Matematica 1 ecuaciones

7/26/2019 Matematica 1 ecuaciones

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ING. FLAVIO PARRA T

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1. TEMA: CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Conjunto es una coleccin de objetos y se lo puede expresar por comprensin y portabulacin. Ejemplo:

A = nmeros impares del 8 al 16} Conjunto por comprensinA = 9,11,13,15} Conjunto por tabulacinElementoes cada objeto de un conjunto: Ejemplo: 11ASubconjunto: A es un subconjunto de B, si y solo si, cada elemento de A es tambinelemento de B. Ejemplo:

A = 9,11,13,15} B = 8,9,10,11,12,13,14,15,16}

A B

En los nmeros reales existen conjuntos que tienen nombres especiales como son:

Conjunto de los enteros positivos (naturales):conformado por los enteros positivos y sonlos nmeros que nos sirven para contar.

Conjunto de los enteros positivos naturales = 1,2,3,4, }Conjunto de los nmeros enteros:conformado por los enteros positivos, negativos y elcero.

Conjunto de los enteros= ,3,2,1,0,1,2,3,4, }Conjunto de los nmeros racionales: son los nmeros que pueden expresarse como ladivisin de 2 nmeros enteros, esto es puede expresarse de la forma donde p y q sonnmeros enteros y . Ejemplos: , , Tenga en cuenta que:

, , , 0,25 , 25%. Representan el mismo nmero racional Todo nmero entero es racional. Ejemplo:

,

Todo nmero racional puede expresarse en forma decimal que terminan. Ejemplo: = 0,5 , =0,75. O tambin por decimales peridicos que no terminan. Ejemplo: =0,6666 =0,363636Conjunto de los nmeros irracionales:Son los nmeros que se representan por decimalesno peridicos que no terminan. Ejemplo: 2=1,41421356


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=3,1415926Juntos los nmeros racionales e irracionales conforman el conjunto de los nmeros reales yse los puede representar por puntos en una recta, que se le conoce como la recta de losnmeros reales.

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4

(+)

3/22-1/2

PRUEBA DE DIAGNOSTICO

Clasifique los enunciados como verdadero o falso, si es falso de una razn.

1. -5 es un entero ( )

2.

es un nmero racional ( )3. no es racional ( )4. 2 es un nmero real ( )5.

es un nmero irracional ( )6. 10 est a la izquierda del cero ( )

PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES

Sean a, b y c nmeros reales.

1. Propiedad transitiva de la igualdad

Si a = by b = c, entonces a = c. Ejemplo:Si: x = y y y = 3 x = 3

2.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicacin.Para todo nmero real a y b, existen nmeros nicos a by a. b. Ejemplo:5 4 = 9 3 . 7 = 2 1

3. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicacin.


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a b = b a a . b = b . a Ejemplo:7 3 = 3 7 4 . 5 = 5 . 4

4. Propiedad asociativa de la suma y multiplicacin.

a b c = a b c abc = abc Ejemplo.3 5 4 = 3 5 4 85.3 = 8.535. Propiedad de la identidad.

Existen 2 nmeros reales nicos denotados por 0 y 1, tales que para todo nmero real a.

0 a = a y a . 1 = a Ejemplo.

0 3 = 3 5 . 1 = 5

6. Propiedades del inverso.

6.1Inverso aditivo:para todo nmero real a, existe un nmero real nicoa, tal que:

a a = 0 7 7 = 06.2Inverso multiplicativo:para todo nmero real a excepto el 0, existe un nico nmero

real a, tal que:

a. a = 1 Recuerde:

a =

3. 13 = 1 5. 15 = 17. Propiedades distributivas.

ab c = a b a c ab c = a b a cb ca = a b a c b ca = a b a c Ejemplo:3x y = 3 x 3 y x y3 = 3 x 3 y4x y = 4 x 4 y x y4 = 4 x 4 y

TERMINOLOGA MATEMTICA

Consideremos todos los denominadores diferentes de cero.


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Propiedad Ejemplo

1. a b = a b 4 5 = 4 5 = 12.

a b = a b

7 4 = 7 4 = 1 1

3. 1a = a 1. 3 = 34. ab c = a b a c 24 3 = 2 . 4 2 . 3 = 1 45. ab c = a b a c 34 7 = 3 . 4 3 . 7 = 96. a b = a b 5 3 = 5 3 = 87.

a b = a b

7 3 = 7 3 = 4

8. a = a 5 = 59. a0 = 0 30 = 010.ab = ab = ab 3. 5 = 35 = 3.5 =1511.ab = ab 25 = 1012.

a1 = a

31 = 313.ab = a 1b 25 = 2 1514. ab = ab = ab 37 = 37 = 3715.

ab = ab 34 = 3416.0a = 0 03 = 0 05 = 017.

88 = 1 33 = 1


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aa = 118.

a ba = b

5 45 = 4

19.a. 1a = 1 4. 14 = 120.ab . cd = acbd 45 . 37 = 123521.

abc = ac b = a bc 2.75 = 25 7 = 2 7522. abc = ab 1c = 1b ac 32.5 = 32 15 = 12 3523.ab = ab cc = acbc 45 = 45 22 = 4.25.224.

abc = abc = abc= abc = abc735 = 735 = 73.5735 = 73.5

25.abc = abc = abc

= abc = abc 543 = 543 = 5.43

543 = 5.43 26.ac bc = a bc 35 45 = 3 45 = 7527.

37 57 = 3 57 = 27


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ac bc = a bc 28.

ab cd = a d b cbd

23 54 = 4.25.33.4 = 2312

29.ab cd = a d b cbd 23 54 = 2.45.312 = 71230.abc

d

= ab cd = ab . dc = adbc 7438

= 74 38 = 74 . 83 = 5612 = 143 31.abc = a

bc = a. cb = acb 723 = 7 23 = 7. 32 = 212

32.abc

= ab

c = ab

. 1c

= abc

745

= 74

5 = 74

. 15

= 720

Ejemplos:En cada uno de los ejemplos realice las operaciones y simplifique.

1. 2 3 [ 5 31 2 29 1 5 ] Realice las operaciones que estn dentro de parntesis, luego corchetes y elimine.

