~ .a ema leacawalao BIANCHINI eHerval PACCOLA

Ecomenormesatisfayaoquetrazemosaoscolegasdemagisterioeestudantesestanovaediyao deMatematica para0 2Qgrau.Mantivemosaqui 0 compromissodetonurmaisagradaveise produtivostanto0 ensinocomo0 aprendizado,meta essatambempresentena ediyao anterior.Vocepodeestar questionandoanecessidadedestareediyao. Simples: 0 mundoanossavoltatorna-sea cadadiamaisemaisdinamico. Dessaforma, pormaisatualizadoe ajustadoque umlivroseja, emdeterminadomomento, ele pode estar subestimandoassuntos quemereyam uma abordagemmais aprofundada.Assim, acompanhandoamodernatendenciadoensinodeestreitararelayaoaprendiza-do/cotidiano,procuramos trabalhar os conceitos de formacriativa e motivadora, privilegian-dosua aplicayaoem problemasqueestimulem0 interesse doaluno. Tambemnosexemplosresolvidosenos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar comsituayoes retiradasdarealidade do estudante.A respeitodostemasestudados, destacamos a inclusao deumcapitulo sobreMatematicaFinanceira, novolume 1, eoutrosobreEstatistica, novolume 3. Foramacrescentadosemvistadesuaimport:lncianomundomodernoetambememfunyaodoelevadonumerodequestoes sobreesses assuntosnos(tltimos vestibulares.Uma outranovidadedesta reediyaoe 0 "Tunel dotempo", umaseyao que, como 0proprionome sugere, leva0 alunoa relacionar0 tema em estudo com0 momentahistoricoem quefoidesenvolvido.Nofinal de cadacapitulo, antes dos "Exerdcios complementares" edos "Testes", urnresumo doassuntoestudado auxilia0 alunona resoluyaodasatividades.Procuramostambemaliar linguagemcomunicativa, metodologiae rigorconceitual, comvistas aatender as necessidades doestudante, tantonaqualidadede cidadaocomona defuturo vestibulando.Temosperfeitaconscienciadequenenhumlivrosubstitui 0 trabalhodoprofessor. Masacreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamosdando a nossa contribuiyao no sentido deauxiliar0 mestre em sua tarefa de ensinar e formarpessoas.Atendendoasolicitayoes recebidas de diversas partes dopais, estetrabalhoestasendoapresentadoemduasversoes. NaversaoAlfa, as progressoesaritmeticasegeometricassaoestudadas no volume1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem seinverte.Finalmente, queremos registrar aqui nossos sincerosagradecimentos atodos osprofes-soresque, nodecorrer desses anos, nos enviaramseuincentiyonaforma de criticas esu-gestoes. Esperamoscontinuar merecendo a mesmaacolhidanesta nova ediyaoe,paratanto,contamoscom0 seuapoio- eeleque, afinal, torna 0 nossotrabalhomaisadequadoeefi-ciente.Os AutoresSumarioCapituloI - CONJUNTOS1. Primeiras noc;6es 12. Representac;ao deconjuntos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 44. Conjuntos iguais 45. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 46. Alguns slmbolos da linguagem dosconjuntos 57. Subconjuntos 78. Operac;6es com conjuntos 109. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 15Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS1. Introduc;ao 232. Conjunto dos numeros naturais 233. Conjunto dosnumeros inteiros. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 244. Conjunto dosnumerosracionais ; . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 255. Conjunto dosnumeros irracionais. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286. Conjunto dosnumeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297. Intervalos 308. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 339. Valor absoluto ou modulo deurnnumero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35Capitulo 3 - FUN Josee brasileiro(q)x=8-2(q)=> x 2= 25(q)b) x = 5(p)d) x + 2= 8 =>(p)5Observe nosexemplosc ed quetambema partir deq podemos conduirp:x e multiplo de 2x e numero par

Nesses casos, dizemos que p e qsao equivalentes e escrevemos p =} q(le-se: p e equivalente a q):x e nlimero par =} x e mUltiplo de 2, ou seja, x e numero par se e somente se x e mUltiplo de 2.x+2=8 =} x=8-2Se pq eqp, entao p=}qNoexemploa, de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Josee pernambucano(elepoderiaser. catarinense, carioca, paulistaetc.). Joseebrasileiro p Joseepernambucano(0simbolole-se:naoimplica).Noexemplob, dex2=25, naopodemosconduirquex= 5(xpoderiaser-5),pois(-5)2=(-5). (-5) =25. Portanto: x2=25 =/> x=5.Qualquer queseja (v)Vamos resolver a equas:ao 2(3x - 1) =6(x + 1)- 8 no universoU=10,1,2,31. Temos:2(3x - 1) =6(x +1)- 86x - 2=6x + 6- 86x - 6x =6- 8 + 2Ox =0.ObservequeaigualdadeOx= severificaparaqualquer quesejaxpertencentea U.Representandoa expressao qualquerquesejax por 'r/ x (le-se: qualquerquesejax ouparatodo x), podemos escrever:'r/x E UOx = A solus:ao da equas:ao proposta e0 proprio conjuntouniverso,istoe: S = u.Existe aornenosurn (3)Considere0 conjunto A*-0. Sendo A*-0, entao existe aomenos urn x,talque xEA.Representando a expressao existe ao menosurn x par 3x,podemos escrever: o simbolo le-se: naoexiste x algum.Exemplosa) Se A=0, entao ,tlxlx EA.b),tlxEIN12x=3Existeurnunico (31)Considerando0 conjunto universoU=10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor dex queverificaa sentens:a2 x = -4d) x2=16 => x = 411. Considerando0 conjuntoA= {1, 3, 5,6, 7, 9}, identifique assenten9as verdadeiras.a) \Ix EA=> x e numerofmpar' c) 3x EAIx e divisor de 9b) 31xE Alxe par d) }XE A Ix>107. SubconjuntosulBConsidere os conjuntos A=(2,3,5}e B = 11,2,3,4,5,6, 7}. Observeque todoele-mento de Ae tambern elemeoto deB. Nessas condi xEO A.b) xEOAex(/.B => xEO (AUB). e) x EO(AUB) => xEOA ouxEO B.c) xEO(A- B) => xEO A ex(/. B. f) SeACB, entaoxEOBex(/. A.53. Nas sentent;:as abaixo, assinaleVpara assentent;:asverdadeiraseF para asfalsas.a) {2} C{2, 3}b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)}c) 0 C{2}d) 2EO{{2}, {3}, (2, 3)}e) 2C{2, 3}f) {2, 3} C({2, 3)}54. Dadosos conjuntosA= {1, 2, 3, 4, 5}, B= {3, 5, 6}eC= {4, 5}, pede-se:a) CAC b) (A- B) UC c)A- (B nC) d) (AUB) - (A nB)55. SendoA= {{1}, {2}, {1, 2}}, B= {1, 2, {1}, {2}}, pede-se:a) AUB b)A nB c) A - B d) B- A56. SabendoqueM={2, 3, 4, 5, 6}, MUN={2, 3, 4, 5, 6} eM nN= {2, 3, 4}, determine0 con-juntoN.57. SeA= {1, 3, 4, 5, 6}, AUB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} eA nB= {5, 6}, determine0conjuntoB.58. 0 conjunto daspartesdeumconjuntoA e indicado porP(A). SeA= {s, a, I, V, e}, quantos elemen-tostemP(A)?59. Dados os conjuntos A={n, U, m, e, r, o} e B={z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de(AUB) - (A nB)?60. SendoA= {1, 3}eB= {2, 3}, determine0 numero deelementos deP(A)nP(B).61. SendoP(A) 0 conjunto daspartes do conjuntoA, quantossaooselementosdeP(P(0))?62. Dadosos conjuntosA, BeA nB, com30, 50 e1elementos, respectivamente, quantoselementostem0 conjuntoAUB?63. Numa escola, a area de cienciasexatas tem16 professores, sendoque 6leeionamapenasmatematica, 5 apenas ffsica e 7lecionam outras disciplinas distintas dematematica e ffsica. Quantos sao osprofessores quelecionammatematica effsica?1964. Umaescolaofereceuaseusalunosaulasderefor Beg:B ->C, chama-se composta defeg a(g0 f): A->C, talque (g 0 f)(x) = g(f(x)).Vejamos algunsexemplos.Exemplo1Dadasas funs:6es f (x) =3x - 1 e g( x) =x 2+2, calcular:a) (gof)(x) b) (fog)(x) c) (fof)(x) d) (g 0 g)(x)Soluraoa) (g0 f)(x) = g(f(x))= g(3x - 1)=(3x- 1)2 + 2=9x2- 6x +1 + 2= 9x2- 6x +3b) (fog)(x)=f(g(x)) =f(x2+ 2) =3(x2+ 2) -1=3x2+6 -1=3x2+5c) (fo f)(x) = f(f(x)) = f(3x - 1)=3(3x- 1) - 1=9x- 3- 1=9x- 4d) (g0 g)(x) = g(g(x))= g(x2+ 2) =(x2+2)2 + 2=x4+ 4x2+ 4 + 2=x4+ 4x2+ 6Exemplo2Dadosf(x) = 2x - 3 ef(g(x)) = 6x +11, calcularg(x).Soluraof(x) =2x - 3f(g(x)) =2g(x) - 3Como f(g(x)) =6x + 11, entao 2g(x)- 3 =6x +112g(x)=6x + 14 g(x)=3x + 7.Exemplo3Sendog(x) = 2x - 3 ef(g(x)) = 6x - 8, calcular f(x).t+3Fazendog(x) =t, temos: 2x - 3= 2x =t +3x= -2-Substituindo em f (g( x)) = 6x- 8, g( x) port e x por t3 ,encontramos:f(t) =6 ( t; 3) - 8f(t) =(3t +3) - 8f(t) =3t + 9- 8f(t) =3t +1Logo,f(x) =3x +1.71EXERCICIOSPROPOSTOS _52. Sendof (x) = 3x - 2e g(x) = 2x +1,determine:a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))53. Dadas as fun90esf (x) = x + 3eg(x) = 2x2- 3,determine:a) f (g(x)) b) g(f (x)) c) f (f (x))54. Sendof (x) = 3x - 2e g(x) =x2- 3,determine:a) f(g(O)) b) f(g(-1)) c) g(f(4))55. Sef (x) = 3x + 7ef (g(x)) = 6x +10, calculeg(x).56. Sendo g(x) = 3x - 5 ef (g(x)) =12x - 22,calculef (x).57. Dadosf (g(x)) = 8x + 39 e g(x)=x +6, calculef (x).58. Sabendoquef (x) =x +2ef (g(x)) = 3x +1,calculeg(x).d) g(g(x))d) g(g(x))d) g(f(-1))TUNEL DOTEMPOExistem evidencias de que 0 homem tern, desde aAntigilidade, a nor;:ao intuitiva de funr;:ao. Algumas dessas evi-dencias sao tabelas encontradas no Egito, na India e naGrecia, que associam comprimentos da sombra de uma vara acertas horas dodia.A formalizar;:aoda ideia de funr;:ao, noentanto,parece terocorridosomentenoseculoXVII. Aoquetudoindica, foiReneDescartes (1596-1650), l6sofo e matematico frances, Rene Descartes.o primeiro a usar0 termof u n ~ o . Ao estudar a relar;:ao entreduasgrandezas, Descartesadotouurnsistemadeeixosconcorrentes, representandoaprimeira grandeza sobre urn dos eixos e a segunda, sobre0 outro. Dessa forma ele podedeterminar ascoordenadas de urn ponto no plano.asistema deeixos ortogonais que voceutiliza e urncasoparticular daquelecriadopor Descartes. Dai 0 nome sistema cartesiano ortogonal.Posteriormente outros grandes nomes da matematica dedicaram-se tanto aformali-zar;:ao como a aplicar;:ao de funr;:6es, cabendo ao matematico suir;:o Leonhard Euler(1707-1783)a introdur;:ao da notar;:ao f(x) universalmenteutilizada.Com0 surgimentodateoriadosconjuntos, 0 conceitodefunr;:aopassoua seres-truturadocombasenaideiadeparesordenadosenalei querelacionaoselementosdesses pares.Nosdiasatuaisas representar;:6es cartesianas estao em quasetodasasatividadeshu-manas, como mostram os meios de comunicar;:ao ao analisar, por exemplo, a variar;:ao datemperatura, das intenr;:6es de voto numa eleir;:ao, ou a oscilar;:ao das ar;:6es nas Boisas deValores.Essasrepresentar;:6es, alemdepossibilitaremanilisesrapidasatravesdasimplesvi-sualizar;:ao de urn grafico, facilitama monitorar;:ao do fenomenoem desenvolvimento.72RELEMBRANDO CONCEITOS _Vma relac;:ao fdeAemB, tal que cada elemento de Aesta associado a umunicoelemen-todeB, e chamadaf u n ~ a o de AemB.Ae adomlnio e B e acontradominio dafunc;:ao fZeros dafunc;:aosaoasabscissas dos pontos onde agraftco dafunc;:ao carta aeixo x.Funs:ao crescente e funs:aodecrescenteSe para quaisquerXI eX2 dodOmlnio, taisqueXl f(X2), a func;:aoe decrescente.Funs:ao par e funs:aoimparSe para qualquerX do dominio temos: f( -x) =f(x), a func;:aoe par; f(-x)= -f(x), a func;:aoe impar.Funs:ao injetoraSe para quaisquerXl eX2 do dominio,comXI *- X2,temos f(Xl) *-f(X2), a func;:aoe cha-mada injetora.Funs:ao sobrejetoraQuando acontradominio coincidir com aconjunto imagem.F u n ~ a o bijetoraQuando for injetora e sobrejetora.Funs:ao composta(fo g)(x) =f(g(x))F u n ~ a o inversaQuando a func;:ao f deAemBebijetora, existe a func;:aoirJversa f-IdeB em A.Os gratlcos de duas func;:6esinversas sao curvas simetricas comrelac;:ao abissetriz do1Q edo3Qquadrante.EXERCiclOS COMPLEMENTARES59. Dadas as func;:oesf (x) = 8x - 4, g(x)= -2x2+ 5x e h(x)= ~ ,calcule:a) f(-2)b) 9 t ~ )c) h(2)d) f-1(x)e) f(g (x))f) g(f(2))g) f (f(x))h) f (x) +g(x)i) g(x), h(x)60. Sendof (x) =9- 4x e g(x) = 2x2- 11 x +5, determinex, demodo que se tenha:a) f(x) = 0 b) g(x) = 0 c) f-1(x) =1 d) g(x)= -1061. Sabendo quef (x +5) = 15x - 8, calcule:a) f(6) b) f(2x- 1)7362. Dadasasfunc;:oesf (x) = x- 4ef (g(x)) = 2x +3, determine g(x).63. Dadasasfunc;:oesf (x) = 3x - 16 e g(x) = 3x - x2,calculex demodoque:a) f (x) = g(x) b) f(g(x)) = -10 c) f(x)+g(x) = -764. Dos conjuntos A e B,sabe-se que Btem tres elementos mais que A e n(A xB) = 2n(A) + 30. Quantoselementos tem0 conjuntoB?65. De0 domfniodas func;:oes:a) Y = .JX b) Yx - 4x - 2 6c) Y= -----;;,-------=----x2- 7x+10d) Y3x + 166. Sendof(x) = f(f(x)).67. Dada a func;:aof de A =(1, 2, 3, 4, 5} emB =(0, 3, 8, 15,24}definidaporf= {(x, y) EOA xB [y= x2- 1}:a) construa0 grafico de flechase verifiquesef e umafunc;:aobijetora;b) determine f-1(x), sefforumafunc;:aobijetora.68. Afigura mostra umretangulo de 10 empor6 em. Deumdos cantosfoi retiradoumquadra-dodeladox(O0, [f(x)]"0 ou [f(x)]" 0 b)(3x- 5)10102x - 6 >0x>3. Logo, 5= Ix E IR Ix >3).b)(3x-5)1015}d) {x E IR I x 7}e) {xE IR I x 0f(x) = -1, se -2~ x ~ 0-x- 2, se x 0)... 2......o2xf(x) = -1( - 2 ~ x ~ 0 )-2 _I 0-Ixf(x) = -x - 2(x 2d) f (x) = {x2- 2, para x 2e) f (x) = {4- x2, para x 2143GrafteD de ((xl59. (Mackenzie-SP)Na figura, temasa grafica da fun 1, entao am= a' a' a' ....a;'----v------Jmfatores sem =1, entaoam =a; sem=0, entaoam =1;PropriedadesSendoa eb numerosreaisepositivos,com men numerosracionais, saovaIidasas seguintes propriedades: sem = -1, entaoam= sem 0). Entao0 grafico da funl.b) y =(0,85)"' e decrescente, pois 1.36. Verifiqueemcadacasoseafunc;:ao ecrescenteoudecrescentee justifique:a) f(x) =(3, W c) Y=(2-3)X e) y=Ti xg) Y = ('\2 + 2)Xb) y=yd) h(x) = (O,23t h) Y= ( '\; Y7. Fac;:aarepresentac;:aogratica dasfunc;:6es:a) f(x) = 2xb) f(x) = ( +rc) f(x) = 2x+1d) Y= 2x+14. exponenciaisConsidere a equas;ao 2"= 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. ma equas;ao emqueisso ocorree chamada equas:ao exponencial.Veja outros exemplos deequas:6es exponenciais:a) 5x=1 b)3x- 2 = 9'+1 c) 5. 23X- 1 =20Resolver uma equas:ao significa achar os valores da variave! que a tornem uma sentens:a nume-rica verdadeira. Assim, na equas:ao2'< =8, temos queoX =3 euma raiz, pois 23=8.Muitasdasequas;6esexponenciaispodem, atravesdaspropriedades, seremtransformadasemoutras equivalentes que possuamnosdoismembros potencias demesmabase(maior quezero e diferente de um). Obtido isso e lembrando que a funs;ao )' =aX einjetora, chegamos auma que envolve somente os expoentes dos doismembros.Dessa forma, voltando aeqllas;ao 2x= 8, como 8= 23, temos que:2x= 23 X = 3(pois a Rms:ao e injetora)Observas:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas equas:6es em que e possivel procederdaformacitada. Paraequas:6esnasquaistal procedimentonaosejapossive!, llsan1-seOlltroSmetodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessas equas;6es.Acompanhe com atens:ao os exemplos de resolus;ao deequas;oes exponenciais no conjuntodos nLunerosreais.Exemplo 1Determinar0 valor dem noscasos:a) 2111 2+= 210b)62111- 1: 6111- 3 = 6+149SolUfaOa) 21/1. 24 =210Como21/1. 24=2'" +\ temos:2"'+4=210 m+4=lOm=6oconjunto solus:ao eS = {6 I.b) 62111 - 1:6'" -3 = 64Como 62111- 1: 6111 -3 =62111- 1 - (Ill - 3) = 62111 - I- 111 +3 =6111+2, temos:6111+2=64 m+2=4m=2oconjunto solus:ao eS = 121.EXERCiclOPROPOSTO _8. Calcule0valorde x nasequac;:6es:a) 3 x'33=3 c) 54X+15x-1=510f) (;Y: (;Y-3= (;YExemplo2Resolver as eguas:6es:a) 3x=243SolUfaoa) 3x=243Como 243=35, temos:3x=35 X=5'----/mesmabaseoconjunto solus:ao eS ={5 I.b) (yx (2;)Como 2; = =(y 2; =(r3, entao:()5X = ( 5x = -3x----..........mesmabaseoconjunto solus:ao eS= {- -35EXERCiclO PROPOSTO _9. Resolva as equac;:6es:a) 2x=16b) 5x- 125 =0c) 23X= 512d)= l!-4 64e) 54X=_1_25f) 103-2X= 1150g) 75X- 2 = (+r-1h) 4x- 8 = 0i) gx+3=243Exemplo 3Resolver a equas:ao -J3=27x.Solurao1Como = 32: e 27=33, temos:1 132=(33)"32: =33X 3x = 1'--.