2-

2�)�-

$���$���+��+����� �� ���-�����

;�@� �� ��������� �"�+�������� ���!� ���-����2�

N

N

N

Page 92: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"'� � � � � �

��)� ��"����������������

&��������;��������� ������������,�;� ���������"���?������ ����+� ������������� �������

"���?������+��������������������

���������

�����.������������+��������������!��$�∈�.A-B�

C+��������+� ����� �!�!�"�!+� ����� �$�����������!�Q�$�������-�����+� �����

2�∈�.A-B���� � �"�����!��2�'�$�

C�������+�������!�������������������$��������$������������������!�

��������"�� ������!�4�$��������������$� �!�������#�$�����,�;� ����!��

&� ����� ��� ����������,���+������� �"���������������� ��+ ��� ����������+� ���������.A-B�

7��������������������!�≠�����������!����������,���� � ���$����������� �"�+�������� ���$� ��!

�������

������� �������������������������������������������������������

�� !��$�∈��A-B�!�'�-��$�'�2-���!�Q�$��8��������-�'�13

�2-���,� ����"����������,��������$�Q�!�

�� >���2A-B�������-�)���Q��-

�2�)������������-

�2�)���'��-�)���-

�$���-�����

�� >���A-B���-$�)�$-���$�Q��-

3���3�

>���?�������+����"�+���������;���������� �-$���$-���$��������� ���

�� >���A-B���-����� / ��-2���2-�)�$�������������������������� �"�+�������� ��

!�'�-2���2-�)�$� ��-����������!��)��'�)4�≠���

�� >���A-B��+� ����� �2��������0�������"�����2� / �0�

*����� ������������������"�����������.������������+������������>����� � �.A-B�����#

�� !�Q�!���� ������������ �-����

�� 8����!�Q�$����$�Q�*���������!�Q�*������,����������

�� 8����!�Q�$����!�Q�*���������!�Q��$������*���������������� �������∈�.A-B�

�� 8����!�Q�$����!�≠����$�≠�����������!�����!��≤�!�����$�

�� 8����!�4�$�����������!��Q�$������������� ����∈�.����≠���

�� 8����!�Q�$����$Q�!����������-�������∈�.����≠������� � �"�����!�'��$�

Page 93: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"������������������������� ������������������������������� ������

&���� ��0�+��+������������������������������� �������

=�������������������+��+���������4�

8����!�'�����������$�'������+����� ������������ ���������� �����.�

8����!��$�≠�����������!�'�$$�����$�'�!�!

���:�,� ���!�'�!�!

�$

�����������!

�$

��'���

8����������!�����$

�������+� ��������������������� ��

<�����$��'������≠��������!�'���)�$����������

���������

8����+� �������!��$�∈�.A-B����������������� #�!�"�$����� � ������!�Q�$����$�Q�!�

>����������,��������!�S�$�

������� �������������������������������������������������������

�� !�'�2-$��������$�'�-

$���

13

��!��$�∈��A-B(������!�Q�$����$�4�!�

�� !��$�∈��2A-B��!�'� 2-����$�'� 3-�

�� :�����������������!�S�$����!���$����������������������!�'�$�

@������������ �!���+��+������� ����������,�;� ������"��.A-B����+��+������� ���� ��������� �

�������"����!���� ����������� ��������������,�����������=���������-����� ��+�!�����34�

���������

C+����������∈�.A-B���������!�"�$�������� �+� ������ ���$��!�∈�.A-B�����

��Q�!������Q�$�

���������

����!��$�∈�.A-B������ ������+� �������∈�.A-B��������������������!�"�$��

������ �+� ������ ���!����$������"���+ ��������������� �#

� ��Q�!������Q�$�������������,��������(

�� 8�����′Q�!�����′Q�$����������′Q���

>����������,�����������,���!��$�������+���������,������������

>����,� �"�������$�'�������!�'����+� ����� ��!��$����+����� ���� ����������������

&���������������!����'�!�

Page 94: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"�� � � � � �

C�������;���������������� ������������������������������ ����������������,��������#

�����+� ����� ������� ������ ���������������������� ������������������������≠�������� ����

T����� �#������6�∈�.A-B����� ������ ��������������������������������6�Q�������������Q�6�

1�������6�S���

&�������������� ��������������,����������������+� ��������������-����������������

�;��������� ��������������������"������,�;� ������

8���;���������� �!���!��$�+� ����� ��������������� ������������������ ��������� ������

���������,���������

U�����������������������!��������-���������� ����������������,����������� ��������

+��������� ����������� �� �

����������� !"#$���$!�$%�!&'

�����.������������+��������������!��$�∈�.A-B������ ���1�������-������!��$�

���������� C�������������� ����"�+������#

��!�'�$��������

���!������

��M�!�����$ �N

�$�'������

$����

$��!������

$�M�!������

���'��

$���

2����

2��!������

2�M�!������

$

�$�'��

2���

3����

3��!������

3�M�!������

2

�2�'��

3���

0����

0��!������

0�M�!������

3

����������������������������������������������������������

8��������!�����$�L�!��������L�!������

$�L�!������

2�L������������E��!�� ����

����������� ��!��������

�'�)∞�����������

�'������������ ����"�+�����������������#

����������������������������������������������������������

��)2

�'���)$

��2�)�

�����)�

��!�������)�

�M�!�������)$

��)$

�'���)�

��2�����

���!������

��M�!������

�)�

��)�

�'�����2

�����

�������

����'�� �N

� ���� ���������� �������������������������� �+� ������ ���!����$�

>���?�������

� ������������� �����!� ���������E���"����������#

���Q��

�)���� ������!� �����(��

��Q��

�)$��+��� ������!� �������������

��Q�$

���������!� ���������"��� ���������Q�!������+������!� ������

�� 8�����′���������� ������,���������+������!����$����������������������

����!� �������N��������"��E����������������#

���′�Q������′�Q��

$���′Q��

2��������′�Q��

�������+��� ������!� ���������������

>����,� �������!��$�'�����+��������+� ������ ������������(�����

Page 95: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"������������������������� ������������������������������� ������

��������������������������������������� ������������������������

�� C������ ���!��$�������!��$�∈��0A-B��!�'� 2-2

��� 3-$��� 3 -���1����$�'� 3-$

���-���1 �

!�"�����

1���#

2-2��� 3 -$

��� 3-���1 3 -$���-���1

2-2��� 4-$

��� 4- 4-���� 3

��Q���������)-$�)��-���1

�)-$���� 3 -��� 3

�����) 4-�)� 2 �'�-��� 3

�����,��"�+��������+� ����� ���� 3 -$���-���1� ������� ��;�������-��� 3 �

3 -$���-���1 -��� 3

3 -$��� 4- 3 -�)� 3

��Q ���) 3 -���1

����) 3-���1

���� 0

1���;����������� � 0 �������� !������ ����"��P����

� ���� ���������� ������-��� 3 ��������!��$�'�-��� 3 �

���!��$�∈��A-B��!�'�-3�)�-

2���-

$����$�'�-

3

�)�-

2���2-

$�)�$-���$���!��$�'�F

!�"�����

8��������+� ������ �������� ����!���������!������J���������K�"���+���� !������ ���

"�+�������� ���$� ��!��+������� �!������������

-�3

�)�-�

2���2-�

$�)�$-���$ -�

3�)�-�

2���-�

$

-�3

�)�-�

2���-�

$�

�Q �����Q�������$-�$�)�$-���$

�����,�����"�+������-3�)�-

2���-

$� ��+� ����� �$-

$�)�$-���$�

&����������������� �� � �������!�������� ��������+�����"�+���������"��� ���+� ������ �

�� ����"������������������������������������;� �� ����� ������� ������!��$�

>����,� �������������������� !������ �����$-$�)�$-���$�#�$�'�-

$�)�-����

-�3�)�-�

2���-�

$-�

$�)�-����

-�3�)�-�

2���-�

$-�

$

�Q������Q ���

1 !������ ����"��P������!��$�'�-�$�)�-�����

Page 96: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

" � � � � � �

���!��$�∈��A-B��!�'�-�2���2-�

$������$�'�$-�

$���-�)�����!��$�'�F

!�"�����

>� ������!�+����3!�����+ ������ !������ � ���7�� ���

3-�2����$-�

$���3 $-�

$���-�)��

3-�2�����$-�

$�)�$- $-���0

��Q ��-�$���$-���3

��-�$���0-�)�0

��Q ������)2-���D

�����,�����"�+������$�'�$-�$���-�)��� ��)2-���D�

>� ������)2-���D����-�)�2�������������#

$-�$�����-�)�� -�)�2

$-�$�)�4- $-���5

���Q ������5-�)����

�5-�)�$�

���Q ����$�

1 !������ ����"��P���������� ����������������+����"�+�������� ���-�)�2����$���;�����

����� ����@�� ������������������������������� �����!��$�'����+� ������ ��"����������,

�����+�����"������ ��

�� C���������������-�

�)����-�

�)���'�-�

�)�����������'����������7���

!�"�����

=����������� !������ � ���7�� ���+������� ����� ����(������+��,�������������"�+������

���������"�+����������� ����"��� !������ � ���7�� ���+������+� ������ ��-�

�)������-�

�)���

1����,���"���?����-����������,� ����"��+���!�� � ��������������������'���)�2�&���

��≤���M������������-�

�)���'��-�

�)��8���-�

�)����!�����-�

�)���M���

���������J������� K#

��'���)�2�&������≤���M��-�

�)���'��-�

�)��8�&�-�

�)���

!�����-�

�)���M�!�����8

��'���)�2��&��

�����≤��

��M��

-�

�)���'��-�

�)��8����

1rX �)���

!�����1rX �)���M�!�����-

�)��

���'��

��)�2

$�&��

$����≤��

$�M��

-�

�)���'��1rX �)���8

$���

2rX �)���

!�����2rX )���M�!�����

1rX �)��

��������������������������������������������������� ���������������������������������������������������

��)$

�'���)�

�)�2��&��

�����≤��

��M��

�)�

2nrX −)���'��

1nrX −�)��8

����

nrX �)���

!�����nrX )���M�!�����

1nrX −)��

��)�

�'����)�2

����&������≤��

��M��

�)�

1nrX −�)���'��

nrX )��8���

����

� !������ ����"��P��� � !������ ����"��P���

8����������'�����������������-

�)����-�

�)���'�nrX �)����'�-

�)���

Page 97: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"������������������������� ������������������������������� ������

���� ���

�� ������������������������ ��+� ����� ���-�

�)���������������� ����������� ���� �

������������ ������ ��� ������������9���7����������������������� ����������� �������

+� �������-�

�)������-�

�)���������������� ��+� ����� ����-�

�)������'�������

:�!��������9�

�∩�9��'�9

��������,� ������;������ ����+��� � ����+���!��+����

�� >��������������� �������������,� �������� ����$�

�)����$�

�)���'�$��)������������

�����������������������H�

���� ���������������������+� �������.������������+������������1�����#

�� 8����!��$�∈�.A-B������'��!��$����������-����������∈�.A-B���� � �"�������'��!�&��$�

�� 8����!��$�∈�.A-B����������!��$�'���⇔��∃������∈�.A-B���� � �"������!�&��$�'���

�� 8����!��$��*�∈�.A-B����� � �"�����!�Q��$��*�����!��$�'�����������!�Q�*�

���������� �� ������������ ����"�+��������N�+������� ���������������

8���+��� ������!� �������������#���'����'��

�)$�)��

�)��5

���

8�������+��� ������!� ����������������)�

�'���)2

�)���)$

��5�)�

��+������

" �"� ������"������*;�����

��'���)$

�)����)2

�)���)$

��5�)�

�5��'�)�

�)2�5

�����

�)$������5

�)�5� �$

8����+���+��"���+���+������������"����������������� ����"�+��������N�

��������������������J���;������� ������K���+� ������ �����)2

������)3

(

���(� �$� ��� �

��� �

�� ���$��$� ��� !�� ������ �-����������∈�.A-B� ��� � � "����

��'���)�!�&���)�$�

�� I�+ �������J⇒K�������������

:���+���#����������'��!��$���������������Q���!�&��$���������

��)�!�&���)�$�'����;��������Q������������'���

�� 8���������!��$�'��������$������������!�&���)�$�'���������∈�.A-B�

1�+ � ���������*��;��������!�*�&���$�*�'�*��$��8��������!�Q��$��*�

��,� ������!����������;���������������������$��������!�Q�*����������

@������������������� �!�� ����������,�;� ������������� ���"����!���� �����"������������

������������������������������+� �������

���������

����!��$�∈�.A-B������ ���C+��������+� ����� ���∈�.A-B������������������

��� ���������� �+� ������ ���!����$�����#

� !�Q������$�Q������������� ��+ �������(

�� ����������� ���′�∈�.A-B�������!�Q��′�����$�Q��′�����������Q��′�

@� ����������� ��+ ��������� �+� ������ ���!����$���������,��A!��$B�������+���������,�

����������

Page 98: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

"!� � � � � �

&��������������������!�'�������$�'����A!��$B�'���

&����������������������+��;����-�������������������+�������������������+� ������

���� ���� ������"����� �������+������� ����������� �� �

�������

����!��$�∈�.A-B��!�≠����$�≠��������'��!��$��1������A!��$B���!��$�S�!��$�

���������� 1���#�!�'����!���$�'����$

���:�,� ����!

���$

��'�����V���� �����H

8���������������'��!�$

���������������������� �+� ������ ���!����$�

� 8�����'�!� 1g ′ ������������!�Q������� �!�$�Q���

�� �����′����� ���� ��+ ��������� �+� ������ ���!����$���������′�'�!�!$���

�′�'�$�$$�

:�,� ����′�'��!�!$�����′�'��$

�$

$��������������!

�!$�'�$

�$

$�

8��������!��Q�$

�$

$�����!

���$

��'���������������!

��Q�$

$��������$

$�'�!

�*�

1�������′�'��$�$

$�'��$

��!

�*�'���!

�$

�*�'��*���������Q��′�

&����������������'���!�$

�����'���!

�����$

��'�!�)�$�

���� ���

�� @�����"����,� ��� ����������������,������������ ����������� ��+ ��������������

+� �������������������;��������� ��������������������"������,�;� ������

>�������� � �A!��$B���+��,�������� �������+� ����������������"������,�;� �������� ���

�� ��+ � ��������������!����������

�� @� ����������� ��+ ��� �+� ������ ���+����� ��� ���+����"�+��������+������ ��� ��

���� ��������������,���������

>���?����-����������,� ������������������,�����

�-3�)�-

2���-

$��-

3�)�-

2���2-

$�)�$-���$�'�-

$�)�-����

1�����#

A-3�)�-

2���-

$��-

3�)�-

2���2-

$�)�$-���$B�'��-

3�)�-

2���-

$���-

3�)�-

2���2-

$�)�$-���$�#

#��-$�)�-�����'�-

$��-

3�)�-

2���2-

$�)�$-���$�'�-

4�)�-

0���2-

3�)�$-

2���$-

$�

�� C��+����� ������������������������������������ �+� ������ ���!���!

$�������!

�����≥�2��"�

�������������

�!���!

$�������!

��'���!

���!

$�������!

�)���!

�(

A!���!

$�������!

�B�'�AA!

���!

$�������!

�)�B��!

�B�

Page 99: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

""������������������������ ������������������������������� ������

����� �����������

�� C��������������-$���-������������+� ����� �-

2��$���-

2��������������∈���

!�"�����

-2��$

���-2���

�����'��-2��$

�)�-$����-

2����)�-����-

$���-�����'

'�-$�-

2��)���)�-�-

2��)������-

$���-�����

>�����-2�

�)��� ��-2�)�������-

2��)��� ��-2

�)��������-2�)���'��-�)���-

$���-�����

:�,� �������-�2�

�)�������-�2�

�)������������,�;� �����-�$���-�����������������������������������

�� ������∈������≥������:"�'��

"

���$"

����������"

��"�≥���

C���������������-��������+� �����!"�∈��A-B����!����"��������������� ������� ���������

11k +����� � �"�����:

"�'�!

"����>��+ ���!

"� �-�-�����

!�"�����

������������������ ������W?�������������#

�����-"��

�'�1 2

1 1 1 2 1... kk k k kC S C S C S+ + ++ + + �

8���� ���-��� ��� �����$��2���������������������!� ����� ���;�����������#

������"��

�)��������'�1 2

1 1 1 2 1... kk k k kC S C S C S+ + ++ + + ��"�≥������∈���

1����������������������������� ������;<�������+�������� �� � ����������� � ���:"

+���������� ��:���:

$�������:

")��

:���������� �� � � ���:3�

:������� ����������+��������������������+���������������+��"�

&������"�'��������:��'�����$�����������'�

( 1)2

n n +����!

��'�

( 1)2

x x +�

8����:��'�!

�������� ������� ���������������

11 1+

������!�� �-�-�����

&����+�����+��+�,���������������+�����������������≤���≤�"�)�������������������+������"�

8����� ���� �� �����X������������:"#

:"�'� ( )1 1 2 1

1 1 1 2 1 11 ( 1) ( 1) ...

1k k

k k k kn n C S C S C Sk

+ −+ + + −

⎡ ⎤+ − + − − − −⎣ ⎦+ �

@�� �����+���,�������������������#

:"� '� ( ) 1 2 1

1 1 1 2 1 11 1 1 1( 1) ( 1) 1) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1 1k k

k k k kn n C f n C f n C f nk k k k

−+ + + −

⎡ ⎤+ + − − − − −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

'�1

1k + �������������)��A������")�

���������")$

�������������������B�)

)�1 2

1 1 1 21 1( ) ( )

1 1k kC f n C f nk k+ +−+ + �)�����)�

11k +

11

kkC −

+ !")�

���

'

Page 100: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$##� � � � � �

7��������� �!��

�!"�'�

11k +�-�����-A�-����

")�����-����

")$����������-��������B�)

)1

1k + 1kkC + !

��-�)�

11k +

21kC + !

$�-�)�����)�

11k +

11

kkC −

+ !")�

�- ��

Y��������������!������!���� �$��!

$�����!���� �2������!

")������!���� �"����,� ������������

!"�����!���� �"������!���� �+���� ����������

8���������������������+���� ����������;����������1

1k + ��������� ������� ����������

���������������+� ������ ��!���!

$������!

")�����������,�;� ������ �����+���,��������������

+����-�-������������!"� �-�-��������������

����������� ����� � �������� �� �-������� ��� +������� �� �� � � ���� ��� ��� +�����

����������:"���� ��������+���������+�����?����� �� ���������#�:

���:

$�������:

")������+���:

"�

������ �������������������������������������������������������

C���� �� ���:3�'��

3���$

3����������

3�

:3�'�!

3���������!

3���������+� ��������!����0������,�;� ����-�-�����

���+��+�����!3�'�

( 1)5

X X +�-

2����-

$���%-�&�� �$

8���� ���-��� ��� �����$��2�"���$�����#

4

4 4

4 4 4

1 21 (1 )5

2 31 2 (8 4 2 )5

3 41 2 3 (27 9 3 )5

a b c

a b c

a b c

⋅⎧ = + + +⎪⎪ ⋅+ = + + +⎨⎪ ⋅⎪ + + = + + +⎩

:�,� ������������ �������������;�����#���'�32

��%�'�16

����'�)16

8������#

!3�'�

( 1)5

X X + 23 2 ( 1)(2 1)(3 3 1)3 1 1

2 6 6 30X X X X X

X X X+ + + −⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

8�����3���$

3����������

3�'�

2( 1)(2 1)(3 3 1)30

n n n n n+ + + −�

:��������+������� H

Page 101: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#$������������������������ ������������������������������� ������

�� 8������������������� ��+� ������ ���!�'�-2�)�5-

$����3-�)�6����$'�-

2�)��3-

$���04-�)�43

�����������������������������

!�"�����

:������� ���������������������� �������������� �+� ������ ����!��$�

1+ ������ !������ � ���7�� ��

-2�)��3-

$���04-�)�43 -

2�)�5-

$����3-�)6

-2�)�5-

$����3-�)�6 �

Q����)�5-$���3$-�)�04���→���-

$�)�4-���6

-2�)�5-

$����3-�)�6 -

$�)�4-���6

-2�)�4-

$���6- -�)��

Q������)-$���4-�)�6

�������)-$���4-�)�6

��������Q�������Q��������

:�,� �������-2�)��3-

$���04-�)�43��-

2�)�5-

$����3-�)6�'�-

$�)�4-���6�

:������� ���������������������� ��+� ����� ���-$�)�4-���6��������3����$�

@� � � ������������� ��+� ������ ���!����$�����;������+��"�+�������� ���!����$� �

-$�)�4-���6��*;�����#

!�'��-$�)�4-���6�-�)����$�'��-

$�)�4-���6�-�)�6

8����!������������� ��3��$�����������$������������� ��3��$����6�

�� ����!��$�∈��A-B��!�'�-3�)�$-

2���2-

$���$-������$�'�-

3�)�2-

2���3-

$���2-���%�

C������������������%�∈���������������!��$�����!���� �$�

!�"�����

1+ ������ !������ � ���7�� ��

-3�)�$-

2���2-

$���$-���� -�

3�)�2-�

2���3-�

$���2-���%

-3�)�2-

2���3-

$���2-���% �

�Q������-

2�)���-

$�)���-�����)�%

-3�)�2-

2����3-

$���2-����% -

2�)�-

$�)�-�����)�%

-3�)��-

2��)��-

$������,�%�- -�)�$

Q����)$-2��0-

$����2�)���&�%�-�&�%

����)$-2��$-

$���$-�,�$���)�%

�������Q�������2-$������)���&�%�-�&�$��,�%

Page 102: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#'� � � � � �

@������������+ � ������"��+��� �;� ���� ���"�+���������D�

D-2�)�D-

$�)�D-���D��)�D% 2-

$������)���&�%�-�&�$��,�%

D-2����2�)�2����2%-

$����4��)�2%- 2-����)3�����)�%

�Q������)�$���2��)�2%-$����)D�)�4����2%-���D��)�D%

��������)�$���2��)�2%-$������)�����%�)�3�����)�%-����$��)�%�)3�����)�%

���������������Q�����������������������$�)�$�%���%

$�)�������6%�)�0-�)�$�

$���2�%�)�%

$����5��)��2%

1����� !������ ����;����������"��P������ � � ��!��$�����!���� ���������������$�

&����������������� ��;������ ��� �����"�+����������;������� �����

:�,� ��#�

2 2

2 2

2 11 8 5 02 3 17 13 0

a ab b a ba ab b a b

⎧ − + − + − =⎨− + − + − =⎩

1�������� ��������� ���������;������)�$����%���4��)�0%�)�0�'���

Z��������!� �����������������������!���� �II�"�����;�����

��'�0������'�%�����

&��������'�0��;������%�'�)0����%�'�5�

&������%�'���)���!�������'�)3����%�'�)0�

�� C��������������,����������� ��+��+��������+������+� �������

� 8����!�Q�*��$�Q�*�����!��$�'������������!��$�Q�*�

; �!��*(�$��*�'��!(�$��*�

� 8����!�Q�*����$�Q�*���������A!��$B�Q�*�

!�"�����

� 1����*�'�!�!���*�'�$$

���!�!

��'�$$

�����������!�Q��$$

���>�����!��$�'���������!�Q�$

��������

$��'�!��*

���������*�'�$�!�*

��'��$�!�*

���8���� ������!� ����������������$��!��O�*�

; �������!��$�'����������������������)�*��������������������� �+� ������ ���!��*���

$��*������������� �������

� 7���������*�Q��!�*������*�Q��$*�

�� �����′����� ������,���������� �+� ������ ���!��*����$��*�

8���������!��$�'�����,� ������� ����������������������� !������ ��� ���7�� ������

�-����������∈�.A-B���� � �"��������!�&���)�$�'������

1�+ � �����"��������*�����;��������!�*�����$�*�'���*�

8�����������′�����������;�� �����!�� �� �������!� ��������������′�Q���*�� ������'��!��$��1������!�'���!

���$�'��$

����!

���$

��'���

&����� ���A!��$B�'��!�$

��

8���!�Q*���,� ���!�Q�*(���� �!�$

��Q�*������Q�* �$

8���������!���$

��'����������������!

���$

��Q�* �2

8������������!���$

��'��������������������$�����2����������!

���$

��Q�*��������A!��$B�Q�*�

Page 103: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#������������������������� ������������������������������� ������

����� ��������

�� C��������������!��������$�����#

� !�'�-�)�1 ��$�'�-2���-

$���-�)� 3 ��!��$�∈��

0A-B(

; !�'�$-������$�'�$-2���2-

$�)�-�)����!��$�∈��A-B(

� !�'�-$���-������$�'�-

5���-

4����-

0�)��-

$�)��-������!��$�∈��A-B(

� !�'�-�3����-�)����$�'�-�

6�)��

$-�

$���$�-�)����!��$�∈��A-B�

�� 8��������������%�∈��������$�Q�!�

� $�'�-$�)�3��!�'�-

0����-�&�%(

; $�'�$-$���-�&�%��!�'�$-

3���2-

2����-

$�)��(

� $�'��-�)�$��!�'��-4�����-�&�%(

��$�'�$-�)�3��!�'�-��

����-3���6�-�

�� 8�������������∈���+����������#

� -$���-������������-

���-����(

;�-$�������������-

$���-����

�)�-�

�� 1 �����������������������������+������+� ������ �#

� !�'�-4�)������$�'�-

3���-

$������!��$�∈��A-B(

; !�'�-3���-

$��� 2-��� 2 ����$�'�-

$��� 3-��� 6 ��!��$�∈��

5A-B(

� !�'�-2�)�-

$���-�)����$�'�-

3���-

2���$-

$���-������!��$�∈��A-B(

� !�'�-$����-������$�'�-

$���-�&����!��$�∈��A-B(

� !�'�-0�)����$�'�-

3�)����!��$�∈��A-B(

�!�'��(�!�'�$-2���2��!��$�∈��A-B�

�� ����!��$�∈��A-B��!�'�-�)�

���-�)$

���������-������$�'�-�

���-�)�

���������-�����

� @� �� ���#�-��!�,�$�

; @� �� ���#��!��$�

���@� �� ���#��-�

�)����-�)�

�)���

�� � 7-�����+� �����������������;������������-2���-�������������������-

3���-

$���2-���$F

; 8��������������%�∈������+������ �!��$����������������������� � ��������-$���-���

������������ � ��������-3����-

2���-�&�%�

�� 8����������������� �������� �����%�"����,��� �#

� ����%�'����������%�'�$3��(

; ��&�%�'�D6����A���%B�'�5$��

Page 104: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#�� � � � � �

NNN

�� 8��������������%�∈�������������������� �����������������������������������#

���2���$�

$�������)�$�'�����

2�)�$�

$�)���)�������'��(

;��2�)�2�

$����$������'�����

2�)�$�

$�)�2����%�'���

�� � &� ������ ��!��$�∈��A-B����������������������� ����!����

8�����������+� ������ �������������!#�!�'�-�)����A!��$B�'�-2�)�-�

; &� ������ ��!��$�∈��A-B���!��$�'�-$������A!��$B�'�-

3���2-

2���2-���$�

8�����������!����$�����������!��)$�'�0����$�)��'�4�

� ����� ��������������,���������� �+� ������ ���!����$������-�2�)�$-������������

�� ����������� ��+ ��������������-$���-�-

2�)�$-�����

:�,� �������������!�����$���'���

���8������������!��$��*����A!��$��*B�����#

��!�'�-�)��(�$�'�)-$������*�'�-

2���-

$�)�$(

;�!�'�-(�$�'�-$���-��*�'�-

$���-�����

���@� �� ���������������� �+� ������ ��#

� -3����(�-

4����( ;�-

4������-

������(

��-4�)����-

0����( ��-

0������-

5�����

���8����������������+� �������!��$�∈��A-B����������������������������� � �������

-$�)����� !������ � ���7�� �������2����+����� �� ����������+������ ������-�

���� 8��������������%�∈������ � �"������������������� �+� ������ ���!�'�-2�)�-

$�������

$�'�-2���-�&�%������;��!���� �$�

; ����!��$�∈��A-B��!�'�-2���$-

$�����-������$�'�-

2���-

$����3-���%�

C��������������������%���� � �"�����!����$������;���������,������������!����$�

���8�����������+� ������ ��!��$�∈��A-B����+��+��������

�-$���$-���$!����-

$���2-���2$�'���

�������������∈��N������+���

� C���������������-�

�)����-�

�����'���

; 8������∈����������������������

�)������

����������������$�

N

Page 105: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#������������������������� ������������������������������� ������

��,� *���������� ����

��� ����������������������� ������� ���I��������������+������"�� ���������������;� ������������� �!��������������� ��+� ������ ���

>���������������������+������,� ����

�����������(����

����!�∈�.A-B��������.�����������������+����������������∈�.�

1����������������������+������!���������������������-�)���Q�!+

���������� ����!�'��-�)���2�����������!�������M���

1�����#�����������������+������!�⇔�!����'���⇔���'���⇔��-�)���Q�!�

)�*+,%!*-,

�� 8���������

$��%���

�����������������������������������+� �.�� ��+� ����� ���!�∈�.A-B�

��������-�)�����-�)��

$�%��-�)��

���������!�

�� 8����+� ����� �!�����!���� �����������+� ����� ������� ��� �������������"�����+� �.�

���������� �� I����������+���+

&��������'���+��+�,����������������������������� ���[\,����

&����+�����+��+�,���������������+��������)���

8����!�'�

1

1

( )m

ii

X a g−

=−∏ ��

8����������'�!�����'�

1

1

( )m

m ii

a a−

=−∏ $��

������

��)��

��≠����+��������������

��,� ������$����'���

1+ �������������� ���[\,������,� �������-�)����Q�$�������

$�'��-�)���*�������*�∈�.A-B�

:�������� �������;������!�'�

1

( )m

ii

X a h=

−∏ �

�� 8���������

$��%����

��∈�.�������������������������� ��+� ����� ���"�

���+� �.�������#

��'�!�����!��'�!����

1

( )m

ii

X a h=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∏ �'�!���

1

( )m

ii

X a=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∏ ���!����*�'

'�����!����*�≥��+

���� ��

@����������$� � �������� ���!��� �+� ����������� �������� "���?������+������ �������

�� ������������������!���� ����������+� ����� ��� �

=����������+�����?����-����������,� �������+�������������,� ����

Page 106: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$# � � � � � �

���+� �����+����� �����������+������������������������ ���+� ������������������

�������+����� ����������� � �

������ �������������������������������������������������������

&� ����� �-$�����∈��A-B�������+��������������+���������+� ����������!������������

�����!� �����������A-B�+�������������������������"����

1�� ����+� �����!������������ ��������"���A-B����+�����������+���#

-$�����'��-�&����-�,���

������

���+� �����$�∈�.A-B����� ����������������������������!�� ����"��.A-B�����

����!�Q�$���,� ���!�S�������!�S�$�

@��� ����������#����+� ������$������ �����������������������������������;� ���������!����

��������,������������������ ������ ������+� ������ �����������"������,�;� ���������$�

&���������������+� ������������������;� ������������+��������������+���������+� ������

����������������!������������������!���� �����

���+� ��������� ������������������������������������;� �������������������������%��

������� �������������������������������������������������������

�� *�����+� ��������!���� �������.A-B��������������;� �

�� *�����+� ��������!����$���������!����2���������������� � �����(��������.#�����

��������;� �"��]A-B�

>���?�������������!���� ���������;� �"��.A-B������������ �+������������,������!���� �I#

�-���%����≠���

1����,� ������+� ����� ����������� �+���������������#�������)�%���)�

���������������

1�� � #�!�'�-2)��-

$���-���1�∈��

2A-B��������������;� �"���

2A-B��������������!���� �2

�������������������"���2��!�� 0 �'�1 ��!��1�' 2 ��!�� 2 �'�1�

���� ��

:�,� ���� ���������������������������"����,� �+� ������ ������!����3�������������#

&� ����� �-3�����∈��A-B�����������������"���������������������;� ��>���?������#

-3�����'�-

3���$-

$�����)�$-

$�'��-

$����

$�)�$-

$�'

'��-$�)�

22 �-������-$���

22 -�����

�� *�����+� �������������;� �"��.A-B�����!������������������!� ����$��������������������

"�����+� �.���������������+������������� ���;�������+� ���� ���������� ���[\,����

�������� ���>���A-B����!��� ��+� ���������������;� ��������� �����!������������ �

��� ������-$���%-�������#�%#���∈������≠����%

$�)�3���<���

Page 107: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#������������������������� ������������������������������� ������

�������� ���,� ��������������������� �!���������� ��������� �������������������������

+������� ��������+�������"�� �������

�����

�����.������������+�����������

*�����+� ��������� �������������������.A-B����+�����������"��������������+�����

��� ���������������;� ��"��.A-B�

��>����������,���������������;����"��� ������;��������� ��������������������������������"�

������+��� ��������

������ �������������������������������������������������������

!�'�-2���$-

$�)�-�)�$�∈��A-B���������#

!�'�-$�-���$�)��-���$�'��-���$��-

$�)���'��-���$�-�����-�)��

�������+������"�� ����������!���� �����������������;� ��

C�������#�!�'��$-���3��-�����1 1

2 2X⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��������������������������+������"�� ������

��������;� ��"���A-B�

@� �������������+������� �� ���!������������������������������������� ��������$-���3

���1 1

2 2X − ���������������"������,�;� ���������-���$�����+������-�)���

���� ���

��7����+���;� ������� ��+� ���������������;� ��������+���"��������+�������"�� ������

�������+� ������������ ����!� ���������������"������,�;� ������

>����������,�������+��������������������E����� �+����� �����;����������������+� ����

!�∈�.A-B����+�������������������;� ����#

!�'�1

1kp ��

22kp �%��

nknp ��������

����

$��%��

��∈�.A-B��������������;� �����������������

�������+� ������ �������

$��������

����������������"������,�;� ������

$�&������� �� �������������������������������������������������� ���+� ������

+ ��������� ��������+������� ���"�� ���������������;� �#

�������������������+������ � ������ ���������� ����� ��+��������������������

�������������������+������ � ������ ���������������������� ����� ��+��������������������

������ �������������������������������������������������������

!�'�2�-�)��$�-���$(�!�'��-�)��

2-�-���$

3�-

$���-������!��$�∈��A-B�

1�������!#�$�'��-�)��$�-���$(�A!#�$B�'��-�)��

2�-���$

3-�-

$���-�����

Page 108: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#!� � � � � �

����� �����������

�� ������!#�$�∈�.A-B�!�����!�'�!�����$�'������� ������ �����������������

$��%���

����

����∈�.

��� � �"�����!�����'�$��

������������� ����∈�.���$��%�������/��1����������!��'�$+

; 8�����������+� ������ ��!�∈��A-B����+��+���������!����&�=�'�!������!��=����#�=�∈���

!�"�����

� &� ����� �*�'�!�)�$�����!���� �≤������������ ��,���������������

@�� ������������������������������� ���[\,������,� ������*�'���������!�'�$

:�,� ����������������������������+� ������������� �����!� ��������� ����������

�����+� ������ ��������!� ��

; ���������'�=�'����"���!� �������������;������!����'���

�������!����'������∈�����;������+��������������!����'���������∈���

:�,� ������+� ������ ��!�����-������� �����!� ��������� ���������������

&�����������!�'��-�

�� ����2�∈��N����.�'�.�������2��%���

2/�������+� �����

� 1����������+��������������∈�.���2

�'���

; 8�����+������"�� ���������������;� ��+� ����� �!�'�-2

�)�-�∈�.A-B�

� 8�����������+������������������+����������#

���)��H�≡�)������������������� ���^� ����

!�"�����

� �.N��������!��+����2�)���� �������

:�,� �������2�)��

�'����������2

�'�������∈�.�

; *������ ��������∈�.����������������� ���!�������!����������+����"�� ������#

!�'�-�-�)���-�)��2�%��-�)��

2�

� ����$�'�-���)��

�)��1 �∈���A-B��:������� ���� ������#�1�� 2 ��%�

�1p− �

8����$�'��-�)�1�-�)� 2 �%��-�)��1p− �

I����� ��������������� �;������;�����#

1 �� 2 �%��1p − �'�)��1 �⇔�

�1 2 ( 1)p⋅ −� �'���1− �⇔����)��H�≡�)����������

�� 8�����#�%�∈�������������������,�������������#

���&�%0�)��

0�)�%

0�'�0�%���&�%���

$����%���%

$�

!�"�����

&�����+������-+�������������;�� �����!�������+� �����!�"�����������������

����%�∈��� �-���

*;����������!����'�%

0�)�%

0�'������!��,%�'����)��)�%

0�)�%

0�'�%

0�)�%

0�'���

1���������� ������������� ���[\,�����+� ����� �!����������,�;� �������)��������

��)��)%�'�����%�

Page 109: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$#"������������������������ ������������������������������� ������

8���������-+���������������������������"�������+�������+���� ������ ����������

�+�������%�

1������!�'������%0�)��

0�)�%

0�'��%�����%��$���#�%�������$���#�%������+� ����

J��������K����!����$���� ����#�$��#�%�'��$���%

$������%

1����������%0�)��

0�)�%

0�'��%�����%�A�

$���%

$���β�%B ��

8������ ���� ��������%��;����������������+������α��β�

��'��(�%�'���⇒�2��'�$�$α���β

��'�$(�%�'���⇒�$���'�4�0α���$�β ���

⇒�

2���� � �

5��� � �

⎧ ⎧⇒⎨ ⎨

⎩ ⎩8������#

�����%0�)��

0�)�%

0�'��%�����%A0��

$���%

$���0�%B�'�0�%�����%��

$���%

$����%

�� C��������������+� ����� �!�'�-4����-��� 5 ∈��

5A-B�������������;� �+��������������∈��

5�

!�"�����

8����;����������,���#

����'� 0 ��1������!�'�-4��� 5 �'�-

4�)� 2 �'�-

4�)�� 3

$�'��-

2�)� 3 ��-

2��� 3 �

$���≠� 0 �

1���������!������� �+����������������"���5�

����α�∈� 7∗� ��8��������� 7

∗� �������!��+����4�� ���������;������α4�'�1 �

1�����#�!��α�'� 0 �⇔��1 ������α��� 5 �'� 0 �⇔����α��� 6 �'� 0 �⇔����α�'�1 �⇔�α�'��)�

:�,� �������)�

���������������+������!����������

�� C������������+� ������ ��!��$�∈��A-B��!�'�-2�)�0����$�'��-

$���%-��������≠���

��C��������������!��������������;� �"���A-B�

;�1�����������-�����$���!

��∈��A-B���� � �"�����$��$

����!��!