= 2 3 5 31 4 23 1 5

= 2 3 5 33 22 5= 2 3 5 9 4 5= 2 323 = 2 6 9 = 7 12. 3 34 27 1 0 54 37 =


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Realice las operaciones, teniendo en cuenta los nmeros enteros, fraccioneshomogneas y heterogneas.

= 7 24 57 = 7 12 57

Obtenga el mnimo comn denominador, que es el mnimo nmero que divide

exactamente a todos los denominadores.

= 714 17 5214 = 9 8 7 1 014 = 81143.

)4-(

2

1

2

1-

2

3-

15

2-

8

55

2

1-

4

34-

Efecte las operaciones, teniendo en cuenta que la multiplicacin y la divisin tienenmayor jerarqua.

= 4 34 52 112 32 12 2= 4 34 52 112 32 52

= 4 34 52 112 154 = 4 184 52 112 = 4 92 52 112= 4 42 112 = 4 2 112 = 2 112

Obtenemos el mnimo comn mltiplo (MCM), que es el menor nmero que divideexactamente a todos los denominadores (12).

= 212 112 = 25124.


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8

3

5

6

1

23

4

1

2

1

4

11

22

1

12

3

4

1

22

11

2

3

Siga con las recomendaciones anteriores, tenga paciencia al resolver el ejercicio, esel momento que utilice su calculadora cientfica para realizar las operaciones.

= 1 12 . 121 6 44 1 42 4 14

2 14321 1 06

= 1 14 14 32 34 143296 = 4 14 14 278916 14 . 132. 23

= 34 14 278916

112 43 = 3.44.1 27.169.8 3.14.12

= 3 6 116 = 3 116 = 16.3116 = 49165.

4

1

3

13

22

3

211

3

422

2

11

8

1

4

1

2

12

6

Realice el ejercicio tomando en cuenta los radicales.

= (1642 12 )

2 2 . 341 1 . 32 6 234 312


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= 1212 2 321 32

43112 = 1 4 322 32

483

= 1 12 12 1 6 = 1 1 4 = 4


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2. POTENCIACIN

El producto de x.x.x.x se abrevia 4x . En general nx , representa al producto de x, n veces.La letra nse denomina exponente y a xse le llama base.

base x n exponente

Leyes de los exponentes:

162.2.2.22x........xx.x.x.x.x.x.1 4n

2431

33333

1

)3(

1(-3)

x.......x.x.x.x.x.x

1

x

1 x.2

5

5-

n

n-

1644441

xx

1

.3

2

2-

n

n-

150definidoestno00,xsi1x.4 000

2.1 RADICACIN

Definicin.- Si r n= x, donde nes un entero positivo, entonces r es una raz n- sima de x.

Por ejemplo: 92= 81 por lo tanto 9 es la raz cuadrada de 81.

5 =125, entonces 5 es la raz cbica de 125.La expresin n x se llama radical, donde es el signo de radical, n el ndice y x elradicando. Donde:

es { positiva si x es positivanegativa si x es negativa y n es impar A continuacin se detalla algunas de las propiedades de los exponentes y radicales.

2.1 PROPIEDADES DE EXPONENTES Y RADICALES

Ley: Ejemplos:

1. nmnm xx.x 273333.3 314)1(414

2. 1x0 180


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3. 0xsix

1x

n

n 64

1

4

14

3

3

4. nn

xx

1

93

3

1 22

5.mn

nm

n

m

x

1x

x

x

52

25

2

5

x

1x

x

x

;3

3

2

5

x

1x

x

x

6. 1x

xm

m

155

5 05

5

7. mnnm xx 62x323 xxx

8. nzmzznm y.xy.x 128432 yxy.x

9.qn

pnn

q

p

y

x

y

x

9

63

3

2

y

x

y

x

10.

nn

x

y

y

x

16

81

2

3

3

244

11. nmn m xx / 4 34/3 66

12.nn/1

n/1

x

1

x

1x

3

1

27

1

27

127

33/1

3/1

13. xynn yx 4444 408.558

14. nn

n

y

x

y

x 55

5

5

54

20

4

20

15.nmm n

xx 155 3 66

16. m nmm xx / 46488 33 23/2

17.

xx

nn

88

33

18. n.m nmmn y.xy.x 66 322x3 2/63/63 722.32323

19. mn mnn

m

yxy

x 121212 344

3

328

2562.4

2

4


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Aplicacin de las propiedades de los exponentes

Las propiedades indicadas anteriormente permiten simplificar las expresiones algebraicasreducindoles a su mnima expresin; se incluyen a continuacin algunos ejemplos:

Ejemplo 1: = xy = xy Ejemplo 2: 2213 yx2

4262x22x12x3 yx2yx2 Regla 8

2

4

26

4

x64

y

x2

y Regla 4

Ejemplo 3:

2

5

23

32

2

3

32

2

yx

zy

yx

yzx

zyx

xy

= x

y

z

Regla 4, 5

= xyz

zyx

zyx

2--818

315321-4-93151 zyxzyx

Regla 8

15

52352315

x

zyzyx Regla 5, 3

Ejemplo 4:

2112

1221

zyx2

zyx3

zyx3

4zyx

3

2 31-(-2)-1-(-1)-2(-1)-2-2


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13

x3

zy4 3

Ejemplo 5:

xy

yx3 42

xy

yx

xy

yx 3/43/23/142

3/13/113/413/2 yxyx

33/1

3/1

x

y

x

y

2.2 RACIONALIZACIN

La racionalizacin del denominador de una fraccin es un procedimiento en el que unafraccin que tiene un radical en su denominador se expresa como una fraccin equivalentesin radical en el mismo.Racionalizar una expresin significa entonces quitar los radicales del denominador.

Para racionalizar aplicaremos el principio fundamental de las fracciones, el cual estableceque al multiplicar el numerador y denominador de una fraccin por el mismo nmero excepto

el cero se tiene como resultado una fraccin equivalente.