--/ 2mesma baseo conjunto solus:ao e S=.EXERCiclOPROPOSTO10. Resolva asequaC;:5es:1 x=6c) 322x+1= 8d) \'3X-2= 9e)31)( 5 3x-4,2 = 2f)3r;:;;x+3,9 =,27Exemplo 4 ( 1 )x2- xResolver a equas:ao 9x= 3SoluraoComo 9= 32e 1 = 3-J, entao:332X=3x-x22x=x-x2 x2+x=0x1=0 e x2 =-I'--.--/mesmabase(0 problema admite duas solus:oes.)oconjumo solus:ao e S= I-I,OJ.EXERCiclOPROPOSTO11. Resolva as equac;:5es:x (1)x2- xa) 4 = -2Exemplo 5Resolver a equas:ao 2x+ 2H1 = 24.c) (3Y+ 3= (9)X +12d) [(rr= 6:;SoluraoA equas:ao tambem pode ser escrita assim:2" +2x 2= 24.151Fazendo 2x=y, CDobtemos:y +2y= 24 => Y = 8Entao2x=8 => 2x=23=> X =3." ---./'mesmabaseoconjunto solw;ao eS ={3).quando houver uma troca de variaveis do tipoaX=y, comapositivo, como foifeita em 0, todos os valores negativos de y que ocorrerem deverao ser descartados, pois nes-sas condi25 c) 3-"-2 8 e sendo8=23, temosque:2-" >23Como nos dais membros as bases sao iguais e maiores que I, a sinal>sera mantido paraasexpoentes, pais,nessas condic;:oes, a func;:aoexponencial e crescente. Entao x> 3.o conjunto soluc;:ao eS =Ix E IR Ix > 31.Observac;:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas inequac;:oes em que e passive! proce-derdaformacitada. Parainequac;oesnasquaistal procedimentonaosejapossivel, usam-seoutrosmetodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessasinequac;:oes.153Acompanhecomaten6" + 1 .eso ver a mequa6"+ I6 3 >6"+ 1 .mesmabaseComo asbases sao iguais e maioresque1, temos:2x - 2 >x +12x- 6 >3x + 3x < -93oconjunto solus:ao eS = Ix E IR Ix 0,45x 2e) 83'-3',,;;; 32x -23r:;+1f) \2 0,1155Exemplo 5Resolver a inequa x=Portantolog36 6= 2(1 )x [( 1)3] c)log-&-9=x=> 27 =9=> 3 =322=>x=--32Portanto log 1 9=- - .27 3Portanto log9 3 = 412EXERCICIOSPROPOSTOS _1. Usando a definix-I=20=> x-I=1 => x=2.Verificac;:ao das restric;:oes para x= 2:CD x-1>O2- 1 >0(verdadeiro) 2 + log2(x- 1) >02 + log2(2- 1) >02 +log21 >02 +0>0(verdadeiro)Logo, 2 eraiz e0 conjunto soluc;:ao eS = Pl.EXERCiclOSPROPOSTOS _6. Usea definiyaodelogaritmospara calcular0valor de x nosseguintes casos:a) log2 x= 6b) log1 X=43c) log'2 X= 6d) log 0,01 X= -21e) log 3x =-4" 21f) log5 X = --8 2g) log2 (2x +3) = 11h) 1094 (x- 1)= '2i) logs(x2- 12x +52) = 2I) log10 (x2+ 3x) = 1m) log1 (x2- 8x +14) = -12'7. Determine0 conjunto soluyao das equayoes:a) (log2X)2 - 5log2X +4= ab) (log3X)2 - 2log3X- 3= 0c) (Ioga X)2 - 2loga x= ad) 16(log2x)2- 17 log2 x +1= 01658. Resolva as equac;:6es:a) 1093 [3 + 1092 (x +1)] =1c) 1094 [15 +1092 (x - 3)] = 2d) 109..l [2+109..l (x+ +)] = -22 2e) 1092 {1093[2 +1094 (x - 4)]} = 0f) 1092[1093 (x +21)] =2Exemplo 3Resolver asequac;:6es:a) logx 10= 3 b) log(x_2) 9= 2 c) log(x+5) 64=3SolUfiioa) logx 10 =3Por definic;:ao, a basedeurnlogaritmodeveser positiva e diferentede1. Devemosentaoimpor asseguintes restric;:6es:I-x->-O---'I eI x '1= 1~Temos:logx 10= 3 => x3= 10 => x =V!O.'-.---"Verificac;:ao das restric;:6es:CD VlO>0(VerdadeirO)} 3 r;-;:;-=> \110 e raiz. VlO'1= 1(verdadeiro)oconjuntosoluc;:ao eS= {V!OI.b) log(x_2) 9=2Restric;:6es:Ir-X---2->-0---'1 eIx- 2 '1= 1@~Temos:log(x-2) 9= 2 => (x- 2)2= 9 => (x- 2)2= 32~Como os expoentes sao iguais e pares, devemoster:x-2=3=>x=5oux-2=-3=>x=-1Verificac;:ao das restric;:6es:Para x= -1CD -1 - 2>0(falso) => -1nao eraiz.Para x= 5CD5- 2 >0(verdadeiro) } =>5 eraiz.@5- 2 '1= 1 (verdadeiro)oconjullto soluc;:ao eS= (5}.166c) 109(X+5) 64 = 3Restri'roes: Ix +5 >0 I e I x +5=/= 1@~ ~Temos: l o g ~ 64=~ ~ (x +5)3=64 ~ (x +5)3=43.~ I '- _Como os expoentes sao iguais e impares,teremos:x+5=4 ~ x=-IVerifica'rao dasrestri'roes:CD-1+5 >0(Verdadeiro)} .~ -1 eraiz. -1 +5 =/= 1 (verdadeiro)oconjunto solu'rao eS ={- 11.EXERCiclOPROPOSTO9. Resolva asequa0 I ' I x- 3 >0 I e I x- 3 =/= 1@Temos: log(.,,_3) (x- 1) =2 ~ (x- 3)2=(x- 1) ~ x 2- 7x +10=0 ~ x=2 oux= 5.Verifica'rao das restri'roes:Para x=2CD2- 1 >0(verdadeiro) }~ 2nao eraiz.2- 3 >0(falso)Para x= 5CD 5- 1 >0(verdadeiro) J5- 3 >0(verdadeiro)@y 5- 3 =/= 1 (verdadeiro)oconjunto solu'rao eS = {5).~ 5 eraiz.167EXERCiclOPROPOSTO10. Resolvaasequac;:6es:a) 109x (5x - 8) = 1b) 109x (13x - 40) = 2c) 109(3x _10) (x2- 10x + 20) = 1d) 109(x-3) (2x+2) = 23. Propriedades dos logaritmosSejarn a, bee nurneros reais positivos, com aoF 1, e x urn nurnero real qualquer. Da defi-nir,:aodelogaritmos decorrem as seguintespropriedades:Primeira propriedadeIlOgn1= 0, pois aO= 1Segunda propriedadeIlOgn a =1, poisa1=aTerceira propriedadeDe fata, fazendologn b = x, ternosaX= b.Substituindo x por log" b emaX= b, vern: alog"b= b.Assirn,temos:( )Iog+ 2)1 _c -22Fazendo usodessaterceira propriedade, resolverernos0 exernplo a seguir.ExemploCalcular0 valor de:a) 23 + log2 5SolUfiioa) 23+ log2 5 =23. iog2 5=8. 5=40b) 52 -log s 4=_5_2_ = 25Slogs 4 4c) 7 2 ' log7 3 =7(log 7 3)' 2 =(iog73)2=32 =9EXERCiclOS PROPOSTOS _11. Calcule0 valor das express6es:a) 109121 b) 1098 8 c) 51095 816812. Determine0valor de x nos seguintes casos:a) x =510954 c) X = 32+1093 4b) x=10109102 d) x=23-10925e) x =102.109103f) x = 82. 1098 4g) x= 7'097 20- 1097 2h) x=310935.1095613. Sendoa, bEIR: ,com a*,1eb *' 1, determineN :a) N = a2+ 109a 5c) N =bl09b 10.10910 3b) N =al09a 3 +bl09b 5 d) N =al09a b +blogbaQuarta propriedadeIlogll b = logll Cb = c IFazendo logll b = x, podemos escrever:logllb= logll C = XEntao, peladelogaritmos:aX= b e = c, portantob = c,pois a exponencial einjetora.Exemplo1Fazendousoda quartapropriedadedos logaritmos, determinar 0 valor de xnalogs (2x- 3) = logs (x +1).SoluFiio .Segundo ade logaritmos, existem inicialmente algumas restri0e3 2x>3x>2x+1>OIx>-lAssim sendo, a restri32A quarta propriedade nosgarante que:2x - 3=x +1x=4Como0 valor 4 satisfaz a imposta, aex= 4.Exemplo2Resolver alogaritmica logs(x2- 2) = logs (-x),sendo0 universo U= IR.SolUFiioConforme adelogaritmos, devemos impor as seguintesXl - 2> I' ouseja, x< - v2ou x> 'V 2,e-x>OI,ouseja,x b c= aX + Y

Aplicandonovamente a definir;aode logaritmo,temos loga (b' c) = x +y. Portanto:IlOga (b . c) = loga b + loga c I 1. Indicaremos loga (b. c)tambem por loga b c.2. A propriedade vista e generalizada para um produto de mais dedoisfatorespositivos.Em resumo, setodosos fatoresdeumproduto forempositivos, temosque:ologaritmo deum produto e igual asoma dos logaritmos dos fatores(namesma base).Como exemplo, vamos usar essa propriedade na resolw;aodos exercicios seguintes.Exemplo 1Aplicar a propriedade do logaritmo deum produtonos seguintes casos:a) log35. 4SolUfiioa) log35. 4 = log35 + log34b) log22. 7 10b) log2 2 7 10= log2 2 + log2 7 + 10g2 10Exemplo 2Reduzir as seguintes expressoes a urn Unico logaritmo:a) logs3 + logs 4 b) logI 5 + logI 2 + logI 3- -2 2 2SolUfiioa) logs3 + logs 4= logs3. 4 = logs12b) logI 5 +logI 2 +logI 3= logI 5. 2. 3= logI 30- - - -2 2 2 2 2EXERCiclOS PROPOSTOS _16. Apliqueapropriedade dologaritmo deumprodutonos seguintescasos:a) log3 10 92b) log43' 57 c) log 3 a b (a >0 e b>0)17. Reduza as seguintesexpress6esaumunicologaritmo:a) log3 2 +log3 5 +log3 43 10b) log45+log43c) log(x +5) +log(x- 5) ,para x >5.d) logs (x +1) +logs (x- 3) ,para x>3.18. Determine a expressaoP cujo logaritmo na base 3 e log3P= log3 5 + log3 2 +log3 h ,para h >O.119. Escreva aexpressaoE cujologaritmo decimal e logE =log6 +log(2x +1), para x>- 220. Seloga =m +n e logb =m- n, qual 0 valor delogab?17221. Se logs a= me logsb= n, calculelogsabo22. Sabendo queloga +logb=3, calculeabo23. Ca'culea e b sabendo que a +b= 7, loga +logb= 1 e a>b.Exemplo3Resolver a equac;:ao log3 (2x +1) +log3 (x- 1) =3.SoluraoRestric;:6es: I 2x +1 >0ICD e I x-I>0 I @Aplicando a propriedade do logaritmo de umproduto, temos:log3 (2x +1) + log3 (x - 1)=3 => log3 (2x + l)(x - 1)=,} => (2x + l)(x - 1) =27 =>=> 2x2- x-I=27 => 2x2- X - 28=0 => Xl =4 e X2 =Verificac;:ao das restric;:6es:Para x= 4CD2. 