��'���

��8��������������������������� �,���������� � ��������3 3

15 25c b a+ +

������#�%#���∈�����$���%

$����

$�≠���

@�,�+������ ��#�$�)�3 35 25− �

!�"�����

� &� ����� �!�����!���� �2��������������������"�����+� �������������3 5 �������������� �

:�,� ������!��������������;� �"���A-B�

; 8��������!��������������;� �"���A-B����,� �����������+����������������"������,�;� ������

���!�������������,��������������-2�)�0�

:�,� �������!#�$�'����@�� ����������������������� !������ ��� ���7�� �����������

����-�����+� ������ ��$���!

��∈��A-B���� � �"�����$��$

����!��!

��'���

Page 110: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$#� � � � � �

� 8����"� ������-����3 5 �"��� ������!� �������;�����#

��'�$�3 5 ��$

��

3 5 �⇔���'������%3 5 ����

3 25 ��$��

3 5 �⇔

⇔�3 3

15 25c b a+ +

�'�$��

3 5

8��������$�� ���� ��� �������� ������� ��� ��,� ��� ���$

��

3 5 � ����� �-+������ �;������

��+��������� �,����

>����,� �+������ �������� ����$�'�)�-$�)�-���$�

1 !������ � ���7�� ���+������� ������-2�)�0��)�-

$�)�-���$�����

-2�)�0�'��)�-

$�)�-���$���)�-�������2-�)�5 ��

)�-$�)�-���$�'��2-�)�5� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

9

10

3

1X ���

52

9�$

C�������2-�)�5����������? �"� ������"���$��*;�����#

D�)�-$�)�-���$�'��)2-�)����A�-

2�)�0�)��)�-

$�)�-���$��)�-����B���0$�⇔

⇔��)�-$�)�-���$��2-

$���5-�)������2-�������-

2�)�0���0$�'�� �2

>� �������"���2�-����3 5 ��;�����#

�)3 25 �)�

3 5 ���$�23 25 ���5

3 5 �)�����0$�'���⇔

⇔�3 3

3 3

1 1 (3 25 7 5 1)5225 5 2

= − + −− − +

�� C�����������+����"�� �������+� ������ �����!���� �� ���� ��

2-$���-�)�1���-

$��� 2-��� 4 �∈��

0A-B�

!�"�����

_����������+� ��������!���� �� ���� ���������������;� ��������������������������������

"�����+� ����+������

8���"���������������!���� ������������������������!���� �� ���� ��������� �������

"��������������+�������>�$�

��$���%�����'�������≠���⇔��A�

$���%���

)�����������

)��B�'���⇔��

$���%�

)����������

)��'��

⇔������%���$�)�

$�)��%

$�)�3�����$�

)$�'���⇔������%���$�

)�$�'��%

$�)�3����$�

)$�

8���#����������������������"�����+� ������������������������-�������∈��

����� � �"����

%$�)�3���'��

$��������������� ��'�%

$�)�3��������+������"���

��

>����������,������ ���� �������,� �������������������!���� �� ���� ��#

���'��)�%�)����$�

)�����

$�'��)�%������$�

)��N

8����+� ����� �!������������� �������

$�∈��

���������#

!�'���-�)����-�)��

$��������+�������"�� ���������������;� ���� ���!��

Page 111: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$$������������������������ ������������������������������� ������

>����,� ���������#

2-$���-�)�1'� 0 ����'�%

$�)�3���'���

$�)�3�� 2 ��)1�'� 4 �'�� 2

$(���'� 3 �

1��������$

�'�� 1− ± 2 �� 4 )�

�'��)1 �±� 3 �� 4 (����'� 4 ���

$�'� 3 �

1�����#� 2-$���-�)�1'� 2 �-�)� 4 �-�)� 3 �

-$��� 2-��� 4 �'� 0 (��'��) 2

$�)�3��1�� 4 �'� 3 �

>����"���0�� 3 ���������+����������������������������� ����������+� ����� ��������������;� �

���� ���

� &������������� �������� ��������"�����+� ��$�� ���� � ���>����������� �;� ����������

$��'���&���'�������������������������;� �

7������ �����!���� �� ���� ��������� ��������"���$������,� ���+����"���������

$ ����� � ���N�����-����� �������������!���� �� ���� ��������� ��������(������������"�

�����$��'���&���≠���

>��+������ ��#�������������������������������!���� �� �II? ��������� �����������+ �����

��,� �����"���� ������������ ������+ �-��

�������

C�������,� ������������$�)��$���������$��'������∈���

!�"�����

�'�%$�)�3���'��$�����

$�)�3�����$��'�3�

$���3������)�6��'�3�

$�)�3������'��$��)��

$�

8��������$

�'��)%�±����$�)�

�'��,%�±����1

2a���������'�$��)��������)�$��)���

:��������"���������� �+�� ����2 Δ ������������� �������������+���������������� ��

Δ�≥������������������2

ba

− ± Δ�������������J�-+������K���������������������� �������

�����������!���� �� ���� ��������� ����������� ������������������H

�� %� ������&�' �������

*���������� ������������-+��������"�� �,������P������;�� �!�����������������������,���

+�����?������������+�������� �������� ���"�� �+��+���� ��������� ������+������������

��������������+������;� ��

8���� �������� ��� �� ��!������ ��� "���?��� ��;� � +���� �����

���%��

��� ������� �� ��� �

�����+��,�������� �� ������������ ��!������!���

��%��!���

��

������������,���� ������ ��������"���?���+�������+�����"������� ��� ����!������ ������

��;� � ����+�������������������;�����+���� ���-+�������� ��

C+�����"����������,����� ������������������

� ��

�$

% ��

8����α�∈�������

���������

!��� !���� !���

$ % !���

� ��� ������+��-������������!��αF

Page 112: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$'� � � � � �

=� ������!��α�"��!����� �����+��-����,����������������������� �����!��� ������

+� ������ ���������������!����

������ �������������������������������������������������������

C?����;�������-+�������� ���������� �������+���������+�����������+������������ ���;���

���+��� �������+�����������,����;� � ���

��%���

�������� �R! D$�3� �3D�26 $22�5� 200��$ 0$0�54 54� �36D��3

���°@ 0� 4� 5� 6� D� ��� ���

C��������������� �� �,�����+����������� ���;�������+��� ��+�����������

��0�����'�26������� �R!�

1+������������+��; ����������������������+� ���������������������������������� ��� �

�� ��"����������+������

=����-��������������+��; ����+����,� �!����� �+���������� �������,�+������ ���

9 ����"�∈�.���$��%���/�� �-����C����������������+� �����!"����!������)������ � �"����

!"��

"�'�=

"����!

"���

��'����+��������������∈�.���$��%���/����≠�"�

1������������

$��%���

")����

"����%���

����������������+������!

"�

8��� !"�'���-�)��

��-�)��

$�%��-�)��

")��-�)��

"���%��-�)��

8���!"��

"�'�=

"���,� ��#

��'��

1 2 1 1( )( )...( )( )...( )k

k k k k k k k n

yx x x x x x x x x x− +− − − − −

&�����������!"��'�

1 2 1 1

1 2 1 1

( )( )...( )( )...( )( )( ) ... ( )( ) ... ( )

k k n

k k k k k k k n

X x X x X x X x X xx x x x x x x x x x

− +

− +

− − − − −− − − − − �=

"�

9 T���!����� #������?��������� �����+ �-�������

$��%��

����������������=

���=

$��%�=

��∈���

�������������������+� ��������!������)������ � �"�����!���"�'�=

"�+�����������

"�∈�.���$��%���/�

&� ����� ������������!�'�!����!

$���%���!

��

>���?������#�!���"�'���������%�������=

"���������������'�=

"�

&� ����� �!���;���������������������������>���?������#

8��������-��������� ��+� �����$��!�����$�≤���)�����������#

!���"�'�$���

"����"�∈�.���$��%���/�������� �����!� �����������������������������

������!���� ���)����:�,� ������$�'�!�

&� ����� �������������������������������+� ����� �����������������?�$���$�

9 &��������;� � ���+������������������+� ��������!����4��!��+����������

!��D$�3��'�0�(�!���3D�26�'�4���!��$22�5��'�5���!��200��$�'�6���!��0$0�54�'�D��

!��54��'����(�!���36D��3�'�����

&�������� �� � ���� ������� ��������+��!������� ���������+�����+�����

=� �������������!��26��≈�6��4���°@�

Page 113: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$������������������������� ������������������������������� ������

1������������,������������� ���������;� ����������� ��� ������� ��������+� ������ �

+��������������� ���������� ����� ����!������ ������+�����"���?���������� ����!�����A�#�%B�

8���� �������������������������������� ����� �� ��������+��������!���������<���������>%�����������;�����������+���������� ��+������ ���-+�������� �

7-��������� �� ��� ��� �������� ���;� ���� +������ ��� ������� � ���������� ��� �� ���� � �

��!������ ����"��� �����������������������������������������

8���-��+ ���+� ����� � !�'�����40-2�)���0$6D6-

$�����4�206-�)���$0356��������

+� �������������+� ����+�������� ��� �������"����;� � �$#

��%���

��3 ��0 ��5 ��6���;� � ���+�������� ���

���D6030 ��DD53D ��DD�44 ��D5263 � �� �������������

@������+������+��-��������πF

:��+���#�+����!��π�≈����$�35��D�

1+��-������� �������π��+�����-���+� �������������P����!��,����

>����P��;��+���������+� �����+������+��-��������

2

π�+����!�

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�'�������3���� �����

�������+��+������������������� �����������3�

:�,� ������+� ����� ���������+� ����������������;�������+��������� ��� ��� ��� �������

������������ � �+���������� �����+��-���������������������

����� ��������

�� C��������������$��������!�#

��$�'�-���1 ���!�'�-3��� 2-���1 ��!#�$�∈��

0A-B(

;�$�'�-�)�$(��!�'��$-0�)�2�-�)�$���!#�$�∈��A-B(

��$�'�-�)�23 �)�

22 (�!�'��-0�)�04-

3�)���-

2���04�-

$���-�)�04���!#�$�∈��A-B(

��$�'�-����(�!�'��2-2����2��)�3-

$�)��3��)��-�&�����!#�$�∈��A-B�

�� C����������������#�%�∈������ � �"�����$���� ��� ������� �������+�������+� ����� ���!�

��!�'�$-2���-�)�2��$�'�-�)�����!#�$�∈��A-B(

;�!�'�-2�)�5-

2����D-

2����-���%��$�'�-�)�$�)���!#�$�∈��A-B(

��!�'�-2�)�$-

$����-���%��$�'�-�)���)�

22 �!#�$�∈��A-B�

�� C��������������$��������!�

��$�'�-$����(�!�'��-

$���-���

������-

$�)�-����

��(

;�$�'�-$���-����(�!�'��-���

�����-

5(

��$�'�-$�)�-����(�!�'�-

4��)�����-�)������∈��N(

��$�'��-�)�1$(��!�'�

�10 -���)�

�11-�����1��!#�$�∈��

�2A-B�

�� 8�����+������"�� ���������������;� ��"���A-B�����+���"���A-B#

��-2���2-�)�3(�;�-

3���2-

$�)�3(���-

3���-

$����(���-

3���3(���-��-������-���$��-���2�)�2�

Page 114: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$�� � � � � �

�� ��1����������+� ����� �-2��� 2-$

���1 �∈��2A-B��������������;� �

;�C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� � 2-2

����-���1�∈��2A-B���� �����������;� �

�� 1����������-2��� 2-$

��� 2 �∈��2A-B�������������;� ����������+������+� ����� �"�� ������

��������;� ��

�� � 1����������-3���-

2���-���1�������������;� �"���

$A-B�

; 8�����+������+� ����� �-0�����∈��

$A-B�"�� ���������������;� ��

� 8�����+������"�� ���������������;� ��+� ����� �-3�����∈��

2A-B�

� 8�����+������"�� ���������������;� ��+� ����� �-3���-

2��� 2-$

���-��� 1∈��0A-B�

�����8�����-��+ �����+� ��������������

A-B����!���� ���������������� ��1 �� 5 �

;�8�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� ��������2A-B���������;� �

�� ��1����������+� ����� �-$�)�2��������������;� �"���A-B�����������;� �"����

22 A-B�

;�8�����������+� ����� �����������!���������������A-B�+�����������3 3 ���������������

���8������������������� ��+� ������ ��#

��-$��� 3 -��� 2 �∈��

2A-B(�;�-

$���-���1 �∈��

5A-B(���-

$���-��� 3 ∈��

5A-B(

��-$���-�����∈��A-B(���-

$����2����-���2��∈��A-B(� �-

$�)�3-�������$

22 ∈��A-B�

NNN

�����8�����������!�∈��A-B���� � �"�����!������!��$���%���!����'��3������∈��N�

;������#�%#���∈�����∞����≠�%�≠���≠������!�∈��A-B��!�����!��'�4���� � �"����#

!����'�!��)�(�!��%�'�!��)%(�!����'�!��)���8��������������!����'�!��)�������∈���

���� ����!�∈��A-B��C������������������� �������+� ������ �� f �����+�����������������!�����

+� ��������������

; C���������������!�∈��A-B�+������������-���2�!��-�'��-�)�4�!��-���2�

� C�������������� ���������������������+� ������ ��

���C����������+��������� ��������-���@���A0�)�-

0�)�@

0�)�A

0�

���U�;� � �� ���������������+���������� ��� ��

�+�����-+������"����2�������+���������"��°@�

1+��-�������� ��� ��+��� �����+����������

0�°@�

����8�������������∈��5���� � �"������

$�)�����1 �'� 0 �

;�>���������� ��+����� ������������������2�'�

�( 1)− �

� 8����������� ( )22 13 1 7n − + ������������� ����∈��N�

� �� 2� 4� 6�

� �����$5 ���3�22 ���4�D ��$6�D

N

N

N

Page 115: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$������������������������� ������������������������������� ������

��-� ! � �������������� �� �� ���� ���� .

!����������/0��=��� ������ ������"������������� �����+� �����!�∈��A-B��!�����!�≥���

&��,������ ������������������������� ���,� ���#

����������������������.���

*�����+� ���������������������� �����������+ ����������� �+������� ��������

���+ �-��

)�*+,%!*-/

*�����+� ��������!���� ��������� �����������+ ��������������������

>��+ ��#�����������

$��%��

��∈���������������� ��+� ����� ���!�������

!�'����-�)��

��-�)��

$�%��-�)��

� ���

���������� 8����������� ��������� ����,� ������!������� �+���������������#����

1������������������� ���[\,�����������-�)����Q�!��������-�����$�∈��A-B

��� � �"�����!�'��-�)���$�������$�����!���� ���)��

8����������� ��������� ����,� ������� ������� ������+� ����� �$�������

+���������������#��$�

1�����#�$�'��-�)��$*�������*�∈��A-B��!���� � ���*��������)$�

:�,� ��#�!�'��-�)���$�'��-�)��

��-�)��

$*�

@����������+������� ������������!�'��-�)����%��-�)��

��2�������!����

+� ����� ���2���������������2������+� �����������������������

>���������������������� �� ���!������������+���������������

������ �������������������������������������������������������

!�'���-�)���-�)���-�)�$�-�&��

������

������∈������!�∈��A-B�

C+�����������������!�������� �������������!����!��� ������ � �������

!���������������-�,��"

�����������������������-�,��"����

������ �������������������������������������������������������

8����!�'�2�-�)��$�-������������������������������� ��+ ������������ ������ ��+ ��������$�

����)������������������ ��+ ������������ ������ ��+ ����������

Page 116: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$ � � � � � �

>������������������+�����������+ �(�"�� ������������������������ ������ ��+ ����������

$��2������������+����������������+ �����; ������+ ������

:�,� �����������!��∈��A-B���������+� ������������������-����������� �����+ �-�����

�$��%���

"���������������������������������� �������� ������ ���

����

$��%��

"���� � �"�����!���

������"�������������;��������� ����������������� ������ ������;� ����#

!�'�� 1 21 2( ) ( ) ... ( ) knn n

kX x X x X x− − −

@������;� ��������� ������ ��+ ��������� ����������������� ��+ �F

�(�&����"�+�������������������+ �������������������������� ���[\,����

������ �������������������������������������������������������

&�������!�'�-2�)�2-���$�����������������#�!����'���������-�)�������� ������

>�+�������!� ��-�)����;�����#

!�'��-�)���-$��-�)�$

<������� ������+� ����� �$�'�-$��-�)�$���������������#�$����'���

>�+�������$� ��-�)����;�����#

$�'��-�)���-���$�

8����������!�'��-�)��$�'��-�)���-�)���-���$�'��-�)��$�-���$

:���������!� ��-�)��$����!�� ��-�)��

2�������������������������; ��

�(�8���"�������������������������+������������ ��������� ����� ��+ �������� ��� ����,�

�� �� � �+��,������ ��+����� ���

I��������������"����������������������� �B!���� C���������������

���� ���������#��A-B�→��A-B��� ��������� � #

9��������∈���������������'��(

9������!�'�������

�-����

$-

$����

�-�

�����������!��'������$�

$-���%�����

�-��)��

1������� �������������������������������������!���������+� ��������!���������������������

���!�

C�������;���������#

9���-"

�'�"-")�

�+������������"�≥���

9���!�&�$�'���!��&���$����!#�$�∈��A-B�

9����!��'����!�������∈��������!�∈��A-B�

9���!��$�'���!���!����!�����$����!#�$�∈��A-B�

=��� ���������� ����������������+������ �� �

������� �������������������������������������������������������

��-2���2-�)���'���-

2�����2-�����)��'�2-

$���2��-�����'�2-

$���2�

�A�-$������-���$B�'���-

$����-���$����-

$������-��$�'

'�$-�-���$����-$�������'�2-

$���3-����

Page 117: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$������������������������� ������������������������������� ������

:��������������������+��+������� ������������������+� ��������+��+������� �����������

����� ��������+� ������ ��"��������"��� ������WI?��

7���������� �+�������������������������+� ���������������������������� ���� ��������

�����"��� ��������������!��'�!�′������!��'�!��$

��%���������#�!���

�'��!���)�

′�_����+����,����+������ �������+���������������������+���������������+��!���� ���� �+� ���?

�� ���!���������� ���,� ���#��������∈������������-����������

���%���

��∈������ � �"����

!�'�������

��-�,�����

$�-�,�

$��%����

��-�,��

��

������ �������

���%���

��∈����������������������������+���������� �������,�� ������� ��

!���+��+����� �� ���-�)���

*;���������#

���'�!���

!�′�'������$�

$�-�,����2�

2�-�,�

$���3�

3�-�,�

2���%�����

��-�,��

�)��

:�,� ����� ���������'�!�′��

!�′′�'�$�����$��2�

2�-�,�����2��3�

3�-�,��

$���%��������)���-�,�

�)$�

:�,� ������$���'�!�′′��(����� �

$�'�

( )2

f a′′�

&���������������������������#

�2�'�

(3) ( )3!

f a���

3�'�

(4) ( )4!

f a��������

��'�

( ) ( )!

nf an

>�������� � ����������#

!�'�!������( )

1!X a−

!���

�����

2( )2!

X a−!�

�$������

3( )3!

X a−�!�

�2����������

( )!

nX an−

!���

��

������� ���� �� ���U�` ��������,�� �������+� ����� ���!�����!���������+��+����� �� ����-�,���

������������������� ��������������������������������������������

C�������,�� ���+� ����� �!�'�$-2���2-

$���-�)����+��+����� �� ���-�)���

@� �� ����������� ������������� �� ���!�"�����1���#

!���

�'�4-$����$�-����(�!�

����'��D�

!��$

�'��$-����$(�!��$

���'�$3�

!��2

�'��$�(�!��2

���'��$�

:�,� ��#

!�'�!������1

1!X −

!���

�����

2( 1)2!

X −!�

�$������

3( 1)3!

X −�!�

�2���'

'�0���1

1!X −

���D���

2( 1)2!

X −��$3���

3( 1)3!

X −���$�

Page 118: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$!� � � � � �

�������

����!�∈��A-B����+� ���������������������∈���

1�����#������������������� ��+ ���� ���!���������� ������ ��+ ��������"��������������

�����!����'�����!����

���'����%���!��"�)�

���'������!��"

���≠���

���������� ������!���� �+� ����� ���!�

&����+�������������������������� ��+ ������������ ������ ��+ ��������"�

1��������,� ������!� ��-�)��"

����!�� ��-�)��"��

8�,�� �����+� ����� ���+��+����� �� ������;�����#

!�'�!������

(1) ( )1!

f a�-�)�����

(2) ( )2!

f a�-�)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−�-�)��

")���

��

( ) ( )!

kf ak

�-�)��"

��������

( ) ( )!

nf an

�-�)���

�'

'��-�,��"

( )( 1) ( )( ) ( ) ( )

( ) ... ( )! ( 1)! !

k n kk nf a X a X a

f a f ak k n

−+⎛ ⎞− −+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

��

&�!������

(1) ( )1!

f a�-�)�����

(2) ( )2!

f a�-�)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−�-�)��

")�����

8��������!� ��-�)��"

���,� ����������� �"�+�������� ���!� ���-�)��"

��������������

!������

(1) ( )1!

f a�-�)�����

(2) ( )2!

f a�-�)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−�-�)��

")��'�����$

>� �������"���$�-�+����-������;�����#

!������

(1) ( )1!

f a-����

(2) ( )2!

f a-�

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−-")�

�'���⇔

⇔�!����'����!���

���'���������!��"�)�

���'���

>��+ ��������;�������������!� ��-�)��"��

�������

( ) ( )!

kf ak

�≠����� � � ����������

��,� ������+� ����� ��?������ ��"�������������� ������,�;� ����-�)�����������������

:���+�������������������

��������������������������� ������������������������������������

����!�'�-3�)�$-

2���$-�)���

*;���������������������������� ���!��C�?��!����������� ������ ��+ ��������

!���

�'�3-2�)�4-

$���$(�!�

�����'��(

!��$

�'��$-$�)��$-(�!�

�$���'��(

!��2

�'�$3-�)��$(�!��2

���≠��(

:�,� ������� ������������������������������������+ ��

Page 119: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$$"������������������������ ������������������������������� ������

!����������/0��1����,���"��� ������IW?�����"�������� ���������+� ����� ����-

$���%-���������������� �

�� ���-����� �!����� �#�������

$�'�)�

b

a���

��$�'�

c

a�

1�������� ���������-�������� ��+� ������ �����!������+���������≥�2�

8�����������!�������+��!�������� ����������������� ���������� ����,� ���≤�3�

�������

����!�∈��A-B��!�'���-�

�&����)��

-�,�

���%�����-����

����

��≠������∈�.���$��2��3/�

8������������

$��%���

��������������� ��+� ����� ����������#

������

$���%����

��'�)�

1n

n

aa

���$����

��2���%����

�������

$�2���%����

��)����'�

2n

n

aa

���$�2����

��$�3��%�����

�)$��)�

���'�)

3n

n

aa

����������������������������������������������������������������

���$%�

"����

��$%�

")��"��

���%������)"����

���)"���$

��������'��)��

"

�n k

n

aa

����������������������������������������������������������������

���$%�

��'��)�

�0

n

aa

���������� _�������!�'����-�)��

��-�)��

��%��-�)��

��

8�� ������+������,� ����������� ��������� ����������;�������� ���� ���������

��������� ������/�D�+

������� �������������������������������������������������������

�� &������!�'�$-2�)�2-

$�������� ���� �� ���=�a�������#

������

$����

2�'�)

3

2

−�'�

3

2(

���$����

��2����

$�2�'�

0

2�'��(

���$�2�'�)�

1

2�

�� &������$�'�2-3����-

2���$-

$���-�)���������� ���� �� ���=�a�������#

������

$����

2����

3�'�)�

3

i(

���$����

��2����

��3����

$�2����

$�3����

2�3�'�

2

3(

Page 120: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'#� � � � � �

���$�2����

��$�3����

��2�3����

$�2�3�'�

1

3

−(

���$�2�3�'�

31 i+−

���� ��

����������������� �������

$��%���

��∈������≤�3���-�������������+� ������������

!�∈��A-B���������������������������� �������

$��%���

��

>���?�����������������#

:��'��

�����

$���%����

�(�:

$�'��

��$����

��2���%����

�)�����%��:

��'��

��$%�

��

����#

!�'�-�

�)�:�-�)�

���:$-�)$

�)�%����)��

:�

����� �����������

�� C�������������������� �"�+��������+� ����� ���!�'�-3D

���-2$

�)�$-0���-���2� ��+� �����

�-�)��$�

!�"�����

8�,�� ����+� ����� �!���+��+����� �� ���-�)���

!�'�!������1

1!X −

!���

�����

2( 1)2!

X −!�

�$�����������

49( 1)49!

X −!�

�3D����1�����#

!�'�!������1

1!X −

!���

������-�)��$

(2) (1)2!

f⎛⎜⎝

���������

47(49)( 1)

(1)49!

Xf

⎞−⎟⎠�

@�� �������������"�+��������������������������������� �"�+�������� ���!� ���-�)��$�����

!������1

1!X −

!���

�������� �,������,� �����H

�� @� �� ��������� �"�+��������+� ����� ���!�'�-25

���-2���2-�)�0� ��+� ����� ��-�)��

$��-�

!�"�����

8�����������"�+���������������������!�'���-�)��$��-��$����-

$���%-�������������������

U��;�������������������#�%#���+������"�����������������������#

8������ ����"������;�����#

��'���⇒�!����'���&�%�&���������������������������&�%�&���'�)�$�

��'���⇒�!����'����������������������'�)�0�

1�����������������,� �����+���������������;������;�������!� ���������#

!�′�'�$�-�,�-��$����-�,�

$��$����-�,�

$��-��$′���$�-���%� �$

���������'���"���!� ��������$��;�����#�!�′���'�$��&�%����������$����%�'�32�

@����������+������,� ������������� ����;������

Page 121: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'$������������������������ ������������������������������� ������

�� C���������������+� ������ ��!�∈��A-B�����������!�����!��'�$������!��������������,�;� ���

�-�)�����

������!�)������������,�;� �����-��������

!�"�����

1����!�����'��-�)�����

��$(�!�)���'��-�������

��*��8�������+������������#

!�′�'���������-�)�����$����-�)��

�����$′�'��-�)��

��������$����-�)��$′�'

'��-�)����

��$�� ����

1�� �!�������������������!� ����������#

!�′�'���������-������

*����-�������

��*′�'��-������

�������*����-�����%′�'��-�����

��*�����$

8���������������-�)����

Q�!�′����������$����������-�����

�Q�!�′�8��������+� ������ ���-�)��

��

�����-�����

������+�����"������ �������������#

A�-�)�������-����

B�Q�!�′�⇔��-$�)��

�Q�!�′�⇔�!�′�'���-

$�)��

����∈������≠�������������!�′����!���� �$��

&�����������!�′�'���-$�)��

�'���

0

( 1)n

k

k=−∑ k

nC �-$�,"

�'���

0

( 1)n

k kn

k

C=

−∑ -$�)$"

1�����#

!�'���

0

( 1)2 2 1

knk n

k

Cn k=

−− +∑ -

$�)$"�����%

8��������!��������'������!��)��)���'����;������������� #

0

0

( 1) 12 2 1

( 1) 12 2 1

knk n

kkn

k n

k

Ca b

n k

Ca b

n k

=

=

⎧− + = −⎪ − +⎪

⎨⎪− − + =⎪ − +⎩

:�,� ���%�'��������'�

0

1

( 1)2 2 1

knk n

k

Cn k=

− − +∑�

�� C������� �� �,��4 4 4 41 2 3 4x x x x+ + + ��������

����

$���

2���

3�������������� ��+� ����� ��

-3���-

2�)�2-

$���-���$�'���

!�"�����

������:"�'�

kkkk xxxx 4321 +++ ���� ������+���� ��������� ������ �� ���=�a����;�����#

������

$����

2�'�)�(��

��$����

��2����

$�2�'�)2�

:�,� ��#

:��'�)��(�:

$�'���

�����

$����

2$�)�$��

��$����

��2����

$�2�'���)�$�)2�'�5�

&�������� �� � ��� �� � ���������:2��:

3������������������� �+�� �����

����

$���

2���

3����� ���

��������������#

4 3 21 1 13x x x+ − ����

����$�'��

4 3 23 3 33x x x+ − ����

2���$�'��

4 3 22 2 23x x x+ − ����

$���$�'��

4 3 24 4 43x x x+ − ����

3���$�'�� �����

Page 122: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$''� � � � � �

>�+������� ��������!� ��������������

$���

2�����+�������

3���;�����#

3 21 1 1

1

23 1x x xx

+ − + + �'��3 23 3 3

3

23 1x x xx

+ − + + �'��

3 22 2 2

2

23 1x x xx

+ − + + �'��3 24 4 4

4

23 1x x xx

+ − + + �'��

1��������� ��+������!� �������;���������,� ��#

:2���:

$�)�2:

����3���$�

1 2 3 4

1 1 1 1x x x x

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠�'�� �$

>����

1 2 3 4

1 1 1 1x x x x

+ + + �'�2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 2 3 4

12

x x x x x x x x x x x xx x x x

+ + + −= �

:�������� ���$��;�����#

:2���:

$�)�2:

����3���$��

1

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�'���⇔�:2�'�,:

$���2:

��)�2�'�)5�)�2�)�2�'�)��2�

:�������� ������������������ ��+������!� �������;�����#

:3���:

2�)�2:

$���:

����6�'���

8�������:3������ �,������ �� � �

�� C������������+� ����� �!�'�-3���-

2���-

$���-���������������� ���

����

$���

2���

3�

� C��������������!������������� ���"�'�����

25kπ

���������2

5kπ

��"�'�1, 4 �

; C��������������,���� ���������2

5

k�����

4

5

�����

6

5

k�����

8

5

kπ�'�)��(

����������!� �����������

4

51

5

2 +−=π�

!�"�����

� 1����-0�)���'��-�)����-

3���-

2���-

$���-������������������� �� ���!�������������� �

��������� �0�� �������������� �����������

�8����0�'��������'������������������������

"�'�����

0 2

5

k+ �������

0 2

5

k+ π��"�'�0, 4 �

; &������� ������� ���=�a����� ������� �����������3����

2����

$���������'���������

������

$����

2����

3�'�)���⇔�����

2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π��

&��������2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π�'�)��

Page 123: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'������������������������� ������������������������������� ������

I����� ������+���� ����� ���;�����#

����2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π�'�)���⇔

����2

5

�����

4

5

π��������$π�)

4

5

π��������π�)

2

5

π�'�)���⇔

$�����2

5

�$�����

4

5

π�����'���⇔�$�����

2

5

�$��$����

$�

2

5

π�)�������'���⇔

3����$�

2

5

�$�����

2

5

π�)���'���������������!���� �� ���� ���"�����

2

5

π�

:�,� �������2

5

π�'�

1 5

4

− +������ ����� �����+�,���������������

2

5

π�∈� ⎟⎟

⎞⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

2,0 �

�� C����������������������������,� ������������3�)��

2���$�

$�)������$��'��������������+������

����������������������!� ����+������ ��� �� � ��������

!�"�����

���������

$���

2���

3�∈������������ ��+� ����� �����������

��$�'��

2�3�

8����� ���� �� ���=�a����������#

�������

$�����

2����

3��'��

�������

$��

2����

3����

��$����

2�3'�$

�������

$�

2�3����

2����

3�

��$��'��

����$����

2�3�'�$�

8���������2�3�'��

��$�����������!� ���������������

�����

$����

2����

3���

��$�'���

8����������$�'���'��

2�3��>� �������"����+��������������;�����#

�$�'�$��⇔���'�$�������'���

8������'��������������������3�)��

2���$�

$�'���⇔��

$��

$�)�����$�'�������

8������'�$������������$�'��

2�3�'�$��1�������� ��������������

�����

$��

2����

3��'�)$������

"�+���������+�������������������������������������������������������� ��������

$���

�2����

3��:�,� ������������ ��;�����#

1 2

1 2

12

x xx x

+ = −⎧⎨ =⎩

�����3 4

3 4

21

x xx x

+ =⎧⎨ = −⎩

�����

�� @� �� ������'�������������%���������������

!�"�����

����� �� �������������;�,��,��+�� � ��������� ���� ��� ���=�a���+������+� �����

!�'��-�����-���%�-�����-����

&������ ������������!����>���

!�'�-3��������%��������-

2�����%�&����&����&�%��&�%��&���-

$��

����%��&��%��&�%���&����-����%���

Page 124: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'�� � � � � �

1�����

��'�!����'����������%�������������%�&����&����&�%��&�%��&�����

����%��&��%��&�%���&��������%���

�� :�,� ������������ #

2 2 2

3 3 3

228

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

���#�=#���∈���

!�"�����

@� �� ����=������&�=������=�#

$��=������&�=��'����&�=�&��$�)���

$���=

$����

$�'�3�)�$�'�$�⇒��=������&�=��'���

8����2���=

2����

2�)�2�=��'����&�=�&�����

$���=

$����

$�)��=�)����)�=������������=��'�$�

1������

21

2

x y zxy xz yzxyz

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ =⎩

��

C������ �����������P��� ������������������!���� �� ���� ����2�)�$�

$�����)�$�'���

7��������������P��� �������#����)�$��$�����'������������������ ���

��'�$(��

$�'��(��

2�'��)���

C������ ������������������4��� ����#

�$�����)��(��$��)����(�����$��)��(�����)����$(��)�������$(��)����$����

�� ���������

$���

2���

3��������� ������������

3���2�

2�����

$���$��)�2��'���

���������������������!���� �+���������������� ��=��'��

$����'�1, 4 �

!�"�����

@� �� � ����� ���:"�������������������������"���������� ����������

���������;���������=�'��$����!����������-+�����������������������������������������������

"������������ ���������"������� ���� �#

4 3 2

2

3 2 3 0x x ix x iy x

⎧ + + + − =⎨ =⎩

��

1���#���$$���2�

$��������

$���$��)�2��'���⇔�=

$���2=

$���������=���$��)�2��'���⇔

⇔���2=���$���=$����=�)�2��'���⇔���'�

2 33 2

y iy iy

− − ++

��=��� ���������=�≠�)23

H�

:�������� ������;�����#

=�'�

22 33 2

y iy iy

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

⇔�=�2=���$$�'��)=

$�)��=���2�

$�⇔

⇔�=3����$��)�D=

2�)��4�����2=

$���$=�)�D�'���

Page 125: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'������������������������� ������������������������������� ������

����� ��������

�� 8������������#�%#���∈�������������������� ��$��)$������������������� ����������#

�0�)�5�

3����0�

2�����

$���%��&���'����8������������� � � ������������

�� 8���������������������+� ����� ���!��������������������+� ����� ���$����,� ������!�Q�$F

=���������������������������#��-�DD6

�)��� �-0�)�-

2���-

$�)���

�� 8����������������� ������ ��+ ��������� ��������� �����������#

� �3���3�

2�)�$�

$�)��$����D�'������'��(

; �0����

3�)�4�

2�)��3�

$�)�����)�2�'������'�)���

�� 8������������#���∈������ � �"�����+� ����� �-3�)���-

2���24-

$���3�-���2���'��������;�

������������+ ��

�� C�������+� ����� �!�'�-3���2-

$���-

�)��������������+������� �� ��#

��-����(�;�-�)���

�� 1 ��������� �"�+��������+� ����� ���!�'�-2�

�)�-�3

���-$���2-�)��� �#

���-����$(�;��-�)��

$��-�+���

������������

$�∈����������� ������������

$�������$�'����@� �� ���#

��2 21 2x x+ (�;�

1

1

13 1xx

++

���2

2

13 1xx

++

(

��

21

12 1xx −

��

22

22 1xx −

(���

4 21 1 1

21 1

3 2

2 3

x x x

x x

+ + ++ +

���

4 22 2 2

22 2

3 2

2 3

x x x

x x

+ + ++ +

���C������ ���������� ��������

$���

2�� ����������#

��2�2����2��)�3�

$�)��3��)��������'���������������

��$�'��(

;��2������)� 2 �

$�)�$�'�����

�����

$�'�)���

������������

$���

2��������� ������������

2�)���

$���$�����'����C������ ��������#

��

1 2 3

1 1 1x x x

+ + �'��(�;�2 2 21 2 3x x x+ + �'��

��$�2(���

3 3 31 2 3x x x '�2�

��$�2�

�������������

$���

2���

3��������� ������������

3������

2�����

$���0�����$3�'���

C�����������������∈���"����,��� �#

��������

$����

2�'������

3(�;��

�����

$�'��

2����

3(���

2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �'�2��

�����������������2����

$������)���'������∈���

C�������������������� � �"����2 2 21 2 3

1 1 1x x x

+ + �M�4������������

$���

2��������������� �����������

������������

$���

2��������� ������������

2�)��

$��������'����@� �� ���#

��3 3 31 2 3x x x+ + (�;�

4 4 41 2 3x x x+ + (���

5 5 51 2 3x x x+ + (���

1 2 2 3 3 1

1 1 1x x x x x x

+ ++ + +

Page 126: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$' � � � � � �

����� ���������

$���

2���

3��������� ������������

3����

2���2�

$�)�����$�'����@� �� ���#

��2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + (����

3 3 31 2 3x x x+ + �

44x (�����

4 4 4 41 2 3 4x x x x+ + + �

; 1�� �������������+���������������3����

$���������)���'���

������������

$���

2��������� ������������

2�)�2�

$�������2'���

C����� ����,���������������!���� �� ����� �������������� �#

�� ��� $�� 2(� ;� ��� )� ��� �� �� �(� �� =�� '� $� )� �

��� �� '� 1, 3 (� ��=

��'� $� ��

1

ix� �� '� 1, 3 (

��=��'�

2 3

1

x xx+

��=$�'�

1 3

2

x xx+

��=2�'�

1 2

3

x xx+

(� �=��'��

$�2(�=

$�'��

��2(�=

2�'��

��$�

NNNN

���C����������������������� ������������������������������ ����� �#

���2�)���

$�����

$����������'�����#���∈��(�;��

2�����

$���%������'�����

$�)�2%�<�����#�%#���∈���

�������!�∈��A-B������������� �������$��%���

��

� C��������������

nxxxxxxxf

xf

−++

−+

−=

′ 1...