Ejemplo1: Racionalizar2

7

= = = Ejemplo 2: Racionalizar

4 3

2

xy

xy

4 34 32

4 44

4 32

4 3

4 3

4 3

2yxy

xyyxxy

yx

yxxy

yx

yx.xy

xy

Ejemplo 3: Racionalice:5 3

43 2

yx

xy.yx


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14

5 42

5 42

5 3

12 342

yx

yx.

yx

xyyx

xyyx.yx

yxyx.yxyx

5 4212 711

5 55

5 4212 3348

xy

yx

xy

yxyx

xy

yxyx 60 837960 482435556012425711

xy

yxxy

xy

yyxx 60 231960 23601960

= xy Otro procedimiento es transformar los radicales en exponentes y realizar las

correspondientes simplificaciones, de ser necesario los exponentes fraccionarios lostransformamos a enteros.

= xyxyxy

= x/y/x/y/ = x/y/= x y = xy 3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresin algebraica es la combinacin de nmeros y smbolos con las operaciones desumas, restas, potenciacin, radicacin. Ejemplos.

1. +++ es una expresin algebraica en la variable x

2.+ 2y 1es una expresin algebraica en la variable y


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3.1 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Recuerde solo puede sumar y restar trminos semejantes, esto es el que tiene el mismoexponente.

Ejemplo 1: 2x 5 32 x 1 3x 6 2x= 2 x 1 0 6 x 3 3 x 1 8 2x= 2 x 1 0 6 x 3 3 x 1 8 2 x= 4x13 5 x 1 8 = 4 x 1 3 5 x 1 8= x 5

Ejemplo 2: + == 4 6 x 1 6 x 5x 1 5 x 53 6 x 2x = 4 6 x 1 6 x 5x 1 5 x 53 6 x 2 x

=11x 9 x 93 6 x 2 x

3.2 MULTIPLICACIN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Monomio. Es una expresin algebraica que tiene un solo trmino por ejemplo: 3x Polinomio.Es una expresin conformada por ms de un trmino: 3x 2 x 1 Ejemplo 1: 3x4x 5x 2 x 1

=12x 15x 6x 3x Ejemplo2: x 5x 3= x 3 x 5 x 1 5 = x 2 x 1 5

Ejemplo3: 2 x 13 x 5


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16

= 6x 1 0 x 3 x 5 = 6 x 7 x 5 Ejemplo 4 : 3 x 53 x 5

= 3x

1 5 x 1 5 x 2 5

Ejemplo 6: x 3 x 72 x 1= 2x x 6x 3 x 1 4 x 7= 2x x 6x 1 7 x 7 Ejemplo7.

nmnmnm

15

1

5

23

5

1

3

25 22

Aplique propiedad distributiva de la multiplicacin, tenga cuidado con signos y

utilice las propiedades y teora de exponentes.

= 5m. 25 m 5 m. 115 n 23 mn. 25 m 23 mn. 115 n 15 n. 25 m 15 n. 115 n3. 25 m 3 . 115 n

= 2m 13mn 415 mn 245 mn 225 mn 175 n 65 m 15 n

Reduzca trminos semejantes.

= 2m 115 mn 8255 mn 65 m 15 n 175 n3.3 DIVISIN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Monomios. Escribimos la expresin en forma de fraccin y simplificamos (eliminamos)todos los factores comunes: Ejemplo:

a2

b3

aaab2

aabbb3

ba2

ba3 2

3

32

Polinomios. Para dividir dos polinomios entre s se procede de la siguiente manera:


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1) Ordenar el dividendo y divisor en forma descendente con respecto al exponente dela variable.

2) Dividir el primer trmino del dividendo para el primer trmino del divisor.3) Multiplicar el valor encontrado por el divisor y restar del dividendo4) Continuar este proceso sucesivamente con todos los trminos del polinomio.

Ejemplo 1: Dividir 4xentre12x7x2

4x12x7x2

-x2- 4x x + 33x + 12

-3x - 120

Ejemplo 2: Dividir 22 y30xy11x28 entre y5x4

Solucin 22 y30xy11x28 y5x4

xy35x28 2 7x + 6y2y30xy24 2y30xy24

0

Ejemplo3: 3x5x4x2

3

5x4x0x223

23 x6x2

5x4x6 2

x18x6 2

5x14

42x14

37

3x

14x6x2 2

3x

3714x6x2:Solucin 2

Para el caso de que se trate de una divisin con residuo, el resultado lo expresamoscomo:

= 4. PRODUCTOS NOTABLES


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Son operaciones que le permiten simplificar el proceso de multiplicacin de expresionesalgebraicas, a continuacin se detallan las principales reglas.

1.- xzxy)zy(x Propiedad distributiva

2.- abx)ba(x)bx)(ax( 2

3.- cdx)cbad(abx)dbx)(cax( 2

4.- 222 aax2x)ax( cuadrado de un binomio

5.- 222 aax2x)ax( cuadrado de un binomio

6.- 22 ax)ax)(ax( producto de suma y diferencia

7.- 32233 axa3ax3x)ax( cubo de un binomio

8.- 32233 axa3ax3x)ax( cubo de un binomio

9.- yzxzxyzyxzyx 2222222 Cuadrado de un trinomio

Utilice las reglas para resolver los ejemplos siguientes:

1.- xy5x2)y5x2(x 2 Regla 1

2.- 21x4x)3)(7(x)37(x)3x)(7x( 22 Regla 2

3.- 16x10x)2)(8(x)28(x)2x)(8x( 22 Regla 2

4.- )2)(5(y)5)(3()2)(2(y)3)(2()2y3)(5y2( 2 Regla 3

10y11y62

5.- 22222 yxy6x9y)y)(x3(2)x3()yx3( Regla 4

6.- 2222 x64x8025)x8()x8)(5(2)5()x85( Regla 5

7.- 125x150x60x8)5()5)(x2(3)5()x2(3)x2()5x2( 2332233 Regla 7

8.- 3232233 x512x384x968)x8()x8)(2(3)x8()2(3)2()x82( Regla 8

9.- 22 yx25)yx5)(yx5( Regla 6

10.- )1z16()1z4)(1z4()1z4()1z2)(1z2( 4222 Regla 6

11.- 5y25x22yx225yx25yx2 2222

y10x20xy425yx4 22 Regla 9


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4. 1 RACIONALIZACIN DE DENOMINADORES

a) Racionalizacin de denominadores que contienen races cuadradas.