4 +1 >0 (Verdadeiro)}=> 4 eraiz.@4- 1 >0(verdadeiro)-7Para x =-2-72CD 2( -; ) + 1 >0(falso) =>oconjunto soluc;:ao eS = (4}.-7 _ , .- nao e raIz.2EXERCiclO PROPOSTO24. Resolva as equayoes:a) log3 (2x + 7) +log3 (x - 1) = 5b) log (x + 2) +log(10x +20) = 3c) log2 (3x +1) +log2(9- x) =6d) log2X +log2(x- 6) =4Logaritrno deurnquocienteDeterminemos0 valor delog" ~ conhecendoos valoresdelog"b e de log"c (emqueca,b,cEIR: ea=l=1).Seja log" b =x e log"c =y.Pela definic;:ao de logaritmo, temos:log" b =x => I b =aX Ie log" c =y =>Ic =aYICD @173Dividindo Q) por' temos:b x- y - = acAplicando novamente a definic;:ao delogaritmo, temos log" b = x- y. Portanto:c0 opostodologaritmodeurnnumeroetambemchamadocologaritmodonlirnero, ou seja, colog" c = -log"c.Resumindo, temos que, se em uma divisao0 dividendo e0 divisor sao numeros positivos:o logaritmo doquociente e igual adiferenc;:a entre0 logaritmo do dividendo e0 loga-ritmo dodivisor (na mesma base).Exemplo1Aplicar a propriedade do logaritmo de urnquociente nos seguintes casos:b) log 2 2c)log60,23a) logs 2 = logs3- logs 21b) log2 2 =log21- log22=0- 1 =-1c) log6 0,2=log6= log6 2- log61010Exemplo 2Reduzir as seguintes expressoes a urn unico logaritmo:a) log?5- log?3 b) logs3- logs10SolUfiioa) log? 5- log? 3= log? 533b) log, 3- log, 10= log. -, , , 10EXERCiclOS PROPOSTOS _25. Apliquea propriedade do logaritmo deum quociente nos seguintes casos:8 1 a+ba) log59b) log34c) log -c- (a, b, C EIR+)17426. Reduza a ums6 logaritmo as express6es:a) log3 12- log34b) log 5- log 2c) log4X- log4 (x +2) ,para x>O.d) log(x- 2) - log(x +2) ,para x>2.I2bcc) og 3".927. Usando a propriedade do produto e a do quociente, desenvolva 0segundo membro ate onde for pos-sive!. (Osnumerosa, bee saoreais e positivos.)ab aa) Y = log2C b) logs be28. Reduza as seguintes express6es a umunico logaritmo:a) log2 5 +log2 3- log2 7 b) log4X +log4 (x - 1) - log4 (x +1) ,para x >1.29. Determine A sabendo que logaritmo na base3 e log3 A= log3 20- log3 6.30. Determine S em funyao de (cujo logaritmo decimal e dado por logS = log 4 +log'IT+log(3- log 3.131. Sendo loga b= x, calcule loga Ii'32. Sabendo quelog4 a - log4 b = 2, calcule ab33. Resolva0 sistema {a +b =15 _log2 a- log2 b- 134. Calcule0 valor de log 365- log 36,5.Exemplo 3Resolver a equac;ao10g6 (2x +5) - 10g6 (32x +20) = - 1.SolurioRestric;6es: 2x +5 >0 I e I 32x +20 >0CD Aplicando a propriedade do logaritmo de umquociente, temos:10g6 (2x + 5)- 10g6 (32x + 20) = -1 => 10 2x +5 = -1 =>g 6 ~2x+532x +202x +532x +20=~ => 32x +20=12x +30 => x= 16 2Verificac;ao dasrestric;6es:CD2 ~ +5 >0(verdadeiro) } =>32 ~ +20>0 (verdadeiro)2oconjunto soluc;ao eS = { ~ } .12175eraiz.EXERCiclOS PROPOSTOS _35. Resolva asequar;:6es:a) 1093 (5x + 7) - 1093 (2x + 5) = 1b) 109s(x2- 2x) - 109s (x- 2) = 2c) 1093X- 1093 (x- 2) = -2d) 109 (2x- 4) - 109 (10x + 30) = -136. Usando aspropriedadesestudadas, resolva asequar;:6es:a) 1094(1 - 3x) = 1- 1094 (x +2)b) 1096(1 +x) +1096 (x - +)=0c) 109 4x +109 x- 109 (-11 x +3) = 0d) 1092 (x +5) +1092 (x +3) = 3 +1092 (x +2)Logaritmo de uma potenciaCalculemos agora0 valor de loga b1flconhecendo0 valor de logab, 0 valor deme saben-doquea, bEIR:, a*" 1 emEIR.Sejam loga bill=x e loga b =y.Queremos, portanto, calclliar0 valor dex. Aplicando a defini1 a func;:ao ecrescente, pois, seXl >x2, entao lognXI >lognX2.11) No caso de 0 log 21- -3 3b) log1 10> log1 2 f) log23>1- -5 5c) log1 10 ()- -5 52d)1 2h) (00CD @ @CDx2- 4 >0g(x)Asraizes deg(x)sao -2 e 2.osinal da g(x) varia assim:xA deCDe:o-2o2 xx 2- 4*- 1 => x 2*- 5 => x*-- ,,5 ex*-"5,ou seja:o n5x@2x - 3 >0 => 2x >3 => x > 3 ,ou seja:23"2oxAchando ade 0, e @, temos:

i' ..

2 x3CD- \ 5-2 "2"@9@1(Dn n@

odomfnio e, portanto, D= Ix E IR Ix >2 ex*- 5 I.188EXERCiclOPROPOSTO61. De0dominio das seguintes func;6eslogaritmicas:a) y =log(X2_ 9) (x2- 3x - 10) b) Y =log(_X2 + 2x) (x2- 1)9. Inequa(:oes logaritmicasDomesmomodo queocon-emequaC;:6es logal'itmicas, ocol'l'emtambeminequaC;:6es comlogaritmos, asquaischamamos logaritmicas.Sao exemplos deinequaC;:6es logal'itmicas:a) logz(x- 3) - 2logz (x +1) 6 -15x;;'1 => 15x-6:s;-1 => 15x:s; 5 => x:s; 1 .3 3Resumindo, temos:I 2CD"3 5@+CDn@ I 2"3 5

oconjuntoeS ={xE IR Ix:S; EXERCiclOSPROPOSTOS _62. Resolvaasinequac;:6es:a) logs (2x- 3) >2b) log4(65- 3x)2.TESTES88. (F. C. Contcibeis)Sendo xy =1000 elog x =1+log y, entao x +'y e igual a:a) 10 b) 100 c) 110 d) 1000 e) 110089. (UFRS) 0valor de log(217,2) - log(21,72)e:a) -1b) 0c) 1d) log(217,2- 21,72)e)log(217,2)log(21,72)90. (UECE) Seja pumnumeroreal maior doque1. Selog3(p2) =5+ log1 ~ , e n t a o log2 (p+13)eiguala: 3 pa) 6 b) 7 c) 8 d) 991. (FEI-SP)Selog 2 = a e log3 =b, escrevendo log ~ em fun9aode a eb obtemos:27a) 2a +b b) 2a- b c) 2ab d)2abe) 5a- 3b92. (Unisinos-RS)Selogx 25 = -2,entaologs x eigual a:a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 493. (Fesp-SP)Selog14 7 = x elog14 5 =y, a expressaodeIOg35 28 e:a) (x+y)xc)(3+y)Ye)2x(x- y)b)(x+2)(x+y)d)(2- x)(x+y)19494. (Fuvest-SP) Sabendo-seque 5P= 2, podemos concluir quelog2100 e igual a:2 2 +2pa) - c) 2 +p2 e)p pb) 2p d) 2 +2p95. (Osec-SP)Selog4 x3= 2, entaologs x2e:a) 4 b) 2 c)43d) 1 e)8996. (U.Cat61ica de Salvador-SA) A expressao log 2 + log 3 + log 45- log ~ eequivaiente a:3 4 55a) log77 b) log18 c) log 7 d) log 4 e) log ~797. (PUC-PR) Sabendo que10gA E =2, loga E =4, loge E =6 elogo E =8, pede-sequesejadeter-1minado0 valorreal positivo y = [lOgE (A. B. C. 0)] 2a)b)5.J266-157c)d)5.J255-162e) 2-16598. (Osec-SP)Sejamx e y numerosreaispositivos taisque:{log(x+y) 16= 2gX _6. 3x+9= 0Entao os valoresde x e y, nessa ordem, sao:a) 1 e 2b) 2 e3c) 1 e 3d) 4e zeroe) 5e -199. (Unifor-CE)No universoIR*, aequayao .JTOQ;x =log2-JX :a) possui uma(mica soluyaonointervalo ] 0, 1[.b) possui umaunica soluyaonointervalo ]0,20[.c) possui duas soluyoesnointervalo ] 2, 10[.d) possui duas soluyoesnointervalo [1,20[.e) naopossui soluyoesreais.100. (PUC-MG) A raizda equayaolog2 x +log4X= 1 e igual a:a) 2 b) ~ c) ~ d) 2 ~ e) 3 ~101. (Mackenzie-SP)0 produto dasrafzesda equayao(4 +log3 x) . (4- log3 x) = 12 e:a)9b)13c) 1 d) 3 e) 9102. (FEI-SP) A equayaolog3 x= 1 +logx 9 temduasrafzesreais. 0produtodessasrafzes e:1a) 0 b) 3 c) 9 d) 6 e) 3195103. (EsPECEx) 0 conjuntosolugao da equagao109x [10924. 10946. 10968] = 2 e:a) 0b) {-,3, 0, \ 3 } c) {v 3} d) {-,3" 3 }104. (Fuvest-SP)0 numeroreal x que satisfaz aequagao1092 (12- 2 X) = 2x e:a) 10925 b) 1092 ,3 c) 2 d) 1092,5 e) 10923105. (Mackenzie-SP)Se a e b sao numeros reaispositivos tais quea2+b2= 7ab, 109 a =k e109 b = p,a+bentao109 --3- vale:a) 2(k +p) c)~7e)~2b) 3(k +p) d)~3106. (Osec-SP)Se1092 (2- ,2) = a, entao1092 (2 + '2) e i9ual a:e) 2- a c) 1 +a a)32b) 1- a d) 12107. (Unirio)Osvalores reaisde x para os quais10109a(x2- 3x +2) = 6109a10, em que a >0 ea*" 1, sao:a) 4e1b) -4 e1c) 4 e -1d) 4 e 0e) -4e-1108. (Vunesp)Considerea fungaof definida por f (x) =109a x. Sef (a) = bef (a+2) =b+1, osva-loresrespectivosdea e b sao:a) 2e 1b) 2 e2c) 3e1d) 3 e2e) 4e1109. (Mackenzie-SP) Assinale 0 intervalo que naoesta contido no conjunto solugao da inequagao109(2'-1_1) 5 logn= c n euma potencia debase10 com expoente inteiroNessas condi\=oes, npode ser escrito assim: n= 10c, comc E7L.Dessa forma, temos:oresultadodeuumnumerointeiro!Exemplo1Calcular os logaritmos decimais dosseguintes numeros:a) 100 b) 0,001 c) 10000 d) 1a) log100= log102= 2. log10= 2. 