11

)(

)(

21�

; 8���������$��%���

��)���������������� ���� ������������ ������������

�)���'���

�������� �� �,��

1 2

1 1 ...1 1x x

+ + +− − 1

11 nx −− �

���C�����!��������������������������������� ������������������� ����������

�2�����

$���%������'������ ��#

��"��+��!����������������(�;�"��+��!������!����������

�������!�∈��A-B��!�'�-2����-

$���%-�)��������������� ��������� ���!� ���C�������������#

��|�|�'�|%|(�;�������"��+ ���!����∈������������#�%�∈���

����C�������������$�2���$��

�����$���3���������%�'�����#�%�∈���

� C�����!������������ �����"�������������������+����������������%�

; C��������������������������� ���������� �����������+������������� � ���A���2B�

����C�������,� ���"�����+� ��� 3 #� 3 �3�)�3�

2�)�4 3 �

$���3���� 3 �'���

����C���������������!�∈��A-B���� � �"�����!�'�!�′���-�

����∈��N�

����:�,� �����"���� �������#

��

2 2 2 63

2

x y zxy xz yzxyz i

⎧ + + = −⎪+ + =⎨

⎪ =⎩(��;�

1 1 1 0

1 1 1 3

12

x y z

xy xz yz

xyz

⎧ + + =⎪⎪⎪

+ + = −⎨⎪⎪ =⎪⎩

��������#�%#���∈����������� � ����������������������������E�����&�%�&���'��(

E���$�&�%

$�&��

$�'��(�E���

2�&�%

2�&��

2�'����C���������������#�%#���∈���

���8������������������������� ����� �����=��������� ����� ���� ������=�����>��(���=���=��&����>��

����=��>�������������>����=�>������>���

N

Page 127: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'������������������������� ������������������������������� ������

��1� *������ �� �� ��������

�����������+� ����������� �����������+ ���������+� ����������� ����������� ��+��,����

�������+������ ��������"�� �!����������-����������������� ��������� ���

�������

8����α�∈��� G���������������������+� ����� ���!�∈��A-B��������� α ��������

�������������������� ���!�

>��+ ������������ ��α����α ������� ��������������� ��+ ��������

���������� @����������+� ����� ���������;� �����!�'�������

�-���%����

�-�

8���!��α�'�����,� ���������

����

$α2

���%�����α�

�'��� ��

U������� �����E�!���"������;�����#

0 1 ... nna a a+ α + + α '���⇔ 0a ��� 1a α �����������

�� α

�'�� �$

������������������+��+������� ������E�!����������� �+�� �����"�∈���⇔ ka '��

"�

8����$����������� α �����������������+� ����� ���

������������ ������ ��+ ��������� ������������1�����#

!��α�'����!���

�α�'����%��!����)��

�α�'������!���

�α�≠���

@�� ����������������������������������������������� ��+� ����� �����

���� ����� ����������� �����,� ��#

!�� α �'����!���

� α �'����%��!���)�

� α �'���

8�����������!���

�α �≠����+���������"����,��������������,� ���!���C

� α �'���

������!���

�α�'���

���� ��

8��� �������� ��������������� �������� ��� �����α� ����� ��������� ��� ��������� ������

�-�)�α�

���-�)�α �

�����-�)�α�

�-�)�α �

������ �������"��������+�����������!������+� �����

������ ��������������

>�����-�)�α�

�-�) α �

�'��-$�)��α��� α -���α α

�'��-$�)�$�:�α-���OαO

$�

1������+� ����� ����!���� �� ���� �������������� ������� �������+�������+� ����� ��

"���A-B�

T����� ���������������������������;��������������������������������+������"�� ������

��+� ������ ��������� �����������+ ������������#

����������)������

����!����+� ����������� ����������� ���1������!����������"����������#

!�'����-�)�α�

1m��-�)α�

$

2m%��-�)�α

pm��-

$����

�����%

1k��-

$����

$-���%

$

2k%��-

$����

-���%

lk�

�����α���α

$��%��α

��������������� ����� ��� ��+� ����� �������� �����������!���� �� ���� �������

+� ������������� ����������� �����������;� ��"���A-B�� ���������������� ��

Page 128: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'!� � � � � �

1�������,� ������������ �"���+ ��������"���+���� � ��������+������� ������ ���������� ��"�

����������+ ��������������+���!�� � ���� ����� �,��+�����������!������� ������ ���������� ��

������ �������������������������������������������������������

����!�'�-��

�)�$-5���-

3��1�����#

!�'��-3�-

4�)$-

2�����'�-

3�-

2�)��

$�'�-

3�-�)��

$�-

�$���-����

$�

8����$�'�-�$

������������� �������������� ��g

f����������������+����"�� ����������+ ����� � #

g

f�'�*���

44

33

221

x

a

x

a

x

a

x

a+++ ���

2222

211

221

)1(1)1(1 +++

+++

++

−+

− xx

dxc

xx

dxc

x

b

x

b������

*���������� �"�+�������� ���$� ��!�

)�*+,%!*-,���,�",� ,#,!��

�� 8����+� ����� �������� ����������� ��������� ��������� ����� ������� �������+���

�� 8����+� ����� �������� ����������� �����!������������������������ �+������������������� ��

1��"��� �������������,� ����������� ��������� ����� �,�������������

>�� �!����������-���������������� ������ ��� �������+� ���������������������#

�� 8�����#�%�∈������<�%����!�∈��A-B���� � �"�����!�����!��%�M�����������!������� �+������

���������"��������� � ���#�%�

�� )�������*����

����!��∈��A-B�������M��

$�M�����M��

���������� ��+� ����� �����������!�′��_��� � ���:� ������

���������������#��!��!��������'�1, p ��������!��!���∞�����!��!��)∞����������� �� ����� ��

+� ����� ���!� ���∞�����+������)∞��1�����#

9 �����"������ � ���:� ���+��������������� ���������� �������������������������"�����

������� �������������������������+� ����� ��(

9 �����"������ � ���:� ���+��������������� ������������������+� ����� ����������������

"����� �������� (

9 �����!���"�'�����������������

"�������������+������!�

������ �������������������������������������������������������

!�'�3-2�)��6-

$���$3-�)�D(�!�′�'��$-

$�)�24-���$3+

:������� �� ���!�′�����������$�

!��)∞�'�−∞→x

lim !����'�)�∞(�!����'��(�!��$�'��)�(�!����∞�'� limx→∞

!����'���∞

���������������� ����������"����;� � ��������#

� )�∞ � $ ��∞

!��� ) � ) �

*;�����������������������������

:�,� ������!���������������������� �#

���∈��)∞������

$�∈�����$���

2�∈��$��∞�

Page 129: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$'"������������������������ ������������������������������� ������

����� �����������

�� C�������,� ������������3�)�5�

2���$��

$�)�$5�����0�'���������������������������$�����

!�"�����

8����������� ����������������� �����,� ������+� ����� �����������������$�)���

�����2���

3��� � � ��������������������+ �-��� ��+� ����� ���

8���+��������� ������� ������� ���=�a����;�����#

�$��������$�)�������2����

3�'�5�����$�����$�)���

2�3'��0�

����������,� ���������� �3 4

3 4

33

x xx x

+ =⎧⎨ =⎩

C� ���� ��������� ���������������� ��+� ����� ���-$�)�2-���2#��

2�'�

3 3

2

i−���

3�'�

3 3

2

i+�

�� C����������������#�%�∈�������������� ��+� ����� ��#

!�'�-0�)�$-

3�)�-

2����-

$���$�-���%�������������������������$�)���

!�"�����

&� ����� �����������������$���������������������+���

�-�)�$�����-�)�$�)���'��-�)$$�)��

$�'�-

$�)�3-���0�

>�+������!� ��-$�)�3-���0

-0�)�$-

3�)�-

2����-

$���$�-���% -

$�)�3-���0

-0�)�3-

3���0-

2-

2���$-

$���$-�����)�$

Q������$-3�)�4-

2����-

$���$�-���%

�������$-3�)�6-

2�����-

$

���������Q������$-2������)���-

$���$�-���%

$-2�)�6-

$�����-

��Q�������)�$-$����$��)���-���%

����)�$-$�)�3���)�$-���0���)�$

����Q���������������4���)�2-�)�0��&�%�����

I����� ����������� ��������;��������'�2��%�'�0�

1������!�'��-$�)�3-���0��-

2���$-

$���$-�����

&� ����� �$�'�-2���$-

$���$-���������!������+��������� ����������� ��������������

+������������������� ��

&����"����������;����������������)��(�� ����� � � ������������������ ���� �� ���=�a��

����+����"�+�������� ���$� ��-�����

*;�����#�1 3

2

i− +��

1 3

2

i− −�

Page 130: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�#� � � � � �

�� � C��������������+� ����� �!�'�-3���2-

2���3-

$����-���%����+������������������������ ����� ��

; 8��������������%�∈������ � �"�����+� ����� �$�'�-3���3-

2���4-

$����-���%������;�

�������������� ����� ��

!�"�����

� 1;��������������� � ���:� ����������+ ������

8���������

$���

2���

3�������������� ������+ �-��� ��+� ����� ����������������� ���� �

���=�a����;�����#

92 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �'���>���

9 ����)��

$$�����

��)��

2$�����

��)��

3$�����

$�)��

2$�����

$�)��

3$�����

2�)��

3$�'

'�2�2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �)�$��

��$����

��2���%����

2�3�'�2����)�$��3�'�)�0�<���

8������������ ����� �� ������������� ������ ����,� �������� �������������;������� ��

+�,�������+����������#������������������ ���������� ��

; *;���������������+������ ����� ������ ���������������� ������������������������;��

����������"����� ����,�������� � ����J������������K�

C���� �� �������������������+�������������� ��+� ����� ���$#

����)��

$$�����

��)��

2$�����������

2�)��

3$�'

'�2 ( )22 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + )��$�

��$����

��2����������

2�3�'�2���3�)�$���4�'���

&����������#�������������������� ���������� ������������������ ������ ���������

���������'��

$�'��

2�'��

3�'�)��

1�������$�'��-����3�'�-

3���3-

2���4-

$���3-�������������'�3��%�'���

����� ��������

���C�������,� ���������� ������������������������������������#

��4�3����

2���0$�

$���D��)��6�'�����

��'�2�(

;��3�)�$�

2�����)�$�'�����

��'�

1 3

2

i−(

��$�3���4�

2���0�

$�)�$��)�4�'�����

��'�)��)��(

��2�2����2��)�3�

$�)��3��)����&���'�����

��'�)��

���8����������������� ����� ���#�%������,� ������������ ���������������������

���2����

$��������%�'�����

��'��)�(

;��3�)�$ 3 �

$�����

$�)�4����4�'�����

��'� 3 ���$�(

���3�����

2����

$���%������'�����

��'������������������������������2�����������(

���3�)�5�

2���$��

$������&�%�'�����

��'�����$�(

����2�����

2��)�%�

0�'�����

��'���)���

Page 131: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�$������������������������ ������������������������������� ������

�� ����!�'�-2���2-���������

����

$��

2��������� ���� �����+ �-��

� @� �� ����!��)���!����

; @� �� ���������+������ ����������� ���

� 8�������������� ��������� ������ ��� ��+� ����� ���

�� ����!�'�-3���$-

2����-

$���%-�����∈��A-B��C����������������#�%#���∈������ � �"����������

"�+�������� ���!� ��-�)������ ���)��0����)���������� ��������������+� ����� ���!�

�� &����,�������+� ����������� ����������� �����!���������������������#

���������� �����+ �������$���������������; ��1

2���

3

2

i(

;������������; �������������������+ �������(

��������������+ ����

�� 8�����+������"�� �������"���A-B�+� ������ �#

��-2���-�)�$( ;�-

0�)��(

��-4����( ��-

3���$-

$�)�2�

�� 1 ���������� ��������� ������ ��� ��+� ������ ��#

��-2�)�2-�)�3( ;�-

3���2-�)�3(

��-3���-

$���5-�)��( ��-

2�)�4-

$��������∈���

����������������2�����)���'��������������� �����+ �-���

����$���

2�

� 8�������������������������������!���������������� �����∈� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

1,2

1�

; 8��������������:���$�'�:���

2�∈��)

12

��14

��|�$|�'|�

2|�∈�����$�

�� 8��������������������� ���������������+���������������������� ����� ���������#�%�∈���

� $�3�)�6�

2����2�

$��������%�'��(

; �3�)�3��

2���5�

$�$��������%�'���

���� 8�������������∈����������������������2����2�) 3 �

$���$��$�) 3 �������'�������������

�������� ����� ��

; C������������������%�∈����������������������3�)�$�

2������&�%�'��������������������� �

��� ��������������� �� �����)��

Page 132: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�'� � � � � �

��2� *������ �� �� ����������

&� ������ �������A-B����� ������� � �������� ���+������ �������� ��������� �������� �������

��� ���1���#

�����

8����!�∈��A-B���������'����� v ������������������ ���!��������#���∈������ v �∈���G���

��������$�'���)� v ������������������������������ ���!�

>��+ ������������ ���������

$������� ��������������� ��+ ��������

���������� ����$�'��- )���)� v �-�)����� v �'��-�)��$�)���'�-

$�)�$�-����

$�)���∈���A-B�

>�+��������"���A-B��!� ��+� ����� �$��;������2#���∈��A-B���� � �"����

!�'�$2������!�������<�$�

������'��-���%���#�%�∈����8���!�����'�������������

����%�'���

8������≠����������������,� ������'�

b

a

−�∈�����������������

8���������'�������+���%�'������������!�'�$��2�

&�����������! ��$�'�$��

$��2��

$�'���

������������ ������ ��+ ��������� ��������������

1������!�����'����!�

����

��'����!�

�$��

��'���������!�

��)���

��'������!�

����

��≠���

8��������+� ������ ���������������������A-B���+ �������� ������������������

��������!���$�'����!�

����

$�'����!�

�$��

$�'����!�

��)���

$�'������!�

����

$�≠���

������ �������������������������������������������������������

!�'�-2�)�-

$�)�3-�)�$�∈��A-B������������� ������ 3 ������)� 3 �

���� ���

�� >�������������������� ����+� ����� ������;����� ��������������� �

�+� ����� �-�)���)� 2 ������������������ 2 �� ����������������������)� 2 �

�� >����,� ��������∈������<������,� ���� ������������������� �;� ����� ����+���!�� � ��

+�����������������������������������������

��'������ v− �������

$�'���)�� v− ���#���∈����

�� 8�������'������ w ���#���∈����� w ∈���G������������������������+� �������

��� ��������������� ��������������$�'���,�� w ���������������

������ �������������������������������������������������������

&� ����� �-2���-

$�)��$-�)��$������������� ������$ 3 ����)�$ 3 ����)�����=��� �����H

Page 133: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�������������������������� ������������������������������� ������

����� �����������

�� C�������,� ������������3�)�$�

2�)�2�

$�)�4��)��6�'��������������������������������� 7 �

!�"�����

@�� ��������������+� ����� ��������������������������$�'���)� 7 �

�� �������� ���� �� ���=�a����+����������+����������#��2�����

3�'��(��

2�3�'�2�

:�,� ����2�'�� 3 (��

3�'�)�� 3 �

�� � C��������������������#�=#��#�<�∈������� 6 ���= 3 ���� 2 ���<�'����������

��'�=�'���'�<�'���

; C������ �����+� ��������� �����!����������������� ��������������� �������������������

3 ��� 2 �

� C����������������������+� ����������� ��������������� ��������������� 3 ��� 2 �

���������������������� �� 3 �)� 2 ��)� 3 ��� 2 ��)� 3 �)� 2 �

!�"�����

� 1����= 3 ���� 2 '�)�<�)�� 6 ������������+������������� ��+�������;�����

2=$���$��

$���$ 6 =��'�<

$���4�

$���$ 6 ��<�⇔�$ 6 ���<�)�=��'�2=

$���$�

$�)�<

$�)�4�

$�

7��������<�)�=��'����� � � �$ 6 ∈�����������������

1���������#��<�'�=�����2=$���$�

$�)�<

$�)�4�

$�'���⇔�2=

$���$�

$�'�<

$���4�

$�⇔

2=$���$�

$���$ 6 =��'�<

$���4�

$�)��$ 6 �<�⇔��= 3 �)�� 2

$�'��<�)�� 6

$�

:�,� ��#�= 3 �)�� 2 '��,<���� 6 ��$�����= 3 �)�� 2 '���<�)�� 6 ��2

8����������$���������= 3 �'�)�<����� 2 '�)�� 6 ������������'�=�'���'�<�'��

8����������2���������= 3 �'�)�� 6 ����� 2 '�)�<�����������'�=�'���'�<�'�����������

; ����!�'��-�)� 3 �)� 2 ��-�)� 3 ��� 2 ��-��� 3 �)� 2 ��-��� 3 ��� 2 �'

'�A�-�) 3 $�)�$B�A�-�� 3

$�)�$B�'��-

$�)�$- 3 ������-

$���$- 3 �����'

'��-$����

$�)�3-

$��2�'�-

3�)���-

$�����

7��������!�������������� 3 ��� 2 ����������� ��������������� ��

1���������3������!���� �������� �+� ����� ����������+������������� ���;�����

����$�'��-�2���%-

�$�������������+� ��������!����2������A-B����$�� 3 ��� 2 �'���

1�����#���� 3 ��� 2 2���%�� 3 ��� 2

$������ 3 ��� 2 �����'���

1�+ � �������� 3 �)� 2 �����;�����#

��0���$� 6 ���%�� 3 ��� 2 ���������� 3 �)� 2 �'���⇔$� 6 ����%�&��� 3 ����%�,��� 2 ���0������'��

:�,� ������ ����+����� ��������$��'�%�&���'�0������'���⇔���'�%�'���'���'���

����-����������+� ����������!����$�������������� ��������������� �������� 3 ��� 2

����������E���� �����H�

Page 134: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$��� � � � � �

� ����*�∈��A-B����+� ��������!����>�3���������������������� 3 ��� 2 �

>�+�������*� ��-3�)���-

�$������;������"���A-B#

*�'��-�3�)�-

�$����2�������������'��-�

2���%-�

$����-�����

8���*� 3 ��� 2 �'�������������� 3 ��� 2 �'���������������� ����;����,� ��

��'�%�'���'���'����1���;������*�'��-�3�)�-�

$����2�

8�������� 3 �)� 2 ��)� 3 ��� 2 ��)� 3 �)� 2 ���������������� ��+� ����� ��

-�3�)�-�

$����������������������������������� ��+� ����� ���*�

����� ��������

�� C�������,� ���������� ������������������������������������#

���3�)�3�

2�)�$�

$����$����6�'��(��

��'���)� 5 (

;��2�)�2�

$�)�6����$3�'��(��

��'�$ 2 (

��3�3�)�2�

$�)�2��)�$�'��(��

��'�

1 3

2

−�

�� 8������������#�%�∈��������������������� �������������������������#

���3�����

2���$�

$���%����2�'��(��

��'����� 2 (�;��

2���2�

$�������%�'��(��

��'�$�)� 3 �

���8��������������+� ��������!����������������� ��������������� ����������������#

��������������+ ��$���������������; ��2�)� 2 �

;�������������+ �� 549 + ���������������; �������

�� 8������������#�%#��#���∈������ � �"��������������0�)��

3�����

2���%�

$����������'���������;�

�������� ������� 2 �

�� C������������������+� ��������� �!�∈��A-B������������������� 2 �3 2 �

�� C�������������������!�∈��A-B��������������3 2 ����������-

2�)�$�Q�!�

�� ��C������������������+� ����������� ��������������� ����������������������� 5 ��� 3 �

;�C���������������!�∈��A-B�����!�������������������������������� 5 ��� 3 �

��C�������,� ������������0�)�04�

3�)����

2���04��

$�����)�04�'�����������������������

3 ��� 2 �

�� C�����+� ����� �!�'�-�0���-�

3�����

��C������� �� �,��!�������������������������������2������������

;�C�������������������� ��0����

3��������∈������≥�$���������+���

Page 135: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�������������������������� ������������������������������� ������

���3� *������ �� �� ����������

&��,������"�����������������������+��������-���������������� ���������� ��� ������

+� ����������� ��������"����!��

�����

����!�∈��A-B��!�'�������

�-���%����

�-�

�����≠�����

��≠���

8����p

q����#�2�'��������������������������� ����+� ����� ���!�����������Q��

�����2�Q��

��

���������� 7�������������"�����������,� ���;��� �� ������+� �����!�����!����≥���

!��p

q�'���⇔��

�����

p

q���%����

n

n

p

q�'���⇔

⇔���2�

������2

��)�����%����

������'���������+��� ����������������� ���

8�������������#�������)�

�����)�

��)$

��2���%�����2�)�

�'�)���2�

�≠�������$

:�,� ��������$������4����2�

(������������#�2�'�������������#�2�

�'��(��������Q����

8����$���,� ������2�Q��������

(�����������2#���

�'�����������2�Q�������������

)�*+,%!*-,

�� :������� ��"����!��� �������+� ����������� ��������"����!���������-���������� ��+������

����,������������ ��� �;���

�� 8����+� ����� �������� ������� ����������±� �� ��� ���� ��������� ������� ��� ������

�������������"����!��

�� 7������ ��� !�;�����!����'���������!��∈��A-B�����������+����� ����������������� ��

���������������� ��������"����!��

&������!�������������� � ������������������� ��� �������+� ����������� ��������"����!�

+����������� � #

� ���������������,�����"����!������������ ��� �;������������������������������������������

� +�������� �� � ��������� ���������������������������� ������ ����������;� ��p

q���

��Q�������2�Q��

������������������������� ����������������

������� �������������������������������������������������������

�� &������+� ����� �-2���-

$�)�2-�)�4��������� ��"����!�����+����� ��±���±$��±2��±4

�����,�����"����!����� ���4�

������ �������)������������������(�!��$�'��������$���������������

-2���-

$�)�2-�)�4�'��-�)�$�-

$���2-���2(�������������� �� ���-

$���2-���2�����

�� � � ������������� ��+� ����� ��(��$��2

�'�3 3

2i− ±

&� ����� ����������!�������������������� ��

Page 136: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$� � � � � � �

�� &������+� ����� �!�'�-3�)�-���$���������� ��"����!�����+����� �#�±���±$�

�������� ������������+���������,����������� ������������!����'���

8����������������������������"����!��

8��������+� ����� ��������������������� ������� ��������������,� ������� �������

������������������������

:�,� �����������+� ����� ����������������� ������������������������������� ��

�� &������+� ����� �$�'�1

2-

3�)�

7

2�-

2���6-

$�)�5-���$����������������������� ���������

����,� ���������������� !�;����#

12�3�)�

72�2���6�

$�)�5����$�'���⇔��

3�)�5�

2����4�

$�)��3����3�'������������� !�;����

��������� ��������"����!��

8���,������������ ��� �;�������#�±���±$��±3�

*;���������������$�������� �����������-�)������-�)�$������ �������

>�+�������-3�)�5-

2����4-

$�)��3-���3� ���-�)���-�)�$�'�-

$�)�2-���$��;����������

-$�)�3-���$�

@� � � ����������������������������������$�)�3����$�'��#��

2�3�'�$�±� 2 �

�� 7�������3�2�)�3�

$�)���)�2�'������������ �����"����!��+����������������� ������������,����

���2��±����±�2�������� ������������

@������������� � ���� �������������+������� ������ ��± 1

2(�± 1

4(�± 3

2(�± 3

4�� ����������

���������,�������� ������� �������������3�

8�+����������� �� ���� �������? �H������+��������32

����� �����������#

3��27

8�)�3��

9

4�)�

3

2�)�2�'����:�,� ������

3

2���������������������� ��

@���������"�+�������+� ����� �$�'�3-2�)�3-

$�)�-�)�2� ��-�)�

3

2������������

������� ��$-�)�2(��;�������3-2�)�3-

$�)�-�)�2�'��$-�)�2�$-

$���-����

$�$��������'���⇔��

$�2�'�

1 7

4

i− ±���� � � �����������������"����

Page 137: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�������������������������� ������������������������������� ������

7-������� ���������������������� ����������������������������� ��������� ������ ����������

+����� ��������� ������������ �������+� ����������� ��������"����!��

1�� � ��������������-�������������������������������#

��������

����!�∈��A-B����p

q������������������� ���������#�2�∈������#�2�'���

1������+��������������∈����������2�)���Q�!����

���������� >�+�������"���A-B�+� ����� �!� ��-�)�p

q��;�����#

!�'��-�)�p

q$��$�∈�A-B�⇔�2

��!�'��2-�)����*�������*�∈��A-B ��

>��+������ ����+��������∈������������;�����#�2�

!���'���2�)����*��

��!� ������"�����8�������������� ���2�)������2������+�����"������ �

��,� ��������2�)����2�

�'���

&�������������2�)���Q�2�

��!������+ ������2�)���Q�!�������������

1�����#������������������������������������ ��+������� ������ ��p

q����Q��

�����2�Q��

�����,�

��������+������ ��������;����+���������� ��������������� ����2�)����+��������������

�� �-������������������� �!����

>����,� �"������������� �+����������� �,��,�����,� ������p

q������������������

>��+���������+�������������������� �� � ������� �!����'��������'�)���

������ �������������������������������������������������������

:������� ��������� ��� ��+� ����� ���!�'�2-2���-

$���3-�)�3�����+����� �#

±���±$��±3��± 1

3(��±

3

2(�± 4

3�

1����!����'�3(�!��)���'��)����

1 �!������'�����2�)���'�2�)��(�� �!������'�)�����;�������2�)���'�)�2�)���'�)��2�����

@���������2�)���Q�3���������� ���������2

1��

1

3

−��

1

3��

2

3��

4

3�

8��������������������1

3

−��

2

3����� ������� � �����������#����&�2�����������

@� ���$�+���;� ������������ ���?��������� ������H

>����!��)1

3�'�)�

16

3�≠������!��

2

3�'����8����

2

3���������!�������������������� ��

Page 138: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�!� � � � � �

����� ��������

�� C�������,� ���������� ������������������������������� �#

���2���$�

$�����)�3�'��( ;�$�

3����

2�)��

$�����)�2�'��(

��$�3�����)�4�'��( ���

2�)�2����$�'��(

��2�2�)�����$�'��( ����

3����2�

2�)�3��)���'���

�� =��� ������������������ ����������������������������� ��������� �#

���3����

$�)�$�'��( ;�$�

2���2�

$�)�0�'��(

���2���$��)���'��( ��2��

2�)�2��

$�������)���'���

�� 1 ������∈���+���������������������������������������"�����!��

���2�����

$���$��)���'��( ;��

3�)�$�

2������)����)���'���

�� 8�������������∈������ � �"��������������2�)�����������$��'��������;���� �+������

���������������� ��

�� C��������������+��������������������+�������������$�)�2������������'������������������

������� ��

���8��������������!� ����� �#

���3����4�

2�)�4��

$����4����43�≥��������∈���

;��3�)�$�

2���$�

$�)�$������≥��������∈���

�� :�,� ������������ ���������� �#

�� 143 ++− xx �'�2( ;�43 121 −+− xx �'�)��

���C�������,� ���������� �����!����������#

������2��)����$���)���������)�������'��(

;�������)�������'�3���������$��(

�����3�����0���

2�����������0���

$������

$��������������

2���)��$���

3���'���

�� C������ ���� ��� ������+�������������!P�� ������!� ����������P�� �� ����� ���!� ������

������P�� ��;�,����!� ��������&����������� ������� ���������;������� ��� ���-��F

���*�;��������� ��; ��+������������� ���������4������8��� ��������� ���������+��,����

+����������������� ������� >���������������;������ ������� ����;����������������;�,�

+�������C���������������� ��� �������������+��������4������2�

N

N

Page 139: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�"������������������������ ������������������������������� ������

����� + ���������� ������ �����

7-�����+� �������!�������� �����������+ ���������������������� !�;�����!����'����������

+��� ����,� ������������+���������������-��������������� ���� ����������+�������!������

�������� ���

����������+��"�������������������������+���������������� !�;����������+��� ����,� ����

�+�������������������

���+ ������ �����C��������������� �������

3���%�

$�����'����������#�%#���∈������≠���

@����;����������$�'�=��;�����������������!���� �� ���� ����=

$���%=�����'��������� ���� ��=

���=

$�

C� ���� �����������;�+����������� ����,� ������������ �#

�$�'�=

�(��

$�'�=

$�

������ �������������������������������������������������������

�3���2�

$�)�3�'�����������

$�'�=�����;������=

$���2=�)�3�'������������������ ��=

��'��(�=

$�'�)�3�

1�����#��$�'��������� ���� ���

���$�'�±���

�$�'�)�3������� ���� ���

2��3�'�±�$��

����+ ��������C��������������� �����-

�'�����������∈��N�����∈��N�

:�,� ������ ��� �� ���� ��������� "�� � ���� ��W?��� +���� �� ��������������� � !�;����� ��

���!�����������

������ �������������������������������������������������������

C�������,� ������������2�'�)�$���$��

&�������4������ 5

���#���'���&�%�(���������������&�%�2�'�)�$���$��������� ������+���� ����� ��������!�����

�;������������� #

3 2

2 3

3 23 2a aba b b

⎧ − = −⎨ − =⎩

������������!������!���� �2

1�������������� ���;�������2�)�2�%

$���2�

$%�)�%

2�'������"�+����������%

2��+���������%

���+����� ��������#

3ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�)�2ab

���2

2ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)���'���⇔�=2���2=

$�)�2=�)���'������������������

a

b�'�=�

*;��������� ������������ ��=��'������=

2���2=

$�)�2=�)���'���=�)����=

$���3=����

1������=$�2

�'�)�$�±� 3 �

Page 140: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�#� � � � � �

C������ ��?�������� ��������� �

3 23 2

1

a abab

⎧ − = −⎪⎨ =⎪⎩

��

3 23 2

2 3

a abab

⎧ − = −⎪⎨ = − +⎪⎩

�����

3 23 2

2 3

a abab

⎧ − = −⎪⎨ = − −⎪⎩

C�������������������������������"� �������"��+����������,� �������������������+ ��"����

@����������

&�������4�������� 5

C������������;� ��������!����������#���'����������������������+ ���� ���� �

�"�'�

n r �����2k

n

θ+ π��������

2k

n

θ+ π��"�'� 0, 1n −

>����,� ����������'�O�)�$���$�

�O�'�

24 4+ '� 8 �'�$ 2

��'�$ 2 �1 1

2 2i

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�'��$ 2 �����

3

4

�������

3

4

π

:�,� ����"�'�

3 2 2 �

3 32 2

4 4cos sin3 3

k ki

π π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟+⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���"�∈�.������$/�

�����

���'� 2 �����

4

������

4

π(��

��'� 2 �����

11

12

�������

11

12

π(

�$�'� 2 �����

19

12

������

19

12

π�

�����+ ���������

C��������������� �������$�

���%��

�����'�����#�%#���∈������≠���

:�,� ������ ������ ����+������;�����������

�'�=�������������� ���������������!���� �� ���� ��#

=$���%=�����'���

������ �������������������������������������������������������

�4�)��������

2�����'��

�������2�'�=��1���#�=

$�)�������=�����'��������� ���� ��=

��'��(�=

$�'���

:�������� ����;�����������;������������� ��;�����#

�2�'���'����������������(��

2�'���'�����

2

�������

2

π�

Page 141: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�$������������������������ ������������������������������� ������

7����������������4��� ����#

�"�'�����

23kπ

���������23kπ

��"�∈�.������$/(

�′"�'�����

22

3

kπ + π

���������

22

3

kπ + π

��"�∈�.������$/�

�/��+ ������ �� �

������

����!�'�������

�����%����

���

�����≠���

&� ����� �!������������������������+������������"�'� 0, n �������"�'��

��)�"�

>����������,����������� !�;�����!����'����������������� ��������� �

)���)������

���+� �����!����!���������������+�����������������������!�'���

!�

1

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

>���?������#

��

!�

1

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�'��� ⎛⎜⎝�

�����

���

1x

����$��

1x

���%�������

1nx

⎞⎟⎠�'

'�����

�������)�

���%������'��

���

�����)�

��)�

���%������'�!�

� �0 !,"/-!���,�0��!*��#,�� � ,%!0 �%,

�� 8����!���������+� ���������+�������α������������������������������α1

�����������������

����������� ���!�

�� ���+� ���������+�������!������+����������������)���

�� @��� �"�+�������������+� ���������+���� ��-����������+� ���������+����

���������� �� 8����� ����������,� �����������!��α�'����������!� ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α1

�'���

�� U���"���� ��������� ��������'�)����;�����#

!��)���'��)��

�!��)���⇔�!��)��'�)�!��)��⇔�!��)���'��

��������-���������� ������� �������+������#�!�'��-����!��

�� :� ����������������-����!��'�-

�� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +1

1

X�!�� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

X

1��������!

��'�-

�)��!�

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

X

1�

8����!������� ������� �����+� ���������+�������!������)������������

Page 142: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�'� � � � � �

�,1��2� ,��,%$�-!!�� � ,%!0 �%,

� 8�������+�������!���� ����������������������������������)��

>�+�������+� ����� �����+���� ��-�������;���������+� ����������+�������!����

� ���� ��������,� �������������;�������

������ �������������������������������������������������������

�2���$�

$���$�������'��(��

��'�)��

�2���$�

$���$�������'�����������

$��������

�$���������'���⇒��

$��2�'�

1 3

2

i− ±�

� ,���+����������!���!���

����!�'�������

������

$�$����

��2����

��3

�$�

8�����������≠���+�����"�+�����"���$�+�����

$��*;�����#

���$����

������

$����

1

x����

���

2

1x

�'���⇔���

22

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

�����

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

����$�'��

��������;������������1

x�'�=(���������������#

���=

$�)�$����

�=����

$�'���⇔��

�=$����

�=�)�$�

�����

$�'�� �2

���������������������,� ���������������������+�����

7�����������������������,� ����������������2(��;�������� ���� ��=���=

$�

1+�����,� ����������� ����,� ����#����1x

�'�=�(����

1x

�'�=$�����

������ �������������������������������������������������������

�3���2�

$�)�$�

$���2������'���⇔��

$���2��)�$���

3

x���

2

1x

�'���⇔�2

2

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

��21

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�)�$�'��

⇔��=2�)�$���2=�)�$�'���⇔�=

2���2=�)�3�'��������������� ��=

��'��(��=

$�'�)�3�

1����� ����1

x�'���⇔��

$�)�������'���⇒��

���$�'�

1 3

2

i±�

����1

x�'�)�3�⇔��

$���3������'���⇒��

2��3�'�)�$�±� 3 �

� ,���+����������!���!���

:��������� ��������'�)�������+���"�+������+� ����� � ��-�������;����������������

����+��������!���� �3��@������������ ��+����� ����������

������ �������������������������������������������������������

�0���2�

3���3�

2���3�

$���2������'����>�+������ �������������P���� ���R������

�0

�3

�2

�$

� �

)�� � 2 3 3 2 �

� $ $ $ � �

Page 143: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�������������������������� ������������������������������� ������

1�����0���2�

3���3�

2���3�

$���2������'���������

3���$�

2���$�

$���$�����

�3���$�

2���$�

$���$������'����|�#��$

22

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

��$1

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠���$�'�������

1

x�'�=�

�=$�)�$���$=���$�'���⇔�=

$���$=�'���⇔��=

��'��(��=

$�'�)�$�����

���� ���

&����,� �!����� #� �� �������� ����+��������!����$"� ��� ��,� ���+���� "�+�������� ���"

��������������������;��������������1

x�'�=�

7����������������� ���������������!����"�

*�������������+��������!����$"����������,� ��������������+������� ������!� �����)���

��+���������,� ������������������"�+�������� ��;����� �-�����

C���;�������������������+��������!����$"�����

����� ��������

�� C�������,� ���������� ��;�+������#

���3���5�

$�)�6�'��(�;��

3�)�0�

$���4�'��(������)��

3���������

3�'�$�

$�

�� C�������,� ���������� ��;�����#

���2�'�6(�;��

3�'�)��(����

0�'��(����

4�'�)���)�� 3 �

�� C�������,� ���������� ���������#

��2�3���$�

$�)�0�'��(�;��

6�)������$��

3�����)���'��(

���4���������$ 3 �

2���3���$ 3 �'��(����������

���)��

0�����'���

�� C�������,� ���������� ������+����#

��$�2���0�

$��0����$�'��(�;��

2���3�

$���3������'��(

���3�)�$�

2��2�

$�)�$������'��( ���

3�)��

2�)����

$�)�������'��(

���0���2�

3�)����

2�)����

$���2������'��(� ��

0���2�

2���2������'���

���C�������,� ���������� �#

8x ix i

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�'��(�;�������3���2�

$������

$��$�

3�'��(����$�����

2����$��)��

2�'���

�� &����������� ����� �� ������������ ����������������������������� ����� �F

����2����������

$���������������'��(�;��

3�)��

2����

$�)�������'���

�� :�,� ������������ �#

����$�������)��

$�'���

$����∈��(�;��

3����

2����

$���0����$0�'��(

���3�)�0�

2���$�

$���0������'��(����

2�)��������

$����$�������)��

$�)���'��(

���3���3������'��(� ��

3�)�3�

2�)���'���

N

Page 144: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$��� � � � � �

$������������ ���

�������

�� C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� �$-

2��������$-���1∈��

2A-B

��� �����������;� �

���8�����+������"�� ���������������;� ��+� ������ �#

��-3���-

$���-���1∈��

$A-B(

;�-3���$-

2�)�-

$���$-�����∈��A-B�

�� 8�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� ��������0A-B���������;� �

�� @� �� ����������������������������������� �+� ������ ��#

-2���-

$���-���������-

3�)�-

2���$-

$�)�-�����

U��+���� ����#�30��������

[����#��$+(�������+(�;�$+����$+�����$+����+������ �����

�������

�� C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� �-

2��� 2�-��� 2 �∈��

2A-B

��� �����������;� �

�� 8�����+������"�� ���������������;� ��+� ����� #

��-3���-

2���-

$���1∈��

$A-B(

;�-3�)�$-

2�)�-

$�)�$-�����∈��A-B�

���8�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� �����������;� ������5A-B�

���@� �� ����������������������������� �+� ������ ��#

-2���-

$�)�-�)�������-

3���-

2�)�-�)���

U��+���� ����#�30��������

[����#����$+��������+(�;�$+�����$+�����$+����+������ �����

Page 145: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$�������������������������� ������������������������������� ������

������

������C���������������α��β�∈������ � �"�����$-$���-�����'�-�-�)��α-���β

; @� �� ���

2

1

2 1lim!

n

n k

k kk→∞ =

+ +∑ �

�� � 1 ���������������� �+� ������ ��#�-2���$-

$�)������-

3���-

2���-�)���

; :�,� ��������������3���������������

�����)���)���'�������������������������

����+����������������∈���

�� ���������

$���

2�∈����������� ������������

2�������3�'���

� 1���������������������������!���������������� ��

; @� �� ����4 4 41 2 3x x x+ + �

U��+���� ����#�D���������

[����#��������0+(�;���0+��������0+(�;���0+�������+(�;�$+���+������ �����

������!