Cuando el denominador de una fraccin incluye races cuadradas, como )yx( o

)52( , se puede racionalizar multiplicando por una expresin que lo convierta en

una diferencia de dos cuadrados.

22 b-a)ba()b-a(

1. Racionalizar:35

8

Multiplicamos por una expresin que le convierte en diferencia de dos cuadrados. La

multiplicacin efectuamos en el numerador y denominador para que no se altere laexpresin.

3542

358

35

358

35

358

35

35.

35

8

22

2. Racionalizar:yx

x

yx

yxx

yx

yxx

yx

yx.

yx

x22

b) Racionalizacin de denominadores que contienen races cbicas.

Cuando el denominador de una fraccin contiene races cbicas como: )ba( 33 o

)2817( 33 , debe multiplicar por una expresin que de cmo resultado la suma o

diferencia de dos cubos.

)aaxx)(ax(ax 2233

)aaxx)(ax(ax 2233

1. Racionalizar:33 97

5


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20

9739.7495

9977

9977.

97

5 3 433

3 2333 2

3 2333 2

33

2

3363495

2

3363495 333333

2. Racionalizar:33 2 xx

x

3 233 23 223 233 23 22

33 2 xxx)(x

xxx)(x.

xx

x

1xxxx.xxx

xx

xx.xxx3 23 23 4

2

3 23 23 4

1x

xxxx

1x

xxx.x3 233 23 33 3

5. FACTORIZACIN

5.1 REGLAS DE FACTORIZACIN

Cuando multiplicamos entre s dos o ms expresiones, stas reciben el nombre de factoresdel producto. Por lo que si c = a.b , entonces a y b son factores del producto c. Al procesopor el cual una expresin se escribe como el producto de sus factores se le llamafactorizacin.

La factorizacin es un proceso inverso de los productos especiales, te presentamos las reglasgenerales de este proceso.

1. )zy(xxzxy Factor comn

2. )bx)(ax(abx)ba(x2 Forma cbxx2

3. )dbx)(cax(cdx)cbad(abx2

Forma cbxax2

4. 222 )ax(aax2x Trinomio cuadrado perfecto

5. 222 )ax(aax2x Trinomio cuadrado perfecto

6. )ax)(ax(ax 22 Diferencia de dos cuadrados

7. )aaxx)(ax(ax 2233 Suma de dos cubos

8. )aaxx)(ax(ax 2233 Diferencia de dos cubos


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ING. FLAVIO PARRA T

21

Ejemplos:

1. )zy2(x5xz5xy10 Regla 1, factor comn

2.

bybxy5x5 Regla1, factorizacin por agrupacin.

)yx)(5b(

)5b(y)5b(x

)y5by()x5bx(

3. 8x6x2 Regla 2, para factorar un trinomio de la forma cbxx2 debe buscar dosnmeros que multiplicados le den como resultado +8 y sumados +6. Tiene las siguientesopciones:

2)4)(x(x

:sonfactoreslosentoncesbuscaba,queloEncontr64)(28)4(x)2(

91)-(-88(-8)x(-1)

6sumalaserdebeNo,91)8(8)1(x)8(

4. 50y15y2 Regla 2, es un trinomio de la forma cbxx2 , busca dos nmeros quemultiplicados sea +50 y sumados -8. Si no encuentra con facilidad los nmeros,descomponga 50 y combnelos hasta encontrarlos.

250 No-27(-2)(-25)50)1x2(x)5x5(

525 Si-15(-5)(-10)50)1x5(x)5x2(

55 )5y)(10y(

11

5. 15x7x2 2 Regla 3, es un trinomio de la forma cbxax2 , para encontrar losfactores utilice cualquiera de los mtodos siguientes:

a) El mtodo 1se lo utiliza cuando aes un nmero primo, es decir que es divisible para simismo y para la unidad. En el ejemplo propuesto 2a nicamente es divisible para simismo y para la unidad.

)(x)x2(

Ahora debe encontrar dos nmeros que multiplicados de -15 y sumados +7 de la manerasiguiente:

Prueba 1: )3(x)5( )3-x()52x( Compruebe:


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ING. FLAVIO PARRA T

22

x5

x6

x No, debe ser x7

Prueba 2: )3(x)5( )5x()3-2x(

x3

x10 = x7 Comprobado y 15)5)(3(

b) Para explicar el mtodo 2, utilicemos el mismo ejemplo 15x7x2 2

1. Multiplique el trmino cuadrtico con eltrmino constante.

22 30x15)(x2

2. Encuentre dos nmeros que multiplicadosde -30 y sumados +7 (si no existe estos, noes factorable) 15x3x10x2

15x)310(x2

2

2

3. Factore por agrupacin

)3x2)(5x(

)5x(3)5x(x2

)15x3()x10x2( 2

c) Mtodo 3, siga los siguientes pasos, para el mismo ejemplo.

1. Multiplique y divida al trinomiocon a = 2

2

30)x2(7)x2(

2

)2(15)x2(7x4)15x7x2.(

2

2

2

22

2. Busque dos nmeros quemultiplicados sea -30 y sumados

+7

=2

)3x2)(10x2(

3. Extraiga el factor comn ysimplifique

= )3x2)(5x(

2

)3x2)(5x(2

Domine esta regla, lo conseguir realizando ejercicios.

6. 9x6x2 Regla 4, es un trinomio cuadrado perfecto, lo identifica porque

39yxx2 , le queda por verificar que x6)3)(x(2

96xx2


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ING. FLAVIO PARRA T

23

2)3x(

x6)3)(x(2 Comprobacin

7.

