Mate III ING Semana 15
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Matemática III (ING) Semana 15
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MATE III
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Matemática III (ING)
Semana 15
Ejemplo 1
El banco de sangre del hospital “San Bartolomé” va a
realizar una campaña para la donación de sangre para la
reposición de su inventario. El hospital estima que se
donará sangre a una tasa de: , unidades
por día,
donde: “t” indica la duración de la campaña en días y
“S” el número de unidades de sangre.
Si la meta de la campaña es recoger 1 000 unidades, ¿en
cuántos días se logrará la meta?
t4.0e500dt
dS
Rpta: La meta se logrará aproximadamente en 4 días.
Ejemplo 2
La tasa de incremento del costo total (C) a medida que
crece el número de unidades producidas (x), es
proporcional, a la suma de las unidades producidas más
una constante A e inversamente proporcional al costo
total. Determinar la función costo, si C = C0 cuando x = 0.
2
0
2)2()(: CAxxkxCRpta
Ejemplo 3
La relación entre la utilidad neta (U) y el gasto en
publicidad (x) es tal que, la tasa de incremento de la
utilidad neta, a medida que crece el gasto en publicidad, es
proporcional a la diferencia entre una constante A y la
utilidad neta.
a) Obtener una relación entre la utilidad neta y el gasto en
publicidad, si U = U0 cuando x = 0. Considerar U0 < A.
b) Graficar la relación obtenida.
kxeUAAURpta
)(: 0
Ejemplo 4
El ritmo al que se propaga una epidemia en cierta
comunidad, de H habitantes, es conjuntamente
proporcional al número de personas ya infectadas y al
número de personas que aún no ha sido infectada.
a) Expresar el número de personas que han sido
infectadas como una función del tiempo.
b) ¿Después de cuántos días se habrá infectado la mitad
de la población?
1)/1()(:
1
tHkek
HtNRpta
tHkeARpta
12:
Ejemplo 5
El modelo de crecimiento de Domar tiene los siguientes
supuestos: el ahorro S(t) es proporcional a la renta y(t); la
inversión I(t) es proporcional al ritmo de variación de la
renta; además, el ahorro y la inversión son iguales.
Determine una expresión de la renta y(t) en función del
tiempo.
t
ecyRpta
:
Ejemplo 6
El precio p(t) de determinado artículo varía de modo que
su razón de cambio con respecto al tiempo es
proporcional a la escasez. Se define la escasez como la
diferencia entre la cantidad demandada y la cantidad
ofertada. Determine p(t) si para t = 0 el precio es $5 y
cuando t = 2 el precio es $3 y donde:
2 p + qd = 8
p – q0 = –2
tepRpta
5493.032:
Ejemplo 7
Determinar la ecuación de una curva cuya tangente tiene
pendiente: 3x2 + 1, para cada valor de x y además su
gráfica pasa por el punto (2, 6)
Ejemplo 8
El ingreso marginal de una empresa está dado por:
Img = 12 – 0.2q - 0.03q2
a) Determinar la función ingreso.
b) ¿Qué ingreso se obtendrá al vender 20 unidades?
c) Determinar la ecuación de la demanda del producto.
d) ¿Cuántas unidades se podrá vender si se fija un precio de
S/. 10 la unidad?
Ejemplo 9 (PC4 2009-01)
Si C(q) es el costo total de producir q unidades (expresado
en dólares) y se sabe que el costo marginal es siempre
igual al costo promedio. Encuentre la función de costo total.
Ejemplo 10 (PC4 2009-01)
La tasa proporcional de crecimiento del valor de las
acciones de cierta empresa está dada por (t expresado
en años). Si el valor inicial de las acciones fue de $50 000,
¿después de cuántos años la empresa tendrá un valor de
$600 000?
t
t
y
y
3
3 t
Ejemplo 11 (Ex Final 2009-01)
Cualquier punto (x, y) de cierta curva satisface:
Se sabe que la ecuación de la recta tangente que pasa por
el punto (1, 1) es:
x + y = 2
Determine la ecuación de la curva que cumple tales
condiciones.
2
2
2
x1xd
yd
Ejemplo 12 (Ex Final 2009-01)
Suponga que la población de venados P(t) en un pequeño
bosque satisface la ecuación:
Donde t es el tiempo medido en meses. Si inicialmente
había 25 venados, ¿después de cuánto tiempo se duplicará
esta población?
2P0003,0P0225,0td
Pd
Ejemplo 13 (Ex Final 2009-01)
Las tasas de ingreso y costo en una operación de
perforación de pozos petroleros están dadas por:
respectivamente, donde el tiempo t se mide en años y C e I
se miden en millones de dólares. Determinar:
a)¿Por cuánto tiempo debe prolongarse la perforación si se
desea obtener la utilidad máxima?
b)¿Cuál será esta utilidad máxima?
t32)t(C
t14)t(I
|
|
Encuentre la función que satisface que la
pendiente de en cada punto es igual a
(3,0 ptos.)
Preg. 1. (Ex. Final – 2011.1)
.yx
)(xg yx;g
Halle la ecuación de la curva que verifica que la
pendiente de la tangente en cada punto es n veces
la pendiente de la recta que une dicho punto con el
origen de coordenadas.
(2,0 ptos.)
Preg. 2. (Ex. Final – 2011.0)
Encuentre la ecuación de la curva que satisface que
la recta tangente en cada uno de sus puntos
corte al eje de las abscisas en el punto .
Preg. 3.
0;
2
x yx;
Encuentre la ecuación de la curva que satisface en
cada uno de sus puntos que el segmento de la
normal comprendido entre los ejes de coordenadas
esté dividido por este punto en dos partes iguales.
Preg. 4.
Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el
punto (3;1) y tal que el segmento de tangente
comprendido entre el punto de contacto y el eje de
las abscisas esté dividido en dos partes iguales por
el eje de las ordenadas.
Preg. 5.
Encuentre la ecuación de la curva que satisface que
la normal en cada uno de sus puntos pasa por el
punto (0;1). Grafique la curva obtenida.
Preg. 6.
Encuentre la ecuación de la curva que satisface que
la recta tangente en cada uno de sus puntos
pasa por el punto .
(3,0 ptos.)
Preg. 7.
yx; xy;
Encuentre la ecuación de la curva que satisface en
cada uno de sus puntos que el segmento de la
tangente comprendido entre los ejes coordenados
quede dividido por este punto en dos partes
iguales.
Preg. 8.