�� 8�����������+� ����� �!�'�-3����-

2���%-

$�����∈��A-B������������������������2�������

����� �2D� ��"�+�����������-�)�$�

�� &� ����� �!�∈��A-B���� ��"�+�����������-$�)�5-���0����������!� �������� �

8�������������#

��!�����!��≤�2(

;�!������������������� ����� ��

�� � 8�����+������"�� �������+� ����� ��$�����

�)���

; 8���������!� ����� �#�

1

2 1sin2 1 2

n

nk

k nn=

π +=+∏ (�

1

1cos2 1 2

n

nk

kn=

π =+∏ �

�� ���������-���-$���

�'�������

�-����

$-

$���%����

$��-

$���

@� �� ���#����)��

�����

$�)�%����

$��(��

����$�

$���2�

2���%���$���

$���

U��+���� ����#�D���������

[����#����2+��������+(�;��+�������$+(�;��+�������+��* ����#��+�

Page 146: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$� � � � � � �

67+89

$��������� ���� �������4��������������������5

�����

�������%�∈����%�≠����1�������-�������������������������������"����!��2������� �

"�������'�%���2�&��������≤����M�O%O��2��������������� �����+����������� �"�+�������� ����� ��%�

������� �������������������������������������������������������

:���� �"�+�������� ���0�� ��)4������$���������� �)6�����������0��'�)4����)6���$�

:���� �"�+�������� ���)3�� ��0������3���������� �)D�����������)3��'�0����)D���3�

������

�������%�∈���������������∈��� ������������� ��������������,����������

������ ��������%�����#

9���O��������O�%�������������,��������(

9���������O�������

��O�%���������

��O���

@� ��������������,����������"���� ������;�� ���������������

@� ��������������,���������� ������� ������%���������,������%�

8��������%�'���������� �����%�����������+�����"������ ��

&���������������������'��������������� ����∈���

�������&,�,3!+",*-/'

�������%�∈����1������������������ ������� ��������%��-������>��+ �����������'�����%�

��������-�����"��*�∈������ � �"�������'��*�&�%"�

>��+������ ��#����%�'���⇔��-�����*��"�∈������ � �"���������*�&�%���"�'���

Page 147: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

�����()��������)

Page 148: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

*������������ �

����������� ���������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������

���������� ���������������������������������������������������������

��������������������� �������� ��

���!������� ��"��������������������"������������������������#���

�������$����������������������%����������� ���&���������������������

������' �

(����' (����)

$������������������������������������������ 23

������������������������′�′��

*���������������������������������������� ���������)���!����������������+�'�

��������������,���������-������������./00 ���������������1��������) 2

3�"��������������45��'6�"������������������������1��������������������

�1��1n

����"�������

2kn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

2

3

kn

$���%�������&����������������

23 3

1

( 1)(2 1)16

n

k

n n nk

n n=

+ +=∑ ����������→�∞������13

7����������������������������������������������������������������������

�������������1��������������������������������������������� �������������2

����������������������������������������������������

*��������� �� ������� ��� ����� �� ����� ����������� ��� ������ ��1��� ���

��������������������

8������������������������������������������������������������������������

���������� ����������"��������������������0�����9:�������#�������;� ��1�

;� ��1�����!������������������� �������"���������9:���������� ������������

�� �����"�������������'<<= �

Page 149: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

>��������������������������������������� ���2

(������������������������→������������ �!�������������� �2���→������������������

�����������������2���→��?

*���� ��������� ������ �� ����� �� ��������� ��������� ��� ������� �� ���� ��

���������

3���������������2

�+��7�:�+

(����⊂�����������������2���→�������������/������������� �����������

���������!�������������� �2���→���������"����2

' �������� �������@

) �′�� �+���� ������∈���

(������� �����������������������������

������� �������������������������������������������������������

�� *�������������2���→������� �+��A��������������������

'2���→����

'�� �+�

4

4

x�

�������� )2���→����

)�� �+�

4

4

x�B�)�

�� (������� 2���→���� �� �+�C)��������������������������������2���→������� �+�)�������

�������

(����⊂�����������������2���→�������������D���� '��

)2���→������������

����������������������������!�����������������������������"����2

'�� �+�

)�� �B�������∈���

���������� '����

)����������������������������������� ���������

��� �+� 1F ′ �� ����� �+� 2F ′ �� ������∈�������

� '�C�

) ′�� �+� 1F ′ �� �C 2F ′ �� �+�5�������∈���

�E������������ �′�� �+�5���� ���∈����������� ��� �+����������������������

D��������!������������������������"����� '�� �C�

)�� �+��������∈���

9:�����������������1�������������������������� ��������������!����

�������������������������������������� �����

9:���������������������������������������%�����&�

>����������1�������1���������������������������������������������������

������������������ �������������������������������������������������������

��������������������������������"����1�����������������������

Page 150: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������

�� D���� 5��������������������������2���→����������������������������

��� 5�B���������������������������������������������������

D����� ��� ����� �� ������� ������ �� ���������� ������� ������ �� ���������� �

���������D�����������������������"�����������%��������������&�"�������

%���������������&�

�� D��������������������������!�������������������������������������������

���F������"�����������������������������������

3�������1�����������!����2�������������������2��G�→������� �+��@

��������� ����2��G�→�������������� �� �+�

2

2

x������� �+�

2

2

1, 02

2, 02

xx

xx

⎧+ <⎪⎪

⎨⎪ + >⎪⎩

��������� ������G������������������������������

>������� �C� �� �+�{1, 02, 0

xx<> ��������������������������

>�����������������������������������������������D� ��!���������������

!�����������2

���������

7������������������������������������D� ��!�

���������� D�������������2���→�������������������������!�������������� �2���→��

������������ �����>���������������������������������� �����������

�������������D� ��!��$�����������������D� ��!�

����� ���

�� D�����2���→���������������������"�������� ����������������������������������

��������������

�� D���� � 2���→�������� ��������������������������������� 0��������� ���������

��������

�� D�����2���→���������������������������������������������"�������������������

���������������������D� ��!���������������������������������

Page 151: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

���������

7��������������������2���→������������ ���������������

$���������������������������"�����������

�����������������������

3�������"��������������������2

������� �����������������������������

�� (��������2���→������� �+�4�6�����������������

��������0���+���������������������������

�� (������� � 2���→���� � �� � +�

, 0

1, 0

x x

x x

<⎧⎨ + ≥⎩

� ��� ������ �������� ����� ��� �� �

����������������������0��"��������������5�

�� (��������2���→������� �+�H���H���������������������������������7��������������

����������� �2���→���� �� �+�

2

2

, 02

, 02

xx

xx

⎧− <⎪⎪

⎨⎪ ≥⎪⎩

�� (��������2���→������� �+�

0, 0

1 1 1sin cos , 0

x

xx x x

≤⎧⎪⎨ − >⎪⎩

������������������

7 �����������������'2��C∞��56�→�����

)2��5��∞ �→����������������

'�� �+�5�

�)�� �+�����

1

x�C�

1

x�����

1

x�������������������������������������������

'�� �+���

)�� �+�������

1

x�

>����1���"������������������������� 2���→���������������������

�� �+�

1

2

, 0

1sin , 0

c k x

x k xx

+ <⎧⎪⎨

+ ≥⎪⎩�

*��������������������������� ��������������������������� �� ��������

���������

Page 152: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�5 ��

00

limxx

→<

�� ��������'�

�5 �+�0

0

limxx

→>

� �� �+��)�������������

'�+��

)�

7 ���������( ) (0) 1

sinF x F

x x

− = ������I�5�������������������0

0

limxx

→>

���1

x����!�����

����������������� ����������� ����"��5�������������

�� (��������2���→������� �+�

1, 0

, 0x

xx

e x

⎧ <⎪⎨⎪ ≥⎩

���������������D� ��!��������

00

limxx

→<

��� �+�C∞������������A �

$�������������������������������

��� � � �

(���2���→������⊂��������� ����������������������������J������������

���������� ���� � �� ������ �������� � ������ �� �������� � ��� �� ����1�

( )df x x∫ �

7�������������������������������������������������������

;<&+!/6:�+

9������������������������������������������������������������������� ���

����������������2

� λ��+������λ�≠��� ��������@

� ��������������������������������������������������� 5

��������������������

������� ( )df x x∫ �+� 5�B���

������ �������������������������������������������������������

43 d

4xx x =∫ �B���������

4

4x

���������������������������� �+��A�

Page 153: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

�������

D�������������→�������������� ����������������������������������λ�∈��G�

��������������������������������������������������������������2

( )( ) ( ) d ( )d ( )df x g x x f x x g x x+ = +∫ ∫ ∫( )d ( )df x x f x xλ = λ∫ ∫

���������� -�������������������������������!����������������������� �������

������������"����� ′�����′�����D������� ���������λ ���������� ����

������ �����′� ′���′�����������λ �′��λ �′��λ���D�������� ��������

����������������������λ �������������������λ�

K�������������� �����������������

( )df x x∫ �+� ������ ( )dg x x∫ �+���B���

( )( ) ( ) df x g x x+∫ �+� �����B���

( )df x xλ∫ �+�λ �����

*�������� ( )df x x∫ �B� ( )dg x x∫ �+� �B���B���B����� ��������������

�� ����������� ( )( ) ( ) df x g x x+∫ �

$��������� ����λ ( )df x x∫ �+�λ� ���� �+λ ���λ����λ�������� ( )df x xλ∫ �

������

�� -��������λ�≠�5������������

>��������������λ�+�5���������λ��� �+�5������∈�������������������������������

�����������������λ�

*������������������λ�+�5����������λ ( )df x x∫ �+�L5M�

>��������1���λ ( )df x x∫ �⊆� ( )df x xλ∫ �������1����������������������λ�+�5�

�� *����������������������������������������������������������������������������

�� 3������������������������������������������������������������������

���������������������������

*� �1��������� �������� ��������������������������������������������

�����������������

Page 154: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������

(��������2���→������� �+�L�M����������������������������������� �+���C�4�6

��������������4�6�+���C���� @���������������������������������"���� ��

�����������������������������������������@�1����������������4�6��������

��������������

� D������������������������������������������������� �"�������������������

��������� ������������������������

������

(��������2���→������� �+�

sin, 0

0, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

��������������������������������� ������

�������������"������������������2���→�������� �+�

sin, 0

1, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

����������������

� *������������������������������%�����&��������������@���������

������������ ���1������ 1������������������������������������� ����

��������������� ����������������������������������������������

�����1��� �������� �� ������� �� ���������� ������ ��� �� ��������� ��� �

������1�1�� "���������� ��� � ����� �������� ������ "�� ����� !��������� ��

"�������������������������������������������������������������������

1����������"����������!��������

9������������������������������2

sin xx∫ ��@�

sinxx∫ ��@�

3sinx

x∫ ��@

cos xx∫ ��@�

cosx

x∫ ��@�3cos

xx∫ ��@

tgx x∫ ��@� ctgx x∫ ��@�arcsin x

x∫ ��@

xex∫ ��@�

2

xex∫ ��@�

2xe∫ ������

3��������"�����1�������"����������������������������������������

$� �� ���2�J��;��3������N�2����������� � ��!�������� ��� �������O������

,��������'PQ)�

Page 155: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

*�������"����

�2���→������� �+��

���∈��1

d1

nn xx x

n

+=

+∫ �B��

�2���→������⊂��5��∞ ����� �+���

�1

d1

aa xx x

a

+=

+∫ �B��

��∈���R�LC'M

�2���→������⊂������� �+�n x �

1

d1

n nn n xx x

n

+= +

+∫ ��

�≥�A������

�2���→������⊂�45��∞ ����� �+�n x � 1

d1

n nn n xx x

n

+= +

+∫ �

�≥�)����

�2���→������� �+���

����∈��5��∞ �R�L'M dln

xx aa x

a= +∫ �

�2���→������⊂��G����� �+��1x

1x∫ ���+����H�H�B��

�2���→������⊂���R�LC����M����≠�5�

2 2

1x a−∫ ���+�

12a

��x ax a

−+

�B��

��� �+�2 2

1x a−

�2���→������� �+�2 2

1x a+

����≠�52 2

1x a+∫ ���+�

1a

����xa

�B�"

�2���→������� �+������ sin∫ �����+�C������B��

�2���→������� �+������ cos∫ �����+�������B��

�2���→������⊂���R (2 1)2

k k⎧ ⎫π+ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

� �

2

1cos∫ ���+���������

��� �+�2

1cos x

Page 156: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�2���→������⊂���R�L�πH���∈��M�

2

1sin x∫ ���+�C������B�"

��� �+�2

1sin x

�2���→������⊂���R (2 1)2

k k⎧ ⎫π+ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

� � tg x∫ ���+�C���H�������H�B�"

��� �+�����

�2���→������⊂���R�L�πH���∈��M�

ctg x∫ ���+����H�������H�B�"

��� �+������

�2���→������� �+�2 2

1

x a+����≠�5

2 2

1

x a+∫ ���+���( )2 2x x a+ + �B�"

�2���→������⊂��C∞��C� �������⊂�����∞ �

2 2

1

x a−∫ ���+���2 2x x a+ − B�"

��I�5����� �+��2 2

1

x a−

�2���→������⊂��C���� ����I�5�

2 2

1

a x−∫ ���+�������xa

�B�"��� �+�

2 2

1

a x−

������

�� *��������� �������������������2���→����������������������������������������2

• -�������������������������2

� ����������������������������������������������@

������������������������������0����������������������������������

• D���������������������������������������00���������������������������������

������������������������@

• D���������������������������������������00����"��������������������������

�����������������������������������

�� D��������������������������������������D� ��!����!���������������

������������������������������������������������������

Page 157: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

���� ����

������������������������������ ��������������������������� �����������

(�����������������������������������������������

D��������������� ��������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

D�������1������������������� ���������′� �����������������������������������

�����������������#��� �

/�����������2��′� �+����#��� �������������������������������������������

������������������������"�����������������

*��������( )

( )

x t

n x t

′−

�+����������������������� �� ���������#��� �+�C� �����

K������������������������� ���5��������5 �+�5��� �������������

>������������������#��� �+�C� �B�����⇔��#��� �+��

C�

�⇔��� �+��'�C��C�

(�������� �������!������������������������"����������������

>���������������������������������� ����"������������� �1�����������

���� ��������������

�� 3����������� �������� � 2���→���� � �� �+�, 0

cos , 0

xe x

x x

⎧ ≤⎪⎨

>⎪⎩����������������� ��� �� �

�����������������

!�"�����

7 ������������������������������������������ �

81��������������������������������������������������������� �������

�� �+� 1

2

, 0sin , 0

xe c xx c x

⎧ + ≤⎨ + >⎩

���'���

)�∈���

(������� �� ������������� ������� �′�� �+���� ������������∈���

D��������������������������"��5�� �����'�B��'�+��

)�

*�������� ��������"��5����������� ����������� �����������������������

>�������2� ��������������������� ������������� ����� ����;������ �������

���� ������� ���������������1��2

S ����� ����"��������������������5@

S0

limx→

�′�� �+�0

limx→

��� �+���5 �������������� �

$����� �� �+� 1

1

, 0sin 1 , 0

xe c xx c x

⎧ + ≤⎨ + + >⎩

���'�∈������������������������������

������ �

(�������������"��1����������!����������������������������������������

���������������������

Page 158: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�� 3��������������������2���→������� �+�

1cos , 0

0, 0

xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩�������������������

!�"�����

(������������������������������������"��5���������������������������00�� �

(���������2���→������� �+�

2 1sin , 0

0, 0

x xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩�������� ������������� �

$����′�� �+�

1 12 sin cos , 0

0, 0

x xx x

x

⎧⎪ − ≠⎨

=⎪⎩��>���������������$�2���→����$�� �+�

12 sin , 0

0, 0

x xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩����������������������������(��%������������������$�����2����$�#��′�+��%�C�� ′�*����������������%�#������������������������������������������������

������

� (�������%�����!�����������������!�����������F����������������������

� 8���������!������������������������������������������������������������������

���������00�� �

�� 3����������12

� �3 1 3xx

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ������∈��G

B@� �

2

14 9x +∫ ������∈��@

� �2tg x∫ �������∈� 0,

2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠@�� �

2

1

4 9x +∫ ������∈���

!�"�����

� �3 1 3 dxx x

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ +�

3 x∫ ���B�1x∫ ���B� 3x∫ ���+�

3 434

x �B������B�3ln 3

x

�B��@

�2

1 d4 9

xx +∫ +�

2

1944

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�2

2

1 14 3

2x ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�14

�T�23

�����23x

�B��@

� �2tg x∫ ���+�

2(tg 1 1)x + −∫ ���+�2(tg 1)x +∫ ���C� 1∫ ���+������C���B��@

� ��2

1

4 9x +∫ ���+�

2

1924

x +∫ ���+�

22

1 12 3

2x ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�12

��2 9

4x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠�B���

Page 159: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

�� (�������∈��������U�������2�4����6�→����������������������������4����6����������

����������4����6��3��������������������� 2�4����6�→�������������������������

��4����6����������������∈������ �!������'���

)�∈�4����6�������"������

'�U���U��

)���

��) �C� ��

' �+���

)�C��

' ������

!�"�����

(�� 2�4����6�→���������������������������4����6���������∈������ �

-������������������2�4����6�→������� �+� �� �C������ ������∈�4����6�

����������������������� ��������′�� �+���� �C���� ������∈�4����6�

>���������������������������������������′�� �U�5������∈�4���� �����′�� �I�5������∈������6�

$������������������������������4���� �������������������������6�

-��������������������������1������������������F�����@��������!���������������

�'���

)�∈�4����6�������"������

'�U���U��

)�������

' �+����

) �

*������� ��' �C��

'���� �+� ��

) �C��

)��� ��J��������1�����������1���

�� (���2������ �→���������������∈ ����� ��3���������������� '2������6�→����������������

�����������H������6

���� )2�4���� �→����������������������������H

4���� ����������������

�2������ �→���� �� �+�1 1

2 2

( ) ( ), ( , )

( ) ( ), [ , )

F x F c x a c

F x F c x c b

− ∈⎧⎨ − ∈⎩

�������������������������

�������������� �

!�"�����

(������� �������� ����������� �∪������ ���� ′�� �+���� ������∈������ �R�L�M�

-�������1 1( ) ( )( ) ( )

lim limx c x cx c x c

F x F cF x F c

x c x c→ →< <

−− =− −

�+� 1F ′ �� �+����

2 2( ) ( )( ) ( )lim limx c x cx c x c

F x F cF x F c

x c x c→ →> >

−− =− −

�+� 2F ′ �� �+���� �

*��������������� �������� �������"��������������� ′�� ������ �

D����������� ��������������������������

�� � 3�������������������������2���→�������������������������

( )df ax b x+∫ +�1

a ������� �B�������� �∈� ( )df t t∫ �

�3����������1��������2�10(2 1)x +∫ ��@� sin3x∫ ��@�

42x

∫ ���

!�"�����

� -��� ����������������� ������� ′���������������������� ������� �������� ����

��� ′������� �+���������� ������∈���

Page 160: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

-���10x∫ ���+�

11

11

x�B���� sin∫ ����+�C�����B���� 2x∫ ���+�

2

ln 2

x

�B���������������

��������2

(∫ )��B�' '5

���+�12

T�

11(2 1)

11

x +�B��@ ���� sin∫ A����+�C

1

3�����A��B��@

42x

∫ ���+�V�T�

42

ln 2

x

�B���

���� �����������

�� (�������∈���������������2���→������� �+�

, 0

, 0

a x

b x

≠⎧⎨ =⎩

3���������������������������������������������������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�4�)6����������������������

�� 3����������������������������������������2

� ��2���→������� �+�

1sin , 0

0, 0

x xx

x

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

@� ��2���→������� �+�

sin cos , 0

1, 0

x x xx

x

⋅⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩@

� ��2���→������� �+�

12

cos , 0

0, 0

xe x x

x

−⎧⎪ ≠⎨⎪ =⎩

�� 3�������������������������������������������2

� ��2���→������� �+�

arctg, 0

0, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

@� ��2���→������� �+�

2ln(1 ), 0

1, 0

xx

xx

⎧ + ≠⎪⎨⎪ =⎩

@

� ��2�45��∞ �→������� �+�

1arctg , 0

1, 0

xx

x

⎧ >⎪⎨⎪ =⎩

�� 3������������������� �2���C1

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�→���� �� �+�2

5x +

�T�23 (3 1)x + ����������������

���������2���C1

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�→������� �+�3

1

3 1

x

x

++

�� 3������������������� �2���→���� �� �+�1

2 2

2arctg( 1)

2 2

xx

x x

+⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠��������������

�����������2���→������� �+�2 2( 2 2)

x

x x+ +�

Page 161: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

�� 3�������������������������������"������������� �2���→���

�� �+�

2 , 0

sin 2 cos3 , 0

xae x

x b x x

⎧ ≤⎪⎨

+ >⎪⎩����������������������������2���→���

�� 3����������1��������������������������2

� ���� �������)����∈��@� ���� �+���B�1

x����I�5@�� ���� �+�)�����C���������∈��@

� ���� �+�)��B��

����∈��@� ���� �+��2 2

3 2

cos sinx x− ����∈� 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� ���� �+�2 2

1

sin cosx x����∈� 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� ���� �+�3

1x

x+ ����I�5@

� ���� �+�2

1

4x −����I�)@�� ���� �+�

4

12 +x

@�F ���� �+�2

1

4x +����∈��@

N ���� �+�2

1

4x −����I�)@�� ���� �+�

2

1

4 x−����∈��C)��) �

�� -����������������������������������2

� ���� �+�����

2x

����∈� 0,2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@� ���� �+����)�����∈� 0,4

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� ���� �+�AV�

����∈��@

� ���� �+� 3 1x + ����∈��5��∞ @� ���� �+������)��B�' ����∈� 0,4

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� ���� �+�2

1

1 (2 1)x− +����∈��C'��5 �

� �3�������������2���→������� �+����V��B���

)�B�' �������

� -������������������������

-��������� (∫ V���A������B�)��������B�' ���

���3����������������������������������"����2

� �

2

2

1

2

x

x x

+− +

∫ ����+�������� 2 2x x− + �B���

2

1

2x x− +∫ ��@

�xe∫ ��

)�B�A��B�= ���+��

���)�B������� �B��@

� �xe∫ ���������+���������B������� �

�B��@

� xe∫ ���������+���������B������� �

�B���

Page 162: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

���3����������12

� �2sin x∫ ���B�

2cos x∫ ������∈��@� � arcsin x∫ ���B� arccos x∫ ������∈�4C'��'6@

� � arc tgx∫ ���B� arcctg x∫ ������∈��@�� � ( )2ln xe∫ ������∈���

���3��������������������2�4C'��'6�→�������� �+�

11 sin , [ 1,0)

0, 0

11 sin , (0,1]

xx

x

xx

⎧− + ∈ −⎪⎪

=⎨⎪⎪ + ∈⎩

������������������

���3��������������������2�4C'��'6�→������� �+�

2 1cos , 0

0, 0

xx

x

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

������������������

D�����������������������������������������1������������������

�)��������������

����"������������������������������������1����������������T�����������������

���(���2�4����6�→��������∈������ ��3���������������������������������4����6�����

4����6�������������������������4����6�

���3������� ��������������������������������2

� ��2���→������� �+�H��C�'H@� ��2���→������� �+�

2 , 0

2 , 0

x x x

x x

⎧ + <⎪⎨

≥⎪⎩@

� ��2���→������� �+�, 0

1, 0

xe x

x x

⎧ ≥⎪⎨

+ <⎪⎩@�� ��2���→������� �+�

sin , 0

cos 1, 0

x x

x x

>⎧⎨ − ≤⎩

���3������������������������������"������������

�2���→������� �+�

2 , 2

, 2

x ax b x

bx a x

⎧ + + ≤⎪⎨

+ >⎪⎩����������������������

D��������"���������1���������������������������

���3����������������������������������"��������������2���→���

��� �+�2

, 0

, 0

xe x

ax bx c x

⎧ ≤⎪⎨

+ + >⎪⎩����������������������

D��������"���������1���������������������������

Page 163: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � * � � � � � � � � � �

$������������ ���

�������

�� 3��������������������2���→������� �+�sin , 0

1 , 0

xe x xx x

⎧ + ≥⎨ − <⎩

�����������������������

����������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�LA��B�'M�������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

1 12 sin cos , 0

0, 0

x xx x

x

⎧⎪ − ≠⎨

=⎪⎩���������������

�� 3����������1�2

12 sin dcos

x x xx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ����∈� ,4 4π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

,��2�'��������@����A������)������'������A��

O����������2�V=���������

������

�� 3��������������������2���→������� �+������)�)�C��C�)55Q �������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

1 12 cos sin , 0

0, 0

x xx x

x

⎧⎪ + ≠⎨

=⎪⎩����������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

2

2

cos , 01 , 0

1

x x

xx

⎧ ≤⎪⎨ >⎪ +⎩

�����������������������

������1�����������������

�� 3����������1�3 2

2

2tg d1

x x xx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ �� ,4 4

x π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠�

,��2��'��������@����A������'������)������A��

O����������2�=5���������

Page 164: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������!

�� (������2���→��!������������������������������������������������������ ���

�����������������������$�������������������������

�� 3����������1����������������������� �+��2

1 124 xx

+++

����∈��5��∞ �

��� �+�2 4 3

1 1 , 0,2cos 3

xx x

π⎛ ⎞+ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠�

�� 3��������������������2���→������� �+�

sin , 0

2, 0

x xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩������������������

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

1 , 01sin 1, 0

xxx x

⎧ <⎪⎨ +⎪ + ≥⎩

����������������������

������1�����������������

,��2�'�����������������)������A������)������)��

O����������2�=5���������

������"

�� (������������� �2���→������� �+����C�' ��

�� �� �+����C�) ��

�����

� 3������������������� ��������������������������

3����������1�( )

( )21lim

1x

F x

x→ −�

� 3����������1�( )

limxx

F x

xe→∞�

�� 3����������1����������������������� �+�3 2

1 19

xx x

+ ++

����∈��5��∞ �

��� �+�����)��B��A�

����∈���

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

,,

x xx x

∈⎧⎨ ∉⎩

�������������������

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

1 , 01cos , 0

xxx x

⎧ <⎪⎨ +⎪ ≥⎩

����������������������

������1�����������������

,��2�'�����������������)������A������)������)��

O����������2�=5���������

Page 165: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

��������������� ������� �

)��� �����������������!��������������� � �����������������=���"�7�>��

E������������ ����2���→����������������������������2���→������������������

���������������������������������

D���������∈����������� �� �C� �� �+����� �B�� �C����� �B�� �+���� �C���� �

*��������������� �� �C� �� ����������������������������������������

��� � � �

(���2�4����6�→������������������������ �2�4����6�→�������������������

9������ �� �C� �� ����������������� ��������������������������1�� ( )db

a

f x x∫ �

-����2���������������������������� �

$����2������������������� ( )b

a

f x∫ ���+� �� �C� �� ��������"����#$%&'�

������ �

/��������������������� �� �C� �� �+� ( )b

aF x �������������% �� ������"���������&�

��� � � �

D�������������2�4����6�→����������������������

( )d 0a

a

f x x =∫ ����� ( )d ( )db a

a b

f x x f x x= −∫ ∫ �

������� �������������������������������������������������������

�� 0��������������������������2�4'��)6�→������� �+�A����

22

11

3d 3 3 2 3 1 3x x= = ⋅ − ⋅ =∫

��

11 2

00

1d2 2xx x = =∫ � ���

2

20

0

cos d sin 1x x x

ππ

= =∫ �

Page 166: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������

�� 3���������� ( )db

a

f x x∫ ��������������������������������������������������

%���1���&����������������������������������� ( )df x x∫ ���������������

���������������������������������2�4����6�→���

�� -���������������� ( )db

a

f x x∫ �"��������������������������������������������

������������������������������������������������������������������"������

$����2ln xx∫ ������∈��5��' �������������

21 ln2

x �B�"

1

0

ln dx xx∫ ���������W

>������� �������� ( )2 2 2ln 1 1d ln ln ln2 2

b b

aa

x x x b ax

= = −∫ ���������������I�5�

���� ��������������

�� (���������������;� ��1�9:���������������1����������������������2

� �

13

0

dx x∫ @� �

2

31

1 dxx∫ @�� �

( )21

ln 1

0

dx

e x+

∫ @�� �

23

sin dx xπ

π∫ @� � ( )

32

4

tg 1 dx x

π

π

+∫ �

!�"�����

� -������������"���������������������������2�3( )f x x= ������∈�45��'6�

7����������������������������� ( )1 13

3 431 413

xF x x+

= =+

*��������

1 13 43

00

3 3d4 4

x x x= =∫ �

Page 167: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

-������������"����������������������������3

1( )f xx

= ������∈�4'��)6�

7����������������������������� ( )3 1

2

13 1 2

xF xx

− += =

− + −�

*��������

2 2

3 211

1 1 1 1 3d 12 4 82

xx x

⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ �

� (�������������������������� �+�( )2ln 1x

e+

�+��)�B�'��������������������������

( )3

3xF x x= + �

$���( )2

11 3ln 1

00

1 4d 13 3 3

x xe x x+

= + = + =∫ �

� 7��������������������������� �� �+�C�������$��������������������;� ��1�9:����

���� 232

3

2 1 1sin d cos cos cos 13 2 2

x x xπ

ππ

π

π= − = − π + = − =∫ �

(������������������ ( ) ( )3 3

2 3

44 4

tg 1 d tg 'd tg tg tg 3 13 4

x x x x x

π ππ

ππ π

π π+ = = = − = −∫ ∫ �

�� 3����������������������������"����2

� �

0

13 dln 9

ax x =∫ @� �

12

0

1d3

ax x =∫ @�� �

2

0

cos dx x a

π

=∫ �

!�"�����?

00

3 3 1 3 13 dln 3 ln 3 ln 3 ln 3

aa x a ax x

−= = − =∫ �

O ������1�������������������3 1 1 3 1 2ln 3 ln3 ln3ln 3

a a− −= ⇔ = �����������A�

�+�A�

���������������'�

11 32

00

d3 3x aax x a= =∫ ����������1�������������

13 3a = �����������������'�

2

20

0

cos d sin 1x x x

ππ

= =∫ @��������������'�

Page 168: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

���� �����������

�� (���������������;� ��1�9:���������������1����������������������2

� �

2

1

dx x∫ @� � ∫1

0

2x ��@�� �

4

1

1 dxx∫ @�� �

2

1

1 dxx∫ @�� �

1

0

dxe x∫ @�� �

2

0

sin dx x

π

∫ @�� �

1

20

1 d1

xx+∫ @

� �

1

20

1 d1

xx+

∫ @�� �

1

212

1 d1

xx−

∫ @�F �

2

4

cos dx x

π

π∫ @�N �

22

0

sin dx x

π

∫ @�� �

3

22

1 d1

xx −∫ @

� �

1

0

2 dx x∫ @�� �

1

20

1 d4

xx+

∫ @�� �

1

20

1 d4

xx−

∫ @�� �

1

0

dx x∫ @�X �

4

20

1 dcos

xx

π

∫ @

3

2 32

1 1 dxx x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @�� �

3

2

6

1 dsin

xx

π

π∫ @�� �

3

6

tg dx x

π

π∫ @�� �

3

6

ctg dx x

π

π∫ @�� �

3

22

1 d1

xx −

∫ �

�� (���������������;� ��1�9:����������������1����������������������2

� �

22007

1

dx x∫ @� � ∫1

0

21x ��@�� �

4

5 21

1 dxx

∫ @�� �

2

20071

1 dxx∫ @�� �

12

0

dxe x∫ �@�� �

2

0

sin d2x x

π

∫ @

� �

1

20

1 d16

xx+∫ @�� �

1

20

1 d16

xx+

∫ @�� �

2

20

1 d16

xx−

∫ @�F �

2

4

cos2 dx x

π

π∫ @�N

22

0

cos dx x

π

∫ @

3

22

1 d25

xx −∫ @�� �

1

0

5 dx x∫ @�� �

1

20

1 d25

xx+

∫ @�� �

1

20

1 d8 2

xx−

∫ @�� �

17 3

0

dx x∫ @

X �

3

20

1 dcos

2

xx

π

∫ @� �

3

4 52

1 1 dxx x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @�� �

3

2

6

1 dsin

xx

π

π∫ @�� �

3

6

tg 2 dx x

π

π∫ �@

� �

3

6

ctg 2 dx x

π

π∫ @�� �

3

22

1 d2 1

xx −

∫ �

�� D��������������������������"�����

12 25( 4)d

2

a

a

x x+

+ =∫ �

�� D����������∈���������"����� ( )0

cos d sina

x a x a+ =∫ �

Page 169: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

)��� ����������������� ��!������"�#� ���

>�������������������1���������������������������������������������������

�������

D��������2�4����6�→���������������������������������α��β�∈����������

( )( ) ( ) d ( )d ( )db b b

a a a

f x g x x f x x g x xα + β = α + β∫ ∫ ∫ �

������� �������������������������������������������������������

' ( ) ( )11 1 1 413 3

000 0 0

32 3 d 2 d 3 d 2 3 2 14 4

x x x xe x x e x x x e e+ = + = + = − +∫ ∫ ∫ �

)

1 1 12 2 2

4 4 2 20 0 0

1 1 2 1 1 1d d d2 21 1 1 1

x x xx x x x

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠∫ ∫ ∫

+

1 1 12 2 12

22 2 0

00 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1d d ln arctg ln arctg2 2 2 1 2 2 3 21 1

xx x xxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ �

�������

D�����������������2�4����6�→��������������������������1�������������

( )d 0b

a

f x x ≥∫ �

�������

D���������������������2�4����6�→�����������������������"����� ( ) ( ) [ ], ,f x g x x a b≤ ∀ ∈ �

������� ( )d ( )db b

a a

f x x g x x≤∫ ∫ �

����� ���

D����������������2�4����6�→������������������&�≤���� �≤�'������∈�4����6��������

( ) ( )( )d .b

a

m b a f x x M b a− ≤ ≤ −∫

Page 170: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������� �������������������������������������������������������

�� (���������������������������������

2

0

sin dn x x

π

∫ ����

21

0

sin dn x x

π

+∫ �

-��� 0,2

x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦�����������∈�45��'6��������

1sin sinn nx x+ ≤ ���������������

2 21

0 0

sin d sin dn nx x x x

π π

+ ≤∫ ∫ �

��� (����������������������������������������

7

4

1 3 d 13 5

x xx

−≤ ≤+∫ �

(��������2�4V��Q6�→������� �+�35

xx

−+

�������� �������

( )2

8( ) 05

f xx

′ = >+

81������������������������������� [ ]1 1(4) ( ) (7) , 4,79 3

f f x f x= ≤ ≤ = ∀ ∈

$���������������������������������� ( ) ( )7

4

1 17 4 ( )d 7 49 3

f x x− ≤ ≤ −∫ � ���������

������1���������

�������

(��������2�4����6�→��������������������∈������ ��������

( )d ( )d ( )db c b

a a c

f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ �

������ �������������������������������������������������������

(��������2�� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+�H�������C������H���������������������������������

��������������������������������������������� �+�������C�������

( ) ( ) ( )2 2 4 2

0 0 04

d sin cos d cos sin d sin cos df x x x x x x x x x x x

π π π π

π

= − = − + − =∫ ∫ ∫ ∫

+ ( ) ( ) ( )240

4

sin cos cos sin 2 1 1 2 2 2 1x x x xπ π

π+ + − − = − − + = − �

Page 171: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

���� ��������������

�� 3��������������������2�45��)6�→������� �+����C�'����������������������������1�

2

0

( )df x x∫ �

&����?

�������[ )[ ]

1, 0, 1( )

1, 1, 2

x xf x

x x

⎧− + ∈= ⎨ − ∈⎩

��(������� ������������������������������

��������C�' �������������������������

( ) ( )1 22 1 2 2 2

0 0 1 0 1

( )d 1 d 1 d2 2x xf x x x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − = − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ �'�

�� 3����������1� ( )1

2

d ,I a x a x a−

= − ∈∫ � �

&����?

� D������∈��C∞��C) ��������� ( ) ( ) ( )1

2

3d 1 22

I a x a x a−

−= − = +∫ @

�� D������∈�4C)��'6�������� ( ) ( ) ( )1

2

2

5d d2

a

a

I a a x x x a x a a−

= − + − = + +∫ ∫ @

��� D�����∈��'��∞ ��������� ( ) ( )1

2

3d 32

I a a x x a−

= − = +∫ �

�� � �$�����������

�≥���B�'������∈���

$���������

21

0

1 d4

xe xe

− π≤ ≤∫ �

&����?

� (�����������2���→������� �+���

�#���C�'������������������� ��������′�� �+���

�C�'�

-��� � ′� ��� �������� �� �C∞�� 5 � ��� ��1������ �� �5��∞ �� 1����� ��� � ��� �����

�������������C∞��5 ���������������������5��∞ ��(�������������������"�

�5�+�5���������������5��$��������� �≥�5�����∈���

Page 172: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

-����������������� �����

2 222

111

x xe x ex

−≥ + ⇔ ≤+

D���������������

21

0

dxe x−∫ �≤ 1

102

0

1 d arctg |41

x xx

π= =+∫ �

*������������

2 1xe e− −≥ ������∈�45��'6�������������

21

1

0

dxe x e− −≥∫ �

�� (�������

1

20

, 11

n

nxI nx x

= ≥+ +∫ �

� $��������� ( ) 1n nI ≥

����������������������@

D������������������������������������������@

� -��������� lim nn

I→∞

&����?