81x36x4 2 Regla 5, trinomio cuadrado perfecto, identifique

981yx2x4 2 , compruebe que x36)9)(x2(2

8136x-x4 2

2)9-2x(

x36)9)(x2(2

8. 121x81 2 Regla 6, Diferencia de cuadrados, tenemos 2 cuadrados perfectos unidos

por el signo (-), verifique 11121y9xx81 2

)11x9)(11x9(121x81 2

9. 64x27 3 Regla 7, Suma de dos cubos, verifique 464y3xx27 33 3

16)12x-4)(9x(3x

)4()4)(x3()x3()4x3()4()x3(

2

2233

10. 8x125 6 Regla 8,Diferencia de dos cubos, verifique:

28y5x125x 323 6

4)10x2)(25x-(5x

)2()2)(x5()x5()2x5()2()x5(

242

22222332

NOTA:Podra tener alguna confusin con las reglas 2, 4 y 5; por tratarse de trinomios de

la forma cbxx2 , hagamos un anlisis con los siguientes ejemplos:

1. x16x10x 23

a) Como regla general, en cualquier ejercicio de factorizacin, considere en aplicar la regla1 (factor comn).


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ING. FLAVIO PARRA T

24

)16x10x(x 2

b) Tenemos un trinomio de la forma cbxx2 , haga la prueba del trinomio cuadrado

perfecto 416;xx2 , le toca comprobar si x10)4)(x(2 que no es verdadero

x10x8 . Entonces aplique la regla 2, debe buscar dos nmeros que multiplicados sea +16y sumados +10.

)2x)(8x(x

2. 16x6x2 , podra pensar aplicar la regla 5, no lo puede hacer por los signos,aplique directamente la regla 2.

)2x)(8x(

3.

27x12x4

2 , puede aplicar la regla 3, pero considere que 27)x2(6)x2(

2 yutilicemos la regla 2, es decir, encontrar dos nmeros que multiplicados sea -27 y sumados

-6.

)3x2)(9x2(

5.1 FRACCIONES ALGEBRAICAS

El objetivo de la seccin, es la simplificacin de expresiones algebraicas utilizando susconocimientos de factorizacin. Estudie los ejemplos siguientes:

1.12x7x

6xx2

2

4x

2x

)4x)(3x(

)2x)(3x(

2.

4x4x

6xx

24x18x3

x2x

2

2

2

2

Factorice las expresiones (reglas 1 y 2); simplifique


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ING. FLAVIO PARRA T

25

)2(

)2)(3(

)2)(4(3

)2(

)2(

)2)(3(

)86(3

)2(

22

2

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

)3)(4(3)2(

)2)(3)(2)(4(3)2)(2(2

xxxx

xxxxxxx

3.2y7y3

y

2-5y-3y

222

Factorice, regla 3

)2y)(1y3(

y

2)-1)(y(3y

2

Determine M.C.D )2y)(1y3)(1y3(

)2y)(1y3)(1y3(

2y5y3

)2y)(1y3)(1y3(

yy32y6

)2y)(1y3)(1y3(

)1y3(y)1y3(2 22

)2y)(1y3)(1y3(

)1y)(2y3(

)2y)(1y3)(1y3(

)2y5y3( 2

)2y)(1y9(

)1y)(2y3(2

4.

3

7x3

2x

1

6x5x

1x2

Factorice, obtenga el MCM, realice operaciones

3

7x9

2x

1

)2x)(3x(

1x

3

2x

)2x)(3x(

)3x()1x(


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ING. FLAVIO PARRA T

26

3

2x

)2x)(3x(

3x1x

3

2x

)2x)(3x(

4

)2)(2)(3(

12

xxx

2)2x)(3x(

12


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ING. FLAVIO PARRA T

27

1. ECUACIONES

Una ecuacines una proposicin que indica que dos expresiones son iguales. Las dos

expresiones que conforman una ecuacin son llamadas sus ladoso miembros, y estnseparados por el signo de igualdad = .

Ejemplos de ecuaciones:

a. 38x b. x 3 x 5 = 0c. 5

y21

y

d. 8w53w

En cada ejemplo, nuestro objetivo ser encontrar el valor de la variable ( x, y, w), paraque la proposicin de igualdad sea verdadera.

1.1. Ecuaciones equivalentes.

Resolver una ecuacin puede implicar la realizacin de operaciones en ella. Es preferibleque al aplicar cualquiera de tales operaciones se obtenga otra ecuacin con exactamentelas mismas soluciones que la ecuacin original. Cuando esto ocurre, se dice que lasecuaciones son equivalentes. Existen tres operaciones que garantizan la equivalencia:

1. Sumar (o restar) el mismo polinomio a los dos miembros de una ecuacin, la mismavariable de la ecuacin original.

x78x6 Ecuacin originalx7x78x6x7 Suma de x7 a los lados de la igualdad

8x

2. Multiplicar (dividir) ambos miembros de una ecuacin por la misma constante, excepto elcero.

3x8 Ecuacin original

8

3

8

x8 Dividir para 8 a los dos lados de la igualdad

8

3x

3. Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecuacin por una expresin igual(equivalente).

5)4x(x Ecuacin original


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ING. FLAVIO PARRA T

28

5x4x2 Ecuacin equivalente

Existen otras operaciones que no garantizan tener ecuaciones equivalentes, como:

4. Multiplicar ambos miembros de una ecuacin por una expresin que involucre la variable.

01x Ecuacin original Solucin: 1x

Multiplicamos a la ecuacin: x

01)- x(x;x.0)1x(x Solucin: 1x;0x

0x No satisface la ecuacin original.

5. Dividir ambos miembros de una ecuacin por una expresin que involucre la variable.

0)4x)(3x( Ecuacin original Solucin: 4 x3x

Dividimos para: 4x

03 x;)4x(

0

)4x(

)4x)(3x(

Solucin: 3x

Al dividir se ha perdido la solucin 4x

6. Elevar ambos miembros de una ecuacin al mismo exponente.

2x Ecuacin original

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuacin.

4 x;2x 222 Solucin: -2 x2x

2x No satisface ecuacin original.

1.3 ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin lineal en la variable x es una ecuacin que puede escribirse en la forma:

0bax ; donde a y bson constantes y 0a

Una ecuacin lineal tambin se conoce como ecuacin de primer grado o ecuacin degrado uno, ya que la potencia ms alta de la variable es uno.