1 => log100= 2b) log 0,001 = log10-3= -3. log10= -3. 1 => log 0,001 -3c) log 10000= log104=4log10=41 => log 10000= 4d) log1= log10= 0. log10= 0. 1 => log1= aEimportante destacar que:Somenteosnumerosquesaopotencia deexpoenteinteirodabase10possuemloga-ritmos inteiros.201EXERCiclOPROPOSTO5. Ache0 logaritmo decimal de x nos casos:a) x= 1000 b) x =0,01 c) x= 1000000 d) x= 0,000 1 nnao epotencia debase10 com expoente inteiroNessas condi M(4) =240.000,00. 2,4414 =>=> M(4) = 585.936,00omontantefinal sera deR$585.936,00.b) Achar0 numero deanos em que0 capital triplicara.Seja to m'tmerodeanos para queisso ocorra. Assim sendo: M(t) =3. C. Portanto:3. C =C' 1,25tEimportante notar que na senten t =---="-----log1,250,477121----'-----=4,90,096910ocapital deveraficaraplicadopor 5 anos(arredondadopara cima).EXERCiclO PROPOSTO24. Uma aplicayao de poupanya e atualizada segundo a seguintelei:M(t) = C 1,31,emque teonumero de anos, Ceo dinheiro aplicado e M, 0 montante.a) AcheM quandoC =AS 24.000,00 et =5.b) Ache0 menor numero de anos tal queM(t)atinja0valor 4C.Exemplo 4Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Qde uma substancia varia emhm0, b >0 eb "* l.log b'log a =c +0, ...em quec e a caracteristica do logaritmo e mea mantissa, com0m 1A caracteristica ceo numero dealgarismosda parte i.nteira dea, menosuma unidade.2Qcaso: 0 h = A'O5m = 7,2.=> h =485=> h= 9,6.EXERCICIOS PROPOSTOS _1. Determine0valor de x, yeznos triangulos abaixo:a) c) e)Lh~ ~.. xx Z Z 4 m16 x Z 25~ ~ Y . ~b)L1ix .. yd)L1i. 1 5f)x+2x+42. Sea diagonal de umquadradomedeL, quanta mede:a) seulado? b) seuperfmetro?3. 0 lado deumtriangulo eqOilateromedeL. Quandomedesuaaltura?4. A altura deum triangulo eqOilateromedeh. Quantomedeseulado?5. Num triangulo retangulo a hipotenusa mede 3 cm a mais que0maior cateto e este mede 3 cm a maisque0 menor cateto. Quantomede cadaumdos ladosdo triangulo?6. Umobservador esta a120 mdedistancia do topodeuma torre. Quandoeleanda 42memdireyaoaopeda torre, sua distancia ao topopassaa ser 90m. Qual aaltura da torre?3. Aprendendo novas conceitosSeja0 trianguloreranguloOMP,reta emM.pxOF'----------..... M2411\Seja x a medida doangulo MOP. Podemos estabelecer entre asmedidas de seus ladosasseguintes razoes:Sena1\Seno de x ea razao entre a medida do lado oposto ao angulo 0 e a medida da hipotenu-sa. Indicando0 senadexpor senxeconsiderando OP comounidadedecomprimento,temos:sen x =MP = MP =MPOP 1CassenaCossenodex ea razaoentreamedidadocatetoadjacenteaoangulohipotenusa. Indicando0 cassena de x por casx, temos:cos x = OM= OM=OM~ cos x =OMOP 11\oea medidadaTangenteTangente de x ea razao entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao angu-1\10O. Indicando a tangente de x por tg x,temos:MPtgx= --OMA essas razoesdamos0 nomede razoes triganametricas.Vejamosnovan1ente a figura:psen xOL------------'Mcos xObservas:aa: coma finalidadedefacilitaramemorizac;ao, aofalarmos emhipotenusaeemcatetos estaremos nosreferindo as suas medidas. Desse modo,temos:sen x =cos x=cateto oposto a xhipotenusacateto adjacentea xhipotenusatg x =cateto oposto a xcateto adjacente a xExempla 1\Emurntrianguloretangulo ABC (B ereto)sabe-sequea = 4emeb = 7em. Deterrrunaroseno, 0 cosseno e a tangente do menor de seus angulos.242SolUfaocQ = 4 em0:=?A L . - - - - - - - - ~ Bc =?Achamos a medida doladoc aplicando ateorema dePitagoras:Comoemumtrianguloqualquer, aomenorladoop6e-sea menorangulo, entaoameno[lado mede a, pais 4 sen A=4cm7em=> sen A=47cos A=ccosA=,33.cmcos A=,33- => => --b 7cm 74cm,--tgA=atgA= tg A=4au tg A=4\33=> => ~cill em ,33 33EXERCICIOS PROPOSTOS7. Determine0 seno, 0 eossenoeatangentedecadaumdosangulosagudosdeumtrianguloABC,nos seguintes casos:AL-----'1'2-cm,-----------' Ba)cgemc)'v'-------"B C8. Determine0 seno, 0eosseno e a tangente do maior angulo agudo de um trianguloABC, ondea, bec saoasmedidas dosseuslados, nosseguinteseasos:1\a) a = 4 em, b = 8 eme0 angulo C e reto.1\b) a= 4 em, b= 8 eme0 angulo Be reto.2439. 0 perfmetrodeumtrianguloretangulomede264 meahipotenusamede110m. Qual 0 senodomenor angulo agudo desse trianguloretangulo?A .10. Num triangulo retangulo ABC, reto emB, sabe-se que a hipotenusa mede 27,5 em e que sen A=0,6.Determine quanta mede cada cateto desse triangulo.A11. Um triangulo retangulo ABC ereto emB.Sabe-se que tg A= 1 e que um dos catetos mede 15 em.Ache0perfmetro do triangulo.4. Propriedadese r e l a ~ o e s doseno, docossenoeda tangente deurnanguloagudodeurn trianguloretangulocVeremos, em seguida, algumas rela\=oesmuito importantesentreasrazoestrigonome-tricasestudadas.Observe 0 triangulo rerangulo ABCdafiguraao lado.A""-------.J. .,---- ---'--'~Temos:sen A= !!-e cosC= !!-.(Deu a mesma coisa!)b b~Temos ainda:senC= .!.- e cos A= .!.-. (Deu a mesma coisa!)b bA AEntao, notandoquea soma dasmedidas de A e Ce 90(ou seja, eles sao complemen-tares), podemos tirar uma conclusao importante:Seasmedidasdedoisangulossomam90, 0 senodeumdelese igual aocossenodooutro.EXERCICIOSPROPOSTOS ... _12. Nas figuras seguintes, determine0que se pede:a) senC, sendo dadocosB= ~8cAL:J'--------------"'-Bb) cos 48, sendo dadosenB= 0,2831.c244Bc) cos(2x), sendo dadosen x= 0,5.AB13. Determine quanta vale:a) cos(90 - 32), sendo sen 32 =0,5299.b) sen(90 - 16), sendo cos16 =0,9613.c) sen19, sendo cos71 = 0,3256.d) cos (1830'), sendo sen(7130') =0,9483.e) cosx, sendo sen(90 - x) = 0,7236.I) cos (90 - x), sendo senx= 0,1928.Calculemos agora0 valor da expressao (sen A)2 + (cos A?, a qual tambem indicamos porsen2A+ cos2A.Como senA= !!-e cos A= C temosb b':sen2A+ cos2A= ( :y+ (yMasa2+c2= b2peloteoremadePita.goras. Portanto:b/lfji1\Observe que esse resultado nao depende do angulo A. 1sso significa que, se procedermos1\demodoanalogo, teremos para0 angulo Cque sen2C +cos2C= 1. Entao, concluimos:Se x e a medida de urn dosangulosagudosdeurn triangulo redngulo,temos:sen2x + cos2X = 1voce vera mais adiante quea relar;:aoacima e verdadeira para qualquer angulo.1\Calculemos agora0valor da tangente de urn dos angulos agudos, por exemplo, 0 anguloA.Temos que:tg A= CaNotemos que: sen A = _b_ cosA Cbsen A =!!-. (Deu a mesma coisa!)cos A cEntao: tg A=sen Acos AVerifique, como exerdcio, que0 mesmo ocone aocalcular tgC.Resumindo, vamosguardar:Se x e a medida de urndosangulos agudosdeurntrianguloretangulo,entao:tg x=sen xcos xvoce vera mais adiante que essa relar;:ao e verdadeira tambern para outrosangulos.Vejamos urnexemplo de aplicar;:ao.245ExemploSea esaoasmedidasdedoisangulosagudosdeumtriangu[oreranguloe sena =determinar sen cos cos a, tg ae tg13'Solut;iioComo a +=90,temosquesen a =cos entao: cos=13193Como sen2a +cos2a =1 => cos2a =1- ()2 => cos2a =1-=> cos2a = 8 => cosa ==> cosa = 2,2932,2Sendo cosa = sen temosquesen=Calculandoastangentes, temos:1sena tga= --- => tga= cos a 2\/2A'1=> tg a = -------=-- ou2,2Q = sen tg t-' => tg=cos