� -����

�≥��B'

������∈�45��'6��1��������

1

2 21 1

n nx xx x x x

+≥

+ + + +������������

1 1 1

2 20 0

d d1 1

n nx xx xx x x x

+≥

+ + + +∫ ∫ ����������≥��

B'�����≥�'�

11 1 1

200 0

10 d d 11 11

n nn

nx xI x x x

n nx x

+≤ = ≤ = = <

+ ++ +∫ ∫ ������

[ ]20 , 0, 1

1

nnx x x

x x≤ ≤ ∀ ∈

+ +�

1 1 11 2 1 2

2 2 20 0 0

d d d1 1 1

n n n n n n

nx x x x x xI x x xx x x x x x

− − − −+ + += = −+ + + + + +∫ ∫ ∫ �+

11 12

1 2 1 2 1 200

1d1 1

nn

n n n n n nxx x I I I I I In n

−−

− − − − − −= − − = − − = − −− −∫ �

� D������������ �����10 , 1

1nI nn

≤ ≤ ∀ ≥+������������������%�������&

� ����� lim 0nn

I→∞

= �

Page 173: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

���� �����������

�� 3����������12

� � ( )1

2

0

dx x x+∫ @� � ( )1

2

0

2 3 dx x x−∫ @�� ( )1

3

0

2 dx x x−∫ @�� �

2

31

1 2 dxx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @

2

34 5 21

3 1 12 3 dxx x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ @�� � ( )2

0

2sin cos dx x x

π

−∫ @�� � ( )0

3cos sin dx x xπ

−∫ @

� �

4

20

12sin 3 dcos

x xx

π

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @�� �

2

2

6

12cos dsin

x xx

π

π

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @�F �

3

2 2

6

1 12 3 dcos sin

xx x

π

π

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @

N � ( )4

2

0

tg dx x

π

∫ @�� �

22

4

ctg dx x

π

π∫ @�� �

3

2 2

4

1 dsin cos

xx x

π

π∫ @�� �

4 2 2

2 2

6

cos sin dsin cos

x x xx x

π

π

−∫ @

� � ( )1

0

2 dx xe x−∫ @�� � ( )23

2logln

1

2 3 dxxe x+ ⋅∫ @�X �

1

2 20

1 12 d1 2

xx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

∫ @

1

0

5 3 d15

x x

xx−∫ @�� �

1

2 20

2 1 d4 1

xx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

∫ �

�� 3����������12

� �

2

32 21

12 dx x xx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ �@� �

3

6

1 dsin cos

xx x

π

π⋅∫ @�� �

3

3

4

sin 3 dsin

x xx

π

π∫ @

� �

3

6

cos3 dcos

x xx

π

π∫ @� �

1 12 2

0 0

sin d cos dx x x x+∫ ∫ @

� �

1 1

0 0

arcsin d arccos dx x x x+∫ ∫ @�� �

12 2

412

d1

x xx

−−∫ @�� �

3

42

2 d1

xx −∫ @

� � ( )2 3

21

3 2 d2

x x xx x

+ ++∫ @�F �

3

2

6

1 sin 2 dcos

x xx

π

π

+∫ @�N �

3

2

6

1 sin 2 dsin

x xx

π

π

−∫ �

Page 174: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

���3���������������������2�4C'��'6��[ )[ ]

2 , 1, 0( )

, 0, 1

x xf x

x x

⎧ ∈ −⎪= ⎨ ∈⎪⎩���������������������������1

1

1

( )df x x−∫ �

�� 3��������������������2� ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������� �+�����������������������������������1

2

2

( )df x x

π

π−

∫ �

�� 3��������������������2� 1,2π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

�→����[ )[ ]

2 , 1, 0( )

sin , 0, 1

x xf x

x x

⎧ ∈ −⎪= ⎨ ∈⎪⎩��������������������

������1�

2

1

( )df x x

π

−∫ �

�� 3��������������������2� ,4 4π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

�→�����

tg , , 04

( )cos 1, 0,

4

x xf x

x x

⎧ π⎡ ⎞∈ − ⎟⎪ ⎢⎪ ⎣ ⎠= ⎨ π⎡ ⎤⎪ − ∈ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

������������

��������������1�

4

4

( )df x x

π

π−

∫ �

�� 3��������������������2�4C)��'6�→����

[ )[ )[ ]

4

2, 2, 1

( ) , 1,0

1, 0,1x

x x

f x x x

e x

⎧ + ∈ − −⎪= ∈ −⎨⎪ − ∈⎩

������������������

��������1�

1

2

( )df x x−∫ �

�� 3����������12

� �

3

0

1 dx x+∫ @�

2

22

1 d1 1

xx− + −∫ @�� � { }

12

1

min , dx x x−∫ @

� � ( )2

0

sin cos dx x xπ

+∫ @� �

2

0

sin cos dx x xπ

−∫ @�� �

1

1

2 d2

x xx

++∫ �

Page 175: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � � � * � � � � � � � � � � � ! � � � � "

���3����������2

� �

12

1

2 2 4 5 d 2 10x x x−

< + + <∫ @� �

22

4

1

dxe e x e< <∫ @

� � ( ) ( )2

32 1 d 1

ln 2

e

e

x ee e x ex

− < < −∫ �

� ��3����������2

� � ( )2 2

1

1 1

d 1 dxxe x x x

+< +∫ ∫ @� � ( )1 1

0 0

ln 1 d d1

xx x xx

+ >+∫ ∫ @

� � ( )1 1

2

0 0

ln 1 d arctg dx x x x x+ <∫ ∫ �

����3����������2

� �

1

2

dlim 01

n

nn

x

x

+

→∞=

+∫ @� �

1

0

lim d 01

n

n

x xx→∞

=+∫ �

���D����������������������2�45��'6�→�����������������

1

0

( )d 0f x x >∫ ���������1�������

��� �≥�5������∈�45��'6?�$����1��������"������������������������ �+�)�)�C��������∈�45��'6�

����(�������

1

0

d2 3

n

nxI xx

=+∫ �

� �$��������� ( ) 1n nI ≥

����������������������@

�D������������������������������������������@

� -��������� lim nn

I→∞

����3���������1�����������������������2

� �

4

0

tg dnna x x

π

= ∫ @� �

2

0

cos dnnb x x

π

= ∫ @�� �

1

20

d1

n

nxc xx

=+

∫ �

Page 176: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

$������������ ���

�������

�� 3��������������������2� ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������� �+�����������������������������������1

( )2

2

df x x

π

π−

∫ �

�� 3�����������

21

0

1 d 1xe x e≤ ≤ −∫ �

�� 3������������������������������

1

20

d , 11

n

nxa x n

x= ≥

+∫ �����������

,��2�'������������@����A������A������A��

O����������2�V=�������

������

�� 3���������������������2�4C)��A6����� �+�

[ ]( ]

2

2

, 2, 01 , 0, 2

1x

x x x

e xx

⎧ + ∈ −⎪⎨ − ∈⎪ +⎩

��������������������

������1� ( )3

2

df x x−∫ �

�� 3����������� ( )1

2

0

3ln ln 1 d 04

x x x≤ − + <∫ �

�� 3���������1������������������������������� ( )1

ln d , 1e

nna x x n= ≥∫ �

,��2�'������������@����A������A������A��

O����������2�V=�������

Page 177: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

,��� @���������������������� ��

�������

D�������2�4����6�→������������������������� �����������������������������

( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) db b

b

aa a

f x g x x f x g x f x g x x′ ′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

���������� -�������������������������� ����1���������(����������������� ����

J�����������T�� ′�� �+��′�� �T���� �B���� �T��′�� ������∈�4����6����������

������������������������������������������������������′������′�$���������������;� ��1�9:����� ����2

( ) ( )( )( )db

b

aa

f g x x f g x′⋅ = ⋅∫ ���������������������������

( ) ( )( )d ( ) ( )d ( )db b b

a a a

f g x x f x g x x f x g x x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ �

D���������������������1�����������1���

������� �������������������������������������������������������

�� 3�����������

1

0

dxxe x∫ �

( )1 1 11

00 0 0

d d dx x x xxe x x e x xe e x x′ ′= = −∫ ∫ ∫ �+���C�

1

0

xe �+���#���B�'�+�'�

�� 3�����������

2

1

ln dx x x∫ �

22 2 2 22 2 2

1 1 1 11

1 1ln d ln d ln d 2ln 2 d2 2 2 2x x xx x x x x x x x x

x

′⎛ ⎞= = − ⋅ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

22

1

12ln 22 2

x= − ⋅ +�)����)�C�'�B�14

@�������� �� ����������������������� �

Page 178: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�� /�����������

12

0

1 dx x−∫ �

(���������2�45��'6�→������� �+������������������� ����"���5�+�'����������

����������������������������������������

/���������������������1�2

-�����������������2�45��'6�→������ �+�2

0

1 dt

x x−∫ ������������������� ���

������������� �������

12

0

1 x−∫ ���+����' �+�1

1

limtt→<

�� �

K��������������45�� 6�⊂�45��' ��������������������2

2 2 2

200 0 0

1 d 1 d 1 d1

t t tt xx x x x x x x x xx

−′− = − = − − ⋅−

∫ ∫ ∫ �+

+�

22

2 20 0

1 11 d d1 1

t txt t x xx x

−− − +− −

∫ ∫ �+�2 2

00

1 1 d arcsint

tt t t t x− − − +∫ +

+�2 2

0

1 1 dt

t t t t− − −∫ B������� @�������� ( )2 2

0

11 d 1 arcsin2

t

x t t t t− = − +∫ �

>��������� ( )12 2 2

1 10 01 1

11 d lim 1 d lim 1 arcsin2 4

t

t tt t

t t x x t t t→ →< <

π− = − = − + =∫ ∫ �

�� 3�����������

3

1

arctg dx x∫ �

*����"����������2

3 3 33

11 1 1

1 1arctg d arctg d arctg d1 2

x x x x x x x x xx x

′= = − ⋅ ⋅+∫ ∫ ∫ �

7 ������������F�����������������������������������������

�������������������������������������������������������������

�����������������������2

( ) ( ) ( )3 3 33

11 1 1

1arctg d 1 arctg d 1 arctg 11

x x x x x x x xx

′= + = + − + +∫ ∫ ∫ �T1

2 x+

+�V����� 3 �C�)����'�C�

3 3

11

1 5d 4 23 4 62

x xx

π π π= − − =∫ C� 3 �B�'�

Page 179: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

�� /������ ������������������������

2

0

sin dnnI x x

π

= ∫ �

��+� ( )

2 2 21

0 0 0

sin d sin sin d cosn nx x x x x x

π π π

−= = −∫ ∫ ∫ ′���C'����+

+�C�������C' 2

0x

π�C� ( )

2

0

cos x

π

−∫ ��C�' ���C)

����������+

+���C'

22

0

sinn

π

−∫ ����)�����+���C�' �

22

0

sinn

π

−∫ ��'�C����)� ���+

+���C�' �

22

0

sinn

π

−∫ ����C���C' �

2

0

sinn

π

∫ ����+���C�' �C)

�C���C�' ��

>���������1

nnIn−= �

C)�

,��� @������ '�� �����������

�������

(��ϕ2�4����6�→�����2���→����������������������������2

� ����������������@

ϕ�������� ��������������������������4����6�

$����� ( )( ) ( )( )

( )d ( )d

bb

a a

f t t t f x xϕ

ϕ

′ϕ ⋅ϕ =∫ ∫ �

���������� (���������������������������������������D���� �∈� ( )f x∫ ����������

�′�� �+���� ������∈����������

( )

( )( )( ) ( )( )( )d

b

a

f x x F b F aϕ

ϕ

= ϕ − ϕ∫ ��G

(�������������������������������������������������

� ���ϕ ′�

�+� ′�ϕ� �T�ϕ′� �+�����ϕ � �T�ϕ′� ���� �∈�4����6�

$���������������;� ��1�9:����� ����2

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )(*)

' d dbb

a a

f t t t F b F a f x xϕ

ϕ

ϕ ⋅ϕ = ϕ − ϕ =∫ ∫� � � �

81��������� �������������������� ��������������������#������$����� %��&���

��������&���'

Page 180: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������� �������������������������������������������������������

�� 3�����������

4

20

cos d1 sin

x xx

π

+∫ �

!�"�����

*1�������������)*�������������������1�������ϕ′�� �+�������������

ϕ�� �+����������∈� 0,4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

$������

( ) ( )2 2

cos 1 '1 sin 1

x xx x

= ϕ+ + ϕ

��-�������������������������2

1( )1

f xx

=+

����������

( )

44

2 20 0

cos 1d d1 sin 1

x x xx x

π⎛ ⎞π ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ

=+ +∫ ∫ �+�

22 2

22 0

0

1 d arctg1

x xx

= =+∫ ����

22

�� 3�����������

4

1

dxe xx

∫ �

!�"�����

-�������� ( ) 1'2

xx

ϕ = ����∈�4'��V6@���������� ( )x xϕ = ������������� ���

���ϕ�' �+�'��ϕ�V �+�)������� �+���

J�������2�( ) ( )

4 4 2 2

11 1 1

d 2 d 2 d 2x

x t te x e x x e t ex

ϕ ′= ϕ = =∫ ∫ ∫ +�)��)�C�� �

�� -�������� ( )3

21

1 d1

xx x +∫ �

!�"�����

*��������������ϕ′�� ����������������)��

7 ����� ( )3

2 21

1 2 d2 1

x xx x +∫ ��������ϕ�� �+��

)@��������������������������2

��� �+� ( )1

1x x +���� ( )

3

21

1 d1

xx x

=+∫ �

(3)

(2)

1 12 ( 1)t t

ϕ

ϕ+∫ � �+�

9

1

1 1 12 1t t

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ � �+

+� ( )9

1

1 ln ln( 1)2

t t− + +�1 9 1ln ln2 10 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�+�

1 9ln2 5

Page 181: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

-����������"�������������������������������������������������������� �

������ ���?

0����������ϕ′�� ���������� �+�ϕ�� �

>�����������������ϕ′�� �������� ���������"����������� ���������������������������

��������"�� �

������� �������������������������������������������������������

��

2

31

d1

x xx+

∫ �

!�"�����

x ����������������2

3 12 23 3

2 2x x x

′⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠�

9�����

32x +� ���������

32

x ���+�� �

*�������������������������� 32

1 1

2 2 2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎪⎨

= ⇒ = =⎪⎩�

7 ����

2 2

3 231 12

2 1 3d3 21

1

x x xx

x

= ⋅+ ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ���+�

2 2

21

2 13 1 t+

∫ � �+

+� ( ) 2 22

1

2 ln 13

t t+ + +�2 3 2 2ln3 1 2

++

��

12

0

1x x−∫ ���

!�"�����

9�����'�C��)�+� ����C)����+�� ����������������{ 0 1

1 0x tx t

= ⇒ == ⇒ =

12

0

1x x−∫ �� ( )11 0 1 1 3

2 2 2

0 1 0 0

1 1 1 1 2 11 2 d d d2 2 2 2 3 3

x x x t t t t t= − − − = − = = ⋅ =∫ ∫ ∫ �

������ �

$�����������������������ϕ′�� �������������� ������ ������������������

������������������ �������� ����

Page 182: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�������

D����ϕ2�4����6�→�4����6���2�4����6�→����������������������������2

� ����������������4����6�

�ϕ���� �F�������ϕ����ϕC'���������� ���������������������

������ ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )1d d

bb

a a

f t t f x x xϕ

ϕ

′ϕ = ϕ∫ ∫ ��GG

���������� (������������ϕ��������������������������������ϕ�������������������

�����������ϕ���������������

(���2�4����6�→���������������������������ϕ�

$������ ( )( )b

a

f tϕ∫ � �+���� �C���� ��'

*������������

�����ϕC' ′�� �+��′�ϕC'

�� �T��ϕC' ′�� �+���ϕ�ϕC'

�� �T��ϕC' ′�� �������

( )( )( )

( )1

b

a

f xϕ

ϕ

′ϕ∫ ��� ����������ϕC' ��ϕ�� �C������ϕC'

�ϕ�� �+���� �C���� ���)

D�����������' �����) �� ������������������������1��

�����������GG ������������������������� %��&������������&���'

>����������������������2

� ������ϕ�� �+� @���+�ϕC'� ������������"�����������+��ϕC'

� ′� @

� �������"����������� ����������������������������������"�� �

������� �������������������������������������������������������

��

2

1

1 d1

xx+∫ �

!�"������4 ��� '����������������������� 5

9����� x +� ������ )��������������+�) � ����

1 1

2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎨ = ⇒ =⎩

2 2

1 1

1 1d11

xtx

= ++∫ ∫ ) � �+�)

2

1

1 11 1t

t t+⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ � �+�)� �C����

2

11 ))t+ +

+�)1 22 1 ln

2⎛ ⎞+− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 183: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

!�"������ ��� '������������������ �4 ������� 5

( )2 2

1 1

1 1 1d 2 d1 1 2

x x xx x x

= ⋅ ⋅+ +∫ ∫ �

*��������ϕ′�� �+ 12 x

@�ϕ�� �+� x �+� �������������1

2 x���+�� ����

1 1

2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎨ = ⇒ =⎩

2 2

1 1

1 2d d11

tx ttx

= ++∫ ∫ ��������������������1�������������

��

12

1

1 dx x−

−∫ �

!�"�����

/������������ ��������� ������+����� �������+����� � ����

12

12

x t

x t

π⎧ = − ⇒ = −⎪⎨ π⎪ = ⇒ =⎩

1 22 2

12

1 d 1 sinx x t

π

π− −

− = −∫ ∫ ���� �� �+�

22

2

cos

π

π−

∫ � �+�

2

2

1 cos 22

π−

+∫ � �+

+� ( )2

2

1 1 cos 22

t

π

π−

+∫ � �

2

2

1 sin 2 12 2 2

tt

π

π−

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠π�

������ �

(���2�4C����6�→�����������������������$�����2

0

2 ( )d , dac� ���� ����

( )d

0, dac� ���� ����

aa

a

f x x ff x x

f−

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∫∫ �

>��������������������������������� �+���C� ������∈�4C����6�

0

0

( )d ( )d ( )da a

a a

f x x f x x f x x− −

= +∫ ∫ ∫ �G

Page 184: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

>�� ����� �������� ����� ����� ��� �� ���� ���� ���ϕ�� � +� C�� ���ϕ′�� � +� C'� ��

ϕ�C� �+����ϕ�5 �+�5�

$��� ( )0 0

0 0

( )d ( ) d ( )d ( )da a

a a

f x x f t t f t t f t t−

= − − = − =∫ ∫ ∫ ∫ �

$���������������G ������

0

( )d 2 ( )da a

a

f x x f x x−

=∫ ∫ �

>����1���"������������������������� �+�C���C� ������∈�4C����6����������������� ����2

( )0 0

0 0

( )d ( ) d ( )d ( )da a

a a

f x x f t t f t t f t t−

= − − = − − = −∫ ∫ ∫ ∫ �

�����������G ������ ( )d 0a

a

f x x−

=∫ �

������� �������������������������������������������������������

��

1

1

2ln d 02

x xx

− =+∫ �

>�������������������� �+���22

xx

−+ ��������������

��C� �+���

12 2 2ln ln2 2 2

x x xx x x

−+ − −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− + +⎝ ⎠+�C��� �

�� 3�����������

3 2007 3 5

23

sin tg 1d

1

x x xx

x−

+ + ++∫ �

/������2

3 2007 3 5

23

sin tg 1

1

x x x

x−

+ + ++∫ ���+��

3 2007 3 5

23

sin tg

1

x x x

x−

+ ++∫ ���B�

3

23

11 x− +∫ ���

(���������� �+�

2007 3 5

2

sin tg

1

x x x

x

+ ++

���������������

3 2007 3 5

23

sin tg

1

x x x

x−

+ ++∫ ���+�5�

����2

3 32007 3 5

2 23 3

sin tg 1 1d d1 1

x x xx x

x x− −

+ + + =+ +∫ ∫ �+�)

3

20

11 x+∫ ���+�)�����

3

0x �+�)

$������������������������������� �+�2

11 x+

��������

Page 185: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

������

(���2�4����6�→����������������������0�������������������� ������������ ��������

����2

� ( )d ( )db b

a a

f x x f a b x x= + −∫ ∫ �������������������� ���������#���

��

0 0

( )d ( )d ( )db b a b a

a

f x x f x a x f b x x− −

= + = −∫ ∫ ∫����������"��������� �����#������� �����#��

��� ( )d ( )d ,2 2

b c

a c

a b b af x x f x x c−

+ −= − =∫ ∫ �������"�������� ��� xba −+

2

;��������!������F����������������������

������� �������������������������������������������������������

�� -�������� ( )4

0

ln 1 tg dI x x

π

= +∫ ������������ ������������������������������� �+�4π

�C���

��+�

0

4

ln 1 tg4

⎛ ⎞π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ �C�� �+�

4

0

1 tgln 1

1 tgxx

π

−⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ ���+�

4

0

2ln1 tg x

π

+∫ ���+

+�

4

0

ln 2dx

π

∫ �C� ( )2

0

ln 1 tg x

π

+∫ ����7 �����)��+� ( ) 40

ln 2 xπ+�

���)��������8

I π= ���)�

�� -�������� ( )( )db

a

x a b x x− −∫ ���������������������2

a bt += �C����� ���#���

��+ ( )( )b

a

x a b x− −∫ ���+�

2

2

2 2

b a

b a

b a b ax a b x

−−

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ���+

+�

222

2

2

b a

b a

b a x

−−

−⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ���

Page 186: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

-�������������� ���������2

b a−��+� ��

2b a−

������ �������������������� �����

�����

12

12

b ax t

b ax t

−⎧ = ⇒ =⎪⎨ −⎪ = − ⇒ = −⎩

7 ����2

��+

2 2 2 21 12 2

1 1

d 1 d2 2 2 2 2 2

b a b a b a b a b at t x x− −

− − − − − π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �

>���������������������������������1��������� ���������!������������

;���� ��������������������������� �� �������������

/����������������0 1 21 1 1...

2 3 1n

n n n nC C C Cn

+ + + ++

��������������������������

3������������1��������'�B��

�+�0 1 2 2 ... n nn n n nC C x C x C x+ + + + ����∈�45��'6�

7 ����� ( ) ( )1 1

0 1 2 2

0 0

1 d ... dn n n

n n n nx x C C x C x C x x+ = + + + +∫ ∫ �

(���������� ��������� �+�'�B������������������ �������������2

22 1 1

1 1

2 1d1 1

n nn tt t

n n

+ + −= =+ +∫ �

J�������2

( )11 2 3 1

0 1 2 2 0 1 3

0 0

... d ...2 3 1

nn n n

n n n n n n n nx x xC C x C x C x x C x C C C

n

+⎛ ⎞+ + + + = + + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ +

+0 1 31 1 1...

2 3 1n

n n n nC C C Cn

+ + + ++

$�����

10 1 31 1 1 2 1...

2 3 1 1

nn

n n n nC C C Cn n

+ −+ + + + =+ +

Page 187: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

���� ��������������

�� � �(���2�4C'��'6�→���������������������

3�����������

2

0 0 0

(sin )d (sin )d (sin )d2

xf x x f x x f x x

ππ ππ= π =∫ ∫ ∫ �

�3����������1� 20

sin5 sin

x xx

π

−∫ ���

!�"�����

� $���

2

0 02

(sin )d (sin )d (sin )dxf x x xf x x xf x x

ππ π

π= +∫ ∫ ∫ �

-���� �����������+�π�C� �� �∈ 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦���������������������2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 0

sin d sin d sin dt f t t f t t tf t t

π π π

− π − π − − = π −∫ ∫ ∫ �

��������� �������������������

*������������������������������2

2

0 02

(sin )d (sin )d (sin )dI f x x f x x f x x

ππ π

π= = +∫ ∫ ∫ �

(���������� ���������� �+�π�C�����������������������2

( )( )( ) ( )0 2

02 2

(sin )d sin d sin df x x f t t f t t

ππ

π π= π − − =∫ ∫ ∫

*�������

2

0

2 (sin )dI f x x

π

= ∫ �����������1��������������������

-�������������������������������2

2 2

2 2 20 0 0

sin sin sind d d5 sin 5 sin 4 cos

x x x xI x x xx x x

π ππ

= = π = π− − +∫ ∫ ∫ �

>��������������������������� ��������� ����C�������� �������������+�� ���

����

00

211

1 1 1d arctg arctg2 2 2 24

tI tt −−

⎛ ⎞ π= π = π =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ �

Page 188: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�� 3����������12

� �

4

20

tg

(1 tg )cos

x

x x

π

+∫ ��@� �

2

0

sin 5cos d3sin 2cos

x xI xx x

π

−= +∫ �

!�"�����

� (������ ��������������� ����������+������ @���������������������+�2

11 t+

� �

D��������5�� ����� ���5�����������

�� ����� ���'�

0������������ ( )( )1 1 1

00 0

1d 1 d ln 11 1

t t t t tt t

⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫ �+�'�C����)�

�(��+�� �+�A������B�)����������,�� �+�������C�=������

>���������������α��β�∈���������"�����,�� �+�α+�� �B�β+′�� ��$����2

������C�=�������+�α�A�������B�)������ �B�β�A�������C�)����� �+

+��Aα�C�)β �������B��)α�B�Aβ ������

D����"���������������5����2π

� ������������2

{ 5 2 31 3 2

− = α + β= α − β ��������������

7131713

⎧α = −⎪⎨⎪β = −⎩

*����������+�

( ) ( )( )

2

0

7 1713 13

u x u x

u x

π′− −

∫ ���+�( )( )

2 2

0 0

7 17d13 13

u xx

u x

π π′

− −∫ ∫ ���+

+�

32

0 2

7 17 1d13 3

x tt

π

− − ∫ �+�C7 17 3ln26 3 2

π − �

�������������������� ��������� ����+�� �+� �

�� -����������������2

2

0

1 sin1 cos

xx ex

π

++∫ ��@� �

0

| sin 5 |xπ

∫ ���

!�"�����

� �

2

0

1 sin1 cos

xx

π

++∫ �

���+�

2

2

20

sin cos2 2

2cos2

x x

x

π ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ��

���+�

22

2

0

1 1 tg2

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ �

���+

Page 189: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

+�

22

0

1 1 2 tg tg2 2 2

x xπ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ��

�+

2 22

0 0

1tg d 1 tg2 2 2

xx xe x

π π

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ��

���+

�integr.prin p���

2 22 2 2

0 0 0

1 1tg 1 tg d 1 tg2 2 2 2 2

x xx x xe e x

π ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �

���+�2

π

e �

/��������� ���������=���� ��������

5

0 0

1| sin 5 | d | sin | d5

x x t tπ π

=∫ ∫ +

+

2 3 4 5

0 2 3 4

1 | sin | d | sin | d | sin | d | sin | d | sin | d5

t t t t t t t t t tπ π π π π

π π π π

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

+�

2 3 4 5

0 2 3 4

1 sin d sin d sin d sin d sin d5

t t t t t t t t t tπ π π π π

π π π π

⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +�

105

�+�)�

�� 3����������1��������2

4 2

0

sin cos dsin cos

x xI xx x

π

= +∫ @���+

4 2

0

cos sin dsin cos

x x xx x

π

+∫ �

!�"�����

��������

( )4 440

0 0

sin cos sin cos 1 1 1d sin 2 cos2sin cos 2 4 4

x x x xx x x

x x

π ππ+

= = − =+∫ ∫ �

��#����

( )4

0

sin cos cos sind

sin cosx x x x

xx x

π

−+∫ �

(��������� ��������� ����������B��������� ����� ������������C������ ���+�� ����

������������������ ��������)��B����

)��B�)������������+�

)�������������������

2 12

t −�

J�������2���#����

22 22 2

1 1 1

1 1 1 1 1d d ln2 2 2 2 4

t tt t t tt t

⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �'�C����) �

$���������������������� �������+�18

�)�C����) ����������1�����������������

������+�18

���)�

Page 190: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

�� (�����������2�45��'6�→������� �+�

( ]1 1, 0,1

1 , 02

x xx

x

⎧ + − ∈⎪⎨⎪ =⎩

3����������������������������������������������1�

1

0

( )df x x∫ �

!�"�����

K��������������0 0 0

0 0 0

1 1 1 1lim ( ) lim lim21 1x x x

x x x

xf xx x→ → →

> > >

+ −= = =+ +

����5 �+�12

�����������

�������5��'6����1���������������������������������������������������������

������������

��+�

1 1

0 0

1 1 1d d1 1

x x xx x

+ − =+ +∫ ∫ @������������������� ��������� ���

1x + +� ������������ )�C�'�������+�) � @�� ����

��+� ( )( )2 2 2

11 1

2 d 12 1 d 2 ln 11 1

t t t t tt t

⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫ �+�2 12 2 1 ln2

⎛ ⎞+− −⎜ ⎟⎝ ⎠

�� -���������

1

0

1 d1

xx+∫ �

!�"�����

/������������ ��������� ���� x �+� �������������ϕ�� �+� x ���������� ����"�

�5�+�5������������������������������1�2

��+� ( )0

0

limaa

I a→>

������ ( ) ( )1 11 22 d

11a a

tI a x x xtx

′= ⋅ ⋅ =++∫ ∫ � �+

+� ( )( )1 112 1 d 2 ln 1

1 aa

t t tt

⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ �+�)�'�C����)�C� a �B����'�B� a �

7 �������+� ( )( )0

0

lim 2 1 ln 2 ln 1aa

a a→>

− − + + �+�)�'�C����) �

�� � �3����������1� ( )( )1

21

1 d1 1 x

I xx e−

=+ +∫ �

�3����������1���+�( )

1

a

xa

f x

b− +∫ ���������I�5�����������������

Page 191: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

!�"�����

� (������ ������������# ��������������������#� �

D��������#'�� ����� ���'�����������'������ ���#'�

$��� ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1

2 221 1 1

1 1d d11 1 1 11 1

t

t t

t

eI t tt e t et

e

−− −

= − = =⎛ ⎞+ + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ � �

*��������)��+� ( )( )1

21

1

1 1 xx e− + +∫ ���B� ( )( )1

21 1 1

x

x

e

x e− + +∫ ���+

+� ( )( )1

21

1

1 1

x

x

e

x e−

++ +∫ ����+�

11

2 11

1 d arctg21

x xx −

π= =+∫ ��D�����+�

0

0

( ) ( )d d

1 1

a

x xa

f x f xJ x x

b b−

= ++ +∫ ∫ �

(������ ��������� ��#��"������������������� �����( ) ( )

0

0

( )d d

1 1

a t

t ta

f t b f tt t

b b−

−− =

+ +∫ ∫ �

8�������

( )0 0 0 0

( ) 1( ) ( )d d d ( )d

1 1 1

xa a a ax

x x x

f x bb f x f xJ x x x f x x

b b b

+= + = =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫ �

�� (�������

2

0

sin dnnI x x

π

= ∫ ���∈���

� 3�� �����������������������������������������≥�)���������������

=�

-����������������������2

22

0

2

0

sin d

lim

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

���

22 1

0

22

0

sin d

lim

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

!�"�����

� $�������������������+�

1nn−

�C)

���≥�)��������������������%0�����

�������� �

$�����2��=�+�

45

�A@��

A�+�

23

�'�+�

2

0

2 sin3

x

π

∫ ���+�

2

0

2 ( cos )3

x

π

− �+�23

D����=�+�

4 2 85 3 15

⋅ = �

Page 192: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

-��������������������������2

22

0 2

2

0

sin d12

sin d

n

n

nn

x xI nI n

x x

π

+

+= =+

�����∈�������������

22

0

2

0

sin d

lim 1

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞=

D�������)B)

��≤����)B'

��≤����)

������∈��������∈� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦��� ����2

�)B)

�≤��)B'

�≤��)

�������2 2 2 1

2 2

n n

n n

I II I

+ +≤ �≤�'�����∈���

D����������%�������&�� �����

22 1

0

22

0

sin d

lim 1

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞=

���� �����������

�� 3����������1

� �

1

lne

x∫ ��@� �

22

1

lnx x∫ ��@�� �2

1

lne

x∫ ��@�� �

12

0

xx e∫ ��@� �

11

0

xxe −∫ ��@�� �

2

0

sinx x

π

∫ ��@

� �

0

cosx xπ

∫ ��@�� �

2

lnex

x∫ ��@�� �

2

0

sinxe x

π

∫ ��@�F �

42

0

tgx x

π

∫ ��@�N �2

0

cosx xπ

∫ ��@

� �

( )1

20 1

xx ex +

∫ ��@�� �

1

20

arctg1

x xx +

∫ ��@�� �

1

20

arcsin1

x

x +∫ ��@

� ( )12

0

ln 1x x x+ +∫ ��@�� � ( )32

2

ln 1x x+ −∫ ��@�X �

3

0

arctgx x∫ ��@

1 2arctg

20

11

xx x ex+ +

+∫ ��@�� � ( )2

1

lne

x x∫ ��@�� � ( )2

0

ln 1x x+∫ ��@�� �

1

0

arctg x∫ ��@

� � ( )2

0

sinx xπ

∫ ��@�: �

1 2

20 4

x

x+∫ ��@�! �

22

0

9 x−∫ ��@�1 � ( )2

1

sin lne

x

π

∫ ���

Page 193: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

�� 3����������12

� �

1

0

xe∫ ��@� �

1

1

arcsin x−∫ ��@�� �

1

0

arcsinx x∫ ��@�� �

1

212

1 arcsin xx∫ ��@�

32

0

1 x+∫ ��@

� �

12

0

4 x−∫ ��@�� �

32

2

1x −∫ ��@�� �

1

20

arcsin1

x

x +∫ ���

�� 3���������������∈���������"����2

� � ( )1

0

xx a e+∫ ������@� � ( )1

2

1

xx a x b e−

+ +∫ �������

�� 3����������12

� �

2

20

sin1 cos

xx

π

+∫ ��@� �

23

6

1 tgtg

xx

π

π

+∫ ��@�� �

2

3

1sin x

π

π∫ ��@�� �

43

0

(tg tg )x x

π

+∫ ��@� �

12

0

xxe∫ ��@

� �

23

0

sin x

π

∫ ��@�� �

1

40 1

xx+∫ ��@�� �

1 2

60 1

xx+∫ ��@�� �

1

22 1

x

x

e

e

− −∫ ��@�F �

21ln

e

ex x∫ ��@

N �

12

0

1x x +∫ ��@�� �

1

20 1

x

x

ee+∫ ��@�� �

4

0

cos1 sin

xx

π

+∫ ��@�� �

2cos

0

sin 2 xx

π

⋅∫ ��@�� �

2

21

2 1

1

x

x

++

∫ ��@

� � ( ) ( )2

2

0

sin 2 arctg sinx x

π

∫ ��@�X �

3

0

1cos x

π

∫ ��@� �

1

20

2 11

xx x

++ +∫ ��@�� �

6

0

sin coscos sin

x xx x

π

+−∫ ��@

� � ( )2

2

0

1 2 5x x x+ + +∫ ��@�� � ( )21

1

1 ln

e

x x+∫ ��@�� �

log2 2

0

2 cos 2x x

π

∫ ��@

! �

3

2

1

1 ln

e

e x x+∫ ��@�Y �

2 2cos 2

0

sinxxe x

π

∫ ��@�1 ( )1

32 3 2

2

3 2 1 2x x x x x−

+ + + + +∫ ���

�� -�������������������������������������������� ������������������2

� �

1

01

x xx++∫ ���� x �+� @� �

1

0

11

xx

−+∫ ���

11

x tx

− =+ @�� �

ln 2

0

1xe −∫ ���� 1xe t− = @

� �

3

21

1

1x x +∫ ����

1 tx

= @� �2 2

41

11

xx

−+∫ ����

1x tx

+ = @

Page 194: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

� �

2 2

4 21

11

xx x

++ +∫ ����

1x tx

− = @�� � ( )3

22

1

1 1

x x

x x

−− +∫ ����

11

x tx

− =+

@

� �

12 2

0

1x x−∫ ������+����� �

�� 3����������1���������������2

� � ( )arcsin sin xπ

−π∫ ��@�� � ( )

2

0

arcsin sin xπ

∫ ��@��� � ( )2

0

arccos cos xπ

∫ ���

�� 3����������12

� �

2008sinxe x

π

−π∫ ��@� � ( )

2

20102

sin

ln 1

x

x− +∫ ��@�� � ( )12

1

ln 1x x−

+ +∫ ��@

� � ( )1

2008

1

2sin ln2

xxx

−+∫ ��@� �

1 5

21

1

1

x

x−

++

∫ ��@�� �

1

21

arccos1

xx− +∫ ���

(((

�� 3����������1

� �

2

0

cossin cos

x

x

e xe x x

π

++ +∫ ��@� �

1 2

1 1x

xe− +∫ ��@�� �

2

0

sin cos2sin 3cos

x xx x

π

++∫ ��@�� �

2 2sin 3cos3cos 5sin

o

x xx x

π

−+∫ ���

�� 3����������2

� �

22 2

2

0 0

2arcsin d sin d4

x x x x

π

π+ =∫ ∫ @� �

1 2

1 0

ln de

xx x e+∫ ∫ �������

� �3����������12

� �

( )1

20

ln 1

1

x

x

++∫ ��@� �

2

0

sinx xπ

∫ ��@�� �2

0

sin1 sin

x xx

π

+∫ ��@�� �

1

1

arctg xe−∫ ��@

1

22

2

arcsin xx∫ ��@�� �

( )2 2

0

lna a x

a x

++∫ ������I�5@�� �

4

01 sin 2

xx

π

+∫ ��@

� �2

1

ln1

a

a

xx+∫ ��@�� �

2

0

11 tgn x

π

+∫ �����≥�A�

Page 195: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

���3����������12

� �

1 2

20

arctg

1

x x

x +∫ ��@� �

12

0

arcsin x∫ ��@�� � ( )1

21

21 arcsin1

xxx−

−+∫ ��@

� �

13 2

0

1x x+∫ ��@� �

15 2

0

1x x−∫ ��@�� �2

sin

3 sin

x

x

π

−π +∫ ��@

� �

2

21

1(1 )x x+∫ ��@��

1

62

1(1 )x x

− +∫ ��@�� �

3

42

1(1 )x x−∫ ���

���3����������1��������2

���

2 2 2

0

2sin 3cossin cos

x xx x

π

++∫ ��@���+�

2 2 2

0

3sin 2cossin cos

x xx x

π

++∫ �

���3������������������������������������

3

2

arctg x−∫ �������

2

3

arctg x−∫ ��?

���� (�����������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+�

ln , 0,2

0, 0

x x x

x

⎧ π⎛ ⎤∈⎪ ⎜ ⎥⎨ ⎝ ⎦⎪ =⎩

��3����������������������

�����������������������1�

2

0

( )f x

π

∫ ���

(�����������2�45��'6�→������� �+�

( ) ( ]2

2

ln 1, 0, 1

1, 0

xx

xx

⎧ +⎪ ∈⎨⎪ =⎩

3����������������������������������������������1�

1

0

( )f x∫ ���

���3������������������������ � 2���→������ ��������������������������������

��1�������������′���������������������

( )2

20

'( )

1

T xf x

f x+∫ ���+�5�

���(���������+� ( )

12ln 2

n

n

x x+

+ −∫ �����≥�)��3����������1�

n

In

n lnlim

∞→�

Page 196: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

���(����+�

1

0

n xx e∫ �����∈���

� -����������5�����

'�

3�� ���������������������������������������������≥�'�

���(����+�

4

0

tgn x

π

∫ �����∈���

� -����������5���

'�

3�� ���������������������������������������������≥�'�

� -�������������������������

���(����+�

1

lne

n x∫ �����∈��G�

� 3������������������ ≥'

�����������������������

3�� ���������������������������������������������≥�)�

� 3����������1� lim nn

I→∞

� �3����������1�����F��������������2�( ) 1

0 1 3 11 1 ...2 3 1

n

nn n n nC C C C

n

+−− + − +

+�

���(����+�

2

0

cosn x

π

∫ �����∈���

� -����������'�����

)�

3�� �������������������������������������������≥�)�

� -���������

22

0

2

0

cos d

lim

cos d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

����

21

0

2

0

cos d

lim

cos d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

Page 197: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��� � � � � � � � � �� * ��� � # � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � # �

$������������ ���

�������

3����������12

��

1

0

d1

x

x

e xe+∫ �

�� ( )1

2

0

ln 1 1 dx x x+ +∫ �

�� ( )1

41

tgd

ln 1

xx

x− +∫ �

�� ( )1

0

sin cos 1 d .n x n x xπ

− +∫

,��2�'�����������������A�@����A�@����)�@����'��

O����������2�=5�������

������

3����������12

��

1 3

0

d1

x

x

e xe+∫ �

�� ( )1

2

0

ln 1 1 dx x x+ −∫ �

�� ( )1

1

2 2 sin dx x x x−

+∫ �

�� ( )1

0

cos sin 1 d .n x n x xπ

− +∫

,��2�'������������@����A�@����A�@����)�@����'��

O����������2�=5�������

Page 198: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���� � � � � ( ) � � � � � � � � � )

������"

3����������12

���2

0

cos dx x xπ

∫ �

��2

0

sin d1 sin

x x xx

π

+∫ �

��

2008

sin dxe x xπ

−π∫ �

�� 3���������1����������������� ( )1

2

0

1 dn

nI x x= +∫ ���������������������

����������������������!�����������������1�����������

,��2�'�����������������)������'������A������A��

O����������2�=5�������

������!