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ING. FLAVIO PARRA T

29

Para resolver una ecuacin lineal realice transposicin de trminos, colocando a lostrminos con la variable a la izquierda de la ecuacin y los trminos independientes allado derecho y efecte las operaciones. Ejemplos:

1. 1x65x8

51x6x8 Transposicin de trminos

2

6 x;6x2

Solucin: 3x

2. y4)4y(3)1y(2

y412y32y2 Realice operaciones

122y4y3y2 Transposicin de trminos

10y5

5

10y

Solucin: 2y

3.

215x3

149x8

37x2

Iguale la ecuacin a cero.

021

5x3

14

9x8

3

7x2

Obtenga el MCM

11

771

37

221143

427.3.2 MCM

Realice operaciones.


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ING. FLAVIO PARRA T

30

042

)5x3(2)9x8(3)7x2(14

)42(010x627x2498x28

102798x6x24x28

115x46

46

115x

ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES

1.4 ECUACIONES FRACCIONARIAS. Es una ecuacin en que la incgnita est en eldenominador. Ejemplos:

1.

5

2

x

3x

Iguale la ecuacin a cero.

05

2

x

3x

Obtenga x5MCM

0x5

x2)3x(5

)x5(0x215x5

3

15- x;15x3

Solucin: 5x

Comprobacin:5

2

5

35

;

5

2

5

2

2.1x

3

2x

7

1x

4


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ING. FLAVIO PARRA T

31

Iguale a cero y obtenga el )2)(1)(1( xxxMCM

0)2x)(1x)(1x(

)2x)(1x(3)1x)(1x(7)2x)(1x(4

)2x)(1x)(1x)(0()2x3x(3)1x(7)2xx(4 222

06x9x37x78x4x4 222

5x13 13

5x

Comprobacin:

113

5

3

213

5

7

113

5

4

2

13

2

13

1.5 ECUACIONES CON RADICALES

Una ecuacin con radicales es aquella en la que una incgnita aparece en un radicando.Ejemplos

1. 05x26

65x2

22 )6(5x2 Elevar al cuadrado los dos lados de ecuacin

365x2 536x2

31x2 2

31x

Comprobacin:

052

31.26 00

2. 11xx


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ING. FLAVIO PARRA T

32

x11x

22 x11x Elevar al cuadrado los dos lados de ecuacin

2

2 xx211x

xx211x

x21x1x

x20 22 x20 Elevar al cuadrado los dos lados de ecuacin

x40 ;4

0x ; 0x

Comprobacin:

1100 ; 11 Solucin extraa, no tiene solucin

1.6 ECUACIONES CON LITERALES

Una aplicacin importante de ecuaciones lineales, es lo que conocemos como despejaruna frmula. Ejemplos.

a)

5)i1(CM ; despejar i

C

M)i1( 5

55 5

C

M)i1( Extraemos raz de ndice quinta a los lados de la ecuacin

5

C

M)i1(

1C

Mi 5

b)xa

bx

xb

ax

; despejar x


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ING. FLAVIO PARRA T

33

ax

bx

bx

ax

factorice la expresin

22 bxax;bxbxaxax

2222 bbx2xaax2x

2222 abbx2xax2x

)ab)(ab()ab(x2

)ab(2

)ab)(ab(x

2

abx

1.7 ECUACIONES CUADRTICAS

Es una ecuacin que puede escribirse de la forma 0cbxax2

, con 0a . Se leconoce tambin como ecuacin de segundo grado o de grado 2, pues el mximo exponentede la variable es 2.

La solucin se realiza por factorizacin o mediante la frmula cuadrtica.

a2

ac4bbx

2

FRMULA CUADRTICA

EJERCICIOS

1. 0x70x3x 23

Analice en primer lugar si puede resolver por factorizacin.

07-x10x x;070-3xxx 2

7x;07-x

-10x;010x

0x


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ING. FLAVIO PARRA T

34

2.6-yy

714y

2-y

5y

3y

1y2

Factorice e iguale a cero.

0

2y3y

714y-

2-y

5y

3y

1y

Obtenga el MCM

02y3y

7y143y5y2y1y

Realice operaciones

067y-2y;07y1415y8y2yy 222

2y;02-y

23y;03-2y

02-y3-2y

3. 028x2x

Realice transposicin de trminos y eleve al cuadrado los lados de la igualdad para eliminarel radical, efecte operaciones.

8x22x;8x22x 22

12-xx4-;8-2x4x4-x

14424x-x16x;12-xx4- 222

036-x4-x;014440x-x2

36x;036-x

4x;04-x

COMPROBACIN: Siempre que realice operaciones que no garanticen ecuacionesequivalentes, realice la verificacin, reemplazando soluciones en ecuacin original.

00;02-8-2(4)-4;4x

04-;02-8-2(36)-36;36x Solucin extraa


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ING. FLAVIO PARRA T

35

4. 01x3x2 2

Es una expresin no factorable, para la solucin utilice la frmula cuadrtica.

-1c-3b2a

22

12433--x;

a2

ac4bbx

22

4

173x;

4

173 x:

4

173x 21

5. 01xx2

1c-1b1a

12

11411--x;

a2

ac4bbx

22

2

3-1x

No tiene solucin, no existe raz cuadrada de un nmero negativo

1.8 APLICACIN DE ECUACIONES LINEALES

Hasta el momento ha recordado los procesos de solucin de ecuaciones; en la vidaprctica se le presentan diversas situaciones en las que puede transformar las mismas enmodelos matemticos que le permitirn dar solucin a las mismas.

Para la solucin de problemas prcticos siga los siguientes pasos:

a) Tenga confianza en Usted, reflexione la situacin que le presentan.

b) Lea con detenimiento, entienda de que se trata el problema. Identifique que le piden

encontrar, frases como: A qu distancia se encuentra?, Qu cantidad de inversin?etc. Le indican lo que debe encontrar.

c) Asigne una variable (x, y, ) a la cantidad desconocida, utilice las variables paraexpresar la informacin en expresiones algebraicas. De ser necesario utilice grficos.

d) Con las expresiones algebraicas y el enunciado del problema formule la ecuacin.Resuelva


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ING. FLAVIO PARRA T

36

e) Compruebe si la solucin encontrada satisface la ecuacin y el enunciado delproblema.