=> tg= 2\ 2 lembrandoqueemqualquer trianguloreranguloahipotenusa e 0 maior doslados,concluimos:Para 0 =>cos 45 ,2--2Eimportante observar queesses valores naodependem do valor dea.b) Angulo de 60Seja urn triangulo equilatero cujo lademede aunidades (verfigura). Comotodotrianguloeqiiilatero etamb6neqLiiangulo,cada urndos seus angulosmede 60.Trar;:andoa altura CH,temosque, sendoo triangulo eqiiilatero, ela sera tambem- 1\mediana de ABe bissetriz de C.A medida da altura (h= ?) eachada aplican-do 0 teorema de Pitagoras no trianguloretanguloAHC:AQcHh = ~2Q B2"3a2=> h2= --.Entao: h=4 2Desse modo,temos:sen 60=a=> sen 60= => sen 60=acos 60 = ~ => cos 60=a1a2d1=> cos 60 =12247~ tg 60= "\ 3 tg 60 =-J3_2_12Novamente obtivemos valores que naodependem do valor dea.sen60tg 60 =cos 60c)Angulo de 30Como30 +60 = 90, temos:sen30 = cos 60 ~ sen30 =12cos30 = sen 60 ~ cos30=2130-sen_2_1 "\3tg30= ~ tg30 = ~ tg30 = OLl --cos 30 "\3 "\33--2Outra vez obtivemos valores que nao dependem do valor de a. Isso e muito importante,pois osresultados serao osmesmosindependentemente dotamanhodasfiguras.Vamosguardarbem osdadosdatabela abaixo, naqual se encontra umresumodetodosos valores encontrados.1 "\2 "\3--- --22 2"\3 "\2 1-- ---2 22"\31"\3--3Se vocelembrar que -.Leomesmoque 2L,ficamais facil memorizar a tabela acima.2 2Vamos agora resolver alguns problemas praticos deaplicas:ao.Exemplo1Umfoguetee lans:ado a 200 mis, segundoum angulodeinclinas:aode60(ver figura).Determinar aalturadofoguete ap6s 4s, supondoatrajet6ria retilinea eavelocidadeconstante.SolUfiioAp6s 4s elepercorre 4. (200m) = 800 m.248:' -=----- Trajetoria do foguete,f", ,, ,, ,, ,, ,~ / :~ " I'0 ' ,,:-=----- Altura x,,,,ChaoTemos que:x = sen 60 => x= 800. ,3800 2=> x =692,8A altura eaproximadamente 692,8m.Exemplo 2Suponhaque, quando 0 foguete doexemplo1estivera750mdealtura, umapessoa, dochao, veja-o exatamente no prumo.a)A quedisrancia essa pessoa esra do ponto delanc;:amento?b) Quantos metros0 foguetepercorreu?Solufaof/fI '! ,"y:,,,xa) Temos que: 750 = tg 600 => 750x xA disrancia edeaproximadamente 433m.750m'3 => x= 750 => x=433,3249750b) 0 foguete percorreu y m,em que: = sen 60 ~ y =yofoguete percorreuaproximadamente 866m.Exemplo 3750\32~ y =866mUma pessoa esti na margem deurn rio, onde existem duas arvores (B eC na figura). Na ou-tra margem, em frentea B, existe outra arvore A, vista deC segundo urn angulo de 30, comrelas;aoaB. Se a disrancia deB aCe150m,qual e a larguradorio, nesse trecho?SoluraoAxB150mcTemos: x = tg 30 ~ x= 150.1501d=> X =86,7A largura do rioe aproximadamente86,7 m.EXERCiclOS PROPOSTOS _15. EmLim triangulo retanguloum angulo mede 30e 0lade oposto a esse angulo mede 120 m.Calculequanta mede cada um dos outros lados.16. A hipotenusa deum trianguloretangulomede 60 meumdos seus angulosmede 60. Determine0perfmetro desse triangulo.17. 0menor cateto de um triangulo retangulo mede 15 cm eo maior dos angulos agudos mede 60. Achea hipotenusa.18. Numtrianguloretangulo, umanguloagudomedeametadedooutro. 0 menor catetomede25m.Determine a medida de cadaumdos outroslados.25019. Um aviao esta a 500 m de altura, quando dele se ve a cabeceira da pista de pouso segundo um angu10 de declive de 30. A que distancia0aviao esta da cabeceira da pista?Pista Cabeceira dapista- - ~ - ~ - - - .....----'-------------,"'l!':::,::':J;;:'-----------------------------------------500 mr----L---..---20. Umhelicoptero e um carro da polfcia perseguemum carro de bandidos.0helicoptero esta a 250 mdealtura; 0 carrodapolfciaestabemabaixodohelicoptero(noprumo). Dohelicoptero0 carrodebandidos e avistado segundoumangulo de60. Qual e a distancia entre0 carrodapolfcia e0 dosbandidos?",H'"250 m.......... _ : -..P BVimosateaqui comotrabalhar comasrazoestrigonometricasdeapenasalgunsangulosparticulares: 30,45 e 60. Veremos em seguida como calcular asrazoes trigonometricas deurn anguloagudo qualquer.Comentamos anteriormente que, para fazer isso, poderiamos utilizar uma calculadoracientifica ou uma tabela de dados, tabela essa quee chamada det x 2= 8400 => x=91,65A distincia procurada e 91,65maproximadamente.EXERCiclOS PROPOSTOS32. Nas figurasabaixo, determinex.a)75b)16 emx33. Determinea largura dorio.12 em306emx25m7emRioScm 34. Ummenino, sentadonummuro, observa0topoeo "pe" de um predio, conforme a figura ao lado.Determinea altura do predio.,r600 _261DBDBDBDBTUNEL DO TEMPO"Namaiorpartedas ciencias umagera.C55. Seosraiossolaresformamumanguloex com0 solo, qual e, aproximadamente, 0 comprimentodasombra deumediffcio com10 m dealtura? (Dado: sen ex = ~ )a) 16,6 m b) 15,5 m c) 14,4 m d) 13,3 m e) 12,2 m56. (UFRS)0 valor de sen 30- cos 60e:a) 0 b) 1 c) d) e)57. (UFSE) Aarea, emcentfmetrosquadrados, dotriangulorepresentadona figura aolado e:a) 40.J2b) 20,3c) 20.J2d) 25e) 10267~308cm58. (U. Cat61icadeSalvador-SA) Nafiguraaoladetem-se um trapezio is6sceles cujos lados tem asmedidasindicadas.A medidaex doanguloassi-nalado e:")..1_4jfI... 6a) 60 c) 3059. (Unifor-CE) As diagonais de um paralelogramo formamentre si um angulo de 30 e seus comprimen-tos sao 2 3eme 4 em. 0 perfmetro desse paralelogramo, emcentimetros, e:a) 2.ff3 b) 4.ff3 c) 1 + '\13 d) 2 + 2'\13 e) 4 + 2'\13e) 78d) ~7c) ~4b) -.!-460. (PUC-MG)0 cosseno domenor angulointernodo triangulocujosladosmedem2 em, 1 eme 2eme igual a:a) -.!-2c)83-./'7e)b) _ $861. (UFES) Dado0triangulo abaixo, podemosafirmar que0valor decosexe:~ ; .~ -~ '\V?62. (Imes-SP) Na figura, 0 valor de x e:a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60h63. (Unisinos-RS)Senumtriangulo ABCtemos:med (A) = 30, med(B) = 60 emed (AB) = 25 em,entao med (BC) e, emem, igual a:a) 25$ b) 25'\'2 c) 12,5'\3 d) 12,5'\2 e) 12,564. (FEI-SP) SeemumtrianguloABC0 ladeAB mede3em, 0 ladeBC mede4eme0 angulointerneformadoentre osladosAB eBC mede 60, entao0 lade AC mede:a) .J37 em b) .ff3 em c) 2'\'3em d) 3'\3 em e) 2'\2em65. (Vunesp) Do quadrilatero ABCD da figura aola-do, sabe-se que: os angulos internos de verticesAe Csaoretos; osangulos COBeADBme-dem, respectivamente, 45 e 30; 0 lade CDmede2 dm.Entao, os ladosADeABmedem, respectiva-mente, emdm:a) .J6 e '\'3 d) '\'6e '\5b) -J5 e-v3c) '\'6""e 2e) ..J3 e '\5A'-----------"D268Capit 02Trigonometria -areoseangulosI.Nocapituloanterior, trabalharnoscomviriasrelas:oesenvolvendoasmedidasdeladosede angulos de urn triangulo.Entre as relas:oes estudadas estavam as razoes trigonometricas deangulosagudos: seno, cosseno e tangente.oramodamatematicaqueestudaessestiposderelas:oese chamadotrigonornetria (dogregotrigonon, triangulo,emetria, medis:ao, atodemedir).Os prirneiros estudos sobre trigonometria tiveramorigemnas relas:oes existentes entre la-dose angulos numtrianguloe datam demuitotempo.Neste capitulo,prepararemos0 terreno para0 estudodealgumasnovasfuns:oes, chama-das trigonornerricas, entreasquaisas fllns:oessenoe cosseno.Essasfuns:oes saomuitoimportantes, poisinurnerosfenomenos queocorrememnossavolta sao descritospOl' funs:oesdessetipo.Assim, pOl' exemplo, ocorre com a eletricidade, com as ondas sonoras, com estudostopo-graficos etc.A oeDois pontos Ae B quaisquer, tornados so-bre umacircllnferencia, dividem-na emduaspartes, cadaumadelaschamadaarcodacir-cunferencia.A figuraaoladomostra0 arco A:B. Nele,oponto Ae a suaorigemeB, a sua extrerni-dade.A medida docomprimento doarcoAB pode ser feitautilizando-se qualquer dasunida-des usadas para rnedir seu raio, como0 metro, 0 centimetro etc. As unidades mais comumen-teusadas sao0 grau e0 radiano.2. Arcos e angulos Medida de urn arco utilizando0 grau como unidadeCom relas:aoaograu, ja sabemosqueeumaunidadedemedidadeurnarcodecircun-ferencia, tal que:1Urngrau(1) corresponde a da circunferencia ondeesta0 arco a ser medido.360Portanto a circunferencia tern3600.269Sabemos aindaque:I1 tem 60' e I' tem 60" Ie que, a partirdesegundos, voltamosa utilizar 0sistemadecimal, usandodecimos, centesi-mos etc. (de segundo).Assim:a) 12 20' significa12 graus e 20minutos;b) 5 10' 30"significa5 graus, 10minutos e 30 segundos;c) 30 15'10,5"significa30 graus, 15minutos, 10 segundos e5 decimosde segundo.Vejan10sumexemplo de a p l i c a ~ a o .Considerando-se umrel6giocom pomeiro dashoras e ponteiro dos minutos, calcular:a) 0deslocamento do ponteiro das horas em1 hora.b) 0deslocamentodo ponteiro das horas em1 minuto.c) 0deslocamemo do ponteirodos minutos em1 hora.d) 0deslocamento do ponteiro dosminutos em1 minuto.e) 0menor arcodeterminado pelos dois ponteiros quandofor 3 h10min.Soluriioa) Veja 0queocorre, por exemplo, das3 has 4h.12 12Notando que0mostrador esta divididoem12 partes iguais(umapara cada hora),entao,para cada hora, corresponded um deslocamemo de360 --:- 12, ou seja, em 1 hora 0 pon-teirodas horasse desloca30.b)Ta sabemos que em1 hora (60min) 0pomeiro das horas se desloca30,Temos a seguin-teregra de tres simples e direta:--------.... xDeslocamento (graus)-------+>30Tempo (min)60160 30 1Temos que: -- = --~ 60. x = 30 ~ x = - ou0, 5.1 x 2Entao, em cada minuto 0ponteiro dashoras se desloca 0,5, ou seja,30',c) Em1 hora0pomeirodosminutosdauma volta completa, ou seja, 0deslocamentoe de360.d)Em1 hora(60min)0ponteiro dosminutossedesloca360.Temosa regra detres sim-ples e direta mostrada a seguir.270xTempo (min) Deslocamento (graus)60 -------+. 