3����������12

���2

0

cos d1 cos

x x xx

π

+∫ �

���

( )2 arctg1

20

1d

1

xx x ex

x

+ +

+∫ �

��� ( )1

20081

tgd

ln 1

xx

x− +∫ �

�� 3���������1�����������������

2

0

cos cos dnnI nx x x

π

= ∫ ���������������������

���������������������������1��������������1�����������

,��2�'�����������������)������'������A������A��

O����������2�=5�������

Page 199: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

$""� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������� ��� ���� ���������������������� ���������������������� ����������

�����������

��� ���������������������������

��������������� ��������������������������������������������������������

����������→���������∈������������( )( )

g x

h x�������������� ��������������������������≤�����

�����≠� ������∈�������!

�+��7�:�+

"��������������������→��� ������������������#����������������#������������

���������� �$��

%��$��

&�&�$�'�$��

���

(

��������

( )n

A

x − λ����∈��)��λ�∈���*�����������∈��)����≤��(

���������2( )k

Bx Cmx nx p

++ +

�� �������∈���� �≠� ������&�+�� ��,� ����∈-%��&.!

/���������0�������������������������������� ��������������������������������������!

� 1�#��������������#������������→���� ���������

1( )f xx

= − λ��λ�∈���*��������

����

1 d ln ln ln lnb

b

aa

bx x b ax a

− λ= − λ = − λ − λ − =− λ − λ∫ !

2� 1�#���������������#������������→���� ���������

( )1( )

nf x

x=

− λ��λ�∈���*�����������∈�-&��3���.�

����

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1 1 1 1d1 1

bb

n n n na

a

xn nx x b a

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅ = − −− − ⎜ ⎟− λ − λ − λ − λ⎝ ⎠

∫ !

Page 200: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'##� � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 1�#���������������#������������→���� ���������

2 2

1( )f xx

=+ λ

��λ�≠� �

����2 2

1 1 1d arctg arctg arctgbb

aa

x b axx

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟λ λ λ λ λ⎝ ⎠+ λ∫ !

�� 1�#���������������#������������→���� ���������

( )22 2

1( )f xx

=+ λ

��λ�≠� ������

( ) ( )2

2 2 22 2 2 2

1 1d db b

a a

x xx x

λ=λ+ λ + λ

∫ ∫ ���

( )2 2

2 2 22 2

1 1db b

a a

x xx

+ λ −λ λ+ λ

∫ ∫ ( )2

22 2

x

x + ���

��2 2 2

1 1 db

a

xxλ + λ∫ �+�

2 2 2

1 1 d2

b

a

x xx

′−⎛ ⎞⎜ ⎟λ + λ⎝ ⎠∫ ��

��2 2 2

1 1 db

a

xxλ + λ∫ �$�

2

12λ

42 2

b

a

xx + λ

+�2 2 2

1 1 d2

b

a

xxλ + λ∫ ��

��2 2 2

1 1 arctg2

b

a

x xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟λ λλ + λ⎝ ⎠��

��2 2 2 2 2

1 1 arctg arctg2

b a b ab a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ λ⎝ ⎠λ + λ + λ⎝ ⎠⎝ ⎠!

;<&+!/6:��

1�#��#�� ���������������������������������������������������

( ) ( )nqpxx

CxBxf

+++=

2

''�����

&�+����,� ����∈�-%��&.!

1�#��&�+����,� ��������

&�$�������� ������ ������� ��#�����#���

�&�$����������

22 2 22 4

4 4 2 4p p p q p

x px q x⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ + + − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

��ϕ&����$�γ&�

�����ϕ��������$�2p����γ���

244

q p−�5� !

Page 201: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#$� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

6��������������������� ���������������2 ���������������������������������

������� ����

7!

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2

( )1 d 1d d arctg( )

b bb b

aa a a

x t tx xx px q x t

ϕ ϕ

ϕϕ

′ϕ= = =γ γ+ + ϕ + γ + γ∫ ∫ ∫ �

��( ) ( )1 arctg arctgb a⎛ ⎞ϕ ϕ

−⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ γ⎝ ⎠(

77!

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 22 2 2 2 2

( )1 dd d( )

bb b

a a a

x tx xx px q x t

ϕ

ϕ

′ϕ= =+ + ϕ + γ + γ

∫ ∫ ∫ ������������������� ���

���������!

777!�1�#��������� ����������

( )22( ) xf x

x px q=

+ +��������0������������0��#�����

���&���������������� �#8��������2������

( ) ( )2 22 2

21 1( )2 2

x p pf x

x px q x px q

+= ⋅ − ⋅+ + + +

!

9��������������������2���������� ������������������!

/������� �:��2���������2��#������������&�$������������2������

( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )2 2 22

2 d 1 1 1d db bb b

aa a a

xx p tx xt b ax tx px q

ψ ψ

ψψ

′ ⎛ ⎞ψ+ = = = − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ψ ψψ ⎝ ⎠+ +∫ ∫ ∫ !

������� �������������������������������������������������������

;#������#��

1

20

15 7x x+ +∫ ��!

����

1

20

15 7x x+ +∫ �����

1

20

1

5 32 4

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ��!

<������������� �2 �������$�52��������������������������

1

2

5272

t

t

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

�������

����

72

252

d34

t

t +∫ ���

72

52

2 2arctg3 3

t���

2 7 5arctg arctg3 3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

!

Page 202: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#'� � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#������#��

( )1

220

3 d2 2

x xx x

+

+ +∫ !

����

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 22 2 20 0 0

1 2 6 1 2 2 4d d d2 22 2 2 2 2 2

x xx x xx x x x x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ !

=������������� �:��2���������2��#������������&�$�&����&�0�������������#�

�������ϕ�������&�$�%�0�������������#(��2������

����

( ) ( )55 2 2

2 2 22 222 1 1

1 d d 1 1 d2 21 1

t z ztt z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ���

1 1 12 2 5

⎛ − +⎜⎝

2

2 21

d( 1)

zz +∫ ⎞

⎟⎠

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 22 2 21 1 1 1 1

d 1 d 1 1d d d21 11 1 1

z z z zz z z zz zz z z

′+ ⎛ ⎞= − = + ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �

��

2 22

2 211 1

1 1 1 1arctg d2 21 1

x z zz z

⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ∫ � ( )1 1 2 1arctg 2 arctg12 2 5 2

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠!

� ;#������#�� ∫ ++−1

02 1

1

xx

x��!

/��� �����

1 1 1 1

2 2 2 20 0 0 0

1 1 2 2 1 2 1 1 3d d d d2 2 21 1 1 1

x x xI x x x xx x x x x x x x

− − + −= = = ++ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ !

��������������#������ �2 �����������&�$�����%�����0�������

1:2

z x= + (��2�����

33 2

3

12112

1 1 3 d 1 3d ln2 2 3 2 2

4

zI t tt z

= − = −+

∫ ∫ �4�

32

12

2 2arctg3 3

t ��

��1 ln 32

�+�33 arctg 3 arctg

3⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ln 3 36π− !

Page 203: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

9�������#�#������ ��������#�������8���

$+;!+@9

��������������������������������������������������

<��������������→�������������������#���������( )( )

P x

Q x�������≠� ������∈�������������

������� ������������������0�������!

>�� ��������#������������������������������������ ���������

����� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 231 2 4 2 21 2 3 4 1 1 2 2x a x a x a x a x p x q x p x q

β βαα α α− − − − + + + + �

���α%�$�α

&�$�α

3�$�α

��$�&β

%�$�&β

&�≤������ 2

ip �+����,� �����1, 2 !

9������� ���� ���������0�����������

�������������$�

4

1n=

⎡⎢⎢⎣

∑ 1 11

...( ) ( )

n n

n n

n n n

n

A A Ax ax a x a

−α αα α −

⎤+ + + ⎥−− − ⎥⎦

�$

$�

( )1 1 2 21 1 1 1

2 221 11 1

B x C B x C

x p x qx p x q

+ +++ ++ +

�$�

( )1 1 2 22 2 2 2

2 222 22 2

B x C B x C

x p x qx p x q

+ +++ ++ +

�������� ����������������������������������������

kjA ��

kjB � �������������������!

;<&+!/6:�+

>����������������8���������� ���������������������������������� ��#�����������

�������� ������������#�� ����

<����0��#����������� �������������2�������������������������� ����

��������������� ���������������������������(������

( )( ) ( ) ( )

( )P x R x

K xQ x Q x

= + !

;������������������ ������������0�������������� � ��0������������������

kjA ��

kjB ��

kjC �!!!� ��������������!

1������#�����������������������������!� �����?������#�������� ������������

��������������!�

>��������������� � � ��������� ������ ��� ��!"�#�������# ��!�

Page 204: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#�� � � � � � � � � � � � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

;#������#��

2 4 2

30

1d1

x x xx− +

+∫ !

9����

4 2

3

1( )1

x x x xf xx

+ − − += =+

4 2

3 3

11 1

x x x xx x

+ + −−+ +

���

( )( )2

2

1

1 1

x xxx x x

+ −−+ − +

!

1��������#������ �����

( )( )2

22

11 11 1

x x A Bx Cx x xx x x

+ − += ++ − ++ − +

�����������������

�����������������2�������&�$���+�%������

&�+���$�%��$������������$�%�����������

�&�$���+�%�����������

&�$��+������������$������������∈�� ��&��

����������������� � ����

11

1

A BA B C

A C

+ =⎧⎪− + + =⎨⎪ + = −⎩

����� ������

1343

23

A

B

C

−⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ = −⎩

!

7�������#� ������ �����

( )( )2 2 24 2 2

3 20 0 0

1 1d d d1 1 1

x x x xx x x xx x x x

− + + −= −+ + − +∫ ∫ ∫ �

2 22

00

1 1 d2 3 1x x

x+ +∫ �+�

2

20

2 2 1 d3 1

x xx x

−− +∫ ��

���&�$� ( )4

2

01

1 2 1ln 1 d3 3

x tt

+ − ∫ ���&�$�1 2ln 3 ln 43 3

− �

����������� �� �:��2���������2��#������&�+�����%!

� ;#� ��������8��

( )2

21

1 d1

xx x +

∫ !

@�������������������� ����������0���������� �����������

( ) ( )2 2

111 1

A B Cx xx x x

= + +++ +

����������������������������������

%�������$�%�&�$������$�%��$��������������

&�$���&��$��������$��

Page 205: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

"2������ � ������

02 0

1

A BA B C

A

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ =⎩

����� ������

111

ABC

=⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩

!

9����

( ) ( )2 2 2 2

2 21 1 1 1

1 1 1 1d d d d11 1

x x x xx xx x x

= − −++ +

∫ ∫ ∫ ∫ �

��

22 2

1 11

1ln ln ( 1)1

x xx

− + ++

�����43�+�

16!

� ;#������#�� ( )( )1 6 2

220

8 d1 1

x x xx x

−+ +

∫ !

9����

( )( ) ( )( )6 2 3 2

22 22 2

8 2 9 2 22 21 1 1 1

x x x x xx xx x x x

− − − − −= − + ++ + + +

�����������

( )( ) ( )3 2

2 2 22

2 9 2 2111 1 1

x x x Ax B C Dxxx x x

− − − − += + ++++ + +

!

9������������������������2������

+&�3�+�A�

&�+�&��+�&�������������

&�$�&��$�%��$����

&�$�%����$�%��$�$��

&�$�%�

�����������

+&�3�+�A�

&�+�&��+�&�����������

3�$��&������������$��

&�$����$�&��$�����$���$�����$�

���������� ���2����� � �����

22 9

2 22

A CA B C D

A B CB C D

+ = −⎧⎪ + + + = −⎨ + + = −⎪

+ + = −⎩

����� ���������

72

032

72

A

B

C

D

⎧ = −⎪⎪ =⎪⎨ =⎪⎪

= −⎪⎩

!

9���

1 6 2

2 20

8( 1)( 1)

x xx x

−+ +∫ ����� ( )

12

0

2 2 dx x x− +∫ �+�

1 1

20 0

7 3 1d d2 2 11

x x xxx

+++∫ ∫ �+

B

1

20

7 12 ( 1)x +∫ �����

13

2

0

23x x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

�+�

1

20

7 24 1

xx +∫ ���$�

1

0

3 ln( 1)2

x + �$

1

0

7 12 1x

⋅+ �

�� ( )1

2

0

4 7 ln 13 4

x− + �$�3 7ln 22 4

− ��

4

72ln

2

32ln

4

7

3

4 −+− ���+5 1 ln 2

12 4− !

Page 206: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'# � � � � � � � � � � � � � � � � �

;<&+!/6:�+

��������� ������� ��������� ������ #����� ������0������ �:��2���������2��#

������� ���������������������!

������� �������������������������������������������������������

;#������#�� ( )2

21

1 d1

xx x +∫ !

2 2 2

2 2 2 2 21 1 1

1 1 2d d d2( 1) ( 1) ( 1)

x xI x x xx x x x x x

= = =+ + +∫ ∫ ∫ !

=���������������� �� �:��2���������2��#��&�������&����������������

����

4

1

1 12 ( 1)t t +∫ �����

4

1

1 1 12 1t t

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ ����� ( )4

1

1 ln ln( 1)2

t t− + ��1 8ln2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

!

� ;#������#��

2 2

4 21

1 d1

x xx x

−+ +∫ !

��������

22 2 22 2 2

4 2 22 21 1 122

1 11 11 d d d

111 11

xx x xI x x x

x x xx xxx

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞+ + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

/������� �:��2���������2��#�1xx

+ ������2

11 d dx tx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠�����

2 22

1 2x tx

+ = − !

9����

5 52 2

222

1 1 1 1 9d ln ln2 1 2 71

tI ttt

−= = =+−∫ !

�������� ��������������

;������

2 2

4 2 2 2 2 2 2

1 1( 2 1) ( 1)( 1) 1 1

x x Ax B Cx Dx x x x x x x x x x x

− − + += = ++ + − − + + + − + + +

9���������������������������

�&�+�%�����������

3�$��������%�����$��

&�$����$���$���%�$���$���$�$�

����������8��#� � �����

010

1

A CA B C DA B C DB D

+ =⎧⎪ + − + =⎨ + + − =⎪

+ = −⎩

���� ������

112112

A

B

C

D

=⎧⎪

= −⎪⎪⎨ = −⎪⎪ = −⎪⎩

!

Page 207: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1

1 11 2 1 2 12 2d d d d21 1 1 1

x x x xI x x x xx x x x x x x x

− + ⎛ ⎞− += − = −⎜ ⎟− + + + − + + +⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ !

=������������� �2 ������&�+���$�%�������&��+�%���������0�������������#���

�&�$���$�%���&���&��$�%�������&�0�������������#�����2�����

( )3 7

3 7

1 31 3

1 1 1 1 1 9d d ln ln ln2 2 2 7

I t y t yt y

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ !

��� ���������������������������������������������

������ �������������������������������

6�������������0���� ������� #��#��������C����������������������������� �

���������������������������!

<����� �������� ��������������������#�0�� ���������� ���

;���������#� �2 �����������#����������ϕ�������2x�������������D#��� tg

2x�≠� �

����∈�������!�/����������������������������

2

2 tg2tg

1 tg2

x

xx

=−

��

2

2 tg2sin

1 tg2

x

xx

=+

2

2

1 tg2cos

1 tg2

x

xx

−=

+����

21'( ) 1 tg2 2

xx ⎛ ⎞ϕ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

������ �������������������������������������������������������

@����#��

2

0

1 dsin cos 1

I xx x

π

= + +∫ !

@�� �2 ����������� � �������2x(�

21 1 tg2 2

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠��������������D����������������

������������� ( )1 1

1

2 2 00 0

2 2

1 2 1d d ln 1 ln 212 1 11

1 1

I t t ttt t t

t t

⎛ ⎞= ⋅ = = + =⎜ ⎟ +− ++ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫ ∫ !

Page 208: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#!� � � � � � � � � � � � � � � � �

;�2 �����������#��� ����#������������������������������0��?��������#�

����������������������0� #� ?������ #�D����������������������������!

>������������������#�������� �2 ��������������!

1�#���+ �������� ������+�� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ�������� ��

1�#��� ������+�� ������+�� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ������ ����

1�#���+ ������+�� �������� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ���������

/������� ��������������

22

2

tgsin

1 tg

xx

x=

+��

22

1cos1 tg

xx

=+

������� �������������������������������������������������������

2 3

20

sin dcos 1

xI xx

π

=+∫ �

/������� �2 ����������ϕ�������� ����+ �����������!

( ) ( )( )22 0 12 2 2 2

2 2 2 20 0 1 0

1 cos sinsin sin 1 1d d d dcos 1 cos 1 1 1

x xx x t tI x x t tx x t t

π π− −− − −= − = − = − = −

+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ��

��

1

20

21 d1

tt

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ + ( ) 1

02arctgt t− 1

2π= − + !

3

2

6

1 dcos sin

I xx x

π

π= ∫ !

/������� �:��2���������2��#������ ������������� ����!

( )

3 33 3 2 2

2 2 2 2 2 22 21 1

6 6 2 2

cos cos d 1 1d d dcos sin (1 sin )sin 11

x x tI x x tx x x x t tt t

π π

π π

⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠−∫ ∫ ∫ ∫ �

��

3322

1 12 2

1 1 1 2 3 1 2 3ln 2 ln 32 1 2 2 2 3

tt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −− = − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠!

Page 209: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'#"� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

4

0

sin dsin cos

xI xx x

π

=+∫ !

/������� �:��2���������2��#�����������������������2

dd1

txt

=+

!

14 4

20 0 0

tgsin 1d d dsin cos tg 1 1 1

xx tI x x tx x x t t

π π

= = = ⋅+ + + +∫ ∫ ∫ !

@�����#������������������������������������!

2 2

2 2 2

11 11 1 ( 1)( 1)

t A Bt C At A Bt Ct Bt Ct tt t t t

+ + + + + +⋅ = + =+ ++ + + +

����������

������������&�$������������������������������2������ � �����

010

A BB CA C

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

����� ������

12

1212

A

B

C

⎧ = −⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

!

9����� ( )1 1 1

1 1

2 2 2000 0 0

11 1 1 1 2 1 12 d d ln 1 d d

1 2 2 4 21 1 1t tI t t t t t

t t t t

− += + = − + + ++ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ��

� ( ) 1 1200

1 1 1 1 1 1ln 2 ln 1 arctg ln 2 ln 2 ln 22 4 2 2 4 8 4 8

t t π π− + + + = − + + = − + !

;<&+!/6:�+

��������� ������ ��������������� �2 ������������������������������ �����!

������� �������������������������������������������������������

4

2 20

sin 2 d4cos sin

xI xx x

π

=+∫ !

/������� �:��2���������2��#��� &���������+&�� ��� �����������������#�+ ���&���������!

���������

4 4

2 2 20 0

sin 2 sin 2d d4cos 1 cos 3cos 1

x xI x xx x x

π π

= =+ − +∫ ∫ �

��+

1 1 12 2 2

11 1

d 1 d 1 1 1 8ln ln3 1 3 1 3 3 3 5

3

t t tt t

⎛ ⎞= − = − + =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠+∫ ∫

Page 210: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$#� � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������

<���� �2 �����������������������������2

1d d1

x tt

=+

!

124

2 2 200

2 2

2 tg1 tg 2 1d d

tg 4 1141 tg 1 tg

x

x tI x tx t t

x x

π += = ⋅+ ++

+ +

∫ ∫ !

<��� ��������������������������������������2������

2 2 2 2

2 14 1 4 1

t At B Ct Dt t t t

+ +⋅ = ++ + + +

���������������������������2���������������������� � �����

00

4 24 0

A CB DA CB D

+ =⎧⎪ + =⎨ + =⎪

+ =⎩

����� ������

23

23

0

A

C

B D

⎧ = −⎪⎪

=⎨⎪ = =⎪⎩

!

( ) ( )1 1 1 1

2 22 2 0 0

0 0

1 2 2 1 1 8d d ln 4 ln 1 ln3 3 3 54 1

t tI t t t tt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ !

������

2 2

80

cos sin 21 cos

x xx

π

⋅+∫ ��!

/�����D�������2�������������������#!

����

2 2

80

cos 2sin cos1 cosx x x

x

π

⋅+∫ �����&

2 3

80

cos sin1 cos

x xx

π

⋅+∫ ��!

<���� �:��2���������2��#��� �������(�����+���

3��� ����������������������

1

2

01

tt

=⎧⎨ =⎩

!

����+

0

21

1 d2 1

tt+∫ ���

1

20

1 d2 1

tt+∫ ���

1

0

1 arctg2

t ���8π!

��������� #���8�������� ��C������������ ���� �2 ������������!

@���2 �����E

Page 211: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$$� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ������������������������������

��� �� � ������ ���� 0������ #� �#�� ����������� ��� �������� � ����� �������

�����������������!

2

1b

a mx nx p+ +∫ �

��(

�����ϕ������& ��������� �&�$��������′���� �&�$��������≠� ������∈�������!

9������ �2 ������ �����������������������������������2

db

a

Ax B xmx nx p

++ +

∫ !

������ �������������������������������������������������������

;#������#��

1

20

3 d3 4

xI xx x

+=+ +

/������� �� �2 ���������&��$�3���������&��!

9����

5 5 5 5

2 2 2 23 3 3 3

3 31 1 3 1 3d2 d d d2 2 27 7 73 33 4

2 2

tt t tI t t tt t tt t

− + ⎛ ⎞+= = = + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠− −⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

( ) 552 2

3 3

1 1 5 327 3ln 7 32 4 3ln2 2 7

t t t⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + + + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠!

��

( ) 2

1 db

ka

xx mx nx pα + β + +

∫ (

������ϕ������ 1xα + β

����α �≠� ����∈��)�� �&�$��������≠� !

<��� ������ #� �2 ������ ��D�������������������������������������������!

������ �������������������������������������������������������

;#������#��

( )

1

21

1 d2 2 4

xx x x− + + +

∫ !

<��� ��� �2 �����1

2t

x= + ��

2

1 12, d dx x tt t

= − = − !

Page 212: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$'� � � � � � � � � � � � � � � � �

"2������

113

22 2113

1 1 1d d4 2 11 1 12 2 2 4

I t tt t t

t t t

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

���0�����������������#�������C���������������!

��2 2 d

b

a

x xα −∫ ( �����α� ���� � ����α��� ��������������⊂��+α��α���α�5� !

2 2 db

a

x x− α∫ (sin

xt

α= �cos

xt

α= �����

�������⊂��+∞��α�� ���������⊂��α��∞���α�,� !

2 2 db

a

x x+ α∫ ( ������α����

;<&+!/6:�+

9�� ������������������� ���������������������#8��0��������������������

����������������#���!

��2 d

b

a

x nx p x+ +∫ (����2nx t+ = ������������

<��� ���� �2 ����������#��D����������������������������!

������ �������������������������������������������������������

@����#��

12

0

3 2 dI x x x= − −∫ !

<��� ��� �:��2���������2��#���$�%������������

22

1

4 dI t t= −∫ !

=������������ ��� �2 ����������& ���&��&�∈ ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

���������&��� �&��&

2 2 2 22 2

66 6 6

1 cos 2 sin 24 4sin 2cos d 4 cos d 4 d 2

2 2y y

I y y y y y y y

π π π π

ππ π π

+ ⎛ ⎞= − = = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ��

�32

3 4⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

!

Page 213: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ��� ��������

;#� ��������8���

2

4 40

sin 2 dsin cos

xI xx x

π

=+∫ !

�������

/������� �2 ����� ��&�����������2�����

( ) ( )( )

122

2 2 22 20 0

1 dsin d2 2 1sin 1 sin

tI x xt tx x

π

′= = =− ++ −

∫ ∫ �

1

20

1 d2 1 1

2 4

t

t⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ��

��

1

0

11 22arctg2 1

2

t −⋅ � ( )arctg1 arctg 1

2π= − − = !

� ;#� ��������8���

2

0

1 d3 2cos

xx

π

+∫ !

�������

<���� �2 ����� tg2x t= ������������

2

2d d1

x tt

=+

!�1�������0tg 0, tg 12 4

π= = �

����

112

20 0 0

d 2d 2 12arctg arctg3 2cos 5 5 5 5

x t tx t

π

= = =+ +∫ ∫ !

��� ���� ����

;#� ��������8�����#��������������

� ( )3

2

2

1 dx x x+ −∫ (�2��

2

21

1 d4

xx− +∫ (����

1

20

1 d4

xx −∫ (

���

2

1

1 d1

xx +∫ (����

( )2

21

1 d2

xx− +

∫ (����

( )1

30

1 d1

xx +

∫ (

���

( )0

41

1 d1

xx− −

∫ (�:��

( )3

222

1 d4

xx +

∫ (����

( )1

220

1 d4

xx −

∫ (

D��

2

21

1 dxx∫ (�F��

( )1

20

1 d4

xx +

∫ (����

( )3

42

1 d1

xx −

∫ !

Page 214: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$�� � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#� ��������8��

��

1

20

1 d2 5

xx x+ +∫ (�2��

1

21

2 3 d3 3

x xx x−

++ +∫ (����

1

20

1 d1

xx x+ +∫ (

���

1

20

1 d2 3

x xx x

++ +∫ (����

1

21

1 d6 10

xx x− + +∫ (����

1

22

2 5 d5 10x x

x x−

++ +∫ !

� ;#� ��������8��

�� ( )( )1

0

1 d2 3

xx x− −∫ (�2�� ( )( )

0

1

1 d1 2

xx x− − −∫ (���� ( )

2

1

1 d1

xx x +∫ (

��� ( )( )1

2

d1 2

x xx x

− − −∫ (���� ( )( )2

3

2 d2 4x x

x x

+− −∫ (���� ( )

2

1

2 3 d2

x xx x

++∫ (

���

1

20

d3 2x x

x x+ +∫ (�:��

2

21

1 d7 12x x

x x−

+− +∫ (����

2

20

3 d4 3

x xx x

−+ +∫ !

� ;#� ��������8���

�� ( )( )( )1

0

1 d1 2 3

xx x x+ − −∫ (�2��

2

1

1 d( 1)( 2)( 3)

xx x x+ + −∫ (����

1

2

−∫ 1

( 2)( 3)x x x− −��(

���

1

0

1 d( 1)( 2)( 3)

x xx x x

− ++ + +∫ (����

1

1

2 3 d( 2)( 3)( 4)

x xx x x

+− − −∫ (���

4

3

3 1( 1) ( 1)

xx x x

−− +∫ ��(

���

2 2

3 21

2 1 d3 2

x x xx x x

+ −+ +∫ (�:��

1 2

3 20

3 2 d6 11 6

x xx x x

−+ + +∫ !

� ;#� ��������8��

��

1

30

1 d1

xx +∫ (�2��

3

32

1 d1

xx −∫ (����

1

20

1 d( 2)( 1)

xx x x+ − +∫ (

���

0

3 21

1 d1

xx x x− − + −∫ (����

1 2

3 22

2 3 d4 4

x xx x x

+− + −∫ !

� ;#� ��������8��

( )1

20

1 d1

xx x+∫ (�2��

( )1

20

1 d1

xx x+

∫ (����

( ) ( )0

21

d1 2

x xx x− − +

∫ (

���

3

2 22

1 d( 1)

xx x −∫ (����

( )3

222

1 d1

x xx

+

−∫ (����

3

2 22

1 d( 1)( 1)

x xx x

+− +∫ !

Page 215: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#� ��������8��

��

1 2

20

3 d4 5

x xx x

−+ +∫ (�2��

1 4

21

d1

x xx x− − +∫ (����

1 5 4

40

d1

x x x xx− +

+∫ �(

���

1 4

30

1d1

x xx

++∫ (����

3 3 2

3 22

1d1

x x x xx x x

+ + +− + −∫ !

� ;#� ��������8��

��

2

31

d( 1)

xx x +∫ (�2��

3

21

1 d( 4)

xx x +∫ (����

1 3

40

d1

x xx +∫ (

���

( )1

220

1 d1

x xx

+

+∫ (����

2

41

1 d1

xx +∫ (����

2 2

4 21

1 d3 10 3

x xx x

++ +∫ (

���

2 4 3 2

4 21

6 3 4 1d3 10 3

x x x xx x+ + +

+ +∫ (�:��

21 2

0

2 3 d1

x x xx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ (���

2 2

4 3 21

1 d2 2 1

x xx x x x

++ + − +∫ !

� ;#� ��������8�����#��������������������������������������

��

22

0

sin cosx x

π

∫ ��(�2��

33

0

sin cosx x

π

∫ ���(����

43

0

tg x

π

∫ ��(����

34

0

tg dx x

π

∫ (����

25

4

ctg dx x

π

π∫ (

���

2

20

sin 2 d1 sin

x xx

π

+∫ (����

2

0

1 d3 cos

xx

π

+∫ (�:��

2

0

1 d2 sin

xx

π

+∫ (����

4

20

1 d1 sin

xx

π

+∫ (

D��

2

0

1 dsin 2cos 4

xx x

π

− +∫ (�F��

3

0

sin d1 sin

x xx

π

+∫ (����

4 2

4 40

sin dsin cos

x xx x

π

+∫ (

���

6

3

1 sin d(1 sin ) sin

x xx x

π−

π−

+−∫ (����

2 2

0

1 sin cos1 sin

x xx

π

++∫ ��(����

2 2

0

1 cos sin1 cos

x xx

π

+−∫ ��(

���

3

6

1 tgsin 2

xx

π

π

+∫ ��(�G��

3

4

4

cos2sin

xx

π

π∫ ��(����

2

20

2 tg 1

1 cos

x

x

π

++∫ ��(� ��

2

40

sin cos1 sin

x xx

π

+∫ ��(

��

4 2

0

1 sinsin 2 cos2

xx x

π

++∫ ��(����

4

4 2

6

1cos sinx x

π

π∫ ��(���

0

sin sin 2 sin 3x x xπ

∫ ��(

C��3 2

0

sin cos 3x xπ

∫ ��(�H�

2

0

12 sin x

π

+∫ ��(�8��

2

0

15 4sin x

π

+∫ ��!

Page 216: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$ � � � � � � � � � � � � � � � � �

��;#� ��������8��

��

2

21

1

2

x

x−

++

∫ ��(�2��

2

1 1xx+∫ ��(����

3

32

11 x+∫ ��(

���

2

11

xx +∫ ��(����

1 2

0 2x

x−∫ ��(����

2

1

4xx

+∫ ��(

��� ( )10

5

1 1x x x+ −∫ ��(�:��

1

0

1x x +∫ ��(���

1 3

30

22

x x

x x

++ +∫ ��(

D��

4

23

1

1x x +∫ ��(�F��

3

22

1

x x+∫ ��(����

2

61

1

1x x +∫ ��(

���

1

20

1

4 4x x+ +∫ ��(����

( )

1

20

1

1 1x x x+ + +∫ ��(���

12

0

2 2x x+ +∫ ��(

���

32

2

2 3x x+ −∫ ��(�G��

12

0

2x x−∫ ��(���

02

1

3 2x x−

− −∫ ��!

�;#� ��������8���

��

2

1

cos dcos sin

x

x

e xI xe x x

−=− −∫ (

2

1

sin dcos sinx

xJ xe x x

=−∫ (

2��

2 2

0

sin dsin cos

xI xx x

π

= +∫ (

2 2

0

cos dsin cos

xJ xx x

π

= +∫ (

���

2 2

0

sin cos dsin cos

x xI xx x

π

=+∫ (

2 2

0

sin cos dsin cos

x xJ xx x

π

=+∫ !

Page 217: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$�� � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ������������

�������

;#� ��������8��

( )( )2

23

d1 3

x xx x

− + +∫ !

� ;#� ��������8��

( )

34

20

1 d1 1

xx x+ +

∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

1 sin 2 d1 sin 2

x xx

π

−+∫ !

� <��� ����∈������I I�≠�I�I!�;#� ��������8�� ( ) ( )sin sin dmx nx xπ

−π∫ !

J��������������K ������!

L�����%������������(��3�(���&�(���3�(���%�!

�������

;#� ��������8��

( )2 2

21

3 2 d1

x x xx x

− ++

∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

sin dsin cos

x xx x

π

+∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

tg dx x

π

∫ !

� ;#� ��������8��

4

2 2 2 20

1 dsin cos

xa x b x

π

+∫ !

J��������������K ������!

L�����%������������(��3�(���&�(���3�(���%�!

Page 218: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$!� � � � � � � � � � � � � � � � �

�������

;#� ��������8������������

22 2

0

cos sin 2 dx x x

π

∫ !

��

7

30

1 1 d1 1

x xx

+ ++ +∫ !

��

1 3

20

2 3 d2

x x xx x

+ +− −∫ !

�!

2 2

4 21

d3 1x x

x x+ +∫ !

J��������������K ������

L�����%������������!�!�&���!�&����3����&�!

�������

;#� ��������8������������

0

cos 2 d5 4cos

x xx

π

−∫ !

��

12

2 20

d

1 2 1

x

x x− + −∫ !

��

( )( )1 4

20

1 d1 2

x xx x

++ +∫ !

��

2

4 21

1 d3 1

xx x+ +∫ !

J��������������K ������

L�����%������������!�!�&���!�%����3����3�!

Page 219: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'$"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

6�� ������� �� �������������!��� "�������� �����������

����� �������������������� �������������������������������������#���

������������������� ��������������!

�+��7�:�+

/��� ������#�����������'��#�����#�������������������#��C� #����� ������

������#�� ����� ��� ���(�'���������� �� ���� ����� ��� ����#���� �������

��������������� ��0��'����������� ������������������#���� �����������������

���������������'!�6��#����(�'�� �������������������������

��������������������������#�������������������� �2����������������������!

�+��7�:�+

<��������������→��$�����������������#!

=������

Γ����-����&��∈��

&I���≤���≤���� �≤�&�≤������.

���������)*��#�� *"�������!

$+;!+@9

<��������������→��$�����������������#!

9����� �2�����������������������

(������ ( )

b

a

f x∫ ��!

�;!;=6!A=��

<��������������→�������������������#���

�������

Ω����-����&��∈��

&I���≤���≤����&�0���� ���������.!

9������������������������

(������ | ( ) |

b

a

f x∫ ��!

����������!

��%&�$

��%&�'

Page 220: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''#� � � � � � � � � � � � � � � � �

�;!;=6!A=��

<��� ����� �� �������→��� ���#� �������

������������������

Γ�������-����&��∈��

&I���≤���≤���

&�� ��0�����������������.!

9���������������������������

(��������� | ( ) ( ) |

b

a

f x g x−∫ ��!

������� �������������������������������������������������������

;#��������#����� �2������������������

����� ��%��→�������������&����8�����!���!

( ) ( )11 1 3

2

0 0 0

1d d3 3xS f f x x x x= = = =∫ ∫ !

� <�������� ��%��→������������1,

0, \

x

x

∈⎧⎨ ∈⎩

� �!

;#� ������#������������!

<���>��� �����#���������#������ #�0����!

@���0��������������#��������������C� #�������#���������������������������

����������� ����C���+������������������ ��8���!

;#���� ����#������� �����#���������#��������������!�@��������#� �����#

��������#�������������Γ��� ��������������� ��%��×�� ��%�!�M�8��#�(����≥�(������%!

1�����������#� ���������������#�����C� #�������#����������0�������������������#

��������������������������������������#����������!

� ;#� �����#�� ������������ ������ �� 0���

����� ��� ������� &��� �� ��� ��2��� ��

�������&����&!

/��� ��8���� � ����� 2

y xy x

=⎧⎨ =⎩

������

����������������������� ��������������

���#� ���2�� ��� �2��������������+� �� ��

��%��%�����8�����!�K�!�9����

( ) ( )11 2

3

0 0

2 2 1 1d3 2 3 2 6f

xS x x x xΓ = − = − = − =∫ !

��

+ %

+%

��%&��

��%&��

��%&��

Page 221: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''$� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

��� ��� ��������

;#� ��������8�������������������� �

0������2���&&������������������������

�&�$�&

&���&!

������

>��������������������������������

��� ���� ������ ��� ������ ���#� ���2��� ���

��8���� � �����

2

2 2 2y xx y

⎧ =⎨ + =⎩

�����2�����

��%��%�����%��+%�!

9������������������ ��0��������������2��#� ����������������#� �����������8�����!�N��

( ) 112 3

00

2 42 2 d 2 2 23 3

S x x x x I I⎛ ⎞

= − − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ !

1 1 1 122

2 2 20 0 0 0

2 12 d d 2 d d2 2 2

x xI x x x x x xx x x

− −= − = = + =− − −

∫ ∫ ∫ ∫

1 112 2

0 00

2arcsin 2 2 d2x x x x x= + − − −∫ !

1��������#�1 12 2

I π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠!

� <���������������%��&��→������������

1

(1 ) xx+ !�;#� ������#�������������������������

0������������������������C�+�����������������%�������&�� �������� #�0���� 2 ����3!

������

9����#���������������������2�������C� �������������� �∈��%��&�� ����0���

( )1

2 1

1

11 d 1c

xx xc

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ !

O����������#� ( )1 11

2 2 1 3 3c ccc< < + < < �����2������������8������#!

+ %

2

��%&�

Page 222: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'''� � � � � � � � � � � � � � � � �

� <��������������→�� ������������ �5� �����������

������#����2�D����#!

;#� ������#�

( )b

a

f x∫ ���$�1( )

a

c

f x−∫ ��������%�� !

������

P�������������C����#�0����������������!

9 �����(%�$�(

&������%�� !

� <��������������→�� ��������� �≥� ������������������#�� ������� �#������� ��D����#!

;#� ������#��C� #���������ε�∈��������� ����0���� ( )b

a

f t∫ ������ε�+��� �$����+�ε��!

������

@��� �� � �� ���� ��� �#���� ��� ��D����#�

���������#���� ��2�D����#!

Q����#����������� ����8���#����������

(%�� ( )

b

a

f x∫ ����(&���

1( )d

c

f y−∫ �&!

1���������R� ���2 ���#��#�(%�$�(

&������%�� !��)�

@��������������������������C� #�λ�∈�� ����

����0�����1( )

d

cf y−∫ �&������%� ���

+%�λ�!