Ejemplos:

1.

La compaa R&S fabrica un producto para el cual el costo de mano de obra es de $4,materiales $3 y $1 por costos adicionales por unidad; los costos fijos son de $35000. Siel precio de venta del producto es de $15.Determine el nivel de produccin para: (a)Encontrar el punto de equilibrio. (b) Utilidad o prdida cuando se producen 85000 y45000 unidades. (c) Nmero de unidades para obtener una utilidad de $50000

Previo a la solucin; es importante que se acostumbre a utilizar trminos econmicosutilizados en la produccin y comercializacin de productos, as:

Costo variable (Cv).Son todos los costos unitarios directos que estn en funcin del

nmero de unidades producidas, como son: materiales, mano de obra y otros que estnrelacionadas con la produccin de cada unidad.

Costo fijo (Cf).Es el costo que no depende del nmero de unidades producidas como:arrendamiento, seguros, etc.

Precio de venta (pv).Es el precio que se establece para la venta del producto elaborado.

Costo total (C).Es la suma del costo fijo y el costo variable.

C = C v q C f

Ingreso total (R).Es la cantidad de dinero que se obtiene por la venta de la produccin.

R = p v qUtilidad (P).Es la cantidad de dinero que se obtiene al restar el ingreso total del costototal.

P = R CPunto de equilibrio.En negocios es muy importante conocer el punto de equilibrio en

la produccin, esto es donde el ingreso total es igual al costo total, concepto importantepara determinar a qu nivel de produccin se inicia las utilidades.

R = CMano de obra = $4Materiales=$3


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ING. FLAVIO PARRA T

37

Adicionales por unidad=$1Precio de venta = $15a) Punto de equilibrio. R = CR = p v q R = 1 5 qC = C v q C f C = 8 q 3 5 0 0 0 015q=8q350000 7q=350000q=50000 unidadesb) Utilidad o prdida cuando se producen 85000 y 45000 unidades.

P = R C P = 1 5 q 8q350000P=7q350000P85000 = 785000 350000=$595000 "Utilidad"P45000 = 745000 350000=$35000 "Prdida"c) Nmero de unidades para obtener una utilidad de $50000

50000=7q350000 7q=400000q = 57142,86 q = 57143 unidades2. Inversin. La seorita Carola Padilla recibi una herencia de $250000. Despus de

analizar diversas opciones, decide invertir parte de este monto en una cuenta de ahorrosque paga el 4% anual, y el resto en otra que paga 6% anual. Si desea recibir $13000 deingresos anuales, por la inversin cunto debe invertir la seorita Carola en cada cuenta?

Recuerde el inters por cada inversin est dado por:I = C i t, como el tiempo de lainversin por un ao:

I = C i


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ING. FLAVIO PARRA T

38

250000

%4

%6

13000

x

x

2500

00

1I

2I

I I = I0.04x0.06250000x =130000.04x15000.06x=13000 0.02x=200x = 10000 al 4% 250000 x = 240000 al 6%

3. Encuentre tres nmeros pares consecutivos, tales que el doble del primero mas el tercerosea igual a 10 ms que el segundo.

Sea: x = primero de los tres nmeros pares consecutivos 2x segundo nmero par, consecutivo despus de x 4x tercer nmero par, consecutivo despus de x

Modelemos el problema:

+ = = +

x2 + )4x( = 10 + )2x(

2x104xx2 412xx3

8x2 4x

doble del primero tercero 10 el segundo


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ING. FLAVIO PARRA T

39

62x 84x

Comprobacin:

)24(10)44()4(2

1616

4. Tres personas A, B y C reciben una herencia de $3500, B recibe el triple de lo que recibeA; y C el doble de lo que recibe B. Cunto corresponde a cada uno?

Planteamiento:

A: recibe x B: recibe triple de A x3

C: recibe doble de B )x3(2

3500)x3(2x3x

3500x10

350$x Recibe A

1050$)350(3B

2100$)350x3(2C

5. Un automvil sale de A hacia B a una velocidad de 80 km por hora al mismo tiempo quesale un mnibus de B hacia A a 65 km por hora. Si la distancia AB es de 435 km, a qudistancia de B se encontrarn y cunto tiempo tardarn en encontrarse?

Recuerda: La velocidad de un vehculo, est dada por la relacin entre la distancia

recorrida y el tiempot

ev

a) Grafico: Llamemos a M, el punto de encuentro de los dos vehculos, que ocurrir en

el mismo tiempo

A

M

Bx 435 - x

435


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ING. FLAVIO PARRA T

40

b)Planteamiento.

Espacio Velocidad TiempoVehculo 1 x 80

80

x

Vehculo 2 x435 6565

x435

c) Solucin:

65

x435

80

x

3480080x65x;)x435(80x65

240x;34800x145

horas380

240t tiempo en encontrarse

6. Diseo de empaque. Una compaa est diseando un empaque para su producto. Unaparte del empaque ser una caja abierta fabricada a partir de una pieza cuadrada dealuminio, de la que se cortar un cuadrado de 2 pulgadas de cada esquina para as doblarhacia arriba los lados. La caja es para contener 50 pulgadas3.Cules son las dimensionesde la pieza cuadrada de aluminio que debe utilizarse?

x

x - 4

x-

4

2

x

2

2

2

2

2

2

2

x - 4

x-

4

Solucin: Recuerde que el volumen de un recipiente de base cuadrada, esta dadopor:

)altura(x)ancho(x)oargl(V

a) Sea x la dimensin de la pieza de aluminio.


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ING. FLAVIO PARRA T

41

cajadealtura2

.iominaludecajadeensindim4x

)2)(4x)(4x(V

50)4x(2 2 50)16x8x(2 2

05032x16x2 2 018x16x2 2

01)9)(x-2(x0)98(2 2 xx

-1 x01x

9 x09x

Solucin: 9x

b)

Comprobacin:

3lgpu50)2)(49)(49(V

7. Programa de expansin. En dos aos una compaa iniciara un programa de expansin.Tiene decidido invertir $2000000 ahora, de modo que en dos aos el valor total de lainversin sea de $2163200, la cantidad requerida para la expansin.Cul es la tasa deinters anual, compuesta anualmente, que la compaa debe recibir para alcanzar su

objetivo?