3601Entio: 60 = 360 => 60. x =360 => x =6.1 xPorranto, em eada minuto0 ponteiro dosminutos se desloea 6.e)Vamos analisar0 queoeorre desdeas3 hate3 h10 min.12l3 h123 h10 minAs3 h0 areoera de3. 30, ou seja, 90. 1Nos10 min0 ponteiro das horas se desloeau 10 - grau, ou seja, 5 (aumentou0 area).2Nos mesmos10 min0 ponteiro dos minutos se desloeou10. 6, ou seja, 60(diminuiuoareo).Entao0 area proeuradomede:90 +5 - 60 = 35.omenor areaas3 h10minmede35.EXERCiclOSPROPOSTOS _1. Um rel6gio tem0ponteiro de horas e 0de minu-tos. Determine0 deslocamento do ponteiro dashoras depois de passados:a) 4 hb) 25 minc) 2 h 15 min2. Nesse mesmorel6gio, determine0deslocamento do ponteiro dos minutos depois de passados:a) 20 min b) 30min30 s3. Ainda com0 mesmo rel6gio, calcule 0 menor dos angulos determinados pelos ponteiros quando marcarem:a) 3 h 20 min b) 1 h 15 min c) 7 h 30 min4. Umrel6gio perdeu0ponteiro dos minutos, masainda tem 0 das horas. Num determinadomomento, esse ponteiro esta posicionado comomostra a figura ao lado.Que horas sao?271"1300,,,,~Medida de urn arco usando0 radiano como unidadeVamos entender0 quee radiano atraves da situac;ao a seguir.Urnciclista comec;a a rodar suabicicleta para a direita...ChaoA...e, quandopercebe que nochao existe tinta vermelha, queesra "pintando"0 pneu...Chao)A... de para. S6 que, ao parar, de ja havia ava.l1c;ado lUna dist3..l1cia igual ao raio da roda da bicicleta.Aociclista volta, defe, para a posic;ao inicial. rChao-Posic;ao inicial.ChaoChao272Poisbem, 0 ciclista voltou aposirraoinicial mas, nisso, uma partedo pneu foipintada devermelho! Exatamente a parte correspondente ao arco H' da figurae eujo eomprimentoeigual ao doraio.Umareaeujoeomprimentoe igual aodoraiodacircunferenciaondeseeneantramede1radianoe e indicado por 1rad. Nonossoexemplo, H' mede1 rad.Entao, definimos:Radianoeumaunidadedemedir arcos. Eumarcodeeamprimentoigual aoraiodacircunferencia onde esta0 area a ser medido. eimportantenotarque, como0 comprimentode umacircunferencia edadopor C =2. 7T . r, em que rea medida do raio, entio, em radianos, a circunferencia toda ted.:11800 earrespondem a7T rad.IA transformarraodamedida deumarcodada em grauspara radianos (e vice-versa)e feitasimplesmente aplicando-seuma regra de tres simples e direta.Vejamos alguns exemplos.12. 7T . f rad, ou seja, 27T rad(7T vale aproximadamente3,14).f1Dessa forma, para uma circunferencia qualquer, temosque360 correspondem a27Trad,ou sep:Exemplo1 900Exprirnir 150 em radianos.SolufaoTemos a regra detres simples e direta:Arco(graus) Arco(rad)180000180 7TIt 150,x6Entao:1-8'0 7T=> 6x 57T => X57T2700l-s6---x 65 'IT"2oarcomede57T-- rad.6Exemplo 2'IT0Exprimir7Trad em graus.6SolUfaoComo 7T rad corresponde a 180, entao7T d d I 1800. 300ra correspon era a ---, ou seJa, .6 6273Exemplo 3Exprimir em graus0 arcode ~ rad.50SolUtiio180Como'JT rad corresponde a 180, entao~ rad correspondera a50 50Vamos dividir180 por50:Restooarea procurado mede3 36' .30 (resto)X601800'1800'300'00~36'EXERCICIOSPROPOSTOS _5. Exprima emradianos:a) 6006. Deemgraus:21Ta) 3 rad7. Transforme:a) 10emradianosb) 31T rad4c) 71T rad6b) 1 rademgrausd) 1200d) ~ rad153. Medida deurnangulocentralVirnos emnossos estudos de1Q grau que urnangulo, com vertice nocentro deumacir-cunferencia, e chamado angulo central. 1\A figura abaixomostra0 angulo central AGB.O_-----.,:..:.A--Emuito eanveniente adotar como unidade de medida de urn angulo central0 angulo quedetermina na circunferencia urnarco unitario.Dessa forma:1\onumeroqueexprimea medida doangulo AGBe0 mesmoqueexprimea medidadoarco AB.274Assima) Se a w1idade de medida tor0 grau e 0 areaABmedir, por exemplo, 60, entao1\oanguloAGBtambemmedira 60.b) Se a unidade de medida for0 radiano e0...----.. 1Tarea AB medir, por exemplo, - rad,61\entao 0 anguloAGBtambem medinl1T rad.6Oe-.l.-----4.,..A'-----..---i- radOF---'----+,---Vejamos algunsexemplos.-i- radExemplo1A eireunfereneia dafiguraabaixotem8em deraio. Um insetoparte dopontoAe anda so-1\bre ela ate0ponto B. Sabendo que a medida do angulo central AGBe 60, determinar quan-toseentimetros andou0 inseto.Oe----'------tASolUfiioTemos a seguinte regrade tres simples e direta:Angulo central(graus)360f 60Entao:Comprimento do areo(em)2.1T 8x360602. 1T . 8 2. 1T 8. 60=>x= =>xx 3603,14. 83=> x = 8,37Portanto0 inseto andouaproximadamente8,37 em.Exemplo 2Numa eireunfereneia que tem 28 em de diametro, um areo tem 12 em de eomprimento. Quale a medida (emrad)doangulo central earrespondente?275SolUfiioSe0 diametro mede 28 em, entao0 raio mede14 em. Temos a seguinte regra detres simplese direta:Portanto:Comprimento doarco(em)12. 'IT' 1412Angulocentral(rad)2'ITx2. 'IT . 14122'IT=---=>x=X2' 122' 14=> x =0,86Assim sendo, 0 angulocentralmede aproximadamente0,86rad.de urn modo geral, ehamando de So eomprimento de tun area, de a a medida, emradianos, do angulo central eorrespondente, e de l' a medida do raio, temos a seguinte regra de tres:Comprimento do arco Medida do angulo central(emrad) 1Entao:Sportanto IS = a' r IUtilizemos essa formulapara solueionar0 problema dado.Como S =12 em e l' =14 em,temos:12 em=a' 14 em => a =1214=> a=0,86 radExemplo3Determinar quanto mede0 raio de uma eireunfereneia, sabendo que urn area que mede10 emearresponde a urnangulocentralderadianos.6SolUfiioSejar a medida do raio, em em. Temos a regradetressimples e direta:Comprimento doarco AngulocentralI(em) I(rad)2''IT'r 2'IT10 56Assim sendo:2'IT r 6=---=>--=-=>r5 10 566. 10 => r =125Portanto0 raioda eireunfereneia mede12 em.276EXERCiclOS PROPOSTOS(Paraos exercfcios seguintes, usar'IT = 3,14.)8. Determine:a) 0comprimentodeumarcodecircunferencia(emcm), sabendoqueelatem12cmderaioe0angulo central correspondentemede 20.b) 0angulo central (emrad)correspondentea um arco de15 cmde comprimento, sabendo que elatemraiode 20 cm.c) a medida do raio de uma circunferencia (em cm),sabendo que nela um angulo central de 15cor-responde a umarco de 30 cm.9. Aroda dianteira deuma bicicleta tem40 cmderaio.a) Quantos metros ela percorre ao dar 5 000 voltas?b) Quantas voltasela deve dar para percorrer 9420 m?4. 0 cicio trigonometricoQuandoemnossosestudosde1Q grauestabelecemosa ideiadeeixo, naverdade 0 quefizemosfoi 0 seguinte:a) Tinha-se umareta. b) Tomou-se umde c) Estabeleceu-se um d) Estabeleceu-se umaseuspontos. sentido positivo. unidadedemedir.oQuetalfazermosisso comuma circunfercncia?Veja:o+o I +a) Temosumacircunfercncia.o.b) Tomemosumdeseus pontos comoorigem dosarcos.0. - - - - - - - Ac) Estabele X = 'li'; x- =>2 2 2 2GraficoConjunto 2imagemo-IPeriodo27T303D(f) = fRoIm(f) = [ -1,3].Periodo= 2'li'rad.EXERCiclO PROPOSTO18. Nas funt;:oes abaixo, construa0 grafico, de0conjunto imagem eo perlodo.a) y= -1+ 2 . cos (x - ; )b) Y = 2- cos (2x - 'Ii)Exemplo 4Determinar para quais valores dek existe xtalque:3k + 5a) sen x= 2SolUfiiok2+ 9k + 7b) cos x= 73k + 5a) sen x = 2Como para qualquer valor dextem-se -1sen x1, entao:CDf ,-13k + 512@A condis;ao Q) nosfornece:72 3A condis;ao @nos fornece:3k + 51 => 3k +52 => k- 12-It -I @.Entao:,CD@S= CD n@oconjunto solus;ao ea intersecs;ao de Q) com7-3Portanto0 conjunto solus;ao e:304b)k2 + 9k + 7cos x = 7Como -1cos x1 para qualquer valor de x,devemos ter:CD-1 k2+ 9k + 7 17@A condic;:ao CDnosfornece: -1 => k2+9k +7-7 => k2+9k +14k2+ 9k + 77Calculandoasraizes de f(k) =k2+ 9k +14, encontramosk = -7 ouk =-2.osinaldafunc;:ao f(k) =k2+9k +14varia assim:Como f(k)0, a solw;:aodacondic;:aoCD e:)0x