<�������+%��������������������)������ ( )b

a

f t∫ ������ε�+���� �$����+�ε��

���� ������S����������� ��������#!

� ;#� ��������8��

12

0

1 x−∫ ��!

������

T��������������������� ��%��→������������21 x− �� �

��� �����������������������8�����!�A�!

9 �������� ������������� ��� ��

1

0

( )f x∫ ����������

���������������#������ ��

2

4 4rπ π= �������

12

0

1 d4

x x π− =∫ !

��%&��

��%&�!

��%&�"

Page 223: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

��� ���� ����

;#� ��������8����� �2�������������#���������������

������� ��%��→�������������3(��2������� ��&��→������������

3 x (

������� 0,4

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→���������������(�������� 0,2

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������ ����(

��������%��&��→������������2

1

x(����������

2,

4 2

π π⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦�→����������������(

��������+&�� ��→��������������

(��:�����������&��→����������������!

� ;#� �� ������8�� ������������ ������ �� 0���� C�+�� ��� �������� ��������� �� �����

���#��������������

������ ,4 2

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦�→������������ ����(�2������

20,

3

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→�������������� ��(

������� ,4 6

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦�→���������������(����������+3��&��→�������������

3(

��������+ 3 ��%��→�����������������(��������� ��%��→������������+�+�!

� ;#� ��������8����������������������������#�����������:�������������

���������� ��%��→�������������&�����������

3(

2���������� ��&��→��������������+��&�����������

&(

�����������+%�� ��→������������

2

2

x����������

2

1

1x +(

����������� ��%��→��������������

�����������+�(

�����������&��K��→��������������

����������+�&!

� ;#� ��������8�����������������������2�&����&�������������&�+�&��� !

� ;#� ��������8�����������������������2�&&��������������&���&�!

� ;#� ��������8��������������������������������������������2����

&������&���&���&���1

x!

� ;#� ��������8�����������������������0������� ���� �#���#����� ����������

2

4

x�$�&

&���%����:����2�������������

2

2

x�+�&

&���%!

Page 224: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''�� � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#� ��������8�������������������� ��0������2�������������&&���������������

�������&���&��+%!

� ;#� ��������8������ ����������

22

0

4 dx x−∫ !

!���#$�����������������������������������%����&���

9����������������:�������������������������#�����������������α�&!

U������������� ��������8�,��� ����0�#���������� !

9�������������8���������������#���!

������

9���� ( )0 0 3

2 0

0 0

d d3

t t tv a t t t t

α= = α =∫ ∫ ����������8����

������������������#�������� ( )0 0

3 40

0 0

1 1d d3 12

t t

v t t t t t= α = α∫ ∫ !

� "���:�#����������������� ���#������� � ��������������#�������������� � ���

�C���8�8#����������8�������������0��������������#����������8������#�*���#���

��:�#!�9��������8���:����0�������������� ���!

������

1�#� F �� ��������C�����#���:����� rF �� ������������#������ rF F ma+ =�� ��� �

����� ( )rF um t′=��� �

�� ′������������2��������C���8��!

@���0���8����� ��� 0F =��

������ ( ) ( )um t ma mv t′ ′= =����� �

��( )

( )( )um t

v tm t

′′ = !

( )( )

1

0

01

0 1

d ln lnt

t

m t mmv u t u u

m mm t

′= = = −∫ �������

%�� ��� ���:���������������

%!

;<&+!/6:�+

/��8���:������� �� ���� ����8�������C���8�����8����!�@����� ���:���� �

���������D��#������8��� #������:�#������ ln 2v′ν = −���

!

Page 225: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

�������������

@�� ����#����������#������� ������#��������������-�⊂��� �2�������������������.!

<����.����0����������������∈�-���������.������������������������.���������

���#���������������� ����������.�������������.���-�→��!

1�#������.�� ����� �#�����#�.������. ������∈�-�����������������������������

�����.������������ ��������������?����������0��?����������� ��/������.

���%���!

����8���0��������������� ����� �#��������� �����������8����

��������� �,��

%�,�'�,��

����������������������������������#

0 1 1 2 1, , , ,...n na b x x x x x xL L L L

−= + + + �������

1 ,k kx xL−

�� �����������������������������

.������������ �����������������������+%

�0�����������!

1�#����������8�������� �� ��������������#������������.� �����C���8#����

�����������������+%

�������������������� �#�.

�!

1��������������������������������.������������ ��������������������� �

���C���8#���� ( )11

n

k k kk

F x x −=

−∑ !

;<&+/6:�+

O���������������� ������������������������ ������#�����������������������

�����.������������ ���������������������� �� ( ), db

a b aL F x x= ∫ !

� "���:�#����� #� ����������������0�� � � �2�����������������������������

.���& ��%�+�&�!�9������������������������������ #�����#����������������#

�������#����������0�#������&��� ���0�#������&���& !

������

U������������������� �� ( )0 0

20 0

0 0

1d 2 1 d 22

y y

L F y mg y y mg y y⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ !

� Q����#���������� �#��������0����������� ��

������������#�"�����#�����������"������ �

�����������#���� ����������� ���#�.���������

��5� !

U����������������� ���������0�����

�� ��������#�����������"���� �� �

00 220

0 02 2

xxx kL kxdx k x= = =∫ !

"����

.

��%&�$

Page 226: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

'' � � � � � � � � � � � � � � � � �

!�'� (��������������������������

����� ����������� ����������� ������������������������������������������������

����������������������������:�����������!

�+��7�:�+

/��� ������#�����������'�������������� �������� �������#��C� #����� �

�����������#��,�'��������� �����������������������#���������������������

����� ��0��'����� ��������� �����������������������#���������������������

���������������'!

�+��7�:�+

<��������������→��$����������!

=������

�����-����&�����∈��

3I�

2 2y z+ �≤���������≤���≤��.

��������� �#�*"���!�*���#��#��#��

)*��#�� *"*��*� !����0��1*#*"�����+��

=���������������������������� ��������� �

��������#���

$+;!+@9

<��������������→��$�����������������#!�9��������������

�������������

ν�������π 2 ( )

b

a

f x∫ ��!

������� �������������������������������������������������������

;#������#���������� ����������8#�#�5� �

/������ �����������������+#��#��→���

��������2 2r x− �!

1�#�����#�������������������������������

0��D�����C���+�������2������� ���#�����8#�#

����������0����������C����!

��%&�$

��%&�'

Page 227: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

<��������� ����#�� ����������������2��#����������������������2���������

( )3 3

2 2 2 4d3 3

rr

r r

x rv r x x r x− −

⎛ ⎞ π= π − = π − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ !

� ;#� ���# � �#������������� ����������������!

/����������������������������������

�����+������→������������2 2b

a xa

− �������≥�

0��D�����C���+��

<������� ��������#������������2��#���

�2�������������

( )2 2 3

2 2 2 22

4d3 3

aa

a a

b b xv a x x a x aba a− −

⎛ ⎞π π⎛ ⎞= π − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ !

��� ���� ����

;#� ��������8����������������������������������������������#��������������

������� ��&��→������������&��%��&(

2������� ��π��→������������ ����(

�������� ��%��→������������3x (

�������� ��%��→������������3 4x x− (

�������� ��%��→������������31 x− (

�������1

, ee

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������2

ln

1

x

x +!

��������%�����→������������4x!

� ;#� ��������8���������������������������������������������

����� ��π��→������������

cos , 0,2

2 1, ,2

x x

x x

⎧ π⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨ π⎛ ⎤⎪ − ∈ π⎜ ⎥π⎪ ⎝ ⎦⎩

!

��%&��

Page 228: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''!� � � � � � � � � � � � � � � � �

� ������������

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

�����%��&��→������������( )( )1 2x x

x

− −!

� ;#� ��������8��������������������� #�0����������������%���������C�+��������2

&���&��+�������!

��;#� ��������8������������#������2�����������������&&���&�������

&���&�&����,� �!

J��������������K ������!

L�����%�������������!��3�!���3�!���3�!

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→�������������� ����!

� ;#� ��������8��������������������� #�0����������������%������3��C�+��������2

&������$�%������!

� <���2�������������������������#����C�+������������%������2���&����&!

;#� ������������������������������+&�����0����2�0��������������������������!

J��������������K ������!

L�����%������������!��3�!���3�!���3�!

Page 229: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

''"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + � � �

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→���������������� ��!

� ;#� ��������8���������������������������� ��0�������2�������������

&�����

��&����%�

����������������%������&!

��;#� ��������8�������������������������������!

J��������������K ������

L�����%������������!���3�!���3�!���3�!

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������4 21 x− !

� ;#� ��������8���������������������������� ��0������2������������

&&�������������&���&��+�%!

� ;#� ��������8�������������������:��������!

J��������������K ������!

L�����%������������!��3�!���3�!���3�!

Page 230: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

������������������ ��� ����� ��

�������������������� ���

�������

�� �������������� ������

22 13 1

x xxx

⎧ ⎫+ +∈ ∈⎨ ⎬+⎩ ⎭� � �

�� ���������������������∈������ ���� n �∈������������ �������� n �∈���

�� ������∈���������������� d �∈��������������������������������������������∈���������������

���� d �������� d ���� �����������������

�� �����������������������3 2 ����

3 4 ������ ���������∈������ ���������������

�������

�� ���������� �����

3

32

11

n

k

kk=

−+

∏ �

�� ����������� ���� �����3 1

2x −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

�!�"�

�� ������#� �→����������������������� �×������������ ������������� �����$ ��������

������������$���� ��� ���������

�� ���������%��������∈��������������������������&���������������#

�'����≤�()�*'� 1 11 1a b

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠�≥�+�

��������

�� ����������������∈����������������� ��������#���→������,�'��� 2

1, 01, 0

ax xx ax x

+ ≥⎧⎨ − + <⎩

�������#

�'���-���� �)�*'�� -���� �)��'�*�-���� ��

�� ��������#� �→� �������������������������������*�-���� ������������������ ���������������� ��

*�-���� ��

�� ��������������� ��������� ����������#���→�������������������������,������',�'���.&����(�

�� ������#���→������,����'���/�

�0�1�

���������� ��������-���� ����������� -���� �������� ����

Page 231: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� ������������������������2��*������,�'���,����/'�

&�.�,/����('����&��.�(����∈�����

�� ��2 ����������

�� ����������������∈���������������� �� ��2��*�������,�'�����

&�.�,&����('�����.�(�

��∈�������������� ����������� ��33�

�� �����(�����

&������������� �������

&�.�&��.�&�����

���������� �������2���������

4 2 4 21 1 2 2

3 31 2

1 1

2 2

x x x x

x x

− + − ++

+ +�

�� ����������������∈������������������ ������33 2 33 ( 8) 8x x+ + + ,��.�('���&����

�����*������� ����

�������

�� ����������������∈����������������,��.�('�&���&�������.�&�≤��������%���

�� ���������� ������� ��

2 2

2 2

( 1)( 1) 12( 1) ( 1) 30x y xyx y xy

⎧ + + =⎨ + + =⎩

�� 4���������������,+��.�&�����'�%������ �����&�%�+���

�� 5�����������∈����������������� ��������#���→������,�'���2

2

( 1) 6, 12 , 1

mx m x xx x m x

⎧ + − − <⎨− − + ≥⎩

���

�����������������������

��������

�� 5�����������∈���2��� ����#��'�

13 3x x= )�*'� ( )

1 122 2x x− = �

�� 5�����������∈���2��� ���������������2�����,�&�.�1�'

�� 6���� ��������� ��

3

3 26

5

( ) ( ) 6

x y x y

x y x y

⎧ + + − =⎪⎨

+ − =⎪⎩�

�� 7������������ ��,��'�≥(

�����2��������������� ������

��(���

2

1 523 n

n

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����≥�(���(���(�

�' 7��� ������&���

/���

+���

1���

8�

*' 7�2��������������������� �� � ��3 5 ��7������������� ����2�������

�� ���������������������� ��3 5 9

Page 232: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� ���������� �����

89

1

lgk=∑ ,�$��

�'�

�� �������������������$�����������$��������$

��������$

����≥� 3

2����������%�(�

�� 4������� � ���������� � � ��/(��

�� 4����������$ lg xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����$ lgyz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����$ lg zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����$�$xy�0��$�$

yz�0��$�$

zx����������%���

��������

�� ������∈�����!.("��5���������6�11

zz

−+ �����⇔�:�:���(�

�� 5�����������∈��������������� ������&�.�,��.��'����&����1���������������������������

�� 5����������(���

&��������

��∈���� �:�

(:���:�

&:���������:�

�:���(���������������

(����

&����������

����.���

�� 5���������� ��������#���→���� �2�2����������,�'�����,ε�'����������∈���� ���

ε�∈��������ε/���(�

��������

�� �'�4�������������������������������� �����������2 12

n

n

zz+

���������2 12

n

n

ziz

−�

*' 7��� ������������&�;�0����+�;�0�����8�;�0�����<�;�

�� 7��� �����

1

0

npk

k

=ε∑ �� ����ε

��� �������������������� �������� ��������������∈����������

�� ������������∈���������� �������������������������������������������������������������

5���������������&��������&��������&�������������&��������&��������&������

�� ���������∈����:�:���:�:���(��5�����������������:����:���(���� ���������0�ε��� ������0�ε&�� ����ε��������������������� �������� ��������

��������

�� �'��������������������

)2)(1(

1

++−+nn

nn��������

11n +�.������

12n +�

*' ���������� �����∑= +⋅+

−+n

k kk

kk

1 21

1arcsin �

Page 233: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

�� 4������������,�,���$�& 2 ''�∈��������∈���

�� ��������������,�������',������'�≤�2

16π

������∈�=.(��(>�

�� ����� ��������#�=���(>�→�

2

, 04

⎡ ⎤π−⎢ ⎥⎣ ⎦

����������������,�����'����&�.�π�������∈� 0,

2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

5�����������#��'���,�'���,�������'&�.������)�*'��������*�-���� ��

�������

�� 6���� ��������� �#� 2 2

2 21

x yx yx y xy

⎧ + = +⎨ + − =⎩

�� ���������� ���� ����#�8�

���&���/�

���&��(

�� ���������� ���� ����#

��$����� 2

2loga

x ���������� log nn

ax �.�

12��$

����(

��� log na x ����∈������%������≠�(�

�� ��������������� ����������∈�����������������2x x aa + −

�%�1a������∈���

�������

�� 7����� ������ ������������� ��$����� �/�������� ���� �&��� �� �/��� �� �19

�� ����������������2����� ��� ��&����������2 ������������������ � � �� 2nnA �

�� �������������������1 12n n

m mA A+ −= ���� ������������ ���2������������

�� 5������ * ������� ������!(��&��/��������"�� ����������������#

�' � ?��������������2��(�������2��&9

*' � �������� � ��������� �����(����&���������������2����������9

�' ��������*����� ��9

�' ��� ������$���������1 2

2 2 22k k k kn n n nC C C C− −

− − −= + + ������ ��������2 ��������'��*'���'�

��������

�� @��? �� �� ��� � � ���� �$����� ��� ���� ��� ����2����� ��2��� 2��������7��� ����

2�*�*���������������2� �� �$������ ���2�� �2������9

�� A��2������������������� �������(����������������A����� ����� ��B8���������������

5 2�� ��������2����� �� ����������� �����������2�*���������������(���

7��������2�*�*��������������� �������������*���������� ��������2 ������ ����������

2�*������������ ���9

Page 234: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

�� �' 5���?�� ��������������������*������*���������$���������$���*����

7��������2�*�*������������2�����*��������������������*�������*������*�9

*' 7��� �����0 1 1 2 2 0...k k k kn m n m n m n mC C C C C C C C− −+ + + + �

�� ���� ���!��C���#�!(��&��/��+"�→�!(��&��/��+"����� �����"��7��������2�*�*���������������$���

�������2������� ���������� �������������������-���� �9�5��� -���� �9�5��*�-���� �9

��������

�� ���������� �����

0

rk r km n

k

C C −

=∑ �

�� ������������������������ ��� ���&�/��

+�������� �������,����������'

(��

�� 7��� ������ �� ��������������������� � � ��(BB&�

�� 7��� ������ ��2�����/������������������ � � ��,(�.� 2 '(��

�������

�� 4����������� ��,��'�≥(����� ����������� ����������2�$�����$���������������

� �������� ( )2 2 21 2 1... na a a −+ + + ( )2 2 2

2 3 ... na a a+ + + ���,�(�&����

&�/����������

�.(��'&�

�� 5���������2� ��������������� ����2�$�����$������������ ����������(�����

&�

�����������(����

(����

&����������

(������

&����

((����

(&����������

&��

�� �������������� 2 ��3 6 ��

6 54 �� �� ������������ ����2�$�����$��������

�� ��������������� ��$����������� � ��,��'�≥(�������(���(���&���&����

51na + ���

3 22n na a+ ⋅ ������≥�(�

��������

�� 5�����������∈��+�������������#

1 2 3 43 4 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 2 3 44 1 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 2 3 42 3 4 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 6���� ��������+��� ������

&���

1 2 3 44 3 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ����� �������D��(�D��

&�D�����D��

��

��������������σ�∈������������������σ��� ( )

1

n

i ii

a aσ=∑ �������������

�� ����� 1 2 3 4 5 6 72 3 4 1 6 7 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈��E��7��� ��������!��∈���:�σ�

����"�

Page 235: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� 6���� ����������� ����#�

1 2 32 4 53 5 3 2

x x xx x xx x x

− − −− − −− − −

�����

�� ���������� ���� ����#���

1 2 36 9 8

2 3 40 1 6

3 4 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠�

�� ����������������∈���������������� 2 2

2 11 1

2 2 2

a a x xx x

a x x a x

− − −− −

− − + −�����������������������

� *���� ������$�

�� ����������������$ ��������� ���

1 1 2 4 22 1 3 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟α β γ α β⎝ ⎠

��α��β��γ�∈���

��������

�� 5���������α��β��γ�∈��������������������� ��

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 11

x x x xx x x xx x x x

− + − =⎧⎪ + + α + = −⎨⎪ − + + β = γ⎩

����������2���*��

�����$ �������������� � ���������&�

�� ������������� �������2����������������� ��������� ��������������4�������������� �

��$��� 2 2 2 2

3 3 3 3

00

00

x y z tax by cz dta x b y c z d ta x b y c z d t

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨ + + + =⎪

+ + + =⎪⎩

�������� ������ ����*������

�� ������$����������������������2���*��������������� � ��

2

3 4 04 0

( 1) (2 1) 0

x yx y

x y

− + =⎧⎪ + − αβ =⎨⎪ α + − αβ + − γ =⎩

����α��β��γ�∈���

�� ���������� ���� 2�� �������2���� � ����∈������ ������� � �#�2 ( 3) 5

( 5) 2 12

x y a zx a y zx y z a

+ + − =⎧⎪− + − + = −⎨⎪ + + =⎩

Page 236: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������������ ����

���������� ����

������

�������������� �� ������ �������������������������������������

����)������������ �)�!��� ���!�)����)����������)��������������)����)� ����"�"�#������"�"��)�

������"�"��)� ���"����"�""�#� ��� "����"�""��� ����"����"�""�

����$����)�2

1, 0,( ) ( )

a ab a b b b a b

⎛ ⎞⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

�� % � � & # ! � � & ' ( ! � � & '

� � � & ! ! � � & ' ! ! ! ! ! ! !

� � & � � � � & ' ! � ! � � & '

& � � � � & ' ! � � ! � & ! � &

& & � & � & ' ! � � ! ! !

& & ' ! � � & ! & � ! & �

' ' ! � � & ' ! ' & � �

�������$���∈����$�∞��������∈����$�∞��⇔� ���#�)��#��)��#��!�*����⇔����#����#����#�&�*�!�⇔���#������#����*�!$����+,������ ��������#���*�!$���#���*�!����� ����+,���,����)����)����

��-����#��.����#����#�����#� )������������#�/!��0��,����)����)���∈����$∞���������,��,

-����#��.���������������#� )������������#�/��*�!�⇔�����#�����������������#�&������������#�.�*�!�

�����)����������-������-��#�-����∈�1.$��!2�⇔���≤�����-�≤���⇔�"����-"�≤��$����� �"����-"�≤����3����"����-""����-"�≤���⇔����≤������-������-��≤���⇔�.�≤������-��#������-��#�-�≤��!�⇔��)���∈�1.$��!2�

�����������������*�12�⇔�&�������������#���*���⇔�����������������#�������*�!�������

�����$���∈�1 ,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠��������,�������≥�!$����,��≥���

����������≠���⇔��������������#���#���≠���⇔���������������#���≠�!�⇔����������������≠�!�����������������������������������������������������#���#����������������������������������

����������������������������������������������������#��������������#����������������

��������������������������������������)����)�����2

3xy

x y−

− −�)�����

22

32

23

xyz

x yxy

zx y

−− ⋅− −−− −− −

������

������)�����������������������$�!��

������4 �����������������5����������������������������������������������������

.�6��!������ �����������������������������������!�

����7�������,�����������

! � �

! % % !

� % % ������� ������������ ��� �������������� ����������������������

� ! � � &�������� �� ��������������������������

Page 237: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������8��������� ���+,$������� �����+,���������������������������!�

����7�������������� ���+,�����)����)���≠���)����)����������� �����+,������������������������

������� �������������������5�������������������

����������������������������

����9�� ����,���,�������∈��!$� ���:����+,���,���������3

( 3)( 3)xy

xy x y+ − −�*�!������ �

6����,�,� ��� ��+��3

( 3)( 3)xy

xy x y+ − −�;�!�⇔� ���;� ���#� ����� ������ ������

����<���$��$���∈��$��5��,�6�������������������� $��$���∈����������0��=�������>� $������>��$

�����>������ ��������������>����→��$��>�����2

x xe e−−�������?���+,��

3�������)������>� ��>���#��>����>� ����>� ����������)����)������>� �����������!�������������

������������������������������

����7�������������� ���+,$������� �����+,$�����������������������12���

���@���������������������,������������������������∅$����������������������

����A��������������������� �������������������������������

����A������������������$�!����������������������������$���$����$���$���∈���

�������)����)�������������)��������

�����

�������)����)��������)����

���������

�����

�����

��)�������)�������������������������������������������������)�������⇔����������

⇒�������(������������������������⇒�������≠�!$�������,��,���������+������,�0����� �����

0�����������������������������������������������

������

�������)���∈���⇔��������������#�)�≥���⇔����������������#���≥���⇔����������������≥�!����)����)�������������������#�)��)�������������������#�)���������������������#�)�������#�)�

A�������������������)������$�����∈���⇔��������������#�)�����⇔������������� ��������

B�����,�������

�����:����+,���,�������

����

�#�∈�����

�����

�⇔�����$� ����������� ���������������� �

������� ���+,���� ����������� ����,���� ���������@���� ������������� �����+,�����

�����

�#����

����

���������

�����

��⇔��

�#�����

��⇔�����������⇔�����!$������

!�����������������������

����� nf ′ ����!�⇔������′���!�⇔��′��������������������

��������

���∈���

���3� ������������������� �� ������������ ���+,$�������������������������$��$�!��∈��$

�����������������$��$���������1 1, , zx y xy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��A��������������������������$�����≠��������������C���$�����������,��������′��� 2 izz i−+

?��8 �,�����$������4x y y

y x y+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠����!$�!����������������������������$������������������

� ������������$�����

������������������������������D7��������������������������������������������������

������������������� ������ �������������������������������������!��

�����9���� ���+������������������������������������������

��$����$��$���∈����B�����,

������$��

�������E ���������������+����,������������������$�����������9����)�������)��$

Page 238: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

����∈����$�����+����1 1ax be ae bx

xe xe+ +=+ + $�����∈����$����⇔�������������������⇔����������������!$

����⇔���������!�⇔��������9����)������$�����∈����$�����+��������������������$�����∈����$����������,�����!$���������+��� ��������������������FFG������� ������������� ���$�� ���

���������������������=�������+���������$���$��� ���������!�����

����)���������� ������ ��#�α���-�*� �⇔������ ������ ��#�α������≥�!����������α��������9�� ����,�����0��=��,�

�(��������(��

$����∈������ ���� ����,���

��

�����

��

�5��$�����������,��������

���������

������!

���� ��������

����

���

�����

1 2 3 4 55 4 1 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���� .

����&!����

������

�������

�����

�����������������������+�������

����� 5 ���� 3 �⇔������ 5 ����(� 3 ��� 5 (� ˆ ˆ3 7= ����� 2���� 4 �⇔���∈�H 2 $� 6 I����� 4 ���� 3 �⇔&��≡� ��� ��.��⇔�&���� �#�.�$���∈������������� ���,��������,��,� �� �&�������)��������#������#��������������������� ���+,�����������������������������)��′������⇔

��′����������′�#�������⇔��′��������������� ����≠�����′��� 2 32

xx

−− �∈���⇔�

2 4 12

xx− +− ��

����#�1

2x −�∈���������,���������"���⇔���������±������

������∈�������������������⇔���$��������������6���� �����������6�0���

���

����"�����!"���"�"�#�"�

!"�⇔�����λ�

!$�λ�≥�!$�

0zM ���Hλ�

!�"�λ�≥�!I������������������������!�

λ�!�#�λ′�

!���!�⇔�λ′�����λ�≤�!$�λ′�≥�!��������,�λ′���!��������������������������������!�

������

���0

0

n

n

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������⇒��

��������

�����⇒��$���∈������H�$�ε$����$�ε���I$������ε�����

�,�,��,���� �����������,�������������������������

����3+���

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 2 1 1 1 2 1 22

2 1 2 1 1 2 1 2

00 0

0

a a b c a b b dx

a c c d c b d d

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

3+���� ������#��

������

����#��

����� �� ��

����#��

������

����#��

��������

�����

���� ���

����� �

�������

�������

��������

�������

��������

4����������������⇒���∈�H!$��I�������������������������

��������,�������

������ �⇔�

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�1 2 1 2

1 2 1 2

10

a a b cc a d c

+ =⎧⎨ + =⎩

�⇔��������

��

������

����

������

����+����������������

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����������

1 1

1 1

00 1 0

0

d b

c d

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

����A���������������������!����⊕��′���!�⇔�H��#��′I���!�⇔������′�∈����B�����,������′����⇔��′����������� ��������������������������������

������ˆ ˆ3 2x = �⇔������ 3 ����(� 2 ����������+���������� 3 �����+����3 �(� a ���1�⇔� ��≡����� ��&!�

⇔� ������#�&!�$���∈��������40 1

3q +

���39 1

3q q+ +

��� ��#�1

3q +

�∈���⇒�1

3q +

�����∈���

Page 239: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ������������ � �������#�����&!����� ���&!����&!�#��/���&!��������#��/��������,������ 3 �������27 ����

� �ˆ27 2 54⋅ = ����14 �

���������$�Δ������������ �����+������������������������∅$���������� ��,����������

������������Δ� ������⇔���Δ����Δ� ������Δ���⇔����Δ����Δ� �����Δ���⇔�∅Δ �����Δ��⇔�������Δ��������J����∪����J����

�������������⇒��

�������

��⇒��

����������

��⇒��

���

��������

��⇒��

&������

��⇒��

&��

������

&�⇒

�&���

�������

&�⇒��

&��

&�������

&�⇒��

.������

&�⇒��������

&�⇒�������

&�⇒��

&�����

9���&������

��⇒��

�����$��������

��������⇒������$�����������

����<����∈����A����������������⇔� ���& z ����������E �?�=�������������� �����

z ���&���� y �������9������6����$�����=��� z �����������17� ��#�& y ��

A����������� ��������,��������������?���+,��+������,$���������������

17� ��#�& y ��

<��!���������������!

���������#�� z �

������"���!��⇔�!����

������!

�$�!�������

����!

���������

���������������

171 ���������#�&�� z �����2�������

!�������!��⇔�!���!

�����

�����!������!

��������������

�������#����

�������������

������

��������������� ���π��������#������π������������ ���π��#������π���� ���π��#�����π�����������(�������������

��(��

�����"�

����"���"�

�"�(�"�

�"�������

���(�����

���

�� �����������������������������������������#�������

���"�!�������≠�!�����������������������������������������������������������������

������ �����

�����:����+,���,��������� ����������,����$��'�$� ��������� ���������������� �������������∈����������������������$��'����'�$� ��#� �������$��'�$� ���#���$��'�$� �����������#�������

�����A���������������$���∈�������� ��������,����������������������������?���+,�

��������������#�����

$�������)������������#���

��)����#���

�������#���

����#���

��������#���

���

������#���

��#�)�����#�����

��������(����������������������������→��!$�∞�$�������������������� � ��������������

�����<����2 2 2

2 2 2

2 2 2 3 2...2 2 1 2 3 1 2 1

nn

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ − −

� � � ��������,�����α��0����������!$�∞�$�(��6���

K0�� �����L������������0����������

��

2

2 2

2 2

2

222 2 1

2 1 22 1

kk k

k kk

−⎛ ⎞ −=⎜ ⎟−⎝ ⎠−

�M�

2

2

2 22k

k−

�M�

2

2

1kk

−�M�

2

( 1)( 1)k k

k

− +�

������2 2 2 2

2

( 1)( 1) ( 1)( 1)1 3 2 4 1...22 3

n

k

k k n n nnk n=

− + − +⋅ ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ =∏ ��9���α������� 12

nn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠������

���������!����!������������������$�����∈����������������������#������$����$���∈����������#��

��#�����#��

����

���������#�����

���#�����#�����

��������������,�����8 �,�����������$���∈����3��������������α$

�������������#���#�����#������������#�������#�����#�����������������###���������$�����∈���

�������������������������������(������������������(�������∈����� ��+���������+��

Page 240: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���������!����!��������������$���∈�������6����-������ ����,���,�����������$���∈����:����+,�

�,���������������1nn

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠����

1 1 1...n n n

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠�����

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�#���1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�#�����#���1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����(���1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

9��������,���1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���an$�����∈��%��N��,���

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�������an�∈��$�����∈��%$�� ���

����������������!�

���9��,����������$������� ����� �������������� ���������������

���B�����,������$�� ��������������������?�����

����������

�����

����� � ������������"����→��!$�∞��"��

�������

������9�������(������������(�������������,����������������������� 1 x+ �������������������5��.$�������,�

�����������������0���!$�∞������� � ���������������→��!$�∞�$�����������������������

������E�����,��"�

ori

...n

x x x� � ������ ����"����(�"����(���(�"�������"�����

�������#����

��"��������

22

x −�

������,�

ori

...n

x x x� � ������ ���"�������#���

����(2 2) 2

2

nx + −����

������#��������

���������

������

�����3��������������� �������������3�,�,���,���$�)������������ �����+��A��������

������������������������������������&������3�,�,���,���$���������� � ������������

�������������

2

3��3�,�,���,���� �����������������������+,����,����������)��

�������)��������������)���������⇔��������)�����������������#���������������#����#�&��#

#�&�������#����#�)�������#�����#�.��#�&�#�.��#��&�

��������)����������������#�&��#�&��#�)��)������#�&��#�&��#�)�������#�����#�.��#�&��#�.��#��&�

���A+�������1�2$�#������������� �����+�6���1�2$�)�������� � ����������������$����������$

����α�#�β�$���)��������#�����������$����)����)�������α�#����β�#���α�#���α����)����)���������������)�1�α�#���β����α��2�����α�#����α�#���β�#���α���A������������������������9�� ����,���� ��,���)����)���������)����#����)���$����$��$���∈��1�2�

��N��� �����������$���� ��� �����������������������������

��F�����������+� ���������� �� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

0000

000

000 yx

$��$���≠�!�

����� ���

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

adacba

000 $����� ����

�����,���≠�!$������� �������+������,�����,�����!$������� ���!

�����

����� �#���

���� �#�

1nC ��#�

2nC �

����� �������

������

�6��

���!

���

εε+ε+ε+ε+=

ε+ε+ε+=

ε+ 22 )())((

1

baba

ba

baba

ba

ba���

22

)1(

baba

ba

+−ε−−+

���22 baba

ba

+−−

��

22 baba

b

+−�(�ε��������,��,�� ���������������������$�����5���������!$�������+��������

Page 241: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���222222 333

3

3

1

yx

y

yx

x

yx

iyx

iyx +−

+=

+−=

+� 3 �∈��1� 3 2�⇔�

22 3yx

x

+�∈���6

22 3yx

y

+�∈����������,�

2

22 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ yx

x�#�

2

22 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ yx

y�∈���⇔�

22 3

1

yx +�∈���⇒

����#� �

���"���⇒��

��#� �

������⇒��

������(�����!�����

���9����)�������)��$�������,��������9����)������$�����∈��$�������,����������������$�����∈��$

������,������$�����!�6�����!�����

���A�����������+����������������������$�⊕$�*����������������������∈��

�������������

��$������������������H�$�'$�/$���I�

����������� 2 $����� 3 �������$����∈�H�1$�1���� 7 $� 3 ���� 3 $� 5 ���� 9 $� 7 ���� 5 $� 9 �I�����@�����,���� ������ 2 ���� 1 �������������� ����0���

��$��������������������� ����

��������������� 5 $�����$��� 5 �6� 5 �������+�������0���)����� ����

���(�$

�������9� �����

������������

)����������,��)

&�����������6��

�∈�����

)��������� ������∈��$�������,��,

0��6��������������$���$��

$��5��,�� �������������9���

�����

$���*��$����

������

����9+� ���������� ����$��

���H!$��I�→��$��

�������{1,

0, \xx

∈∈� �

$����������{0,

1, \xx

∈∈� �

�������A�����������+��������������� 1$������ 1 $������� 3 $������ 3 $������ 3 $�����

������� ��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

dcb0

$� ����!�⇔���������!$����������!$���������!�⇔������!�6�����!�����

�������������������

��� �������+������,�⇔����� �����⇔����������1 �⇔�����������1 �⇔�������1 �6������ 0 ����������� 0 �6������1������������������%���

����-����∈�%�6���������1 �⇔��

��#��

����1 ��N��,����∈�H 0 $�1I$����∈�H 0 $�1I�

B�����,������1 $������!���������� 0 $���������������� �����

�����������1 $����� 2 $����� 3 �������������+������,�⇔���������������������+�������0���

)�⇔�������∈�H 1$� 5 I��N��,����

���� 3 ���� 2 �� �������������� 3 ���� 3 �6� 3 ����1 $���∈�H 1 $� 3 $� 5 I�������������������$��

� ������������������ �����

����N�� �����������+������ 4 �� ���������������

⎪⎩

⎪⎨

=+=+

=+

xxfxf

xxfxf

xxfxf

6)()2(

5)2()4(

3)4()(

3���=����������� ������ 2 �������#���� 4 ���#���� 2 ������!$���������������#���� 4 ���#���� 2 �����!$

��������� ����=��������� ���������� ��������������� 2��

����������+,���,���������,$�����=���������������������0��� � �������������� A �6

��� A ���

112100010

��� 2 �≠� 0 ������ �����+������������$������ ������ �����+��������$

Page 242: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������,��,�������≠�!$�������������+������,�� ������� ���������+����$�������,��,������

���������+�������0���$����������������+������,�0��������� ����

��������������'����

'�#�

15C �

&��#�

25C �

�� �#�

45C ��

&�#�

55C �

'����

'�#�'�

&��#��!�

��#��!�

�� �#�'��

&�#��

'�

N��,�'�&�����

&��#��

&�����

&��#��

&��#��

&����!��'��

&���!���!�

�� ���!�

�������O������ ������������������ ����������+����=��������������

���������������#�� �������#�� �������������� �������#��� ��������� ������#���(�!�(�������

����7�=���������� ����������)���������N��,� ������������

)������:�������������⇔

��#�����!��������,���������!$�������� ������∈���������∈�������#���)�����#���⇔��

)�#�)�

'�#

#��'�&�#��!�

�#��'�

��#�)����!��N��,�)�

'�����

'�#��

'��#���

'�#��

'��#���

'�#��

'����!�#�!�#�!���!�

)����!������ �$��!� ���!���'�

&����&�

&�#��

&���!�#��

&����

&����

&���'�

�����

���:�������

)����

&$

���,��&����$����������

�������A5��������

�$�#$�(��

������

�����<��α���� 3 7 �6�β���� 3 49 ����,�,���,�α$�β�∈��$������$�����!��:����+,���,

α�#�β������∈��������αβ������ 3 37 ���/���∈��$�α ���β

���/� ���&-�

�∈����������,

�α���β��α��#�αβ�#�β�

��∈��$���������α���β�∈��������9������6�����������,�α$�β�∈���

9��,� �� ≠� !$� ������ ���� ��33 497

11

cbax ++= �� @������ �� ��,��� �,�

x

1�∈���

3 7 �

��� �������,����� ���������������=������� ����������������� �#��

�#��

��� ������

#����#��

���� ��� ��������7�=���0��������,�� ����,� ������������

3 7 $������3 49 �6

������=������� �����������

x

1����

��#��

��#��

���� ��� ������ �����

abccba

acbabcbca

x 21497

49)(7)7(71333

32322

−++−+−+−= �������,�����������������������

�����9��,� 0ˆ ≠b $�������b �������+�������6� 22 ˆˆ ba + ��!�⇔���������#�1 ���!�⇔����

������ 2 $

�� ������������,�0��� $� 2ˆ 2 ≠x $� ����������� x �∈��

�� �����&��� ����-��'���

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

− 5ˆ,ˆ

ˆˆˆˆ

�baabba

����������⇔��

��������!�⇔�����������#������!�⇔�������������������N����������������H!$��I$

0������ ������������H!$��$���I�

���������

������

�������#�����!�⇔����±�����

�#� ���&���!�⇔��∈�H�$��&I��9��,��∈���J�H��$��I$������

����������� �����,��∈�H��$��I$��������������������������,����1$������������!�����,�����1$�����������������,��≠�±�$������������&�����&

�#��#���*�!���������������,����+��������,

�*�!�����,��∈�1��$�!�$��������#��*�!$�����&�#��#���*�!�����,��∈���∞$���2$������

&�#��#������

�#����#�������#����

�����#����#���*�!��� ��������#����!�

�����B,������������+���,��,��� �� ��������� �����������#�������$�"����

��#�������$��$��$

�$���∈���6����,�0��������6����������� ��������������������.$�������������$���������!$

�������������!��� �����������$�����.$�����&$������ �

Page 243: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���8���5��,�� �� ����!������ �������������,���������,������!�����$�!�������������

����������������'$�������$��

�����$��� ����

��������#���&�������

'�����

&�#�

14C �

�#�

24C �

��#�

34C ��#�

44C ���

'���

15C �

&�#�

25C �

���

35C �

��#�

45C ����

55C ��

� ������������� ���

14C �(���

55C ��#��

24C �(�

45C �#�

34C �(���

35C ��#�

44C �(�

25C �

������#���������!���1��#�������

��2�!�����#�

110C ������

���#�

210C ������

����#�

310C ������

�� �#�����#

#�1010C ������

���!$�� �������������

&�������,�0���� ������

210C ������

���$�

310C ������

�� �6�

410C ������

��&$

���,��04

410

13

310

22

210 CCCCCC ⋅+⋅+⋅ �

������������������ 3 ������� 3 ��#�1 ����������

�#���������

��#�������⇔���������#��������������!�⇔���������������

���������� ������� ������� �� ���������������

����� �� α���&� � α��� � ��α$������ �� 9

π��&�� �

9

� � �

9

� �

9

3�� �

2

1

3=π

9����� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

9cos ��� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π

9cos3

9cos4 3

�#�����

2

52

2

1 =+ ����

18cos

9

4

2cos

9

4 π=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π=π

� ��

18�&� �

8� � �

8� ��

6�

2

3����

2

3

9

4sin =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

�#���

�������9��,���,������� ��#�� ����$���≠�!$����� ����������������!�

���9��,���∈�� $������������������� 0 �������"� ����� �#� ���"�#� ��"��#�" $�0��,� ���"������"

�����"����

��"��� 0 �� �"�����"��#��"��#��"���� 0 �������"���!� ��������"� �#�! ����� �#�" �#�! �

�������@ �� �����������������������������������$���������,$�0������� �����$�������=��

� ���������� ���

� ������ �� ����������������,��,������ �������� �#�����#��� ������#����

����� �����������,����������+�������(�����$�(���� ����$�������,����#� ��� ������#

#��� �#���1�� �#����#��2��� ��#�� �#����������������� ����������������,�,�� �����

��������� �#�/�

��#��&���P���1���#������#������#� ��#�α���#������#����#�β���#����#�γ2�(��P��

�����#� ��P�#�α���#���P�#�β���#���P�#�γ�P

∑=

n

kk

1

3( #/���#��&���P���∑

=

n

kk

1( #� �P��#�α ∑

=

n

kk

1( #���P�#�β ∑

=

n

kk

1( �#���P�#�γ ∑

=

n

kk

1!��

������

k

kk 422 −+���

!