Solucin: Si invierte una cantidad de dinero al transcurrir el tiempo (1 ao), tendr el

capital ms el inters ( )tPrI , donde r es la tasa de inters que se aplica a la inversin.

Primer ao: )r1(0000002)1.(r.00000020000002 Capital para segundo ao

Segundo ao: r)r1(0000002)r1(0000002

El total de la inversin en el segundo ao es 1632002 ;

1632002r)r1(0000002)r1(0000002

1632002)r1)(r1(0000002

1632002)r1(0000002 2


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ING. FLAVIO PARRA T

42

000002

1632002)r1(;

000002

1632002)r1( 22

1

0000002

1632002r;

0000002

1632002r1

4%r;04.0r

2. DESIGUALDADES

2.1POSICIN RELATIVA DE DOS PUNTOS.Sean a y b dos puntos de la recta de losnmeros reales.

.. .. .. . .

a

b ab

a b

a bx

a = b

a > b o b < a

b > a o a < b

a < x < b

Definicin: una desigualdad es un enunciado que nos indica que un nmero es menor omayor que otro.

2.2 DESIGUALDADES LINEALES

Una desigualdad lineal puede expresarse en la forma: o ),,( con 0a , la solucin

no es nica, sino un conjunto de valores representados por un intervalo.

2.3 REGLAS DE LAS DESIGUALDADES

1. Si a los dos lados de una desigualdad se suma o se resta un mismo nmero, la desigualdadresultante tiene el mismo sentido.

Si a < b a c < b cEjemplo: 2 < 7 2 5 < 7 5 7 < 122. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo nmero

positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido.

a > b y c > 0 a. c > b. c ac > bc


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ING. FLAVIO PARRA T

43

Ejemplo: 5>2 56 > 263. Si a los dos lados de una desigualdad se multiplica o divide por un mismo nmero

negativo, la desigualdad resultante tiene sentido contrario.

a > b y c < 0 ac < bc ac < bcEjemplo: 2 < 5 y c = 3 23 > 53 6 > 1 5

2.4INTERVALOS

( )b

(

)

(

)

bxa

bxa

bxa

bxa

ax

ax

ax

ax

x

ba ,

ba ,

b,a

b,a

,a

,a

a,

,

a,

Ejemplos:

1. 22-x

4

34-5x

2

1 Realice las operaciones usuales de igualdades.

2

1

x4

3

2

3

-x2

1

;22

3

-x4

3

4-2

5

x2

1

2x4

1-;

2

3

2

1x

4

3-x

2

1

8-x;4-2x4

1-4- Revise regla 3


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ING. FLAVIO PARRA T

44

8

8,-:Solucin

2.

10

y

5

3-6y

2

2-2y3

0

10

y-3-6y22-2y15;0

10

y

5

3-6y

2

2-2y3

17

24y;2417y;06123030 yyy

17

24

,

17

24Solucin

2.2 APLICACIN DE DESIGUALDADES

1. Utilidad. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compaa determina queel costo de material es de $3 y el de mano de obra de $5: El costo fijo constante, sinimportar el volumen de ventas, es de $100000. Si el precio para un mayorista es de $10

por unidad, determine el nmero mnimo de unidades que deben venderse para que lacompaa obtenga utilidades.

Material: $3 U > 0 "Obtener utilidad"Mano de obra: $5 Ingreso total Costo total > 0Cf=$100000 Pv.q Cv.qCf > 0Pv=$10 10q 8q100000 > 0

q>50000 La compaa debe vender al menos 50000 unidades para obtener utilidades.2. Patricio Ruales asisti a una conferencia en Montreal, Canad durante una semana

.Decidi rentar un auto y consult los precios a dos empresas. Avery peda $56 diarios,sin cuota de kilometraje. Hart peda $216 por semana y $0.28 por milla o fraccin de


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milla. Cuntas millas debe Ruales manejar para que un auto de Avery sea la mejoropcin?

Sea: x = nmero de millas recorridasNmero de das de la semana=7

Auto Avery > Auto Hart567 >2160.28x0.28x > 176 x < 628.57 x < 628

Avery ser la mejor opcin,si tiene que recorrer menos de 628 millas3. VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO

El valor absoluto de un nmero real a, se denota as | a | y es la distancia, en una rectanumrica, desde el origen al punto cuya coordenada es a.

Por ejemplo: | 4 | = 4 y | -4 | = 4 ya que ambos tanto el 4 como el -4 estn a la mismadistancia del 0. As:

04 4

4ciatandis 4ciatandis

3.1 SOLUCIN DE ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO

Para resolver ecuaciones lineales con valor absoluto se procede as:

Ejemplo 1: Resolver la ecuacin | x4 | = 3

Como esta ecuacin establece que x4 es un nmero que est a 3 unidades del cerotanto a la derecha como a la izquierda, igualamos la ecuacin primero a (+3) y luego a(-3) y eliminamos as las barras que indican valor absoluto

x4 = 3 o x4 = - 3

Resolvemos las ecuaciones separadamente:

x = 4 + 3 o x = 43

La solucin es: x = 7 o x = 1


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ING. FLAVIO PARRA T

Ejemplo 2: Resolverla ecuacin |2 x 1| = 4La ecuacin no tiene solucin porque ningn valor absoluto es un nmero negativo.

3.2 SOLUCIN DE DESIGUALDADES LINEALES CON VALOR ABSOLUTOPara la solucin de desigualdades lineales con valor absoluto tome en cuenta lassiguientes propiedades.

Desigualdad (d > 0) Solucin

|x| < d .- d < x < d

|x| d .- d x d

|x| > d x < -d x > d

|x| d x -d x d

Ejemplo 1: Resolver la desigualdad | x3 | < 5

Aplique la regla: 5 < x 3 < 5

Se tiene una desigualdad simultnea:

5 3 < x < 5 32

Matematica 1 ecuaciones

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