-7 -2 XL-- A condic;:ao nosfornece: 1 => k2+9k+77 => k2+9kk2+ 9k + 77Calculandoasraizes deg(k) =k2+9k,encontramosk = -9ouk =0.osinal de g(k) = k2 + 9k varia assim: Como g(k)0, asolw;:aodacondic;:aoe:)0x -9 0

)0xA soluc;:ao final ea intersecc;:ao deCD com .-2 0r

1)0Ii )0-2 0 -7-7-9CDs= (Dn@5 Portanto0 conjunto soluc;:aoe:S = {kE IR 1-9k -7 ou -2k0)305EXERCiclO PROPOSTO _19. Determine para quais valores reais de p existe x real talque:7p+3 p2 - 10p +12a) sen x = 5 c) senx = 124- 9pb) cos x = 7p2+7p+3d) cos x = 3Exemplo 5Determinar para quais valores de p a sentens:a sen x =SolUfiioConforme vista noexemplo anterior,devemoster:4p- Spode ser verdadeira.2-pA condis:ao CDnosfornece:-1::;;CD4p- S2-p@::;; 14p-S2-pnao podemos multiplicar os doismembros por (2- p), pois (2- p) nem sem-pre epositivo! Dessa forma prepararemos melhor essae, em seguida, analisaremosos sinais do numerador e dodenominador.Temos:4p- S2-p -1 4p- S+10 2-p4p- S + (2- p)2-pf(p)3p - 32-pg(p)a) anilise do numerador f(p) =3p - 3A raiz def(p) = 3p - 3 e1, e0 sinal def(p) = 3p - 3 varia assim:x306b) anaIise dodenominador g( p) = 2- PA raiz de g(p)=2- Pe2, e0 sinalde g(p)=2- Pvaria assim:xLembrando que0 denominador deve ser sempre diferente de zero, vamos fazer uma tabe-la com os sinais do numerador e do denominador, para determinarmos como varia0 sinal dafra cotg x=-cotg('IT- x) cotg x =Dessa forma, temos:sen x=sen('IT- x)cos x=-cos('IT- x)tg x= sen ('IT - x) => tg x= - tg('IT- x)- cos ('IT - x)- cos ('IT - x)sen ('IT - x)sec x =1cos x1 =>secx=-sec('IT-x)- cos ('IT - x)cossec x =1senx1 => cossec x=cossec('IT- x)sen ('IT - x)Resumindo,se y =1T6a-Ii2"b) 7T"2( -.J3)y= arc sen --2- => ePortanto:y=3rad.seny =-/323a-Ii3c)y= 3. cossenz =z4Chamandoz = arc sen7- ~ : ; ; ; ; z ~ ~2 247ey= 3. cos zC2 2 1 '1" e' 1omo cos z +sen z = => cos z =+ "\ - sen- z , pOlS, como z ta que1T 1T , ..- - :;;;; z ~ -, seu cosseno ePOS1UVO.2 2337Entao:cosz= - 49-J33=> cosz=7Assim sendo: y=3 -J337Exemplo 2Sabendo que y= arc sen 0,4, determineaproximadamente0 valor dey.SO/UfaO{'IT 'IT

2 2Y = arc sen 0,4 => esen y =0,4Nesse caso, 0 valor doseno nao edenenhumarcoconhecido.Assim, sedesejarmos saberaproximadamente 0 valordey, devemos fazer usodatibuadevalores ou de uma calculadora cientifica.Utilizando a tabua de valores de senos e cossenos, vemos que0 valor de yesta entre 23 e 24.EXERCICIOSPROPOSTOS _45. Determine a valor de y nos casas:(.J2)a) y = arc sen -2-b) y=arc sen (-+)46. Calcule y nos casas seguintes:a) y = 2 . cos(arc sen 0,8)47. Determine a valor deN:a) N = 0,5+cos [arcsen (-: )]arco-cossenoc) y = 2 . arc sen0,342d) Y = arc sen (-1)+arc sen 0,5b) Y =sen(arc sen0,5) + cos(arc sen0)b) N= tg [arcsen()]Domesmomodoqueafun sen2b =34352Como be do2Qquadrante, 0 seu seno epositivo, portanto:r-senb =,,3--2Dessa forma, temos:sen(a +b)=3(- +./3" 4 sen (a +b)=-3+4 ../3"(positivo)--- -5 2 5 104. (-)3 .J3-4- 3. ,f3cos (a +b)=- - -- cos (a +b)= (negativo)5 5 2 10Como sen(a+b) epositivoe cos(a +b) enegativo, concluimosque0 arcoquemede(a +b) tem sua extremidade no2Qquadrante,conformemostra a figura.Y Eixo dos senosSeno G) Seno G)Cosseno 8 Cosseno G Eixo dosSeno 0a Seno 0 x cessenosCosseno 0 Cosseno G)b) (a- b)Calculamos sen (a- b)e cos(a- b),utilizando os dadosobtidos no itema.sen (a- b) = sen a . cosb - sen b . cosasen (a- b) =. (-)-Entio:\13245sen (a- b) =-3- 4. "310(negativo)r--4 +3. ,3cos (a- b) = 10 (positivo)cos (a- b)=cos a' cos b + sen a' sen bcos (a- b)=. (-) + Entio:Como sen(a- b) enegativo e cos (a- b) epositivo, concluimosque0 arcodemedida(a- b)temextremidade no 4Qquadrante,conformemostra a figuradoitema.Exemplo2Achar0 valor desen1050.SoluraoTemos que:sen105 = sen(60+ 45)Como sen(600+ 45) = sen 60. cos 450+ sen 45. cos 60,entio:13 -fi -fi 1 6 +-fisen105= --' -- + -_.sen1050=2 2 2 2 4Como exercicio, calcule0 valor decos105, e verifique quea resposta sera353-fi--J64EXERCiclOSPROPOSTOSQEixodossenos3I4'TIT0NpDetermine:a) sen(a+b)b) cos (a - b)c) sen(b- c)d) cos(b+c)e) sen(a- d)f) cos (a +d)1. A figura mostraumciciotrigonometrico, no qual aparecem:a) umarea AMque mede a.b) umareaAiVquemedeb.c) umarea JJ5' quemedec.d) umarea ADquemeded.2. Usandoamesmafiguradoexercicioanterior, determineemqual quadranteesta aextremidadedoarea que mede:a) (a +c) b) (d- b)3. Sabendoquecos x=com x do 12quadrante, determine:a) sen(x+ ;) b) cos ( ; - x) c) sen ( ; - x) d) cos ( 3; +x)4. Calcule aquesepedeem cada caso:a) sen (a + b) e cos (a + b) sabendo que sen a1senb = - 2 ' comb do 42quadrante.2 ' coma do 12quadrante, e que4 7T 1b) cos (a - b)e sen(a- b),sabendo que sena = 5' com2 sen221 - cosa2=>=>a 11 - cos asen 2 = ~ 2Se em 0substituirmos sen2~ por 1- cos2~ , obteremos:cos a= cos2a2(1 - cos 2 ~ ) => cos a= 2cos 2a_I => cos2 a2 21+cosa2=>aComo tg 2asen -2acos-2=>a 11+cos acos 2: = ~ 2(com ~ *- ; +k. 'IT, kE7l..), temos:a + 11 -cos atg- =2 - ~ 1 +cos a359Exemplo 1Sabendo que cosa= ~ , coma do1Q quadrante,determinar:aa) sen 2ab) cos 2ac) tg2So/ufaoJa sabemos os resultados, pois, sendo a do 1Qquadrante, com cos a =. aportanto - =302Dessa forma, asrespostasserao:a 1sen 2 =sen30= 2a=cos30=-J3cos-221-=13a=tg30=2 1tg-13-1323-2-12' teremos a =60,No entanto, iremos calcular novamenteesses valores,fazendousodasformulas vistas.aa) sen2aTernos que 2 e do1Q quadrante, portanto seu seno sera positivo. Assim:ab) cos 2; l - ~sen!!:...-=+'\I 22 \ 2~ l - _ 1\4 2aComo esta no1Q quadrante, seu cosseno tambeme positivo.Assim:2co,~ ~ +~ 1+; ~ 1+ ~ -132 2 'I 4 2c) tg -.!!.-2Tambem0 valor da tg ~ e positivo, pois ~ e do1Qquadrante. Assim:11"v 3 =-'\-3- = -3-360Exemplo 2Sabendo quecosa= - : ,coma do3Q quadrante, determinar:aa) sen 2ab) cos 2SolUfiioComo 180 X=oconjunto solll=> sen' x,=sen(4X- ; ) => sen(4X- ; ) = senx4x- = x + k 21T 3x =1T+Il . 21T2 2Entao ou => Oll =>4x-1T= 'IT - X +Ie.21T, k ElL 5x =1T +1T+Ie.21T, Ie E 7L2 21T+1c. 21Tx=6";)=>ou31T+ k21T Ie E 7Lx= --10 5 'Portanto, 0 conjuntosolu-!A:l-.... Eixo dos eossenosoconjuntosolus:aoeobtidopercorrendo0 cidonosentidopositivo, apartirdeA, atecompletar uma volta, e em seguida generalizando.Dessa forma, osarcosx procurados saotaisque:o+k .21T OS; X< ~ +k .21T OU 21T +k . 21T 01cos x2b) Y= -2x +1b) Y= 2x +3b) x= 0b) ( ~ , 0) c) (5, 0)d) Crescentec) m 2=> Y >O.b) x Y>0; x= 0=> Y = 0; x>0=> Y 0=> Y >O.222d) x < -3=> Y >0; x = -3=> Y = 0; x> -3=> Y 0f EO IRlx> 370}24. a) {xEO IR Ix < -3 au x>2}b) {xEO IR Ix2au x;;;. 4}e) {xEOIRI-S< x 0; x= 0oux= "2=>Y = 0; 0< x < "2=> Y < 0d) x < 0 ou x>4=> Y < 0; x= 0 oux= 4=> Y = 0; 0 Y > 0'e) x3=> Y>0; x= -3 ou x= 3=> Y = 0;-3< x < 3=> Y < 0f) 'IXE IR=> Y>0g) x= -2=> Y = 0; xoF -2=> Y