)1(

k

kkk β+α+−���

)!2(

1

−k�#�

)!1( −α

k�#�

!k

β$�����≥���

∑=

−+n

k k

kk

1

2 42������#� ∑

= −

n

k k2 )!2(

1�#��α� ∑

= −

n

k k2 )!1(

1�#�β ∑

=

n

k k2 !

1��3��� �∑

=

−+n

k k

kk

1

2 12��

�� �#� ∑= −

n

k k2 )!2(

1�#��α� ∑

= −

n

k k2 )!1(

1�#�β ∑

=

n

k k2 !

1��� �#�)

����#�α�)

���������#�β�)

�������→

�#���#�α��������#�β�����������α�6�β�,�������� ������� �������)����

!

1...

!2

1

!1

1

!0

1

n++++ $

���������������������6������������

����������#� ��

���#� ��

����10nn CC + �#�

2nC

��#�����#�

nnC

���10nn CC + �#�

2nC

��#�����#�

nnC

�$

� ������������ �

���0nC �(�

nnC #�

1nC �(�

1−nnC �#�

2nC �(�

2−nnC #�����#�

nnC �(�

0nC �����( )20

nC �#�( )21nC

#�����#�( )2nnC ������ � �������������

knn

kn CC −= ��� ������������

�0�����#� ���������

nnC2 �

Page 244: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������,� ( )20nC �#�( )21

nC �#�����#�( )2nnC ���

nnC2 ������ � ������������������ �

���#� ��

�������� ���

6�������,��� ���������� �

�0�������������0nC �(�

nnC ���

1nC �(�

1−nnC �#�

2nC �(�

2−nnC #

#�����#�����

�nnC �(�

0nC ���

⎩⎨⎧

=− knCn

kk

k 2,)1(impar,0

2

����E ������������ �!�0����������#� ���

��!������#� ���

�����#� ���

��(�����(����#� ���

��

������(�"�����⇒��������#�����"����!�⇒�����������!$�������,���� �� ��� ������$�������

��������!�#��

��#��

��#�����#��

�!!�����������

�!!$�����������

!�#��

� �#�����#��

�!! �!!

�!����

��#��

��������#��

�!!�������������

�!!����

���E�����,�������$����ε�$����ε��$������ε��������,�,������ ������ ��������,�����������

!�#��

��#��

��#��

�#�����#��

�!!�

�������!�#��

�ε�#��

��#��

ε �#�����#��

�!!ε�!!

��������!�#��

��#��

�ε&�#��

ε)�#�����#��

�!!ε&!$��ε ����$�ε��#�ε�#�����!�

3���=�������,���� ������

�� ����#� �� ��#� �� ����� �!�#� �

�#� �

)�#� ����#� �

�-.�������

!�#��

�#��

)�#� ����#��

�-.��

��

3

1�

�!!�#�!

�!!�#�!

�!!����

�--�

@������������!�#��

&�#��

.�#�����#��

�!!$�������,�������$�������$������$��������6�����,������������

����,�� �������

������

������=���� 4 �#� 2 �

�#� 2 �#� 3 �6�������� �#� 4 �����=����!�6�����������������

'���' �#�.��� ������#�� ���/�����6������

���� ������#�) ����'������9������������,

���!������'$���� ���� ������0�� �����0������� ��������������������� �,����������������6���

������������������������ 1)1 = $����� 2)1 = �

���8����������� ������+������ 5)1 = $���������� ���������,���� 0)1 = �

������������������������$���������&$������������$������ &�������#��

�#��

��#�� �����

������,���������

2

3$�����!$�������

����������� ��#� �����"���� ������0�� ���� ������6��������������)$

���������

3

)12(

12

1)2( 2626 −−=−−

−−�

�������� �#����"���� ������0�� ���� �������6�������,����������������$����������� ����

���������������� �#�����(�"�#���� �#����⇔�� �#����

�&�#�

���#�����#�

��#�����

��� �#�����(�"�#���� �#����⇔�

�&�#�

���#�����#�

��#������ �#����(�"������0�� ���������������

�������� ��#���"���� ������0��,��������������0���1 2$������$���∈��������������,�0�� ���

0���������������������������������������,���� ��,������������������+�������������

�������� ��#� �#���"���� ����$��$���∈����0�� ��������ε�6�������,���ε��#�ε�#�����!�6

�������������� &�

���#�

�!�#�����#����#�

�#�

��#� �#���

��D���������,�,� ���������������������=��������� �����

���N��,�������,�,� ����������� �$� ������� �#� �#������

��#� ������ ������#�& �����

Page 245: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

3�����

2

12

3

−+++

XX

XX���

2

14)1)(2(2

2

−+++−−+

XX

XXXX��� �����#�

2

142 −+

+XX

X�� �����#

)2)(1(

14

+−+XX

X��������

)2)(1(

14

+−+XX

X���

21 ++

− X

b

X

a�����

����

!

2 1 2 0 11 1 2 2

������ ���)

��#��� ���)���� ������ ������ ��� ��������

���)

��#��� ���)���#��

��#�� ����$

0�� ���� �����$��$��������+$� ���������� ���)

��#��� ���)��(�α�#�� �

�#�� ������������+

����� ���)

��#��� ���)���α �

�#�β ���.��#�� ��#�� ����$�����$��$���������������������������

��������������'��������#������!�⇔����������!�6�&�����#�����!�

����E=����0��,���������"��� ����� �

∑=

n

kkg

1)( ���∑

=−

n

kkk

1

2 )2( ��� ∑∑==

−n

k

n

kkk

11

2 2 ���

6

)12)(1( ++ nnn�����(�

2

)1( +nn�

�������� �#�

���� �#���������� �����"���*$�*�∈��������� �����0��,�������������⇔

����� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X "���*�⇔����� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X �"�#�*��9���������>�������Q �����0��,���� �� ���

����� ���

21�� ���������� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X !�#�*

���������,�"���

21!�6�*

����*�

������ �

���

���

��

��� �

!

� � ! ! ! ��� ! � �

� � � ��� � � �

��������� ������� ����������1������������������� 2)1 = �

��������� ���� �#�����#� ������0�� ���� ���� �#��$� ���������� �#������1� �#���

����� �#���

#��2�� �#����#� � �#��������⇔���� �#������� ��#� �#����� �#����#� �#��$������������� �#���

����<�������!�#��

� �#�����#��

� �

����������������������!�#��

�������#�����#��

����� ��

�����

!����

� ��

���������� �

��������� ���� ��#��

����

�� ����

���#�����#��

���������

��� �

�������� ��(�"���� ������������

����������

����� �

������� ��+�"����B�����,������������� �"����������� �(�"�#����� ��"������#� #

9����������0��,��������� �

������������ �#���'�#��� �#���

&�#��� �#���

�#��� �#���

��#��� �#����#����@�����0��,����������

��� �#��������>�������Q ���������0�� ����� �����0���������� �→� ����� ������

��� �������� '�#��

&�#��

�#��

��#�� ����$�0��,���� ��������� �����

'�#� � �����

���� �����

��#���

9��+ ��,���� �����$�������,��������������� �#��� 1� �#���

��#��� �#����#��2�#��� �#���

��#

���� �#����#������������������ �#�����#��� �#����#��$�����$��$�������������������

�������

������������0��,������������"������

2

1 ab −+− �#�

2

22 −−+ babb��������,������������!�

������3+���� �����ε��#�ε�#�����!������ ��#��$���∈�����������#���#���

�������!�⇔���

������!

⇔�����&��#��$���∈���

������ &�#�

��#����

)��������������(�"����� �������

&������

&�#�

�#�

��#� �#����

�����(� ���"������������,���$�"�������� �

����$� ���

�������� �����

Page 246: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������8�$��� ������� �#� �#��������+����

&�#�

��#� ������N��,����

&�#��

�#� �������

��#� �6�������,������������!�

��������$�������!�⇒������!��$������!�$���

�$��

��������������&!!�⇔��!!�

�������&!!�⇔

��������&�⇔���

�����$��

�����&��������

���� $��

����.�����

����.$��

���� ����

�����&$��

������

���<���������$�������

�$���

�$��

��������������1�$��2�����

�����3+������

��#��

�����-.�6���

������/�!�

�-./�!�����$�������R��$����,���������������������,������$����#��

����-.�6��

�����/�!���

� �����������-!�6��

����.�������������������0�������������,������$��������

��#��

����&$��

������ )!

���� ������������0���������������&!$��

����-������+����

��� ����������� ��� � �� ���� �� ������� �,� ��� ��� ������ ��� � ���� ����,� � �,� ������ 0�

�� ���������A��������������������,����!���B�����,��������

����������� ��#����

���"����

��#���"

�$���

�$�"

��������1�$�"2����

��#����(��

��(�"

��

B�����,����(�"

����

��#� �#������ �#���� �#������ �+����

���� �#���6�"

���� �#���

������$�"$�!����������"�$�!����� ����$�!���� ������1�$�"$�!2���11�$�"2$�!2���1� ��#��$

��#�

�����2���� ������ �#����

��#�� �#����

������������������� �#���

��������"�(� ���*���"���*

� ���

�������*

�����

������ �#�!

������� G �#��

��#��� ����

�#�

��#��& ����

�#�

��#��& �#��

��� �#�����

���������� �#�

��#��& ���� �

��

��#������� �#�&

����������,������� ��� �#����� ,��&

��#���&��������� �#��

���& ������ �#�&!���&�

���R���)��������� �#�'����&�

B�����,��,���������������������,����!$����,��)�����������!�6�'����&����!�����

����A5�������� �� ���� ����6�"������������,������������,�� ��#�� �#����

��#� �#� ������

3+���� ��#� �#� �� �#� ��#��

��#�� �#����� ���&������

�������<��� �

����$�

�#�������$�������,� �

���������(���$�

�#��������$���

�$��

��������3��,

�������#����

����������$��������

��������#���

������������

��9�������#���

������������

����������(�"��#������"

�����$� ��������R��$����,�

�����6�

�#�������������0�������������7�����

� �=������

����$��

�#�������$���∈�������������R���������,��,�������������������������������������

�������

��������������!�⇔��� �#����� ���!$� ����+,��� ������������0��,������

�#����� ��������������

��������������!��������ε�����ε�#������#�ε/�����ε�����#�ε/����ε���#�ε/����ε�#�ε���!��������α�∈���J��

��,�,��,���� �� �����"��α ��������α�

���α�#�����!$����α����α)����#�α�������α)��

�(���#

+ ��������#�������

α1�#�α�������

αα−α+ 21���!���������

�10 �����

�10 �!���

�!�#�1��

���10 �!

� ���1����� �!���1����� ���1���10 �!��� -��������� ���1����� ���1��(�"��0��,�"�1����!$

����"�� ����1�������

��#� ���&���� ������ �#�&������

&�#�

����&����

�������

��#�&����� ������ �#����

��#�&���

��� ������ �#���� ������ ���������� &�#�

��#�����

&�#��

��#�����

�����

��#���

����

���

��� ���� �#����

��#� �#������� ��

��� ��

��� ��

�� ��

&������

&�#�&���

&�#�&

��#�&���&

���

��� ��#���

����&

�����

����� �#����

��#�� �#��������������� � �#���� �#���� �#� ���

��1 � �#� �21� �#���� �#���I���� ��#� ��

��#� �#������ �,��

��#� �#�����-�����

������� �� �����������������,�0��� �

������1���� 2 �#���#�1��� 3 �#����� 0 ������ 0 ����� 2 ��������1����� 2 �����#�1 ��������1 ��� 0 �⇒�����1��� 2 �����,���≠� 0 �6���≠� 2 $�������� �� �����������������,�0���

$�������������������

Page 247: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

�������1����!��� �#� 2 ��#� 2 �� �� �#�1������

������@ �� �����������������,�0����$������������0������ ������������ �����������F�

3���������,�������� ����,�0���� ����������� ��������������� ���� &�#�

�#�

��#� �#�1 ��

��� ��#�� ������

��#�� �������0������$�������,��6� ����������������������1�

�������������1������������1�������1 ��9��������������� ��������������1 �N�� �����0������������ ��������������1 �6������1���� ����

��� '�#�1��� '

���1 ���� ���1�� &�#�

�#�

��#� �#�1������ &

�#����� &��������

�������

��#�1�

��� ��� 1�� �#�1�� ��#�1������ &

�#� �#��

��#� �#�1 ���� &

�#� �#�

���#��

��#� �#�1���

�� ��

��#� �#�1��#�� �

�#� �#�1����� ��#� �#�1�� �

�#�1����� ��� 1��� ��#�1��

������� ���1�� ��� 5 ������ ��#�1 �

������ ���� ���������������0���1 2��� �������������������,�0�����N����>���0��� ����

�� 3 ������������,��+=����,�,�����± 3 �����@ �� �������� �����+�����������6������

������� ������� �� ���� ��� �

�������Δ��� 89 − ���1����$���� ( 3 ±1�� 2 �������� 3 ±1�( 3 ���

���� 4 $��

���� 3 �������� 3 $��������

������,����$�������������������� ����

�����������& ���)

��#�& ���������<��"� ������� �������� ���������,��,��������%���������$�����∈���

�,�������������,�����"��≤�)�6�"�����������,�������������)� ���0���$���$��$���$��$�����B�����,�,�"���!$����,�"������!$�����∈���

�������<��%�*�!��������0��=�� f �����%���� f ���$�����∈��$�������,��,��������%���������$�����∈���

�,�������������,���������≥����<5,���!�∈����3+�������

!��������

!�#�%��������G�#��%���������

������!�#��%�$�����∈����B�����,��,�� �� ������6�� �� ����� �����������

!������������0���G

�����������+�� ���B�����,��,�� �� �������������������������!�$����,��������≤�!$�� ���������

���9,��+�� �������0��������������,���������� $��� ��������!����!$�������� � ���������!$��� ������� ����!$�������� �� ���)���9��������,���� � � ��� �� ���)�$����,����� � ��� �� ���)�"$"�∈��1 2��N�� �����0������������,$� �������� �#� � � ��� �� ���)�"� ���

��� ���)�� �#� � � ��� �"� �#� �$���������"� ����"� �#� ��� g ���������������� ��,���

��� ��,� ���B�����,�"������� ��������6������ � �� �� ���)�"�

���<������������������� ��,$��������,������� �� ���,������� ������,$�� ���������

����<��� �� ����0��������������� $����������������'����

'����

'����

'�� ����+,���,����������!�

������,��� � �������������� ��� � ���������6��� � ����������B�����,��,���������������������������((��α����#����#�����#�β�����������������9=���+�� ������$��$����������,��α$�β������������������� �� ���,�������� �������5���,�+ ������$�0����������������

<��$��.����$�.��#��!!!����������$

���!����!$�'��$

�� !����&$ $�$

��)!�����)$-$�$

��.!�����.$-�

������$��.�����!$!!!!�.

�#�!$!!' �.

��#�!$!! �.���!$�.&��� �� ������������ ���������

7��������B�����,�$��'!����� $�/)$�����$�'!�����!� $�/)���

��

���������� 4 �������3 $��

����5 �������� ��������� �#�1 ������#�1���������#�1�������������������

�,� � � #� �� �� !� �� �� /�� ������� ���� �� ��� � ���� /�� #� � 6� /�� #� '$� ��∈���� 0��,

����������&

�������� �#����

������� ������������������������������,�����������

�������

��N��,����� �� �������� ������ �#���� ����������� � ����������� �,��������������OS���

��8������������,�,��,�����,���� �� ����� '���

�#�

������6�����,��������

�--.�����

����′���& ��� !

��#�/� �#�&����

��������

����)! �#�/����!$��

����$��

���� $��,�,��������,

� ������������ �

Page 248: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������#�

!1

)1()1( −f� �#����#�

!2

)1()2( −f� �#���

��#�

!3

)1()3( −f� �#���

�#�

!4

)1()4( −f� �#���

&�

�����������������#�

!1

)1()1( −f� �#����#�

!2

)1()2( −f� �#���

��#�� �#���

�(�"�

������N��,���� &�#�

��#� �#������

��#� �#���� �������=����

���� �6��������' �#������

&�#�

��#� �#������

��#� �#����

���� ��#�' �#����������,�

21

41 xx + #� �

��#�����'�

��#���6

22

42 xx + �#� �

��#�����'�

��#���

����������� ���

3

i−������

��#��

��#��

���

3

43 +− i$� �������

��#��

����

3

42 +− i$

������,������������� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

3

42i���#����������,��

��6��

��

������

321

111

xxx++ �����⇔��

�� �#��

�� �#��

�������

���� �⇔��������$��� ����

���23

22

21 xxx ++ ����

���� �⇔���

��#��

��#��

��������

����#��

�� �#��

�� �����

���� �⇔

������(��������⇔�

���� �����± 3 �

��������&����6�+����,��������������

��#��

��#��

�#��

&�����!��������,��

��#��

�����

�#��

&����'�

������

�#��

&��#��

�&��

��#��

������'!�⇔��

����#��

�&����!����

������

�&�����&��B�����,��

�����)�

� �&���&�����

����22

21

23

22

23

21 xxxxxx ++ �;�)

23

22

21 xxx ��

22

21

23

22

23

21 xxxxxx ++ ��

������ �#��

�� �#��

����������

���� �����

��#��

��#��

��� ������

����&�;�!�

�������21

31 xx − #��

��#�����!��

22

32 xx − #��

��#�����!��

23

33 xx − #��

�#�����!������,������,����

���0�����������,���������$��

�$��������+$��

�����������������������������,����0���������6�� ��� �

��#���#� ���!������������6

������� ��� �������

��#���������#� ���!�����������

����

1

1

1

32 3

x

x

x

xx −=

+�

��������>�����������

x

x−3������

����

�� ��

11

321 3

xx

xxx−= $���������>�����������

x

3−�

�������23

22

21 xxx ++ ���

������

��#�������

������;�!�����

23

22

21 xxx ++ ����

�������

�������

����#���

�����

���#���

����

���������

���� ���;�!�

�������<�������������������

������������

������′�������1������

������������

��#������

�������

����

�����������#������

�������

������������

�������

nxxxxxxxf

xf

−++

−+

−=

′ 1...

11

)(

)(

21

�����$��

�$����$��

����������,�,������ �� ���������

���

�#�

����#�����#� �#����������,��

)1(

)1(

f

f ′�

����������#��

�����

��⇔��

��#��

��#��

��� �

��⇔��

�����

3

a�⇔�

3

3⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− a

�#��

2

3⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− a

�#�� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

3

a�#�����!

⇔��� ���-���#��/����!������ ������������

����

�+����� �����,���,�,���������� ����α$�α�$�α���

Page 249: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

9�������������OS����+�����#���#���������������#������

������$�α

� �������������,��

����

��

����� ������,�����!$��+�������!�6��,�,����������α$�αε$�αε������,���≠�!$�����3

ba

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

������������ �#��

�#��

�������������!�⇔�����������

����������#��

���#��

�������������!�⇔

����������������������

������

�����!�����

������������ ����$�������,�"�

�"���"�

�"���"�

"������"�"���"�

��#��

��#��

"�����"���"���"�

����#��

�� �#��

�� "��

�� ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

321321

111

xxxxxx ����(�

321

111

xxx++ ��� 321| xxx ++ "���" 321 xxx ++ "���"a "���"�"�

���������� 321 xxx ++ �#����#��

��#��

�∈��$�(������������#���∈��������6�������∈���

����������#��

��#��

��������

����#��

�� �#��

�� ���

2

1142 ++ aa������,����0����������� �,

����,��� ��������������

��#���

������

��#���

�����

������������

������

��≤�������� 3,2,1 �

������,����≤��������≤���⇔���≤��

��≤� �

����E,��,���,�,������� ��������α 3 $�α�∈��$�α�����$�α���3

1�

�������������������+,��������+�6� ����������������

�#� �

������������

�����#�

����

����������

�� ��#����������

���$����$���

���������

������#��P �

�������P������,������,����

�����P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

!...

!2!11

2

n

XXX n

��B�� �+,���������6� ������� �������$��������

��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

2

1,1,1 � ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −1,

2

1,1 $� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− 1,1,

2

1�

����9��� ����������,������������� cba ++ ����������������� cbcaba ++ $������� cba �

������,��,�H�$��$��I�6�H cba ,, I������� ������������6�������������� ��������,

H�$��$��I���H cba ,, I��8���������+�������b $��� �����������������"���"���"b "���"��"$�� ���������

���� �����������+������� c ���������� a $����,���∈�������

����8 �,��������������α�����������������β$�������γ�$��$��$��������� ������������. ���α.��#�β.���γ���!$����,����.����. ���α.��#�β.���γ�����α$�β$�γ�*�!$����������,����.��;�!$

������� ����.�≤�!������������$����������������,�,�������+������!�

������

���������� ����

����� �$��

���

2

1$��

&���

3

2−�����������/�#� 3 ������/ 3 $��

$&���±� 4 3 ������

���� ε ���ε��

0��,���� &�#��

�#�

��#�� ��������

��#� �#�������� �������������!$� ������$���

������)���������������;�!$����!��*�!�����������,�� �� �������� ��,�,��,�0������+����

���$�!����� ������������,������ �����������+,$����� �����,�,��������������������B�����,

�,������������ ��,�,��,�����,�

������� ������ �����

22

2

3

2

1

2

3

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− iXiX ������ �����

������������� �����#����

���� ����� � �#���

Page 250: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������:����+,���,���������,�,��,$����������� ���������� '���������������

&�#�

�#�

��#���#�����

��� ������ ���ε�� ���ε��� ���ε �� ���ε&����� �����H� ���ε�� ��� ε �� ��� ε ��2�������

��� )�#������

��#����

&���

��#�������

��#����

&�#��

��#������

������

��#���1�

��#���

����

�2�������

��� &�#��

���� ���

&���

��#�

���� ���

��

�������#� �

����������

�������

��#� �������

���T�������B ����

������<������������→��$���������� �#�����������������������,� ���$������������������ �� �����

����������������� �� ����������������� ��,�,��,�����,�������,�,������������,�

:����+,���,��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2

1(������;�!�����<���

�������������

��������������

��#��

��#��

���!$��������

�,������

21��$�������∈� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

4

1,

2

1$�"�

�"����"�

"�����

�� ���

1

1

x�∈���$����

������24

23

22

21 xxxx +++ ��� ����

�����

����#���

�����

���#�����#���

����

&���

�� � ( )24

23

22

21 xxxx +++ ������

����#�����#��

�&����-���� ����&�;�!�

��������������

����#���

�����

���#���

����

������!�⇒��

�����

�����

���

2

33 +−�

���9��,��&�����$�������

3 32

1 1

2i ii i

x x= =

−∑ ∑ �#� ���!�⇔�

32

1

( 1)ii

x=

−∑ ���!$����,�������

�����

�����

�������

������������#� 5 ���

��#��

��������

������&���

��#��

��#��

�#��

&���&���

�#��

&�������

���� �&���.$��

�&������

�������������� 2 $��

��#��

��������

����������0��,����� �� �������

����� �#��$��������������

�,����!�����������$���

������ ������ ��� �#�� 2 ��� ��� ���� 2 �

������

2)52(549 +=+ �����#� 5 �

� ������� 5 �� �����#� 5 ��������#����� �����#���

��

��A��������������,�,��������6�� 2 �

�������3 22 + �⇔����� 2 �

�����⇒��

��� �

� 2�#� ��#������ 2 �����⇒

� �#�)�������� 2 � �

��#����⇒���

�#�)������

������ �

��#���

��⇒����

������� �������#��

��#�� ����$��$��$���∈������� 3 2 ����!�⇒��

3 4 �#��3 2 �#����!�⇒�������������!�

�����@ �� ����������6��,�,����� 35 − $�� 35 − $�� 35 + �

������� &����)

��#�&$���������+�������

&����!

��#���

���@ �� ����������6��,�,����� 23 − $�� 23 + $�� 23 − �

��������ε����ε'�#�ε&�#�����ε��#�ε�#�����!�����E �� ��������� '�#�

&�#������

��#� �#����(�"$

"�∈��1 2$�����"���� ��B�����,��'�#��

&�#�������

��#���#���"������

��#���#���≠���

�������

�����9��,�������������,�,������ ����$����������������0����$����������������+� �����&�

����������

1

2 24

−−−

x

xxx�∈���⇒���

�#��

��#���#���∈��$�������������"��

⇒�������∈�H��$��$���$��I�����

Page 251: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��9��,����� ��,�,��,���� ��,$������������0�����,�

9������,����������

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈α−α

α−α=∈ �� ,2

3

mm �

��B,�,����������+� ������������$���$��$�����O����,������=���

����� &�#��)

���)!

��#��) �#�)&���� �����

��

��#��! �#��)��≥�!�� ����+,���,�������

�,�,��,�����,������ &����

�#��

����� �#������

����� �#����

��#����≥�!�

�����8 �,��3 4 x− ����$� 1+x �������+����������� $�����,����0�������6����&��������

��#�������$������

�#��

���'����� �������������� 3 2

35

a ba b

+ =⎧⎨ + =⎩

$��� ��������� �����6G��0�� ���

0������������ ����� �#�� �����

����'$� ������ ������������������������������� ������

0������� ����������������

�����A��������+�������� ���&��������� �

��������������������!�⇔

���� ���&���������������

����������#���

�����!���&��

��#����

���#������������!�

� �,���������.$��&. �#��.

��#��.�������!��.���

2

1��,�,��,�����

���0��,�������� ��������������&� ����⇔����������

xtg 21

4

+�

� �,��������.���.������.��#������&$�����

���0��,�������� �&����

&��#�'�

��#�'�

���#�����������!��� �,��������.���,��,��� ���

0����������������.&�#�'.

�#�'.

��#�.��������!�

�����3����������

4

32x��N�,�������/���

3

22 x

a − ��O ����$������

3

1�(�

4

32x(

3

22 x

a − ��

��222 3

12

1xax − ��9�� ����,���,�$����≤�$�� 2 �$�+ ��������5����� �������������� 2 �

��� <������������,�������������������∈��!$� !���+ �����������������)!�������(��

�)!�������(���≤��)!!!��⇔��

���)!�

��#�-!!����&!!!�≤�!�⇔�������!�

������&!��≤�!���,��,���

��5����� �����������������!�

�������

��������������

��#�/����.���!$��

�����$��

�����.���

������⇒��

�$����±���������.�⇒��

$&���±� 8 �

�����

24

13

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

x

x

x

x�#�����!��� �,��

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

x

x�����������������#���

����������

�⇒

3

2

2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

ix

ix��������

��������� �π�#����π�

������������������#���������!��Δ�������&���≥�!�������#�

x

1�������

����������������!���������,

��,��,�,�����������������=�����∞$���2�∪�1�$�∞��

������A���������������� �,���&�����

�#���������

�������#�����!�����N��,���������

�� ������

���#�

2

25

x�#� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

5�#�����!��� �,����#�

x

5�����⇒��

�����!�#���#�����!�����

Page 252: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���N��,������������

��#�

2

1

x���'��#�

x

5�#�����!���

��#�

2

1

x���' ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

xx

1�#�����!��� �,������

x

1����

⇒����#�����'��#�����!�

���@�+�������������������������������� ������������ ������0����

���#����#��

������������

����

��������!���������#����������

2

)1(21 22 +±+−− xxx�

�����������������#��

��#���⇔��������������������������

��#�������

������⇔���������#��������

⇔������������#�����!����������

&�#�&��������!�⇔��

&�#���

��#�������

����&��#���⇔���

��#���

������������

⇔����#�����± 2 ����������������A��������������,�,����+��������,�,��� �����������

���������

�������

��9��,�������������������� ������,$���������������+���9��,������������������+�$

����������@�9��$����F������������+��$������#������������@�9������������������� ������

��������������� �����,�����������F����0′��������0′���������������������� ( )2

22xF x x= + �#���

�� ( ) Cxx

xF ++= ln2

2

�����0���������������� ����#������� ( ) 2ln 2

xxF x e= + �#���

���0������ ������������#�������0�����������������#������ ( ) 33 22 33 2

F x x x= + �#���

>�� ( ) 1 2ln4 2

xF xx

−= +�#����� ( ) 1 arctg

2 2xF x = �#���?� ( ) ( )2ln 4F x x x= + + �#���

U�� ( ) ( )2ln 4F x x x= + − � #� ��� �� ( ) arcsin2xF x = #���� �� �� ( ) 2sin

2xF x = #� ��

�� ( ) 1 ln cos 22

F x x= − �#������� ( )43

4ln 3

x

F x = �#������� ( ) ( )32 3 19

F x x= + �#���

�� ( ) ( )1 ln sin 2 12

F x x= + �#������� ( ) ( )1 arcsin 2 12

F x x= + �#���

�������������13$�����

23������������$�����&�����

1 1,2 2

a b= = − ������������12�

�������������1���2

x�E����

2x�E�����

3

3x���E�

�������������� ��������������������������+��6��������������������+��

����������������������,��������������� �����������������������+��6������������

����������+��

������� ( )2

2

, 12

1 , 12

xx c xF x

x x c x

⎧ − + <⎪= ⎨

⎪ − + + ≥⎩

����� ( )3 2

2

, 03 2

, 0

x x c xF xx c x

⎧⎪ + + <= ⎨⎪ + ≥⎩

Page 253: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ( ) 2

, 0

1 , 02

xe c xF x x x c x

⎧ + ≥⎪= ⎨+ + + <⎪⎩

�� �� ( ) { cos , 0sin 1 , 0

x c xF x

x x c x− + >= − − + ≤ �

���������

�������

�����32�����

13�����������������������������������

4π��>�� ( )ln 1 2+ ����

3���

212

− ��U��4π�

���1 3ln2 2

����1 34

2a − ±= ��������π$���∈���

�������

������56�����

56�����

712

− �����31 2 2 3 4+ − �����

4 5 3 512 132 3 4 5 85 5

− + − �������������

>�� 2 2 1− − ����1 3− ��?��10 3

3−

��U��14π− �����1

4π− �����

2 33

�����4 3 2

3− �

��11

ln 2e − − �����

176

− ��V�� ( )1 24π − �����

2 43ln3 5ln 5

− ��V�� ( )1 24π − �

��� ( )ln 1 23π + + �

������5

3 5

4 3 1 725 5 52

+ − �������� �����3 33π− − �����

6π− �����������

1 1 1ln arctg4 9 2

+ �

>��1 ln 3 arctg 2 arctg 22

− + ��?��2 3 ln33

+ ��U��2 3 ln33

− �

��56��������

1 cos13

− ���2 2ln

2 2 4π+ − ���

710

e − ������152�����������

16

− �

������ � ��6��� ( ) ( ) ( )db

a

m b a f x x M b a− ≤ ≤ −∫ �

���9�� ����,���,���≥�"�6������� ( ) ( )d db b

a a

f x x g x x≥∫ ∫ �����8������,����

���������

�������

�����������

32 19

e +�������������������������������������� 1

2π − ��>��

21 ln 22

−����

2 12

+�

?��

22ln4 2 32π π+ − ��U����π����� 2

2e −

�������������!�����

( )3 3 ln 3 10

2

+ +�

Page 254: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���������!$�����������������$��������������4π− ������� ����� ln 3 �����

2

1�����

12

e −�����

23�

��8π��>��

12π

���������������

2��������U�� ( )1 8 1

3− ��������������

4���

2ln 12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠�

���1

ln 2�� �� ( ) 2 52 5 2 ln

1 2+− ++

�����<�������������$���$���$����!�

����������������,�,� ������� �� �����������,�������� ��6�������+���

���� ����������������������+���

( ) ( )2

0

1 1sin cos cos sin2 2

sin cos sin cos

x x

x x

e x x e x x

e x x e x x

π+ + + −

++ + + +∫ ����

2

0

1 12 2

x

π

+ �����

�#�����#� 20

cos )x�

21 1ln .2 2 2

eπ⎛ ⎞

π +⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�����>���������+�����,����.�6�����,���������� �����,������������,��13�

���������������>����������+�����,��������.������,���� ��������������,���

�������� ������,�����,�,� �������� ln 28π

�������� 2 2 1ln2 2 1

π +−

�����2π�

��� ( )2 ln 2 12 4π π− + + + ���������� ������,�����������������������>���������

+�����,������.��>������������>����������+�����,�1xt

= ��!�

�������ln 2

8 2π − ����

14����������� 4 2 1 2 2 1

5 3− −− �����

8105

�����ln 92

����1 8ln2 5

>��

6

7

1 2 1ln6 2

+���

4 4

4 4

3 (2 1)1 ln4 (3 1)2

−−

�����′��������� ��,�6�����,������������>����������+�����,������%��.#

������ 0 12, ln

4 2I Iπ= = − ����

11nI n

=−

������

�����!�

��������#�

�������� ( )

1

ln 1e

x −∫ ���

����6���������#�

�≤���6��

��≥�!������

���������

��������!�

�������������,��������+�����1!$��2�����������( ) 0 1 2 21 ...n n n

n n n nx C C x C x C x+ = + + + + �

�������������$��

����

4�����

������������

���������������������������

Page 255: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���������

�������

�����476

����1arctg

4 2π + �����

1 1ln4 3

�����3ln2�����

34�����

38����

724

>��1 3 1 1 3arctg4 2 4 8 4 13

⎛ ⎞π ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠��?��

12��U��

120

�����724

��������1 1arctg2 4 2

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������� �

���3

���� ln 2 ���������&����������������&�������4ln3���

4ln3�����

4ln3�����

9ln8�

���63ln7������&�����

1 32ln2 3

���� �����#����� ��>�-��������'����'���� ���'���'��� �

�����14

− ��� ����9 3ln 3 ln 220 5

− + �����3 1 1ln 2 ln3 ln52 2 3

− − ����16ln9

���-����#����� ���11ln 52

�����'���������'���5 3ln 2 ln 32 2

− ��>����� �#��)����

������1 ln 2 33 6

π+ �����1 1 13 3 7 5ln 2 ln arctg arctg3 6 7 3 3 3

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

�����1 3 5ln7 2 37 3

π+ �

���1 ln 24 8

π− − �����5 3 1 5 1 1ln ln arctg2 2 4 8 4 4 2

π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠�

��������������,�������6���������������������

���.$�

2 4ln3 3

�������������,������6��������

���������� ��� �� .$�

1 45ln8 13

�� ���1 ln 24

�� ��� ��� �����

( ) ( )1 1

2 22 20 0

1d d1 1

x x xx x

++ +

∫ ∫ �

1 1ln 22 8 4

π+ + ����$���6���������������������1x tx

+ = �6�1x yx

− = ��>�253

��������������������1x tx

− = �������� �����.������ ������.����� ( )4 4

3

0 0

tg tg d tg dx x x x x

π π

+ −∫ ∫ �

��� ( ) ( )3 3 3

4 2 2

0 0 0

tg tg d tg 1 d dx x x x x x

π π π

+ − + +∫ ∫ ∫ �������� ���������#��������.�����

2x���.�

>����� �����������.��?��6�U������ ������������.��������� �������������.�� ��� �����.�

��������.��V���������.����������.�������

�����.����������.����������.��+����������� ��,

�� ������0�����,��5������ � ������ ���������������������������6�������6���������� ��,��� �����

0�����,���C��

2

0

1 1lim d lim d2 sin 2 sin

x xx x

α π

α→π α→παα<π α>π

++ +∫ ∫ ���������������

2x���.��������� �C��

Page 256: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

�������

2 2

2 21 1

1d d2 2

x x xx x− −

++ +

∫ ∫ ����� x ���.�����3 x ���.�����

1x

x +���.����� 2 x− ���.�

��� 4x + ���.���� 1x − ���.��>�� 1x + ���.���3 2x + !���?��������,�������6������

�������������#�����.�U�

12

x + !������������,������

�6������������������

���.�����.��#�����.�

����#�����1t�� ��6�V����#�����.������������.�������#�������

���������������,�����2�6����2#����

21 cos 2 sin 2ln 1 ;2 2 cos1 sin1

eI⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

21 cos 2 sin 2ln 12 cos1 sin1

eJe

⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠����

2 2 11 ln ;4 2 1

I += − +−

�2 2 11 ln

4 2 1J += +

−�

�������2���14�#

���������

�������

�����14�����

32 43

������� 2 �����������12�������

32

�������������>���

��

����22

2− �����

322

− �����2 2ln

3�����

654�����

3 ln 24 3π π− + �����

e

11− �

������1

12�����

8(2 2 1)3

−�����

14 6π − �������#�

1e����������

'����

��#�

1173

�����

2

9����

3

1�

��� 2ln �����9

16���"����������������,����������������������������:�6����,��$����,��π�

�������

�����43

���2

�����4���

20π

�����3�������

23524π

���π�

Page 257: MATEMATICA M2 2007 - elibrariescolara.ro · 2 8 4 8? 0ˆ A 0ˆ ˜, ˆ ˆ0 ˘ + ˆ ˙9 4˛84 ˆ ˆ ˘ 2 ≥# ˚ ⇒˛ˇ aˆ ∈ ˜, ˙ ˛84˘

lice